JP2005091325A - エイリアシングを利用した干渉縞又は投影格子の位相解析方法 - Google Patents
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Abstract
【解決手段】fとfsamを自然数とし、fsam<2Nとして、干渉縞又は投影格子の位相を2πf変化させる間にfsam回撮影して得た画像から前記干渉縞又は投影格子の位相を解析する干渉縞又は投影格子の位相解析方法であって、kを任意の自然数として、f’=f±kfsamによって与えられるエイリアシングによって生じる周波数をフーリエ変換して得られる複素数の偏角として前記干渉縞又は投影格子の位相を得る。
【選択図】図2
Description
f’=f±kfsam
によって与えられるエイリアシングによって生じる周波数をフーリエ変換して得られる複素数の偏角として前記干渉縞の位相を得ることを特徴とする。
I1(x,y,t)=a1cos(2πf1t+θ1(x,y))+b1 (1)
I2(x,y,t)=a2cos(2πf2t+θ2(x,y))+b2 (2)
式(1)、(2)において、f1、f2は干渉縞1、2の位相変化の周波数を表し、θ1、θ2は干渉縞1、2の初期位相を表す。また、a1、a2及びb1、b2は干渉縞1、2の振幅及び背景輝度である。図1は、2種類の干渉縞の輝度変化を示すグラフである。図1において、横軸は時間軸及び各干渉縞の位相を表し、縦軸は各干渉縞の輝度を表す。ここで、干渉縞をfsam回撮影する間に干渉縞1及び干渉縞2の位相をそれぞれ2πf1及び2πf2変化させる。以上より、合成干渉縞の輝度Icomは以下の式で表すことができる。
Icom(x,y,t)
=a1cos(2πf1t+θ1)+a2cos(2πf2t+θ2)+b1+b2
(3)
f1’=f1±kfsam=1/(N1T)±k/(NsamT)
(−fN≦f1’<fN) (4)
f2’=f2±kfsam=1/(N2T)±k/(NsamT)
(−fN≦f2’<fN) (5)
ここで、fsamはサンプリング周波数であり、fsam=1/(NsamT)である。また、k、lは任意の自然数である。エイリアス後のこれらの位置に現れるスペクトルを抽出することにより、位相を算出することが可能となる。位相θ1とF(f1’)の実部と虚部の値は次式に示す関係となり、
この式により位相θ1を算出することができる。同様に、位相θ2についても次式の関係が成り立つ。
これらの関係式により位相を決定することが可能となる。本方法は、異なる周波数の干渉縞で上記の条件を満たす場合においては適用可能であり、したがって、干渉縞が2種類以上になっても位相の同時解析が可能である。
式(8)において、右辺の第1項及び第2項は合成された二種類の格子成分を表し、それぞれ格子成分1及び格子成分2と呼ぶ。a、bはそれぞれ格子の輝度振幅及び背景輝度を表す。αは格子の位相の変化量である。P1、P2及びθ1、θ2はそれぞれ格子成分1及び2のピッチと初期位相である。ここで、輝度合成格子の周期Pcomを、二種類の格子成分のピッチP1及びP2の最小公倍数と定義する。図4は、輝度合成格子のパターンの一例を示すグラフである。図4a及び4bはそれぞれ格子成分1及び2の輝度成分を示し、図4cは合成格子の輝度分布を示す。また、格子成分のピッチ比はP1:P2=3:19である。
θ1=arg(S1) (9)
θ2=arg(S2) (10)
ここで、arg(S)は複素数Sの偏角を表す。以上の作業で得られるピッチの異なる二種類の位相θ1及びθ2を用いることで、画素ごとに独立して位相接続を行うことができる。
φ1=θ1+2πk1 (11)
φ2=θ2+2πk2 (12)
ここで、k1及びk2はそれぞれ格子成分1及び2の格子番号を表す整数である。また、接続後の位相値φ1及びφ2には以下の関係がある。
P1φ1=P2φ2 (13)
式(11)、(12)及び(13)から以下の式を導くことができる。
P2θ2−P1θ1=P2φ2−P1φ1−2π(P2k2−P1k1)
=2π(P2k2−P1k1)≡2πmU (14)
ただし、mはピッチP1及びP2の最大公約数である。図8は位相θ1、θ2及びUの関係を示すグラフである。この図からわかるように、Uは理論的に常に整数値となり、整数Uから格子番号k1及びk2を一意に決定できる。したがって、整数Uを求めることで位相接続が可能となる。しかしながら、実際は格子画像に含まれるノイズ等の原因でUは常に整数値をとらない。したがって、最も近い整数値に近似することによって、Uの値を決定する。以上のようにして決定される整数値Uを用いて、それぞれの格子成分の格子番号k1及びk2は以下の式によって求められる。
ここで、[U/P1]はU/P1を超えない最大の整数を表す。また、Mod(U,P1)=U−[U/P1]と定義する。本方法を用いて、格子番号k1は次式で示される範囲において求まる。
0≦k1<P1/m (16)
したがって、接続後の位相φ1は以下の範囲に限定される。
0≦φ1<2πP1/m (17)
一般に、2種類のピッチP2及びP1の最小公倍数、すなわち輝度合成格子の周期Pcomが大きいほど広い範囲において位相接続が可能となる。
Δφ(i,j)=φ(i,j)−φ0(i,j) (18)
ただし、ここで述べる高さとは物体表面から基準面までの距離を示す。また、位相差Δφ(i,j)と物体の高さh(i,j)は幾何学的な関係によって対応付けることができる。位相差と高さの対応関係は以下の等式で表すことができる。
1/h(i,j)=A(i,j)/Δφ(i,j)+B(i,j) (19)
式(19)において、A(i,j)及びB(i,j)は計測装置のシステムパラメータであり、後述するキャリブレーションによってカメラの画素ごとに決定される。
a=|S1| (|S1|≦|S1|のとき)
a=|S2| (|S1|>|S1|のとき) (20)
ただし、S1、S2はそれぞれ格子成分1及び2の複素スペクトルである。式(20)を用いて得られる輝度振幅aについてしきい値a1を設け、a1>aとなる画素は位相解析の信頼性が低いとみなして高さの計算を行わないことにする。本例では、a1=8と設定する。図13は、位相解析結果を示す図である。図13a、b、cは、それぞれ初期位相θ1、θ2の分布及び位相接続後の初期位相分布である。また、図13dは位相差分布である。これらの画像では、信頼性の低い画素は黒で表されている。図13cでは、画像全体に渡って初期位相分布が連続化されていないが、図13dに示す位相差は、全計測範囲において高さと一対一対応している。さらに、図13dの位相差分布から計算した物体の高さ分布の3次元表示を図14に示す。この結果から、本発明によるエイリアシングを利用した干渉縞位相解析方法によって、複雑な表面形状を持つ物体の形状計測も可能であることがいえる。
sinθ=fsλ (21)
を満たすとき、AとBの1次及び−1次の反射回折光は、試料表面に垂直に現れる。試料が変形していない場合、2つの反射回折光は一様に干渉し、均一的な濃度の干渉縞、すなわちワンカラーの干渉縞を生じる。試料が変形した場合は、それに伴って回折格子のピッチが変わり、2つの反射回折光の回折角がわずかに変化することから干渉縞が生じる。この干渉縞はx方向の変位uの等変位線となる。
u=dsNx/2
v=dsNy/2 (22)
式(22)から、干渉縞1本あたりの変位量は、回折格子のピッチの半分に相当していることがわかる。
fsam>2fx
fsam>2fy (23)
しかしながら、サンプリング周波数が大きくなるとサンプリングに掛かる時間が長くなる。このことから、フーリエ変換位相シフト法を用いて時間と共に変化する現象を解析することは困難であった。
ここでfsamはサンプリング周波数であり、fsam=1/(MsamT)である。またkとlは任意の整数である。この例の場合、x方向の干渉縞の位相シフト周波数は3であるが、エイリアシングにより周波数成分は3ではなく−2に現れる。y方向の干渉縞についても同様に周波数成分は4ではなく−1に現れる。したがって周波数成分−2及び−1を別々に抽出し計算することによって、最低データ数より少ないデータで2種類の干渉縞の位相を同時に求めることができる。図24、25は、このようにして求めたx方向成分の干渉縞の位相分布画像と、y方向成分の干渉縞の位相分布画像である。
4 CCDカメラ
6 計測対象物体
Claims (2)
- fとfsamを自然数とし、fsam<2fとして、干渉縞の位相を2πf変化させる間にfsam回撮影して得た画像から前記干渉縞の位相を解析する干渉縞位相解析方法であって、kを任意の自然数として、
f’=f±kfsam
によって与えられるエイリアシングによって生じる周波数をフーリエ変換して得られる複素数の偏角として前記干渉縞の位相を得ることを特徴とする干渉縞位相解析方法。 - 請求項1に記載の干渉縞位相解析方法において、各々ピッチ位相シフトの周波数が異なる複数の干渉縞の個々の位相を得ることを特徴とする干渉縞位相解析方法。
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