JP2003518302A - 多角形表面上の２点間の最短経路の繰り返し法による決定 - Google Patents

多角形表面上の２点間の最短経路の繰り返し法による決定

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JP2003518302A
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ヤムロン，ボリス
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Abstract

(57)【要約】 機械読み取り可能なコンピュータ・プログラムで符号化された記憶媒体を、多角形表面上の２点間の最短経路を求めるために用いる。記憶媒体は、コンピュータに、最短経路を求める方法を実行させる命令を含んでいる。多角形表面上で第１の点及び第２の点が与えられた場合に、該表面上に位置しておりこれら２点を通るポリラインが画定される。ポリラインは多角形メッシュ上で解析されて、ポリライン上に位置しており且つメッシュの辺上に位置している点を決定する。メッシュの多角形の各面は、一般性を一切失わないように三角形であるものと仮定する。ポリラインの始点及び終点がメッシュの辺上に位置していない場合には、ポリラインの始点及び終点が位置している多角形の表面の各面を三角形分割して、始点及び終点が多角形メッシュの頂点となるようにする。次いで、ポリラインを、ポリラインの第１の点及び第２の点を通り、より長さの短い新たなポリラインを生成するように修正する。この解析、三角形分割及び修正の過程は、第１の点と第２の点との間で可能な最短のポリラインが求まるまで、繰り返し反復実行される。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、開いた表面又は閉じた表面を有する多面体の表面に描く局所的な最
小長経路を求める解法に関する。
【０００２】
【発明の背景】
３次元表面レンダリングを行うには一般に、関心表面の全体にわたる一定の三
角形メッシュ（網目）を利用している。すなわち、コンピュータで生成した３次
元画像表現の関心表面を選択する。例えば、核医学ＣＴ（計算機式断層写真法）
スキャナ、又は他の診断用撮像装置を用いて患者の胴体の肝臓を取り巻く部分の
３次元画像表現を形成する場合がある。画像の各々の画素のグレイ・スケール又
はＣＴ数を肝臓の特徴的なグレイ・スケール又はＣＴ数と比較する等の従来の手
法を用いると、肝臓及び肝臓の表面を識別することができる。肝臓表面の組織は
すべて実質的に同じグレイ・スケール又はＣＴ数を有しているので、肝臓の遠近
図を再生してビデオ・モニタに表示しても、得られる表示は影絵状外観を有する
ものとなる。この表示では、表面のテクスチュア情報は実質的に伝わらない。
【０００３】 輪郭情報を伝達するためには、ある視線方向から観察できる肝臓又は他の構造
の表面に一定の三角形のメッシュを重ね合わせて表示する。すなわち、肝臓又は
他の関心物体の表面を、表面テクスチュアによって許容されるのと同等に一様な
寸法の三角形から成るメッシュで近似する。医療診断画像に典型的な５１２×５
１２のフレームでは、関心表面に約２０，０００〜５０，０００の三角形が存在
すると考えられる。ベクトルの表面法線をそれぞれ照明方向ベクトル及び視線方
向ベクトルと比較する。これらのベクトル比較に基づいて、各々の三角形のグレ
イ・スケール（又は色若しくは色相）が選択される。典型的には、グレイ・スケ
ールは、選択された構成を有する物体が、視線方向から観察して照明方向から照
明したときに表面上の対応する点において有するであろう明暗条件を近似するよ
うに選択される。
【０００４】 表示は単に物体の表面を表現するに留まらない。具体的には、一般に、医療診
断画像の切断面を画定して、切断面の片側の物体の部分を取り除くことができる
。肝臓又は他の関心物体の内部に対応する画像の部分が、スライスによって切り
取られた肝臓又は他の構造の各々の内部画素のＣＴ数又は画素値に対応する適当
なグレイ・スケール又は色で表示される。残りの表面の部分は、３次元表面レン
ダリングで続けて表示される。
【０００５】 典型的には、操作者は表示物体を回転させる能力を有する。物体を一定の距離
増分で回転させる度毎に、表面の法線があらためて算出されて、照明ベクトル及
び視線方向ベクトルと比較されて、比較に従って各々の三角形に対してグレイ・
スケール値が再設定される。グレイ・スケールを再設定するのに必要な多数回の
計算は一般には、物体の回転速度よりも低速で実行される。すなわち、操作者は
、新たなグレイ・スケールが算出され得るよりも速く物体を回転させるので、物
体は滑らかにではなく寧ろ飛び飛びに回転するように見える。例えば、物体が、
グレイ・スケール値を再計算するのに必要な時間内に約５°回転するとすると、
物体は５°ずつの段階で回転するように見える。
【０００６】 Computer Graphics 誌、１９９２年７月号、第２６巻、第２２号、第６５頁〜
第７０頁のSchroeder等による論文“Decimation of Triangle Meshes”は、物理
的物体又は抽象的物体をモデル化するのに必要な三角形の数を減少させるアルゴ
リズムを記載している。Schroeder の手法では、局所的な幾何構造及び位相構造
を用いて、既に存在する三角形メッシュに多数の段階を設けて、距離又は角度の
規準に合格した頂点を除去している。頂点の除去によって残された穴には、局所
的三角形分割（triangulation）法を用いてパッチ（継ぎ当て）が施される。Sch
roederの手法の一つの問題点は、比較的低速であることである。この手法の実行
時間は分単位である。一般に、検査士は、ＣＴ画像、核医学カメラ画像及び磁気
共鳴画像を実質的に実時間で観察することを期待しており、分単位で待つことを
許容可能とは見做さない。１９９７年１１月１８日に付与されたArata の米国特
許第５，６８９，５７７号は、上述の問題点を克服する改良型３次元三角形メッ
シュの単純化した方法を教示している。
【０００７】 計算機科学に広く見られる問題点は、物体の幾何形状をデータ構造で表現する
必要性である。かかる物体を表現する一方法では、多角形メッシュが用いられる
。大寸の多角形メッシュを生成するシステム及び方法が、１９８７年１２月１日
に付与されて本出願人に譲渡されたCline 等の米国特許第４，７１０，８７６号
に記載されている。他の手法、例えば自動メッシュ生成又は衛星データからの地
勢図作成等も、大寸多角形メッシュを生成することが可能である。例えば、人体
の歯の複雑な彎曲表面を、共通辺に沿って繋がれた何千もの三角形（又は他の多
角形種）を用いることにより近似することができる。幾何形状を表現する能力は
、多くの理由で重要である。コンピュータ・グラフィックス分野では、明暗演算
に多角形メッシュを用いて画像を形成する。また、数値解析に多角形メッシュを
用いて、中実物体の境界を表現する。これらの表現から、熱流、構造的応答又は
電磁波伝播のような複雑な問題を解く方程式を展開することができる。他の応用
としては幾何モデリングがあり、この応用では、物体の質量、容積、表面積、重
心及び慣性モーメントを決定するのに多角形メッシュがしばしば用いられている
。
【０００８】 従来、多角形メッシュは典型的には、数百乃至数千の多角形で構成されており
、ここから得ることのできる膨大な情報を処理するようにコンピュータのハード
ウェア及びソフトウェアが設計されてきた。しかしながら、計算機科学における
近年の進歩によって、数十万乃至数百万もの多角形を生成する手法が開発されて
いる。このように膨大数であるので、物体の幾何形状を極めて正確に把握する一
方で、コンピュータ・システムの能力をしばしば上回る。例えば、現状では殆ど
のグラフィックス・システムにおいて対話型計算に不利でない速度で百万の多角
形をレンダリングすることは不可能である。
【０００９】 基本的な問題点は、大寸の多角形メッシュを生成する手法が極めて高価値であ
って、より少ない多角形を生成するように修正するのは容易でないことである。
従って、多数の多角形で構成されるメッシュを減らす、すなわちデシメート（間
引き）して、相対的に少ない多角形を含むものとする一般的な手法が必要である
。さらに、デシメート過程を実効的にするためには、元の多角形メッシュの位相
的特性及び形状的特性を保存しなければならない。
【００１０】 １９９６年１２月３１日に付与されて本出願人に譲渡されたZarge 等の米国特
許第５，５９０，２４８号は、元の多角形メッシュの位相的特性及び形状を保存
しつつ多角形メッシュの複雑さを減少させる方法を教示している。この方法によ
れば、メッシュの各々の頂点を解析して頂点が不必要であるか否かを決定し、不
必要である場合には当該頂点に連結しているすべての三角形と共に頂点を除去す
る。頂点を除去することにより形成される多角形は、該特許に開示されているア
ルゴリズムに従って新たな三角形で充填（再三角形分割）される。この方法はさ
らに、三角形が隣接する三角形よりも比較的小さい場合にメッシュから当該三角
形を除去する（併合）工程を含んでいる。この方法はまた、辺が隣接する辺より
も比較的短い場合にメッシュから当該辺を除去することも含んでいる。
【００１１】 米国特許第５，５９０，２４８号は、開示されている方法の工程を実行するよ
うにプログラムされているコンピュータとして具現化されている。プログラムは
、利用者が該特許に開示されている様々な閾値を指定して、得られるメッシュの
表現時の精度を制御できるようにしている。このプログラムはまた、メッシュの
複雑さの所望の減少が達成されるまで繰り返し方式で実行することもできる。
【００１２】 前述の米国特許第４，７１０，８７６号は一般的には、表面情報を表示するシ
ステム及び方法に関するものである。表示される表面の画像は典型的には、計算
機式断層写真法（ＣＴ）Ｘ線システム又は磁気共鳴（ＭＲ）イメージング・シス
テムによって検査された中実体の内部領域に含まれている。計算機式断層写真法
（ＣＴ）Ｘ線システム又は磁気共鳴（ＭＲ）イメージング・システムのいずれも
、３次元空間内の様々な位置において１以上の物理的特性を表わすデータの３次
元配列を形成することが可能である。より具体的には、米国特許第４，７１０，
８７６号は、体内構造の画像及び表現を得るように医用画像の表示を行なうシス
テム及び方法に関するものである。米国特許第４，７１０，８７６号の実施時に
形成される画像は、医師、検査士及び他の医療人員による検査のための３次元デ
ータを提供している。
【００１３】 従来のＸ線システムでは、骨組織及び軟組織の異なるＸ線吸収特性に基づいて
２次元の投影画像を作成している。診断ツールとしての従来のＸ線システムに対
する大幅な改良は、ＣＴシステムによって齎された。ＣＴシステムはＸ線に基づ
くものであり、当初は、検査されている身体、物体又は患者の横方向スライスを
表わす単一の２次元ビューを形成するのに用いられていた。この後に、多数の連
続スライスのデータを生成すると共に検査士の推論能力を用いることにより、Ｃ
Ｔ走査データから３次元情報を収集して様々な内部器官の３次元表現を提示する
ようになった。８７６号特許の一実施形態では、陰影及び外形表現を付した３次
元画像を、かかる一連の連続したＣＴ走査によって生成された３次元データ配列
から形成している。同じ方式で、より新しいＭＲ撮像技術もまた、体内器官の物
理的特性を表現するデータの３次元配列を形成することが可能になっている。
【００１４】 さらに、ＭＲシステムは、骨と軟組織との間に留まらず様々な組織種の間をさ
らによく弁別する能力を有する。ＭＲイメージング・システムはまた、画像デー
タばかりでなく生理学的データを生成することも可能である。しかしながら、Ｍ
Ｒシステム又はＣＴシステムのいずれを用いても、データは一連のスライスとし
てのみ利用可能になっており、いずれのシステムも真の３次元画像を形成するた
めに一般的に利用可能である訳ではない。
【００１５】 米国特許第４，７１０，８７６号は、ＣＴ走査システム又はＭＲイメージング
・システムのいずれかによって生成される３次元データを記載しており、これら
の３次元データは、観察者の選択で選択可能な多数の解剖学的特徴を表示スクリ
ーン又は他の装置上に形成するように、複数の方式で表示したり解析したりする
ことができる。この発明の好適実施形態では、３次元画像を形成するのに用いら
れるデータは典型的には一度で取得された後に、観察者の選択によって医療情報
を生成したり画像を表示したりするのに何度も再利用される。観察者は、例えば
、骨表面を脳の表面組織と対照させて表示すべきか否か等を決定する１以上の閾
値を選択する選択肢を与えられている。このシステムの観察者又は操作者はまた
、適当な視角を選択することもできるし、任意の所望の平面を通る断面図を形成
するために、生成されたデータの一部を随意に選択的に無視することもできる。
【００１６】 視角は選択可能であるので、一連の画像を形成すると共に逐次表示することに
より、医療人員に対し、任意の所望の視角から真の３次元的態様で中実表面の内
部像を与え、さらに、任意の平面又はスライスを通る像を構築し得る能力を与え
ることが可能である。多くの目的のためには、ＭＲ又はＣＴの走査スライス・デ
ータ配列の単一の集合のみから殆ど無限に多様な意味のある画像を形成すること
ができるが、医療的研究の目的が内部の解剖学的構造の変化を時間の関数として
研究することにあるのであれば、時間で番号付けされた一連の３次元データ配列
を形成することに意味がある。本発明のシステム及び方法は、医療人員、具体的
には外科医に対し、全面的に非侵襲的な診断方法を用いて詳細且つ複雑な外科処
置手順を計画する能力を与える。本発明によって形成される目覚ましい画像は、
計算機式軸方向断層写真法及び核磁気共鳴撮像と同程度に大きな医用撮像分野に
おける向上であることを悉く実証するものとなっている。
【００１７】 米国特許第４，７１０，８７６号のシステム及び方法は、ＣＴ及びＭＲの撮像
データの解析及び表示に最も活用され得るものであったが、本発明は、超音波、
ポジトロン・エミッション断層写真法、ＥＣＴ（エミッション計算機式断層写真
法）及びＭＭＩ（マルチモダリティ撮像）を採用しているシステムにも等しく適
用可能にする。さらに、本発明は、医用画像の構築に特に適しているが、中実体
内の点に関連して１以上の物理特性の値を表現する信号パターンが存在している
ような３次元データ配列を生成することが可能であればあらゆるシステムについ
て内部３次元表面構造の表示を行なうことにも適している。
【００１８】 特に本発明の長所とすることは、医療人員に対し、システム装置と実時間で対
話する能力を与えるその性能にある。対話的利用を可能としないシステムは、困
難な処置手順を計画する外科医にとっては特に、システムとの最適な人的対話に
実時間表示方法が要求されることから、重大な欠点を有することになる。例えば
、移植外科治療においては、移植組織を受け入れるべき体内空洞の正確な形状又
は寸法を予め確かめることはしばしば困難である。このことは、移植組織片が人
体組織を含むか又は機械的装置を含むかに拘わらず成り立つ。従って、外科医が
何らかの侵襲的処置に取りかかる前に、３次元形態で空洞を表示させたり、空洞
の画像を随意に回転させたり切断したりできることが重要となる。また、形成さ
れる画像は鮮鋭であり優れたコントラストを呈することが重要である。また、形
成される画像は、可能な場合には必ず表面のテクスチュアを表現していなければ
ならない。
【００１９】 陰極線管（ＣＲＴ）スクリーンに３次元グラフィックス画像を表示することは
、計算機支援設計（ＣＡＤ）及び計算機支援製造（ＣＡＭ）の目標及び方向性に
よって主に推進されてきた。中実体を表示し、所望の態様で画像を操作すること
により製造部品の中実モデルを形成し、また多数の方向からこれらの部品を回転
させて観察するためのシステムが開発されている。具体的には、所謂ワイヤ・フ
レーム・データを受け入れるＣＡＤ／ＣＡＭシステムが開発されている。ワイヤ
・フレーム表示形式では、表示プロセッサに、線分の端点を表わす３次元点の系
列又は一覧を供給する。これらの線分を繋いで、様々な表面を表現する。これら
ワイヤ・フレーム画像の長所は、様々な軸の周りに画像を高速で回転させて異な
るビュー（眺め）を得る能力である。この能力は、コンピュータ上では負荷の大
きい処理であるが、高速の大規模集積回路装置の利用を通じて最近では負荷が軽
減されつつある。
【００２０】 ワイヤ・フレーム画像は、隠線を消去するように処理したものであっても、典
型的には、スクリーンに表示される５０，０００のベクトルの一覧を含み得る。
尚、各々の「ベクトル」とは、ＣＲＴ形態の表示装置上で２点の間に描かれる（
有向の）線分である。もっと洗練されたグラフィックス処理システムは、ワイヤ
・フレーム・データを受け入れるばかりでなく、隠線除去、並びに様々な色及び
／又はグレイの陰影での連続陰影のような機能も実行する。かかるシステムでは
、視角は操作者によって選択される。陰影付き画像を表示するシステムでは、表
示されている表面の法線ベクトルが表面上で点から点へ変化し、陰影はこの法線
ベクトル及び視角から決定される。従って、法線ベクトルによって与えられる情
報は、実際には２次元ＣＲＴスクリーン画像であるものに対して陰影を適用する
際には極めて重要になってくる。３次元の錯視(illusion)を作り出すのはこの画
像（元はワイヤ・フレーム・データに基づく）の陰影である。これらの３次元的
情報（clue）（陰影）を人間の視覚系に与えることは、本発明によって特に十分
に達成される。陰影データは一般的には、ワイヤ・フレーム画像のベクトル形式
を、テレビ画像を表示するのに広く用いられている所謂ラスタ・スキャン形式へ
変換するグラフィックス処理システムにおいて、ワイヤ・フレーム・データから
生成される。
【００２１】 従って、３次元情報の計算及び表示を改善する必要がある。計算面の目標の一
つは、多角形表面上の２点間の最短距離を求める方法を用いることにある。かか
る方法は、ＣＴスキャナ、超音波装置、ＭＲイメージング・システム、及び被検
体内の１以上の物理的特性を表わす３次元データを生成することが可能な他のシ
ステムと組み合わせると有用である。これらの手法はまた、医用画像向けのグラ
フィックス・システムにも応用することができ、対話的利用が可能であると同時
に、利用者に対してテクスチュア、陰影及び他の視覚情報を与える高品質画像を
形成する。かかるグラフィックス・システムは、医療人員に対し、侵襲的処置に
取りかかる前にグラフィックで外科的処置手順を模擬する能力を与える。
【００２２】
【発明の概要】
本発明の好適実施形態では、多角形表面上に位置するポリラインが通過する第
１の点と第２の点との間の最短経路を求める。ポリライン(polyline)とは、１以
上の連結した線から成る１次元のセルであって、ｎ＋１の点から成る順序付き一
覧によって定義される。ここで、ｎはポリライン内の線の数であり、点の対（ｉ
，ｉ＋１）の各々が線を画定する。ポリラインは表面を画定する多角形メッシュ
上で解析されて、ポリライン上に位置しており且つメッシュの辺上に位置してい
る点を決定する。メッシュの多角形の各面は、一般性を一切失わないように三角
形であるものと仮定する。ポリラインの始点及び終点がメッシュの辺上に位置し
ていない場合には、ポリラインの始点及び終点が位置している多角形の表面の各
面を三角形分割して、始点及び終点が多角形メッシュの頂点となるようにする。
次いで、ポリラインを、ポリラインの第１の点及び第２の点を通り、より長さの
短い新たなポリラインを生成するように修正する。この解析、三角形分割及び修
正の過程は繰り返し式であり、第１の点と第２の点との間で可能な最短のポリラ
インが求まるまで続行する。この最短のポリラインを用いて、例えば、その間の
最短経路を決定した２点を通る表面の平面切片を画定することもできる。
【００２３】 平坦でない表面上の最短経路を求めることは、例えば、山岳領域の２地点を結
ぶ最短の道路を建設する、或いは地表から一定の高さを維持しつつ山岳領域の２
地点の間を最短の経路で飛行する（ヘリコプター軍事任務飛行に典型的）等の多
くの実用的応用に見受けられる要件である。最初の例では、道路長とは別個に、
道路の最大勾配及び渡河のように所載の方法に幾分かの修正を必要とし得る他の
規準が存在するかも知れない。一方、第二の例では、本発明の方法は修正を一切
行なわないで応用可能である。いずれの例でも、地表の多角形表現を与えるディ
ジタル式高度地図が入手可能であるので、解決が可能である。
【００２４】 もう一つの応用は、ＭＲデータ集合から抽出された脳の表面上（皮質）の２点
間の最短距離を求めることである。この距離は、例えばファンクショナルＭＲデ
ータから得られる生理学的情報を研究する研究者にとって有用である。表面に沿
った距離は脳の生理学的活動と関連付けることができるので、純粋な直線距離は
表面に沿った最短経路ほどには有用でない。
【００２５】
【発明の詳しい説明】
表面上で２点が与えられた場合に、該表面上に位置しておりこれら２点を通る
ポリラインＰを画定する必要があり、これにより、例えばこれら２点を通る表面
の平面切片を画定する。
【００２６】 図１は、多角形表面１０上に位置していて２点を通るポリラインを示している
。図示のように、（ｐ1 ，ｐ2 ，....，ｐn1）がＰ1 と定義されるポリラインで
あり、頂点（ｐ1 ，ｐ2 ，....，ｐn1）はすべて表面上に位置しており、可能性
のある例外として、最初の点と最後の点はまた、表面を画定する多角形メッシュ
の辺に位置している。一般性を失わないように、メッシュのすべての多角形面は
三角形であるものと仮定する。ポリラインの最初の点及び最後の点が多角形メッ
シュの辺に位置していない場合には、これらの点が位置する面を三角形分割して
、ポリラインの始点及び終点が多角形メッシュの頂点となるようにすることがで
きる。Ｌ（Ｐ）はポリラインＰの長さを表わすものとする。
【００２７】 ポリラインの最初の点をＡ、ポリラインの最後の点をＢと表わすと、ポリライ
ンは、点Ａ及びＢを通過して、局所的に最短の長さを有する（表面上で測地線と
なる）ように修正される。この修正は、ポリラインの最初の３点から開始して、
点ｐ2 を点集合ｑ1 ，ｑ2 ，....，ｑk で置き換えて相対的に短い長さを有する
新たなポリラインを生成する繰り返し過程となっている。この過程を以下で詳細
に説明する。
【００２８】 新たなポリラインは、Ｐ2 ＝（ｐ1 2，ｐ2 2，....，ｐn2 2 ）であり、下記の条
件 Ａ＝ｐ1 2、Ｂ＝ｐn2 2、Ｌ（Ｐ2）＜Ｌ（Ｐ1） に合致している。
【００２９】 本過程を点ｐ1 2，ｐ2 2，ｐ3 2について繰り返して、新たなポリラインＰ3 ＝（
ｐ1 3，ｐ2 3，...，ｐn3 3）を得る。この新たなポリラインＰ3 は下記の条件 Ａ＝ｐ1 3、Ｂ＝ｐn3 3、Ｌ（Ｐ3）＜Ｌ（Ｐ2） に合致している。
【００３０】 最終的には、ポリラインの第２の点が移動又は分割しないような状況に到達す
る。この過程を現在のポリラインの第２の点、第３の点及び第４の点に対して行
なって、第２の点（最初から数えれば第３の点）が移動又は分割を停止するまで
最適化を繰り返す。この繰り返しは、最後の３点１組まで続行する。この後に、
過程を最初の３点１組等から再度開始する。繰り返し過程から、Ａで開始すると
共にＢで終了し、下記の条件 Ｌ（Ｐ1）＞Ｌ（Ｐ2）＞Ｌ（Ｐ3）＞... を満たすポリラインの系列Ｐ1 ，Ｐ2 ....が生成される。
【００３１】 この過程は、最後の３点１組を終了した後に第２の点を移動又は分割すること
が不可能になったときに終了する。この時点で、過程から、点Ａと点Ｂとを連結
し、表面上に位置する局所的に最短の長さを有するポリラインが求まっている。
【００３２】 移動／分割手順は、図１に示すポリラインｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 という３つの隣接
点を考察することにより理解することができる。点ｐ1 ＝Ａは三角形ｔ1 ＝ｐ1 ＮＭの一つの頂点であり、点ｐ2 は三角形ｔ2 ＝ＮＲＭの辺上に位置している。
点Ａ及び点Ｂは三角形の頂点に位置しているが、他の点はすべて、三角形の辺又
は頂点に位置している。三角形ｔ2 をその辺の周りに回転させて、三角形ｔ1 の
平面に整列させる。点ｐ1 と点ｐ3 との間の最短経路は、この平面内でこれら２
点を結ぶ直線となり、ｑはこの線と共通辺との交点となる。すると、Ｌ（ｐ1 ，
ｑ，ｐ3 ）＜Ｌ（ｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 ）となる。ｑが辺の内部に位置していれば過
程は終了する。他の場合には、図２に示すように、点ｑを辺の末端頂点を超えて
移動させるとどうなるかを考察する必要がある。
【００３３】 辺の端点に位置するｑについては上の不等式は依然として成立するが、本過程
は、頂点を超えて点を移動させることにより経路をさらに短縮できるか否かを決
定する。平面角∠ｐ1ｑｐ3はπよりも小さく、これ以外の場合には、点ｑは三角
形ｔ1 ＝ｐ1ｑＭ 及び三角形ｔ2 ＝ｑＲＭに共通な辺の端点とはならない。頂点
ｑを共有し、三角形ｔ1 と三角形ｔ2 とを結ぶメッシュのすべての三角形を、ｔ 1 及びｔ2と同じ平面に平坦化すると、新たな角度∠ｐ1ｑｐ3が得られる。角度定
義に同じ線ｐ1ｑ 及び線ｑｐ3 を用いているが、角度の値は異なるものとなる可
能性がある。頂点ｑの周りのすべての三角形を平坦化した後に、各線を移動させ
ることができる。この角度がπよりも大きい場合には、過程はここで終了する。
他の場合には、過程は、点ｑを共有する三角形の各辺毎に１つずつ、点ｑを幾つ
かの点に分割することができる。この過程から、ポリラインｐ1 ，ｑ1 ，....，
ｑk ，ｐ3 が得られる。但し、ｔ1 とｔ2 との間に唯一の三角形しか存在せず且
つｐ3 が頂点である場合にはｋは０であってよい。点ｐ1 と点ｐ3 とを結び、こ
れらの三角形すべての内部に位置する最短のポリラインは、図３に示すように、
点ｐ1 ，Ｑ1 ，....，Ｑk ，ｐ3 の凸包（convex hull）の一部となる。ここで
、点Ｑ1 ，....，Ｑk は、頂点ｑから放射する辺の端点である。
【００３４】 この過程を通じて得られたポリラインは、条件Ｌ（ｐ1 ，ｑ1 ，....，ｑk ，
ｐ3 ）＜Ｌ（ｐ1 ，ｐ2 ，ｐ3 ）を満たしており、過程は、条件Ｌ（Ｐ2 ）＜Ｌ
（Ｐ1 ）が成立しているようなポリラインＰ2 ＝（ｐ1 2，....，ｐn2 2 ）＝（ｐ 1 ，ｑ1 ，....，ｑk ，ｐ3 ，...，ｐn1）を生成する。
【００３５】 この過程はポリラインを利用しているので、ポリラインが通る点を記憶するの
に必要なメモリ容量は、ポリラインを用いなかった場合に必要となるであろう容
量から大幅に減少している。結果として、本過程は相対的に高速で実行されて、
本過程を具現化することに関連する経費が低減する。この過程は、グラフィック
ス支援ライブラリを含むコンピュータ・グラフィックス・システムにおいて、又
は３次元表示システム内で表面を評価する任意の計算ツールにおいて具現化する
ことができる。かかる計算ツールを、磁気共鳴設備、ＣＴ設備又はＸ線設備のよ
うな医用モダリティに含めてもよい。加えて、多角形表面を産業用ＣＡＤシステ
ムの多角形表現として用いるような状況に本方法を利用してもよい。
【００３６】 本発明は、コンピュータで具現化された過程及び上述の過程を実施する装置の
形態で具現化することができるが、本発明はまた、フロッピー（登録商標）・デ
ィスケット、ＣＤ−ＲＯＭ、ハード・ドライブ又は他の任意のコンピュータ読み
取り可能な記憶媒体のような有形の媒体に記録された命令を含むコンピュータ・
プログラム・コードの形態で具現化されてもよい。ここで、コンピュータ・プロ
グラム・コードをコンピュータにロードしてコンピュータによって実行する場合
には、コンピュータが本発明を実施する装置となる。汎用マイクロプロセッサ上
で具現化する場合には、コンピュータ・プログラム・コードの各セグメントによ
って、特定の論理回路を形成するようにマイクロプロセッサを構成する。
【００３７】 本発明の幾つかの好ましい特徴のみを図解すると共に説明したが、当業者には
多くの改変及び変形が想到されよう。従って、特許請求の範囲は、本発明の要旨
に包含されるような改変及び変形をすべて網羅しているものと理解されたい。
【図面の簡単な説明】
【図１】 ポリラインの３つの隣接点を示す線図である。
【図２】 線と共通辺との間の交点を示す線図である。
【図３】 最短のポリラインを示す線図である。
【符号の説明】
１０ 多角形表面
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 アリアシン，アブダルマジェイド・ムサ アメリカ合衆国、12203、ニューヨーク州、 オールバニ、クレストウッド・テレース、 88番 Ｆターム(参考） 5L096 BA06 FA66

Claims (20)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 多角形表面上の２点間の最短経路を求める方法であって、 前記表面上に位置していて、前記表面上の第１の点及び第２の点を通るポリラ
    インを設定する工程と、 前記表面を画定する多角形メッシュ上で前記ポリラインを解析して、前記ポリ
    ライン上に位置し且つ前記メッシュの辺上に位置している点を決定する解析工程
    であって、前記メッシュは三角形の形態の多角形面を有している、解析工程と、 前記ポリラインの前記第１及び第２の点を通って、この最初のポリラインより
    も短い長さを有する新たなポリラインを生成するように前記ポリラインを修正す
    る修正工程と、 前記第１の点と前記第２の点との間で可能な最短のポリラインが求まるまで、
    前記解析、三角形分割及び修正の工程を繰り返し反復実行する工程と、 を含む方法。
  2. 【請求項２】 前記ポリラインの始点及び終点が前記多角形メッシュの辺以
    外に位置している場合は、前記ポリラインを修正する工程の前に、前記ポリライ
    ンの前記始点及び終点が多角形メッシュの頂点となるように、前記始点及び終点
    が位置する前記多角形表面の各面を三角形分割する工程を含んでいる請求項１に
    記載の方法。
  3. 【請求項３】 前記ポリラインの前記始点及び終点の一方が前記多角形メッ
    シュの辺以外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する工程の前に、前
    記ポリラインの前記始点及び終点の前記一方が前記多角形メッシュの頂点となる
    ように、前記始点及び終点の前記一方が位置する前記多角形表面の面を三角形分
    割する工程を含んでいる請求項１に記載の方法。
  4. 【請求項４】 前記多角形表面は、地表、コンピュータ・グラフィックス表
    示装置及び産業用ＣＡＤ部品から成る群のうち一つの多角形表現である請求項１
    に記載の方法。
  5. 【請求項５】 前記多角形表面は、磁気共鳴、計算機式断層写真法及びＸ線
    から成る群のうち一つから得られる医用モダリティ・データ集合から抽出される
    人体部分の多角形表現である請求項１に記載の方法。
  6. 【請求項６】 多角形表面上の２点間の最短経路を求めるために機械読み取
    り可能なコンピュータ・プログラムで符号化されている記憶媒体であって、 前記表面上に位置していて、前記表面上の第１の点及び第２の点を通るポリラ
    インを設定する工程と、 前記表面を画定する多角形メッシュ上で前記ポリラインを解析して、前記ポリ
    ライン上に位置し且つ前記メッシュの辺上に位置している点を決定する解析工程
    であって、前記メッシュは三角形の形態の多角形面を有する、解析工程と、 前記ポリラインの前記第１及び第２の点を通って、この最初のポリラインより
    も短い長さを有する新たなポリラインを生成するように前記ポリラインを修正す
    る修正工程と、 前記第１の点と第２の点との間で可能な最短のポリラインが求まるまで、前記
    解析、三角形分割及び修正の工程を繰り返し反復実行する工程と、 を含む方法を、コンピュータに実行させる命令を含んでいる記憶媒体。
  7. 【請求項７】 前記ポリラインの始点及び終点が前記多角形メッシュの辺以
    外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する前に、前記ポリラインの前
    記始点及び終点が前記多角形メッシュの頂点となるように、前記始点及び終点が
    位置する前記多角形表面の各面を三角形分割することを含んでいる請求項６に記
    載の記憶媒体。
  8. 【請求項８】 前記ポリラインの前記始点及び終点の一方が前記多角形メッ
    シュの辺以外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する前に、前記ポリ
    ラインの前記始点及び終点の前記一方が前記多角形メッシュの頂点となるように
    、前記始点及び終点の前記一方が位置する前記多角形表面の面を三角形分割する
    ことを含んでいる請求項６に記載の記憶媒体。
  9. 【請求項９】 前記多角形表面は、地表、コンピュータ・グラフィックス表
    示装置及び産業用ＣＡＤ部品から成る群のうち一つの多角形表現である請求項４
    に記載の記憶媒体。
  10. 【請求項１０】 前記多角形表面は、磁気共鳴、計算機式断層写真法及びＸ
    線から成る群のうち一つから得られる医用モダリティ・データ集合から抽出され
    る人体部分の多角形表現である請求項６に記載の方法。
  11. 【請求項１１】 グラフィックス表示装置と共に用いられるコンピュータ・
    プログラムであって、 多角形表面上の２点間の最短経路を求めるためのコンピュータ読み取り可能な
    プログラム・コード手段を具現化させることが可能なコンピュータ利用可能な媒
    体と、 該媒体に埋め込まれているコンピュータ読み取り可能なプログラム・コードで
    あって、下記の工程をコンピュータに実行させるように構成されているコンピュ
    ータ読み取り可能なプログラム・コードと、を備えたコンピュータ・プログラム
    。 前記表面上に位置していて、前記表面上の第１の点及び第２の点を通るポリラ
    インを設定する工程、 前記表面上に位置していて、前記表面上の第１の点及び第２の点を通るポリラ
    インを設定する工程、 前記表面を画定する多角形メッシュ上で前記ポリラインを解析して、前記ポリ
    ライン上に位置し且つ前記メッシュの辺上に位置している点を決定する解析工程
    であって、前記メッシュは三角形の形態の多角形面を有する、解析工程、 前記ポリラインの前記第１及び第２の点を通り、この最初のポリラインよりも
    短い長さを有する新たなポリラインを生成するように前記ポリラインを修正する
    工程、並びに 前記第１の点と第２の点との間で可能な最短のポリラインが求まるまで、前記
    解析、三角形分割及び修正を繰り返し反復実行する工程。
  12. 【請求項１２】 前記ポリラインの始点及び終点が前記多角形メッシュの辺
    以外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する工程の前に、前記ポリラ
    インの前記始点及び終点が前記多角形メッシュの頂点となるように、前記始点及
    び終点が位置する前記多角形表面の各面を三角形分割することを含んでいる請求
    項１１に記載のコンピュータ・プログラム。
  13. 【請求項１３】 前記ポリラインの前記始点及び終点の一方が前記多角形メ
    ッシュの辺以外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する工程の前に、
    前記ポリラインの前記始点及び終点の前記一方が前記多角形メッシュの頂点とな
    るように、前記始点及び終点の前記一方が位置する前記多角形表面の面を三角形
    分割することを含んでいる請求項１１に記載のコンピュータ・プログラム。
  14. 【請求項１４】 前記多角形表面は、地表、前記コンピュータ・グラフィッ
    クス表示装置上の画像及び産業用ＣＡＤ部品から成る群のうち一つの多角形表現
    である請求項１１に記載のコンピュータ・プログラム。
  15. 【請求項１５】 前記多角形表面は、磁気共鳴、計算機式断層写真法及びＸ
    線から成る群のうち一つから得られる医用モダリティ・データ集合から抽出され
    る人体部分の多角形表現である請求項１１に記載のコンピュータ・プログラム。
  16. 【請求項１６】 オペレーティング・システムとグラフィックス支援ライブ
    ラリとを有するコンピュータに用いられ、グラフィックス表示装置上で多角形表
    面上の２点間の最短経路を求めるための製品であって、 該製品は、コンピュータ読み取り可能なプログラム・コードを内部に埋め込ん
    だ記憶媒体を含んでおり、前記プログラム・コードは、 前記表面上に位置していて、前記表面上の第１の点及び第２の点を通るポリラ
    インを設定する工程と、 前記表面を画定する多角形メッシュ上で前記ポリラインを解析して、前記ポリ
    ライン上に位置し且つ前記メッシュの辺上に位置している点を決定する解析工程
    であって、前記メッシュは三角形の形態の多角形面を有する、解析工程と、 前記ポリラインの前記第１及び第２の点を通って、この最初のポリラインより
    も短い長さを有する新たなポリラインを生成するように前記ポリラインを修正す
    る工程と、 前記第１の点と前記第２の点との間で可能な最短のポリラインが求まるまで、
    前記解析、三角形分割及び修正の工程を繰り返し反復実行する工程と、 を前記コンピュータに実行させるように構成されている、製品。
  17. 【請求項１７】 前記ポリラインの始点及び終点が前記多角形メッシュの辺
    以外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する工程の前に、前記ポリラ
    インの前記始点及び終点が前記多角形メッシュの頂点となるように、前記始点及
    び終点が位置する前記多角形表面の各面を三角形分割することを含んでいる請求
    項１６に記載の製品。
  18. 【請求項１８】 前記ポリラインの前記始点及び終点の一方が前記多角形メ
    ッシュの辺以外に位置している場合に、前記ポリラインを修正する工程の前に、
    前記ポリラインの前記始点及び終点の前記一方が前記多角形メッシュの頂点とな
    るように、前記始点及び終点の前記一方が位置する前記多角形表面の面を三角形
    分割することを含んでいる請求項１６に記載の製品。
  19. 【請求項１９】 前記多角形表面は、地表、前記コンピュータ・グラフィッ
    クス表示装置及び産業用ＣＡＤ部品から成る群のうち一つの多角形表現である請
    求項１６に記載の製品。
  20. 【請求項２０】 前記多角形表面は、磁気共鳴、計算機式断層写真法及びＸ
    線から成る群のうち一つから得られる医用モダリティ・データ集合から抽出され
    る人体部分の多角形表現である請求項１６に記載の製品。
JP2001547354A 1999-12-22 2000-12-12 多角形表面上の２点間の最短経路の繰り返し法による決定 Withdrawn JP2003518302A (ja)

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