JP2003141306A

JP2003141306A - 評価システム

Info

Publication number: JP2003141306A
Application number: JP2001333178A
Authority: JP
Inventors: Genichi Taguchi; 玄一田口
Original assignee: OHKEN KK
Current assignee: OHKEN KK
Priority date: 2001-10-30
Filing date: 2001-10-30
Publication date: 2003-05-16

Abstract

(57)【要約】【課題】評価システムで、多重共線性があってもマハラ
ノビスの距離を求める。【解決手段】評価システムのおいて、項目の選択（Ｓ４
０），マハラノビスの距離の計算（Ｓ６０）で、多重共
線性があってもマハラノビスの距離の計算等が行える計
算法を提案している。この計算法は、基準化値との相関
行列Ｒを求めた後、各ｉｊ成分の余因子をＡ _ｉｊとお
く。この余因子から、余因子行列を作成する。余因子行
列の場合には多重共線性があってもよいし、計測項目の
順序も関係しない。この余因子行列を用いて、マハラノ
ビスの距離の計算やＳＮ比の計算を行う。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、評価システムに関
するものであり、特に、従来からあるＭＴＳ法を改良し
た評価システムに関するものである。

【０００２】

【技術的背景】評価方法として、従来からＭＴＳ法が知
られている。ＭＴＳ法とは、ある集団に対する多次元的
な情報を総合して、集団全体に対してひとつの距離を導
入し、パターンを認識することにより評価を行ってい
る。パターンの中には音声の波、手書き文字などの関数
空間からのベクトル量、健康診断、経済情報などさまざ
まなデータも含まれる。その考え方は多次元の空間の中
に単位空間を定義し、基準点と単位量から尺度を求める
方法といえる。求めた尺度の信頼性は単位空間外の対象
に対してＳＮ比を適用することによって明らかにでき
る。

【０００３】ＭＴＳ法の基礎は次の二つである。単位空間としてのマハラノビス空間の選択計測項目の選択前者は、できるだけ均一な集団を定義することである。
健康診断に適用する場合であれば、健康人の集団が単位
空間であり、企業診断の場合ならば標準的な企業の集団
が単位空間となる。今までの方法が不十分であったの
は、病気の診断に病人を研究したり、企業診断によい企
業と悪い企業の差を表現する判別分析や回帰分析を適用
してきたからである。後者の計測項目の選択に関して
は、基本的には専門家の自由であるが、不適切な計測項
目を選択するとＭＴＳ法の精度が悪化することになる。
ＭＴＳ法は、多次元の空間にひとつの距離を導入し、尺
度を作る方法であるから、その尺度の精度は真値の明ら
かな対象に対してマハラノビスの距離を求め、両者が比
例関係にあることをＳＮ比によって明らかにしておくこ
とが重要である。

【０００４】以下に、ＭＴＳ法を詳しく説明する。ＭＴ
Ｓ法の解析の手順は以下の通りである。（１）目的である評価測度に対して必要と考えられる計
測特性の項目を決める。（２）多次元空間の評価測度の基準点と単位量を決める
ための基準空間（マハラノビス空間）を決める。このた
め、基準空間に属する十分な量のデータを収集する。数
百セット以上が望ましい。基準空間とは、正常と考えら
れるデータで構成された空間である。（３）基準空間のデータを用いて、各項目に対する平均
値のベクトル、標準偏差のベクトルと相関行列を求め
る。基準空間の平均値、標準偏差のベクトルと、相関行
列の逆行列の成分がデータベースである。（５）評価対象に対して、基準空間内でのマハラノビス
の距離の２乗Ｄ^２の平方根Ｄを求める。評価対象に対し
て、マハラノビスの距離の２乗Ｄ^２の平方根が１近傍で
あれば、正常であり、１より大きくなれば、異常である
と考えられる。異常と正常のしきい値は、許容差設計の
方法である経済性を考慮して求める。この時に、例え
ば、評価結果が数値として予め分かっている対象に対し
てマハラノビスの距離を求め、評価結果とマハラノビス
の距離の関係を定めることもできる。評価結果が数値で
はなく、分類として求まっている場合も、分類とマハラ
ノビスの距離との関係を定めることもできる。

【０００５】この基準空間を作成するときに必要な計測
項目に関し、精度とコストダウンのために、計測項目の
評価を行うことができる。以下に、これについて説明す
る。（１）テスト対象に対して、計測項目より大きな主とし
て２水準系の直交表を利用し・第一水準その計測項目を用いる・第二水準その計測項目を用いないとして割り付ける。直交表のそれぞれの条件でマハラノ
ビス空間を作り、テスト対象の数値や分類のデータでＳ
Ｎ比を求め、要因効果図を作成する。（２）要因効果図より効果があると考えられる計測項目
を選択し、最適条件を求める。最適条件に対して、全項
目を採用した場合とのＳＮ比の差を求め、確認実験でチ
ェックする。これにより、最適条件に対する計測項目の選択ができ
る。

【０００６】上述のＭＴＳ法における解析の計算方法
を、以下に詳しく説明する。基準化値と相関行列を求め
る。多数の計測項目から得られたデータＹ_ｉｊは、デー
タの項目数（ｉ＝１〜ｋ）とデータのセット数（ｐ＝１
〜ｎ）の組み合わせからなっている。まず、Ｙ_ｉｊより
平均値ｍ_ｉと標準偏差σ_ｉを計算し、さらに、このｍ_ｉ
とσ _ｉを利用して基準化値ｙ_ｉｐを次式により求める。

【数６】次に、基準化値ｙ_ｉｊの相関行列Ｒを求める。

【数７】ここに、

【数８】である。相関行列Ｒの逆行列Ｒ^−１の成分をａ_ｉｊと
し、逆行列をＡとすれば、

【数９】となる。相関行列Ｒの逆行列の要素ａ_ｉｊを利用し、マ
ハラノビスの距離の２乗Ｄ^２を、次式により求める。

【数１０】このマハラノビスの距離の２乗Ｄ^２の平方根Ｄにより評
価を行うことができる。なお、ＭＴＳ法に関しては、例
えば、田口玄一「品質工学の数理」（日本規格協会１
９９９年発行）等を参照されたい。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】上述のように、従来の
ＭＴＳ法は、逆行列を利用してマハラノビス距離を求め
て評価する方法である。このＭＴＳ法の問題点は、相関
行列の逆行列を求めるに、多重共線性があると求まらな
いことであり、求まっても信頼性の点で十分でないこと
がある。なお、この多重共線性とは、互いに高い相関が
存在することである。この様に、従来のＭＴＳ法では、
マハラノビスの距離を計算するのに相関行列の行列式を
利用するので、多重共線性があると行列式の値が０にな
るため、マハラノビスの距離が求まらないという問題が
あった。本発明の目的は、上述のＭＴＳ法を改良し、上
記問題点を克服するものである。

【０００８】

【課題を解決するための手段】上記の目的を達成するた
めに、本発明は、マハラノビスの距離を用いた評価シス
テムであって、基準化値ｙ_ｉｐ，平均値ｍ_ｉ，および標
準偏差σ_ｉ（ｉ，ｊ＝１，２，・・・，ｋ；ｐ＝１，
２，・・・，ｎ）を含む基準空間データを格納した基準
空間記憶手段と、評価対象データ（Ｘ_ｉ）を格納した評
価対象記憶手段と、前記基準空間記憶手段からの基準空
間データと、前記評価対象記憶手段からの評価対象デー
タとを用いて、マハラノビスの距離を計算するマハラノ
ビス距離計算手段とを備え、前記マハラノビス距離計算
手段は、基準化値ｙ_ｉｐの相関行列Ｒ

【数１１】を、

【数１２】で求め、各ｉｊ成分の余因子Ａ_ｉｊの行列Ａ

【数１３】を求めて、マハラノビスの距離の２乗Ｄ^２を

【数１４】で求めることを特徴とする。

【０００９】さらに、評価の分かっている項目評価デー
タを用いて、測定項目を評価する項目評価手段を備える
ことができ、該項目評価手段は、ＳＮ比ηを、評価結果
をＭ_ｉとして、

【数１５】で求めることができる。上述の評価システムをコンピュ
ータ・システムに構築させることができるプログラム
や、そのプログラムを格納した記録媒体も本発明であ
る。

【００１０】

【発明の実施の形態】以下、本発明の実施形態を説明す
る。本発明は、計測項目や基準空間の設定の仕方は従来
の方法と同様であるが、上述の問題点を克服するため
に、新しい計算法を導入している。

【００１１】まず、実施形態のパソコン等に実装した評
価システムについて、図１を用いて説明する。図１は、
評価システムを用いてＭＴＳ法による評価を行うための
手順を示したフローチャートである。この評価システム
を用いて、ＭＴＳ法により評価を行う場合、まず、基準
空間に属するデータを評価システムに設定する（Ｓ１
０）。そして、設定したデータを用いて基準空間の計算
を行う（Ｓ２０）。ここまでを、この評価システムの表
示画面である図２〜図９を用いて詳しく説明する。

【００１２】図２は、評価システムに、基準空間に属す
るデータを設定して、それを表示した画面１００を示し
ている。この画面１００では、Ａ〜Ｊまでの項目１４０
で測定した２０個のデータ１５０を設定している。この
データ１５０を用いて基準空間の計算をシステムが行う
ように指示するために、ツールバーに表示されている
「基準空間」１１２を例えば、マウス・カーソルを合わ
せてクリックする。すると、図３に示した画面２１０が
表示される。ここで、従来のＭＴＳ法での計算法である
逆行列計算法と、新しいＭＴＳ法での計算法である余因
子行列計算法とをオプション・ボタン２１２，２１４で
選択することができる。新しい計算法である余因子行列
計算法は後で詳しく説明するので、ここでは、逆行列計
算法のボタン２１２を選択する。そして、「次へ」ボタ
ン２１６をクリックすると、図４のテキストボックスの
画面２２０が表示される。画面２２０では、計算対象で
ある基準空間のデータをテキストボックス２２２内に指
定する。図４ではテキストボックス２２２に、図２に表
示されているシート名１１０である「基準空間データ」
を指定している。その後、「次へ」ボタン２２４をクリ
ックする。

【００１３】図６の画面１００に示すように、データの
開始位置にセル・カーソルを移動するように、図５に示
されているカーソル移動ボタン２３２をクリックする。
データの開始位置１６０にセル・カーソルを合わせてか
ら、「次へ」ボタン２３４をクリックすると、図７のテ
キストボックス２４０が表示される。図７の入力画面２
４０では、計算結果のデータをどこに出力するかを指定
する。図７では、平均値、標準偏差、基準化値等の出力
先を指定するための「基準空間」テキストボックス２４
２に「基準空間」と指定し、マハラノビスの距離の出力
先を指定するための「距離」テキストボックス２４３に
「基準空間距離」を指定している。「次へ」ボタン２４
４をクリックすると、これまで指定したことを確認する
ためのボックス２５０が表示される。訂正する場合は、
「もどる」ボタン２５６をクリックして、訂正する所ま
で戻って訂正することができる。計算を開始する場合
は、「計算開始」ボタン２５４をクリックする。これ
で、図６に示した開始位置からのデータを用いて、平均
値、標準偏差、基準化値の計算が行われるとともに、マ
ハラノビスの距離が計算され、指定された所に出力され
る。図９は、計算された平均値、標準偏差、基準化値の
シート３００（シート名：基準空間）を表示したところ
を示している。このシート３００では、項目別の平均値
３３０、標準偏差３４０と、それぞれの基準化値３５０
である。

【００１４】これで、「基準空間」に格納している計算
結果であるデータを用いて、他のデータに対してマハラ
ノビスの距離を計算し、例えば、その値が１に近いかで
評価することが可能である（図１のＳ５０およびＳ６
０）。この例を図１０および図１１で説明する。図１０
は、項目Ａ〜Ｋに対して測定した５つのデータを設定し
た場合を示している。図１０において、画面４００に、
データ４２０を設定して（Ｓ５０）、「距離」ボタン４
１４をクリックする。前に述べたと同様に、必要な事項
（例えば、距離計算を行うシート名、基準空間のシート
名、出力結果シート名等）をそれぞれのボックスに指定
して、確認のボックスで、「計算開始」ボタンをクリッ
クする。これで、設定したデータのマハラノビスの距離
が計算される（Ｓ６０）。これを図１１に示す。図１１
において、計算結果画面６００に、マハラノビスの距離
の計算結果６３０とそれの分布６４０が表示されてい
る。

【００１５】さて、評価結果の分かっているデータを用
いて、計算で求めたマハラノビスの距離と評価結果との
関係を求めることや、ＳＮ比による測定項目の評価もで
きる。評価システムでは、計測項目が多くても構わない
が、中には無駄な項目も含まれている場合もある。無駄
な項目があると識別の精度が落ちたり、多重共線性の問
題が生じたりする。また、計測コストにも影響するの
で、必要のない計測の項目は減らすことが望ましい。こ
のために、この評価システムを用いて、項目の評価を行
うことができる（Ｓ３０，Ｓ４０参照）。なお、ＳＮ比
の計算法については、前掲の田口玄一「品質工学の数
理」（日本規格協会１９９９年発行）等を参照された
い。この項目評価を行うためには、図１０と同様に、項
目評価のためのデータを設定して（Ｓ３０）、「項目選
択」ボタン４１６をクリックすることで、項目評価のた
めのＳＮ比の計算を行う（Ｓ４０）。

【００１６】上述のマハラノビスの距離の計算におい
て、評価システムでは、従来からの逆行列法と、新しい
計算法である余因子行列法とを選択できる（図３参
照）。さて、本発明で導入した計算方法（余因子行列
法）をここで詳しく説明する。この計算方法は、上述の
式（２）により相関行列Ｒを求めた後、各ｉｊ成分の余
因子をＡ_ｉｊとおく。すなわち、例えばＡ₁₁は、以下の
通りである。

【数１６】一般に、余因子Ａ_ｉｊは、相関行列において、ｉ行、ｊ
列を除いた行列の行列式の値に（−１）^ｉ＋ｊを掛けた
ものである。余因子は行列式の値であるから、どんな場
合であっても計算することは可能である。余因子Ａ_ｉｊ
で構成される行列は

【数１７】となる。式（６）の余因子行列の場合には多重共線性が
あってもよいし、計測項目の順序も関係しない。従来の
ＭＴＳ法では、マハラノビスの距離を計算するのに相関
行列の行列式を利用するため、行列式の値が０になる
と、マハラノビスの距離が求まらないという問題があっ
た。しかし、新しい方法では行列式の値を使わないた
め、０になっても計算が可能である。新しい方法により
求めた距離を、一般化されたマハラノビスの距離と呼ぶ
ことにする。一般化されたマハラノビスの距離Ｄとおけ
ば、評価対象データ（Ｘ_ｉ）に対するマハラノビスの距
離の２乗Ｄ^２は、以下の式により求めることができる。

【数１８】この計算で求めた値の平方根は、基準空間で用いた対象
に対して、平均をとっても、一般には１になるとは限ら
ない。

【００１７】本発明においても、ＭＴＳ法と同様に、Ｓ
Ｎ比による測定項目の評価を行うことができる。この場
合、計測対象の評価結果の数値が明らかな場合には、そ
の値をＭ_ｉ、システムによる評価値をマハラノビスの距
離の２乗Ｄ_ｉ ^２として、ＳＮ比ηは、以下の式によって
求める。分類の場合のＳＮ比の求め方も同様である。

【数１９】

【００１８】さて、項目間の相関が高い場合は、従来の
ＭＴＳ法では、計算することができない。この具体的な
例を図１２に示す。図１２に示した例では、項目間の相
関が高くなるようにするため、項目１と項目１０を同一
データとしてある例である（網掛け部分参照）。この様
な相関性が高い項目がある場合は、上述の逆行列法では
マハラノビスの距離を計算することができない。図１２
のサンプルデータに対する相関行列を図１３に示す。図
１３において、同一データである項目１と１０の相関係
数は１．０００００（網掛け参照）となる。項目１と項
目１０の相関係数が１．０００００となるため、相関行
列の行列式の値はゼロとなり、マハラノビスの距離を求
めるために必要な逆行列が求まらない。そのため、解析
はこれ以上進めることはできない。また、仮に逆行列が
求まったとしても、その結果は信用できない。新ＭＴＳ
法は、従来方法では求まらないような強い多重共線性が
あっても、行列式を使用しないために、マハラノビス距
離を求めることができる。したがって、項目間の相関係
数が１．０００００になるような図１２のデータの場合
であっても解析が可能となる。項目間の相関係数が１．
０００００になる図１２のデータについて、新ＭＴＳ法
で求めたマハラノビスの距離を図１４に示す。

【００１９】新しいＭＴＳ法は、このような相関行列の
逆行列が計算できないような、多重共線性が強い場合に
も使えるため一般性が大きい。なお、従来のＭＴＳ法で
も計算可能なデータの場合には、両者は比例関係にな
る。多重共線性がない、同じデータに対して、従来のＭ
ＴＳ法と新ＭＴＳ法により計算した結果の比較を、図１
５に示す。図１５に示すとおり、計算した結果の値は異
なるが、両者の結果は完全に対応する。

【００２０】さて、従来のＭＴＳ法は、多数の計測項目
から構成される、多次元の空間に物差しを提供する計測
方法である。従来のＭＴＳ法では、計測項目間に強い相
関関係がある場合には解析が不可能になることがあった
が、新たに提案したＭＴＳ法においてはこうした心配は
ない。また、複数の計測項目間で生じる多重共線性の問
題に対しても、同様に対処が可能である。特に新ＭＴＳ
法に、多次元情報の分割した部分に距離を導入し、それ
を要素とする高次の距離の利用に有用となる。多重共線
性が多発すると従来のＭＴＳ法では使用できないことが
多かった。

【００２１】この新しいＭＴＳ法による評価システムを
適用することが可能な事例にはつぎのものが考えられ
る。（１）センシング・システムに適用した事例・マハラノビスの距離による多次元情報システムの最適
化−火災報知システムの最適化・マハラノビスの距離を適用した運転事故防止システム
に関する研究・手書き文宇認識におけるマハラノビスの距離による判
定の研究・ＭＴＳ法の将来宇宙機用故障診断への適用・マハラノビスの距離を用いた衝突防止センシング・シ
ステムの研究（２）人間工学的な適用例・マハラノビスの距離によるヒト見やすい７セグメント
数字形状の検討・測定者の能カ評価へのマハラノビスの距離の応用・マハラノビスの距離によるジャケットの着心地の検討・マハラノビス・タグチ・システム法を適用した外観検
査・マハラノビスの距離を用いた米ドル紙幣の認識・マハラノビスの距離による赤外線吸収スペクトルのパ
ターン認識・マハラノビスの距離によるウェハー歩留まり予測・コンピュータ・ソフトウェア作成能カのＭＴＳ法によ
る評価の可能性の研究・ＭＴＳ法による測定者の測定能カの予測（３）診断・検査に適用した事例・マハラノビスの距離を応用した健康診断の判定・マハラノビスの距離を応用した脳疾患患者の排尿自立
達成の予測・マハラノビスの距離を用いた健康診断における欠測値
対策・はんだ自動外観検査へのマハラノビスの距離の適用・健康診断データを用いたＭＴＳ法による予測の研究・総合的な健康診断の信頼性向上への提言・ＭＴＳによる処理液診断システムの構築・マハラノビスの距離を用いたマネージメント・ゲーム
の経営診断

【００２２】

【発明の効果】上述するように、本発明の構成により、
相関の高いデータを用いてマハラノビスの距離を計算す
ることができ、マハラノビスの距離を応用した評価を行
うことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】評価システムによる評価の手順を説明するフロ
ーチャートである。

【図２】基準空間のデータを設定した画面を示す図であ
る。

【図３】基準空間を作成するときの設定を説明する図で
ある。

【図４】基準空間を作成するときの設定を説明する図で
ある。

【図５】基準空間を作成するときの設定を説明する図で
ある。

【図６】基準空間を作成するときの設定を説明する図で
ある。

【図７】基準空間を作成するときの設定を説明する図で
ある。

【図８】基準空間を作成するときの設定の確認を示す図
である。

【図９】基準空間を計算した結果を示す図である。

【図１０】評価対象データを設定した画面を示す図であ
る。

【図１１】評価対象データに対してマハラノビスの距離
を計算した結果を示す図である。

【図１２】従来の計算法と新しい計算法とを比較するた
めのデータ例を示す図である。

【図１３】データ例の各項目間の相関を示す図である。

【図１４】データ例に対してマハラノビスの距離を計算
した結果を示す図である。

【図１５】従来の計算法と新しい計算法との関係を示す
図である。

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】マハラノビスの距離を用いた評価システム
であって、基準化値ｙ_ｉｐ，平均値ｍ_ｉ，および標準偏差σ
_ｉ（ｉ，ｊ＝１，２，・・・，ｋ；ｐ＝１，２，・・
・，ｎ）を含む基準空間データを格納した基準空間記憶
手段と、評価対象データ（Ｘ_ｉ）を格納した評価対象記憶手段
と、前記基準空間記憶手段からの基準空間データと、前記評
価対象記憶手段からの評価対象データとを用いて、マハ
ラノビスの距離を計算するマハラノビス距離計算手段と
を備え、前記マハラノビス距離計算手段は、基準化値ｙ_ｉｐの相
関行列Ｒ【数１】を、【数２】で求め、各ｉｊ成分の余因子Ａ_ｉｊの行列Ａ【数３】を求めて、マハラノビスの距離の２乗Ｄ^２を【数４】で求めることを特徴とする評価システム。
【請求項２】請求項１に記載の評価システムにおいて、さらに、評価の分かっている項目評価データを用いて、
測定項目を評価する項目評価手段を備え、該項目評価手段は、ＳＮ比ηを、評価結果をＭ_ｉとし
て、【数５】で求めることを特徴とする評価システム。
【請求項３】請求項１又は２に記載の評価システムをコ
ンピュータ・システムに構築させることができるプログ
ラムを格納した記録媒体。
【請求項４】請求項１又は２に記載の評価システムをコ
ンピュータ・システムに構築させることができるプログ
ラム。