JP2002041496A

JP2002041496A - コンピュータ実施される方法、計算装置およびコンピュータ・プログラム製品

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Publication number: JP2002041496A
Application number: JP2001185339A
Authority: JP
Inventors: Kumar Bela Rajendra; ラジェンドラ・クマール・ベラ
Original assignee: International Business Machines Corp
Current assignee: International Business Machines Corp
Priority date: 2000-06-20
Filing date: 2001-06-19
Publication date: 2002-02-08
Anticipated expiration: 2021-06-19
Also published as: JP3928921B2; US7836112B2; US7043510B1; US20060015550A1

Abstract

(57)【要約】【課題】２組の連立一次代数方程式の同値を判定す
る、コンピュータ実施される方法（２００）を提供する
こと。【解決手段】前記方程式のそれぞれは、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ
_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_iiｘ_n＝ｂ_iという形であり、こ
こで、ｘ_jは未知数、ｅ_ijは係数、ｂ_iは量であり、この
係数および量によって組内の未知数の間の関係が定義さ
れる。係数および量は、既知の代数式である。ｌ_iiおよ
びｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝が、その方程式
がそこから導出された組の１つを示すものとして、前記
方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_kの形にな
るまで、連立一次代数方程式の組のそれぞれから未知数
を繰り返して消去する（２５０ないし２８０）。未知数
のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂および
（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁を比較する（３００）。すべての
未知数について積が一致する（３１０）場合に限って、
２組の連立一次代数方程式が同値である（３１２）。上
の方法（２００）を実行する装置（１００）も提供す
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、コンピュータ実施
可能な方法に関し、具体的には、２組の連立一次代数方
程式が同値であるかどうかを判定する方法および装置に
関する。

【０００２】

【従来の技術】多くの応用分野で、係数行列に数値要素
だけが含まれる連立一次代数方程式（ＳＬＡＥ、Simult
aneous Linear Algebraic Equations）の１つまたは複
数の系を解く必要が生じる。そのような応用分野には、
工学およびシミュレーションのコンピュータ・コードが
含まれる。ＳＬＡＥの解は、通常は、周知のガウスの消
去法を使用して得られる。したがって、以前の方法で
は、通常は、２つのそのようなＳＬＡＥ系Ｓ₁およびＳ₂
が解かれ、その解が比較される。しかし、そのような方
法は、ＳＬＡＥの一方または両方の条件が不良である
か、計算に使用される数値精度が十分に高くない場合
に、必ずしも機能しない。

【０００３】さらに、そのような方法は、一般に、係数
行列要素が代数式であるＳＬＡＥの組、および、解が一
般に代数形式であるＳＬＡＥの組を解くことに適合され
ていない。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】本発明の目的は、２組
の連立一次代数方程式が同値であるかどうかを判定する
方法、装置およびコンピュータ・プログラム製品を提供
することである。

【０００５】

【課題を解決するための手段】本発明は、組のそれぞれ
に複数の代数方程式が含まれる、２組の連立一次代数方
程式（ＳＬＥＡ）の同値を判定する、コンピュータ実施
される方法を提供する。この方法には、各ＳＬＡＥを標
準的な形に約すステップと、同値が存在するかどうかを
判定するためにＳＬＡＥを比較するステップとが含まれ
る。

【０００６】本発明は、さらに、連立一次代数方程式
（ＳＬＥＡ）の第１組と第２組の同値を判定する、コン
ピュータ実施される方法であって、各ＳＬＡＥを２部分
の標準的な形にするために、ＳＬＡＥの組のそれぞれか
ら未知数を繰り返して消去するステップと、一方の標準
的な形の方程式の一部ともう１つの標準的な形の方程式
の別の部分の一部との積を形成するステップと、標準的
な形の方程式の他の部分ともう１つの標準的な形の方程
式の他の部分との積を形成するステップと、数学的同値
についてめいめいの積を比較するステップとを含む方法
を提供する。

【０００７】さらに、連立一次代数方程式の第１組およ
び第２組の同値を判定する、コンピュータ実施される方
法であって、ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係数、ｂ_iが量である
ものとして、方程式のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形である、コンピュータ実施される方法が提供され
る。係数および量は、既知の代数式である。この方法に
は、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝
が、その方程式がそこから導出された組の１つを示すも
のとして、方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の組のそれぞれか
ら未知数を繰り返して消去するステップと、未知数のそ
れぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂と（ｌ_ii）₂＊
（ｒ_i）₁とを比較するステップであって、これらの積が
すべての未知数について一致する場合に、連立一次代数
方程式の第１組および第２組が同値である、比較するス
テップとが含まれる。

【０００８】本発明は、さらに、連立一次代数方程式の
第１組と第２組との同値を判定する計算装置であって、
ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係数、ｂ_iが量であり、係数および
量が既知の代数方程式であるものとして、方程式のそれ
ぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形である、計算装置を開示する。この装置には、ｌ_ii
およびｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝が、その方
程式がそこから導出された組の１つを示すものとして、
方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の組のそれぞれか
ら未知数を繰り返して消去する手段と、未知数のそれぞ
れについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂と（ｌ_ii）₂＊（ｒ
_i）₁とを比較する手段であって、これらの積がすべての
未知数について一致する場合に、連立一次代数方程式の
第１組および第２組が同値である、比較する手段とが含
まれる。

【０００９】本発明は、さらに、連立一次代数方程式の
第１組および第２組の同値を判定する、記憶媒体によっ
て担持されるコンピュータ・プログラム製品であって、
ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係数、ｂ_iが量であり、係数および
量が、既知の代数式であるものとして、方程式のそれぞ
れが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形である、コンピュータ・プログラム製品を開示す
る。このコンピュータ・プログラム製品には、ｌ_iiおよ
びｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝が、その方程式
がそこから導出された組の１つを示すものとして、方程
式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の組のそれぞれか
ら未知数を繰り返して消去するプログラム要素と、未知
数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂と（ｌ
_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較するプログラム要素であっ
て、これらの積がすべての未知数について一致する場合
に、連立一次代数方程式の第１組および第２組が同値で
ある、比較するプログラム要素とが含まれる。

【００１０】この方法には、さらに、代数式を、文字列
内で順次配置された１つまたは複数のトークン対の形に
再計算するステップであって、トークン対のそれぞれ
に、演算子とそれに続くオペランドが含まれる、再計算
するステップと、既約式を得るために、所定の簡約化規
則の組に従って文字列を約するステップとが含まれるこ
とが好ましい。連立一次代数方程式の組のそれぞれから
の未知数の消去は、所定の動作の組に従って約された文
字列に対して実行される。

【００１１】さらに、簡約化規則に、トークン対をサブ
グループに配置するステップと、配置されたサブグルー
プのオペランド・トークンを順番に配置するステップ
と、約されたサブグループを形成するために、１つまた
は複数の定数を整理し、反対の効果の変数を消去するこ
とによって、順序付けられたオペランドを約するステッ
プと、約された文字列を作るために、類似するサブグル
ープの１つまたは複数の倍数インスタンスを整理するス
テップとを含めることができる。

【００１２】

【発明の実施の形態】本発明の好ましい実施形態を実践
することができる汎用のコンピュータ・システム１００
を、図１に示す。まずコンピュータ・システム１００を
説明し、その後、より具体的に、２組の連立一次代数方
程式が同値であるかどうかを判定する方法を説明する。

【００１３】この方法は、コンピュータ・システム１０
０内で実行されるアプリケーション・プログラムなどの
ソフトウェアとして実施することができる。具体的に言
うと、２組の連立一次代数方程式が同値であるかどうか
を判定する方法のステップは、コンピュータ・システム
１００によって実行されるソフトウェア内の命令によっ
て実施される。このソフトウェアは、たとえば下で説明
する記憶装置を含む、コンピュータ可読媒体に保管する
ことができる。ソフトウェアは、コンピュータ可読媒体
からコンピュータ・システム１００にロードされ、その
後、コンピュータ・システム１００によって実行され
る。そのようなソフトウェアまたはコンピュータ・プロ
グラムをその上に記録されたコンピュータ可読媒体が、
コンピュータ・プログラム製品である。コンピュータで
のコンピュータ・プログラム製品の使用によって、本発
明の実施形態による２組の連立一次代数方程式が同値で
あるかどうかを判定する有利な装置がもたらされること
が好ましい。

【００１４】コンピュータ・システム１００には、コン
ピュータ・モジュール１０１と、キーボード１０２およ
びマウス１０３などの入力装置と、プリンタ１１５およ
びディスプレイ装置１１４を含む出力装置が含まれる。
コンピュータ・モジュール１０１には、通常は、少なく
とも１つのプロセッサ１０５と、たとえば半導体のラン
ダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）および読取専用メモ
リ（ＲＯＭ）から形成されるメモリ１０６と、ビデオ・
インターフェース１０７、プリンタ１１５用の入出力イ
ンターフェース、およびキーボード１０２およびマウス
１０３用の入出力インターフェース１１３を含む入出力
（Ｉ／Ｏ）インターフェースとが含まれる。記憶装置１
０９が設けられ、これには、通常は、ハード・ディスク
１１０およびフロッピ・ディスク・ドライブ１１１が含
まれる。ＣＤ−ＲＯＭドライブ（図示せず）を、データ
の不揮発性の供給源として設けることができる。コンピ
ュータ・モジュール１０１のプロセッサ１０５、メモリ
１０６、ビデオ・インターフェース１０７、記憶装置１
０９、ハード・ディスク１１０、フロッピ・ディスク・
ドライブ１１１、および入出力インターフェース１１３
は、通常は、相互接続されたバス１０４を介して、当業
者に既知のコンピュータ・システム１００の動作の従来
のモードをもたらす形で通信する。

【００１５】通常、好ましい実施形他のアプリケーショ
ン・プログラムは、ハード・ディスク１１０に常駐し、
プロセッサ１０５によって読み取られ、その実行の際に
制御される。プログラムの中間記憶を、おそらくはハー
ド・ディスク１１０と共同して、半導体メモリ１０６を
使用して達成することができる。いくつかの場合に、ア
プリケーション・プログラムを、ＣＤ−ＲＯＭまたはフ
ロッピ・ディスクにエンコードしてユーザに供給し、Ｃ
Ｄ−ＲＯＭドライブ（図示せず）またはフロッピ・ディ
スク・ドライブ１１１を介して読み取ることができ、そ
の代わりに、モデム装置（図示せず）を介してネットワ
ーク（図示せず）からユーザが読み取ることができる。
さらに、ソフトウェアは、磁気テープ、ＲＯＭまたは集
積回路、光磁気ディスク、コンピュータ・モジュール１
０１と別の装置の間の無線伝送チャネルまたは赤外線伝
送チャネル、ＰＣＭＣＩＡカードなどのコンピュータ可
読カード、電子メール送信およびウェブサイトなどに記
録された情報を含むインターネットおよびイントラネッ
トを含む他のコンピュータ可読媒体からコンピュータ・
システム１００にロードすることもできる。前述は、関
連するコンピュータ可読媒体の例示にすぎない。他のコ
ンピュータ可読媒体を、本発明の範囲および趣旨から逸
脱せずに実践することができる。

【００１６】本発明のハードウェア環境を説明したの
で、２組の連立一次代数方程式が同値であるかどうかを
判定する方法を説明する。

【００１７】方法の広義の概要Ｓが、次式によって与えられる連立一次代数方程式（Ｓ
ＬＡＥ）の系を表すものとする。ｅ₁₁ｘ₁＋ｅ₁₂ｘ₂＋ｅ₁₃ｘ₃＋…＋ｅ_1nｘ_n＝ｂ₁ ｅ₂₁ｘ₁＋ｅ₂₂ｘ₂＋ｅ₂₃ｘ₃＋…＋ｅ_2nｘ_n＝ｂ₂ … … … … ｅ_n1ｘ₁＋ｅ_n2ｘ₂＋ｅ_n3ｘ₃＋…＋ｅ_nnｘ_n＝ｂ_n ここで、ｎ個の未知数｛ｘ₁、ｘ₂、ｘ₃、…、ｘ_n｝が、
ｎ個の方程式によって関連し、係数ｅ_ij（ｉ＝１、２、
…、ｎおよびｊ＝１、２、…、ｎ）が、既知の代数式で
あり、右辺の量ｂ_i、ｉ＝１、２、…、ｎも代数式であ
る。

【００１８】そのような２つの系Ｓ₁およびＳ₂が同値す
なわち、めいめいの解が互いに同一であるかどうかを判
定する方法は、おおまかに次の２つの部分を有する。（１）下記の型の標準的な形へのＳＬＡＥの各系Ｓの既
約化。ｌ₁₁ｘ₁＝ｒ₁ ｌ₂₂ｘ₂＝ｒ₂ ｌ₃₃ｘ₃＝ｒ₃ … … ｌ_nnｘ_n＝ｒ_n ここで、ｌ_iiおよびｒ_iは代数式である。（２）２組のＳＬＡＥの標準的な形での比較。

【００１９】ＳＬＡＥＳ₁およびＳ₂の係数ｅ_ijおよび
量ｂ_iが、除算演算子を有しないと仮定する。望ましく
ない除算演算子は、影響される量に適当な係数を掛ける
ことによって、ＳＬＡＥＳ₁およびＳ₂から消去するこ
とができる。これは、交換可能な演算子でない除算演算
子に関連するオペランドの処理の複雑さを減らすために
行われる。

【００２０】既約式係数および量を式として記述することができ、係数およ
び量の項には定数および変数を含めることができる。好
ましい実施形態では、２つの式の間の比較を容易にする
ために、下で説明するように、式の既約形という概念を
使用した。既約式は、式がそれに変換される標準形であ
る。

【００２１】変換される式が、構文的に正しく、空白を
含まないことが、先験的に仮定される。好ましい実施形
態では、変数が、その構成において、小文字の英字、下
線文字、および数字に制限され、変数が、数字から始ま
ってはならず、下線で終わってはならない。これらの構
成規則が満たされない場合には、影響を受ける変数を、
構成規則に従う代替であるが別個の変数にマッピングす
る（別名を割り当てる）ことができ、これらの新しい変
数が、その代わりに使用される。

【００２２】この実施形態で採用された規則は、正整数
のべきである係数ｅ_ijおよび量ｂ_iの変数を、変数の掛
け算として書き出すことである。したがって、たとえば
ａⁿは、ａ＊ａ＊…＊ａになる。ここで、ａはこの積に
ｎ回現れる。

【００２３】所与の式を既約式に変換するために、式
を、まず次の形にする。＜単項演算子＞＜オペランド＞＜演算子＞＜オペランド
＞…＜演算子＞＜オペランド＞ここで、単項演算子は、＋（プラス）または−（マイナ
ス）のいずれかであり、各演算子は、＋（加算）、−
（減算）、または＊（乗算）の１つである。式が単項演
算子から始まらない場合には、単項演算子＋（プラス）
を式の先頭に挿入する。たとえばａ＋ｂ＊ｃ−ｄは、＋ａ＋ｂ＊ｃ−ｄになる。

【００２４】特に、括弧がないことに留意されたい。括
弧が式中に存在する場合には、２つの括弧で囲まれた係
数を掛ける、余分な括弧を無視するなど、括弧を除去す
るのに必要な演算を実行することによって括弧を除去し
て、所与の式を上の形にしなければならない。

【００２５】次に、すべての＋（加算）演算子は、文字
列＋１＊によって置換され、その結果、＋が＋１＊にな
る。同様に、すべての−（減算）演算子は、文字列−１
＊によって置換され、その結果、−が−１＊になる。し
たがって、たとえば＋ａは、＋１＊ａになり−ａ＊ｂ
は、−１＊ａ＊ｂになる。

【００２６】最後に、定数（前のステップで導入される
１を含む）であるオペランドは、次のｅ形式に変換され
る。 ”．［符号なし数］ｅ［ｅ符号］［符号なし指数］” ここで、［符号なし数］は、数字だけを含むｎ桁の数で
あり、ｎは、０より大きいプレフィックスト整数であ
る。［ｅ符号］は、指数の符号であり、プラスの場合は
＞、マイナスの場合は＜になる。［符号なし指数］は、
数字だけを含むｍ桁の数であり、ｍは、０より大きいプ
レフィックスト整数である。

【００２７】したがって、たとえば、２５＝０．２５＊
１０²は、．２５００００ｅ＞０２になり、０．０２５
＝０．２５＊１０^-1は、．２５００００ｅ＜０１にな
る。ここでは、ｎ＝６、ｍ＝２であると仮定する。すべ
ての定数が、ｅ形式では一定の長さｍ＋ｎ＋３文字の文
字列によって表されることに留意されたい。ここで、ｅ
［ｅ符号］［符号なし指数］は、１０の［ｅ符号］［符
号なし指数］乗を表し、実際の定数を得るためには．
［符号なし数］によって表される数をかけなければなら
ない。

【００２８】式には、定数である少なくとも１つのオペ
ランドが含まれることになる。各式は、１つまたは複数
の項を有し、各項は、次の形を有する。＜単項演算子＞＜オペランド＞＜＊＞＜オペランド＞…
＜＊＞＜オペランド＞ここで、単項演算子は、＋（プラス）または−（マイナ
ス）であり、２つの連続するオペランドの間に、乗算演
算子＊がある。項を識別した後に、各定数の［ｅ符号］
を、＜または＞から−または＋に復元する。

【００２９】各項では、オペランドが、そのＡＳＣＩＩ
（情報交換用米国標準コード）値に従って、昇順でソー
ト（再配置）される。乗算演算子が交換可能な演算子で
あり、したがって、オペランドの交換が完全に許容可能
であるから、これは項に影響しない。定数であるオペラ
ンドは、すべてが項の先頭に集められ、その位置で、オ
ペランドを簡単に識別でき、単一の定数によって置換す
ることができる。したがって、たとえば、＋．１０００００ｅ＋０１＊ａ＊ｂ＊．５０００００ｅ
＋００は、オペランドを昇順で配置した後に、＋．１０００００ｅ＋０１＊．５０００００ｅ＋００＊
ａ＊ｂになり、定数を整理した後に、＋．５０００００ｅ＋００＊ａ＊ｂになる。

【００３０】この段階で、項は、次の形を有する。＜単項演算子＞＜定数＞＜＊＞＜オペランド＞…＜＊＞
＜オペランド＞ここで、各オペランドは、変数であり、そのＡＳＣＩＩ
値は、後続のオペランドがある場合に、それより小さく
ない。これが、項の既約形である。既約形では、項の非
定数部分を変数グループと呼ぶ。たとえば、既約形の項
が「＋．２５００００ｅ＋０１＊ａ＊ａ＊ｂ」である場
合には、その変数グループは「＊ａ＊ａ＊ｂ」である。

【００３１】式では、変数グループが一致するすべての
項が、項の１つの定数を変更し、同一の変数グループを
有する他のすべての項を消去することによって組み合わ
される。

【００３２】最後に、式の既約項を、そのめいめいの変
数グループのＡＳＣＩＩ値に従って、昇順で再配置す
る。この最終形では、式が、その既約形であるという。
特に、既約式のどの２つの項も、同一の変数グループを
有しないことに留意されたい。

【００３３】同値を判定する方法図２を参照すると、２つのそのような系Ｓ₁およびＳ₂が
同値であるかどうかを判定する方法２００が示されてい
る。ステップ２４０から開始して、すべての係数ｅ_ijお
よび量ｂ_iを、そのめいめいの既約形（上で説明した）
に変換する。

【００３４】ステップ２５０ないし２８０では、ガウス
消去法および後退代入法（除算をなくすように適合され
た）を使用して、ＳＬＡＥＳ₁およびＳ₂を標準的な形
にする。

【００３５】ステップ２５０では、カウンタｋに１をセ
ットする。次のステップ２５２では、変数ｘ_kを、第ｊ
方程式（ｊ＝（ｋ＋１）、…、ｎ）から消去して、第ｋ
導出系を得る。具体的に言うと、カウンタｋが１に等し
い状態で、変数ｘ₁を、第ｊ方程式（ｊ＝２、３、…、
ｎ）から消去して、次のように定義される第１導出系を
得る。ｅ₁₁ｘ₁＋ｅ₁₂ｘ₂＋ｅ₁₃ｘ₃＋…＋ｅ_1nｘ_n＝ｂ₁ ¹ ｅ₂₂ｘ₂＋¹ｅ₂₃ｘ₃＋…＋¹ｅ_2nｘ_n＝¹ｂ₂ … … … … …¹ ｅ_n2ｘ₂＋¹ｅ_n3ｘ₃＋…＋¹ｅ_nnｘ_n＝¹ｂ_n ここで、第１導出系の新しい係数¹ｅ_jkは、次式によっ
て与えられる。¹ｅ_jk＝ｅ_jkｅ₁₁ｅ_1kｅ_j1 および¹ｂ_j
＝ｂ_jｅ₁₁−ｂ₁ｅ_j1 ただし、（ｊ、ｋ）＝２、…、ｎ

【００３６】係数ｅ₁₁＝０の場合には、系Ｓの第１方程
式を、係数ｅ_1mが非ゼロの系Ｓの他の方程式ｍと交換す
る。そのような方程式ｍが見つからない場合には、ＳＬ
ＡＥが特異であり、方法２００、具体的にはステップ２
５２が、その下のステップ２７０への線２６２に従うこ
とよって割り込まれ、ステップ２７０で、方法２００
が、適当なエラー・メッセージと共に終了する。

【００３７】ステップ２６０では、カウンタｋがｎ−１
と等しいかどうかを判定する。ここで、ｎは未知数の数
である。そうではない場合には、ステップ２５５で、第
ｋ導出系から副系を定義する。たとえば、カウンタｋが
１に等しい場合に、第１導出系から導出される副系は、
次の通りである。¹ ｅ₂₂ｘ₂＋¹ｅ₂₃ｘ₃＋…＋¹ｅ_2nｘ_n＝¹ｂ₂ … … … … …¹ ｅ_n2ｘ₂＋¹ｅ_n3ｘ₃＋…＋¹ｅ_nnｘ_n＝¹ｂ_n

【００３８】この副系は、（ｎ−１）個のＳＬＡＥの組
であり、（ｎ−１）個の未知数｛ｘ ₂、ｘ₃、…、ｘ_n｝
を有する。ステップ２５８でカウンタｋを増分した後
に、系Ｓが次のように第（ｎ−１）導出系に約されるま
で、既約化のステップ２５２ないし２６０を副系に対し
て繰り返す。ｅ₁₁ｘ₁＋ｅ₁₂ｘ₂＋ｅ₁₃ｘ₃＋…＋ｅ_1nｘ_n＝ｂ₁ ¹ ｅ₂₂ｘ₂＋¹ｅ₂₃ｘ₃＋…＋¹ｅ_2nｘ_n＝¹ｂ₂ … … … … …^n-1 ｅ_nnｘ_n＝^n-1ｂ_n ここで、対角係数^j-1ｅ_jj （ｊ＝１、…、ｎ）は、す
べてが非ゼロであり、¹ ｅ_jk＝^l-1ｅ_jk ^l-1ｅ_ll−^l-1ｅ_lk ^l-1ｅ_jl ¹ ｂ_j＝^l-1ｂ_j ^l-1ｅ_ll ^l-1ｂ_l ^l-1ｅ_jl ただしｌ＝１、
…、ｎ−１；（ｊ、ｋ）＝ｌ＋１、…、ｎおよび⁰ ｅ_jk＝ｅ_jk である。

【００３９】これで、この処理のガウス消去段階が完了
する。この処理全体に除算がないことに留意されたい。
カウンタｋは、現在、ｎ−１に等しく、したがって、こ
の方法は、ステップ２８０に継続し、そこで、やはり除
算なしで後退代入を実行する。したがって、未知数ｘ_i
を計算するのではなく、積ｌ_iiｘ_iを計算する。ここ
で、ｎ個の未知数ｘ_iのそれぞれが、ｒ_iが分子、ｌ_iiが
分母である比ｘ₁＝ｒ_i／ｌ _iiの形で表される。ｉ＝ｎの
場合に、次式が得られる。^n-1 ｅ_nnｘ_n＝^n-1ｂ_n その結果、ｌ_nn＝^n-1ｅ_nn およびｒ_n＝^n-1ｂ_n になる。

【００４０】ｉ＝ｎ−１について、第（ｎ−１）方程式
に分母ｌ_nnを掛けて、ｌ_nn ^n-2ｅ_n-1,n-1ｘ_n-1＋ｌ_nn ^n-2ｅ_n-1,nｘ_n＝^n-2ｂ_n-1
ｌ_nn またはｌ_nn ^n-2ｅ_n-1,n-1ｘ_n-1＝^n-2ｂ_n-1ｌ_nn−^n-2ｅ_n-1,nｒ_n を得る。その結果、ｌ_n-1,n-1＝ｌ_nn ^n-2ｅ_n-1,n-1 およびｒ_n-1＝^n-2ｂ
_n-1ｌ_nn−^n-2ｅ_n-1,nｒ _n になる。

【００４１】ｉ＝ｎ−２について、第（ｎ−２）方程式
に分母ｌ_n-1,n-1を掛け、ｌ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2ｘ_n-2＋ｌ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2,n-1ｘ_n-1
＋ｌ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2, _nｘ_n＝^n-3ｂ_n-2ｌ_n-1,n-1 またはｌ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2,n-2ｘ_n-2＝^n-3ｂ_n-2ｌ_n-1,n-1−^n-2
ｅ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2,nｒ_n−^n-3ｅ_n-2,n-1ｒ_n-1 を得る。その結果、ｌ_n-2,n-2＝ｌ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2,n-2 およびｒ_n-2＝
^n-3ｂ_n-2ｌ_n-1,n-1−^n- ²ｅ_n-1,n-1 ^n-3ｅ_n-2,nｒ_n−^n-3
ｅ_n-2,n-1ｒ_n-1 になる。

【００４２】すべてのｉ＝１、２、…、ｎ−１につい
て、結果がｌ_ii＝ｌ_i+1,i+1 ^i-1ｅ_ii およびｒ_i＝^i-1ｂ_iｌ
_i+1,1+1−Ｒ_inｒ_n−Ｒ_i,n-1ｒ_n-1−…−Ｒ_i,i+1ｒ_i+1 になり、ｌ_nn＝^n-1ｅ_nn およびｒ_n＝^n-1ｂ_n であることを示すことができる。ここでＲ_ij＝（ｌ_i+1,i+1／ｌ_jj）^i-1ｅ_ij ただし、ｊ＝
ｎ、…、（ｉ＋１）、ｉ＝１、２、…、ｎ−１である。

【００４３】ｌ_jjが、ｌ_i+1,i+1の因数なので、Ｒ_ijが
除算と無関係になることに留意されたい。しかし、後退
代入のステップ２８０に、ｌ_iiとｒ_iに共通する因数を
消去するステップがないことに留意されたい。

【００４４】２つのＳＬＡＥ系Ｓ₁およびＳ₂のそれぞれ
についてステップ２４０ないし２８０を完了した後に、
系Ｓ₁の文字列配列（ｌ_ii）₁および（ｒ_i）₁と系Ｓ₂の
（ｌ_i _i）₂および（ｒ_i）₂が作られている。原則とし
て、２つの系Ｓ₁およびＳ₂が同値であることを示すため
には、それらのめいめいの文字列配列ｌ_iiおよびｒ_iが
一致することが示されるならば十分である。しかし、一
般に、現在既知の方法によってそれらに共通する因数を
完全に消去することが不可能なので、これは必ずしも可
能ではない。したがって、消去されない共通の因数が存
在する可能性があることを前提にしなければならない。
しかし、数学的に、（ｌ_ii／ｒ_i）₁＝（ｌ_ii／ｒ_i）₂ または、これと同等であるが、（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂＝（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁ であることが明らかであり、この形で比較を実行するこ
とができる。したがって、ステップ２９０で、ｉ＝１、
…、ｎのそれぞれについて、式（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂お
よび（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁を計算する。すべての式（ｌ
_ii）₁＊（ｒ_i）₂および（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁が、一貫性
のある形でその既約形に約された場合には、ステップ３
００で、（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁の
単純な文字列比較を実行する。判断ステップ３１０で、
すべてのｉ＝１、…、ｎについて一致が見つかったかど
うかを判定する。回答が肯定の場合には、系Ｓ₁および
Ｓ₂の同値を、ステップ３１２で報告する。そうでない
場合には、ステップ３１５で非同値を報告する。

【００４５】例方法２００を実行して２つの系Ｓ₁およびＳ₂が同値であ
るかどうかを判定する例を、これから説明する。Ｃおよ
びＣ＋＋プログラミング言語の表記を使用する。この表
記では、係数および量を、それぞれｅ［ｉ−１］［ｊ−
１］およびｂ［ｉ−１］と表記する。

【００４６】下に示す例を理解するために、以下の擬似
コード片の参照が役に立つであろう。変数ｅ［］［］お
よびｂ［］は、なかんずくそのような式に対する演算子
＋（加算）、−（減算）、および＊（乗算）演算子を実
施する代数式データ型（datatype algebraic expressio
n）を有する。クラスexpressionは、代数式を既約形に
変換できるメソッドも有する。 // ガウス消去 // e[][]およびb[]はExpression型である。 for (i = 0; i < n-1; i++) { // 導出系のインデックス。 // --- コメント１ --- // e[i][i] = 0ならば、この行を、それより下にある、 // e[i][k] != 0である別の行（たとえばk > iのk行目） // と交換する。そのようなkが見つからない場合には、 // 行列eが特異であるというメッセージで終了する。 // これを行うコードはここでは示さない。 for (j = i+1; j < n; j++) { for (k = i+1; k < n; k++) { // i行目にe[j][i]を掛ける。 // j行目にe[i][i]を掛ける。 // i行目をj行目から引く。 e[j][k] = e[j][k]*e[i][i] - e[i][k]*e[j][i]; } b[j] = b[j]*e[i][i] - b[i]*e[j][i]; } // 下三角係数を０にする。 for (k = 0; k < i; k++) e[i][k] = 0; } // 後退代入。 i = n; // 下のwhileループの最後に、e[i-1][i-1]にl_iiが // 含まれ、b[i-1]にr_iが含まれる。解は、 // x_i = l_ii/r_iになる。 while (i--) { j = n; while (j--) b[j] = b[j]*e[i][i] - b[i]*e[j][i]; for(k = 0; k < n; k++) { for (j = k; j < n; j++) { e[k][j] *= e[i][i]; } } }

【００４７】ここで、系Ｓ₁が、次の方程式の組である
ものとする。ａｘ₁＋ｘ₂＋ｘ₃＝ａ＋２ｘ₁＋ｘ₂＋ｘ₃＝３ｘ₁＋ｘ₂−ｘ₃＝１また、系Ｓ₂が、次の方程式の組であるものとする。ａｘ₁＋２ｘ₂＝ａ＋２２ｘ₁＋２ｘ₂＝４ｘ₂−ｘ₃＝０すなわち、各組が３つの方程式からなる。

【００４８】まず系Ｓ₁を検討すると、係数および量を
次のように記述することができる。ｅ［０］［０］＝ａｅ［０］［１］＝１ｅ［０］［２］＝１ｂ［０］＝ａ＋２ｅ［１］［０］＝１ｅ［１］［１］＝１ｅ［１］［２］＝１ｂ［１］＝３ｅ［２］［０］＝１ｅ［２］［１］＝１ｅ［２］［２］＝−１ｂ［２］＝１

【００４９】系Ｓ₁でステップ２４０を実行することに
よって、下記のように、係数および量のすべての項が、
方法２００を実行するコンピュータ・プログラムによっ
て既約形に変換される。計算の異なる段階で擬似コード
変数によって参照されるテキスト変数を、右側に示す。既約形変数ｅ［０］［０］＝＋．１００００ｅ＋０１＊ａ ⁰ｅ₁₁＝ｅ₁₁ ｅ［０］［１］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₁₂＝ｅ₁₂ ｅ［０］［２］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₁₃＝ｅ₁₃ ｂ［０］＝＋．１００００ｅ＋０１＊ａ＋．２００００ｅ＋０１ ⁰ｂ₁＝ｂ₁ ｅ［１］［０］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₂₁＝ｅ₂₁ ｅ［１］［１］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₂₂＝ｅ₂₂ ｅ［１］［２］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₂₃＝ｅ₂₃ ｂ［１］＝＋．３００００ｅ＋０１ ⁰ｂ₂＝ｂ₂ ｅ［２］［０］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₃₁＝ｅ₃₁ ｅ［２］［１］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₃₂＝ｅ₃₂ ｅ［２］［２］＝−．１００００ｅ＋０１ ⁰ｅ₃₃＝ｅ₃₃ ｂ［２］＝＋．１００００ｅ＋０１ ⁰ｂ₃＝ｂ₃

【００５０】ステップ２５０でカウンタｋに１をセット
し、ステップ２５２を実行することによって第１導出系
を見つけ、これによって、式２および３から変数ｘ₁を
消去する。第１導出系の係数¹ｅ_ijおよび量¹ｂ_iは、次
のようになる。既約形変数 e[0][0]=+.10000e+01*a ⁰ｅ₁₁ e[0][1]=+.10000e+01 ⁰ｅ₁₂ e[0][2]=+.10000e+01 ⁰ｅ₁₃ b[0]=+.10000e+01*a+.20000e+01 ⁰ｂ₁ e[1][0]=+.00000e+00 ¹ｅ_2l e[1][1]=-.10000e+01+.10000e+01*a ¹ｅ₂₂ e[1][2]=-.10000e+01+.10000e+01*a ¹ｅ₂₃ b[1]=-.20000e+01+.20000e+01*a ¹ｂ₂ e[2][0]=+.00000e+00 ¹ｅ₃₁ e[2][1]=-.10000e+01+.10000e+01*a ¹ｅ₃₂ e[2][2]=-.10000e+01-.10000e+01*a ¹ｅ₃₃ b[2]=-.20000e+01 ¹ｂ₃

【００５１】系Ｓ₁の上の第１導出系は、通常の代数形
で記述した時に、次のようになる。ａｘ₁＋ｘ₂＋ｘ₃＝ａ＋２（ａ−１）ｘ₂＋（ａ−１）ｘ₃＝２（ａ−１）（ａ−１）ｘ₂−（ａ＋１）ｘ₃＝−２

【００５２】ステップ２５０ないし２６０を繰り返すこ
とによって、方法２００によって、次のように系Ｓ₁の
第２導出系が計算される。既約形変数 e[0][0]=+.10000e+01*a ⁰ｅ₁₁ e[0][1]=+.10000e+01 ⁰ｅ₁₂ e[0][2]=+.10000e+01 ⁰ｅ₁₃ b[0]=+.10000e+01*a+.20000e+01 ⁰ｂ₁ e[1][0]=+.00000e+00 ¹ｅ_2l e[1][1]=-.10000e+01+.10000e+01*a ¹ｅ₂₂ e[1][2]=-.10000e+01+.10000e+01*a ¹ｅ₂₃ b[1]=-.20000e+01+.20000e+01*a ¹ｂ₂ e[2][0]=+.00000e+00 ²ｅ_3l e[2][1]=+.00000e+00 ²ｅ₃₂ e[2][2]=+.20000e+01*a-.20000e+01*a*a ²ｅ₃₃＝ｌ₃₃ b[2]=+2.0000e+00*a-2.0000e+00*a*a ²ｂ₃＝ｒ₃ または、ａｘ₁＋ｘ₂＋ｘ₃＝ａ＋２（ａ−１）ｘ₂＋（ａ−１）ｘ₃＝２（ａ−１） −２ａ（ａ−１）ｘ₃＝−２ａ（ａ−１）

【００５３】後退代入のステップ２８０を実行すること
によって、分子ｒ_iおよび分母ｌ_iiを見つけることがで
きる。具体的に言うと、第２導出系の最後の方程式か
ら、分子ｒ₃および分母ｌ₃₃が、ｌ₃₃＝−２ａ（ａ−１）およびｒ₃＝−２ａ（ａ−
１）になる。

【００５４】分子ｒ₃および分母ｌ₃₃を第２方程式に代
入することによって、下記が得られる。既約形変数 e[1][1]=-.20000e+01*a+.40000e+01*a*a-.20000e+01*a*a*a ｌ₂₂ b[1]=-.20000e+01*a+.40000e+01*a*a-.20000e+01*a*a*a ｒ₂ またはｌ₂₂＝−２ａ（１−２ａ＋ａ²）およびｒ₂＝−２ａ
（１−２ａ＋ａ²）

【００５５】最後の後退代入で、既約形変数 e[0][0]=-.40000e+01*a*a*a+.12000e+02*a*a*a*a-.12000e+02*a*a*a*a*a+.400 00e+01*a*a*a*a*a*a ｌ₁₁ b[0]=-.40000e+01*a*a*a+.12000e+02*a*a*a*a-.12000e+02*a*a*a*a*a+.40000e +01*a*a*a*a*a*a ｒ₁ が得られ、これによってｌ₁₁＝−４ａ³（１−３ａ＋３ａ²−ａ³）およびｎ
＝−４ａ³（１−３ａ＋３ａ²−ａ³）が得られる。

【００５６】同様の形で、系Ｓ₂の第１導出系を、次の
ように記述することができる。既約形変数 e[0][0]=+.10000e+01*a ⁰ｅ₁₁ e[0][1]=+.20000e+01 ⁰ｅ₁₂ e[0][2]=+.00000e+00 ⁰ｅ₁₃ b[0]=+.10000e+01*a+.20000e+01 ⁰ｂ₁ e[1][0]=+.00000e+00 ¹ｅ_2l e[1][1]=-.40000e+01+.20000e+01*a ¹ｅ₂₂ e[1][2]=+.00000e+00 ¹ｅ₂₃ b[1]=-.40000e+01+.20000e+01*a ¹ｂ₂ e[2][0]=+.00000e+00 ¹ｅ₃₁ e[2][1]=+.10000e+01*a ¹ｅ₃₂ e[2][2]=-.10000e+01*a ¹ｅ₃₃ b[2]=+.00000e+00 ¹ｂ₃ またはａｘ₁＋２ｘ₂＝ａ＋２２（ａ−２）ｘ₂＝２（ａ−２）ａｘ₂−ａｘ₃＝０

【００５７】系Ｓ₂の第２導出系は次の通りである。既約形変数 e[0][0]=+.10000e+01*a ⁰ｅ₁₁ e[0][1]=+.20000e+01 ⁰ｅ₁₂ e[0][2]=+.00000e+00 ⁰ｅ₁₃ b[0]=+.10000e+01*a+.20000e+01 ⁰ｂ₁ e[1][0]=+.00000e+00 ¹ｅ_2l e[1][1]=-.40000e+01+.20000e+01*a ¹ｅ₂₂ e[1][2]=+.00000e+00 ¹ｅ₂₃ b[1]=-.40000e+01+.20000e+01*a ¹ｂ₂ e[2][0]=+.00000e+00 ²ｅ_3l e[2][1]=+.10000e+01*a ²ｅ₃₂ e[2][2]=+.40000e+01*a-.20000e+01*a*a ²ｅ₃₃＝ｌ₃₃ b[2]=+.40000e+01*a-.20000e+01*a*a ²ｂ₃＝ｒ₃ またはａｘ₁＋２ｘ₂＝ａ＋２２（ａ−２）ｘ₂＝２（ａ−２）２ａ（２−ａ）ｘ₃＝２ａ（２−ａ）

【００５８】系Ｓ₂についてやはり後退代入のステップ
２８０を実行することによって、分子ｒ_iおよび分母ｌ
_iiを見つけることができる。分子ｒ₃および分母ｌ₃₃は
次の通りである。ｌ₃₃＝２ａ（２−ａ）およびｒ₃＝２ａ（２−ａ）

【００５９】分子ｒ₃および分母ｌ₃₃を第２方程式に代
入することによって、下記が得られる。既約形変数 e[1][1]=-.16000e+02*a+.16000e+02*a*a-.40000e+01*a*a*a ｌ₂₂ b[1]=-.16000e+02*a+.16000e+02*a*a-.40000e+01*a*a*a ｒ₂ またはｌ₂₂＝−４ａ（４−４ａ＋ａ²）およびｒ₂＝−４ａ
（４−４ａ＋ａ²）

【００６０】最後の後退代入で、下記が得られる既約形変数 e[0][0]=-.64000e+02*a*a*a+.96000e+02*a*a*a*a-.48000e+02*a*a*a*a*a+.800 00e+01*a*a*a*a*a*a ｌ₁₁ b[0]=-.64000e+02*a*a*a+.96000e+02*a*a*a*a-.48000e+02*a*a*a*a*a+.80000e +01*a*a*a*a*a*a ｒ₁ またはｌ₁₁＝−８ａ³（８−１２ａ＋６ａ²−ａ³）お
よびｒ₁＝−８ａ³（８−１２ａ＋６ａ²−ａ³）

【００６１】ステップ２９０を実行することによって、
式（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂および（ｌ_i _i）₂＊（ｒ_i）₁が、
計算され、その既約形に約される。たとえば、（ｌ₂₂）
₁＊（ｒ₂）₂を計算することによって、下記が得られ
る。（ｌ₂₂）₁＊（ｒ₂）₂ ＝(-.20000e+01*a+.40000e+01*a*a-.20000e+01*a*a*a)* (-.16000e+02*a+.16000e+02*a*a-.40000e+01*a*a*a) ＝+.32000e+02*a*a-.32000e+02*a*a*a+.80000e+01*a*a*a*a -.64000e+02*a*a*a+.64000e+02*a*a*a*a-.16000e+02*a*a*a*a*a +.32000e+02*a*a*a*a-.32000e+02*a*a*a*a*a+.80000e+01*a*a*a*a*a*a ＝+.32000e+02*a*a-.96000e+02*a*a*a+.10400e+03*a*a*a*a -.48000e+02*a*a*a*a*a+.80000e+01*a*a*a*a*a*a

【００６２】同様に、（ｌ₂₂）₂＊（ｒ₂）₁を計算する
ことによって、下記が得られる。（ｌ₂₂）₂＊（ｒ₂）₁ ＝(-.16000e+02*a+.16000e+02*a*a-.40000e+01*a*a*a)* (-.20000e+01*a+.40000e+01*a*a-.20000e+01*a*a*a) ＝+.32000e+02*a*a-.64000e+02*a*a*a+.32000e+02*a*a*a*a -.32000e+02*a*a*a+.64000e+02*a*a*a*a-.32000e+02*a*a*a*a*a +.80000e+01*a*a*a*a-.16000e+02*a*a*a*a*a+.80000e+01*a*a*a*a*a*a ＝+.32000e+02*a*a-.96000e+02*a*a*a+.10400e+03*a*a*a*a -.48000e+02*a*a*a*a*a+.80000e+01*a*a*a*a*a*a

【００６３】ステップ２９０で、同様に、ｉ＝１および
ｉ＝３について式（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂および（ｌ_ii）₂
＊（ｒ_i）₁を計算する。ステップ３００で実行される、
（ｌ ₂₂）₁＊（ｒ₂）₂と（ｌ₂₂）₂＊（ｒ₂）₁の単純な文
字列比較によって、これらの式が一致することが示され
る。ｉ＝１およびｉ＝３について（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i） ₂
と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁の比較を繰り返し、ｉ＝１、
２、および３のそれぞれについて式が一致することを見
つけることによって、系Ｓ₁が系Ｓ₂と同値であることを
示すことができる。

【００６４】本発明の実施形態は、たとえばコンパイラ
内で実施することができる。周知の通り、コンパイラ
は、Ｃ＋＋などの言語で記述された高水準ソース・コー
ドから計算機実行可能オブジェクト・コードを生成す
る。

【００６５】前述は、本発明の一部の実施形態だけを説
明したものであり、本発明の範囲および趣旨から逸脱せ
ずに修正または変更を加えることができ、上記の実施形
態は、例示的であって制限的ではない。たとえば、３組
以上の連立一次代数方程式の同値を、同値に関する組の
対ごとの比較によって判定することができる。

【００６６】まとめとして、本発明の構成に関して以下
の事項を開示する。

【００６７】（１）連立一次代数方程式の第１組および
第２組の同値を判定する、コンピュータ実施される方法
であって、ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係数、ｂ_iが量であり、
前記係数および量が既知の数式であるものとして、前記
方程式のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形であり、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝
｛１；２｝が、前記方程式がそこから導出された前記組
の１つを示すものとして、前記方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の前記組のそれぞ
れから前記未知数を繰り返して消去するステップと、前
記未知数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂
と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較するステップであっ
て、前記積がすべての前記未知数について一致する場合
に、連立一次代数方程式の前記第１組および前記第２組
が同値である、比較するステップとを含む、コンピュー
タ実施される方法。（２）前記方法がさらに、前記代数式を、文字列内で順
次配置された１つまたは複数のトークン対の形に再計算
する初期ステップであって、各前記トークン対が、オペ
ランドが続く演算子を含む、再計算する初期ステップ
と、既約式を得るために、所定の簡約化規則の組に従っ
て前記文字列を約する初期ステップとを含み、前記消去
するステップが、所定の動作の組に従って、前記約され
た文字列に対して実行される上記（１）に記載のコンピ
ュータ実施される方法。（３）前記簡約化規則が、トークン対をサブグループに
配置するステップと、配置されたサブグループのオペラ
ンド・トークンを順番に配置するステップと、約された
サブグループを形成するために、１つまたは複数の定数
を整理し、反対の効果の変数を消去することによって、
順序付けられたオペランドを約するステップと、約され
た文字列を作るために、類似するサブグループの１つま
たは複数の倍数インスタンスを整理するステップとを実
行することを含む、上記（２）に記載のコンピュータ実
施される方法。（４）連立一次代数方程式の第１組および第２組の同値
を判定する計算装置であって、ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係
数、ｂ_iが量であり、前記係数および量が既知の数式で
あるものとして、前記方程式のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形であり、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝
｛１；２｝が、前記方程式がそこから導出された前記組
の１つを示すものとして、前記方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の前記組のそれぞ
れから前記未知数を繰り返して消去する手段と、前記未
知数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂と
（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較する手段であって、前記
積がすべての前記未知数について一致する場合に、連立
一次代数方程式の前記第１組および前記第２組が同値で
ある、比較する手段とを含む、計算装置。（５）前記計算装置がさらに、前記代数式を、文字列内
で順次配置された１つまたは複数のトークン対の形に再
計算する手段であって、各前記トークン対が、オペラン
ドが続く演算子を含む、再計算する手段と、既約式を得
るために、所定の簡約化規則の組に従って前記文字列を
約する手段とを含み、前記消去する手段が、所定の動作
の組に従って、前記約された文字列に対して動作する上
記（４）に記載の計算装置。（６）前記消去する手段が、トークン対をサブグループ
に配置する所定の動作と、配置されたサブグループのオ
ペランド・トークンを順番に配置する所定の動作と、約
されたサブグループを形成するために、１つまたは複数
の定数を整理し、反対の効果の変数を消去することによ
って、順序付けられたオペランドを約する所定の動作
と、約された文字列を作るために、類似するサブグルー
プの１つまたは複数の倍数インスタンスを整理する所定
の動作とを実行する、上記（５）に記載の計算装置。（７）連立一次代数方程式の第１組および第２組の同値
を判定する、記憶媒体によって担持されるコンピュータ
・プログラム製品であって、ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係
数、ｂ_iが量であり、前記係数および量が既知の数式で
あるものとして、前記方程式のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形であり、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝
｛１；２｝が、前記方程式がそこから導出された前記組
の１つを示すものとして、前記方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の前記組のそれぞ
れから前記未知数を繰り返して消去するプログラム要素
と、前記未知数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊
（ｒ_i）₂と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較するプログラ
ム要素であって、前記積がすべての前記未知数について
一致する場合に、連立一次代数方程式の前記第１組およ
び前記第２組が同値である、比較するプログラム要素と
を含む、コンピュータ・プログラム製品。（８）前記代数式を、文字列内で順次配置された１つま
たは複数のトークン対の形に再計算するプログラム要素
であって、各前記トークン対が、オペランドが続く演算
子を含む、再計算するプログラム要素と、既約式を得る
ために、所定の簡約化規則の組に従って前記文字列を約
するプログラム要素とをさらに含み、前記消去するプロ
グラム要素が、所定の動作の組に従って、前記約された
文字列に対して動作する上記（７）に記載のコンピュー
タ・プログラム製品。（９）前記消去するプログラム要素が、トークン対をサ
ブグループに配置する所定の動作と、配置されたサブグ
ループのオペランド・トークンを順番に配置する所定の
動作と、約されたサブグループを形成するために、１つ
または複数の定数を整理し、反対の効果の変数を消去す
ることによって、順序付けられたオペランドを約する所
定の動作と、約された文字列を作るために、類似するサ
ブグループの１つまたは複数の倍数インスタンスを整理
する所定の動作とを実行する、上記（８）に記載のコン
ピュータ・プログラム製品。（１０）連立一次代数方程式（ＳＬＥＡ）の組の同値を
判定する、コンピュータ実施される方法であって、各前
記組が、複数の代数方程式を含み、各ＳＬＡＥを標準的
な形に約すステップと、同値が存在するかどうかを判定
するためにＳＬＡＥを比較するステップとを含む方法。（１１）前記約するステップが、各ＳＬＡＥを既約形に
変換するステップと、消去処理を実行するステップと、
各ＳＬＡＥの２部文字列配列形を生成する後退代入処理
を実行するステップとを含む、上記（１０）に記載の方
法。（１２）前記比較するステップが、文字列配列の一部と
もう１つの前記文字列配列の一部との積を形成するステ
ップと、文字列配列の他の部分と前記もう１つの文字列
配列の他の部分との積を形成するステップと、数学的同
値について前記めいめいの積を比較するステップとを含
む、上記（１０）に記載の方法。（１３）３組以上の場合に、前記比較ステップが、組の
総数の対の組合せについて繰り返される、上記（１２）
に記載の方法。（１４）連立一次代数方程式（ＳＬＡＥ）の第１組およ
び第２組の同値を判定する、コンピュータ実施される方
法であって、各ＳＬＡＥを２部分の標準的な形にするた
めに、ＳＬＡＥの前記組のそれぞれから未知数を繰り返
して消去するステップと、一方の前記標準的な形の方程
式の一部ともう１つの前記標準的な形の方程式のもう１
つの部分の一部との積を形成するステップと、前記標準
的な形の方程式の他の部分と前記もう１つの標準的な形
の方程式の他の部分との積を形成するステップと、数学
的同値について前記めいめいの積を比較するステップと
を含む方法。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の実施形態を実践することができる、従
来の汎用コンピュータ・システムの概略ブロック図であ
る。

【図２】２組の連立一次代数方程式が同値であるかどう
かを判定する方法の流れ図である。

【符号の説明】

２００方法２４０すべての係数ｅ_ijおよび量ｂ_iを既約形に変換
するステップ２５０ｋ＝１をセットするステップ２５２第ｋ導出系を得るステップ２５５副系を定義するステップ２５８ｋを増分するステップ２６０ｋ＝ｎ−１かどうかを判定するステップ２６２線２７０エラー・メッセージのステップ２８０後退代入のステップ２９０式（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）₂および（ｌ_ii）₂＊（ｒ
_i）₁を計算するステップ３００文字列比較のステップ３１０すべてのｉについて一致するかどうかを判定す
るステップ３１２同値を報告するステップ３１５非同値を報告するステップ

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者ラジェンドラ・クマール・ベラインド 560071 バンガロールドムルア・レイアウトフォーティーンス・クロス・ロード 640 Ｆターム(参考） 5B056 BB02

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】連立一次代数方程式の第１組および第２組
の同値を判定する、コンピュータ実施される方法であっ
て、ｘ_jが未知数、ｅ_ijが係数、ｂ_iが量であり、前記係
数および量が既知の数式であるものとして、前記方程式
のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形であり、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝が、前
記方程式がそこから導出された前記組の１つを示すもの
として、前記方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の前記組のそれぞ
れから前記未知数を繰り返して消去するステップと、前記未知数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）
₂と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較するステップであっ
て、前記積がすべての前記未知数について一致する場合
に、連立一次代数方程式の前記第１組および前記第２組
が同値である、比較するステップとを含む、コンピュー
タ実施される方法。
【請求項２】前記方法がさらに、前記代数式を、文字列内で順次配置された１つまたは複
数のトークン対の形に再計算する初期ステップであっ
て、各前記トークン対が、オペランドが続く演算子を含
む、再計算する初期ステップと、既約式を得るために、所定の簡約化規則の組に従って前
記文字列を約する初期ステップとを含み、前記消去するステップが、所定の動作の組に従って、前
記約された文字列に対して実行される請求項１に記載の
コンピュータ実施される方法。
【請求項３】前記簡約化規則が、トークン対をサブグループに配置するステップと、配置されたサブグループのオペランド・トークンを順番
に配置するステップと、約されたサブグループを形成するために、１つまたは複
数の定数を整理し、反対の効果の変数を消去することに
よって、順序付けられたオペランドを約するステップ
と、約された文字列を作るために、類似するサブグループの
１つまたは複数の倍数インスタンスを整理するステップ
とを実行することを含む、請求項２に記載のコンピュー
タ実施される方法。
【請求項４】連立一次代数方程式の第１組および第２組
の同値を判定する計算装置であって、ｘ_jが未知数、ｅ
_ijが係数、ｂ_iが量であり、前記係数および量が既知の
数式であるものとして、前記方程式のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形であり、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝が、前
記方程式がそこから導出された前記組の１つを示すもの
として、前記方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の前記組のそれぞ
れから前記未知数を繰り返して消去する手段と、前記未知数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）
₂と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較する手段であって、前
記積がすべての前記未知数について一致する場合に、連
立一次代数方程式の前記第１組および前記第２組が同値
である、比較する手段とを含む、計算装置。
【請求項５】前記計算装置がさらに、前記代数式を、文字列内で順次配置された１つまたは複
数のトークン対の形に再計算する手段であって、各前記
トークン対が、オペランドが続く演算子を含む、再計算
する手段と、既約式を得るために、所定の簡約化規則の組に従って前
記文字列を約する手段とを含み、前記消去する手段が、所定の動作の組に従って、前記約
された文字列に対して動作する請求項４に記載の計算装
置。
【請求項６】前記消去する手段が、トークン対をサブグループに配置する所定の動作と、配置されたサブグループのオペランド・トークンを順番
に配置する所定の動作と、約されたサブグループを形成するために、１つまたは複
数の定数を整理し、反対の効果の変数を消去することに
よって、順序付けられたオペランドを約する所定の動作
と、約された文字列を作るために、類似するサブグループの
１つまたは複数の倍数インスタンスを整理する所定の動
作とを実行する、請求項５に記載の計算装置。
【請求項７】連立一次代数方程式の第１組および第２組
の同値を判定する、記憶媒体によって担持されるコンピ
ュータ・プログラム製品であって、ｘ_jが未知数、ｅ_ij
が係数、ｂ_iが量であり、前記係数および量が既知の数
式であるものとして、前記方程式のそれぞれが、ｅ_i1ｘ₁＋ｅ_i2ｘ₂＋ｅ_i3ｘ₃＋…＋ｅ_inｘ_n＝ｂ_i の形であり、ｌ_iiおよびｒ_iが代数式であり、ｋ＝｛１；２｝が、前
記方程式がそこから導出された前記組の１つを示すもの
として、前記方程式のそれぞれが、（ｌ_ii）_kｘ_i＝（ｒ_i）_k の形になるまで、連立一次代数方程式の前記組のそれぞ
れから前記未知数を繰り返して消去するプログラム要素
と、前記未知数のそれぞれについて、積（ｌ_ii）₁＊（ｒ_i）
₂と（ｌ_ii）₂＊（ｒ_i）₁とを比較するプログラム要素で
あって、前記積がすべての前記未知数について一致する
場合に、連立一次代数方程式の前記第１組および前記第
２組が同値である、比較するプログラム要素とを含む、
コンピュータ・プログラム製品。
【請求項８】前記代数式を、文字列内で順次配置された
１つまたは複数のトークン対の形に再計算するプログラ
ム要素であって、各前記トークン対が、オペランドが続
く演算子を含む、再計算するプログラム要素と、既約式を得るために、所定の簡約化規則の組に従って前
記文字列を約するプログラム要素とをさらに含み、前記消去するプログラム要素が、所定の動作の組に従っ
て、前記約された文字列に対して動作する請求項７に記
載のコンピュータ・プログラム製品。
【請求項９】前記消去するプログラム要素が、トークン対をサブグループに配置する所定の動作と、配置されたサブグループのオペランド・トークンを順番
に配置する所定の動作と、約されたサブグループを形成するために、１つまたは複
数の定数を整理し、反対の効果の変数を消去することに
よって、順序付けられたオペランドを約する所定の動作
と、約された文字列を作るために、類似するサブグループの
１つまたは複数の倍数インスタンスを整理する所定の動
作とを実行する、請求項８に記載のコンピュータ・プロ
グラム製品。
【請求項１０】連立一次代数方程式（ＳＬＥＡ）の組の
同値を判定する、コンピュータ実施される方法であっ
て、各前記組が、複数の代数方程式を含み、各ＳＬＡＥを標準的な形に約すステップと、同値が存在するかどうかを判定するためにＳＬＡＥを比
較するステップとを含む方法。
【請求項１１】前記約するステップが、各ＳＬＡＥを既約形に変換するステップと、消去処理を実行するステップと、各ＳＬＡＥの２部文字列配列形を生成する後退代入処理
を実行するステップとを含む、請求項１０に記載の方
法。
【請求項１２】前記比較するステップが、文字列配列の一部ともう１つの前記文字列配列の一部と
の積を形成するステップと、文字列配列の他の部分と前記もう１つの文字列配列の他
の部分との積を形成するステップと、数学的同値について前記めいめいの積を比較するステッ
プとを含む、請求項１０に記載の方法。
【請求項１３】３組以上の場合に、前記比較ステップ
が、組の総数の対の組合せについて繰り返される、請求
項１２に記載の方法。
【請求項１４】連立一次代数方程式（ＳＬＡＥ）の第１
組および第２組の同値を判定する、コンピュータ実施さ
れる方法であって、各ＳＬＡＥを２部分の標準的な形にするために、ＳＬＡ
Ｅの前記組のそれぞれから未知数を繰り返して消去する
ステップと、一方の前記標準的な形の方程式の一部ともう１つの前記
標準的な形の方程式のもう１つの部分の一部との積を形
成するステップと、前記標準的な形の方程式の他の部分と前記もう１つの標
準的な形の方程式の他の部分との積を形成するステップ
と、数学的同値について前記めいめいの積を比較するステッ
プとを含む方法。