JP2001265218A - 楕円曲線上の演算方法及び装置と、演算プログラムを記録した記録媒体 - Google Patents
楕円曲線上の演算方法及び装置と、演算プログラムを記録した記録媒体Info
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- JP2001265218A JP2001265218A JP2000082112A JP2000082112A JP2001265218A JP 2001265218 A JP2001265218 A JP 2001265218A JP 2000082112 A JP2000082112 A JP 2000082112A JP 2000082112 A JP2000082112 A JP 2000082112A JP 2001265218 A JP2001265218 A JP 2001265218A
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 本発明は、素体上の楕円曲線の上のアフィン
座標表示された第１の点を同じ楕円曲線上のアフィン座
標表示された第２の点に整数倍する楕円ｋ倍演算が、精
度の低下を伴わずにより高速に処理される楕円曲線上の
演算計算方法の提供を目的とする。 【解決手段】 本発明では、楕円ｋ倍演算中に行われる
楕円加算演算を、モンゴメリ演算域においてアフィン座
標系と同次座標系を混在させた形式で計算する。これに
より、乗算剰余演算の実行回数が削減され、楕円ｋ倍演
算の処理時間が高速化される。
座標表示された第１の点を同じ楕円曲線上のアフィン座
標表示された第２の点に整数倍する楕円ｋ倍演算が、精
度の低下を伴わずにより高速に処理される楕円曲線上の
演算計算方法の提供を目的とする。 【解決手段】 本発明では、楕円ｋ倍演算中に行われる
楕円加算演算を、モンゴメリ演算域においてアフィン座
標系と同次座標系を混在させた形式で計算する。これに
より、乗算剰余演算の実行回数が削減され、楕円ｋ倍演
算の処理時間が高速化される。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、情報セキュリティ
技術、特に、楕円曲線を用いた暗号技術やディジタル署
名技術において、素体Ｆp上の楕円曲線上での点の楕円
ｋ倍演算の方法、かかる方法を実施する装置、並びに、
楕円ｋ倍演算を実行するプログラムを記録した記録媒体
に関する。
技術、特に、楕円曲線を用いた暗号技術やディジタル署
名技術において、素体Ｆp上の楕円曲線上での点の楕円
ｋ倍演算の方法、かかる方法を実施する装置、並びに、
楕円ｋ倍演算を実行するプログラムを記録した記録媒体
に関する。
【０００２】
【従来の技術】従来、公開鍵暗号やディジタル署名の代
表的な方式として普及しているＲＳＡ法は、十分な安全
性を確保するため、暗号鍵の鍵長をかなり大きくする必
要があることが知られている。そのため、楕円曲線暗号
系が近年注目され始めている。楕円曲線暗号系は、楕円
曲線の離散対数問題を解くことが特に困難であることに
依拠している。また、楕円曲線暗号系による公開鍵暗号
方式の場合、ＲＳＡ方式と同じ程度の安全性がより少な
い鍵長で実現できる点で優れている。
表的な方式として普及しているＲＳＡ法は、十分な安全
性を確保するため、暗号鍵の鍵長をかなり大きくする必
要があることが知られている。そのため、楕円曲線暗号
系が近年注目され始めている。楕円曲線暗号系は、楕円
曲線の離散対数問題を解くことが特に困難であることに
依拠している。また、楕円曲線暗号系による公開鍵暗号
方式の場合、ＲＳＡ方式と同じ程度の安全性がより少な
い鍵長で実現できる点で優れている。
【０００３】楕円曲線上の離散対数問題とは、楕円曲線
上の点をＰ及びＴとし、 Ｔ＝ｋＰ と表わされる場合に、ｋとＰからＴを求めることは容易
であるのに対し、ＰとＴからｋを求めることが極めて困
難であるという問題である。ここで、 Ｔ＝ｋＰ は、いわゆる楕円曲線のｋ倍演算である。このように、
楕円曲線のｋ倍演算は楕円曲線暗号系において重要な演
算であり、この演算を高速に実現できることが楕円曲線
暗号系の実用化のため要請されている。
上の点をＰ及びＴとし、 Ｔ＝ｋＰ と表わされる場合に、ｋとＰからＴを求めることは容易
であるのに対し、ＰとＴからｋを求めることが極めて困
難であるという問題である。ここで、 Ｔ＝ｋＰ は、いわゆる楕円曲線のｋ倍演算である。このように、
楕円曲線のｋ倍演算は楕円曲線暗号系において重要な演
算であり、この演算を高速に実現できることが楕円曲線
暗号系の実用化のため要請されている。
【０００４】次に、従来技術において行われている楕円
曲線のｋ倍演算のアルゴリズムを説明する。
曲線のｋ倍演算のアルゴリズムを説明する。
【０００５】そのため、素数ｐを用いて表わされる素体
をＦpとし、 Ｅ：ｙ２＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆpを考える。楕
円ｋ倍演算は、素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp：ｙ2≡ｘ3
＋ａｘ＋ｂ （ｍｏｄ ｐ）上の点をＰ（ｘ1，ｙ1）と
し、ｋを整数としたときに、 Ｔ（ｘ2，ｙ2）＝ｋＰ（ｘ1，ｙ1） で表わされる値ｘ2，ｙ2を求める演算である。ここで、
Ｔ（ｘ2，ｙ2）も楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点である。 以
下、図７に示された従来技術による楕円ｋ倍演算のフロ
ーチャートを参照して、従来技術によるアルゴリズムを
説明する。
をＦpとし、 Ｅ：ｙ２＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆpを考える。楕
円ｋ倍演算は、素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp：ｙ2≡ｘ3
＋ａｘ＋ｂ （ｍｏｄ ｐ）上の点をＰ（ｘ1，ｙ1）と
し、ｋを整数としたときに、 Ｔ（ｘ2，ｙ2）＝ｋＰ（ｘ1，ｙ1） で表わされる値ｘ2，ｙ2を求める演算である。ここで、
Ｔ（ｘ2，ｙ2）も楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点である。 以
下、図７に示された従来技術による楕円ｋ倍演算のフロ
ーチャートを参照して、従来技術によるアルゴリズムを
説明する。
【０００６】ステップ１：楕円曲線のパラメータａ及び
ｐと、正整数ｋと、点Ｐ（ｘ1，ｙ1）とを入力する。
ｐと、正整数ｋと、点Ｐ（ｘ1，ｙ1）とを入力する。
【０００７】ステップ２：パラメータａ及び点Ｐ
（ｘ1，ｙ1）を、モンゴメリ演算域における表示ａm及
びＰm（ｘ1m，ｙ1m）に変換する。
（ｘ1，ｙ1）を、モンゴメリ演算域における表示ａm及
びＰm（ｘ1m，ｙ1m）に変換する。
【０００８】ここで、モンゴメリ演算域への変換とは、
正整数Ｎを２進表現したときのビット長をＬとし、ｍ≧
Ｌなる整数ｍを用いて表わされるＲ＝２ｍに対して、正
整数Ａを ＡＲ ｍｏｄ Ｎ に対応させることを意味する。また、モンゴメリ演算域
で表示された値Ｂを ＢＲ-1 ｍｏｄ Ｎ に対応させることをモンゴメリ演算域に制限されていな
い値への還元と呼ぶ。
正整数Ｎを２進表現したときのビット長をＬとし、ｍ≧
Ｌなる整数ｍを用いて表わされるＲ＝２ｍに対して、正
整数Ａを ＡＲ ｍｏｄ Ｎ に対応させることを意味する。また、モンゴメリ演算域
で表示された値Ｂを ＢＲ-1 ｍｏｄ Ｎ に対応させることをモンゴメリ演算域に制限されていな
い値への還元と呼ぶ。
【０００９】ステップ３：次に、モンゴメリ演算域にお
けるアフィン座標表示された点Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）を、
モンゴメリ演算域における同次座標表示Ｐｐm（Ｘ1m，
Ｙ1m，Ｚ1m）に変換する。 ここで、アフィン座標表示
と同次座標表示の関係を説明する。
けるアフィン座標表示された点Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）を、
モンゴメリ演算域における同次座標表示Ｐｐm（Ｘ1m，
Ｙ1m，Ｚ1m）に変換する。 ここで、アフィン座標表示
と同次座標表示の関係を説明する。
【００１０】任意の有理数Ｚ（Ｚ≠０）を用いて、 Ｘ＝ｘＺ， Ｙ＝ｙＺ と定義したとき、点Ｐｐ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）はアフィン座標
表示の点Ｐ（ｘ，ｙ）を同次座標表示に変換した点と呼
ばれる。
表示の点Ｐ（ｘ，ｙ）を同次座標表示に変換した点と呼
ばれる。
【００１１】ステップ４：モンゴメリ演算域において同
次座標系で楕円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰｐm（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ
1m） を実行する。
次座標系で楕円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰｐm（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ
1m） を実行する。
【００１２】ステップ５：次に、モンゴメリ演算域にお
いて同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）
を、モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示された
点Ｔ m（ｘ2m，ｙ2m）に変換する。
いて同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）
を、モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示された
点Ｔ m（ｘ2m，ｙ2m）に変換する。
【００１３】ステップ６：さらに、モンゴメリ演算域に
おいてアフィン座標表示した点Ｔm（ｘ２m，ｙ2m）を通
常のアフィン座標表示の点Ｔ（ｘ2，ｙ2）に還元する。
おいてアフィン座標表示した点Ｔm（ｘ２m，ｙ2m）を通
常のアフィン座標表示の点Ｔ（ｘ2，ｙ2）に還元する。
【００１４】ステップ７：以上の演算によって得られた
通常のアフィン座標表示の点Ｔ（ｘ 2，ｙ2）を、ステッ
プ１で入力された点Ｐ（ｘ1，ｙ1）の楕円ｋ倍演算の結
果として出力する。
通常のアフィン座標表示の点Ｔ（ｘ 2，ｙ2）を、ステッ
プ１で入力された点Ｐ（ｘ1，ｙ1）の楕円ｋ倍演算の結
果として出力する。
【００１５】このように従来技術における楕円ｋ倍演算
のアルゴリズムでは、モンゴメリ演算域において同次座
標表示された点に対し楕円ｋ倍演算が適用される。
のアルゴリズムでは、モンゴメリ演算域において同次座
標表示された点に対し楕円ｋ倍演算が適用される。
【００１６】図８は、従来技術において適用されるモン
ゴメリ演算域において同次座標系での楕円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰｐm（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ
1m） の計算処理フローチャートであり、図７のステップ４の
詳細なフローチャートである。
ゴメリ演算域において同次座標系での楕円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰｐm（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ
1m） の計算処理フローチャートであり、図７のステップ４の
詳細なフローチャートである。
【００１７】ステップ１１：最初に、モンゴメリ演算域
において同次座標表示された点Ｐｐ m（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ
1m）の座標値Ｘ1m，Ｙ1m及びＺ1mを、Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ
2m，Ｚ 2m）のＸ2m，Ｙ2m及びＺ2mに各々代入し、変数ｉ
にｎ−２を代入する。ただし、ｋは、
において同次座標表示された点Ｐｐ m（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ
1m）の座標値Ｘ1m，Ｙ1m及びＺ1mを、Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ
2m，Ｚ 2m）のＸ2m，Ｙ2m及びＺ2mに各々代入し、変数ｉ
にｎ−２を代入する。ただし、ｋは、
【００１８】
【数１】 のように２進表現できるｎビットの整数であり、ｋの第
ｉ＋１ビット目の係数をｋi（∈｛０，１｝）とする。
以下、ｉとｋiの値に応じて楕円２倍演算と楕円加算演
算が繰り返し行われ、モンゴメリ演算域において同次座
標表示された点Ｐｐ m（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ1m）の楕円ｋ倍
演算の結果として、モンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）として得られ
出力される。
ｉ＋１ビット目の係数をｋi（∈｛０，１｝）とする。
以下、ｉとｋiの値に応じて楕円２倍演算と楕円加算演
算が繰り返し行われ、モンゴメリ演算域において同次座
標表示された点Ｐｐ m（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ1m）の楕円ｋ倍
演算の結果として、モンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）として得られ
出力される。
【００１９】より具体的には、ステップ１２でｉ≧０が
検査され、ステップ１３でｋi＝１が検査される。
検査され、ステップ１３でｋi＝１が検査される。
【００２０】ｉ≧０かつｋi＝１の場合には、ステップ
１４において、楕円２倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） が行われ、ステップ１５において、楕円加算演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）＋Ｐｐm（Ｘ2m，Ｙ2 m，Ｚ2m） が行われ、ステップ１７に進む。尚、←は代入演算を表
わす。
１４において、楕円２倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） が行われ、ステップ１５において、楕円加算演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）＋Ｐｐm（Ｘ2m，Ｙ2 m，Ｚ2m） が行われ、ステップ１７に進む。尚、←は代入演算を表
わす。
【００２１】ｉ≧０かつｋi≠１の場合には、ステップ
１６において、楕円２倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） が行われ、ステップ１７に進む。
１６において、楕円２倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） が行われ、ステップ１７に進む。
【００２２】ステップ１７では、ｉがデクリメント（ｉ
←ｉ−１）され、ステップ１２に戻る。
←ｉ−１）され、ステップ１２に戻る。
【００２３】また、ステップ１２において、ｉ≧０では
ないならば、ステップ１８に進み、楕円ｋ倍演算の結果
として、この時点でモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）が出力され
る。
ないならば、ステップ１８に進み、楕円ｋ倍演算の結果
として、この時点でモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）が出力され
る。
【００２４】図９は、従来技術の楕円ｋ倍演算で利用さ
れるモンゴメリ演算域において同次座標表示された点の
楕円２倍演算の計算処理フローチャートであり、図８の
ステップ１４の処理がより詳細に表わされている。
れるモンゴメリ演算域において同次座標表示された点の
楕円２倍演算の計算処理フローチャートであり、図８の
ステップ１４の処理がより詳細に表わされている。
【００２５】ステップ２１： モンゴメリ演算域におい
て同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）の
Ｙ2mの値が０と比較され、Ｙ2m＝０の場合には、ステッ
プ２２に進み、Ｙ2m≠０の場合には、ステップ２３に進
む。
て同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）の
Ｙ2mの値が０と比較され、Ｙ2m＝０の場合には、ステッ
プ２２に進み、Ｙ2m≠０の場合には、ステップ２３に進
む。
【００２６】ステップ２２： （Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に
（０，０，Ｒ ｍｏｄ ｐ）を代入して、ステップ２４に
進む。
（０，０，Ｒ ｍｏｄ ｐ）を代入して、ステップ２４に
進む。
【００２７】ステップ２３：この場合、以下に示すよう
にＸ3m、Ｙ3m及びＺ3mが計算され、Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）のＸ2m，Ｙ2m，Ｚ2mに代入された後、ステ
ップ２４に進む。
にＸ3m、Ｙ3m及びＺ3mが計算され、Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）のＸ2m，Ｙ2m，Ｚ2mに代入された後、ステ
ップ２４に進む。
【００２８】Ｘ3m←−１６Ｘ2mＹ2m ３Ｚ2m ２Ｒ-５＋２
（３Ｘ2m 2Ｒ-1＋ａmＺ2m ２Ｒ-２）2Ｙ2mＺ2mＲ-３ｍｏ
ｄ ｐ Ｙ3m←−８Ｙ2m 4Ｚ2m ２Ｒ-５＋１２Ｘ2mＹ2m ２Ｚ2m（３
Ｘ2m 2Ｒ-1＋ａmＺ2m ２Ｒ-２）Ｒ-４−（３Ｘ2m 2Ｒ-1＋
ａmＺ2m ２Ｒ-２）３Ｒ-２ ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←８Ｙ2m ３Ｚ2m ３Ｒ-５ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ２４：モンゴメリ演算域において同次座標表示
された点の楕円２倍演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m）が出力される。
（３Ｘ2m 2Ｒ-1＋ａmＺ2m ２Ｒ-２）2Ｙ2mＺ2mＲ-３ｍｏ
ｄ ｐ Ｙ3m←−８Ｙ2m 4Ｚ2m ２Ｒ-５＋１２Ｘ2mＹ2m ２Ｚ2m（３
Ｘ2m 2Ｒ-1＋ａmＺ2m ２Ｒ-２）Ｒ-４−（３Ｘ2m 2Ｒ-1＋
ａmＺ2m ２Ｒ-２）３Ｒ-２ ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←８Ｙ2m ３Ｚ2m ３Ｒ-５ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ２４：モンゴメリ演算域において同次座標表示
された点の楕円２倍演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m）が出力される。
【００２９】図１０は、従来技術の楕円ｋ倍演算で利用
されるモンゴメリ演算域において同次座標表示された点
の楕円加算演算の計算処理フローチャートであり、図８
のステップ１５がより詳細に示されている。
されるモンゴメリ演算域において同次座標表示された点
の楕円加算演算の計算処理フローチャートであり、図８
のステップ１５がより詳細に示されている。
【００３０】Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＋Ｐｐm（Ｘ１m，Ｙ １m，Ｚ
１m） の計算は、以下の手順で行われる。
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＋Ｐｐm（Ｘ１m，Ｙ １m，Ｚ
１m） の計算は、以下の手順で行われる。
【００３１】ステップ３１：（Ｘ2m，Ｙ2m）＝（０，
０）かどうかが検査され、（Ｘ2m，Ｙ 2m）＝（０，０）
であるならば、ステップ３２に進み、さもなければ、ス
テップ３３に進む。
０）かどうかが検査され、（Ｘ2m，Ｙ 2m）＝（０，０）
であるならば、ステップ３２に進み、さもなければ、ス
テップ３３に進む。
【００３２】ステップ３２：（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に
（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ1m）を代入して、ステップ３８に進
む。
（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ1m）を代入して、ステップ３８に進
む。
【００３３】ステップ３３：次式 Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１≡０ （ｍｏｄ ｐ） が成立するかどうかを検査し、結果が肯定的な場合、ス
テップ３４に進み、さもなければ、ステップ３７に進
む。
テップ３４に進み、さもなければ、ステップ３７に進
む。
【００３４】ステップ３４：次式 Ｙ2mＺ1mＲ-１−Ｙ1mＺ2mＲ-１≡０ （ｍｏｄ ｐ） が成立するかどうかを検査し、結果が肯定的な場合、ス
テップ３６に進み、さもなければ、ステップ３５に進
む。
テップ３６に進み、さもなければ、ステップ３５に進
む。
【００３５】ステップ３５：（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に
（０，０，Ｚ2m）を代入して、ステップ３８に進む。
（０，０，Ｚ2m）を代入して、ステップ３８に進む。
【００３６】ステップ３６：図９に関して説明した楕円
２倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） を行い、ステップ３８に進む。
２倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） を行い、ステップ３８に進む。
【００３７】ステップ３７：この場合、以下に示すよう
にＸ3m、Ｙ3m及びＺ3mが計算され、Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）のＸ2m，Ｙ2m，Ｚ2mに代入された後、ステ
ップ３８に進む。
にＸ3m、Ｙ3m及びＺ3mが計算され、Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）のＸ2m，Ｙ2m，Ｚ2mに代入された後、ステ
ップ３８に進む。
【００３８】Ｘ3m←（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）
（Ｚ1mＺ2m（Ｙ2mＺ1mＲ-１−Ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-３−
（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）３Ｒ-2−２Ｘ１mＺ
２m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）２Ｒ-３）Ｒ-1
ｍｏｄ ｐ Ｙ3m←−Ｙ1mＺ2m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）3
Ｒ-４＋（Ｙ2mＺ1mＲ- １−Ｙ1mＺ2mＲ-１）（３Ｘ1mＺ
2m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-３−Ｚ1mＺ2m
（Ｙ2mＺ1mＲ-１−Ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-３＋（Ｘ2mＺ1m
Ｒ-１−Ｘ1mＺ2 mＲ-１）3Ｒ-２）Ｒ-1 ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←Ｚ1mＺ2m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ
-４ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ３８：モンゴメリ演算域において同次座標表示
された点の楕円加算演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m）が出力される。
（Ｚ1mＺ2m（Ｙ2mＺ1mＲ-１−Ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-３−
（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）３Ｒ-2−２Ｘ１mＺ
２m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）２Ｒ-３）Ｒ-1
ｍｏｄ ｐ Ｙ3m←−Ｙ1mＺ2m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）3
Ｒ-４＋（Ｙ2mＺ1mＲ- １−Ｙ1mＺ2mＲ-１）（３Ｘ1mＺ
2m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-３−Ｚ1mＺ2m
（Ｙ2mＺ1mＲ-１−Ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-３＋（Ｘ2mＺ1m
Ｒ-１−Ｘ1mＺ2 mＲ-１）3Ｒ-２）Ｒ-1 ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←Ｚ1mＺ2m（Ｘ2mＺ1mＲ-１−Ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ
-４ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ３８：モンゴメリ演算域において同次座標表示
された点の楕円加算演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m）が出力される。
【００３９】図７乃至１０を参照して説明した従来技術
による楕円ｋ倍演算の手順に従って、式（１）で定義さ
れたｋを用いて、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰｐm（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ1m） （２） を算出する場合、楕円加算演算は、モンゴメリ演算域に
おいて同次座標系だけに基づいて計算される。このよう
な従来技術による楕円ｋ倍演算に必要なモンゴメリ演算
域における乗算剰余演算と加算剰余演算／減算剰余演算
の演算回数は図１１に示されている。従来技術の楕円ｋ
倍演算の手順の場合、式（２）の計算は、図８乃至１０
に示されているように、モンゴメリ演算域における乗算
剰余演算と、加算剰余演算／減算剰余演算とのみで算出
できる。
による楕円ｋ倍演算の手順に従って、式（１）で定義さ
れたｋを用いて、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰｐm（Ｘ1m，Ｙ1m，Ｚ1m） （２） を算出する場合、楕円加算演算は、モンゴメリ演算域に
おいて同次座標系だけに基づいて計算される。このよう
な従来技術による楕円ｋ倍演算に必要なモンゴメリ演算
域における乗算剰余演算と加算剰余演算／減算剰余演算
の演算回数は図１１に示されている。従来技術の楕円ｋ
倍演算の手順の場合、式（２）の計算は、図８乃至１０
に示されているように、モンゴメリ演算域における乗算
剰余演算と、加算剰余演算／減算剰余演算とのみで算出
できる。
【００４０】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上記の
従来技術の楕円ｋ倍演算は、モンゴメリ演算域における
乗算剰余演算回数が多いため、多くの処理時間を要する
という問題がある。また、このような従来技術の楕円ｋ
倍演算を用いて楕円曲線暗号系を構築するためには非常
に高性能、したがって、高価格の演算処理装置が必要で
ある。
従来技術の楕円ｋ倍演算は、モンゴメリ演算域における
乗算剰余演算回数が多いため、多くの処理時間を要する
という問題がある。また、このような従来技術の楕円ｋ
倍演算を用いて楕円曲線暗号系を構築するためには非常
に高性能、したがって、高価格の演算処理装置が必要で
ある。
【００４１】そのため、本発明は、素体Ｆp上の楕円曲
線Ｅ／Ｆp上の点をＰ（ｘ1，ｙ1）とし、任意の整数を
ｋとした場合に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での楕円ｋ倍演算
ｋＰ（ｘ1，ｙ1）が従来技術の演算手順よりも高速に処
理され得る楕円曲線上の演算方法、演算装置、並びに、
演算プログラムを記録した記録媒体の提供を目的とす
る。
線Ｅ／Ｆp上の点をＰ（ｘ1，ｙ1）とし、任意の整数を
ｋとした場合に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での楕円ｋ倍演算
ｋＰ（ｘ1，ｙ1）が従来技術の演算手順よりも高速に処
理され得る楕円曲線上の演算方法、演算装置、並びに、
演算プログラムを記録した記録媒体の提供を目的とす
る。
【００４２】
【課題を解決するための手段】上記本発明の目的を達成
するため、本発明では、処理時間の高速化を図るため、
従来技術の場合よりも少ない演算回数の乗算剰余演算を
用いて楕円ｋ倍演算を実現するアルゴリズムを提案す
る。
するため、本発明では、処理時間の高速化を図るため、
従来技術の場合よりも少ない演算回数の乗算剰余演算を
用いて楕円ｋ倍演算を実現するアルゴリズムを提案す
る。
【００４３】そのため、本発明によれば、楕円加算をモ
ンゴメリ演算域においてアフィン座標系と同次座標系と
を混在させた形式で計算することにより、乗算剰余演算
の実行回数が削減され、処理時間が短くなる。
ンゴメリ演算域においてアフィン座標系と同次座標系と
を混在させた形式で計算することにより、乗算剰余演算
の実行回数が削減され、処理時間が短くなる。
【００４４】請求項１に係る発明は、素体上の楕円曲線
の上のアフィン座標表示された第１の点の座標値及び上
記楕円曲線を定めるパラメータ値をモンゴメリ演算域に
おける値に変換する工程と、モンゴメリ演算域におい
て、上記第１の点のアフィン座標表示された座標値を楕
円ｋ倍演算して上記第１の点と同じ楕円曲線の上にある
第２の点の同次座標表示された座標値を獲得する工程
と、モンゴメリ演算域において、上記第２の点の同次座
標表示された座標値をアフィン座標表示された座標値に
変換する工程と、モンゴメリ演算域における上記第２の
点のアフィン座標表示された座標値をモンゴメリ演算域
から還元して上記アフィン座標表示された上記第２の点
の座標値を得る工程とを有し、上記素体上の楕円曲線の
上のアフィン座標表示された第１の点を同じ楕円曲線上
のアフィン座標表示された第２の点に整数倍する、計算
機で使用される楕円曲線上の演算方法であって、モンゴ
メリ演算域において、上記第１の点のアフィン座標表示
された座標値を楕円ｋ倍演算する計算は、モンゴメリ演
算域においてアフィン座標表示された座標値と同次座標
表示された座標値とを混在した形式で行われることを特
徴とする。
の上のアフィン座標表示された第１の点の座標値及び上
記楕円曲線を定めるパラメータ値をモンゴメリ演算域に
おける値に変換する工程と、モンゴメリ演算域におい
て、上記第１の点のアフィン座標表示された座標値を楕
円ｋ倍演算して上記第１の点と同じ楕円曲線の上にある
第２の点の同次座標表示された座標値を獲得する工程
と、モンゴメリ演算域において、上記第２の点の同次座
標表示された座標値をアフィン座標表示された座標値に
変換する工程と、モンゴメリ演算域における上記第２の
点のアフィン座標表示された座標値をモンゴメリ演算域
から還元して上記アフィン座標表示された上記第２の点
の座標値を得る工程とを有し、上記素体上の楕円曲線の
上のアフィン座標表示された第１の点を同じ楕円曲線上
のアフィン座標表示された第２の点に整数倍する、計算
機で使用される楕円曲線上の演算方法であって、モンゴ
メリ演算域において、上記第１の点のアフィン座標表示
された座標値を楕円ｋ倍演算する計算は、モンゴメリ演
算域においてアフィン座標表示された座標値と同次座標
表示された座標値とを混在した形式で行われることを特
徴とする。
【００４５】また、上記楕円曲線上の演算方法、すなわ
ち、上記モンゴメリ演算域において第１の点のアフィン
座標表示された座標値を楕円ｋ倍演算する計算は、アフ
ィン座標表示された座標値を楕円２倍演算して同次座標
表示された座標値を得る工程と、同次座標表示された座
標値とアフィン座標表示された座標値を楕円加算演算し
て同次座標表示された別の座標値を得る工程と、アフィ
ン座標表示された座標値を同次座標表示された座標値に
変換する工程と、同次座標表示された座標値を楕円２倍
演算して同次座標表示された別の座標値を得る工程と
を、上記第１の点の座標値と整数倍の倍数の値とに応じ
て組み合わせることにより行われることを特徴とする。
ち、上記モンゴメリ演算域において第１の点のアフィン
座標表示された座標値を楕円ｋ倍演算する計算は、アフ
ィン座標表示された座標値を楕円２倍演算して同次座標
表示された座標値を得る工程と、同次座標表示された座
標値とアフィン座標表示された座標値を楕円加算演算し
て同次座標表示された別の座標値を得る工程と、アフィ
ン座標表示された座標値を同次座標表示された座標値に
変換する工程と、同次座標表示された座標値を楕円２倍
演算して同次座標表示された別の座標値を得る工程と
を、上記第１の点の座標値と整数倍の倍数の値とに応じ
て組み合わせることにより行われることを特徴とする。
【００４６】好ましくは、上記素体上の楕円曲線の上の
アフィン座標表示された第１の点、同じ楕円曲線上のア
フィン座標表示された第２の点、及び、上記整数倍の倍
数は、楕円曲線暗号系の暗号化情報に対応している。
アフィン座標表示された第１の点、同じ楕円曲線上のア
フィン座標表示された第２の点、及び、上記整数倍の倍
数は、楕円曲線暗号系の暗号化情報に対応している。
【００４７】請求項４に係る発明は、素数ｐによって表
わされる素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算機により自動的に計算する楕円曲線上の演算方法
であって、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示され
た点、及び楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータ値を
モンゴメリ演算域に変換するステップと、モンゴメリ演
算域において、アフィン座標表示された点を同次座標表
示された点に変換するステップと、モンゴメリ演算域に
おいて、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された
点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算された点を同次座標
表示するステップと、モンゴメリ演算域において、楕円
曲線Ｅ／Ｆp上の同次座標表示された点を楕円２倍演算
するステップと、モンゴメリ演算域において、楕円曲線
Ｅ／Ｆp上でアフィン座標表示された第１の点と上記第
１の点とは異なる同次座標表示された第２の点を楕円加
算演算するステップと、モンゴメリ演算域において、同
次座標表示された点をアフィン座標表示された点に変換
するステップと、モンゴメリ演算域におけるアフィン座
標表示の点を、モンゴメリ演算域に制限されていないア
フィン座標表示の点に還元するステップと、倍数ｋの値
と楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じて、点Ｐのｋ
倍算が計算されるように上記の演算のためのステップの
実行手順を定め、上記実行手順に基づいてｋ倍算の途中
結果の値を順次更新するステップとを有することを特徴
とする。
わされる素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算機により自動的に計算する楕円曲線上の演算方法
であって、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示され
た点、及び楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータ値を
モンゴメリ演算域に変換するステップと、モンゴメリ演
算域において、アフィン座標表示された点を同次座標表
示された点に変換するステップと、モンゴメリ演算域に
おいて、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された
点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算された点を同次座標
表示するステップと、モンゴメリ演算域において、楕円
曲線Ｅ／Ｆp上の同次座標表示された点を楕円２倍演算
するステップと、モンゴメリ演算域において、楕円曲線
Ｅ／Ｆp上でアフィン座標表示された第１の点と上記第
１の点とは異なる同次座標表示された第２の点を楕円加
算演算するステップと、モンゴメリ演算域において、同
次座標表示された点をアフィン座標表示された点に変換
するステップと、モンゴメリ演算域におけるアフィン座
標表示の点を、モンゴメリ演算域に制限されていないア
フィン座標表示の点に還元するステップと、倍数ｋの値
と楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じて、点Ｐのｋ
倍算が計算されるように上記の演算のためのステップの
実行手順を定め、上記実行手順に基づいてｋ倍算の途中
結果の値を順次更新するステップとを有することを特徴
とする。
【００４８】請求項５に係る発明は、素数ｐによって表
わされる素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算する楕円曲線上の演算装置であって、楕円曲線Ｅ
／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び楕円曲線Ｅ
／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ演算域に変
換する演算部と、モンゴメリ演算域において、アフィン
座標表示された点を同次座標表示された点に変換する演
算部と、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp
上のアフィン座標表示された点を楕円２倍演算し、楕円
２倍演算された点を同次座標表示する演算部と、モンゴ
メリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次座標表
示された点を楕円２倍演算する演算部と、モンゴメリ演
算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上でアフィン座標表示
された第１の点と上記第１の点とは異なる同次座標表示
された第２の点を楕円加算演算し、同次座標表示する演
算部と、モンゴメリ演算域において、同次座標表示され
た点をアフィン座標表示された点に変換する演算部と、
モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点を、モ
ンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座標表示の
点に還元する演算部と、倍数ｋの値と楕円曲線Ｅ／Ｆp
上の点Ｐの値とに応じて、点Ｐのｋ倍算が計算されるよ
うに上記の各演算部を作動させる制御部と、上記の各演
算部によって生成される演算結果を格納する記憶部とを
有することを特徴とする。
わされる素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算する楕円曲線上の演算装置であって、楕円曲線Ｅ
／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び楕円曲線Ｅ
／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ演算域に変
換する演算部と、モンゴメリ演算域において、アフィン
座標表示された点を同次座標表示された点に変換する演
算部と、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp
上のアフィン座標表示された点を楕円２倍演算し、楕円
２倍演算された点を同次座標表示する演算部と、モンゴ
メリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次座標表
示された点を楕円２倍演算する演算部と、モンゴメリ演
算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上でアフィン座標表示
された第１の点と上記第１の点とは異なる同次座標表示
された第２の点を楕円加算演算し、同次座標表示する演
算部と、モンゴメリ演算域において、同次座標表示され
た点をアフィン座標表示された点に変換する演算部と、
モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点を、モ
ンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座標表示の
点に還元する演算部と、倍数ｋの値と楕円曲線Ｅ／Ｆp
上の点Ｐの値とに応じて、点Ｐのｋ倍算が計算されるよ
うに上記の各演算部を作動させる制御部と、上記の各演
算部によって生成される演算結果を格納する記憶部とを
有することを特徴とする。
【００４９】請求項６に係る発明は、素数ｐによって表
わされる素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算する楕円曲線上の演算計算プログラムを記録した
計算機が読み取り可能な記録媒体であって、楕円曲線Ｅ
／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び楕円曲線Ｅ
／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ演算域に変
換させるプロセスと、モンゴメリ演算域において、アフ
ィン座標表示された点を同次座標表示された点に変換さ
せるプロセスと、モンゴメリ演算域において、楕円曲線
Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された点を楕円２倍演算
し、楕円２倍演算された点を同次座標表示させるプロセ
スと、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上
の同次座標表示された点を楕円２倍演算させるプロセス
と、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上で
アフィン座標表示された第１の点と上記第１の点とは異
なる同次座標表示された第２の点を楕円加算演算させる
プロセスと、モンゴメリ演算域において、同次座標表示
された点をアフィン座標表示された点に変換させるプロ
セスと、モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の
点を、モンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座
標表示の点に還元させるプロセスと、倍数ｋの値と楕円
曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じて、上記の演算のた
めの各プロセスの実行手順を定め、上記実行手順に基づ
いてｋ倍算の途中結果を順次更新させるプロセスとが記
録されていることを特徴とする。
わされる素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算する楕円曲線上の演算計算プログラムを記録した
計算機が読み取り可能な記録媒体であって、楕円曲線Ｅ
／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び楕円曲線Ｅ
／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ演算域に変
換させるプロセスと、モンゴメリ演算域において、アフ
ィン座標表示された点を同次座標表示された点に変換さ
せるプロセスと、モンゴメリ演算域において、楕円曲線
Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された点を楕円２倍演算
し、楕円２倍演算された点を同次座標表示させるプロセ
スと、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上
の同次座標表示された点を楕円２倍演算させるプロセス
と、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上で
アフィン座標表示された第１の点と上記第１の点とは異
なる同次座標表示された第２の点を楕円加算演算させる
プロセスと、モンゴメリ演算域において、同次座標表示
された点をアフィン座標表示された点に変換させるプロ
セスと、モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の
点を、モンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座
標表示の点に還元させるプロセスと、倍数ｋの値と楕円
曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じて、上記の演算のた
めの各プロセスの実行手順を定め、上記実行手順に基づ
いてｋ倍算の途中結果を順次更新させるプロセスとが記
録されていることを特徴とする。
【００５０】
【発明の実施の形態】以下、本発明の一実施例の形態に
ついて説明する。そのため、素数ｐを用いて表わされる
素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ２＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆpを考える。楕
円ｋ倍演算は、素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp：ｙ2≡ｘ3
＋ａｘ＋ｂ上のアフィン座標表示された点をＰ（ｘ1，
ｙ1）とし、正整数をｋとしたときに、 Ｔ（ｘ2，ｙ2）＝ｋＰ（ｘ1，ｙ1） で表わされる値ｘ2，ｙ2を求める演算である。Ｔ
（ｘ2，ｙ2）も楕円曲線Ｅ／Ｆ p上の点である。ただ
し、ｋは、
ついて説明する。そのため、素数ｐを用いて表わされる
素体をＦpとし、 Ｅ：ｙ２＝ｘ３＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆpを考える。楕
円ｋ倍演算は、素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp：ｙ2≡ｘ3
＋ａｘ＋ｂ上のアフィン座標表示された点をＰ（ｘ1，
ｙ1）とし、正整数をｋとしたときに、 Ｔ（ｘ2，ｙ2）＝ｋＰ（ｘ1，ｙ1） で表わされる値ｘ2，ｙ2を求める演算である。Ｔ
（ｘ2，ｙ2）も楕円曲線Ｅ／Ｆ p上の点である。ただ
し、ｋは、
【００５１】
【数２】 のように２進表現できるｎビットの整数であり、ｋの第
ｉ＋１ビット目の係数をｋi（∈｛０，１｝）とする。
ｉ＋１ビット目の係数をｋi（∈｛０，１｝）とする。
【００５２】図1は、本発明の一実施例による楕円曲線
上の楕円ｋ倍演算装置の構成図である。同図に示される
ように、楕円ｋ倍演算装置は、制御部１と記憶部２と演
算部３とにより構成される。
上の楕円ｋ倍演算装置の構成図である。同図に示される
ように、楕円ｋ倍演算装置は、制御部１と記憶部２と演
算部３とにより構成される。
【００５３】制御部１は、楕円ｋ倍演算装置の全体の動
作の制御を司る。制御部１は、式（３）で表わされた倍
数ｋを保持するレジスタ及び変数ｉをカウントするカウ
ンタを含む（図示しない）。
作の制御を司る。制御部１は、式（３）で表わされた倍
数ｋを保持するレジスタ及び変数ｉをカウントするカウ
ンタを含む（図示しない）。
【００５４】制御部１は、ｉ＝ｎ−１，ｎ−
２，．．．，２，１，０の順番に、順次ｋiの値に応じ
て、記憶部２に対して所定のデータの読み出しを指示
し、演算部３に対し、演算の種類と実行順序を指示す
る。また、制御部１は、所定データに関して、モンゴメ
リ演算域への変換、アフィン座標から同次座標への変
換、アフィン座標表示の点の楕円２倍演算、同次座標表
示の点の楕円２倍演算、アフィン座標表示の点と同次座
標表示の点との楕円加算演算、同次座標からアフィン座
標への変換、及びモンゴメリ演算域からの還元を実行す
るため、記憶部２に対して所定データの読み出しを指示
し、演算部３に対して個々の演算に対応した演算ユニッ
ト、すなわち、モンゴメリ演算域変換部１１、アフィン
・同次座標変換部１２、アフィン座標楕円２倍演算部１
３、同次座標楕円２倍演算部１４、アフィン・同次座標
楕円加算演算部１５、同次・アフィン座標変換部１６、
及びモンゴメリ演算域還元部１７の選択、実行順序を指
示する。
２，．．．，２，１，０の順番に、順次ｋiの値に応じ
て、記憶部２に対して所定のデータの読み出しを指示
し、演算部３に対し、演算の種類と実行順序を指示す
る。また、制御部１は、所定データに関して、モンゴメ
リ演算域への変換、アフィン座標から同次座標への変
換、アフィン座標表示の点の楕円２倍演算、同次座標表
示の点の楕円２倍演算、アフィン座標表示の点と同次座
標表示の点との楕円加算演算、同次座標からアフィン座
標への変換、及びモンゴメリ演算域からの還元を実行す
るため、記憶部２に対して所定データの読み出しを指示
し、演算部３に対して個々の演算に対応した演算ユニッ
ト、すなわち、モンゴメリ演算域変換部１１、アフィン
・同次座標変換部１２、アフィン座標楕円２倍演算部１
３、同次座標楕円２倍演算部１４、アフィン・同次座標
楕円加算演算部１５、同次・アフィン座標変換部１６、
及びモンゴメリ演算域還元部１７の選択、実行順序を指
示する。
【００５５】記憶部２は、上記のＰ（ｘ1，ｙ1）及びＴ
（ｘ2，ｙ2）等のデータを格納し、制御部１によって指
示されたデータを演算部３の各演算ユニット１１，１
２，．．．，１７に与える。
（ｘ2，ｙ2）等のデータを格納し、制御部１によって指
示されたデータを演算部３の各演算ユニット１１，１
２，．．．，１７に与える。
【００５６】演算部３は、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィ
ン座標表示された点及び楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパ
ラメータ値をモンゴメリ演算域に変換するモンゴメリ演
算域変換部１１と、モンゴメリ演算域において、アフィ
ン座標表示された点を同次座標表示された点に変換する
アフィン・同次座標変換部１２と、モンゴメリ演算域に
おいて、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された
点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算された点を同次座標
座標表示するアフィン座標楕円２倍演算部１３と、モン
ゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次座標
表示された点を楕円２倍演算する同次座標楕円２倍演算
部１４と、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆ
p上でアフィン座標表示された第１の点と上記第１の点
とは異なる同次座標表示された第２の点を楕円加算演算
するアフィン・同次座標楕円加算演算部１５と、モンゴ
メリ演算域において、同次座標表示された点をアフィン
座標表示された点に変換する同次・アフィン座標変換部
１６と、モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の
点を、モンゴメリ演算域からアフィン座標表示の点に還
元するモンゴメリ演算域還元部１７とを有し、記憶部２
から与えられたデータを入力として、制御部１によって
指示された演算を指示された順序で実行し、演算結果で
あるＴ（ｘ2，ｙ2）を記憶部２に格納する。
ン座標表示された点及び楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパ
ラメータ値をモンゴメリ演算域に変換するモンゴメリ演
算域変換部１１と、モンゴメリ演算域において、アフィ
ン座標表示された点を同次座標表示された点に変換する
アフィン・同次座標変換部１２と、モンゴメリ演算域に
おいて、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された
点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算された点を同次座標
座標表示するアフィン座標楕円２倍演算部１３と、モン
ゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次座標
表示された点を楕円２倍演算する同次座標楕円２倍演算
部１４と、モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆ
p上でアフィン座標表示された第１の点と上記第１の点
とは異なる同次座標表示された第２の点を楕円加算演算
するアフィン・同次座標楕円加算演算部１５と、モンゴ
メリ演算域において、同次座標表示された点をアフィン
座標表示された点に変換する同次・アフィン座標変換部
１６と、モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の
点を、モンゴメリ演算域からアフィン座標表示の点に還
元するモンゴメリ演算域還元部１７とを有し、記憶部２
から与えられたデータを入力として、制御部１によって
指示された演算を指示された順序で実行し、演算結果で
あるＴ（ｘ2，ｙ2）を記憶部２に格納する。
【００５７】図２は、本発明の一実施例による楕円ｋ倍
演算装置の動作を概略的に示す計算処理フローチャート
である。
演算装置の動作を概略的に示す計算処理フローチャート
である。
【００５８】ステップ１０１：制御部１の制御下で、素
体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータａ，ｐ
と、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐ（ｘ1，ｙ1）及び楕円ｋ
倍演算の倍数ｋを入力し、記憶部２、又は、制御部１の
内部レジスタに格納する。
体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータａ，ｐ
と、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐ（ｘ1，ｙ1）及び楕円ｋ
倍演算の倍数ｋを入力し、記憶部２、又は、制御部１の
内部レジスタに格納する。
【００５９】ステップ１０２：制御部１により記憶部２
及び演算部３のモンゴメリ演算域変換部１１の動作を制
御して、パラメータａ及び楕円曲線上の点Ｐ（ｘ1，
ｙ1）を、それぞれ、モンゴメリ演算域での表示ａm及び
Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）に変換し、その変換結果を記憶部２
に格納する。
及び演算部３のモンゴメリ演算域変換部１１の動作を制
御して、パラメータａ及び楕円曲線上の点Ｐ（ｘ1，
ｙ1）を、それぞれ、モンゴメリ演算域での表示ａm及び
Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）に変換し、その変換結果を記憶部２
に格納する。
【００６０】ステップ１０３：次に、制御部１により記
憶部２及び演算部３の動作を制御して、モンゴメリ演算
域においてアフィン座標表示と同次座標表示を混在させ
た形式で、楕円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰm（ｘ1m，ｙ1m） の計算を実行し、計算結果を記憶部２に格納する。
憶部２及び演算部３の動作を制御して、モンゴメリ演算
域においてアフィン座標表示と同次座標表示を混在させ
た形式で、楕円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰm（ｘ1m，ｙ1m） の計算を実行し、計算結果を記憶部２に格納する。
【００６１】ステップ１０４：制御部１により記憶部２
及び演算部３の動作を制御して、モンゴメリ演算域にお
ける同次座標表示の点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）をモ
ンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点Ｔm（ｘ
2m，ｙ2m）に変換して、その変換結果を記憶部２に格納
する。
及び演算部３の動作を制御して、モンゴメリ演算域にお
ける同次座標表示の点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）をモ
ンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点Ｔm（ｘ
2m，ｙ2m）に変換して、その変換結果を記憶部２に格納
する。
【００６２】ステップ１０５：次に、制御部１により記
憶部２及び演算部３の動作を制御して、モンゴメリ演算
域におけるアフィン座標表示の点Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）を
通常のアフィン座標表示の点Ｔ（ｘ2，ｙ2）に還元し
て、還元結果を記憶部２に格納する。
憶部２及び演算部３の動作を制御して、モンゴメリ演算
域におけるアフィン座標表示の点Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）を
通常のアフィン座標表示の点Ｔ（ｘ2，ｙ2）に還元し
て、還元結果を記憶部２に格納する。
【００６３】ステップ１０６：最後に、記憶部２に格納
された演算結果の点Ｔ（ｘ2，ｙ2）を出力する。
された演算結果の点Ｔ（ｘ2，ｙ2）を出力する。
【００６４】図3は、図2のステップ１０３で行われる楕
円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰm（ｘ1m，ｙ1m） の計算の処理フローチャートである。以下、図3を参照
して、本発明の一実施例による楕円ｋ倍演算の計算につ
いて説明する。
円ｋ倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰm（ｘ1m，ｙ1m） の計算の処理フローチャートである。以下、図3を参照
して、本発明の一実施例による楕円ｋ倍演算の計算につ
いて説明する。
【００６５】ステップ１１１：最初に、モンゴメリ演算
域においてアフィン座標表示された点Ｐm（ｘ1m，
ｙ1m）のｘ1m及びｙ1mをＴm（ｘ2m，ｙ2m）のｘ2m及び
ｙ2mに代入し、変数ｉにｎ−２を代入する。
域においてアフィン座標表示された点Ｐm（ｘ1m，
ｙ1m）のｘ1m及びｙ1mをＴm（ｘ2m，ｙ2m）のｘ2m及び
ｙ2mに代入し、変数ｉにｎ−２を代入する。
【００６６】ステップ１１２：ｉ≧０であるかどうかが
検査され、ｉ≧０であるならば、ステップ１１３に進
み、さもなければ、ステップ１１７に進む。
検査され、ｉ≧０であるならば、ステップ１１３に進
み、さもなければ、ステップ１１７に進む。
【００６７】ステップ１１３：ｋi＝１であるかどうか
か検査され、ｋi＝１であるならば、ステップ１１４に
進み、さもなければ、ステップ１１６に進む。
か検査され、ｋi＝１であるならば、ステップ１１４に
進み、さもなければ、ステップ１１６に進む。
【００６８】ステップ１１４：計算Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）が行われる。この
計算は、モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示さ
れた点Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）を楕円２倍演算し、その演算
結果をモンゴメリ演算域において同次座標表示された点
Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表わす。
Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）が行われる。この
計算は、モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示さ
れた点Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）を楕円２倍演算し、その演算
結果をモンゴメリ演算域において同次座標表示された点
Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表わす。
【００６９】ステップ１１５：計算Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＋Ｐ
m（ｘ1m，ｙ1m）が行われる。この計算は、モンゴメリ
演算域において同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ
2m，Ｚ2m）と、モンゴメリ演算域においてアフィン座標
表示された点Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）を楕円加算演算し、そ
の演算結果をモンゴメリ演算域において同次座標表示さ
れた点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表わす。続いてス
テップ１１８に進む。 ステップ１１６：ステップ１１４と同様の計算Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）が行わ
れる。
Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＋Ｐ
m（ｘ1m，ｙ1m）が行われる。この計算は、モンゴメリ
演算域において同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ
2m，Ｚ2m）と、モンゴメリ演算域においてアフィン座標
表示された点Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）を楕円加算演算し、そ
の演算結果をモンゴメリ演算域において同次座標表示さ
れた点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表わす。続いてス
テップ１１８に進む。 ステップ１１６：ステップ１１４と同様の計算Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）が行わ
れる。
【００７０】ステップ１１７：計算Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）が行われる。この計
算は、モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示され
た点Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）をモンゴメリ演算域において同
次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に変換
し、ステップ１２５に進む。
Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）が行われる。この計
算は、モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示され
た点Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）をモンゴメリ演算域において同
次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に変換
し、ステップ１２５に進む。
【００７１】ステップ１１８：ｉがデクリメント（ｉ←
ｉ−１）され、ステップ１１９に進む。
ｉ−１）され、ステップ１１９に進む。
【００７２】ステップ１１９：ｉ≧０であるかどうかが
検査され、ｉ≧０であるならば、ステップ１２０に進
み、さもなければ、ステップ１２５に進む。
検査され、ｉ≧０であるならば、ステップ１２０に進
み、さもなければ、ステップ１２５に進む。
【００７３】ステップ１２０：ｋi＝１であるかどうか
が検査され、ｋi＝１であるならば、ステップ１２１に
進み、さもなければ、ステップ１２３に進む。
が検査され、ｋi＝１であるならば、ステップ１２１に
進み、さもなければ、ステップ１２３に進む。
【００７４】ステップ１２１：計算Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ 2m）が行われ
る。この計算は、モンゴメリ演算域において同次座標表
示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）を楕円２倍演算
し、その演算結果をモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表す。
Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ 2m）が行われ
る。この計算は、モンゴメリ演算域において同次座標表
示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）を楕円２倍演算
し、その演算結果をモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表す。
【００７５】ステップ１２２： ステップ１１５と同様
に計算Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）＋Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）が行われる。続いて
ステップ１２４に進む。
に計算Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）＋Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）が行われる。続いて
ステップ１２４に進む。
【００７６】ステップ１２３：ステップ１２１と同様に
計算Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）が行われる。
計算Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，
Ｙ2m，Ｚ2m）が行われる。
【００７７】ステップ１２４：ｉがデクリメント（ｉ←
ｉ−１）され、ステップ１１９に戻る。
ｉ−１）され、ステップ１１９に戻る。
【００７８】ステップ１２５：楕円２倍演算の結果がモ
ンゴメリ演算域において同次座標表示された点Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）の形で出力される。
ンゴメリ演算域において同次座標表示された点Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）の形で出力される。
【００７９】このように、本発明の一実施例による楕円
ｋ倍演算の計算処理は、ｉとｋiの値に応じて楕円２倍
演算と楕円加算演算を繰り返し行うことにより、モンゴ
メリ演算域においてアフィン座標表示された点Ｐm（ｘ
1m，ｙ1m）を楕円ｋ倍演算し、モンゴメリ演算域におい
て同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）を
得る。
ｋ倍演算の計算処理は、ｉとｋiの値に応じて楕円２倍
演算と楕円加算演算を繰り返し行うことにより、モンゴ
メリ演算域においてアフィン座標表示された点Ｐm（ｘ
1m，ｙ1m）を楕円ｋ倍演算し、モンゴメリ演算域におい
て同次座標表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）を
得る。
【００８０】図４は、図３のステップ１１４に示された
モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示された点Ｔ
m（ｘ2m，ｙ2m）を楕円２倍演算し、その演算結果をモ
ンゴメリ演算域において同次座標表示された点Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表す計算、すなわち、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔm（ｘ2m，ｙ2m） の計算処理フローチャートである。
モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示された点Ｔ
m（ｘ2m，ｙ2m）を楕円２倍演算し、その演算結果をモ
ンゴメリ演算域において同次座標表示された点Ｔ
ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表す計算、すなわち、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔm（ｘ2m，ｙ2m） の計算処理フローチャートである。
【００８１】ステップ１３１：ｙ2m＝０であるかどうか
が判定され、ｙ2m＝０であるならば、ステップ１３２に
進み、さもなければ、ステップ１３３に進む。
が判定され、ｙ2m＝０であるならば、ステップ１３２に
進み、さもなければ、ステップ１３３に進む。
【００８２】ステップ１３２：（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に
（０，０，Ｒ ｍｏｄ ｐ）を代入して、ステップ１３４
に進む。
（０，０，Ｒ ｍｏｄ ｐ）を代入して、ステップ１３４
に進む。
【００８３】ステップ１３３：以下の通り、Ｘ3m、Ｙ3m
及びＺ3mが計算され、Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）のＸ
2m、Ｙ2m及びＺ2m に代入された後、ステップ１３４に
進む。
及びＺ3mが計算され、Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）のＸ
2m、Ｙ2m及びＺ2m に代入された後、ステップ１３４に
進む。
【００８４】Ｘ3m←−１６ｘ2mｙ2m ３Ｒ-３＋２（３ｘ
2m 2Ｒ-1＋ａm）2ｙ2mＲ-２ｍｏｄ ｐＹ3m←−８ｙ2m 4Ｒ
-3＋１２ｘ2mｙ2m ２（３ｘ2m 2Ｒ-1＋ａm）Ｒ-３−（３
ｘ2m 2Ｒ-１＋ａm）３Ｒ-２ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←８ｙ2m ３Ｒ-２ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ１３４：モンゴメリ演算域においてアフィン座
標表示された点の楕円２倍演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ
2m，Ｚ2m）が出力される。
2m 2Ｒ-1＋ａm）2ｙ2mＲ-２ｍｏｄ ｐＹ3m←−８ｙ2m 4Ｒ
-3＋１２ｘ2mｙ2m ２（３ｘ2m 2Ｒ-1＋ａm）Ｒ-３−（３
ｘ2m 2Ｒ-１＋ａm）３Ｒ-２ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←８ｙ2m ３Ｒ-２ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ１３４：モンゴメリ演算域においてアフィン座
標表示された点の楕円２倍演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ
2m，Ｚ2m）が出力される。
【００８５】図５は、図３のステップ１１５に示された
モンゴメリ演算域において同次座標表示された点Ｔｐm
（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）と、モンゴメリ演算域においてア
フィン座標表示された点Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）を楕円加算
し、その演算結果をモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表す計算、
すなわち、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）＋Ｐm（ｘ1m，ｙ1m） の計算処理フローチャートである。
モンゴメリ演算域において同次座標表示された点Ｔｐm
（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）と、モンゴメリ演算域においてア
フィン座標表示された点Ｐm（ｘ1m，ｙ1m）を楕円加算
し、その演算結果をモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）で表す計算、
すなわち、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）＋Ｐm（ｘ1m，ｙ1m） の計算処理フローチャートである。
【００８６】ステップ１４１：（Ｘ2m，Ｙ2m）＝（０，
０）かどうかが検査され、（Ｘ2m，Ｙ2m）＝（０，０）
であるならば、ステップ１４２に進み、さもなければ、
ステップ１４３に進む。
０）かどうかが検査され、（Ｘ2m，Ｙ2m）＝（０，０）
であるならば、ステップ１４２に進み、さもなければ、
ステップ１４３に進む。
【００８７】ステップ１４２：（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に
（ｘ1m，ｙ1m，Ｒ ｍｏｄ ｐ）を代入して、ステップ１
４８に進む。
（ｘ1m，ｙ1m，Ｒ ｍｏｄ ｐ）を代入して、ステップ１
４８に進む。
【００８８】ステップ１４３：次式 Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１≡０ （ｍｏｄ ｐ）が成立するか
どうかが検査され、結果が肯定的な場合、ステップ１４
４に進み、さもなければ、ステップ１４７に進む。
どうかが検査され、結果が肯定的な場合、ステップ１４
４に進み、さもなければ、ステップ１４７に進む。
【００８９】ステップ１４４：次式 Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１≡０（ｍｏｄ ｐ）が成立するかど
うかが検査され、結果が肯定的な場合、ステップ１４６
に進み、さもなければ、ステップ１４５に進む。
うかが検査され、結果が肯定的な場合、ステップ１４６
に進み、さもなければ、ステップ１４５に進む。
【００９０】ステップ１４５：（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に
（０，０，Ｚ2m）を代入して、ステップ１４８に進む。
（０，０，Ｚ2m）を代入して、ステップ１４８に進む。
【００９１】ステップ１４６：図９に関して説明したモ
ンゴメリ演算域における同次座標表示された点の楕円２
倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） を行い、ステップ１４８に進む。
ンゴメリ演算域における同次座標表示された点の楕円２
倍演算 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←２Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ
2m） を行い、ステップ１４８に進む。
【００９２】ステップ１４７：この場合、以下のように
Ｘ3m、Ｙ3m及びＺ3mが計算され、Ｔ ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）のＸ2m，Ｙ2m，Ｚ2mに代入された後、ステップ１
４８に進む。
Ｘ3m、Ｙ3m及びＺ3mが計算され、Ｔ ｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）のＸ2m，Ｙ2m，Ｚ2mに代入された後、ステップ１
４８に進む。
【００９３】Ｘ3m←（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）（Ｚ
2m（Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-２−（Ｘ 2m−ｘ1mＺ2m
Ｒ-１）３Ｒ-2−２ｘ１mＺ２m（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）
２Ｒ-３）Ｒ-1 ｍｏｄ ｐ Ｙ3m←−ｙ1mＺ2m（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ-４＋
（Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１）（３ｘ1mＺ2m（Ｘ2m−ｘ1mＺ
2mＲ-１）2Ｒ-３−Ｚ2m（Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-２
＋（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ-２）Ｒ-1 ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←Ｚ2m（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ-３ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ１４８：モンゴメリ演算域において同次座標表
示された点とモンゴメリ演算域においてアフィン座標表
示された点の楕円加算演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）が出力される。
2m（Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-２−（Ｘ 2m−ｘ1mＺ2m
Ｒ-１）３Ｒ-2−２ｘ１mＺ２m（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）
２Ｒ-３）Ｒ-1 ｍｏｄ ｐ Ｙ3m←−ｙ1mＺ2m（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ-４＋
（Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１）（３ｘ1mＺ2m（Ｘ2m−ｘ1mＺ
2mＲ-１）2Ｒ-３−Ｚ2m（Ｙ2m−ｙ1mＺ2mＲ-１）2Ｒ-２
＋（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ-２）Ｒ-1 ｍｏｄ ｐ Ｚ3m←Ｚ2m（Ｘ2m−ｘ1mＺ2mＲ-１）3Ｒ-３ ｍｏｄ ｐ Ｘ2m←Ｘ3m Ｙ2m←Ｙ3m Ｚ2m←Ｚ3m ステップ１４８：モンゴメリ演算域において同次座標表
示された点とモンゴメリ演算域においてアフィン座標表
示された点の楕円加算演算の結果Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，
Ｚ2m）が出力される。
【００９４】図６は、図３のステップ１１７に示された
モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示された点Ｔ
m（ｘ2m，ｙ2m）をモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に変換する計
算、Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）の
処理のフローチャートである。同図に示されるように、
この変換は、 Ｘ2m←ｘ2m Ｙ2m←ｙ2m Ｚ2m←Ｒ ｍｏｄ ｐ のように行われる。
モンゴメリ演算域においてアフィン座標表示された点Ｔ
m（ｘ2m，ｙ2m）をモンゴメリ演算域において同次座標
表示された点Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）に変換する計
算、Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）←Ｔm（ｘ2m，ｙ2m）の
処理のフローチャートである。同図に示されるように、
この変換は、 Ｘ2m←ｘ2m Ｙ2m←ｙ2m Ｚ2m←Ｒ ｍｏｄ ｐ のように行われる。
【００９５】また、図３においてステップ１２１及びス
テップ１２３に示されているモンゴメリ演算域において
同次座標表示された点を楕円２倍算する処理は、従来技
術に関して図９を参照して説明した手順に従って行われ
るので、これ以上の説明は行わない。
テップ１２３に示されているモンゴメリ演算域において
同次座標表示された点を楕円２倍算する処理は、従来技
術に関して図９を参照して説明した手順に従って行われ
るので、これ以上の説明は行わない。
【００９６】図１２は、図３乃至６及び図９に示した処
理手順に従って式（３）に定義されたｋを用いて本発明
の一実施例における楕円ｋ倍演算を実施するために必要
な乗算剰余演算と加算剰余演算／減算剰余演算の演算回
数を示す図であり、図１１に示された従来技術の場合の
演算回数の図と対応している。本発明の一実施例の場合
に、図３、４、５、及び９に示されているように、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰm（ｘ1m，ｙ1m） の計算は、モンゴメリ演算域における乗算剰余演算と、
加算剰余演算／減算剰余演算とのみで算出される。図１
１と図１２に示された演算回数を比較することにより、
本発明の一実施例によれば、乗算剰余演算回数が低減さ
れることが解る。
理手順に従って式（３）に定義されたｋを用いて本発明
の一実施例における楕円ｋ倍演算を実施するために必要
な乗算剰余演算と加算剰余演算／減算剰余演算の演算回
数を示す図であり、図１１に示された従来技術の場合の
演算回数の図と対応している。本発明の一実施例の場合
に、図３、４、５、及び９に示されているように、 Ｔｐm（Ｘ2m，Ｙ2m，Ｚ2m）＝ｋＰm（ｘ1m，ｙ1m） の計算は、モンゴメリ演算域における乗算剰余演算と、
加算剰余演算／減算剰余演算とのみで算出される。図１
１と図１２に示された演算回数を比較することにより、
本発明の一実施例によれば、乗算剰余演算回数が低減さ
れることが解る。
【００９７】また、上記の本発明の一実施例による楕円
ｋ倍演算装置の構成は、上記の実施例で説明された例に
限定されることなく、楕円ｋ倍演算装置の演算部の各々
の構成要件をソフトウェア（プログラム）で構築し、デ
ィスク装置等に記録しておき、必要に応じて楕円ｋ倍演
算を行うコンピュータにインストールして楕円ｋ倍演算
を行うことも可能である。さらに、構築されたプログラ
ムをフロッピー（登録商標）ディスク、メモリカード、
ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬記録媒体に格納し、このような楕
円ｋ倍演算を用いる場面で汎用的に使用することも可能
である。例えば、楕円ｋ倍演算装置の制御部がこのよう
な記録媒体に格納されたプログラムを読み出し、このプ
ログラムを実行することによって、上記本発明の一実施
例における楕円ｋ倍演算計算処理が実行される。あるい
は、制御部はこのようなプログラムを記録したＲＯＭを
予め保持していても構わない。
ｋ倍演算装置の構成は、上記の実施例で説明された例に
限定されることなく、楕円ｋ倍演算装置の演算部の各々
の構成要件をソフトウェア（プログラム）で構築し、デ
ィスク装置等に記録しておき、必要に応じて楕円ｋ倍演
算を行うコンピュータにインストールして楕円ｋ倍演算
を行うことも可能である。さらに、構築されたプログラ
ムをフロッピー（登録商標）ディスク、メモリカード、
ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬記録媒体に格納し、このような楕
円ｋ倍演算を用いる場面で汎用的に使用することも可能
である。例えば、楕円ｋ倍演算装置の制御部がこのよう
な記録媒体に格納されたプログラムを読み出し、このプ
ログラムを実行することによって、上記本発明の一実施
例における楕円ｋ倍演算計算処理が実行される。あるい
は、制御部はこのようなプログラムを記録したＲＯＭを
予め保持していても構わない。
【００９８】本発明は、上記の実施例に限定されること
なく、特許請求の範囲内で種々変更・応用が可能であ
る。
なく、特許請求の範囲内で種々変更・応用が可能であ
る。
【００９９】
【発明の効果】上記説明の通り、本発明によれば、楕円
ｋ倍演算は、従来技術と同様に素体Ｆ p上の演算として
実現されるので、演算結果の精度を低下させることな
く、演算を高速化することができる。つまり、演算結果
はいずれの場合でもすべて整数で表現されるので演算結
果の精度が低下することがない。
ｋ倍演算は、従来技術と同様に素体Ｆ p上の演算として
実現されるので、演算結果の精度を低下させることな
く、演算を高速化することができる。つまり、演算結果
はいずれの場合でもすべて整数で表現されるので演算結
果の精度が低下することがない。
【０１００】本発明によれば、楕円ｋ倍演算の処理が高
速化されるので、高い安全性が期待できる楕円曲線暗号
系を、情報セキュリティ技術、公開鍵暗号系、あるい
は、ディジタル署名技術により容易に適用できるように
なる。
速化されるので、高い安全性が期待できる楕円曲線暗号
系を、情報セキュリティ技術、公開鍵暗号系、あるい
は、ディジタル署名技術により容易に適用できるように
なる。
【図１】本発明の一実施例による楕円ｋ倍演算装置の構
成図である。
成図である。
【図２】本発明の一実施例による楕円ｋ倍演算装置の動
作を概略的に示す計算処理フローチャートである。
作を概略的に示す計算処理フローチャートである。
【図３】本発明の一実施例によるモンゴメリ演算域にお
ける楕円ｋ倍演算の計算処理フローチャートである。
ける楕円ｋ倍演算の計算処理フローチャートである。
【図４】本発明の一実施例によるモンゴメリ演算域にお
いてアフィン座標表示された点の楕円２倍演算の計算処
理フローチャートである。
いてアフィン座標表示された点の楕円２倍演算の計算処
理フローチャートである。
【図５】本発明の一実施例によるモンゴメリ演算域にお
いて同次座標表示された点とアフィン座標表示された点
の楕円加算演算の計算処理フローチャートである。
いて同次座標表示された点とアフィン座標表示された点
の楕円加算演算の計算処理フローチャートである。
【図６】本発明の一実施例によるモンゴメリ演算域にお
いてアフィン座標表示された点をモンゴメリ演算域にお
いて同次座標表示された点に変換する処理のフローチャ
ートである。
いてアフィン座標表示された点をモンゴメリ演算域にお
いて同次座標表示された点に変換する処理のフローチャ
ートである。
【図７】従来技術による楕円ｋ倍演算の動作を概略的に
示す計算処理フローチャートである。
示す計算処理フローチャートである。
【図８】従来技術において適用されるモンゴメリ演算域
において同次座標系での楕円ｋ倍演算の計算処理フロー
チャートである。
において同次座標系での楕円ｋ倍演算の計算処理フロー
チャートである。
【図９】従来技術の楕円ｋ倍演算で利用されるモンゴメ
リ演算域において同次座標表示された点の楕円２倍演算
の計算処理フローチャートである。
リ演算域において同次座標表示された点の楕円２倍演算
の計算処理フローチャートである。
【図１０】従来技術の楕円ｋ倍演算で利用されるモンゴ
メリ演算域において同次座標表示された点の楕円加算演
算の計算処理フローチャートである。
メリ演算域において同次座標表示された点の楕円加算演
算の計算処理フローチャートである。
【図１１】従来技術による楕円ｋ倍演算の性能を示す図
表である。
表である。
【図１２】本発明の一実施例による楕円ｋ倍演算の性能
を示す図表である。
を示す図表である。
１ 制御部 ２ 記憶部 ３ 演算部 １１ モンゴメリ演算域変換部 １２ アフィン・同次座標変換部 １３ アフィン座標楕円２倍演算部 １４ 同次座標楕円２倍演算部 １５ アフィン・同次座標楕円加算演算部 １６ 同次・アフィン座標変換部 １７ モンゴメリ演算域還元部
Claims (6)
- 【請求項１】 素体上の楕円曲線の上のアフィン座標表
示された第１の点の座標値及び上記楕円曲線を定めるパ
ラメータ値をモンゴメリ演算域における値に変換する工
程と、 モンゴメリ演算域において、上記第１の点のアフィン座
標表示された座標値を楕円ｋ倍演算して上記第１の点と
同じ楕円曲線の上にある第２の点の同次座標表示された
座標値を得る工程と、 モンゴメリ演算域において、上記第２の点の同次座標表
示された座標値をアフィン座標表示された座標値に変換
する工程と、 モンゴメリ演算域における上記第２の点のアフィン座標
表示された座標値をモンゴメリ演算域から還元して上記
アフィン座標表示された上記第２の点の座標値を得る工
程とを有し、 上記素体上の楕円曲線の上のアフィン座標表示された第
１の点を同じ楕円曲線上のアフィン座標表示された第２
の点に整数倍する、計算機で使用される楕円曲線上の演
算計算方法であって、 モンゴメリ演算域において上記第１の点のアフィン座標
表示された座標値を楕円ｋ倍演算する計算は、モンゴメ
リ演算域においてアフィン座標表示された座標値と同次
座標表示された座標値とを混在した形式で行われること
を特徴とする楕円曲線上の演算方法。 - 【請求項２】 上記モンゴメリ演算域において上記第１
の点のアフィン座標表示された座標値を楕円ｋ倍演算す
る計算は、 アフィン座標表示された座標値を楕円２倍演算して同次
座標表示された座標値を得る工程と、 同次座標表示された座標値とアフィン座標表示された座
標値を楕円加算演算して同次座標表示された別の座標値
を得る工程と、 アフィン座標表示された座標値を同次座標表示された座
標値に変換する工程と、 同次座標表示された座標値を楕円２倍演算して同次座標
表示された別の座標値を得る工程とを、 上記第１の点の座標値と整数倍の倍数の値とに応じて組
み合わせることにより行われることを特徴とする請求項
1記載の楕円曲線上の演算方法。 - 【請求項３】 上記素体上の楕円曲線の上のアフィン座
標表示された第１の点、同じ楕円曲線上のアフィン座標
表示された第２の点、及び、上記整数倍の倍数は、楕円
曲線暗号系の暗号化情報に対応している請求項1又は２
記載の楕円曲線上の演算方法。 - 【請求項４】 素数ｐによって表わされる素体をＦpと
し、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算機により自動的に計算する楕円曲線上の演算方法
において、 楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び
楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ
演算域に変換するステップと、 モンゴメリ演算域において、アフィン座標表示された点
を同次座標表示された点に変換するステップと、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフ
ィン座標表示された点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算
された点を同次座標表示するステップと、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次
座標表示された点を楕円２倍演算するステップと、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上でアフ
ィン座標表示された第１の点と上記第１の点とは異なる
同次座標表示された第２の点を楕円加算演算するステッ
プと、 モンゴメリ演算域において、同次座標表示された点をア
フィン座標表示された点に変換するステップと、 モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点を、モ
ンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座標表示の
点に還元するステップと、 倍数ｋの値と楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じ
て、点Ｐのｋ倍算が計算されるように上記の演算のため
のステップの実行手順を定め、上記実行手順に基づいて
ｋ倍算の途中結果の値を順次更新するステップとを有す
ることを特徴とする楕円曲線上の演算方法。 - 【請求項５】 素数ｐによって表わされる素体をＦpと
し、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算する楕円曲線上の演算装置において、 楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び
楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ
演算域に変換する演算部と、 モンゴメリ演算域において、アフィン座標表示された点
を同次座標表示された点に変換する演算部と、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフ
ィン座標表示された点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算
された点を同次座標表示する演算部と、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次
座標表示された点を楕円２倍演算する演算部と、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上でアフ
ィン座標表示された第１の点と上記第１の点とは異なる
同次座標表示された第２の点を楕円加算演算する演算部
と、 モンゴメリ演算域において、同次座標表示された点をア
フィン座標表示された点に変換する演算部と、 モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点を、モ
ンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座標表示の
点に還元する演算部と、 倍数ｋの値と楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じ
て、点Ｐのｋ倍算が計算されるように上記の各演算部を
作動させる制御部と、 上記の各演算部によって生成される演算結果を格納する
記憶部とを有することを特徴とする楕円曲線上の演算装
置。 - 【請求項６】 素数ｐによって表わされる素体をＦpと
し、 Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ａ，ｂ∈Ｆp ４ａ3＋２７ｂ2 ≠０ で定義される素体Ｆp上の楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点でアフ
ィン座標表示された点をＰとし、正整数をｋとした場合
に、楕円曲線Ｅ／Ｆp上での点Ｐのｋ倍算 Ｔ＝ｋＰ を計算する楕円曲線上の演算プログラムを記録した計算
機が読み取り可能な記録媒体であって、 楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフィン座標表示された点、及び
楕円曲線Ｅ／Ｆpを定義するパラメータ値をモンゴメリ
演算域に変換させるプロセスと、 モンゴメリ演算域において、アフィン座標表示された点
を同次座標表示された点に変換させるプロセスと、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上のアフ
ィン座標表示された点を楕円２倍演算し、楕円２倍演算
された点を同次座標表示の点に変換させるプロセスと、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上の同次
座標表示された点を楕円２倍演算させるプロセスと、 モンゴメリ演算域において、楕円曲線Ｅ／Ｆp上でアフ
ィン座標表示された第１の点と上記第１の点とは異なる
同次座標表示された第２の点を楕円加算演算させるプロ
セスと、 モンゴメリ演算域において、同次座標表示された点をア
フィン座標表示された点に変換させるプロセスと、 モンゴメリ演算域におけるアフィン座標表示の点を、モ
ンゴメリ演算域に制限されていないアフィン座標表示の
点に還元させるプロセスと、 倍数ｋの値と楕円曲線Ｅ／Ｆp上の点Ｐの値とに応じ
て、上記の演算のための各プロセスの実行手順を定め、
上記実行手順に基づいてｋ倍算の途中結果を順次更新さ
せるプロセスとが記録されていることを特徴とする楕円
曲線上の演算プログラムを記録した記録媒体。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2000082112A JP2001265218A (ja) | 2000-03-23 | 2000-03-23 | 楕円曲線上の演算方法及び装置と、演算プログラムを記録した記録媒体 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2000082112A JP2001265218A (ja) | 2000-03-23 | 2000-03-23 | 楕円曲線上の演算方法及び装置と、演算プログラムを記録した記録媒体 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2001265218A true JP2001265218A (ja) | 2001-09-28 |
Family
ID=18598958
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2000082112A Pending JP2001265218A (ja) | 2000-03-23 | 2000-03-23 | 楕円曲線上の演算方法及び装置と、演算プログラムを記録した記録媒体 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2001265218A (ja) |
Cited By (3)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN100414492C (zh) * | 2005-11-04 | 2008-08-27 | 北京浦奥得数码技术有限公司 | 一种椭圆曲线密码系统及实现方法 |
| CN101782845A (zh) * | 2009-01-20 | 2010-07-21 | 北京华大信安科技有限公司 | 一种椭圆曲线密码的高速运算装置和方法 |
| CN110046321A (zh) * | 2019-04-26 | 2019-07-23 | 武汉轻工大学 | 曲线积分的计算方法、装置、设备及存储介质 |
-
2000
- 2000-03-23 JP JP2000082112A patent/JP2001265218A/ja active Pending
Cited By (4)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN100414492C (zh) * | 2005-11-04 | 2008-08-27 | 北京浦奥得数码技术有限公司 | 一种椭圆曲线密码系统及实现方法 |
| CN101782845A (zh) * | 2009-01-20 | 2010-07-21 | 北京华大信安科技有限公司 | 一种椭圆曲线密码的高速运算装置和方法 |
| CN110046321A (zh) * | 2019-04-26 | 2019-07-23 | 武汉轻工大学 | 曲线积分的计算方法、装置、设备及存储介质 |
| CN110046321B (zh) * | 2019-04-26 | 2022-12-27 | 武汉轻工大学 | 曲线积分的计算方法、装置、设备及存储介质 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| A131 | Notification of reasons for refusal |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A131 Effective date: 20040420 |
|
| A02 | Decision of refusal |
Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A02 Effective date: 20040817 |