JP2001202019A - 並列楕円演算装置及びそのプログラム記録媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 複数の乗算器を備え、楕円曲線上の加算や２
倍演算を高速に可能とする。 【解決手段】 変形ヤコビ座標で表された入力点Ｐ（ｘ
_1,ｙ_1,ｚ_1,ｚ₁ ²）とＱ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ_2,ｚ₂ ²）の加算を例
に、乗算器が４つの場合とする。まず４つの乗算器でｕ
₂ ＝ｚ₁ ²ｘ₂ ，ｕ₁ ＝ｚ₂ ²ｘ₁ ，ｚ₁ ³＝（ｚ₂ ²）ｚ₂ を
それぞれ演算し（Ｓtep １），ｈ² ｕ₁ −ｕ₂ を求め、
ｓ₂ ＝ｚ₁ ³ｙ₂ ，ｓ₁ ＝ｚ₂ ³ｙ₁ ，ｈ² ，ｚ₁ ｚ₂ をそ
れぞれ４つの乗算器で求め（Ｓtep ２），ｒ＝ｓ₁ −ｓ
₂ を求め、ｕ₁ （ｈ²)，ｈ³ ＝（ｈ²)ｈ，ｒ²,ｚ₃ ＝ｚ
₁ ｚ₂ ｈをそれぞれ４つの乗算器で求め（Ｓtep ３），
ｘ₃ ＝−ｈ³ −２ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² を求め、ｒ（ｕ₁ ｈ²
−ｘ ₃)，ｓ₁ ｈ³ ，ｚ₃ ²をそれぞれ３つの乗算器で求め
（Ｓtep ４），ｙ₃＝−ｓ₁ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃ ）
を求め、ｘ₃ ，ｙ₃ ，ｚ₃ ，ｚ₃ ²を出力する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】この発明は、例えば情報セキ
ュリティ技術（楕円曲線暗号／署名、素因数分解）を実
現するために用いられる楕円曲線上の演算装置及びその
プログラム記録媒体に関する。

【０００２】

【従来の技術】楕円曲線上で公開鍵暗号やデジタル署名
を実現する場合、その処理時間のほとんどは楕円曲線上
のｋ倍演算に費やされる。一般に、暗号や署名には有限
体ＧＦ（ｑ）上で定義される楕円曲線を使う。これをＥ
／ＧＦ（ｑ）と表記する。ｑは素数または素数のべき乗
である。この発明は、いかなるｑに対しても適用するこ
とができる。

【０００３】楕円曲線上の点Ｐに対する加算を定義でき
る。通常の加算と区別するためにこれを、「楕円加算」
「楕円２倍演算」と呼ぶ。いずれも、有限体ＧＦ（ｑ）
上の加減乗除算を組み合わせることで行うことができ
る。通常、ｋ倍演算を構成するために、「楕円加算」
「楕円２倍演算」を組み合わせて行う方法が用いられて
おり、いずれもlog(k)に比例する回数行う必要がある。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】近年は、１台の電子計
算機に複数の乗算プロセッサを持つアーキテクチャが増
えている。例えば、Pentium ＭＭＸや Pentium IIは、
一度に１６bit の乗算を４つ同時に行えるプロセッサを
備えている。このような環境でｋ倍演算を高速に行う場
合、「楕円加算」「楕円２倍演算」を組み合わせて行う
方法を並列に行うことが難しいと言う点が問題となる。

【０００５】この発明は、この問題を解決するために、
個々の「楕円加算」や「楕円２倍演算」を複数の乗算器
を用いて並列に行う装置である。

【０００６】

【課題を解決するための手段】楕円曲線上の点の表現方
法によっては、「楕円加算」「楕円２倍演算」を並列的
に演算することができる。例えば、楕円曲線上の点Ｐ
（ｘ_1,ｙ_1,ｚ₁)，Ｑ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ₂)がヤコビ座標で表さ
れているとすると、Ｐ＋Ｑ（ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃)は以下の演算
式によって求められる。

【０００７】 ｕ₁ ＝ｘ₁ ｚ₂ ² ｕ₂ ＝ｘ₂ ｚ₁ ² ｓ₁ ＝ｙ₁ ｚ₂ ³ ｓ₂ ＝ｙ₂ ｚ₁ ³ ｈ＝ｕ₂ −ｕ₁ ｒ＝ｓ₂ −ｓ₁ ｘ₃ ＝−ｈ³ −２ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² ｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃） ｚ₃ ＝ｚ₁ ｚ₂ ｈ ここで、ｕ₁ とｕ₂ ，ｓ₁ とｓ₂ ，ｒ² とｈ² 等は独立
に計算することができることを考慮すると、２つ、また
はそれ以上の乗算器を持つ計算機で乗算を並列に行うこ
とによってＰ＋Ｑを求めることができる。

【０００８】ここでは、ヤコビ座標を用いた点どうしの
楕円加算の場合の例をあげたが、楕円２倍演算の場合も
同様に並列に行うことができる。また、プロジェクティ
ブ座標を用いた点どうしの楕円加算や楕円２倍演算にも
適用できる。さらに、ヤコビ座標を用いた点どうしの演
算には、（ｘ，ｙ，ｚ）の３値だけでなく、（ｘ，ｙ，
ｚ，ｚ²)の４値、（ｘ，ｙ，ｚ，ａｚ⁴)の４値、（ｘ，
ｙ，ｚ，ｚ²,ｚ³)の５値を用いて楕円曲線上の点を表す
ことによって楕円加算や楕円２倍演算を高速に行う改良
版が存在するが、その場合にもこの発明を適用すること
ができる。

【０００９】

【発明の実施の形態】並列に乗算を演算することによっ
て、楕円加算や楕円２倍を行う。楕円曲線暗号や楕円曲
線署名を行う装置を構成する場合は、楕円ｋ倍演算を行
う必要があるが、上記楕円加算や楕円２倍を組み合わせ
て行うことによって、楕円ｋ倍演算の処理全体が並列演
算で行われる効果がある。ヤコビ：楕円加算、２並列 図１に示す装置はヤコビ座標を用いた楕円加算装置であ
り、２つの乗算器を備えている場合を示している。

【００１０】この装置をプログラムによって実行する場
合は、処理の流れは図９に示すようになる。入力値Ｐ，
Ｑは、楕円曲線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ 上の点であり、Ｐ（ｘ_1,ｙ_1,ｚ₁)，Ｑ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ₂)は
ヤコビ座標で表されている。Ｐ＋Ｑ（ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃)を以
下の等式によって求める。

【００１１】 ｕ₁ ＝ｘ₁ ｚ₂ ² ｕ₂ ＝ｘ₂ ｚ₁ ² ｓ₁ ＝ｙ₁ ｚ₂ ³ ｓ₂ ＝ｙ₂ ｚ₁ ³ ｈ＝ｕ₂ −ｕ₁ ｒ＝ｓ₂ −ｓ₁ ｘ₃ ＝−ｈ³ −２ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² ｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃） ｚ₃ ＝ｚ₁ ｚ₂ ｈ この楕円曲線加算装置１００は制御装置１０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器１０２，１０３，ＧＦ（ｑ）定数倍器１０
６，ＧＦ（ｑ）加算器１０７，ＧＦ（ｑ）減算器１０８
及びメモリ１０９が接続されて構成される。

【００１２】制御装置１０１は入力された点Ｐ（ｘ_1,ｙ
_1,ｚ₁)，Ｑ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ₂)をメモリ１０９に格納する。 Step １：制御装置１０１は、乗算器１０２を用いてｗ
₁ ＝ｚ₁ ²を、乗算器１０３を用いてｗ₂ ＝ｚ₂ ²を求め、
メモリ１０９に保存する。 Step ２：制御装置１０１は、乗算器１０２を用いてｗ
₁ ′＝ｚ₁ ³＝ｚ₁(ｚ₁ ²）を、乗算器１０３を用いて
ｗ₂ ′＝ｚ₂ ³＝ｚ₂(ｚ₂ ²) を求め、メモリ１０９に保存
する。

【００１３】Step ３：制御装置１０１は、乗算器１０
２を用いてｕ₁ ＝ｘ₁(ｚ₂ ²) を、乗算器１０３を用いて
ｕ₂ ＝ｘ₂(ｚ₁ ²) を求め、メモリ１０９に保存する。 Step ４：制御装置１０１は、乗算器１０２を用いてｓ
₁ ＝ｙ₁(ｚ₂ ³) を、乗算器１０３を用いてｓ₂ ＝ｙ₂(ｚ
₁ ³) を求め、メモリ１０９に保存する。

【００１４】Step ５：制御装置１０１は、減算器１０
８を用いてｈ＝（ｕ₂ −ｕ₁)を演算し、またｒ＝（ｓ₂
−ｓ₁)を演算し、その後、乗算器１０２を用いてｈ
² を、乗算器１０３を用いてｒ²を求め、メモリ１０９
に保存する。 Step ６：制御装置１０１は、乗算器１０２を用いてｈ
³ を、乗算器１０３を用いてｕ₁ ｈ² を求め、メモリ１
０９に保存する。

【００１５】Step ７：制御装置１０１は、乗算器１０
２を用いてｓ₁ ｈ³ を、乗算器１０３を用いてｚ₁ ｚ₂
を求め、また定数倍器１０６で２ｕ₁ ｈ² を求め、更に
加算器１０７と減算器１０８を用いてｘ₃ ＝−ｈ³ −２
ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² として、メモリ１０９に保存する。 Step ８：制御装置１０１は、減算器１０８を用いてｕ
₁ ｈ² −ｘ₃ を演算した後、乗算器１０２を用いてｒ
（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃ ）を、乗算器１０３を用いてｚ₃ ＝ｚ
₁ ｚ₂ ｈを求め、メモリ１０９に保存する。

【００１６】Step ９：制御装置１０１は、減算器１０
８を用いてｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃)を求
め、ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃ を出力部に出力する。 この装置では、Step １と５は２つの乗算器１０２，１
０３が両方とも自乗を行うので、自乗器を備えた装置の
場合は、Step １と５においては自乗器を用いることに
しても良い。ヤコビ：楕円２倍、２並列 図２に示す装置はヤコビ座標を用いた楕円２倍装置であ
り、２つの乗算器を備えている場合を示している。

【００１７】この装置をプログラムによって実行する場
合は、その処理の手順は図１０に示すようになる。入力
値Ｐは、楕円曲線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ 上の点であり、Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）はヤコビ座標で表され
ている。２Ｐ（ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃)を以下の等式によって求め
る。

【００１８】 ｓ＝４ｘｙ² ｍ＝３ｘ² ＋ａｚ⁴ ｔ＝−２ｓ＋ｍ² ｘ₃ ＝ｔ ｙ₃ ＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（ｓ−ｔ）＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（１２ｘ
ｙ² −ｍ²) ｚ₃ ＝２ｙｚ この楕円曲線２倍装置２００は制御装置２０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器２０２，２０３，ＧＦ（ｑ）定数倍器２０
６，ＧＦ（ｑ）加算器２０７，ＧＦ（ｑ）減算器２０８
及びメモリ２０９が接続されて構成される。

【００１９】制御装置２０１は入力値Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）
を入力してメモリ２０９に保存する。 Ｓtep １：制御装置２０１は、乗算器２０２を用いてｙ
² を、乗算器２０３を用いてｚ² を求め、メモリ２０９
に保存する。 Ｓtep ２：制御装置２０１は、乗算器２０２を用いてｘ
² を、乗算器２０３を用いてｚ⁴ ＝（ｚ²)² を求め、メ
モリ２０９に保存する。

【００２０】Ｓtep ３：制御装置２０１は、乗算器２０
２を用いてｘ（ｙ²)を、乗算器２０３を用いてａ（ｚ⁴)
を求め、メモリ２０９に保存する。楕円曲線の係数ａは
メモリ２０９に記憶してある。 Ｓtep ４：制御装置２０１は、定数倍器２０６で３ｘ²
を求め、また加算器２０７を用いてｍ＝３ｘ² ＋ａｚ⁴
を求め、その後、乗算器２０２を用いてｙ⁴ ＝（ｙ²)²
を、乗算器２０３を用いてｍ² を求め、メモリ２０９に
保存する。

【００２１】Ｓtep ５：制御装置２０１は、定数倍器２
０６を用いて１２ｘｙ² を求め、更に減算器２０８を用
いて（１２ｘｙ² −ｍ²)を求め、その後、乗算器２０２
を用いてｙｚを、乗算器２０３を用いてｍ（１２ｘｙ²
−ｍ²)を求め、メモリ２０９を保存する。 Ｓtep ６：制御装置２０１は、ｘ₃ ＝ｔ，また定数倍器
２０６を用いて８ｙ⁴を求め、更に減算器２０８を用い
てｙ₃ ＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（１２ｘｙ²−ｍ²)、定数倍器２
０６を用いてｚ₃＝２ｙｚを求め、ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃を出力部
に出力する。

【００２２】この装置では、Ｓtep １，２，４は２つの
乗算器が両方とも自乗を行うので、自乗器を備えた装置
の場合は、Ｓtep １，２，４においては自乗器を用いる
ことにしても良い。また、ａ＝−３の場合は、Ｓtep ２
を省略して、Ｓtep ３の乗算器２０３が３（ｘ−ｚ²)
（ｘ＋ｚ²)の乗算を行うことによってｍを求めても良
い。変形ヤコビ：楕円加算、４並列 図３に示す装置は変形ヤコビ座標を用いた楕円加算装置
であり、４つの乗算器を備えている場合を示している。

【００２３】この装置をプログラムによって実行する場
合は、その処理手順は図１１に示すようになる。入力値
Ｐ，Ｑは、楕円曲線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ 上の点であり、それぞれＰ（ｘ_1,ｙ_1,ｚ_1,ｚ₁ ²) ，Ｑ
（ｘ_2,ｙ_2,ｚ_2,ｚ₂ ²) の４つの値によって表している。

【００２４】Ｐ＋Ｑ（ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃ ｚ₃ ²) を以下の等式
によって求める。 ｕ₁ ＝ｘ₁ ｚ₂ ² ｕ₂ ＝ｘ₂ ｚ₁ ² ｓ₁ ＝ｙ₁ ｚ₂ ³ ｓ₂ ＝ｙ₂ ｚ₁ ³ ｈ＝ｕ₂ −ｕ₁ ｒ＝ｓ₂ −ｓ₁ ｘ₃ ＝−ｈ³ −２ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² ｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃) ｚ₃ ＝ｚ₁ ｚ₂ ｈ ｚ₃ ²＝（ｚ₁ ｚ₂ ｈ）² この楕円曲線加算装置３００は制御装置３０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器３０２，３０３，３０４，３０５，ＧＦ
（ｑ）定数倍器３０６，ＧＦ（ｑ）加算器３０７，ＧＦ
（ｑ）減算器３０８及びメモリ３０９が接続されて構成
される。

【００２５】制御装置３０１は入力値Ｐ（ｘ_1,ｙ_1,ｚ_1,
ｚ₁ ²），Ｑ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ_2,ｚ₂ ²）を入力してメモリ３０
９に保存する。 Ｓtep １：制御装置３０１は、乗算器３０２を用いてｕ
₂ ＝ｚ₁ ²ｘ₂ を、乗算器３０３を用いてｕ₁ ＝ｚ₂ ²ｘ₁
を、乗算器３０４を用いてｚ₁ ³＝(ｚ₁ ²)ｚ₁ を、乗算器
３０５を用いてｚ₂ ³＝(ｚ₂ ²)ｚ₂ を求め、メモリ３０９
に保存する。

【００２６】Ｓtep ２：制御装置３０１は、減算器３０
８を用いてｈ＝ｕ₂ −ｕ₁ を求め、乗算器３０２を用い
てｓ₂ ＝ｚ₁ ³ｙ₂ を、乗算器３０３を用いてｓ₁ ＝ｚ₂ ³
ｙ₁ を求め、乗算器３０４を用いてｈ² を、乗算器３０
５を用いてｚ₁ ｚ₂ を求め、メモリ３０９に保存する。 Ｓtep ３：制御装置３０１は、減算器３０８を用いてｒ
＝ｓ₂ −ｓ₁ を求め、乗算器３０２を用いてｕ₁(ｈ²)
を、乗算器３０３を用いてｈ³ ＝（ｈ²)ｈを、乗算器３
０４を用いてｒ² を、乗算器３０５を用いてｚ₃ ＝ｚ₁
ｚ₂ ｈを求め、メモリ３０９に保存する。

【００２７】Ｓtep ４：制御装置３０１は、定数倍器３
０６を用いて２ｕ₁ ｈ² を求め、加算器３０７と減算器
３０８を用いてｘ₃ ＝−ｈ³−２ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² を求め、
減算器３０８を用いて（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃ ）を求め、乗算
器３０２を用いて(ｕ₁ ｈ²−ｘ₃ ）を、乗算器３０３を
用いてｓ₁ｈ³を、乗算器３０４を用いてｚ₃ ²を求め、メ
モリ３０９に保存する。

【００２８】Ｓtep ５：制御装置３０１は、減算器３０
８を用いてｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃)を求
め、ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃,ｚ₃ ²を出力部に出力する。この装置の
Ｓtep １の前に、ｚ₁ ²とｚ₂ ²を求めるＳtep を追加する
ことで、通常のヤコビ座標（（ｘ，ｙ，ｚ）の３値で点
を表す）を用いる場合の装置に変更することができる。
また、この装置の動作の１つのＳtep を２つに分割する
ことによって、乗算器が２つの装置へと容易に変更する
ことができる。

【００２９】変形ヤコビ：楕円２倍、４並列 図４に示す装置は変形ヤコビ座標を用いた楕円２倍装置
であり、４つの乗算器を備えている場合を示している。
この装置をプログラムによって実行する場合は、その処
理手順は図１２に示すようになる。入力値Ｐは、楕円曲
線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ 上の点であり、Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｚ²)と４つの値よって
１つの楕円曲線上の点が表されている。２Ｐ（ｘ_3,ｙ_3,
ｚ₃,ｚ₃ ²) を以下の等式によって求める。

【００３０】 ｓ＝４ｘｙ² ｍ＝３ｘ² ＋ａｚ⁴ ｔ＝−２ｓ＋ｍ² ｘ₃ ＝ｔ ｙ₃ ＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（ｓ−ｔ）＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（１２ｘ
ｙ² −ｍ²) ｚ₃ ＝２ｙｚ ｚ₃ ²＝（２ｙｚ)² この楕円曲線２倍装置４００は制御装置４０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器４０２，４０３，４０４，４０５，ＧＦ
（ｑ）定数倍器４０６，ＧＦ（ｑ）加算器４０７，ＧＦ
（ｑ）減算器４０８及びメモリ４０９が接続されて構成
される。

【００３１】制御装置４０１は入力値Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，
ｚ²)を入力してメモリ４０９に保存する。 Ｓtep １：制御装置４０１は、定数倍器４０６を用いて
２ｙを求め、乗算器４０２を用いてｘ² を、乗算器４０
３を用いてｚ⁴ ＝（ｚ²)² を、乗算器４０４を用いてｙ
² を、乗算器４０５を用いてｚ₃ ＝２ｙｚを求め、メモ
リ４０９に保存する。

【００３２】Ｓtep ２：制御装置４０１は、定数倍器４
０６を用いて４ｘを求め、また定数倍器４０６を用いて
３ｘ² を求め、更に加算器４０７を用いてｍ＝３ｘ² ＋
ａｚ⁴ を求め、その後、乗算器４０２を用いて４ｘｙ²
を、乗算器４０３を用いてｍ² を、乗算器４０４を用い
てｙ⁴ を、乗算器４０５を用いてｚ₃ ²を求め、メモリ４
０９に保存する。ただし、ａｚ⁴ は定数倍器４０６で行
う。

【００３３】Ｓtep ３：制御装置４０１は、定数倍器４
０６を用いて１２ｘｙ² を求め、更に減算器４０８を用
いて（１２ｘｙ² −ｍ²)を求め、その後、乗算器４０２
を用いてｍ（１２ｘｙ² −ｍ²)を求め、メモリ４０９に
保存する。 Ｓtep ４：制御装置４０１は、ｘ₃ ＝ｔ，定数倍器４０
６を用いて８ｙ⁴ を求め、更に加算器４０７を用いてｙ
₃ ＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（１２ｘｙ² −ｍ²)を求め、ｘ_3,ｙ_3,
ｚ₃,ｚ₃ ²を出力部に出力する。

【００３４】この装置は、ａ倍を高速に行うことができ
る手段がある場合のものである（例えば、ａ＝±１の場
合など）。ａ倍を高速に行うことができない場合の装置
は、Ｓtep １とＳtep ２の間にａｚ⁴ を求めるＳtep を
挿入することによって構成できる。また、この装置の動
作の１つのＳtep を２つに分割することによって、乗算
器が２つの装置へと容易に変更することができる。

【００３５】宮地ヤコビ：楕円加算、４並列 図５に示す装置は宮地ヤコビ座標を用いた楕円加算装置
であり、４つの乗算器を備えている場合を示している。
この装置をプログラムによって実行する場合は、その処
理手順は図１３に示すようになる。入力値Ｐ，Ｑは、楕
円曲線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ 上の点であり、それぞれＰ（ｘ_1,ｙ_1,ｚ_1,ａｚ₁ ⁴），Ｑ
（ｘ_2,ｙ_2,ｚ_2,ａｚ₂ ⁴）の４つの値によって表してい
る。

【００３６】Ｐ＋Ｑ（ｘ_3,ｙ_3,ｚ_3,ａｚ₃ ⁴）を以下の等
式によって求める。 ｕ₁ ＝ｘ₁ ｚ₂ ² ｕ₂ ＝ｘ₂ ｚ₁ ² ｓ₁ ＝ｙ₁ ｚ₂ ³ ｓ₂ ＝ｙ₂ ｚ₁ ³ ｈ＝ｕ₂ −ｕ₁ ｒ＝ｓ₂ −ｓ₁ ｘ₃ ＝−ｈ³ −２ｕ₁ ｈ² ＋ｒ² ｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃) ｚ₃ ＝ｚ₁ ｚ₂ ｈ ａｚ₃ ⁴＝ａ（ｚ₁ ｚ₂ ｈ）⁴ この楕円曲線加算装置５００は制御装置５０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器５０２，５０３，５０４，５０５，ＧＦ
（ｑ）定数倍器５０６，ＧＦ（ｑ）加算器５０７，ＧＦ
（ｑ）減算器５０８及びメモリ５０９が接続されて構成
される。

【００３７】制御装置５０１は入力値Ｐ（ｘ_1,ｙ_1,ｚ_1,
ａｚ₁ ⁴),Ｑ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ_2,ａｚ₂ ⁴)を入力してメモリ５
０９に保存する。 Ｓtep １：制御装置５０１は、乗算器５０２を用いてｚ
₁ ²を、乗算器５０３を用いてｚ₂ ²を、乗算器５０４を用
いてｙ₁ ｚ₂ を、乗算器５０５を用いてｚ₁ ｚ₂ を求
め、メモリ５０９に保存する。 Ｓtep ２：制御装置５０１は、乗算器５０２を用いてｕ
₂ ＝ｚ₁ ²ｘ₂ を、乗算器５０３を用いてｕ₁ ＝ｚ₂ ²ｘ₁
を、乗算器５０４を用いてｚ₁ ³＝（ｚ₁ ²）ｚ₁ を、乗算
器５０５を用いてｄ＝（ａｚ₁ ⁴）（ａｚ₂ ⁴）を求め、メ
モリ５０９に保存する。

【００３８】Ｓtep ３：制御装置５０１は、減算器５０
８を用いてｈ＝ｕ₂ −ｕ₁ を求め、乗算器５０２を用い
てｓ₂ ＝（ｚ₁ ³）ｙ₂ を、乗算器５０３を用いてｓ₁ ＝
ｚ₂ ²（ｙ₁ ｚ₂)を、乗算器５０４を用いてｈ² を、乗算
器５０５を用いてａ^-1ｄを求め、メモリ５０９に保存す
る。 Ｓtep ４：制御装置５０１は、減算器５０８を用いてｒ
＝ｓ₂−ｓ₁ を求め、乗算器５０２を用いてｕ₁(ｈ²)
を、乗算器５０３を用いてｈ³ ＝（ｈ²)ｈを、乗算器５
０４を用いてｒ² を、乗算器５０５を用いてｈ⁴ ＝（ｈ
²)² を求め、メモリ５０９に保存する。

【００３９】Ｓtep ５：制御装置５０１は、定数倍器５
０６を用いて２ｕ₁ ｈ² を求め、加算器５０７と減算器
５０８を用いてｘ₃＝−ｈ³−２ｕ₁ ｈ³ ＋ｒ² を求め、
更に減算器５０８を用いて（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃ ）を求め、
その後、乗算器５０２を用いてｒ（ｕ₁ ｈ² −ｘ₃ ）
を、乗算器５０３を用いてｓ₁ ｈ³ を、乗算器５０４を
用いてｚ₃ ＝(ｚ₁ ｚ₂)ｈを、乗算器５０５を用いて
（ａｚ₃ ⁴) ＝（ａ^-1ｄ)(ｈ⁴)を求め、メモリ５０９に保
存する。

【００４０】Ｓtep ６：制御装置５０１は、減算器５０
８を用いてｙ₃ ＝−ｓ₁ ｈ³ ＋ｒ（ｕ₁ ｈ²−ｘ₃）を求
め、ｘ₃,ｙ₃,ｚ₃,ａｚ₃ ⁴を出力部に出力する。 この装置のＳtep ３ではａ^-1との乗算があるが、ａは楕
円曲線のパラメータであり、固定値なので予め計算して
求めておけば良い。また、この装置の動作の１つのＳte
p を２つに分割することによって、乗算器が２つの装置
へと容易に変更することができる。

【００４１】宮地ヤコビ：楕円２倍、３並列 図６に示す装置は宮地ヤコビ座標を用いた楕円２倍装置
であり、３つの乗算器を備えている場合を示している。
この装置をプログラムによって実行する場合は、その処
理手順は図１４に示すようになる。入力値Ｐは、楕円曲
線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ 上の点であり、Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ａｚ⁴)と４つの値よっ
て１つの楕円曲線上の点が表されている。２Ｐ（ｘ_3,ｙ
_3,ｚ₃,ａｚ₃ ⁴) を以下の等式によって求める。

【００４２】 ｓ＝４ｘｙ² ｍ＝３ｘ² ＋ａｚ⁴ ｔ＝−２ｓ＋ｍ² ｘ₃ ＝ｔ ｙ₃ ＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（ｓ−ｔ）＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（１２ｘ
ｙ² −ｍ²) ｚ₃ ＝２ｙｚ ａｚ₃ ⁴＝１６（ａｚ⁴)ｙ⁴ この楕円曲線２倍装置６００は制御装置６０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器６０２，６０３，６０４，ＧＦ（ｑ）定数
倍器６０６，ＧＦ（ｑ）加算器６０７，ＧＦ（ｑ）減算
器６０８及びメモリ６０９が接続されて構成される。

【００４３】制御装置６０１は入力値Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，
ａｚ⁴)を入力してメモリ６０９に保存する。 Ｓtep １：制御装置６０１は、乗算器６０２を用いてｘ
² を、乗算器６０３を用いてｙ² を、乗算器６０４を用
いてｙｚを求め、定数倍器６０６を用いてｚ³ ＝２ｙｚ
を求め、メモリ６０９に保存する。 Ｓtep ２：制御装置６０１は、定数倍器６０６を用いて
３ｘ² を求め、更に加算器６０７を用いてｍ＝３ｘ² ＋
ａｚ⁴ を求め、また定数倍器６０６を用いて４ｘを求
め、その後、乗算器６０２を用いて４ｘｙ² を、乗算器
６０３を用いてｍ² を、乗算器６０４を用いてｙ⁴ を求
め、メモリ６０９に保存する。

【００４４】Step ３：制御装置６０１は、定数倍器６
０６を用いて１２ｘｙ² を求め、更に減算器６０８を用
いて（１２ｘｙ² −ｍ²)を求め、その後、乗算器６０２
を用いてｍ（１２ｘｙ² −ｍ²)を、定数倍器６０６を用
いて１６ｙ⁴を求め、乗算器６０３を用いてａｚ₃ ⁴＝
（１６ｙ⁴)（ａｚ⁴)を求め、メモリ６０９に保存する。 Ｓtep ４：制御装置６０１は、ｘ₃ ＝ｔ，定数倍器６０
６を用いて８ｙ⁴ を求め、更に減算器６０８を用いてｙ
₃ ＝−８ｙ⁴ ＋ｍ（１２ｘｙ² −ｍ²)を求め、ｘ_3,ｙ_3,
ｚ₃,ａｚ₃ ⁴を出力部に出力する。

【００４５】また、この装置の動作の１つのＳtep を２
つに分割することによって、乗算器が２つの装置へと変
更することができる。射影：楕円加算、４並列 図７に示す装置は射影座標を用いた楕円加算装置であ
り、４つの乗算器を備えている場合を示している。この
装置をプログラムによって実行する場合は、その処理手
順は図１５に示すようになる。

【００４６】入力値Ｐ，Ｑは、楕円曲線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ² ＋ｂＺ³ 上の点であり、それぞれＰ（ｘ_1,ｙ_1,ｚ₁)，Ｑ（ｘ_2,ｙ
_2,ｚ₂)の３つの値によって表している。Ｐ＋Ｑ（ｘ_3,ｙ
_3,ｚ₃ ）を以下の等式によって求める。 ｕ＝ｙ₂ ｚ₁ −ｙ₁ ｚ₂ ｖ＝ｘ₂ ｚ₁ −ｘ₁ ｚ₂ ｔ＝ｘ₂ ｚ₁ ＋ｘ₁ ｚ₂ α＝ｕ² ｚ₁ ｚ₂ −ｖ² ｔ ｘ₃ ＝ｖα ｙ₃ ＝ｕ（ｖ² ｘ₁ ｚ₂ −α）−ｖ³ ｙ₁ ｚ₂ ｚ₃ ＝ｖ³ ｚ₁ ｚ₂ この楕円曲線加算装置７００は制御装置７０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器７０２，７０３，７０４，７０５，ＧＦ
（ｑ）定数倍器７０６，ＧＦ（ｑ）加算器７０７，ＧＦ
（ｑ）減算器７０８及びメモリ７０９が接続されて構成
される。

【００４７】制御装置７０１は入力値Ｐ（ｘ_1,ｙ
_1,ｚ₁)，Ｑ（ｘ_2,ｙ_2,ｚ₂)を入力してメモリ７０９に保
存する。 Ｓtep １：制御装置７０１は、乗算器７０２を用いてｙ
₂ ｚ₁ を、乗算器７０３を用いてｙ₁ ｚ₂ を、乗算器７
０４を用いてｘ₂ ｚ₁ を、乗算器７０５を用いてｘ₁ ｚ
₂ を求め、メモリ７０９に保存する。 Ｓtep ２：制御装置７０１は、減算器７０８を用いてｕ
＝ｙ₂ ｚ₁ −ｙ₁ ｚ₂とｖ＝ｘ₂ ｚ₁ −ｘ₁ ｚ₂ を求
め、その後、乗算器７０２を用いてｕ² を、乗算器７０
３を用いてｖ²を、乗算器７０４を用いてｚ₁ｚ₂を求
め、メモリ７０９に保存する。

【００４８】Ｓtep ３：制御装置７０１は、加算器７０
７を用いてｔ＝ｘ₂ ｚ₁ ＋ｘ₁ ｚ₂を求め、その後、乗
算器７０２を用いてｕ² ｚ₁ ｚ₂ を、乗算器７０３を用
いてｖ² ｔを、乗算器７０４を用いてｖ² ｘ₁ ｚ₂ を、
乗算器７０５を用いてｖ³ を求め、メモリ７０９に保存
する。 Ｓtep ４：制御装置７０１は、減算器７０８を用いてα
＝ｕ² ｚ₁ ｚ₂ −ｖ²ｔを求め、乗算器７０２を用いて
ｖαを、乗算器７０３を用いてｕ×（ｖ² ｘ₁ ｚ₂−
α）を、乗算器７０４を用いてｖ³ ｙ₁ｚ₂を、乗算器７
０５を用いてｖ³ ｚ₁ ｚ₂ を求め、メモリ７０９に保存
する。

【００４９】Ｓtep ５：制御装置７０１は、ｘ₃ ＝ｖ
α，ｙ₃ ＝ｕ（ｖ² ｘ₁ ｚ₂ −α）−ｖ³ ｙ₁ ｚ₂ ，ｚ
₃ ＝ｖ³ ｚ₁ ｚ₂ を求め、ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃ を出力部に出力
する。 この装置の動作の１つのＳtep を２つに分割することに
よって、乗算器が２つの装置へと容易に変更することが
できる。射影：楕円２倍、４並列 図８に示す装置は射影座標を用いた楕円２倍装置であ
り、４つの乗算器を備えている場合を示している。

【００５０】この装置をプログラムによって実行する場
合は、その処理手順は図１６に示すようになる。入力値
Ｐは、楕円曲線 Ｅ：Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ² ＋ｂＺ³ 上の点であり、Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）の３つの値によって１
つの楕円曲線上の点が表されている。２Ｐ（ｘ_3,ｙ_3,ｚ
₃ ）を以下の等式によって求める。

【００５１】 ｓ＝ｙｚ ｗ＝３ｘ² ＋ａｚ² ｅ＝ｙｓ ｆ＝ｘｅ ｈ＝ｗ² −８ｆ ｘ₃ ＝２ｓｈ ｙ₃ ＝ｗ（４ｆ−ｈ）−８ｅ² ｚ₃ ＝８ｓ³ この楕円曲線２倍装置８００は制御装置８０１に、ＧＦ
（ｑ）乗算器８０２，８０３，８０４，８０５，ＧＦ
（ｑ）定数倍器８０６，ＧＦ（ｑ）加算器８０７，ＧＦ
（ｑ）減算器８０８及びメモリ８０９が接続されて構成
される。

【００５２】制御装置８０１は入力値Ｐ（ｘ，ｙ，
ｚ，）を入力してメモリ８０９に保存する。 Ｓtep １：制御装置８０１は、乗算器８０２を用いてｘ
² を、乗算器８０３を用いてｚ² を、乗算器８０４を用
いてｓ＝ｙｚを、乗算器８０５を用いてｘｙを求め、メ
モリ８０９に保存する。 Ｓtep ２：制御装置８０１は、定数倍器８０６を用いて
３ｘ² を求め、更に加算器８０７を用いてｗ＝３ｘ² ＋
ａｚ² を求め、その後、乗算器８０２を用いてｅ＝ｙｓ
を、乗算器８０３を用いてｗ² を、乗算器８０４を用い
てｓ² を乗算器８０５を用いてｆ＝（ｘｙ）ｓを求め、
メモリ８０９に保存する。

【００５３】ただし、ａｚ² は定数倍器８０６で求め
る。 Step ３：制御装置８０１は、定数倍器８０６を用いて
４ｆ，８ｆ，２ｓをそれぞれ求め、減算器８０８を用い
てｈ＝ｗ² −８ｆを求め、更に（４ｆ−ｈ）を求め、乗
算器８０２を用いてｘ₃ ＝２ｓｈを、乗算器８０３を用
いてｗ（４ｆ−ｈ）を、乗算器８０４を用いてｅ² を、
乗算器８０４を用いてｓ³ を求め、メモリ８０９に保存
する。

【００５４】Ｓtep ４：制御装置８０１は、定数倍器８
０６を用いて８ｅ² を求め、更に減算器８０８を用いて
ｙ₃ ＝ｗ（４ｆ−ｈ）−８ｅ² ，ｚ₃ ＝８ｓ³を求め、
ｘ_3,ｙ_3,ｚ₃ を出力部に出力する。 この装置はａ倍を高速に行うことができる手段がある場
合のものである（例えば、ａ＝±１の場合など）。ａ倍
を高速に行うことができない場合の装置は、Ｓtep １と
Ｓtep ２の間にａｚ² を求めるＳtep を挿入することに
よって構成できる。

【００５５】また、この装置の動作の１つのＳtep を２
つに分割することによって、乗算器が２つの装置へと容
易に変更することができる。上述した各装置はコンピュ
ータにプログラムを解読実行させて機能させることもで
きる。

【００５６】

【発明の効果】複数の乗算器を備える楕円曲線上の演算
を行う装置で、演算を高速化することができる。例え
ば、ヤコビ座標を用いる場合、楕円加算のために乗算と
自乗を合わせて１６回必要としていた。この発明の方法
では、２つの乗算器を備えた装置で、同様の演算を８ス
テップで行うことができる。

【００５７】全体の演算の中で、乗算がボトルネックと
なっている場合、演算速度は約２倍となる。

【図面の簡単な説明】

【図１】この発明を楕円加算装置（ヤコビ座標２並列の
場合）に適用した実施例を示す図。

【図２】この発明を楕円２倍演算装置（ヤコビ座標２並
列の場合）に適用した実施例を示す図。

【図３】この発明を楕円加算装置（変形ヤコビ座標４並
列の場合）に適用した実施例を示す図。

【図４】この発明を楕円２倍演算装置（変形ヤコビ座標
４並列の場合）に適用した実施例を示す図。

【図５】この発明を楕円加算装置（宮地ヤコビ座標４並
列の場合）に適用した実施例を示す図。

【図６】この発明を楕円２倍演算装置（宮地ヤコビ座標
３並列の場合）に適用した実施例を示す図。

【図７】この発明を楕円加算装置（射影座標４並列の場
合）に適用した実施例を示す図。

【図８】この発明を楕円２倍演算装置（射影座標４並列
の場合）に適用した実施例を示す図。

【図９】図１に示した実施例（楕円加算、ヤコビ座標２
並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１０】図２に示した実施例（楕円２倍演算、ヤコビ
座標２並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１１】図３に示した実施例（楕円加算、変形ヤコビ
座標４並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１２】図４に示した実施例（楕円２倍演算、変形ヤ
コビ座標４並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１３】図５に示した実施例（楕円加算、宮地ヤコビ
座標４並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１４】図６に示した実施例（楕円２倍演算、宮地ヤ
コビ座標３並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１５】図７に示した実施例（楕円加算、射影座標４
並列）の処理手順を示す流れ図。

【図１６】図８に示した実施例（楕円２倍演算、射影座
標４並列）の処理手順を示す流れ図。

Claims (12)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ｍ個（ｍは２以上の整数）の乗算器を備
   えた、楕円曲線上の２つの点ＰとＱの入力に対してＰ＋
   Ｑを出力する、楕円曲線加算を行う装置において、 楕円曲線上の加算を行うのに必要な複数の乗算が上記ｍ
   個の乗算器で並列に行われることを特徴とする並列楕円
   演算装置。
2. 【請求項２】 ｍ個（ｍは２以上の整数）の乗算器を備
   えた、楕円曲線上の点Ｐの入力に対して２Ｐを出力す
   る、楕円曲線２倍を行う装置において、 楕円曲線上の２倍を行うのに必要な複数の乗算が上記ｍ
   個の乗算器で並列に行われることを特徴とする並列楕円
   演算装置。
3. 【請求項３】 請求項１または２記載の装置において、 楕円曲線上の点をヤコビ座標（Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋
   ｂＺ⁶ を満たす（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の３値を用いて点を表
   す）を用いて表現していることを特徴とする並列楕円演
   算装置。
4. 【請求項４】 請求項１または２記載の装置において、 楕円曲線上の点をＹ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ を満た
   す（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｚ²)の４値を用いて表現していること
   を特徴とする並列楕円演算装置。
5. 【請求項５】 請求項１または２記載の装置において、 楕円曲線上の点をＹ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ を満た
   す（Ｘ，Ｙ，Ｚ，ａＺ ⁴)の４値を用いて表現しているこ
   とを特徴とする並列楕円演算装置。
6. 【請求項６】 請求項１または２記載の装置において、 楕円曲線上の点を射影座標（Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ² ＋ｂ
   Ｚ³ を満たす（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の３値を用いて点を表す）
   を用いて表現していることを特徴とする並列楕円演算装
   置。
7. 【請求項７】 ｍ個（ｍは２以上の整数）の乗算器を備
   えた楕円曲線上の２つの点ＰとＱの入力に対してＰ＋Ｑ
   を出力する楕円曲線加算を行う装置のコンピュータに、 上記ＰとＱを入力して記憶手段に記憶する処理と、 楕円曲線上の加算を行うのに必要な複数の乗算中の独立
   に行えるものについて、上記Ｐ，Ｑ中の所要の要素を記
   憶手段から読み出して上記ｍ個の乗算器で並列に行っ
   て、これらの乗算結果を記憶手段に記憶する処理と、 上記楕円曲線上の加算を行うのに必要な複数の乗算中の
   独立に行えるものでまだ行っていないものについて、記
   憶手段からＰ，Ｑの中の所要の要素及び所要の演算結果
   を読み出して、上記ｍ個の乗算器で並列に行ってこれら
   演算結果を記憶手段に記憶する処理と、 最終的に得られたＰ＋Ｑの加算結果を出力する処理と、
   を少なくとも実行させるプログラムを記録した記録媒
   体。
8. 【請求項８】 ｍ個（ｍは２以上の整数）の乗算器を備
   え、楕円曲線上の点Ｐの入力に対して２Ｐを出力する楕
   円曲線２倍を行う装置のコンピュータに、 上記Ｐを入力して記憶手段に記憶する処理と、 楕円曲線上の２倍を行うのに必要な複数の乗算中の独立
   に行えるものについて、上記Ｐ中の所要の要素を記憶手
   段から読み出して、上記ｍ個の乗算器で並列に行って、
   これらの乗算結果を記憶手段に記憶する処理と、 上記楕円曲線上の２倍を行うのに必要な複数の乗算中の
   独立に行えるものでまだ行っていないものについて、記
   憶手段からＰ中の所要の要素及び所要の演算結果を読み
   出して、上記ｍ個の乗算器で並列に行って、これら演算
   結果を記憶手段に記憶する処理と、 最終的に得られた楕円曲線２倍値を出力する処理とを少
   なくとも実行させるプログラムを記録した記録媒体。
9. 【請求項９】 請求項７または８記載の記録媒体におい
   て、 楕円曲線上の点をヤコビ座標（Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋
   ｂＺ⁶ を満たす（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の３値を用いて点を表
   す）を用いて表現していることを特徴とする記録媒体。
10. 【請求項１０】 請求項７または８記載の記録媒体にお
    いて、 楕円曲線上の点をＹ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ を満た
    す（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｚ²)の４値を用いて表現していること
    を特徴とする記録媒体。
11. 【請求項１１】 請求項７または８記載の記録媒体にお
    いて、 楕円曲線上の点をＹ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ を満た
    す（Ｘ，Ｙ，Ｚ，ａＺ ⁴)の４値を用いて表現しているこ
    とを特徴とする記録媒体。
12. 【請求項１２】 請求項７または８記載の記録媒体にお
    いて、 楕円曲線上の点を射影座標（Ｙ² ＝Ｘ³ ＋ａＸＺ² ＋ｂ
    Ｚ³ を満たす（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の３値を用いて点を表す）
    を用いて表現していることを特徴とする記録媒体。