JP3329440B2 - 事前計算を用いた複数生成元に対する演算装置及びそのプログラム記録媒体 - Google Patents
事前計算を用いた複数生成元に対する演算装置及びそのプログラム記録媒体Info
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- JP3329440B2 JP3329440B2 JP09592798A JP9592798A JP3329440B2 JP 3329440 B2 JP3329440 B2 JP 3329440B2 JP 09592798 A JP09592798 A JP 09592798A JP 9592798 A JP9592798 A JP 9592798A JP 3329440 B2 JP3329440 B2 JP 3329440B2
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- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
- G06F7/00—Methods or arrangements for processing data by operating upon the order or content of the data handled
- G06F7/60—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers
- G06F7/72—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers using residue arithmetic
- G06F7/724—Finite field arithmetic
- G06F7/725—Finite field arithmetic over elliptic curves
Landscapes
- Complex Calculations (AREA)
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】この発明は例えば情報セキュ
リティ技術に利用され、事前計算を用いて生成元が複数
存在するものを算出する装置およびそのプログラム記録
媒体に関する。
リティ技術に利用され、事前計算を用いて生成元が複数
存在するものを算出する装置およびそのプログラム記録
媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】従来技術として提案されているBrickell
らによる有限体上の１つの生成元に対する演算方式の説
明をする。固定されたｇ（∈Ｚ／ｑＺ）と固定でないｎ
に対してｇn を求める方式である。
らによる有限体上の１つの生成元に対する演算方式の説
明をする。固定されたｇ（∈Ｚ／ｑＺ）と固定でないｎ
に対してｇn を求める方式である。
【０００３】
【数１】 ３つの変数ｓｕｍとｓｕｂｓｕｍとｄの各初期値をそれ
ぞれｓｕｍ＝１、ｓｕｂｓｕｍ＝１、ｄ＝ｍａとする。 Ｓ１ ａt ＝ｄを探し、そのｔについて事前計算値（ｇ
のｂt 乗）を用い、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×（ｇのｂt 乗）を
計算し、 Ｓ３ 更にｓｕｍ←ｓｕｍ×ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１としてｄ＝０になるまでＳ１乃至Ｓ４
を繰返す。
ぞれｓｕｍ＝１、ｓｕｂｓｕｍ＝１、ｄ＝ｍａとする。 Ｓ１ ａt ＝ｄを探し、そのｔについて事前計算値（ｇ
のｂt 乗）を用い、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×（ｇのｂt 乗）を
計算し、 Ｓ３ 更にｓｕｍ←ｓｕｍ×ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１としてｄ＝０になるまでＳ１乃至Ｓ４
を繰返す。
【０００４】ｄ＝０の時のｓｕｍの値が求める演算結果
である。このようにｇのｂt 乗を事前に計算し結果を保
持しておくことにより有限体上の演算ｇn を算出するこ
とが可能である。従来方式にて複数生成元に対する演算
を行う場合は個々の生成元に対して計算を行い、最後に
これらから得られた結果の積をとることで求める。この
従来方式の具体的な数値例を図１０に示す。これはｇ1
352・ｇ2 406を求める例であり、図１０Ａはｇ1 352を、
図１０Ｂはｇ2 406をそれぞれ求める過程を描いたもので
あり、ｇ1 352の３５２を１０進展開し３５２に、またｇ
2 406の４０６を１０進展開し４０６になり、（ｇ1 100，
ｇ1 10 ，ｇ1 1）と（ｇ2 100，ｇ2 10 ，ｇ2 1）が事前計算
によって予め得られている値とする。図１０Ａのｇ1 352
の計算を例として説明する。
である。このようにｇのｂt 乗を事前に計算し結果を保
持しておくことにより有限体上の演算ｇn を算出するこ
とが可能である。従来方式にて複数生成元に対する演算
を行う場合は個々の生成元に対して計算を行い、最後に
これらから得られた結果の積をとることで求める。この
従来方式の具体的な数値例を図１０に示す。これはｇ1
352・ｇ2 406を求める例であり、図１０Ａはｇ1 352を、
図１０Ｂはｇ2 406をそれぞれ求める過程を描いたもので
あり、ｇ1 352の３５２を１０進展開し３５２に、またｇ
2 406の４０６を１０進展開し４０６になり、（ｇ1 100，
ｇ1 10 ，ｇ1 1）と（ｇ2 100，ｇ2 10 ，ｇ2 1）が事前計算
によって予め得られている値とする。図１０Ａのｇ1 352
の計算を例として説明する。
【０００５】１００の位、１０の位、１の位はそれぞれ
３，５，２であり、グラフではそれぞれの値が棒グラフ
として記載されている。３本の棒グラフの中で最も値が
大きいのは１０の位の５である。従ってｍａ＝５であ
り、ｄ＝５からスタートする。つまり初期値としてｓｕ
ｍ＝１，ｓｕｂｓｕｍ＝１，ｄ＝５を与える。ｄ＝５と
３本の棒グラフの端点が接しているのは１０の位のみで
ある。従ってｇ1 10 をメモリより取り出し、ｓｕｂｓｕ
ｍ←ｓｕｂｓｕｍ×ｇ1 10 ＝ｇ1 10 を計算し、更にｓｕ
ｍ←ｓｕｍ×ｇ1 10 ＝ｇ1 10 を求める。このｓｕｍ（＝
ｇ1 10 ）がｄ＝５のときの結果となる。次にｄを−１し
てｄ＝４とするとｄ＝４と棒グラフの端点が接している
箇所はない。従ってｓｕｍ←ｓｕｍ（＝ｇ1 10 ）×ｓｕ
ｂｓｕｍ（＝ｇ1 10 ）を計算し、ｓｕｍ＝ｇ1 20 を得
る。このｓｕｍ（＝ｇ1 20 ）がｄ＝４のときの結果とな
る。次にｄ＝３としてｄ＝３と棒グラフの端点が接して
いるのは１００の位である。従ってｇ1 100をメモリより
取り出し、ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×ｇ1 100＝ｇ1
10 ×ｇ1 100＝ｇ1 110を計算し、更にｓｕｍ←ｓｕｍ×
ｇ 1 110＝ｇ1 20 ×ｇ1 110＝ｇ1 130となる。このｓｕｍ
（＝ｇ1 130）がｄ＝３のときの結果となる。以下ｄ＝１
まで同様の作業を行い、結果としてｇ1 352を得る。
３，５，２であり、グラフではそれぞれの値が棒グラフ
として記載されている。３本の棒グラフの中で最も値が
大きいのは１０の位の５である。従ってｍａ＝５であ
り、ｄ＝５からスタートする。つまり初期値としてｓｕ
ｍ＝１，ｓｕｂｓｕｍ＝１，ｄ＝５を与える。ｄ＝５と
３本の棒グラフの端点が接しているのは１０の位のみで
ある。従ってｇ1 10 をメモリより取り出し、ｓｕｂｓｕ
ｍ←ｓｕｂｓｕｍ×ｇ1 10 ＝ｇ1 10 を計算し、更にｓｕ
ｍ←ｓｕｍ×ｇ1 10 ＝ｇ1 10 を求める。このｓｕｍ（＝
ｇ1 10 ）がｄ＝５のときの結果となる。次にｄを−１し
てｄ＝４とするとｄ＝４と棒グラフの端点が接している
箇所はない。従ってｓｕｍ←ｓｕｍ（＝ｇ1 10 ）×ｓｕ
ｂｓｕｍ（＝ｇ1 10 ）を計算し、ｓｕｍ＝ｇ1 20 を得
る。このｓｕｍ（＝ｇ1 20 ）がｄ＝４のときの結果とな
る。次にｄ＝３としてｄ＝３と棒グラフの端点が接して
いるのは１００の位である。従ってｇ1 100をメモリより
取り出し、ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×ｇ1 100＝ｇ1
10 ×ｇ1 100＝ｇ1 110を計算し、更にｓｕｍ←ｓｕｍ×
ｇ 1 110＝ｇ1 20 ×ｇ1 110＝ｇ1 130となる。このｓｕｍ
（＝ｇ1 130）がｄ＝３のときの結果となる。以下ｄ＝１
まで同様の作業を行い、結果としてｇ1 352を得る。
【０００６】また図１０Ｂに示すｇ2 に関する演算も同
様の作業にてｇ2 406を得、これとｇ 1 の結果であるｇ1
352との積をとり、最終的なｇ1 352・ｇ2 406を得る。こ
のように複数の生成元が存在する場合はその生成元の数
だけ上記方式を繰り返すことになる。
様の作業にてｇ2 406を得、これとｇ 1 の結果であるｇ1
352との積をとり、最終的なｇ1 352・ｇ2 406を得る。こ
のように複数の生成元が存在する場合はその生成元の数
だけ上記方式を繰り返すことになる。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】コンピュータの計算能
力の向上や各種解法アルゴリズムの発見により、暗号や
署名の安全性を向上させるためにより難しい問題を根拠
とする必要が生じている。これに対する解決法としてよ
り難しい問題である複数生成元を扱った離散対数問題や
楕円曲線上の群に対する離散対数問題を安全性の根拠と
する暗号方式や署名方式が提案されつつある。
力の向上や各種解法アルゴリズムの発見により、暗号や
署名の安全性を向上させるためにより難しい問題を根拠
とする必要が生じている。これに対する解決法としてよ
り難しい問題である複数生成元を扱った離散対数問題や
楕円曲線上の群に対する離散対数問題を安全性の根拠と
する暗号方式や署名方式が提案されつつある。
【０００８】従来のBrickellらによる有限体上の１つの
生成元に対する演算方式では、こういった複数生成元を
もつものに対してはその生成元の数の分だけ方式自体を
繰返すこととなり、演算量を低減し処理速度を向上させ
る点で十分な効果が得られなかった。従来方式による具
体的な数値例を図１０に挙げたが、従来方式ではｇ1 3 52
とｇ2 406を独立に計算し、最後に両者の積をとるという
作業が必要であった。
生成元に対する演算方式では、こういった複数生成元を
もつものに対してはその生成元の数の分だけ方式自体を
繰返すこととなり、演算量を低減し処理速度を向上させ
る点で十分な効果が得られなかった。従来方式による具
体的な数値例を図１０に挙げたが、従来方式ではｇ1 3 52
とｇ2 406を独立に計算し、最後に両者の積をとるという
作業が必要であった。
【０００９】この発明の目的は上記従来方式の問題点に
対して、より難しい問題点である複数生成元に対する離
散対数問題を安全性の根拠とした暗号方式や署名方式の
内部演算をより効率的に行う演算装置およびそのプログ
ラム記録媒体を提供することである。
対して、より難しい問題点である複数生成元に対する離
散対数問題を安全性の根拠とした暗号方式や署名方式の
内部演算をより効率的に行う演算装置およびそのプログ
ラム記録媒体を提供することである。
【００１０】
【課題を解決するための手段】請求項１の発明によれ
ば、固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ
1 ，ｙ2 ，…，ｙm が入力され、（ｇ1 のｙ1 乗）×
（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）の演算結果を
出力する演算装置において、ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ
1 1 乗，…，ｇ1 のｂ1 r1乗，ｇ2 のｂ2 0 乗，ｇ 2 の
ｂ2 1 乗，…，ｇ2 のｂ2 r2乗，…，ｇm のｂm 0 乗，
ｇm のｂm 1 乗，…，ｇm のｂm rm乗の各値が記憶メモ
リ手段に記憶され、上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，
…，ｍ）をそれぞれｂi 進展開してｇi ＝Σ t=0 riａit
ｂi t なる関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂi ，ｔ＝
０，１，…，ｒｉ）が展開手段で求められてレジスタに
格納され、各係数ａit中の最大値ｍａが検出され、３つ
の変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄがそれぞれ初期値１，
１，ｍａに設定され、上記係数ａit中の上記変数値ｄと
一致するものが探索手段で探索され、その探索したａit
のｉとｔに対し、上記メモリ手段を参照して、ｓｕｂｓ
ｕｍ演算手段でｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂi t 乗）が演
算され、その結果が新たなｓｕｂｓｕｍとされ、掛算手
段で上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍとが掛算さ
れて新たなｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるか０で
あるかが判定手段で判定され、その判定手段が正と判定
すると、上記変数ｄを１減算して新たなｄとし、そのｄ
に対し、上記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手段、上
記掛算手段、上記判定手段を繰返し、上記判定手段が０
と判定すると上記掛算手段の結果の変数値ｓｕｍが演算
結果として出力される。
ば、固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ
1 ，ｙ2 ，…，ｙm が入力され、（ｇ1 のｙ1 乗）×
（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）の演算結果を
出力する演算装置において、ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ
1 1 乗，…，ｇ1 のｂ1 r1乗，ｇ2 のｂ2 0 乗，ｇ 2 の
ｂ2 1 乗，…，ｇ2 のｂ2 r2乗，…，ｇm のｂm 0 乗，
ｇm のｂm 1 乗，…，ｇm のｂm rm乗の各値が記憶メモ
リ手段に記憶され、上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，
…，ｍ）をそれぞれｂi 進展開してｇi ＝Σ t=0 riａit
ｂi t なる関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂi ，ｔ＝
０，１，…，ｒｉ）が展開手段で求められてレジスタに
格納され、各係数ａit中の最大値ｍａが検出され、３つ
の変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄがそれぞれ初期値１，
１，ｍａに設定され、上記係数ａit中の上記変数値ｄと
一致するものが探索手段で探索され、その探索したａit
のｉとｔに対し、上記メモリ手段を参照して、ｓｕｂｓ
ｕｍ演算手段でｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂi t 乗）が演
算され、その結果が新たなｓｕｂｓｕｍとされ、掛算手
段で上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍとが掛算さ
れて新たなｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるか０で
あるかが判定手段で判定され、その判定手段が正と判定
すると、上記変数ｄを１減算して新たなｄとし、そのｄ
に対し、上記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手段、上
記掛算手段、上記判定手段を繰返し、上記判定手段が０
と判定すると上記掛算手段の結果の変数値ｓｕｍが演算
結果として出力される。
【００１１】請求項２の発明によれば楕円曲線上の固定
要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm が入力され、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する演算装置において、ｂ1 0 Ｇ1 ，
ｂ1 1 Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ2 0 Ｇ2 ，ｂ
2 1 Ｇ2 ，…，ｂ 2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇm ，ｂm 1 Ｇ
m ，…，ｂm rmＧm の各乗算値がメモリ手段に記憶さ
れ、上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）がそれぞ
れ展開手段により、ｂi 進展開されてｙi ＝Σt=0 riａ
itｂi t なる関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂ，ｔ＝
０，１，…，ｒｉ）が求められ、これら各係数ａitがレ
ジスタに格納され、各係数ａit中の最大値ｍａが検出さ
れ、３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄがそれぞれ初
期値として無限遠点、無限遠点、ｍａに設定され、上記
係数ａit中の上記変数値ｄと一致するものが探索手段で
探索され、その探索したａitのｉとｔに対し、上記メモ
リ手段を参照してｓｕｂｓｕｍ＋ｂi t Ｇ i がｓｕｂｓ
ｕｍ演算手段で、上記楕円曲線上で演算され、その結果
が新たなｓｕｂｓｕｍとされ、上記変数ｓｕｂｓｕｍと
上記変数ｓｕｍと上記楕円曲線上で加算手段により加算
されて新たなｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるかｄ
＝０かが判定手段で判定され、、上記判定手段が正と判
定すると、上記変数ｄを１減算して、新たなｄとし、そ
のｄに対し、上記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手
段、上記加算手段、上記判定手段が繰返され、上記判定
手段が０と判定すると上記加算手段の結果の変数値ｓｕ
ｍが演算結果として出力される。
要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm が入力され、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する演算装置において、ｂ1 0 Ｇ1 ，
ｂ1 1 Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ2 0 Ｇ2 ，ｂ
2 1 Ｇ2 ，…，ｂ 2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇm ，ｂm 1 Ｇ
m ，…，ｂm rmＧm の各乗算値がメモリ手段に記憶さ
れ、上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）がそれぞ
れ展開手段により、ｂi 進展開されてｙi ＝Σt=0 riａ
itｂi t なる関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂ，ｔ＝
０，１，…，ｒｉ）が求められ、これら各係数ａitがレ
ジスタに格納され、各係数ａit中の最大値ｍａが検出さ
れ、３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄがそれぞれ初
期値として無限遠点、無限遠点、ｍａに設定され、上記
係数ａit中の上記変数値ｄと一致するものが探索手段で
探索され、その探索したａitのｉとｔに対し、上記メモ
リ手段を参照してｓｕｂｓｕｍ＋ｂi t Ｇ i がｓｕｂｓ
ｕｍ演算手段で、上記楕円曲線上で演算され、その結果
が新たなｓｕｂｓｕｍとされ、上記変数ｓｕｂｓｕｍと
上記変数ｓｕｍと上記楕円曲線上で加算手段により加算
されて新たなｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるかｄ
＝０かが判定手段で判定され、、上記判定手段が正と判
定すると、上記変数ｄを１減算して、新たなｄとし、そ
のｄに対し、上記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手
段、上記加算手段、上記判定手段が繰返され、上記判定
手段が０と判定すると上記加算手段の結果の変数値ｓｕ
ｍが演算結果として出力される。
【００１２】請求項３の発明によれば固定要素ｇ1 ，ｇ
2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ1，ｙ2 ，…，ｙm が
入力され、（ｇ1 のｙ1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×
（ｇ m のｙm 乗）の演算結果を出力する演算装置におい
て、ｇ1 の（−ｂ1 r1）乗，ｇ1 の（−ｂ1 r1-1）乗，
…，ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1のｂ1 1 乗，…，ｇ1 のｂ1
r1乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2）乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2-1）
乗，…，ｇ2 のｂ2 0 乗，…，ｇ2 のｂ2 r2乗，…，ｇ
m の（−ｂm rm）乗，…，ｇm のｂm 0 乗，…，ｇm の
ｂm rm乗の各値がメモリ手段に記憶され、上記各入力値
ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）がそれぞれ符号付ｂi 進展
開されて、ｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係の各係数
ａit（−［（ｂi −１）／２］≦ａit≦［（ｂi −１）
／２］，ｔ＝０，１，…，ｒｉ，［ａ］はａ以上で最小
の整数である）が展開手段により求められてレジスタに
格納され、上記係数ａit中の絶対値の最大値ｍａが検出
され、３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄがそれぞれ
初期値として１，１，ｍａに設定され、上記係数ａit中
の絶対値が上記変数値ｄと一致するものが探索手段で探
索され、その探索したａitの符号とｉとｔに対し、上記
メモリ手段を参照してｓｕｂｓｕｍ×（ｇi の（ａitの
符号）ｂi t 乗）がｓｕｂｓｕｍ演算手段で演算され、
その結果が新たなｓｕｂｓｕｍとされ、上記変数ｓｕｂ
ｓｕｍと上記変数ｓｕｍとが掛算手段で掛算されて新た
なｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるか０であるかが
判定手段で判定され、上記判定手段が正と判定すると、
上記変数ｄを１減算して新たなｄとし、そのｄに対し上
記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手段、上記掛算手
段、上記判定手段が繰返され、上記判定手段が０と判定
すると、上記掛算手段の結果の変数値ｓｕｍが演算結果
として出力される。
2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ1，ｙ2 ，…，ｙm が
入力され、（ｇ1 のｙ1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×
（ｇ m のｙm 乗）の演算結果を出力する演算装置におい
て、ｇ1 の（−ｂ1 r1）乗，ｇ1 の（−ｂ1 r1-1）乗，
…，ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1のｂ1 1 乗，…，ｇ1 のｂ1
r1乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2）乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2-1）
乗，…，ｇ2 のｂ2 0 乗，…，ｇ2 のｂ2 r2乗，…，ｇ
m の（−ｂm rm）乗，…，ｇm のｂm 0 乗，…，ｇm の
ｂm rm乗の各値がメモリ手段に記憶され、上記各入力値
ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）がそれぞれ符号付ｂi 進展
開されて、ｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係の各係数
ａit（−［（ｂi −１）／２］≦ａit≦［（ｂi −１）
／２］，ｔ＝０，１，…，ｒｉ，［ａ］はａ以上で最小
の整数である）が展開手段により求められてレジスタに
格納され、上記係数ａit中の絶対値の最大値ｍａが検出
され、３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄがそれぞれ
初期値として１，１，ｍａに設定され、上記係数ａit中
の絶対値が上記変数値ｄと一致するものが探索手段で探
索され、その探索したａitの符号とｉとｔに対し、上記
メモリ手段を参照してｓｕｂｓｕｍ×（ｇi の（ａitの
符号）ｂi t 乗）がｓｕｂｓｕｍ演算手段で演算され、
その結果が新たなｓｕｂｓｕｍとされ、上記変数ｓｕｂ
ｓｕｍと上記変数ｓｕｍとが掛算手段で掛算されて新た
なｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるか０であるかが
判定手段で判定され、上記判定手段が正と判定すると、
上記変数ｄを１減算して新たなｄとし、そのｄに対し上
記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手段、上記掛算手
段、上記判定手段が繰返され、上記判定手段が０と判定
すると、上記掛算手段の結果の変数値ｓｕｍが演算結果
として出力される。
【００１３】請求項４の発明によれば楕円曲線上の固定
要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm が入力され、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する演算装置において、ｂ1 0 Ｇ1 ，
ｂ1 1 Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ2 0 Ｇ2 ，ｂ
2 1 Ｇ2 ，…，ｂ 2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇm ，ｂm 1 Ｇ
m ，…，ｂm rmＧm の各乗算値がメモリ手段に記憶さ
れ、上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）が展開手
段で、それぞれ符号付ｂi 進展開されてｙi ＝Σt=0 ri
ａitｂi t なる関係の各係数ａit（−［（ｂi −１）／
２］≦ａit≦［（ｂi −１）／２］，ｔ＝０，１，…，
ｒｉ，［ａ］はａ以上で最小の整数である）が求められ
てレジスタに格納され、上記係数ａit中の絶対値の最大
値ｍａが検出され、３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，
ｄにそれぞれ初期値として無限遠点、無限遠点、ｍａが
設定され、上記係数ａit中の絶対値が上記変数値ｄと一
致するものが探索手段で探索され、その探索したａitの
ｉとｔに対し、上記メモリ手段を参照して、ｓｕｂｓｕ
ｍ演算手段でｓｕｂｓｕｍ＋（ａitの符号）ｂi t Ｇi
が上記楕円曲線上で演算され、その結果が新たなｓｕｂ
ｓｕｍとされ、上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍ
とが上記楕円曲線上で加算手段により加算されて新たな
ｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるか０であるかが判
定手段で判定され、上記判定手段が正と判定すると、上
記変数ｄを１減算して新たなｄとし、そのｄに対し、上
記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手段、上記加算手
段、上記判定手段が繰返され、上記判定手段が０と判定
すると、上記加算手段の結果の変数値ｓｕｍが演算結果
として出力される。
要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm が入力され、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する演算装置において、ｂ1 0 Ｇ1 ，
ｂ1 1 Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ2 0 Ｇ2 ，ｂ
2 1 Ｇ2 ，…，ｂ 2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇm ，ｂm 1 Ｇ
m ，…，ｂm rmＧm の各乗算値がメモリ手段に記憶さ
れ、上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）が展開手
段で、それぞれ符号付ｂi 進展開されてｙi ＝Σt=0 ri
ａitｂi t なる関係の各係数ａit（−［（ｂi −１）／
２］≦ａit≦［（ｂi −１）／２］，ｔ＝０，１，…，
ｒｉ，［ａ］はａ以上で最小の整数である）が求められ
てレジスタに格納され、上記係数ａit中の絶対値の最大
値ｍａが検出され、３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，
ｄにそれぞれ初期値として無限遠点、無限遠点、ｍａが
設定され、上記係数ａit中の絶対値が上記変数値ｄと一
致するものが探索手段で探索され、その探索したａitの
ｉとｔに対し、上記メモリ手段を参照して、ｓｕｂｓｕ
ｍ演算手段でｓｕｂｓｕｍ＋（ａitの符号）ｂi t Ｇi
が上記楕円曲線上で演算され、その結果が新たなｓｕｂ
ｓｕｍとされ、上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍ
とが上記楕円曲線上で加算手段により加算されて新たな
ｓｕｍとされ、上記変数ｄが正であるか０であるかが判
定手段で判定され、上記判定手段が正と判定すると、上
記変数ｄを１減算して新たなｄとし、そのｄに対し、上
記探索手段、上記ｓｕｂｓｕｍ演算手段、上記加算手
段、上記判定手段が繰返され、上記判定手段が０と判定
すると、上記加算手段の結果の変数値ｓｕｍが演算結果
として出力される。
【００１４】以上の構成のようにこれまで別々に行って
いた各生成元に対する乗算（有限体上）または加算（楕
円曲線上）を先にまとめてその全体を乗算または加算を
行うことにより、これまで複数回必要であった乗算また
は加算の箇所を１回で完了可能とする。
いた各生成元に対する乗算（有限体上）または加算（楕
円曲線上）を先にまとめてその全体を乗算または加算を
行うことにより、これまで複数回必要であった乗算また
は加算の箇所を１回で完了可能とする。
【００１５】
【発明の実施の形態】以下図面を用いてこの発明の実施
例について詳しく説明する。第一実施例
例について詳しく説明する。第一実施例
【００１６】
【数２】 と効率良く算出することが可能である。つまりこの実施
例の手順の一例は以下の通りである。３つの変数ｓｕ
ｍ、ｓｕｂｓｕｍ、ｄの初期値をそれぞれｓｕｍ＝１、
ｓｕｂｓｕｍ＝１、ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ａit＝ｄを探し、そのｉ，ｔについて、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂ
i t 乗）を計算し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ×ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１としてｄ＝０になるまでＳ１乃至Ｓ４
を繰返す。
例の手順の一例は以下の通りである。３つの変数ｓｕ
ｍ、ｓｕｂｓｕｍ、ｄの初期値をそれぞれｓｕｍ＝１、
ｓｕｂｓｕｍ＝１、ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ａit＝ｄを探し、そのｉ，ｔについて、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂ
i t 乗）を計算し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ×ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１としてｄ＝０になるまでＳ１乃至Ｓ４
を繰返す。
【００１７】ｄ＝０の時のｓｕｍの値が求める演算結果
である。以上をｇi のｂi t 乗を事前に計算し結果を保
持しておくことにより（ｇ1 のｙ 1 乗）×（ｇ2 のｙ2
乗）×…×（ｇm のｙm 乗）を効率良く算出する一例と
して挙げることができる。上記アルゴリズムを実行する
この発明の演算装置の実施例を図１に示す。固定要素ｇ
1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，
ｙm が入力手段（レジスタを含む）１１に入力される。
ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ1 1 乗，…，ｇ 1 のｂ
1 r1乗，ｇ2 のｂ2 0 乗，ｇ2 のｂ2 1 乗，…，ｇ2 の
ｂ2 r2乗，…，ｇ m のｂm 0 乗，ｇm のｂm 1 乗，…，
ｇm のｂm rm乗の各値を記憶したメモリ手段１２が設け
られている。各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）は展
開手段１３でそれぞれｂi 進展開されてｙi ＝Σt=0 ri
ａitｂi t なる関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂi ，ｔ
＝０，１，…，ｒｉ）が求められ、これら各係数ａit、
つまり（ａ10，ａ11，…，ａ1r1 ），（ａ20，ａ21，
…，ａ2r2 ），…，（ａm0，ａ m1，…，ａmrm ）がレジ
スタ１４に格納される。最大値検出手段１５により係数
ａit中の最大値ｍａが検出される。一方変数レジスタ１
６，１７および１８に、それぞれ変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓ
ｕｍ，ｄの初期値として１，１，ｍａが設定される。そ
の後、探索手段１９により各係数ａit中のレジスタ１８
内の変数値ｄと一致するものが探索される。その探索し
たａitのｉとｔによりメモリ手段１２から（ｇi のｂi
t 乗）の値が読出され、レジスタ１７中のｓｕｂｓｕｍ
の値との乗算がｓｕｂｓｕｍ演算手段２１で行われ、そ
の演算結果ｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂi t 乗）が新たな
ｓｕｂｓｕｍとしてレジスタ１７に格納される。
である。以上をｇi のｂi t 乗を事前に計算し結果を保
持しておくことにより（ｇ1 のｙ 1 乗）×（ｇ2 のｙ2
乗）×…×（ｇm のｙm 乗）を効率良く算出する一例と
して挙げることができる。上記アルゴリズムを実行する
この発明の演算装置の実施例を図１に示す。固定要素ｇ
1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，
ｙm が入力手段（レジスタを含む）１１に入力される。
ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ1 1 乗，…，ｇ 1 のｂ
1 r1乗，ｇ2 のｂ2 0 乗，ｇ2 のｂ2 1 乗，…，ｇ2 の
ｂ2 r2乗，…，ｇ m のｂm 0 乗，ｇm のｂm 1 乗，…，
ｇm のｂm rm乗の各値を記憶したメモリ手段１２が設け
られている。各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）は展
開手段１３でそれぞれｂi 進展開されてｙi ＝Σt=0 ri
ａitｂi t なる関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂi ，ｔ
＝０，１，…，ｒｉ）が求められ、これら各係数ａit、
つまり（ａ10，ａ11，…，ａ1r1 ），（ａ20，ａ21，
…，ａ2r2 ），…，（ａm0，ａ m1，…，ａmrm ）がレジ
スタ１４に格納される。最大値検出手段１５により係数
ａit中の最大値ｍａが検出される。一方変数レジスタ１
６，１７および１８に、それぞれ変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓ
ｕｍ，ｄの初期値として１，１，ｍａが設定される。そ
の後、探索手段１９により各係数ａit中のレジスタ１８
内の変数値ｄと一致するものが探索される。その探索し
たａitのｉとｔによりメモリ手段１２から（ｇi のｂi
t 乗）の値が読出され、レジスタ１７中のｓｕｂｓｕｍ
の値との乗算がｓｕｂｓｕｍ演算手段２１で行われ、そ
の演算結果ｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂi t 乗）が新たな
ｓｕｂｓｕｍとしてレジスタ１７に格納される。
【００１８】そのレジスタ１７の変数ｓｕｂｓｕｍ値と
レジスタ１６内の上記変数ｓｕｍ値とが掛算手段２２で
掛算され、その結果が新たなｓｕｍとしてレジスタ１６
に格納される。この掛算の後、レジスタ１８内の変数ｄ
が正であるか０であるかの判定が判定手段２３で行われ
る。この判定手段２３が正と判定すると、変数ｄは減算
手段２４で１減算されてレジスタ１８に新たなｄとして
格納され、そのｄに対し、探索手段１９、ｓｕｂｓｕｍ
演算手段２１、掛算手段２２、判定手段２３の各動作が
繰返される。この際に探索手段１９で一致するａitが見
つからなかった場合はｓｕｂｓｕｍ演算手段２１は実行
されないが、掛算手段２２は実行される。
レジスタ１６内の上記変数ｓｕｍ値とが掛算手段２２で
掛算され、その結果が新たなｓｕｍとしてレジスタ１６
に格納される。この掛算の後、レジスタ１８内の変数ｄ
が正であるか０であるかの判定が判定手段２３で行われ
る。この判定手段２３が正と判定すると、変数ｄは減算
手段２４で１減算されてレジスタ１８に新たなｄとして
格納され、そのｄに対し、探索手段１９、ｓｕｂｓｕｍ
演算手段２１、掛算手段２２、判定手段２３の各動作が
繰返される。この際に探索手段１９で一致するａitが見
つからなかった場合はｓｕｂｓｕｍ演算手段２１は実行
されないが、掛算手段２２は実行される。
【００１９】判定手段２３がｄ＝０と判定するとレジス
タ１６内の変数値ｓｕｍを演算結果として出力する。以
上の各手段１３，１５，１９，２１，２２，２３，２４
の動作、入力手段１１、メモリ手段１２、レジスタ１
４，１６，１７，１８に対する読出し、書込み、処理手
順などは制御手段２６により制御される。
タ１６内の変数値ｓｕｍを演算結果として出力する。以
上の各手段１３，１５，１９，２１，２２，２３，２４
の動作、入力手段１１、メモリ手段１２、レジスタ１
４，１６，１７，１８に対する読出し、書込み、処理手
順などは制御手段２６により制御される。
【００２０】この発明による処理の数値的具体例を、従
来技術と同様にｇ1 352 ・ｇ2 406の演算について、図
１０と同様な表現で図２を参照して説明する。図２では
ｇ1 352 の３５２を１０進展開して３５２になり、ｇ2
406 の４０６を１０進展開して４０６になり、つまりこ
の場合も図１０のときと同様に（ｇ1 100 ，ｇ1 10，ｇ
1 1 ）と（ｇ2 100 ，ｇ2 10，ｇ2 1 ）が事前計算によ
って予め得られ、メモリ手段１２に記憶されてある。
来技術と同様にｇ1 352 ・ｇ2 406の演算について、図
１０と同様な表現で図２を参照して説明する。図２では
ｇ1 352 の３５２を１０進展開して３５２になり、ｇ2
406 の４０６を１０進展開して４０６になり、つまりこ
の場合も図１０のときと同様に（ｇ1 100 ，ｇ1 10，ｇ
1 1 ）と（ｇ2 100 ，ｇ2 10，ｇ2 1 ）が事前計算によ
って予め得られ、メモリ手段１２に記憶されてある。
【００２１】図２では各位の値が図１０と違い重ねてあ
る。まず各位の数｛３，５，２，４，０，６｝のうち最
大値は６であり、これが手段１５で検出され、ｍａ＝６
でありｄ＝６からスタートする。つまりレジスタ１８の
初期値は６とされ、他のレジスタ１６，１７の初期値と
してｓｕｍ＝１，ｓｕｂｓｕｍ＝１が格納される。ｄ＝
６と棒グラフの端点が接しているのはｇ2 の１の位であ
る、つまりｄと一致するａitはｉ＝２、ｔ＝１であっ
て、従ってｇ2 1 をメモリ１２より取り出し、ｓｕｂｓ
ｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×ｇ2 1 ＝ｇ2 1としｓｕｍ←ｓｕｍ
×ｇ2 1＝ｇ2 1となる。このｓｕｍ（＝ｇ2 1）がｄ＝６の
ときの結果となる。次にｄ＝５としてｄ＝５と棒グラフ
の端点が接しているのはｇ1 の１０の位である。つまり
ｄと一致するａitはｉ＝１，ｔ＝１０であり、従ってｇ
1 10をメモリ１２より取り出し、ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂ
ｓｕｍ×ｇ1 10 ＝ｇ2 1×ｇ1 10 ＝ｇ1 10 ｇ2 1とし、ｓｕ
ｍ＝ｓｕｍ×ｇ1 10 ｇ2 1＝ｇ2 1×ｇ1 10 ｇ2 1＝ｇ1 10 ｇ
2 2となる。このｓｕｍ（＝ｇ 1 10 ｇ2 2）がｄ＝５のとき
の結果である。以下ｄ＝１まで同様の作業を行い、結果
としてｇ1 352・ｇ2 406を得る。
る。まず各位の数｛３，５，２，４，０，６｝のうち最
大値は６であり、これが手段１５で検出され、ｍａ＝６
でありｄ＝６からスタートする。つまりレジスタ１８の
初期値は６とされ、他のレジスタ１６，１７の初期値と
してｓｕｍ＝１，ｓｕｂｓｕｍ＝１が格納される。ｄ＝
６と棒グラフの端点が接しているのはｇ2 の１の位であ
る、つまりｄと一致するａitはｉ＝２、ｔ＝１であっ
て、従ってｇ2 1 をメモリ１２より取り出し、ｓｕｂｓ
ｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×ｇ2 1 ＝ｇ2 1としｓｕｍ←ｓｕｍ
×ｇ2 1＝ｇ2 1となる。このｓｕｍ（＝ｇ2 1）がｄ＝６の
ときの結果となる。次にｄ＝５としてｄ＝５と棒グラフ
の端点が接しているのはｇ1 の１０の位である。つまり
ｄと一致するａitはｉ＝１，ｔ＝１０であり、従ってｇ
1 10をメモリ１２より取り出し、ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂ
ｓｕｍ×ｇ1 10 ＝ｇ2 1×ｇ1 10 ＝ｇ1 10 ｇ2 1とし、ｓｕ
ｍ＝ｓｕｍ×ｇ1 10 ｇ2 1＝ｇ2 1×ｇ1 10 ｇ2 1＝ｇ1 10 ｇ
2 2となる。このｓｕｍ（＝ｇ 1 10 ｇ2 2）がｄ＝５のとき
の結果である。以下ｄ＝１まで同様の作業を行い、結果
としてｇ1 352・ｇ2 406を得る。
【００２２】このように複数生成元に対してはこれまで
複数回行っていた演算の適用をまとめ、結果乗算回数を
減らすことが可能である。第二実施例 ｐを素数とし、ｎを自然数として、要素数ｐn である有
限体Ｆ（ｐn ）上で定義された楕円曲線ＥのＦ（ｐn ）
有利点で構成される群をＥ（Ｆ（ｐn ））、 Ｅ（Ｆ（ｐn ））上の２項演算を記号＋、 Ｅ（Ｆ（ｐn ））の要素Ｇの逆元を記号−Ｇ、 Ｅ（Ｆ（ｐn ））の要素Ｇをｘ個演算したＧ＋Ｇ＋…＋
Ｇ（ｘ個）をｘＧと表わす。
複数回行っていた演算の適用をまとめ、結果乗算回数を
減らすことが可能である。第二実施例 ｐを素数とし、ｎを自然数として、要素数ｐn である有
限体Ｆ（ｐn ）上で定義された楕円曲線ＥのＦ（ｐn ）
有利点で構成される群をＥ（Ｆ（ｐn ））、 Ｅ（Ｆ（ｐn ））上の２項演算を記号＋、 Ｅ（Ｆ（ｐn ））の要素Ｇの逆元を記号−Ｇ、 Ｅ（Ｆ（ｐn ））の要素Ｇをｘ個演算したＧ＋Ｇ＋…＋
Ｇ（ｘ個）をｘＧと表わす。
【００２３】要素数が素数ｑであるＥ（Ｆ（ｐn ））の
部分群をＧq として、部分群Ｇq の異なる固定要素
Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm ，および固定でない整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm ∈Ｚ／ｑＺを選び、楕円曲線Ｅ上の下記の
加算を行う。 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm この際にこの発明の装置の原理とアルゴリズムは以下の
通りである。
部分群をＧq として、部分群Ｇq の異なる固定要素
Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm ，および固定でない整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm ∈Ｚ／ｑＺを選び、楕円曲線Ｅ上の下記の
加算を行う。 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm この際にこの発明の装置の原理とアルゴリズムは以下の
通りである。
【００２４】
【数３】 この演算手順の一例としては以下のようにすればよい。
３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの初期値をそれぞ
れｓｕｍ＝Ｏ（無限遠点）、ｓｕｂｓｕｍ＝Ｏ（無限遠
点）、ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ａit＝ｄを探し、そのｉ，ｔについて、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ＋ｂi t Ｇi を計算
し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ＋ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１として、ｄ＝０になるまでＳ１乃至Ｓ
４を繰返す。
３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの初期値をそれぞ
れｓｕｍ＝Ｏ（無限遠点）、ｓｕｂｓｕｍ＝Ｏ（無限遠
点）、ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ａit＝ｄを探し、そのｉ，ｔについて、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ＋ｂi t Ｇi を計算
し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ＋ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１として、ｄ＝０になるまでＳ１乃至Ｓ
４を繰返す。
【００２５】ｄ＝０となった時のｓｕｍの値が求める演
算結果である。以上をｂi t Ｇi を事前に計算し結果を
保持しておくことにより楕円曲線上の演算ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ
2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm を効率良く算出することができ
る。次にこの第二実施例の装置を図３を参照して説明す
る。入力手段１１には楕円曲線上の固定要素Ｇ1 ，
Ｇ2 ，…，Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，ｙ
m が入力され、メモリ手段１２にはｂ1 0 Ｇ1 ，ｂ1 1
Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ2 0 Ｇ2 ，ｂ2 1 Ｇ2 ，…，
ｂ2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇm ，ｂm 1 Ｇm ，…，ｂm rm
Ｇm の各乗算値が記憶されている。第一実施例と同様に
各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）は展開手段１３で
それぞれｂi 進展開され、ｙi ＝Σt=0 riａitｂi t な
る関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂ，ｔ＝０，１，…，
ｒｉ）が求められて、レジスタ１４に格納され、各係数
ａit中の最大値ｍａが検出手段１５で検出される点も第
一実施例と同様である。
算結果である。以上をｂi t Ｇi を事前に計算し結果を
保持しておくことにより楕円曲線上の演算ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ
2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm を効率良く算出することができ
る。次にこの第二実施例の装置を図３を参照して説明す
る。入力手段１１には楕円曲線上の固定要素Ｇ1 ，
Ｇ2 ，…，Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，ｙ
m が入力され、メモリ手段１２にはｂ1 0 Ｇ1 ，ｂ1 1
Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ2 0 Ｇ2 ，ｂ2 1 Ｇ2 ，…，
ｂ2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇm ，ｂm 1 Ｇm ，…，ｂm rm
Ｇm の各乗算値が記憶されている。第一実施例と同様に
各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）は展開手段１３で
それぞれｂi 進展開され、ｙi ＝Σt=0 riａitｂi t な
る関係の各係数ａit（０≦ａit＜ｂ，ｔ＝０，１，…，
ｒｉ）が求められて、レジスタ１４に格納され、各係数
ａit中の最大値ｍａが検出手段１５で検出される点も第
一実施例と同様である。
【００２６】レジスタ１６，１７，１８にはそれぞれ変
数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの各初期値として無限遠
点、無限遠点、ｍａがそれぞれ設定される。係数ａit中
の上記変数値ｄと一致するものが探索手段１９で探索さ
れ、その探索したａitのｉとｔによりメモリ手段１２が
読出され、ｓｕｂｓｕｍ演算手段３１によりｓｕｂｓｕ
ｍ＋ｂi t Ｇi が楕円曲線Ｅ上で演算され、その結果が
新たなｓｕｂｓｕｍとしてレジスタ１７に格納される。
そのレジスタ１７の変数ｓｕｂｓｕｍとレジスタ１６内
の変数ｓｕｍとが加算手段３２により楕円曲線Ｅ上で加
算されて新たなｓｕｍとしてレジスタ１６に格納され
る。
数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの各初期値として無限遠
点、無限遠点、ｍａがそれぞれ設定される。係数ａit中
の上記変数値ｄと一致するものが探索手段１９で探索さ
れ、その探索したａitのｉとｔによりメモリ手段１２が
読出され、ｓｕｂｓｕｍ演算手段３１によりｓｕｂｓｕ
ｍ＋ｂi t Ｇi が楕円曲線Ｅ上で演算され、その結果が
新たなｓｕｂｓｕｍとしてレジスタ１７に格納される。
そのレジスタ１７の変数ｓｕｂｓｕｍとレジスタ１６内
の変数ｓｕｍとが加算手段３２により楕円曲線Ｅ上で加
算されて新たなｓｕｍとしてレジスタ１６に格納され
る。
【００２７】レジスタ１８中の変数ｄが正であるか０で
あるかの判定が判定手段２３で行われ、正と判定される
と、減算手段２４で変数ｄを１減算して、新たなｄと
し、レジスタ１８に格納され、そのｄに対し、探索手段
１９、ｓｕｂｓｕｍ演算手段３１、加算手段３２、判定
手段２３の各動作が繰返され、判定手段２３が０と判定
するとレジスタ１６内の変数値ｓｕｍが演算結果として
出力される。制御手段２６は第一実施例のそれと同様な
動作をするものである。
あるかの判定が判定手段２３で行われ、正と判定される
と、減算手段２４で変数ｄを１減算して、新たなｄと
し、レジスタ１８に格納され、そのｄに対し、探索手段
１９、ｓｕｂｓｕｍ演算手段３１、加算手段３２、判定
手段２３の各動作が繰返され、判定手段２３が０と判定
するとレジスタ１６内の変数値ｓｕｍが演算結果として
出力される。制御手段２６は第一実施例のそれと同様な
動作をするものである。
【００２８】具体的な数値例として３５２Ｇ1 ＋４０６
Ｇ2 を演算する過程を、図４に図２と同様な手法で示
す。この場合は、ｓｕｂｓｕｍ演算手段３１が楕円曲線
上での加算となり、また掛算手段２２の代りに加算手段
３２となっている点がこの図にも現われている。図２の
場合と同様に容易に理解できると思われるから説明は省
略する。
Ｇ2 を演算する過程を、図４に図２と同様な手法で示
す。この場合は、ｓｕｂｓｕｍ演算手段３１が楕円曲線
上での加算となり、また掛算手段２２の代りに加算手段
３２となっている点がこの図にも現われている。図２の
場合と同様に容易に理解できると思われるから説明は省
略する。
【００２９】第三実施例 これは第一実施例と同一の入力に対し、同一の演算結果
を得るが、各入力値ｙ i を符号付きｂi 進展開する点で
異なる。以下にその原理とアルゴリズムを述べる。固定
要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ1 ，
ｙ2 ，…，ｙm に対して、 ｇ1 y1ｇ2 y2…ｇm ym を求める。各ｙi を
を得るが、各入力値ｙ i を符号付きｂi 進展開する点で
異なる。以下にその原理とアルゴリズムを述べる。固定
要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定でない整数ｙ1 ，
ｙ2 ，…，ｙm に対して、 ｇ1 y1ｇ2 y2…ｇm ym を求める。各ｙi を
【００３０】
【数４】 と効率良く算出することが可能である。またこの演算手
順の一例としては以下のようにすればよい。３つの変数
ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの初期値をそれぞれｓｕｍ＝
１、ｓｕｂｓｕｍ＝１、ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ｜ａit｜＝ｄを探し、そのｉ，ｔについて、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｓｉｇｎ
（ａit）ｂi t 乗）を計算し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ×ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１としてｄ＝０になるまでＳ１〜Ｓ４を
繰返す。
順の一例としては以下のようにすればよい。３つの変数
ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの初期値をそれぞれｓｕｍ＝
１、ｓｕｂｓｕｍ＝１、ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ｜ａit｜＝ｄを探し、そのｉ，ｔについて、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｓｉｇｎ
（ａit）ｂi t 乗）を計算し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ×ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１としてｄ＝０になるまでＳ１〜Ｓ４を
繰返す。
【００３１】ｄ＝０になった時のｓｕｍの値が求める演
算結果である。以上を±ｇi のｂi t 乗を事前に計算し
結果を保持しておくことにより有限体上の演算（ｇ1 の
ｙ1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）を
効率良く算出する一例として挙げることができる。図５
に第三実施例を示し、図１と対応する部分に同一符号を
付けてあり、第一実施例と異なる点について説明する。
メモリ手段１２にはｇ1 の（−ｂ1 r1）乗，ｇ1 の（−
ｂ1 r1-1）乗，…，ｇ1のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ1 1 乗，
…，ｇ1 のｂ1 r1乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2）乗，ｇ 2 の
（−ｂ2 r2-1）乗，…，ｇ2 のｂ2 0 乗，…，ｇ2 のｂ
2 r2乗，…，ｇm の（−ｂm rm）乗，…，ｇm のｂm 0
乗，…，ｇm のｂm rm乗の各値が記憶され、展開手段１
３では符号付ｂi 進展開、つまり、ｙi ＝Σt=0 riａit
ｂi t なる関係の各係数ａit（−［（ｂi −１）／２］
≦ａit≦［（ｂi −１）／２］，ｔ＝０，１，…，ｒ
ｉ，［ａ］はａ以上で最小の整数である）が求められ、
検出手段１５では係数ａit中の絶対値｜ａit｜の最大値
ｍａが検出される。探索手段１９では係数ａit中の絶対
値｜ａit｜が変数値ｄと一致するものが探索され、ｓｕ
ｂｓｕｍ演算手段２１では探索したａitの符号とｉとｔ
により、メモリ手段１２が読出され、ｓｕｂｓｕｍ×
（ｇi の（ａitの符号）ｂi t 乗）が演算される。その
他は第一実施例と同様である。
算結果である。以上を±ｇi のｂi t 乗を事前に計算し
結果を保持しておくことにより有限体上の演算（ｇ1 の
ｙ1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）を
効率良く算出する一例として挙げることができる。図５
に第三実施例を示し、図１と対応する部分に同一符号を
付けてあり、第一実施例と異なる点について説明する。
メモリ手段１２にはｇ1 の（−ｂ1 r1）乗，ｇ1 の（−
ｂ1 r1-1）乗，…，ｇ1のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ1 1 乗，
…，ｇ1 のｂ1 r1乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2）乗，ｇ 2 の
（−ｂ2 r2-1）乗，…，ｇ2 のｂ2 0 乗，…，ｇ2 のｂ
2 r2乗，…，ｇm の（−ｂm rm）乗，…，ｇm のｂm 0
乗，…，ｇm のｂm rm乗の各値が記憶され、展開手段１
３では符号付ｂi 進展開、つまり、ｙi ＝Σt=0 riａit
ｂi t なる関係の各係数ａit（−［（ｂi −１）／２］
≦ａit≦［（ｂi −１）／２］，ｔ＝０，１，…，ｒ
ｉ，［ａ］はａ以上で最小の整数である）が求められ、
検出手段１５では係数ａit中の絶対値｜ａit｜の最大値
ｍａが検出される。探索手段１９では係数ａit中の絶対
値｜ａit｜が変数値ｄと一致するものが探索され、ｓｕ
ｂｓｕｍ演算手段２１では探索したａitの符号とｉとｔ
により、メモリ手段１２が読出され、ｓｕｂｓｕｍ×
（ｇi の（ａitの符号）ｂi t 乗）が演算される。その
他は第一実施例と同様である。
【００３２】具体的数値例の演算過程を、ｇ1 352 ・ｇ
2 406 について図２と同様な表現で図６に示す。第四実施例 これは第二実施例と同一の入力に対し、同一の演算結果
を得るが、第三実施例と同様にｙi を符号付きｂi 進展
開している点で異なる。以下にその原理とアルゴリズム
を述べる。
2 406 について図２と同様な表現で図６に示す。第四実施例 これは第二実施例と同一の入力に対し、同一の演算結果
を得るが、第三実施例と同様にｙi を符号付きｂi 進展
開している点で異なる。以下にその原理とアルゴリズム
を述べる。
【００３３】部分群Ｇq の異なる固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，
…，Ｇm 、および固定でない整数ｙ 1 ，ｙ2 ，…，ｙm
∈Ｚ／ｑＺを選び、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm を求める。ｙi を
…，Ｇm 、および固定でない整数ｙ 1 ，ｙ2 ，…，ｙm
∈Ｚ／ｑＺを選び、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm を求める。ｙi を
【００３４】
【数５】 これにより効率良く算出することが可能である。この演
算手順の一例としては以下のようにすればよい。３つの
変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの初期値をそれぞれｓｕ
ｍ＝Ｏ（無限遠点）、ｓｕｂｓｕｍ＝Ｏ（無限遠点）、
ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ｜ａit｜＝ｄを探し、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ＋ｓｉｇｎ（ａit）
ｂi t Ｇi を計算し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ＋ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１として、ｄ＝０になるまでＳ１〜Ｓ４
を繰返す。
算手順の一例としては以下のようにすればよい。３つの
変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの初期値をそれぞれｓｕ
ｍ＝Ｏ（無限遠点）、ｓｕｂｓｕｍ＝Ｏ（無限遠点）、
ｄ＝ｍａとし、 Ｓ１ ｜ａit｜＝ｄを探し、 Ｓ２ ｓｕｂｓｕｍ←ｓｕｂｓｕｍ＋ｓｉｇｎ（ａit）
ｂi t Ｇi を計算し、 Ｓ３ ｓｕｍ←ｓｕｍ＋ｓｕｂｓｕｍを計算し、 Ｓ４ ｄ←ｄ−１として、ｄ＝０になるまでＳ１〜Ｓ４
を繰返す。
【００３５】ｄ＝０になった時のｓｕｍの値が求める演
算結果である。以上を±ｂi t Ｇi を事前に計算し結果
を保持しておくことにより楕円曲線上の演算ｙ1 Ｇ1 ＋
ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm を効率良く算出することができ
る。この第四実施例の演算装置を図３、図５と対応する
部分に同一符号を付けて図７に示す。メモリ手段１２の
記憶内容は図３のそれと同一である。つまり楕円曲線上
の要素ではαＧに対して−αＧは容易に算出することが
できるので、−αＧは事前計算しておく必要はない。展
開手段１３では図５中のそれと同様に符号付ｂi 進展開
が行われ、また係数ａit中の絶対値｜ａit｜の最大値ｍ
ａが検出され、レジスタ１６，１７，１８の初期値は図
３の場合と同様とされ、探索手段１９は｜ａit｜中の変
数値ｄと一致するものが探索され、その探索した｜ａit
｜のｉとｔでメモリ手段１２を読出し、ｓｕｂｓｕｍ演
算手段で、探索手段１９の探索｜ａit｜のａitの符号を
加味してｓｕｂｓｕｍ＋（ａitの符号）ｂi t Ｇi を演
算する。その他は図３の実施例と同様である。具体的数
値例の３５２Ｇ1 ＋４０６Ｇ2 の演算過程を図８に示
す。
算結果である。以上を±ｂi t Ｇi を事前に計算し結果
を保持しておくことにより楕円曲線上の演算ｙ1 Ｇ1 ＋
ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm を効率良く算出することができ
る。この第四実施例の演算装置を図３、図５と対応する
部分に同一符号を付けて図７に示す。メモリ手段１２の
記憶内容は図３のそれと同一である。つまり楕円曲線上
の要素ではαＧに対して−αＧは容易に算出することが
できるので、−αＧは事前計算しておく必要はない。展
開手段１３では図５中のそれと同様に符号付ｂi 進展開
が行われ、また係数ａit中の絶対値｜ａit｜の最大値ｍ
ａが検出され、レジスタ１６，１７，１８の初期値は図
３の場合と同様とされ、探索手段１９は｜ａit｜中の変
数値ｄと一致するものが探索され、その探索した｜ａit
｜のｉとｔでメモリ手段１２を読出し、ｓｕｂｓｕｍ演
算手段で、探索手段１９の探索｜ａit｜のａitの符号を
加味してｓｕｂｓｕｍ＋（ａitの符号）ｂi t Ｇi を演
算する。その他は図３の実施例と同様である。具体的数
値例の３５２Ｇ1 ＋４０６Ｇ2 の演算過程を図８に示
す。
【００３６】以上何れの実施例においても、コンピュー
タによりプログラムを読出し解読実行させることによ
り、同様の演算を行う演算装置とすることもできる。
タによりプログラムを読出し解読実行させることによ
り、同様の演算を行う演算装置とすることもできる。
【００３７】
【発明の効果】以上説明したようにこの発明は複数生成
元をもつ演算に対して事前計算によりその演算処理速度
の向上を図ることが可能となり、さらに楕円曲線上の演
算にも適用しその演算処理速度の向上を図ることが可能
となった。これは有名なディジタル署名であるＤＳＡ署
名や楕円ＤＳＡ署名とも適用することが可能であり、そ
の他複数生成元を用いている多くの暗号やディジタル署
名に適用可能であると予想され、処理の高速化が見込ま
れる。また図９に従来方式とこの発明装置の計算量比較
として生成元が２つ存在する場合の乗算回数および加算
回数を比較したグラフを挙げる。なお図９Ａは符号無の
場合、図９Ｂは符号付の場合である。従来方式およびこ
の発明装置では（有限体上での乗算回数）＝（楕円曲線
上での加算回数）となるため図９ではグラフの縦軸が
「乗算／加算回数」となっている。
元をもつ演算に対して事前計算によりその演算処理速度
の向上を図ることが可能となり、さらに楕円曲線上の演
算にも適用しその演算処理速度の向上を図ることが可能
となった。これは有名なディジタル署名であるＤＳＡ署
名や楕円ＤＳＡ署名とも適用することが可能であり、そ
の他複数生成元を用いている多くの暗号やディジタル署
名に適用可能であると予想され、処理の高速化が見込ま
れる。また図９に従来方式とこの発明装置の計算量比較
として生成元が２つ存在する場合の乗算回数および加算
回数を比較したグラフを挙げる。なお図９Ａは符号無の
場合、図９Ｂは符号付の場合である。従来方式およびこ
の発明装置では（有限体上での乗算回数）＝（楕円曲線
上での加算回数）となるため図９ではグラフの縦軸が
「乗算／加算回数」となっている。
【図１】この発明による有限体上における演算装置の実
施例の機能構成を示す図。
施例の機能構成を示す図。
【図２】図１の実施例の具体的数値例による演算過程を
示す図。
示す図。
【図３】この発明による楕円曲線上における演算装置の
実施例の機能構成を示す図。
実施例の機能構成を示す図。
【図４】図３の実施例の具体的数値例による演算過程を
示す図。
示す図。
【図５】この発明の有限体上における演算装置の他の実
施例の機能構成を示す図。
施例の機能構成を示す図。
【図６】図５の実施例の具体的数値例による演算過程を
示す図。
示す図。
【図７】この発明による楕円曲線上における演算装置の
他の実施例の機能構成を示す図。
他の実施例の機能構成を示す図。
【図８】図１に示した実施例の具体的数値例による演算
過程を示す図。
過程を示す図。
【図９】従来装置とこの発明装置における演算数の比較
例を示す図。
例を示す図。
【図１０】従来の演算装置における具体的数値を用いた
演算過程を示す図。
演算過程を示す図。
フロントページの続き (56)参考文献 特開 平５−150722（ＪＰ，Ａ) 特開 平６−118873（ＪＰ，Ａ) 効率的なｎ変数べき乗剰余演算法の提 案とその一応用，電子通信学会技術研究 報告，ＩＳＣ91−40 ＫＮＵＴＨ Ｔｈｅ Ａｒｔ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉ ｎｇ−４ 準数値算法／算術演算，サイ エンス社，ｐ．384，471 ＨＡＮＤＢＯＯＫ ｏｆ ＡＰＰＬＩ ＥＤ ＣＲＹＰＴＯＧＲＡＰＨＹ，ＣＲ Ｃ Ｐｒｅｓｓ，ｐ．617−618 (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G09C 1/00 650 G06F 7/552 G06F 17/10 ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)
Claims (8)
- 【請求項１】 固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定で
ない整数ｙ1 ，ｙ2，…，ｙm が入力され、（ｇ1 のｙ
1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）の演
算結果を出力する演算装置において、 ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1 のｂ1 1 乗，…，ｇ1 のｂ
1 r1乗，ｇ2 のｂ2 0 乗，ｇ2 のｂ2 1 乗，…，ｇ2 の
ｂ2 r2乗，…，ｇm のｂm 0 乗，ｇm のｂm 1 乗，…，
ｇm のｂm rm乗の各値を記憶したメモリ手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれｂ
i 進展開してｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係の各係
数ａit（０≦ａit＜ｂi ，ｔ＝０，１，…，ｒｉ）を求
める展開手段と、 上記求めた各係数ａitを格納するレジスタと、 上記求めた各係数ａit中の最大値ｍａを検出する手段
と、 ３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄをそれぞれ初期値
として１，１，ｍａに設定する手段と、 上記係数ａit中の上記変数値ｄと一致するものを探索す
る探索手段と、 その探索したａitのｉとｔに対し、上記メモリ手段を参
照してｓｕｂｓｕｍ×（ｇi のｂi t 乗）を演算し、そ
の結果を新たなｓｕｂｓｕｍとするｓｕｂｓｕｍ演算手
段と、 上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍとを掛算して新
たなｓｕｍとする掛算手段と、 上記変数ｄが正であるか０であるかを判定する判定手段
と、 上記判定手段が正と判定すると、上記変数ｄを１減算し
て新たなｄとし、そのｄに対し、上記探索手段、上記ｓ
ｕｂｓｕｍ演算手段、上記掛算手段、上記判定手段を繰
り返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると上記掛算手段の結果の変
数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段と、 を具備する事前計算を用いた複数生成元に対する演算装
置。 - 【請求項２】 楕円曲線上の固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，
Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，ｙm が入力さ
れ、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する演算装置において、 ｂ1 0 Ｇ1 ，ｂ1 1 Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ
2 0 Ｇ2 ，ｂ2 1 Ｇ2 ，…，ｂ2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇ
m ，ｂm 1 Ｇm ，…，ｂm rmＧm の各乗算値を記憶した
メモリ手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれｂ
i 進展開してｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係の各係
数ａit（０≦ａit＜ｂ，ｔ＝０，１，…，ｒｉ）を求め
る展開手段と、 上記求めた各係数ａitを格納するレジスタと、 上記求めた各係数ａit中の最大値ｍａを検出する手段
と、 ３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄをそれぞれ初期値
として無限遠点、無限遠点、ｍａに設定する手段と、 上記係数ａit中の上記変数値ｄと一致するものを探索す
る探索手段と、 その探索したａitのｉとｔに対し、上記メモリ手段を参
照してｓｕｂｓｕｍ＋ｂi t Ｇi を演算し、その結果を
新たなｓｕｂｓｕｍとするｓｕｂｓｕｍ演算手段と、 上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍを加算して新た
なｓｕｍとする加算手段と、 上記変数ｄが正であるかｄ＝０かを判定する判定手段
と、 上記判定手段が正と判定すると、上記変数ｄを１減算し
て、新たなｄとし、そのｄに対し、上記探索手段、上記
ｓｕｂｓｕｍ演算手段と、上記加算手段、上記判定手段
を繰り返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると上記加算手段の結果の変
数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段と、 を具備する事前計算を用いた複数生成元に対する演算装
置。 - 【請求項３】 固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定で
ない整数ｙ1 ，ｙ2，…，ｙm が入力され、（ｇ1 のｙ
1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）の演
算結果を出力する演算装置において、 ｇ1 の（−ｂ1 r1）乗，ｇ1 の（−ｂ1 r1-1）乗，…，
ｇ1 のｂ1 0 乗，ｇ1のｂ1 1 乗，…，ｇ1 のｂ
1 r1乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2）乗，ｇ2 の（−ｂ2 r2-1）
乗，…，ｇ2 のｂ2 0 乗，…，ｇ2 のｂ2 r2乗，…，ｇ
m の（−ｂm rm）乗，…，ｇm のｂm 0 乗，…，ｇm の
ｂm rm乗の各値を記憶したメモリ手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれ符
号付ｂi 進展開して、ｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関
係の各係数ａit（−［（ｂi −１）／２］≦ａit≦
［（ｂi −１）／２］，ｔ＝０，１，…，ｒｉ，［ａ］
はａ以上で最小の整数である）を求める展開手段と、 上記求めた各係数ａitを格納するレジスタと、 上記係数ａit中の絶対値の最大値ｍａを検出する手段
と、 ３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄをそれぞれ初期値
として１，１，ｍａに設定する手段と、 上記係数ａit中の絶対値が上記変数値ｄと一致するもの
を探索する探索手段と、 その探索したａitの符号とｉとｔに対し、上記メモリ手
段を参照してｓｕｂｓｕｍ×（ｇi の（ａitの符号）ｂ
i t 乗）を演算し、その結果を新たなｓｕｂｓｕｍとす
るｓｕｂｓｕｍ演算手段と、 上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍとを掛算して新
たなｓｕｍとする掛算手段と、 上記変数ｄが正であるか０であるかを判定する判定手段
と、 上記判定手段が正と判定すると、上記変数ｄを１減算し
て新たなｄとし、そのｄに対し上記探索手段、上記ｓｕ
ｂｓｕｍ演算手段、上記掛算手段、上記判定手段を繰り
返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると、上記掛算手段の結果の
変数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段と、 を具備する事前計算を用いた複数生成元に対する演算装
置。 - 【請求項４】 楕円曲線上の固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，
Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，ｙm が入力さ
れ、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する演算装置において、 ｂ1 0 Ｇ1 ，ｂ1 1 Ｇ1 ，…，ｂ1 r1Ｇ1 ，ｂ
2 0 Ｇ2 ，ｂ2 1 Ｇ2 ，…，ｂ2 r2Ｇ2 ，…，ｂm 0 Ｇ
m ，ｂm 1 Ｇm ，…，ｂm rmＧm の各乗算値を記憶した
メモリ手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれ符
号付ｂi 進展開してｙ1 ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係
の各係数ａit（−［（ｂi −１）／２］≦ａit≦［（ｂ
i −１）／２］，ｔ＝０，１，…，ｒｉ，［ａ］はａ以
上で最小の整数である）を求める展開手段と、 上記求めた各係数ａitを格納するレジスタと、 上記係数ａit中の絶対値の最大値ｍａを検出する手段
と、 ３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄをそれぞれ初期値
として無限遠点、無限遠点、ｍａに設定する手段と、 上記係数ａit中の絶対値が上記変数値ｄと一致するもの
を探索する探索手段と、 その探索したａitのｉとｔに対し、上記メモリ手段を参
照して、ｓｕｂｓｕｍ＋（ａitの符号）ｂi t Ｇi を演
算してその結果を新たなｓｕｂｓｕｍとするｓｕｂｓｕ
ｍ演算手段と、 上記変数ｓｕｂｓｕｍと上記変数ｓｕｍとを加算して新
たなｓｕｍとする加算手段と、 上記変数ｄが正であるか０であるかを判定する判定手段
と、 上記判定手段が正と判定すると、上記変数ｄを１減算し
て新たなｄとし、そのｄに対し、上記探索手段、上記ｓ
ｕｂｓｕｍ演算手段、上記加算手段、上記判定手段を繰
り返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると、上記加算手段の結果の
変数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段と、 を具備する事前計算を用いた複数生成元に対する演算装
置。 - 【請求項５】 固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定で
ない整数ｙ1 ，ｙ2，…，ｙm が入力され、（ｇ1 のｙ
1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）の演
算結果を出力する装置であって、ｇ 1 のｂ 1 0 乗，ｇ 1 のｂ 1 1 乗，…，ｇ 1 のｂ
1 r1 乗，ｇ 2 のｂ 2 0 乗，ｇ 2 のｂ 2 1 乗，…，ｇ 2 の
ｂ 2 r2 乗，…，ｇ m のｂ m 0 乗，ｇ m のｂ m 1 乗，…，
ｇ m のｂ m rm 乗の各値を記憶したメモリ手段と、 上記固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と上記整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm を入力する手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれｂ
i 進展開してｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係の各係
数ａit（０≦ａit＜ｂi ，ｔ＝０，１，…，ｒｉ）を求
める手段と、 上記求めた各係数ａitを第１レジスタに格納する手段
と、 上記求めた各係数ａit中の最大値ｍａを検出する手段
と、 ３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの各初期値として
１，１，ｍａを第２、第３、第４レジスタにそれぞれ格
納する手段と、 上記第１レジスタ内の係数ａit中の上記第４レジスタ内
の変数値ｄと一致するものを探索する探索手段と、 その探索したａitのｉとｔにより、上記メモリ手段を読
出して（ｇi のｂi t乗）を得る手段と、 上記読出された（ｇi のｂi t 乗）と上記第３レジスタ
内のｓｕｂｓｕｍを乗算し、その結果を上記第３レジス
タに格納する演算手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記第２レジスタ
内のｓｕｍとを掛算してその結果を上記第２レジスタに
格納する掛算手段と、 上記第４レジスタ内のｄが正であるか０であるかを判定
する判定手段と、 上記判定手段が正と判定すると、上記第４レジスタ内の
ｄを１減算し、その結果を上記第４レジスタに格納する
減算手段と、 上記減算手段された上記第４レジスタ内のｄに対し、上
記探索手段、上記演算手段、上記掛算手段、上記判定手
段を繰り返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると上記第２レジスタ内のｓ
ｕｍを演算結果として出力する手段とを備える演算装置
として、コンピュータを機能させるためのプログラムを
記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。 - 【請求項６】 楕円曲線上の固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，
Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，ｙm が入力さ
れ、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する装置であって、ｂ 1 0 Ｇ 1 ，ｂ 1 1 Ｇ 1 ，…，ｂ 1 r1 Ｇ 1 ，ｂ
2 0 Ｇ 2 ，ｂ 2 1 Ｇ 2 ，…，ｂ 2 r2 Ｇ 2 ，…，ｂ m 0 Ｇ
m ，ｂ m 1 Ｇ m ，…，ｂ m rm Ｇ m の各乗算値を記憶した
メモリ手段と、 上記固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm 、上記整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm を入力する手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれｂ
i 進展開してｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係の各係
数ａit（０≦ａit＜ｂ，ｔ＝０，１，…，ｒｉ）を求め
る手段と、 上記求めた各係数ａitを第１レジスタに格納する手段
と、 上記求めた各係数ａit中の最大値ｍａを検出する手段
と、 ３つの変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの各初期値として
無限遠点、無限遠点、ｍａを第２、第３、第４レジスタ
にそれぞれ格納する手段と、 上記第１レジスタ内の係数ａit中の上記変数値ｄと一致
するものを探索する探索手段と、 その探索したａitのｉとｔにより、メモリ手段よりｂi
t Ｇを読出す手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記読出されたｂ
i t Ｇi を加算し、その結果を上記第３レジスタに格納
する演算手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記第２レジスタ
内のｓｕｍを加算し、 その結果を上記第２レジスタに格納する加算手段と、 上記第４レジスタ内のｄが正であるかｄ＝０かを判定す
る判定手段と、 上記判定手段が正と判定すると、上記第４レジスタ内の
ｄを１減算して、その結果を上記第４レジスタ内に格納
する手段と、 上記第４レジスタ内の減算されたｄに対し、上記探索手
段、上記演算手段、上記加算手段、上記判定手段を繰り
返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると上記第２レジスタ内の変
数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段とを備える演
算装置として、コンピュータを機能させるためのプログ
ラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。 - 【請求項７】 固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と固定で
ない整数ｙ1 ，ｙ2，…，ｙm が入力され、（ｇ1 のｙ
1 乗）×（ｇ2 のｙ2 乗）×…×（ｇm のｙm 乗）の演
算結果を出力する装置であって、ｇ 1 の（−ｂ 1 r1 ）乗，ｇ 1 の（−ｂ 1 r1-1 ）乗，…，
ｇ 1 のｂ 1 0 乗，ｇ 1 のｂ 1 1 乗，…，ｇ 1 のｂ
1 r1 乗，ｇ 2 の（−ｂ 2 r2 ）乗，ｇ 2 の（−ｂ 2 r2-1 ）
乗，…，ｇ 2 のｂ 2 0 乗，…，ｇ 2 のｂ 2 r2 乗，…，ｇ
m の（−ｂ m rm ）乗，…，ｇ m のｂ m 0 乗，…，ｇ m の
ｂ m rm 乗の各値を記憶したメモリ手段と、 上記固定要素ｇ1 ，ｇ2 ，…，ｇm と上記整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm を入力する手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれ符
号付ｂi 進展開して、ｙi ＝Σt=0 riａitｂi t なる関
係の各係数ａit（−［（ｂi −１）／２］≦ａit≦
［（ｂi −１）／２］，ｔ＝０，１，…，ｒｉ、［ａ］
はａ以上で最小の整数である）を求める展開手段と、 上記求めた各係数ａitを第１レジスタに格納する手段
と、 上記第１レジスタ内の係数ａit中の絶対値の最大値ｍａ
を検出する手段と、 変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの各初期値として１，
１，ｍａをそれぞれ第２、第３、第４レジスタに格納す
る手段と、 上記第１レジスタ内の係数ａit中の絶対値が上記変数値
ｄと一致するものを探索する探索手段と、 その探索したａitの符号とｉとｔによりメモリを読出し
て（ｇi の（ａitの符号）ｂi t 乗）を得る手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記読出した（ｇ
i の（ａitの符号）ｂi t 乗）を乗算し、その結果を上
記第３レジスタに格納する演算手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記第２レジスタ
内のｓｕｍとを掛算してその結果を上記第２レジスタに
格納する掛算手段と、 上記第４レジスタ内のｄが正であるか０であるかを判定
する判定手段と、 上記判定手段が正と判定すると、上記第４レジスタ内の
ｄを１減算してその結果を第４レジスタに格納する手段
と、 その第４レジスタ内の減算されたｄに対し上記探索手
段、上記演算手段、上記掛算手段、上記判定手段を繰り
返し動作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると、上記第２レジスタ内の
変数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段とを備える
演算装置として、コンピュータを機能させるためのプロ
グラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒
体。 - 【請求項８】 楕円曲線上の固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，
Ｇm と、固定でない整数ｙ1 ，ｙ2 ，…，ｙm が入力さ
れ、 ｙ1 Ｇ1 ＋ｙ2 Ｇ2 ＋…＋ｙm Ｇm の演算結果を出力する装置であって、ｂ 1 0 Ｇ 1 ，ｂ 1 1 Ｇ 1 ，…，ｂ 1 r1 Ｇ 1 ，ｂ
2 0 Ｇ 2 ，ｂ 2 1 Ｇ 2 ，…，ｂ 2 r2 Ｇ 2 ，…，ｂ m 0 Ｇ
m ，ｂ m 1 Ｇ m ，…，ｂ m rm Ｇ m の各乗算値を記憶した
メモリ手段と、 上記固定要素Ｇ1 ，Ｇ2 ，…，Ｇm と上記整数ｙ1 ，ｙ
2 ，…，ｙm を入力する手段と、 上記各入力値ｙi （ｉ＝１，２，…，ｍ）をそれぞれ符
号付ｂi 進展開してｙ1 ＝Σt=0 riａitｂi t なる関係
の各係数ａit（−［（ｂi −１）／２］≦ａit≦［（ｂ
i −１）／２］，ｔ＝０，１，…，ｒｉ，［ａ］はａ以
上で最小の整数である）を求める手段と、 上記求めた各係数ａitを第１レジスタに格納する手段
と、 上記第１レジスタ内の係数ａit中の絶対値の最大値ｍａ
を検出する手段と、 変数ｓｕｍ，ｓｕｂｓｕｍ，ｄの各初期値として無限遠
点、無限遠点、ｍａを第２、第３、第４レジスタにそれ
ぞれ格納する手段と、 上記第１レジスタ内の係数ａit中の絶対値が上記変数値
ｄと一致するものを探索する探索手段と、 その探索したａitのｉとｔにより、メモリ手段を読出し
て、ｂi t Ｇt を得る手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記読出したｂi
t Ｇi を上記探索したａitの符号を加味して加算し、そ
の結果を上記第３レジスタ内に格納する演算手段と、 上記第３レジスタ内のｓｕｂｓｕｍと上記第２レジスタ
内のｓｕｍとを加算し、その結果を上記第２レジスタに
格納する加算手段と、 上記第４レジスタ内のｄが正であるか０であるかを判定
する判定手段と、 上記判定手段が正と判定すると、上記第４レジスタ内の
ｄを１減算して第４レジスタに格納する手段と、その第
４レジスタ内の減算されたｄに対し、上記探索手段、上
記演算手段、上記加算手段、上記判定手段を繰り返し動
作させる手段と、 上記判定手段が０と判定すると、上記第２レジスタ内の
変数値ｓｕｍを演算結果として出力する手段とを備える
演算装置として、コンピュータを機能させるためのプロ
グラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒
体。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP09592798A JP3329440B2 (ja) | 1998-04-08 | 1998-04-08 | 事前計算を用いた複数生成元に対する演算装置及びそのプログラム記録媒体 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP09592798A JP3329440B2 (ja) | 1998-04-08 | 1998-04-08 | 事前計算を用いた複数生成元に対する演算装置及びそのプログラム記録媒体 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH11296077A JPH11296077A (ja) | 1999-10-29 |
| JP3329440B2 true JP3329440B2 (ja) | 2002-09-30 |
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ID=14150916
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP09592798A Expired - Fee Related JP3329440B2 (ja) | 1998-04-08 | 1998-04-08 | 事前計算を用いた複数生成元に対する演算装置及びそのプログラム記録媒体 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3329440B2 (ja) |
Families Citing this family (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR100484487B1 (ko) * | 2002-10-29 | 2005-04-20 | 한국전자통신연구원 | 모듈러 연산 장치 및 방법, 그리고 이를 이용한 ｒｓａ암호 연산 시스템 |
| JP2009258502A (ja) * | 2008-04-18 | 2009-11-05 | Toshiba Corp | 乗算装置及びプログラム |
-
1998
- 1998-04-08 JP JP09592798A patent/JP3329440B2/ja not_active Expired - Fee Related
Non-Patent Citations (3)
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|---|
| ＨＡＮＤＢＯＯＫ ｏｆ ＡＰＰＬＩＥＤ ＣＲＹＰＴＯＧＲＡＰＨＹ，ＣＲＣ Ｐｒｅｓｓ，ｐ．６１７−６１８ |
| ＫＮＵＴＨ Ｔｈｅ Ａｒｔ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ−４ 準数値算法／算術演算，サイエンス社，ｐ．３８４，４７１ |
| 効率的なｎ変数べき乗剰余演算法の提案とその一応用，電子通信学会技術研究報告，ＩＳＣ９１−４０ |
Also Published As
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|---|---|
| JPH11296077A (ja) | 1999-10-29 |
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