JP2001255817A - カオス発生装置、カオス発生方法、擬似乱数発生装置および暗号システム - Google Patents
カオス発生装置、カオス発生方法、擬似乱数発生装置および暗号システムInfo
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 誤差の集積されないカオス発生装置を提供す
る。 【解決手段】 カオス発生装置は、第１の関数ｆと、周
期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオス関数
ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））
のｎを順次変化させて、時系列的にＸnを導出してカオ
ス時系列を生成する。第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出す
るのに、第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関
数ｆとから算出した値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの
周期Ｔで除し、その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸ
n+1を導出する。
る。 【解決手段】 カオス発生装置は、第１の関数ｆと、周
期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオス関数
ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））
のｎを順次変化させて、時系列的にＸnを導出してカオ
ス時系列を生成する。第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出す
るのに、第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関
数ｆとから算出した値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの
周期Ｔで除し、その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸ
n+1を導出する。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、たとえば暗号化技
術に用いられるカオス発生装置およびカオス発生方法に
関する。
術に用いられるカオス発生装置およびカオス発生方法に
関する。
【０００２】
【従来の技術】近年の情報化の進展に伴い、情報のセキ
ュリティに対する要求が増大しており、情報を受信者に
正確に伝えるとともに、受信者以外には情報が読み取ら
れないようにする安全な暗号技術が求められている。現
在実用化されている暗号技術として、ＤＥＳ(Data Encr
yption Standard)暗号などの共通鍵暗号、ＲＳＡ（Rive
st, Shamir, Adelmanの３人） 暗号などの公開鍵暗号な
どがある。しかしこれらは安全性、処理速度の点で問題
点が多い。近年これらの暗号技術に比べて安全強度が高
く、暗号化、複合化の処理速度が速いカオス暗号方法が
提案されている。
ュリティに対する要求が増大しており、情報を受信者に
正確に伝えるとともに、受信者以外には情報が読み取ら
れないようにする安全な暗号技術が求められている。現
在実用化されている暗号技術として、ＤＥＳ(Data Encr
yption Standard)暗号などの共通鍵暗号、ＲＳＡ（Rive
st, Shamir, Adelmanの３人） 暗号などの公開鍵暗号な
どがある。しかしこれらは安全性、処理速度の点で問題
点が多い。近年これらの暗号技術に比べて安全強度が高
く、暗号化、複合化の処理速度が速いカオス暗号方法が
提案されている。
【０００３】カオスとは、簡単な規則から複雑で不規則
に変化するものであり、カオス暗号は、このような不規
則な振る舞いをするカオス関数を用いて暗号化するもの
である。つまり、カオス関数は、簡単な数式で表される
にもかかわらず、予測不可能な不規則な値を時系列的に
導出する関数である。したがって、このカオス関数から
のカオス時系列を用いて情報を暗号化することによっ
て、解読不可能に暗号化することができる。
に変化するものであり、カオス暗号は、このような不規
則な振る舞いをするカオス関数を用いて暗号化するもの
である。つまり、カオス関数は、簡単な数式で表される
にもかかわらず、予測不可能な不規則な値を時系列的に
導出する関数である。したがって、このカオス関数から
のカオス時系列を用いて情報を暗号化することによっ
て、解読不可能に暗号化することができる。
【０００４】たとえば、まず、あらかじめ定めるカオス
関数に初期値を設定し、出力される値を「１」または
「０」のデジタル信号に順次変換して一連のデジタルカ
オス時系列を生成する。そして、送信する一連のデジタ
ル情報を、生成したデジタルカオス時系列を用いて論理
演算を施し、順次暗号化する。受信側でも同様に、同一
のカオス関数と初期値とからデジタルカオス時系列を生
成し、受信した暗号を、デジタルカオス時系列で順次復
号化する。
関数に初期値を設定し、出力される値を「１」または
「０」のデジタル信号に順次変換して一連のデジタルカ
オス時系列を生成する。そして、送信する一連のデジタ
ル情報を、生成したデジタルカオス時系列を用いて論理
演算を施し、順次暗号化する。受信側でも同様に、同一
のカオス関数と初期値とからデジタルカオス時系列を生
成し、受信した暗号を、デジタルカオス時系列で順次復
号化する。
【０００５】カオス関数の特徴の１つに、初期値鋭敏性
がある。これはカオス関数に与える初期値にわずかな違
いがあっても、出力値が大きく異なることである。つま
り、初期値がわずかでも異なると生成されるカオス時系
列が大きく異なる。したがって、初期値を鍵として暗号
化することで、第３者による暗号の解読が非常に困難と
なる。
がある。これはカオス関数に与える初期値にわずかな違
いがあっても、出力値が大きく異なることである。つま
り、初期値がわずかでも異なると生成されるカオス時系
列が大きく異なる。したがって、初期値を鍵として暗号
化することで、第３者による暗号の解読が非常に困難と
なる。
【０００６】前述したＤＥＳ暗号や、ＲＳＡ暗号では、
複雑な演算処理を行うことによって暗号化するので、暗
号化、複合化の処理速度が遅いといった問題を有する
が、カオス暗号では、簡単なカオス関数から生成したデ
ジタルカオス時系列で順次暗号化、または復号化するの
で、処理速度を非常に速くすることができる。
複雑な演算処理を行うことによって暗号化するので、暗
号化、複合化の処理速度が遅いといった問題を有する
が、カオス暗号では、簡単なカオス関数から生成したデ
ジタルカオス時系列で順次暗号化、または復号化するの
で、処理速度を非常に速くすることができる。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】前述したように、カオ
ス関数には初期値鋭敏性という性質があり、初期値のわ
ずかの違いによって生成されるカオス時系列が異なり、
これによって第三者による解読が困難となるが、このこ
とは逆に、鍵とする初期値が暗号化する側と復号化する
側とでわずかでも異なると、正確に復号できないといっ
た問題を生じる。
ス関数には初期値鋭敏性という性質があり、初期値のわ
ずかの違いによって生成されるカオス時系列が異なり、
これによって第三者による解読が困難となるが、このこ
とは逆に、鍵とする初期値が暗号化する側と復号化する
側とでわずかでも異なると、正確に復号できないといっ
た問題を生じる。
【０００８】次に、初期値変化によるカオス時系列の変
化について説明する。よく知られたカオス関数として、
ロジスティック写像 Ｘn+1 ＝ αＸn（１−Ｘn） …（１） がある。このロジスティック写像において、α＝４ Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の場合は、厳密なカオス解 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） が得られる。この式（３）に順次ｎ（ｎ＝1, 2,3…）を
与えることによってカオス時系列が得られる。
化について説明する。よく知られたカオス関数として、
ロジスティック写像 Ｘn+1 ＝ αＸn（１−Ｘn） …（１） がある。このロジスティック写像において、α＝４ Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の場合は、厳密なカオス解 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） が得られる。この式（３）に順次ｎ（ｎ＝1, 2,3…）を
与えることによってカオス時系列が得られる。
【０００９】次に、カオス時系列を倍精度（丸め誤差ε
＝１０-15）で計算したときの変化を調べるために、上
記（３）式の初期値Ｘ0として0.1と、0.10000000000000
1とを与えたときのカオス時系列を図４に示す。この図
４から分かるように、約ｎ＝４５回目で丸め誤差の影響
が図上ですら分かる程度（１０-2）に現れる。これは、
式（１）の繰り返し計算を用いた場合でも同様である。
＝１０-15）で計算したときの変化を調べるために、上
記（３）式の初期値Ｘ0として0.1と、0.10000000000000
1とを与えたときのカオス時系列を図４に示す。この図
４から分かるように、約ｎ＝４５回目で丸め誤差の影響
が図上ですら分かる程度（１０-2）に現れる。これは、
式（１）の繰り返し計算を用いた場合でも同様である。
【００１０】このようにカオス関数を用いたカオス暗号
化方法では、誤差ε＝１０-15程度の非常に小さい丸め
誤差であってもこれが集積され、数十回の繰返し計算で
誤差が急増し、忠実なカオスの再現は不可能と考えられ
ている。また、このような誤差は、電子回路の精度や外
部からのノイズとして生じ、誤差を０とすることは不可
能である。
化方法では、誤差ε＝１０-15程度の非常に小さい丸め
誤差であってもこれが集積され、数十回の繰返し計算で
誤差が急増し、忠実なカオスの再現は不可能と考えられ
ている。また、このような誤差は、電子回路の精度や外
部からのノイズとして生じ、誤差を０とすることは不可
能である。
【００１１】このような現状から、カオス暗号化技術の
実用化は不可能といわれている。本発明の目的は、誤差
を集積させず、忠実にカオス時系列を再現することがで
きるカオス発生装置およびカオス発生方法を提供するこ
とである。
実用化は不可能といわれている。本発明の目的は、誤差
を集積させず、忠実にカオス時系列を再現することがで
きるカオス発生装置およびカオス発生方法を提供するこ
とである。
【００１２】
【課題を解決するための手段】請求項１記載の本発明
は、第１の関数ｆと、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合
成関数であるカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカ
オス関数ｇ（ｆ（ｎ））のｎを順次変化させることによ
って、一意の値Ｘnを時系列的に導出するカオス発生装
置において、第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、
第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとか
ら算出した値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで
除し、その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出
することを特徴とするカオス発生装置である。
は、第１の関数ｆと、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合
成関数であるカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカ
オス関数ｇ（ｆ（ｎ））のｎを順次変化させることによ
って、一意の値Ｘnを時系列的に導出するカオス発生装
置において、第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、
第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとか
ら算出した値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで
除し、その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出
することを特徴とするカオス発生装置である。
【００１３】請求項２記載の本発明は、前記第１の関数
ｆは、係数ｃを持ち、所定の整数ｋのｎ乗を含む（c
ｋn）ことを特徴とする。
ｆは、係数ｃを持ち、所定の整数ｋのｎ乗を含む（c
ｋn）ことを特徴とする。
【００１４】第１の関数ｆは、請求項２の場合はｆ
（ｎ）＝ｃｋnであり、前述した式（３）の例では、ｆ
＝c２nとなる。また、周期関数である第２の関数ｇは、
式（３）の例では、ｇ＝sin2ｆ（ｎ）となり、これらの
合成関数であるカオス関数が Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） となる。前述したように、この（３）式はカオス関数 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。したがって合成関数であるカオス関数
Ｘn＝ｇ（ｆ（ｎ））にｎ＝１，２，３…と順次的に与
えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…とカオス時系列を導
出することができる。このとき、まず第１の関数ｆにｎ
を与えてｆ（ｎ）を算出し、この算出した値ｆ（ｎ）を
第２の関数ｇに与えてＸnを算出する。つまり、ｆ
（ｎ）にｎ＝１，２，３…と与えて算出したｆ（１），
ｆ（２），ｆ（３）…を算出し、これを順次第２の関数
ｇに与えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…が導出され
る。
（ｎ）＝ｃｋnであり、前述した式（３）の例では、ｆ
＝c２nとなる。また、周期関数である第２の関数ｇは、
式（３）の例では、ｇ＝sin2ｆ（ｎ）となり、これらの
合成関数であるカオス関数が Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） となる。前述したように、この（３）式はカオス関数 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。したがって合成関数であるカオス関数
Ｘn＝ｇ（ｆ（ｎ））にｎ＝１，２，３…と順次的に与
えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…とカオス時系列を導
出することができる。このとき、まず第１の関数ｆにｎ
を与えてｆ（ｎ）を算出し、この算出した値ｆ（ｎ）を
第２の関数ｇに与えてＸnを算出する。つまり、ｆ
（ｎ）にｎ＝１，２，３…と与えて算出したｆ（１），
ｆ（２），ｆ（３）…を算出し、これを順次第２の関数
ｇに与えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…が導出され
る。
【００１５】ここで、第１の関数ｆが、ｆ（ｎ）＝cｋn
の場合、第ｎ回のｆの値はｆ（ｎ）＝cｋnであるので、
第（ｎ＋１）回のｆの値ｆ（ｎ＋１）は、ｆ（ｎ＋１）
＝ｋ×ｆ（ｎ）となる。このようにして、第ｎ回の第１
の関数ｆの値ｆ（ｎ）と、第１の関数ｆとから第（ｎ＋
１）回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ＋１）が得られる。
の場合、第ｎ回のｆの値はｆ（ｎ）＝cｋnであるので、
第（ｎ＋１）回のｆの値ｆ（ｎ＋１）は、ｆ（ｎ＋１）
＝ｋ×ｆ（ｎ）となる。このようにして、第ｎ回の第１
の関数ｆの値ｆ（ｎ）と、第１の関数ｆとから第（ｎ＋
１）回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ＋１）が得られる。
【００１６】ここで、第２の関数ｇは周期関数であるの
で、第２の関数に与える２つの値がちょうど周期Ｔだけ
離れている場合は算出されるＸnが同じ値となる。この
ことから、第２の関数に与える第１の関数の値ｆ（ｎ）
を、周期Ｔで割った余りｒを第２の関数ｇに与えた場合
のＸnと、第１の関数の値ｆ（ｎ）を直接第２の関数ｇ
に与えた場合のＸnとは同じ値となる。
で、第２の関数に与える２つの値がちょうど周期Ｔだけ
離れている場合は算出されるＸnが同じ値となる。この
ことから、第２の関数に与える第１の関数の値ｆ（ｎ）
を、周期Ｔで割った余りｒを第２の関数ｇに与えた場合
のＸnと、第１の関数の値ｆ（ｎ）を直接第２の関数ｇ
に与えた場合のＸnとは同じ値となる。
【００１７】本発明はこの周期関数ｇの性質と、前述し
たｆ（ｎ）から、ｆ（ｎ＋１）を算出する方法とを利用
する。つまり、第（ｎ＋１）回のＸn+1を算出するの
に、第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆ
とから第（ｎ＋１）回のｆの値ｆ（ｎ＋１）を算出し、
この値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、
その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を算出する。
このようにして毎回前回の値を用いて順次Ｘnを算出す
る。
たｆ（ｎ）から、ｆ（ｎ＋１）を算出する方法とを利用
する。つまり、第（ｎ＋１）回のＸn+1を算出するの
に、第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆ
とから第（ｎ＋１）回のｆの値ｆ（ｎ＋１）を算出し、
この値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、
その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を算出する。
このようにして毎回前回の値を用いて順次Ｘnを算出す
る。
【００１８】ここで、たとえば初期値に誤差εが含まれ
る場合について検討する。第ｎ回の第１の関数ｆ（ｎ）
とｆとから第（ｎ＋１）回の値ｆ（ｎ＋１）を算出する
とき、誤差が増加する。たとえば、ｆ（ｎ）＝cｋnの場
合、第ｎ回の値ｆ（ｎ）をｋ倍（ｋは整数）して第（ｎ
＋１）回の値ｆ（ｎ＋１）を算出するので、前回の値に
誤差εが含まれる場合、誤差εがｋ倍される。
る場合について検討する。第ｎ回の第１の関数ｆ（ｎ）
とｆとから第（ｎ＋１）回の値ｆ（ｎ＋１）を算出する
とき、誤差が増加する。たとえば、ｆ（ｎ）＝cｋnの場
合、第ｎ回の値ｆ（ｎ）をｋ倍（ｋは整数）して第（ｎ
＋１）回の値ｆ（ｎ＋１）を算出するので、前回の値に
誤差εが含まれる場合、誤差εがｋ倍される。
【００１９】前述したように、本発明では、第（ｎ＋
１）回のｆの値ｆ（ｎ＋１）を第２の関数の周期Ｔで割
り算した余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を算出す
る。ｆ（ｎ＋１）の値ｋ（cｋn）が周期Ｔより大きくな
った場合、ｆ（ｎ＋１）を周期Ｔで除し、その余りｒの
みが第２の関数ｇに与えられるので、誤差が集積される
と言ったことが防がれる。
１）回のｆの値ｆ（ｎ＋１）を第２の関数の周期Ｔで割
り算した余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を算出す
る。ｆ（ｎ＋１）の値ｋ（cｋn）が周期Ｔより大きくな
った場合、ｆ（ｎ＋１）を周期Ｔで除し、その余りｒの
みが第２の関数ｇに与えられるので、誤差が集積される
と言ったことが防がれる。
【００２０】したがって、電子回路の精度やノイズなど
によって誤差が生じたとしても、この誤差が集積され
ず、忠実にカオス時系列を導出することが可能となる。
によって誤差が生じたとしても、この誤差が集積され
ず、忠実にカオス時系列を導出することが可能となる。
【００２１】請求項３記載の本発明は、前記カオス関数
によって生成したカオス時系列で、デジタル情報を暗号
化するとき、カオス関数のｎに関する周期Ｎが、暗号化
するデジタル情報よりも長いことを特徴とする。
によって生成したカオス時系列で、デジタル情報を暗号
化するとき、カオス関数のｎに関する周期Ｎが、暗号化
するデジタル情報よりも長いことを特徴とする。
【００２２】上記（３）式に示すようなカオス関数で
は、ｎに関する周期Ｎが存在する。つまり、合い異なる
２つのｎから得られるＸnが同じ値となる場合があり、
この場合、その後のカオス時系列Ｘnの値も同じとな
る。このようなカオス関数で暗号化すると、同じカオス
時系列を繰返し用いることになり、安全性が低下すると
いった問題を有する。しかしながら、本発明では、カオ
ス関数の周期Ｎが、暗号化する情報量より大きくなるよ
うに選ぶので、１回の暗号化の過程で、同じカオス時系
列を複数回用いることがなく、実質、完全なカオスで暗
号化することと同等とすることができる。
は、ｎに関する周期Ｎが存在する。つまり、合い異なる
２つのｎから得られるＸnが同じ値となる場合があり、
この場合、その後のカオス時系列Ｘnの値も同じとな
る。このようなカオス関数で暗号化すると、同じカオス
時系列を繰返し用いることになり、安全性が低下すると
いった問題を有する。しかしながら、本発明では、カオ
ス関数の周期Ｎが、暗号化する情報量より大きくなるよ
うに選ぶので、１回の暗号化の過程で、同じカオス時系
列を複数回用いることがなく、実質、完全なカオスで暗
号化することと同等とすることができる。
【００２３】請求項４記載の本発明は、第１の関数ｆに
設定する初期値を鍵とし、この鍵と前記カオス関数とを
用いて導出したカオス時系列で、デジタル情報を順次暗
号化、または複合化することを特徴とする。
設定する初期値を鍵とし、この鍵と前記カオス関数とを
用いて導出したカオス時系列で、デジタル情報を順次暗
号化、または複合化することを特徴とする。
【００２４】請求項５記載の本発明は、前記デジタル情
報は、文章、画像または音声をデジタル信号に変換した
ものであることを特徴とする。
報は、文章、画像または音声をデジタル信号に変換した
ものであることを特徴とする。
【００２５】文章や画像は、容易にデジタル情報に変換
でき、このデジタル情報に、デジタルカオス時系列を演
算処理することによって暗号化することができる。
でき、このデジタル情報に、デジタルカオス時系列を演
算処理することによって暗号化することができる。
【００２６】デジタル情報を暗号化して送受信する場
合、予め送信側と受信側とでカオス関数を共通に持つ。
そして、送信側で、前記カオス関数に初期値を与えてカ
オス時系列を生成し、このカオス時系列をデジタル化し
てデジタルカオス時系列を生成し、これを用いてデジタ
ル情報を暗号化する。そして暗号化した情報と、初期値
とを送信する。
合、予め送信側と受信側とでカオス関数を共通に持つ。
そして、送信側で、前記カオス関数に初期値を与えてカ
オス時系列を生成し、このカオス時系列をデジタル化し
てデジタルカオス時系列を生成し、これを用いてデジタ
ル情報を暗号化する。そして暗号化した情報と、初期値
とを送信する。
【００２７】受信側では、共通に持つカオス関数と受信
した初期値とから同じカオス時系列を生成し、この生成
したカオス時系列から、受信した暗号を復号する。
した初期値とから同じカオス時系列を生成し、この生成
したカオス時系列から、受信した暗号を復号する。
【００２８】回路の精度や送受信時のノイズによって鍵
として送る初期値に誤差が含まれる場合があるが、前述
した本発明のカオス生成アルゴリズムを用いることによ
って、カオス時系列を生成するときに誤差が集積される
といったことが防がれる。これによって、初期値に誤差
が含まれる場合であっても、送信側と同じカオス時系列
を受信側で忠実に再現することができ、暗号化した情報
を正確に復元することが可能である。
として送る初期値に誤差が含まれる場合があるが、前述
した本発明のカオス生成アルゴリズムを用いることによ
って、カオス時系列を生成するときに誤差が集積される
といったことが防がれる。これによって、初期値に誤差
が含まれる場合であっても、送信側と同じカオス時系列
を受信側で忠実に再現することができ、暗号化した情報
を正確に復元することが可能である。
【００２９】このように、本発明のカオス発生装置は、
文章や画像などの情報を暗号化または復号化する装置と
して特に好適に用いられる。また、たとえば、第１の関
数ｆがｆ（ｎ）＝cｋnの場合、鍵とする初期値は係数ｃ
とする。
文章や画像などの情報を暗号化または復号化する装置と
して特に好適に用いられる。また、たとえば、第１の関
数ｆがｆ（ｎ）＝cｋnの場合、鍵とする初期値は係数ｃ
とする。
【００３０】請求項６記載の本発明は、第１の関数ｆ
と、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオ
ス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ
（ｎ））のｎを順次変化させることによって、一意の値
Ｘnを時系列的に導出するカオス発生方法において、第
ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値ｆ
（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余り
ｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出することを特徴
とするカオス発生方法である。
と、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオ
ス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ
（ｎ））のｎを順次変化させることによって、一意の値
Ｘnを時系列的に導出するカオス発生方法において、第
ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値ｆ
（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余り
ｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出することを特徴
とするカオス発生方法である。
【００３１】請求項７記載の本発明は、第１の関数ｆ
と、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオ
ス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ
（ｎ））のｎを順次変化させることによって、一意の値
Ｘnを時系列的に導出して擬似乱数を発生する擬似乱数
発生装置において、第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出する
のに、第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数
ｆとから算出した値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周
期Ｔで除し、その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1
を導出することを特徴とする擬似乱数発生装置である。
と、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオ
ス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ
（ｎ））のｎを順次変化させることによって、一意の値
Ｘnを時系列的に導出して擬似乱数を発生する擬似乱数
発生装置において、第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出する
のに、第ｎ回の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数
ｆとから算出した値ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周
期Ｔで除し、その余りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1
を導出することを特徴とする擬似乱数発生装置である。
【００３２】本発明のアルゴリズムで生成したカオス時
系列は擬似乱数としても利用することができ、たとえば
コンピュータゲームなど、乱数を必要とするところに用
いることもできる。
系列は擬似乱数としても利用することができ、たとえば
コンピュータゲームなど、乱数を必要とするところに用
いることもできる。
【００３３】請求項８記載の本発明は、第１の関数ｆ
と、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオ
ス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ
（ｎ））のｎを順次変化させることによって、一意の値
Ｘnを時系列的に導出するカオス発生装置であって、第
ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値ｆ
（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余り
ｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出するカオス発生
装置を備える一対の暗号装置を有し、一方の暗号装置
で、カオス発生装置から導出したカオス時系列でデジタ
ル情報を暗号化し、他方の暗号装置のカオス発生装置
で、前記一方の暗号装置のカオス発生装置で導出したカ
オス時系列と同じカオス時系列を導出し、暗号化された
デジタル情報を復号化することを特徴とする暗号システ
ムである。
と、周期Ｔを持つ第２の関数ｇとの合成関数であるカオ
ス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有し、このカオス関数ｇ（ｆ
（ｎ））のｎを順次変化させることによって、一意の値
Ｘnを時系列的に導出するカオス発生装置であって、第
ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値ｆ
（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余り
ｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出するカオス発生
装置を備える一対の暗号装置を有し、一方の暗号装置
で、カオス発生装置から導出したカオス時系列でデジタ
ル情報を暗号化し、他方の暗号装置のカオス発生装置
で、前記一方の暗号装置のカオス発生装置で導出したカ
オス時系列と同じカオス時系列を導出し、暗号化された
デジタル情報を復号化することを特徴とする暗号システ
ムである。
【００３４】
【発明の実施の形態】図１は、本発明の実施の一形態の
カオス発生装置を用いる暗号システム１の構成を示すブ
ロック図である。暗号システム１は、たとえば集積回路
によって実現されるカオス発生装置２，３を含む一対の
暗号装置４，５から構成される。
カオス発生装置を用いる暗号システム１の構成を示すブ
ロック図である。暗号システム１は、たとえば集積回路
によって実現されるカオス発生装置２，３を含む一対の
暗号装置４，５から構成される。
【００３５】たとえば文章または画像などのデジタル情
報を送る場合、一方の暗号装置４で、ある鍵を用いて情
報を暗号化し、暗号化した情報を他方の暗号装置５に送
信する。暗号化に用いた鍵は、暗号とともに送信する
か、別途に渡す。他方の暗号装置５は、渡された鍵を用
いて受信した暗号を復号する。
報を送る場合、一方の暗号装置４で、ある鍵を用いて情
報を暗号化し、暗号化した情報を他方の暗号装置５に送
信する。暗号化に用いた鍵は、暗号とともに送信する
か、別途に渡す。他方の暗号装置５は、渡された鍵を用
いて受信した暗号を復号する。
【００３６】つぎに、図１を参照し、暗号化方法に関し
てさらに詳しく説明する。暗号装置４では平文１０を暗
号化する。平文１０は、文章を「１」または「０」から
なるデジタル情報で表したデジタル情報である。カオス
発生装置２は、カオス関数を有し、このカオス関数に初
期値を設定することによって、まずカオス時系列Ｘ
n（Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3…）を生成し、それをデジタル化して
デジタルカオス時系列を出力する。生成されるカオス時
系列Ｘnは図２に示すように、カオス関数（３）の場合
は、０＜Ｘn＜１の範囲の値である。したがって、生成
されたカオス時系列Ｘnをデジタルカオス時系列Ｘnに変
換するには、たとえばカオス発生装置２に基準値Ａ（０
＜Ａ＜１）を設定し、Ｘnが設定された基準値Ａより大
きい場合を「１」とし、基準値Ａ以下の場合を「０」と
することで、デジタルカオス時系列が生成される。
てさらに詳しく説明する。暗号装置４では平文１０を暗
号化する。平文１０は、文章を「１」または「０」から
なるデジタル情報で表したデジタル情報である。カオス
発生装置２は、カオス関数を有し、このカオス関数に初
期値を設定することによって、まずカオス時系列Ｘ
n（Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3…）を生成し、それをデジタル化して
デジタルカオス時系列を出力する。生成されるカオス時
系列Ｘnは図２に示すように、カオス関数（３）の場合
は、０＜Ｘn＜１の範囲の値である。したがって、生成
されたカオス時系列Ｘnをデジタルカオス時系列Ｘnに変
換するには、たとえばカオス発生装置２に基準値Ａ（０
＜Ａ＜１）を設定し、Ｘnが設定された基準値Ａより大
きい場合を「１」とし、基準値Ａ以下の場合を「０」と
することで、デジタルカオス時系列が生成される。
【００３７】このようにしてカオス発生装置から出力さ
れるデジタルカオス時系列と、平文１０とを演算器１１
に入力し、ここで順に演算処理を行い暗号文１２を生成
する。本実施形態では、演算器１１は排他的論理和の演
算処理を行い、デジタル化された平文１０とデジタルカ
オス時系列Ｘnとの排他的論理和をとって暗号文１２を
作成する。作成された暗号文１２が、たとえば公衆電話
回線を介して送信されるか、またはフロッピー（登録商
標）ディスクなどの記録媒体を介して他方の暗号装置５
に渡される。
れるデジタルカオス時系列と、平文１０とを演算器１１
に入力し、ここで順に演算処理を行い暗号文１２を生成
する。本実施形態では、演算器１１は排他的論理和の演
算処理を行い、デジタル化された平文１０とデジタルカ
オス時系列Ｘnとの排他的論理和をとって暗号文１２を
作成する。作成された暗号文１２が、たとえば公衆電話
回線を介して送信されるか、またはフロッピー（登録商
標）ディスクなどの記録媒体を介して他方の暗号装置５
に渡される。
【００３８】他方の暗号装置５も、一方の暗号装置４の
カオス発生装置２が持つカオス関数と同じカオス関数、
および基準値Ａを有し、一方の暗号装置４から渡された
鍵を用いて、一方の暗号装置４と同じデジタルカオス時
系列Ｘnを生成することができる。したがって、受信し
た暗号文１２と生成したデジタルカオス時系列Ｘnを演
算器１３に入力し、ここで暗号文１２とデジタルカオス
時系列Ｘnとの排他的論理和をとることで復号され、平
文１０が得られる。
カオス発生装置２が持つカオス関数と同じカオス関数、
および基準値Ａを有し、一方の暗号装置４から渡された
鍵を用いて、一方の暗号装置４と同じデジタルカオス時
系列Ｘnを生成することができる。したがって、受信し
た暗号文１２と生成したデジタルカオス時系列Ｘnを演
算器１３に入力し、ここで暗号文１２とデジタルカオス
時系列Ｘnとの排他的論理和をとることで復号され、平
文１０が得られる。
【００３９】上述した実施形態では、演算器１１が排他
的論理和の演算を行うように構成したが、これに限ら
ず、たとえば暗号化側では演算器１１で加算し、複合化
側では演算器１３で減算して、暗号を復号するようにし
てもよい。
的論理和の演算を行うように構成したが、これに限ら
ず、たとえば暗号化側では演算器１１で加算し、複合化
側では演算器１３で減算して、暗号を復号するようにし
てもよい。
【００４０】また、カオス発生装置に設定する基準値Ａ
も鍵とし、暗号化、複合化ごとに基準値Ａを変更するよ
うに構成してもよい。また、カオス関数は１つでなく、
カオス発生装置２，３それぞれに複数のカオス関数を設
定しておき、暗号化するごとに、カオス関数を変更し、
どのカオス関数を用いるかを鍵とともに渡すようにして
もよい。
も鍵とし、暗号化、複合化ごとに基準値Ａを変更するよ
うに構成してもよい。また、カオス関数は１つでなく、
カオス発生装置２，３それぞれに複数のカオス関数を設
定しておき、暗号化するごとに、カオス関数を変更し、
どのカオス関数を用いるかを鍵とともに渡すようにして
もよい。
【００４１】つぎに、カオス発生装置２，３におけるカ
オス時系列Ｘnの生成アルゴリズムについて説明する。
オス時系列Ｘnの生成アルゴリズムについて説明する。
【００４２】本発明ではカオス関数を第１の関数ｆと周
期Ｔを有する第２の関数ｇとの合成関数ｇ（ｆ（ｎ））
とし、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝ｃｋn（ｎは正の整
数、ｋは素数、ｃは無理数）とする。本実施形態では、
カオス関数は前述した（３）式、 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） とする。したがって、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝c２nと
なり、第２の関数はｇ（ｎ）＝sin2ｆ（ｎ）となる。前
述したように、(３)式は、カオス関数であるロジスティ
ック写像 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。
期Ｔを有する第２の関数ｇとの合成関数ｇ（ｆ（ｎ））
とし、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝ｃｋn（ｎは正の整
数、ｋは素数、ｃは無理数）とする。本実施形態では、
カオス関数は前述した（３）式、 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） とする。したがって、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝c２nと
なり、第２の関数はｇ（ｎ）＝sin2ｆ（ｎ）となる。前
述したように、(３)式は、カオス関数であるロジスティ
ック写像 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。
【００４３】次に、（３）式で表すカオス関数による本
発明のカオス時系列生成アルゴリズムについて説明す
る。ここで（３）式の係数ｃを ｃ ＝ Ｌ／Ｍ・π≠ｐ／２q・π …（４） （Ｌ，Ｍ，ｐ，ｑは正の整数）とする。まず、（３）式
において係数ｃを決定することによって（３）式のカオ
ス関数が決定される。つぎに、ｎ＝０を決定された
（３）式に与えることによって、まずＸ0が算出され、
その後は、つぎに説明するカオス時系列生成アルゴリズ
ムにしたがって順次Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3…を算出する。
発明のカオス時系列生成アルゴリズムについて説明す
る。ここで（３）式の係数ｃを ｃ ＝ Ｌ／Ｍ・π≠ｐ／２q・π …（４） （Ｌ，Ｍ，ｐ，ｑは正の整数）とする。まず、（３）式
において係数ｃを決定することによって（３）式のカオ
ス関数が決定される。つぎに、ｎ＝０を決定された
（３）式に与えることによって、まずＸ0が算出され、
その後は、つぎに説明するカオス時系列生成アルゴリズ
ムにしたがって順次Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3…を算出する。
【００４４】カオス時系列生成アルゴリズムは、第（ｎ
＋１）回目のＸn+1を算出するのに、第ｎ回目の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数からｆ（ｎ＋１）を求
め、これを第２の関数ｇの周期Ｔで割った余りｒを第２
の関数ｇに与えて算出する。ここで第ｎ回目の第１の関
数ｆ（ｎ）はｆ（ｎ）＝Ｌ／Ｍ・π・２nであるので、
ｆ（ｎ＋１）＝２・Ｌ／Ｍ・π・２nとなる。また、第
２の関数ｇの周期Ｔはπであるのでｆ（ｎ）をπで割っ
た余りｒは、 ｒ ＝ （２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π） …（５） となる。したがってこの（５）式と第２の関数ｇからＸ
n+1は、 Ｘn+1 ＝ sin2｛（２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π）｝ …（６） となる。ここで、 Ｌn ＝ Ｌ・２n …（７） とすると、（６）式は、 Ｘn+1 ＝ sin2（Ｌn+1／Ｍ・π） …（８） Ｌn+1 ＝（２Ｌn）ｍｏｄ（２Ｍ） …（９） となる。
＋１）回目のＸn+1を算出するのに、第ｎ回目の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数からｆ（ｎ＋１）を求
め、これを第２の関数ｇの周期Ｔで割った余りｒを第２
の関数ｇに与えて算出する。ここで第ｎ回目の第１の関
数ｆ（ｎ）はｆ（ｎ）＝Ｌ／Ｍ・π・２nであるので、
ｆ（ｎ＋１）＝２・Ｌ／Ｍ・π・２nとなる。また、第
２の関数ｇの周期Ｔはπであるのでｆ（ｎ）をπで割っ
た余りｒは、 ｒ ＝ （２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π） …（５） となる。したがってこの（５）式と第２の関数ｇからＸ
n+1は、 Ｘn+1 ＝ sin2｛（２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π）｝ …（６） となる。ここで、 Ｌn ＝ Ｌ・２n …（７） とすると、（６）式は、 Ｘn+1 ＝ sin2（Ｌn+1／Ｍ・π） …（８） Ｌn+1 ＝（２Ｌn）ｍｏｄ（２Ｍ） …（９） となる。
【００４５】このようにして、本発明のカオス時系列生
成アルゴリズムでは、Ｘn+1を算出するのに、第ｎ回目
の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとからｆ
（ｎ＋１）を算出し、これを周期Ｔで割った余りｒを第
２の関数ｇに与えてＸn+1を算出するので、前述したよ
うに、誤差が集積されることがない。これによって、復
号化側でも、暗号化に用いたカオス時系列を忠実に再現
することができる。
成アルゴリズムでは、Ｘn+1を算出するのに、第ｎ回目
の第１の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとからｆ
（ｎ＋１）を算出し、これを周期Ｔで割った余りｒを第
２の関数ｇに与えてＸn+1を算出するので、前述したよ
うに、誤差が集積されることがない。これによって、復
号化側でも、暗号化に用いたカオス時系列を忠実に再現
することができる。
【００４６】（３）式で表されるカオス関数にはｎに関
する周期Ｎが存在し、この周期Ｎは係数ｃに依存する。
前述したように、係数ｃは、 ｃ＝Ｌ／Ｍ・π≠ｐ／２q・π …（４） （Ｌ，Ｍ，ｐ，ｑは正の整数）である。ここで、ＬとＭ
とを互いに割り切れない整数に選ぶことによって、周期
Ｎを大きくすることができる。なお、Ｌ／Ｍは有理数で
あるけれども、πが無理数であるので、ｃは無理数とな
る。
する周期Ｎが存在し、この周期Ｎは係数ｃに依存する。
前述したように、係数ｃは、 ｃ＝Ｌ／Ｍ・π≠ｐ／２q・π …（４） （Ｌ，Ｍ，ｐ，ｑは正の整数）である。ここで、ＬとＭ
とを互いに割り切れない整数に選ぶことによって、周期
Ｎを大きくすることができる。なお、Ｌ／Ｍは有理数で
あるけれども、πが無理数であるので、ｃは無理数とな
る。
【００４７】たとえば図２は、ｃ＝２０４９／２００１
１・πとしたときのカオス時系列を示す図であり、この
ときＸ0＝ＸNとなるＮは１０００５である。つまり周期
Ｎが１０００５となる。このように周期Ｎが非常に大き
く、暗号化するデジタル情報よりも長い場合には、１回
の暗号化で同じデジタルカオス時系列が繰り返されるこ
となく、実質、完全なカオスで暗号化を行うことができ
る。
１・πとしたときのカオス時系列を示す図であり、この
ときＸ0＝ＸNとなるＮは１０００５である。つまり周期
Ｎが１０００５となる。このように周期Ｎが非常に大き
く、暗号化するデジタル情報よりも長い場合には、１回
の暗号化で同じデジタルカオス時系列が繰り返されるこ
となく、実質、完全なカオスで暗号化を行うことができ
る。
【００４８】次に、係数ｃと周期Ｎとの関係について説
明する。図３は、 Ｌ＝１，Ｍ＝２ｓ＋１ （ｓ＝１，２…） とおいて、Ｍを大きくした場合の式（３）の周期Ｎの計
算結果を示す図である。図３では、Ｍ＜５００までの計
算結果のみを示しているが、Ｍが大きくなるにつれて、 Ｎ＝（Ｍ―１）／２ …（10） の関係で、周期Ｎを大きくすることができることが分か
る。このことから、Ｍを適宜選ぶことによって、暗号化
する情報に応じた充分な長さのカオス時系列を生成する
ことが可能であるといえる。ただし、Ｍは素数（３，
５，７，１１，１３，１７，…）である必要があること
がコンピュータによる計算で確認されている。
明する。図３は、 Ｌ＝１，Ｍ＝２ｓ＋１ （ｓ＝１，２…） とおいて、Ｍを大きくした場合の式（３）の周期Ｎの計
算結果を示す図である。図３では、Ｍ＜５００までの計
算結果のみを示しているが、Ｍが大きくなるにつれて、 Ｎ＝（Ｍ―１）／２ …（10） の関係で、周期Ｎを大きくすることができることが分か
る。このことから、Ｍを適宜選ぶことによって、暗号化
する情報に応じた充分な長さのカオス時系列を生成する
ことが可能であるといえる。ただし、Ｍは素数（３，
５，７，１１，１３，１７，…）である必要があること
がコンピュータによる計算で確認されている。
【００４９】大きな周期Ｎを計算すると、１回で数時間
かかり、たとえばＭ＝２０００００００００７７，２０
００００００００９３（共に素数）などは式（１０）に
よりそれぞれ周期 Ｎ＝１０００００００００３８，１０００００００００
４６ が得られる。このような大きな周期Ｎは、現実に暗号化
を行うレベルでは無限の周期とみなすことができる。つ
まり、これ以上大きな周期Ｎの場合は、計算時間が急増
し、Ｎ≒１０15の場合には、計算に約数ヶ月要する。
かかり、たとえばＭ＝２０００００００００７７，２０
００００００００９３（共に素数）などは式（１０）に
よりそれぞれ周期 Ｎ＝１０００００００００３８，１０００００００００
４６ が得られる。このような大きな周期Ｎは、現実に暗号化
を行うレベルでは無限の周期とみなすことができる。つ
まり、これ以上大きな周期Ｎの場合は、計算時間が急増
し、Ｎ≒１０15の場合には、計算に約数ヶ月要する。
【００５０】上述した実施形態では、第１の関数ｆをｆ
＝c２nとし、周期関数である第２の関数ｇをｇ＝sin2ｆ
（ｎ）とし、これらの合成関数 Ｘn＝sin2（c２n） …（３） をカオス関数としたが、本発明はこれに限らず、たとえ
ば第１の関数ｆはc３nであってもよく、第２の関数ｇは
cosｆ（ｎ）または、sinｆ（ｎ）など、周期関数であれ
ばよい。また、カオス関数はこれらの組み合わせであっ
てもよい。たとえば、 Ｘn＝Σiαicos（ciｋi n＋βi）＋Σjαjsin（cjｋj n＋βj） …（11） とすることによって、安全性をさらに高くすることがで
きる。この場合鍵としてαi，αj，βi，βj＝実数、ｋ
i，ｋj＝素数，ci，cj＝Ｌiπ／Ｍi，Ｌjπ／Ｍ
j（Ｌi，Ｌj＝奇数、Ｍi，Ｍj＝素数）を選ぶことがで
きる。特にＭi，Ｍjを大きな素数に選ぶことによって、
暗号の解読が難しくなる。
＝c２nとし、周期関数である第２の関数ｇをｇ＝sin2ｆ
（ｎ）とし、これらの合成関数 Ｘn＝sin2（c２n） …（３） をカオス関数としたが、本発明はこれに限らず、たとえ
ば第１の関数ｆはc３nであってもよく、第２の関数ｇは
cosｆ（ｎ）または、sinｆ（ｎ）など、周期関数であれ
ばよい。また、カオス関数はこれらの組み合わせであっ
てもよい。たとえば、 Ｘn＝Σiαicos（ciｋi n＋βi）＋Σjαjsin（cjｋj n＋βj） …（11） とすることによって、安全性をさらに高くすることがで
きる。この場合鍵としてαi，αj，βi，βj＝実数、ｋ
i，ｋj＝素数，ci，cj＝Ｌiπ／Ｍi，Ｌjπ／Ｍ
j（Ｌi，Ｌj＝奇数、Ｍi，Ｍj＝素数）を選ぶことがで
きる。特にＭi，Ｍjを大きな素数に選ぶことによって、
暗号の解読が難しくなる。
【００５１】また、このような技術は文章の暗号化に限
らず、デジタル化した音声情報や、デジタル画像の暗号
化にも適用することができる。またデジタル画像の暗号
化技術を用いれば、電子透かし技術に適用することも可
能である。たとえば、 Ｘm＝cos（c２m） …（12） Ｘn＝sin（c２n） …（13） （ｍ，ｎ＝０，１，２，３，…）とすれば、２次元（平
面）のカオスを実現することができ、セキュリティシス
テムに適用することができる。
らず、デジタル化した音声情報や、デジタル画像の暗号
化にも適用することができる。またデジタル画像の暗号
化技術を用いれば、電子透かし技術に適用することも可
能である。たとえば、 Ｘm＝cos（c２m） …（12） Ｘn＝sin（c２n） …（13） （ｍ，ｎ＝０，１，２，３，…）とすれば、２次元（平
面）のカオスを実現することができ、セキュリティシス
テムに適用することができる。
【００５２】その他、本発明のカオス発生装置は、カオ
ス制御などに適用することができる。
ス制御などに適用することができる。
【００５３】また、本発明のカオス生成アルゴリズムで
生成したカオス時系列は、擬似乱数としても用いること
ができるので、たとえば乱数を必要とするコンピュータ
ゲームなどに適用することも可能である。
生成したカオス時系列は、擬似乱数としても用いること
ができるので、たとえば乱数を必要とするコンピュータ
ゲームなどに適用することも可能である。
【００５４】
【発明の効果】以上説明したように、本発明のカオス発
生装置は、誤差を集積させることなくカオスを発生させ
ることができるので、カオス時系列を忠実に再現するこ
とができる。これによって、カオス暗号技術の実用化が
可能となる。
生装置は、誤差を集積させることなくカオスを発生させ
ることができるので、カオス時系列を忠実に再現するこ
とができる。これによって、カオス暗号技術の実用化が
可能となる。
【００５５】暗号化するデジタル情報として、デジタル
化された文章またはデジタル音声・画像に適用すること
ができる。また、生成されたカオスを擬似乱数として用
いることも可能である。
化された文章またはデジタル音声・画像に適用すること
ができる。また、生成されたカオスを擬似乱数として用
いることも可能である。
【図１】本発明のカオス発生装置を用いた暗号システム
１の構成を示すブロック図である。
１の構成を示すブロック図である。
【図２】ｃ＝（２０４９／２００１１）πとしたときの
計算結果を示す図である。
計算結果を示す図である。
【図３】Ｍを増加させたときの周期Ｎを示す図である。
【図４】誤差が集積される従来のカオス発生アルゴリズ
ムの計算結果を示す図である。
ムの計算結果を示す図である。
１ 暗号システム ２，３ カオス発生装置 ４，５ 暗号装置
─────────────────────────────────────────────────────
【手続補正書】
【提出日】平成１３年１月１５日（２００１．１．１
５）
５）
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】請求項４
【補正方法】変更
【補正内容】
【手続補正２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００２
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００２】
【従来の技術】近年の情報化の進展に伴い、情報のセキ
ュリティに対する要求が増大しており、情報を受信者に
正確に伝えるとともに、受信者以外には情報が読み取ら
れないようにする安全な暗号技術が求められている。現
在実用化されている暗号技術として、ＤＥＳ(Data Encr
yption Standard)暗号などの共通鍵暗号、ＲＳＡ（Rive
st, Shamir, Adelmanの３人によって考案された） 暗号
などの公開鍵暗号などがある。しかしこれらは安全性、
処理速度の点で問題点が多い。近年これらの暗号技術に
比べて安全強度が高く、暗号化、復号化の処理速度が速
いカオス暗号方法が提案されている。
ュリティに対する要求が増大しており、情報を受信者に
正確に伝えるとともに、受信者以外には情報が読み取ら
れないようにする安全な暗号技術が求められている。現
在実用化されている暗号技術として、ＤＥＳ(Data Encr
yption Standard)暗号などの共通鍵暗号、ＲＳＡ（Rive
st, Shamir, Adelmanの３人によって考案された） 暗号
などの公開鍵暗号などがある。しかしこれらは安全性、
処理速度の点で問題点が多い。近年これらの暗号技術に
比べて安全強度が高く、暗号化、復号化の処理速度が速
いカオス暗号方法が提案されている。
【手続補正３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００５
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００５】カオスの特徴の１つに、初期値鋭敏性があ
る。これはカオス写像に与える初期値にわずかな違いが
あっても、出力値が大きく異なることである。つまり、
初期値がわずかでも異なると生成されるカオス時系列が
大きく異なる。したがって、初期値を鍵として暗号化す
ることで、第３者による暗号の解読が非常に困難とな
る。
る。これはカオス写像に与える初期値にわずかな違いが
あっても、出力値が大きく異なることである。つまり、
初期値がわずかでも異なると生成されるカオス時系列が
大きく異なる。したがって、初期値を鍵として暗号化す
ることで、第３者による暗号の解読が非常に困難とな
る。
【手続補正４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００６
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００６】前述したＤＥＳ暗号や、ＲＳＡ暗号では、
複雑な演算処理を行うことによって暗号化するので、暗
号化、復号化の処理速度が遅いといった問題を有する
が、カオス暗号では、簡単なカオス関数から生成したカ
オス時系列で順次暗号化、または復号化するので、処理
速度を非常に速くすることができる。
複雑な演算処理を行うことによって暗号化するので、暗
号化、復号化の処理速度が遅いといった問題を有する
が、カオス暗号では、簡単なカオス関数から生成したカ
オス時系列で順次暗号化、または復号化するので、処理
速度を非常に速くすることができる。
【手続補正５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００７
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】前述したように、カオ
スには初期値鋭敏性という性質があり、初期値のわずか
の違いによって生成されるカオス時系列が異なり、これ
によって第三者による解読が困難となるが、このことは
逆に、鍵とする初期値が暗号化する側と復号化する側と
でわずかでも異なると、正確に復号できないといった問
題を生じる。
スには初期値鋭敏性という性質があり、初期値のわずか
の違いによって生成されるカオス時系列が異なり、これ
によって第三者による解読が困難となるが、このことは
逆に、鍵とする初期値が暗号化する側と復号化する側と
でわずかでも異なると、正確に復号できないといった問
題を生じる。
【手続補正６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】０００８
【補正方法】変更
【補正内容】
【０００８】次に、初期値変化によるカオス時系列の変
化について説明する。よく知られたカオス写像として、
ロジスティック写像 Ｘn+1 ＝ αＸn（１−Ｘn） …（１） がある。このロジスティック写像において、α＝４ Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の場合は、厳密なカオス解 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） が得られる。この式（３）に順次ｎ（ｎ＝1, 2,3…）を
与えることによってカオス時系列が得られる。
化について説明する。よく知られたカオス写像として、
ロジスティック写像 Ｘn+1 ＝ αＸn（１−Ｘn） …（１） がある。このロジスティック写像において、α＝４ Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の場合は、厳密なカオス解 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） が得られる。この式（３）に順次ｎ（ｎ＝1, 2,3…）を
与えることによってカオス時系列が得られる。
【手続補正７】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１０
【補正方法】変更
【補正内容】
【００１０】このようにカオス写像の式（１）を用いた
カオス暗号化方法では、誤差ε＝１０-15程度の非常に
小さい丸め誤差であってもこれが集積され、数十回の繰
返し計算で誤差が急増し、忠実なカオスの再現は不可能
と考えられている。また、このような誤差は、電子回路
の精度や外部からのノイズとして生じ、誤差を０とする
ことは不可能である。
カオス暗号化方法では、誤差ε＝１０-15程度の非常に
小さい丸め誤差であってもこれが集積され、数十回の繰
返し計算で誤差が急増し、忠実なカオスの再現は不可能
と考えられている。また、このような誤差は、電子回路
の精度や外部からのノイズとして生じ、誤差を０とする
ことは不可能である。
【手続補正８】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００１４
【補正方法】変更
【補正内容】
【００１４】第１の関数ｆは、請求項２の場合はｆ
（ｎ）＝ｃｋnであり、前述した式（３）の例では、ｆ
＝c２nとなる。また、周期関数である第２の関数ｇは、
式（３）の例では、ｇ＝sin2（ｆ（ｎ））となり、これ
らの合成関数であるカオス関数が Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） となる。前述したように、この（３）式はカオス写像 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。したがって合成関数であるカオス関数
Ｘn＝ｇ（ｆ（ｎ））にｎ＝１，２，３…と順次的に与
えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…とカオス時系列を導
出することができる。このとき、まず第１の関数ｆにｎ
を与えてｆ（ｎ）を算出し、この算出した値ｆ（ｎ）を
第２の関数ｇに与えてＸnを算出する。つまり、ｆ
（ｎ）にｎ＝１，２，３…と与えて算出したｆ（１），
ｆ（２），ｆ（３）…を算出し、これを順次第２の関数
ｇに与えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…が導出され
る。
（ｎ）＝ｃｋnであり、前述した式（３）の例では、ｆ
＝c２nとなる。また、周期関数である第２の関数ｇは、
式（３）の例では、ｇ＝sin2（ｆ（ｎ））となり、これ
らの合成関数であるカオス関数が Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） となる。前述したように、この（３）式はカオス写像 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。したがって合成関数であるカオス関数
Ｘn＝ｇ（ｆ（ｎ））にｎ＝１，２，３…と順次的に与
えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…とカオス時系列を導
出することができる。このとき、まず第１の関数ｆにｎ
を与えてｆ（ｎ）を算出し、この算出した値ｆ（ｎ）を
第２の関数ｇに与えてＸnを算出する。つまり、ｆ
（ｎ）にｎ＝１，２，３…と与えて算出したｆ（１），
ｆ（２），ｆ（３）…を算出し、これを順次第２の関数
ｇに与えることによってＸ1，Ｘ2，Ｘ3…が導出され
る。
【手続補正９】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００２２
【補正方法】変更
【補正内容】
【００２２】上記（３）式に示すようなカオス関数で
は、ｎに関する周期Ｎが存在する。つまり、相い異なる
２つのｎから得られるＸnが同じ値となる場合があり、
この場合、その後のカオス時系列Ｘnの値も同じとな
る。このようなカオス関数で暗号化すると、同じカオス
時系列を繰返し用いることになり、安全性が低下すると
いった問題を有する。しかしながら、本発明では、カオ
ス関数の周期Ｎが、暗号化する情報量より大きくなるよ
うに選ぶので、１回の暗号化の過程で、同じカオス時系
列を複数回用いることがなく、実質、完全なカオスで暗
号化することと同等とすることができる。
は、ｎに関する周期Ｎが存在する。つまり、相い異なる
２つのｎから得られるＸnが同じ値となる場合があり、
この場合、その後のカオス時系列Ｘnの値も同じとな
る。このようなカオス関数で暗号化すると、同じカオス
時系列を繰返し用いることになり、安全性が低下すると
いった問題を有する。しかしながら、本発明では、カオ
ス関数の周期Ｎが、暗号化する情報量より大きくなるよ
うに選ぶので、１回の暗号化の過程で、同じカオス時系
列を複数回用いることがなく、実質、完全なカオスで暗
号化することと同等とすることができる。
【手続補正１０】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００２３
【補正方法】変更
【補正内容】
【００２３】請求項４記載の本発明は、第１の関数ｆに
設定する初期値を鍵とし、この鍵と前記カオス関数とを
用いて導出したカオス時系列で、デジタル情報を順次暗
号化、または復号化することを特徴とする。
設定する初期値を鍵とし、この鍵と前記カオス関数とを
用いて導出したカオス時系列で、デジタル情報を順次暗
号化、または復号化することを特徴とする。
【手続補正１１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００２５
【補正方法】変更
【補正内容】
【００２５】文章や画像は、容易にデジタル情報に変換
でき、このデジタル情報に、カオス時系列を演算処理す
ることによって暗号化することができる。
でき、このデジタル情報に、カオス時系列を演算処理す
ることによって暗号化することができる。
【手続補正１２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００２６
【補正方法】変更
【補正内容】
【００２６】デジタル情報を暗号化して送受信する場
合、予め送信側と受信側とでカオス関数を共通に持つ。
そして、送信側で、前記カオス関数に初期値を与えてカ
オス時系列を生成し、これを用いてデジタル情報を暗号
化する。そして暗号化した情報と、初期値とを送信す
る。
合、予め送信側と受信側とでカオス関数を共通に持つ。
そして、送信側で、前記カオス関数に初期値を与えてカ
オス時系列を生成し、これを用いてデジタル情報を暗号
化する。そして暗号化した情報と、初期値とを送信す
る。
【手続補正１３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３６
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３６】つぎに、図１を参照し、暗号化方法に関し
てさらに詳しく説明する。暗号装置４では平文１０を暗
号化する。平文１０は、文章を「１」または「０」から
なるデジタル情報で表したデジタル情報である。カオス
発生装置２は、カオス関数を有し、このカオス関数に初
期値を設定することによって、まずカオス時系列Ｘ
n（Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3…）を生成する。そしてそれをデジタ
ル化してデジタルカオス時系列を出力する場合、生成さ
れるカオス時系列Ｘnは図２に示すように、カオス関数
（３）の場合は、０＜Ｘn＜１の範囲の値である。した
がって、生成されたカオス時系列Ｘnをデジタルカオス
時系列Ｘnに変換するには、たとえばカオス発生装置２
に基準値Ａ（０＜Ａ＜１）を設定し、Ｘnが設定された
基準値Ａより大きい場合を「１」とし、基準値Ａ以下の
場合を「０」とすることで、デジタルカオス時系列が生
成される。
てさらに詳しく説明する。暗号装置４では平文１０を暗
号化する。平文１０は、文章を「１」または「０」から
なるデジタル情報で表したデジタル情報である。カオス
発生装置２は、カオス関数を有し、このカオス関数に初
期値を設定することによって、まずカオス時系列Ｘ
n（Ｘ1，Ｘ2，Ｘ3…）を生成する。そしてそれをデジタ
ル化してデジタルカオス時系列を出力する場合、生成さ
れるカオス時系列Ｘnは図２に示すように、カオス関数
（３）の場合は、０＜Ｘn＜１の範囲の値である。した
がって、生成されたカオス時系列Ｘnをデジタルカオス
時系列Ｘnに変換するには、たとえばカオス発生装置２
に基準値Ａ（０＜Ａ＜１）を設定し、Ｘnが設定された
基準値Ａより大きい場合を「１」とし、基準値Ａ以下の
場合を「０」とすることで、デジタルカオス時系列が生
成される。
【手続補正１４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３７
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３７】このようにしてカオス発生装置から出力さ
れるカオス時系列と、平文１０とを演算器１１に入力
し、ここで順に演算処理を行い暗号文１２を生成する。
本実施形態では、演算器１１は排他的論理和の演算処理
を行い、平文１０とカオス時系列Ｘnとの排他的論理和
をとって暗号文１２を作成する。作成された暗号文１２
が、たとえば公衆電話回線を介して送信されるか、また
はフロッピーディスクなどの記録媒体を介して他方の暗
号装置５に渡される。
れるカオス時系列と、平文１０とを演算器１１に入力
し、ここで順に演算処理を行い暗号文１２を生成する。
本実施形態では、演算器１１は排他的論理和の演算処理
を行い、平文１０とカオス時系列Ｘnとの排他的論理和
をとって暗号文１２を作成する。作成された暗号文１２
が、たとえば公衆電話回線を介して送信されるか、また
はフロッピーディスクなどの記録媒体を介して他方の暗
号装置５に渡される。
【手続補正１５】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３８
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３８】他方の暗号装置５も、一方の暗号装置４の
カオス発生装置２が持つカオス関数と同じカオス関数、
および基準値Ａを有し、一方の暗号装置４から渡された
鍵を用いて、一方の暗号装置４と同じカオス時系列Ｘn
を生成することができる。したがって、受信した暗号文
１２と生成したカオス時系列Ｘnを演算器１３に入力
し、ここで暗号文１２とカオス時系列Ｘnとの排他的論
理和をとることで復号され、平文１０が得られる。
カオス発生装置２が持つカオス関数と同じカオス関数、
および基準値Ａを有し、一方の暗号装置４から渡された
鍵を用いて、一方の暗号装置４と同じカオス時系列Ｘn
を生成することができる。したがって、受信した暗号文
１２と生成したカオス時系列Ｘnを演算器１３に入力
し、ここで暗号文１２とカオス時系列Ｘnとの排他的論
理和をとることで復号され、平文１０が得られる。
【手続補正１６】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００３９
【補正方法】変更
【補正内容】
【００３９】上述した実施形態では、演算器１１が排他
的論理和の演算を行うように構成したが、これに限ら
ず、たとえば暗号化側では演算器１１で加算し、復号化
側では演算器１３で減算して、暗号を復号するようにし
てもよい。
的論理和の演算を行うように構成したが、これに限ら
ず、たとえば暗号化側では演算器１１で加算し、復号化
側では演算器１３で減算して、暗号を復号するようにし
てもよい。
【手続補正１７】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４０
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４０】また、カオス発生装置に設定する基準値Ａ
も鍵とし、暗号化、復号化ごとに基準値Ａを変更するよ
うに構成してもよい。また、カオス関数は１つでなく、
カオス発生装置２，３それぞれに複数のカオス関数を設
定しておき、暗号化するごとに、カオス関数を変更し、
どのカオス関数を用いるかを鍵とともに渡すようにして
もよい。
も鍵とし、暗号化、復号化ごとに基準値Ａを変更するよ
うに構成してもよい。また、カオス関数は１つでなく、
カオス発生装置２，３それぞれに複数のカオス関数を設
定しておき、暗号化するごとに、カオス関数を変更し、
どのカオス関数を用いるかを鍵とともに渡すようにして
もよい。
【手続補正１８】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４２
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４２】本発明ではカオス関数を第１の関数ｆと周
期Ｔを有する第２の関数ｇとの合成関数ｇ（ｆ（ｎ））
とし、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝ｃｋn（ｎは正の整
数、ｋは素数、ｃは無理数）とする。本実施形態では、
カオス関数は前述した（３）式、 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） とする。したがって、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝c２nと
なり、第２の関数はｇ（ｎ）＝sin2（ｆ（ｎ））とな
る。前述したように、(３)式は、カオス写像であるロジ
スティック写像 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。
期Ｔを有する第２の関数ｇとの合成関数ｇ（ｆ（ｎ））
とし、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝ｃｋn（ｎは正の整
数、ｋは素数、ｃは無理数）とする。本実施形態では、
カオス関数は前述した（３）式、 Ｘn ＝ sin2（c２n） …（３） とする。したがって、第１の関数ｆはｆ（ｎ）＝c２nと
なり、第２の関数はｇ（ｎ）＝sin2（ｆ（ｎ））とな
る。前述したように、(３)式は、カオス写像であるロジ
スティック写像 Ｘn+1 ＝ ４Ｘn（１−Ｘn） …（２） の厳密解である。
【手続補正１９】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４４
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４４】カオス時系列生成アルゴリズムは、第（ｎ
＋１）回目のＸn+1を算出するのに、第ｎ回目の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数からｆ（ｎ＋１）を求
め、これを第２の関数ｇの周期Ｔで割った余りｒを第２
の関数ｇに与えて算出する。ここで第ｎ回目の第１の関
数ｆ（ｎ）はｆ（ｎ）＝Ｌ／Ｍ・π・２nであるので、
ｆ（ｎ＋１）＝２・Ｌ／Ｍ・π・２nとなる。また、第
２の関数ｇの周期Ｔはπであるのでｆ（ｎ＋１）をπで
割った余りｒは、 ｒ ＝ （２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π） …（５） となる。したがってこの（５）式と第２の関数ｇからＸ
n+1は、 Ｘn+1 ＝ sin2｛（２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π）｝ …（６） となる。したがって（６）式は、 Ｘn+1 ＝ sin2（Ｌn+1／Ｍ・π） …（７） Ｌn+1 ＝（２Ｌn）ｍｏｄ（Ｍ） …（８） となる。
＋１）回目のＸn+1を算出するのに、第ｎ回目の第１の
関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数からｆ（ｎ＋１）を求
め、これを第２の関数ｇの周期Ｔで割った余りｒを第２
の関数ｇに与えて算出する。ここで第ｎ回目の第１の関
数ｆ（ｎ）はｆ（ｎ）＝Ｌ／Ｍ・π・２nであるので、
ｆ（ｎ＋１）＝２・Ｌ／Ｍ・π・２nとなる。また、第
２の関数ｇの周期Ｔはπであるのでｆ（ｎ＋１）をπで
割った余りｒは、 ｒ ＝ （２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π） …（５） となる。したがってこの（５）式と第２の関数ｇからＸ
n+1は、 Ｘn+1 ＝ sin2｛（２・Ｌ／Ｍ・π・２n）ｍｏｄ（π）｝ …（６） となる。したがって（６）式は、 Ｘn+1 ＝ sin2（Ｌn+1／Ｍ・π） …（７） Ｌn+1 ＝（２Ｌn）ｍｏｄ（Ｍ） …（８） となる。
【手続補正２０】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４７
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４７】たとえば図２は、ｃ＝２０４９／２００１
１・πとしたときのカオス時系列を示す図であり、この
ときＸ0＝ＸNとなるＮは１０００５である。つまり周期
Ｎが１０００５となる。このように周期Ｎが非常に大き
く、暗号化するデジタル情報よりも長い場合には、１回
の暗号化で同じカオス時系列が繰り返されることなく、
実質、完全なカオスで暗号化を行うことができる。
１・πとしたときのカオス時系列を示す図であり、この
ときＸ0＝ＸNとなるＮは１０００５である。つまり周期
Ｎが１０００５となる。このように周期Ｎが非常に大き
く、暗号化するデジタル情報よりも長い場合には、１回
の暗号化で同じカオス時系列が繰り返されることなく、
実質、完全なカオスで暗号化を行うことができる。
【手続補正２１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００４８
【補正方法】変更
【補正内容】
【００４８】次に、係数ｃと周期Ｎとの関係について説
明する。図３は、 Ｌ＝１，Ｍ＝２ｓ＋１ （ｓ＝１，２…） とおいて、Ｍを大きくした場合の式（３）の周期Ｎの計
算結果を示す図である。図３では、Ｍ＜５００までの計
算結果のみを示しているが、Ｍが大きくなるにつれて、 Ｎ＝（Ｍ―１）／２ …（９） の関係で、周期Ｎを大きくすることができることが分か
る。このことから、Ｍを適宜選ぶことによって、暗号化
する情報に応じた充分な長さのカオス時系列を生成する
ことが可能であるといえる。ただし、Ｍは素数（３，
５，７，１１，１３，１７，…）である必要があること
がコンピュータによる計算で確認されている。
明する。図３は、 Ｌ＝１，Ｍ＝２ｓ＋１ （ｓ＝１，２…） とおいて、Ｍを大きくした場合の式（３）の周期Ｎの計
算結果を示す図である。図３では、Ｍ＜５００までの計
算結果のみを示しているが、Ｍが大きくなるにつれて、 Ｎ＝（Ｍ―１）／２ …（９） の関係で、周期Ｎを大きくすることができることが分か
る。このことから、Ｍを適宜選ぶことによって、暗号化
する情報に応じた充分な長さのカオス時系列を生成する
ことが可能であるといえる。ただし、Ｍは素数（３，
５，７，１１，１３，１７，…）である必要があること
がコンピュータによる計算で確認されている。
【手続補正２２】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００５０
【補正方法】変更
【補正内容】
【００５０】上述した実施形態では、第１の関数ｆをｆ
＝c２nとし、周期関数である第２の関数ｇをｇ＝sin
2（ｆ（ｎ））とし、これらの合成関数 Ｘn＝sin2（c２n） …（３） をカオス関数としたが、本発明はこれに限らず、たとえ
ば第１の関数ｆはc３nであってもよく、第２の関数ｇは
cos（ｆ（ｎ））または、sin（ｆ（ｎ））など、周期関
数であればよい。また、カオス関数はこれらの組み合わ
せであってもよい。たとえば、 Ｘn＝Σiαicos（ciｋi n＋βi）＋Σjαjsin（cjｋj n＋βj） …（10） とすることによって、安全性をさらに高くすることがで
きる。この場合鍵としてαi，αj，βi，βj＝実数、ｋ
i，ｋj＝素数，ci，cj＝Ｌiπ／Ｍi，Ｌjπ／Ｍ
j（Ｌi，Ｌj＝奇数、Ｍi，Ｍj＝素数）を選ぶことがで
きる。特にＭi，Ｍjを大きな素数に選ぶことによって、
暗号の解読が難しくなる。
＝c２nとし、周期関数である第２の関数ｇをｇ＝sin
2（ｆ（ｎ））とし、これらの合成関数 Ｘn＝sin2（c２n） …（３） をカオス関数としたが、本発明はこれに限らず、たとえ
ば第１の関数ｆはc３nであってもよく、第２の関数ｇは
cos（ｆ（ｎ））または、sin（ｆ（ｎ））など、周期関
数であればよい。また、カオス関数はこれらの組み合わ
せであってもよい。たとえば、 Ｘn＝Σiαicos（ciｋi n＋βi）＋Σjαjsin（cjｋj n＋βj） …（10） とすることによって、安全性をさらに高くすることがで
きる。この場合鍵としてαi，αj，βi，βj＝実数、ｋ
i，ｋj＝素数，ci，cj＝Ｌiπ／Ｍi，Ｌjπ／Ｍ
j（Ｌi，Ｌj＝奇数、Ｍi，Ｍj＝素数）を選ぶことがで
きる。特にＭi，Ｍjを大きな素数に選ぶことによって、
暗号の解読が難しくなる。
【手続補正２３】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】００５１
【補正方法】変更
【補正内容】
【００５１】また、このような技術は文章の暗号化に限
らず、デジタル化した音声情報や、デジタル画像の暗号
化にも適用することができる。またデジタル画像の暗号
化技術を用いれば、電子透かし技術に適用することも可
能である。たとえば、 Ｘm＝cos（c２m） …（11） Ｘn＝sin（c２n） …（12） （ｍ，ｎ＝０，１，２，３，…） とすれば、２次元（平面）のカオスを実現することがで
き、セキュリティシステムに適用することができる。
らず、デジタル化した音声情報や、デジタル画像の暗号
化にも適用することができる。またデジタル画像の暗号
化技術を用いれば、電子透かし技術に適用することも可
能である。たとえば、 Ｘm＝cos（c２m） …（11） Ｘn＝sin（c２n） …（12） （ｍ，ｎ＝０，１，２，３，…） とすれば、２次元（平面）のカオスを実現することがで
き、セキュリティシステムに適用することができる。
【手続補正２４】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】図４
【補正方法】変更
【補正内容】
【図４】丸め誤差が集積される従来の写像によるカオス
の計算結果を示す図である。
の計算結果を示す図である。
Claims (8)
- 【請求項１】 第１の関数ｆと、周期Ｔを持つ第２の関
数ｇとの合成関数であるカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有
し、このカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））のｎを順次変化させ
ることによって、一意の値Ｘnを時系列的に導出するカ
オス発生装置において、 第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１
の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値
ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余
りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出することを特
徴とするカオス発生装置。 - 【請求項２】 前記第１の関数ｆは、係数ｃを持ち、所
定の整数ｋのｎ乗を含む（cｋn）ことを特徴とする請求
項１記載のカオス発生装置。 - 【請求項３】 前記カオス関数によって生成したカオス
時系列で、デジタル情報を暗号化するとき、カオス関数
のｎに関する周期Ｎが、暗号化するデジタル情報よりも
長いことを特徴とする請求項１または２記載のカオス発
生装置。 - 【請求項４】 第１の関数ｆに設定する初期値を鍵と
し、この鍵と前記カオス関数とを用いて導出したカオス
時系列で、デジタル情報を順次暗号化、または複合化す
ることを特徴とする請求項１〜３のいずれか１つに記載
のカオス発生装置。 - 【請求項５】 前記デジタル情報は、文章、画像または
音声をデジタル信号に変換したものであることを特徴と
する請求項４記載のカオス発生装置。 - 【請求項６】 第１の関数ｆと、周期Ｔを持つ第２の関
数ｇとの合成関数であるカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有
し、このカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））のｎを順次変化させ
ることによって、一意の値Ｘnを時系列的に導出するカ
オス発生方法において、 第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１
の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値
ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余
りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出することを特
徴とするカオス発生方法。 - 【請求項７】 第１の関数ｆと、周期Ｔを持つ第２の関
数ｇとの合成関数であるカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有
し、このカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））のｎを順次変化させ
ることによって、一意の値Ｘnを時系列的に導出して擬
似乱数を発生する擬似乱数発生装置において、 第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１
の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値
ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余
りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出することを特
徴とする擬似乱数発生装置。 - 【請求項８】 第１の関数ｆと、周期Ｔを持つ第２の関
数ｇとの合成関数であるカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））を有
し、このカオス関数ｇ（ｆ（ｎ））のｎを順次変化させ
ることによって、一意の値Ｘnを時系列的に導出するカ
オス発生装置であって、 第ｎ＋１回目の値Ｘn+1を導出するのに、第ｎ回の第１
の関数ｆの値ｆ（ｎ）と第１の関数ｆとから算出した値
ｆ（ｎ＋１）を、第２の関数ｇの周期Ｔで除し、その余
りｒを第２の関数ｇに与えてＸn+1を導出するカオス発
生装置を備える一対の暗号装置を有し、 一方の暗号装置で、カオス発生装置から導出したカオス
時系列でデジタル情報を暗号化し、 他方の暗号装置のカオス発生装置で、前記一方の暗号装
置のカオス発生装置で導出したカオス時系列と同じカオ
ス時系列を導出し、暗号化されたデジタル情報を復号化
することを特徴とする暗号システム。
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