JPH09288565A

JPH09288565A - 乱数生成装置及び方法、暗号化装置及び方法、復号装置及び方法、鍵系列生成装置及び方法、並びに記憶媒体

Info

Publication number: JPH09288565A
Application number: JP8099985A
Authority: JP
Inventors: Toru Koda; 徹香田; Akio Tokida; 明夫常田
Original assignee: Toshiba Corp
Current assignee: Toshiba Corp
Priority date: 1996-04-22
Filing date: 1996-04-22
Publication date: 1997-11-04
Anticipated expiration: 2016-04-22
Also published as: JP3557037B2

Abstract

(57)【要約】【課題】暗号学的安全性について非常に優れた鍵系列
によるストリーム暗号を実現可能な暗号化装置を提供す
ること。【解決手段】本発明に係る暗号装置は、予め定められ
た所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示され
る実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系
列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実
数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示され
る２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値とし
て２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成す
る２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列
をもとに予め定められた第１の論理演算を行って鍵系列
を生成する第１の論理演算手段と、平文の２値系列と前
記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を行
って暗号文の２値系列を生成する第２の論理演算手段と
を備えたことを特徴とする。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、ストリーム暗号方
式による暗号化装置、復号装置および鍵系列生成装置、
ならびにそれらの方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】暗号技術に関する様々な会議やワークシ
ョップ等で、非常に多くのブロック暗号やストリーム暗
号が提案されている（例えば文献１参照；各文献の詳細
は後にまとめて示してある）。ストリーム暗号は、例え
ば平文／暗号文の２値系列と共通鍵から生成した鍵系列
（２値系列）との排他的論理和を取ることで暗号文／平
文を生成する方式であり、現在の暗号方式の中でも最も
重要な方法であると考えられる（文献２〜６）。また、
ベルヌイ試行を実現する独立同分布（i.i.d.）の２値系
列はストリーム暗号のための鍵系列として最も良い候補
者であり、確率論やエルゴード理論の分野において２進
写像（ベルヌイ写像）に対するＲａｄｅｍａｃｈｅｒ関
数（文献１４〜１６）がi.i.d.の２値系列を生成し得る
ことは良く知られている。しかしながら、従来のストリ
ーム暗号では、ある鍵から、長周期の予測不可能な２値
系列（文献７〜１３）を生成することが困難であり、暗
号学的安全性が得られないという大きな問題点がある。

【０００３】例えば、２進写像を用いたストリーム暗号
がある。この方式では、任意に選ばれた有理数である初
期値の２進展開を２値の鍵系列自身として用いている。
このため、鍵系列の長さは初期値を２進展開したときの
長さに等しい。従って、従来の方式では有限精度の計算
機システムにおいて２進写像から長周期の実数値軌道を
得ることは不可能であった。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】以上のように、従来の
ストリーム暗号方式は、暗号学的安全性の面で問題があ
り、新しい原理による暗号学的により強いストリーム暗
号の提供が望まれている。

【０００５】本発明は、上記事情を考慮してなされたも
ので、暗号学的安全性について非常に優れた鍵系列によ
るストリーム暗号を実現可能な暗号化装置及び方法、復
号装置及び方法、鍵系列生成装置及び方法記憶媒体を提
供することを目的とする。

【０００６】また、本発明は、良好な乱数または理想乱
数を生成可能な乱数生成装置及び方法、並びに記憶媒体
を提供することを目的とする。

【０００７】

【課題を解決するための手段】本発明（請求項１）に係
る乱数生成方法は、予め定められた所定の非線形写像に
従い、与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に
沿った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列
の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍは１以上
の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施して、２
Ｍ＋１個の２値系列を生成し、生成された２Ｍ＋１個の
２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って乱数
を生成することを特徴とする。

【０００８】本発明（請求項２）は、請求項１に記載の
乱数生成方法において、前記論理演算は排他的論理和演
算であることを特徴とする。

【０００９】本発明（請求項３）は、請求項１または２
に記載の乱数生成方法において、前記非線形写像の値の
取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２
Ｍ＋１個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r
＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）
の関係が成立することを特徴とする。

【００１０】本発明（請求項４）は、請求項１または２
に記載の乱数生成方法において、前記非線形写像は、不
変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対
称性を持つものであることを特徴とする。

【００１１】本発明（請求項５）は、請求項１または２
に記載の乱数生成方法において、前記非線形写像とし
て、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写
像の対称性を持つものを用いるとともに、前記非線形写
像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした
場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間
に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊ
のとき）の関係を成立させて、理想乱数を生成すること
を特徴とする。

【００１２】本発明（請求項６）に係る乱数生成装置
は、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられ
た実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系
列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実
数値系列の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍ
は１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施
して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成する２値化処理手段
と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定め
られた論理演算を行って乱数を生成する論理演算手段と
を備えたことを特徴とする。

【００１３】本発明（請求項７）は、乱数を生成するた
めのプログラムであって、予め定められた所定の非線形
写像に従い、与えられた実数値を初期値として、カオス
軌道に沿った実数値系列を生成させ、生成された前記実
数値系列の各実数値に対し、与えられた２Ｍ＋１個（Ｍ
は１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処理を施
させて、２Ｍ＋１個の２値系列を生成させ、生成された
２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理演算
を行って乱数を生成させるようにコンピュータを制御す
るためのプログラムを格納したコンピュータ読取可能な
記憶媒体である。

【００１４】本発明（請求項８）に係る乱数生成方法
は、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられ
た実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系
列を生成し、生成された前記実数値系列を、与えられた
ｍ種類（ｍは１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅
延させ、遅延のない前記実数値系列および所定量遅延さ
れたｍ個の前記実数値系列の各々に対し、夫々所定の２
値化処理を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成し、生成
されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた論理
演算を行って乱数を生成することを特徴とする。

【００１５】本発明（請求項９）に係る乱数生成方法
は、請求項８に記載の乱数生成方法により複数の乱数を
夫々生成し、生成された複数の乱数をもとに予め定めら
れた論理演算を行って出力すべき乱数を生成することを
特徴とする。

【００１６】本発明（請求項１０）に係る暗号化装置
は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共
通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道
に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成する２値化処理手段と、生成された２Ｍ
＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演
算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、平
文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第
２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２
の論理演算手段とを備えたことを特徴とする。

【００１７】本発明（請求項１１）は、請求項１０に記
載の暗号化装置において、前記第１の論理演算および前
記第２の論理演算はいずれも排他的論理和演算であるこ
とを特徴とする。

【００１８】本発明（請求項１２）は、請求項１０に記
載の暗号化装置において、前記非線形写像の値の取り得
る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１
個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ
_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関
係が成立することを特徴とする。

【００１９】本発明（請求項１３）は、請求項１０に記
載の暗号化装置において、前記非線形写像は、不変測度
の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を
持つものであることを特徴とする。

【００２０】本発明（請求項１４）は、請求項１０に記
載の暗号化装置において、前記非線形写像として、不変
測度の均等分布性、不変測度の対称性および写像の対称
性を持つものを用いるとともに、前記非線形写像の値の
取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２
Ｍ＋１個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r
＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）
の関係を成立させて、理想乱数からなる２値系列を生成
することを特徴とする。

【００２１】本発明（請求項１５）は、請求項１０に記
載の暗号化装置において、不変測度の均等分布性、不変
測度の対称性および写像の対称性を持つ、予め定められ
た所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により示され
る実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系
列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実
数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示され
る２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値とし
て２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成す
る２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列
の排他的論理和演算を行って鍵系列を生成する第１の排
他的論理和演算手段と、平文の２値系列と前記鍵系列と
の排他的論理和演算を行って暗号文の２値系列を生成す
る第２の排他的論理和演算手段とを備え、前記非線形写
像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大値をｅとした
場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間
に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊ
のとき）の関係を成立させて、理想乱数からなる２値系
列を生成することを特徴とする。

【００２２】本発明（請求項１６）は、請求項１０ない
し１５のいずれか１項に記載の暗号化装置において、前
記非線形写像が所定数のパラメータを持つものである場
合、該パラメータのうちの少なくとも１つを共通鍵とし
て用いることを特徴とする。

【００２３】本発明（請求項１７）は、請求項１０ない
し１５のいずれか１項に記載の暗号化装置において、前
記所定の非線形写像は、差分方程式ω_n+1＝cos(ｋ cos
^-1ω_n）で表されるチェビシェフ写像（パラメータｋは
２以上の実数）であり、前記第１の共通鍵は、前記チェ
ビシェフ写像の初期値ω₀（ここで−１＜ω₀＜１）お
よびパラメータｋを示す情報であることを特徴とする。

【００２４】本発明（請求項１８）は、請求項１７に記
載の暗号化装置において、前記パラメータｋの値は偶数
値であることを特徴とする。

【００２５】本発明（請求項１９）は、請求項１０ない
し１５のいずれか１項に記載の暗号化装置において、前
記実数値系列生成手段は、所定の言語で記述されたプロ
グラムを浮動小数点演算装置を用いて実行することによ
り前記非線形写像の値の系列を生成するものであること
を特徴とする。

【００２６】本発明（請求項２０）に係る暗号化装置
は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共
通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道
に沿った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、
生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示さ
れる１または複数種類の遅延量に対応して順次遅延出力
する遅延手段と、前記実数値系列生成手段から出力され
た実数値系列および前記遅延手段により所定量遅延して
出力された１または複数の実数値系列に対応して設けら
れ、対応する実数値系列の各実数値に対し、対応する第
３の共通鍵をもとにした所定の２値化処理を施して２値
系列を生成する、複数の２値化処理手段と、生成された
複数の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算
を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、平文
の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２
の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第２の
論理演算手段とを備えたことを特徴とする。

【００２７】本発明（請求項２１）に係る暗号化装置
は、請求項２０に記載の暗号化装置において、前記実数
値系列生成手段、前記遅延手段、前記複数の２値化処理
手段および前記第１の論理演算手段を、複数系統備える
とともに、各系統における前記第１の論理演算手段から
出力される２値系列をもとに予め定められた第４の論理
演算を行って鍵系列を生成する第４の論理演算手段と、
平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた
第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第
２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする。

【００２８】本発明（請求項２２）は、請求項２０また
は２１に記載の暗号化装置において、前記複数の２値化
処理手段の各々は、対応する前記実数値系列の各実数値
に対し、当該２値化処理手段に対応する第３の共通鍵に
より示される複数の値を夫々閾値として２値化処理を施
して、複数の２値系列を生成する２値化処理手段と、生
成された複数の２値系列をもとに予め定められた第３の
論理演算を行って、前記第１の論理演算手段に与える前
記２値系列を生成する第３の論理演算手段とを有するこ
とを特徴とする。

【００２９】本発明（請求項２３）は、請求項２０また
は２１に記載の暗号化装置において、前記複数の２値化
処理手段の各々は、当該２値化処理手段に対応する第３
の共通鍵により示される値を閾値として、対応する前記
実数値系列の各実数値を２値化するものであることを特
徴とする。

【００３０】本発明（請求項２４）は、請求項２０また
は２１に記載の暗号化装置において、前記複数の２値化
処理手段の各々は、対応する前記実数値系列の各実数値
について、該実数値を所定の範囲に正規化してなる値の
２進表現における、対応する第３の共通鍵により示され
るビット位置の値を選択することにより、該実数値を２
値化するものであることを特徴とする。

【００３１】本発明（請求項２５）に係る復号装置は、
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵
により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿
った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成
された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵
により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を
夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値
系列を生成する２値系列生成手段と、生成された２Ｍ＋
１個の２値系列をもとに予め定められた第１の論理演算
を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手段と、暗号
文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた第
２の論理演算を行って平文の２値系列を生成する第２の
論理演算手段とを備えたことを特徴とする。

【００３２】本発明（請求項２６）は、平文または暗号
文の２値系列と所定の共通鍵をもとにして生成された鍵
系列とを論理演算して暗号文または元の平文を生成する
ストリーム暗号化装置またはストリーム復号装置に使用
する鍵系列生成装置の鍵系列生成装置において、予め定
められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵により
示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿った実
数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された
前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵により
示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾
値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を
生成する２値系列生成手段と、生成された２Ｍ＋１個の
２値系列をもとに予め定められた論理演算を行って鍵系
列を生成する論理演算手段とを備えたことを特徴とす
る。

【００３３】本発明（請求項２７）に係る暗号化方法
は、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共
通鍵により示される実数値を初期値として、カオス軌道
に沿った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系
列の各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ
＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値
化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成し、生成
された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第
１の論理演算を行って鍵系列を生成し、平文の２値系列
と前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算
を行って暗号文の２値系列を生成することを特徴とす
る。

【００３４】本発明（請求項２８）に係る暗号化方法
は、不変測度の均等分布性、不変測度の対称性および写
像の対称性を持つ、予め定められた所定の非線形写像に
従い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、生成され
た前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵によ
り示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々
閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列
を生成し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列の排他的論
理和演算を行って鍵系列を生成し、平文の２値系列と前
記鍵系列との排他的論理和演算を行って暗号文の２値系
列を生成し、前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小
値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値
ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、
かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係を成立させ
て、理想乱数からなる２値系列を生成することを特徴と
する。

【００３５】本発明（請求項２９）に係る復号方法は、
予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵
により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿
った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列の
各実数値に対し、第２の共通鍵により示される２Ｍ＋１
個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値として２値化処
理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成し、生成され
た２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた第１の
論理演算を行って鍵系列を生成し、暗号文の２値系列と
前記鍵系列とをもとに予め定められた第２の論理演算を
行って平分の２値系列を生成することを特徴とする。

【００３６】本発明（請求項３０）に係る鍵系列生成方
法は、平文または暗号文の２値系列と所定の共通鍵をも
とにして生成された鍵系列とを論理演算して暗号文また
は元の平文を生成するストリーム暗号化装置またはスト
リーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵系列生成
方法において、予め定められた所定の非線形写像に従
い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、生成され
た前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共通鍵によ
り示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々
閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列
を生成し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予
め定められた論理演算を行って鍵系列を生成することを
特徴とする。なお、請求項１６〜１９の各発明またはそ
れらを適宜組合せた発明は、請求項１〜６，８，９の各
発明に適用可能である。

【００３７】また、請求項１１〜１９の各発明またはそ
れらを適宜組合せた発明は、請求項２０〜３０の各発明
に適用可能である。

【００３８】また、請求項２０〜２４の各発明は、暗号
化方法としても成立する。また、平文と暗号文とを入れ
替えることにより、復号装置、復号方法としても成立す
る。また、各発明、例えば、請求項２〜５，８，９，２
７〜３０の各方法、これに請求項１１〜１９の各発明ま
たはそれらを適宜組合せた発明を適用した方法は、その
ような動作をするようにコンピュータを制御するための
プログラムを格納したコンピュータ読取可能な記憶媒体
としても成立する。

【００３９】

【発明の実施の形態】以下、図面を参照しながら発明の
実施の形態を説明する。

【００４０】本実施形態では、所定の非線形写像に従い
カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、これに所定の
２値化処理を施すことで、乱数を生成する乱数発生器を
説明する。

【００４１】なお、本実施形態では、平文の２値系列と
所定の共通鍵に基づいて生成された鍵系列（２値系列）
にビット単位の所定の論理演算（一般的には排他的論理
和演算）を施して暗号文を生成するストリーム暗号にお
いて、乱数発生器を鍵系列として用いるカオス２値系列
の生成のために用いた形態を中心に説明する。

【００４２】最初に、本発明の基本原理について説明す
る。

【００４３】なお、｛ｘ_n｝_n=0 ^mという表記は、｛ｘ
₀，ｘ₁，ｘ₂，…，ｘ_m-1，ｘ_m｝を表すものとす
る。

【００４４】^→Ｐは、平文のビット列を表すものとす
る。

【００４５】^→Ｋは、暗号化／復号に用いる所定数の共
通鍵を表すものとする。

【００４６】^→Ｒは、鍵系列（ビット列）を表すものと
する。また、^→Ｒ_→Ｋは、共通鍵^→Ｋにより生成された
鍵系列（ビット列）を表すものとする。

【００４７】^→Ｚは、暗号文のビット列を表すものとす
る。また、^→Ｚ_→Ｋは、共通鍵を^→Ｋとする暗号文のビ
ット列を表すものとする。

【００４８】まず、カオス的な振る舞いを呈する最も単
純な系としては、式（１）で示すような一次元写像のク
ラスが存在する（文献２０〜２２）。ここで、ω_n＝τ
ⁿ（ω₀）である。

【００４９】

【数１】

【００５０】任意のＬ₁関数Ｆ（ω）に対し、ある初期
値ω＝ω₀からの軌道｛ω_n｝_n=0 ^N-1に沿った時間平
均Ｆ_Nは、式（２）で定義される。

【００５１】

【数２】

【００５２】バーコフの個別エルゴード定理によれば
（文献２１）、τ（ω）が、区間Ｉ上において、ｆ
^＊（ω）ｄωで表される絶対連続な不変測度（ＡＣＩ測
度と呼ぶ）に関してエルゴード的であるとき、式（３）
が成立する。

【００５３】

【数３】

【００５４】ただし、＜Ｆ＞_τは、ＩにおけるＦ（ω）
の空間平均であり、式（４）で定義される。

【００５５】

【数４】

【００５６】２値系列（鍵系列）の基となる実数値系列
の生成に利用できる非線形写像としては様々なものが考
えられるが、４種類の代表的なエルゴード写像τ（ω）
とそのＡＣＩ測度ｆ^＊（ω）ｄωを以下に示す。

【００５７】１．Ｒ進写像（文献２１）

【数５】

【００５８】なお、本実施形態で非線形写像としてＲ進
写像を用いる場合、パラメータＲとして奇数の値を使う
方がより良い性質を持つ２値系列を得られるので好まし
い。

【００５９】２．テント写像（文献２１）

【数６】

【００６０】３．ロジスティック写像（文献１７）

【数７】

【００６１】４．ｋ次のチェビシェフ写像（文献１８，
１９）

【数８】

【００６２】なお、本実施形態で非線形写像としてチェ
ビシェフ写像を用いる場合、パラメータｋとして偶数の
値を使う方がより良い性質を持つ２値系列を得られるの
で好ましい。

【００６３】非線形写像としては、詳しくは後述する
が、不変測度の均等性分布性、不変測度の対称性および
写像の対称性を持つものを用いると好ましい。なお、上
記の４つの写像は、いずれも上記３つの性質を持つもの
に該当する。

【００６４】次に、エルゴード写像τ（・）によるカオ
ス的な実数値系列｛ω_n｝_n=0 ^∞から２値系列（すなわ
ちストリーム暗号で用いる鍵系列）を得る方法について
幾つかの例を示す。これら方法は、あるエルゴード写像
に対して、異なった独立同分布（以下、i.i.d.と記す）
の予測不可能な２値系列を同時に生成する有効な手法で
ある。

【００６５】（１）Ｃ系列（図４参照）まず、Ｃ系列について説明する。

【００６６】カオス実数値軌道｛ω_n｝_n=0 ^∞から２値
系列を生成する方法を以下のように一般化する。

【００６７】まず、式（９）で示される閾値関数を定義
する。

【００６８】

【数９】そして、ある写像τ（・）により生成された実
数値系列の各実数値ωに対し、

【００６９】式（１０）および式（１１）で示されるよ
うな閾値関数の法２の加算の形で表現される２値関数を
定義する。式（１０）中の演算子は法２（ｍｏｄｕｌｏ
−２）の加算（すなわち排他的論理和）を示す。

【００７０】

【数１０】

【００７１】すなわちＣ系列では、共通鍵にて与えられ
た閾値の集合Ｔ＝｛ｔ₀，ｔ₁，…，ｔ_2M-1，ｔ_2M｝の
夫々の値に従って、式（９）で定義される閾値関数によ
り、実数値系列の各実数値から２Ｍ＋１個の２値化デー
タを求め、それらの排他的論理和を演算する。このよう
にして、カオス２値系列｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞が得ら
れる。

【００７２】Ｃ系列では、写像の初期値ω₀と閾値の集
合Ｔと写像τ（・）のパラメータが秘密鍵となる得る。

【００７３】閾値集合の要素数２Ｍ＋１（共通鍵の数）
は任意に設定可能である。

【００７４】ここで、閾値の集合Ｔの要素数を奇数個に
しているのは、その方がより良い性質を持つ２値系列を
得ることが出来るからである。また、写像の値の取り得
る範囲Ｉを、Ｉ＝［ｄ，ｅ］とした場合、Ｔの要素ｔ_r
（ｒ＝０〜２Ｍ）について、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅとす
るのが好ましい。もちろん、ｉ≠ｊについてｔ_i≠ｔ_j
である。

【００７５】特に、非線形写像として不変測度の均等性
分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つも
のを用い、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅとした場合、２値系列
として理想乱数を得ることができる。

【００７６】ただし、Ｔの要素のうちｔ_Mだけ使わず、
Ｔの要素数を偶数個にしても構わない。例えば、後述す
るＡ系列はこの場合に該当し、ｔ＝０を閾値集合から除
外したものである。

【００７７】なお、式（１０）の排他的論理和の代わり
に、排他的論理積等の他の論理演算を行うこともでき
る。

【００７８】（２）Θ系列（図７参照）次に、Θ系列（１個の閾値関数で得られる系列）につい
て説明する。

【００７９】Ｃ系列を表す式（１０）および式（１１）
において、Ｍ＝０とすると、Ｃ_T（ω）＝Θ_t0（ω）（１２）を得る。この２値系列｛Θ_t0（ω_n）｝_n=0 ^∞はカオス
閾値系列と呼ばれる。また、例えばτ（・）がチェビシ
ェフ写像の場合はチェビシェフ閾値系列と呼ぶ。

【００８０】この場合、写像の初期値ω₀と１つの閾値
の集合ｔ₀と写像τ（・）のパラメータが秘密鍵となる
得る。

【００８１】なお、非線形写像の値の取り得る範囲Ｉ
を、Ｉ＝［ｄ，ｅ］とした場合、ｔ₀＝（ｄ＋ｅ）／２
とすると好ましい。

【００８２】（３）Ｂ系列（図９参照）次に、Ｂ系列（Ｃ系列の特殊な場合であり、［ｄ，ｅ］
区間の実数値系列を［０，１］区間に正規化し、第ｉ番
目のビットを取り出して得られる系列）について説明す
る。

【００８３】式（１３）のように区間Ｉ＝［ｄ，ｅ］上
で定義される任意の写像τ（・）の値ωに対して、式
（１４）のように区間をＩ＝［０，１］とするような正
規化を施した値（ω−ｄ）／（ｅ−ｄ）を２進表現で式
（１５）のように表す。

【００８４】

【数１１】

【００８５】Ｃ系列を表す式（１０）および式（１１）
において、Ｍ＝２^i-1、かつ、ｔ_r＝（ｅ−ｄ）ｒ／２
ⁱ＋ｄとすると、Ｃ_T（ω）＝Ｂ_i（ω）（１６）となる。この２値系列｛Ｂ_i（ω_n）｝_n=0 ^∞は、カオ
スビット系列と呼ばれる。また、例えばτ（・）がチェ
ビシェフ写像の場合はチェビシェフビット系列と呼ぶ。
また、特に、τ（ω）が２進写像、すなわちＲ＝２のＲ
進写像であるとき、Ｂ_iはＲａｄｅｍａｃｈｅｒ関数
（文献１４〜１６）と呼ばれる。

【００８６】なお、Ｂ_i（ω）は、ωの２進表現におけ
るビット位置を示すビット番号ｉを（共通鍵として）与
えることにより、２値系列｛Ｂ_i（ω_n）｝_n=0 ^∞を得
ることができるので、計算機では、Ｂ_iはＣ_T（ω）よ
りもプログラムの実装が容易である。

【００８７】（４）Ａ系列（図１２参照）次に、Ａ系列（実数値系列の絶対値をとって２進展開
し、第ｉ番目のビットを取り出して得られる系列）につ
いて説明する。

【００８８】Ａ系列は、以下に示すように｜ω｜≦１で
あるωの絶対値の２進展開に基づいている。

【００８９】式（１７）で表すように、ω（ここで｜ω
｜≦１とする）の絶対値をとり、２進表現する。

【００９０】

【数１２】

【００９１】第ｉ番目のビットＡ_i（ω）は、式（１
８）で表される。

【００９２】

【数１３】

【００９３】よって、ωの２進表現におけるビット位置
を示すビット番号ｉを（共通鍵として）与えることによ
り、２値系列｛Ａ_i（ω_n）｝_n=0 ^∞が得られる。

【００９４】なお、このＡ系列は、Ｃ系列において閾値
の集合Ｔのうちｔ_M（＝０）を使わないこととしたもの
に該当する。

【００９５】もし、写像の区間がＩ＝［０，１］であれ
ば、Ａ_i（ω）＝Ｂ_i（ω）となるので、｛Ａ
_i（ω_n）｝_n=0 ^∞もカオスビット系列と呼ぶことにす
る。

【００９６】次に、上記のようにして得られたカオス２
値系列（例えば、チェビシェフ閾値／チェビシェフビッ
ト系列）を鍵系列として用いた２進加法ストリーム暗号
について説明する。

【００９７】本実施形態では、共通鍵（秘密鍵）^→Ｋ＝
（ｓ₁，ｓ₂，…，ｓ_M）は、鍵系列^→Ｒ＝（Ｒ₁，Ｒ
₂，…）を生成するカオス２値系列生成部を制御するた
めにのみ用いられる。

【００９８】本実施形態では、共通鍵は、第１の共通鍵
と第２の共通鍵に分類される。第１の共通鍵は実数値系
列の生成に用いるものであり、第２の共通鍵は生成した
実数値系列の２値化処理のために用いるものである。第
１の共通鍵と第２の共通鍵は、それぞれ、１つの場合と
複数ある場合が考えられる。

【００９９】例えば、前述の式（８）のようなチェビシ
ェフ写像を用いる場合、第１の共通鍵は、初期値ω₀と
パラメータｋである。また、前述の式（７）のようなロ
ジスティック写像を用いる場合、第１の共通鍵は、初期
値ω₀である。

【０１００】第２の共通鍵は、Ｃ系列では閾値集合Ｔで
あり、Θ系列では閾値ｔ₀であり、Ｂ系列およびＡ系列
では、正規化したωの２進表現におけるビット位置を示
すビット番号ｉである。

【０１０１】このように本実施例では、共通鍵の内容に
実数値が含まれる。

【０１０２】カオス２値系列｛Θ_t（ω_n）｝_n=0 ^∞、
｛Ｂ_i（ω_n）｝_n=0 ^∞、｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞に対
する秘密鍵を、それぞれ、^→Ｋ（Θ_t）＝（ｋ，ω₀，
ｔ）、^→Ｋ（Ｂ_i）＝（ｋ，ω₀，ｉ）、^→Ｋ（Ｃ_T）
＝（ｋ，ω₀，Ｔ）（Ｔ＝｛ｔ_r｝_r=0 ^2M）で定義す
る。

【０１０３】なお、上記の２値系列はいずれも、一般的
には、式（１０）および式（１１）のＣ_T（ω）で表現
できるので、その秘密鍵は、^→Ｋ（Ｃ_T）＝（ｋ，
ω₀，Ｔ）と表せる。

【０１０４】上記のような鍵系列を用いてストリーム暗
号方式により生成される暗号文は、それぞれ、^→Ｚ_Θ＝
（ｚ₁，ｚ₂，…）、^→Ｚ_Ｂ、^→Ｚ_ＣTで定義される。
これら暗号文のビットは、２値の平文のビット^→Ｐ＝
（ｐ₁，ｐ₂，…）と上記秘密鍵でビットごとに行う単
純な法２の加算により、式（１９）のように得られる。
また、復号は、式（２０）により実行される。

【０１０５】

【数１４】

【０１０６】ところで、これらの２値系列を得るために
は、浮動小数点演算が必要である。しかして、ほとんど
全ての計算機に備わっている浮動小数点環境のＩＥＥＥ
規格７５４に従うと、以下に示すように、暗号化および
復号化を実現するプログラムの作成は容易になる。

【０１０７】ＩＥＥＥ規格フォーマットは、以下の単精
度および倍精度の浮動小数点フォーマットを指定する。

【０１０８】１）ＩＥＥＥ単精度（あるいはＣ言語のｆ
ｌｏａｔ）に対しては、指数部および仮数部はそれぞ
れ、８ビット，２４ビットであり、従って、合計３２ビ
ットである。２）ＩＥＥＥ倍精度（あるいはＣ言語のｄｏｕｂｌｅ）
に対しては、指数部１１ビット、仮数部５３ビット、合
計６４ビットである。

【０１０９】Ｃ言語の数学ライブラリではまた、ｃｏｓ
ωやｃｏｓ^-1ω等の初等関数が利用可能であり、倍精度
の引数ωに対し倍精度の浮動小数点演算が実行される。

【０１１０】ランダムに選んだ２≦ｋ≦２²⁰を満たす整
数ｋの場合の６４ビット精度の軌道｛ω_n｝_n=0 ^∞に対
して、ある実数値ｔ（〜０）（あるいは、ｉ≦５０を満
たすｉ）を選ぶとすると、１６０（＝３２＋６４＋６
４）ビットの^→Ｋ（Θｔ）（あるいは、１２８（＝３２
＋６４＋３２）ビットの^→Ｋ（Ｂ_i））から、｛Θ
_t（ω_n）｝_n=0 ^∞（あるいは、｛Ｂ_i（ω_n）｝_n=0
^∞）を得ることが出来る。従って、そのような平衡２値
系列は、良い擬似乱数生成器を与える。

【０１１１】以下では、本実施形態の構成をより具体的
に説明する。

【０１１２】図１は、本発明を適用したストリーム暗号
システムの一実施形態を示す基本構成図である。

【０１１３】平文を暗号化して暗号文を作成する装置
（送信側装置と呼ぶこととする）は、暗号化／復号に必
要な共通鍵^→Ｋ（図中６）を用いて鍵系列（カオス２値
系列）^→Ｒ_→Ｋを生成するカオス２値系列生成部２₁、
生成された鍵系列^→Ｒ_→Ｋと入力された平文（の２値系
列）^→Ｐとの排他的論理和をビット単位に行なって暗号
文（の２値系列）^→Ｚ_→Ｋを生成する排他的論理和部４
₁を備えている。

【０１１４】暗号文を復号して元の平文を生成する装置
（受信側装置と呼ぶこととする）は、送信側装置より配
送された共通鍵^→Ｋ（図中８）を用いて鍵系列（カオス
２値系列）^→Ｒ_→Ｋを生成するカオス２値系列生成部２
₂、生成された鍵系列^→Ｒ_→ _Ｋと送信側装置より配送さ
れた暗号文（の２値系列）^→Ｚ_→Ｋとの排他的論理和を
ビット単位に行なって元の平文（の２値系列）^→Ｐを生
成する排他的論理和部４₂を備えている。

【０１１５】また、カオス２値系列生成部２₁、２
₂は、第１の共通鍵と予め定められた所定の非線形写像
に従いカオス軌道に沿った実数値系列を生成するカオス
生成部と、生成された実数値系列の各実数値に対し第２
の共通鍵に基づく所定の２値化処理を施して鍵系列を生
成するビット生成部を有する。

【０１１６】送信側装置のカオス２値系列生成部２₁と
受信側装置のカオス２値系列生成部２₂とは同一の論理
構造を持つ。従って、共通鍵^→Ｋが同一であれば、生成
される鍵系列^→Ｒ_→Ｋは、両装置について同一となる。

【０１１７】送信側装置の排他的論理和部４₁と受信側
装置の排他的論理和部４₂は、同時に排他的論理積に置
き換えても良い。あるいは、他の論理演算を用いること
もできる。以下では、排他的論理和を行なうものとして
説明する。

【０１１８】送信側装置では、平文^→Ｐの暗号化に先だ
って、共通鍵選択部（図示せず）により、使用する共通
鍵^→Ｋを選択する。共通鍵^→Ｋの選択方法としては、基
本的には公知の方法を使用することができ、種々の方法
が考えられる。例えば、予め用意された鍵に番号を振っ
ておき、その都度発生した乱数に対応する番号の振られ
た鍵を選択しても良い。鍵が実数値である場合は、その
都度発生した乱数の値あるいはこの値を線形変換などし
て得られた値を、そのまま鍵の値とすることができる。
また、本発明では、鍵の個数が個別に変わり得る場合が
あるが、鍵の個数もランダムに選択しても良い。もちろ
ん、鍵や鍵の個数は、乱数に基づいて選択するのではな
く、他の情報に従って選択することも自由である。

【０１１９】送信側装置では、暗号文とともに共通鍵を
配送するが、配送する情報として、共通鍵の内容をその
まま配送しても良いし、その代わりに共通鍵の内容に対
応する情報を配送しても良い。

【０１２０】また、共通鍵の配送にあたって、該共通鍵
またはこれに対応する情報は暗号化して配送するのが好
ましい。ここでは、共通鍵は、公開鍵方式、例えばＲＳ
Ａ暗号方式もしくは楕円体暗号方式等により暗号化する
ものとする。

【０１２１】送信側装置は、生成された暗号文と復号に
必要な共通鍵を、出力部（図示せず）により外部に出力
する。出力の方法、言い換えると、暗号文と共通鍵を受
信側装置に渡す方法には、種々の方法が考えられる。

【０１２２】送信側装置と受信側装置をネットワークで
接続する場合は、出力部は暗号文と共通鍵を所定のプロ
トコルに従いネットワークに送り出す機能を有する。送
信側装置から受信側装置へ無線通信により暗号文と共通
鍵を伝送する場合は、出力部は暗号文と共通鍵を変調し
送出する機能を有する。暗号文と共通鍵を可搬できる記
憶媒体に格納して受け渡す場合には、出力部は暗号文と
共通鍵を記憶媒体に書き込む機能を有する。

【０１２３】受信側装置では、送信側装置で生成された
暗号文^→Ｚ_→Ｋと復号に必要な共通鍵^→Ｋを、入力部
（図示せず）により入力する。

【０１２４】送信側装置とネットワークで接続する場合
は、入力部はネットワークを介して転送されてきた情報
を受け取り、暗号文と共通鍵を取り出す機能を有する。
送信側装置から無線通信により暗号文と共通鍵を受け取
る場合は、入力部は伝播されきた信号を受信し復調して
暗号文と共通鍵を取り出す機能を有する。暗号文と共通
鍵を可搬できる記憶媒体に格納して受け渡す場合には、
入力部は暗号文と共通鍵を記憶媒体から読出す機能を有
する。

【０１２５】なお、共通鍵が暗号化されたものである場
合、暗号文を復号するのに先だって、鍵復号部（図示せ
ず）により所定の方式に従い共通鍵の復号を行なう。さ
らに、復号して得た情報が、共通鍵に対応する情報であ
る場合、この情報から例えばテーブルを参照するなどし
て実際の共通鍵の内容を求める。

【０１２６】図２は、本実施形態の送信側装置における
処理の流れの一例を示すフローチャートである。

【０１２７】（ステップＳ１）まず、暗号化／復号に使
用する共通鍵（所定数の第１の共通鍵および所定数の第
２の共通鍵）の選択を行なう。選択された共通鍵は、必
要に応じてＲＳＡ方式などで暗号化し、受信側装置に向
けて送信する。

【０１２８】また、暗号化する平文（の２値系列）を読
み込む。

【０１２９】（ステップＳ２）カオス２値系列生成部２
₁（のカオス生成部）では、選択された第１の共通鍵と
所定の非線形写像に従い実数値系列を生成する。

【０１３０】（ステップＳ３）カオス２値系列生成部２
₁（のビット生成部）では、生成された実数値系列の各
実数値に対し、選択された第２の共通鍵に基づく所定の
２値化処理を行なって、鍵系列（２値系列）を生成す
る。

【０１３１】（ステップＳ４）排他的論理和部４₁で
は、入力された平文の２値系列と生成された鍵系列の排
他的論理和を取り、暗号文を生成する。

【０１３２】（ステップＳ５）生成された暗号文を受信
側装置に向けて送信する。

【０１３３】図３は、本実施形態の受信側装置における
処理の流れの一例を示すフローチャートである。

【０１３４】（ステップＳ１１）まず、所定の伝達形式
で送信側より伝えられた暗号文と復号に必要な共通鍵
（所定数の第１の共通鍵および所定数の第２の共通鍵）
を入力する。選択された共通鍵は、暗号化されている場
合は、ＲＳＡ方式などで復号する。

【０１３５】（ステップＳ２）カオス２値系列生成部２
₂（のカオス生成部）では、入手した第１の共通鍵と所
定の非線形写像に従い実数値系列を生成する。

【０１３６】（ステップＳ３）カオス２値系列生成部２
₂（のビット生成部）では、入手した実数値系列の各実
数値に対し、入手した第２の共通鍵に基づく所定の２値
化処理を行なって、鍵系列（２値系列）を生成する。

【０１３７】（ステップＳ１４）排他的論理和部４₂で
は、入力された暗号文の２値系列と生成された鍵系列の
排他的論理和を取り、元の平文を生成する。

【０１３８】なお、実数値の生成と２値化処理と排他的
論理和演算をパイプライン処理して、処理の高速化を図
っても良い。

【０１３９】以上の説明では、送信側にて共通鍵^→Ｋを
選択し受信側に伝えているが、もちろん、受信側にて共
通鍵^→Ｋを選択し送信側に伝えるようにすることも可能
である。

【０１４０】次に、共通鍵^→Ｋを用いて鍵系列（カオス
２値系列）^→Ｒ_→Ｋを生成するカオス２値系列生成部２
₁，２₂にいて説明する。

【０１４１】図４，図７，図９，図１２に、カオス２値
系列生成部２₁，２₂の構成例を示す。なお、各構成例
におけるカオス生成部２０，１２０，２２０，３２０は
基本的には同様のものである。

【０１４２】（１）Ｃ系列図４は、Ｃ系列によるカオス２値系列生成部の構成例で
ある。Ｃ系列では、前述したように、ある写像τ（・）
により生成された実数値系列の各実数値ωに対し、式
（１０）および式（１１）により２値化を行なう。閾値
の集合｛ｔ_r｝_r= ₀ ^2MをＴとすると、Ｔが第２の共通鍵
となる。閾値の種類の数Ｍは任意に設定可能である。

【０１４３】カオス２値系列生成部は、カオス生成部２
０とビット生成部３０を有する。

【０１４４】カオス生成部２０は、与えられた第１の共
通鍵と所定の非線形写像（２１）から、実数値系列を生
成する。

【０１４５】例えば、所定の非線形写像として、式
（８）で示すようなチェビシェフ写像の差分方程式を用
いる場合、第１の共通鍵は、初期値ω₀とパラメータｋ
である。ただし、パラメータｋは鍵とせずに固定するこ
とも可能である。初期値ω₀＝０．３、パラメータｋ＝
２とした場合、実数値系列ω_nは図５や図６に示される
ようになる。

【０１４６】なお、用いる非線形写像により、パラメー
タｋの数は０または２以上の場合があり得る。

【０１４７】カオス生成部２０は、所定の言語で記述さ
れたプログラムを浮動小数点演算装置を用いて実行する
ことにより実現できる。

【０１４８】ビット生成部２８は、閾値関数Θ
_t0（ω_n），Θ_t1（ω_n），…，Θ_t2M+1（ω_n）によ
る閾値処理部（３１，３２，３３）と、各閾値処理部
（３１，３２，３３）から出力される複数のビットデー
タを非線形結合する非線形結合処理部３４を有する。

【０１４９】ビット生成部２８の閾値処理部では、生成
された実数値系列の各実数値について、第２の鍵Ｔによ
り示される値を閾値｛ｔ₀，ｔ₁，…，ｔ_2M｝として夫
々２値化データΘ_t（ω_n）を求める。

【０１５０】非線形結合処理部２８４では、全２値化デ
ータを入力し、所定の非線形結合処理、例えば排他的論
理和処理を行なう。

【０１５１】ここで、具体例により、２値系列の生成に
ついて説明する。

【０１５２】非線形写像として式（８）で示すチェビシ
ェフ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値
ω₀＝０．３とパラメータｋ＝２、第２の共通鍵Ｔによ
り閾値ｔ₀＝−０．５、ｔ₁＝−０．２、ｔ₂＝０、ｔ
₃＝０．２、ｔ₄＝０．５が与えられたとする。

【０１５３】この場合、初期値ω₀＝０．３とパラメー
タｋ＝２により、カオス生成部２０からは、図５のよう
に実数値系列ω_nとして、順次、０．３０００００、−
０．８２００００、０．３４４８００、−０．７６２２
２６、０．１６１９７７、−０．９４７５２７、０．７
９５６１５、０．２６６００７、−０．８５８４８１、
０．４７３９７８、…のように出力される。なお、ここ
では、ω_nを小数点以下６桁まで示した。

【０１５４】この実数値系列ω_nをもとに、各閾値処理
部では、ｔ₀＝−０．５、ｔ₁＝−０．２、ｔ₂＝０、
ｔ₃＝０．２、ｔ₄＝０．５を夫々閾値とする２値化処
理を行う。例えば、ω₀＝０．３０００００に対して、
Θ_-0.5（ω₀）＝１、Θ_-0.2（ω₀）＝１、Θ
₀（ω₀）＝１、Θ_0.2（ω₀）＝１、Θ_0.5（ω₀）
＝０が夫々得られる。

【０１５５】このようにして図５のように、閾値ｔ₀＝
−０．５の与えられた閾値処理部からは２値系列Θ_-0.5
（ω_n）＝（１，０，１，０，１，０，１，１，０，
１，…）が生成され、閾値ｔ₁＝−０．２、ｔ₂＝０、
ｔ₃＝０．２、ｔ₄＝０．５が夫々与えられた他の閾値
処理部からは、Θ_-0.2（ω_n）＝（１，０，１，０，
１，０，１，１，０，１，…）、Θ₀（ω_n）＝（１，
０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）、Θ
_0.2（ω_n）＝（０，０，０，０，０，０，１，０，
０，０，…）、Θ_0.5（ω_n）＝（０，０，０，０，
０，０，１，０，０，０，…）が生成される。

【０１５６】ビット生成部３０の非線形結合処理部３４
では、５つの２値系列Θ_-0.5（ω_n）、Θ
_-0.2（ω_n）、Θ₀（ω_n）、Θ_0.2（ω_n）、Θ_0.5
（ω_n）の排他的論理和が演算される。例えば、ω₀＝
０．３０００００に対して、その５つの２値化データ、
１、１、１、１、０から、Ｃ_T（ω₀）＝０が得られ
る。

【０１５７】このようにして、カオス２値系列Ｃ_T（ω
_n）＝鍵系列^→Ｒ_→Ｋ＝（０，０，０，０，１，０，
１，０，０，０，…）が得られる。

【０１５８】図６は、もう１つの具体例で、非線形写像
として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることと
し、第１の共通鍵により初期値ω₀＝０．３とパラメー
タｋ＝２、第２の共通鍵Ｔにより閾値ｔ₀＝−０．８、
ｔ₁＝−０．７、ｔ₂＝−０．１、ｔ₃＝０、ｔ₄＝
０．１、ｔ₅＝−０．７、ｔ₆＝−０．８が与えられた
場合の例であり、鍵系列^→Ｒ_→Ｋ＝（１，０，１，１，
１，０，０，１，０，１，…）が得られる。

【０１５９】なお、上記の実数値生成処理、閾値処理お
よび非線形結合処理は、パイプライン的に処理して、高
速化することが可能である。また、通常のストリーム暗
号処理はビット単位で行なわれるが、高速並列処理のた
めにブロック単位の暗号処理を行なう場合には、非線形
結合処理部３４のところで直並列変換を行なっても良
い。

【０１６０】また、必要な閾値処理部の数は、与えられ
る第２の共通鍵の数（すなわち、閾値の数）に応じて変
化し得るが、プログラムをコンピュータにインストール
しＣＰＵ上で実行することで本構成を実現すれば、閾値
処理部の数の変化には容易に対応することができる。

【０１６１】（２）Θ系列図７は、Θ系列によるカオス２値系列生成部の構成例で
ある。すなわち、図４の構成において、閾値関数を１つ
だけ用いるようにしたものである。

【０１６２】カオス２値系列生成部は、カオス生成部１
２０とビット生成部１３０を有する。

【０１６３】カオス生成部１２０は、与えられた第１の
共通鍵と所定の非線形写像（１２１）から、実数値系列
を生成するものであり、図４のカオス生成部２０と同様
の構成である。

【０１６４】ビット生成部１３０は、閾値関数Θ_t（ω
_n）による閾値処理部１３１を有し、この場合、非線形
結合処理は不要となる。閾値処理部１３１では、生成さ
れた実数値系列の各実数値について、第２の鍵により示
される値を閾値ｔとして２値化データΘ_t（ω_n）を求
める。

【０１６５】例えば、既に説明したＣ系列のように非線
形写像として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いる
こととし、第１の共通鍵により初期値ω₀＝０．３とパ
ラメータｋ＝２、第２の共通鍵Ｔにより閾値ｔ＝０が与
えられたとする。この場合、Θ₀（ω_n）＝（１，０，
１，０，１，０，１，１，０，１，…）が生成される
（図５参照）。

【０１６６】（３）Ｂ系列Ｂ系列は、前述したようにＣ系列を表す式（１０）およ
び式（１１）において、Ｍ＝２^i-1、かつ、ｔ_r＝（ｅ
−ｄ）ｒ／２ⁱ＋ｄで表現できる。従って、Ｂ系列は、
Ｃ系列による図４の構成を用いて得ることができる。

【０１６７】例えば、先のＣ系列と同様に、非線形写像
として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることと
し、第１の共通鍵により初期値ω₀＝０．３とパラメー
タｋ＝２が与えられたとする。また、第２の共通鍵ｉに
よりビット位置ｉ＝３（ビット目）が与えられたとす
る。

【０１６８】この場合は、ｄ＝−１、ｅ＝１、ｉ＝３で
あるので、式（１０）および式（１１）において、閾値
の集合Ｔ＝｛−０．７５，−０．５，−０．２５，０，
０．２５，０．５，０．７５｝とした場合に該当する。

【０１６９】従って、これら閾値を図４の構成において
用いることにより、図８に示すように、Ｂ₃（ω_n）＝
（１，０，１，０，０，０，１，１，０，１，…）を得
ることができる。

【０１７０】また、例えばｉ＝１、ｉ＝２とした場合
は、それぞれ、閾値の集合Ｔ＝｛０｝、Ｔ＝｛−０．
５、０、０．５｝とした場合に該当し、Ｂ₁（ω_n）＝
（１，０，１，０，１，０，１，１，０，１，…）、Ｂ
₂（ω_n）＝（０，０，０，０，０，０，１，０，０，
０，…）が得られる。

【０１７１】ところで、Ｂ系列は、［ｄ，ｅ］区間の実
数値系列を［０，１］区間に正規化し、これを２進展開
した場合に、該実数値の第ｉ番目のビットを取り出して
得られる系列であるから、指示されたビット位置の値を
出力するビット選択器を使うことにより、構成を簡易化
することが可能である。

【０１７２】図９に、ビット選択器を用いた構成例を示
す。

【０１７３】カオス２値系列生成部は、カオス生成部２
２０とビット生成部２３０を有する。カオス生成部２２
１は、図４のカオス生成部２１と同様である。ビット生
成部２３０は、正規化処理部２３１とビット選択部２３
２を有する。

【０１７４】ビット生成部２３０では、まず、正規化処
理部２３１により、実数値系列の各実数値を所定の範囲
に正規化する。例えば、区間Ｉ＝［ｄ，ｅ］上で定義さ
れる任意の写像τ（・）に対しては、ω´＝（ω−ｄ）
／（ｅ−ｄ）により正規化を行なうと、ω´は区間Ｉ´
＝［０，１］の範囲の値となる。区間Ｉ＝［−１，１］
の場合、（ω＋１）／２の演算が行われる。

【０１７５】次に、ビット選択部２３２では、正規化処
理部２３１から与えられる実数値の２進表現における、
第２の共通鍵ｉにより示されるビット位置の値を選択す
る。

【０１７６】このようにして、鍵系列^→Ｒ_→ＫとしてＢ
_i（ω_n）が生成される。

【０１７７】上記具体例と同様に、非線形写像として式
（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１
の共通鍵により初期値ω₀＝０．３とパラメータｋ＝２
が与えられた場合に、第２の共通鍵ｉにより与えられた
ビット位置ｉが１〜５であるときにそれぞれ得られるカ
オスビット系列Ｂ₁（ω_n）、Ｂ₂（ω_n）、Ｂ₃（ω
_n）、Ｂ₄（ω_n）、Ｂ₅（ω_n）を図５に示す。

【０１７８】例えば、第２の共通鍵によりビット番号１
が与えられたとすると、実数値ω₀＝０．３０００００
を正規化した値（＝０．６５００００）の２進表現は
０．１０１００…であり、２値化データとして（小数第
１位の）１が得られ、実数値ω₁＝−０．８２００００
０を正規化した値（＝０．０９００００）の２進表現は
０．０００１０…であり、この結果、２値化データとし
て（小数第１位の）０が得られ、結局、鍵系列^→Ｒ_→Ｋ
としてＢ₁（ω_n）＝（１，０，１，０，１，０，１，
１，０，１，…）が生成される。同様に、第２の共通鍵
によりビット番号５が与えられたとすると、鍵系列^→Ｒ
_→ＫとしてＢ₅（ω_n）＝（０，０，１，１，０，０，
０，０，０，１，…）が生成される。

【０１７９】（４）Ａ系列Ａ系列は前述したように式（１２）および式（１３）で
表され、これはＣ系列を表す式（１０）および式（１
１）に閾値の集合Ｔの要素数を偶数とする変形を施した
ものに該当する。従って、Ａ系列は、Ｃ系列による図４
の構成にて閾値処理部の数を偶数とすることにより得る
ことができる。

【０１８０】例えば、先のＣ系列と同様に、非線形写像
として式（８）で示すチェビシェフ写像を用いることと
し、第１の共通鍵により初期値ω₀＝０．３とパラメー
タｋ＝２が与えられたとする。また、第２の共通鍵ｉに
よりビット位置ｉ＝２（ビット目）が与えられたとす
る。

【０１８１】この場合は、式（１３）より、閾値の集合
Ｔ＝｛−１，−０．７５，−０．５，−０．２５，０．
２５，０．５，０．７５，１｝とした場合に該当する。

【０１８２】従って、これら閾値を図４の構成において
用いることにより、図１１に示すように、Ａ₂（ω_n）
＝（１，１，１，１，０，１，１，１，１，１，…）を
得ることができる。

【０１８３】また、例えばｉ＝１とした場合は、閾値の
集合Ｔ＝｛−１，−０．５，０．５，１｝とした場合に
該当し、Ａ₁（ω_n）＝（０，１，０，１，０，１，
１，０，１，０，…）が得られる。

【０１８４】ところで、Ａ系列は、［−１，１］区間の
実数値系列の絶対値を取り、これを２進展開した場合
に、該実数値の第ｉ番目のビットを取り出して得られる
系列であるから、指示されたビット位置の値を出力する
ビット選択器を使うことにより、構成を簡易化すること
が可能である。

【０１８５】図１２に、ビット選択器を用いた構成例を
示す。

【０１８６】カオス２値系列生成部は、カオス生成部３
２０とビット生成部３３０を有する。カオス生成部３２
１は、図４のカオス生成部２０と同様である。ビット生
成部３３０は、絶対値処理部３３１とビット選択部３３
２を有する。

【０１８７】ビット生成部３３０では、まず、絶対値処
理部３３１により、実数値系列の各実数値について、そ
の絶対値を取る処理を行なう。

【０１８８】次に、ビット選択部３３２では、絶対値処
理部３３１から与えられる実数値の２進表現における、
第２の共通鍵ｉにより示されるビット位置の値を選択す
る。このようにして、鍵系列^→Ｒ_→ＫとしてＡ
_i（ω_n）が生成される。

【０１８９】上記具体例と同様に、範囲Ｉ＝［−１，
１］を持つ非線形写像として式（８）で示すチェビシェ
フ写像を用いることとし、第１の共通鍵により初期値ω
₀＝０．３とパラメータｋ＝２が与えられた場合に、第
２の共通鍵ｉにより与えられたビット位置ｉが１〜５で
あるときにそれぞれ得られるカオスビット系列Ａ₁（ω
_n）、Ｂ₂（ω_n）、Ｂ₃（ω_n）、Ｂ₄（ω_n）、Ｂ
₅（ω_n）を図１３に示す。

【０１９０】例えば、第２の共通鍵によりビット番号１
が与えられたとすると、実数値｜ω₀｜＝０．３０００
００の２進表現は０．０１００１…であり、２値化デー
タとして（小数第１位の）０が得られ、実数値｜ω₁｜
＝０．８２０００００の２進表現は０．１１０１０…で
あり、この結果、２値化データとして（小数第１位の）
１が得られ、結局、鍵系列^→Ｒ_→ＫとしてＡ₁（ω_n）
＝（０，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が
生成される。同様に、第２の共通鍵によりビット番号５
が与えられたとすると、鍵系列^→Ｒ_→ＫとしてＡ₅（ω
_n）＝（１，０，１，０，１，０，１，０，１，１，
…）が生成される。

【０１９１】以下では、カオス２値系列の統計的性質に
ついて述べる。最初に統計的性質の評価に用いる関数等
について説明し（文献２６）、次いでカオス２値系列の
平衡性、Ｉ．Ｉ．Ｄ．性、そして次ビット予測不可能性
について説明する。

【０１９２】まず、Ｇ（ω）およびＨ（ω）を任意の二
つの有界変動なＬ₁関数とし、二つの系列｛Ｇ
（ω_n）｝_n=0 ^∞および｛Ｈ（ω_n）｝_n=0 ^∞を考え
る。ある一つの初期値ω＝ω₀に対する、これら二つの
系列間の２次の相互相関関数の空間平均は、式（２１）
で定義される。ここで、ｌ＝０，１，２，…である。

【０１９３】

【数１５】

【０１９４】相互共分散関数の空間平均もまた、式（２
２）および式（２３）のように定義される。

【０１９５】

【数１６】

【０１９６】Ｇ＝Ｈのときは、これらはそれぞれ、自己
相関関数、自己共分散関数の空間平均を示す。

【０１９７】ここで、区間Ｉ＝［ｄ，ｅ］をもつ写像τ
に対するペロンフロベニウス（Ｐ−Ｆ）作用素Ｐ_τを導
入する。これは、式（２４）で定義される（文献２
１）。

【０１９８】

【数１７】

【０１９９】この作用素は、式（２５）にて表される重
要な性質をもつので、相関関数や共分散関数を評価する
際に非常に有効である。

【０２００】

【数１８】

【０２０１】カオス系列の平均値や相関関数等の統計量
を評価するのに、空間平均法が有効であることが知られ
ている。この空間平均法を幾つかのエルゴード写像に適
用すると、カオス２値系列が良い統計的性質をもつこと
が以下のように示される（文献２５）。

【０２０２】ここでは、以下の３つの性質を満たす区分
単調写像τ：［ｄ，ｅ］→［ｄ，ｅ］を考える。（ｉ）［ｄ，ｅ］の分割ｄ＝ｄ₀＜ｄ₁＜…＜ｄ_{N τ}＝
ｅがあり、各々の整数ｉ＝１，…，Ｎ_τ（Ｎ_τ≧２）に
対し、τ_i（１≦ｉ≦Ｎ_τ）で表される区間［ｄ_i-1，
ｄ_i）での関数はＣ²である。（ii）τ（（ｄ_i-1，ｄ_i））＝（ｄ，ｅ）、すなわ
ち、τ_iは“ｏｎｔｏ”である。（iii ）τは唯一のＡＣＩ測度ｆ^＊（ω）ｄωをもつ。

【０２０３】上記のような写像に対して、式（２６）が
成り立つ（文献２１）。ここで、ｇ_i（ω）＝τ
_i ^-1（ω）である。

【０２０４】

【数１９】

【０２０５】次に、Ｈ（ω）＝Θ_t（ω）ｆ^＊（ω）の
場合を考える。式（２７）の条件に対して、式（２８）
を得る。

【０２０６】

【数２０】

【０２０７】従って、ｉ＝ｍの場合のみを考えれば十分
であり、容易に、式（２９）を得ることができる。

【０２０８】

【数２１】

【０２０９】ゆえに、式（２７）の条件に対して、式
（３０）を得る。

【０２１０】

【数２２】

【０２１１】ここで、次の式（３１）で表される性質を
満たす上述の区分単調写像のクラスを考える。

【０２１２】

【数２３】

【０２１３】この性質は、均等分布と呼ばれる。このよ
うなクラスは、先に示したＲ進写像、テント写像、ロジ
スティック写像、およびｋ次のチェビシェフ写像（ただ
し、それぞれＮ_τ＝Ｒ，２，２，ｋ）等のような写像を
含むものである。こうして、次の興味深い補題が得られ
る。これは、カオス閾値およびビット系列の相関関数等
の統計量を評価する際に非常に有用である。

【０２１４】［補題１］式（３１）を満たす区分単調写
像から生成されるカオス閾値系列｛Θ_t（ω_n）｝_n=0
^∞に対して、式（３２）が成り立つ。

【０２１５】

【数２４】

【０２１６】ここで、ｓ（ω）はｓｉｇｎｕｍ関数で、
式（３３）で定義される。

【０２１７】

【数２５】

【０２１８】［証明］式（３１）を式（３０）に代入す
ると、式（２７）に対して、式（３４）が得られる。

【０２１９】

【数２６】

【０２２０】また、Ｐ_τの定義式（２４）から、式（３
５）が成り立つ。

【０２２１】

【数２７】

【０２２２】式（３４）の両辺を積分し、式（３５）を
用いると、式（３６）が得られ、式（３４）から、式
（３２）が得られる。τ´（ω）をτ（ω）の右微分係
数とする。

【０２２３】

【数２８】

【０２２４】性質（ii）から式（３７）、すなわち、式
（３８）が得られる。

【０２２５】

【数２９】

【０２２６】従って、式（３２）は、式（３９）を満た
す任意のｔに対して成り立つ。

【０２２７】

【数３０】

【０２２８】これで証明を終る。

【０２２９】上記の補題１より次の系を得る。

【０２３０】［系１］式（３１）を満たす区分単調写像
から生成される二つのカオス閾値系列｛Θ_t（ω_n）｝
_n=0 ^∞および｛Θ_{t ´}（ω_n）｝_n=0 ^∞の間の相互相関
関数の空間平均は、式（４０）のように評価される。

【０２３１】

【数３１】

【０２３２】ここで、式（４１）および式（４２）の通
りである。

【０２３３】

【数３２】

【０２３４】［証明］補題１から式（４３）が導かれ、
これより式（４０）を得る。

【０２３５】

【数３３】

【０２３６】次に、平衡性について説明する。

【０２３７】カオスビット系列｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞
の１の頻度の空間平均＜Ｃ_T＞_τは容易に次の式（４
４）および式（４５）で得られる。

【０２３８】

【数３４】

【０２３９】ここで、ｔ_τ＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ，ｒ＝０，１，…，２Ｍ（４６）であるような、区分［ｄ，ｅ］の分割ｄ＝ｔ₀＜ｔ₁＜
…＜ｔ_2M＝ｅを定義する。このような閾値の集合Ｔは対
称閾値集合と呼ばれる。また、対称閾値集合をもつカオ
スビット系列｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞は、カオス対称２
値系列と呼ばれる。なお、例１においてｔ₀＝（ｄ＋
ｅ）／２の場合のΘ_t0（ω）や、例２におけるＢ
_i（ω）は、いずれもカオス対称２値系列の例である。

【０２４０】次に、式（４７）で表される性質を満たす
写像に限定して考える。

【０２４１】

【数３５】

【０２４２】これは、不変測度の対称性と呼ばれる。こ
のような写像のクラスは、Ｒ進写像、テント写像、ロジ
スティック写像、およびチェビシェフ写像等の良く知ら
れた写像を含む。

【０２４３】なお、式（４７）の不変測度の対称性をも
つ写像より生成される対称２値系列｛Ｃ_T（ω_n）｝
_n=0 ^∞に対して、＜Ｃ_T＞_τ＝１／２（４８）で与えられる。

【０２４４】［証明］式（４７）の不変測度の対称性か
ら、Ｐ_τ（ｔ_r）＋Ｐ_τ（ｔ_2M-r）＝１，０≦ｒ≦２Ｍ（４９）が得られ、従って、Ｐ_τ（ｔ_M）＝１／２（５０）である。このようにして、式（５１）を得る。

【０２４５】

【数３６】

【０２４６】これで証明を終る。

【０２４７】次に、Ｉ．Ｉ．Ｄ．性について説明する。

【０２４８】^→Ｕ_m＝Ｕ₀Ｕ₁…Ｕ_m-1を任意のビット
ｍビットからなるビット列とする。ここで、Ｕ_m（０≦
ｎ≦ｍ−１）は｛０，１｝の確率変数である。従って、
２^m種類のビット列が存在する。次に、^→ｕ_m ^(r)＝ｕ
₀ ^(r)ｕ₁ ^(r)…ｕ_m-1 ^(r)を２進要素ｕ_n ^(r)を持
つ、ｒ番目のビット列とする。さらに、式（５２）を満
たす任意の２値関数に対し、次の式（５３）と式（５
４）で表される二つの２値確率変数を定義する。

【０２４９】

【数３７】

【０２５０】すると、無限長の２値系列｛Ｇ（ω_n）｝
_n=0 ^∞における事象^→ｕ_m ^(r)の確率は、式（５５）で
与えられる。

【０２５１】

【数３８】

【０２５２】ここで、式（３１）を満たし、かつ式（５
６）で表される写像の対称性も満たす区分単調写像のク
ラスを考える。

【０２５３】

【数３９】

【０２５４】このようなクラスには、テント写像、ロジ
スティック写像、および偶数次数ｋのチェビシェフ写像
が含まれる。τが単調でｏｎｔｏであることから、 τ（（ｄ＋ｅ）／２）＝ｄまたはｅ（５７）が成り立つ。

【０２５５】［補題２］式（３１）および式（５６）を
満たす区分単調写像より生成される対称２値系列｛Ｃ_T
（ω_n）｝_n=0 ^∞に対して、Ｐ_τ｛Ｃ_T（ω）ｆ^＊（ω）｝＝＜Ｃ_T＞_τｆ^＊（ω）（５８）が成り立つ。

【０２５６】［証明］式（５６）から明らかに τ（ｔ_r）＝τ（ｔ_2M-r）（５９）である。従って、式（６０）を得る。

【０２５７】

【数４０】

【０２５８】これで証明を終る。

【０２５９】このようにして、式（６１）が得られ、式
（２５）および式（５８）より次の定理を得る。

【０２６０】

【数４１】

【０２６１】［定理］３種類の対称性、すなわち、不変
測度の均等分布性（式（３１））および対称性（式（４
７））、さらに写像の対称性（式（５６））を有するエ
ルゴード写像より生成されるカオス対称２値系列｛Ｃ_T
（ω_n）｝_n=0 ^∞に対して、Ｐｒ（^→ｕ_m ^(r)；Ｃ_T）＝（＜Ｃ_T＞_τ）^s（１−＜Ｃ_T＞_τ）^m-s （６２）が成り立つ。ここで、ｓは^→ｕ_m ^(r)における１の数で
ある。

【０２６２】上記の定理は、ロジスティック写像や偶数
次のチェビシェフ写像のようなエルゴード写像のクラス
に対しては、｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞が、＜Ｃ_T＞_τの
ベルヌイ系列を実現するので、ｉ．ｉ．ｄ．の２値系列
であることを意味する。＜Ｃ_T＞_τ＝１／２のときは、
公平なベルヌイ系列、すなわち、Ｐｒ（^→ｕ_m ^(r)；Ｃ_T）＝１／２^m （任意のｒに対して）（６３）を満たすｍ次均等分布の２値確率変数が得られる。従っ
て、Ｃ_T（ω）が、２進写像に対するＲａｄｅｍａｃｈ
ｅｒ関数の一般化であると主張するのは妥当であろう。

【０２６３】［系２］式（３１）および式（５３）を満
たす区分単調写像を考える。二つの異なる対称閾値集合
をＴ＝｛ｔ_r｝_r=0 ^2MおよびＴ´＝｛ｔ´_r｝_r=0 ^2M'
で表すとする。ここで、ｄ＝ｔ₀＜ｔ₁＜…＜ｔ_2M＝ｅ（６４）ｄ＝ｔ´₀＜ｔ´₁＜…＜ｔ´_2M'＝ｅ（６５）ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ，ｒ＝０，１，…，２Ｍ（６６）ｔ´_r＋ｔ´_2M'-r＝ｄ＋ｅ，ｒ＝０，１，…，２Ｍ´ （６７）である。

【０２６４】このとき、相互相関関数の空間平均は、式
（６８）で与えられる。

【０２６５】

【数４２】

【０２６６】ここで、式（６９）〜式（７２）の通りで
ある。

【０２６７】

【数４３】

【０２６８】次に、次ビット予測不可能性について説明
する。

【０２６９】^→ｕ_m+1 ^（r1）および^→ｕ_m+1 ^(r0)をそれ
ぞれ周期ｍ＋１の事象^→ｕ_m ^(r)１および^→ｕ_m ^(r)０
を示すものとする。そこで、系列｛Ｇ（ω_n）｝_n=0 ^∞
において、事象^→ｕ_m ^(r)を観測した後の１および０の
条件付確率を考える。それぞれの条件付確率は、式（７
３）および式（７４）で与えられる。

【０２７０】

【数４４】

【０２７１】従って、一般にはこれらの同時確率を評価
しなければならない。しかしながら、系列が、上記定理
における対称２値系列｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞のように
ｉ．ｉ．ｄ．であるならば、その評価は必要でなく、直
ちに、Ｐｒ（１｜^→ｕ_m ^(r)；Ｇ）＝＜Ｇ＞_τ for all ｒ（７５）Ｐｒ（０｜^→ｕ_m ^(r)；Ｇ）＝１−＜Ｇ＞_τ （任意のｒに対して）（７６）を得る。さらに、そのような系列｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0
^∞が平衡系列、すなわち＜Ｃ_T＞_τ＝１／２であるなら
ば、Ｐｒ（１｜^→ｕ_m ^(r)；Ｇ）＝Ｐｒ（０｜^→ｕ_m ^(r)；Ｇ）＝１／２（任意のｒに対して）（７７）である。このことは、平衡対称２値系列｛Ｃ
_T（ω_n）｝_n=0 ^∞が予測不可能であることを意味す
る。

【０２７２】さて、系１に示したように、｛Θ
_t（ω_n）｝_n=0 ^∞は、良い自己／相互相関特性を持
つ。これらの秘密鍵の暗号学的安全性を議論するため
に、初期値ω₀から得られる系列｛Ｇ（ω_n）｝_n=0 ^∞
と初期値ω₀´から得られる系列｛Ｈ（ω_n´）｝_n=0
^∞に対する関数 ρ（ｌ，ω₀，ω₀´；Ｇ，Ｈ）＝Ｇ（ω_n）Ｈ（ω_n+l´），ｌ＝０，１，２，… （７８）を定義する。ｔ〜ｔ´の場合の相互相関関数の時間平均
ρ_N（ｌ，ω₀，ω₀；Θ_t，Θ_t'）は、例えばＮ＝６
４のときでも、自己相関関数の空間平均＜ρ（ｌ；
Θ_t，Θ_t）＞_τのデルタ関数的な性質のために、ｌ＝
０でのみピークを持つ。この場合の時間平均では、添字
はｍｏｄＮをとるものとする。さらに、ｔ〜ｔ´の場
合のρ_N（０，ω₀，ω₀；Θ_t，Θ_t'）が０になら
ず、また、関数ρ_N（０，ω₀，ω₀；Θ_t，Θ_t'）の
ｔおよびｔ´に関する微係数はそれ程大きくない。従っ
て、そのような状況においては、｛Θ_t（ω_n）｝_n=0
^∞の暗号解読のための統計量として、関数ρ_N（０，ω
₀，ω₀；Θ_t，Θ_t'）が用いられる。このことは、鍵
ｔが暗号学的に安全でなく、よって閾値ｔだけを秘密鍵
として用いる方法は好ましくないことを意味する。同様
に、ビット系列｛Ｂ_i（ω_n）｝_n=0 ^∞におけるビット
番号ｉも、異なったビット番号の数がそれ程多くないの
で、暗号学的に安全ではない。しかしながら、それでも
なお、ω₀やｋのような他の鍵が存在する。

【０２７３】ω₀を探索するために、時間平均ρ
_N（０，ω₀，ω₀´；Θ_t，Θ_t'）を用いた暗号解読
を考える。この探索においては、カオスの実数値軌道
｛ω_n｝_n=0 ^∞のＳＤＩＣ（鋭敏な初期値依存性）のた
めに、すべての可能なω₀´を調べるべきである。この
ことは、たとえ次数ｋが前もってわかっており、かつｔ
〜ｔ´であったとしても、ω₀の全探索が必要であるこ
とを意味する。従って、この手法は、ω₀の大きな鍵空
間のため、計算量的に実行不可能である。

【０２７４】次に、｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞の暗号解読
を考える。Ｔ〜Ｔ´の場合の相互相関関数の時間平均ρ
_N（０，ω₀，ω₀；Ｃ_T，Ｃ_T'）は、相互相関関数の
空間平均＜ρ（ｌ；Ｃ_T，Ｃ_T'）_τ＞のデルタ関数的な
性質のため、ｌ＝０にのみピークを持つ。ここで、Ｔ´
は、対称閾値集合（系２）である。さらに、Ｔ〜Ｔ´の
場合のρ_N（０，ω₀，ω₀；Ｃ_T，Ｃ_T'）は０になら
ず、また関数ρ_N（０，ω₀，ω₀；Ｃ_T，Ｃ_T'）の
｛ｔ_r｝および｛ｔ_r'｝に関する微係数はそれ程大きく
ない。従って、関数ρ_N（０，ω₀，ω₀；Ｃ_T，
Ｃ_T'）は｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0 ^∞の暗号解読用の統計量
として用いることが可能である。同様に、ω₀の探索に
おいて、時間平均ρ_N（０，ω₀，ω₀；Ｃ_T，Ｃ_T'）
が用いられる。しかしながら、ＳＤＩＣ性のために、す
べての可能なω₀´を調べなければならない。このこと
は、たとえｋが既知で、かつＴ〜Ｔ´であったとして
も、ω₀の全探索が必要であることを意味する。なお、
ＴがＭ個の異なった対称閾値を持っているので、Ｔ〜Ｔ
´である状況を得るためにも、事前の膨大な計算量が必
要である。

【０２７５】さて、このような鍵をさらに強くし、また
異なった秘密鍵の数を増やすために、対称閾値集合Ｔ_j＝｛ｔ_i（ｊ）｝_i=0 ^2M(j)，０≦ｊ≦ｍ−１（７９）を有するカオス対称２値系列｛Ｃ_Tj（ω_n）｝_n=0 ^∞の
法２の加算を用いることが出来る。例えば、正の整数ｄ
_i（１≦ｉ≦ｍ−１）に対し、次の式（８０）および式
（８１）を得る。

【０２７６】

【数４５】

【０２７７】このようにある一つのカオス実数値系列
｛ω_n｝_n=0 ^∞から得られる２値系列（Ｄ系列）｛Ｄ
_{→T ，→d}（ω_n）｝_n=0 ^∞もまた、ｉ．ｉ．ｄ．の２
値系列である。

【０２７８】このＤ系列に対しては、^→Ｔだけでなく、
^→ｄも秘密鍵として用いることが出来るので、｛Ｄ
_{→T ，→d}（ω_n）｝_n=0 ^∞の暗号解読は｛Ｃ
_T（ω_n）｝_n=0 ^∞のそれよりもさらに難しくなる。

【０２７９】さらに、統計的に独立に選ばれたＬ個の初
期値｛ω_0,s｝_s=1 ^LおよびＬ個の写像のパラメータ
｛Ｋ_s｝_s=1 ^Lに対して、式（８２）および式（８３）
を定義すると、やはりｉ．ｉ．ｄ．の２値系列（Ｅ系
列）｛Ｅ_→k（^→ω_n）｝_n=0 ^∞を得ることができる。

【０２８０】

【数４６】

【０２８１】｛Ｅ_→k（^→ω_n）｝_n=0 ^∞に対しては、
さらに秘密鍵となるパラメータが増え、暗号解読は上記
の｛Ｄ_{→T ，→d}（ω_n）｝_n=0 ^∞のそれよりもさらに
難しくなる。また、個々の初期値に対する軌道
｛ω_n,s｝_n=0 ^∞が、有限精度の計算機環境では周期に
陥ることは免れないが、｛Ｅ_→k（^→ω_n）｝_n=0 ^∞の
周期はそれよりも長くすることが可能となる。

【０２８２】以上のように、系列｛Ｃ_T（ω_n）｝_n=0
^∞は、柔軟な鍵系列生成器の設計を可能とするといえ
る。

【０２８３】以下では、図４等で説明したストリーム暗
号における鍵をさらに強くし、また異なった秘密鍵の数
を増やすために、図４等の構成を階層化した構成を持つ
実施形態について説明する。

【０２８４】（１）レベル１の階層構造（Ｄ系列；一つ
の初期値から生成される複数のＣ系列を組み合わせた系
列）図１４（ａ），（ｂ）に、Ｄ系列によるカオス２値系列
生成部の構成例を示す。図１４（ａ）のように、カオス
２値系列生成部は、カオス生成部４２０とビット生成部
４３０を有する。

【０２８５】カオス生成部４２０は、図４のカオス生成
部２０と同様の構成であり、与えられた第１の共通鍵と
所定の非線形写像（４２１）から、実数値系列を生成す
る。例えば、所定の非線形写像として、式（８）で示す
ようなチェビシェフ写像の差分方程式を用いる場合、第
１の共通鍵は、初期値ω₀とパラメータｋである。初期
値ω₀＝０．３、パラメータｋ＝２とした場合、実数値
系列ω_nは図５や図６に示されるようになる。

【０２８６】ビット生成部４３０は、図１４（ｂ）の構
成すなわち図４のビット生成部３０と同様の構成を持つ
Ｃ系列生成部（４３１，４３２，４３３）と、遅延部
（４３５，４３６）と、各Ｃ系列生成部（４３１，４３
２，４３３）から出力される複数のビットデータを非線
形結合する非線形結合処理部４３４を有する。非線形結
合処理は、例えば、全入力データの排他的論理和を取る
処理である。

【０２８７】各Ｃ系列生成部は、図４と同様に、第２の
鍵Ｔにより示される閾値Ｔ_j｛ｔ₀，ｔ₁，…，ｔ
_2M(j)｝により２値化データＣ_Ｔj（ω_n）を生成し、
出力する。

【０２８８】ここで、図１４（ａ）の構成では、Ｃ系列
生成部の前段に遅延部を挿入しており、各遅延部は鍵^→
ｄとして夫々与えられた遅延量ｄ_jだけ遅延させて実数
値を次段へ出力するので、各Ｃ系列生成部から非線形結
合処理部４３４へ与えられるそれぞれの２値化データを
異なるω_nに対するものとすることができる。

【０２８９】非線形結合処理部４３４では、全２値化デ
ータを入力し、所定の非線形結合処理、例えば排他的論
理和処理を行ない、Ｄ_{→T ，→d}（ω_n）が得られる。

【０２９０】ここで、具体例により、２値系列の生成に
ついて説明する。

【０２９１】例えば、ｍ＝２とし、非線形写像として式
（８）で示すチェビシェフ写像を用いることとし、第１
の共通鍵により初期値ω₀＝０．３とパラメータｋ＝２
が与えられ、第２の共通鍵により第１のＣ系列生成部に
は閾値ｔ₀＝−０．５、ｔ₁＝−０．２、ｔ₂＝０、ｔ
₃＝０．２、ｔ₄＝０．５が与えられ、第２のＣ系列生
成部には閾値ｔ₀＝−０．８、ｔ₁＝−０．７、ｔ₂＝
−０．１、ｔ₃＝０、ｔ₄＝０．１、ｔ₅＝−０．７、
ｔ₆＝−０．８が与えられたものとし、第２のＣ系列生
成部の前段の遅延部には第２の共通鍵により遅延量ｄ＝
１が与えられたものとする。

【０２９２】この場合、図１５に示すように、第１のＣ
系列生成部からは、Ｃ_Ｔ0（ω_n）＝（０，０，０，
０，１，０，１，０，０，０，…）が得られ（図５参
照）、第２のＣ系列生成部からは、Ｃ_Ｔ1（ω_n-1）＝
（- ，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が得
られる（図６参照）。ただし、- は遅延のためにデータ
が存在しないことを示す（以下も同様である）。

【０２９３】そして、Ｃ_Ｔ1（ω_n）は、Ｃ
_Ｔ0（ω_n）に対して１単位分遅延して出力されるの
で、図１５に示すようにＣ_Ｔ0（ω_n）とＣ_Ｔ1（ω
_n-1）との排他的論理和により、Ｄ_{→T ，→d}（ω_n）
＝（- ，１，０，１，０，１，１，０，１，０，…）が
得られる。

【０２９４】そして、ここでは、最も遅延の大きいＣ系
列生成部（Ｃ_Ｔm-1）が最初の２値化データを出力する
までに他のＣ系列生成部が出力した２値化データは、使
用しないこととし、鍵系列としては、（１，０，１，
０，１，１，０，１，０，…）を使用することができ
る。

【０２９５】なお、図１４（ａ）のＣ系列生成部の代わ
りに、図７のビット生成部１３０、図９のビット生成部
２３０を用いることができる。また、図１２のビット生
成部３３０を用いても構わない。

【０２９６】（２）レベル２の階層構造（Ｅ系列；複数
の初期値から生成される複数のＤ系列を組み合わせた系
列）図１６（ａ），（ｂ）に、Ｄ系列によるカオス２値系列
生成部の構成例を示す。図１６（ａ）のように、カオス
２値系列生成部は、カオス生成部５２０とビット生成部
５３０を有する。

【０２９７】カオス生成部５２０は、図４のカオス生成
部２０と同様の構成をＬ系統有し、与えられた第１の共
通鍵と所定の非線形写像（５２１，５２２，５２３）か
らＬ系統の実数値系列を生成する。

【０２９８】ビット生成部５３０は、図１６（ｂ）の構
成すなわち図１４（ａ）のビット生成部４０と同様の構
成を持つＬ系統のＤ系列生成部（５３１，５３２，５３
３）と、各Ｄ系列生成部（５３１，５３２，５３３）か
ら出力される複数のビットデータを非線形結合する非線
形結合処理部５３４を有する。非線形結合処理は、例え
ば、全入力データの排他的論理和を取る処理である。

【０２９９】すなわち、本構成例では、Ｌ系統のＤ系列
によるカオス２値系列生成部を備え、それらの出力につ
いて排他的論理和等を取ったものである。

【０３００】ここで、具体例により、２値系列の生成に
ついて説明する。

【０３０１】例えば、系統数Ｌ＝３、いずれの系統につ
いても非線形写像として式（８）で示すチェビシェフ写
像を用いることとする。

【０３０２】この場合に、第１のＤ系列生成部におい
て、ｍ＝２、写像の初期値ω_0,1＝０．３、パラメータ
ｋ₁＝２、第１のＣ系列生成部の閾値｛−０．５，０，
０．５｝、第２のＣ系列生成部の閾値｛−０．８，−
０．７、−０．１，０，０．１，０．７，０．８｝、ｄ
＝｛１｝とすると、図１７に示すように、第１のＤ系列
生成部の出力である２値系列Ｄ
_{→T(1)，→d(1)}（ω_n,1）＝（- ，１，０，１，０，
１，１，０，１，０，１，１，０，０，…）が得られ
る。

【０３０３】また、第２のＤ系列生成部において、ｍ＝
３、写像の初期値ω_0,1＝０．４、パラメータｋ₁＝
４、第１のＣ系列生成部の閾値｛−０．８５，０，０．
８５｝、第２のＣ系列生成部の閾値｛−０．９，−０．
３、０，０．３，０．９｝、第３のＣ系列生成部の閾値
｛−０．４，−０．２、−０．１、０，０．１，０．
２，０．４｝、ｄ＝｛１，２｝とすると、図１８に示す
ように、２値系列Ｄ_→T(2) _，→d(2)（ω_n,2）＝（- ，
- ，- ，０，１，１，０，０，１，０，１，０，０，
０，…）が得られる。

【０３０４】また、第３のＤ系列生成部において、ｍ＝
４、写像の初期値ω_0,1＝０．６、パラメータｋ₁＝
６、第１のＣ系列生成部の閾値｛−０．７５，０，０．
７５｝、第２のＣ系列生成部の閾値｛−０．６，−０．
５、０，０．５，０．６｝、第３のＣ系列生成部の閾値
｛−０．４５−０．３５、−０．１５、０，０．１５，
０．３５，０．４５｝、第４のＣ系列生成部の閾値｛−
０．９５，−０．６５，−０．５５、−０．２５、０，
０．２５，０．５５，０．６５，０．９５｝、ｄ＝
｛１，２，１｝とすると、図１９に示すように、２値系
列Ｄ_{→T(3)，→d(2)}（ω_n,3）＝（- ，- ，- ，- ，
０，１，１，１，１，０，０，０，１，１，…）が得ら
れる。

【０３０５】従って、非線形結合処理部５３４からは、
図２０のように、Ｅ_→k＝｛- ，-，- ，- ，１，１，
０，１，１，０，０，１，１，１，…｝が出力される。

【０３０６】なお、ここでも、最も遅延の大きいＣ系列
生成部が最初の２値化データを出力するまでに他のＣ系
列生成部が出力した２値化データは、使用しないことと
し、鍵系列としては、（１，１，０，１，１，０，０，
１，１，１，…）を使用することができる。

【０３０７】なお、図１６（ｂ）のＣ系列生成部の代わ
りに、図７のビット生成部１３０、図９のビット生成部
２３０を用いることができる。また、図１２のビット生
成部３３０を用いても構わない。

【０３０８】最後に、図２１にＮビットの系列の生成に
要する計算時間を、図２２にＮビットの平文の暗号化ま
たは復号化に要する計算時間を示す。ここでは、ＡＮＳ
ＩＣで書かれたプログラムをＳｕｎのワークステーショ
ンＳＳ４／５を用いて実行したものである。各図中にお
いて、Ｄ系列１はＣ系列（Ｍ＝３）を２つ組合せたもの
であり、Ｄ系列２はＣ系列（Ｍ＝１５）を２つ組合せた
ものであり、Ｅ系列１はＤ系列１を２つ組合せたもので
あり、Ｅ系列２はＤ系列２を２つ組合せたものである。
また、図２２には、比較のために従来のＤＥＳ方式およ
びＦＥＡＬ方式における計算時間を示している。なお、
各図中の数値の単位は秒である。

【０３０９】Ｃ系列、Θ系列、Ｂ系列およびＡ系列、な
らびに階層レベル１のＤ系列のいずれも、従来のＤＥＳ
方式およびＦＥＡＬ方式に比較して、かなり高速に得ら
れることが分かる。また、Ｅ系列も、Ｍ＝１５のＣ系列
を２つ組合せたＤ系列をさらに２つ組合せた程度まで
は、従来のＤＥＳ方式およびＦＥＡＬ方式と同等以上の
計算速度を得ることができる。

【０３１０】このように本暗号システムでは、処理の高
速性の点でも優れている。

【０３１１】以下、本暗号システムの持つ特性・特徴の
いくつかを示す。

【０３１２】カオス２値系列は、以下の点において、性
質の良い２値擬似乱数生成器として有望である。すなわ
ち、この２値擬似乱数生成器は、２進写像に対するＲａ
ｄｅｍａｃｈｅｒ関数の一般化である。

【０３１３】１）短いビット長の暗号学的に安全な鍵を
多く有する。

【０３１４】２）多種類の予測不可能なi.i.d.の平衡２
値系列を同時に生成することが容易である。

【０３１５】３）これらの予測不可能な系列の周期は、
ほとんどの初期値に対して十分長い。

【０３１６】特に、Ｃ系列において、非線形写像として
不変測度の均等性分布性、不変測度の対称性および写像
の対称性を持つものを用い、閾値集合として対称閾値集
合を用いた場合、２値系列として理想乱数を得ることが
できる。

【０３１７】本ストリーム暗号システムの暗号学的安全
性は、従来のブロック暗号システムより優れていると考
えられる。

【０３１８】また、図２１で示されるように、このスト
リーム暗号方式での暗号化は、ブロック暗号方式のそれ
よりも速く実行される。従って、このストリーム暗号方
式は、浮動小数点マイクロプロセッサで容易に実現可能
である。

【０３１９】さらに、このような暗号システムは、浮動
小数点演算の可能な汎用のプログラミング言語ＡＮＳＩ
Ｃ等を用いることで容易に実行できるとともに、通信
システムの送受信側で、同一の浮動小数点環境、例えば
ＩＥＥＥ規格７５４を用いれば、実数値軌道の再現性を
容易に保証することができる。

【０３２０】このように、カオス２値系列は、ストリー
ム暗号システムにおける鍵系列として、優れた特性・特
徴を有するものである。

【０３２１】なお、このようなストリーム暗号システム
の秘密鍵を更新し、受信側へ配送するための幾つかの暗
号技術の利用も容易に可能である。

【０３２２】ところで、以上の実施形態では、ストリー
ム暗号における鍵系列を生成するカオス２値系列生成部
として乱数発生器を説明したが、この乱数発生器は種々
のシステムに利用することが可能である。特に、前述し
たように、式（４６）の対称閾値集合を用い、３種類の
対称性、すなわち、不変測度の均等分布性（式（３
１））および対称性（式（４７））、さらに写像の対称
性（式（５６））を有するエルゴード写像により、２値
系列を生成すれば、理想乱数を得ることができるので、
良い乱数生成器として種々の目的に利用することができ
る。

【０３２３】なお、ストリーム暗号システムに用いる場
合、写像のパラメータや初期値、２値化処理における閾
値などは共通鍵として与えられるが、通常の乱数生成器
として用いる場合、それらの値は適宜与えれば良い。

【０３２４】以下に、本明細書にて示した参考文献の詳
細を列挙する。

【０３２５】［文献１］ Ross Anderson, Fast Softwar
e Encryption, Lecture Notes in Computer Science, N
o.809, Springer-Verlag,1994. ［文献２］ C.E.Shannon, “Communication Theory of
Secrecy Systems ”,Bell Syst.Tech.J., 28, 656-715,
1945. ［文献３］ H.J.Beker F.C.Piper, “Communications s
ecurity A survey ofcryptography, IEE Proc., 129, P
t.A, No.6, 357-376, 1982. ［文献４］ D.E.R.Denning, Cryptography and Data Se
curity, Addison-Wesley.Publishing, 1982. ［文献５］ James L.Massey,“An Introduction to Con
temporary Cryptology”, Proc.IEEE, 76-5, pp.533-54
9, 1988. ［文献６］ K.Zeng, C.H.Yang, D.Y.Wei, and T.R.N.Ra
o,“Pseudorandom BitGenerators in Stream-Cipher Cr
yptography ”, IEEE Computer, -2, 8-17, 1991. ［文献７］ H.Niederreiter,“Quasi-Monte Carlo meth
ods and pseudo-random numbers,”Bull.Am.Math.Soc.,
84, 957-1041 1978. ［文献８］ D.Knuth, The art of Computer Programmin
g, Vol.2 Seminumerical Algorithms, 2nd ed.(Addison
-Wesley, Reading, Mass., 1981). ［文献９］ A.Yao, “Theory and applications of tra
pdoor functions ”,Proc．the 23th Annual Sympo.Fou
ndations of Computer Science, 80-91, 1982. ［文献10］ M.Blum and S.Micali, “How to generate
cryptographically strong sequences of pseudo-rando
m bits”, SIAM J.Comput., 13, 850-864, 1984. ［文献11］ L.Blum, M.Blum and M.Shub, “A simple u
npredictable pseudo-random number generator ”, SI
AM J.Comput., 15, 364-383, 1984. ［文献12］ L.Levin“One-way functions and pseudora
ndom generators ”.Proc.the 17th Annual ACM Sympo.
on Theory of Computing, 363-365, 1985. ［文献13］ O.Goldreich, S.Goldwasser, and S.Mical
i, “How to constructrandom functions ”, J.ACM, 3
3, 792-807, 1986. ［文献14］ M.Kac, Statistical Independence in Prob
ability, Analysis and Number Theory, The Carus Mat
hematical Monographs, No.12, The Mathematical Asso
ciation of America, 1959. ［文献15］ P.Billingsley, Probability and Measure.
John Wiley & Sons,1995. ［文献16］ C.M.Goldie and R.G.E.Pinch, Communicati
on Theory, London Mathematical Soc. Student Texts,
20, Cambridge Univ. Press,1991. ［文献17］ S.L.Ulam and J. von Neumann, “On combi
nation of stochasticand deterministic processes”,
Bull. Math. Soc.,53,p.1120,1947. ［文献18］ R.L.Adler and T.J.Rivlin, “Ergodic an
d mixing propertiesof Chebyshev polynominals ”,Pr
oc.Amer.Math.Soc.,15,pp.794-796,1947. ［文献19］ T.J.Rivlin, Chebyshev polynomials- From
Approximation Theory to Algebra and Number Theor
y, A Wiley-Interscience Publication,(1990). ［文献20］ Jackson, E.Atlee, Perspective nonlinear
dynamics, CambridgeUniv. Press,1989. ［文献21］ A.Lasota and M.C.Mackey, Chaos, Fractal
s, and Noise, Springer-Verlag,1994. ［文献22］ D.S.Ornstein,“Ergodic Theory, Randomne
ss. and “Chaos ”,”Science 243, pp.182-186, 198
9. ［文献23］ A.McGrail, “Randomness Properties of T
wo Chaotic Mappings”, Cryptography and Coding II
I, edited by M.J.Ganley,Clarendon Press, Oxford, p
p.265-295,1993. ［文献24］ A.Boyarsky and M.Scarowsky,“On A Class
of TransformationsWhich Have Unique Absolutely Co
ntinuous Invariant Measures”, Tran. Am.Math. Soc.
vol.255, pp.243-262,1979. ［文献25］ T.Kohda and A.Tsuneda, “Explicit Evalu
ation of CorrelationFunctions of Chebyshev Binary
and Bit Sequences Based on Perron-Frobenius Operat
or,”IEICE Trans.on Fundamentals of Electronics, C
ommunicationsand Computer Sciences, E77-A, 1794-18
00, 1994. ［文献26］ T.Kohda and A.Tsuneda, “Statistics of
Chaotic Binary Sequences”, submitted to IEEE Tran
s.Information Theory, 1995. 本発明は、上述した実施の形態に限定されるものではな
く、その技術的範囲において種々変形して実施すること
ができる。

【０３２６】

【発明の効果】本発明によれば、非線形写像に従いカオ
ス軌道に沿った実数値系列を生成し、これをもとに、ス
トリーム暗号の鍵系列として用いるカオス２値系列を生
成することにより、暗号学的安全性に非常に優れたスト
リーム暗号システムを得ることができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施形態に係る暗号システムの基本
構成を示す図

【図２】送信側装置における処理の流れの一例を示すフ
ローチャート

【図３】受信側装置における処理の流れの一例を示すフ
ローチャート

【図４】カオス２値系列生成部の構成例を示す図

【図５】実数値系列の生成と２値化処理を説明するため
の図

【図６】実数値系列の生成と２値化処理を説明するため
の図

【図７】カオス２値系列生成部の構成例を示す図

【図８】実数値系列の生成と２値化処理を説明するため
の図

【図９】カオス２値系列生成部の構成例を示す図

【図１０】実数値系列の生成とビット選択処理を説明す
るための図

【図１１】実数値系列の生成と２値化処理を説明するた
めの図

【図１２】カオス２値系列生成部の構成例を示す図

【図１３】実数値系列の生成とビット選択処理を説明す
るための図

【図１４】レベル１の階層構造を持つカオス２値系列生
成部の構成例を示す図

【図１５】レベル１の階層構造を持つカオス２値系列生
成部による２値系列生成処理を説明するための図

【図１６】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生
成部の構成例を示す図

【図１７】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生
成部による２値系列生成処理を説明するための図

【図１８】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生
成部による２値系列生成処理を説明するための図

【図１９】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生
成部による２値系列生成処理を説明するための図

【図２０】レベル２の階層構造を持つカオス２値系列生
成部による２値系列生成処理を説明するための図

【図２１】各方法による系列の生成に要する計算時間の
比較を示す図

【図２２】各方法による暗号化または復号化に要する計
算時間の比較を示す図

【符号の説明】

２₁，２₂…カオス２値系列生成部４₁，４₂…排他的論理和部２０，１２０，２２０，３２０，４２０，５２０…カオ
ス生成部３０，１３０，２３０，３３０，４３０，５３０…ビッ
ト生成部４３１，４３２，４３３，５３１１，５３１２，５３１
３…Ｃ系列生成部５３１，５３２，５３３…Ｄ系列生成部２１，１２１，２２１，３２１，４２１，５２１，５２
２，５２３…非線形写像３１〜３３，１３１，４３１１，４３１２，４３１３…
閾値処理部２３１…正規化処理部２３２，３３２…ビット選択部３３１…絶対値処理部３４，４３４，４３１４，５３４，５３１４…非線形結
合処理部４３５，４３６，５３１５，５３１６…遅延部

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】予め定められた所定の非線形写像に従い、
与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った
実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられ
た２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値とし
て２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成
し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た論理演算を行って乱数を生成することを特徴とする乱
数生成方法。
【請求項２】前記論理演算は排他的論理和演算であるこ
とを特徴とする請求項１に記載の乱数生成方法。
【請求項３】前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小
値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値
ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、
かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係が成立するこ
とを特徴とする請求項１または２に記載の乱数生成方
法。
【請求項４】前記非線形写像は、不変測度の均等分布
性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つもので
あることを特徴とする請求項１または２に記載の乱数生
成方法。
【請求項５】前記非線形写像として、不変測度の均等分
布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つもの
を用いるとともに、前記非線形写像の値の取り得る範囲
の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前
記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ
＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係を成立
させて、理想乱数を生成することを特徴とする請求項１
または２に記載の乱数生成方法。
【請求項６】予め定められた所定の非線形写像に従い、
与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った
実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられ
た２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値とし
て２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の２値系列を生成す
る２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た論理演算を行って乱数を生成する論理演算手段とを備
えたことを特徴とする乱数生成装置。
【請求項７】乱数を生成するためのプログラムであっ
て、予め定められた所定の非線形写像に従い、与えられた実
数値を初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を
生成させ、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、与えられ
た２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の値を夫々閾値とし
て２値化処理を施させて、２Ｍ＋１個の２値系列を生成
させ、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た論理演算を行って乱数を生成させるようにコンピュー
タを制御するためのプログラムを格納したコンピュータ
読取可能な記憶媒体。
【請求項８】予め定められた所定の非線形写像に従い、
与えられた実数値を初期値として、カオス軌道に沿った
実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列を、与えられたｍ種類（ｍは
１以上の整数）の遅延量に対応して順次遅延させ、遅延のない前記実数値系列および所定量遅延されたｍ個
の前記実数値系列の各々に対し、夫々所定の２値化処理
を施して、ｍ＋１個の２値系列を生成し、生成されたｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められた
論理演算を行って乱数を生成することを特徴とする乱数
生成方法。
【請求項９】請求項８に記載の乱数生成方法により複数
の乱数を夫々生成し、生成された複数の乱数をもとに予め定められた論理演算
を行って出力すべき乱数を生成することを特徴とする請
求項８に記載の乱数生成方法。
【請求項１０】予め定められた所定の非線形写像に従
い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系
列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成する２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理
演算手段と、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた
第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第
２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする暗号化装
置。
【請求項１１】前記第１の論理演算および前記第２の論
理演算はいずれも排他的論理和演算であることを特徴と
する請求項１０に記載の暗号化装置。
【請求項１２】前記非線形写像の値の取り得る範囲の最
小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾
値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋
ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係が成立す
ることを特徴とする請求項１０に記載の暗号化装置。
【請求項１３】前記非線形写像は、不変測度の均等分布
性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つもので
あることを特徴とする請求項１０に記載の暗号化装置。
【請求項１４】前記非線形写像として、不変測度の均等
分布性、不変測度の対称性および写像の対称性を持つも
のを用いるとともに、前記非線形写像の値の取り得る範
囲の最小値をｄ、最大値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の
前記閾値ｔ_r（ｒ＝０〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝
ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係を成
立させて、理想乱数からなる２値系列を生成することを
特徴とする請求項１０に記載の暗号化装置。
【請求項１５】不変測度の均等分布性、不変測度の対称
性および写像の対称性を持つ、予め定められた所定の非
線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を
初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成す
る実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成する２値化処理手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列の排他的論理和演算を
行って鍵系列を生成する第１の排他的論理和演算手段
と、平文の２値系列と前記鍵系列との排他的論理和演算を行
って暗号文の２値系列を生成する第２の排他的論理和演
算手段とを備え、前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大
値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０
〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠
ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係を成立させて、理想乱数か
らなる２値系列を生成することを特徴とする請求項１０
に記載の暗号化装置。
【請求項１６】前記非線形写像が所定数のパラメータを
持つものである場合、該パラメータのうちの少なくとも
１つを共通鍵として用いることを特徴とする請求項１０
ないし１５のいずれか１項に記載の暗号化装置。
【請求項１７】前記所定の非線形写像は、差分方程式ω
_n+1＝cos(ｋ cos^-1ω_n）で表されるチェビシェフ写像
（パラメータｋは２以上の実数）であり、前記第１の共通鍵は、前記チェビシェフ写像の初期値ω
₀（ここで−１＜ω₀＜１）およびパラメータｋを示す
情報であることを特徴とする請求項１０ないし１５のい
ずれか１項に記載の暗号化装置。
【請求項１８】前記パラメータｋの値は偶数値であるこ
とを特徴とする請求項１７に記載の暗号化装置。
【請求項１９】前記実数値系列生成手段は、所定の言語
で記述されたプログラムを浮動小数点演算装置を用いて
実行することにより前記非線形写像の値の系列を生成す
るものであることを特徴とする請求項１０ないし１５の
いずれか１項に記載の暗号化装置。
【請求項２０】予め定められた所定の非線形写像に従
い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系
列生成手段と、生成された前記実数値系列を、第２の共通鍵により示さ
れる１または複数種類の遅延量に対応して順次遅延出力
する遅延手段と、前記実数値系列生成手段から出力された実数値系列およ
び前記遅延手段により所定量遅延して出力された１また
は複数の実数値系列に対応して設けられ、対応する実数
値系列の各実数値に対し、対応する第３の共通鍵をもと
にした所定の２値化処理を施して２値系列を生成する、
複数の２値化処理手段と、生成された複数の２値系列をもとに予め定められた第１
の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理演算手
段と、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた
第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第
２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする暗号化装
置。
【請求項２１】前記実数値系列生成手段、前記遅延手
段、前記複数の２値化処理手段および前記第１の論理演
算手段を、複数系統備えるとともに、各系統における前記第１の論理演算手段から出力される
２値系列をもとに予め定められた第４の論理演算を行っ
て鍵系列を生成する第４の論理演算手段と、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた
第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成する第
２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする請求項２
０に記載の暗号化装置。
【請求項２２】前記複数の２値化処理手段の各々は、対
応する前記実数値系列の各実数値に対し、当該２値化処
理手段に対応する第３の共通鍵により示される複数の値
を夫々閾値として２値化処理を施して、複数の２値系列
を生成する２値化処理手段と、生成された複数の２値系
列をもとに予め定められた第３の論理演算を行って、前
記第１の論理演算手段に与える前記２値系列を生成する
第３の論理演算手段とを有することを特徴とする請求項
２０または２１に記載の暗号化装置。
【請求項２３】前記複数の２値化処理手段の各々は、当
該２値化処理手段に対応する第３の共通鍵により示され
る値を閾値として、対応する前記実数値系列の各実数値
を２値化するものであることを特徴とする請求項２０ま
たは２１に記載の暗号化装置。
【請求項２４】前記複数の２値化処理手段の各々は、対
応する前記実数値系列の各実数値について、該実数値を
所定の範囲に正規化してなる値の２進表現における、対
応する第３の共通鍵により示されるビット位置の値を選
択することにより、該実数値を２値化するものであるこ
とを特徴とする請求項２０または２１に記載の暗号化装
置。
【請求項２５】予め定められた所定の非線形写像に従
い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成する実数値系
列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成する２値系列生成手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た第１の論理演算を行って鍵系列を生成する第１の論理
演算手段と、暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められ
た第２の論理演算を行って平文の２値系列を生成する第
２の論理演算手段とを備えたことを特徴とする復号装
置。
【請求項２６】平文または暗号文の２値系列と所定の共
通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗
号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置ま
たはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵
系列生成装置において、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵
により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿
った実数値系列を生成する実数値系列生成手段と、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成する２値系列生成手段と、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た論理演算を行って鍵系列を生成する論理演算手段とを
備えたことを特徴とする鍵系列生成装置。
【請求項２７】予め定められた所定の非線形写像に従
い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た第１の論理演算を行って鍵系列を生成し、平文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められた
第２の論理演算を行って暗号文の２値系列を生成するこ
とを特徴とする暗号化方法。
【請求項２８】不変測度の均等分布性、不変測度の対称
性および写像の対称性を持つ、予め定められた所定の非
線形写像に従い、第１の共通鍵により示される実数値を
初期値として、カオス軌道に沿った実数値系列を生成
し、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列の排他的論理和演算を
行って鍵系列を生成し、平文の２値系列と前記鍵系列との排他的論理和演算を行
って暗号文の２値系列を生成し、前記非線形写像の値の取り得る範囲の最小値をｄ、最大
値をｅとした場合、２Ｍ＋１個の前記閾値ｔ_r（ｒ＝０
〜２Ｍ）の間に、ｔ_r＋ｔ_2M-r＝ｄ＋ｅ、かつ、ｔ_i≠
ｔ_j（ｉ≠ｊのとき）の関係を成立させて、理想乱数か
らなる２値系列を生成することを特徴とする暗号化方
法。
【請求項２９】予め定められた所定の非線形写像に従
い、第１の共通鍵により示される実数値を初期値とし
て、カオス軌道に沿った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た第１の論理演算を行って鍵系列を生成し、暗号文の２値系列と前記鍵系列とをもとに予め定められ
た第２の論理演算を行って平分の２値系列を生成するこ
とを特徴とする復号方法。
【請求項３０】平文または暗号文の２値系列と所定の共
通鍵をもとにして生成された鍵系列とを論理演算して暗
号文または元の平文を生成するストリーム暗号化装置ま
たはストリーム復号装置に使用する鍵系列生成装置の鍵
系列生成方法において、予め定められた所定の非線形写像に従い、第１の共通鍵
により示される実数値を初期値として、カオス軌道に沿
った実数値系列を生成し、生成された前記実数値系列の各実数値に対し、第２の共
通鍵により示される２Ｍ＋１個（Ｍは１以上の整数）の
値を夫々閾値として２値化処理を施して、２Ｍ＋１個の
２値系列を生成し、生成された２Ｍ＋１個の２値系列をもとに予め定められ
た論理演算を行って鍵系列を生成することを特徴とする
鍵系列生成方法。