JP2013524271A - カオス系列の発生器及び対応する発生システム - Google Patents

Abstract

この整数値のカオス系列の発生器（２）は、整数値の出力カオス系列を生成する少なくとも一次の少なくとも２個の個別の再帰フィルタ（４、６）を備え、排他的論理和ゲート（１２、１４）を介して整数値の摂動系列を生成するための手段に接続された非線形の関数を実行するための手段（８、１０）を備える各再帰フィルタ（４、６）は、前記２個のフィルタ（４、６）が並列に実装され、前記発生器（２）から出力されるカオス系列が、前記再帰フィルタ（４、６）から出力される前記カオス系列の排他的論理和（２０）に等しいと共に、前記非線形の関数を実行するための手段（８、１０）が、カオスマップを備えることによって特徴付けられる。

Description

本発明は、整数値のカオス系列を発生する発生器に関係する。

本発明は、更に、カオス系列を発生するためのシステム、暗号化システム、個別のカオス系列の軌道の長さ（orbit length）を測定するための方法、及びそれに対応するコンピュータプログラムに関係する。

更に詳しくは、本発明は、データ伝送網における、安全なデータの共有、伝送、及び保存の分野に関係する。

通常の通信チャンネル（ケーブル、インターネット、移動無線、衛星、・・・）を使用するオープン環境における機密データ（会社文書、医療情報、研究結果、写真及びビデオタイプの個人的なデータ等）の転送は、最高の安全性を伴って、十分な転送速度で実行されなければならない。この目的に対して、カオス信号に基づく暗号システムは、前述の目的を達成するのに十分である。あらゆるカオスに基づく暗号システムの決定要素（determinant factor）は、秘密鍵の発生のために使用されると共に、置換及び順列操作においてデータの暗号化／解読手続きのために使用されるカオス系列の発生器である。データの秘密保持は、特に、使用されるカオス系列発生器によって発生された系列のカオス（chaos：無秩序）（すなわちランダム性）の程度に依存する。

しかしながら、カオス信号は、かなり小さな有限の長さのサイクル（cycle）におけるそれらの周期性のために、最先端の暗号化システムにおける幅広い利用性を与えられていない。

“Safwan El Assad”等による、“Advances in Electrical and Electronics Engineering IAENG Special Edition of the World Congress on Engineering and Computer Sciences 2008,Vol. 1”の３〜１２頁における、“Design and Analyses of Efficient Chaotic Generators for Crypto-Systems”という文献には、整数値のカオス系列の発生器は、特に、データ暗号化キー（data encryption key）を形成することを目的とし、前記発生器は、整数値の出力カオス系列を発生する少なくとも１次の少なくとも２個の個別の再帰フィルタを備え、各再帰フィルタは、排他的論理和ゲートを介して摂動系列を発生するための手段に接続された非線形の関数を実行するための手段を備える、と説明されている。

"Safwan El Assad et al."、"Design and Analyses of Efficient Chaotic Generators for Crypto-Systems"、Advances in Electrical and Electronics Engineering IAENG Special Edition of the World Congress on Engineering and Computer Sciences 2008、Vol. 1、３〜１２頁 "O.E. Lanford III"等、"Informal Remarks on the Orbit Structure of Discrete Approximation to Chaotic Maps"、Experimental Mathematics, 1998, vol. 7, n 4, ３１７〜３２４頁

前述の文献では、２個の再帰フィルタは直列に実装され、結果として、それはカオス系列を発生するための演算時間が長くなる原因となる。

本発明の目的は、この問題を解決することである。

この目的に対して、本発明の対象は、ｎが決められた数の量子化ビットＮによって表される整数値を有する厳密に正の整数であり、特にデータ暗号化キー（data encrypting key）を形成することを意図しているカオス系列ｅ_ｕ（ｎ）の発生器であって、前記発生器が、整数値の出力カオス系列を発生する少なくとも１次の少なくとも２個の個別の再帰フィルタを備え、各再帰フィルタが、排他的論理和ゲートを介して、決められた数の量子化ビットｋによって表される整数値の摂動系列Ｑ（ｎ）を発生するための手段に接続された、非線形の関数Ｆを実行するための手段を備え、前記２個のフィルタが並列に実装され、前記発生器から出力されるカオス系列ｅ_ｕ（ｎ）が、前記再帰フィルタから出力される前記カオス系列の排他的論理和に等しいと共に、前記非線形の関数を実行するための手段が、カオスマップを備えることを特徴とする。

本発明の他の特徴によれば、前記カオス系列の発生器は、下記の特徴の内の１つ以上を備える。
・各フィルタにおける摂動系列を発生するための手段は、次数ｋの原始多項式を使用する最大長のフィードバックシフトレジスタを備える。
・各再帰フィルタの次数は、３次またはそれ以下である。
・前記非線形の関数を実行するための手段は、区分線形カオスマップＰＷＬＣＭを備える。
・各再帰フィルタｊ（ｊ＝１、２）から出力された前記系列ｅ_ｕｊ（ｎ）が、等式

によって与えられ、ここで、

であると共に、

であり、更に、
・Ｐは、その値が２^Ｎ−１より小さい制御パラメータであり、
・ｋ_ｕｊ（ｎ）は、前記再帰フィルタｊの入力系列であり、
・ｃ_ｊ１、ｃ_ｊ２、ｃ_ｊ３は、再帰フィルタｊの係数を表し、
・操作

は、Ｘに等しいかまたはＸより小さい最も大きな整数を計算することから成り、
・操作ｍｏｄ（Ｘ，２^Ｎ）は、Ｘのモジュロ２^Ｎを実行することから成る。
・前記非線形の関数を実行するための手段は、スキューテントタイプ（SKEW-Tent type）のマップを備える。

本発明は、更に、１４個の本発明によるカオス系列の発生器から成る少なくとも１個のアセンブリを含むカオス系列を発生するためのシステムに関係し、前記発生器は、それぞれ７個の発生器の２個のグループに分割され、前記システムは、・第１のグループの発生器の中からの第１の発生器出力の選択を可能にする第１のアナログマルチプレクサと、・第２のグループの発生器の中からの第２の発生器出力の選択を可能にする第２のアナログマルチプレクサと、・その周期が前記カオス系列の長さの関数であるクロックに接続されたフィードバックシフトレジスタを備えた、前記マルチプレクサを操作するための手段とを備え、前記２個のマルチプレクサの出力が、出力カオス系列を発生する排他的論理和ゲートに接続されることを特徴とする。

本発明の他の特徴によれば、前記カオス系列を発生するためのシステムは、下記の特徴の内の１つ以上を備える。
・前記システムは、それぞれが１４個のカオス系列の発生器を有する、並列に実装された２個のアセンブリを備え、前記発生システムの出力において発生されたカオス系列は、１４個の発生器から成る前記２個のアセンブリの出力において発生された前記カオス系列の排他的論理和に等しい。
・前記発生器の第１のアセンブリの前記フィードバックシフトレジスタの前記原始多項式は、前記発生器の第２のアセンブリの前記フィードバックシフトレジスタの前記原始多項式と異なる。
・前記システムは、前記システムによって発生された前記カオス系列のサンプルの決められた量を除去するための手段を備える。
・前記システムは、発生されたカオス系列を量子化するための手段を備える。

本発明は、更に、前記カオス系列を発生するためのシステムを備える暗号化システムであって、前記カオス系列を発生するためのシステムが、秘密鍵を発生するために使用されると共に、前記暗号化システムの暗号化／解読手続きにおいて使用されることを特徴とする。

本発明は、更に、サンプルの個別のカオス系列のトランジェント（transient：過渡）及びサイクル（cycle：循環）の形状を成している軌道（orbit）の長さを測定するための方法に関係し、前記軌道の前記長さが、前記系列の前記トランジェント及び前記サイクルの長さの和に等しく、前記方法が、・前記カオス系列の決められた数Ｎ_ｔのサンプルから成る最初のサブ系列を発生するステップと、・単に前記サブ系列がサイクルを全く含まないならば、全ての発生されたサブ系列の形状を成している全体的なサブ系列がサイクルを含むまで、前記カオス系列の決められた数Ｎ’_ｔのサンプルから成る次のサブ系列を反復して発生するステップと、・前記全体的なサブ系列の前記トランジェントの長さ及び前記サイクルの長さから、前記カオス系列の前記軌道の長さを計算するステップとを含むことを特徴とする。

本発明は、更に、本発明によるカオス系列発生器の個別の再帰フィルタの軌道の値を測定するための方法に関係し、前記方法が、前述の測定方法のステップを含むことを特徴とする。

最終的に、本発明は、コンピュータプログラムであって、このプログラムがコンピュータ上で実行される場合に、前記測定方法のステップを実施することを可能にするコード命令を含むコンピュータプログラムに関係する。

本発明によれば、従って、カオス系列発生器の２個の再帰フィルタの並列実装（parallel mounting）を提案することによって、上記の文献におけるカオス系列発生器の欠点を克服することができる。

更に、本発明のカオス系列を発生するためのシステムが複数のカオス系列の発生器を含むので、本発明は、恐らくは数世紀に達する非常に長い周期を有する個別のカオス信号の発生を可能にする。これは、そのような非反復的なカオス系列によって、非常に大きなサイズの暗号化キー（encrypting key）を発生することが可能であるので、データを安全化（securitizing）するために最も重要である。

更に、本発明によるカオス系列の軌道の長さを測定するための方法は、迅速かつ能率的に、あらゆるカオス系列の軌道の長さの正確な測定を可能にする。

更に正確で、しかし限定しない説明が、添付された図面を参照して、本発明の実施例に、これから与えられることになる。

本発明によるカオス系列の発生器の構造及び機能を例証する構成図である。 カオス系列の摂動（perturbation）の原理を例証する構成図である。 本発明によるカオス系列を発生するためのシステムの構造及び機能を例証する構成図である。 本発明によるカオス系列の軌道の長さを測定するための方法の機能を例証するフローチャートである。 ３次の再帰フィルタによって発生されたカオス系列の軌道の長さを測定するための方法の機能を例証するフローチャートである。

図１は、ｎが決められた数Ｎの量子化ビットによって表される整数値を有する厳密に正の整数である、カオス系列ｅ_ｕ（ｎ）を発生する発生器２を例証する。

発生されたカオス系列ｅ_ｕ（ｎ）は、特にデータ暗号化キーを形成することを意図していると共に、データの安全な共有、転送、及び保存のための置換及び順列操作の暗号化／解読手続きにおいて使用されることを意図している。

発生器２は、図１のように、少なくとも１次、そして好ましくは３次の少なくとも２個の個別の再帰フィルタ４及び６を備える。しかしながら、１次または２次の再帰フィルタ４及び６を使用することが可能である。

第１の再帰フィルタ４の出力は、整数値のカオス系列ｅ_ｕ１（ｎ）を発生する。

第２の再帰フィルタ６の出力は、整数値のカオス系列ｅ_ｕ２（ｎ）を発生する。

再帰フィルタ４、６は、それぞれ、排他的論理和ゲート１２、１４を介して、それぞれの摂動系列Ｑ（ｎ）を発生するための手段１６、１８に接続された、非線形の関数Ｆを実行するための手段８、１０を備える。

再帰フィルタ４、６内の摂動系列を発生するための手段１６、１８は、それぞれ、最大長線形フィードバックシフトレジスタ（Maximal-Length Linear Feedback Shift Register：ｍ−ＬＦＳＲ）１６、１８を備える。

摂動系列の役割は、更に詳細に、図２を参照して説明されることになる。

本発明によれば、発生器２から出力されるカオス系列ｅ_ｕ（ｎ）が再帰フィルタ４、６から出力されるカオス系列ｅ_ｕ１（ｎ）とカオス系列ｅ_ｕ２（ｎ）の排他的論理和２０に等しくなうように、２個の再帰フィルタ４及び６は並列に実装される。

２個の再帰フィルタ４、６は、それぞれ、接続されていない入力ｋ_ｕ１（ｎ）及びｋ_ｕ２（ｎ）を備える。

図１において例証される３次の各再帰フィルタ４、６に関して、フィルタ４、６の各々は、３個の遅延器２２、２４、２６及び３個の遅延器２８、３０、３２と、それぞれ、第１の再帰フィルタ４のための３個の利得乗数演算器ｃ_１１、ｃ_１２、ｃ_１３及び第２の再帰フィルタ６のための３個の利得乗数演算器ｃ_２１、ｃ_２２、ｃ_２３と、それぞれ、３個のモジュロ２^Ｎ加算器３４、３６、３８及び３個のモジュロ２^Ｎ加算器４０、４２、４４とを備える。

非線形の関数を実行するための手段８、１０は、ｘｌｏｇｘ関数、または、ｘｅｘｐ［ｃｏｓ（ｘ）］関数、或いは、さもなければチェビシェフマップ（Chebyshev map）、またはスキューテントマップ（SKEW-Tent map）、または区分線形カオスマップ（Piecewise Linear Chaotic Map：ＰＷＬＣＭ）を使用する回路を備える。

発明者によって行なわれたシミュレーションが示すのは、暗号解読（cryptanalysis）の有効性及び性能の単純性（simplicity）に関して最も良い結果を与えるのはＰＷＬＣＭマップであるということである。

図１において示されたＰＷＬＣＭマップを使用する実施例において、発生器２の出力ｅ_ｕ（ｎ）は、等式

を立証し、その中で、

として与えられ、ここで、

であると共に、

であり、更に、
・Ｐは、０＜Ｐ＜２^Ｎ−１を立証する制御パラメータであり、
・ｋ_ｕｊ（ｎ）は、再帰フィルタｊの入力系列であり、
・ｃ_ｊ１、ｃ_ｊ２、ｃ_ｊ３は、再帰フィルタｊの係数であり、
・操作

は、Ｘに等しいかまたはＸより小さい最も大きな整数を計算し（床関数（Floor function））、
・操作ｍｏｄ（Ｘ，２^Ｎ）は、Ｘのモジュロ２^Ｎを実行する（Ｘを２^Ｎで割って余りを求める）ことから成る。

発生器２は、非実数（non-real）で整数のカオス値を発生する。この場合、送信されてそして受信された値が、選ばれた数Ｎのみに依存し、使用される計算手段の精度に依存しないので、これは最も重要性がある。そうでなければ、秘密鍵は、送信時と受信時とで異なる解読が行われ得ると共に、秘密鍵システムの極限感度（extreme sensitivity）に対して注意を要し、そこには、送信時に発生される値と受信時に発生される値とが異なるという危険性が存在する。しかしながら、Ｘ（ｎ）≠２^Ｎ×ｘ（ｎ）であり、ここでｘ（ｎ）∈Ｒ｛０，１｝であり、更にＲ｛０，１｝が０と１との間の全ての実数を意味するので、離散化操作（discretizing operation）が、（離散化の前の）最初のカオスマップのカオス力学（chaotic dynamics）の性能を低下させる（degrade）ということに、注意が必要である。

並列の２個の再帰フィルタのカスケード技術は、１個のフィルタを使用する場合と比較して、サイクル（cycle：循環）の長さが増加することを可能にする。もしｌ_１が第１のフィルタ４のサイクルの長さを指定するために使用され、ｌ_２が第２のフィルタ６のサイクルの長さを指定するために使用される場合、その場合に、並列の２個の再帰フィルタから構成される発生器のサイクルの長さｌは、ｌ_１とｌ_２の最小公倍数（ｌｃｍ）であり、すなわち、

である。もしｌ_１とｌ_２の最大公約数（ｇｃｄ）が単位長、すなわちｇｃｄ（ｌ_１、ｌ_２）＝１であるならば、その場合に、ｌ＝ｌ_１×ｌ_２である。

更に、発生器２は、カオス力学（chaotic dynamics）の性能低下（degradation）の問題を解決することを可能にするばかりでなく、サイクルの長さをかなり増大させて最大の安全性を保証するカオス軌道（chaotic orbit）の摂動技術（perturbation technique）を統合する。

図２は、例えば１次の再帰フィルタ４７の一部であるＰＷＬＣＭ４６のマップのような標準のカオス発生器によって発生されたカオス系列の摂動の原理を例証する。

最大長フィードバックシフトレジスタ４８を用いて発生された摂動系列Ｑ（ｎ）は、発生器４６のカオス軌道（chaotic orbit）に摂動を与え、新しい軌道（orbit）にアクセスすることを可能にする役割を有している。

フィードバックシフトレジスタ４８は、発生された摂動系列Ｑ（ｎ）がｋビットで表されるように、次数ｋの原始多項式を使用する。

レジスタ４８は、良好な自己相関関数（good auto-correlation function）、略一様分布（near-uniform distribution）、最大長２^ｋ−１のサイクル、及び簡単なソフトウェア実装または簡単な実体的な実装（material implementation）によって特徴付けられる。下記の発生器４６の方程式を発端とすると、

ここで各値Ｘ（ｎ）は、Ｎビットによって表され、下記のように表される。

更に、レジスタ４８のクロックのΔを表示することによって、もしｍが整数でありｎ＝ｍ×Δであるならば、すなわち、ｎ＝０の場合とΔ毎の反復において、摂動が発生器４６によって発生されたカオス系列だけに適用される。レジスタ４８のクロックのΔは、従って、摂動なしの再帰フィルタ４７の最小のサイクルを表す。実際には、

ここで、Ｆ［ｘ_j,i（ｎ−１）］は、Ｆ［Ｘ_j（ｎ−１），Ｐ］の任意番目（-th）のビットを表し、Ｑ_ｉ（ｎ）は、

であると共に、ｎ＝０，１，２，・・・であり，［ｇ_０，ｇ_１，・・・，ｇ_ｋ−１］がシフトレジスタ４８の原始多項式の係数であり、［Ｑ_０，Ｑ_１，・・・，Ｑ_ｋ−１］がレジスタ４８の最初のゼロでない値（initial nonzero value）を表すような、摂動系列の任意番目（-th）のビットを表す。摂動系列が、Ｆ［Ｘ（ｎ−１）］の低い重みのビット（low weight bit）ｋに適用されることに留意すべきである。もしｍ＝０，１，２，・・・でｎ≠ｍ×Δであるならば、カオス系列の発生器の出力は摂動を与えられず、従って、Ｘ（ｎ）＝Ｆ［Ｘ（ｎ−１）］である。

摂動を与えられた再帰フィルタ４７の周期は、Ｌ＝σ×Δ×（２^ｋ−１）によって与えられ、ここでσは正の整数である。摂動を与えられた再帰フィルタ４７の最小の周期は、その場合に、Ｌ_ｍｉｎ＝Δ×（２^ｋ−１）である。

更に、フィードバックシフトレジスタ４８によって発生された摂動系列Ｑの振幅は、確かに、下記に示すように、発生器４６によって発生されたカオス系列の振幅より、２つの最大振幅の間の比率Ｒが４０ｄＢと等しいか、または４０ｄＢを上回っているように、小さい。

図３は、本発明によるカオス系列を発生するためのシステム１００の構造を例証する。

発生システム１００は、図１における発生器２と類似した２８個のカオス系列の発生器１０１〜１２８を備える。

２８個の発生器１０１〜１２８は、２個の発生器のアセンブリに分割されると共に、第１のアセンブリは１４個の発生器１０１〜１１４を備え、第２のアセンブリは１４個の発生器１１５〜１２８を備える。

１４個の発生器の各アセンブリは、７個の発生器の２個のグループを含み、それらの出力は、８対１のアナログマルチプレクサの入力に接続される。

従って、発生器１０１、１０３、１０５、１０７、１０９、１１１、及び１１３の出力は、マルチプレクサ１３０の入力に接続され、発生器１０２、１０４、１０６、１０８、１１０、１１２、及び１１４の出力は、マルチプレクサ１３２の入力に接続される。

発生器１１５、１１７、１１９、１２１、１２３、１２５、及び１２７の出力は、マルチプレクサ１３４の入力に接続され、発生器１１６、１１８、１２０、１２２、１２４、１２６、及び１２８の出力は、マルチプレクサ１３６の入力に接続される。

更に、マルチプレクサ１３０及び１３２の出力は、排他的論理和ゲート１３８に接続され、マルチプレクサ１３４及び１３６の出力は、排他的論理和ゲート１４０に接続され、２個の排他的論理和ゲート１３８及び１４０の出力は、排他的論理和ゲート１４２に接続される。

マルチプレクサ１３０、１３２、１３４、１３６は、クロックｃ_ｋ１４６に接続された３ステージフィードバックシフトレジスタ１４４を備えるマルチプレクサを操作するための手段に接続される。

レジスタ１４４の３個のステージにおけるビットの値は、Ｑ_２、Ｑ_１、Ｑ_０として示される。

更に、本発明の１つの特別な実施例によれば、カオス系列を発生するためのシステム１００は、システムによって発生されたカオス系列の決められた量のサンプル、例えばサンプルの割合（percentage）ｐ％を除去するための手段１４８を備える。

発生システム１００は、更に、好ましくは、発生されたカオス系列をＮ未満のビット数Ｎｑで量子化するための手段１５０を備える。

除去手段１４８と量子化手段１５０は、改善された安全性に帰着する、秘密鍵の大きさが増やされることを可能にする。

図３は２８個のカオス発生器を備える発生システム１００を例証するが、例証されなかった本発明の別の実施例では、図３におけるシステム１００の半分から成る発生器システムに対応するわずか１４個のカオス発生器が提案される。

図３における２８個の発生器１０１〜１２８にそれぞれ摂動を与えるためのフィードバックシフトレジスタの２８個の原始多項式Ｐ−Ｇ１〜Ｐ−Ｇ２８の式、及びマルチプレクサ１３０、１３２、１３４、及び１３６を操作するのに使用されるフィードバックシフトレジスタＦＳＲ１４４の原始多項式ｇの式は、下記のように示される。

カオス系列を発生するためのシステム１００の機能は、図３に関する記述の残りにおいて説明される。

まず、２８個の発生器１０１〜１２８、及びフィードバックシフトレジスタ１４４が、初期化される。

システム１００の異なる発生器及び異なるフィードバックシフトレジスタの全ての初期条件及びパラメータは、秘密鍵の大きさを形成する。

次に、その速度がクロックｃ_ｋ１４６によって決定される３ステージレジスタ１４４の各状態ｊ＝１、２、・・・７において、排他的論理和ゲート１４２の出力におけるカオス系列の長さは、下記式によって与えられる。

ここで、・ｌｃｍは、最小公倍数を表し、・Ｌ_{ｊｍｉｎ １}は、下記式で与えられる、排他的論理和ゲート１３８から出力されたカオス系列の長さを表す。

ここで、Δ_{ｋ（２ｊ−１）}及びΔ_ｋ２ｊは、それぞれ、１から７まで変動するｊを備えた下付き文字（２ｊ−１）＋１００及び２ｊ＋１００を有する（１４個の発生器１０１〜１１４で形成される第１のグループが提供する）、摂動なしの２個の選択された発生器の周期を表す。・Ｌ_{ｊｍｉｎ ２}は、下記式で与えられる、排他的論理和ゲート１４０から出力されたカオス系列の長さを表す。

ここで、Δ_{ｋ（１４＋２ｊ−１）}及びΔ_{ｋ（１４＋２ｊ）}は、それぞれ、１から７まで変動するｊを備えた下付き文字（１４＋２ｊ−１）＋１００及び（１４＋２ｊ）＋１００を有する（１４個の発生器１１５〜１２８で形成される第２のグループが提供する）、摂動なしの２個の選択された発生器の周期を表す。

３ステージレジスタ１４４のクロックｃ_ｋ１４６の周期は、下記式によって与えられる。

サンプル消去手段１４８の出力において生成されたカオス系列の最小長は、従って下記式によって与えられる。

これは、非常に長い長さである。

実際には、カオス系列の従来の摂動を与えられない発生器の名目上のサイクルの値Δ_ｎｏｍは、Ｎ＝３２の場合に、ほぼ下記式によって表される程度である。

“Experimental Mathematics, 1998, vol. 7, n 4, pp 317-324”の“O.E. Lanford III”等による“Informal Remarks on the Orbit Structure of Discrete Approximation to Chaotic Maps”という論文は、上記のΔ_ｎｏｍの値を与える。また、この値は、更に、本発明の軌道測定方法によって証明される。

（ＦＳＲレジスタ４８の最小の次数ｋ＝１６に対する）摂動を与えられた再帰フィルタ４７のサイクルの最小長は、その場合に下記式のようになる。

従って、カオス系列の長さは、母集団の寿命（age of the universe）がおよそ１０^１０年であり、途方もなく大きい、Ｌ_ｍｉｎ＝７×２^１２８サンプルによって与えられる。

前記カオス系列によって、実質的には、それぞれの大きさが３×１０２４×１０２４×３２ビットである、１０^３２個の異なる画像を暗号化することが可能である。

このカオス系列は、従って、“赤い電話のホットライン（red phone hot line）”のような極秘の通信チャンネルのための使い捨てにできるマスク（mask）として使用するのに理想的である。

更に、秘密鍵の大きさは、擬似ランダム信号の従来技術の発生器の鍵と比較すると、非常に大きくなる。それは、異なる発生器及び異なるフィードバックシフトレジスタの全ての初期条件及びパラメータの形状を成している。この理由によって、（徹底的な（exhaustive）、選ばれた平文、選ばれた暗号文に対する）異なるタイプの攻撃を実行することは、実際には不可能である。それぞれ摂動を与えられた発生器は、・６個の初期条件、すなわち６×Ｎビット、・６個のパラメータ、すなわち６×Ｎビット、・２個のｋ_ｕの入力、すなわち２×Ｎビット、から成るサブキー（sub-key）を有している。レジスタ１４４は、・最小Ｎ_１＝１６ビットに関する初期条件、及び・最小Ｎ_２＝６４ビットに関するΔ、から成るサブキーを有している。

更に、使用されるマルチプレクサ（４個の中から１個）を示すための２ビットと、そのあとに続く考慮中であるマルチプレクサの入力において使用される摂動を与えられた発生器（７個の中から１個）を伝えるための３ビットを含む５ビットが必要とされる。

３ビットが、マルチプレクサ１３０、１３２、１３４、１３６を操作するレジスタ１４４のための初期条件として、更に、必要とされる。

最終的に、ビットＮ_３の最小数である１２８ビットが、Ｌ_Ｃｋのために必要とされる。

図３における発生システム１００の秘密鍵の大きさは、従って下記式のようになる。

これは、非常に大きい。一例を示すと、１２８ビットの鍵に対する徹底的な（exhaustive）攻撃の複雑さは、正しい鍵を識別するためのおおよそ２^１２７回の試みまたは２^１２７個のあり得る鍵になる。コンピュータが１秒当たり１００万個の鍵を試みることができると仮定して、５×１０^２４年以上は、正しい鍵を発見するのに必要とされるであろう。

明らかに、所望のアプリケーションによって決まる秘密鍵の大きさは、上記よりも小さいかもしれない。

図４及び図５を参照して与えられた記述の残りは、本発明によるカオス系列の軌道の長さを測定するための方法の機能を説明する。

カオス系列の軌道は、トランジェント（transient：過渡）とサイクル（cycle：循環）である２個の部分の形状を成している。カオス軌道の長さは、“＝ｃ＋ｌ”と表示され、ここで、ｃはサイクルの長さであり、ｌはトランジェントの長さである。

いくらかの結果が、しかしながら使用された測定方法を示すことなく、この問題に関する文献において、そして乱数のシミュレーションに関する文献において与えられた。これらの研究は、とりわけ、異なる初期条件の数Ｎ_０に関して、異なるサイクルの平均の数が下記式のようになることを示す。

いくらかの初期条件は、効果的に、異なる新しいサイクルを発生しない。

図３において例証された発生システム１００は、その測定が不可能であるような長さのサイクルを発生する。摂動を与えられた再帰フィルタ１個の長さは、ほぼ下記式で示される程度である。

従って、それによって適当な期間内にカオス軌道を測定することが可能になる利用可能な方法を有することが必要である。

図４におけるフローチャートは、本発明によるカオス軌道の長さを測定するための方法の機能を例証する。

ステップ２００において、各異なる初期条件及び各パラメータ値に関して、カオス系列の決められた数Ｎ_ｔのサンプルから成る最初のサブ系列が発生される。

ステップ２０４において、発生されたサブ系列がサイクルを含むかどうかが検査される。ステップ２０６において、もし、発生されたサブ系列の軌道が、単にトランジェントで構成されているならば、発生処理は、ステップ２０８において継続され、ステップ２００において、カオス系列の決められた数Ｎ’_ｔのサンプルから成るあとに続くサブ系列が発生される。

獲得された全体のサブ系列が長さ２Ｎ_ｔであるように、好ましくはＮ’_ｔ＝Ｎ_ｔである。

ステップ２０４におけるサイクルの存在の検査は、その場合に、全体のサブ系列がステップ２１０においてサイクルを含むまで再度行われる。

従って、ある瞬間に、長さＮｇ＝Ｗ×Ｎ_ｔ（ここでＷは正の整数である）の全体的なサブ系列は、ゼロでない長さのトランジェント及びサイクルでできている。

ステップ２１２において、カオス系列の軌道の長さが、全体的なサブ系列のトランジェントの長さ及びサイクルの長さの和であるとして計算される。

図４における方法は、全ての初期条件及び全てのパラメータ値に関して繰り返される。

獲得された軌道の長さの統計的分析は、その場合に、考慮中のカオス発生器の名目上の軌道の値を設定するために使用される。

この方法は、Ｎ＝３２のＰＷＬＣＭマップに単独で適用されたと共に、摂動を与えられない場合に、Ｎ＝１１の図１における３次の再帰フィルタ４、６に適用された。

この選択によって、考慮中の２個の構成の間で比較分析を行うことが可能になる。

摂動を与えられない３次の再帰フィルタ４、６によって発生されたカオス系列の軌道の長さを測定する方法のステップ２１２が、図５を参照して更に詳細に説明される。

再帰フィルタ４、６が３個の遅延器を備えているので、このフィルタ４、６によって発生されたカオス系列の軌道の長さの測定は、最後に生成されたサンプル、すなわちサンプルＮｇの値を発端とする３個の連続する値の発生の探索を含む。

（大きさＮｇのサンプルのベクトル線における）発見された最初のサイクルのアドレスをＩｎｄ（１）、そして発見された最後のサイクルのアドレスをＩｎｄ（ｆ）と表すことによって、サイクルの長さが、ステップ２２０において、ｃ＝Ｎｇ−Ｉｎｄ（１）として計算される。

その場合に、ステップ２２２において、下記のｊ＝Ｉｎｄ（ｆ）−１及びｋ＝Ｎｇ−１の計算が実行される。

ステップ２２４において、アドレスｊ及びｋを有するサンプルの値の相等性（equality）に関して検査が実行される。

もしアドレスｊ及びｋを有するサンプルの値が等しいならば、その場合に、ステップ２２６において、ｊ及びｋの値が減らされ、すなわちｊ＝ｊ−１、及びｋ＝ｋ−１が計算される。

もしアドレスｊ及びｋを有するサンプルの値が異なるならば、その場合に、ステップ２２８において、トランジェントｌの値がｊと等しい、すなわちｌ＝ｊとして計算される。

軌道の長さは、その場合に、ｏ＝ｃ＋ｌである。

テーブル１は、初期条件の数Ｎ_０＝３４４８９に関する摂動を与えられていない再帰フィルタ４によって獲得された統計の結果を集約する。

テーブル２は、長さの区間ごとに獲得された軌道、サイクル、及びトランジェントの割合を与える。

軌道の７０パーセントが１０^４と１０^５との間の長さの範囲で発見されること、及び軌道の９２パーセントが１０^３と１０^５との間の長さの範囲にあることを、テーブル２が示すことは、注目に値する。

テーブル３、４、及び５は、サイクル、トランジェント、及び軌道の数、そしてそれらの対応する頻度を与える。

テーブル６は、同じ数の初期条件Ｎ_０＝３４４８９に関してＰＷＬＣＭマップによって獲得された統計の結果を集約する。

テーブル７は、長さの区間ごとに獲得された軌道、サイクル、及びトランジェントの割合を与える。

テーブル７において示されたように、軌道の８２パーセントが、１０^４と１０^５との間の長さの範囲で発見され、そして軌道の約９８パーセントが、１０^３と１０^６との間の長さ範囲で発見されることは、注目に値する。

テーブル８、９、及び１０は、サイクル、トランジェント、及び軌道の数、及びそれらの対応する頻度を与える。

従って、Ｎ＝３２ビットであるＰＷＬＣＭマップによって獲得された結果は、Ｎ＝１１であり３個の遅延器を有する再帰フィルタによって獲得された結果に非常に近い。再帰フィルタに関するＮ＝３２の場合の解析ルール

は、値

を使用して、実験結果から外挿する（extrapolation）ことによって推定され得る。従って、発生システム１００が提供するカオス系列の出力の最小長は、Ｌ_ｍｉｎ＞７×２^１２８サンプルである。この系列によって、それぞれが大きさ：３×１０２４×１０２４×３２ビットの約１０^３２個の異なる画像を暗号化することが可能である。

従って、上述の実験結果は、本発明のカオス発生器がデータセキュリティに関係する全てのアプリケーションに確信をもって使用され得ることを説明する。

２ 発生器
４、６ 再帰フィルタ
８、１０ 非線形の関数Ｆを実行するための手段
１２、１４ 排他的論理和ゲート
１６、１８ 最大長線形フィードバックシフトレジスタ
２０ 排他的論理和ゲート
２２、２４、２６、２８、３０、３２ 遅延器
ｃ_１１、ｃ_１２、ｃ_１３、ｃ_２１、ｃ_２２、ｃ_２３ 利得乗数演算器
３４、３６、３８、４０、４２、４４ モジュロ２^Ｎ加算器
４６ 発生器（ＰＷＬＣＭ）
４７ 再帰フィルタ
４８ 最大長フィードバックシフトレジスタ
１００ カオス系列を発生するためのシステム
１０１〜１２８ カオス系列の発生器
１３０、１３２、１３４、１３６ マルチプレクサ
１３８、１４０、１４２ 排他的論理和ゲート
１４４ ３ステージフィードバックシフトレジスタ
１４６ クロックｃ_ｋ
１４８ 除去手段
１５０ 量子化手段

Claims (12)

1. ｎが決められた数の量子化ビットＮによって表される整数値の厳密に正の整数であり、特にデータ暗号化キーを形成することを意図しているカオス系列ｅ_ｕ（ｎ）の発生器（２）であって、
   前記発生器（２）が、整数値の出力カオス系列を発生する少なくとも一次の少なくとも２個の個別の再帰フィルタ（４、６）を備え、
   各再帰フィルタ（４、６）が、排他的論理和ゲート（１２、１４）を介して、決められた数の量子化ビットｋによって表される整数値の摂動系列Ｑ（ｎ）を発生するための手段に接続された、非線形の関数Ｆを実行するための手段（８、１０）を備え、
   前記２個のフィルタ（４、６）が並列に実装され、
   前記発生器（２）から出力されるカオス系列ｅ_ｕ（ｎ）が、前記再帰フィルタ（４、６）から出力される前記カオス系列の排他的論理和（２０）に等しいと共に、
   前記非線形の関数を実行するための手段（８、１０）が、カオスマップを備える
   ことを特徴とするカオス系列の発生器（２）。
2. 各フィルタ（４、６）内の前記摂動系列を発生するための手段が、次数ｋの原始多項式を使用する最大長のフィードバックシフトレジスタ（１６、１８）を備える
   ことを特徴とする請求項１に記載のカオス系列の発生器（２）。
3. 各再帰フィルタの次数が、３次またはそれ以下である
   ことを特徴とする請求項１または請求項２に記載のカオス系列の発生器（２）。
4. 前記非線形の関数を実行するための手段（８、１０）が、区分線形カオスマップＰＷＬＣＭを備える
   ことを特徴とする請求項１から請求項３のいずれか一項に記載のカオス系列の発生器（２）。
5. 各再帰フィルタｊ（ｊ＝１、２）から出力された前記系列ｅ_ｕｊ（ｎ）が、等式
   

   

   によって与えられ、ここで、
   

   

   であると共に、
   

   

   であり、更に、
   ・Ｐは、その値が２^Ｎ−１より小さい制御パラメータであり、
   ・ｋ_ｕｊ（ｎ）は、前記再帰フィルタｊの入力系列であり、
   ・ｃ_ｊ１、ｃ_ｊ２、ｃ_ｊ３は、前記再帰フィルタｊの係数を表し、
   ・操作
   

   

   は、Ｘに等しいかまたはＸより小さい最も大きな整数を計算することから成り、
   ・操作ｍｏｄ（Ｘ，２^Ｎ）は、Ｘのモジュロ２^Ｎを実行することから成る
   ことを特徴とする請求項３または請求項４に記載のカオス系列の発生器（２）。
6. 前記非線形の関数を実行するための手段が、スキューテントタイプのマップを備える
   ことを特徴とする請求項１から請求項３のいずれか一項に記載のカオス系列の発生器（２）。
7. １４個の請求項１から請求項６のいずれか一項に記載のカオス系列の発生器から成る少なくとも１個のアセンブリを含むカオス系列を発生するためのシステム（１００）であって、
   前記発生器（１０１、１０２、１０３、１０４、１０５、１０６、１０７、１０８、１０９、１１０、１１１、１１２、１１３、１１４、１１５、１１６、１１７、１１８、１１９、１２０、１２１、１２２、１２３、１２４、１２５、１２６、１２７、１２８）は、それぞれ７個の発生器の２個のグループに分割され、
   前記システムが、
   ・第１のグループの発生器の中からの第１の発生器出力の選択を可能にする第１のアナログマルチプレクサ（１３０、１３４）と、
   ・第２のグループの発生器の中からの第２の発生器出力の選択を可能にする第２のアナログマルチプレクサ（１３２、１３６）と、
   ・その周期が前記カオス系列の長さの関数であるクロック（１４６）に接続されたフィードバックシフトレジスタ（１４４）を備えた、前記マルチプレクサを操作するための手段とを備え、
   前記２個のマルチプレクサの出力が、前記カオス系列をその出力で発生する排他的論理和ゲート（１３８、１４０）に接続される
   ことを特徴とするカオス系列を発生するためのシステム（１００）。
8. 前記システムが、それぞれが１４個のカオス系列の発生器を有する、並列に実装された２個のアセンブリを備え、
   前記発生システム（１００）から出力される発生されたカオス系列が、１４個の発生器から成る前記２個のアセンブリの出力において発生された前記カオス系列の排他的論理和（１４２）に等しい
   ことを特徴とする請求項７に記載のカオス系列を発生するためのシステム（１００）。
9. 前記発生器（１０１、１０２、１０３、１０４、１０５、１０６、１０７、１０８、１０９、１１０、１１１、１１２、１１３、１１４）の第１のアセンブリの前記フィードバックシフトレジスタの前記原始多項式が、前記発生器（１１５、１１６、１１７、１１８、１１９、１２０、１２１、１２２、１２３、１２４、１２５、１２６、１２７、１２８）の第２のアセンブリの前記フィードバックシフトレジスタの前記原始多項式と異なる
   ことを特徴とする請求項７または請求項８に記載のカオス系列を発生するためのシステム（１００）。
10. 前記システムが、前記システム（１００）によって発生されたカオス系列の決められた量のサンプルを除去するための手段（１４８）を備える
    ことを特徴とする請求項７から請求項９のいずれか一項に記載のカオス系列を発生するためのシステム（１００）。
11. 前記システムが、発生されたカオス系列を量子化するための手段（１５０）を備える
    ことを特徴とする請求項７から請求項１０のいずれか一項に記載のカオス系列を発生するためのシステム（１００）。
12. 請求項７から請求項１１のいずれか一項に記載のカオス系列を発生するためのシステム（１００）を備える暗号化システムであって、
    前記カオス系列を発生するためのシステム（１００）が、秘密鍵を発生するために使用されると共に、前記暗号化システムの暗号化／解読手続きにおいて使用される
    ことを特徴とする暗号化システム。

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