JP2001188919A - ノード位置変更方法及び装置 - Google Patents
ノード位置変更方法及び装置Info
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Abstract
(57)【要約】
【課題】滑らかな曲線又は曲面を生成すること。
【解決の手段】線又は面を構成する複数のノードの位置
を変更するために、各ノードにおける法線を記憶装置に
格納する第１ステップと、(1)各ノードの法線方向に当
該各ノードに接続された弾性体を仮想的に定義し、(2)
各弾性体がつりあうように各弾性体を法線方向に伸縮さ
せることにより、各ノードの位置を変更し、当該位置情
報を記憶装置に格納する第２ステップと、所定の条件を
満たすまで第１及び第２ステップを繰り返すステップと
を実行する。
を変更するために、各ノードにおける法線を記憶装置に
格納する第１ステップと、(1)各ノードの法線方向に当
該各ノードに接続された弾性体を仮想的に定義し、(2)
各弾性体がつりあうように各弾性体を法線方向に伸縮さ
せることにより、各ノードの位置を変更し、当該位置情
報を記憶装置に格納する第２ステップと、所定の条件を
満たすまで第１及び第２ステップを繰り返すステップと
を実行する。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、ノード列を用いた
曲線又はノード群を含むメッシュを用いた曲面の生成に
関する。
曲線又はノード群を含むメッシュを用いた曲面の生成に
関する。
【０００２】
【従来の技術】ＶＲＭＬ、ＣＡＤ、ＣＧなどの分野にお
いて、三角形及び四角形などの線形図形の集まりとして
定義されるメッシュを使って滑らかに変化する曲線又は
曲面形状を表現したいという要求がある。
いて、三角形及び四角形などの線形図形の集まりとして
定義されるメッシュを使って滑らかに変化する曲線又は
曲面形状を表現したいという要求がある。
【０００３】例えばＷｅｂの３次元コンテンツをＶＲＭ
Ｌのデータとして作る場合、自由形状は主に三角形の集
まりであるメッシュで表現される。人間の手や顔などの
ような滑らかに変化する形状を生成したい場合、メッシ
ュの各三角形の頂点であるノードの座標値を１つ１つ決
定することは困難であり、特定のノードの位置を固定す
ると、その他のノードは固定されたノードを補間するよ
うな位置に決定されることが望ましい。
Ｌのデータとして作る場合、自由形状は主に三角形の集
まりであるメッシュで表現される。人間の手や顔などの
ような滑らかに変化する形状を生成したい場合、メッシ
ュの各三角形の頂点であるノードの座標値を１つ１つ決
定することは困難であり、特定のノードの位置を固定す
ると、その他のノードは固定されたノードを補間するよ
うな位置に決定されることが望ましい。
【０００４】またＣＡＤの分野で用いられる曲面は主に
ＮＵＲＢＳ（Non-Uniform RationalB-Spline）を代表と
するパラメトリック曲面を使って表現されることが多
い。一方で主に用いられるパラメトリック曲面が四角形
の構造をもつために、その位相的な制約からどうしても
パラメトリック曲面を生成することが困難な形状も存在
する。機械部品の形状の角を丸めるためのフィレットは
その一例であり、このような形状に対してはメッシュを
使って滑らかな曲面形状を生成する方が簡単である。
ＮＵＲＢＳ（Non-Uniform RationalB-Spline）を代表と
するパラメトリック曲面を使って表現されることが多
い。一方で主に用いられるパラメトリック曲面が四角形
の構造をもつために、その位相的な制約からどうしても
パラメトリック曲面を生成することが困難な形状も存在
する。機械部品の形状の角を丸めるためのフィレットは
その一例であり、このような形状に対してはメッシュを
使って滑らかな曲面形状を生成する方が簡単である。
【０００５】さらにＣＡＤの分野などで、意図する曲面
形状を直接コンピューターに入力するのは困難であるた
め、まず最初に線画であるワイヤーフレームを入力する
場合がある。その場合入力したワイヤーフレームからそ
の内部を滑らかに補間した曲面形状を生成する手法が必
要となる。
形状を直接コンピューターに入力するのは困難であるた
め、まず最初に線画であるワイヤーフレームを入力する
場合がある。その場合入力したワイヤーフレームからそ
の内部を滑らかに補間した曲面形状を生成する手法が必
要となる。
【０００６】滑らかな曲線又は曲面形状を生成するとい
う問題は、適切に力を定義し、その力の釣り合った状態
を決定する問題と位置づけられる。一般的な手法では初
期ノードの座標を反復計算により更新していくことによ
り、最終的な形状に収束させる。どのように力を定義す
るかによってアルゴリズムの性質や優劣が決まってく
る。どのような力のモデルを定義して、どのようなアル
ゴリズムで力の釣り合い状態を求めるかが、滑らかな曲
線又は曲面生成手法の全てといってもよい。
う問題は、適切に力を定義し、その力の釣り合った状態
を決定する問題と位置づけられる。一般的な手法では初
期ノードの座標を反復計算により更新していくことによ
り、最終的な形状に収束させる。どのように力を定義す
るかによってアルゴリズムの性質や優劣が決まってく
る。どのような力のモデルを定義して、どのようなアル
ゴリズムで力の釣り合い状態を求めるかが、滑らかな曲
線又は曲面生成手法の全てといってもよい。
【０００７】まず、曲面の歪みエネルギーを最小にする
ことにより滑らかな曲線又は曲面形状を生成する手法が
幾つか提案されている（G.Celniker, and D.Gossard, D
eformable Curve andSurface Finite-Elements for Fre
e-Form Shape Design, Computer Graphics, Vol.25, N
o.4, pp.257-266, 1991, 又は W.Welch, and A.Witkin,
Variational Surface Modeling,Computer Graphics, V
ol. 26, No. 2, pp. 157-166, 1992, 又は W.Welch, an
d A.Witkin, Free-Form Shape Design Using Triangula
ted Surfaces, Computer Graphics Proceedings, pp247
-256, 1994, を参照のこと）。これらの手法では、三角
形要素の内部に曲面の存在を仮定し、曲面上の各点に働
く力を要素全体に渡って積分することにより内部エネル
ギーを計算し、その内部エネルギーを最小化する曲面形
状を計算している。しかし、これら三角形要素の内部全
体に渡って値を評価する手法は、ノードにおいてのみ値
を評価する離散的な手法と比べて一般的に多くの計算時
間を要する。
ことにより滑らかな曲線又は曲面形状を生成する手法が
幾つか提案されている（G.Celniker, and D.Gossard, D
eformable Curve andSurface Finite-Elements for Fre
e-Form Shape Design, Computer Graphics, Vol.25, N
o.4, pp.257-266, 1991, 又は W.Welch, and A.Witkin,
Variational Surface Modeling,Computer Graphics, V
ol. 26, No. 2, pp. 157-166, 1992, 又は W.Welch, an
d A.Witkin, Free-Form Shape Design Using Triangula
ted Surfaces, Computer Graphics Proceedings, pp247
-256, 1994, を参照のこと）。これらの手法では、三角
形要素の内部に曲面の存在を仮定し、曲面上の各点に働
く力を要素全体に渡って積分することにより内部エネル
ギーを計算し、その内部エネルギーを最小化する曲面形
状を計算している。しかし、これら三角形要素の内部全
体に渡って値を評価する手法は、ノードにおいてのみ値
を評価する離散的な手法と比べて一般的に多くの計算時
間を要する。
【０００８】ノードにおいてのみ値を評価する手法の一
つとして、ラプラシアンスムージングと呼ばれ、解析用
のメッシュの質を改良するためにしばしば用いられる方
法がある（K.Ho-Le, Finite Element Mesh Generation
Methods: a Review and Classification, Computer Aid
ed Design, Vol. 20, No. 1, 1988 を参照のこと）。こ
の方法は、各ノードをそのノードに隣接するノードで構
成される多角形の重心に移動させるという処理を繰り返
す方法である。この方法は与えられた拘束条件を満たし
かつ面積を最小とする曲面形状を生成する特徴がある。
しかし、例えばメッシングされた領域の境界のノードを
固定し領域の中心のノードをある位置に固定した場合、
領域の中心において尖った曲面形状を生成するため、滑
らかな曲線、曲面形状を生成するという目的には利用で
きない。また与えることのできる拘束条件は、位置の拘
束に限られていて、法線などを拘束条件として与えるこ
とはできない。
つとして、ラプラシアンスムージングと呼ばれ、解析用
のメッシュの質を改良するためにしばしば用いられる方
法がある（K.Ho-Le, Finite Element Mesh Generation
Methods: a Review and Classification, Computer Aid
ed Design, Vol. 20, No. 1, 1988 を参照のこと）。こ
の方法は、各ノードをそのノードに隣接するノードで構
成される多角形の重心に移動させるという処理を繰り返
す方法である。この方法は与えられた拘束条件を満たし
かつ面積を最小とする曲面形状を生成する特徴がある。
しかし、例えばメッシングされた領域の境界のノードを
固定し領域の中心のノードをある位置に固定した場合、
領域の中心において尖った曲面形状を生成するため、滑
らかな曲線、曲面形状を生成するという目的には利用で
きない。また与えることのできる拘束条件は、位置の拘
束に限られていて、法線などを拘束条件として与えるこ
とはできない。
【０００９】離散的な点においてのみ値を評価する別の
手法として、R.Szeliski, and D.Tonnesen, Surface Mo
deling with Oriented Particle Systems, Computer Gr
aphics Vol.26, No.2, pp.185-194, 1992 が提案されて
いる。この手法を簡単に説明すると、曲面の面積を最小
にするように作用する伸びのバネによる力と、各ノード
周辺で平らになるように作用する曲げのバネによる力と
を、重み係数を掛けて各ノードに対して作用させている
とみなすことができる。この重み係数は形状を求めるた
めの一つの自由度と考えることができるが、どのような
重み係数を用いればどのような形状が得られるかは直感
的ではない。また、もし伸びのバネに対する重み係数を
零にして曲げのバネだけを作用させたとすると、各ノー
ド周辺で平らになろうとする力だけが働き、形状は無限
大に発散してしまう。一方もし曲げのバネに対する重み
係数を零にして伸びのバネだけを作用させたとすると、
ラプラシアンスムージングと同様な拘束条件が与えられ
ているノードで尖点が発生してしまう。滑らかな曲面生
成を行うためには、この重み係数をうまく決定しなけれ
ばならないが、当該論文ではそのことに関しては何も述
べられていない。
手法として、R.Szeliski, and D.Tonnesen, Surface Mo
deling with Oriented Particle Systems, Computer Gr
aphics Vol.26, No.2, pp.185-194, 1992 が提案されて
いる。この手法を簡単に説明すると、曲面の面積を最小
にするように作用する伸びのバネによる力と、各ノード
周辺で平らになるように作用する曲げのバネによる力と
を、重み係数を掛けて各ノードに対して作用させている
とみなすことができる。この重み係数は形状を求めるた
めの一つの自由度と考えることができるが、どのような
重み係数を用いればどのような形状が得られるかは直感
的ではない。また、もし伸びのバネに対する重み係数を
零にして曲げのバネだけを作用させたとすると、各ノー
ド周辺で平らになろうとする力だけが働き、形状は無限
大に発散してしまう。一方もし曲げのバネに対する重み
係数を零にして伸びのバネだけを作用させたとすると、
ラプラシアンスムージングと同様な拘束条件が与えられ
ているノードで尖点が発生してしまう。滑らかな曲面生
成を行うためには、この重み係数をうまく決定しなけれ
ばならないが、当該論文ではそのことに関しては何も述
べられていない。
【００１０】特開平１−１２５６７１号公報及び特開平
１−１２４０６２号公報は、曲面を形成する各点に質量
や電荷などに相当する属性を付加し、力の種類として、
重力のような場の力や、他の電荷などの力の発生源との
相互作用、バネなどの弾性力などを用意し、これらの力
のつりあいによって上記点の位置が定まり、曲面の形状
が決定されるということを開示している。この公報で
は、バネはある点（複数であってもよい）から曲面を形
成する各点の間に設定されている。それ以外には何ら条
件は開示されていない。
１−１２４０６２号公報は、曲面を形成する各点に質量
や電荷などに相当する属性を付加し、力の種類として、
重力のような場の力や、他の電荷などの力の発生源との
相互作用、バネなどの弾性力などを用意し、これらの力
のつりあいによって上記点の位置が定まり、曲面の形状
が決定されるということを開示している。この公報で
は、バネはある点（複数であってもよい）から曲面を形
成する各点の間に設定されている。それ以外には何ら条
件は開示されていない。
【００１１】特開平１０−６９５４９号公報は、画像に
メッシュが貼られ、メッシュの頂点間を結ぶバネのバネ
係数を決定し、メッシュ頂点を共有するバネとバネのな
す角の回転バネのバネ係数を決定し、バネ一本一本毎に
つり合い方程式のマトリックスと、さらに全体のバネの
つり合い方程式のマトリックスを求め、変形制御情報を
入力し、これに基づきバネのつり合い方程式の変形を行
い、変形後のメッシュ点の位置を求め、メッシュ毎の座
標変換の補間式の算出を行い、変形後の画像を得る技術
を開示している。しかし、メッシュ点の法線方向にばね
を設けるという事項は開示されていない。
メッシュが貼られ、メッシュの頂点間を結ぶバネのバネ
係数を決定し、メッシュ頂点を共有するバネとバネのな
す角の回転バネのバネ係数を決定し、バネ一本一本毎に
つり合い方程式のマトリックスと、さらに全体のバネの
つり合い方程式のマトリックスを求め、変形制御情報を
入力し、これに基づきバネのつり合い方程式の変形を行
い、変形後のメッシュ点の位置を求め、メッシュ毎の座
標変換の補間式の算出を行い、変形後の画像を得る技術
を開示している。しかし、メッシュ点の法線方向にばね
を設けるという事項は開示されていない。
【００１２】
【発明が解決しようとする課題】よって、本願発明は、
複数のノードの位置を変更することにより、滑らかに変
化する曲線又は曲面を生成することである。
複数のノードの位置を変更することにより、滑らかに変
化する曲線又は曲面を生成することである。
【００１３】また、通過点等の与えられた条件を満た
し、かつ滑らかに変化する曲線又は曲面を生成すること
も目的である。
し、かつ滑らかに変化する曲線又は曲面を生成すること
も目的である。
【００１４】
【課題を解決するための手段】本発明の第１の態様で
は、線又は面を構成する複数のノードの位置を変更する
ために、ノードにおける法線のデータを記憶装置に格納
する第１ステップと、(1)前記ノードの法線方向に当該
ノードに接続した弾性体を仮想的に定義し、(2)前記弾
性体を前記法線方向に伸縮させることにより、前記ノー
ドの位置を変更し、当該位置情報を記憶装置に格納する
第２ステップと、所定の条件を満たすまで全てのノード
について前記第１及び第２ステップを繰り返すステップ
とを実行する。ノードにおける法線方向に弾性体（例え
ばばね）を定義し、それを伸縮させることにより滑らか
な曲線又は曲面を得ることができる。ここでの記憶装置
は、例えばコンピュータのメイン・メモリである。
は、線又は面を構成する複数のノードの位置を変更する
ために、ノードにおける法線のデータを記憶装置に格納
する第１ステップと、(1)前記ノードの法線方向に当該
ノードに接続した弾性体を仮想的に定義し、(2)前記弾
性体を前記法線方向に伸縮させることにより、前記ノー
ドの位置を変更し、当該位置情報を記憶装置に格納する
第２ステップと、所定の条件を満たすまで全てのノード
について前記第１及び第２ステップを繰り返すステップ
とを実行する。ノードにおける法線方向に弾性体（例え
ばばね）を定義し、それを伸縮させることにより滑らか
な曲線又は曲面を得ることができる。ここでの記憶装置
は、例えばコンピュータのメイン・メモリである。
【００１５】上で述べた第２ステップは、ノード分布を
修正するようにノードの位置をさらに変更するステップ
を含むようにすることもできる。より滑らかな曲線又は
曲面を生成するためである。これは後に述べる本発明の
第２の態様でも実施可能である。
修正するようにノードの位置をさらに変更するステップ
を含むようにすることもできる。より滑らかな曲線又は
曲面を生成するためである。これは後に述べる本発明の
第２の態様でも実施可能である。
【００１６】線を取り扱う場合には、上で述べた法線は
従法線及び主法線を含み、当該従法線及び主法線の両方
の方向について弾性体を定義することも可能である。３
次元空間における曲線の場合、法線が２本存在するため
である。２次元空間における曲線の場合、法線は１本で
ある。これは本発明の第２の態様でも実施可能である。
従法線及び主法線を含み、当該従法線及び主法線の両方
の方向について弾性体を定義することも可能である。３
次元空間における曲線の場合、法線が２本存在するため
である。２次元空間における曲線の場合、法線は１本で
ある。これは本発明の第２の態様でも実施可能である。
【００１７】上で述べた、弾性体を法線方向に伸縮させ
る処理において、ノードと所定の関係にある基準ノード
の位置情報と当該ノードの位置情報とを用いて伸縮量を
計算することも考えられる。基準ノードは、移動させる
ノードに影響を及ぼすノードである。これは本発明の第
２の態様でも実施可能である。実施例では、移動させる
ノードに隣接するノードである。但し、これに限定され
ない。
る処理において、ノードと所定の関係にある基準ノード
の位置情報と当該ノードの位置情報とを用いて伸縮量を
計算することも考えられる。基準ノードは、移動させる
ノードに影響を及ぼすノードである。これは本発明の第
２の態様でも実施可能である。実施例では、移動させる
ノードに隣接するノードである。但し、これに限定され
ない。
【００１８】上で述べた、弾性体を法線方向に伸縮させ
る処理において、基準ノードを通り且つ当該基準ノード
の法線に平行な第１直線とあるノードを通り且つ当該あ
るノードの法線に平行な第２直線との距離が最短とな
る、第２直線上の点の位置情報をさらに用いることも考
えられる。これは本発明の第２の態様でも実施可能であ
る。
る処理において、基準ノードを通り且つ当該基準ノード
の法線に平行な第１直線とあるノードを通り且つ当該あ
るノードの法線に平行な第２直線との距離が最短とな
る、第２直線上の点の位置情報をさらに用いることも考
えられる。これは本発明の第２の態様でも実施可能であ
る。
【００１９】あるノードの法線を拘束条件として指定す
るステップをさらに含み、第２ステップにおいて当該あ
るノードの法線を指定された拘束条件に固定するように
することも考えられる。これにより所定の条件を満たす
曲線又は曲面を生成できる。これは本発明の第２の態様
においても実施可能である。
るステップをさらに含み、第２ステップにおいて当該あ
るノードの法線を指定された拘束条件に固定するように
することも考えられる。これにより所定の条件を満たす
曲線又は曲面を生成できる。これは本発明の第２の態様
においても実施可能である。
【００２０】本発明の第２の態様では、線又は面を構成
する複数のノードの位置を変更するために、各ノードに
おける法線を記憶装置に格納する第１ステップと、(1)
各ノードの法線方向に当該各ノードに接続された弾性体
を仮想的に定義し、(2)各弾性体がつりあうように各弾
性体を法線方向に伸縮させることにより、各ノードの位
置を変更し、当該位置情報を記憶装置に格納する第２ス
テップと、所定の条件を満たすまで第１及び第２ステッ
プを繰り返すステップとを実行する。これにより滑らか
な曲線又は曲面を生成することができる。
する複数のノードの位置を変更するために、各ノードに
おける法線を記憶装置に格納する第１ステップと、(1)
各ノードの法線方向に当該各ノードに接続された弾性体
を仮想的に定義し、(2)各弾性体がつりあうように各弾
性体を法線方向に伸縮させることにより、各ノードの位
置を変更し、当該位置情報を記憶装置に格納する第２ス
テップと、所定の条件を満たすまで第１及び第２ステッ
プを繰り返すステップとを実行する。これにより滑らか
な曲線又は曲面を生成することができる。
【００２１】上で述べた、弾性体を法線方向に伸縮させ
る処理において、あるノードを通り且つ当該あるノード
の法線に平行な第１直線ともう一つのノードを通り且つ
当該もう一つのノードの法線に平行な第２直線との距離
が最短となる、第１直線上の点Ａと前記あるノードとの
距離と、第１及び第２直線の距離が最短となる、第２直
線上の点Ｂと前記もう一つのノードとの距離を用いるよ
うにすることも考えられる。弾性体の長さを基準に弾性
体の伸縮を決定するものである。これは本発明の第１の
態様でも実施可能である。
る処理において、あるノードを通り且つ当該あるノード
の法線に平行な第１直線ともう一つのノードを通り且つ
当該もう一つのノードの法線に平行な第２直線との距離
が最短となる、第１直線上の点Ａと前記あるノードとの
距離と、第１及び第２直線の距離が最短となる、第２直
線上の点Ｂと前記もう一つのノードとの距離を用いるよ
うにすることも考えられる。弾性体の長さを基準に弾性
体の伸縮を決定するものである。これは本発明の第１の
態様でも実施可能である。
【００２２】本発明の第１及び第２の態様において、弾
性体を法線方向に伸縮させる処理において、ノードと所
定の関係にある基準点の位置情報及びノードの位置情報
を用いて伸縮量が計算されるようにすることも可能であ
る。この基準点は、滑らかな曲面を生成する場合にはノ
ード又はメッシュの辺上の点とし得る。
性体を法線方向に伸縮させる処理において、ノードと所
定の関係にある基準点の位置情報及びノードの位置情報
を用いて伸縮量が計算されるようにすることも可能であ
る。この基準点は、滑らかな曲面を生成する場合にはノ
ード又はメッシュの辺上の点とし得る。
【００２３】さらに、本発明の第１及び第２の態様にお
いて、滑らかな曲面を生成する場合には、上述の第２ス
テップで、メッシュの所定の辺上の法線方向に当該辺に
接続された弾性体を仮想的にさらに定義し、当該辺に接
続された弾性体から受ける力も含めて、各ノードに定義
された各弾性体がつりあうように当該各弾性体を法線方
向に伸縮させることも考えられる。
いて、滑らかな曲面を生成する場合には、上述の第２ス
テップで、メッシュの所定の辺上の法線方向に当該辺に
接続された弾性体を仮想的にさらに定義し、当該辺に接
続された弾性体から受ける力も含めて、各ノードに定義
された各弾性体がつりあうように当該各弾性体を法線方
向に伸縮させることも考えられる。
【００２４】以上述べた処理のフローは、専用の装置と
して実施することも、また、コンピュータのプログラム
として実施することも可能である。さらに、このコンピ
ュータのプログラムは、ＣＤ−ＲＯＭやフロッピー・デ
ィスク、ＭＯ（Magneto-optic）ディスクなどの記憶媒
体、又はハードディスクなどの記憶装置に記憶される。
して実施することも、また、コンピュータのプログラム
として実施することも可能である。さらに、このコンピ
ュータのプログラムは、ＣＤ−ＲＯＭやフロッピー・デ
ィスク、ＭＯ（Magneto-optic）ディスクなどの記憶媒
体、又はハードディスクなどの記憶装置に記憶される。
【００２５】
【発明の実施の形態】本発明は、ノード列を用いて滑ら
かな曲線を生成する方法と、メッシュ内のノード群を用
いて滑らかな曲面を生成する方法に分けられるが、これ
らの方法において用いられる弾性体（例えばばね）は同
じように定義される。まず、弾性体の定義から説明す
る。
かな曲線を生成する方法と、メッシュ内のノード群を用
いて滑らかな曲面を生成する方法に分けられるが、これ
らの方法において用いられる弾性体（例えばばね）は同
じように定義される。まず、弾性体の定義から説明す
る。
【００２６】基本的に、滑らかな曲線をノード列で近似
する場合、ノードの密度を十分に細かくすると、ノード
間を結ぶ辺に円弧を使うことにより十分な精度で近似す
ることができる。曲面に関しても同じで、メッシュのノ
ード分布を十分に細かくすると、ノード間を結ぶ辺に円
弧を用いることにより十分な精度で近似することができ
る。以下に説明する弾性体は、辺が円弧を構成するよう
に各ノードに作用する。図１に２つのノードに弾性体を
定義した状態を示す。図１において、ノードＰaにおけ
る単位法線ベクトルＮaが、そしてノードＰbにおける単
位法線ベクトルＮbが計算される。そして、この単位法
線ベクトルＮaに平行で且つノードＰaを通る直線Ｌaが
ノードＰaの弾性体であり、単位法線ベクトルＮbに平行
で且つノードＰbを通る直線ＬbがノードＰbの弾性体で
ある。但し、直線Ｌaと直線Ｌbの距離が最短となる点Ｈ
a（直線Ｌa上の点）及びＨb（直線Ｌb上の点）を決め、
点ＨaとノードＰaの間を用いる。また、同じように点Ｈ
bとノードＰbの間を用いる。
する場合、ノードの密度を十分に細かくすると、ノード
間を結ぶ辺に円弧を使うことにより十分な精度で近似す
ることができる。曲面に関しても同じで、メッシュのノ
ード分布を十分に細かくすると、ノード間を結ぶ辺に円
弧を用いることにより十分な精度で近似することができ
る。以下に説明する弾性体は、辺が円弧を構成するよう
に各ノードに作用する。図１に２つのノードに弾性体を
定義した状態を示す。図１において、ノードＰaにおけ
る単位法線ベクトルＮaが、そしてノードＰbにおける単
位法線ベクトルＮbが計算される。そして、この単位法
線ベクトルＮaに平行で且つノードＰaを通る直線Ｌaが
ノードＰaの弾性体であり、単位法線ベクトルＮbに平行
で且つノードＰbを通る直線ＬbがノードＰbの弾性体で
ある。但し、直線Ｌaと直線Ｌbの距離が最短となる点Ｈ
a（直線Ｌa上の点）及びＨb（直線Ｌb上の点）を決め、
点ＨaとノードＰaの間を用いる。また、同じように点Ｈ
bとノードＰbの間を用いる。
【００２７】直線Ｌaと直線Ｌbに交点がある場合には、
その点が点Ｈaであり且つ点Ｈbとなる。また、直線Ｌa
と直線Ｌbの距離が最短となる点を用いるのは一例であ
って、直線Ｌa上であって点Ｈaから所定の距離離れた点
とノードＰaの間を弾性体として用いてもよい。単位法
線ベクトルは、後に述べるように、平面内の曲線を生成
する場合には１本、空間内の曲線を生成する場合には２
本、曲面を生成する場合には１本存在する。２本存在す
る場合の取り扱いは後に述べる。
その点が点Ｈaであり且つ点Ｈbとなる。また、直線Ｌa
と直線Ｌbの距離が最短となる点を用いるのは一例であ
って、直線Ｌa上であって点Ｈaから所定の距離離れた点
とノードＰaの間を弾性体として用いてもよい。単位法
線ベクトルは、後に述べるように、平面内の曲線を生成
する場合には１本、空間内の曲線を生成する場合には２
本、曲面を生成する場合には１本存在する。２本存在す
る場合の取り扱いは後に述べる。
【００２８】この弾性体によりノードＰa及びＰbに働く
力Ｆa及びＦbをそれぞれ以下のように定義する。 Ｆa＝Ｋa｜Ｐa−Ｈa｜Ｎa Ｆb＝Ｋb｜Ｐb−Ｈb｜Ｎb Ｋa及びＫbは弾性係数を表すスカラー値であって、｜Ｖ
｜はベクトルＶの長さを表すスカラー値である。Ｎa及
びＮbは先に示した単位法線ベクトルである。よって、
ノードＰa及びＰbに働く力は、各ノードの法線方向であ
ることが分かる。そして、｜Ｆa｜＝｜Ｆb｜の場合に、
ノードＰa及びＰbはそれぞれの弾性体の力による釣り合
いの位置にあるものとする。よって、弾性係数がＫa＝
Ｋbであれば、｜Ｐa−Ｈa｜＝｜Ｐb−Ｈb｜であると
き、すなわち、点ＨaとノードＰaの距離と点Ｈbとノー
ドＰbとの距離が一致する時に弾性体が釣り合い状態に
あることになる。
力Ｆa及びＦbをそれぞれ以下のように定義する。 Ｆa＝Ｋa｜Ｐa−Ｈa｜Ｎa Ｆb＝Ｋb｜Ｐb−Ｈb｜Ｎb Ｋa及びＫbは弾性係数を表すスカラー値であって、｜Ｖ
｜はベクトルＶの長さを表すスカラー値である。Ｎa及
びＮbは先に示した単位法線ベクトルである。よって、
ノードＰa及びＰbに働く力は、各ノードの法線方向であ
ることが分かる。そして、｜Ｆa｜＝｜Ｆb｜の場合に、
ノードＰa及びＰbはそれぞれの弾性体の力による釣り合
いの位置にあるものとする。よって、弾性係数がＫa＝
Ｋbであれば、｜Ｐa−Ｈa｜＝｜Ｐb−Ｈb｜であると
き、すなわち、点ＨaとノードＰaの距離と点Ｈbとノー
ドＰbとの距離が一致する時に弾性体が釣り合い状態に
あることになる。
【００２９】もし、ノードＰaの位置を固定するという
条件の下ノードＰbを自由に動かすことができる場合に
は、Ｋb｜Ｐb−Ｈb｜＝Ｋa｜Ｐa−Ｈa｜となるように、
ノードＰbは単位法線Ｎb方向に移動する。すなわち、弾
性体が法線方向に伸縮する。もし、Ｋb＝Ｋaであれば、
点ＨaとノードＰaの長さと同じになるように、ノードＰ
bは単位法線Ｎb方向に移動することになる。
条件の下ノードＰbを自由に動かすことができる場合に
は、Ｋb｜Ｐb−Ｈb｜＝Ｋa｜Ｐa−Ｈa｜となるように、
ノードＰbは単位法線Ｎb方向に移動する。すなわち、弾
性体が法線方向に伸縮する。もし、Ｋb＝Ｋaであれば、
点ＨaとノードＰaの長さと同じになるように、ノードＰ
bは単位法線Ｎb方向に移動することになる。
【００３０】図２左側のようにノード列Ｐ0乃至Ｐnが存
在する場合に滑らかな曲線を生成する例を考える。説明
を簡単にするため、全てのノードの単位法線は一点で交
わるものとする。そして、両端のノードＰ0及びＰnの位
置が固定され、残りのノードＰ1乃至Ｐn-1が自由に移動
できるものとする。隣り合うノード間に、上で定義した
ような弾性体を作用させると、図２の右側のような状態
で力の釣り合った安定状態になる。すなわち、定義した
ような弾性体を作用させることにより、折れ曲がったノ
ード列Ｐ0乃至Ｐnから滑らかな曲線であるノード列が生
成できた。
在する場合に滑らかな曲線を生成する例を考える。説明
を簡単にするため、全てのノードの単位法線は一点で交
わるものとする。そして、両端のノードＰ0及びＰnの位
置が固定され、残りのノードＰ1乃至Ｐn-1が自由に移動
できるものとする。隣り合うノード間に、上で定義した
ような弾性体を作用させると、図２の右側のような状態
で力の釣り合った安定状態になる。すなわち、定義した
ような弾性体を作用させることにより、折れ曲がったノ
ード列Ｐ0乃至Ｐnから滑らかな曲線であるノード列が生
成できた。
【００３１】以上のような弾性体の定義を前提とし、ノ
ード列を用いて滑らかな曲線を生成する方法及びメッシ
ュ内のノード群を用いて滑らかな曲面を生成する方法に
ついて説明する。
ード列を用いて滑らかな曲線を生成する方法及びメッシ
ュ内のノード群を用いて滑らかな曲面を生成する方法に
ついて説明する。
【００３２】Ａ．ノード列を用いて滑らかな曲線を生成
する方法 ノード列Ｐ0及びＰnの位置情報は、予め記憶装置に記憶
されている。このノード列Ｐ0及びＰnは閉じていても開
いていてもよい。閉じている場合には、ノードＰnはノ
ードＰ0に隣接するものとする。図３に高レベルのフロ
ーチャートを示す。
する方法 ノード列Ｐ0及びＰnの位置情報は、予め記憶装置に記憶
されている。このノード列Ｐ0及びＰnは閉じていても開
いていてもよい。閉じている場合には、ノードＰnはノ
ードＰ0に隣接するものとする。図３に高レベルのフロ
ーチャートを示す。
【００３３】本フローチャートは大きく分けて３つの部
分に分かれる。ステップ１０３乃至ステップ１０７の部
分が法線計算部、ステップ１０９乃至ステップ１１９が
ノード位置変更部、ステップ１２１及びステップ１２３
が終了制御部である。この分け方は一例であって、例え
ば、ノード位置変更部をステップ１０９乃至ステップ１
１７とし、このノード位置変更部の制御部としてステッ
プ１１９があるというように分けることもできる。
分に分かれる。ステップ１０３乃至ステップ１０７の部
分が法線計算部、ステップ１０９乃至ステップ１１９が
ノード位置変更部、ステップ１２１及びステップ１２３
が終了制御部である。この分け方は一例であって、例え
ば、ノード位置変更部をステップ１０９乃至ステップ１
１７とし、このノード位置変更部の制御部としてステッ
プ１１９があるというように分けることもできる。
【００３４】では、法線計算部から説明する。ここで
は、全ての単位法線が計算済みとなるまで（ステップ１
０３）、ノードの単位従法線と単位主法線を計算する
（ステップ１０５及び１０７）。計算結果はノード毎に
記憶装置に格納される。従法線ｎと主法線ｂは、図４の
ような三次元空間における曲線ｃに対し、それぞれ図示
のような方向となる。これは三次元空間における曲線ｃ
を対象としたものであるから、二次元空間における曲線
の場合には主法線のみ存在する。よって、そのような場
合には、ステップ１０５は必要ない。
は、全ての単位法線が計算済みとなるまで（ステップ１
０３）、ノードの単位従法線と単位主法線を計算する
（ステップ１０５及び１０７）。計算結果はノード毎に
記憶装置に格納される。従法線ｎと主法線ｂは、図４の
ような三次元空間における曲線ｃに対し、それぞれ図示
のような方向となる。これは三次元空間における曲線ｃ
を対象としたものであるから、二次元空間における曲線
の場合には主法線のみ存在する。よって、そのような場
合には、ステップ１０５は必要ない。
【００３５】具体的に、単位従法線の計算（ステップ１
０５）の方法を説明する。ここで取り扱う曲線はノード
列によって表された折れ線で表現されているため、厳密
に単位従法線を計算することはできない。よって、隣接
するノードを用いて擬似的に単位従法線を計算する。し
かし、処理を繰り返すにつれ、この単位従法線は生成さ
れる滑らかな曲線の従法線に近づく。以下の計算方法は
一例であって、単位従法線の計算方法は以下の方法に限
定されるものではない。
０５）の方法を説明する。ここで取り扱う曲線はノード
列によって表された折れ線で表現されているため、厳密
に単位従法線を計算することはできない。よって、隣接
するノードを用いて擬似的に単位従法線を計算する。し
かし、処理を繰り返すにつれ、この単位従法線は生成さ
れる滑らかな曲線の従法線に近づく。以下の計算方法は
一例であって、単位従法線の計算方法は以下の方法に限
定されるものではない。
【００３６】ノードＰiの単位従法線Ｂiを計算する場
合、ノードＰiと、それに隣接する２つのノードＰi-1及
びＰi+1の３点を通る平面を決定し、その平面の単位法
線をノードＰiの単位従法線とする。もし、この３つの
ノードが一直線上にあり単位従法線が決定できない場合
には、さらに隣のノードを用いて単位従法線を決定す
る。全てのノードが一直線上にある場合には、単位従法
線を決定することはできないので、この場合には単位従
法線を零ベクトルとしておく。
合、ノードＰiと、それに隣接する２つのノードＰi-1及
びＰi+1の３点を通る平面を決定し、その平面の単位法
線をノードＰiの単位従法線とする。もし、この３つの
ノードが一直線上にあり単位従法線が決定できない場合
には、さらに隣のノードを用いて単位従法線を決定す
る。全てのノードが一直線上にある場合には、単位従法
線を決定することはできないので、この場合には単位従
法線を零ベクトルとしておく。
【００３７】なお、単位従法線又は単位接線が、単位従
法線を計算しようとしているノードに拘束条件として設
定されている場合には、上で述べた処理を実施しない。
もし、単位従法線そのものが拘束条件として指定されて
いる場合には、指定された単位従法線をもって当該ノー
ドの単位従法線とする。なお、法線の指定の方法とし
て、自由度０の指定方法と自由度１の指定方法がある。
自由度０の指定方法は法線そのものが指定される場合で
あって、自由度１の指定方法では法線が存在できる面
（平面又は曲面）が指定される。自由度０の場合には以
上の説明のとおりであって、自由度１の場合には、上の
方法で仮に単位従法線（図５におけるＢ'i）を計算し、
その仮の単位従法線Ｂ'iを最短距離で、指定された面Ｑ
に移動させ、移動した先の単位ベクトルＢiをそのノー
ドの単位従法線とする。
法線を計算しようとしているノードに拘束条件として設
定されている場合には、上で述べた処理を実施しない。
もし、単位従法線そのものが拘束条件として指定されて
いる場合には、指定された単位従法線をもって当該ノー
ドの単位従法線とする。なお、法線の指定の方法とし
て、自由度０の指定方法と自由度１の指定方法がある。
自由度０の指定方法は法線そのものが指定される場合で
あって、自由度１の指定方法では法線が存在できる面
（平面又は曲面）が指定される。自由度０の場合には以
上の説明のとおりであって、自由度１の場合には、上の
方法で仮に単位従法線（図５におけるＢ'i）を計算し、
その仮の単位従法線Ｂ'iを最短距離で、指定された面Ｑ
に移動させ、移動した先の単位ベクトルＢiをそのノー
ドの単位従法線とする。
【００３８】一方、単位接線が拘束条件として指定され
ている場合には、（１）上記の方法で仮の単位従法線を
計算し、（２）指定された単位接線と仮の単位従法線と
の外積として単位主法線を計算し、（３）単位主法線と
指定された単位接線との外積として単位従法線を計算す
る。
ている場合には、（１）上記の方法で仮の単位従法線を
計算し、（２）指定された単位接線と仮の単位従法線と
の外積として単位主法線を計算し、（３）単位主法線と
指定された単位接線との外積として単位従法線を計算す
る。
【００３９】次に単位主法線の計算（ステップ１０７）
の方法を説明する。従法線の場合と同様に、主法線の計
算も擬似的なものであるが、処理を繰り返すにつれ、こ
の主法線は、生成される滑らかな曲線の主法線に近づ
く。以下の計算方法は一例であって、単位主法線の計算
方法は以下の方法に限定されるものではない。
の方法を説明する。従法線の場合と同様に、主法線の計
算も擬似的なものであるが、処理を繰り返すにつれ、こ
の主法線は、生成される滑らかな曲線の主法線に近づ
く。以下の計算方法は一例であって、単位主法線の計算
方法は以下の方法に限定されるものではない。
【００４０】ノードＰiの単位主法線Ｎiを計算する場合
には、まず、単位従法線Ｂiを計算する。これはステッ
プ１０５の処理で得られている。そして、ベクトルＰi
−Ｐi -1と単位従法線Ｂiとの外積としてＺi-1を、ベク
トルＰi+1−Ｐiと単位従法線Ｂ iとの外積としてＺi+1を
計算する。なお、単位従法線が零ベクトルである場合に
はＺi-1及びＺi+1も零ベクトルとなる。また、ノードＰ
iが開いたノード列の端のノードである場合には、Ｚi-1
又はＺi+1のうち、隣接ノードが存在しない方のベクト
ルを零ベクトルとする。以上のように求められたＺi-1
及びＺi+1を用いて、単位主法線を以下のように計算す
る。 Ｎi＝（Ｚi-1＋Ｚi+1）／｜Ｚi-1＋Ｚi+1｜ 又は Ｎi＝（Ｚi-1／｜Ｚi-1｜＋Ｚi+1／｜Ｚi+1｜）／｜Ｚ
i-1／｜Ｚi-1｜＋Ｚi+1／｜Ｚi+1｜｜
には、まず、単位従法線Ｂiを計算する。これはステッ
プ１０５の処理で得られている。そして、ベクトルＰi
−Ｐi -1と単位従法線Ｂiとの外積としてＺi-1を、ベク
トルＰi+1−Ｐiと単位従法線Ｂ iとの外積としてＺi+1を
計算する。なお、単位従法線が零ベクトルである場合に
はＺi-1及びＺi+1も零ベクトルとなる。また、ノードＰ
iが開いたノード列の端のノードである場合には、Ｚi-1
又はＺi+1のうち、隣接ノードが存在しない方のベクト
ルを零ベクトルとする。以上のように求められたＺi-1
及びＺi+1を用いて、単位主法線を以下のように計算す
る。 Ｎi＝（Ｚi-1＋Ｚi+1）／｜Ｚi-1＋Ｚi+1｜ 又は Ｎi＝（Ｚi-1／｜Ｚi-1｜＋Ｚi+1／｜Ｚi+1｜）／｜Ｚ
i-1／｜Ｚi-1｜＋Ｚi+1／｜Ｚi+1｜｜
【００４１】上の最初の式は、Ｚi-1及びＺi+1をその大
きさを考慮して足した場合の単位主法線であり、２番目
の式は、Ｚi-1及びＺi+1方向のそれぞれの単位ベクトル
を足した場合の単位主法線である。なお、上２式の分母
のベクトルが零ベクトルになる場合には、単位主法線Ｎ
iも零ベクトルであるとする。
きさを考慮して足した場合の単位主法線であり、２番目
の式は、Ｚi-1及びＺi+1方向のそれぞれの単位ベクトル
を足した場合の単位主法線である。なお、上２式の分母
のベクトルが零ベクトルになる場合には、単位主法線Ｎ
iも零ベクトルであるとする。
【００４２】以上述べた単位主法線の計算方法は、単位
主法線又は単位接線の拘束条件が指定されていないノー
ドについて実施する。ノードに対する拘束条件として単
位主法線そのものが指定されている場合には、その指定
された単位主法線を当該ノードにおける単位主法線とし
て後の計算を実施する。なお、法線の指定の方法とし
て、自由度０の指定方法と自由度１の指定方法がある。
自由度０の指定方法は法線そのものが指定される場合で
あって、自由度１の指定方法では法線が存在できる面
（平面又は曲面）が指定される。自由度０の場合には以
上の説明のとおりであって、自由度１の場合には、上の
方法で仮に単位主法線を計算し、その仮の単位主法線を
最短距離で、指定された面に移動させ、移動した先の単
位ベクトルをそのノードの単位主法線とする。
主法線又は単位接線の拘束条件が指定されていないノー
ドについて実施する。ノードに対する拘束条件として単
位主法線そのものが指定されている場合には、その指定
された単位主法線を当該ノードにおける単位主法線とし
て後の計算を実施する。なお、法線の指定の方法とし
て、自由度０の指定方法と自由度１の指定方法がある。
自由度０の指定方法は法線そのものが指定される場合で
あって、自由度１の指定方法では法線が存在できる面
（平面又は曲面）が指定される。自由度０の場合には以
上の説明のとおりであって、自由度１の場合には、上の
方法で仮に単位主法線を計算し、その仮の単位主法線を
最短距離で、指定された面に移動させ、移動した先の単
位ベクトルをそのノードの単位主法線とする。
【００４３】一方、単位接線が拘束条件として指定され
た場合には、（１）ステップ１０５にて説明した方法で
仮の単位従法線を計算し、（２）仮の単位従法線と指定
された単位接線との外積として単位主法線を計算する。
た場合には、（１）ステップ１０５にて説明した方法で
仮の単位従法線を計算し、（２）仮の単位従法線と指定
された単位接線との外積として単位主法線を計算する。
【００４４】以上説明したように法線計算部の処理が実
施される。なお、本実施例では全てのノードの単位法線
を計算した後にノード位置変更部に移行するが、ノード
位置変更部において必要となるノードについてのみ法線
を計算し、すぐにノード位置変更部に移行するよう変更
することも可能である。
施される。なお、本実施例では全てのノードの単位法線
を計算した後にノード位置変更部に移行するが、ノード
位置変更部において必要となるノードについてのみ法線
を計算し、すぐにノード位置変更部に移行するよう変更
することも可能である。
【００４５】次にノード位置変更部について説明する。
まず、あるノードについて従法線方向の変位ベクトルＶ
bend1を計算する（ステップ１０９）。そして、そのノ
ードについて主法線方向の変位ベクトルＶbend2を計算
する（ステップ１１１）。さらに、ノード分布を修正す
るための変位ベクトルＶstretchを計算する（ステップ
１１３）。最後に、Ｖbend1、Ｖbend2及びＶstretchを
加算してＶallを計算する（ステップ１１５）。このＶ
allを用いてそのノードの位置ベクトルを変更する（ス
テップ１１７）。これにより１つのノードの位置が変更
できたことになる。結果は記憶装置に記憶する。そし
て、全てのノードについて処理するまでステップ１０９
乃至１１７を繰り返す（ステップ１１９）。
まず、あるノードについて従法線方向の変位ベクトルＶ
bend1を計算する（ステップ１０９）。そして、そのノ
ードについて主法線方向の変位ベクトルＶbend2を計算
する（ステップ１１１）。さらに、ノード分布を修正す
るための変位ベクトルＶstretchを計算する（ステップ
１１３）。最後に、Ｖbend1、Ｖbend2及びＶstretchを
加算してＶallを計算する（ステップ１１５）。このＶ
allを用いてそのノードの位置ベクトルを変更する（ス
テップ１１７）。これにより１つのノードの位置が変更
できたことになる。結果は記憶装置に記憶する。そし
て、全てのノードについて処理するまでステップ１０９
乃至１１７を繰り返す（ステップ１１９）。
【００４６】では最初に、従法線方向の変位ベクトルＶ
bend1の計算（ステップ１０９）の方法について説明す
る。ノードＰiに作用する、ノードＰi-1からの力による
変位ベクトルＹi-1を計算し、同様にノードＰiに作用す
る、ノードＰi+1からの力による変位ベクトルＹi+1を計
算する。そのため、Ｐiを通り且つ単位従法線Ｂiに平行
な直線をＬi、Ｐi-1を通り且つ単位従法線Ｂi-1に平行
な直線をＬi-1、Ｐi+ 1を通り且つ単位従法線Ｂi+1に平
行な直線をＬi+1とする。また、直線ＬiとＬi- 1との最
短距離の足に相当する点をそれぞれＨi1及びＨi-1と
し、直線ＬiとＬi+1との最短距離の足に相当する点をそ
れぞれＨi2及びＨi+1とする。さらに、ノードＰiにおけ
る弾性体の弾性係数をＫi、ノードＰi-1における弾性体
の弾性係数をＫi-1、ノードＰi+1における弾性体の弾性
係数をＫi+1とする。
bend1の計算（ステップ１０９）の方法について説明す
る。ノードＰiに作用する、ノードＰi-1からの力による
変位ベクトルＹi-1を計算し、同様にノードＰiに作用す
る、ノードＰi+1からの力による変位ベクトルＹi+1を計
算する。そのため、Ｐiを通り且つ単位従法線Ｂiに平行
な直線をＬi、Ｐi-1を通り且つ単位従法線Ｂi-1に平行
な直線をＬi-1、Ｐi+ 1を通り且つ単位従法線Ｂi+1に平
行な直線をＬi+1とする。また、直線ＬiとＬi- 1との最
短距離の足に相当する点をそれぞれＨi1及びＨi-1と
し、直線ＬiとＬi+1との最短距離の足に相当する点をそ
れぞれＨi2及びＨi+1とする。さらに、ノードＰiにおけ
る弾性体の弾性係数をＫi、ノードＰi-1における弾性体
の弾性係数をＫi-1、ノードＰi+1における弾性体の弾性
係数をＫi+1とする。
【００４７】この時、Ｙi-1及びＹi+1は以下のとおりに
なる。 Ｙi-1＝（Ｋi-1｜Ｐi-1−Ｈi-1｜−Ｋi｜Ｐi−Ｈi1｜）
Ｂi Ｙi+1＝（Ｋi+1｜Ｐi+1−Ｈi+1｜−Ｋi｜Ｐi−Ｈi2｜）
Ｂi なお、Ｋi＝Ｋi-1＝Ｋi+1であるならば、以下のように
簡単化することができる。 Ｙi-1＝（｜Ｐi-1−Ｈi-1｜−｜Ｐi−Ｈi1｜）Ｂi Ｙi+1＝（｜Ｐi+1−Ｈi+1｜−｜Ｐi−Ｈi2｜）Ｂi
なる。 Ｙi-1＝（Ｋi-1｜Ｐi-1−Ｈi-1｜−Ｋi｜Ｐi−Ｈi1｜）
Ｂi Ｙi+1＝（Ｋi+1｜Ｐi+1−Ｈi+1｜−Ｋi｜Ｐi−Ｈi2｜）
Ｂi なお、Ｋi＝Ｋi-1＝Ｋi+1であるならば、以下のように
簡単化することができる。 Ｙi-1＝（｜Ｐi-1−Ｈi-1｜−｜Ｐi−Ｈi1｜）Ｂi Ｙi+1＝（｜Ｐi+1−Ｈi+1｜−｜Ｐi−Ｈi2｜）Ｂi
【００４８】以上のように計算されたＹi-1及びＹi+1を
用いて、ノードＰiの従法線方向の変位ベクトルＶbend1
は以下のように計算される。 Ｖbend1＝（Ｙi-1＋Ｙi+1）／２ 又は Ｖbend1＝（Leni-1Ｙi-1＋Leni+1Ｙi+1）／（Leni-1＋L
eni+1） Leni-1＝｜Ｐi−Ｐi-1｜且つLeni+1＝｜Ｐi−Ｐi+1｜
用いて、ノードＰiの従法線方向の変位ベクトルＶbend1
は以下のように計算される。 Ｖbend1＝（Ｙi-1＋Ｙi+1）／２ 又は Ｖbend1＝（Leni-1Ｙi-1＋Leni+1Ｙi+1）／（Leni-1＋L
eni+1） Leni-1＝｜Ｐi−Ｐi-1｜且つLeni+1＝｜Ｐi−Ｐi+1｜
【００４９】なお、上の２番目の式は、ノードＰiから
Ｐi-1への距離、ノードＰiからＰi+1への距離により重
み付けた計算方法である。以上の式は一例であって、本
発明はこれらに限定されない。
Ｐi-1への距離、ノードＰiからＰi+1への距離により重
み付けた計算方法である。以上の式は一例であって、本
発明はこれらに限定されない。
【００５０】次に主法線方向の変位ベクトルＶbend2の
計算（ステップ１１１）の方法を説明する。これは基本
的に従法線方向の変位ベクトルＶbend2の計算方法と同
じである。但し、直線Ｌi、Ｌi-1、Ｌi+1は、それぞれ
単位主法線Ｎi、Ｎi-1、Ｎi+1に平行であり、Ｙ'i-1及
びＹ'i+1（'は従法線方向のものと同じでないので付し
た）の方向も単位従法線方向ではなく、単位主法線方向
である。よってＹ'i-1及びＹ'i+1は以下のように書くこ
とができる。 Ｙ'i-1＝（Ｋ'i-1｜Ｐi-1−Ｈ'i-1｜−Ｋ'i｜Ｐi−Ｈ'
i1｜）Ｎi Ｙ'i+1＝（Ｋ'i+1｜Ｐi+1−Ｈ'i+1｜−Ｋ'i｜Ｐi−Ｈ'
i2｜）Ｎi なお、弾性係数も従法線方向と主法線方向と異なる値を
用いることもできる。よって、上の式ではＫ'i、
Ｋ'i-1、Ｋ'i+1としている。また、直線Ｌ同士の最短距
離の足となる点も従法線の場合とは異なるためＨ'i-1、
Ｈ'i1、Ｈ'i+1。Ｈ'i2としている。
計算（ステップ１１１）の方法を説明する。これは基本
的に従法線方向の変位ベクトルＶbend2の計算方法と同
じである。但し、直線Ｌi、Ｌi-1、Ｌi+1は、それぞれ
単位主法線Ｎi、Ｎi-1、Ｎi+1に平行であり、Ｙ'i-1及
びＹ'i+1（'は従法線方向のものと同じでないので付し
た）の方向も単位従法線方向ではなく、単位主法線方向
である。よってＹ'i-1及びＹ'i+1は以下のように書くこ
とができる。 Ｙ'i-1＝（Ｋ'i-1｜Ｐi-1−Ｈ'i-1｜−Ｋ'i｜Ｐi−Ｈ'
i1｜）Ｎi Ｙ'i+1＝（Ｋ'i+1｜Ｐi+1−Ｈ'i+1｜−Ｋ'i｜Ｐi−Ｈ'
i2｜）Ｎi なお、弾性係数も従法線方向と主法線方向と異なる値を
用いることもできる。よって、上の式ではＫ'i、
Ｋ'i-1、Ｋ'i+1としている。また、直線Ｌ同士の最短距
離の足となる点も従法線の場合とは異なるためＨ'i-1、
Ｈ'i1、Ｈ'i+1。Ｈ'i2としている。
【００５１】さらに、Ｖbend2は以下のように書くこと
ができる。 Ｖbend2＝（Ｙ'i-1＋Ｙ'i+1）／２ 又は Ｖbend2＝（Leni-1Ｙ'i-1＋Leni+1Ｙ'i+1）／（Leni-1
＋Leni+1） Leni-1＝｜Ｐi−Ｐi-1｜且つLeni+1＝｜Ｐi−Ｐi+1｜
ができる。 Ｖbend2＝（Ｙ'i-1＋Ｙ'i+1）／２ 又は Ｖbend2＝（Leni-1Ｙ'i-1＋Leni+1Ｙ'i+1）／（Leni-1
＋Leni+1） Leni-1＝｜Ｐi−Ｐi-1｜且つLeni+1＝｜Ｐi−Ｐi+1｜
【００５２】従法線方向の変位ベクトルも主法線方向の
変位ベクトルも隣接するノードのみを用いて計算した
が、隣接しないノードを考慮に入れた形に変形すること
も可能である。
変位ベクトルも隣接するノードのみを用いて計算した
が、隣接しないノードを考慮に入れた形に変形すること
も可能である。
【００５３】ノード分布を修正するための変位ベクトル
Ｖstretchの計算（ステップ１１３）の方法を説明す
る。上で述べたＶbend1及びＶbend2のみで計算を繰り返
していくと、ノードの分布が不均一になる。そこでノー
ド分布を修正する目的のために変位ベクトルＶstretch
を計算する。ここで計算する変位ベクトルＶ
stretchは、ノードにおける接線方向へのベクトルであ
り、言い換えると曲線に沿った方向への変位ベクトルで
ある。曲線から離れる方向、すなわち従法線及び主法線
方向への成分は含まれない。Ｖstretchは、Ｖbend1及び
Ｖbend2と互いに直行する変位ベクトルである。なお、
初めに入力されるノード列が初めからほぼ滑らかな場合
には、本ステップを実施しなくとも目的の滑らかな曲線
を得ることができる。
Ｖstretchの計算（ステップ１１３）の方法を説明す
る。上で述べたＶbend1及びＶbend2のみで計算を繰り返
していくと、ノードの分布が不均一になる。そこでノー
ド分布を修正する目的のために変位ベクトルＶstretch
を計算する。ここで計算する変位ベクトルＶ
stretchは、ノードにおける接線方向へのベクトルであ
り、言い換えると曲線に沿った方向への変位ベクトルで
ある。曲線から離れる方向、すなわち従法線及び主法線
方向への成分は含まれない。Ｖstretchは、Ｖbend1及び
Ｖbend2と互いに直行する変位ベクトルである。なお、
初めに入力されるノード列が初めからほぼ滑らかな場合
には、本ステップを実施しなくとも目的の滑らかな曲線
を得ることができる。
【００５４】ノードＰiにおけるＶstretchを計算するに
は、（１）隣接する２つのノードＰ i-1及びＰi+1の中点
にＰiを移動させるベクトルを計算し、（２）そのベク
トルから主法線方向の成分と従法線方向の成分を削除し
て、接線方向の成分だけを残し、それを変位ベクトルＶ
stretchとする。式で表現すると以下のようになる。 Ｖstretch＝Ｖc0−Ｖc1−Ｖc2 Ｖc0＝（Ｐi-1＋Ｐi+1）／２−Ｐi Ｖc1＝dot（Ｖc0,Ｂi）Ｂi Ｖc2＝dot（Ｖc0,Ｎi）Ｎi なお、dot（Ｖ1，Ｖ2）はベクトルＶ1とＶ2の内積を表
す。
は、（１）隣接する２つのノードＰ i-1及びＰi+1の中点
にＰiを移動させるベクトルを計算し、（２）そのベク
トルから主法線方向の成分と従法線方向の成分を削除し
て、接線方向の成分だけを残し、それを変位ベクトルＶ
stretchとする。式で表現すると以下のようになる。 Ｖstretch＝Ｖc0−Ｖc1−Ｖc2 Ｖc0＝（Ｐi-1＋Ｐi+1）／２−Ｐi Ｖc1＝dot（Ｖc0,Ｂi）Ｂi Ｖc2＝dot（Ｖc0,Ｎi）Ｎi なお、dot（Ｖ1，Ｖ2）はベクトルＶ1とＶ2の内積を表
す。
【００５５】なお、（１）のノードＰiをＰi-1とＰi+1
の中点に移動させる場合の変位は、Ｐiに対してＰi-1と
Ｐi+1からのそれぞれの距離に比例した（距離が０の時
力が０）力を作用させた場合の変位であると解釈でき
る。この力は、必ずしも距離に比例している必要はな
く、また距離が０の時に力が０である必要も無い。例え
ば、分子間力のような非線型なばねの力をＰi-1とＰi+1
から受けると考えてＰiの変位を計算してもよい。
の中点に移動させる場合の変位は、Ｐiに対してＰi-1と
Ｐi+1からのそれぞれの距離に比例した（距離が０の時
力が０）力を作用させた場合の変位であると解釈でき
る。この力は、必ずしも距離に比例している必要はな
く、また距離が０の時に力が０である必要も無い。例え
ば、分子間力のような非線型なばねの力をＰi-1とＰi+1
から受けると考えてＰiの変位を計算してもよい。
【００５６】以上計算された変位ベクトルＶbend1、Ｖ
bend2及びＶstretchを用いて、最終的な変位ベクトルＶ
allを計算（ステップ１１５）するため、Ｖbend1、Ｖ
bend2及びＶstretchを加算する。そして、ノードＰiの
位置ベクトルを、Ｖallを元の位置ベクトルに加算する
ことにより決定する（ステップ１１７）。このノード位
置変更部において処理された後の位置ベクトルは記憶装
置に記憶される。但し、元の位置ベクトルも他のノード
の新たな位置ベクトルを計算する処理に用いられる場合
もあるので、その場合には全てのノードについて処理が
完了するまで保持しておく必要がある。
bend2及びＶstretchを用いて、最終的な変位ベクトルＶ
allを計算（ステップ１１５）するため、Ｖbend1、Ｖ
bend2及びＶstretchを加算する。そして、ノードＰiの
位置ベクトルを、Ｖallを元の位置ベクトルに加算する
ことにより決定する（ステップ１１７）。このノード位
置変更部において処理された後の位置ベクトルは記憶装
置に記憶される。但し、元の位置ベクトルも他のノード
の新たな位置ベクトルを計算する処理に用いられる場合
もあるので、その場合には全てのノードについて処理が
完了するまで保持しておく必要がある。
【００５７】ノードＰiの元の位置ベクトルを用いず
に、他のノードの新たな位置ベクトルを計算する処理
に、ノードＰiの新たな位置ベクトルを用いて計算する
という方法も考えられる。この場合には、再度法線を計
算し直した方がよい場合もある。
に、他のノードの新たな位置ベクトルを計算する処理
に、ノードＰiの新たな位置ベクトルを用いて計算する
という方法も考えられる。この場合には、再度法線を計
算し直した方がよい場合もある。
【００５８】ステップ１１９においてノード位置変更部
の制御部分を実行する。すなわち、全てのノードについ
て処理（ステップ１０９乃至１１７）を実行したか判断
する。なお、拘束条件としてノードの座標値を指定して
いる場合がある。その場合には、ノード位置変更部の処
理を実施しないで、指定された座標値を当該ノードの位
置として取り扱う。但し、位置の拘束条件も自由度０の
指定方法、自由度１の指定方法、自由度２の指定方法が
ある。自由度０の指定方法は、ノードの位置を具体的に
座標値として指定している場合であって、上で述べたと
おり、ノード位置変更部の処理は不要である。自由度１
の指定方法の場合には、ノードが存在し得る線が指定さ
れるので、上の方法でノードの位置を計算した後、計算
されたノードの位置から最も近く且つ指定された線上の
点を求める。自由度２の指定方法の場合、ノードが存在
し得る面（平面及び曲面）が指定されるので、上の方法
でノードの位置を計算した後、計算されたノードの位置
から最も近く且つ指定された面上の点を求める。
の制御部分を実行する。すなわち、全てのノードについ
て処理（ステップ１０９乃至１１７）を実行したか判断
する。なお、拘束条件としてノードの座標値を指定して
いる場合がある。その場合には、ノード位置変更部の処
理を実施しないで、指定された座標値を当該ノードの位
置として取り扱う。但し、位置の拘束条件も自由度０の
指定方法、自由度１の指定方法、自由度２の指定方法が
ある。自由度０の指定方法は、ノードの位置を具体的に
座標値として指定している場合であって、上で述べたと
おり、ノード位置変更部の処理は不要である。自由度１
の指定方法の場合には、ノードが存在し得る線が指定さ
れるので、上の方法でノードの位置を計算した後、計算
されたノードの位置から最も近く且つ指定された線上の
点を求める。自由度２の指定方法の場合、ノードが存在
し得る面（平面及び曲面）が指定されるので、上の方法
でノードの位置を計算した後、計算されたノードの位置
から最も近く且つ指定された面上の点を求める。
【００５９】最後に処理全体の終了制御部であるステッ
プ１２１及び１２３の説明を行う。ステップ１２１は処
理全体の終了条件に関する。計算を終了させる条件には
いくつかの方法が考えられるが、一例としてノードの変
位ベクトルＶallの大きさが一定値以下であるかどうか
で判断する。この場合、全てのノードのうち｜Ｖall｜
が最も大きいものを基準にすることも、｜Ｖall｜の平
均値を用いてもよい。一方、各ノードＰiについて、距
離｜Ｐi−Ｐi-1｜と｜Ｐi−Ｐi+1｜との最小値、又は平
均値、又は最大値をＬiとし、Ｄi＝｜Ｖall｜とした時
に、各ノードＰiについてＤi／Ｌiを計算する。これは
ノード間距離により正規化されたノードの移動量であ
る。このように各ノードに対して計算された、正規化さ
れたノードの移動量の、最大値、又は平均値が所定のし
きい値以下であれば、所定の安定状態を得たとして処理
を終了する。なお、これらは一例であって、他の基準を
もって判断することも可能である。もし、所定の安定状
態が得られていないと判断できる場合には、ステップ１
０３に戻って、再度処理する。この際に、ステップ１２
３で先に計算した法線のデータをクリアしておく。
プ１２１及び１２３の説明を行う。ステップ１２１は処
理全体の終了条件に関する。計算を終了させる条件には
いくつかの方法が考えられるが、一例としてノードの変
位ベクトルＶallの大きさが一定値以下であるかどうか
で判断する。この場合、全てのノードのうち｜Ｖall｜
が最も大きいものを基準にすることも、｜Ｖall｜の平
均値を用いてもよい。一方、各ノードＰiについて、距
離｜Ｐi−Ｐi-1｜と｜Ｐi−Ｐi+1｜との最小値、又は平
均値、又は最大値をＬiとし、Ｄi＝｜Ｖall｜とした時
に、各ノードＰiについてＤi／Ｌiを計算する。これは
ノード間距離により正規化されたノードの移動量であ
る。このように各ノードに対して計算された、正規化さ
れたノードの移動量の、最大値、又は平均値が所定のし
きい値以下であれば、所定の安定状態を得たとして処理
を終了する。なお、これらは一例であって、他の基準を
もって判断することも可能である。もし、所定の安定状
態が得られていないと判断できる場合には、ステップ１
０３に戻って、再度処理する。この際に、ステップ１２
３で先に計算した法線のデータをクリアしておく。
【００６０】Ｂ．メッシュ内のノード群を用いて滑らか
な曲面を生成する方法メッシュ内のノード群Ｐi（ｉ＝
１．．．ｎ）の位置情報は記憶装置に記憶されている。
メッシュの生成方法には様々な方法があるが、例えば日
本特許第２６０３９０２号に記載されている方法を用い
ることができる。図６に高レベルのフローチャートを示
す。
な曲面を生成する方法メッシュ内のノード群Ｐi（ｉ＝
１．．．ｎ）の位置情報は記憶装置に記憶されている。
メッシュの生成方法には様々な方法があるが、例えば日
本特許第２６０３９０２号に記載されている方法を用い
ることができる。図６に高レベルのフローチャートを示
す。
【００６１】本フローチャートは大きくわけて３つの部
分に分けられる。ステップ２０３及びステップ２０５で
構成される法線計算部、ステップ２０７乃至ステップ２
１５で構成されるノード位置変更部、ステップ２１７及
びステップ２１９で構成される終了制御部である。これ
は一例であって、例えばノード位置変更部は、ステップ
２０７乃至２１３とそれらの繰り返し制御を行うステッ
プ２１５とにさらに分けることも可能である。
分に分けられる。ステップ２０３及びステップ２０５で
構成される法線計算部、ステップ２０７乃至ステップ２
１５で構成されるノード位置変更部、ステップ２１７及
びステップ２１９で構成される終了制御部である。これ
は一例であって、例えばノード位置変更部は、ステップ
２０７乃至２１３とそれらの繰り返し制御を行うステッ
プ２１５とにさらに分けることも可能である。
【００６２】では、法線計算部から説明する。面を取り
扱う場合には法線は１本である。まず、全ての単位法線
が計算済みであるか判断する（ステップ２０３）。全て
のノードの単位法線が予め拘束条件として指定されてい
ない限り、最初このステップの判断は否定される。よっ
て、ステップ２０５でノードの単位法線を計算する。全
てのノードの単位法線が計算済みとされるまで、このス
テップ２０５を繰り返す。計算された単位法線は記憶装
置に記憶される。
扱う場合には法線は１本である。まず、全ての単位法線
が計算済みであるか判断する（ステップ２０３）。全て
のノードの単位法線が予め拘束条件として指定されてい
ない限り、最初このステップの判断は否定される。よっ
て、ステップ２０５でノードの単位法線を計算する。全
てのノードの単位法線が計算済みとされるまで、このス
テップ２０５を繰り返す。計算された単位法線は記憶装
置に記憶される。
【００６３】具体的にステップ２０５のノードの単位法
線の計算方法を説明する。取り扱う面はメッシュという
離散的なモデルにより表現されているため厳密にノード
における面の法線を計算することはできない。よって、
隣接するノードを用いて擬似的に法線を計算する。但
し、処理を繰り返していくうちに計算される単位法線
は、生成される滑らかな曲面の単位法線に近づく。図７
に示すように、ノードＰiとそれに隣接するノードＰi0
乃至Ｐi4（一般的にはＰm）とで構成するメッシュ要素
（図７では三角形であるが、ｎ角形であってもよい。ｎ
は正の整数。）の法線Ｎi0乃至Ｎi4（一般的にはＮim）
を計算する。但し、法線Ｎi0乃至Ｎimは、要素の面積に
比例するような大きさを有するものとする。これらの法
線Ｎi0乃至Ｎ imを用いて、ノードＰiにおける法線Ｎiは
以下のように表される。 Ｎi＝（Ｎi0＋．．．＋Ｎim）／｜Ｎi0＋．．．＋Ｎim
｜ なお、隣接するノードと構成する要素の数は一般的にｍ
個であるとしている。また、法線Ｎi0乃至Ｎi4を例えば
単位ベクトルとして計算し、その後上記の式でＮ iを計
算することも考えられる。
線の計算方法を説明する。取り扱う面はメッシュという
離散的なモデルにより表現されているため厳密にノード
における面の法線を計算することはできない。よって、
隣接するノードを用いて擬似的に法線を計算する。但
し、処理を繰り返していくうちに計算される単位法線
は、生成される滑らかな曲面の単位法線に近づく。図７
に示すように、ノードＰiとそれに隣接するノードＰi0
乃至Ｐi4（一般的にはＰm）とで構成するメッシュ要素
（図７では三角形であるが、ｎ角形であってもよい。ｎ
は正の整数。）の法線Ｎi0乃至Ｎi4（一般的にはＮim）
を計算する。但し、法線Ｎi0乃至Ｎimは、要素の面積に
比例するような大きさを有するものとする。これらの法
線Ｎi0乃至Ｎ imを用いて、ノードＰiにおける法線Ｎiは
以下のように表される。 Ｎi＝（Ｎi0＋．．．＋Ｎim）／｜Ｎi0＋．．．＋Ｎim
｜ なお、隣接するノードと構成する要素の数は一般的にｍ
個であるとしている。また、法線Ｎi0乃至Ｎi4を例えば
単位ベクトルとして計算し、その後上記の式でＮ iを計
算することも考えられる。
【００６４】なお、拘束条件として単位法線自体が指定
されているノードについては、上の計算を行わない。ま
た、単位法線が存在できる面が拘束条件として指定され
ている場合には、上の計算を行って単位法線を計算し、
指定された面に最短距離で移動させた後のベクトルを単
位法線として用いる。
されているノードについては、上の計算を行わない。ま
た、単位法線が存在できる面が拘束条件として指定され
ている場合には、上の計算を行って単位法線を計算し、
指定された面に最短距離で移動させた後のベクトルを単
位法線として用いる。
【００６５】以上説明したように法線計算部の処理が実
施される。なお、本実施例では全てのノードの単位法線
を計算した後にノード位置変更部に移行するが、ノード
位置変更部において必要となるノードについてのみ法線
を計算し、すぐにノード位置変更部に移行するよう変更
することも可能である。
施される。なお、本実施例では全てのノードの単位法線
を計算した後にノード位置変更部に移行するが、ノード
位置変更部において必要となるノードについてのみ法線
を計算し、すぐにノード位置変更部に移行するよう変更
することも可能である。
【００６６】次にノード位置変更部を説明する。ここで
は、あるノードＰiについて法線方向の変位ベクトルＶ
bendを計算し（ステップ２０７）、ノード分布を修正す
るためにの変位ベクトルＶstretchを計算する（ステッ
プ２０９）。このＶbendとＶs tretchを用いて、変位ベ
クトルＶallを計算し（ステップ２１１）、あるノード
Ｐiの位置ベクトルを変更する（ステップ２１３）。計
算されたノードＰiの位置情報は記憶装置に記憶され
る。これを全てのノードについて処理するまで繰り返す
（ステップ２１５）。
は、あるノードＰiについて法線方向の変位ベクトルＶ
bendを計算し（ステップ２０７）、ノード分布を修正す
るためにの変位ベクトルＶstretchを計算する（ステッ
プ２０９）。このＶbendとＶs tretchを用いて、変位ベ
クトルＶallを計算し（ステップ２１１）、あるノード
Ｐiの位置ベクトルを変更する（ステップ２１３）。計
算されたノードＰiの位置情報は記憶装置に記憶され
る。これを全てのノードについて処理するまで繰り返す
（ステップ２１５）。
【００６７】では各ステップの詳細を説明する。まず、
法線方向の変位ベクトルＶbendの計算（ステップ２０
７）の方法について説明する。ノードＰiはそれに隣接
するＰi 0乃至Ｐimのそれぞれから力を受けるが、まず隣
接する１つのノードＰijから受ける変位ベクトルＹijを
計算する。これは、曲線の場合と同じであって、以下の
ように記載することができる。 Ｙij＝（Ｋj｜Ｐij−Ｈij｜−Ｋi｜Ｐi−Ｈi｜）Ｎi なお、Ｋi＝Ｋi＝Ｋjであるならば、以下のように簡単
化することができる。 Ｙij＝（｜Ｐij−Ｈij｜−｜Ｐi−Ｈi｜）Ｎi 但し、Ｐiを通り且つ単位法線Ｎiに平行な直線をＬi、
Ｐijを通り且つ単位法線Ｎijに平行な直線をＬijとし、
直線Ｌi及びＬijの最短距離の足に相当する点をそれぞ
れＨi、Ｈijとした。
法線方向の変位ベクトルＶbendの計算（ステップ２０
７）の方法について説明する。ノードＰiはそれに隣接
するＰi 0乃至Ｐimのそれぞれから力を受けるが、まず隣
接する１つのノードＰijから受ける変位ベクトルＹijを
計算する。これは、曲線の場合と同じであって、以下の
ように記載することができる。 Ｙij＝（Ｋj｜Ｐij−Ｈij｜−Ｋi｜Ｐi−Ｈi｜）Ｎi なお、Ｋi＝Ｋi＝Ｋjであるならば、以下のように簡単
化することができる。 Ｙij＝（｜Ｐij−Ｈij｜−｜Ｐi−Ｈi｜）Ｎi 但し、Ｐiを通り且つ単位法線Ｎiに平行な直線をＬi、
Ｐijを通り且つ単位法線Ｎijに平行な直線をＬijとし、
直線Ｌi及びＬijの最短距離の足に相当する点をそれぞ
れＨi、Ｈijとした。
【００６８】同様にして全ての隣接するノードＰi0乃至
ＰimについてＹi0乃至Ｙimを計算する。この計算された
Ｙi0乃至Ｙimを用いて、ノードＰiの法線方向の変位ベ
クトルＶbendを計算する。 Ｖbend＝（Ｙi0＋．．．＋Ｙim）／（ｍ＋１） 又は、 Ｖbend＝（Len0Ｙi0＋Len1Ｙi1＋．．．LenmＹim）／
（Len0＋Len1＋．．．Lenm） Lenj＝｜Ｐi−Ｐij｜（ｊ＝０．．．ｍ） 二番目の式はノードＰiから隣接するノードへの距離に
よって重み付けをした計算方法である。
ＰimについてＹi0乃至Ｙimを計算する。この計算された
Ｙi0乃至Ｙimを用いて、ノードＰiの法線方向の変位ベ
クトルＶbendを計算する。 Ｖbend＝（Ｙi0＋．．．＋Ｙim）／（ｍ＋１） 又は、 Ｖbend＝（Len0Ｙi0＋Len1Ｙi1＋．．．LenmＹim）／
（Len0＋Len1＋．．．Lenm） Lenj＝｜Ｐi−Ｐij｜（ｊ＝０．．．ｍ） 二番目の式はノードＰiから隣接するノードへの距離に
よって重み付けをした計算方法である。
【００６９】なお、上ではメッシュ内のノードＰiにつ
いて隣接するノードからの力を受けるとしたが、隣接し
ないノードから力を受けるようにしてもよい。また、ノ
ードだけでなく、メッシュを構成する辺の任意の点を基
準点Ｐxとして選択し、この基準点Ｐxに弾性体を定義す
ることもできる。すなわち、基準点Ｐxにおける法線を
求め、この法線に平行で且つ基準点Ｐxを通過する直線
と直線Ｌiの最短距離の足に相当する点を用い、上の式
でＹixを計算する（図８参照）。法線は、メッシュの辺
の両側にあるメッシュ要素の法線の平均等を用いてもよ
い。Ｖbendの計算も、隣接するノードのＹijと同じよう
に扱って計算することができる。
いて隣接するノードからの力を受けるとしたが、隣接し
ないノードから力を受けるようにしてもよい。また、ノ
ードだけでなく、メッシュを構成する辺の任意の点を基
準点Ｐxとして選択し、この基準点Ｐxに弾性体を定義す
ることもできる。すなわち、基準点Ｐxにおける法線を
求め、この法線に平行で且つ基準点Ｐxを通過する直線
と直線Ｌiの最短距離の足に相当する点を用い、上の式
でＹixを計算する（図８参照）。法線は、メッシュの辺
の両側にあるメッシュ要素の法線の平均等を用いてもよ
い。Ｖbendの計算も、隣接するノードのＹijと同じよう
に扱って計算することができる。
【００７０】次にノード分布を修正するための変位ベク
トルＶstretchの計算（ステップ２０９）の方法を説明
する。変位ベクトルＶbendによるノード位置の変更のみ
を繰り返していくとノードの分布が不均一になる。その
ため、導入する変位Ｖstretc hはノードにおける法線と
直交するベクトルとする。Ｖbendとも直交する。ノード
ＰiのＶstretchを考える場合には、それに隣接するノー
ドＰi0乃至Ｐimで構成される多角形の重心にノードＰi
を移動させるような変位ベクトルＶstretchを計算す
る。式で表すと以下のようになる。 Ｖstretch＝Ｖc0−Ｖc1 Ｖc0＝（Ｐi0＋．．．＋Ｐim）／（ｍ＋１）−Ｐi Ｖc1＝dot（Ｖc0，Ｎi）Ｎi なお、ノードの初期配置が既に滑らかな曲面に近い場合
には、このＶstretchを計算しないでもよい場合があ
る。
トルＶstretchの計算（ステップ２０９）の方法を説明
する。変位ベクトルＶbendによるノード位置の変更のみ
を繰り返していくとノードの分布が不均一になる。その
ため、導入する変位Ｖstretc hはノードにおける法線と
直交するベクトルとする。Ｖbendとも直交する。ノード
ＰiのＶstretchを考える場合には、それに隣接するノー
ドＰi0乃至Ｐimで構成される多角形の重心にノードＰi
を移動させるような変位ベクトルＶstretchを計算す
る。式で表すと以下のようになる。 Ｖstretch＝Ｖc0−Ｖc1 Ｖc0＝（Ｐi0＋．．．＋Ｐim）／（ｍ＋１）−Ｐi Ｖc1＝dot（Ｖc0，Ｎi）Ｎi なお、ノードの初期配置が既に滑らかな曲面に近い場合
には、このＶstretchを計算しないでもよい場合があ
る。
【００７１】Ｖstretch及びＶbendから変位ベクトルＶ
allを計算する（ステップ２１１）方法は、単純に２つ
のベクトルの加算である。すなわち、Ｖall＝Ｖstretch
＋Ｖbe ndでよい。
allを計算する（ステップ２１１）方法は、単純に２つ
のベクトルの加算である。すなわち、Ｖall＝Ｖstretch
＋Ｖbe ndでよい。
【００７２】なお、ノード分布の修正にはノードを追加
又は削除することも考えられる。例えば、隣接するノー
ドとの距離がある値以上に離れた場合にはそのノードの
間に１つノードを追加したり、逆に隣接するノードとの
距離が他のある値未満である場合にはいずれかのノード
を削除することも考えられる。
又は削除することも考えられる。例えば、隣接するノー
ドとの距離がある値以上に離れた場合にはそのノードの
間に１つノードを追加したり、逆に隣接するノードとの
距離が他のある値未満である場合にはいずれかのノード
を削除することも考えられる。
【００７３】最後に、ノードＰiの位置ベクトルを、Ｖ
allを元の位置ベクトルに加算することにより決定する
（ステップ２１３）。このノード位置変更部において処
理された後の位置ベクトルは記憶装置に記憶される。但
し、元の位置ベクトルも他のノードの新たな位置ベクト
ルを計算する処理に用いられるため、全てのノードにつ
いて処理するまで保持しておく必要がある。
allを元の位置ベクトルに加算することにより決定する
（ステップ２１３）。このノード位置変更部において処
理された後の位置ベクトルは記憶装置に記憶される。但
し、元の位置ベクトルも他のノードの新たな位置ベクト
ルを計算する処理に用いられるため、全てのノードにつ
いて処理するまで保持しておく必要がある。
【００７４】ノードＰiの元の位置ベクトルを用いず
に、他のノードの新たな位置ベクトルを計算する処理に
ノードＰiの新たな位置ベクトルを用いて計算するとい
う方法も考えられる。その場合には再度法線を計算し直
した方がよい場合もある。
に、他のノードの新たな位置ベクトルを計算する処理に
ノードＰiの新たな位置ベクトルを用いて計算するとい
う方法も考えられる。その場合には再度法線を計算し直
した方がよい場合もある。
【００７５】ステップ２１５においてノード位置変更部
の制御部分を実行する。すなわち、全てのノードについ
て処理（ステップ２０７乃至２１３）を実行したか判断
する。実行していなければステップ２０７に戻り他のノ
ードについて処理を実行する。一方、全てのノードにつ
いて処理を実行していた場合には、終了制御部に移行す
る。なお、拘束条件としてノードの座標値を指定してい
る場合がある。その場合には、ノード位置変更部の処理
を実施しないで、指定された座標値を当該ノードの位置
として取り扱う。但し、位置の拘束条件も自由度０の指
定方法、自由度１の指定方法、自由度２の指定方法があ
る。自由度０の指定方法は、ノードの位置を具体的に座
標値として指定している場合であって、上で述べたとお
り、ノード位置変更部の処理は不要である。自由度１の
指定方法の場合には、ノードが存在し得る線が指定され
るので、上の方法でノードの位置を計算した後、計算さ
れたノードの位置から最も近く且つ指定された線上の点
を求める。自由度２の指定方法の場合、ノードが存在し
得る面（平面及び曲面）が指定されるので、上の方法で
ノードの位置を計算した後、計算されたノードの位置か
ら最も近く且つ指定された面上の点を求める。
の制御部分を実行する。すなわち、全てのノードについ
て処理（ステップ２０７乃至２１３）を実行したか判断
する。実行していなければステップ２０７に戻り他のノ
ードについて処理を実行する。一方、全てのノードにつ
いて処理を実行していた場合には、終了制御部に移行す
る。なお、拘束条件としてノードの座標値を指定してい
る場合がある。その場合には、ノード位置変更部の処理
を実施しないで、指定された座標値を当該ノードの位置
として取り扱う。但し、位置の拘束条件も自由度０の指
定方法、自由度１の指定方法、自由度２の指定方法があ
る。自由度０の指定方法は、ノードの位置を具体的に座
標値として指定している場合であって、上で述べたとお
り、ノード位置変更部の処理は不要である。自由度１の
指定方法の場合には、ノードが存在し得る線が指定され
るので、上の方法でノードの位置を計算した後、計算さ
れたノードの位置から最も近く且つ指定された線上の点
を求める。自由度２の指定方法の場合、ノードが存在し
得る面（平面及び曲面）が指定されるので、上の方法で
ノードの位置を計算した後、計算されたノードの位置か
ら最も近く且つ指定された面上の点を求める。
【００７６】最後に終了制御を行う終了制御部（ステッ
プ２１７及び２１９）について説明する。所定の安定状
態になった場合には処理を終了するわけであるが、安定
状態になったかの判定は様々な方法が考えられる。基本
的にはノードの移動量が一定の値以下であれば反復を終
了する。各ノードＰiについて、隣接するノードＰi0乃
至Ｐimとの距離｜Ｐi−Ｐi0｜．．．．｜Ｐi−Ｐim｜の
最小値、又は平均値、又は最大値を計算し、それをＬi
とする。またＤi＝｜Ｖall｜を計算する。これらから各
ノードＰiについて、Ｄi／Ｌiを計算する。これはノー
ド間の距離によって正規化されたノードの移動量を表
す。このノード間距離によって正規化されたノードの移
動量の、最大値又は平均値がしきい値以下であれば処理
を終了させる。但し、これは一例であって、他の方法に
て安定状態を検出することも可能である。
プ２１７及び２１９）について説明する。所定の安定状
態になった場合には処理を終了するわけであるが、安定
状態になったかの判定は様々な方法が考えられる。基本
的にはノードの移動量が一定の値以下であれば反復を終
了する。各ノードＰiについて、隣接するノードＰi0乃
至Ｐimとの距離｜Ｐi−Ｐi0｜．．．．｜Ｐi−Ｐim｜の
最小値、又は平均値、又は最大値を計算し、それをＬi
とする。またＤi＝｜Ｖall｜を計算する。これらから各
ノードＰiについて、Ｄi／Ｌiを計算する。これはノー
ド間の距離によって正規化されたノードの移動量を表
す。このノード間距離によって正規化されたノードの移
動量の、最大値又は平均値がしきい値以下であれば処理
を終了させる。但し、これは一例であって、他の方法に
て安定状態を検出することも可能である。
【００７７】もし、安定状態でない場合にはステップ２
０３に戻る。但し、ステップ２１９で法線データをクリ
アしておく。
０３に戻る。但し、ステップ２１９で法線データをクリ
アしておく。
【００７８】以上本発明の処理フローを説明した。本発
明の処理フローはコンピュータ・プログラムによって実
施することができる。このコンピュータ・プログラム
は、例えば図９で示すようなコンピュータ・システムに
おいて実行可能である。この場合、コンピュータ・プロ
グラム及び必要なデータはハードディスク・ドライブＨ
ＤＤに格納されており、必要に応じてメインメモリに呼
び出され、ＣＰＵにて実行される。処理の結果（中間デ
ータを含む）もメインメモリに格納される。但し、仮想
記憶によってＨＤＤに記憶される場合もある。データ
は、キーボードやフロッピー・ディスクその他の記憶媒
体、また、モデム等の通信機器によって接続された通信
回線から供給され得る。コンピュータ・プログラムも他
のコンピュータ・システムから送られてくるようにして
もよい。同様に、コンピュータ・プログラムはＦＤやＣ
Ｄ−ＲＯＭその他の記憶媒体にて提供される場合があ
る。本発明の処理結果は、ＨＤＤなどに記憶された他の
コンピュータ・プログラムによって数値解析等に用いら
れる。さらに、表示装置や印刷装置によってユーザに提
示することも可能である。
明の処理フローはコンピュータ・プログラムによって実
施することができる。このコンピュータ・プログラム
は、例えば図９で示すようなコンピュータ・システムに
おいて実行可能である。この場合、コンピュータ・プロ
グラム及び必要なデータはハードディスク・ドライブＨ
ＤＤに格納されており、必要に応じてメインメモリに呼
び出され、ＣＰＵにて実行される。処理の結果（中間デ
ータを含む）もメインメモリに格納される。但し、仮想
記憶によってＨＤＤに記憶される場合もある。データ
は、キーボードやフロッピー・ディスクその他の記憶媒
体、また、モデム等の通信機器によって接続された通信
回線から供給され得る。コンピュータ・プログラムも他
のコンピュータ・システムから送られてくるようにして
もよい。同様に、コンピュータ・プログラムはＦＤやＣ
Ｄ−ＲＯＭその他の記憶媒体にて提供される場合があ
る。本発明の処理結果は、ＨＤＤなどに記憶された他の
コンピュータ・プログラムによって数値解析等に用いら
れる。さらに、表示装置や印刷装置によってユーザに提
示することも可能である。
【００７９】さらに本発明の処理を行う専用の装置にて
本発明を実施することもできる。例えば、法線計算部、
ノード位置変更部、制御部といったように上の処理フロ
ーを説明する上で分けた方法を用いて、必要なモジュー
ルを構成することも考えられる。さらに細かい単位又は
大きい単位で必要なモジュールを構成することも可能で
ある。
本発明を実施することもできる。例えば、法線計算部、
ノード位置変更部、制御部といったように上の処理フロ
ーを説明する上で分けた方法を用いて、必要なモジュー
ルを構成することも考えられる。さらに細かい単位又は
大きい単位で必要なモジュールを構成することも可能で
ある。
【００８０】
【効果】ノードの位置を変更することにより滑らかに変
化する曲線又は曲面を生成することができた。
化する曲線又は曲面を生成することができた。
【００８１】また、通過点等の与えられた条件を満た
し、かつ滑らかに変化する曲線又は曲面を生成すること
もできた。
し、かつ滑らかに変化する曲線又は曲面を生成すること
もできた。
【図１】本発明の基本原理を説明するための図である。
【図２】本発明の基本原理を説明するための図である。
【図３】滑らかな曲線を生成するための処理フローを示
した図である。
した図である。
【図４】従法線及び主法線の関係を示した図である。
【図５】法線の拘束条件の自由度２の例を示した図であ
る。
る。
【図６】滑らかな曲面を生成するための処理フローを示
した図である。
した図である。
【図７】変位ベクトルを説明するための図である。
【図８】メッシュの辺に基準点を設ける例を説明するた
めの図である。
めの図である。
【図９】通常のコンピュータの請う制令を示す図であ
る。
る。
１０１ー２１９ 処理ステップ
フロントページの続き (71)出願人 598022347 カーネギー メロン ユニバーシテイ アメリカ合衆国 15213 ペンシルバニア ピツツバーク フオーブス アベニユー 5000 (72)発明者 山田 敦 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 (72)発明者 古畑 智武 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 (72)発明者 嶋田 憲司 アメリカ合衆国 15237、ペンシルベニア 州、ピッツバーグ、ラ・コスタ・コート 1704 (72)発明者 コ−シュ・ホウ アメリカ合衆国 15213、ペンシルベニア 州、ピッツバーグ、ビッグロウ・ブルバー ド4041、アパート111 Ｆターム(参考） 5B046 FA04 FA18 5B050 BA07 BA09 EA13 EA28 5B080 AA05 AA10 AA19 DA07 DA08
Claims (15)
- 【請求項１】線又は面を構成する複数のノードの位置を
変更する方法であって、 ノードにおける法線のデータを記憶装置に格納する第１
ステップと、 (1)前記ノードの法線方向に当該ノードに接続した弾性
体を仮想的に定義し、(2)前記弾性体を前記法線方向に
伸縮させることにより、前記ノードの位置を変更し、当
該位置情報を記憶装置に格納する第２ステップと、 所定の条件を満たすまで所定のノードについて前記第１
及び第２ステップを繰り返すステップと、 を含むノード位置変更方法。 - 【請求項２】前記第２ステップは、ノード分布を修正す
るように前記ノードの位置をさらに変更するステップを
含む、請求項１記載のノード位置変更方法。 - 【請求項３】線を構成する複数のノードの位置を変更す
る場合には、 前記法線は従法線及び主法線を含み、当該従法線及び主
法線のいずれの方向についても弾性体を定義することを
特徴とする請求項１記載のノード位置変更方法。 - 【請求項４】前記弾性体を前記法線方向に伸縮させる処
理において、前記ノードと所定の関係にある基準ノード
の位置情報と前記ノードの位置情報とを用いて伸縮量を
計算することを特徴とする請求項１記載のノード位置変
更方法。 - 【請求項５】前記弾性体を前記法線方向に伸縮させる処
理において、前記基準ノードを通り且つ当該基準ノード
の法線に平行な第１直線と前記ノードを通り且つ当該ノ
ードの法線に平行な第２直線との距離が最短となる、前
記第２直線上の点の位置情報をさらに用いることを特徴
とする。請求項４記載のノード位置変更方法。 - 【請求項６】線又は面を構成する複数のノードの位置を
変更する方法であって、 各ノードにおける法線を記憶装置に格納する第１ステッ
プと、 (1)各ノードの法線方向に当該各ノードに接続された弾
性体を仮想的に定義し、(2)各前記弾性体がつりあうよ
うに各前記弾性体を法線方向に伸縮させることにより、
前記各ノードの位置を変更し、当該位置情報を記憶装置
に格納する第２ステップと、 所定の条件を満たすまで前記第１及び第２ステップを繰
り返すステップと、 を含むノード位置変更方法。 - 【請求項７】前記弾性体を前記法線方向に伸縮させる処
理において、あるノードを通り且つ当該あるノードの法
線に平行な第１直線ともう一つのノードを通り且つ当該
もう一つのノードの法線に平行な第２直線との距離が最
短となる、前記第１直線上の点Ａと前記あるノードとの
距離と、前記第１及び第２直線の距離が最短となる、第
２直線上の点Ｂと前記もう一つのノードとの距離を用い
る、請求項６記載のノード位置変更方法。 - 【請求項８】前記弾性体を前記法線方向に伸縮させる処
理において、 前記ノードと所定の関係にある基準点の位置情報及び前
記ノードの位置情報を用いて伸縮量が計算される、請求
項１記載のノード位置変更方法。 - 【請求項９】前記面を構成するメッシュのノードの位置
を変更する場合、 前記基準点は、ノード又は前記メッシュの辺上の点であ
る、請求項８記載のノード位置変更方法。 - 【請求項１０】前記面を構成するメッシュのノードの位
置を変更する場合、 前記第２ステップにおいて、 前記メッシュの所定の辺上の法線方向に当該辺に接続さ
れた弾性体を仮想的にさらに定義し、当該辺に接続され
た弾性体から受ける力も含めて、前記各ノードに定義さ
れた各弾性体がつりあうように当該各弾性体を法線方向
に伸縮させる、請求項６記載のノード位置変更方法。 - 【請求項１１】線又は面を構成する複数のノードの位置
を変更する装置であって、 ノードにおける法線のデータを記憶装置に格納する第１
手段と、 (1)前記ノードの法線方向に当該ノードに接続した弾性
体を仮想的に定義し、(2)前記弾性体を前記法線方向に
伸縮させることにより、前記ノードの位置を変更し、当
該位置情報を記憶装置に格納する第２手段と、 所定の条件を満たすまで所定のノードについて前記第１
及び第２手段を動作させる制御手段と、 を有するノード位置変更装置。 - 【請求項１２】線又は面を構成する複数のノードの位置
を変更する装置であって、 各ノードにおける法線を記憶装置に格納する第１手段
と、 (1)各ノードの法線方向に当該各ノードに接続された弾
性体を仮想的に定義し、(2)各前記弾性体がつりあうよ
うに各前記弾性体を法線方向に伸縮させることにより、
前記各ノードの位置を変更し、当該位置情報を記憶装置
に格納する第２手段と、 所定の条件を満たすまで前記第１及び第２手段を動作さ
せる制御手段と、 を有するノード位置変更装置。 - 【請求項１３】コンピュータに、線又は面を構成する複
数のノードの位置を変更させるためのプログラムを記憶
する記憶媒体であって、 前記プログラムは、前記コンピュータに、 ノードにおける法線のデータを記憶装置に格納する第１
ステップと、 (1)前記ノードの法線方向に当該ノードに接続した弾性
体を仮想的に定義し、(2)前記弾性体を前記法線方向に
伸縮させることにより、前記ノードの位置を変更し、当
該位置情報を記憶装置に格納する第２ステップと、 所定の条件を満たすまで所定のノードについて前記第１
及び第２ステップを繰り返すステップと、を実行させ
る、記憶媒体。 - 【請求項１４】コンピュータに、線又は面を構成する複
数のノードの位置を変更させるためのプログラムを記憶
した記憶媒体であって、 前記プログラムは、前記コンピュータに、各ノードにお
ける法線を記憶装置に格納する第１ステップと、 (1)各ノードの法線方向に当該各ノードに接続された弾
性体を仮想的に定義し、(2)各前記弾性体がつりあうよ
うに各前記弾性体を法線方向に伸縮させることにより、
前記各ノードの位置を変更し、当該位置情報を記憶装置
に格納する第２ステップと、 所定の条件を満たすまで前記第１及び第２ステップを繰
り返すステップと、 を実行させる、記憶媒体。 - 【請求項１５】あるノードの法線を拘束条件として指定
するステップをさらに含み、 前記第２ステップにおいて当該あるノードの法線を指定
された前記拘束条件に固定する、 請求項１又は６記載のノード位置変更方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP36568699A JP2001188919A (ja) | 1999-12-22 | 1999-12-22 | ノード位置変更方法及び装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP36568699A JP2001188919A (ja) | 1999-12-22 | 1999-12-22 | ノード位置変更方法及び装置 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2001188919A true JP2001188919A (ja) | 2001-07-10 |
Family
ID=18484864
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP36568699A Pending JP2001188919A (ja) | 1999-12-22 | 1999-12-22 | ノード位置変更方法及び装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2001188919A (ja) |
-
1999
- 1999-12-22 JP JP36568699A patent/JP2001188919A/ja active Pending
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| LAPS | Cancellation because of no payment of annual fees |