JPH07302357A - コンピュータによる３次元自由形状の造形方法および装置 - Google Patents
コンピュータによる３次元自由形状の造形方法および装置Info
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- JPH07302357A JPH07302357A JP7079766A JP7976695A JPH07302357A JP H07302357 A JPH07302357 A JP H07302357A JP 7079766 A JP7079766 A JP 7079766A JP 7976695 A JP7976695 A JP 7976695A JP H07302357 A JPH07302357 A JP H07302357A
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 ３次元自由形状のモデリングにおいて、物体
形状のトポロジを自由に変更でき、また、物体の変形操
作も自由に利用することができるようにする。 【構成】 ３次元空間x-y-z の濃度分布F(x,y,z) = aな
る点(x,y,z) の集合を物体表面と定義する方法におい
て、デザイナが生成した濃度分布c(x,y,z)とすでに空間
上に存在する濃度分布 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n )
とを、滑らかな関数Ψ( ξ, ζ,x,y,z) を用いて、式 G
q (x,y,z) = Ψ(Fq (x,y,z),c(x,y,z),x,y,z) のように
融合する。３次元空間の有限個の点上で、この濃度分布
Gq (x,y,z)のm 次の偏導関数までのサンプリングデー
タΛq を求める。次に、このサンプリングデータΛq を
補間する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を発生して濃度分布
Fq (x,y,z) を更新する。n 個の滑らかな関数 Fq (x,
y,z) ( q = 1,2,...,n ) の平均値をもって、物体を表
現する濃度分布F(x,y,z)とする。
形状のトポロジを自由に変更でき、また、物体の変形操
作も自由に利用することができるようにする。 【構成】 ３次元空間x-y-z の濃度分布F(x,y,z) = aな
る点(x,y,z) の集合を物体表面と定義する方法におい
て、デザイナが生成した濃度分布c(x,y,z)とすでに空間
上に存在する濃度分布 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n )
とを、滑らかな関数Ψ( ξ, ζ,x,y,z) を用いて、式 G
q (x,y,z) = Ψ(Fq (x,y,z),c(x,y,z),x,y,z) のように
融合する。３次元空間の有限個の点上で、この濃度分布
Gq (x,y,z)のm 次の偏導関数までのサンプリングデー
タΛq を求める。次に、このサンプリングデータΛq を
補間する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を発生して濃度分布
Fq (x,y,z) を更新する。n 個の滑らかな関数 Fq (x,
y,z) ( q = 1,2,...,n ) の平均値をもって、物体を表
現する濃度分布F(x,y,z)とする。
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、３次元自由形状の造形
方法および装置に関し、特に、工業用や工芸用のデザイ
ンおよび映画やテレビなどで利用される３次元コンピュ
ータグラフィックスのための３次元物体データの生成に
おいて、表面が自由曲面からなる３次元物体を粘土のよ
うな感覚で造形できるソリッドモデラの実現方法に関す
る。
方法および装置に関し、特に、工業用や工芸用のデザイ
ンおよび映画やテレビなどで利用される３次元コンピュ
ータグラフィックスのための３次元物体データの生成に
おいて、表面が自由曲面からなる３次元物体を粘土のよ
うな感覚で造形できるソリッドモデラの実現方法に関す
る。
【０００２】
【従来の技術】グラフィックワークステーションの発達
に伴い、３次元コンピュータグラフィックス技術は産業
および芸術の各方面で広範に利用されるようになった。
近年、自由曲面を用いた３次元形状のモデリングが特に
必要とされてきている。
に伴い、３次元コンピュータグラフィックス技術は産業
および芸術の各方面で広範に利用されるようになった。
近年、自由曲面を用いた３次元形状のモデリングが特に
必要とされてきている。
【０００３】このような技術に関しては、ＣＡＤ（Comp
uter Aided Design ）の世界では以前から自由曲面の生
成方法が精力的に研究されており、実際に自由曲面は広
く使われている。しかし、ＣＡＤで用いられている自由
曲面は２次元の開いた曲面がほとんどであり、閉曲面す
なわち表面が自由曲面からなる３次元物体の形状を効果
的に造形するモデリング方法がなかった。
uter Aided Design ）の世界では以前から自由曲面の生
成方法が精力的に研究されており、実際に自由曲面は広
く使われている。しかし、ＣＡＤで用いられている自由
曲面は２次元の開いた曲面がほとんどであり、閉曲面す
なわち表面が自由曲面からなる３次元物体の形状を効果
的に造形するモデリング方法がなかった。
【０００４】特に、既存の３次元物体の形状に穴をあけ
たり取っ手を付けたりするような形状トポロジーの変更
を形状の滑らかさを保持したままで行うことは、極めて
困難であった。
たり取っ手を付けたりするような形状トポロジーの変更
を形状の滑らかさを保持したままで行うことは、極めて
困難であった。
【０００５】そこで、３次元空間x-y-z に滑らかな濃度
関数F(x,y,z)を定義するとともに、物体内部、物体表面
および物体外部を以下に示すように定義する陰関数表現
を採用するモデリング手法が提案されている（J.F.Blin
n,ACM Transaction on Graphics,1(3),pp.235-256,198
2. 、H.Nishimura etal.,Trans.IEICE Japan,J68-D(4),
pp.718-725,1985. 、G.Wyvill etal.,The Visual Compu
ter,2(4),pp.227-234,1986.）。 物体内部 ： F(x,y,z) > 0.5 なる領域 物体表面 ： F(x,y,z) = 0.5 なる領域 物体外部 ： F(x,y,z) < 0.5 なる領域
関数F(x,y,z)を定義するとともに、物体内部、物体表面
および物体外部を以下に示すように定義する陰関数表現
を採用するモデリング手法が提案されている（J.F.Blin
n,ACM Transaction on Graphics,1(3),pp.235-256,198
2. 、H.Nishimura etal.,Trans.IEICE Japan,J68-D(4),
pp.718-725,1985. 、G.Wyvill etal.,The Visual Compu
ter,2(4),pp.227-234,1986.）。 物体内部 ： F(x,y,z) > 0.5 なる領域 物体表面 ： F(x,y,z) = 0.5 なる領域 物体外部 ： F(x,y,z) < 0.5 なる領域
【０００６】このようなモデリング手法の代表的なもの
として、次のようにして濃度分布を滑らかに修正してい
く方法がある。ユーザが利用できる滑らかな濃度分布を
有する濃度プリミティブを数種類準備する。ユーザは、
空間の任意の位置に任意の姿勢でサイズや濃度勾配や濃
度の符号などを調整しながら、これらの濃度プリミティ
ブを配置する。すでに空間に存在する濃度分布に、この
濃度プリミティブの濃度分布を足し込む。
として、次のようにして濃度分布を滑らかに修正してい
く方法がある。ユーザが利用できる滑らかな濃度分布を
有する濃度プリミティブを数種類準備する。ユーザは、
空間の任意の位置に任意の姿勢でサイズや濃度勾配や濃
度の符号などを調整しながら、これらの濃度プリミティ
ブを配置する。すでに空間に存在する濃度分布に、この
濃度プリミティブの濃度分布を足し込む。
【０００７】例えば、図２(a) に示すように、(1.1) 式
で表される楕円体A の中心に貫通穴を作りたい場合に
は、(1.2) 式で表される負の濃度を有する楕円体プリミ
ティブB を楕円体A の中心に配置することにより、(1.
3) 式で表される新しい濃度分布F(x,y,z)を作れば、図
２(b) のような穴の開いた楕円体A-B が得られる。 cA (x,y,z) = 0.5 exp[1-(x2 + y2 + 4z2)] (1.1) cB (x,y,z) = - 0.5 exp[1-(4x2 + 4y2 + (0.5z)2)] (1.2) F(x,y,z) = cA (x,y,z) + cB (x,y,z) (1.3)
で表される楕円体A の中心に貫通穴を作りたい場合に
は、(1.2) 式で表される負の濃度を有する楕円体プリミ
ティブB を楕円体A の中心に配置することにより、(1.
3) 式で表される新しい濃度分布F(x,y,z)を作れば、図
２(b) のような穴の開いた楕円体A-B が得られる。 cA (x,y,z) = 0.5 exp[1-(x2 + y2 + 4z2)] (1.1) cB (x,y,z) = - 0.5 exp[1-(4x2 + 4y2 + (0.5z)2)] (1.2) F(x,y,z) = cA (x,y,z) + cB (x,y,z) (1.3)
【０００８】このとき、濃度が0.5 である物体表面は、
濃度関数の勾配ベクトルが 0である点を除いて、自動的
に滑らかな表面を生成する。このような方法によって、
元の楕円体とはトポロジーの異なる穴が一つ開いた物体
A-B を容易に造形することができる。
濃度関数の勾配ベクトルが 0である点を除いて、自動的
に滑らかな表面を生成する。このような方法によって、
元の楕円体とはトポロジーの異なる穴が一つ開いた物体
A-B を容易に造形することができる。
【０００９】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、この従
来の陰関数表現を採用するモデリング手法にあっては、
単純な濃度の加算を用いるため、濃度が 0.5 である可
視面（物体表面）以外のところで、絶対値の大きな正の
濃度分布や負の濃度分布が存在する場合が多く、このよ
うな空間領域に新たな物体を造形した場合に、デザイナ
が意図しない形状が発生してしまうことがある。
来の陰関数表現を採用するモデリング手法にあっては、
単純な濃度の加算を用いるため、濃度が 0.5 である可
視面（物体表面）以外のところで、絶対値の大きな正の
濃度分布や負の濃度分布が存在する場合が多く、このよ
うな空間領域に新たな物体を造形した場合に、デザイナ
が意図しない形状が発生してしまうことがある。
【００１０】たとえば、前述した例では、穴の開いた楕
円体A-B の穴の近傍である点(0,0,0.7) での濃度値F(0,
0,0.7)は-1.010... である。したがって、図２(c) に示
すように、（1.4)式で表される楕円体C を前記穴の中心
に新たに置こうとした場合、Cc (0,0,0.7) = 1.318...
であるので、F(0,0,0.7) + Cc (0,0,0.7) = 0.307...<
0.5となる。 Cc (x,y,z) = 0.5 exp[1-(16x2 + 16y2 + (0.25z)2)] (1.4)
円体A-B の穴の近傍である点(0,0,0.7) での濃度値F(0,
0,0.7)は-1.010... である。したがって、図２(c) に示
すように、（1.4)式で表される楕円体C を前記穴の中心
に新たに置こうとした場合、Cc (0,0,0.7) = 1.318...
であるので、F(0,0,0.7) + Cc (0,0,0.7) = 0.307...<
0.5となる。 Cc (x,y,z) = 0.5 exp[1-(16x2 + 16y2 + (0.25z)2)] (1.4)
【００１１】したがって、点(0,0,0.7) は物体外部とな
るため、デザイナの意図に反して、楕円体C は図２(d)
に示すように三つの部分に分裂してしまう。そのため、
デザイナは、物体形状（すなわち可視面）以外にも、空
間における濃度分布の様子を常に把握しながら、不自然
な手段で造形を進めなければならない。
るため、デザイナの意図に反して、楕円体C は図２(d)
に示すように三つの部分に分裂してしまう。そのため、
デザイナは、物体形状（すなわち可視面）以外にも、空
間における濃度分布の様子を常に把握しながら、不自然
な手段で造形を進めなければならない。
【００１２】また、複数の濃度プリミティブを組み合わ
せて構成された濃度分布を有する物体を捻ったり曲げた
りして変形させたい場合に、変形後の濃度分布は非常に
複雑なものとなる。しかるに、陰関数表現を採用する従
来のモデリング手法にあっては、限られた種類の濃度プ
リミティブの加算と減算の組み合わせによって表現でき
る濃度分布だけを対象としている。そのため、利用でき
る濃度プリミティブをどのように組み合わせて変形後の
濃度分布を表現するかが問題となる。
せて構成された濃度分布を有する物体を捻ったり曲げた
りして変形させたい場合に、変形後の濃度分布は非常に
複雑なものとなる。しかるに、陰関数表現を採用する従
来のモデリング手法にあっては、限られた種類の濃度プ
リミティブの加算と減算の組み合わせによって表現でき
る濃度分布だけを対象としている。そのため、利用でき
る濃度プリミティブをどのように組み合わせて変形後の
濃度分布を表現するかが問題となる。
【００１３】たとえば、最も単純な例として、一つの楕
円体プリミティブを曲げることによってピーナツのよう
な形状を発生させた場合を考えても、このピーナツ形状
を複数の楕円体プリミティブの加算と減算のどのような
組み合わせで表現できるかは、単純な問題ではない。し
たがって、従来の手法では、物体の変形操作を造形途中
で利用することはできなかった。
円体プリミティブを曲げることによってピーナツのよう
な形状を発生させた場合を考えても、このピーナツ形状
を複数の楕円体プリミティブの加算と減算のどのような
組み合わせで表現できるかは、単純な問題ではない。し
たがって、従来の手法では、物体の変形操作を造形途中
で利用することはできなかった。
【００１４】本発明は、上述の問題点にかんがみ、３次
元自由形状のモデリングにおいて物体形状のトポロジを
自由に変更することができかつ物体の変形操作も自由に
利用することができるような、デザイナの感性を素直に
かつ効率的にコンピュータに入力することができる造形
作業環境を構築できるようにすることを目的とする。
元自由形状のモデリングにおいて物体形状のトポロジを
自由に変更することができかつ物体の変形操作も自由に
利用することができるような、デザイナの感性を素直に
かつ効率的にコンピュータに入力することができる造形
作業環境を構築できるようにすることを目的とする。
【００１５】
【課題を解決するための手段】本発明のコンピュータに
よる３次元自由形状の造形方法は、上記問題点を解決す
るために、３次元空間x-y-z に濃度分布F(x,y,z)を定義
し、スカラ量 aを定め、F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の
集合を物体表面と定義し、F(x,y,z) > aなる点(x,y,z)
の集合を物体内部と定義し、F(x,y,z) < aなる点(x,y,
z) の集合を物体外部と定義し、システムまたはユーザ
が準備している濃度プリミティブを、所望の姿勢でかつ
所望の位置に配置して、濃度分布c(x,y,z)を生成し、前
記生成された濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在す
る濃度分布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを、２個の
変数ξ, ζを有する滑らかな関数Ψ (ξ, ζ) を用い
て、式Gq (x,y,z) = Ψ ( Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のよ
うに融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発
生し、３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含ま
れる点上で、前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm
次の偏導関数までをサンプリングすることによって、サ
ンプリングデータΛq （ここで、サンプリングデータΛ
q = ｛μp (i,j,k) = ｛1/(i!j!k!)｝∂i+j+k Gq (xp,
yp, zp ) ／∂ xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1,...,m,
i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含まれるすべての点P=(xp, y
p, zp ) ｝）を求め、前記求められたサンプリングデー
タΛq を補間する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を発生し
て、該発生した関数で新たな濃度分布Fq (x,y,z) を表
すことにより前記濃度分布 Fq (x,y,z) を更新し、n 個
の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の凸結
合（convex combination：ベクトルの一次結合でその係
数が非負で和が１のもの）を物体を表現する濃度分布F
(x,y,z)と考える。すなわち、 濃度分布F(x,y,z) = Σλq (x,y,z) Fq (x,y,z) ( q
= 1,2,...,n ) ここで、関数λq (x,y,z) は滑らかな非負の関数で、Σ
λq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) ≡ 1を満足する。
よる３次元自由形状の造形方法は、上記問題点を解決す
るために、３次元空間x-y-z に濃度分布F(x,y,z)を定義
し、スカラ量 aを定め、F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の
集合を物体表面と定義し、F(x,y,z) > aなる点(x,y,z)
の集合を物体内部と定義し、F(x,y,z) < aなる点(x,y,
z) の集合を物体外部と定義し、システムまたはユーザ
が準備している濃度プリミティブを、所望の姿勢でかつ
所望の位置に配置して、濃度分布c(x,y,z)を生成し、前
記生成された濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在す
る濃度分布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを、２個の
変数ξ, ζを有する滑らかな関数Ψ (ξ, ζ) を用い
て、式Gq (x,y,z) = Ψ ( Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のよ
うに融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発
生し、３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含ま
れる点上で、前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm
次の偏導関数までをサンプリングすることによって、サ
ンプリングデータΛq （ここで、サンプリングデータΛ
q = ｛μp (i,j,k) = ｛1/(i!j!k!)｝∂i+j+k Gq (xp,
yp, zp ) ／∂ xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1,...,m,
i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含まれるすべての点P=(xp, y
p, zp ) ｝）を求め、前記求められたサンプリングデー
タΛq を補間する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を発生し
て、該発生した関数で新たな濃度分布Fq (x,y,z) を表
すことにより前記濃度分布 Fq (x,y,z) を更新し、n 個
の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の凸結
合（convex combination：ベクトルの一次結合でその係
数が非負で和が１のもの）を物体を表現する濃度分布F
(x,y,z)と考える。すなわち、 濃度分布F(x,y,z) = Σλq (x,y,z) Fq (x,y,z) ( q
= 1,2,...,n ) ここで、関数λq (x,y,z) は滑らかな非負の関数で、Σ
λq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) ≡ 1を満足する。
【００１６】本発明の他の特徴とするところは、濃度プ
リミティブの構成において、スカラ量 aを a>0 と定
め、スカラ量 bに対して、f(x,y,z) = bなる点(x,y,z)
の集合を物体表面と定義し、f(x,y,z) > b なる点(x,
y,z) の集合を物体内部と定義し、f(x,y,z) < b なる
点(x,y,z) の集合を物体外部と定義する滑らかな関数f
(x,y,z)と、式0 ≦φ (ξ) ≦ 2a および式φ(a) = a
を満足する滑らかな単調増加関数φ (ξ) とを用いて、
式 c(x,y,z) = φ(f(x,y,z) - b + a)より、濃度プリミ
ティブの濃度分布c(x,y,z)を求めることを特徴とする。
リミティブの構成において、スカラ量 aを a>0 と定
め、スカラ量 bに対して、f(x,y,z) = bなる点(x,y,z)
の集合を物体表面と定義し、f(x,y,z) > b なる点(x,
y,z) の集合を物体内部と定義し、f(x,y,z) < b なる
点(x,y,z) の集合を物体外部と定義する滑らかな関数f
(x,y,z)と、式0 ≦φ (ξ) ≦ 2a および式φ(a) = a
を満足する滑らかな単調増加関数φ (ξ) とを用いて、
式 c(x,y,z) = φ(f(x,y,z) - b + a)より、濃度プリミ
ティブの濃度分布c(x,y,z)を求めることを特徴とする。
【００１７】本発明のその他の特徴とするところは、ス
カラ量 aを a>0 と定め、３次元空間における領域R1か
ら領域R2への滑らかな全単射（１対１上への写像）d:R1
→R2であってかつそのその逆写像 d-1：R2→R1も滑らか
である関数 dを用いて、関数c(x,y,z) を次のように定
義し、 c(x,y,z) = F(d -1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる
点 (x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 ( 領域 R2 に含まれな
い点 (x,y,z) ) 前記定義された関数c(x,y,z)を前述の濃度プリミティブ
の濃度分布とみなし、表面形状が領域R1を近似する濃度
プリミティブの濃度分布D(x,y,z)を用いて、濃度分布 F
q (x,y,z) を Fq (x,y,z)-｛ Fq (x,y,z) D(x,y,z)/(2a) ｝ のように更新し、更新された該濃度分布 Fq (x,y,z) と
濃度プリミティブc(x,y,z)とを Gq (x,y,z)= Fq (x,y,z) + c(x,y,z) -｛ Fq (x,y,z) c
(x,y,z)/(2a) ｝ のように融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z)
を発生して、物体の変形を実現することを特徴とする。
カラ量 aを a>0 と定め、３次元空間における領域R1か
ら領域R2への滑らかな全単射（１対１上への写像）d:R1
→R2であってかつそのその逆写像 d-1：R2→R1も滑らか
である関数 dを用いて、関数c(x,y,z) を次のように定
義し、 c(x,y,z) = F(d -1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる
点 (x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 ( 領域 R2 に含まれな
い点 (x,y,z) ) 前記定義された関数c(x,y,z)を前述の濃度プリミティブ
の濃度分布とみなし、表面形状が領域R1を近似する濃度
プリミティブの濃度分布D(x,y,z)を用いて、濃度分布 F
q (x,y,z) を Fq (x,y,z)-｛ Fq (x,y,z) D(x,y,z)/(2a) ｝ のように更新し、更新された該濃度分布 Fq (x,y,z) と
濃度プリミティブc(x,y,z)とを Gq (x,y,z)= Fq (x,y,z) + c(x,y,z) -｛ Fq (x,y,z) c
(x,y,z)/(2a) ｝ のように融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z)
を発生して、物体の変形を実現することを特徴とする。
【００１８】本発明のコンピュータによる３次元自由形
状の造形装置は、３次元空間x-y-zにおける濃度分布F
(x,y,z)が、F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体
表面、F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部、
F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部として定
義され（但し、a はスカラ量）、３次元の自由形状を造
形するコンピュータによる３次元自由形状の造形装置に
おいて、システムまたはユーザが準備している濃度プリ
ミティブを、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、
濃度分布c(x,y,z)を生成する生成手段と、前記生成され
た濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在する濃度分布
Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを融合することによっ
て、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生する発生手段と、３次
元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点上で
前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導関数
までをサンプリングすることによって、サンプリングデ
ータΛq を求めるサンプリングデータ演算手段と、前記
求められたサンプリングデータΛq を補間する滑らかな
関数 Fq (x,y,z) を発生して、該発生した関数で新たな
濃度分布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分布 F
q (x,y,z) を更新し、n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z)
( q = 1,2,...,n ) の各座標点での凸結合を物体を表現
する濃度分布F(x,y,z)とする更新手段とを有する。
状の造形装置は、３次元空間x-y-zにおける濃度分布F
(x,y,z)が、F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体
表面、F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部、
F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部として定
義され（但し、a はスカラ量）、３次元の自由形状を造
形するコンピュータによる３次元自由形状の造形装置に
おいて、システムまたはユーザが準備している濃度プリ
ミティブを、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、
濃度分布c(x,y,z)を生成する生成手段と、前記生成され
た濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在する濃度分布
Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを融合することによっ
て、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生する発生手段と、３次
元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点上で
前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導関数
までをサンプリングすることによって、サンプリングデ
ータΛq を求めるサンプリングデータ演算手段と、前記
求められたサンプリングデータΛq を補間する滑らかな
関数 Fq (x,y,z) を発生して、該発生した関数で新たな
濃度分布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分布 F
q (x,y,z) を更新し、n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z)
( q = 1,2,...,n ) の各座標点での凸結合を物体を表現
する濃度分布F(x,y,z)とする更新手段とを有する。
【００１９】また、本発明の他の特徴とするところは、
３次元空間x-y-z における濃度分布F(x,y,z)が、F(x,y,
z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面、F(x,y,z) > a
なる点(x,y,z) の集合を物体内部、F(x,y,z) < aなる点
(x,y,z) の集合を物体外部、として定義され（但し、a
はスカラ量）、３次元の自由形状を造形するコンピュー
タによる３次元自由形状の造形装置において、システム
またはユーザが準備している濃度プリミティブを、所望
の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布c(x,y,z)
を生成する生成手段と、前記生成された濃度分布c(x,y,
z)とすでに空間上に存在する濃度分布 Fq (x,y,z) (q =
1,2,...,n )とを、２個の変数ξ, ζを有する滑らかな
関数Ψ (ξ, ζ) を用いて、式 Gq (x,y,z) = Ψ ( Fq
(x,y,z),c(x,y,z)) のように融合することによって、濃
度分布 Gq (x,y,z) を発生する発生手段と、３次元空間
の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点上で前記発
生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導関数までを
サンプリングすることによって、サンプリングデータΛ
q を求めるサンプリングデータ演算手段と、前記求めら
れたサンプリングデータΛq を補間する滑らかな関数 F
q (x,y,z) を発生して、該発生した関数で新たな濃度分
布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分布 Fq (x,
y,z) を更新し、n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q =
1,2,...,n )の各座標点での凸結合を物体を表現する濃
度分布F(x,y,z)とする更新手段とを有する。
３次元空間x-y-z における濃度分布F(x,y,z)が、F(x,y,
z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面、F(x,y,z) > a
なる点(x,y,z) の集合を物体内部、F(x,y,z) < aなる点
(x,y,z) の集合を物体外部、として定義され（但し、a
はスカラ量）、３次元の自由形状を造形するコンピュー
タによる３次元自由形状の造形装置において、システム
またはユーザが準備している濃度プリミティブを、所望
の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布c(x,y,z)
を生成する生成手段と、前記生成された濃度分布c(x,y,
z)とすでに空間上に存在する濃度分布 Fq (x,y,z) (q =
1,2,...,n )とを、２個の変数ξ, ζを有する滑らかな
関数Ψ (ξ, ζ) を用いて、式 Gq (x,y,z) = Ψ ( Fq
(x,y,z),c(x,y,z)) のように融合することによって、濃
度分布 Gq (x,y,z) を発生する発生手段と、３次元空間
の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点上で前記発
生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導関数までを
サンプリングすることによって、サンプリングデータΛ
q を求めるサンプリングデータ演算手段と、前記求めら
れたサンプリングデータΛq を補間する滑らかな関数 F
q (x,y,z) を発生して、該発生した関数で新たな濃度分
布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分布 Fq (x,
y,z) を更新し、n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q =
1,2,...,n )の各座標点での凸結合を物体を表現する濃
度分布F(x,y,z)とする更新手段とを有する。
【００２０】
【作用】本発明の作用を明確に説明するために、物体表
面を規定する濃度値 aを0.5 とするとともに、３次元空
間x-y-z はいたるところ濃度0 に初期化されている場合
を想定する。
面を規定する濃度値 aを0.5 とするとともに、３次元空
間x-y-z はいたるところ濃度0 に初期化されている場合
を想定する。
【００２１】本発明の方法では、濃度プリミティブの構
成において、スカラ量b に対して、f(x,y,z) = bなる点
(x,y,z) の集合を物体表面と定義し、f(x,y,z) > b な
る点(x,y,z) の集合を物体内部と定義し、f(x,y,z) < b
なる点(x,y,z) の集合を物体外部と定義する滑らかな
関数f(x,y,z)と、式0 ≦φ (ξ) ≦ 1および式φ(0.5)
= 0.5 を満足する滑らかな単調増加関数φ (ξ) とを用
いて、濃度プリミティブの濃度分布c(x,y,z)を、式 c
(x,y,z) = φ(f(x,y,z) - b + 0.5)と定義するため、濃
度分布c(x,y,z)は、滑らかな関数となるとともに、式0
≦ c(x,y,z) ≦ 1を満たす。
成において、スカラ量b に対して、f(x,y,z) = bなる点
(x,y,z) の集合を物体表面と定義し、f(x,y,z) > b な
る点(x,y,z) の集合を物体内部と定義し、f(x,y,z) < b
なる点(x,y,z) の集合を物体外部と定義する滑らかな
関数f(x,y,z)と、式0 ≦φ (ξ) ≦ 1および式φ(0.5)
= 0.5 を満足する滑らかな単調増加関数φ (ξ) とを用
いて、濃度プリミティブの濃度分布c(x,y,z)を、式 c
(x,y,z) = φ(f(x,y,z) - b + 0.5)と定義するため、濃
度分布c(x,y,z)は、滑らかな関数となるとともに、式0
≦ c(x,y,z) ≦ 1を満たす。
【００２２】さらに、すでに空間上に存在する濃度分布
Fq (x,y,z) と濃度プリミティブc(x,y,z)との融合Ψ(F
q (x,y,z),c(x,y,z)) として、たとえば以下に示す３種
類の融合Ψ+ , Ψ- , Ψ* を定義して、式 Gq (x,y,z)
= Ψ(Fq (x,y,z),c(x,y,z))のように融合することによ
って、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生している。 Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z) + c(x,y,z)
- Fq (x,y,z)c(x,y,z) Ψ- (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z) - Fq (x,
y,z)c(x,y,z) Ψ* (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z)c(x,y,z)
Fq (x,y,z) と濃度プリミティブc(x,y,z)との融合Ψ(F
q (x,y,z),c(x,y,z)) として、たとえば以下に示す３種
類の融合Ψ+ , Ψ- , Ψ* を定義して、式 Gq (x,y,z)
= Ψ(Fq (x,y,z),c(x,y,z))のように融合することによ
って、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生している。 Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z) + c(x,y,z)
- Fq (x,y,z)c(x,y,z) Ψ- (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z) - Fq (x,
y,z)c(x,y,z) Ψ* (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z)c(x,y,z)
【００２３】ここで、融合Ψ+ は、図３(a) に例示した
ような２つの物体の和を生成するための関数である。融
合Ψ- は、図３(b) に例示したように２つの物体の差を
生成するための関数である。融合Ψ* は、図３(c) に例
示したような２つの物体の共通部分を生成するための関
数である。
ような２つの物体の和を生成するための関数である。融
合Ψ- は、図３(b) に例示したように２つの物体の差を
生成するための関数である。融合Ψ* は、図３(c) に例
示したような２つの物体の共通部分を生成するための関
数である。
【００２４】このとき、式0 ≦ c(x,y,z) ≦ 1 を満足
する滑らかな濃度分布c(x,y,z)に対して、融合Ψ+ , Ψ
- , Ψ* は、融合結果として、濃度分布 Fq (x,y,z) の
最小値以上で濃度分布 Fq (x,y,z) の最大値以下の範囲
に納まる滑らかな濃度分布を生成する。
する滑らかな濃度分布c(x,y,z)に対して、融合Ψ+ , Ψ
- , Ψ* は、融合結果として、濃度分布 Fq (x,y,z) の
最小値以上で濃度分布 Fq (x,y,z) の最大値以下の範囲
に納まる滑らかな濃度分布を生成する。
【００２５】したがって、濃度分布が 0に初期化された
空間に、式0 ≦ c(x,y,z) ≦ 1 を満足する濃度プリミ
ティブを、前述の３種類の融合を利用して、次々に配置
していくことによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生さ
せ、集合Ξq に含まれる点上でこの濃度分布 Gq (x,y,
z) のm 次の偏導関数までをサンプリングすることによ
って得られるサンプリングデータΛq を補間することに
よって、濃度分布 Fq (x,y,z) を更新していけば、補間
関数である Fq (x,y,z) の近似精度の影響によって微少
な誤差はあるが、ほぼ次式が成立する。 0 ≦ Fq (x,y,z) ≦ 1
空間に、式0 ≦ c(x,y,z) ≦ 1 を満足する濃度プリミ
ティブを、前述の３種類の融合を利用して、次々に配置
していくことによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生さ
せ、集合Ξq に含まれる点上でこの濃度分布 Gq (x,y,
z) のm 次の偏導関数までをサンプリングすることによ
って得られるサンプリングデータΛq を補間することに
よって、濃度分布 Fq (x,y,z) を更新していけば、補間
関数である Fq (x,y,z) の近似精度の影響によって微少
な誤差はあるが、ほぼ次式が成立する。 0 ≦ Fq (x,y,z) ≦ 1
【００２６】このことは、図２(b) に示した貫通穴の近
傍の物体外部の空間には、楕円体プリミティブB に起因
する大きな負の濃度が残留せず、物体表面近傍を除いた
物体外部の空間では濃度分布がほぼ0 にクリアされてい
ることを意味している。
傍の物体外部の空間には、楕円体プリミティブB に起因
する大きな負の濃度が残留せず、物体表面近傍を除いた
物体外部の空間では濃度分布がほぼ0 にクリアされてい
ることを意味している。
【００２７】したがって、図２(c) に示したように楕円
体プリミティブC を貫通穴を通して配置する場合にも、
従来の手法で問題となっていた、図２(d) に示したよう
なデザイナの意図に反した楕円体プリミティブC の分裂
現象は生ぜず、素直に、楕円体プリミティブC を配置す
ることができる。
体プリミティブC を貫通穴を通して配置する場合にも、
従来の手法で問題となっていた、図２(d) に示したよう
なデザイナの意図に反した楕円体プリミティブC の分裂
現象は生ぜず、素直に、楕円体プリミティブC を配置す
ることができる。
【００２８】また、２つの物体の和をとっても、２つの
物体の共通部分に大きな正の濃度が残留することがなく
なる。したがって、本発明の方法によれば、物体表面近
傍を除いた物体内部はほぼ均一の濃度値1 をもち、物体
表面近傍を除いた物体外部はほぼ均一の濃度値 0をも
ち、物体表面近傍でのみ濃度が0 から1 に滑らかに変化
するような濃度分布に近い、滑らかな濃度分布を実現す
ることができる。したがって、デザイナは、エッジの丸
め処理や全空間における濃度分布を気にすることなく、
物体形状に集中して造形を進めることができる。
物体の共通部分に大きな正の濃度が残留することがなく
なる。したがって、本発明の方法によれば、物体表面近
傍を除いた物体内部はほぼ均一の濃度値1 をもち、物体
表面近傍を除いた物体外部はほぼ均一の濃度値 0をも
ち、物体表面近傍でのみ濃度が0 から1 に滑らかに変化
するような濃度分布に近い、滑らかな濃度分布を実現す
ることができる。したがって、デザイナは、エッジの丸
め処理や全空間における濃度分布を気にすることなく、
物体形状に集中して造形を進めることができる。
【００２９】本発明の方法では、デザイナの造形操作の
結果として発生した濃度分布 Gq (x,y,z) を、３次元空
間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点上で、m
次の偏導関数までをサンプリングすることによって、次
式で表されるサンプリングデータΛq を求める。 Λq = ｛μp (i,j,k) = ｛1/(i!j!k!)｝∂i+j+k Gq (x
p ,yp ,zp ) ／∂ xi∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1,...,
m, i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含まれるすべての点 P= (x
p ,yp ,zp ) ｝
結果として発生した濃度分布 Gq (x,y,z) を、３次元空
間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点上で、m
次の偏導関数までをサンプリングすることによって、次
式で表されるサンプリングデータΛq を求める。 Λq = ｛μp (i,j,k) = ｛1/(i!j!k!)｝∂i+j+k Gq (x
p ,yp ,zp ) ／∂ xi∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1,...,
m, i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含まれるすべての点 P= (x
p ,yp ,zp ) ｝
【００３０】次に、このサンプリングデータΛq を補間
する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を発生して、濃度分布 F
q (x,y,z) を更新する。そして、n 個の滑らかな関数 F
q (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の凸結合を物体を表現す
る濃度分布F(x,y,z)と考える。ここで、 F(x,y,z) = Σλq (x,y,z) Fq (x,y,z) ( q = 1,
2,...,n ) 但し、関数λq (x,y,z) は滑らかな非負の関数で、Σλ
q (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) ≡ 1を満足する。
する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を発生して、濃度分布 F
q (x,y,z) を更新する。そして、n 個の滑らかな関数 F
q (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の凸結合を物体を表現す
る濃度分布F(x,y,z)と考える。ここで、 F(x,y,z) = Σλq (x,y,z) Fq (x,y,z) ( q = 1,
2,...,n ) 但し、関数λq (x,y,z) は滑らかな非負の関数で、Σλ
q (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) ≡ 1を満足する。
【００３１】したがって、本発明の方法によれば、濃度
分布に関するすべての情報はサンプリングデータΛq に
集約されているため、どのような造形操作でサンプリン
グデータΛq を更新しても、造形操作の種類に拘らず、
滑らかな濃度分布F(x,y,z)を生成することができる。
分布に関するすべての情報はサンプリングデータΛq に
集約されているため、どのような造形操作でサンプリン
グデータΛq を更新しても、造形操作の種類に拘らず、
滑らかな濃度分布F(x,y,z)を生成することができる。
【００３２】従来の手法では実現不可能であった物体形
状の変形について、３次元空間における領域R1から領域
R2への滑らかな全単射（１対１上への写像）d:R1→R
2で、その逆写像 d-1:R2 →R1も滑らかである関数d を
用いて、関数c(x,y,z)を次のように定義する。 c(x,y,z) = F(d-1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる点
(x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 (領域 R2 に含まれない
点 (x,y,z) )
状の変形について、３次元空間における領域R1から領域
R2への滑らかな全単射（１対１上への写像）d:R1→R
2で、その逆写像 d-1:R2 →R1も滑らかである関数d を
用いて、関数c(x,y,z)を次のように定義する。 c(x,y,z) = F(d-1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる点
(x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 (領域 R2 に含まれない
点 (x,y,z) )
【００３３】この関数c(x,y,z)を前述の濃度プリミティ
ブの濃度関数とみなし、表面形状が領域R1を近似する濃
度プリミティブの濃度分布D(x,y,z)とすでに空間に存在
する濃度分布 Fq (x,y,z) とを、前述の関数Ψ- を用い
て次のように融合する。 Ψ- (Fq (x,y,z),D(x,y,z)) そして、該融合された濃度分布を新しい濃度分布 F
q (x,y,z) とし、該更新された濃度分布 Fq (x,y,z) と
濃度プリミティブc(x,y,z)とを、前述の関数Ψ+ を用い
て融合することによって、次のような濃度分布 Gq (x,
y,z) を発生する。 Gq (x,y,z)=Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z))
ブの濃度関数とみなし、表面形状が領域R1を近似する濃
度プリミティブの濃度分布D(x,y,z)とすでに空間に存在
する濃度分布 Fq (x,y,z) とを、前述の関数Ψ- を用い
て次のように融合する。 Ψ- (Fq (x,y,z),D(x,y,z)) そして、該融合された濃度分布を新しい濃度分布 F
q (x,y,z) とし、該更新された濃度分布 Fq (x,y,z) と
濃度プリミティブc(x,y,z)とを、前述の関数Ψ+ を用い
て融合することによって、次のような濃度分布 Gq (x,
y,z) を発生する。 Gq (x,y,z)=Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z))
【００３４】このようにして物体形状の変形を実現して
も、結局は、サンプリングデータΛq を更新することに
過ぎない。すなわち、変形後の物体に関する濃度分布は
自動的に、本発明の方法が処理できる濃度分布のクラス
に属することになり、変形後の物体にさらに造形操作を
継続していくことに、何の問題も生じない。
も、結局は、サンプリングデータΛq を更新することに
過ぎない。すなわち、変形後の物体に関する濃度分布は
自動的に、本発明の方法が処理できる濃度分布のクラス
に属することになり、変形後の物体にさらに造形操作を
継続していくことに、何の問題も生じない。
【００３５】
【実施例】以下、図１に示したフローチャートを参照し
て、本発明のコンピュータによる３次元自由形状の造形
方法の一実施例を説明する。本実施例の造形方法は、n
=2 とし、かつ、３つの正の数 Lx, Ly, Lz に対して次
式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、３次元空間
の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,2,...,n )を構
成するものである。 Ξ1=｛ (iLx,jLy,kLz ) ｜i=0,1,..., Nx ;j=0,1,...,N
y ;k=0,1,...,Nz ｝ Ξ2=｛ ((i+0.5)Lx ,(j+0.5) Ly ,(k+0.5) Lz ) ｜i= -
1,0,,...,Nx ;j= -1,0,...,Ny ;k= -1,0,...,Nz ｝
て、本発明のコンピュータによる３次元自由形状の造形
方法の一実施例を説明する。本実施例の造形方法は、n
=2 とし、かつ、３つの正の数 Lx, Ly, Lz に対して次
式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、３次元空間
の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,2,...,n )を構
成するものである。 Ξ1=｛ (iLx,jLy,kLz ) ｜i=0,1,..., Nx ;j=0,1,...,N
y ;k=0,1,...,Nz ｝ Ξ2=｛ ((i+0.5)Lx ,(j+0.5) Ly ,(k+0.5) Lz ) ｜i= -
1,0,,...,Nx ;j= -1,0,...,Ny ;k= -1,0,...,Nz ｝
【００３６】ただし、説明の簡単のため、上記２つの式
において Lx =Ly =Lz =1、および Nx =Ny =Nz =Nとした
次式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、３次元空
間の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,2,...,n ) を
構成する場合について、説明する。 Ξ1 = ｛ (i,j,k)｜i=0,1,...,N; j=0,1,...,N; k=0,
1,...,N ｝ Ξ2 = ｛ (i+0.5,j+0.5,k+0.5)｜i= -1,0,,...,N; j= -
1,0,...,N; k= -1,0,...,N｝
において Lx =Ly =Lz =1、および Nx =Ny =Nz =Nとした
次式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、３次元空
間の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,2,...,n ) を
構成する場合について、説明する。 Ξ1 = ｛ (i,j,k)｜i=0,1,...,N; j=0,1,...,N; k=0,
1,...,N ｝ Ξ2 = ｛ (i+0.5,j+0.5,k+0.5)｜i= -1,0,,...,N; j= -
1,0,...,N; k= -1,0,...,N｝
【００３７】なお、図４に示す２次元格子１１は、この
集合Ξ1 に属する点を格子点とするものであり、また２
次元格子１２は、この集合Ξ2 に属する点を格子点とす
るものである。
集合Ξ1 に属する点を格子点とするものであり、また２
次元格子１２は、この集合Ξ2 に属する点を格子点とす
るものである。
【００３８】また、上記２つの集合Ξq (q = 1,2 )に含
まれる点上で、濃度分布 Gq (x,y,z) の１次（m = 1 ）
の偏導関数までをサンプリングすることによって、サン
プリングデータΛq が次式により表される場合につい
て、説明する。 Λq = ｛μp (i,j,k)=∂i+j+k Gq (xp, yp, zp ) ／∂
xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξ
q に含まれるすべての点P=(xp, yp, zp ) ｝ さらに、物体表面を定義する濃度値 aは0.5 であるとし
て、説明する。
まれる点上で、濃度分布 Gq (x,y,z) の１次（m = 1 ）
の偏導関数までをサンプリングすることによって、サン
プリングデータΛq が次式により表される場合につい
て、説明する。 Λq = ｛μp (i,j,k)=∂i+j+k Gq (xp, yp, zp ) ／∂
xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξ
q に含まれるすべての点P=(xp, yp, zp ) ｝ さらに、物体表面を定義する濃度値 aは0.5 であるとし
て、説明する。
【００３９】本実施例では、図１に示したように、先
ず、ステップＳ１において、サンプリングデータΛq に
含まれるデータμp (i,j,k) をすべて 0に初期化する。
もしくは、過去に造形した結果であるサンプリングデー
タΛq をロードすることによって、サンプリングデータ
Λq を初期化する。
ず、ステップＳ１において、サンプリングデータΛq に
含まれるデータμp (i,j,k) をすべて 0に初期化する。
もしくは、過去に造形した結果であるサンプリングデー
タΛq をロードすることによって、サンプリングデータ
Λq を初期化する。
【００４０】次に、ステップＳ２においてデザイナによ
る造形操作が行われた後、ステップＳ３において、デザ
イナの造形操作によって発生した濃度分布 Gq (x,y,z)
に従ってサンプリングデータΛq を更新する。
る造形操作が行われた後、ステップＳ３において、デザ
イナの造形操作によって発生した濃度分布 Gq (x,y,z)
に従ってサンプリングデータΛq を更新する。
【００４１】次に、ステップＳ４にて、サンプリングデ
ータΛq に基づいて滑らかな濃度分布 Fq (X,Y,Z) を生
成する。ステップＳ５において、ステップＳ４で生成し
た濃度分布 Fq (X,Y,Z) に基づいて物体を表現する滑ら
かな濃度分布F(X,Y,Z)を生成する。
ータΛq に基づいて滑らかな濃度分布 Fq (X,Y,Z) を生
成する。ステップＳ５において、ステップＳ４で生成し
た濃度分布 Fq (X,Y,Z) に基づいて物体を表現する滑ら
かな濃度分布F(X,Y,Z)を生成する。
【００４２】次に、ステップＳ６において、物体表面で
ある F(X,Y,Z)=a なる等値面を可視化する処理を行う。
ステップＳ７において、形状判断および評価がデザイナ
によって行われる。そして、形状が満足か否かをステッ
プＳ８において判断し、満足の場合にはステップＳ９に
進んで終了処理を行う。一方、ステップＳ８の判断の結
果が満足でない場合にはステップＳ２に戻り、上述した
処理を繰り返し行う。
ある F(X,Y,Z)=a なる等値面を可視化する処理を行う。
ステップＳ７において、形状判断および評価がデザイナ
によって行われる。そして、形状が満足か否かをステッ
プＳ８において判断し、満足の場合にはステップＳ９に
進んで終了処理を行う。一方、ステップＳ８の判断の結
果が満足でない場合にはステップＳ２に戻り、上述した
処理を繰り返し行う。
【００４３】以下、上記ステップＳ２におけるデザイナ
による造形操作を行う方法について説明する。デザイナ
による造形操作には、次の３種類の操作がある。 (a)濃度プリミティブを利用する操作 (b)指定した空間領域を変形させることによって、その
領域の中に存在する物体を変形させる操作 (c)濃度のスイープやミラーコピーによる操作
による造形操作を行う方法について説明する。デザイナ
による造形操作には、次の３種類の操作がある。 (a)濃度プリミティブを利用する操作 (b)指定した空間領域を変形させることによって、その
領域の中に存在する物体を変形させる操作 (c)濃度のスイープやミラーコピーによる操作
【００４４】先ず、上記(a) の造形操作について説明す
る。式0 ≦φ (ξ) ≦ 1および式φ(0.5) = 0.5 を満足
する滑らかな単調増加関数φ (ξ) として、本実施例で
は、次の３つの式で表される関数φ (ξ) を用いる。 φ (ξ) = 0 ( ξ≦ 0) φ (ξ) = B5 3(ξ) + B5 4(ξ) + B5 5(ξ) (0 <ξ < 1) φ (ξ) = 1 (1≦ξ) ここで、関数B5 i ( ξ) は、５次のBernstein 多項式で
あり、次式で表される。 B5 i ( ξ) = [5! ／｛i!(5-i)!｝] ξi (1 -ξ)5-i(i =
0,1,2,3,4,5)
る。式0 ≦φ (ξ) ≦ 1および式φ(0.5) = 0.5 を満足
する滑らかな単調増加関数φ (ξ) として、本実施例で
は、次の３つの式で表される関数φ (ξ) を用いる。 φ (ξ) = 0 ( ξ≦ 0) φ (ξ) = B5 3(ξ) + B5 4(ξ) + B5 5(ξ) (0 <ξ < 1) φ (ξ) = 1 (1≦ξ) ここで、関数B5 i ( ξ) は、５次のBernstein 多項式で
あり、次式で表される。 B5 i ( ξ) = [5! ／｛i!(5-i)!｝] ξi (1 -ξ)5-i(i =
0,1,2,3,4,5)
【００４５】この関数φ( ξ) は、図５に示すように、
２次導関数まで連続なC2級の滑らかな関数である。本実
施例では、さらに、次式で表されるC2級の関数ｐR (
ξ) を定義する。 ｐR ( ξ) = φ(0.5-(0.5 ξ／R)) (R > 0)
２次導関数まで連続なC2級の滑らかな関数である。本実
施例では、さらに、次式で表されるC2級の関数ｐR (
ξ) を定義する。 ｐR ( ξ) = φ(0.5-(0.5 ξ／R)) (R > 0)
【００４６】本実施例では、いろいろな濃度プリミティ
ブを構成可能である。ここでは、代表的な濃度プリミテ
ィブの濃度分布を、プリミティブ固有のローカル座標系
x'-y'-z'で記述した関数形で記述する。例えば、楕円体
プリミティブの濃度分布 c'(x',y',z') は、デザイナが
調整できる正のパラメータk, a, b, cを有した次式で表
される関数形で記述される。 c'(x',y',z') = φ(0.5-k｛(x'/a)2+(y'/b)2+(z'/c)2-1
｝)
ブを構成可能である。ここでは、代表的な濃度プリミテ
ィブの濃度分布を、プリミティブ固有のローカル座標系
x'-y'-z'で記述した関数形で記述する。例えば、楕円体
プリミティブの濃度分布 c'(x',y',z') は、デザイナが
調整できる正のパラメータk, a, b, cを有した次式で表
される関数形で記述される。 c'(x',y',z') = φ(0.5-k｛(x'/a)2+(y'/b)2+(z'/c)2-1
｝)
【００４７】また、点 Pi ' を通り外向き単位法線ベク
トル ni ' を有する面i (i = 1,2,...,n) からなる凸ｎ
面体プリミティブの濃度分布 c'(x',y',z') について
は、点X' = (x',y',z') に関して、ベクトル X'- Pi '
と単位法線ベクトル ni ' との内積(X'- Pi ', ni ')を
用いて、デザイナが調整できる正のパラメータ Rを有し
た次式で表される関数形で記述する。
トル ni ' を有する面i (i = 1,2,...,n) からなる凸ｎ
面体プリミティブの濃度分布 c'(x',y',z') について
は、点X' = (x',y',z') に関して、ベクトル X'- Pi '
と単位法線ベクトル ni ' との内積(X'- Pi ', ni ')を
用いて、デザイナが調整できる正のパラメータ Rを有し
た次式で表される関数形で記述する。
【００４８】
【数１】
【００４９】最後の濃度プリミティブの例として、楕円
柱プリミティブの濃度分布 c'(x',y',z') については、
デザイナが調整できる正のパラメータk, a, b, R とを
有する次式で表される関数形で記述する。 c'(x',y',z') = φ(0.5-k｛(x'/a)2+(y'/b)2-1 ｝) ・
ｐR ((x'-p1',n1'))・ｐR ((x'-p2',n2')) ここで、面１と面２は、楕円体プリミティブの下面と上
面を規定する面である。
柱プリミティブの濃度分布 c'(x',y',z') については、
デザイナが調整できる正のパラメータk, a, b, R とを
有する次式で表される関数形で記述する。 c'(x',y',z') = φ(0.5-k｛(x'/a)2+(y'/b)2-1 ｝) ・
ｐR ((x'-p1',n1'))・ｐR ((x'-p2',n2')) ここで、面１と面２は、楕円体プリミティブの下面と上
面を規定する面である。
【００５０】デザイナは、上述したような濃度プリミテ
ィブを、空間x-y-z の望む位置に、望む姿勢で、さら
に、調整可能なパラメータを望ましい値に設定した状態
で、配置することで濃度分布c(x,y,z)を発生し、すでに
空間に存在している濃度分布 Fq (x,y,z) との和や差や
共通部分を生成するような各種の融合Ψ(Fq (x,y,z),c
(x,y,z)) を行って濃度分布 Gq (x,y,z) を生成する。 Gq (x,y,z)=Ψ(Fq (x,y,z),c(x,y,z))
ィブを、空間x-y-z の望む位置に、望む姿勢で、さら
に、調整可能なパラメータを望ましい値に設定した状態
で、配置することで濃度分布c(x,y,z)を発生し、すでに
空間に存在している濃度分布 Fq (x,y,z) との和や差や
共通部分を生成するような各種の融合Ψ(Fq (x,y,z),c
(x,y,z)) を行って濃度分布 Gq (x,y,z) を生成する。 Gq (x,y,z)=Ψ(Fq (x,y,z),c(x,y,z))
【００５１】ここで、融合Ψとしては次の３種類の関数
を利用した。 和：Ψ+ ( ξ，ζ) = ξ＋ζ−ξζ 差：Ψ- ( ξ，ζ) = ξ−ξζ 共通部分：Ψ* ( ξ，ζ) = ξζ
を利用した。 和：Ψ+ ( ξ，ζ) = ξ＋ζ−ξζ 差：Ψ- ( ξ，ζ) = ξ−ξζ 共通部分：Ψ* ( ξ，ζ) = ξζ
【００５２】次に、上記した(b) の造形操作（すなわ
ち、指定した空間領域を変形させることによって、その
領域の中に存在する物体を変形させる操作）について説
明する。この造形操作は、変形したい空間領域を領域R1
としたとき、３次元空間における領域R1から領域R2への
滑らかな全単射（１対１上への写像）d:R1→R2であって
かつその逆写像 d-1:R2 →R1も滑らかである関数 dを用
いて、関数c(x,y,z)を次のように定義する。 c(x,y,z) = F(d-1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる点
(x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 (領域 R2 に含まれない
点 (x,y,z) )
ち、指定した空間領域を変形させることによって、その
領域の中に存在する物体を変形させる操作）について説
明する。この造形操作は、変形したい空間領域を領域R1
としたとき、３次元空間における領域R1から領域R2への
滑らかな全単射（１対１上への写像）d:R1→R2であって
かつその逆写像 d-1:R2 →R1も滑らかである関数 dを用
いて、関数c(x,y,z)を次のように定義する。 c(x,y,z) = F(d-1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる点
(x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 (領域 R2 に含まれない
点 (x,y,z) )
【００５３】そして、上記関数c(x,y,z)を前述の濃度プ
リミティブの濃度関数とみなし、表面形状が領域R1を近
似する濃度プリミティブの濃度分布D(x,y,z)と、すでに
空間に存在する濃度分布 Fq (x,y,z) とを、前述の関数
Ψ- を用いて、Ψ- (Fq (x,y,z),D(x,y,z)) のように融
合し、該融合された濃度分布を新しい濃度分布 Fq (x,
y,z) とし、該更新された濃度分布 Fq (x,y,z) と濃度
プリミティブc(x,y,z)とを、前述の関数Ψ+ を用いて G
q (x,y,z)=Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) と融合すること
によって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生して、物体形状
を変形する。
リミティブの濃度関数とみなし、表面形状が領域R1を近
似する濃度プリミティブの濃度分布D(x,y,z)と、すでに
空間に存在する濃度分布 Fq (x,y,z) とを、前述の関数
Ψ- を用いて、Ψ- (Fq (x,y,z),D(x,y,z)) のように融
合し、該融合された濃度分布を新しい濃度分布 Fq (x,
y,z) とし、該更新された濃度分布 Fq (x,y,z) と濃度
プリミティブc(x,y,z)とを、前述の関数Ψ+ を用いて G
q (x,y,z)=Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) と融合すること
によって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生して、物体形状
を変形する。
【００５４】このような写像 dとしては、アフィン変換
や捻りや曲げなどいろいろなものがある。たとえば、領
域R1 = [-a,a]x[-b,b]x[-c,c] を z軸の周りに反時計方
向にθラジアンだけ捻る場合には、次式で表される関数
d(x,y,z)が写像 dとなる。 d(x,y,z)=(xcosθz - ysinθz , ycosθz + xsinθz ,
z)
や捻りや曲げなどいろいろなものがある。たとえば、領
域R1 = [-a,a]x[-b,b]x[-c,c] を z軸の周りに反時計方
向にθラジアンだけ捻る場合には、次式で表される関数
d(x,y,z)が写像 dとなる。 d(x,y,z)=(xcosθz - ysinθz , ycosθz + xsinθz ,
z)
【００５５】ここで、角度θz は、次式により定まる。 θz = θ(z + c) ／(2c) この方法で注意すべきことは、領域R1の境界上で濃度分
布c(x,y,z)は一般に不連続になることである。
布c(x,y,z)は一般に不連続になることである。
【００５６】しかしながら、この方法は、濃度分布 Fq
(x,y,z) と濃度プリミティブc(x,y,z)とを式 Gq (x,y,
z) = Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のように融合するこ
とによって濃度分布 Gq (x,y,z) を発生し、発生した濃
度分布 Gq (x,y,z) に関する有限個のサンプリングデー
タΛq を補間する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を生成する
ことによって、物体形状変形を実現する。したがって、
濃度分布c(x,y,z)自身が有している不連続性は、領域R1
として、変形したい物体を含む領域を適切に大きめに選
択すれば、実際上は大きな問題を生じることはない。
(x,y,z) と濃度プリミティブc(x,y,z)とを式 Gq (x,y,
z) = Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のように融合するこ
とによって濃度分布 Gq (x,y,z) を発生し、発生した濃
度分布 Gq (x,y,z) に関する有限個のサンプリングデー
タΛq を補間する滑らかな関数 Fq (x,y,z) を生成する
ことによって、物体形状変形を実現する。したがって、
濃度分布c(x,y,z)自身が有している不連続性は、領域R1
として、変形したい物体を含む領域を適切に大きめに選
択すれば、実際上は大きな問題を生じることはない。
【００５７】次いで、上記の(c) の造形操作（すなわ
ち、濃度のスイープやミラーコピーによる操作）につい
て説明する。この造形操作は、濃度分布を平行移動スイ
ープしたり、回転スイープしたり、ミラーコピーしたり
して、サンプリングデータΛq= ｛μp (i,j,k) ｜i+j+k
= 0,1,...,m, i≧0, j≧0, k≧0 ｝を直接変更するこ
とで濃度分布 Fq (x,y,z) を変更し、それによって、物
体を表現する濃度関数F(x,y,z)を修正する操作である。
ち、濃度のスイープやミラーコピーによる操作）につい
て説明する。この造形操作は、濃度分布を平行移動スイ
ープしたり、回転スイープしたり、ミラーコピーしたり
して、サンプリングデータΛq= ｛μp (i,j,k) ｜i+j+k
= 0,1,...,m, i≧0, j≧0, k≧0 ｝を直接変更するこ
とで濃度分布 Fq (x,y,z) を変更し、それによって、物
体を表現する濃度関数F(x,y,z)を修正する操作である。
【００５８】まず、平行移動スイープについて説明す
る。点P0を通る平面上に存在する閉領域R1上の濃度分布
F(x,y,z)を、その平面の単位法線ベクトルn の方向に長
さh だけスイープしてコピーする場合を説明する。ここ
で、スイープによってできる底面が領域R1で高さが hの
シリンダ状の閉領域をR2と記す。
る。点P0を通る平面上に存在する閉領域R1上の濃度分布
F(x,y,z)を、その平面の単位法線ベクトルn の方向に長
さh だけスイープしてコピーする場合を説明する。ここ
で、スイープによってできる底面が領域R1で高さが hの
シリンダ状の閉領域をR2と記す。
【００５９】次式でそれぞれ表される２つの集合Ξ1 ，
Ξ2 に含まれる点で、領域R2に属する点P におけるデー
タμp (i,j,k) を次のように決定する。 Ξ1 = ｛ (i,j,k)｜i=0,1,...,N; j=0,1,...,N; k=0,
1,...,N ｝ Ξ2 = ｛ (i+0.5,j+0.5,k+0.5)｜i= -1,0,,...,N; j= -
1,0,...,N; k= -1,0,...,N｝
Ξ2 に含まれる点で、領域R2に属する点P におけるデー
タμp (i,j,k) を次のように決定する。 Ξ1 = ｛ (i,j,k)｜i=0,1,...,N; j=0,1,...,N; k=0,
1,...,N ｝ Ξ2 = ｛ (i+0.5,j+0.5,k+0.5)｜i= -1,0,,...,N; j= -
1,0,...,N; k= -1,0,...,N｝
【００６０】まず最初に、点 Pが領域R1上のどこの点Q
= (xq ,yq ,zq ) に対応するかを次式より求める。 Q = P - (P-P0,n)n 次に、次の３つの式のようにデータμp (i,j,k) を決定
する。 μp (0,0,0) = F (xq ,yq ,zq ) grad F(xq ,yq ,zq ) = ( ∂F( xq ,yq ,zq ) ／∂x,∂
F (xq ,yq ,zq ) ／∂y,∂F (xq ,yq ,zq ) ／∂z) ( μp (1,0,0),μp (0,1,0),μp (0,0,1)) = grad F( xq ,yq ,zq ) - (grad F( xq ,yq ,zq ),n)n
= (xq ,yq ,zq ) に対応するかを次式より求める。 Q = P - (P-P0,n)n 次に、次の３つの式のようにデータμp (i,j,k) を決定
する。 μp (0,0,0) = F (xq ,yq ,zq ) grad F(xq ,yq ,zq ) = ( ∂F( xq ,yq ,zq ) ／∂x,∂
F (xq ,yq ,zq ) ／∂y,∂F (xq ,yq ,zq ) ／∂z) ( μp (1,0,0),μp (0,1,0),μp (0,0,1)) = grad F( xq ,yq ,zq ) - (grad F( xq ,yq ,zq ),n)n
【００６１】そして、最後に、集合Ξ1 あるいは集合Ξ
2 に含まれている点の中で、シリンダ状の領域R2の上面
より上の領域R2を延長したようなシリンダ領域に含まれ
ている点P に関して、以下の処理を行う。まず、点P が
スイープ前のどこの点Q = (xq ,yq ,zq ) に対応するか
を次式より求める。 Q = P - hn
2 に含まれている点の中で、シリンダ状の領域R2の上面
より上の領域R2を延長したようなシリンダ領域に含まれ
ている点P に関して、以下の処理を行う。まず、点P が
スイープ前のどこの点Q = (xq ,yq ,zq ) に対応するか
を次式より求める。 Q = P - hn
【００６２】次に、次の３つの式のようにデータμ
p (i,j,k) を決定する。 μp (0,0,0) = F (xq ,yq ,zq ) grad F(xq ,yq ,zq ) = (∂F( xq ,yq ,zq ) ／∂x,∂
F( xq ,yq ,zq ) ／∂y,∂F( xq ,yq ,zq ) ／∂z) ( μp (1,0,0),μp (0,1,0),μp (0,0,1)) = grad F( x
q ,yq ,zq )
p (i,j,k) を決定する。 μp (0,0,0) = F (xq ,yq ,zq ) grad F(xq ,yq ,zq ) = (∂F( xq ,yq ,zq ) ／∂x,∂
F( xq ,yq ,zq ) ／∂y,∂F( xq ,yq ,zq ) ／∂z) ( μp (1,0,0),μp (0,1,0),μp (0,0,1)) = grad F( x
q ,yq ,zq )
【００６３】次に、回転スイープについて説明する。こ
こでは、濃度分布F(x,y,z)のうちで半平面 [0,∞) x
[0,0] x (-∞, ∞) に存在する濃度を、z 軸周りに回転
スイープする場合を考える。
こでは、濃度分布F(x,y,z)のうちで半平面 [0,∞) x
[0,0] x (-∞, ∞) に存在する濃度を、z 軸周りに回転
スイープする場合を考える。
【００６４】集合Ξq (q = 1,2 )に含まれる点P =(
xp ,yp ,zp ) に対して、値 rおよび値gs を次の２つの
式よりそれぞれ求める。 r =(xp 2 + yp 2)1/2 gs =(1/r)∂F( r,0,zp ) ／∂x
xp ,yp ,zp ) に対して、値 rおよび値gs を次の２つの
式よりそれぞれ求める。 r =(xp 2 + yp 2)1/2 gs =(1/r)∂F( r,0,zp ) ／∂x
【００６５】求めた２つの値 r,gs を用いて、次の４つ
の式のようにデータμp (i,j,k) を決定する。 μp (0,0,0) = F( r,0,zp ) μp (1,0,0) = gs ・ x p μp (0,1,0) = gs ・ y p μp (0,0,1) = ∂F( r,0,zp ) ／∂z
の式のようにデータμp (i,j,k) を決定する。 μp (0,0,0) = F( r,0,zp ) μp (1,0,0) = gs ・ x p μp (0,1,0) = gs ・ y p μp (0,0,1) = ∂F( r,0,zp ) ／∂z
【００６６】次に、ミラーコピーについて説明する。こ
こでは、濃度分布F(x,y,z)のうちで半空間 S+ = [0,
∞) x (-∞, ∞) x (-∞, ∞) に存在する濃度を、も
う一方の側の半空間 S- にミラーコピーする場合を考え
る。集合Ξq (q = 1,2 )に含まれる点で半空間 S- に属
する点 P=( xp ,yp ,zp ) については、半空間 S- に属
する点 Pのy-z 平面に関する鏡像点である点Q = (-
xp ,yp ,zp ) としたとき、次の４つの式のようにデー
タμp (i,j,k) を決定する。 μp (0,0,0) = μQ (0,0,0) μp (1,0,0) = - μQ (1,0,0) μp (0,1,0) = μQ (0,1,0) μp (0,0,1) = μQ (0,0,1)
こでは、濃度分布F(x,y,z)のうちで半空間 S+ = [0,
∞) x (-∞, ∞) x (-∞, ∞) に存在する濃度を、も
う一方の側の半空間 S- にミラーコピーする場合を考え
る。集合Ξq (q = 1,2 )に含まれる点で半空間 S- に属
する点 P=( xp ,yp ,zp ) については、半空間 S- に属
する点 Pのy-z 平面に関する鏡像点である点Q = (-
xp ,yp ,zp ) としたとき、次の４つの式のようにデー
タμp (i,j,k) を決定する。 μp (0,0,0) = μQ (0,0,0) μp (1,0,0) = - μQ (1,0,0) μp (0,1,0) = μQ (0,1,0) μp (0,0,1) = μQ (0,0,1)
【００６７】また、集合Ξq (q = 1,2 )に含まれる点で
y-z 平面上に存在する点P = (0,yp,zp ) については、
μp (1,0,0) = 0 とするが、μp (0,0,0),μp (0,1,0)
およびμp (0,0,1) は修正することなく、データμ
p (i,j,k) を決定する。
y-z 平面上に存在する点P = (0,yp,zp ) については、
μp (1,0,0) = 0 とするが、μp (0,0,0),μp (0,1,0)
およびμp (0,0,1) は修正することなく、データμ
p (i,j,k) を決定する。
【００６８】上記の造形操作(c) 以外の造形操作(a),
(b) に関しては、デザイナの造形操作によって発生した
濃度分布 Gq (x,y,z) に従ってサンプリングデータΛq
を更新する図１のステップＳ３の機能によって、次式で
表されるサンプリングデータΛq 更新する。 Λq = ｛μp (i,j,k) = ∂i+j+k Gq (xp, yp, zp ) ／
∂ xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;
Ξq に含まれるすべての点P = (xp ,yp ,zp )｝
(b) に関しては、デザイナの造形操作によって発生した
濃度分布 Gq (x,y,z) に従ってサンプリングデータΛq
を更新する図１のステップＳ３の機能によって、次式で
表されるサンプリングデータΛq 更新する。 Λq = ｛μp (i,j,k) = ∂i+j+k Gq (xp, yp, zp ) ／
∂ xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;
Ξq に含まれるすべての点P = (xp ,yp ,zp )｝
【００６９】たとえば、融合Ψ+ に対しては、次式のよ
うにする。 ∂(F+c-Fc)／∂x=∂F ／∂x + ∂c ／∂x- (∂F ／∂x)
c-F(∂c ／∂x) なお、融合Ψは、次式で表される。 Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z) + c(x,y,z)
- Fq (x,y,z)c(x,y,z)
うにする。 ∂(F+c-Fc)／∂x=∂F ／∂x + ∂c ／∂x- (∂F ／∂x)
c-F(∂c ／∂x) なお、融合Ψは、次式で表される。 Ψ+ (Fq (x,y,z),c(x,y,z)) = Fq (x,y,z) + c(x,y,z)
- Fq (x,y,z)c(x,y,z)
【００７０】そこで、集合Ξq に含まれる点のうちで、
濃度分布c(x,y,z)が0 でない領域に属する点 P = (
xp ,yp ,zp ) に関してだけ、データμp (i,j,k) を次
の５つの式に従って更新する。 g0 = μp (0,0,0) μp (0,0,0) = g0 + c(xp ,yp ,zp ) - g0c( xp ,yp ,z
p ) μp (1,0,0) = μp (1,0,0) + ∂c( xp ,yp ,zp ) ／∂
x - μp (1,0,0)c(xp,yp ,zp ) - g0∂c( xp ,yp ,zp )
／∂x μp (0,1,0) = μp (0,1,0) + ∂c( xp ,yp ,zp ) ／∂
y - μp (0,1,0)c(xp,yp ,zp ) - g0∂c( xp ,yp ,zp )
／∂y μp (0,0,1) = μp (0,0,1) + ∂c( xp ,yp ,zp ) ／∂
z - μp (0,0,1)c(xp,yp ,zp ) - g0∂c( xp ,yp ,zp )
／∂z なお、その他の融合に関しても、データμp (i,j,k) の
更新公式を同様に導出することができる。
濃度分布c(x,y,z)が0 でない領域に属する点 P = (
xp ,yp ,zp ) に関してだけ、データμp (i,j,k) を次
の５つの式に従って更新する。 g0 = μp (0,0,0) μp (0,0,0) = g0 + c(xp ,yp ,zp ) - g0c( xp ,yp ,z
p ) μp (1,0,0) = μp (1,0,0) + ∂c( xp ,yp ,zp ) ／∂
x - μp (1,0,0)c(xp,yp ,zp ) - g0∂c( xp ,yp ,zp )
／∂x μp (0,1,0) = μp (0,1,0) + ∂c( xp ,yp ,zp ) ／∂
y - μp (0,1,0)c(xp,yp ,zp ) - g0∂c( xp ,yp ,zp )
／∂y μp (0,0,1) = μp (0,0,1) + ∂c( xp ,yp ,zp ) ／∂
z - μp (0,0,1)c(xp,yp ,zp ) - g0∂c( xp ,yp ,zp )
／∂z なお、その他の融合に関しても、データμp (i,j,k) の
更新公式を同様に導出することができる。
【００７１】次に、サンプリングデータΛq に基づいて
滑らかな関数 Fq (x,y,z) を生成する図１のステップＳ
４の機能によって、サンプリングデータΛq を補間する
滑らかな関数 Fq (x,y,z) を次のように生成する。
滑らかな関数 Fq (x,y,z) を生成する図１のステップＳ
４の機能によって、サンプリングデータΛq を補間する
滑らかな関数 Fq (x,y,z) を次のように生成する。
【００７２】まず、関数F1(x,y,z) の生成方法について
説明する。３次元空間x-y-z における領域 [I,I+1]x[J,
J+1]x[K,K+1]（ここで、I,J,K = 0,1,・・・,N-1 ）を、領
域｛(s,t,u) ｜0 ≦ s≦ 1, 0 ≦ t≦ 1, 0 ≦ u≦ 1｝
とみなして、関数 fI,J,K (s,t,u) を次式のように定義
する。
説明する。３次元空間x-y-z における領域 [I,I+1]x[J,
J+1]x[K,K+1]（ここで、I,J,K = 0,1,・・・,N-1 ）を、領
域｛(s,t,u) ｜0 ≦ s≦ 1, 0 ≦ t≦ 1, 0 ≦ u≦ 1｝
とみなして、関数 fI,J,K (s,t,u) を次式のように定義
する。
【００７３】
【数２】
【００７４】ここで、 B3 i ( ξ ) = [3!／｛i!(3-i)!｝] ξi ( 1 - ξ)3-i
(i = 0,1,2,3) B3 j ( ξ ) = [3!／｛j!(3-j)!｝] ξj ( 1 - ξ)3-j
(j = 0,1,2,3) B3 k ( ξ ) = [3!／｛k!(3-k)!｝] ξk ( 1 - ξ)3-k
(k = 0,1,2,3)
(i = 0,1,2,3) B3 j ( ξ ) = [3!／｛j!(3-j)!｝] ξj ( 1 - ξ)3-j
(j = 0,1,2,3) B3 k ( ξ ) = [3!／｛k!(3-k)!｝] ξk ( 1 - ξ)3-k
(k = 0,1,2,3)
【００７５】スカラ量 wI,J,K (i,j,k) は、３次元空間
x-y-z の点(I+(i/3),J+(j/3),K+(k/3)) に配置された重
みである。このような区分的に定義された関数 fI,J,K
を利用して、関数F1(x,y,z) の構造を次のように規定す
る。 F1(I+s,J+t,K+u) = f I,J,K (s,t,u) (I,J,K = 0,1,...,N-1; 0≦ s,t,u≦ 1)
x-y-z の点(I+(i/3),J+(j/3),K+(k/3)) に配置された重
みである。このような区分的に定義された関数 fI,J,K
を利用して、関数F1(x,y,z) の構造を次のように規定す
る。 F1(I+s,J+t,K+u) = f I,J,K (s,t,u) (I,J,K = 0,1,...,N-1; 0≦ s,t,u≦ 1)
【００７６】次に、関数F1がサンプリングデータΛ1 =
｛μp (i,j,k) = ∂i+j+k G1(xp ,yp ,zp ) ／∂ xi ∂
yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξ1 に含
まれるすべての点P = (xp ,yp ,zp ) ｝を補間し、か
つ、１次偏導関数まで連続となるように、重み wI,J,K
(i,j,k) を決定する。
｛μp (i,j,k) = ∂i+j+k G1(xp ,yp ,zp ) ／∂ xi ∂
yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξ1 に含
まれるすべての点P = (xp ,yp ,zp ) ｝を補間し、か
つ、１次偏導関数まで連続となるように、重み wI,J,K
(i,j,k) を決定する。
【００７７】具体的には、点(I+(i/3),J+(j/3),K+(k/
3)) に配置された重みを、改めて <i,j,k>I,J,K (i,j,k
= -1,0,1)と表し、P = (I,J,K) の周りにおいて、次式
のように重みを決定すればよい。 <i,j,k>I,J,K = μp (0,0,0)+ (1/3)｛i μp (1,0,0) +
j μp (0,1,0) + kμp (0,0,1) ｝ ( i,j,k = -
1,0,1 )
3)) に配置された重みを、改めて <i,j,k>I,J,K (i,j,k
= -1,0,1)と表し、P = (I,J,K) の周りにおいて、次式
のように重みを決定すればよい。 <i,j,k>I,J,K = μp (0,0,0)+ (1/3)｛i μp (1,0,0) +
j μp (0,1,0) + kμp (0,0,1) ｝ ( i,j,k = -
1,0,1 )
【００７８】次に、関数F2(x,y,z) の生成方法について
説明する。３次元空間x-y-z における領域[I+0.5,I+1.
5]x[J+0.5,J+1.5]x[K+0.5,K+1.5] （ここで、I,J,K = -
1,0,1,・・・,N-1）を、領域｛(s,t,u) ｜0 ≦ s≦ 1, 0
≦ t≦ 1, 0 ≦ u≦ 1｝とみなして、関数 fI,J,K (s,
t,u) を次式のように定義する。
説明する。３次元空間x-y-z における領域[I+0.5,I+1.
5]x[J+0.5,J+1.5]x[K+0.5,K+1.5] （ここで、I,J,K = -
1,0,1,・・・,N-1）を、領域｛(s,t,u) ｜0 ≦ s≦ 1, 0
≦ t≦ 1, 0 ≦ u≦ 1｝とみなして、関数 fI,J,K (s,
t,u) を次式のように定義する。
【００７９】
【数３】
【００８０】ここで、 B3 i ( ξ ) = [3!／｛i!(3-i)!｝] ξi ( 1 - ξ)3-i
(i = 0,1,2,3) B3 j ( ξ ) = [3!／｛j!(3-j)!｝] ξj ( 1 - ξ)3-j
(j = 0,1,2,3) B3 k ( ξ ) = [3!／｛k!(3-k)!｝] ξk ( 1 - ξ)3-k
(k = 0,1,2,3)
(i = 0,1,2,3) B3 j ( ξ ) = [3!／｛j!(3-j)!｝] ξj ( 1 - ξ)3-j
(j = 0,1,2,3) B3 k ( ξ ) = [3!／｛k!(3-k)!｝] ξk ( 1 - ξ)3-k
(k = 0,1,2,3)
【００８１】スカラ量 wI,J,K (i,j,k) は、３次元空間
x-y-z の点(I+0.5+(i/3),J+0.5+(j/3),K+0.5+(k/3)) に
配置された重みである。このような区分的に定義された
関数fI,J,K を利用して、関数F2(x,y,z) の構造を次の
ように規定する。 F2(I+0.5+s,J+0.5+t,K+0.5+u) = fI,J,K (s,t,u) (I,J,K = -1,0,1,・・・,N-1; 0 ≦ s,t,u≦ 1)
x-y-z の点(I+0.5+(i/3),J+0.5+(j/3),K+0.5+(k/3)) に
配置された重みである。このような区分的に定義された
関数fI,J,K を利用して、関数F2(x,y,z) の構造を次の
ように規定する。 F2(I+0.5+s,J+0.5+t,K+0.5+u) = fI,J,K (s,t,u) (I,J,K = -1,0,1,・・・,N-1; 0 ≦ s,t,u≦ 1)
【００８２】次に、関数F2がサンプリングデータΛ2 =
｛μp (i,j,k) = ∂i+j+k G2(xp ,yp ,zp ) ／∂ xi ∂
yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξ2 に含
まれるすべての点P =( xp ,yp ,zp ) ｝を補間し、か
つ、１次偏導関数まで連続となるように、重み wI,J,K
(i,j,k) を決定する。
｛μp (i,j,k) = ∂i+j+k G2(xp ,yp ,zp ) ／∂ xi ∂
yj ∂ zk ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξ2 に含
まれるすべての点P =( xp ,yp ,zp ) ｝を補間し、か
つ、１次偏導関数まで連続となるように、重み wI,J,K
(i,j,k) を決定する。
【００８３】具体的には、点(I+0.5+(i/3),J+0.5+(j/
3),K+0.5+(k/3)) に配置された重みを、改めて <i,j,k>
I,J,K (i,j,k = -1,0,1)と表し、P = (I+0.5,J+0.5,K+
0.5) の周りにおいて、次式のように重みを決定すれば
よい。 <i,j,k>I,J,K = μp (0,0,0)+ (1/3)｛ iμp (1,0,0)
+jμp (0,1,0) +kμp (0,0,1) ｝ ( i,j,k = -1,
0,1 )
3),K+0.5+(k/3)) に配置された重みを、改めて <i,j,k>
I,J,K (i,j,k = -1,0,1)と表し、P = (I+0.5,J+0.5,K+
0.5) の周りにおいて、次式のように重みを決定すれば
よい。 <i,j,k>I,J,K = μp (0,0,0)+ (1/3)｛ iμp (1,0,0)
+jμp (0,1,0) +kμp (0,0,1) ｝ ( i,j,k = -1,
0,1 )
【００８４】しかる後に、関数 Fq に基づいて物体を表
現する滑らかな濃度分布F(x,y,z)を生成する図１のステ
ップＳ５の機能を用いて、物体を表現する濃度分布F(x,
y,z)を次式のように生成する。 F(x,y,z) =｛F1(x,y,z) + F2(x,y,z) ｝／2
現する滑らかな濃度分布F(x,y,z)を生成する図１のステ
ップＳ５の機能を用いて、物体を表現する濃度分布F(x,
y,z)を次式のように生成する。 F(x,y,z) =｛F1(x,y,z) + F2(x,y,z) ｝／2
【００８５】この生成方法は、関数F1、F2の凸結合λ
1(x,y,z) F1(x,y,z)＋λ2(x,y,z) F2(x,y,z)において、
λ1(x,y,z)≡1/2 、λ2(x,y,z)≡1/2 と設定した場合で
ある。
1(x,y,z) F1(x,y,z)＋λ2(x,y,z) F2(x,y,z)において、
λ1(x,y,z)≡1/2 、λ2(x,y,z)≡1/2 と設定した場合で
ある。
【００８６】通常、このように各立方体領域ごとに区分
的に定義された関数を利用して、各領域の境界面上で関
数がお互いに滑らかに接続するように各関数を発生し
て、全空間における滑らかな関数F(x,y,z)を生成する方
法においては、物体表面を定義する濃度分布F(x,y,z) =
0.5 を満足する等値面上に望ましくない微細な凹凸が
発生することがある。
的に定義された関数を利用して、各領域の境界面上で関
数がお互いに滑らかに接続するように各関数を発生し
て、全空間における滑らかな関数F(x,y,z)を生成する方
法においては、物体表面を定義する濃度分布F(x,y,z) =
0.5 を満足する等値面上に望ましくない微細な凹凸が
発生することがある。
【００８７】もちろん、サンプリング点の数を増加させ
ていけば、すなわち、各関数が定義される立方体領域を
小さくしていけば、このような凹凸は回避できる。しか
し、そのためには、コンピュータの主メモリを大量に消
費することになり、主メモリにデータが格納しきれなく
なる場合がある。
ていけば、すなわち、各関数が定義される立方体領域を
小さくしていけば、このような凹凸は回避できる。しか
し、そのためには、コンピュータの主メモリを大量に消
費することになり、主メモリにデータが格納しきれなく
なる場合がある。
【００８８】この場合には、コンピュータのＯＳ（オペ
レーティングシステム）の働きによって、自動的にスワ
ップ処理が実施され、不足分のメモリをハードディスク
に分担させる。このようなスワップを利用した状態にな
ると、ハードディスクへのアクセス速度が主メモリへの
アクセス速度に比べて非常に遅いので、システムの応答
が極端に遅くなってしまう。
レーティングシステム）の働きによって、自動的にスワ
ップ処理が実施され、不足分のメモリをハードディスク
に分担させる。このようなスワップを利用した状態にな
ると、ハードディスクへのアクセス速度が主メモリへの
アクセス速度に比べて非常に遅いので、システムの応答
が極端に遅くなってしまう。
【００８９】したがって、このような区分的な関数発生
を利用する方法においては、より少ないサンプリング点
でのデータを用いて、より良好な物体表面形状を生成で
きるかが重要である。
を利用する方法においては、より少ないサンプリング点
でのデータを用いて、より良好な物体表面形状を生成で
きるかが重要である。
【００９０】本実施例において、２種類の点集合Ξ1 ，
Ξ2 を利用する理由は、点集合Ξ1と点集合Ξ2 との和
集合に含まれる点の数 (N+1)3 + (N+2)3〜 2(N+1)3とほ
ぼ同一の数の点を含む１種類の点集合 Ξ1' =｛(i(N/N'),j(N/N'),k(N/N')) ｜i=0,1,...,N';
j=0,1,...,N'; k=0,1,...,N'｝（すなわち、(N'+1)3 〜
2(N+1)3） だけを利用して生成した濃度分布F(x,y,z)と比較して、
本実施例において生成した濃度分布F(x,y,z)の方が、物
体表面である濃度分布F(x,y,z) = 0.5の等値面の形状が
より良好となる、すなわち、望ましくない凹凸が減少す
るためである。
Ξ2 を利用する理由は、点集合Ξ1と点集合Ξ2 との和
集合に含まれる点の数 (N+1)3 + (N+2)3〜 2(N+1)3とほ
ぼ同一の数の点を含む１種類の点集合 Ξ1' =｛(i(N/N'),j(N/N'),k(N/N')) ｜i=0,1,...,N';
j=0,1,...,N'; k=0,1,...,N'｝（すなわち、(N'+1)3 〜
2(N+1)3） だけを利用して生成した濃度分布F(x,y,z)と比較して、
本実施例において生成した濃度分布F(x,y,z)の方が、物
体表面である濃度分布F(x,y,z) = 0.5の等値面の形状が
より良好となる、すなわち、望ましくない凹凸が減少す
るためである。
【００９１】この理由は、図４に示すように、２種類の
点集合Ξ1 ，Ξ2 が互いに(0.5,0.5,0.5) ずつずれてい
るため、関数 fI,J,K (s,t,u) を生成する各立方体領域
の重心に、相手のサンプリング点が位置することにな
る。各立方体領域の重心点は、補間関数 fI,J,K (s,t,
u) の補間精度が最も悪くなりがちな点であるが、その
重心点は一方ではサンプリング点そのものであるため、
１次の偏導関数まで正確に補間できている。なお、図４
において、符号１１は集合Ξ1 に属する点を格子点とし
て構成される２次元格子を示し、符号１２は集合Ξ2 に
属する点を格子点として構成される２次元格子を示して
いる。
点集合Ξ1 ，Ξ2 が互いに(0.5,0.5,0.5) ずつずれてい
るため、関数 fI,J,K (s,t,u) を生成する各立方体領域
の重心に、相手のサンプリング点が位置することにな
る。各立方体領域の重心点は、補間関数 fI,J,K (s,t,
u) の補間精度が最も悪くなりがちな点であるが、その
重心点は一方ではサンプリング点そのものであるため、
１次の偏導関数まで正確に補間できている。なお、図４
において、符号１１は集合Ξ1 に属する点を格子点とし
て構成される２次元格子を示し、符号１２は集合Ξ2 に
属する点を格子点として構成される２次元格子を示して
いる。
【００９２】したがって、それぞれの補間関数の平均と
して生成された関数F(x,y,z)においては、空間的にほぼ
均一な補間精度が確保された濃度分布が実現され、補間
対象となったもともとの濃度分布が有していない等値面
の望ましくない凹凸が抑制されるのである。この結果、
より少ないサンプリングデータから、望ましくない凹凸
が効果的に抑制された物体形状を生成でき、主メモリの
消費量を効果的に削減できる。
して生成された関数F(x,y,z)においては、空間的にほぼ
均一な補間精度が確保された濃度分布が実現され、補間
対象となったもともとの濃度分布が有していない等値面
の望ましくない凹凸が抑制されるのである。この結果、
より少ないサンプリングデータから、望ましくない凹凸
が効果的に抑制された物体形状を生成でき、主メモリの
消費量を効果的に削減できる。
【００９３】また、関数F1、F2の凸結合λ1(x,y,z) F
1(x,y,z)＋λ2(x,y,z) F2(x,y,z)として、先程はλ1(x,
y,z)≡1/2 、λ2(x,y,z)≡1/2 とする方法を述べた。こ
の方法以外にも、次のような凸結合も有用である。
1(x,y,z)＋λ2(x,y,z) F2(x,y,z)として、先程はλ1(x,
y,z)≡1/2 、λ2(x,y,z)≡1/2 とする方法を述べた。こ
の方法以外にも、次のような凸結合も有用である。
【００９４】まず、滑らかな関数Ω(x) を次のように定
義する。 Ω(I +ν) = 24ν2(1-ν)2 I = 0,1,2,・・・・ ; 0≦ν≦ 1 次に、３次元空間x-y-z において、滑らかな関数Ω'(x,
y,z)を次のように定義する。 Ω'(x,y,z) =｛Ω(x) + Ω(y) + Ω(z) ｝/3
義する。 Ω(I +ν) = 24ν2(1-ν)2 I = 0,1,2,・・・・ ; 0≦ν≦ 1 次に、３次元空間x-y-z において、滑らかな関数Ω'(x,
y,z)を次のように定義する。 Ω'(x,y,z) =｛Ω(x) + Ω(y) + Ω(z) ｝/3
【００９５】該関数を用いて、凸結合におけるλ1 、λ
2 を λ1(x,y,z) = 1−Ω'(x,y,z) λ2(x,y,z) = Ω'(x,y,z) と定義して、物体を表現する濃度分布F(x,y,z)を次式の
ように生成する。 F(x,y,z) =λ1(x,y,z) F1(x,y,z)＋λ2(x,y,z) F2(x,y,
z)
2 を λ1(x,y,z) = 1−Ω'(x,y,z) λ2(x,y,z) = Ω'(x,y,z) と定義して、物体を表現する濃度分布F(x,y,z)を次式の
ように生成する。 F(x,y,z) =λ1(x,y,z) F1(x,y,z)＋λ2(x,y,z) F2(x,y,
z)
【００９６】この生成方法の特徴は、該濃度分布F(x,y,
z)は、集合Ξ1 上ではサンプリングデータΛ1 を補間
し、集合Ξ2 上ではサンプリングデータΛ2 を補間する
点である。さらに、その他の点では、関数F1，F2を適切
にブレンドする点である。
z)は、集合Ξ1 上ではサンプリングデータΛ1 を補間
し、集合Ξ2 上ではサンプリングデータΛ2 を補間する
点である。さらに、その他の点では、関数F1，F2を適切
にブレンドする点である。
【００９７】たとえば、点(I+0.5,J+0.5,K) (I,J,K=0,
1,2,・・・)上では、 Ω'(I+0.5,J+0.5,K)=｛Ω(I+0.5) + Ω(J+0.5) + Ω(K)
｝/3=｛24・0.52 ・(1-0.5)2 + 24・0.52 ・(1-0.5)2 + 24
・02 ・(1-0)2 ｝/3= 2/3 であるので、 F(I+0.5,J+0.5,K) = F1(I+0.5,J+0.5,K)/3 + 2F2(I+0.
5,J+0.5,K)/3 となる。
1,2,・・・)上では、 Ω'(I+0.5,J+0.5,K)=｛Ω(I+0.5) + Ω(J+0.5) + Ω(K)
｝/3=｛24・0.52 ・(1-0.5)2 + 24・0.52 ・(1-0.5)2 + 24
・02 ・(1-0)2 ｝/3= 2/3 であるので、 F(I+0.5,J+0.5,K) = F1(I+0.5,J+0.5,K)/3 + 2F2(I+0.
5,J+0.5,K)/3 となる。
【００９８】この結果は、点(I+0.5,J+0.5,K) が、集合
Ξ1 に含まれる点(I,J,K) より集合Ξ2 に含まれる点(I
+0.5,J+0.5,K+0.5) により近いので、点(I+0.5,J+0.5,
K) における濃度分布F の値F(I+0.5,J+0.5,K)が関数F1
からの影響より関数F2からの影響をより強く受けること
を反映した妥当なブレンドになっている。
Ξ1 に含まれる点(I,J,K) より集合Ξ2 に含まれる点(I
+0.5,J+0.5,K+0.5) により近いので、点(I+0.5,J+0.5,
K) における濃度分布F の値F(I+0.5,J+0.5,K)が関数F1
からの影響より関数F2からの影響をより強く受けること
を反映した妥当なブレンドになっている。
【００９９】このようにして生成された濃度分布F(x,y,
z)に対して、物体表面である濃度分布F(x,y,z) = a な
る等値面を可視化する図１のステップＳ６の機能を用い
て、物体形状を可視化する。本実施例では、整数V （通
常は2,3,4 のどれかを選択する）に対して格子点(i/V,j
/V,k/V) (i,j,k = 0,1,・・・,NV) 上での濃度分布F(x,y,
z)の値F(i/V,j/V,k/V) を求め、これらのデータをボリ
ュームデータとして考える。ボリュームデータに対する
通常の等値面可視化アルゴリズムを用いて、濃度分布 F
(x,y,z) = 0.5 なる等値面をポリゴンの集合体によって
近似的に表現する。
z)に対して、物体表面である濃度分布F(x,y,z) = a な
る等値面を可視化する図１のステップＳ６の機能を用い
て、物体形状を可視化する。本実施例では、整数V （通
常は2,3,4 のどれかを選択する）に対して格子点(i/V,j
/V,k/V) (i,j,k = 0,1,・・・,NV) 上での濃度分布F(x,y,
z)の値F(i/V,j/V,k/V) を求め、これらのデータをボリ
ュームデータとして考える。ボリュームデータに対する
通常の等値面可視化アルゴリズムを用いて、濃度分布 F
(x,y,z) = 0.5 なる等値面をポリゴンの集合体によって
近似的に表現する。
【０１００】ここで、各ポリゴンの頂点での法線ベクト
ルは、関数F(x,y,z) のその点での勾配ベクトル (∂F
(i/V,j/V,k/V)／∂x,∂F(i/V,j/V,k/V)／∂y,∂F(i/V,j
/V,k/V)／∂z)の符号を反転し、長さを1 に正規化した
ものを採用する。これらの情報に基づいて、Gouraud シ
ェーディングを実施すれば、３次元物体形状の滑らかな
可視化を実現することができる。
ルは、関数F(x,y,z) のその点での勾配ベクトル (∂F
(i/V,j/V,k/V)／∂x,∂F(i/V,j/V,k/V)／∂y,∂F(i/V,j
/V,k/V)／∂z)の符号を反転し、長さを1 に正規化した
ものを採用する。これらの情報に基づいて、Gouraud シ
ェーディングを実施すれば、３次元物体形状の滑らかな
可視化を実現することができる。
【０１０１】さらに、濃度分布が0.5 である等値面を正
確に表示するために、スクリーンの各ピクセルから投射
される視線と等値面との正確な交点計算を行い、各交点
で輝度計算を行う方法がある。従来の手法では、複数の
正や負の濃度プリミティブの単純な和から物体の濃度分
布が構成されていたので、交点計算に利用できる有用な
解析的な性質がなく、ヒューリスティックな交点計算ア
ルゴリズムが使用されており、本来あるべき交点が求め
られない場合があった。
確に表示するために、スクリーンの各ピクセルから投射
される視線と等値面との正確な交点計算を行い、各交点
で輝度計算を行う方法がある。従来の手法では、複数の
正や負の濃度プリミティブの単純な和から物体の濃度分
布が構成されていたので、交点計算に利用できる有用な
解析的な性質がなく、ヒューリスティックな交点計算ア
ルゴリズムが使用されており、本来あるべき交点が求め
られない場合があった。
【０１０２】しかしながら、本実施例で生成される濃度
分布F(x,y,z) =｛F1(x,y,z) + F2(x,y,z) ｝／2 は、結
局、３次元格子｛(i/2,j/2,k/2) ｜i,j,k = 0,1,・・・,2
N｝上で区分的に定義されたBernstein 多項式のテンサ
積で表現できる。すなわち、各立方体領域[i/2,(i+1)/
2]x[j/2,(j+1)/2]x[k/2,(k+1)/2] ごとに、濃度分布F
(x,y,z)は、次式のように表現することができる。
分布F(x,y,z) =｛F1(x,y,z) + F2(x,y,z) ｝／2 は、結
局、３次元格子｛(i/2,j/2,k/2) ｜i,j,k = 0,1,・・・,2
N｝上で区分的に定義されたBernstein 多項式のテンサ
積で表現できる。すなわち、各立方体領域[i/2,(i+1)/
2]x[j/2,(j+1)/2]x[k/2,(k+1)/2] ごとに、濃度分布F
(x,y,z)は、次式のように表現することができる。
【０１０３】
【数４】
【０１０４】ここで、 s = 2x - i t = 2y - j u = 2z - k
【０１０５】その結果、Bernstein 多項式の性質を利用
して、視線と等値面との交点を確実に、かつ、数値的に
安定に求めるアルゴリズムが存在する（Alyn Rockwood,
Accurate display of product isosurfaces, In Proce
edings of the First IEEE Conference on Visualizati
on: Visualization'90, pp353-360, IEEE Computer Soc
iety Press, 1990）。したがって、等値面の厳密な可視
化に関しても何も問題はない。
して、視線と等値面との交点を確実に、かつ、数値的に
安定に求めるアルゴリズムが存在する（Alyn Rockwood,
Accurate display of product isosurfaces, In Proce
edings of the First IEEE Conference on Visualizati
on: Visualization'90, pp353-360, IEEE Computer Soc
iety Press, 1990）。したがって、等値面の厳密な可視
化に関しても何も問題はない。
【０１０６】このように可視化された物体形状をデザイ
ナが見ることによって形状をチェックし、もし形状が不
満足ならば、デザイナによる造形操作ステップＳ２に戻
って造形を継続する。もし形状が満足ならば、終了処理
ステップＳ９によって、サンプリングデータΛq = ｛μ
p (i,j,k) ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含
まれるすべての点P ｝ (q = 1,2) をセーブして物体を
表現する濃度分布を保存したりして、造形を終了する。
ナが見ることによって形状をチェックし、もし形状が不
満足ならば、デザイナによる造形操作ステップＳ２に戻
って造形を継続する。もし形状が満足ならば、終了処理
ステップＳ９によって、サンプリングデータΛq = ｛μ
p (i,j,k) ｜i+j+k = 0,1 i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含
まれるすべての点P ｝ (q = 1,2) をセーブして物体を
表現する濃度分布を保存したりして、造形を終了する。
【０１０７】図６は、本発明のコンピュータによる３次
元自由形状の造形方法を実施する装置の一例を示す構成
図である。同図に示したように、この造形装置１０は、
サンプリングデータΛq を演算するサンプリングデータ
初期化手段１と、濃度分布cと濃度分布 Fq とを融合し
た濃度分布を発生する造形手段２を有する。さらに、サ
ンプリングデータ更新手段３と、第１の関数生成手段４
と、第２の関数生成手段５とを有する更新手段、および
可視化手段６と、入力手段７と、表示装置８とを有して
いる。
元自由形状の造形方法を実施する装置の一例を示す構成
図である。同図に示したように、この造形装置１０は、
サンプリングデータΛq を演算するサンプリングデータ
初期化手段１と、濃度分布cと濃度分布 Fq とを融合し
た濃度分布を発生する造形手段２を有する。さらに、サ
ンプリングデータ更新手段３と、第１の関数生成手段４
と、第２の関数生成手段５とを有する更新手段、および
可視化手段６と、入力手段７と、表示装置８とを有して
いる。
【０１０８】サンプリングデータ初期化手段１は、サン
プリングデータΛq を初期化する機能を有する。造形手
段２は、デザイナが入力手段７を介して行う造形操作に
基づいてサンプリングデータを加工する機能を有してい
る。
プリングデータΛq を初期化する機能を有する。造形手
段２は、デザイナが入力手段７を介して行う造形操作に
基づいてサンプリングデータを加工する機能を有してい
る。
【０１０９】サンプリングデータ更新手段３は、デザイ
ナの造形操作によって発生した濃度分布 Gq (x,y,z) に
従ってサンプリングデータΛq を更新する機能を有す
る。第１の関数生成手段４は、上記サンプリングデータ
Λq に基づいて滑らかな関数 Fq (x,y,z) を生成する機
能を有している。
ナの造形操作によって発生した濃度分布 Gq (x,y,z) に
従ってサンプリングデータΛq を更新する機能を有す
る。第１の関数生成手段４は、上記サンプリングデータ
Λq に基づいて滑らかな関数 Fq (x,y,z) を生成する機
能を有している。
【０１１０】第２の関数生成手段５は、第１の関数生成
手段４によって生成された滑らかな関数 Fq (x,y,z) に
基づいて物体を表現する滑らかな濃度分布F(x,y,z)を生
成する機能を有している。可視化手段６は、物体表面で
ある濃度分布F(x,y,z) = aなる等値面を可視化する機能
を有している。この可視化手段６によって可視化された
等値面が、表示装置８に表示される。したがって、デザ
イナは、表示装置８に表示される内容をみながら入力手
段７を操作することにより、上述した(a),(b),(c) のよ
うな種々の造形操作を行うことができる。
手段４によって生成された滑らかな関数 Fq (x,y,z) に
基づいて物体を表現する滑らかな濃度分布F(x,y,z)を生
成する機能を有している。可視化手段６は、物体表面で
ある濃度分布F(x,y,z) = aなる等値面を可視化する機能
を有している。この可視化手段６によって可視化された
等値面が、表示装置８に表示される。したがって、デザ
イナは、表示装置８に表示される内容をみながら入力手
段７を操作することにより、上述した(a),(b),(c) のよ
うな種々の造形操作を行うことができる。
【０１１１】
【発明の効果】以上のように、本発明の３次元自由形状
のモデリング方法によれば、２つの物体の和や差や共通
部分を得るための融合結果として生成される形状は、自
動的にエッジが滑らかな形状となる。その濃度分布につ
いては、物体表面近傍を除いた物体内部はほぼ均一の濃
度値１をもち、物体表面近傍を除いた物体外部はほぼ均
一の濃度値０をもち、かつ、物体表面近傍でのみ濃度が
０から１に滑らかに変化するような濃度分布に近い濃度
分布を実現できる。したがって、デザイナは、エッジの
丸め処理や全空間における濃度分布を気にすることな
く、物体形状に集中して造形を進めることができる。
のモデリング方法によれば、２つの物体の和や差や共通
部分を得るための融合結果として生成される形状は、自
動的にエッジが滑らかな形状となる。その濃度分布につ
いては、物体表面近傍を除いた物体内部はほぼ均一の濃
度値１をもち、物体表面近傍を除いた物体外部はほぼ均
一の濃度値０をもち、かつ、物体表面近傍でのみ濃度が
０から１に滑らかに変化するような濃度分布に近い濃度
分布を実現できる。したがって、デザイナは、エッジの
丸め処理や全空間における濃度分布を気にすることな
く、物体形状に集中して造形を進めることができる。
【０１１２】また、捻ったり曲げたりするような物体の
変形操作も自由に利用することができ、さらに、各種の
スイープ操作やミラーコピー操作のような、部分的に造
形された濃度分布を空間全体に広げる操作によって、少
ない造形手続きで物体を造形することができるため、デ
ザイナの感性を素直にコンピュータに入力することがで
き、例えばＣＡＤ等において効率的な造形作業環境をデ
ザイナに提供することができる。
変形操作も自由に利用することができ、さらに、各種の
スイープ操作やミラーコピー操作のような、部分的に造
形された濃度分布を空間全体に広げる操作によって、少
ない造形手続きで物体を造形することができるため、デ
ザイナの感性を素直にコンピュータに入力することがで
き、例えばＣＡＤ等において効率的な造形作業環境をデ
ザイナに提供することができる。
【図１】本発明の一実施例による３次元自由形状をモデ
リングするシステムの処理のフローチャートである。
リングするシステムの処理のフローチャートである。
【図２】従来方法の問題点を例示するための概念図であ
る。
る。
【図３】滑らかな集合演算を２次元の世界で模式的に示
した図である。
した図である。
【図４】サンプリング点の集合Ξ1 と集合Ξ2 との関係
を２次元の世界で模式的に示した図である。
を２次元の世界で模式的に示した図である。
【図５】本発明の一実施例における関数φ( ξ) のグラ
フを示した図である。
フを示した図である。
【図６】本発明を実施する装置の一例を示す構成図であ
る。
る。
１ サンプリングデータ初期化手段 ２ 造形手段 ３ サンプリングデータ更新手段 ４ 第１の関数生成手段 ５ 第２の関数生成手段 ６ 可視化手段 ７ 入力手段 ８ 表示装置 １０ ３次元自由形状の造形装置
Claims (11)
- 【請求項１】 コンピュータを用いて３次元の自由形状
を造形するためのコンピュータによる３次元自由形状の
造形方法であって、 ３次元空間x-y-z に濃度分布F(x,y,z)を定義し、 スカラ量 aを定め、 F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面と定義
し、 F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部と定義
し、 F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部と定義
し、 システムまたはユーザが準備している濃度プリミティブ
を、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布
c(x,y,z)を生成し、 前記生成された濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在
する濃度分布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを、２個
の変数ξ, ζを有する滑らかな関数Ψ (ξ, ζ) を用い
て、式 Gq (x,y,z) = Ψ ( Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のよ
うに融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発
生し、 ３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点
上で前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導
関数までをサンプリングすることによって、サンプリン
グデータΛq = ｛μp (i,j,k) = ｛1/(i!j!k!)｝∂
i+j+k Gq (xp, yp,zp ) ／∂ xi ∂ yj ∂ zk ｜i+j+k
= 0,1,...,m, i≧0, j≧0, k≧0;Ξq に含まれるすべ
ての点P=(xp, yp, zp ) ｝を求め、 前記求められたサンプリングデータΛq を補間する滑ら
かな関数 Fq (x,y,z)を発生して、該発生した関数で新
たな濃度分布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分
布 Fq (x,y,z) を更新し、 n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の
各座標点での凸結合によって得られる濃度分布 F(x,y,
z) を、物体を表現する濃度分布F(x,y,z)とすることを
特徴とするコンピュータによる３次元自由形状の造形方
法。 - 【請求項２】 請求項１に記載のコンピュータによる３
次元自由形状の造形方法であって、 n = 2 とし、かつ、３つの正の数 Lx, Ly, Lz に対して
次式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、 Ξ1=｛ (iLx,jLy,kLz ) ｜i=0,1,..., Nx ;j=0,1,...,N
y ;k=0,1,...,Nz ｝ Ξ2=｛ ((i+0.5)Lx ,(j+0.5) Ly ,(k+0.5) Lz ) ｜i= -
1,0,,...,Nx ;j= -1,0,...,Ny ;k= -1,0,...,Nz ｝ 前記３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,
2,...,n ) を構成することを特徴とするコンピュータに
よる３次元自由形状の造形方法。 - 【請求項３】 請求項１または２に記載の３次元自由形
状の造形方法であって、 前記濃度プリミティブの構成において、スカラ量 aを a
>0 と定め、 スカラ量 bに対して、f(x,y,z) = bなる点(x,y,z) の集
合を物体表面と定義し、f(x,y,z) > b なる点(x,y,z)
の集合を物体内部と定義し、f(x,y,z) < b なる点(x,
y,z) の集合を物体外部と定義する滑らかな関数f(x,y,
z)と、式0 ≦φ (ξ) ≦ 2a および式φ(a) = a を満足
する滑らかな単調増加関数φ (ξ) とを用いて、式 c
(x,y,z) = φ(f(x,y,z) - b + a)より、濃度プリミティ
ブの濃度分布c(x,y,z)を求めることを特徴とするコンピ
ュータによる３次元自由形状の造形方法。 - 【請求項４】 請求項１または２に記載の３次元自由形
状の造形方法であって、 スカラ量 aを a>0 と定め、 ３次元空間における領域R1から領域R2への滑らかな全単
射（１対１上への写像）d:R1→R2であってかつそのその
逆写像 d-1：R2→R1も滑らかである関数 dを用いて、関
数 c(x,y,z) を次のように定義し、 c(x,y,z) = F(d -1(x,y,z)) (領域 R2 に含まれる
点 (x,y,z) ) c(x,y,z) = 0 ( 領域 R2 に含まれな
い点 (x,y,z) ) 前記定義された関数c(x,y,z)を前記濃度プリミティブの
濃度分布とみなし、 表面形状が領域R1を近似する濃度プリミティブの濃度分
布D(x,y,z)を用いて、濃度分布 Fq (x,y,z) を Fq (x,y,z)-｛ Fq (x,y,z) D(x,y,z)/(2a) ｝ のように更新し、更新された該濃度分布 Fq (x,y,z) と
濃度プリミティブc(x,y,z)とを Gq (x,y,z)= Fq (x,y,z) + c(x,y,z) -｛ Fq (x,y,z) c
(x,y,z)/(2a) ｝ のように融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z)
を発生して、物体の変形を実現することを特徴とするコ
ンピュータによる３次元自由形状の造形方法。 - 【請求項５】 請求項１または２に記載のコンピュータ
による３次元自由形状の造形方法であって、 前記サンプリングデータΛq = ｛μp (i,j,k) ｜i+j+k
= 0,1,...,m, i≧0, j≧0, k≧0 ｝を直接変更すること
で、濃度分布 Fq (x,y,z) を変更し、それによって物体
を表現する濃度関数F(x,y,z)を修正することを特徴とす
るコンピュータによる３次元自由形状の造形方法。 - 【請求項６】 コンピュータを用いて３次元の自由形状
を造形するためのコンピュータによる３次元自由形状の
造形方法であって、 ３次元空間x-y-z に濃度分布F(x,y,z)を定義し、 スカラ量 aを定め、 F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面と定義
し、 F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部と定義
し、 F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部と定義
し、 システムまたはユーザが準備している濃度プリミティブ
を、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布
c(x,y,z)を生成し、 前記濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在する濃度分
布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを融合することによ
って、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生し、 ３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点
上で、前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏
導関数までをサンプリングすることによって、サンプリ
ングデータΛq を求め、 該サンプリングデータΛq を補間する滑らかな関数 Fq
(x,y,z) を発生して、該発生した関数で新たな濃度分布
Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分布 Fq (x,y,
z) を更新し、 n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の
各座標点での凸結合によって得られる濃度分布 F(x,y,
z) を、物体を表現する濃度分布F(x,y,z)とすることを
特徴とするコンピュータによる３次元自由形状の造形方
法。 - 【請求項７】 コンピュータを用いて３次元の自由形状
を造形するためのコンピュータによる３次元自由形状の
造形方法であって、 ３次元空間x-y-z に濃度分布F(x,y,z)を定義し、 スカラ量 aを定め、 F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面と定義
し、 F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部と定義
し、 F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部と定義
し、 システムまたはユーザが準備している濃度プリミティブ
を、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布
c(x,y,z)を生成し、 前記濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在する濃度分
布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを、２個の変数ξ,
ζを有する滑らかな関数Ψ (ξ, ζ) を用いて、式 Gq
(x,y,z) = Ψ ( Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のように融合す
ることによって濃度分布 Gq (x,y,z) を発生し、 ３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点
上で、前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏
導関数までをサンプリングすることによって、サンプリ
ングデータΛq を求め、 該サンプリングデータΛq を補間する滑らかな関数 Fq
(x,y,z) を発生して、該発生した関数で新たな濃度分布
Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分布 Fq (x,y,
z) を更新し、 n 個の滑らかな関数 Fq (x,y,z) ( q = 1,2,...,n ) の
各座標点での凸結合によって得られる濃度分布 F(x,y,
z) を、物体を表現する濃度分布F(x,y,z)とすることを
特徴とするコンピュータによる３次元自由形状の造形方
法。 - 【請求項８】 請求項６または７に記載の３次元自由形
状の造形方法であって、 n = 2 とし、かつ、３つの正の数 Lx, Ly, Lz に対して
次式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、 Ξ1=｛ (iLx,jLy,kLz ) ｜i=0,1,..., Nx ;j=0,1,...,N
y ;k=0,1,...,Nz ｝ Ξ2=｛ ((i+0.5)Lx ,(j+0.5) Ly ,(k+0.5) Lz ) ｜i= -
1,0,,...,Nx ;j= -1,0,...,Ny ;k= -1,0,...,Nz ｝ 前記３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,
2,...,n ) を構成することを特徴とするコンピュータに
よる３次元自由形状の造形方法。 - 【請求項９】 ３次元空間x-y-z における濃度分布F(x,
y,z)が、 F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面、 F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部、 F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部、として
定義され（但し、a はスカラ量）、３次元の自由形状を
造形するコンピュータによる３次元自由形状の造形装置
において、 システムまたはユーザが準備している濃度プリミティブ
を、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布
c(x,y,z)を生成する生成手段と、 前記生成された濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在
する濃度分布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを融合す
ることによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発生する発生
手段と、 ３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点
上で前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導
関数までをサンプリングすることによって、サンプリン
グデータΛq を求めるサンプリングデータ演算手段と、 前記求められたサンプリングデータΛq を補間する滑ら
かな関数 Fq (x,y,z)を発生して、該発生した関数で新
たな濃度分布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分
布 Fq (x,y,z) を更新し、n 個の滑らかな関数 Fq (x,
y,z) ( q = 1,2,...,n ) の各座標点での凸結合を物体
を表現する濃度分布F(x,y,z)とする更新手段とを有する
ことを特徴とするコンピュータによる３次元自由形状の
造形装置。 - 【請求項１０】 ３次元空間x-y-z における濃度分布F
(x,y,z)が、 F(x,y,z) = aなる点(x,y,z) の集合を物体表面、 F(x,y,z) > aなる点(x,y,z) の集合を物体内部、 F(x,y,z) < aなる点(x,y,z) の集合を物体外部、として
定義され（但し、a はスカラ量）、３次元の自由形状を
造形するコンピュータによる３次元自由形状の造形装置
において、 システムまたはユーザが準備している濃度プリミティブ
を、所望の姿勢でかつ所望の位置に配置して、濃度分布
c(x,y,z)を生成する生成手段と、 前記生成された濃度分布c(x,y,z)とすでに空間上に存在
する濃度分布 Fq (x,y,z) (q = 1,2,...,n )とを、２個
の変数ξ, ζを有する滑らかな関数Ψ (ξ, ζ) を用い
て、式 Gq (x,y,z) = Ψ ( Fq (x,y,z),c(x,y,z)) のよ
うに融合することによって、濃度分布 Gq (x,y,z) を発
生する発生手段と、 ３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq に含まれる点
上で前記発生された濃度分布 Gq (x,y,z) のm 次の偏導
関数までをサンプリングすることによって、サンプリン
グデータΛq を求めるサンプリングデータ演算手段と、 前記求められたサンプリングデータΛq を補間する滑ら
かな関数 Fq (x,y,z)を発生して、該発生した関数で新
たな濃度分布 Fq (x,y,z) を表すことにより前記濃度分
布 Fq (x,y,z) を更新し、n 個の滑らかな関数 Fq (x,
y,z) ( q = 1,2,...,n ) の各座標点での凸結合を物体
を表現する濃度分布F(x,y,z)とする更新手段とを有する
ことを特徴とするコンピュータによる３次元自由形状の
造形装置。 - 【請求項１１】 請求項９または１０に記載の３次元自
由形状の造形装置において、 n = 2 とし、かつ、３つの正の数 Lx, Ly, Lz に対して
次式で表される２つの集合Ξ1 ，Ξ2 として、 Ξ1=｛ (iLx,jLy,kLz ) ｜i=0,1,..., Nx ;j=0,1,...,N
y ;k=0,1,...,Nz ｝ Ξ2=｛ ((i+0.5)Lx ,(j+0.5) Ly ,(k+0.5) Lz ) ｜i= -
1,0,,...,Nx ;j= -1,0,...,Ny ;k= -1,0,...,Nz ｝ 前記３次元空間の有限個の点からなる集合Ξq ( q = 1,
2,...,n ) を構成することを特徴とするコンピュータに
よる３次元自由形状の造形装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP7079766A JPH07302357A (ja) | 1994-03-11 | 1995-03-10 | コンピュータによる３次元自由形状の造形方法および装置 |
Applications Claiming Priority (3)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP6-67716 | 1994-03-11 | ||
| JP6771694 | 1994-03-11 | ||
| JP7079766A JPH07302357A (ja) | 1994-03-11 | 1995-03-10 | コンピュータによる３次元自由形状の造形方法および装置 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH07302357A true JPH07302357A (ja) | 1995-11-14 |
Family
ID=26408936
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP7079766A Withdrawn JPH07302357A (ja) | 1994-03-11 | 1995-03-10 | コンピュータによる３次元自由形状の造形方法および装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH07302357A (ja) |
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN103971411A (zh) * | 2013-01-24 | 2014-08-06 | 岳天祥 | 利用三维物体的空间曲面采样点对空间曲面建模的方法 |
-
1995
- 1995-03-10 JP JP7079766A patent/JPH07302357A/ja not_active Withdrawn
Cited By (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| CN103971411A (zh) * | 2013-01-24 | 2014-08-06 | 岳天祥 | 利用三维物体的空间曲面采样点对空间曲面建模的方法 |
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