JP2000330470A - べき乗演算装置、べき乗剰余演算装置、楕円べき倍点演算装置、並びのそれらの方法、記録媒体 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 暗号技術の演算のために用いるべき乗演算、
楕円べき倍演算において、べき数の値の保持に用いる領
域を大きく増加させることなしに、基本演算回数を削減
することを目的とする。 【解決手段】 べき数の値の上位数ビットのみに着目
し、符号つき２進数への変換などの判断を行ない、符号
付き２進数を２ビット分のみ保持することによって保持
領域を削減し、符号つきバイナリ法に近い演算回数で演
算が行なわれるようにする。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、暗号演算などに使
用されるべき乗演算、楕円べき倍演算技術に関する。

【０００２】

【従来の技術】多数の通信端末が接続されたネットワー
クを通じて、特定の通信端末と安全に通信する手法とし
て暗号通信が用いられる。暗号通信の一つに公開鍵暗号
法と称されるものがある。例えばＲＳＡ暗号、エルガマ
ル暗号等がこれに含まれる。これらの暗号法は、メッセ
ージの暗号化、復号化に、メッセージを暗号化鍵でべき
乗したり、暗号文を復号化鍵でべき乗したりするという
ように、べき乗演算を行う。

【０００３】また、公開鍵暗号法に含まれる他の例とし
て、楕円曲線を用いた暗号法がある。他の暗号法が有限
体を定義域としているのに対し、楕円曲線を定義域とす
るものであり、その定義域内でのべき倍演算によって暗
号化、復号化が実現される。

【０００４】但し、べき乗演算やべき倍演算は、上記し
た公開鍵暗号法だけではなく、署名通信やメッセージ認
証等においても用いられている。

【０００５】このようなべき乗演算、楕円べき倍演算の
方法として、Ｄ．Ｅ．Ｋｕｎｕｔｈが、Ｔｈｅ Ａｒｔ
ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，
Ｖｏｌ．２，Ｓｅｍｉｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｌｇｏｒ
ｉｔｈｍｓに記載したバイナリ法が知られている。ま
た、バイナリ法の改良として、Ｆ．ＭｏｒａｉｎとＪ．
Ｏｌｉｖｏｓが、Ｔｅｏｒｅｔｉｃａｌ Ｉｎｆｏｒｍ
ａｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ Ｖｏ
ｌ．２４，Ｎｏ．６に記載した符号つきバイナリ法、前
記Ｄ．Ｅ．Ｋｕｎｕｔｈの著書の中のスモールウィンド
ウ法などが知られている。

【０００６】また、符号つきバイナリ法を改良した方法
として、特開平７−４９７６９号公報に記載された技術
が知られている。

【０００７】これらの従来技術の概要を、べき乗剰余演
算を行なう方法を例にとり説明する。 ＜バイナリ法＞バイナリ法は、べき値ｋを２進表現ｋｉ
（ｎ＞ｉ≧０）（ｋｉは０または１）とした時に、ｎ−
１回の２乗剰余演算と、ｋｉ＝１となる回数の乗算剰余
演算とによって、べき乗剰余演算結果を得る方法であ
る。

【０００８】例えば２進表現ｋｉ（４＞ｉ≧０）＝１０
１１として、べき乗値Ａ¹⁰¹¹を計算する場合であると、
バイナリ法は、図８に示す演算式により求める。

【０００９】ここで、初期値として、ｘに１を代入し、
後は最上位桁を第１桁とし、その桁の値が１であれば、
ｘの値を２乗してｘとおく演算と、その新たなｘをＡ倍
する演算とを行う。他方、その桁の値が０であれば、ｘ
の値を２乗して新たなｘとおく演算のみを行う。この演
算を順次下位桁に対して行い、最下位桁まで終了する
と、そのとき得られたｘの値がべき乗値（Ａ¹⁰¹¹）とな
る。

【００１０】この演算のフローチャートは、図９に示す
通りであり、ｉ＝ｎ−１から降順にｋｉの値を調べ（Ｓ
７１、Ｓ７６）、その結果、１である時だけ乗算剰余演
算を行なう（Ｓ７４、Ｓ７５）。２乗剰余演算は、ｋｉ
の値が１であるか０であるかに関係なく行なう（Ｓ７
３）。この方法は、べき値ｋがランダムに選ばれる場
合、平均ｎ／２回の乗算剰余演算を必要とする。べき値
を通常の２進表現で表せば良いため、その保持領域とし
てはｎビットのみあれば良い。

【００１１】上記べき乗演算を行う、べき乗剰余演算装
置の全体構成をブロック図で示したものが図４である。

【００１２】図中１０１は、べき数値を処理するべき数
値処理部である。この処理部は、べき数値を処理しなが
ら実際の演算の制御を行なう。１０２は、本装置に入力
されるｎビットのべき数値ｋを表す。べき数値処理部１
０１では、初期値としてｋを取り、その後べき数値の更
新処理を行なってゆく。１０３は、べき数値処理部から
演算部へ出力される制御信号である。この信号によっ
て、実際の演算の制御が行なわれる。１０４は、本装置
に入力される被べき乗数Ａである。１０５は、装置から
の出力であり、Ａのｋ乗剰余値が出力される。１０６
は、実際の演算を行なう演算部である。ここでは１０３
の制御信号に従って、１０４で与えられた数値Ａを用
い、２乗算剰余、乗算剰余を行なう。なお剰余を取る素
数ｐは、あらかじめ装置内に保持してあるものとする。
図１０はべき値処理部１０１のブロック内構成を詳細に
示した図である。

【００１３】図１０において、６０１がべき値保持レジ
スタで、べき数値を保持するためのｎビット領域を有す
る。６０２は、べき数値保持レジスタへ初期値を入力す
る入力線で、本装置への入力ｋがそのまま入力される。
６０５はべき数値シフタ部で、べき数値レジスタのビッ
トを、１ビット左シフトする。なお、最上位ビットは、
シフトアウトした結果破棄される。６０６は、べき値保
持レジスタの最上位ビットを出力する出力線で、演算部
１０３に伝える制御信号となる。この制御信号に従っ
て、演算部１０６の処理が定まる。

【００１４】図１１は、演算部１０６の構成を詳細に示
す図である。７０１は、演算中の中間値を保持する中間
値レジスタである。７０２は、中間値レジスタへ入力さ
れる初期値で、定数１が入力される。７０３は、２乗演
算部で、中間値レジスタの値の２乗剰余演算値を求め出
力する。７０４は、乗算演算部で、２乗演算部の出力
と、被べき乗数Ａの乗算剰余演算値を出力する。７０７
は、中間値として保持する値を選択するセレクタで、べ
き数値処理部１０１で出力された信号に従って、０の時
２乗演算部からの出力、１の時乗算演算部からの出力を
選択する。７０８は、最終演算結果の出力で、べき数値
として入力された値ｋの全ビットを処理した後、値が出
力される。この値はＡのｋ乗剰余値となっている。

【００１５】＜符号つきバイナリ法＞次に、従来の第２
方法として、符号つきバイナリ法の概要を説明する。符
号つきバイナリ法は、べき値ｋを２進表現ｋｉ（ｎ＞ｉ
≧０）（ｋｉは０または１）とした時に、符号つき２進
表現ｋ’ｉ（ｎ≧ｉ≧０）（ｋ’ｉは０または１または
−１）に変換し、ｎ回の２乗剰余演算と、ｋ’ｉ＝１ま
たは−１となる回数の乗算剰余演算によって、べき乗剰
余演算結果を得る方法である。例えば、２進表現ｋｉ
（４＞ｉ≧０）＝１１１１であると、符号付き２進表現
は、ｋ’ｉ（４≧ｉ≧０）＝１０００（−１）というよ
うに変換される。この表現方法は、ｋｉに連続する１が
多い場合、ｋ’ｉに０が多くなり、その分Ａ倍する計算
量が少なくなる。

【００１６】この符号付きバイナリ法の演算のフローチ
ャートを図１２に示す。図１２中、Ｓ１０１〜Ｓ１０６
までのステップが、２進表現ｋｉを符号付き２進表現に
変換する処理であり、Ｓ１０７〜Ｓ１１４までのステッ
プが、符号付き２進表現ｋ’ｉにバイナリ法を適用する
処理である。バイナリ法自体の処理は、基本的に先述し
たバイナリ法と同じである。

【００１７】図１２のフローチャートの概略を述べる
と、次の通りである。まず、べき値の符号つき２進表現
への変換のために、ｉ＝０から昇順にｋｉの値を調べ
（Ｓ１０１、Ｓ１０３、Ｓ１０５）、ｋｉ＝１かつｋ
（ｉ＋１）＝１の時、ｋ’ｉ＝−１にし、桁上がりを考
慮しながら、ｋｉ＋１に１を加える（Ｓ１０４）。それ
以外の時は、ｋ’ｉ＝ｋｉとする（Ｓ１０６）。桁上が
りの加算を考慮するため、ｋｉがｎ桁なのに対し、ｋ’
ｉはｎ＋１桁となる。次に、ｉ＝ｎから降順にｋ’ｉの
値を調べ（Ｓ１０７、Ｓ１１０、Ｓ１１３）、その結
果、１である時に通常の乗算剰余演算を（Ｓ１１１）、
−１である時に逆数の乗算剰余演算を行なう（Ｓ１１
２）。２乗剰余演算は、バイナリ法と同様ｋ’ｉの値に
関係なく行なう。この方法は、べき値ｋがランダムに選
ばれる場合、平均ｎ／３回の乗算剰余演算を必要とす
る。べき値は、符号つき２進表現で表すため、１桁に対
して２ビット（０、１、−１の３値を表現する必要があ
るため）必要とし、全体として２（ｎ＋１）ビットの保
持領域を必要とする。

【００１８】図１３は、符号つきバイナリ法を用いたべ
き乗剰余演算装置のべき数値処理部である。９０１は、
べき値保持レジスタで、べき数値を符号つき２進表現で
保持するための２（ｎ＋１）ビット領域を有する。９０
２は、べき数値保持レジスタへの初期値を入力する入力
線で、ｎビットのべき乗数ｋを符号つき２進表現変換部
で変換した結果が入力される。９０７は、符号つき２進
表現変換部で、図１２で示された処理フローに従い、ｎ
桁の２進表現をｎ＋１桁の符号つき２進表現に変換す
る。９０５は、べき数値シフタ部で、べき数値レジスタ
のビットを、２ビット左シフトする。符号つき２進表現
は、１桁を２ビットで表現するので、２ビットの左シフ
トとなる。なお、上位２ビットは、シフトアウトした結
果破棄される。９０６は、べき値保持レジスタの上位２
ビットで、演算部に伝える制御信号となる。この制御信
号に従って演算部の処理が定まる。

【００１９】図１４は、符号つきバイナリ法を用いたべ
き乗剰余演算装置の演算部である。１００１は、演算中
の中間値を保持する中間値レジスタである。１００２
は、中間値レジスタへ入力される初期値で定数１が入力
される。１００３は、２乗演算部で、中間値レジスタの
値の２乗剰余演算値を求め出力する。１００４は、乗算
演算部で、２乗演算部の出力と、被べき乗数Ａ、もしく
はその逆数の乗算剰余演算値を出力する。１００５は、
逆数取得部で、被べき乗数Ａの逆数を出力する。１００
６は、乗算演算部への入力値を選択するセレクタで、べ
き数値処理部からの制御信号によって、被べき乗数Ａ、
もしくはその逆数を選択する。１００７は、中間値とし
て保持する値を選択するセレクタで、べき数値処理部で
出力された信号に従って、「００」のとき２乗演算部か
らの出力、それ以外のとき乗算演算部からの出力を選択
する。１００８は、最終演算結果の出力で、べき数値と
して入力された値ｋの全ビットを処理した後、値が出力
される。この値はＡのｋ乗剰余値となっている。

【００２０】＜改良型符号付きバイナリ法＞次に特開平
７−４９７６９号公報で用いられている改良型符号つき
バイナリ法の概要を説明する。改良型符号つきバイナリ
法は、べき値ｋを２進表現ｋｉ（ｎ＞ｉ≧０）（ｋｉは
０または１）とした時に、符号つき２進表現への変換を
行ないながら、乗算剰余演算等を行なって、べき乗剰余
演算結果を得る方法である。この改良型符号付きバイナ
リ法は、先述した符号付きバイナリ法が全桁の符号変換
を完了してからでないと、べき乗演算を行うことができ
ないというバッチ式処理であったのを、符号変換の途中
でべき乗演算も行えるように改良したものである。演算
フローは、図１５に示す通りである。ｉ＝ｎ−１から降
順に、ｋｉの値を３ビットずつ調べ（Ｓ１３３）、その
結果、２ビット分を符号つき２進表現へ変換し、乗算剰
余演算を行なう。この方法は、べき値ｋがランダムに選
ばれる場合、平均３ｎ／８回の乗算剰余演算を必要とす
る。べき値は、符号つき２進表現への変換と乗算剰余演
算等が同時に行なわれるため、その保持領域としてはｎ
ビットのみあれば良い。

【００２１】図１６は、改良型符号つきバイナリ法を用
いたべき乗剰余演算装置のべき数値処理部である。１２
０１は、べき値保持レジスタで、べき数値を２進表現で
保持する。１２０２は、べき数値保持レジスタへの初期
値入力で、ｎビットのべき乗数ｋがそのまま入力され
る。１２０３は、べき数値判定部で、べき数値保持レジ
スタの上位３ビットのビットパターンを５種類のタイプ
に分類する。１２０５は、べき数値シフタ部で、べき数
値レジスタのビットを、２ビット左シフトする。この方
法では、１回の判定により演算部の動作２回分の制御信
号を生成するため、２ビットの左シフトとなる。なお、
上位２ビットはシフトアウトした結果破棄される。１２
０６は、べき数値判定部で分類されたタイプを、演算部
に伝える制御信号である。この制御信号に従って演算部
の処理が定まる。

【００２２】改良型符号つきバイナリ法を用いたべき乗
剰余演算装置の演算部は、図２に示されている。図中、
３０１は、演算中の中間値を保持する中間値レジスタで
ある。３０２は、中間値レジスタへの初期値入力線で初
期値としては定数１が入力される。３０３は、２乗演算
部で、中間値レジスタの値の２乗剰余演算値を求め、出
力する。３０４は、乗算演算部で、２乗演算部の出力
と、被べき乗数Ａ、もしくはその逆数の乗算剰余演算値
を求め、出力する。３０５は、逆数取得部で、被べき乗
数Ａの逆数を出力する。３０６は、乗算演算部への入力
値を選択するセレクタで、べき数値処理部で判定された
分類に従って、本装置への入力Ａ、もしくはその逆数を
選択する。３０７は、中間値として保持する値を選択す
るセレクタで、べき数値処理部で判定された分類に従っ
て、２乗演算部からの出力、もしくは乗算演算部からの
出力を選択する。３０８は、最終演算結果の出力で、べ
き数値として入力された値ｋの全ビットを処理した後、
値が出力される。この値はＡのｋ乗剰余値となってい
る。

【００２３】図１７は、べき数値処理部のべき数値判定
部で判定された分類と、その分類に従った演算部の数値
選択処理の対応を表にしたものである。１３０１は、べ
き数値判定部で分類される、べき数値の上位３ビットの
ビットパターンである。１３０３は、前記分類に従って
演算部で処理される選択処理を示したものである。「Ａ
の乗算」となっている欄は、乗算演算部への入力として
本装置への入力値Ａが選択され、中間値として保持する
値として乗算演算部の出力を選択するものである。「Ａ
＾−１の乗算」となっている欄は、乗算演算部への入力
として、本装置への入力値Ａの逆数が選択され、中間値
として保持する値として、乗算演算部の出力を選択する
ものである。「乗算なし」となっている欄は、中間値と
して保持する値として、２乗算演算部の出力を選択する
ものである。１３０４は、前記分類に従って演算部で処
理される選択処理を示したものである。ただし、この選
択処理は、１３０３で行なわれた選択処理の次のループ
での演算部の処理で用いられるものである。すなわち、
べき数値判定部で判定された１回の分類に対して、演算
部での２回の処理の分の選択処理が決定される。

【００２４】

【発明が解決しようとする課題】ところで、上述した従
来技術のうち、バイナリ法によれば、各桁で２乗計算を
行うと共に、その桁の数値が１であれば、Ａ倍する計算
も行わなければならず、平均して１桁で１．５回の計算
が必要になり、計算回数が多くなるという課題がある。

【００２５】これに対して、符号つきバイナリ法は、通
常のバイナリ法に比べて演算回数が削減できる反面、べ
き数の保持領域として少なくともバイナリ法の２倍の領
域を必要とするという課題がある。

【００２６】スモールウィンドウ法の説明は省略した
が、符号つきバイナリ法よりさらに演算回数が削減でき
るが、保持領域がさらに必要となる。

【００２７】また特開平７−４９７６９号公報の改良型
符号つきバイナリ法ではべき数の保持領域を増やすこと
なく、演算回数の平均値を符号つきバイナリ法で使われ
る回数に近い回数に抑えることができるものの、反面、
この方法では、べき数の「００１０」という特定のビッ
トパターンに弱いという課題がある。通常のバイナリ法
では、１の現われる桁の回数分の乗算剰余演算回数で済
むため、上記特定のパターン「００１０」であれば、１
回の乗算剰余演算が行なわれるのみである。しかし、改
良型符号つきバイナリ法では、図１７の表にこのビット
パターンをあてはめてみると、２回の乗算剰余演算が必
要になってくる。すなわち、最悪の場合、通常のバイナ
リ法の２倍の乗算回数が必要になってしまうという欠点
を持つ。

【００２８】なお、以上はべき乗演算における課題であ
るが、楕円べき倍演算においても同様の課題があり、そ
の解決が必要とされるのはべき乗演算と同じである。

【００２９】従って、この発明は、べき数の保持領域を
バイナリ法で用いる領域に近い大きさに削減し、かつ演
算回数の平均値を符号つきバイナリ法で使われる回数に
近い回数に抑え、最悪の場合でも通常のバイナリ法と同
じ乗算回数で演算が可能な、べき乗演算装置を提供する
ことを第１の目的とする。

【００３０】本発明の第２の目的は、べき乗数をべき数
値処理部で前処理してからべき乗演算を行なうべき乗演
算装置において、演算量を低減するために改良されたべ
き数値処理部を提供することにある。

【００３１】本発明の第３の目的は、べき乗演算装置の
主要部をなし、べき数の保持領域の削減と乗算回数の削
減とを実現するために用いられている新規なべき乗演算
方法を提供することにある。

【００３２】本発明の第４の目的は、上記べき乗演算方
法を実行するためのプログラムを格納した記録媒体を提
供することにある。

【００３３】本発明の第５の目的は、上記べき乗演算装
置、方法、記録媒体と同様な利益、効果をもたらせてく
れるべき乗剰余演算装置、べき乗剰余演算方法、記録媒
体を提供することにある。

【００３４】本発明の第６の目的は、上記べき乗演算装
置、方法、記録媒体と同様な利益、効果をもたらせてく
れる楕円べき倍演算装置、楕円べき倍演算方法、記録媒
体を提供することにある。

【００３５】

【課題を解決するための手段】上記第１および第２の目
的を達成するために、本発明は、ｋをｎビットのべき乗
数、Ａを被べき乗数とする、Ａ^k のべき乗演算を行う前
にべき数値処理部で前記ｋを前処理し、処理後のべき乗
数をＡと共に演算部に加えてＡ^k演算を行うべき乗演算
装置における前記べき数値処理部であって、符号ビット
と前記整数ｋを格納するビット列格納手段と、ビット列
格納手段に格納されているビット列から符号ビットを含
むｎ未満の所定ビット数のビット列データを読み出す読
出し手段と、読出し手段が読み出すビット列データを基
にして新たなビット列データを生成するビット列データ
生成手段と、読み出し手段が読み出すビット列データを
基にして被べき乗数Ａの演算方法を指定する演算方法指
定手段と、演算方法指定手段にて指定された演算方法で
演算するよう演算部へ指示する一方、ビット列データ生
成手段が生成したビット列データで前記ビット列格納手
段内の対応するビット列を更新する指示・更新手段と、
ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
ビットを除き上位から下位ビット側にシフトする読み出
し位置シフト手段と、上記各手段を（ｎ＋１）回繰り返
し動作させる繰り返し制御手段と、を備えることを特徴
としている。

【００３６】ここで、前記読み出し位置シフト手段は、
符号ビットを除き、ビット列格納手段中でビット列を桁
上げする桁上げ手段であり、前記読み出し手段は、桁上
げ後に１ビットの符号ビットを含む上位４ビットのデー
タを前記ビット列格納手段から読み出すこと、を特徴と
している。

【００３７】また、前記ビット列データ生成手段は、第
１欄に第１群のビットパターンが、第２欄に第２群のビ
ットパターンが対応記述されたテーブルを含み、読み出
し手段が読み出したビット列データのビットパターンの
少なくとも一部を共通にするビットパターンを第１群の
ビットパターンから検索し、検索したビットパターンに
対応して記述されたビットパターンを第２群のビットパ
ターンから読み出し、これを新たなビット列データとし
て生成すること、を特徴としている。

【００３８】更に、前記テーブルの第１群のビットパタ
ーンが「００１１」のビット列、上位２ビットが「０
１」のビット列、上位３ビットが「１１０」のビット列
の３種類であり、第１群のビットパターンが「００１
１」のビット列の場合、第２群のビットパターンが「１
００１」であり、第１群のビットパターンが上位３ビッ
ト「１１０」のビット列である場合、第２群のビットパ
ターンが「０１０」であり、読み出し手段から読み出し
たビット列データが第１群のビットパターンにない場
合、並びに第１群のビットパターンが「０１」の場合、
ビット列データ生成手段は、読み出したビット列データ
と同じビット列データを生成することを特徴としてい
る。

【００３９】また、前記テーブルは更に第３欄を備えて
おり、前記演算方法指定手段は、テーブルの第３欄に記
述された演算方法であること、を特徴としている。

【００４０】また、第１群のビットパターンが「００１
１」と「０１」のビット列の場合、第３欄に記述された
演算方法が被べき乗数Ａの乗算であり、第１群のビット
パターンが「１１０」のビット列の場合、第３欄に記述
された演算方法が被べき乗算Ａの逆数の乗算であり、読
み出したビット列データが、第１群のビットパターンの
いずれにも該当しないビットパターンの場合、演算方法
指定手段は乗算しない指示を行なうこと、を特徴として
いる。

【００４１】更に、前記ビット列格納手段が、最上位ビ
ットを符号ビットとするｎ+２ビットのレジスタであ
り、読み出し位置シフト手段が、レジスタに格納された
ビット列を、最上位ビットを除き１ビットづつ左シフト
するシフタであること、を特徴としている。

【００４２】また、前記ビット列データ生成手段は、所
定の論理式を格納した演算手段であり、ビット列格納手
段から読み出したビット列の各ビットの値を前記論理式
に代入して新たなビット列を生成すること、を特徴とし
ている。

【００４３】更に、前記ビット列データ生成手段の格納
する論理式は、ビット列格納手段から読み出したビット
列データを上位ビットから、Ｂ₀Ｂ₁Ｂ₂Ｂ₃ とし、生成
すべき各ビットのデータを Ｄ₀Ｄ₁Ｄ₂Ｄ₃ とした場
合、以下の式で与えられること、を特徴としている。

【００４４】

【数５】

【００４５】ここで、前記演算方法指定手段は、所定の
論理式を格納しており、ビット列格納手段から読み出し
た各ビットの値を当該論理式に代入して演算方法を求め
ること、を特徴としている。

【００４６】前記演算方法指定手段は、ビット列格納手
段から読み出したビット列を上位ビットから、Ｂ₀Ｂ₁Ｂ
₂Ｂ₃とし、Ａの乗算を行なうか否かの指定信号をＳ_A、
Ａ^-1の乗算を行なうか否かの指定信号をＳ_A-1とした場
合、指定信号は以下の式で与えられることを特徴として
いる。

【００４７】

【数６】

【００４８】上記第１の目的は、ｎビットの正の整数
ｋ、及び整数Ａが与えられた時に、Ａのｋ乗を計算する
べき乗演算装置であって、以下の構成を含むものによっ
ても達成される。

【００４９】即ち、ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符
号を保持する符号保持領域、演算過程において得る中間
値を保持する中間値保持領域を有する記憶手段と、前記
べき値保持領域の下位ｎビットに前記整数ｋを、最上位
ビットに０を、前記符号保持領域に、正の符号を表す
「＋」を、前記中間値保持領域に定数１をそれぞれ初期
設定する初期設定手段と、中間値保持領域に格納されて
いる値を２乗して中間値を書き直す中間値２乗演算手段
と、符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上
位３ビット数のビット列データを判定対象データとして
選択する判定対象データ選択手段と、選択したデータを
参照して、符号保持領域の値が「＋」で、かつべき値保
持領域の上位３ビットの値が「０１１」であるという第
１のパターン、符号保持領域の値が「＋」で、かつべき
値保持領域の上位１ビットが「１」であるという第２の
パターン、符号保持領域の値が負の符号を表す「−」
で、かつべき値保持領域の値の上位２ビットが「１０」
であるという第３のパターンのいずれかに該当するか、
いずれにも該当しないかを判定する判定手段と、前記判
定手段で第１のパターン、もしくは第２のパターンに該
当すると判定された時、中間値保持領域に格納された値
と整数Ａの積を求め新たな中間値として中間値保持領域
の値を更新し、第３のパターンに該当すると判定された
時、中間値保持領域に格納された値と整数Ａの商を求め
新たな中間値として中間値保持領域の値を更新し、いず
れのパターンにも該当しないと判断された時、何らの演
算も行なわず中間値保持領域の値を元のままの値に保持
する中間値乗算手段と、前記判定手段で第１のパターン
と判定された時、符号保持領域の値を「−」に、べき値
保持領域の上位３ビットの値を「００１」に変換する第
１のべき値変換手段と、前記判定手段で第３のパターン
と判定された時、符号保持領域の値を「＋」に変換する
第２のべき値変換手段と、判定手段の判定結果に従って
なされるべき処理を行なった後、べき値保持領域の値を
１ビット左にシフトし、オーバフローを破棄するべき値
シフト手段と、中間値保持領域の値を演算結果として出
力する出力手段と、前記初期設定手段により記憶手段の
各領域に初期設定を行なわせた後、中間値２乗演算手
段、べき値判断手段、中間値乗算手段、第１のべき値変
換手段、第２のべき値変換手段による各動作を、べき値
シフト手段によるビットシフトに同期させながら（ｎ＋
１）回繰り返えさせ、最後に出力手段から演算結果を出
力させる制御手段との構成である。

【００５０】上記第４の目的、第５の目的は、基本的に
は上記べき乗演算装置の主要構成若しくは等価な構成を
含む、べき乗剰余演算装置、楕円べき倍演算装置によっ
て達成される。従って、べき乗演算装置と同様に、べき
数保持領域の大幅な増加を抑制できるし、演算回数の低
減を図ることが出来る。

【００５１】

【発明の実施の形態】以下、本発明の実施の形態につい
て添付図面を用いて説明する。本実施の形態に係るべき
乗剰余演算装置の基本ブロックは、既述した図４に示す
通りであり、べき数値処理部１０１と演算部１０６から
成る。即ち、べき数値処理部１０１は、べき数値ｋ（２
進表現）を処理し、その出力１０３を演算部１０６に送
出する。演算部１０６は、被べき数Ａと前記出力１０３
とを素数Ｐを法とする剰余体上で演算し、Ａ^kｍｏｄｐ
を得る。図１は、べき数値処理部の詳細構成図で、本発
明が従来装置と異なる構成となる部分である。２０１
は、べき数値保持レジスタで、べき数値のビット数
（ｎ）に２を加えた幅を持つ。

【００５２】べき数値のビット数より２多いのは、符号
ビットが１ビット分と、符号付きバイナリ法を基本とす
るので、べき数値より１ビット多く必要なことによる。
２０２は、べき数値保持レジスタへの初期値入力で、入
力ｋがそのまま入力される。２０３は、べき数値判定部
で、べき数値保持レジスタの上位４ビットのビットパタ
ーンを、４種類のタイプに分類する。２０４は、べき数
値変換部で、前記べき数値判定部で分類されたタイプに
従い、べき数値保持レジスタの上位４ビットのビットパ
ターンを変換する。２０５は、べき数値シフタで、べき
数値レジスタの最上位ビットを除いたビットを、１ビッ
ト左シフトする。なお最上位ビットはそのまま保持され
る。べき数値判定部２０３からべき数値変換部２０４に
至るループと、べき数値シフタ２０５のループは、交互
に実行される。２０６は、べき数値判定部で分類された
タイプを、演算部に伝える制御信号である。この制御信
号に従って演算部の処理が定まる。図３は、べき数値処
理部のべき数値判定部２０３で判定された分類と、その
分類に従ったべき数値変換部２０４の変換処理、及び演
算部の数値選択処理の対応を表にしたものである。４０
１は、べき数値判定部で分類される、べき数値の上位４
ビットのビットパターンである。４０２は、前記分類に
従ってべき数値変換部で処理される変換値を示したもの
である。ここで変換なしとなっている場合は、べき数値
の上位４ビットの値変換は行なわない。４０３は、判定
部２０３の判定結果であり、演算部で処理されるべき選
択処理を示している。選択処理としては図から理解され
るように「Ａの乗算」と「Ａ＾−１の乗算」と「乗算な
し」の３種類存在する。前記べき数値判定部２０３によ
る判定結果は、演算部１０６へ出力され、セレクタの制
御がなされる。演算部１０６の構成は、既に説明した図
２のものが用いられる。図２において、セレクタは、３
０６と３０７の２個存在するので、前記べき数値判定部
２０３の判定結果によって、この２つのセレクタ３０
６、３０７が制御される。例えば判定結果が「Ａの乗
算」であると、セレクタ３０６が乗数Ａをそのまま出力
し、セレクタ３０７が乗算演算部３０４の乗算結果を出
力するよう制御される。同様に、判定結果が「Ａ^-1の乗
算」であれば、セレクタ３０６が逆数取得部３０５の出
力を選択し、セレクタ３０７が乗算演算部３０４の乗算
結果を選択するよう制御され、判定結果が、「乗算な
し」であれば、セレクタ３０６はいずれも選択せず、セ
レクタ３０７が２乗算演算部３０３の演算結果を選択す
るよう制御される。上記図１、図２で示したべき乗剰余
演算装置の演算のフローチャートを図５に示す。次に、
具体的なべき乗数を例にとり、べき乗演算の動作を上記
フローチャートに従って説明する。例えば、べき乗数ｋ
として、ｋ＝4204957639＝（111110101010001010001111
11000111）₂ の３２ビット（ｎ＝３２）の値が与えら
れ、Ａ ^kのべき算演算を行うとする。先ず、３２ビット
のｋ値が、ｎ＋２ｂｉｔレジスタ２０１に格納される。
この場合、上位２ビットはいずれも“０”が格納され
る。その結果、レジスタ２０１には、図７に示す演算の
回数と演算値の推移とを表わした表の中の回数１の欄に
記述したｎ＋２ｂｉｔのビットパターンが格納される。
この状態で、初期値としてｘ＝１、ｉ＝ｎ＋２がセット
される（Ｓ５０１）。ｘ、ｉはそれぞれ変数であり、図
示しない変数レジスタに格納される。続いて、ｉの値が
負になっていないことを条件に（Ｓ５０２）、ｋの上位
４ビット（ｋｉ〜ｋ［ｉ−３］）のビットパターンが、
判定部２０３に読み取られる（Ｓ５０３）。図７の回数
１欄から理解されるように、上位４ビットは「００１
１」なので、このビットパターンを用いて、図３のテー
ブルを参照し、「Ａの乗算」という判定結果を得る。同
時に変換値として「１００１」を得る（Ｓ５０４）。上
記判定結果により、既述したようにセレクタ３０６、３
０７が選択制御され、ｘ＝ｘ² の演算（Ｓ５０５）とｘ
＝ｘ×Ａの演算とが行われる（Ｓ５０６、５０７）。今
の場合、ｘ＝１（初期値）なので、上記演算結果として
Ａを得、これを中間値レジスタ３０１に格納する。次
に、変換値としてテーブルから得た「１００１」を、判
定部２０３から変換部２０４に送出する。変換部２０４
は、ｎ＋２ｂｉｔレジスタ２０１の上位４ｂｉｔを判定
部２０３から得た値で更新する（Ｓ５０９、Ｓ５１
０）。この後、１ｂｉｔ左シフタ２０５が作動し、ｎ＋
２ｂｉｔレジスタ２０１の最上位ビット（ＭＳＢ）を除
く全ビットを１ビット左シフトさせる（Ｓ５１２）。そ
して、ｉ−１を新たにｉとして（Ｓ５１３）、再びＳ５
０３の処理を行う。この時点でｎ＋２ｂｉｔレジスタ２
０１の格納値は、図７中の回数２欄に示すビットパター
ンとなっている。上位４ビットのパターンは「１０１
１」となっているので、判定部２０３はテーブルを参照
し、「乗算なし」の判定結果と、「変換なし」の変換値
を得る。「乗算なし」であるので、演算としてはｘ＝ｘ
² の処理だけ行う（Ｓ５０５）。回数１の処理が終わっ
た時点で、ｘ＝Ａになっているので、回数２ではｘ＝Ａ
2となり、その値を中間値レジスタに格納する。また、
変換値は「変換なし」なので、変換部２０４はｎ＋２ｂ
ｉｔレジスタ２０１の上位４ビットの更新を行わない。
この後、１ｂｉｔ左シフタ２０５が、ｎ＋２ｂｉｔレジ
スタのＭＳＢを除く各ビットを１ビット左シフトする
（Ｓ５１２）。このときのｎ＋２ｂｉｔレジスタ２０１
の格納値は、図７中の回数３の欄に示すビット列となっ
ている。続いて、ｉ−１を新たにｉに設定し、再び上述
したＳ５０３〜Ｓ５１２の処理を繰り返す。繰り返しの
度に、ｎ＋２ｂｉｔレジスタ２０１に格納されるビット
列、及び演算結果であるｘの値は、図７に示す通り変化
する。そして、ｉが繰り返し回数（ｎ＋２）分デクリメ
ントされ、負の値になると（Ｓ５０２）、処理は終了
し、そのときのｘの値が演算結果として出力される（Ｓ
５１４）。図７の回数３３の右端のｘ値が、その演算結
果である。なお、上記実施例では、べき数値判定部２０
３は、図３に示すようなテーブルを持っており、べき乗
数の上位４ビットのビットパターンを用いてテーブルを
検索し、変換すべきビットパターンの指定、演算部への
演算式の指定を行なっているが、テーブル以外に例え
ば、所定の論理式を格納した演算回路で構成することも
出来る。そのような演算回路が格納すべき論理式の一例
を以下に示す。

【００５３】べき数値保持レジスタ２０１から読み出し
たビット列データを上位ビットから、Ｂ₀Ｂ₁Ｂ₂Ｂ₃ と
し、変換後のビットのデータを Ｄ₀Ｄ₁Ｄ₂Ｄ₃ とした
場合、

【００５４】

【数７】

【００５５】で与えられる。

【００５６】また、Ａの乗算を行なうか否かの指定信号
をＳ_A、Ａ^-1の乗算を行なうか否かの指定信号をＳ_A-1と
した場合、演算式指定は、

【００５７】

【数８】

【００５８】で与えられる。

【００５９】次に、各値の保持領域としてレジスタを用
いて構成する装置について説明したが、一般に値を保持
する領域として用いられるメモリ等を用いる構成でも同
様に実施可能である。

【００６０】更に、図５のフローチャートの説明及び表
２を参照してのべき乗剰余演算の動作からも理解される
ように、本発明は演算方法としても特徴を有する。従っ
て、また、その演算方法を実行するプログラムを記録媒
体に格納し、それを汎用コンピュータにインストールす
ることにより、任意のコンピュータで上記べき乗剰余演
算を実行することが出来る。

【００６１】更に上記実施例は、べき乗剰余演算装置、
演算方法について説明しているが、同様な技術がべき乗
演算装置に対しても適用できる。

【００６２】図６は、楕円べき倍演算装置に本発明を適
用した場合の演算処理を示すフローチャートである。べ
き倍係数はレジスタｋにあらかじめ格納されており、１
６０ｂｉｔの値とする。ｉビットの数値は、ｋ[ｉ−１]
と記す。べき倍する座標は、あらかじめレジスタＢｘ、
Ｂｙに格納されており、ａｆｆｉｎｅ座標とする。図
中、Ｓ５５０は初期化処理で、ｎ＋２ｂｉｔレジスタの
上位２ビットを０とし（ｋ[１６１]、ｋ[１６０]＝
０）、ｉをｎ＋２にセットし、レジスタＡｚを０にリセ
ットする。Ｓ５５１は楕円２倍算処理で、レジスタＡ
ｘ、Ａｙ、Ａｚの値（ｊａｃｏｂｉａｎ座標値）を更新
する。この処理は前記実施の形態の２乗処理と対応する
処理である。Ｓ５５２はｎ＋２ｂｉｔレジスタから上位
４ビットのビット列を読み取り、図３で示したのと同様
なテーブルを検索して演算方法の判定を行う処理であ
る。Ｓ５５３〜Ｓ５５８は、上位４ビットのビット列が
「００１１」「０１ｘｘ」「１１０ｘ」であった場合に
おいて行う演算並びにべき乗係数の更新処理を示す。Ｓ
５５３、Ｓ５５５、Ｓ５５７の楕円加算は、レジスタＡ
ｘ、Ａｙ、Ａｚのｊａｃｏｂｉａｎ座標値にレジスタＢ
ｘ、Ｂｙのａｆｆｉｎｅ座標値を加算し、結果をレジス
タＡｘ、Ａｙ、Ａｚに格納するものとする。ただしＡｚ
が０の時には、レジスタＢｘ、Ｂｙの値及び値１をそれ
ぞれレジスタＡｘ、Ａｙ、Ａｚに代入するものとする。
Ｓ５５３、Ｓ５５５、Ｓ５５７のJacobian座標点Ａx、
Ａy、Ａzとaffine座標点Ｂx、Ｂyの楕円加算の演算方法
を以下に示しておく。 ｓ＝Ｂｘ＊Ａｚ²−Ａｘ …（１） ｕ＝Ｂｙ＊Ａｚ³−Ａｙ …（２） 上式で得られるおよびＡｘを用いて、 ａ＝Ａｘ＊ｓ² …（３） を求め、続いて、上記（１）（２）式を用いて、 ｂ＝ｓ³＋２＊ａ …（４） を得る。最後に上記（１）〜（３）式で得た結果を用い
て、新たにＡｘ、Ａｙ、Ａｚを得る。 Ａｘ＝ｕ²−ｂ …（５） Ａｙ＝ｕ＊（ａ−Ａｘ）−Ａｙ＊ｓ³ …（６） Ａｚ＝Ａｚ＊ｓ …（７） 同様に、Ｓ５５１の楕円２倍算の演算式を以下に示す。 ａ＝２＊Ａｙ² …（８） ｂ＝２＊Ａｘ＊ａ …（９） ｃ＝Ａｚ⁴＊ｃ₁＋３＊Ａｘ² …（１０） 上記（８）〜（１０）式で求めたを用いて以下に示す楕
円２倍算のjacobian座標値Ａｘ'、Ａｙ、'Ａｚ'を得
る。 Ａｘ'＝ｃ²−２＊ｂ …（１１） Ａｙ'＝ｃ＊（ｂ−Ａｘ' ）−２＊ａ² …（１２） Ａｚ'＝２＊Ａｙ＊Ａｚ …（１３） （１０）式のｃ₁は楕円曲線方程式（Ｙ²＝Ｘ³＋ｃ₁Ｘ＋
ｃ₀）の１次項の係数である。

【００６３】なお、（３）（４）式のａ、ｂと（８）
（９）式のａ、ｂとはたまたま標記が同一であるに過ぎ
ず、両者の間には何らの依存関係もない。上記Ｓ５５２
〜Ｓ５５８までの処理は先に述べた実施の形態のデーブ
ル参照処理及びｘ×Ａ倍処理に相当する。

【００６４】Ｓ５５９のレジスタｋの算術右シフト算と
は、１６２ｂｉｔレジスタｋの最上位ビット（ｋ[16
1]）を符号ビットとみなし、符号は保持したまま下位１
６１ｂｉｔ（ｋ[16０]〜ｋ[０]）を右にシフトすること
である。この処理でオーバーフローしたビット値は無視
する。Ｓ５６０はｉをデクリメントする処理で、ｉが０
になるまでＳ５５１〜Ｓ５６０の処理を繰り返し、０に
なると処理を終了する。

【００６５】この楕円べき倍演算装置は、第１の実施例
のべき乗剰余演算装置と同様、演算方法としても特徴を
有する。従って、その演算方法を実行するプログラム
（図６に示すフローチャートに相当）を随時インストー
ルすることにより、任意の汎用コンピュータにて本発明
を実施することが出来る。

【００６６】

【発明の効果】本発明は、以上説明したように構成され
るものであるから、べき数の値を保持するための領域
を、そのビット幅＋２ビット分に抑えることができる
上、符号つき２進表現への変換結果によって演算を制御
するため、べき乗演算時の乗算回数、または楕円べき倍
算演算時の楕円加算回数が、本来の符号つきバイナリ法
での演算回数平均値（べき数値のビット幅の１／３）に
近い回数まで削減できるといった効果がある。

【００６７】加えて、本発明によれば、符号つき２進表
現への変換結果をべき値保持領域に上書きし、次の判定
のために用いているため、その演算回数がバイナリ法を
適用した時の演算回数を超えることはない。従って、演
算回数を従来の手法の符号つきバイナリ法で行なう演算
回数に近い値への削減を、本発明では、保持領域の大幅
な増加なしに行なったことでその効果は大きい。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の一実施例としてのべき数値処理部の詳
細構成図である。

【図２】本発明における演算部の詳細構成図である。

【図３】本発明におけるべき数値判定部で判定される分
類と、べき数値変換部の変換処理、演算部の数値選択処
理の対応表である。

【図４】べき乗剰余演算装置全体構成図である。

【図５】本発明のべき乗剰余演算の処理を示すフローチ
ャートである。

【図６】本発明の他の実施形態として楕円べき倍演算処
理を示すフローチャートである。

【図７】本発明の演算方法を、具体的な数値を用いて示
したもので、演算回数によって演算値がどのように推移
して行くかを表にして表わしている。

【図８】バイナリ法の演算式を示す表である。

【図９】従来の一手法であるバイナリ法によるべき乗剰
余演算処理フローチャートである。

【図１０】従来の一手法であるバイナリ法におけるべき
数値処理部の詳細構成図である。

【図１１】従来の一手法であるバイナリ法における演算
部の詳細構成図である。

【図１２】従来の一手法である符号つきバイナリ法によ
るべき乗剰余演算処理を示すフローチャートである。

【図１３】従来の一手法である符号つきバイナリ法にお
けるべき数値処理部の詳細構成図である。

【図１４】従来の一手法である符号つきバイナリ法にお
ける演算部の詳細構成図である。

【図１５】従来の一手法である特開平７−４９７６９号
公報に示された方法によるべき乗剰余演算処理を示すフ
ローチャートである。

【図１６】従来の一手法である特開平７−４９７６９号
公報に示された方法におけるべき数値処理部の詳細構成
図である。

【図１７】従来の一手法である特開平７−４９７６９号
公報に示された方法におけるべき数値判定部の分類と、
演算部の数値選択処理の対応表である。

【符号の説明】

１０１ べき数値処理部 １０２ 入力されるべき数値ｋ １０３ べき数値処理部から演算部へ出力される制御信
号 １０４ 入力される被べき乗値Ａ １０５ 出力されるＡのｋ乗剰余値 １０６ 演算部 ２０１ べき数値保持レジスタ ２０２ べき数値保持レジスタへの初期値入力 ２０３ べき数値判定部 ２０４ べき数値変換部 ２０５ べき数値シフト部 ２０６ 分類タイプを演算部に伝える制御信号 ３０１ 中間値レジスタ ３０２ 中間値レジスタへの初期値入力 ３０３ ２乗演算部 ３０４ 乗算演算部 ３０５ 逆数取得部 ３０６ 乗算演算部入力値選択セレクタ ３０７ 中間値保持値選択セレクタ ３０８ 最終演算結果の出力 ４０１ べき数値上位４ビットのビットパターン ４０２ べき数値変換部で処理される変換値 ４０３ 演算部処理 ６０１ べき数値保持レジスタ ６０２ べき数値保持レジスタへの初期値入力 ６０５ べき数値シフト部 ６０６ 演算部に伝える制御信号 ７０１ 中間値レジスタ ７０２ 中間値レジスタへの初期値入力 ７０３ ２乗演算部 ７０４ 乗算演算部 ７０７ 中間値保持値選択セレクタ ７０８ 最終演算結果の出力 ９０１ べき数値保持レジスタ ９０２ べき数値保持レジスタへの初期値入力 ９０５ べき数値シフト部 ９０６ 演算部に伝える制御信号 ９０７ ２進表現を符号つき２進表現に変換する変換部 １００１ 中間値レジスタ １００２ 中間値レジスタへの初期値入力 １００３ ２乗演算部 １００４ 乗算演算部 １００５ 逆数取得部 １００６ 乗算演算部入力値選択セレクタ １００７ 中間値保持値選択セレクタ １００８ 最終演算結果の出力 １２０１ べき数値保持レジスタ １２０２ べき数値保持レジスタへの初期値入力 １２０３ べき数値判定部 １２０５ べき数値シフト部 １２０６ 分類タイプを演算部に伝える制御信号 １３０１ べき数値上位３ビットのビットパターン １３０３ 最初に行なわれる演算部処理 １３０４ ２回目に行なわれる演算部処理

Claims (38)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ｋをｎビットのべき乗数、Ａを被べき
   乗数とする、Ａ^k のべき乗演算を行う前にべき数値処理
   部で前記ｋを前処理し、処理後のべき乗数をＡと共に演
   算部に加えてＡ^k演算を行うべき乗演算装置における前
   記べき数値処理部であって、 符号ビットと前記整数ｋを格納するビット列格納手段
   と、 ビット列格納手段に格納されているビット列から符号ビ
   ットを含むｎ未満の所定ビット数のビット列データを読
   み出す読出し手段と、 読出し手段が読み出すビット列データを基にして新たな
   ビット列データを生成するビット列データ生成手段と、 読み出し手段が読み出すビット列データを基にして被べ
   き乗数Ａの演算方法を指定する演算方法指定手段と、 演算方法指定手段にて指定された演算方法で演算するよ
   う演算部へ指示する一方、ビット列データ生成手段が生
   成したビット列データで前記ビット列格納手段内の対応
   するビット列を更新する指示・更新手段と、 ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
   ビットを除き上位から下位ビット側にシフトする読み出
   し位置シフト手段と、 上記各手段を（ｎ＋１）回繰り返し動作させる繰り返し
   制御手段と、を備えることを特徴とするべき乗演算装置
   におけるべき数値処理部。
2. 【請求項２】 前記読み出し位置シフト手段は、符号
   ビットを除き、ビット列格納手段中でビット列を桁上げ
   する桁上げ手段であり、 前記読み出し手段は、桁上げ後に１ビットの符号ビット
   を含む上位４ビットのデータを前記ビット列格納手段か
   ら読み出すこと、 を特徴とする請求項１に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。
3. 【請求項３】 前記ビット列データ生成手段は、 第１欄に第１群のビットパターンが、第２欄に第２群の
   ビットパターンが対応記述されたテーブルを含み、 読み出し手段が読み出したビット列データのビットパタ
   ーンの少なくとも一部を共通にするビットパターンを第
   １群のビットパターンから検索し、検索したビットパタ
   ーンに対応して記述されたビットパターンを第２群のビ
   ットパターンから読み出し、これを新たなビット列デー
   タとして生成すること、 を特徴とする請求項２に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。
4. 【請求項４】 前記テーブルの第１群のビットパター
   ンが「００１１」のビット列、上位２ビットが「０１」
   のビット列、上位３ビットが「１１０」のビット列の３
   種類であり、 第１群のビットパターンが「００１１」のビット列の場
   合、第２群のビットパターンが「１００１」であり、第
   １群のビットパターンが上位３ビット「１１０」のビッ
   ト列である場合、第２群のビットパターンが「０１０」
   であり、 読み出し手段から読み出したビット列データが第１群の
   ビットパターンにない場合、並びに第１群のビットパタ
   ーンが「０１」の場合、ビット列データ生成手段は、読
   み出したビット列データと同じビット列データを生成す
   ることを特徴とする請求項３に記載のべき乗演算装置の
   べき数値処理部。
5. 【請求項５】 前記テーブルは更に第３欄を備えてお
   り、 前記演算方法指定手段は、テーブルの第３欄に記述され
   た演算方法であること、 を特徴とする請求項４に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。
6. 【請求項６】 第１群のビットパターンが「００１
   １」と「０１」のビット列の場合、第３欄に記述された
   演算方法が被べき乗数Ａの乗算であり、第１群のビット
   パターンが「１１０」のビット列の場合、第３欄に記述
   された演算方法が被べき乗算Ａの逆数の乗算であり、 読み出したビット列データが、第１群のビットパターン
   のいずれにも該当しないビットパターンの場合、演算方
   法指定手段は乗算しない指示を行なうこと、 を特徴とする請求項５に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。
7. 【請求項７】 前記ビット列格納手段が、最上位ビッ
   トを符号ビットとするｎ+２ビットのレジスタであり、
   読み出し位置シフト手段が、レジスタに格納されたビッ
   ト列を、最上位ビットを除き１ビットづつ左シフトする
   シフタであること、 を特徴とする請求項６に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。
8. 【請求項８】 前記ビット列データ生成手段は、所定
   の論理式を格納した演算手段であり、ビット列格納手段
   から読み出したビット列の各ビットの値を前記論理式に
   代入して新たなビット列を生成すること、 を特徴とする請求項２に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。
9. 【請求項９】 前記ビット列データ生成手段の格納す
   る論理式は、ビット列格納手段から読み出したビット列
   データを上位ビットから、Ｂ₀Ｂ₁Ｂ₂Ｂ₃とし、生成すべ
   き各ビットのデータを Ｄ₀Ｄ₁Ｄ₂Ｄ₃とした場合、以下
   の式で与えられること、 を特徴とする請求項８に記載のべき乗演算装置のべき数
   値処理部。 【数１】
10. 【請求項１０】 前記演算方法指定手段は、所定の論
    理式を格納しており、ビット列格納手段から読み出した
    各ビットの値を当該論理式に代入して演算方法を求める
    こと、 を特徴とする請求項８に記載のべき乗演算装置のべき数
    値処理部。
11. 【請求項１１】 前記演算方法指定手段は、ビット列
    格納手段から読み出したビット列を上位ビットから、Ｂ
    ₀Ｂ₁Ｂ₂Ｂ₃とし、Ａの乗算を行なうか否かの指定信号を
    Ｓ_A、Ａ^-1の乗算を行なうか否かの指定信号をＳ_A-1とし
    た場合、指定信号は以下の式で与えられること、 を特徴とする請求項１０に記載のべき乗演算装置のべき
    数値処理部。 【数２】
12. 【請求項１２】 ｎビットの定数ｐによる剰余体上の
    楕円曲線をＥ（Ｆｐ）、ｐ以下の正の整数をｋ、楕円曲
    線Ｅ（Ｆｐ）上の点をＡとした場合、べき倍点ｋＡの演
    算を行なう前に前処理部で前記ｋを前処理し、処理後の
    べき値をＡとともに演算部に加えてｋＡ演算を行なう楕
    円べき倍演算装置における前記前処理部であって、 符号ビットと前記整数ｋを格納するビット列格納手段
    と、 ビット列格納手段に格納されているビット列から符号ビ
    ットを含む所定ビット数（ｎ未満）のビット列データを
    読み出す読み出し手段と、 読み出し手段が読み出すビット列データを基にして新た
    なビット列データを生成するビット列データ生成手段
    と、 読み出し手段が読み出すビット列データを基にして楕円
    曲線上の点Ａの演算方法を指定する演算方法指定手段
    と、 演算方法指定手段にて指定された演算方法で演算するよ
    う演算部へ指示する一方、ビット列データ生成手段が生
    成したビット列データで前記ビット列格納手段内の対応
    するビット列を更新する指示・更新手段と、 ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
    ビットを除いて下位ビット側にシフトする読み出し位置
    シフト手段と、 上記各手段を（ｎ＋１）回繰り返し動作させる繰り返し
    制御手段とを備えること、 を特徴とする楕円べき倍点演算装置におけるべき値処理
    部。
13. 【請求項１３】 前記読み出し位置シフト手段は、符
    号ビットを除き、ビット列格納手段中でビット列を桁上
    げする桁上げ手段であり、 前記読み出し手段は、桁上げ後に１ビットの符号ビット
    を含む上位４ビットのデータを前記ビット列格納手段か
    ら読み出すこと、 を特徴とする請求項１２に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
14. 【請求項１４】 前記ビット列データ生成手段は、第
    １欄に第１群のビットパターンが、第２欄に第２群のビ
    ットパターンが対応記述されたテーブルを含み、 読み出し手段が読み出したビット列データのビットパタ
    ーンの少なくとも一部を共通にするビットパターンを第
    １群のビットパターンから検索し、検索したビットパタ
    ーンに対応して記述されたビットパターンを第２群のビ
    ットパターンから読み出し、これを新たなビット列デー
    タとして生成すること、 特徴とする請求項１３に記載の楕円べき倍点演算装置の
    べき値処理部。
15. 【請求項１５】 前記テーブルの第１群のビットパタ
    ーンが「００１１」のビット列、上位２ビットが「０
    １」のビット列、上位３ビットが「１１０」のビット列
    の３種類であり、 第１群のビットパターンが「００１１」のビット列の場
    合、第２群のビットパターンが「１００１」であり、第
    １群のビットパターンが上位３ビット「１１０」のビッ
    ト列である場合、第２群のビットパターンが「０１０」
    である、 読み出し手段から読み出したビット列データが第１群の
    ビットパターンにない場合、ビット列データ生成手段
    は、読み出したビット列データと同じビット列データを
    生成すること、 を特徴とする請求項１３に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
16. 【請求項１６】 前記テーブルは更に第３欄を備えて
    おり、 前記演算方法指定手段は、テーブルの第３欄に記述され
    た演算方法であること、 を特徴とする請求項１５に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
17. 【請求項１７】 第１群のビットパターンが「００１
    １」と「０１」のビット列の場合、第３欄に記述された
    演算方法が楕円加算であり、第１群のビットパターンが
    「１１０」のビット列の場合、第３欄に記述された演算
    方法が楕円減算であり、 読み出したビット列データが、第１群のビットパターン
    のいずれにも該当しないビットパターンの場合、演算方
    法指定手段は加算も減算もしない指示を行なうこと、 を特徴とする請求項１６に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
18. 【請求項１８】 前記ビット列格納手段が、最上位ビ
    ットを符号ビットとするｎ+２ビットのレジスタであ
    り、 読み出し位置シフト手段が、レジスタに格納されたビッ
    ト列を、最上位ビットを除き１ビットづつ左シフトする
    シフタであること、 を特徴とする請求項１７に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
19. 【請求項１９】 前記ビット列データ生成手段は、所
    定の論理式を格納した演算手段であり、ビット列格納手
    段から読み出したビット列の各ビットの値を前記論理式
    に代入して新たなビット列を生成すること、 を特徴とする請求項１８に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
20. 【請求項２０】 前記ビット列データ生成手段の格納
    する論理式は、ビット列格納手段から読み出したビット
    列データを上位ビットから、Ｂ₀Ｂ₁Ｂ₂Ｂ₃とし、生成す
    べき各ビットのデータを Ｄ₀Ｄ₁Ｄ₂Ｄ₃ とした場合、
    以下の式で与えられること、 を特徴とする請求項１９に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。 【数３】
21. 【請求項２１】 前記演算方法指定手段は、所定の論
    理式を格納しており、 ビット列格納手段から読み出した各ビットの値を当該論
    理式に代入して演算方法を求めること、 を特徴とする請求項１９に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。
22. 【請求項２２】 前記演算方法指定手段は、ビット列
    格納手段から読み出したビット列を上位ビットから、Ｂ
    ₀Ｂ₁Ｂ₂Ｂ₃とし、楕円加算を行なうか否かの指定信号を
    Ｓ_A、楕円減算を行なうか否かの指定信号をＳ_A-1とした
    場合、指定信号は以下の式で与えられること、 を特徴とする請求項２１に記載の楕円べき倍点演算装置
    のべき値処理部。 【数４】
23. 【請求項２３】 ｎビットの正の整数ｋ、及び整数Ａ
    が与えられた時に、Ａのｋ乗を計算するべき乗演算装置
    であって、 ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符号を保持する符号保
    持領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値
    保持領域を有する記憶手段と、 前記べき値保持領域の下位ｎビットに前記整数ｋを、最
    上位ビットに０を、前記符号保持領域に、正の符号を表
    す「＋」を、前記中間値保持領域に定数１をそれぞれ初
    期設定する初期設定手段と、 中間値保持領域に格納されている値を２乗して中間値を
    書き直す中間値２乗演算手段と、 符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上位３
    ビット数のビット列データを判定対象データとして選択
    する判定対象データ選択手段と、 選択したデータを参照して、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつべき値保持領域の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつべき値保持領域の上位１ビットが「１」
    であるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の
    符号を表す「−」で、かつべき値保持領域の値の上位２
    ビットが「１０」であるという第３のパターンのいずれ
    かに該当するか、いずれにも該当しないかを判定する判
    定手段と、 前記判定手段で第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された時、中間値保持領域に格納さ
    れた値と整数Ａの積を求め新たな中間値として中間値保
    持領域の値を更新し、第３のパターンに該当すると判定
    された時、中間値保持領域に格納された値と整数Ａの商
    を求め新たな中間値として中間値保持領域の値を更新
    し、いずれのパターンにも該当しないと判断された時、
    何らの演算も行なわず中間値保持領域の値を元のままの
    値に保持する中間値乗算手段と、 前記判定手段で第１のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「−」に、べき値保持領域の上位３ビット
    の値を「００１」に変換する第１のべき値変換手段と、 前記判定手段で第３のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「＋」に変換する第２のべき値変換手段
    と、 判定手段の判定結果に従ってなされるべき処理を行なっ
    た後、べき値保持領域の値を１ビット左にシフトし、オ
    ーバフローを破棄するべき値シフト手段と、 中間値保持領域の値を演算結果として出力する出力手段
    と、 前記初期設定手段により記憶手段の各領域に初期設定を
    行なわせた後、中間値２乗演算手段、べき値判断手段、
    中間値乗算手段、第１のべき値変換手段、第２のべき値
    変換手段による各動作を、べき値シフト手段によるビッ
    トシフトに同期させながら（ｎ＋１）回繰り返えさせ、
    最後に出力手段から演算結果を出力させる制御手段と、 を備えることを特徴とするべき乗演算装置。
24. 【請求項２４】 ｎビットの正の整数ｋ、及び整数
    Ａ、定数ｐが与えられた時に、Ａのｋ乗の定数ｐによる
    剰余値を計算するべき乗剰余演算装置であって、 ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符号を保持する符号保
    持領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値
    保持領域を有する記憶手段と、 前記べき値保持領域の下位ｎビットに前記整数ｋを、最
    上位ビットに０を、前記符号保持領域に、正の符号を表
    す「＋」を、前記中間値保持領域に定数１をそれぞれ初
    期設定する初期設定手段と、 中間値保持領域に格納されている値を２乗した結果の定
    数ｐによる剰余を求める中間値２乗剰余演算手段と、 符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上位３
    ビット数のビット列データ判定対象データとして選択す
    る判定対象データ選択手段と、 選択されたデータを参照して、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつべき値保持領域の上位３ビットの値が
    「０１１」であるという第１のパターン、符号保持領域
    の値が「＋」で、かつべき値保持領域の上位１ビットが
    「１」であるという第２のパターン、符号保持領域の値
    が負の符号を表す「−」で、かつべき値保持領域の値の
    上位２ビットが「１０」であるという第３のパターンの
    いずれかに該当するか、いずれにも該当しないかを判定
    する判定手段と、 判定手段で第１のパターン、もしくは第２のパターンに
    該当すると判定された時、中間値保持領域に格納された
    値と整数Ａの積の定数ｐによる剰余を求め、これを新た
    な中間値として中間値保持領域の値を更新し、第３のパ
    ターンに該当すると判定された時、中間値保持領域に格
    納された値と整数Ａの逆数の積の、定数ｐによる剰余を
    求め、これを新たな中間値として中間値保持領域の値を
    更新し、いずれのパターンにも該当しないと判断された
    時、何らの演算も行なわず中間値保持領域の値を元のま
    まの値に保持する中間値乗算剰余手段と、 前記判定手段で第１のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「−」に、べき値保持領域の上位３ビット
    の値を「００１」に変換する第１のべき値変換手段と、 前記判定手段で第３のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「＋」に変換する第２のべき値変換手段
    と、 判定手段の判定結果に従ってなされるべき処理を行なっ
    た後、べき値保持領域の値を１ビット左にシフトし、オ
    ーバフローを破棄するべき値シフト手段と、 中間値保持領域の値を演算結果として出力する出力手段
    と、 前記初期設定手段により記憶手段の各領域に初期設定を
    行なわせた後、中間値２乗剰余演算手段、べき値判断手
    段、中間値乗算剰余手段、第１のべき値変換手段、第２
    のべき値変換手段による各動作を、べき値シフト手段に
    よるビットシフトに同期させながら（ｎ＋１）回繰り返
    えさせ、最後に出力手段から演算結果を出力させる制御
    手段と、 を備えることを特徴とするべき乗剰余演算装置。
25. 【請求項２５】 ｎビット定数ｐによる剰余体上の楕
    円曲線Ｅ（Ｆｐ）、ｐ以下の正の整数ｋ、及び楕円曲線
    Ｅ（Ｆｐ）上の点Ａが与えられた時に、べき倍点ｋＡを
    計算する楕円べき倍演算装置であって、 ｎ＋１ビットの数値保持領域、符号を保持する符号保持
    領域、中間点保持領域を有する記憶手段と、 べき値保持領域の下位ｎビットに整数ｋを、最上位ビッ
    トに０を、符号保持領域に、正の符号を表す「＋」を、
    中間点保持領域に無限遠点Ｏをそれぞれ初期設定する初
    期設定手段と、 中間点保持領域に格納されている点の２倍点を求める中
    間点２倍算演算手段と、 符号保持領域の符号データと、数値保持領域の上位から
    ３ビットのビット列データとを選択する判定対象データ
    選択手段と、 選択したデータ列を参照し、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつ数値保持領域の値の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつ数値保持領域の上位１ビットが「１」で
    あるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の符
    号を表す「−」で、かつ数値保持領域の値の上位２ビッ
    トが「１０」であるという第３のパターンのいずれかに
    該当するか、いずれにも該当しないかを判定する判定手
    段と、 前記判定手段で第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された時、中間点保持領域に格納さ
    れた中間点と楕円曲線上の点Ａの加算点を新たな中間点
    として中間点保持領域を更新し、第３のパターンに該当
    すると判定された時、中間点保持領域に格納された中間
    点と楕円曲線上の点Ａの減算点を新たな中間点として中
    間点保持領域を更新し、上記いずれのパターンにも該当
    しないと判定された時、中間点保持領域に格納している
    中間点を元のまま保持する中間点加算手段と、 前記判定手段で第１のパターンと判定された時、記憶手
    段の符号保持領域の値を「−」に、数値保持領域の上位
    ３ビットの値を「００１」に変換する第１の変換手段
    と、 前記判定手段で第３のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「＋」に変換する第２の変換手段と、 判定手段の判定に従って処理を行なった後、数値保持領
    域に格納された整数ｋを１ビット左にシフトし、オーバ
    フローを破棄するシフト手段と、 中間点保持領域の値を演算結果として出力する出力手段
    と、 前記記憶手段に対し初期値設定手段による初期値設定を
    行なわせて後、中間値２倍算演算手段、判定手段、中間
    点加算手段、第１の変換手段、第２の変換手段による各
    動作を、シフト手段によるビットシフトに同期させて
    （ｎ＋１）回繰り返させ、最後に出力手段から演算結果
    を出力させる制御手段と、 を備えることを特徴とする楕円べき倍演算装置。
26. 【請求項２６】 ｋをｎビットのべき乗数、Ａを被べ
    き乗数とする、Ａ^kのべき乗演算を行う前に前記ｋを前
    処理し、処理後のべき乗数をＡと共に演算部に加えてＡ
    ^k演算を行うべき乗演算装置におけるべき乗数前処理方
    法であって、 符号ビットと前記整数ｋを格納するビット列格納手段か
    ら符号ビットを含む所定ビット数のビット列データを読
    み出す第１ステップと、 読み出したビット列データを基にして新たなビット列デ
    ータを生成する第２ステップと、 読み出したビット列データを基にして被べき乗数Ａの演
    算方法を決定する第３ステップと、 決定された演算方法で演算するよう演算部へ指示する一
    方、生成したビット列データで前記ビット列格納手段内
    の対応するビット列を更新する第４ステップと、 ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
    ビットを除き下位ビット側にシフトすると、 ｋの最下位ビットを読出すところまで処理が進んだかを
    判定し、未達なら既達と判定されるまで、第１ステップ
    から第５ステップまでを繰り返す第６ステップと、 を含むことを特徴とするべき乗演算装置におけるべき乗
    数前処理方法。
27. 【請求項２７】 第２ステップは、 第１欄に第１群のビットパターンが、第２欄に第２群の
    ビットパターンが対応記述されたテーブルを用いて、ビ
    ット列データ格納手段から読み出したビット列データの
    ビットパターンの少なくとも一部が共通するビットパタ
    ーンを第１群のビットパターンから検索し、検索したビ
    ットパターンに対応して記述されたビットパターンを第
    ２群のビットパターンから読み出し、これを新たなビッ
    ト列データとして生成するサブステップと、 テーブルの第１欄に、読み出したビット列データのビッ
    トパターンに該当するものが無かった場合、読み出した
    ビット列データをそのまま出力するサブステップと、 を含むことを特徴とする請求項２６に記載のべき乗演算
    装置のべき数値前処理方法。
28. 【請求項２８】 前記テーブルは更に第１欄のビット
    パターンに対応させて演算方法を記述した第３欄を備え
    ており、 第３ステップはテーブルの第３欄から演算方法を読み出
    すこと、 であることを特徴とする請求項２７に記載のべき乗演算
    装置のべき数値前処理方法。
29. 【請求項２９】 第２ステップは、所定の論理式を格
    納した演算手段を用い、 ビット列格納手段から読み出したビット列の各ビットの
    値を前記論理式に代入して新たなビット列を生成する処
    理であり、 第３のステップは、所定の論理式を格納した演算手段を
    用い、ビット列格納手段から読み出したビット列の各ビ
    ットの値を前記論理式に代入して演算方法を決定する処
    理である、 ことを特徴とする請求項２６に記載のべき乗演算装置の
    べき数値前処理方法。
30. 【請求項３０】 ｎビットの定数ｐによる剰余体上の
    楕円曲線をＥ（Ｆｐ）、ｐ以下の正の整数をｋ、楕円曲
    線Ｅ（Ｆｐ）上の点をＡとした場合、べき倍点ｋＡの演
    算を行なう前に前記ｋを前処理し、処理後のべき値をＡ
    とともに演算部に加えてｋＡ演算を行なう楕円べき倍演
    算装置における前処理方法であって、 符号ビットと前記整数ｋを格納するビット列格納手段か
    ら符号ビットを含む所定ビット数のビット列データを読
    み出す第１ステップと、 読み出したビット列データを基にして新たなビット列デ
    ータを生成する第２ステップと、 読み出したビット列データを基にして楕円曲線上の点Ａ
    の演算方法を決定する第３ステップと、 決定された演算方法で演算するよう演算部へ指示する一
    方、生成したビット列データで前記ビット列格納手段内
    の対応するビット列を更新する第４ステップと、 ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
    ビットを除き下位ビット側にシフトする第５ステップ
    と、 ｋの最下位ビットを読出すところまで処理が進んだかを
    判定し、未達なら既達と判定されるまで、第１ステップ
    から第５ステップまでを繰り返す第６ステップと、 を含むことを特徴とする楕円べき倍演算装置における前
    処理方法。
31. 【請求項３１】 ｎビットの正の整数ｋ、及び整数Ａ
    が与えられた時に、Ａのｋ乗を計算するべき乗演算方法
    であって、 ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符号を保持する符号保
    持領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値
    保持領域を有する記憶手段の、前記べき値保持領域の下
    位ｎビットに前記整数ｋを、最上位ビットに０を、前記
    符号保持領域に、正の符号を表す「＋」を、前記中間値
    保持領域に定数１をそれぞれ初期設定する第１ステップ
    と、 記憶手段の中間値保持領域に格納されている値を２乗
    し、これを新たな中間値として中間値保持領域に上書き
    する第２ステップと、 符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上位３
    ビット数のビット列データを判定対象データとして選択
    する第３ステップと、 選択したデータを参照して、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつべき値保持領域の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつべき値保持領域の上位１ビットが「１」
    であるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の
    符号を表す「−」で、かつべき値保持領域の値の上位２
    ビットが「１０」であるという第３のパターンのいずれ
    かに該当するか、いずれにも該当しないかを判定する第
    ４ステップと、 第４ステップで第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された場合、中間値保持領域に格納
    された値と整数Ａの積を求め新たな中間値として中間値
    保持領域の値を更新し、第３のパターンに該当すると判
    定された時、中間値保持領域に格納された値と整数Ａの
    商を求め新たな中間値として中間値保持領域の値を更新
    し、いずれのパターンにも該当しないと判断された時、
    何らの演算も行なわず中間値保持領域の値を元のままの
    値に保持する第５ステップと、 第４ステップで第１のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「−」に、べき値保持領域の上位３ビッ
    トの値を「００１」に変換する第６ステップと、 第４ステップで第３のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「＋」に変換する第７ステップと、 判定結果に従ってなされるべき処理を行なった後、べき
    値保持領域の値を１ビット左にシフトし、オーバフロー
    を破棄する第８ステップと、 第８ステップにてシフトした結果、初期設定を行なった
    ときべき値保持領域の最下位ビットのデータがオーバフ
    ローするに至るまで、第２〜第８ステップの各処理を繰
    り返えし、最下位ビットデータがオーバフローした段階
    で、中間値保持領域に格納されている値を演算結果とし
    て出力する第９ステップと、 を含むことを特徴とするべき乗演算方法。
32. 【請求項３２】 ｎビットの正の整数ｋ、及び整数
    Ａ、定数ｐが与えられた時に、Ａのｋ乗の定数ｐによる
    剰余値を計算するべき乗剰余演算方法であって、 ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符号を保持する符号保
    持領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値
    保持領域を有する記憶手段の、前記べき値保持領域の下
    位ｎビットに前記整数ｋを、最上位ビットに０を、前記
    符号保持領域に、正の符号を表す「＋」を、前記中間値
    保持領域に定数１をそれぞれ初期設定する第１ステップ
    と、 記憶手段の中間値保持領域に格納されている値を２乗し
    た結果の定数ｐによる剰余を求め、これを新たな中間値
    として中間値保持領域に上書きする第２ステップと、 符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上位３
    ビット数のビット列データを判定対象データとして選択
    する第３ステップと、 選択したデータを参照して、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつべき値保持領域の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつべき値保持領域の上位１ビットが「１」
    であるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の
    符号を表す「−」で、かつべき値保持領域の値の上位２
    ビットが「１０」であるという第３のパターンのいずれ
    かに該当するか、いずれにも該当しないかを判定する第
    ４ステップと、 第４ステップで第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された場合、中間値保持領域に格納
    された値と整数Ａの積の定数ｐによる剰余を求め、これ
    を新たな中間値として中間値保持領域に上書きし、第３
    のパターンに該当すると判定された時、中間値保持領域
    に格納された値と整数Ａの逆数の積の、定数ｐによる剰
    余を求め、これを新たな中間値として中間値保持領域に
    上書きし、いずれのパターンにも該当しないと判断され
    た時、何らの演算も行なわず中間値保持領域の値を元の
    ままの値に保持する第５ステップと、 第４ステップで第１のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「−」に、べき値保持領域の上位３ビッ
    トの値を「００１」に変換する第６ステップと、 第４ステップで第３のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「＋」に変換する第７ステップと、 判定結果に従ってなされるべき処理を行なった後、べき
    値保持領域の値を１ビット左にシフトし、オーバフロー
    を破棄する第８ステップと、 第８ステップにてシフトした結果、初期設定を行なった
    ときべき値保持領域の最下位ビットのデータがオーバフ
    ローするに至るまで、第２〜第８ステップの各処理を繰
    り返えし、最下位ビットデータがオーバフローした段階
    で、中間値保持領域に格納されている値を演算結果とし
    て出力する第９ステップと、 を含むことを特徴とするべき乗剰余演算方法。
33. 【請求項３３】 ｎビット定数ｐによる剰余体上の楕
    円曲線Ｅ（Ｆｐ）、ｐ以下の正の整数ｋ、及び楕円曲線
    Ｅ（Ｆｐ）上の点Ａが与えられた時に、べき倍点ｋＡを
    計算する楕円べき倍演算方法であって、 ｎ＋１ビットの数値保持領域、符号を保持する符号保持
    領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値保
    持領域を有する記憶手段の、前記数値保持領域の下位ｎ
    ビットに前記整数ｋを、最上位ビットに０を、前記符号
    保持領域に、正の符号を表す「＋」を、前記中間値保持
    領域に無限遠点をそれぞれ初期設定する第１ステップ
    と、 中間点保持領域に格納されている点の２倍点を求め、こ
    れを新たな中間点として中間値保持領域に上書きする第
    ２ステップと、 符号保持領域の符号データと、数値保持領域の上位から
    ３ビットのビット列データとを選択する第３ステップ
    と、 選択したデータ列を参照し、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつ数値保持領域の値の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつ数値保持領域の上位１ビットが「１」で
    あるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の符
    号を表す「−」で、かつ数値保持領域の値の上位２ビッ
    トが「１０」であるという第３のパターンのいずれかに
    該当するか、いずれにも該当しないかを判定する第４ス
    テップと、 第４ステップで第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された時、中間点保持領域に格納さ
    れた中間点と楕円曲線上の点Ａの加算点を新たな中間点
    として中間点保持領域を更新し、第３のパターンに該当
    すると判定された時、中間点保持領域に格納された中間
    点と楕円曲線上の点Ａの減算点を新たな中間点として中
    間点保持領域を更新し、上記いずれのパターンにも該当
    しないと判定された時、中間点保持領域に格納している
    中間点を元のまま保持する第５ステップと、 第４ステップで第１のパターンと判定された時、記憶手
    段の符号保持領域の値を「−」に、数値保持領域の上位
    ３ビットの値を「００１」に変換する第６ステップと、 第４ステップで第３のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「＋」に変換する第７ステップと、 上記判定に従って処理を行なった後、数値保持領域に格
    納された整数ｋを１ビット左にシフトし、オーバフロー
    を破棄する第８ステップと、 第８ステップにてシフトした結果、初期設定を行なった
    とき数値保持領域の最下位ビットのデータがオーバフロ
    ーするに至るまで、第２〜第８ステップの各処理を繰り
    返えし、最下位ビットデータがオーバフローした段階
    で、中間値保持領域に格納されている値を演算結果とし
    て出力する第９ステップと、 を含むことを特徴とする楕円べき倍演算方法。
34. 【請求項３４】 ｋをｎビットのべき乗数、Ａを被べ
    き乗数とする、Ａ^kのべき乗演算を行う前に前記ｋを前
    処理し、処理後のべき乗数をＡと共に演算部に加えてＡ
    ^k演算を行うべき乗演算装置において使用され、べき乗
    数前処理方法のコンピュータ読み取り可能なプログラム
    を格納した記録媒体であって、前記プログラムは、 符号ビットと前記整数ｋを格納するビット列格納手段か
    ら符号ビットを含む所定ビット数のビット列データを読
    み出す第１ステップと、 読み出したビット列データを基にして新たなビット列デ
    ータを生成する第２ステップと、 読み出したビット列データを基にして被べき乗数Ａの演
    算方法を決定する第３ステップと、 決定された演算方法で演算するよう演算部へ指示する一
    方、生成したビット列データで前記ビット列格納手段内
    の対応するビット列を更新する第４ステップと、 ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
    ビットを除き下位ビット側にシフトする第５ステップ
    と、 ｋの最下位ビットを読出すところまで処理が進んだかを
    判定し、未達なら既達と判定されるまで、第１ステップ
    から第５ステップまでを繰り返す第６ステップと、 を含むことを特徴とする記録媒体。
35. 【請求項３５】 ｎビットの定数ｐによる剰余体上の
    楕円曲線をＥ（Ｆｐ）、ｐ以下の正の整数をｋ、楕円曲
    線Ｅ（Ｆｐ）上の点をＡとした場合、べき倍点ｋＡの演
    算を行なう前に前記ｋを前処理し、処理後の数値をＡと
    ともに演算部に加えてｋＡ演算を行なう楕円べき倍演算
    装置において使用され、前処理方法のコンピュータ読み
    取り可能なプログラムを格納した媒体であって、前記プ
    ログラムは、 符号ビットと前記整数ｋを格納するビット列格納手段か
    ら符号ビットを含む所定ビット数のビット列データを読
    み出す第１ステップと、 読み出したビット列データを基にして新たなビット列デ
    ータを生成する第２ステップと、 読み出したビット列データを基にして楕円曲線上の点Ａ
    の演算方法を決定する第３ステップと、 決定された演算方法で演算するよう演算部へ指示する一
    方、生成したビット列データで前記ビット列格納手段内
    の対応するビット列を更新する第４ステップと、 ビット列格納手段から次に読み出すビット位置を、符号
    ビットを除き下位ビット側にシフトする第５ステップ
    と、 ｋの最下位ビットを読出すところまで処理が進んだかを
    判定し、未達なら既達と判定されるまで、第１ステップ
    から第５ステップまでを繰り返す第６ステップと、 を含むことを特徴とする記録媒体。
36. 【請求項３６】 ｎビットの正の整数ｋ、及び整数Ａ
    が与えられた時に、Ａのｋ乗を計算するべき乗演算方法
    を実行するコンピュータ読み取り可能なプログラムを格
    納した記憶媒体であって、前記プログラムは、 ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符号を保持する符号保
    持領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値
    保持領域を有する記憶手段の、前記べき値保持領域の下
    位ｎビットに前記整数ｋを、最上位ビットに０を、前記
    符号保持領域に、正の符号を表す「＋」を、前記中間値
    保持領域に定数１をそれぞれ初期設定する第１ステップ
    と、 記憶手段の中間値保持領域に格納されている値を２乗
    し、これを新たな中間値として中間値保持領域に上書き
    する第２ステップと、 符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上位３
    ビット数のビット列データを判定対象データとして選択
    する第３ステップと、 選択したデータを参照して、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつべき値保持領域の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつべき値保持領域の上位１ビットが「１」
    であるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の
    符号を表す「−」で、かつべき値保持領域の値の上位２
    ビットが「１０」であるという第３のパターンのいずれ
    かに該当するか、いずれにも該当しないかを判定する第
    ４ステップと、 第４ステップで第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された場合、中間値保持領域に格納
    された値と整数Ａの積を求め新たな中間値として中間値
    保持領域の値を更新し、第３のパターンに該当すると判
    定された時、中間値保持領域に格納された値と整数Ａの
    商を求め新たな中間値として中間値保持領域の値を更新
    し、いずれのパターンにも該当しないと判断された時、
    何らの演算も行なわず中間値保持領域の値を元のままの
    値に保持する第５ステップと、 第４ステップで第１のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「−」に、べき値保持領域の上位３ビッ
    トの値を「００１」に変換する第６ステップと、 第４ステップで第３のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「＋」に変換する第７ステップと、 判定結果に従ってなされるべき処理を行なった後、べき
    値保持領域の値を１ビット左にシフトし、オーバフロー
    を破棄する第８ステップと、 第８ステップにてシフトした結果、初期設定を行なった
    ときべき値保持領域の最下位ビットのデータがオーバフ
    ローするに至るまで、第２〜第８ステップの各処理を繰
    り返えし、最下位ビットデータがオーバフローした段階
    で、中間値保持領域に格納されている値を演算結果とし
    て出力する第９ステップと、 を含むことを特徴とする記録媒体。
37. 【請求項３７】 ｎビットの正の整数ｋ、及び整数
    Ａ、定数ｐが与えられた時に、Ａのｋ乗の定数ｐによる
    剰余値を計算するべき乗剰余演算方法を実行するコンピ
    ュータ読み取り可能なプログラムを格納した記憶媒体で
    あって、前記プログラムは、 ｎ＋１ビットのべき値保持領域、符号を保持する符号保
    持領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値
    保持領域を有する記憶手段の、前記べき値保持領域の下
    位ｎビットに前記整数ｋを、最上位ビットに０を、前記
    符号保持領域に、正の符号を表す「＋」を、前記中間値
    保持領域に定数１をそれぞれ初期設定する第１ステップ
    と、 記憶手段の中間値保持領域に格納されている値を２乗し
    た結果の定数ｐによる剰余を求め、これを新たな中間値
    として中間値保持領域に上書きする第２ステップと、 符号保持領域の符号データと、べき値保持領域の上位３
    ビット数のビット列データを判定対象データとして選択
    する第３ステップと、 選択したデータを参照して、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつべき値保持領域の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつべき値保持領域の上位１ビットが「１」
    であるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の
    符号を表す「−」で、かつべき値保持領域の値の上位２
    ビットが「１０」であるという第３のパターンのいずれ
    かに該当するか、いずれにも該当しないかを判定する第
    ４ステップと、 第４ステップで第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された場合、中間値保持領域に格納
    された値と整数Ａの積の定数ｐによる剰余を求め、これ
    を新たな中間値として中間値保持領域に上書きし、第３
    のパターンに該当すると判定された時、中間値保持領域
    に格納された値と整数Ａの逆数の積の、定数ｐによる剰
    余を求め、これを新たな中間値として中間値保持領域に
    上書きし、いずれのパターンにも該当しないと判断され
    た時、何らの演算も行なわず中間値保持領域の値を元の
    ままの値に保持する第５ステップと、 第４ステップで第１のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「−」に、べき値保持領域の上位３ビッ
    トの値を「００１」に変換する第６ステップと、 第４ステップで第３のパターンと判定された場合、符号
    保持領域の値を「＋」に変換する第７ステップと、 判定結果に従ってなされるべき処理を行なった後、べき
    値保持領域の値を１ビット左にシフトし、オーバフロー
    を破棄する第８ステップと、 第８ステップにてシフトした結果、初期設定を行なった
    ときべき値保持領域の最下位ビットのデータがオーバフ
    ローするに至るまで、第２〜第８ステップの各処理を繰
    り返えし、最下位ビットデータがオーバフローした段階
    で、中間値保持領域に格納されている値を演算結果とし
    て出力する第９ステップと、 を含むことを特徴とする記録媒体。
38. 【請求項３８】 ｎビット定数ｐによる剰余体上の楕
    円曲線Ｅ（Ｆｐ）、ｐ以下の正の整数ｋ、及び楕円曲線
    Ｅ（Ｆｐ）上の点Ａが与えられた時に、べき倍点ｋＡを
    計算する楕円べき倍演算方法を実行するコンピュータ読
    み取り可能なプログラムを格納した記憶媒体であって、
    前記プログラムは、 ｎ＋１ビットの数値保持領域、符号を保持する符号保持
    領域、演算過程において得る中間値を保持する中間値保
    持領域を有する記憶手段の、前記数値保持領域の下位ｎ
    ビットに前記整数ｋを、最上位ビットに０を、前記符号
    保持領域に、正の符号を表す「＋」を、前記中間値保持
    領域に無限遠点をそれぞれ初期設定する第１ステップ
    と、 中間点保持領域に格納されている点の２倍点を求め、こ
    れを新たな中間点として中間値保持領域に上書きする第
    ２ステップと、 符号保持領域の符号データと、数値保持領域の上位から
    ３ビットのビット列データとを選択する第３ステップ
    と、 選択したデータ列を参照し、符号保持領域の値が「＋」
    で、かつ数値保持領域の値の上位３ビットの値が「０１
    １」であるという第１のパターン、符号保持領域の値が
    「＋」で、かつ数値保持領域の上位１ビットが「１」で
    あるという第２のパターン、符号保持領域の値が負の符
    号を表す「−」で、かつ数値保持領域の値の上位２ビッ
    トが「１０」であるという第３のパターンのいずれかに
    該当するか、いずれにも該当しないかを判定する第４ス
    テップと、 第４ステップで第１のパターン、もしくは第２のパター
    ンに該当すると判定された時、中間点保持領域に格納さ
    れた中間点と楕円曲線上の点Ａの加算点を新たな中間点
    として中間点保持領域を更新し、第３のパターンに該当
    すると判定された時、中間点保持領域に格納された中間
    点と楕円曲線上の点Ａの減算点を新たな中間点として中
    間点保持領域を更新し、上記いずれのパターンにも該当
    しないと判定された時、中間点保持領域に格納している
    中間点を元のまま保持する第５ステップと、 第４ステップで第１のパターンと判定された時、記憶手
    段の符号保持領域の値を「−」に、数値保持領域の上位
    ３ビットの値を「００１」に変換する第６ステップと、 第４ステップで第３のパターンと判定された時、符号保
    持領域の値を「＋」に変換する第７ステップと、 上記判定に従って処理を行なった後、数値保持領域に格
    納された整数ｋを１ビット左にシフトし、オーバフロー
    を破棄する第８ステップと、 第８ステップにてシフトした結果、初期設定を行なった
    とき数値保持領域の最下位ビットのデータがオーバフロ
    ーするに至るまで、第２〜第８ステップの各処理を繰り
    返えし、最下位ビットデータがオーバフローした段階
    で、中間値保持領域に格納されている値を演算結果とし
    て出力する第９ステップと、 を含むことを特徴とする記録媒体。