JP2000295251A - サービスクラスの統計的多重化を用いて通信網内のパケットをスケジュールするための方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 （修正有） 【課題】 サービスクラスの統計的多重化を用いて通信
網内のパケットをスケジュールする。 【解決手段】 第一と第二の２つの異質なＱｏＳクラス
と、第三の最善努力型クラスが混在する網環境が想定さ
れる。各ＱｏＳクラスは、指定される遅延限界（上
限）、およびそれが違反される確率の限界（上限）を持
つ。重要な目標として、最善努力型トラヒックに割当て
ることができる帯域幅を、ＱｏＳクラスの要件をぎりぎ
りに保障しながら、最大化することが目指される。これ
を達成するために、ＧＰＳスケジューリングでは、追加
の特徴として、各接続の帯域幅のシェアは、指定される
値、つまり、解析によって決められる設計パラメータに
制限される。この方式では、ソースは、従来のジュアル
リーキーバケット規制を受ける。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、通信網におけるト
ラヒックを調節するための分野に関する。より詳細に
は、本発明は、一般化されたプロセッサ共有（generali
zed processor sharing（GPS）スケジューラ、より詳細
には、異なるサービス品質（ＱｏＳ）のクラスを統計的
に多重化するＧＰＳスケジューラに関する。

【０００２】

【従来の技術】通信網は、トラヒック（例えば、デー
タ、音声、テキスト、および／あるいはビデオなどの情
報を表す信号）を網に接続されたエンドポイント（例え
ば、ホストマシーン、ファックスマシーン、端末など）
の間で伝送あるいは運ぶための一手段である。網は、複
数のノードから構成され、各ノードは、リンクによっ
て、互いに結ばれ、エンドポイントに接続される。典型
的には、各リンクは、双方向であり（つまり、トラヒッ
クが順方向と逆方向に運ばれあるいは伝送され）、各リ
ンクは、各方向において、所定のパラメータ、例えば、
帯域幅あるいは容量を持つ。ノードは、望ましくは、バ
ッファを備え、リンクがノードの所に受信されるトラヒ
ックを運ぶための十分な利用可能な帯域幅を持たない場
合は、受信されたトラヒックは、ノードに設けられたバ
ッファに十分な帯域幅が空くまで格納される。

【０００３】網がトラヒックを広いエリアを越えてエン
ドポイントの間で、高信頼、高伝送速度にて運ぶ用途に
用いられる機会はますます増大している。この使用の増
加に伴って、網のサービスおよびアーキテクチャ／イン
フラストラクチャの設計には大きな変化が起こってい
る。より具体的には、幅広いレンジの新たな大衆向けお
よびビジネス向けのサービス、例えば、ビデオ・オン・
デマンドやビデオ電話会議が広帯域サービス統合デジタ
ル網（ＢＩＳＤＮ）やインターネット電話上に提供され
ることが期待されている。これら新たなサービスは、幅
広いレンジのトラヒック特性を持つことに加えて、多様
なサービス品質（ＱｏＳ）要件（例えば、網間遅延の上
限や、情報損失率の上限）を持つ。ＢＩＳＤＮ網内での
伝送のための主要な技法は、非同期転送モード（ＡＴ
Ｍ）である。ＡＴＭの詳細については、例えば、Minze
r,“Broadband ISDN and Asynchronous Transfer Mod
e",IEEE Comm.Mag.,pp.17-24,September 1989を参照さ
れたい。他の伝送技法には、とりわけ、インターネット
プロトコル（ＩＰ）が含まれる。

【０００４】ＡＴＭ網を通じてトラヒックを運びたい場
合は、発信エンドポイントは、網を通じて発信エンドポ
イントと指定される宛先エンドポイントとの間に、双方
向経路（つまり、複数のノードとリンクから構成される
接続）を設定することをリクエストする。ＡＴＭ網にお
いては、発信エンドポイントは、単に、宛先エンドポイ
ントを指定し、網が、トラヒックを発信エンドポイント
から宛先エンドポイントにあたかもそれらエンドポイン
トが直接回路によって接続されているかのように運ぶ。
このため、ＡＴＭ網では、設定される経路は“仮想回路
（ＶＣ）と呼ばれるが、ここでは、ＶＣ（仮想回路）も
接続とも称される。インターネットプロトコル網では、
接続は定義されず、代わりに、パケットがどのフローに
属するか識別される。

【０００５】許可制御方針は、網が、例えば、新たな仮
想回路（ＶＣ）を設定するリクエストを許可（収容）で
きるか否かを管理する。許可の判定は、典型的には：
（１）運ばれるトラヒックの特性を記述するトラヒック
記述子（例えば、平均帯域幅およびバースト性）および
（２）そのトラヒックに対するサービス品質の要件、に
基づいて行なわれる。許可の判定においては、加えて、
そのリクエストに答える（を収容する）ために利用可能
な網内の資源（例えば、リンク内の使用されてない帯域
幅や、ノード内の使用されてないバッファの量）も考慮
される。許可をリクエストするに当たっては、典型的に
は、網に対して、トラヒック記述子が指定あるいは提供
される。網は、（指定されるトラヒック記述子に基づい
て）、そのリクエストに割当てるべき網資源の量を決定
（計算）し、この決定に基づいて、そのリクエストを許
可するか否か決める。リクエストが許可された場合は、
網との間で“契約（contract）”が結ばれる。つまり、
網は、トラヒックに伝送する際に、そのトラヒックが指
定されるトラヒック記述子の限度内に納まる限り、指定
されたサービス品質を保障することを約束する。ＡＴＭ
あるいはＩＰ網の性能は、許可された接続がそれらの契
約をどの程度守るかによって決まる。例えば、あるエン
ドポイントが網に契約仕様を超える情報を供給し、この
ために輻湊が発生し、結果として、網を流れるトラヒッ
クに統計的変動を起こすことがあるが、このような変動
は、網の性能を劣化させたり、網内の他の接続のサービ
ス品質のレベルに影響を与えたりする。このため、網
は、典型的には、各接続上のトラヒックを監視あるいは
制御し、各接続が契約を満たすことを保障する。

【０００６】網上のトラヒックおよび割当てられた資源
を監視および制御するための様々な技法が提唱されてい
る。一般化されたプロセッサ共有（Generalized Proces
sorSharing：GPS）方式は、将来のインターネットプロ
トコル（ＩＰ）ルータおよびＡＴＭスイッチにおいて用
いるためのパケットスケジューラの基礎を提供する。Ｇ
ＰＳの詳細に関しては、例えば、S.Keshav,An Engineer
ing Approach to Computer Networking,Addison-Wesle
y,Reading,MA,1997; G.Kesidis,ATM Network Performan
ce,Kluwer,Boston,MA,1996; D.Stiliadis and A.Varma,
“Rate-proportional servers: A design methodology
for fair queueing algorithms",IEEE/ACM Trans.Netwo
rking 6,April 1998,pp.164-74; D.Stiliadis and A.Va
rma,“Efficient fair queueing algorithms for packe
t-switched networks",IEEE/ACM Trans.Networking 6,A
pril 1998,pp.175-85などを参照されたい。ＧＰＳスケ
ジューラは、セルをサービスするやり方、つまり、セル
をいつどのように、各接続に設けられたバッファから、
所定の総リンク帯域幅を持つリンク上に送り出すかを定
義する。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】現在受け入れられてい
るＧＰＳスケジューラの設計、およびこれを用いて網を
制御するアプローチでは、ＱｏＳ要件は、決定論的に保
障される。これとの関連では、ParekhおよびGallagerの
研究および限界（bounds）が、重要で、オリジナルであ
るため、詳しくは、A.K.Parekh,“A generalized proce
ssor sharing approach to flow control in integrate
d services network",PH.D.dissertation,LIDS-TH-208
9,MIT,Feb.1992; A.K.Parekh and R.G.Gallager,“A ge
neralized processor sharing approach to flow contr
ol -The single node case", IEEE/ACM Trans.Networki
ng 1,June 1993,pp.344-57; およびA.K.Parekh et al.a
nd R.G.Gallager,“A generalized processor sharing
approach to flow control inintegrated services net
work -The multiple node case", IEEE/ACM Trans.Netw
orking ,April 1994,pp.137-50を参照されたい。ただ
し、ロスレス（無損失／違反）マルチプレキシングを用
いる決定論的限界（bound）は、過剰に保守的となり、
このため、容量が制限され、このアプローチを実際の網
の設計および動作のための手引きとして用いることには
問題があると、一般的に認識されている。

【０００８】

【課題を解決するための手段】決定論的ＱｏＳ保障の制
約を解決するために、本発明は、統計的ＱｏＳ保障、お
よび統計的マルチプレキシングに基づくＧＰＳスケジュ
ーリングおよび網制御に対するアレームワークを展開す
る。我々は、異なるタイプのＱｏＳクラスの接続内の動
作ポイントを、非常に小さなレパートリ（数）にて、最
大限にカバーすることができるＧＰＳ重みの設計を提唱
し、加えて、これと関連して、接続許可制御（ＣＡＣ）
の設計を提唱する。これによって、典型的には、大きな
容量の利得（改善）が達成される。

【０００９】ここでの説明および結果は、エンド・ツウ
・エンドの枠組みでＱｏＳ保障を行なうことに向けられ
ているが、ただし、これらの結果は、ＩＰ網を含めて、
ＱｏＳ保障が要求されるどのようなスケジューリング問
題にも適用できるものである。ここでは、我々は、２つ
の異なるＱｏＳクラスと、第三の最善努力型クラスが混
在する状況を想定する。これら３つのクラスは、しばし
ば、産業界においては、金、銀、銅ＱｏＳ保障と呼ばれ
る。各ＱｏＳクラスは、指定されるエンド・ツウ・エン
ド遅延要件と、その違反あるいは損失（呼損）の確率に
関する典型的にはかなり小さな限界（ｂｏｕｎｄ）を持
つ。我々のフレームワークにおいては、最善努力型トラ
ヒックの役割は非常に重要であり、我々の上位の目的
は、可能な限り多くの帯域幅を、ＱｏＳクラスの保障は
必要最小限に押さえ、最善努力型トラヒックに割当てる
ことに向けられる。

【００１０】本発明の研究は、主として、サービスを規
制するためにＧＰＳを用いる単一ノードに向けられる
が、ただし、本発明の手続きは、エンド・ツウ・エンド
経路上の各ノードにも適用される。ただし、後者の場合
は、後に説明するように、各ノードに流れるトラヒック
は、ピーク速度を規制されるとともに、他の条件が付け
られる。

【００１１】より詳細には、我々は、２つのＱｏＳクラ
スのＫ＝（Ｋ₁，Ｋ₂）個の接続あるいはソースが存在
し、各接続が、クラスｊの接続に対して、φ_jおよびＰ₀
^(j)なるスケジューリングパラメータを持つような網環
境を想定する。ここで、重みφ _jは、他の接続の重みと
の関係で、その接続の帯域幅のシェア（配分）を決め
る。ただし、これは、ピーク速度Ｐ₀ ^(j)を超えることは
許されない。我々の単一ノードのケースの解析は、最初
は、ピーク速度の規制が行なわれない枠組みで遂行され
る。次に、この解析に基づいて、ピーク速度規制が適用
されている条件に対して適当なＰ₀ ^{( ・ )}が選択される。ク
ラスｊに対するＱｏＳパラメータは、遅延限界Ｄ_jと、
損失（違反）確率Ｌ_jから構成される。典型的な実施例
では、クラス依存性が重要な役割を演じ、音声タイプの
クラス１に対しては、遅延限界Ｄ₁は、小さく、損失
（違反）確率Ｌ₁は、大きく選択され、逆に、プレミア
ムデータタイプのクラス２では、遅延限界Ｄ₂は、大き
く、損失（違反）確率Ｌ₂は、小さく選択される。

【００１２】ソースは、流体速度過程としてモデル化さ
れる。ただし、ソースは、ある時点では、本来の流体速
度過程から離れて、ジュアルリーキーバケットのパラメ
ータ（ｒ，Ｂ_T，Ｐ）に従うものとしてモデル化され
る。ここで、ｒとＰは、それぞれ、平均速度制約とピー
ク速度制約を表し、Ｂ_Tは、トークンバッファサイズを
表す。これは、オン−オフ過程であり、我々は、この過
程を極大に規制されたソース過程と呼ぶ。この極大に規
制されたソース過程においては、伝送は、トークンバッ
ファが一杯になった瞬間から、ピーク速度にて開始さ
れ、バッファが空になるまで継続され、バッファが空に
なった時点で、この過程はオフとなり、この状態にトー
クンバッファが再び一杯になるまでとどまる。

【００１３】単一ノードの解析は、２つのフェーズ（段
階）に分けて行なわれる。つまり、最初に、ロスレスマ
ルチプレキシングについて考察され、続いて、統計的マ
ルチプレキシングについて考察される。ロスレスマルチ
プレキシングでは、ソースは、互いに依存（collude：
談合）することを想定され、このケースでは、上述のオ
ン−オフ過程は、本来の流体速度過程から大きく逸脱す
ることとが示される。このフェーズは、遅延制約が追加
される点を除いては、決定論的保障に対する通常の解析
と平行する（同一である）。この解析の第二のフェーズ
においては、（１）ソースは、依存（談合）のないソー
ス（non-colluding sources）であるものと想定される
（この想定では、ソースは、統計的に独立で、個々のソ
ースの速度過程は一様な分布のランダム過程であるとみ
なすことができる）。さらに、第二のフェーズでは、
（２）割当てられた資源の利用されない部分を活用する
ことが想定される（この利用されない部分は、ロスレス
マルチプレキシングでは活用されない）。

【００１４】ＧＰＳ重み（φ₁，φ₂）あるいは、より具
体的には、φ＿φ₁／φ₂なる比（我々は、これも重みと
呼ぶ）は、以下のようにして選択される。第一のステッ
プにおいて、許容可能な集合Ａ（φ）が決定（計算）さ
れる。これは、より具体的には、固定されたφに対し
て、各接続の統計的ＱｏＳが満たされるような全ての
（Ｋ₁，Ｋ₂）の集合から構成される。許容可能な集合の
サイズおよび形状は重みに強く依存する。GPS重みと、
様々なクラスのトラヒックおよびＱｏＳパラメータとの
間のマッチングがうまく行なわれないような状況が発生
することがある。例えば、φが、過大にすぎる場合は、
許容可能な集合がクラス２の接続のＱｏＳ要件のために
制限され、このため、このサイズが小さくされ、相対的
に数の少ないクラス１の接続が、それらの要件を超える
ＱｏＳ（帯域幅）を受けるような状況が発生する。重み
が適正に設計されてない場合は、資源の割当てがうまく
行なわれず、シェア（共有）が機能しなくなる。

【００１５】ＧＰＳ設計の重要な概念に、実現可能な集
合Rがある。これは、より具体的には、ある重みφに対
する許容可能な集合内に含まれる全ての（Ｋ₁，Ｋ₂）の
集合から構成される。つまり、実現可能な集合は、許容
可能な集合Ａ（φ)の全てのφに渡っての和（集合）を
表す。実現可能な集合の役割は、以下の通りである：例
えば、外部（トラヒックや市場）条件が変化し、接続内
のポイント（Ｋ₂，Ｋ₂）の近傍に位置する隣接（ノー
ド）が必要となった場合、隣接（ノード）が実現可能な
集合Ｒ内に含まれるときは、インバースプロブレム（in
verse promlem）を解くことで、適当な重みを得ること
ができる。外部状態が変化すると（これは、典型的に
は、低速な時間スケールにて起こる）、ＧＰＳ重みも、
これに対応して変えられる。ただし、現在は、一見した
所、この概念は理論的な価値しかもたず、実際面での重
要性はあまりないように思われている。これは、全ての
実現可能な集合Ｒを実現するためには、原理的には、多
数の、おそらくは、無数の、重みの間でのスイッチング
（切り替え）が必要となるためである。ところが、本発
明の主要な貢献の一つとして、実際的な設計アプローチ
にて、実現可能な集合Ｒのほとんどを、たった一つもし
くは２つの重みにて実現できることが開示される。これ
らは、臨界重み（critical weights）φ_c ⁽¹⁾、φ_c ⁽²⁾と
呼ばれ、これらを計算するための単純な手続きが開示さ
れる。

【００１６】上述のように、我々のアプローチでは、１
つもしくは２つの臨界重みが用いられるが、幾つの重み
が要求されるかを決定することが必要となる。このため
に、我々は、両方のクラスのトラヒックおよびＱｏＳパ
ラメータを持つ系全体を、φ _c ⁽¹⁾≦φ_c ⁽²⁾であるか否か
に基づいて、“実質的に均質な（Effectively Homogene
ous）”な系と、“実質的に均質でない（Effectively N
on-Homogeneous）”系のいずれかに分類する。前者は、
温和なケースであり、このケースでは、２つの臨界重み
の中間の重みが適正な重みとして選択される。つまり、
このケースでは、１つの重みで、殆ど全ての実現可能な
集合Ｒを実現することができる。後者のケースでは、実
現可能な集合Ｒを実現するためには、２つの臨界重みの
間でスイッチングすることが必要となる。このスイッチ
ングは、上述のように、外部トラヒック状態の変化に応
じて低速な時間スケールにて起こるが、この低速なスイ
ッチングは、この解析における定常状態が存在するとい
う暗黙の想定に矛盾するものではない。数値実験から、
実質的に均質な系ではあるが、ただし、クラスによっ
て、トラヒックおよびＱｏＳのパラメータにかなり差が
ある実例が知られている。

【００１７】我々の数値実験では、幅広いレンジのトラ
ヒックおよびＱｏＳパラメータが考察される。ここの報
告される単一ノードに関する結果は、我々の設計問題に
対する実際（実用）的なアプローチを支持する。つま
り、我々の手法においては、許容可能な領域と実現可能
な領域の境界が小さな区分に分けて線形近似されるが、
このアプローチを支持する。結果は、さらに、ほとんど
全ての実現可能な集合Ｒを実現するために、一つもしく
は二つの重みで十分であるという我々の主張を支持す
る。最後に、これら結果は、統計的ＱｏＳ保障を用いた
場合、決定論的あるいはロスレスＱｏＳ保障を用いた場
合と比較して、大きな容量利得が達成されることを示
す。

【００１８】ネットワークワイドの背景では、本発明
は、運ばれる最善努力型トラヒックを、ＱｏＳクラスの
要件を満たしながら、最大化することを目指す。主とし
てこのことを主な動機として、ＧＰＳスケジューラの出
力のピーク速度が規制される。ＧＰＳの出力は、許可さ
れたＱｏＳクラスの接続に、それらのＱｏＳ要件がちょ
うど満たされるだけの資源が割当てられるように規制さ
れる。さらに、遅延予算に関する選択、つまり、エンド
・ツウ・エンド遅延を、その接続の経路内のノードにど
のように割当てるかについても考察される。一つの魅力
的なオプションとして、全ての遅延予算を経路内の第一
のノードに割当てる方法が提唱される。ＧＰＳの枠組み
では、本発明の一つの魅力は、とりわけ、ＧＰＳ設計に
は複雑さが伴うが、ここに詳細に開示される解析を適用
することで、これに対応できることである。つまり、こ
の適用なしでは、たとえ、本発明の単一ＧＰＳノードに
関する解析の基本的な枠組みは無傷でも、扱われるクラ
スの増加に伴って、ＧＰＳ設計問題が複雑化し、対応で
きなくなる。本発明の特徴および長所が本発明の以下の
詳細な説明を読むことで一層明白になるものである。

【００１９】

【発明の実施の形態】本発明の方法の以下の詳細な説明
は、以下のセクションから構成される。セクション１で
は、序論および背景事実について概説する。セクション
２では、従来の技術が依拠するロスレスマルチプレキシ
ング（無損失／無違反）（lossless multiplexing ）と
決定論的保障（deterministic guarantees）について触
れる。セクション３では、本発明による統計的マルチプ
レキシング（statistical multiplexing）と一般化され
たプロセッサ共有（generalized processor sharin
g、、GSP）方式（スケジューラの設計）を、単一ノード
解析に基づいて解説する。セクション４では、数値研究
の結果を示し、セクション５では、エンド・ツウ・エン
ド設計および性能について述べる。最後に、結論がセク
ション６で述べられる。

【００２０】１．序論および背景事実 １．１ フロー、速度、ジュアルリーキーバケットレギ
ュレータ ここでは、ジュアルリーキーバケットレギュレータ（du
al leaky bucket regulator：流体が両側から漏れるバ
ケツをモデル化したレギュレータ）の幾つかの基本的な
量（ｒ、Ｂ_T、Ｐ）と、動作について復習する。ここ
で、ｒは、トークン（平均）速度を表し、Ｂ_Tは、トー
クンバッファサイズを表し、Ｐは、ピーク速度を表す。
トラヒック流は、このセクションと明細書全体を通じ
て、流体フローとしてモデル化される。Ｕ（ｔ）および
Ｒ（ｔ）は速度過程を表すものと想定される。ここで、
Ｕ（ｔ）はソースから供給される速度過程を表し、Ｒ
（ｔ）は、適合（規制された）過程(conforming proces
s)を表し、これがレギュレータにて網に供給（パス）さ
れる。さらに、Ａ_U（ｔ，ｔ＋τ）およびＡ_R（ｔ，ｔ＋
τ）は、期間［ｔ，＋τ］における、それぞれ、Ｕおよ
びＲ速度過程に対する総フローを表すものとする。この
とき、速度と総フローとの間には、以下の関係が成り立
つ。

【数７】 適合過程（レギュレータにて規制された過程）Ｒ（ｔ）
は、以下の基本的な関係にて記述することができる：

【数８】 式（１．２）において、ｚ（ｔ）は、時間ｔにおけるト
ークンバッファ内のトークン量（コンテント）を表す。
ｚ（ｔ）を支配（記述）する式は、以下の通りである：

【数９】

【００２１】こうして、規制された速度過程Ｒ（ｔ）
は、以下のような制約を持つことを証明できる：

【数１０】

【００２２】後に明らかとなるように、このジュアルリ
ーキーバケットレギュレータを、等価的に３つのチュー
プル（ｒ，Ｑ，Ｐ）によって記述する便利である。ここ
で、Ｑは、最大バーストサイズを表し、Ｑ△ＰＢ_T／
（ｐ−ｒ）にて与えられる。

【００２３】１．２ 出力規制を備えた一般化されたプ
ロセッサ共有 図１は、一般化されたプロセッサ共有（generalized pr
ocessor sharing、ＧＰＳ）スケジューラの機能図を示
す。各接続１００のトラヒックは、ジュアルリーキーバ
ケットにて規制された後に、ＧＰＳノードに到着する。
各ＧＰＳノードにおいて、各接続には、バッファ１１０
が設けられ、この出力は、ピーク速度の規制を受ける。
この枠組みでは、２つのＱｏＳクラスの接続１２０が存
在し、帯域幅Ｃを共有する。（ここでは、帯域幅Ｃは、
総リンク帯域幅から最善努力型トラヒックに割当てられ
る帯域幅を差し引いた量を表す）。クラスｊ（ｊ＝１，
２）の各接続は、接続へのサービスをスケジュールする
ために用いられる２つのパラメータ、つまり、φ_jと、
Ｐ₀ ^(j)を持つ。重みφ_jは、他の接続と関連する重みと
の関連で、その接続の帯域幅のシェア（配分）を定め
る。ただし、これは、Ｐ ₀ ^(j)を超えることは許されな
い。このため、接続に設けられたバッファ（図１参照）
からの出力速度は、Ｐ₀ ^(j)を超えることはない。我々の
研究から見たとき、バッファのサイズ、｛φ_j｝および
｛Ｐ₀ ^(j)｝は、設計パラメータであり、本発明は、これ
を決定することに関する。最善努力型トラヒック（図１
には示されない）には、固定量の帯域幅がその排他的使
用のため割当てられることに、加えて、最善努力型トラ
ヒックは、ＱｏＳクラスの接続によって利用されなかっ
た余剰の帯域幅へのアクセスが許される。このため、Ｑ
ｏＳクラスは、最善努力型トラヒックについては、特に
気にしない。最善努力型トラヒックと関連する問題につ
いては、後に、セクション５において扱われる。

【００２４】ＧＰＳスケジューラ１３０は、出力ピーク
速度の規制との関連では、保守的に機能し、クラスｊの
接続に割当てられる帯域幅は、最小でも、以下の通りと
なる：：

【数１１】 ここで、ξ_i ^(j)は、クラスｊのｉ番目の接続に対するシ
ンジケータ変数を表し、これは、その接続が帯域幅を必
要とする場合は１の値と取り、必要としない場合は０の
値を取る。

【００２５】１．３ Chernoff近似 Chernoffの大きな偏差の近似法（large deviations app
roximation ）（詳しくは、P.Billingsley,Probability
and Measure,2nd ed.(Wiley,New York) 1986；N.R. an
d J.Sethuraman,“Strong large deviation and local
limit therorems",Ann.Prob. 21:(3),1993,p.1671-90;
V.V.Petrov,“On the probabilities oflarge deviatio
ns for sums of independent random variables",Theor
y Probab.Applicat.10,1965,pp.287-89を参照）は、バ
ッファを備えないマルチプレキシングシステムにおける
損失（呼損）を推定するための有効な技法である。ここ
に与えられる手続きは、J.Y.Hui,“Resource allocatio
n for broadband networks",IEEE J.Select.Areas Comm
un.6,1988,pp.1598-1608；およびF.P.Kelly,“Effectiv
e bandwidths at muli-type queues",Queueing Systems
9,1991,pp.5-15に依拠する。以下を考える：

【数１２】 ここで、総瞬間需要Uは

【数１３】 によって与えられ、ここで、｛ｕ_jk｝は、独立なランダ
ムな変数を表し、｛ｕ_jk｝_kは、各ｊに対して均等に配
分される非負値を表す。ここでの議論では、J個のソー
スクラスが存在し、クラスｊに対しては、Ｋ_j個のソー
スが存在するものと想定される。Ｃは、ノード帯域幅を
表し、Ｐ_lossは、損失（違反）が発生する時間の割合
（率）を表す。Ｐ_lossと関連する他の性能尺度について
は、Performance Evaluation and Design of Multiserv
ice Networks,ed.J.W.Roberts,Commission of the Euro
pean Communities,Final Rep.COST 224 project,1992に
おいて議論されているために、これを参照されたい。瞬
時負荷ｕ_jkは、以下の積率母関数（moment generating
function）を持つものと想定する：

【数１４】 さらに、安定条件

【数１５】 を想定し、これ以外の場合は、損失は存在しないものと
想定する。次に、Chernoffの限界（bound）を低次細分
（lower order refinement）にて挿間（補正）すること
で、スケーリングＫ_j＝γ_jＣに対する以下の近似が得ら
れる。ここで、γ _j＝０(1)、Ｃ→∞とすると、以下の事
実が得られる。

【００２６】事実１：

【数１６】 ここで、

【数１７】

【００２７】この明細書の後の部分は、我々は、ｕ
_jkが、０と１の値を取る独立なオン−オフランダム変数
であり、Ｅ（ｕ_jk）＝ｗ^(j)、つまり、

【数１８】 であるケースに遭遇する。さらに、

【数１９】 であるものと想定すると、以下の事実が得られる。

【００２８】事実２：複数のクラスが存在する場合のＰ
_lossに対するChernoffの近似式は、以下によって与えら
れる：

【数２０】 ここで、ｓ^*は、この等式に対する一意の正の実数解を
表し、

【数２１】 が成り立つ。

【００２９】非常に興味深いのは、単一ソースクラスに
特化して、Chernoff式を漸近的に近似することで得られ
る以下の明示的な式である。ここでの議論では、クラス
のインデックスｊは落とされる。

【００３０】事実３：

【数２２】

【００３１】本発明において報告される数値結果は、上
述の事実２および３の式を用いている。結果に対して特
別な必要性はないが、Chernoffの近似Ｐ_loss〜ｅｘｐ
（−Ｆ（ｓ^*））を最大化する独立なランダム変数の分
布に関するマルチクラスの枠組みでの結果についても簡
単に言及しておと、（詳細については、D.Mira and J.
A.Morrison,“Multiple time scale regulation and wo
rst case processes for ATM network control",in Pro
c.34th Cinf.on Decision and Control,1995,pp.353-58
を参照されたい）、ランダム変数ｕ_jkが、ｅ₀ ^(j)なるピ
ーク制約を受け、平均がｒ^(j)なる限界を持つものと想
定した場合、結果は、指数関数的なChernoffの近似は、
０とｅ₀ ^(j)の値を取り、ｒ^(j)なる平均を持つオン−オ
フランダム変数にて最大化されることを示す。

【００３２】２．ロスレス（無損失／違反）マルチプレ
キシング（Lossless Multiplexing） このセクションでは、単一ノードで、ＱｏＳ保障は決定
論的である（つまり、損失（違反）は存在しないか、あ
るいは遅延要件の違反が許されるかのいずれか）ケース
について考察する。遅延の限界は接続のクラスに依存す
る。次のセクションで扱われる統計的マルチプレキシン
グは、ここで築かれる基礎に基づいて拡張されたもので
あり、後に示される数値結果では、統計的マルチプレキ
シングから得られる容量が、ロスレスマルチプレキシン
グから得られる容量と比較される。各接続に設けられた
バッファ出力のピーク速度規制はこのセクションでの解
析では無視される。ここでは、もっぱらピーク速度の値
が決定される。

【００３３】２．１ 単一ソースシステム 最初に、無限の容量を持つバッファに供給される（流入
する）単一の規制を受けたトラヒック流Ｒ（ｔ）２００
が存在し、バッファ２１０は、容量、つまり、帯域幅ｃ
（ｃ＞ｒ）を持つトランクによって扱われるものと想定
する。以下の説明では、図２と、セクション１．１の説
明も参照されたい。

【００３４】系のバッファの量（コンテント）は、ｖ
(t)によって表されるものとする。このサブセクション
の主な目標は、系のバッファの量の最大値を求める単純
な式を導くことにある。ここでの我々の目的に対して
は、トラヒック流Ｒ（ｔ）は、規制されており、このた
め、任意の時間期間［ｔ，ｔ＋τ］における総フローＡ
_R（ｔ，ｔ＋τ）には限界があり、このため、以下の式
が成り立つものと想定される：

【数２３】 式（２．１）における“ｍｉｎ”オペレーション（演
算）は、図２の略図の“ｊｏｉｎ”によって遂行され
る。

【００３５】定理１： 全てのｔに対して、以下が成立
する。

【数２４】 証明：明らかに、ｖ(t)の最大値は、バッファのビジー
期間において発生する。ｔ₀がビジー期間の開始時に対
応し、つまり、ｖ(ｔ₀）＝０であり、ｖ(ｔ₀＋）＞０で
あるものと想定する。図３からわかるように、ビジー期
間においては、期間［ｔ₀，ｔ₀＋τ］におけるバッファ
内への総フローは、式（２．１）より、以下の限界を持
つ：

【数２５】 他方、仮定から、期間［ｔ₀，ｔ₀＋τ］は、ビジー期間
に含まれるために、バッファから流れ出る総フローは、
少なくともｃτに等しく、この差ｖ￣（τ）が、バッフ
ァのビジー期間におけるバッファの量の限界（上限）と
なる。従って、τ≧に対して、以下が成り立つ：

【数２６】 こうして、証明は終わる。

【００３６】式（２．２）の結果は、タイトな値であ
る。つまり、これは、以下に詳しく述べられる極大に規
制されたソース過程（extremal regulated source proc
ess）によって実現される限界である。つまり、この速
度過程は、トークンバッファが満杯になった時点でター
ンオンしてピーク速度Ｐによる送信を開始し、トークン
バッファが空になった時点でターンオフし、トークンバ
ッファが再び満杯になったときにこのサイクルが再開さ
れる。この極大（に規制されたソース）過程は、以下に
よって与えられるＲΩ（ｔ）にて表現することができ
る：

【数２７】 ここで、Ｔ_on≦Ｂ_T／（Ｐ−ｒ）およびＴ_off＝Ｂ_T／τ
である。さらに、Ｔ＝Ｔ_{o n}＋Ｔ_offおよびソース活動フ
ァクタω_Ω＝ｒ／Ｐが想定される。

【００３７】式（２．４）にて示されるように、バッフ
ァの量の限界はｂによって与えられるが、ｂは、帯域幅
変数ｃの関数、つまり、ｂ＝ｂ（ｃ）と見ることができ
る。図３から、バッファは、Ｄ_onにて区切られる期間に
おいては、空でないことがわかる。ここで、Ｄ_onは、以
下によって表現される：

【数２８】 同様にして、帯域幅ｃが、ソースとして見た場合は、バ
ッファが空でないこの同一の期間において利用される。
入力が極大に規制されたソース過程Ｒ_Ω（ｔ）である場
合は、この期間は、バッファと帯域幅が利用されてない
長さＤ_offなる期間の後に起こる。ここで、Ｄ_offは、以
下によって表現される：

【数２９】 こうして、この入力過程に対しては、バッファと帯域幅
が利用されている時間の割合（率）は、以下によって与
えられる：

【数３０】

【００３８】２．２ マルチプレキシングおよびＧＰＳ
設計 以下では、ＧＰＳシステムにおけるロスレスマルチプレ
キシング、重み（φ₁、φ₂）の設計、およびこれら重み
が、許容可能な集合（addmissibe set）と実現可能な集
合（realizable set）に与える影響について考察する。
QoS要件として、（１）損失（違反）は存在しない、
（２）クラスｊ（ｊ＝１，２）に対する最大遅延は、Ｄ
_jを上限とする、という要件が想定される。以下では、
実現可能な集合Ｒ₀が導かれるが、これは、これに対し
ては、ＱｏＳ要件が満たされるような重みが存在するソ
ースＫ＝（Ｋ₁，Ｋ₂）の集合である。

【００３９】上述のように、単一ソースシステムでは、
帯域幅ｃが割当てられた場合、バッファの量は、最大で
も、ｂ（ｃ）となる（式２．２参照）。従って、遅延
は、最大でも、ｂ／ｃとなり、このため、遅延が最大で
ＤであるというＱｏＳ要件は、以下が成立すれば、満た
されることとなる：

【数３１】

【００４０】図４に示すように、式（２．２）および式
（２．８）を満たす帯域幅ｃの最小値は、ｅ₀となり、
対応する損失（違反）が発生しないバッファのサイズ
は、ｂ₀となる。以下では、暗黙の了解の内に、Ｄ≦Ｂ_T
／ｒであるものと想定される。さもなければ、（ｅ₀，
ｂ₀）＝（ｒ，Ｂ_T）なる選択で十分である。従って、以
下が成り立つ：

【数３２】 我々は、ｅ₀のことを、ロスレスマルチプレキシングに
対する有効帯域幅と呼ぶ（下付きの添字は、ゼロ損失に
対するニーモニックである）。

【００４１】次に、ＧＰＳ重みの設計の説明に移る。最
初に、クラス１のソースに、タグを付け、例えば、ソー
ス１と呼ぶこととし、これは、アクティブである、つま
り、その帯域幅が利用されているものと想定する。こう
して、このタグ付ソースは、そのＱｏＳ要件を、それ
が、帯域幅ｅ₀ ⁽¹⁾、つまり、クラス１のソースに対する
ロスレスマルチプレキシングの有効帯域幅を受け取った
とき（割当てられたとき）満たすこととなる。このタグ
付ソースの公平な配分（fair share）は、少なくとも以
下となる：

【数３３】 ここで、Ｋ_jは、クラスｊのソースの数を表し、ξ_i ^(j)
は、クラスｊのソースｉに対するインジケータ変数を表
し、この変数は、ソースがアクティブであるときは１の
値を取り、そうでない場合は、０の値を取る。こうし
て、このアクティブなタグ付ソースの需要は、以下が成
り立つとき、満たされることとなる：

【数３４】 クラス２のタグ付きのアクティブにソースに対しても類
似の議論が成立する：

【数３５】 ＯｏＳが満たされるためには、上の２つの式が両方とも
成り立つことを要求される。

【００４２】我々は、この２つの条件に、次にセクショ
ンにおいて統計的マルチプレキシングについて考慮する
際に再び戻ることとなる。ただし、今の話題は、ロスレ
スマルチプレキシングであるため、以下では、全てのソ
ースのバーストが同時に起こる、つまり、時間上の共通
の点でアクティブとなる、稀ではあるが、ただし、可能
性は残されるケースについて考える。この最悪の場合の
シナリオにおいては、式（２．１２）および式（２．１
３）における全てのｊおよびｉに対して、ξ_i ^{( j)}＝１と
なる。このため、以下が成立する：

【数３６】 重みを以下のように選択することで

【数３７】 ソースの以下の許容可能な集合Ｋが実現される：

【数３８】 これを、我々は、Ａ₀にて表すものとする。この集合
は、これ以上は改善できないことを容易に証明すること
ができる。ゆえに、実現可能な集合（realizable set）
R₀、式（２．１５）に与えられる重みから得られる許容
可能な集合（addmissibe set）と一致することになる
が、これは、思いがけない幸運な事実である。

【００４３】上の誘導は、ＱｏＳを満たすための式
（２．１０）および式（２．１１）にて表現される十分
性に依拠することに注意する。このため、上述の実現可
能な集合は、温和なソース（benign sources）では、Ｒ
₀より大きくなる可能性がある。ここで、ＱｏＳを満た
すためには、セクション２．１において定義された、極
大に規制されたソース過程は、オン−オフ過程であり、
オンのとき、ｅ₀ ^(j)（ｊ＝１，２）なる値を取る帯域幅
需要過程を持つことを思い出して欲しい。この過程に対
しては、式（２．１６）にて表される許容可能な集合
は、簡単に証明できるように、最大値であり、この意味
で、式（２．１６）にて定義されるロスレスマルチプレ
キシングに対する許容可能な集合は、タイトなものであ
る。

【００４４】また、式（２．１５）および式（２．１
６）からわかるようにクラスｊのソースへの帯域幅割当
ては、ｅ₀ ^(j)となるが、これは、典型的には、通常の平
均速度r^(j)の割当てより大きくなることも注意する。こ
れは、勿論、通常は考慮されないＱｏＳ仕様における遅
延要件のためである。

【００４５】次に、我々は、各接続に設けられたバッフ
ァ出力のピーク速度規制を、クラスｊの接続に対して復
帰させる（適用する）ことを考える。クラスｊの接続に
対するピーク速度の自然な選択は、ｅ₀ ^(j)である。これ
は、この値が上述の解析およびＱｏＳを修正することを
必要としない最小な値であるためである。

【００４６】３．統計的マルチプレキシングおよびＧＰ
Ｓの設計：単一ノード解析 ここでは、我々は、統計的な観点を採用し、遅延要件が
満たされない小さな確率を許容する。我々は、この確率
を損失（違反）確率（loss probabilities）と呼ぶ。こ
の用語は、浸透している意味に加えて、バッファのサイ
ズが帯域幅割当との関係で決められ、利用できる帯域幅
が不十分な場合はバッファのオーバフローと遅延要件の
違反の両方が発生するようなシナリオも反映する。クラ
スｊに対するＱｏＳ要件は、Ｄ_jとＤ_jにて指定され、こ
こで、Ｄ_jは、上と同様に、遅延の限界を表し、Ｌ_jは、
損失（違反）確率を表す。統計的マルチプレキシングの
枠組みにおいては、ＧＰＳ重みの設計は、明らかに複雑
ではあるが、ＱｏＳ要件を満たすために要求される資源
とちょうど（ぴったりと）一致する資源を割当てるとい
う単純な目標の下で行なわれる。最後の最も重大な関心
事は、この設計が、非常に小さなセットの重みにのみ依
存すべきであるということである。これは、重みを頻繁
にスイッチングすることは、実現不能であるることに加
えて、定常状態が存在するというこの解析の暗黙の想定
に反するためである。

【００４７】このセクションの解析は、明らかなよう
に、各接続のバッファ出力のピーク速度が、クラスｊの
接続に対して、ｅ₀ ^(j)より小さくないような場合にのみ
出力規制されたGPSに適用する。我々の設計はこの前提
を保障し、このため出力規制はこの解析に対しては透明
であり、従ってこのセクションでは無視される。

【００４８】３．１ 統計的ＱｏＳ 極大に規制されたソース過程について考える。この過程
に対しては、セクション２において示したように、Ｑｏ
Ｓを満たすための帯域幅需要は、ｅ₀ ^(j)か０の値を取る
オク−オフ過程である。この過程を、クラスｊのソース
ｉに対して、ｕ _ji（ｔ）として表すと、ソースが統計的
に独立であるという前提から以下が成り立つ：

【数３９】 ここで、ｕ_ji（ｔ）は、期間Ｔ_jを持つ固定の周期的オ
ン−オフ関数を表し、これは、時間の部分ω^(j)、（１
−ω^(j)に対して、それぞれ、ｅ₀ ^(j)、０なる値を取る
（式２．７参照）（ここで、ω^(j)＝ｒ^(j)ｅ₀ ^(j)）。位
相θ_jiは、期間Ｔ_jに渡って一様に分布する独立なラン
ダム変数を表す。

【００４９】上述のモデルの結果として、活動インジケ
ータξ_i ^(j)は、以下によって表される独立な二項ランダ
ム変数となる：

【数４０】

【００５０】次に、式（２．１２）および式（２．１
３）におけるＱｏＳ要件に戻り、これらと対応する統計
的な式を得ると、以下のようになる：

【数４１】 ここで、Ｌ₁およびＬ₂は、小さなＱｏＳパラメータを表
す。クラス１に対するＱｏＳに関する式（３．３）にお
いては、Ｋ₁≧１であるものと想定され、同様に、クラ
ス２に対するＱｏＳ関する式（３．４）においては、Ｋ
₂≧１であるものと想定される。重要なことは、これら
両方の条件が同時に満たされることを要求されることで
ある。さらに、式（３．３）および式（３．４）を導く
アプローチは、式（２．１２）および式（２．１３）に
おいて行なわれたタグ付ソースがアクティブであるとい
う想定に基づくことに注意する。代替の尺度を用いるこ
とも容易であり、例えば、タグ付ソースの活動（アクテ
ィビィティ）の確率的挙動を導入することもできるが、
このような修正によって許容可能な領域（集合）が大き
く影響されることはないと期待される。

【００５１】３．２ 最大許容可能なソース（Maximum
Admissible Sources）あるいはコーナ点（Corner Point
s） Ｋ₁ ^-(1)、Ｋ₂ ^-(2)を、それぞれ、クラス１、２に対する
“ピンドコーナ点（pinned corner points）”と呼ぶ。
ここで、Ｋ_j ^-(j)は、クラスｊのＱｏＳが、他方の（相
補）クラスのソースが存在しないときに、満たされるよ
うなクラスｊのソースの最大数を表し、式（３．４）か
ら以下が成り立つ：

【数４２】 我々は、式（３．５）を簡単に表現するために以下の簡
略表記を用いる：

【数４３】 同様に、式（３．４）から、以下が成り立つ：

【数４４】 我々が、これらコーナ点を“ピンド（pinned）”と呼ぶ
理由は、これらが設計変数φ₁およびφ₂に依存しないこ
とによる。

【００５２】明らかなように、この設計は、φ_φ₁／φ
₂によって表される重みの比にのみ依存する。Ｋ
₂ ^-(1)(φ)、Ｋ₁ ^-(2)(φ)は、それぞれ、クラス１、２に
対する“設計コーナ点（design corner points）”を表
すものとする。ここで、Ｋ_i ^-(j)(φ)は、クラスｉのソ
ースの最大数を表し、こうして、φが固定されており、
他に一つのクラスｊ（ｊ＿ｉ）のソースが存在する場
合、つまり、Ｋ_j＝１である場合に、このソースが、ア
クティブなときに、そのＱｏＳを満たすたるに資源を受
けとることとなる。こうして、式（３．３）から以下の
式が成り立つ：

【数４５】 また、式（３．４）から、以下の式が成り立つ：

【数４６】

【００５３】式（３．６）〜（３．９）の左辺は、基本
的な単純であることに注意する。つまり、一つのクラス
しか関係せず、このため、セクション１．３、事実３に
おいて述べた単一クラスに対するChernoff近似を用いる
ことで、容易に評価することができる。また、我々のコ
ーナ点に対する表記法では、上付きの添字は、添字にて
表記されるクラスのＱｏＳが考慮されていることを示
し、下付きの添字は、添字にて表記されるクラスに対し
て、ソースの最大数が求められていることを示すことに
注意する。

【００５４】Ｋ₂ ^-(1)(φ)とＫ₁ ^-(2) ₍φ)の、以下の単調
性と範囲特性は、式（３．８）および（３．９）から自
明であるが、非常に重要である。より具体的には、Ｋ₂
^-(1)(φ)は、φが小さな値から大きな値に変化するとき
は、単調で、減少せず、Ｋ₁ ^{-( 2)}( φ)は、単調で、増加
しない。さらに、式（３．８）から、φ→∞とすると、
Ｋ₂ ^-(1)(φ)→∞となり、φ→０とすると、Ｋ₂ ^-(1)(φ)
→０となることがわかる。同様に、式（３．９）から、
Ｋ₁ ^-(2)(φ)も、φを、十分に小さく、あるいは十分に
大きくすることで、それぞれ、十分に大きく、あるいは
十分に小さくすることができる。要約すると、我々の設
計コーナ点では、以下が成り立つ。

【００５５】定理２： （１）Ｋ₂ ^-(1)(φ)は、φが増加したとき、レンジ
［０、∞］の範囲で、単調に増加し、低減しない。 （２）Ｋ₁ ^-(2)(φ)は、φが増加したとき、レンジ
［０、∞］の範囲で、単調に減少し、増加しない。

【００５６】上述の挙動は、一見した所では、常識に反
するように見える。ただし、良く考えると、φが増加す
ると、Ｋ₂ ^{￣ (1)}(φ）も増加することは納得できるもの
である。つまり、φを増加すると、クラス２のソースの
相対重みは低減するが、他方において、単一のクラス１
のソースに与えられる優先度（priority）と分離（isol
ation）を増加させ、従って、クラス２のソースの数の
増加と、単一のクラス１のソースのＱｏＳ保障とは一貫
する。φが小さく、減少しているときは、クラス２のソ
ースの数は、単一のクラス１のソースに対する帯域幅が
不足することを防止するために、より大きく制限するこ
とを要求され、このため、Ｋ₂ ^-(1)(φ）は、０に接近す
る。

【００５７】３．３ 臨界重み（Critical Weights） 次に、重みφの２つの特別な値として、φ_c ⁽¹⁾、φ_c ⁽²⁾
を導入する。これらは、臨界（限界）重み（critical w
eights）と呼ばれ、後の展開において重要な役割を演じ
ることになる。臨界重みφ_c ^(j)は、他方のクラスｊ_cソ
ースの数がＫ_jc ^{- (jc)}であり、従って、たった一つのク
ラスｊのソースのみが存在するときに、単一のアクティ
ブなクラスｊのＱｏＳが満たされるようなφに対する値
である。例えば、φ_c ⁽¹⁾は、以下の条件から得られる：

【数４７】 ここで、これは、既に得られているもの想定される。換
言すれば（等価的には）、φ_c ⁽¹⁾は、式（３．８）から
も得ることができ、以下によって与えられる：

【数４８】 一般的には、φ_c ^(j)に対する定義関係は、以下によって
表すことができる：

【数４９】 セクション１．３、事実３において与えられた単一クラ
スに対するChernoffの近似を用いると、臨界重みは、式
（３．１１）から簡単に計算することができる。

【００５８】この臨界重みの存在は、定理２から証明で
きる。例えば、φ_c ⁽¹⁾の場合は、式（３．８）および定
理２から、φが小さな値から増加されると、Ｋ
₂ ^{￣ (1)}(φ)が、下から与えられたレベルＫ₂ ^-(2)を交差
し、この交差が起こる所φの値がφ_c ^{(1 )}である。定理２
の単調性の特性から、φ≧φ_c ⁽¹⁾の場合、Ｋ₂ ^-(1)≧Ｋ₂
^-(2)となり、φが十分に大きなときは、後者の不等式は
狭義な意味で成立し、同様に、φ≧φ_c ^{( 2)}の場合、Ｋ₁
^-(2)≧Ｋ₁ ^-(1)となり、φが十分に大きなとき、後者の
不等式は、狭義な意味で設立することに注意する。

【００５９】３．４ 許容可能な集合（Admissible Se
t）および実現可能な集合（Realizable Set） これら２つの重要な集合は、上述の重みの役割を明らか
にする。Ａ^(j)(φ)が、与えられたφに対して、クラス
ｊのソースのＱｏＳの観点から許容可能であるソースＫ
の集合を表すものとする。つまり、Ａ^(j)(φ)は、以下
によって与えられるものとする：

【外１】 すると、許容可能な集合（admissible set）Ａ（φ）
は、以下のように定義される：

【外２】 次に、実現可能な集合（Realizable Set）Ｒが、以下の
ように定義される：

【数５０】 上述の各集合の境界を∂によって表すものとすると、∂
Ａ⁽¹⁾（φ)は、Ａ⁽¹⁾（φ)の境界を表すことになる。

【００６０】以下の結果は、実現可能な集合Rを計算す
るための手続きを与える。 定理３：Ｋ₂なるパラメータにて記述される境界∂Ｒ
は、式（３．４）および式（３．４）から、Ｋ₁とφを
解くことで得られ、ここでは、不等式の外側は等式にて
置換される。

【００６１】証明は、簡単で、背理法を用いて行なうこ
とができる。（Ｋ₁，φ）は、Ｋ₂を固定したときは、上
述の手続きから得ることがで、（Ｋ₁’，φ’）につい
ては、式（３．３）の等式が成立し、さらに、式（３．
４）の不等式が狭義な意味で成立し、さらに、Ｋ₁’＞
Ｋ₁が成立するものと想定する。式（３．４）に対応す
る２式の比較から、φ’＜φであることを推測できる。
ところが、この順序は、式（３．３）に対応する２式を
用いた場合、直ちに矛盾を与える。証明を完成させるた
めには、（Ｋ₁’，φ’）についても、それぞれ、式
（３．４）の不等式が狭義な意味で成立し、さらに、式
（３．４）の等式も成立する可能性を考慮する必要があ
る。ところが、この場合も類似する議論から矛盾を導く
ことができる。

【００６２】３．５ 許容可能な集合に対する線形近似 上で定義された許容可能な領域Ａ（φ）の境界は、典型
的には非線形である。ただし、我々の経験では、これ
は、シンプレックスにて、つまり、線形セグメントから
構成される境界を持つ領域にて良く近似できることがわ
かっており、我々の設計方式は、許容可能な領域の線形
近似に基づくて行なわれる。この近似は、少数のコーナ
点（２〜４個）にて完全に決定することができる。ｌ
^(j)φは、Ａ^{( 1)}（φ）（ｊ＝１，２）に対する線形近似
を表し、＿（φ）は、Ａ（φ）に対する線形近似を表す
ものとする。さらに、Ｒ_lは、許容可能な集合の線形近
似から得られる実現可能な集合Rの近似を表すものとす
る。ただし、Ｒ_l自身は、一般には、シンプレックスで
はない。後に述べる各ケースにおいて、実現可能な集合
の線形近似も展開されるが、ただし、ここでは、これら
エンティティについてのこれ以上の説明は控える。

【００６３】線形近似ｌ^(j)（φ）は、このコーナ点
を、Ａ^(j)（φ）のコーナ点と等しくし、次に、これら
コーナ点を線形セグメントにて結ぶことで構成される。
例えば、ｌ⁽¹⁾（φ）とＡ⁽¹⁾（φ）の境界は、共通にコ
ーナ点（Ｋ_l ^-(1)，０），（１，Ｋ₂ ^-(1)（φ））、およ
び（０，∞）を持つ。同様に、ｌ⁽²⁾（φ）とＡ
⁽²⁾（φ）の境界は、コーナ点（０，Ｋ₂ ^-(2)，（Ｋ₁
^-(2)（φ），１）、および（∞，０）を持つ。図面に
は、（０，∞）および（∞，０）は示されない。ｌ^(j)
（φ），∂ｌ^(j)（φ）の境界は、上述の３つのコーナ
点を結ぶ２つの線形セグメントから構成される（ただ
し、図面には１つのセグメントしか示さない）。最後
に、以下が求められる：

【数５１】 許容可能な集合の線形近似に基づく実現可能な集合の近
似は、Ｒ_lを与えるが、これは、以下によって表され
る：

【数５２】 詳しくは、図５の線形近似のスケッチを参照されたい。

【００６４】３．６ 重みが許容可能な集合に与える影
響の定量的な議論 φが大きな場合、つまり、クラス１のソースに与えられ
る相対重みが大きな場合は、式（３．９）から、Ｋ₁
^-(2)（φ）は小さくなることがわかる。つまり、単一の
アクティブなクラス２のソースが存在し、このソースの
ＱｏＳが問題とされている場合は、逆説（パラドック
ス）のように見えるが、許容可能なクラス１のソースの
数は小さくなる。さらに、この量（許容可能なクラス１
のソースの数）は、φが減少すると、増加する。図５参
照。

【００６５】クラス２のソースに対するＱｏＳの観点か
らは、この系は、事実上は、ハード分割（分配）され、
総帯域幅の小さな配分のみがクラス１のソースに割当て
られる。つまり、クラス２のＱｏＳを満たすためには、
重みの不釣り合いな選択を、帯域幅のこれと逆の不釣り
合いな配分にて補償することが必要となる。こうして、
クラス１のソースに大きな相対重みを与えると、許容可
能なクラス１のソースの数が増加するという期待は、ク
ラス２に対するＱｏＳの考慮のために裏切られる。

【００６６】φが大きなときは、φを低減すると、つま
り、クラス１のソースに与えられている相対重みを低減
すると、アクティブな単一のクラス２のソースの存在下
では、許容可能なクラス１のソースの数は、増加する。
この説明は、上述の議論に含まれている。図５（ａ）に
示すように、φが大きなときは、許容可能な領域の境界
は、点（Ｋ₁ ^{￣ (2)}（φ），１）と（Ｋ₁ ^-(1)，０）を含
み、加えて、Ｋ₁ ^-(2)（φ）》Ｋ₁ ^-(1)であることがわか
る。従って、許容可能なクラス１のソースの数は、単一
のアクティブなクラス２のソースの存在下では、Ｋ₁
^-(2)（φ）となる。式（３．９）および上述の議論から
明らかなように、Ｋ₁ ^-(2)（φ）は、φが減少すると、
増加する。

【００６７】このケースでは、重みの不適正な割当は、
クラス１のソースの数を小さくし、（クラス２のソース
が）要件を超えるＱｏＳを受けることとなることに注意
する。従って、過剰に大きなφは、共有を阻止すると同
時に、資源の誤った配分をもたらすこととなる。

【００６８】最後に、図５（ａ）の特徴に注意を向け
て、上述の議論をＫ₂ ^-(1)（φ）に関して行なった場合
に、対称的に得られる我々の結論を述べる。つまり、単
一のクラス１のソースのＱｏＳの観点を保障するため
に、φを大きくした場合、結果として、許容可能なクラ
ス２の数は大きくなる（式３．８）参照）。帯域幅の分
配から見ると、クラス２に割当てられる総帯域幅は大き
くなる。こうして、Ｋ₂ ^{-(1 )}（φ）が大きくなり、クラ
ス２のＱｏＳによって要求されるＫ₂ ^-(2)を超えるが、
この超える部分は、重みの不適正な割当てに起因する非
効率性の尺度となり得る。

【００６９】３．７ “実質的に均質(Effectively Hom
ogeneous)”なケース 上述のラベルに対する正当性が後に明らかになり、これ
は、設計の観点からは温和な(bengin case)であること
も明らかになる。温和なケースが図５（ｃ）〜（ｅ）に
示されるが、これは以下の条件のいずれかが成立すると
きに発生する：

【外３】

【００７０】定理４：以下の条件は等価である。 証明：式（３．２０）において、φ＝φ_c ⁽²⁾であり、式
（３．２１）において、φ＝φ_c ⁽¹⁾であることに注意す
る。これは、式（３．１２）から成り立つ。式（３．２
０）が成立すれば、Ｋ₂ ^-(2)≦Ｋ₂ ^-(1)（φ_c ⁽²⁾）とな
り、Ｋ₂ ^-(1)（φ）は、定理２に記述されるように、φ
が減少すると、単調に減少し、増加しないため、式
（３．１９）が成立する。式（３．１９）が成立すれ
ば、Ｋ₂ ^-(1)（φ）の上述の特性、および、Ｋ
₁ ^-(2)（φ）の、φが増加したとき、単調に減少し、増
加しないという挙動から、式（３．２１）が成立する。
類似の議論により、式（３．２０）を式（３．２１）か
ら導くことができる。

【００７１】定理２に要約されるＫ₂ ^-(1)（φ）および
Ｋ₁ ^-(2)（φ）の重要な単調性の特性から、許容可能な
集合の線形近似ｌ（φ）は、φ＜φ_c ⁽²⁾の場合、ｌ（φ
_c ⁽²⁾）が優勢となるという重要な事実が導かれる。つま
り、図５（ａ）および（ｃ）に示すように、以下とな
る：

【数５３】 同様にして、図５（ｂ）および（ｃ）に示すように、以
下が得られる：

【数５４】 こうして、我々は、以下を得る。

【００７２】定理５：許容可能な集合の線形近似を最大
化するためには、φを区間［φ_c ⁽¹⁾,φ_c ⁽²⁾］の外側に
選択することは、実質的に均質なケース（effectively
homogeneous case）においては望ましくない（得策でな
い）。

【００７３】次に、この（実質的に均質な）ケースにお
いては、区間［φ_c ⁽¹⁾，φ_c ⁽²⁾］内の全てのφに対し
て、Ａ（φ）および＿（φ）の境界は、極大点（Ｋ₁
^-(1)，０）および（０，Ｋ₂ ^-(2)を含むという重要で望
ましい特性を持つことについて述べる。ここで、ｌ
_Hは、（０，０）を原点に持つ三角形の領域を表わし、
これら極大点は、この頂点を表すものとする。ｌ（φ）
を、φ∈［φ_c ⁽¹⁾，φ_c ⁽²⁾］に対して、構成すること
で、ｌ_Hは、保守的ではあるが、ただし、ｌ（φ）の和
（集合）を概ね近似することがわかる。つまり、以下と
なる：

【数５５】 定理５から、右辺の集合は、Ｒ_lを表し、従って、ｌ
_Hは、Ｒ₁の保守的な近似を表す。

【００７４】要約すると、集合l_Hは、極大値
（Ｋ₁ ^{￣ (1)}，０）および（０，Ｋ₂ ^{￣ (2)}）を含むという
重要な特性を持つ。これは、三角形であるために単純で
ある。加えて、実質的に均質なケースにおいては、これ
は、実現可能な集合の保守的な近似を表す。

【００７５】３．８ “実質的に均質でない（Effectiv
ely Non-Homogeneous）”ケース このケースが発生するのは、以下のようなときである：

【数５６】 このケースにおけるφの様々な値に対する許容可能な集
合の挙動が図５（ｆ）〜図５（ｈ）に示される。このケ
ースでは、定理５から以下が成り立つ：

【数５７】 この観察から、実質的に均質なケースと異なり、三角形
の領域＿Ｈは、φを固定した場合は、実現することはで
きず、さらに、φの変化させても、この範囲では実現で
きないことが示唆される。これは、不利な条件（ハンデ
ィキャップ）であり、後に設計手続きについて考察する
際に扱われる。

【００７６】次に、実質的に均質なケースとの類似点に
ついて観察すると、このケースにおいても、φを区間
［φ_c ⁽²⁾，φ_c ⁽¹⁾］の外側に選択することは望ましくな
い。これは、定理２の単調性の特性から以下が成立する
ことによる：

【数５８】

【００７７】次に、読者の便宜のために、シンプレック
ス＿（φ）のコーナ点を、φ∈［φ _c ⁽²⁾，φ_c ⁽¹⁾］に対
して与える。図５（ｇ）に概略（スケッチ）を示すよう
に、これらコーナ点は、（０，Ｋ₂ ^-(2)），（１，Ｋ₂
⁽¹⁾（φ）），（Ｋ₁ ^-(2)（φ），１）および
（Ｋ₁ ^-(1)，０）である。φに対する区間の２つの極大
値、つまり、φ＝φ_c ⁽²⁾およびφ＝φ_c ⁽¹⁾においては、
上述の４つのコーナ点は、３つに縮退する。

【００７８】次に、実質的に均質でないケースにおい
て、実質的に均質なケースにおける＿ _Hに匹敵する重要
な役割を演じる集合＿_NHを以下のように定義する：

【数５９】

【００７９】図６に示すように、この領域は、コーナ点
０，Ａ₂，ＣおよびＡ₁を持つシンプレックスにて表され
る。＿ＮＨは、実現可能な集合Ｒ_lの保守的な近似、つ
まり、＿ＮＨ⊆Ｒ_lであることに注意する。＿_NHとＲ_lと
の間の差の洞察的な理解は、図６の上に、図５（ｇ）の
∂ｌ⁽¹⁾（φ）と∂ｌ⁽²⁾（φ）が交差する点である焦点
Ｘ（φ）（ここでφ_c ⁽²⁾≦φ≦φ_c ⁽¹⁾）を重ねることで
得られる。

【００８０】３．９ 提唱される設計手続き 我々が提唱する設計手続きの目標は、φを選択するため
の単純な手法を用いて、実質的に均質なケースにおける
集合l_Hおよび実質的に均質でないケースにおける集合＿
_NHを実現することにある。これら２つの集合は、実現可
能な集合Ｒの近似である。我々の経験からすると、集合
ｌ_Hの方が、集合＿_NHより、実現可能な集合を良く近似
する。ただし、＿_NHの場合でも、集合Ｒと集合ｌ_NHとの
間のギャップ（差）は小さく、極大値のコーナ点（Ｋ₁
^-(1)，０）および（０，Ｋ₂ ^-(2)）は両方の集合に共通
であるために、その内側に制限される。

【００８１】実質的に均質なケースの場合は、設計手続
きは単純である。つまり、区間［φ _c ⁽¹⁾，φ_c ⁽²⁾］であ
れば、固定された任意のφが、ｌ_Hを、その許容可能な
集合として与える。この手続きをさらに精密化するため
には、φ＝（φ_c ⁽¹⁾＋φ_c ⁽²⁾）／２を選択することが考
えられるが、この場合は、ｌ（φ）ｋの凸性のために
（図５（ｄ）参照）、ｌ_Hが優勢となる許容可能な集合
が得られ、ｌ_HとＲとの間の隙間の殆どが捕捉される。

【００８２】実質的に均質でないケースでは、単一のφ
で全てのｌ_NHを実現することはできず、このため、設計
手続きは、明らかに、より複雑になる。このケースにお
いては、我々は、２つのφの値、つまり、φ_c ⁽¹⁾とφ_c
⁽²⁾のみで、ｌ_NHを実現することを目指す。例えば、所
望の動作ポイント（Ｋ₁，Ｋ₂）が図６のシンプレックス
内にあり、これが、コーナ点０，Ａ₂，Ｂ₁，Ａ₁を持
ち、これが、Ｓ（０，Ａ₂，Ｂ₁，Ａ₁）によって表され
る場合は、φ＝φ_c ⁽²⁾を用い、その後、所望の動作ポイ
ントが三角形の領域Ｓ（Ａ₂，Ｂ₁，Ｃ）に移動した場合
は、φを、φ_c ⁽¹⁾にスイッチする。別の方法として、φ
＝φ_c ⁽¹⁾を用いてＳ（０，Ａ₁，Ｂ₂，Ａ₂）を実現し、
φ＝φ_c ⁽²⁾を用いて補集合Ｓ（Ａ₁，Ｂ₂，Ｃ）を実現す
ることもできる。

【００８３】実質的に均質でないケースでは、２つの重
みが要求されることに加えて、もう一つの差異として、
Ｒとｌ_NHとの間の間隙を単純な戦略にて捕捉することは
できないことが挙げられる。つまり、単純に重みφの値
の数を増加しても、それに伴って、要求される重みのス
イッチングの回数も増加する。多くの重みをスイッチン
グすることは現実的でないばかりか、上述のように間隙
は実際にはそれほどは大きくないために、その努力に価
しない。

【００８４】４．数値結果 このセクションでは、これまでのセクションで扱った、
統計的マルチプレキシング、ＧＳＰ設計および呼許可制
御に関しての数値結果について報告する。より詳細に
は、以下では、数値実験の結果に基づいて、（１）ＧＳ
Ｐ設計に統計的マルチプレキシングを用いて達成される
容量利得から見たときの改善（長所）および決定論的Ｑ
ｏＳ保障に基づく従来の設計との比較；（２）許容可能
な領域とＧＰＳ重みとの関係；（３）重みの最適な設計
と実現可能な領域；および（４）音声およびデータサポ
ートへの適用について図面を用いて解説する。

【００８５】ここで考察する３つのケースのおのおのに
おいて、４５Ｍｂｓｐなる総帯域幅（これはリンク帯域
幅から最善努力型トラヒックに割当てられる帯域幅を差
し引いた量である）を共有する（分け合う）２つのＱｏ
Ｓクラスのソースが存在するものと想定される。テーブ
ル４．１は、各ケースにおける各クラスと関連するジュ
アルリーキーバケット、ＱｏＳパラメータ、並びに、ロ
スレス（無違反）有効帯域幅ｅ₀ ^(*)を示す。

【表１】

【００８６】テーブル４．１：図７、８、および９の３
つのケースに対するトラヒックおよびＱｏＳパラメータ 図７は、２つのＱｏＳクラスは、同一のジュアルリーキ
ーバケットパラメータを持つが、ただし、最大遅延Ｄ
と、最大違反、つまり、損失確率Ｌが異なるケース１の
結果を示す。このケースでは、２つの臨界重み（の
比）、つまり、φ_c ⁽¹⁾とφ_c ⁽²⁾は、６．４と９．２であ
ることがわかった。これら値を用いて得られた許容可能
な領域の境界がプロットされている。これら２つのソー
スクラスは、実質的に均質ではないこと、つまり、どの
ような重みでも一つでは、全てのトラヒック混合に対応
することはできないことに注意する。φ、つまり、重み
の比を、２つの限界値の間で変化させることで得られる
実現可能な領域の境界もプロットされている。セクショ
ン３．９において述べたように、この実現可能な領域
は、２つの臨界重みのみを用い、これらの間で、トラヒ
ック混合の変化に応じて接続内の要求される動作ポイン
トが変化するのに合わせて、低速な時間スケールにて、
スイッチングすることで、概ね達成できることがわか
る。テーブル４．１からわかるように、ｅ₀ ^(*)は、クラ
ス１では、ピーク速度に近く、クラス２では、平均速度
に近いことに注意する。さらに、予期されることである
が、統計的マルチプレキシングを用いることによる容量
から見たときの利得は、クラス１の方が顕著であること
にも注意する。

【００８７】図８は、ソースのジュアルリーキーバケッ
トパラメータとＱｏＳ要件が異なるケース２の結果を示
す。ケース２では、臨界重みは、０．３７２と０．３０
７であり、これに対応する２つの許容可能な領域は同等
であることがわかったが、これは、この２つのクラスが
実質的に均質であることを暗示している。このケースに
おける実現可能な領域は、予期されるように、いずれか
の固定された臨界重みを用いて得られる領域より少し大
きくなるのみである。図８には、同時に、他の全てのパ
ラメータは変えずに、決定論的ＱｏＳ保障を用いた場
合、つまり、Ｌ_j＝０（ｌ＝１，２）として場合に得ら
れる許容可能な領域についてもプロットされている。図
８から、統計的マルチプレキシングの方が容量の点で有
利であり、３のファクタのマルチプレキシング利得が達
成されることがわかる。

【００８８】図９は、リアルタイムトラヒッククラス
と、非リアルタイムトラヒッククラスのサポートをケー
ス３の結果を示す。クラス１は、３２Kb/sにて符号化さ
れ、サイレンス検出を採用する音声である；ジュアルリ
ーキーバケットパラメータは適当に選択され、ノード最
大遅延は１０msecとされた。クラス２は、Ｔ１リンク上
のＬＡＮトラヒックをモデルとする。これは、遅延には
強いが、厳しい損失（違反）要件を持つ。臨界重みは、
０．０５２７および０．０６２８である。この２つのク
ラスは、ジュアルリーキーバケットパラメータとＱｏＳ
パラメータはかなり異なるが、ただし、ほとんど実質的
に均質であること、つまり、これら臨界重みのいずれか
１つを用いてほとんど全ての実現可能な領域を達成でき
ることに注意する。

【００８９】５．ＧＰＳサービスを用いたエンド・ツウ
・エンド統計的ＱｏＳ保障 このセクションでは、ネットワークワイドのセッティン
グで、２つのＱｏＳサービスクラスと、最善努力型クラ
スをサポートする際の問題について考察する。我々の解
法アプローチは、上述の単一ノード解析、および、以下
の２つの想定（考え）に基づく：（１）最善努力型クラ
スには、各ノード内の資源の一部が、もっぱらその排他
的使用のために割当てられる。最善努力型トラヒック
は、典型的には、これら資源を全て消費する；万一使用
されずに余ったとしても、それら資源は、変動が大きす
ぎ、ＱｏＳクラスに対して用いることはできない。
（２）各ノードに設けられた各ＱｏＳソースのキューの
出力は規制され、このため、ピーク速度は、所定の値を
超えることは許されない。この値は、必ずしもピーク入
力速度に等しい必要はない；事実、これは、典型的に
は、そのノードにおけるバッファリングおよびマルチプ
レキシングを説明する分だけ小さくなる。我々の研究で
は、ピーク出力速度は、式（２．７）に定義されるロス
レス（無違反）有効帯域幅ｅ₀に制限される。ＧＰＳに
出力規制を組み込むことは、本発明の新規性の一面を構
成し、この背景には、以下の２つの動機がある。第一
に、許可されたＱｏＳソースにはそれらの契約要件を満
たすために必要な資源が割当てられるために、これらソ
ースにそれ以上の資源へのアクセスを許す必要性はな
い；余分な資源は最善努力型クラスに利用する。第二
に、出力規制のために、各キューの出力（これは次のノ
ード内のキューへの入力となる）をより厳密に管理で
き、このためエンド・ツウ・エンド資源の管理はより容
易かつ正確なものとなる。結果として、出力規制された
ＧＰＳについての我々の上述の単一ノード解析を網内の
全てのノードに適用することができる。最善努力型トラ
ヒックに割当てることができる総帯域幅は、許可される
ＱｏＳソースの数と各ソースの活動（アクティビィテ
ィ）の関数として決まる；これらについては後に詳細に
説明する。

【００９０】最初に、仮想接続のエンド・ツウ・エンド
資源管理を解析するスキームについて概説する。ここ
で、仮想接続は、ノードから発信される接続であって
も、中間の接続であっても構わない（前のセクションで
は、資源なる用語は、全ての接続を記述するために用い
られたことを思い起こされたい）。各ノード上の各接続
の帯域幅需要は、適当なペア（ｒ，ｅ₀）にて記述する
ことができる。ここで、ｒは、平均フロー速度の限界
（上限）を表し、ｅ₀は、式（２．７）に定義される。
こうして、セクション２および３の単一ノードＣＡＣ
（呼許可管理）およびＧＰＳ（一般化されたプロセッサ
共有）の設計が適用できる。クラスｊに対するエンド・
ツウ・エンドＱｏＳ要件が（Ｄ_j ^T，Ｌ_j ^T）にて指定され
るもとのと想定すると、以下となる：

【数６０】 ここで、（Total_delay)_jは、最大エンド・ツウ・エン
ド遅延を表す。前と同様に、各ノードは、接続毎に出力
を規制されたGPSとバッファリングを実現し、各ノード
において、クラスｊの各発信接続は、（ｒ^(j)，Ｑ^(j)，
Ｐ^(j)）にて記述される所定のジュアルリーキーバケッ
トパラメータを持つものと想定される。

【００９１】(Delay)_jiは、ノードｉにおけるクラスｊ
の最大遅延を表し、これは、

【数６１】 によって与えられ、ノードｉにおけるクラスｊのＱｏＳ
要件は

【数６２】 によって与えられるもの想定する。ここで、Ｄ_jiは、ノ
ードｉにおけるクラスｊの最大割当遅延を表す。例え
ば、Ｌ_jは、Ｌ_j ^T／Ｎ_jに等しく設定される。ここで、Ｎ
_jは、クラスｊの全ての接続の最大ホップ数を表す。Ｌ_j
^Tが小さく、Ｎ_jが大きくない典型的なアプリケーション
では、この近似は保守的ではあるが、妥当なものであ
る。

【００９２】第一に、各クラスに対する全遅延予算を、
接続の経路内の第一のノードに割当てるケース、つま
り、Ｄ_j1＝Ｄ_j ^TおよびＤ_ji＝０（ｉ＞１）なるケースに
ついて考察する。この背景には、以下の動機がある。つ
まり、網のエッジにおけるバッファリングはより安価で
ある。これによって得られるトラヒックの平滑化によ
り、中間ノードおよび潜在的にボトルネックとなる可能
性があるノードにおける輻湊を緩和できる。このケース
では、特に出力規制されたＧＳＰであるために、クラス
ｊの全ての接続の需要を共通の（ｒ^(j)，ｅ₀ ^(j)）にて
記述でき、このために、エッジと全ての中間ノードにお
けるＣＡＣおよびＧＰＳの設計を同一とすることができ
る。中間ノードにおけるトラヒックの実際の平均速度
は、ノードにおける損失（呼損）のためにｒ^(j)よりも
小さくなることもあり得るが、ただし、満杯のバッファ
に起因して損失が発生する可能性は、設計上、非常に小
さい。

【００９３】第二に、エンド・ツウ・エンド遅延予算
を、その接続の経路内のノード全体に配分するケースに
ついて考察する。このケースでは、ＣＡＣ，ＧＰＳの設
計および出力速度の値が、上述の単一ノードの解析か
ら、以下を想定して得られる。つまり、入り遷移（中
間）トラヒックは、ジュアルリーキーバケットにて、
（ｒ^{( ・ )}，Ｄ_on ^{( ・ )}，ｅ₀（・），ｅ₀ ^{( ・ )}）なるパラメー
タを用いて規制されるものと想定される。ここで、ｅ₀ ^{(
・ )}は、上流のノードからのピーク出力速度を表し、これ
は、Ｄ_on ^{( ・ )}と共に、そのノードの（ロスレス（無違
反）マルチプレキシングの）解析から得られる。遅延予
算をノード全体に割当てる方式では、結果として、クラ
スの数が極端に増加し、解法の枠組みは変わらないが、
計算がかなり複雑になる。別の見方をすれば、バッファ
リングは、もっぱらエッジで行ない、各クラスの損失
は、全てのノードに一様に割当てる方式は、複雑さが爆
発的に増加するという問題を抱える。

【００９４】第三に、全ての遅延を第一のノードに割当
てる方法の代替として、エンド・ツウ・エンド経路内の
全てのノードに、同一の遅延を割当てる方法も考えられ
る。これは、少なくとも、おおむね均質な網では許容で
きるものである。もう一つの代替として、経路内の各ノ
ードに、そのノードと関連するリンク速度あるいはポー
ト速度に反比例する遅延を割当てる方法も考えられる。
さらに、この目的に対して用いる速度との関連で、ポー
ト速度とそのノードの利用率（使用されている総容量の
割合）との組合せ（積）を用いることもできる。

【００９５】当業者においては理解できるように、各提
案されるエンド・ツウ・エンド経路に対して、第一ある
いはエッジノードに対してのみでなく、経路に沿っての
全ての中間のあるいは内側のノードに対しても、重みを
設計する必要がある。重要なことに、上述のピーク速度
規制のために、単一の３つの要素から構成されるリーキ
ーバケットパラメータを、エッジノードに流入するトラ
ヒックだけでなく、内側の各ノードに流入する全てのト
ラヒックに適用することが可能になる。このため、長所
として、上でエッジノードとの関連で説明したの同一の
設計手続きを、内側の各ノードに対しても用いることが
可能になる。

【００９６】上述のように、エンド・ツウ・エンド経路
は、遅延に関するＱｏＳ要件、並びに、他の性能尺度、
例えば、損失（違反）確率を満たす必要がある。（厳密
に言えば、遅延要件は、上述のように遅延が所定の限度
を超える確率についての要件である）。上述のように、
エンド・ツウ・エンド遅延予算を提案される経路内のノ
ードに割当てるためには、様々な方法がある。（エンド
・ツウ・エンド損失（違反）確率も、類似の手続きを用
いて各ノードに割当てることもできる）。このタイプの
割当てにおいては、エンド・ツウ・エンドＱｏＳ要件
は、ローカルセットのＱｏＳ要件に分解され、各ローカ
ルセットのＱｏＳ要件が経路に沿っての特定のノードに
適用される。重要なことに、この設計手続きは、内側の
各ノードにおいて、それと関係するローカルセットのＱ
ｏＳ要件が満たされるようなやり方で遂行される。

【００９７】これも当業者においては理解できるよう
に、提案された経路に対する許可は、その経路に沿って
の任意のポイントにおいて資源が不足する場合は失敗す
る。より詳細には、経路が許可されるためには、その経
路に沿っての内側の各ノードが提案される接続を、指定
される全ての接続のＱｏＳ要件に違反することなく、す
なわち、おのおのの実現可能な集合からはみ出すことな
く、受け入れることができることが必要とされる。ここ
では、我々は、含まれる全てのノードの実現可能な集合
の提案される経路全体に渡って総和することで構成され
る“エンド・ツウ・エンド実現可能な集合”について議
論する。従って、この場合は、許可制御は、提案される
接続を受理したとき、網がそのエンド・ツウ・エンド実
現可能な集合内にとどまるか否かを決定することからな
る。

【００９８】許可制御は、提案される経路の第一のノー
ドであるエッジノードにおいて遂行するのが有利であ
る。このため、一つのシナリオにおいては、許可制御を
管理するエンティティは、エンド・ツウ・エンド経路に
沿っての各ノードを順番にチェックする。提案された接
続がその経路に沿っての個々の全てのノードに対して、
実現可能な領域内に入る場合は、管理エンティティは、
エッジノードにこのことを通知し、接続が設定される。
反対に、このテストがこれらノードの少なくとも一つに
対して失敗した場合は、エッジノードにこのことが通知
され、許可の要請が拒絶されるか、あるいは、代替のエ
ンド・ツウ・エンド経路が提案される。

【００９９】５．１ 最善努力型チャネルの特性化 上で指摘したように、網内の各ノードについて、最善努
力型トラヒックに割当てることができる帯域幅は、固定
の割当てられた（プロビジョンド）成分と、運ばれるＱ
ｏＳトラヒックの関数として変化する可変成分から成
る。さらに、可変帯域幅成分は、ＱｏＳ接続の時間スケ
ールにて、つまり、接続が到着し、出発する時間スケー
ルにて、発生する大きな変動と、バーストの時間スケー
ルにて、つまり、許可された接続のオン−オフダイナミ
クスの時間スケールにて発生する（大きな変動の上に）
重なった小さな変動から成る。最善努力型トラヒックに
割当てることができる帯域幅Ｃ_beは、変調ブラウン運動
（modulated Brownian motion）にて特性化することが
できる。この変調過程は、低速時間スケールの成分を捕
捉し、各ＱｏＳソースタイプの許可された呼の数と、そ
れらのダイナミクス（到着および出発）をモデル化す
る。変調過程Ｋ＝（Ｋ₁，Ｋ₂，．．．）（ここで、Ｋ_j
は、ＱｏＳクラスｊの許可された接続の数を表す）のあ
る与えられた状態に対して、このブラウン運動は、高速
時間スケールの成分を捕捉する。より詳細には、割当可
能な帯域幅Ｃ_be（Ｋ）の、平均は、

【数６３】 によって与えられ、ここで、Ｃは、ノード帯域幅を表
し、分散は、

【数６４】 によって与えられる。ｒ^(j)＝ｅ₀ ^(j)ω^(j)であることに
注意する。この最も単純な接続モデルでは、到着は、ポ
アソン（Poisson）分布に従い、保留期間は指数関数的
な分布を持ち、速度はクラスに依存するものと想定され
る。このようなモデルに対しては、変調接続過程は、定
常状態の分布を持つ。これは、積の形式を持ち、容易に
計算できる。この最善努力型チャネルの変調ブラウン運
動による特性化は、大きな偏差の漸近的なリジーム（期
間／領域）より、むしろ、拡散を正当化する（拡散によ
る）比較的高い損失の一般的な予測に対して適当であ
る。このような変調ブラウン運動による解析技法の詳細
については、R.L.Karandikar and V.G.Kulkarni,“Seco
nd order fluid flow models:reflected Brownian moti
on in a random environment",Opns.Res.45,1995,pp.77
-88、およびS.Assmussen,“Stationary distribution f
or fluid flow models with or wihtout Brownian moti
on",StochasticModels 11,1995,pp.21-49、を参照され
たい。

【０１００】６．結論 本発明において、我々は、ＧＰＳスケジューラルの解析
と設計、およびＱｏＳ要件の統計的保障について考察し
た。ここでは、基本的には、単一ノードについて解析さ
れたが、本発明は、より一般的に、２つのＱｏＳクラス
と、最善努力型クラスをサポートする網に対するＧＰＳ
スケジューラにも適用できるものである。接続は、ジュ
アルリーキーバケットにて規制され、各接続バッファの
出力は、ピーク速度を制御（制限）される。この後者の
特徴は、様々な利益をもたらす。つまり、ＱｏＳソース
の需要を満たすために必要される量を超える帯域幅を、
最善努力型トラヒックに割当てることが可能になること
に加えて、各接続キューの出力を厳密に特性化（制御）
できるために、エンド・ツウ・エンド解析が容易にな
る。我々は、さらに、重さを変化させることで得られる
可能な最も大きな許容可能な領域としての、実現可能な
許容可能接続領域（realizable admissible connenctio
n region）なる概念を導いた。我々は、さらに、臨界重
みなる概念を導き、実現可能な領域は、重みを、たった
２つの臨界重みの間で変化させることで見つけることが
できることを示した。我々は、さらに、実現可能な領域
は、トラヒックの状況によっては、たった１つの臨界重
みを用いて実現できること、並びに、トラヒック混合の
変化に起因して動作ポイントがシフトした場合は、２つ
の重みの間でスイッチングすることで、これをかなり良
く近似できることを示した。最善努力型トラヒックに対
しては、我々は、このトラヒックのリンク帯域幅のシェ
アの特性（キャラクタライゼーション）について展開し
た。このトラヒックの解析およびエンジニアリングに有
益である。最後に、数値結果を用いて、我々の解析およ
び設計の妥当性を示し、決定論的ＱｏＳ保障の代わり
に、統計的ＱｏＳ保障を用いることで実現される容量の
利得（改善）について示した。

【０１０１】最後に、この研究は、様々な興味深い方向
に拡張できることを指摘しておきたい。例えば、この解
析は、２つより多くのソースクラスが存在するより一般
的なケースにも拡張することもできる。ソースクラスの
数を多くすることの必要性は、ＱｏＳ要件の多様性から
発生するばかりでなく、多様なジュアルリーキーバケッ
トパラメータにて、多様なトラヒッククラスが定義され
ることからも発生する。これらに対応するための、つま
り、実現可能な領域および臨界重みを系統的に導くため
のアルゴリズムは、上述の２つのクラスのケースの結果
を拡張することで容易に考案できるものである。

【０１０２】もう一つの可能性として、階層ＧＰＳスケ
ジューラへの拡張も考えられる。このようなスケジュー
ラは、様々なクラスの間の分離と、帯域幅割当における
柔軟性を実現できるために魅力的である。このようなス
ケジューラの階層的解析を展開し、この解析を非階層的
スケジューラに対する近似として用いることも興味深
い。

【０１０３】さらなる研究に価するもう一つの分野とし
て、A.I.Elwalid,D.Mitra and R.H.Wentworth,“A new
approach for allocating buffers and bandwidth to h
eterogeneius,regulated traffic in an ATM node",IEE
E J. Select. Areas Commun.13:(6),1995,pp.1115-12
7、において触れられているように、上述の結果が“統
計的に多重可能な”ソースと、“統計的に多重可能でな
い”ソースが混在する場合に、どのような影響を受ける
かの問題であり、特に、許容可能な領域の線形性がどの
ような影響を受けるかの問題がある。

【０１０４】本発明の精神、本質的な基準、規則、およ
び方法から逸脱することなく、本発明の好ましい実施例
の様々なバリエーションが可能である。本発明の適正な
範囲は、上述の説明からではなく特許請求の範囲によっ
て規定されるもので、従って、特許請求の範囲およびこ
の同等物に入ると解される全てのバリエーションが本発
明によって網羅されるものである。

【図面の簡単な説明】

【図１】ノードにおけるＧＰＳスケジューリングの機能
図である。

【図２】単一ソースあるいは単一接続系を示す図であ
る。

【図３】ａは、ビジー期間におけるバッファの量の上限
を示す図である。ｂは、ビジー期間におけるバッファの
量の上限を示す図である。

【図４】有効帯域幅ｅ₀と、ロスレス（無違反）多重化
に対するバッファｂ₀を示す図である。

【図５】ａ〜ｈは、重みφと、それが許容可能な領域に
与える影響を示す図である。ｃ−ｅは、実質的に均質な
ケースを示す図である。ｆ−ｈは、実質的に均質でない
ケースを示す図である。

【図６】実質的に均質でないケースにおける領域＿ＮＨ
を示す図である。

【図７】ケース１の想定での、２つの接続のクラスの臨
界重みと、対応する許容可能な領域、および実現可能な
領域を示す図である。

【図８】ケース２の想定での、２つの接続のクラスの臨
界重みと、対応する許容可能な領域、および、それぞ
れ、ロスレスマルチプレキシングと統計的マルチプレキ
シングに対する実現可能な領域を示す図である。

【図９】ケース３の想定での、２つの接続のクラスの臨
界重みと、対応する許容可能な領域、および、それぞ
れ、ロスレスマルチプレキシングと統計的マルチプレキ
シングに対する実現可能な領域を示す図である。

【符号の説明】

１００ 接続 １１０ バッファ １２０ ＱｏＳクラスの接続 １３０ ＧＰＳスケジュール ２００ 規制されたトラヒック流（Ｒｔ） ２１０ バッファ

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 デベイシス ミトラ アメリカ合衆国 07901 ニュージャーシ ィ，サミット，サミット アヴェニュー 133，アパートメント 43

Claims (24)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 一般化されたプロセッサ共有方式（ＧＰ
   Ｓ）によるスケジューリングおよび網制御の方法であっ
   て、ｊ（ｊ＝１，２）個の接続クラスがノードの所のＧ
   ＰＳスケジューラに供給され、このノードが、帯域幅Ｃ
   を持ち、各クラスｊが、K_j個の接続から構成され、各ク
   ラスjが、所定のサービス品質（ＱｏＳ）損失確率L_j、
   およびロスレス多重化帯域幅ｅ_ojを持ち、各接続が、関
   連するバッファおよびその接続の帯域幅の配分を定める
   重みφ_jを持ち、この方法が：第一の接続クラスの接続
   の数Ｋ₁と、第一の接続クラスの各接続と関連する重み
   φ₁を計算するステップ；および第二の接続クラスの接
   続の数Ｋ₂と、第二の接続クラスの各接続と関連する重
   みφ₂を計算するステップから構成され、これら計算ス
   テップが以下の式、つまり： 【数１】 が満たされるようなやり方で（の条件の下で）行なわ
   れ；ここで、ξ_i ^(j)は、クラスｊのｉ番目の接続に対す
   る活動インジケータを表し、これは、そのｉ番目の接続
   がアクティブなときは１、アクティブでないときは０の
   値を取り、ω_i ^(j)は、クラスｊの番目の接続に対して対
   応するバッファおよび帯域幅が利用される時間の割合
   （率）を表すことを特徴とする方法。
2. 【請求項２】 さらに、第一、第二の接続クラスに対し
   て、それぞれ、ピンド（設計に依存しない）コーナ点Ｋ
   ₁ ^-(1)、Ｋ₂ ^-(2)を、以下の式、つまり： 【数２】 が満たされるように計算するステップを含み；ここで、
   Ｋ₁ ^-(1)、Ｋ₂ ^-(2)は、それぞれ、クラス１、クラス２、
   他方の相補的なクラスの接続が存在しない場合に、自身
   のＱｏＳ要件を満たすことができる接続の最大数を表す
   ことを特徴とする請求項１の方法。
3. 【請求項３】 さらに、第一、第二の接続クラスに対し
   て、それぞれ、設計（設計の自由になる）コーナ点Ｋ₁
   ^-(2)(φ)、Ｋ₂ ^-(1)(φ)を、以下の式、つまり： 【数３】 が満たされるように計算するステップを含み；ここで、
   Ｋ₁ ^-(1)、Ｋ₂ ^-(2)は、それぞれ、クラス１、クラス２
   の、アクティブである間に固定されたφに対してそのＱ
   ｏＳ要件を満たすために資源を受けることを許される接
   続の最大数を表すことを特徴とする請求項２の方法。
4. 【請求項４】 さらに、第一、第二の接続クラスに対し
   て、それぞれ、臨界重みφ_c ⁽¹⁾、φ_c ⁽²⁾を、以下の式、
   つまり： 【数４】 が満たされるように計算するステップを含み；ここで、
   φ_c ⁽¹⁾、φ_c ⁽²⁾は、それぞれ、クラス１、クラス２の接
   続に対する、他方の相補的なクラスｊ_cの接続の数がＫ
   _jc ^-(jc)であり、それぞれ、クラス１、クラス２の接続
   が１つのみ存在するときにＱｏＳ要件が満たされるよう
   な重みの値を表わすことを特徴とする請求項３の方法。
5. 【請求項５】 さらに、ＧＰＳスケジューラに対する実
   現可能な許容可能重みの境界を、以下の式、つまり： 【数５】 が満たされる場合は、１つの臨界重みを用いて定義する
   ステップを含むことを特徴とする請求項４の方法。
6. 【請求項６】 さらに、ＧＰＳスケジューラに対する実
   現可能な許容可能重みの境界を、以下の式、つまり： 【数６】 が満たされる場合は、２つの臨界重みを用いて定義する
   ステップを含むことを特徴とする請求項４の方法。
7. 【請求項７】 さらに、最善努力型接続クラスと呼ばれ
   る第三の接続クラスを指定するステップを含むことを特
   徴とする請求項６の方法。
8. 【請求項８】 さらに、最善努力型接続クラスに対して
   利用することができる帯域幅を、第一、第二の接続クラ
   スに対するサービスの品質（ＱｏＳ）損失確率Ｌ₁、Ｌ₂
   が最小限に満たされるようにして、最大化するステップ
   を含むことを特徴とする請求項７の方法。
9. 【請求項９】 各接続クラスに対するロスレス多重化帯
   域幅ｅ₀が、その接続クラスに対するジュアルリーキー
   バケットレギュレータのパラメータに依存することを特
   徴とする請求項１の方法。
10. 【請求項１０】 各接続クラスに対するサービスの品質
    （ＱｏＳ）要件として、さらに、遅延Ｄが指定されるこ
    とを特徴とする請求項１の方法。
11. 【請求項１１】 各接続クラスに対するサービス品質
    （ＱｏＳ）損失確率Ｌおよび遅延Ｄがユーザによって指
    定されることを特徴とする請求項１０の方法。
12. 【請求項１２】 第一の接続クラスが、第二の接続クラ
    スに対するＱｏＳパラメータより高いサービス品質（Ｑ
    ｏＳ）パラメータを持つことを特徴とする請求項１１の
    方法。
13. 【請求項１３】 さらに、第一、第二の接続クラスに対
    するピーク伝送帯域幅を、その特定の接続クラスに対す
    るロスレス多重化帯域幅と等しく設定するステップを含
    むことを特徴とする請求項８の方法。
14. 【請求項１４】 ＱｏＳ保障も行なわれる、一般化され
    たプロセッサ共有（ＧＰＳ）方式によるスケジューリン
    グおよび網制御の方法であって、少なくとも二つの接続
    クラスがノードの所のＧＰＳスケジューラに供給され、
    この方法が：第一の接続クラスと第一の接続クラスに対
    するピンドコーナ点を計算するステップ；第一と第二の
    接続クラスに対する設計コーナ点を計算するステップ；
    第一と第二の接続クラスに対する臨界重みを、各接続ク
    ラスに対するピンドコーナ点と設計コーナ点に基づいて
    計算するステップ；およびＧＰＳスケジューラに対する
    実現可能な許容可能重みの境界を、各接続クラスに対す
    る臨界重みに基づいて定義するステップ、から構成され
    ることを特徴とする方法。
15. 【請求項１５】 さらに、最善努力型接続クラスと呼ば
    れる第三の接続クラスを指定するステップを含むことを
    特徴とする請求項１４の方法。
16. 【請求項１６】 さらに、最善努力型接続クラスに対し
    て利用することができる帯域幅を、第一、第二の接続ク
    ラスに対するサービス品質要件が最小限に満たされるよ
    うにして、最大化するステップを含むことを特徴とする
    請求項１５の方法。
17. 【請求項１７】 さらに、各接続クラスに対して、その
    接続クラスに対するジュアルリーキーバケットレギュレ
    ータのパラメータに依存するロスレス多重化帯域幅ｅ₀
    指定するステップを含む特徴とする請求項１４の方法。
18. 【請求項１８】 さらに、ユーザによって、各接続クラ
    スに対して、サービス品質（ＱｏＳ）パラメータを指定
    するステップを含むことを特徴とする請求項１４の方
    法。
19. 【請求項１９】 第一の接続クラスが、第二の接続クラ
    スに対するＱｏＳパラメータより高いサービス品質（Ｑ
    ｏＳ）パラメータを持つことを特徴とする請求項１８の
    方法。
20. 【請求項２０】 さらに、第一、第二の接続クラスに対
    するピーク伝送帯域幅を、その特定の接続クラスに対す
    るロスレス多重化帯域幅と等しく設定するステップを含
    むことを特徴とする請求項１６の方法。
21. 【請求項２１】 ＱｏＳ保障も行なわれる、一般化され
    たプロセッサ共有（ＧＰＳ）方式によるスケジューリン
    グおよび網制御の方法であって、少なくとも二つの接続
    クラスがノードの所のＧＰＳスケジューラに供給され、
    この方法が：第一の接続クラスと第一の接続クラスに対
    するピンドコーナ点を計算するステップ；第一と第二の
    接続クラスに対する設計コーナ点を計算するステップ；
    第一と第二の接続クラスに対する臨界重みを、各接続ク
    ラスに対するピンドコーナ点および設計コーナ点に基づ
    いて計算するステップ；ＧＰＳスケジューラに対する実
    現可能な許容可能重みの境界を、各接続クラスに対する
    臨界重みに基づいて定義するステップ；第三の接続クラ
    スを最善努力型接続クラスとして定義するステップ；第
    一と第二の接続クラスに対するピーク伝送帯域幅を、そ
    の特定の接続クラスに対するロスレス多重化帯域幅と等
    しく設定するステップ；および最善努力型接続クラスに
    対して利用することができる帯域幅を、第一と第二の接
    続クラスに対するサービス品質要件が最小限に満たされ
    るようにして最大化するステップ、から構成される方
    法。
22. 【請求項２２】 さらに、各接続クラスに対して、ロス
    レス多重化帯域幅ｅ ₀をその接続クラスに対するジュア
    ルリーキーバケットレギュレータのパラメータに基づい
    て指定するステップを含む特徴とする請求項２１の方
    法。
23. 【請求項２３】 さらに、ユーザによって、各接続クラ
    スに対して、サービス品質（ＱｏＳ）パラメータを指定
    するステップを含むことを特徴とする請求項２１の方
    法。
24. 【請求項２４】 第一の接続クラスが、第二の接続クラ
    スに対するＱｏＳパラメータより高いサービス品質（Ｑ
    ｏＳ）パラメータを持つことを特徴とする請求項２１の
    方法。