JP2000222377A - ダイナミクスを利用してコスト関数の最適値を探索する処理装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 最適化問題において、コスト関数の局所的な
形に依らずに、その最適値を効率的に探索することが課
題である。 【解決手段】 入力部１０は、入力データ２１を入力
し、コスト関数値計算部１２は、コスト関数およびその
偏導関数の値を計算し、方程式計算部１４は、ダイナミ
クスを表す常微分方程式を計算する。数値積分実行部１
５は、計算結果を用いて数値積分を実行し、度数計算部
１７は、コスト関数や座標値の実現度数を計算し、候補
選択部１８は、それらの度数に基づいて最適状態の候補
を選択する。降下部２０は、降下法により最適状態候補
２３から最適状態を探索する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、最適構造問題、最
適配置問題、最適経路問題等のような最適化問題におい
て、コスト関数の最適値を探索する処理装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年、様々な産業分野において、最適化
問題を解決することが要求されている。最適化問題と
は、与えられたコスト関数が最大、最小、あるいは局所
最大、局所最小となるような状態を探索する問題であ
る。コスト関数の符号を変えることにより、最大あるい
は局所最大を求める問題は、最小あるいは局所最小を求
める問題に置き換えられる。以下では、主として、最小
あるいは局所最小を求める問題として最適化問題を説明
する。

【０００３】例えば、ＣＡＤ（computer-aided design
）においては、建築物、構造物等の強度を高め、外力
に対する安定性を高めるために、強度や安定性の評価値
がコスト関数として用いられ、その最適値に対応する構
造が求められる。また、材料設計においては、材料の原
子・分子レベルのエネルギーがコスト関数として用いら
れ、最低エネルギー状態に対応する構造が求められる。
さらに、より一般的なパラメタフィッティング問題にお
いても、コストを最適にするようなパラメタの組が求め
られる。

【０００４】このような最適化問題を解決するための従
来の方法としては、降下法（Descent Method）と確率的
方法の２つの方向がある。降下法の代表的アルゴリズム
である最急降下法（Steepest Descent Method ）は、与
えられた状態からコスト関数の値が下がる方向を計算
し、その方向に状態を変化させて、コスト関数の最小値
の１つの候補を求める方法である。これにより、コスト
関数の極小値が得られる。

【０００５】また、確率的方法の代表的アルゴリズムに
は、ランダム法、シミュレーティド・アニーリング法
（Simulated Annealing Method，ＳＡ法）、および遺伝
アルゴリズム法（Genetic Algorithm Method，ＧＡ法）
がある。

【０００６】ランダム法は、状態をランダムに選び、コ
スト関数の値が小さい状態をピックアップしていく方法
である。ＳＡ法は、次の状態を定めるためにメトロポリ
ス（metropolis）のアルゴリズムを用いる。このアルゴ
リズムによれば、次の状態のコストが下がればその状態
が採用され、コストが上がればある確率をもってその状
態が採用される。その確率は温度パラメタに依存してお
り、最初は温度を高めに設定してメトロポリスのアルゴ
リズムを用い、徐々に、温度を低くしていく方法が取ら
れている。

【０００７】ＧＡ法は、生物進化の機構を模倣した最適
化方法である。この方法では、状態を染色体と呼ばれる
文字列で表現し、染色体の集団に選択、交差、突然変異
等の遺伝子操作を行って、各遺伝子を最適化していく。

【０００８】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、上述し
た従来の方法には次のような問題がある。最急降下法
は、探索途中にコスト関数が極小となる状態があれば、
それにトラップされてしまい、その状態から抜け出せな
くなる。したがって、必ずしもコスト関数が最小の状態
を見つけられるとは限らない。ランダム法は、状態数が
有限かつ少ない時は厳密解を見つけられる可能性がある
が、状態数が多くなれば良く機能しない。

【０００９】また、ＳＡ法では、メトロポリスのアルゴ
リズムにより低コスト値の状態の実現確率を高めるため
に温度を低くする必要があるが、そうすると探索のため
の状態の変化が緩慢になる。このため、一旦、極小状態
にトラップされると、長時間待たなければ、その状態か
ら抜け出せない。そこで、最初は温度を高めに設定し、
徐々に低くしていく方法が効果的と考えられるが、この
温度スケジューリングの方法には決定的あるいは汎用的
なものはなく、どのようにして温度スケジュールを設定
するかが問題となる。

【００１０】また、ＧＡ法は、近傍探索能力に欠けるた
め、近くにより最適な状態があってもそれを見つけられ
ずに、ニアミスを起こしやすい。また、最適な状態が見
つけられるという理論的裏付けに乏しい。

【００１１】本発明の課題は、コスト関数の局所的な形
に依らずに、その最適値を効率的に探索する処理装置を
提供することである。

【００１２】

【課題を解決するための手段】図１は、本発明の処理装
置の原理図である。図１の処理装置は、入力手段１、候
補探索手段２、および出力手段３を備える。

【００１３】入力手段１は、問題を記述する状態と、状
態のコストを与えるコスト関数の情報を入力する。ま
た、候補探索手段２は、コスト関数の最適値により近い
コスト値の状態の実現確率を高めるような決定論的ダイ
ナミクスを用いて、最適状態の１つ以上の候補を求め
る。そして、出力手段３は、得られた候補を出力する。

【００１４】候補探索手段２は、入力手段１により入力
された情報を用いて、状態を表す変数の集合とダイナミ
クスの計算アルゴリズムを決定し、それらに従って計算
を行う。そして、コスト関数の最適値に対応する最適状
態の候補となる変数値の集合を求める。出力手段３は、
候補探索手段２が求めた候補を、探索結果として出力す
る。

【００１５】ダイナミクスとは、方程式等に基づく計算
により生成された座標（点）の時間的発展に対応する。
状態を座標変数とする状態空間におけるダイナミクスを
求めることにより、初期位置の近傍探索から出発して、
適当な条件下で与えられた状態空間全体を探索すること
ができ、コスト関数の極小値等にトラップされることが
ない。したがって、コスト関数の局所的な形に依らずに
計算を行うことができる。

【００１６】また、コスト関数の最適値により近いコス
ト値の状態の実現確率を高めるようなダイナミクスを用
いることで、系の温度を下げることなく最適値に近いコ
スト値の周辺を探索することができる。したがって、従
来の確率的方法のように、最適値により近いコスト値の
状態の実現確率を高めるために状態の変化を遅らせる必
要がなく、処理が効率化される。

【００１７】このように、本発明のポイントは、コスト
関数の最適値により近いコスト値の状態の実現確率を高
めるような決定論的ダイナミクスを用いて、最適状態を
探索することである。

【００１８】また、図１の処理装置は、処理の精度をよ
り高めるために、格納手段４と最適状態探索手段５をさ
らに備える。格納手段４は、候補探索手段２が求めた１
つ以上の候補を格納し、最適状態探索手段５は、それら
の候補の各状態からコスト関数の値が良くなる方向に変
化させて、最適状態に近い状態を求める。

【００１９】最適状態探索手段５が行う計算は、例え
ば、降下法の計算に対応し、候補の状態よりさらに最適
値に近いコスト値の状態を求めることができる。こうし
て得られた状態の中で最も良いコスト値を持つ状態を選
択すれば、精度の高い解が得られる。

【００２０】例えば、図１の入力手段１は、後述する図
２の入力部１０および図１７の入力装置５３に対応し、
図１の候補探索手段２は、図２のコスト関数値計算部１
２、方程式計算部１４、数値積分実行部１５、度数計算
部１７、および候補選択部１８に対応する。また、例え
ば、図１の出力手段３は、図２の出力部１９および図１
７の出力装置５４に対応し、図１の格納手段４は、図１
７のメモリ５２に対応し、図１の最適状態探索手段５
は、図２の降下部２０に対応する。

【００２１】

【発明の実施の形態】以下、図面を参照しながら、本発
明の実施の形態を詳細に説明する。本実施形態において
は、ｎ個の実変数によって表される状態ｑ＝
（ｑ₁ ，．．．，ｑ_n ）によって定まるコスト関数Ｕ
（ｑ）の最小値とそのときの状態ｑ_min（もしくは、よ
り最小に近い値とそのときの状態）を探索する。ただ
し、Ｕ（ｑ）は微分可能な関数とする。Ｕ（ｑ）の符号
を変えることにより、最小値を探索する問題を最大値を
探索する問題に置き換えることもできる。ここでは、以
下のような性質を持つ計算を実現することが目標とな
る。 （Ａ）近傍探索能力を有する。 （Ｂ）探索途中に極小状態があってもそれにトラップさ
れない。 （Ｃ）パラメタや調整関数を設定することによって、低
コスト値の状態の実現確率を高めることができる。ただ
し、ＳＡ法のように、探索が緩慢になるようなことは回
避する。 （Ｄ）充分長時間計算すると、各状態の実現確率がどう
なるか、どのような条件が必要かも含めて、最適な状態
が見つけられるという理論的裏付けがある。

【００２２】このような目標を実現するため、まず、決
定論的ダイナミクスを用いてｑ_minのいくつかの候補を
求める。次に、それぞれの候補の状態からなんらかの降
下法を用いてコスト値を降下させ、ｑ_min もしくはより
最小に近い状態を求める。

【００２３】ここでは、ｑ_min の候補を求める決定論的
ダイナミクスの一例として、次のような常微分方程式を
用いる。 ｄｑ_i ／ｄｔ ＝−（β／ｎ）τ_K （ｐ）ｐ_i ＋（β／ｎ）［Ｂ_i （ｘ）∂Θ_Z （ζ，ｗ）／∂ｗ−∂Ｂ_i （ｘ）／∂ｗ］ （ｉ＝１，．．．，ｎ） （１） ｄｐ_i ／ｄｔ ＝（β／ｎ）τ_U （ｑ）Ｆ_i （ｑ） −（β／ｎ）［（１／Ｑ）∂Θ_Z （ζ，ｗ）／∂ζ ＋α∂Θ_Z （ζ，ｗ）／∂ｗ］ｐ_i （ｉ＝１，．．．，ｎ） （２） ｄζ／ｄｔ ＝［−（β／ｎ）τ_K （ｐ）Ｋ（ｐ）−β］／Ｑ ＋（β／ｎ）［Ａ（ｘ）∂Θ_Z （ζ，ｗ）／∂ｗ−∂Ａ（ｘ）／∂ｗ］ （３） ｄｗ／ｄｔ ＝［−（β／ｎ）τ_K （ｐ）Ｋ（ｐ）−β］α −（β／ｎ）［Ａ（ｘ）∂Θ_Z （ζ，ｗ）／∂ζ−∂Ａ（ｘ）／∂ζ］ ＋（β／ｎ）Σ［τ_U （ｑ）Ｆ_i （ｑ）Ｂ_i （ｘ）＋∂Ｂ_i （ｘ）／∂ｑ_i ］ （４） ただし、ここでは、以下のような定義を用いている。

【００２４】

【数１】

【００２５】 ｑ≡（ｑ₁ ，．．．，ｑ_n ）∈Ｄ⊂Ｒⁿ （５） ｐ≡（ｐ₁ ，．．．，ｐ_n ）∈Ｒⁿ （６） ｘ≡（ｑ，ｐ，ζ，ｗ）∈Γ≡Ｄ×Ｒⁿ ×Ｒ² （７） Ｕ：Ｒⁿ ⊃Ｄ→Ｒ （８） Ｆ_i （ｑ）≡−∂Ｕ（ｑ）／∂ｑ_i （９） τ_U （ｑ）≡［ｄΘ_U （ｕ）／ｄｕ］_u=U(q) （１０） Ｋ（ｐ）≡Σｐ_i ² （１１） τ_K （ｐ）≡−２［ｄΘ_K （ｋ）／ｄｋ］_k=K(p) （１２） Θ_U ：Ｒ⊃Ｄ_U ≡Ｕ（Ｄ）→Ｒ （１３） Θ_K ：［０，∞）→Ｒ （１４） Θ_Z ：Ｒ² →Ｒ （１５） Ａ：Γ→Ｒ （１６） Ｂ＝（Ｂ₁ ，．．．，Ｂ_n ）：Γ→Ｒⁿ （１７） （１）〜（４）の常微分方程式はニュートン方程式を拡
張したものに相当し、ｑ_i を座標とすると、ｐ_i は運動
量に相当する。また、ここでは、拡張変数としてζとｗ
が導入されている。Θ_U 、Θ_K 、Θ_Z 、Ａ、およびＢは
調整関数として導入された滑らかな関数であり、β、
Ｑ、およびαは調整パラメタとして導入されている。β
は設定温度の役割を果たす。これらの調整関数および調
整パラメタは、任意に設定することができる。このと
き、（１）〜（４）式は、次のような特徴を有する。

【００２６】（２）式の左辺は運動量の時間変化を表
し、右辺第１項のＦ_i （ｑ）はコスト関数の微分に負の
符号を付加して得られる力を表している。言い換えれ
ば、状態の変化の方向（加速度の方向）には、コスト関
数の微分と逆の符号の成分が含まれている。したがっ
て、コスト関数が増加する場合には、それとは逆の方向
に状態が変化し、コスト関数が減少する場合には、その
方向に状態が変化する。このように、（２）式は、コス
ト関数が極小となる状態があれば、その方向に近づいて
いく性質を示しており、上述した（Ａ）の性質を有して
いる。

【００２７】また、（２）式の右辺第２項はｐ_i に比例
する摩擦力を表し、Θ_Z （ζ，ｗ）により記述されるｐ
_i の係数は摩擦係数に相当する。（３）式の左辺はζの
時間変化を表し、右辺第１項の−（β／ｎ）τ_K （ｐ）
Ｋ（ｐ）は系の温度を表し、Ｋ（ｐ）は系の運動エネル
ギーを表す。

【００２８】ここで、∂Θ_Z （ζ，ｗ）／∂ζがζの増
加関数であるものとし、系の温度が設定温度βを超えて
ζの時間変化が正になったとすると、（２）式の右辺の
摩擦力が大きくなり、運動量が減少して、系の温度が低
下する。また、逆に、系の温度が設定温度βを下回りζ
の時間変化が負になったとすると、（２）式の右辺の摩
擦力が小さくなり、運動量が増加して、系の温度が上昇
する。（２）式の摩擦力は、正負両方の値をとることが
できる。

【００２９】したがって、（２）、（３）式は、系の温
度を設定温度βに近づけようとする性質を示している。
実際に、適当な条件下では、系の温度の時間平均がβに
なることが証明できる。そこで、βを高く設定する等の
調整を行って系に熱振動を与えてやれば、極小状態から
脱出させることが可能になる。このように、（２）、
（３）式は、上述した（Ｂ）の性質を有している。

【００３０】また、通常の場合は成立すると考えられる
いくつかの条件が成り立てば、長時間（理論的には無限
時間）経過後にＵ（ｑ）がｕ１からｕ２の範囲の値をと
る確率は、（２）式のτ_U （ｑ）を生成する調整関数Θ
_U を用いて表すことができる。より具体的には、系がエ
ルゴード性を持てば、付加的な数学的条件の下で、この
確率は次式により与えられることが証明できる。

【００３１】

【数２】

【００３２】 Ｓ≡｛ｑ∈Ｄ｜ｕ１≦Ｕ（ｑ）≦ｕ２｝×Ｒⁿ⁺² （１９） ｋ_U （ｕ）＝ｅｘｐ［−Θ_U （ｕ）］ （２０） ここで、（１８）式の左辺は時間ｔに関する定積分の極
限値を表し、右辺はコスト関数Ｕ（ｑ）の値ｕに関する
定積分を表す。左辺のＴ_t （ｘ）は座標ｘの時間的発展
（フロー）を表し、χ_S （ｘ）は、ｘが集合Ｓの要素で
あるとき１となり、そうでないとき０となる関数であ
る。

【００３３】また、右辺のΩはコスト関数の状態数の密
度を表す関数であり、ｋ_U （ｕ）Ω（ｕ）は、系のコス
ト値Ｕ（ｑ）がｕとなる確率密度を表す。（１８）式の
確率は、Ｕ（ｑ）がｕ１からｕ２の範囲の値をとる状態
に滞在する時間の割合を表し、その範囲への軌道の訪問
頻度と呼ぶこともできる。

【００３４】（１８）式は、適当な条件下で、系が次式
の密度関数ρ（ｘ）により与えられる不変測度を持つと
いう事実から証明される。 ρ（ｘ）≡ｅｘｐ［−｛Θ_U （Ｕ（ｑ））＋Θ_K （Ｋ（ｐ）） ＋Θ_Z （ζ，ｗ）｝］ （２１） このρ（ｘ）はｘ＝（ｑ，ｐ，ζ，ｗ）の状態が実現さ
れる確率密度を表している。

【００３５】上述した（Ｃ）の性質を実現するには、
（１８）式のｋ_U Ωがｕの最小値付近で極大となるよう
に、ｋ_U を設定すればよい。密度関数Ωは、通常、ｕの
増加とともに急激に増加するので、ｋ_U をｕの増加とと
もに急激に減少する関数等として適当に設定すれば、ｋ
_U Ωのピークをｕの最小値に近づけることができる。ｋ
_U を急減関数にするには、Θ_U を急増関数にすればよ
い。これにより、長時間後には、低コスト値の状態の訪
問頻度を高めることができる。

【００３６】関数ｋ_U は、系の進行速度（即ち、探索速
度）を決定する設定温度βとは独立に設定することがで
きるため、低コスト値の状態の実現確率を高めながら、
探索速度の低下を回避できることが理論的に保証され
る。したがって、従来のＳＡ法のように、低コスト値の
状態の実現確率を高めるために温度を低くした結果、探
索速度が低下するという問題が生じない。このように、
（２）式は、上述した（Ｃ）および（Ｄ）の性質を有し
ている。

【００３７】言い換えれば、（１８）式の確率を実現す
るような不変測度を持つ常微分方程式の一例が、（１）
〜（４）式である。（１）〜（４）式は、調整パラメタ
と調整関数を適当に設定することで、与えられた個々の
問題に柔軟に対応できるという利点を持っている。しか
しながら、（１８）式の確率を実現するようなダイナミ
クスは（１）〜（４）式に限られず、他の定式化も可能
である。例えば、導入される拡張変数は、必ずしも２つ
（ζとｗ）である必要はない。

【００３８】次に、（１）〜（４）式を用いてコスト関
数の最適値を探索する処理装置について説明する。この
処理装置は、例えば、コンピュータを用いて構成され、
（１）〜（４）式を適当な数値積分法で解いていき、ｑ
_min の候補を求める。ただし、一般には、最適解への収
束は保証されないので、適当な終了条件を設定して、探
索を終了する。次に、得られたｑ_min の候補のそれぞれ
を初期値として、適当な降下法によりコスト値を降下さ
せ、より最適な状態を求める。

【００３９】図２は、このような処理装置の構成図であ
る。図２の処理装置は、入力部１０、コスト定義部１
１、コスト関数値計算部１２、関数作成部１３、方程式
計算部１４、数値積分実行部１５、チェック部１６、度
数計算部１７、候補選択部１８、出力部１９、および降
下部２０を備える。

【００４０】入力部１０は、入力データ２１を入力し、
コスト定義部１１は、コスト関数およびその偏導関数を
設定する。コスト関数値計算部１２は、コスト定義部１
１により設定された関数の時刻ｔにおける値を計算し、
関数作成部１３は、必要に応じて新たな調整関数を作成
する。方程式計算部１４は、コスト関数値計算部１２お
よび関数作成部１３からの情報を用いて、時刻ｔにおけ
る（１）〜（４）式の計算を行う。数値積分実行部１５
は、方程式計算部１４の計算結果を用いて数値積分を実
行し、チェック部１６は、積分結果をチェックする。

【００４１】度数計算部１７は、コスト関数Ｕ、運動エ
ネルギーＫ（温度）、注目する座標値ｑ_obs 等の実現度
数（頻度）を計算し、候補選択部１８は、それらの度数
に基づいて最適状態ｑ_min の候補を選択する。出力部１
９は、積分結果および度数計算部１７の計算結果を出力
データ２２としてファイルに出力する。

【００４２】数値積分実行部１５は、終了条件が成立す
るかどうかをチェックし、それが成立しなければ、時刻
ｔをΔｔだけ進めて、次の積分を実行する。そして、終
了条件が成立すれば、積分を終了する。

【００４３】その後、出力データ２２がディスプレイ画
面上で可視化されるとともに、得られた複数の最適状態
候補２３が降下部２０に渡される。降下部２０は、入力
データ２１と最適状態候補２３に基づいて、降下法によ
りｑ_min を探索し、得られた状態を最適状態２４として
出力する。この最適状態２４も、ディスプレイ画面上で
可視化することができる。

【００４４】図２において、数値積分実行部１５、チェ
ック部１６、度数計算部１７、候補選択部１８、出力部
１９、および降下部２０は、与えられた問題に依存しな
い汎用的な機能を持つ。

【００４５】図３は、入力データ２１を示している。こ
の入力データにおいて、パラメタ３１は、コスト関数を
定義する際に必要なパラメタであり、自由度３２は、与
えられた問題を記述する状態変数の数ｎである。

【００４６】また、シミュレーション条件３３には、ス
テップ数、時間刻み幅、終了条件、出力指定パラメタ等
が含まれる。ステップ数は、数値積分および降下法の反
復回数を表し、時間刻み幅は数値積分の間隔Δｔを表
し、終了条件は数値積分および降下法の終了条件を表
す。出力指定パラメタは、出力データ２２の出力間隔等
を指定するパラメタである。終了条件としては、例え
ば、次のようなものが用いられる。 （ａ）計算時間または処理ステップ数があらかじめ決め
られた値に到達したとき、計算を終了する。 （ｂ）あらかじめ決められたＵ（ｑ）の目標値を下回る
コスト値の状態が所定の数以上得られたとき、計算を終
了する。

【００４７】また、度数計算パラメタ３４には、離散
幅、変域パラメタ等が含まれる。離散幅は、与えられた
変数や関数の値の実現度数を計算する際の値の間隔を表
し、変域パラメタは、変数や関数の値の計算範囲を表
す。

【００４８】また、調整パラメタ３５は、上述のパラメ
タβ、Ｑ、およびαの値であり、調整関数の選択条件３
６は、上述の関数Θ_U 、Θ_K 、Θ_Z 、Ａ、およびＢを設
定するための条件である。処理装置には、あらかじめ様
々な調整関数が組み込み関数として格納されており、そ
れらの識別番号を選択条件として入力すれば、指定され
た組み込み関数が自動的に設定される。また、新規関数
の定義を選択条件として入力すれば、新たな調整関数が
設定される。

【００４９】また、境界条件３７は、コスト関数の定義
域Ｄに関する境界条件を表す。例えば、トーラスが境界
条件として指定されると、処理装置は、領域Ｄがトーラ
ス状に連続しているものとみなして、数値積分を行う。

【００５０】また、図４は、出力データ２２を示してい
る。この出力データにおいて、状態変数値の時間変化４
１は、変数ｑの変化を表し、その他の変数値の時間変化
４２は、ｑ以外の変数の変化を表す。最適コスト値の時
間変化４３は、探索により得られたコスト値の最適値の
変化を表す。

【００５１】また、コスト関数値の度数４４は、離散幅
毎に集計されたコスト値の実現度数を表し、系の温度の
度数４５は、離散幅毎に集計された温度の実現度数を表
し、注目する座標の度数４６は、離散幅毎に集計された
座標値ｑ_obs の実現度数を表す。

【００５２】次に、図５から図１２までを参照しなが
ら、図２の処理装置の処理についてより詳細に説明す
る。図５は、入力部１０の処理のフローチャートであ
る。入力部１０は、まず、入力データ２１を入力し（ス
テップＳ１１）、状態変数やその他の変数の初期値を定
義する処理を行い（ステップＳ１２）、度数計算の準備
を行う（ステップＳ１３）。

【００５３】初期値の定義において、自動生成を行うか
どうかをユーザに問い合せ（ステップＳ１４）、自動生
成の指示があれば、所定の方法で各変数の初期値を生成
して（ステップＳ１５）、処理を終了する。自動生成の
指示がなければ、所定の外部ファイルから初期値を読み
込んで各変数に設定し（ステップＳ１６）、処理を終了
する。

【００５４】図６は、コスト定義部１１の処理のフロー
チャートである。コスト定義部１１は、まず、パラメタ
３１に基づいてコスト関数およびその偏導関数を定義し
（ステップＳ２１）、コスト関数を改変するかどうかを
ユーザに問い合せる（ステップＳ２２）。改変の指示が
あれば、コスト関数を改変し（ステップＳ２３）、処理
を終了する。改変の指示がなければ、コスト関数を改変
せずに、処理を終了する。コスト関数の改変の例として
は、定義されたコスト関数の比較的大きな値の部分を探
索対象から除外するような処理が考えられる。

【００５５】図７は、コスト関数値計算部１２の処理の
フローチャートである。コスト関数値計算部１２は、コ
スト定義部１１からコスト関数を受け取り、時刻ｔにお
いて更新された状態ｑに基づいて、コスト関数値を計算
する（ステップＳ３１）。そして、コスト関数の偏導関
数値を計算して（ステップＳ３２）、処理を終了する。

【００５６】図８は、関数作成部１３の処理のフローチ
ャートである。関数作成部１３は、まず、調整関数の選
択条件３６に基づいて、調整関数の新規作成を行うかど
うかを決定する（ステップＳ４１）。選択条件３６が新
規作成を指示していれば、入力された情報に基づいて調
整関数を作成し（ステップＳ４２）、処理を終了する。
新規作成の指示がなければ、調整関数を作成せずに、処
理を終了する。

【００５７】図９は、方程式計算部１４の処理のフロー
チャートである。方程式計算部１４は、まず、（１）〜
（４）式の計算に必要な温度等の変数を計算し（ステッ
プＳ５１）、その結果を用いて（１）〜（４）式の右辺
を計算する（ステップＳ５２）。そして、境界条件３７
に関する処理を行い（ステップＳ５３）、処理を終了す
る。

【００５８】図１０は、数値積分実行部１５およびチェ
ック部１６の処理のフローチャートである。数値積分実
行部１５は、Runge-Kutta 法、Gear法、またはその他の
方法により数値積分を行い（ステップＳ６１）、チェッ
ク部１６は、数値エラーが発生したかどうかをチェック
する（ステップＳ６２）。

【００５９】数値エラーが発生しなければ、度数計算部
１７に後続する処理を依頼し（ステップＳ６３）、処理
を終了する。数値エラーが発生すれば、終了条件が成立
するかどうかに関わらず数値積分を終了させ（ステップ
Ｓ６４）、処理を終了する。

【００６０】図１１は、候補選択部１８の処理のフロー
チャートである。候補選択部１８は、まず、度数計算部
１７の計算結果に基づいて、これまでに得られた状態の
中から最適状態の複数の候補を選択する（ステップＳ７
１）。そして、それらの状態をｑ_min の候補として記憶
し、対応するコスト値をＵ_min の候補として記憶して
（ステップＳ７２）、処理を終了する。

【００６１】図１２は、降下部２０の処理のフローチャ
ートである。降下部２０は、まず、与えられたｑ_min の
候補を初期状態として、所定の降下法の計算ステップを
進め（ステップＳ８１）、コスト関数値を計算する（ス
テップＳ８２）。次に、計算結果をファイルに出力し
（ステップＳ８３）、終了条件が成立するかどうかをチ
ェックする（ステップＳ８４）。

【００６２】終了条件が成立しなければ、ステップＳ８
１以降の処理を繰り返し、終了条件が成立すれば、降下
法を終了する（ステップＳ８５）。そして、出力データ
をディスプレイ画面上で可視化し（ステップＳ８６）、
得られた最適状態を出力して（ステップＳ８７）、処理
を終了する。

【００６３】次に、ｎ＝２とおき、コスト関数Ｕ（ｑ）
を７つの２次元ガウス（Gauss ）関数の和で表して、４
次のRunge-Kutta 法により数値積分のシミュレーション
を行った結果を説明する。探索領域Ｄは２次元トーラス
とし、調整関数は次のように設定した。 Ａ＝０ Ｂ＝０ Θ_U （ｕ）＝（１／２Ｔ′）ｕ² Θ_k （ｋ）＝（１／２Ｔ）ｋ Θ_Z （ζ，ｗ）＝（１／２Ｔ）（Ｑζ² ＋α′ｗ² ） ここで、Ｔ′、Ｔ、およびα′は、調整関数を決定する
パラメタであり、次のように設定した。 Ｔ′＝１０．０ Ｔ＝１０．０ α′＝０．０ また、調整パラメタは次のように設定した。 β＝ｎＴ＝２０．０ Ｑ＝０．００１ α＝０．０ また、初期条件は、ｑ₁ ＝ｑ₂ ＝ｐ₂ ＝ζ＝ｗ＝０．
０、ｐ₁ ＝Ｔ^0.5 とおき、数値積分のステップ数は１０
００００００とし、数値積分の時間刻み幅は０．０００
１とした。すべてのステップにおいてデータを出力する
とデータ量が膨大になることがあるので、ここでは、デ
ータの出力間隔を１０００ステップ毎とした。

【００６４】このとき、Ｕ（ｑ）は図１３に示すような
関数で与えられ、複数の極小値を含んでいる。これらの
極小値のうち最も小さい値が、コスト関数の最適値とな
る。指定されたステップ数の数値積分を行った後、図１
４に示すような座標値の分布が得られ、座標値の実現度
数は図１５のようになった。図１５では、図１３の極小
値に対応する位置において、度数が大きくなっているこ
とが分かる。また、コスト関数値の実現度数は図１６の
ようになった。図１６における度数のピークは、図１３
の極小値に対応している。

【００６５】以上説明した実施形態においては、コスト
関数を実ｎ変数の微分可能な関数としているが、離散型
の変数により記述される問題においても、適当なコスト
関数を定めれば、同様の探索を行うことができる。離散
型の最適化問題としては、例えば、最適配置問題、最適
経路問題、最適ネットワーク問題、最適フロー問題、最
適効率問題等がある。

【００６６】最適配置問題は、都市設計における施設の
配置等を最適化する問題であり、最適経路問題は、車両
のナビゲーションや電気回路等において経路を最適化す
る問題である。

【００６７】また、最適ネットワーク問題は、ガスや水
道の配管、電気配線、通信ネットワーク等を最適化する
問題であり、最適フロー問題は、道路上の交通フローや
ネットワーク上のデータフロー等を最適化する問題であ
り、最適効率問題は、科学、工学、経済、ビジネス等の
分野で効率を最適化する問題である。

【００６８】ところで、上述した図２の処理装置は、図
１７に示すような情報処理装置（コンピュータ）を用い
て構成することができる。図１７の情報処理装置は、Ｃ
ＰＵ（中央処理装置）５１、メモリ５２、入力装置５
３、出力装置５４、外部記憶装置５５、媒体駆動装置５
６、およびネットワーク接続装置５７を備え、それらは
バス５８により互いに接続されている。

【００６９】メモリ５２は、例えば、ＲＯＭ（read onl
y memory）、ＲＡＭ（random access memory）等を含
み、処理に用いられるプログラムとデータを格納する。
ＣＰＵ５１は、メモリ５２を利用してプログラムを実行
することにより、必要な処理を行う。

【００７０】図２の入力部１０、コスト定義部１１、コ
スト関数値計算部１２、関数作成部１３、方程式計算部
１４、数値積分実行部１５、チェック部１６、度数計算
部１７、候補選択部１８、出力部１９、および降下部２
０は、メモリ５２の特定のプログラムコードセグメント
に格納されたソフトウェアコンポーネントに対応し、１
つ以上のインストラクションからなるプログラムにより
実現される。

【００７１】入力装置５３は、例えば、キーボード、ポ
インティングデバイス、タッチパネル等であり、ユーザ
からの指示や情報の入力に用いられる。出力装置５４
は、例えば、ディスプレイ、プリンタ、スピーカ等であ
り、ユーザへの問い合わせや処理結果の出力に用いられ
る。

【００７２】外部記憶装置５５は、例えば、磁気ディス
ク装置、光ディスク装置、光磁気ディスク（magneto-op
tical disk）装置等である。この外部記憶装置５５に、
上述のプログラムとデータを保存しておき、必要に応じ
て、それらをメモリ５２にロードして使用することもで
きる。また、外部記憶装置５５は、コスト関数、調整関
数等を格納するデータベースとしても用いられる。

【００７３】媒体駆動装置５６は、可搬記録媒体５９を
駆動し、その記録内容にアクセスする。可搬記録媒体５
９としては、メモリカード、フロッピー（登録商標）デ
ィスク、ＣＤ−ＲＯＭ（compact disk read only memor
y ）、光ディスク、光磁気ディスク等、任意のコンピュ
ータ読み取り可能な記録媒体が用いられる。この可搬記
録媒体５９に上述のプログラムとデータを格納してお
き、必要に応じて、それらをメモリ５２にロードして使
用することもできる。

【００７４】ネットワーク接続装置５７は、ＬＡＮ（lo
cal area network）等の任意のネットワーク（回線）を
介して外部の装置と通信し、通信に伴うデータ変換を行
う。また、必要に応じて、上述のプログラムとデータを
外部の装置から受け取り、それらをメモリ５２にロード
して使用することもできる。

【００７５】図１８は、図１７の情報処理装置にプログ
ラムとデータを供給することのできるコンピュータ読み
取り可能な記録媒体を示している。可搬記録媒体５９や
外部のデータベース６０に保存されたプログラムとデー
タは、メモリ５２にロードされる。そして、ＣＰＵ５１
は、そのデータを用いてそのプログラムを実行し、必要
な処理を行う。

【００７６】

【発明の効果】本発明によれば、コスト関数の最適値に
対応する状態を探索する処理において、近傍探索能力と
極小状態へのトラップを回避する能力を用いて、最適状
態の候補を次々に探索することができる。これらの２つ
の能力は、必ずしも、力関数の性質や温度制御に依らな
くとも、調整関数を適当に設定することにより実現する
することもできる。

【００７７】また、探索速度を制御する温度パラメタの
値に直接依存しない形で、低コスト値の状態の実現確率
を高めることができる。このため、温度パラメタの値
を、数値計算誤差による不備が発生しない程度にまで高
くすることができ、処理速度の向上が期待できる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の処理装置の原理図である。

【図２】処理装置の構成図である。

【図３】入力データを示す図である。

【図４】出力データを示す図である。

【図５】入力部の処理のフローチャートである。

【図６】コスト定義部の処理のフローチャートである。

【図７】コスト関数値計算部の処理のフローチャートで
ある。

【図８】関数作成部の処理のフローチャートである。

【図９】方程式計算部の処理のフローチャートである。

【図１０】数値積分実行部およびチェック部の処理のフ
ローチャートである。

【図１１】候補選択部の処理のフローチャートである。

【図１２】降下部の処理のフローチャートである。

【図１３】コスト関数を示す図である。

【図１４】座標値の分布を示す図である。

【図１５】座標値の実現度数を示す図である。

【図１６】コスト関数値の実現度数を示す図である。

【図１７】情報処理装置の構成図である。

【図１８】記録媒体を示す図である。

【符号の説明】

１ 入力手段 ２ 候補探索手段 ３ 出力手段 ４ 格納手段 ５ 最適状態探索手段 １０ 入力部 １１ コスト定義部 １２ コスト関数値計算部 １３ 関数作成部 １４ 方程式計算部 １５ 数値積分実行部 １６ チェック部 １７ 度数計算部 １８ 候補選択部 １９ 出力部 ２０ 降下部 ２１、３１、３２、３３、３４、３５、３６、３７ 入
力データ ２２、４１、４２、４３、４４、４５、４６ 出力デー
タ ２３ 最適状態候補 ２４ 最適状態 ５１ ＣＰＵ ５２ メモリ ５３ 入力装置 ５４ 出力装置 ５５ 外部記憶装置 ５６ 媒体駆動装置 ５７ ネットワーク接続装置 ５８ バス ５９ 可搬記録媒体 ６０ データベース

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 桝田 彰一 神奈川県川崎市中原区上小田中４丁目１番 １号 富士通株式会社内 (72)発明者 鈴木 一郎 神奈川県川崎市中原区上小田中４丁目１番 １号 富士通株式会社内 Ｆターム(参考） 5B046 BA02 BA04 CA07 GA01 5B056 AA04 BB03 BB91 5H004 GA18 KC06 KC08 KC12 MA36 MA40 MA50 MA52

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 問題を記述する状態と、状態のコストを
   与えるコスト関数の情報を入力する入力手段と、 前記コスト関数の最適値により近いコスト値の状態の実
   現確率を高めるような決定論的ダイナミクスを用いて、
   最適状態の１つ以上の候補を求める候補探索手段と、 得られた候補を出力する出力手段とを備えることを特徴
   とする処理装置。
2. 【請求項２】 前記１つ以上の候補を格納する格納手段
   と、該１つ以上の候補の各状態から前記コスト関数の値
   が良くなる方向に変化させて、最適状態に近い状態を求
   める最適状態探索手段とをさらに備えることを特徴とす
   る請求項１記載の処理装置。
3. 【請求項３】 パラメタを入力する入力手段と、 状態のコストを与えるコスト関数を定義する定義手段
   と、 調整関数を設定する設定手段と、 前記パラメタ、コスト関数、および調整関数により記述
   される微分方程式を数値的に解き、最適状態の１つ以上
   の候補を求める計算手段と、 得られた計算結果を可視化する出力手段とを備えること
   を特徴とする処理装置。
4. 【請求項４】 前記１つ以上の候補を格納する格納手段
   と、該１つ以上の候補の各状態から前記コスト関数の値
   が良くなる方向に変化させて、最適状態に近い状態を求
   める最適状態探索手段とをさらに備えることを特徴とす
   る請求項３記載の処理装置。
5. 【請求項５】 前記設定手段は、前記コスト関数の最適
   値により近いコスト値の状態の実現確率を高めるような
   調整関数を設定することを特徴とする請求項３記載の処
   理装置。
6. 【請求項６】 コンピュータのためのプログラムを記録
   した記録媒体であって、 問題を記述する状態と、状態のコストを与えるコスト関
   数とを設定するステップと、 前記コスト関数の最適値により近いコスト値の状態の実
   現確率を高めるような決定論的ダイナミクスを用いて、
   最適状態の１つ以上の候補を求めるステップと、 得られた候補を出力するステップとを含む処理を前記コ
   ンピュータに実行させるためのプログラムを記録したコ
   ンピュータ読み取り可能な記録媒体。