JP2000090143A - 時間変化系をモデル化する装置および方法 - Google Patents

時間変化系をモデル化する装置および方法

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JP2000090143A
JP2000090143A JP24574899A JP24574899A JP2000090143A JP 2000090143 A JP2000090143 A JP 2000090143A JP 24574899 A JP24574899 A JP 24574899A JP 24574899 A JP24574899 A JP 24574899A JP 2000090143 A JP2000090143 A JP 2000090143A
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Jaijeet Shankar Roychowdhurry
シャンカー ロイチョウドゥハリー ジャイート
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Abstract

(57)【要約】 【課題】 次数低減に適した時間変化伝達関数を生成す
る方法を提供する。 【解決手段】 本発明は、時間変化システムをモデル化
するための装置および方法、およびこのような装置また
は方法を含むコンピュータで読み出し可能な記憶媒体を
提供する。一実施形態において、装置は、（１）システ
ムに対して、特定の次数の線形時間変化伝達関数を作
り、かつシステムの時間変化に対応する別個のスケール
およびそれへの入力を有する伝達関数ジェネレータ（２
１０）、および（２）伝達関数ジェネレータに結合され
て、特定の次数よりも低い次数のモデルを得るために、
伝達関数を近似するアプロキシメータ（２２０）を含
む。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、モデル化およびシ
ミュレーションシステムに係り、特に、時間変化する系
（システム）の次数低減モデル化の装置および方法、お
よびこれを含むコンピュータで読み出し可能な記憶媒体
に関する。
【０００２】
【従来の技術】通信システム設計における重要な作業
は、個々の回路から始まって全体システムのブロック表
現までの異なるレベルの機能の階層的確証である。この
プロセスにおけるキーとなるステップは、遙かに大きな
サブシステムの振る舞いを所定の正確で抽象化する小さ
なマクロモデルを作ることである。マクロモデルは、よ
り大きなブロックにクラスター化され、この手順は、よ
り高いレベルにおいて繰り返され得る。ミクサおよびス
イッチドキャパシタフィルタのような非線形ブロックを
有する系（システム）に対して、これは、典型的には、
ブロックの動作の理解に基づいて、マクロモデルを手作
業で構成するために、詳細な非線形シミュレーションか
らの結果を使用することにより達成される。
【０００３】このプロセスは、不利な点を有する。非線
型シミュレーションは、極およびゼロのような関係する
パラメータを直接的に提供しない。これらを検査により
得るために、多くの点を有する周波数応答プロットが、
しばしば計算される。非線形ブロックは、各点において
定常状態解を必要とするので、これは、大きなサブシス
テムに対して非常に時間のかかるものとなり得る。ま
た、信頼性のある確証のために重要なマクロモデル化ス
テップは、探求に時間がかかるものであり、かつ検討さ
れるシステムの詳細な内部についての知識に大きく依存
する。
【０００４】次数低減モデル化は、回路アプリケーショ
ンに対してよく確立されている。例えば、L.T. Pillage
および.A. Rohrerによる Asymptotic Waveform Evalua
tionfor Timing Analysis, IEEE Trans. CAD, 9:352-36
6, April 1990、 X. Huang、V. RaghavanおよびR.A. Ro
hrerによる AWEsim: A Program for the EfficientAnal
ysis of Linear (ized) Circuits, Proc. ICCAD, pages
534-537, November 1990、E. ChiproutおよびM.S. Nak
hlaによる Asymptotic Waveform Evaluation Kluwer, N
orwell, MA, 1994, address one technique (AWE). P.
Feldman andR. Freund, Efficient Linear Circuit Ana
lysis by Pade Approximation viathe Lanczos Proces
s, IEEE Tans. Cad, 14(5):639-649, May 1995、 P. Fe
ldmannおよび R. Freundによる Reduced-Order Modelin
g of Large Linear Subcircuits via a Block Lanczos
Algorithm, Proc. IEEE DAC, pages 474-479, 1995,add
ress another technique (PVL)、A. Odabasioglu、 M.
Celikおよび L.T. Pileggiによる PRIMA: Passive Redu
ced-Order Interconnect Macromodeling Algorithm, Pr
oc. ICCAD, pages 58-65, 1997, address still a thir
d technique (PRIMA)を参照のこと。
【０００５】しかし、これらの現存する方法は、線形時
間不変（ＬＴＩ）システムにのみ適用可能である。これ
らは、ＬＴＩモデルにより表現することができない周波
数変換のような特性を有する通信ブロックにとって不適
切である。
【０００６】一方、システムの線形時間変化（ＬＴＶ）
記述は、周波数変換およびミキシング／スイッチングの
振る舞いをとらえることができる。ＬＴＶ伝達関数は、
しばしば、無線周波数（ＲＦ）シミュレーション（例え
ば、周波数応答のプロッティングまたはサイクロステー
ショナリノイズの計算）との関連でしばしば演算され
る。例えば、R. Telichevesky、 K. Kundertおよび J.
Whiteによる EfficientAC and Noise Analysis of Two-
Tone RF Circuits, Proc. IEEE DAC, pages 292-297, 1
996を参照のこと。しかし、時間変化伝達関数の次数を
減少させるために適した公式は、現時点では利用可能で
ない。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】したがって本発明の目
的は、この技術分野において必要とされるものは、次数
低減に適した時間変化伝達関数を生成する方法を提供す
ることである。
【０００８】
【課題を解決するための手段】上述した従来技術の問題
点を解決するために、本発明は、時間変化システムをモ
デル化するための装置および方法、およびこのような装
置または方法を含むコンピュータで読み出し可能な記憶
媒体を提供する。一実施形態において、この装置は、
（１）システムに対して、システムの時間変化に対応す
る別個のスケールおよびそれへの入力を有する特定の次
数の線形時間変化伝達関数を作る伝達関数ジェネレー
タ、および（２）伝達関数ジェネレータに結合されて、
特定の次数よりも低い次数のモデルを得るために、伝達
関数を近似するアプロキシメータを含む。
【０００９】ＬＴＶケースに対してＬＴＩモデル縮小技
術を一般化することにおける基本的に困難なことは、シ
ステム時間変化の入力時間変化との干渉であった。本発
明は、時間スケールが別個に保たれなければならないこ
とを認識し、最近開発された複数時間変数およびマルチ
レート部分差分式（ＭＰＤＥ）の概念を使用して、モデ
ル縮小に適したＬＴＶ伝達関数のための形を得る。
【００１０】したがって、本発明は、システムに現れる
システム依存の時間変化および入力依存の時間変化が別
個に位置される時間変化システムについての伝達関数を
作る広い概念を導入する。これは、時間変化の独立性を
保ったまま、伝達関数に近似がなされることを許容す
る。時間不変システムとの関係でのみ有用な近似が、非
線形性を含むモデル時間変化システムに使用され得る。
【００１１】本発明の一実施形態において、アプロキシ
メータは、ペード（Pade）アプロキシメータであり、こ
のモデルは、伝達関数のペード近似を含む。当業者に
は、ペード近似および時間不変関数を近似するためのそ
の使用がよく知られている。本発明は時間変化システム
をモデル化することに好都合なそのような近似を使用す
る。しかし、本発明はペード型近似に限られるものでな
い。
【００１２】本発明の一実施形態において、モデルの次
数は選択可能である。したがって、ユーザは、近似が伝
達関数を単純化する程度を選択することができる。勿
論、より大きな次数の近似は、実際の伝達関数をより正
確にしうるが、そのような近似は一般に複雑となり、計
算するためにより長い演算時間を必要とする。
【００１３】本発明の一実施形態において、アプロキシ
メータ(approximator)は、伝達関数のモーメントをエク
スプリシット(明白的：explicitly)に計算し、それらモ
ーメントを一致させてモデルを得る。別の実施形態にお
いて、アプロキシメータは、伝達関数をモデルと直接的
に置き換える。この場合、伝達関数のモーメントはイン
プリシット(暗黙的：implicitly)に一致させられる。
【００１４】後者の実施形態の特別な場合において、ア
プロキシメータは、クリロフ部分空間(Krylov sub-spac
e)プロセスを使用することにより、伝達関数を置き換え
る。伝達関数を近似するいくつかの異なる方法が、詳細
な説明において説明される。
【００１５】
【発明の実施の形態】図１には、本発明のソフトウェア
に基づく実施形態が動作することができる環境を形成す
ることができるコンピュータシステムのブロック図が示
されている。コンピュータシステム１００は、時間変化
システムをシミュレートするための命令のシーケンスを
記憶しかつ実行することができる汎用コンピュータとし
て示されている。本発明は汎用コンピュータにおけるア
プリケーションに限定されないので、図１は例示の目的
でのみ示されている。
【００１６】コンピュータシステム１００は、モニタま
たはディスプレイ１１０、シャーシ１２０およびキーボ
ード１３０を含む。モニタ１１０およびキーボード１３
０は、コンピュータシステム１００とユーザとの間の、
例えば、グラフィカルユーザインタフェース、即ちＧＵ
Ｉによる通信を許容するように協働する。代替的に、モ
ニタ１１０およびキーボード１３０は、他の通常の入出
力装置により、それぞれ置き換えられ得る。シャーシ１
２０は、フロッピーディスクドライブ１４０およびハー
ドディスクドライブ１４５の両方を含む。
【００１７】フロッピーディスクドライブ１４０は、取
り外し可能なディスクを受け入れ、読み出しかつ書き込
むために使用される。ハードディスクドライブ１４５
は、典型的には取り外し不可能なディスクへの高速アク
セス記憶および検索のために使用される。フロッピーデ
ィスクドライブ１４０は、データおよび命令を送受信す
るための他の通常の構造と置き換えることができまたは
これと組み合わせることができる。他の通常の構造は、
テープおよびコンパクトディスクドライブ、電話システ
ムおよび装置（ビデオホン、ページングおよびファクシ
ミリ技術を含む）、およびシリアルおよびパラレルポー
トを含み、これに限定されない。
【００１８】シャーシ１２０は、切り欠き部を有するよ
うに示されており、バッテリ１５０、クロック１６０、
プロセッサ１７０（例えば、Santa Clara, California
のIntel Corporationにより製造されているPentium(R)
プロセッサ）およびメモリ１８０を含む。コンピュータ
システム１００は単一のプロセッサ１７０、ハードディ
スクドライブ１４５およびメモリ１８０を有するように
示されているが、コンピュータシステム１００は、複数
のプロセッサおよび周辺装置を備えることができる。
【００１９】汎用コンピュータとして機能することに適
した少なくとも１つのプロセッサを有するいかなる通常
のコンピュータシステムも、コンピュータシステム１０
０と置き換えることができ、またはコンピュータシステ
ム１００と共に使用することができる。そのようなコン
ピュータシステムは、ハンドヘルドコンピュータ、ラッ
プトップ／ノートブックコンピュータ、ミニコンピュー
タ、メインフレームコンピュータおよびスパーコンピュ
ータを含み、ＲＩＳＣおよび並列処理アーキテクチャを
含むもの、並びにコンピュータシステム／ネットワーク
の組み合わせ内にあるものも含み、これらに限定されな
い。
【００２０】代替的な有利な実施形態において、プロセ
ッサ１７０は、全体または部分的に、多重処理および並
列処理コンフィギュレーション、プログラマブルアレイ
ロジック（ＰＡＬ）およびプログラマブルロジックアレ
イ（ＰＬＡ）、デジタルシグナルプロセッサ（ＤＳＰ）
フィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ）、
特定用途向け集積回路（ＡＳＩＣ）、大規模集積回路
（ＬＳＩ）、超大規模集積回路（ＶＬＳＩ）、または本
願明細書において、示された様々なタイプの回路、コン
トローラおよびシステムを形成するためのものを含むい
かなる適切な処理構成と置き換えることができ、または
これらと組み合わせることができる。
【００２１】プロセッサ１７０は、図示されているよう
にバス構成を含むが、代替的な構成も本発明の広い範囲
の中に入る。また、通常のコンピュータシステムアーキ
テクチャは、The Indispensable PC Hardware Book, by
Hans-Peter Messmer, Addison Wesley (2nd ed. 1995)
and Computer Organization and Architecture, byWil
liam Stallings, MacMillan Publishing Co. (3rd ed.
1993)により詳細に説明されており、通常のコンピュー
タまたは通信ネットワーク設計は、Data Network Desig
n, by Darren L. Spohn, McGraw-Hill, Inc. (1993)に
より詳細に説明されており、通常のデータ通信は、Voic
e and Data Communications Handbook,by Bud Bates an
d Donald Gregory, McGraw-Hill, Inc. (1996), Data C
ommunications Principles, by R.D. Gitlin, J.F. Hay
es and S.B. Weinstein, PlenumPress (1992) and The
Irwin Handbook of Telecommunications, by James Har
ry Green, Irwin Professional Publishing (2nd ed. 1
992)に詳細に説明されてる。
【００２２】本発明は、データ処理および記憶回路（例
えば、コンピュータシステム１００）中で実行可能なソ
フトウェア命令のシーケンスに具現化され得る。ソフト
ウェア命令のシーケンスは、磁気ディスクまたは光ディ
スクのようなコンピュータで読み取り可能な記憶媒体ま
たは他の現行の媒体または後に開発される媒体に含まれ
得る。当業者には、本発明がそのように具現化され、デ
ータ処理および記憶回路において同様に実行するシミュ
レーションソフトウェアと協働することが可能になって
いるときの得られる利点が分かるであろう。しかし、当
業者は、また、本発明の原理がアナログまたはデジタル
ハードウェアにおいて適切に実行されることを理解する
であろう。
【００２３】図２には、本発明により構成された時間変
化システムをモデル化するための装置２００の一実施形
態のブロック図が示されている。装置２００は、このシ
ステムに対して、特定の次数であり、かつこのシステム
の時間変化に対応する別個のスケールを有する線形時間
変化伝達関数を作る伝達関数ジェネレータ２１０および
これへの入力を含む。時間変化伝達関数は、ＬＴＶ伝達
関数であり得る。
【００２４】上述したように、ＬＴＶ伝達関数は、ＲＦ
シミュレーション（例えば、周波数応答のプロッティン
グまたはサイクロステーショナリノイズの計算）との関
連でしばしば演算されるが、モデル縮小化に適した公式
は、この時点に利用可能である必要はない。本発明の一
実施形態、即ち時間変化ペード（ＴＶＰ）は、いくつか
の有用な特徴を有する。この方法の必要とされる演算／
メモリは、因数分解行列演算および反復的線形代数学が
使用されるので、回路サイズとほぼ線形的に決まる。
【００２５】例えば、M. Rosch and K.L. Antreich, Sc
hnell Stationare Simulation Nichtlinearer Schaltun
gen im Frequenzbereich, AEU, 46(3):168-176, 1992;
R.C.Melville, P. Feldman, and J. Roychowdhury, Eff
icient Multi-Tone Distortion Analysis of Analog In
tegrated Circuits, Proc. IEEE CICC, pages 241-244,
May 1995; P. Feldmann, R.C. Melville, and D. Lon
g, Efficient Frequency Domain Analysis of Large No
nlinear Analog Circuits, Proc. IEEE CICC,May 1996;
and J. Roychowdhury, D. Long and P. Feldmann, Cyc
lostationaryNoise Analysis of Large RF Circuits wi
th Multiｔone Excitations, IEEE J.Solid-State Ckt
s., 33(2):324-336, March 1998を参照のこと。
【００２６】ＴＶＰは、ＬＴＩシステムとしての次数低
減モデルおよびそれに続くメモリレスミキシング動作を
提供する。これは、現存する回路にマイクロモデルを含
ませることおよびシステムレベルシミュレーションを容
易にする。ＴＶＰ自体は、商業的に入手可能なＳＰＩＣ
Ｅのような非線形時間ドメインシミュレータ、ハーモニ
ックバランスを使用する非線形周波数ドメインシミュレ
ータ、および商業的に入手可能なＳＷＩＴＣＡＰおよび
ＳＩＭＰＬＩＳのような線形時間変換シミュレータを含
む数多くの現存するシミュレータツールにおいて容易に
具現化され得る。
【００２７】また、時間ドメイン演算は、システムの定
常状態を得ることまたは使用することを必ずしも必要と
しない。現存するＬＴＩモデル縮小コードは、ＴＶＰの
具現化においてブラックボックスとして使用され得る。
そのＬＴＩの対応するものと同様に、クリロフ法に基づ
くＴＶＰは、数字的によく調整されており、支配的な極
および剰余を直接的に作り出すことができる。
【００２８】より重要なこととして、何れかの所望の正
確さで次数低減モデルを生成するアルゴリズム的手段を
提供することにより、ＴＶＰは、従来可能であったもの
より厳格かつ迅速に、通信サブシステムのマクロモデル
を詳細な実現に結びつけることができる。これは、最終
的なデザインに落ち着くまでに必要とする繰り返し数を
かなり減少させることができる。ＴＶＰは、ＲＦブロッ
ク、スイッチドキャパシタフィルタ、スイッチングパワ
ーコンパータおよびいくつかのデジタル要素を含むその
動作に対する線形的側面と使用されうるが、非線形およ
び発振性を取り扱う拡張も可能である。この方法が生成
するFloquetパラメータは、位相雑音計算に有用であり
得る。
【００２９】ＬＴＶ伝達関数 非線形システムは、大きな信号ｂ1（ｔ）および小さな
入力信号ｕ（ｔ）により駆動され、出力ｚt}ｔ）を生成
するものと考えられる。単純化のために、ｕ（ｔ）およ
びｚ（ｔ）の両方は、スカラとしてとることができる。
ベクトル係数への一般化が、簡単である。非線形システ
ムは、ベクトル差分代数式（ＤＡＥ）、回路および多く
の他のアプリケーションに正確な記述を使用してモデル
化される。
【数１】 回路との関連において、ｙ（ｔ）は、ノード電圧および
ブランチ電流のベクトルであり、ｑ（）およびｆ（）
は、回路中のそれぞれ電荷／時速および抵抗の項を表す
非線形関数である。ｂおよびｄは、入力および出力をシ
ステムの残りの部分とリンクさせるベクトルである。
【００３０】この時点において、式（１）のＭＰＤＥ形
式を変形することが好都合である。このようにすること
は、入力およびシステムタイムスケールを分離すること
を可能にし、これから分かるように、減次モデル化に有
用なＬＴＶ伝達関数の形を導き出す。ＭＰＤＥ式（２）
への変形は、式（１）が式（２）と正確に等価であると
いう事実により正当化される。
【数２】 式（２）中のハットを載せられた変数は、式（１）中の
対応する変数の二階微分形である。
【００３１】ｕにおいて、線形の出力成分を得るため
に、ｕ（ｔ2）＝０の場合に式（２）の解について線形
化が実行され得る。この解をｙ^*（ｔ1）とする。ｙ^*
は、ｔ2と常に独立に選択されうる。ｙ^*についての線
形化は、線形ＭＰＥＤを得る。
【数３】 式（３）において、量ｘ^、ｚ^およびｚは、それぞれｙ
^、ｚ^tおよびｚtの小信号バージョンである。
【数４】 は時間変化行列である。
【００３２】二階微分出力ｚ^（ｔ1，ｔ2）は、入力ｕ
（ｔ2）において線形であるが、この関係は、ｔ1の存在
のために時間変化する。ｕからｚ^まで時間変化伝達関
数を得るために、式（３）は、ｔ2に関してラプラス変
換され得る。
【数５】 式（４）において、ｓはｔ2時間軸についてのラプラス
変数であり、大文字のシンボルは変換された変数であ
る。
【００３３】演算子を定義することにより、
【数６】 式（４）は、次式で書き表される。
【数７】 時間変化伝達関数Ｈ（ｔ1，ｓ）の演算子形式を得るた
めに、
【数８】 最終的に、出力ｚ（ｔ）とその二階微分形式ｚ^との間
の周波数ドメイン関係は、
【数９】 Ｚ（ｓ）は、ｚ（ｔ）のラプラス変換であり、Ｚ
s（ｓ1，ｓ2）はｚ^（ｔ1，ｔ2）の二次元ラプラス変
換、即ち等価的にｔ1に関してＺ（ｔ1，ｓ2）のラプラ
ス変換である。
【００３４】式（７）の演算子形式は、次数低減モデル
化について既に有用である。しかし、ｔ1依存性は、原
理において拡張可能である。これは、現存のモデル縮小
コードが適用可能な伝達関数の行列形式、即ち具現化に
有利な特徴を導き出す。以下に説明する周波数ドメイン
に基づく関数は、比較的、サイン関数変数と共に適用す
ることが自然であるが、時間ドメイン関数は、スイッチ
ングまたは周期的でない振る舞いを伴うシステムにより
適している。
【００３５】周波数ドメイン行列形式 Ｃ（ｔ1）およびＧ（ｔ1）が角周波数ω0で周期的であ
ると仮定する。Ｗ（ｔ1，ｓ）は、式（７）中の逆演算
子として定義され得る。
【数１０】 Ｗ（ｔ1，ｓ）も、ｔ1において周期的定常状態であると
仮定し、係数Ｃi、ＧiおよびＷi（ｓ）をそれぞれ有す
るフーリエ級数中の展開Ｃ（ｔ1），Ｇ（ｔ1）およびＷ
（Ｔ1，ｓ）を仮定する。
【数１１】
【００３６】フーリエ係数の以下の長いベクトルが定義
され得る。
【数１２】 式（１０）を式（９）に代入し、かつｅjω0t1の係数を
同一視することにより次のブロック行列式が成り立つ。
【数１３】 ここで、
【数１４】
【数１５】
【００３７】式（１２）、（９）および（７）から、Ｈ
（ｔ1，ｓ）についての次の行列表現が得られる。
【数１６】 式（１４）から、Ｅ（ｔ1）は、フーリエ展開で書くこ
とができる。
【数１７】 したがって、式（１５）はフーリエ級数で書き表すこと
ができる。
【数１８】
【００３８】式（１７）は、いかなる線形周期的時間変
化システムもＬＴＩシステムに分解することができ、ｅ
jiω0tとメモリレス乗算ができることを、図３に示すよ
うに意味する。以上は、Floquet理論の代替的な導出で
ある。量Ｈi（ｓ）は、以下「ベースバンド参照伝達関
数」と称される。
【００３９】（１８）式のように定義すると、
【数１９】 （１９）式が得られる。
【数２０】 式（１９）は、単一入力複数出力伝達関数についてのブ
ロック行列式である。ＬＴＶシステム式（３）のサイズ
がｎであり、かつＬＴＶシステムのＮ個のハーモニクス
が実際に考慮されると、Ｂ-> FDは、Ｎｎ×１のサイズの
ベクトルであり、ＣFDおよびＪFDは、Ｎｎ×Ｎｎの正方
形行列であり、Ｄは、Ｎｎ×Ｎのサイズの矩形行列であ
り、Ｈ-> FD（ｓ）は、Ｎのサイズのベクトルである。
【００４０】時間ドメイン行列形式 式（９）を再度考えると、
【数２１】 式（２０）は、サンプルの項中の差分を表すために、線
形マルチステップ公式（例えば、バックワードオイラ
ー）を使用して、Ｎ＋１個のサンプルｔ1.0＝０，
ｔ1.1，…，ｔ1.Nにおけるｔ1∈〔０，Ｔ1〕について配
列することができる。
【００４１】長ベクトルＷ-> FDおよびＢ-> FDにより、Ｗ
（ｔ1，ｓ）およびｂのサンプルを表すと、
【数２２】 校合された式に対する次の行列形式が得られる。
【数２３】 ここで、
【数２４】 そしてゼロ初期状態Ｗ（０，ｓ）＝０が仮定される。
【００４２】システムが周期的である場合、周期的境界
条件が適用できる。式（２２）および式（２３）におけ
る変化のみが、Δ、
【数２５】 （２５）式を定義すると、（２６）式が得られる。
【数２６】 Ｄは、式（１９）中のものである。式（７）、（１９）
および（２６）中に含まれるＬＴＶ伝達関数のための形
式は、システム全体の寸法が実際には大きいことがある
ので、評価することが高価になりうる。より小さな寸法
の量を使用するＨ（ｔ1，ｓ）を近似するために方法が
提案される。
【００４３】ＬＴＶ伝達関数のペード近似 図２に示された装置２００は、伝達関数発生器２１０に
結合されたアプロキシメータ２２０をさらに含む。アプ
ロキシメータ２２０は、伝達関数を近似し、特定の次数
よりも１次数低いモデルを得る。例示的な実施形態にお
いて、アプロキシメータ２２０はペードアプロキシメー
タである。
【００４４】元になっている原理はその第１のいくつか
のモーメントが元の大きなシステムに一致するサイズｑ
のより小さなシステムを得るためのペード近似の原理、
即ちＬＴＶ伝達関数の何れかの形式についての原理であ
る。これは、現存するＬＴＩモデル縮小法に対応する２
つの広い方法において達成され得る。ＴＶＰ−Ｅ（ＴＶ
Ｐ−Explicit）は、ＬＴＩシステムのためのＡＷＥにだ
いたいにおいて似ており、大きなシステムのモーメント
をエクスプリシットに計算することおよびこれらのモー
メントから次数低減モデルを作ることを含む。この方法
は、以下に概略が説明される。
【００４５】別の方法は、ＴＶＰ−Ｋ（ＴＶＰ−Krylo
v）であり、これは大きなシステムを小さなシステムと
直接的に置き換えてモーメントマッチングをエクスプリ
シットに達成する。これは、クリロフ部分空間法を使用
し、ＰＶＬおよびＭＰＶＬのようなLanczosプロセス、
演算子クリロフ法、ＰＲＩＭＡのようなArnoldiプロセ
スなどに基づくＬＴＩモデル縮小技術に似ている。
【００４６】演算子クリロフ法については、（M. Celik
and A.C. Cangellaris, Simulation of Dispersive Mu
lticonductor Transmission Lines by Pade Approximat
ionby the Lanczos Process, IEEE Trans. MTT, (44):2
525-2535, 1996; and M. Celik and A.C. Cangellaris,
Simulation of Multiconductor Transmission Lines U
sing Krylov Subspace Order-Reduction Techniques, I
EEE trans. CAD, (16):485-496, 1997）を参照のこと。
【００４７】Arnoldiプロセスについては、（I.M. Jaim
oukha, A General Minimal Residual Krylov Subspace
Method for Large-Scale Model Reduction, IEEE Tran
s. Automat. Control, (42):1422-1427, 1997; and I.
Elfadel and D. Ling, A Block Rational Arnoldi Algo
rithm for Multipoint Passive Model-Order Reduction
of Multiport RLC Networks, Proc. ICCAD, pages 66-
71, 1997）を参照のこと。ＬＴＩ法におけるように、ク
リロフ部分空間に基づくＴＶＰは、以下に説明するよう
にエクスプリシットモーメントマッチングについていく
つかの有利な点を有する。演算子または行列に基づく技
術は、エクスプリシットＴＶＰおよびKrylovＴＶＰの両
方に適用可能である。演算子法および行列法の両方につ
いて、以下に説明する。
【００４８】ＴＶＰ−Ｅ：エクスプリシットモーメント
マッチングを使用するＴＶＰ 式（７）、式（１９）および式（２６）のいずれの形式
も、エクスプリシットモーメントマッチングに使用する
ことができる。ここでは、式（７）を使用する演算子法
が示される。Ｈ（ｔ1，ｓ）は、式（７）から次のよう
に書き直すことができる。
【数２７】 式（２７）中のＨ（ｔ1，ｓ）は、次のように展開され
る。
【数２８】 式（２８）中のｍi（ｔ1）は、Ｈ（ｔ1，ｓ）の時間変
化モーメントである。
【００４９】これらのモーメントは、Ｌ[]の繰り返し適
用により式（２８）中のそれらの定義からエクスプリシ
ットに計算されうる。式（２７）中のその定義から、Ｌ
[]の適用は、線形時間変化差分式を解くことに対応す
る。時間変化システムが、アプリケーションにおいてし
ばしば当てはまるように周期的定常状態である場合、Ｌ
[]は、シューティング法のハーモニックバランスの内側
ループにおいて生じる式を解くことにより、数字的に適
応することができる。最近開発された反復法は、これら
の式の大きなシステムを線形時間内に解くことを可能に
する。したがって、時間変化モーメントは、容易に計算
することができる。
【００５０】モーメントｍi（ｔ1）が演算されると、ｔ
1は所定の値に固定することができ、エクスプリシット
モーメント（例えば、ＡＷＥ）を使用するいずれの現存
するＬＴＩモデル縮小技術も、ｑ次縮小モデルを作るた
めに、ｑステップにおいて実行することができる。この
ステップは、関係する全てのｔ1次に対して繰り返すこ
とができ、次式の形のＨ（ｔ1，ｓ）に対する全体的次
数低減モデルを作り出す。
【数２９】
【００５１】以上に説明した手順は、単純ではあるが、
いくつかのアプリケーションにおいて関係する２つの不
利な点がある。第１番目のものは、エクスプリシットモ
ーメントを使用するモデル縮小法は、数値的な悪化を受
け、ｑに対する値を１０以上に制限する。第２のもの
は、式（２９）の形式が、時間変化極を有することであ
る。
【００５２】Floquet理論を使用して、伝達関数Ｈ
（ｔ1，ｓ）がｔ1と独立な可能性として無限数個の極を
有することが示され、これらのポールは複数のシステム
周波数によりシフトされた単にFloquet固有値であり、
剰余と共に実際ｔ1で変化する。同様の特性を有する次
数低減モデルを得ることが望ましい。実際、この要求
は、システムレベルモデル化アプリケーションに対して
非常に望ましい式（３）の時間ドメイン形式において縮
小システムを得ることに等価である。両方の問題点を除
去するＴＶＰについてのクリロフ部分空間手順を次に説
明する。
【００５３】ＴＶＰ−Ｋ：クリロフ部分空間法を使用す
るＴＶＰ この章において、ブロックLanczosアルゴリズムをＬＴ
Ｖ伝達関数の複数出力行列形式に適用することを説明す
る。ブロックLanczosアルゴリズムについては、例え
ば、J. Aliaga, D. Boley, R. Freund, and V. Hernand
ez, A Lanczos-Type Algorithm for Multiple Starting
Vectors, 1996, Numerical Analysis Manuscript No.
96-18, Bell Laboratories; R. Freund, G.H. Golub, a
nd N.M. Nachtigal, Iterative Solution of Linear Sy
stems, Acta Numerica, pages 57-100, 1991,を参照の
こと。
【００５４】代替的に、演算子Lanczosまたは何れかのA
rnoldiも適用可能である。クリロフ部分空間法を使用す
ることは、次数低減モデルを得るための数値的に安定な
方法を提供するのみならず、これに加えて、結果として
得られる縮小された伝達関数は、可能性として無限の数
のｔ1不変極に似た極性を有する式（７）中のＨ（ｔ1，
ｓ）と同様の形式を有する。式（１９）および（２６）
の両者は次の形式となる。
【数３０】
【００５５】式（３０）は、ブロックLanczos法による
次数低減モデル化に直接的に使用することができる。量
Ｄ、Ｃ、ＪおよびＢ->を使用するｑステップにおけるブ
ロックLanczosアルゴリズムを実行することで、次の行
列およびベクトル；Ｌq（サイズｑ×Ｎ），Ｒq（サイズ
ｑ×１）およびＴq（サイズｑ×ｑ）を作る。ｑ次近似
値Ｈ->q（ｓ）は、次式で定義される。
【数３１】 ２つの量の所定数の行列モーメントが同一であるという
意味で、Ｈ->q（ｓ）≒Ｈ->（ｓ）となる。また、ｑの
小さな値であっても優れた近似を導くことが実際の場合
に典型的である。
【００５６】式（３１）中の量を使用して、サイズｑの
等価システムが得られる。上述した周波数ドメイン行列
形式についての手順が示される。時間ドメイン形式は、
以下の基本関数の選択において単に異なるが、類似して
いる。
【数３２】 ここで、Ｌq.iは、Ｌqのｉ番目の列である。
【００５７】近似ＬＴＶ伝達関数Ｈ->q（ｔ1，ｓ）は次
式で与えられる。
【数３３】 式（３３）は、以下の時間ドメイン式のｑ次縮小システ
ムの時間変化伝達関数である。
【数３４】 ここで、ｘ￣（ｔ）は、サイズｑのベクトルであり、元
のシステム式（３）のものよりも遙かに小さい。
【００５８】上記のＴＶＰ−Ｋ手順は、数多くの有用な
特性を有する。 （１） 式（３４）は、時間変化が出力式にのみ現れる
線形時間不変システムを表す。この特徴は、減次モデル
を現存するシミュレーションツールに適合させることを
非常に容易にする。 （２） 実際に、関係するハーモニクスに対応するベー
スバンド参照伝達関数のみが、式（１８）に表現するこ
とができ、Ｄの列の数を減少させる。同様に、平均化／
フーリエ解析のためのいかなる事後処理も式（２５）に
直接的に適合させることができ、時間ドメイン出力の数
を減少させる。
【００５９】（３） 式（３３）は、Ｈ->q（ｓ）に類
似する可能性として無限数の時間不変極をＨ->q（ｔ1，
ｓ）が有することを意味するように示され得る。また、
Ｔqの固有値は、元のＬＴＶシステムを近似する減次モ
デルのFloquet指数である。Ｈi（ｓ）の減次モデルの極
および剰余は、Ｔqの固有値から容易に計算することが
できる。Floquet指数は、発振器フェーズノイズアプリ
ケーションにおいても有用である。
【００６０】（４） LanczosおよびArnoldiのようなク
リロフ部分空間アルゴリズムは、Ｃを有する行列ベクト
ル積およびＪを有する線形システム解のみを要求する。
両方の行列は、大きく、密であり、直接解法を適用する
には困難である可能性があるが、構造を開発することお
よび反復線形代数手法を使用することは、問題となるサ
イズとほぼ線形にこれらの演算スケールをすることがで
きる。これらの高速手法が使用されると、ＴＶＰアルゴ
リズムにより必要とされる演算は、回路サイズおよび時
点に対するハーモニクスの数とを線形に増大し、これを
大きな問題に対して有用にする。
【００６１】（５） 上述したエクスプリシットモーメ
ントマッチングでの数値的悪化問題は、クリロフ法を使
用して除去され、したがってＴＶＰは、必要であればｑ
の大きな値まで実行可能である。 （６） ｐi入力およびｐo出力を有するシステムは、Ｈ
->に余分の出力をスタックし（サイズｎＮ×ｐoＮのＤ
の結果となる）および入力をＢ->に適合させる（サイズ
ｎＮ×ｐiの矩形行列を形成する）ことにより容易に取
り扱うことができる。
【００６２】手計算可能な例図４には、本発明の装置ま
たは方法が解析可能な例示的な電子回路が示されてい
る。回路４００は、アップコンバータであり、ローパス
フィルタ４１０、理想ミクサ４２０および２個のバンド
パスフィルタ段４３０，４４０からなる。部品の値は、
Ｒ１＝１６０Ω、Ｒ２＝１．６Ω、Ｒ３＝５００Ω、Ｃ
1＝Ｃ2＝Ｃ3＝１０ｎＦおよびＬ2＝Ｌ3＝２５．３５ｎ
Ｈに選択される。これらの値により、ローパスフィルタ
４１０は、１００ｋＨｚにおいて極を有し、バンドパス
フィルタ４３０，４４０は、１０ＭＨｚの中心周波数お
よびそれぞれ約１０ｋＨｚおよび３０ｋＨｚの帯域幅を
有する。ミクサ４２０に対するＬＯ周波数は、１０ＭＨ
ｚに選択された。
【００６３】図３において、この場合における関係する
ベースバンド参照伝達関数は、それらが望ましいアップ
コンバージョンおよびダウンコンバージョンパスに現れ
るので、Ｈ1（ｓ）およびＨ-1（ｓ）である。これは、
Ｈ-1（ｓ）＝Ｈ* i（−ｓ）として示され、これはここで
はＨ1（ｓ）のみを考慮するために十分である。Ｈ
1（ｓ）に対する展開は、単純な周波数変換コンセプト
を使用して容易に導き出すことができる。
【数３５】
【００６４】式（３５）は、図５Ａおよび５Ｂにおいて
それぞれ正の周波数および負の周波数に対してプロット
される。図５Ａおよび５Ｂにおいて、ｑ＝２およびｑ＝
３を有するＴＶＰから得られた減次モデルもプロットさ
れている。ｑ＝２に対してＴＶＰが合理的な近似をな
し、元のシステムが５次であるにもかかわらず、ｑ＝３
に対する一致は、実質的に完全であることが分かる。
【００６５】元のシステムの極およびＴＶＰからの極が
表１に示されている。 表１− Ｈ1（ｓ）の極、オリジナル伝達関数および減次モデル ─────────────────────────────────── オリジナルシステム ＴＶＰ，ｑ＝２ ＴＶＰ，ｑ＝３ ─────────────────────────────────── -1.99e-5+j1.55e-5 -1.98e-5+j1.56e-5 -1.99e-5+j1.55e-5 -9.43e-6+j2.31e-6 -9.73e-6+j2.18e-6 -9.43e-6+j2.31e-6 -1.6e-6 -1.6e-6 -2.27e-11+j7.95e-9 -1.43e-11+j7.96e-9 ───────────────────────────────────
【００６６】Ｉチャネルバッファおよびミクサ回路 ＴＶＰは、Ｉチャネルバッファおよびミクサからなる商
業的に入手可能なＷ２０１３ＲＦ集積回路（ＲＦＩＣ）
の一部を縮小するために使用され得る。この回路は、約
ｎ＝３６０個のノードからなり、１７８ＭＨｚでミクサ
を駆動する直部発振器により励起される一方で、ＲＦ入
力はＩチャネルバッファに与えられる。時間変化システ
ムは、発振器周波数における回路の定常状態について得
られた。全体としてＮ＝２１個のハーモニクスが時間変
化に対して考慮された。
【００６７】図６Ａおよび６Ｂは、Ｉチャネルバッファ
およびミクサおよび次数低減モデルに関連する非縮小伝
達関数を示す。「＋」の印を付けられた点は、式（１
７）の直接的演算により得られたが、線は、それぞれｑ
＝２およびｑ＝１０を有するＴＶＰ生成次数低減モデル
を使用して演算された。ｑ＝２、即ち大きさの２次のサ
イズ縮小の場合にも、減次モデルは、ＬＯ周波数まで良
い一致を提供する。ゼロ次近似は１０に増大されると
き、次数低減モデルは、ＬＯ周波数を超えてまで実質的
に同一である。次数低減モデルの評価は、オリジナルシ
ステムの伝達関数の評価よりも、３次の大きさより早か
った。
【００６８】Ｈ1（ｓ）に対する次数低減モデルの極が
表２に示されている。 表２− Ｉチャネルバッファおよびミクサに対する Ｈ1（ｓ）の極の次数低減モデル ─────────────────────────────────── ＴＶＰ，ｑ＝２ ＴＶＰ，ｑ＝３ ─────────────────────────────────── -2.95e-8 -2.95e-8 -2.30e-9+j1.00e-11 -1.69e-8 -2.81e-9+j4.56e-9 -2.81e-9+j4.56e-9 -2.54e-10+j6.85e-13 -2.85e-11+j5.84e-11 -2.53e-11+j5.54e-11 -2.12e-9+j4.03e-13 -3.16e-9+j1.15e-14 -3.06e-9+j4.63e-11 ───────────────────────────────────
【００６９】上記から、本発明は、時間変化システムの
モデル化のための装置および方法、およびこの装置また
は方法を含むコンピュータで読み出し可能な記憶媒体を
提供する。一実施形態において、この装置は、（１）シ
ステムに対して、システムの時間変化に対応する別個の
スケールおよびそれへの入力を有する特定の次数の線形
時間変化伝達関数を作る伝達関数ジェネレータ、および
（２）伝達関数ジェネレータに結合されて、特定の次数
よりも低い次数のモデルを得るために、伝達関数を近似
するアプロキシメータを含む。
【００７０】
【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
次数低減に適した時間変化伝達関数を生成する方法を提
供することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明のソフトウェアに基づく実施形態が動作
可能な環境を形成し得るコンピュータシステムを示すブ
ロック図。
【図２】本発明により構成された時間変化システムをモ
デル化するための装置の一実施形態を示すブロック図。
【図３】ＬＴＶシステムのFloquet表現を示すブロック
図。
【図４】本発明の装置または方法が解析可能な例示的な
電子回路を示す図。
【図５】図４の回路に関連づけられた非縮小伝達関数お
よびその次数減少モデルを示す図。
【図６】商業的に入手可能なＩチャネルバッファおよび
ミクサに関連づけられた非縮小伝達関数およびその次数
減少モデルを示す図。
【符号の説明】
１００ コンピュータシステム １１０ モニタ １２０ シャーシ １３０ キーボード １４０ フロッピーディスクドライブ １４５ ハードディスクドライブ １５０ バッテリ １６０ クロック １７０ プロセッサ １８０ メモリ ２００ 装置 ２１０ 伝達関数発生器 ２２０ アプロキシメータ ４００ 回路 ４１０ ローパスフィルタ ４２０ 理想ミクサ ４３０、４４０ バンドパスフィルタ段
フロントページの続き (71)出願人 596077259 600 Ｍｏｕｎｔａｉｎ Ａｖｅｎｕｅ, Ｍｕｒｒａｙ Ｈｉｌｌ， Ｎｅｗ Ｊｅ ｒｓｅｙ 07974−0636Ｕ．Ｓ．Ａ. (72)発明者 ジャイート シャンカー ロイチョウドゥ ハリー アメリカ合衆国，07310 ニュージャージ ー，ジャージー シティー，リバー ドラ イブ サウス 55−1409

Claims (21)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 時間変化系をモデル化する装置におい
    て、 前記系に対して、前記系の時間変化に対応する別個のス
    ケールを有しかつそれへの入力を有する特定次数の線形
    時間変化伝達関数を作る伝達関数発生器と、 前記伝達関数発生器に結合されており、前記特定の次数
    よりも低い次数のモデルを生じさせるために、前記伝達
    関数を近似するアプロキシメータとを有することを特徴
    とする装置。
  2. 【請求項２】 前記アプロキシメータが、ペードアプロ
    キシメータであり、前記モデルが、前記伝達関数のペー
    ド近似を含むことを特徴とする請求項１記載の装置。
  3. 【請求項３】 前記モデルの前記次数は、選択可能であ
    ることを特徴とする請求項１記載の装置。
  4. 【請求項４】 前記アプロキシメータは、前記伝達関数
    のモーメントをエクスプリシットに計算し、前記モデル
    を得るために前記モーメントを一致させることを特徴と
    する請求項１記載の装置。
  5. 【請求項５】 前記アプロキシメータは、前記伝達関数
    を前記モデルと直接的に置き換えるものであり、前記伝
    達関数のモーメントは、インプリシットに一致している
    ことを特徴とする請求項１記載の装置。
  6. 【請求項６】 前記アプロキシメータは、クリロフ部分
    空間プロセスを使用することにより前記伝達関数を置き
    換えることを特徴とする請求項５記載の装置。
  7. 【請求項７】 前記伝達関数は、非線形性を含むことを
    特徴とする請求項１記載の装置。
  8. 【請求項８】 時間変化系をモデル化する方法におい
    て、 前記系に対して、前記系の時間変化に対応する別個のス
    ケールを有しかつそれへの入力を有する特定の次数の線
    形時間変化伝達関数を作るステップと、 前記特定の次数よりも低い次数のモデルを得るために、
    前記伝達関数を近似するステップとを有することを特徴
    とする方法。
  9. 【請求項９】 前記近似するステップは、前記伝達関数
    をペード近似するステップを含むことを特徴とする請求
    項８記載の方法。
  10. 【請求項１０】 前記モデルの前記次数は、選択可能で
    あることを特徴とする請求項８記載の方法。
  11. 【請求項１１】 前記近似するステップは、前記伝達関
    数のモーメントをエクスプリシットに計算するステップ
    と、 前記モデルを得るために前記モーメントを一致させるス
    テップとを含むことを特徴とする請求項８記載の方法。
  12. 【請求項１２】 前記近似するステップは、前記伝達関
    数を前記モデルと直接的に置き換えるステップを含み、
    前記伝達関数のモーメントは、インプリシットに一致し
    ていることを特徴とする請求項８記載の方法。
  13. 【請求項１３】 前記近似するステップは、クリロフ部
    分空間プロセスを使用することにより前記伝達関数を置
    き換えるステップを含むことを特徴とする請求項１２記
    載の方法。
  14. 【請求項１４】 前記伝達関数は、非線形性を含むこと
    を特徴とする請求項８記載の方法。
  15. 【請求項１５】 コンピュータに、 時間変化系に対して、前記系の時間変化に対応する別個
    のスケールを有しかつそれへの入力を有する特定の次数
    の線形時間変化伝達関数を作らせ、 前記特定の次数よりも低い次数のモデルを得るために、
    前記伝達関数を近似させる命令を含むことを特徴とする
    コンピュータで読み出し可能な記憶媒体。
  16. 【請求項１６】 前記命令は、前記コンピュータに、前
    記伝達関数をペード近似させることを特徴とする請求項
    １５記載の記憶媒体。
  17. 【請求項１７】 前記モデルの前記次数は、選択可能で
    あることを特徴とする請求項１５記載の記憶媒体。
  18. 【請求項１８】 前記命令は、前記コンピュータに、 前記伝達関数のモーメントをエクスプリシットに計算さ
    せ、 前記モデルを得るために前記モーメントを一致させるこ
    とを特徴とする請求項１５記載の記憶媒体。
  19. 【請求項１９】 前記命令は、前記コンピュータに、 前記伝達関数を前記モデルと直接的に置き換えさせるも
    のであり、前記伝達関数のモーメントは、インプリシッ
    トに一致していることを特徴とする請求項１５記載の記
    憶媒体。
  20. 【請求項２０】 前記命令は、前記コンピュータに、 クリロフ部分空間プロセスを使用することにより前記伝
    達関数を置き換えさせることを特徴とする請求項１９記
    載の記憶媒体。
  21. 【請求項２１】 前記伝達関数は、非線形性を含むこと
    を特徴とする請求項１５記載の記憶媒体。
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