ITGE20130009A1 - Metodo per la configurazione di schiere planari di trasduttori per l'elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale e sistemi di elaborazione di segnali che utilizzano tale metodo, in particolare telecamera acustica - Google Patents

Description

“Metodo per la configurazione di schiere planari di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale e sistemi di elaborazione di segnali che utilizzano tale metodo, in particolare telecamera acusticaâ€

TESTO DELLA DESCRIZIONE

La presente invenzione ha per oggetto un metodo per la configurazione di schiere planari di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale, in cui à ̈ prevista la combinazione di una tecnica di beamforming superdirettivo per le componenti di segnale alle basse frequenze ed una distribuzione di trasduttori della schiera che à ̈ sparsa ed aperiodica (sparse aperiodic array) per le componenti ad alta frequenza di un prestabilito campo di frequenze.

In via più specifica, l’invenzione si riferisce ad un metodo per la configurazione di schiere planari di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale di tipo filter-and-sum.

Background tecnologico

Nei sistemi di beamforming 3-D, cioà ̈ tridimensionale, un fascio viene generato e deviato in diverse direzioni per scandagliare una certa porzione di spazio, questi sistemi di beamforming possono essere utilizzati sia per la trasmissione che per la ricezione di segnali e possonono generare un unico fascio alla volta o più fasci contemporaneamente [1].

Quando gli spettri dei segnali da elaborare comprendono un intervallo di frequenze ampio, come ad esempio accade sovente nei sistemi passivi, generalmente viene utilizzata una tecnica di beamforming denominata “filter and sum†per ottimizzare le prestazioni sull’intero intervallo di frequenze [2]. In questi casi, allo scopo di ottenere le funzionalità desiderate e di evitare qualsiasi eccessiva complessità o costo à ̈ necessario configurare opportunamente sia il design della schiera planare o volumetrica, sia i filtri FIR (filtri a risposta impulsiva finita).

Quando l’intervallo di frequenze considerato diviene estremamente ampio, come nel caso del trattamento di onde acustiche, sorgono due distinti problemi: da un lato nella porzione inferiore della banda di frequenza, la lunghezza d’onda à ̈ comparabile o maggiore alla apertura della schiera di trasduttori. Ciò causa una notevole riduzione della direttività della schiera. D’altro lato nella porzione della banda con frequenze più elevate, le lunghezze d’onda più corte impongono una notevole numero di traduttori da posizionare sull’apertura della schiera di trasduttori allo scopo di evitare una sottocampionatura dello spazio. Questi due problemi possono essere trattati contemporaneamente mediante il beamforming cosiddetto superdirettivo alle basse frequenze e mediante l’utilizzo di schiere di trasduttori sparse ed aperiodiche alle alte frequenze.

La teoria della superdirettività à ̈ nota [4-7] e prevede soluzioni che consentono un aumento della direttività della schiera di trasduttori relativamente alla direttività ottenibile con una pesatura uniforme. Tuttavia l’applicazione di questa teoria nei sistemi reali à ̈ stata impedita per lungo tempo a causa della inadeguata robustezza di questa soluzione con riferimento alle imperfezioni della schiera di trasduttori ed alle fluttuazioni casuali delle caratteristiche dei trasduttori stessi.

Attualmente. allo stato dell’arte sono noti alcuni metodi per il progetto [8-18] di beamformer superdirettivi che assicurano una sufficiente robustezza in vista di applicazioni pratiche. Tuttavia nonostante l’utilizzo della superdirettività nel trattamento di segnali a banda larga mediante filter and sum beamforming sia diventata abbastanza comune [8, 9,11-18], l’applicazione della superdirettività a schiere planari à ̈ stata considerata molto più raramente [10, 18].

Le schiere di trasduttori con posizionamento aperiodico [4] possono essere utilizzate per evitare la comparsa di lobi indesiderati (detti grating lobe) quando la distanza fra i trasduttori à ̈ maggiore di metà della lunghezza d’onda. Allo stato dell’arte sono stati proposti diversi metodi per la sintesi di schiere di trasduttori con distribuzione sparsa ed aperiodica, le quali configurazioni sono state ottenute mediante approcci analitici, stocastici od ibridi che comprendono tecniche basate su algoritmi simplex [19] a tecniche di compressive sampling [20, 21] nonché l’utilizzo di algoritmi genetici [22, 23], simulated annealing [24, 25] e molte altre strategie di ottimizzazione [26-29].

Nonostante quanto proposto in letteratura, il trattamento di segnali a banda larga mediante beamforming filter and sum combinato con una schiera planare di trasduttori con una distribuzione sparsa ed aperiodica dei trasduttori à ̈ stata considerata solo raramente [30, 31].

Inoltre nonostante la teoria della superdirettività e le configurazioni aperiodiche delle schiere di trasduttori siano note allo stato dell’arte esse sono state considerate essenzialmente due tecniche distinte.

Nel documento [30] la configurazione delle schiere planari di trasduttori à ̈ limitata a due casi speciali di aperture bidimensionali e cioà ̈ aperture bidimensionali in cui i trasduttori sono posizionati su linee radiali e aperture bidimensionali che possono essere separate in distribuzioni corrispondenti a due aperture monodimensionali. Inoltre in questo documento vengono considerati solo diagrammi di radiazione (beam pattern) invarianti rispetto alla frequenza.

Nel documento [31] invece, l’ottimizzazione dei coefficienti dei filtri e le posizioni dei trasduttori sono determinati mediante quadratic programming sequenziale. Ogni volta che viene spostato un trasduttore, il diagramma di radiazione (detto anche beam pattern) deve venire calcolato in corrispondenza di ciascun nodo di una griglia utilizzata per discretizzare il dominio tridimensionale del detto diagramma di radiazione (frequenza e due angoli o lunghezze). Per evitare un eccessivo incremento del carico computazionale, à ̈ necessario porre dei limiti al numero di trasduttori ed impostare un passo grossolano per la griglia di discretizzazione. Quando si considerano un elevato fattore di sottocampionamento in combinazione con decine di trasduttori, i lobi laterali diventano così ripidi che à ̈ necessario prevedere passi di discretizzazione fine per stimare accuratamente il diagramma di radiazione. In questo caso però il metodo proposto nel documento [31] non può venire applicato. Inoltre i metodi secondo ambedue i documenti [30] e [31] non considerano la sintesi di una schiera di trasduttori che deve essere robusta e superdirettiva per una porzione significativa della banda di frequenze.

Nel documento [18] si considera una schiera di trasduttori planare che à ̈ robusta e superdirettiva e la cui direttività media à ̈ massimizzata operando sia sulla posizione dei trasduttori sia sui coefficienti dei filtri FIR. Poiché la determinazione della direttività non richiede un calcolo completo del diagramma di radiazione, la funzione di costo viene calcolata con una griglia discretizzata che combina l’asse delle frequenze con tutte le possibili direzioni di puntamento del fascio (dette anche direzioni di steering).

Il metodo descritto nel documento [18] non può essere utilizzato in pratica per la configurazione di una schiera planare di trasduttori nel caso in cui l’intervallo di frequenze à ̈ molto elevato e si vuole ottimizzare sia la posizione dei trasduttori, sia la risposta in frequenza dei filtri FIR, per due ragioni: alle alte frequenze del campo previsto, la massimizzazione della direttività media senza un meccanismo di controllo dei lobi secondari à ̈ insufficiente per evitare lobi indesiderati o lobi secondari molto elevati; uno specifico set di filtri FIR viene definito per ciascuna direzione di puntamento, il che non à ̈ accettabile quando si devono considerare numeri elevati di direzioni di puntamento. Inoltre ciò provoca una notevole crescita del carico computazionale.

Il documento [3] descrive un metodo di configurazione per una schiera lineare di trasduttori che prevede l’ottimizzazione contestuale della posizione dei trasduttori e dei filtri FIR. Il metodo prevede la configurazione di un array aperiodico lineare ed un beamformer superdirettivo a banda larga. Tuttavia poiché l’ottimizzazione ha luogo grazie alla minimizzazione di una funzione di costo che deve essere ricalcolata più volte su una griglia di discretizzazione del dominio del diagramma di radiazione, l’estensione di questa tecnica al caso dell’array planare non à ̈ praticamente possibile a causa del grandissimo carico computazionale. Inoltre la configurazione a banda larga non può venire scissa in una pluralità di problemi indipendenti a banda più stretta poiché la stessa configurazione ottimizzata della schiera di trasduttori deve essere comune a tutti le singole bande più strette.

Riassunto dell’invenzione

Scopo dell’invenzione à ̈ di realizzare un metodo per la configurazione di schiere planari di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale del tipo descritto all’inizio grazie a cui sia possibile ottimizzare sia la posizione dei trasduttori sia le frequenze di risposta dei filtri FIR utilizzati per il filter and sum beamforming.

Un ulteriore scopo dell’invenzione riguarda il fatto che i filtri FIR ottimizzati devono mantenere la loro validità per qualsivoglia direzione di puntamento e che quindi la direzione di puntamento possa venire impostata agendo solamente sui ritardi di segnale e mantenendo inalterata la configurazione della schiera di trasduttori ed i filtri FIR.

In particolare la presente invenzione mira ad un metodo di configurazione di una schiera planare di trasduttori per un sistema di beamforming tridimensionale indipendente dai dati e con cui sia possibile il trattamento spaziale dei segnali provenienti dal campo lontano ed il cui spettro comprende un ampio campo di frequenze. Questo intervallo di frequenze essendo talmente ampio da richiedere un beamforming superdirettivo e robusto per aumentare la direttività alle basse frequenze ed un disegno sparso ed aperiodico della schiera di trasduttori per evitare lobi indesiderati (grating lobe) alle alte frequenze.

Tipicamente queste condizioni sono presenti nei sistemi passivi di imaging acustico che sono anche note con il termine di “acoustic camera†. Questi dispositivi sono destinati alla mappatura di sorgenti acustiche attive in una prestabilita regione tridimensionale sia in aria che sott’acqua.

Ad esempio nel caso aereo, risulta vantaggioso il fatto di avere la possibilità di trattare segnali con frequenze da alcune decine di hertz ad alcuni kilohertz utilizzando un numero limitato di microfoni (tipicamente alcune decine) disposti su una apertura le cui dimensioni sono dell’ordine di un metro. Poiché le lunghezze d’onda si estendono da alcuni centimetri a qualche metro, si rende necessario l’utilizzo di un metodo che garantisca sia la superdirettività che delle distribuzioni sparse ed aperiodiche dei trasduttori.

L’invenzione risolve i problemi sopra esposti con un metodo per la configurazione di insiemi planari di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale in cui à ̈ prevista la combinazione di una tecnica di beamforming superdirettivo per le componenti di segnale alle basse frequenze ed una distribuzione di trasduttori della schiera che à ̈ sparsa ed aperiodica (sparse aperiodic array) per le componenti ad alta frequenza di un prestabilito campo di frequenze ed in cui inoltre, viene eseguita una ottimizzazione in parallelo delle posizioni dei singoli trasduttori sull’apertura della schiera e dei coefficienti dei filtri FIR mediante un processo ibrido iterativo che prevede un calcolo analitico di determinazione dei coefficienti dei filtri FIR ed un calcolo stocastico per le posizioni dei trasduttori sull’apertura della schiera planare di trasduttori mediante minimizzazione di una funzione di costo in cui:

la funzione di costo prevede l’espressione del diagramma di radiazione come funzione dei coefficienti dei filtri FIR e della posizione dei trasduttori sull’apertura della schiera planare di trasduttori ed à ̈ costituita da un integrale triplo sulla banda delle frequenze e sul campo di valori di due variabili costituite dalla combinazione lineare di ciascuna delle due componenti dei vettori che definiscono la direzione di puntamento del fascio e la direzione del vettore perpendicolare al fronte d’onda incidente;

la minimizzazione della funzione di costo in parallelo relativamente alla posizione dei trasduttori ed ai coefficienti dei filtri FIR;

la detta minimizzazione viene eseguita in parallelo ed iterativamente con un metodo stocastico per la posizione dei trasduttori e con un metodo analitico per i coefficienti dei filtri FIR;

e venendo la detta funzione di costo espressa mediante trasformazione e sostituzione di variabili con due funzioni indipendenti dalla posizione dei singoli trasduttori i valori delle quali funzioni sono determinati su una griglia prestabilita con una certa densità di nodi prima dell’inizio della minimizzazione, sono memorizzati in una tabella e vengono letti dalla detta tabella per il computo della funzione di costo durante il processo di minimizzazione.

Come apparirà più chiaramente nella dimostrazione matematica della descrizione dettagliata, l’invenzione si basa appunto sul riconoscimento che esprimendo l’energia del diagramma di radiazione sotto forma di triplo integrale relativamente alla frequenza ed ai campi di valori di due variabili che esprimono la combinazione delle componenti dei vettori unitari che definiscono la direzione di puntamento del fascio e la direzione perpendicolare al fronte d’onda che origina dal punto coincidente con la sorgente dell’onda, à ̈ possibile esprimere il detto integrale con i valori di due funzioni integrali che sono indipendenti dalla posizione dei trasduttori.

La minimizzazione della funzione di costo, in parallelo relativamente ai coefficienti dei filtri FIR ed alle posizioni dei trasduttori, mediante metodo analitico per i coefficienti dei filtri e metodo stocastico per le posizioni richiede comunque un notevole onere computazionale e sarebbe stata impraticabile, ancorchà ̈ l’ottimizzazione iterativa in parallelo dei coefficienti dei filtri mediante metodo analitico e delle posizioni dei trasduttori mediante metodo stocastico rappresenti già un passo avanti rispetto ai metodi noti che prevedono di eseguire il calcolo di ottimizzazione separatamente per i coefficienti dei filtri e per le posizioni dei trasduttori. Infatti, in assenza della semplificazione computazionale introdotta dall’invenzione, il computo del triplo integrale sarebbe dovuto essere eseguito per ogni posizione dei trasduttori rendendo impraticabile il metodo dal punto di vista pratico.

Secondo un ulteriore aspetto dell’invenzione che perfeziona il metodo sopra specificato al fine di rendere il computo robusto nei confronti di imperfezioni ed imprecisioni dei trasduttori, il metodo secondo l’invenzione prevede di combinare la funzione di costo con una funzione di densità della probabilità delle caratteristiche dei trasduttori in base ad una variabile complessa, costante nel tempo, e relativamente alla frequenza e di considerare il valore medio della funzione di costo.

Sfruttando questa funzione di densità della probabilità dell’errore delle caratteristiche dei trasduttori si ottiene una robustezza del metodo rispetto alla dispersione delle caratteristiche stesse dei trasduttori.

Una ulteriore caratteristica consiste nel fatto di introdurre la condizione che il modulo del diagramma di radiazione nella direzione di puntamento à ̈ uguale a 1 e che la fase presenta un andamento lineare. Grazie a ciò, il segnale che proviene dalla direzione di puntamento à ̈ solo ritardato ma non viene né attenuato, né distorto.

Grazie a quanto sopra il metodo secondo la presente invenzione mantiene la sua validità per qualsivoglia direzione di puntamento che ricade nell’ambito di un predefinito settore tridimensionale, rendendo il metodo adatto per applicazioni di imaging passivo.

Per quanto riguarda l’ottimizzazione delle posizioni dei trasduttori à ̈ possibile utilizzare qualsivoglia metodo stocastico come ad esempio algoritmi genetici, ant colony optimization, particle swarn, algoritmi evolutivi differenziali ed altri algoritmi iterativi.

In un esempio esecutivo preferito, ma non limitativo, la presente invenzione prevede l’utilizzo del simulated annealing che verrà descritto più dettagliatamente in seguito.

Ulteriori perfezionamenti o dettagli dei passi di metodo sono descritti in dettaglio in seguito e sono oggetto delle sottorivendicazioni.

L’invenzione ha per oggetto un sistema di beamforming tridimensionale per il trattamento di segnali a banda larga provenienti dal campo lontano e comprendente una schiera planare di trasduttori che à ̈ configurata, relativamente alla posizione dei trasduttori sull’apertura della schiera planare e relativamente ai coefficienti dei filtri FIR, secondo il metodo della presente invenzione sopra descritto, a seguito descritto in modo dettagliato e rivendicato.

In particolare l’invenzione si riferisce ad un sistema di beamforming tridimensionale come sopra descritto e di tipo filter and sum.

L’invenzione ha anche per oggetto una schiera planare di trasduttori per la ricezione e/o la trasmissione di fasci di onde a banda larga che à ̈ configurata secondo il metodo della presente invenzione sopra descritto, a seguito descritto in modo dettagliato e rivendicato.

Una ulteriore applicazione della presente invenzione à ̈ costituita da un sistema di imaging comprendente una schiera di trasduttori planare che à ̈ configurata secondo il metodo della presente invenzione sopra descritto, a seguito descritto in modo dettagliato e rivendicato.

Ancora una ulteriore applicazione à ̈ costituita da un sistema di comunicazione comprendente una schiera planare di trasduttori per la ricezione e/o la trasmissione di segnali a banda larga che à ̈ configurata secondo il metodo della presente invenzione sopra descritto, a seguito descritto in modo dettagliato e rivendicato.

Una applicazione della presente invenzione à ̈ costituita anche da una sistema di determinazione della direzione di arrivo di segnali comprendente una schiera planare di trasduttori per la ricezione di segnali a banda larga che à ̈ configurata secondo il metodo della presente invenzione sopra descritto, a seguito descritto in modo dettagliato e rivendicato.

In particolare la presente invenzione ha per oggetto un sistema di imaging acustico passivo (cosiddetto acoustic camera) per la mappatura di sorgenti acustiche attive in una prestabilita regione di spazio, il quale sistema presenta una schiera planare di trasduttori configurata secondo il metodo della presente invenzione sopra descritto, a seguito descritto in modo dettagliato e rivendicato.

Base teorica dell’invenzione

Il seguente modello e le espressioni matematiche si basano su una schiera planare di trasduttori che à ̈ posta in un piano z=0 in un sistema tridimensionale di riferimento ed à ̈ composta da N trasduttori puntiformi omnidirezionali. Ciascun trasduttore “n†della schiera planare presenta una posizione nel piano z=0 che à ̈ definita dalle coordinate xne yn. Ciascun trasduttore “n†à ̈ collegato ad un filtro FIR con un numero L di coefficienti.

Il segnale generato dal trasduttore ennesimo sn(t) con nє[0,N-1] quando un’onda piana proveniente dal campo lontano incide sullo stesso può venire descritto con la replica ritardata del segnale sc(t) generata dal trasduttore posto all’origine del sistema di coordinate (x=0, y=0, z=0) dall’equazione:

(1) In cui rn=[xn,yn,0]T à ̈ il vettore di posizione del trasduttore ennesimo e T india l’operatore di trasposizione.

C à ̈ la velocità di propagazione dell’onda.

Il vettore pˆ à ̈ il vettore unitario perpendicolare al fronte d’onda e diretto verso la sorgente dell’onda. Le componenti del vettore pˆ sono funzione dell’angolo azimutale φ e dell’angolo di elevazione Î ̧ .

I detti angoli definiscono la direzione di arrivo del fronte d’onda secondo la seguente equazione:

(2) Un beamformer operante secondo la modalità filter and sum ed indipendente dai dati produce un segnale di uscita b qˆ (t ) che à ̈ dipendente dalla direzione di puntamento del fascio definita dal vettore unitario qˆ come segue:

(3)

in cui wn,1à ̈ una grandezza reale che rappresenta il coefficiente 1-esimo dell’ennesimo filtro FIR e Tcà ̈ l’intervallo di campionamento. Gli elementi del vettore unitario qˆ sono funzioni dell’angolo di azimut φ0e dell’angolo di elevazione Î ̧0che definiscono la direzione di puntamento secondo la seguente equazione:

(4)

Considerando una onda monocromatica di frequenza f che incide sulla schiera planare di trasduttori, il segnale del trasduttore posto nell’origine del sistema di coordinate à ̈ descritto da:

(5)

Per cui il segnale di output del beamformer à ̈ descritto dalla seguente espressione:

(6)

Al fine di evitare di dover tenere conto delle diverse combinazioni dei vettori unitari pˆ e qˆ, si definiscono vantaggiosamente le nuove variabili u e v con:

(7) Pertanto per una certa frequenza f il diagramma di radiazione ideale Bi(u,v, f ) Ã ̈ decritto dalla seguente equazione:

(8) Per tenere conto del fatto che i trasduttori presentano imperfezioni à ̈ possibile introdurre una variabile aleatoria complessa An=anexp( - j yn) che à ̈ costante nel tempo e relativamente alla frequenza e che modifica il guadagno ane la fase yndella risposta dell’ennesimo trasduttore.

La definizione ideale del diagramma di radiazione si trasforma quindi in:

(9).

Per determinare la configurazione della schiera dei trasduttori e dei filtri il diagramma di radiazione deve essere calcolato in relazione alle tre variabili u, v e f .

Le variabili u, v rappresentano combinazioni delle componenti dei vettori unitari che definiscono la direzione di puntamento e la direzione di provenienza del fronte d’onda ed al fine di mantenere elevate le performance del metodo à ̈ opportuno limitare l’estensione del dominio all’estensione strettamente necessaria per cui le direzioni di puntamento sono definite da un vettore di puntamento unitario qˆ con le componenti qx∈[qx,m, qx , M], qy∈[qy,m, qy , M] e qz≥ 0, mentre i limiti dell’intervallo sono posti in modo tale per cui |qx| ≤ 1 e |qy| ≤ 1.

In questo caso le variabili u, v sono comprese in un rettangolo definito come segue:

(10) e con

(11) E’ possibile esprimere il diagramma di radiazione anche some prodotto scalare fra vettori. In questa notazione i coefficienti dei filtri FIR sono costituiti dalle componenti di un vettore w di lunghezza M=NL ed il cui elemento m à ̈ definito come w(m ) =wn ,ldove m ∈[1, M ] e n = (m -1) /L ed l =mod(m -1, L ). La notazione (m -1) /L definisce l’intero maggiore che à ̈ minore od uguale a (m -1) / L mentre mod(m -1, L ) à ̈ il resto della divisione (m -1) / L.

La notazione della equazione (9) in forma vettoriale diviene quindi:

(12)

in cui la componente m del vettore à ̈ definita da:

(13) con le relazioni sopra definite fra m, n ed l.

Il metodo secondo la presente invenzione

Il metodo secondo la presente invenzione allo scopo di ottimizzare sia la posizione dei trasduttori sull’apertura della schiera di trasduttori sia i coefficienti dei filtri FIR, prevede la

minimizzazione del valore medio di una funzione di costo:

(14)

E quindi la minimizzazione dell’energia del diagramma di radiazione nel dominio delle variabili u , v definite in (10) e nel campo di frequenze da fmina fmax.

Essendo

Dove:

x à ̈ il vettore le cui componenti sono le posizioni dei trasduttori;

H(u, v ) à ̈ una funzione non negativa di pesatura che permette il controllo dei lobi secondari. Infatti assegnando un peso maggiore all’energia dei lobi secondari rispetto a quello assegnato all’energia del lobo principale si determina una riduzione del livello dei lobi secondari a dispetto dell’ingrandimento del lobo principale.

C à ̈ una costante reale che regola il bilanciamento fra la minimizzazione della energia del diagramma di radiazione e la corrispondenza della direzione di puntamento alle condizioni in cui il modulo del diagramma di radiazione sia uguale ad 1 nella direzione di puntamento e la fase sia lineare. Ciò allo scopo di garantire che in una direzione di puntamento il segnale proveniente dalla stessa sia solo ritardato ma non attenuato e nemmeno distorto;

Δ à ̈ un ritardo temporale associato alla fase lineare del diagramma di radiazione nella direzione di puntamento.

I coefficienti A0, …… AN - 1definiscono le caratteristiche dei singoli trasduttori analogamente a quanto definito con riferimento all’equazione (9) essendo fAn( An) la funzione di densità della probabilità della variabile casuale An.

Grazie all’ottimizzazione della media della funzione di costo, si rende il computo robusto relativamente alle fluttuazioni ed agli errori.

La minimizzazione viene eseguita con riferimento ai vettori w ed x in parallelo.

Mentre la funzione presenta un solo minimo rispetto al vettore w, essendo le posizioni argomento di una funzione esponenziale, come appare chiaro dalle precedenti equazioni che definiscono il diagramma di radiazione, non à ̈ possibile determinare analiticamente un minimo locale ed la minimizzazione richiede quindi l’utilizzo di un algoritmo stocastico.

Per quanto attiene i passi di minimizzazione quindi uno à ̈ volto alla definizione della disposizione dei trasduttori sull’apertura della schiera di trasduttori che minimizza la funzione di costo e cioà ̈ l’energia del diagramma di radiazione.

Possono venire applicati diversi algoritmi e nel presente esempio si descrive in modo dettagliato l’applicazione di un algoritmo iterativo stocastico noto con la denominazione di Simulated annealing (SA). Questo algoritmo noto allo stato dell’arte rende possibile di sfuggire ai minimi locali applicando iterativemante piccole perturbazioni casuali alle variabili di stato ed accettando le perturbazioni che aumentano l’energia con una probabilità che decresce iterazione dopo iterazione. Una descrizione dettagliata dell’algoritmo SA à ̈ data nel documento [33].

Nel presente caso la funzione di energia da minimizzare à ̈ la funzione

(16)

che à ̈ la funzione minimizzata relativamente al vettore le cui componenti sono i coefficienti dei filtri FIR, e le variabili di stato relativamente alle quali la funzione deve essere minimizzata sono le componenti del vettore x delle posizioni dei trasduttori. Ad ogni iterazione vengono trattati in sequenza casuale tutti i trasduttori della schiera di trasduttori.

Il processo secondo l’algoritmo SA prevede che venga perturbata la posizione di ciascun trasduttore, sommando le coordinate di ciascun ennesimo trasduttore xne yncon due variabili casuali secondo una funzione di densità di probabilità avente media nulla e simmetria pari. Vengono generate così variabili x *

n e y *

n per le quali sono previste le condizioni esposte a seguito allo scopo di tenere in considerazione le dimensioni fisiche dei trasduttori e la massima apertura ammessa per la schiera planare di trasduttori:

(17) ed in cui:

ε à ̈ la distanza minima ammessa per due trasduttori; X A ed Y A sono le lunghezze massime dei lati dell’apertura rispettivamente lungo l’asse x e lungo l’asse y.

Per quanto attiene l’accettazione delle perturbazioni previsto dall’algoritmo SA, al fine di determinare l’accettabilità delle variabili perturbate (x*

n, y *

n ) viene calcolato il valore

* dell’energia dove x* à ̈ il vettore in cui (x* n, y n ) sostituiscono (xn, y n ). La posizione perturbata (x* n, y * n ) viene accettata se la differenza à ̈ minore di zero. Altrimenti la posizione perturbata viene accettata con una probabilità che dipende dalla temperatura del sistema in accordo con la distribuzione di Boltzmann:

(18) In cui:

κ à ̈ la costante di Boltzmann e T à ̈ la temperatura interna alla attuale iterazione. La temperatura à ̈ un parametro interno dell’algoritmo SA che parte da un certo valore iniziale e si riduce gradualmente secondo l’inverso del logaritmo dell’indice di iterazione fintanto che viene raggiunto il valore finale dopo un predefinito numero di iterazioni.

Con una appropriata scelta dei parametri della SA ed un certo numero di iterazioni lo stato finale del vettore x approssima statisticamente l’argomento del minimo globale. Poiché la minimizzazione analitica rispetto alle componenti del vettore w che sono i coefficienti dei filtri FIR à ̈ integrata nella elaborazione con l’algoritmo SA come indicato alla equazione (16), essa viene condotta in parallelo con la minimizzazione rispetto alle componenti del vettore x che sono le posizioni dei trasduttori. In questo modo si ha una migliore approssimazione al minimo globale della funzione di costo rispetto ad un processo di minimizzazione che prevede una minimizzazione in due passi dei quali un primo passo à ̈ l’ottimizzazione dei coefficienti dei filtri FIR e l’altro successivo passo à ̈ l’ottimizzazione delle posizioni, o viceversa.

Oltre a ciò la determinazione analitica del vettore w ottimale riduce decisamente il carico computazionale in confronto ai casi in cui l’ottimizzazione relativamente alle componenti dei vettori w e x à ̈ eseguita solo con l’algoritmo SA.

Per quanto riguarda la determinazione del minimo di rispetto alle componenti del vettore w à ̈ conveniente partire dalla funzione di costo dell’equazione (14) però espressa con la forma matriciale negli integrali:

(19) con le seguenti definizioni:

(20), (21) e (22)

L’equazione (19) può venire espressa come segue:

(23) Mentre per calcolare il valore medio della funzione di costo l’espressione (23) deve venire inserita nell’equazione (15), per cui

(24) in cui:

e .

Assumendo che:

le caratteristiche Andi tutti i trasduttori sono definite dalla stessa funzione di densità della probabilità fA(A );

le variabili a n e ynsono variabili casuali indipendenti per cui la comune funzione di densità della probabilità à ̈ separabile fA(A) = fa(a)fy( y ), dove fa(a ) à ̈ la funzione della densità di probabilità del guadagno e fy( y ) à ̈ a funzione di densità della probabilità del la fase;

fy( y ) Ã ̈ una funzione pari;

il valore medio di a n à ̈ 1,

allora i valori medi di G e r possono essere calcolati come segue:

in cui:

σ 2

a à ̈ la varianza della variabile a;

la notazione “°â€ indica il prodotto di Hadamard, 1Là ̈ una matrice LxL di valori 1 e la costante Î1⁄4yà ̈ definita come segue:

(27) I termini G e r sono simili ai termini G e r senza il contributo delle variabili casuali An: ed in cui l’elemento m del vettore à ̈ definito da:

(30) Inoltre la matrice può essere scomposta in

una porzione reale ed una immaginaria , per le quali à ̈ facile dimostrare che per ciascun w possibile, la parte immaginaria à ̈ anti simmetrica, cioà ̈ , mentre la parte reale à ̈ positiva e semidefinita cioà ̈ . Poiché per

solo quando il modulo del diagramma di radiazione à ̈ pari a zero sull’intero dominio

d’interesse delle variabili u, v e f , la matrice à ̈ definita, positiva e quindi invertibile.

I coefficienti ottimizzati per i filtri FIR sono il minimo globale rispetto al vettore w della forma quadratica dell’equazione (24) e possono essere calcolati dalla:

(31) Nonostante come indicato prima il metodo secondo l’invenzione fin’ora descritto rappresenti già un passo di perfezionamento per il fatto di prevedere l’ottimizzazione in parallelo sia delle posizioni dei trasduttori sia dei coefficienti dei filtri FIR rispettivamente mediante algoritmo stocastico e mediante computo analitico, il calcolo del triplo integrale dell’equazione (28) deve essere ripetuto per ciascuna perturbazione delle posizioni dei trasduttori poiché il vettore g dipende dal vettore delle posizioni dei trasduttori x. Inoltre il suddetto triplo integrale deve essere calcolato per ciascun elemento della matrice le cui dimensioni sono MxM. Per questo motivo una valutazione numerica diretta dell’integrale triplo à ̈ inattuabile in pratica, perfino per un limitato numero di trasduttori e di coefficienti.

Come verrà dimostrato in dettaglio in seguito, il presente metodo consente di ridurre drasticamente l’onere computazionale grazie al riconoscimento che à ̈ possibile trasformare il computo del valore del suddetto triplo integrale nella lettura dei corretti valori di due funzioni integrali che possono venire calcolate numericamente una sola volta prima di iniziare il processo di minimizzazione ed i quali valori sono memorizzati in una tabella. Il metodo secondo la presente invenzione viene così reso attuabile dal punto di vista pratico ed utilizzabile efficacemente per la configurazione di array planari e degli associati coefficienti dei filtri.

Considerando l’equazione (30), l’equazione (28) può venire espressa come segue:

in cui m 1 ∈[1, M ], m2∈[1, M ] e la relazione fra m1, n1e l1e fra m2, n2e l2à ̈ quella definita per le componenti w(m ) del vettore w introdotto per l’equazione (12) che esprime il diagramma di radiazione come prodotto vettoriale.

Come appare evidente il secondo integrale non dipende dalla posizione dei trasduttori e può essere calcolato una volta sola prima di iniziare la procedura stocastica di ottimizzazione della posizione dei trasduttori, in particolare il computo mediante l’algoritmo SA (Simulated Annealing).

Per quanto riguarda il primo integrale, triplo, che denominiamo G I

m1, m 2 ed assumendo che la funzione H(u, v ) sia una funzione costante a tratti su regioni rettangolari del piano (u, v ), il detto integrale può essere espresso anche come:

in cui:

Φ il numero di regioni rettangolari in cui il rettangolo corrispondente al dominio delle variabili u , v à ̈ suddiviso e H Φ à ̈ il valore costante della funzione H(u, v ) sulla regione Φ-esima. Il detto rettangolo à ̈ definito con:

(34) Poiché la funzione di pesatura H(u, v ) ha principalmente la funzione di differenziare la regione del lobo principale da quella del lobo secondario, la somma in (33) comprende generalmente solo due regioni. Pertanto a seguito si considera solo un elemento della somma, sostituendo l’integrale sulla frequenza relativamente ai restanti due integrali, pertanto:

(35) in cui:

(36) Introducendo una ulteriore variabile s con:

(37) L’equazione (35) può essere espressa in forma compiuta con la funzione F(s ):

(38) in cui:

sinc( α) =sin( π α) / π α

L’integrale su v di equazione (35) può venire espresso e calcolato come nella seguente equazione (39):

ed in cui la funzione F 1 (.) in forma integrale à ̈:

(40) Per quanto riguarda l’integrale sulla variabile u , questo può essere calcolato in modo simile all’integrale su v.

Introducendo le due variabili sme sMdefinite come:

(41)

GΦpuò venire calcolato secondo quanto segue:

(42)

Analogamente alla funzione F 1 (.), la funzione F 2 (.) Ã ̈ definita dalla seguente forma integrale:

(43)

Quando ~x = 0, cioà ̈ quando xn1= x n2 ,n1 n 2 si ottiene il seguente risultato:

(44)

mentre quando ~y = 0, cioà ̈ yn1= y n2 en1 n 2 à ̈ possibile scambiare i due integrali su u e v fra loro e si ottiene:

(45)

Infine se ambedue le variabili ~ x e ~ y sono uguali a zero allora n1= n2e l’integrale doppio su u e v porta al seguente risultato:

(46)

Quanto sopra dimostra che il calcolo di GΦpuò essere eseguito sommando quattro valori della funzione F 2 (.) (vedi equazione (42)) e sommando valori della funzione F 1 (.) (vedi equazione (44) e (45) oppure nel caso ~x = ~ y = 0 da una forma compiuta della funzione (vedi equazione (46)). Inoltre le funzioni F 1 (.) ed F 2 (.) sono indipendenti dalla posizione dei trasduttori nella schiera di trasduttori e quindi le dette funzioni possono venire calcolate numericamente una sola volta su una griglia di una prestabilita densità di punti ed i valori possono essere memorizzati in una coppia di tabelle. Questa operazione può venire eseguita prima del processo di minimizzazione. Durante la minimizzazione, ad ogni perturbazione della posizione dei trasduttori à ̈ possibile modificare gli elementi della matrice G semplicemente eseguendo solo diverse accessi alla memoria in cui sono contenute le tabelle ed un limitato numero di addizioni e moltiplicazioni.

E’ possibile dimostrare che anche quando le variabili ~ x e ~ y sono prossime allo zero à ̈ possibile utilizzare le equazioni (42), (44) e (45).

La soluzione ottenuta à ̈ una approssimazione ed à ̈ possibile definire un valore di soglia per i valori assoluti delle variabili ~ x e ~ y.

E’ possibile dimostrare matematicamente che quando ~ x à ̈ prossimo allo zero e ~x > ~ x threshold, GΦpuò essere calcolato con l’equazione (42), altrimenti si utilizza l’equazione (44). Analogamente quando ~ y à ̈ prossimo allo zero e ~y > ~ y threshold ,GΦpuò essere calcolato utilizzando l’equazione (42), mentre in caso contrario si applica l’equazione (45).

Il metodo secondo invenzione risulterà più chiaramente da un esempio pratico di applicazione dei risultati ottenuti con il formalismo matematico sopra espresso. Un esempio di configurazione di un dispositivo di imaging acustico à ̈ descritto di seguito con riferimento alle figure allegate, in cui:

la figura 1 illustra il valore della funzione di costo in funzione del numero dei passi di iterazione.

La figura 2 illustra un layout di un array planare ottimizzato con un apertura di 80x80 cm.

Le figure 3a a 3i illustrano il diagramma di radiazione ideale alle frequenze rispettivamente di 300Hz, 650Hz, 1kHz, 2kHz, 3Khz, 4kHz e 5kHz e l’expected beam power pattern (EBPP, essendo questo il valor medio del diagramma di radiazione elevato al quadrato) rispettivamente a 300Hz ed a 650Hz.

La figura 4 illustra la larghezza del lobo principale per uno steering perpendicolare alla schiera (detto broadside steering), misurato a -3dB per quattro diversi angoli di azimut: 0°, 45°, 90°, 135°.

Le figure 5a a 5d illustrano la direttività in relazione alla frequenza per diversi angoli di steering, per un dato angolo di azimut e quattro angoli di elevazione che sono stati scelti per coprire la regione di steering ed in particolare nella figura 5(a) angolo di azmut=0°, nella figura 5b angolo di azimut=45°, nella figura 5c angolo di azimut= 90° e nella figura 5d angolo di azimut=135°.

La figura 6 illustra il guadagno di rumore bianco rispetto alla frequenza.

Le figure 7a a 7e illustrano un confronto dei risultati ottenuti con e senza controllo dei lobi secondari ed in particolare la figura 7(a) la direttività per lo steering broadside, la figura 7b il diagramma di radiazione a 2kHz con controllo dei lobi secondari, la figura 7c il diagramma di radiazione a 4kHz con controllo dei lobi secondari, la figura 7d il diagramma di radiazione a 2 kHz senza controllo dei lobi secondari, la figura 7e il diagramma di radiazione a 4kHz senza controllo dei lobi secondari.

ESEMPIO

Nell’esempio descritto a seguito, il metodo secondo l’invenzione à ̈ stato applicato per la configurazione di una schiera planare di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale. La schiera planare presenta lati di lunghezza di un metro ed à ̈ destinata a rilevare onde acustiche in aria. La schiera comprende N=32 microfoni omnidirezionali e l’intervallo di frequenza dei segnali trattati si estende da f min = 300 Hz a f max = 5 kHz corrispondenti a circa più di quattro ottave. Alla frequenza maggiore un’usuale schiera planare di trasduttori delle stesse dimensioni richiederebbe 961 microfoni disposti nei nodi di una griglia di 31x31 nodi al fine di evitare i lobi indesiderati (grating lobe) per una qualsiasi direzione di steering. Per contro alla frequenza inferiore le dimensioni della schiera sono di 0,88λ con una direttività irrisoria in assenza di superdirettività. Pertanto risulta chiara la necessità e l’utilità di provvedere ad una configurazione aperiodica della schiera di trasduttori avente anche prestazioni di superdirettività.

Il numero limitato di microfoni rende la schiera di trasduttori a banda larga vantaggiosa per lo sviluppo di cosiddette acoustic camera passive che sono destinate a mappare ed a catturare sorgenti acustiche in un ambiente tridimensionale.

La struttura del sistema di filter and sum beamforming prevede filtri FIR del 70esimo ordine (L=71 coefficienti) ed una frequenza di campionamento di 11kHz. Il ritardo associato con la fase lineare del diagramma di radiazione à ̈ impostato a metà dell’ordine dei filtri moltiplicato per il periodo di campionamento, cioà ̈ uguale al ritardo di gruppo di ciascun filtro.

La regione relativa al piano definito dalle variabili (u, v ) nella quale il diagramma di radiazione deve essere ottimizzato à ̈ stata determinata impostando dei limiti alle componenti del vettore di puntamento (steering) del tipo: qx,M =qy,M = -qx , m= - qy , m=0,7.

Conseguentemente secondo l’equazione (10) la regione di interesse à ̈ stata limitata come segue:

u ∈[ -1.7,1.7 ],

v ∈[ -1.7,1.7 ]

Con riferimento ai parametri della funzione di costo la costante C à ̈ stata definita al valore 0.9 ed il numero di regioni rettangolari Φ in cui la funzione H(u, v ) à ̈ tenuta costante à ̈ pari a 2.

Nella prima regione corrispondente al lobo principale, i limiti sono stati definiti come segue:

u ∈[ -0.2,0.2 ],

v ∈[ -0.2,0.2 ]

Il valore di H(u, v ) Ã ̈ impostato a H1= -0.095.

Nella seconda regione corrispondente al lobo secondario, i limiti sono stati impostati come segue:

u ∈[ -1.7,1.7 ],

v ∈[ -1.7,1.7 ]

Il valore di H(u, v ) Ã ̈ impostato a H 2 = -0.1.

L’effetto à ̈ quello di pesare la regione del lobo principale, cioà ̈ la regione in cui i rettangoli sopra definiti si sovrappongono a 0.005 e di pesare la regione dei lobi secondari, cioà ̈ la regione in cui i suddetti rettangoli non si sovrappongono a 0.1. Questo approccio à ̈ vantaggioso dal punto di vista computazionale perché si rendono necessari solo due rettangoli (invece che cinque) per pesare in modo differenziato fra loro le regioni del lobo principale e di quello secondario.

I valori delle funzioni F1( α ) e F2( α ) sono stati calcolati su una griglia discretizzata di 106 punti in un intervallo α ∈[ -R, R ], in cui R =(L -1)/Tc (umaxXA+vmaxYA)/ c =0.0164.

La funzione di distribuzione della probabilità del guadagno e della fase dei microfoni à ̈ stata considerata Gaussiana rispettivamente con valori medi 1 e 0 e con una deviazione standard di 0.03 e 0.035rad, In queste condizioni la costante Î1⁄4yha un valore pari a 0.9994. Questi valori sono stati impostati in accordo con misure sperimentali condotte su insiemi di microfoni commerciali [34, 36]. Le posizioni iniziali dei microfoni sono state scelte in modo casuale sull’apertura della schiera di trasduttori con una funzione di densità di probabilità uniforme. Le perturbazioni della posizione dei microfoni sono state generate sia in direzione x che y utilizzando una variabile casuale la cui funzione di densità della probabilità à ̈ uniforme rispettivamente con valori medi e massimi pari a zero e a 2.5cm. La distanza minima ε ammessa fra due microfoni à ̈ impostata a 3 cm. La procedura di Simulated Annealing à ̈ stata eseguita per 104 iterazioni con temperature iniziali e finali rispettivamente di 1.5 e di 0.005.

Con i parametri su indicati la durata del calcolo utilizzando un sistema MATLAB® à ̈ stata approssimativamente di dieci ore con un processore Intel Xeon® operante a 2.93GHz con 6GB di RAM. Nonostante il numero di microfoni e di coefficienti dei filtri fosse limitato, il tempo di calcolo à ̈ stato considerevole ed ha sottolineato il problema espresso inizialmente relativamente al fatto che il problema di ottimizzazione risulta impraticabile nella realtà senza il metodo secondo la presente invenzione.

Al fine di misurare la robustezza e le performance della schiera progettata oltre a visualizzare il diagramma di radiazione, Ã ̈ stata adottata la seguente metrica:

la risoluzione angolare stimata in base alla larghezza del lobo principale a -3dB;

la direttività che misura il guadagno della schiera nei confronti del rumore isotropico [2];

Il guadagno di rumore bianco (WNG), che misura il guadagno della schiera relativamente a rumore non correlato spazialmente (ovvero rumore autogenerato dai trasduttori della schiera)[2] e

il diagramma della potenza media della radiazione (vale a dire l’EBPP) che à ̈ il valore medio del quadrato della grandezza del diagramma di radiazione e dipende dalle funzioni di densità della probabilità del guadagno e della fase dei trasduttori [2].

L’EBPP à ̈ utile per valutare la robustezza del diagramma di radiazione nei confronti di errori relativi alla conoscenza delle caratteristiche dei microfoni ed à ̈ stato calcolato assumendo una magnitudine dell’errore superiore a quella utilizzata nel passo di ottimizzazione. In particolare la deviazione standard delle funzioni di densità della probabilità del guadagno e della fase sono state raddoppiate e portate a rispettivamente 0.06 e 0.07 rad.

Le figure illustrano i risultati dell’esempio sopra descritto.

La figura 1 mostra l’andamento della funzione di costo verso il numero di iterazioni dei passi del metodo secondo la presente invenzione. La funzione di costo à ̈ soggetta a oscillazioni casuali durante le prime iterazioni mentre si appiattisce gradualmente col decrescere della temperatura fino a raggiungere una soluzione stabile.

La figura 2 mostra il layout ottimizzato della schiera di trasduttori. Assomiglia ad una configurazione nidificata che riproduce una certa distribuzione dei trasduttori su differenti subset di trasduttori a differenti scale. La configurazione non sfrutta tutta l’apertura possibile (1mx1m) molto probabilmente poiché l’elevato fattore di sotto campionamento promuove una configurazione più compatta per limitare l’energia dei lobi secondari.

Le figure 3(a) a 3(g) mostrano il diagramma ideale di radiazione della schiera ottenuta (fig. 2) per diverse frequenze che coprono il range di frequenze previsto e cioà ̈ per le frequenze: 0.3, 0.65, 1, 2, 3, 4 e 5kHz. Come atteso, il lobo principale si riduce progressivamente con la frequenza. Ciò à ̈ evidenziato anche dalla figura 4 che mostra l’ampiezza del lobo principale misurata a -3dB quando à ̈ fianco puntato perpendicolarmente alla schiera. Poiché il lobo à ̈ simmetrico, ma non perfettamente circolare, l’ampiezza à ̈ stata misurata per 4 angoli di azimut φ = 0°, 45°, 90°, 135°. L’ampiezza del lobo principale decresce monotonicamente approssimativamente da 60° a 300Hz a circa 8° a 5kHz mostrando uniformità rispetto all’azimut.

Il ritiro del lobo principale con la frequenza si riflette anche sui profili di direzionalità che sono stati misurati per diverse direzioni di steering e sono illustrati nei grafici della figura 5. La direzionalità osservata aumenta quasi-monotonicamente con la frequenza da 7dB a 300Hz a circa 15dB a 5kHz. Con riferimento alle direzioni di steering, generalmente la direttività decresce con l’incremento dell’angolo di elevazione, cioà ̈ quando il lobo principale à ̈ deviato trasversalmente. La perdita di direttività con il puntamento non supera 2dB ed à ̈ dovuta principalmente all’allargamento del lobo principale.

La figura 6 illustra il guadagno di rumore bianco denominato WNG. Questo oscilla con la frequenza. Il valore di WNG à ̈ maggiore di zero per quasi tutto il campo di frequenze comportando un incremento del rapporto segnale/rumore relativamente al rumore auto-generato. Solo in una piccola banda alle basse frequenze, ovvero da 300 a 350Hz, il WNG assume valori negativi il più basso dei quali à ̈ -5.5dB. Questi valori non sono comunque così bassi da impedire il funzionamento pratico del sistema basato sulla schiera di trasduttori.

La determinazione della robustezza del diagramma di radiazione à ̈ stata eseguita utilizzando i valori medi di potenza attesi del diagramma di radiazione (EBPP). Questi sono rappresentati nelle figure 3(h) e 3(i), nelle quali sono state considerate due frequenze e cioà ̈ 300Hz e 650Hz. In generale l’EBPP à ̈ caratterizzato da uno specifico livello che à ̈ l’inverso del WNG e che à ̈ definito come “expected floor level†, sotto a cui il diagramma di radiazione non può scendere [2]. Ciò à ̈ particolarmente evidente a 300Hz. Qui l’EBPP ha un expected floor level di circa -14dB. Facendo riferimento al diagramma di radiazione ideale, l’EBPP a 300Hz mostra un appiattimento dei lobi secondari di circa 2dB sopra al picco del lobo secondario nel caso ideale: al contrario a 650 Hz, il WNG à ̈ maggiore di 0dB e si attende una maggiore robustezza, l’expected floor level à ̈ circa -24dB e rende l’EBPP molto simile al diagramma di radiazione ideale. Per le frequenze da 1 a 5kHz l’EBPP à ̈ sostanzialmente indistinguibile dal diagramma di radiazione ideale.

Infine si vuole sottolineare l’importanza del controllo del livello dei lobi secondari. Una analisi numerica dei diagrammi di radiazione della fig. 3 mostra che il livello à ̈ generalmente inferiore a -10dB ed à ̈ sempre inferiore a -7dB. I valori dei lobi secondari fra -10 e -7 dB hanno generalmente una frequenza relativa inferiore a 1%, eccetto a 5kHz dove la frequenza relativa à ̈ inferiore al 2%. Inoltre la posizione dei lobi secondari il cui livello à ̈ compreso fra -10 e -7dB à ̈ spesso vicina ai bordi della regione (u, v ) considerata. Pertanto tali lobi secondari sono compresi nella regione visibile del diagramma di radiazione ed hanno una influenza sulla risoluzione solo quando la direzione di steering à ̈ lontana dal fianco, vicino alla massima deviazione ammessa. Per meglio comprendere, il design della schiera di trasduttori à ̈ stato ripetuto senza introdurre il controllo dei lobi secondari ed impostando un valore costante della funzione H(u, v ) sull’intera regione, mantenendo inalterati gli altri parametri. La figura 7(a) mostra che la soluzione ottenuta presenta una migliore direttività rispetto a quella della soluzione precedente in cui si attuava il controllo dei lobi secondari. La migliore direttività à ̈ il risultato di un lobo principale più stretto come illustrato nelle figure 7(b) a 7(e), in cui i diagrammi di radiazione delle due soluzioni sono comparati a 2 ed a 4kHz. Il problema principale con la soluzione ottenuta senza controllo dei lobi secondari consiste nella presenza di lobi secondari il cui livello raggiunge frequentemente -5dB ed a volte anche -3dB. Nonostante la migliore direttività, la concentrazione ed il livello di questi lobi secondari à ̈ inaccettabile in quasi tutte le possibili applicazioni della schiera di trasduttori. La comparazione conferma l’importanza di un meccanismo che consente di controllare il livello dei lobi secondari e che nel metodo secondo la presente invenzione prevede la specifica pesatura dell’energia dei lobi secondari.

Vantaggi dell’invenzione

Da quanto sopra esposto risulta evidente che il metodo secondo la presente invenzione consente di progettare efficacemente e nella pratica delle schiere planari di trasduttori con un layout sparso ed aperiodico delle posizioni dei trasduttori e con un associato bemformer del tipo filter and sum che consente il trattamento tridimensionale di segnali provenienti dal campo lontano con spettri aventi una larga banda di frequenze. Il metodo consente di limitare il carico computazionale e di ridurre il numero di trasduttori convenzionali da distribuire su una apertura di dimensioni limitate della schiera di trasduttori consentendo di elaborare i segnali in modo efficace su una banda di frequenze estremamente ampia ed ottenendo performance di superdirettività robusta alle basse frequenze e di evitare lobi indesiderati alle alte frequenze. Inoltre la soluzione ottenuta col metodo secondo la presente invenzione à ̈ invariante rispetto alla direzione di steering all’interno di una prestabilita regione. In questo modo lo steering à ̈ ottenuto agendo solo sui ritardi di segnale e mantenendo inalterato il layout della schiera di trasduttori e i filtri FIR.

Dal punto di vista computazionale il carico enorme tipico di questi problemi di ottimizzazione e che ha impedito fino ad oggi l’utilizzo dei metodi noti allo stato dell’arte à ̈ stato limitato grazie alla efficiente modalità di calcolo dell’integrale multiplo che definisce l’energia del diagramma di radiazione nella funzione di costo al fine di minimizzarla. Tale effetto à ̈ stato ottenuto combinandolo con la possibilità di variare la direzione di steering e con il controllo dei lobi secondari.

L’invenzione ha anche dimostrato come sia possibile progettare una schiera di trasduttori per un sistema di imaging acustico passivo, con banda da 0.3 a 5 kHz, utilizzando solo 32 microfoni su un’apertura quadrata con un lato di 1 metro.

CITAZIONI

[1]: V. Murino, and A. Trucco, "Three-Dimensional Image Generation and Processing in Underwater Acoustic Vision," The Proceedings of the IEEE, vol. 88, pp. 1903-1946, December 2000.

[2]: H. L. Van Trees, Optimum Array Processing, Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory, New York: Wiley, 2002

[3] M. Crocco, and A. Trucco, “Stochastic and Analytic Optimization of Sparse Aperiodic Arrays and Broadband Beamformers with Robust Superdirective Patterns,†IEEE Trans. Audio, Speech and Language Processing, vol. 20, 16 pages, November 2012 (in press).

[4] R. C. Hansen, Phased Array Antennas, New York: John Wiley & Sons, 1998.

[5] H. Cox, R. Zeskind, and T. Kooij, “Practical Supergain,†IEEE Trans. Acoust. Speech, Signal Processing, vol. ASSP-34, pp. 393-398, June 1986.

[6] J. M. Kates, “Superdirective Arrays for Hearing Aids,†Jour. Acoust. Soc. Am., vol. 94, pp.

1930–1933, October 1993.

[7] J. Bitzer, and K. U. Simmer, “Superdirective Microphone Arrays,†Microphone Arrays: Signal Processing Techniques and Applications, M. S. Brandstein and D. B. Ward, Eds. New York: Springer-Verlag, 2001, pp. 19–38.

[8] S. Doclo, and M. Moonen, "Superdirective Beamforming Robust Against Microphone Mismatch," IEEE Trans. Audio, Speech, and Lang. Proc., vol. 15, pp.

617-631, February 2007.

[9] S. Doclo, and M. Moonen, “Design of Broadband Beamformers Robust Against Gain and Phase Errors in the Microphone Array Characteristics,†IEEE Trans. Signal Processing, vol. 51, pp. 2511-2526, October 2003.

[10] Y. R. Zheng, R. A. Goubran, M. El-Tanany, and H. Shi, "A Microphone Array System for Multimedia Applications With Near-Field Signal Targets," IEEE Sensors Journal, vol. 5, pp. 1395-1406, December 2005.

[11] A. Trucco, M. Crocco, and S. Repetto, “A Stochastic Approach to the Synthesis of a Robust, Frequency-Invariant, Filter-and-Sum Beamformer,†IEEE Trans. Instrument. and Meas., vol. 55, pp. 1407-1415, August 2006.

[12] H. Chen, W. Ser, and Z. L. Yu, “Optimal Design of Nearfield Wideband Beamformers Robust Against Errors in Microphone Array Characteristics,†IEEE Trans. Circuit and Systems, vol. 54, pp. 1950-1959, September 2007.

[13] E. Mabande, A. Schad, and W. Kellermann, “Design of Robust Superdirective Beamformer as a Convex Optimization Problem,†Proc. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech and Signal Proc. (ICASSP-09), Taipei, Taiwan, 2009, pp. 77-80.

[14] M. Crocco, and A. Trucco, “The Synthesis of Robust Broadband Beamformers for Equally-Spaced Linear Arrays,†Journal of Acoustical Society of America, vol. 128, pp. 691-701, August 2010.

[15] M. Crocco, and A. Trucco, “A Computationally Efficient Procedure for the Design of Robust Broadband Beamformers,†IEEE Trans. Signal Processing, vol. 58, pp. 5420-5424, October 2010.

[16] M. Crocco, and A. Trucco, “Design of Robust Superdirective Arrays with a Tunable Tradeoff Between Directivity and Frequency-Invariance,†IEEE Trans. Signal Processing, vol. 59, pp. 2169-2181, May 2011.

[17] H. Chen, and W. Ser “Design of Robust Broadband Beamformers With Passband Shaping Characteristics Using Tikhonov Regularization,†IEEE Trans. Audio, Speech, and Lang. Proc., vol. 17, pp.

665-681, May 2009.

[18] I. Kodrasi, T. Rohdenburg, S. Doclo, “Microphone Position Optimization for Planar Superdirective Beamforming, Proc. IEEE Int. Conf. Acoustics, Speech and Signal Proc. (ICASSP-11), Prague, Czech Republic, 2011, pp. 109-112.

[19] R. M. Leahy, and B. D. Jeffs, "On the Design of Maximally Sparse Beamforming Arrays," IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. 39, pp. 1178-1187, August 1991.

[20] G. Oliveri, and A. Massa, "Bayesian Compressive Sampling for Pattern Synthesis with Maximally Sparse Non-Uniform Linear Arrays," IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. 59, pp. 467-481, February 2011.

[21] W. Zhang, L. Li, and F. Li, "Reducing the Number of Elements in Linear and Planar Antenna Arrays With Sparseness Constrained Optimization," IEEE Trans. Antennas Propagation, vol. 59, pp. 3106-3111, August 2011.

[22] R. L. Haupt, "Thinned Array Using Genetic Algorithms," IEEE Trans. Antennas and Propagation, vol. 42, pp. 993-999, July 1994.

[23] K. S. Chen, X. H. Yun, Z. S. He, and C. L. Han, “Synthesis of sparse planar arrays using modified real genetic algorithm,†IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 55, pp. 1067–1073, April 2007.

[24] V. Murino, A. Trucco, and C. S. Regazzoni, “Synthesis of Unequally Spaced Arrays by Simulated Annealing,†IEEE Trans. Signal Processing, vol. 44, pp. 119-123, January 1996.

[25] A. Trucco, “Thinning and Weighting of Large Planar Arrays by Simulated Annealing,†IEEE Trans. Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, vol. 46, pp. 347-355, March 1999.

[26] P. J. Bevelacqua, and C. A. Balanis, "Geometry and Weight Optimization for Minimizing Sidelobes in Wideband Planar Arrays," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 57, pp. 1285-1289, April 2009

[27] B. P. Kumar, and G. R. Branner, "Generalized analytical technique for the synthesis of unequally spaced arrays with linear, planar, cylindrical or spherical geometry," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 53, pp. 621-634, February 2005.

[28] O. Quevedo-Teruel, and E. Rajo-Iglesias, "Ant Colony Optimization in Thinned Array Synthesis With Minimum Sidelobe Level," IEEE Antennas and Wireless Propag. Letters, vol. 5, pp. 349-352, December 2006.

[29] S. Holm, B. Elgetun, and G. Dahl, "Properties of the Beampattern of Weight- and Layout-Optimized Sparse Arrays," IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect., and Freq. Contr., vol. 44, pp. 983-991, September 1997.

[30] D. B. Ward, R. A. Kennedy, and R. C. Williamson, “Theory and Design of Broadband Sensor Arrays with Frequency-Invariant Far-Field Beam Pattern,†Jour. Acoust. Soc. Am., vol. 97, pp. 1023– 1034, February 1995.

[31] Z. G. Feng, K. F. C. Yiu, and S. E. Nordholm, "Placement Design of Microphone Arrays in Near-Field Broadband Beamformers," IEEE Trans. Signal Processing, vol. 60, pp. 1195-1204, March 2012.

[32] T. J. Mueller, editor, Aeroacoustic Measurements, Berlin: Springer-Verlag, 2002.

[33] S. Kirkpatrick, C. D. Gellat, Jr, and M. P. Vecchi, “Optimization by simulated annealing,†Science, vol. 220, pp. 671-680, May 13, 1983.

[34] I. Tashev, "Beamformer Sensitivity to Microphones Manufacturing Tolerances," 19th Int. Conf. Systems for Automation of Engineering and Research SAER 2005, St. Konstantin Resort, Bulgaria, September 2005.

[35] S. Orlando, A. Bale, and D. Johnson, “Design and preliminary testing of a MEMS microphone phased array,†in Proc. Berlin Beamforming Conf., Berlin, Germany, 2010, 8 pages.

[36] F. Traverso, M. Crocco, and A. Trucco, “Estimating the performance of a superdirective microphone array with a frequency-invariant response,†Proc. 6th IEEE Sensor Array and Multichannel Signal Processing Workshop, Jerusalem -Tel-Aviv (Israel), pp. 5-8, October 2010.

Claims (10)

1. RIVENDICAZIONI 1. Metodo per la configurazione di schiere planari di trasduttori per l’elaborazione di segnali a banda larga mediante beamforming tridimensionale in cui à ̈ prevista la combinazione di una tecnica di beamforming superdirettivo per le componenti di segnale alle basse frequenze ed una disposizione dei trasduttori della schiera che à ̈ sparsa ed aperiodica (sparse aperiodic array) per le componenti ad alta frequenza di un prestabilito campo di frequenze ed in cui inoltre, viene eseguita una ottimizzazione in parallelo delle posizioni dei singoli trasduttori sull’apertura della schiera e dei coefficienti dei filtri FIR mediante un processo ibrido iterativo che prevede un calcolo analitico di determinazione dei coefficienti dei filtri FIR ed un calcolo stocastico per le posizioni dei trasduttori sull’apertura della schiera planare di trasduttori mediante minimizzazione di una funzione di costo in cui: la funzione di costo prevede l’espressione del diagramma di radiazione come funzione dei coefficienti dei filtri FIR e della posizione dei trasduttori sull’apertura della schiera planare di trasduttori ed à ̈ costituita da un integrale triplo sulla banda delle frequenze e sul campo di valori di due variabili costituite dalla combinazione lineare di ciascuna delle due componenti dei vettori che definiscono la direzione di puntamento del fascio (detta direzione di steering) e la direzione di un vettore del fronte d’onda incidente che à ̈ perpendicolare al fronte d’onda e nasce dal punto coincidente con la sorgente del fronte d’onda; la minimizzazione della funzione di costo in parallelo relativamente alla posizione dei trasduttori ed ai coefficienti dei filtri FIR; venendo la detta minimizzazione eseguita in parallelo ed iterativamente con un metodo stocastico per la posizione dei trasduttori e con un metodo analitico per i coefficienti dei filtri FIR; e venendo la detta funzione di costo espressa mediante trasformazione e sostituzione di variabili con due funzioni indipendenti dalla posizione dei singoli trasduttori, i valori delle quali funzioni sono determinati su una griglia di punti prestabilita con una certa densità di nodi prima del passo di minimizzazione, sono memorizzati in una tabella e vengono letti dalla detta tabella per il computo della funzione di costo durante il processo di minimizzazione.
2. 2. Metodo secondo la rivendicazione 1 in cui: a) Vengono definite le variabili In cui px, pye qx, qysono le componenti del vettore di steering q e del vettore p che à ̈ perpendicolare ad un fronte d’onda incidente sulla schiera di trasduttori e parte dalla sorgente del detto fronte d’onda, essendo la schiera planare di trasduttori contenuta nel piano z=0 di un sistema di riferimento cartesiano tridimensionale. b) Viene definita una funzione di costo come l’energia del diagramma di radiazione (detto beam pattern - BP) per qualsivoglia combinazione di direzione di steering q e di direzione di provenienza p del fronte d’onda in un prestabilito campo di valori delle variabili u, v e nell’intero range di frequenze f ∈[fmin, f max ] della banda prevista come triplo integrale del diagramma di radiazione espresso in funzione delle variabili u, v e della frequenza e della posizione xn , y n dei singoli trasduttori n sull’apertura della schiera di trasduttori e dei coefficienti dei filtri FIR wn , l per ciascun trasduttore il quale triplo integrale à ̈ eseguito sulle variabili u, v e sulla frequenza; c) Viene calcolato il minimo della funzione di costo relativamente ai coefficienti dei filtri FIR wn , l e relativamente alle posizioni xn , y n dei trasduttori utilizzando in parallelo un computo analitico per la determinazione dei coefficienti dei filtri FIR ed un algoritmo stocastico per la determinazione delle posizioni dei trasduttori, venendo per ciascun passo di iterazione dell’algoritmo stocastico con cui viene determinato il minimo della funzione di costo in relazione alla posizione dei trasduttori computati i valori dei coefficienti dei filtri FIR che minimizzano la funzione di costo con riferimento alla corrente posizione dei trasduttori determinata nel corrente passo di iterazione dell’algoritmo stocastico e venendo i detti passi ripetuti per un prestabilito numero di iterazioni; d) mentre il valore della funzione di costo relativamente all’integrale definito al passo c) viene computato grazie alla trasformazione delle funzione di costo in una combinazione di due funzioni indipendenti dalla posizione dei trasduttori e computo dei valori di dette funzioni su una griglia discretizzata di valori, avente una prestabilita densità di nodi ed i cui valori corrispondono ai valori di variabili che sono funzioni della posizione dei trasduttori, il quale computo viene eseguito precedentemente ai passi di minimizzazione della funzione di costo, una sola volta ed i risultati del quale computo sono memorizzati in tabelle e vengono richiamati per il calcolo del valore della funzione di costo durante il processo di minimizzazione della stessa, trasformando il detto calcolo del valore della funzione di costo in una combinazione di addizioni e moltiplicazioni di valori numerici tabellari.
3. 3. Metodo secondo la rivendicazione 2, in cui le variabili di cui al punto d) sono funzioni lineari della posizione dei trasduttori.
4. 4. Metodo secondo una o più delle precedenti rivendicazioni, in cui viene calcolato il valore medio J e della funzione di costo J il quale valore medio à ̈ determinato considerando la funzione fA n( A n ) di densità della probabilità delle caratteristiche An dei trasduttori, essendo le caratteristiche An dei trasduttori descritte da una variabile casuale complessa per ciascun trasduttore della schiera, la quale variabile à ̈ costante rispetto al tempo ed alla frequenza ed à ̈ funzione della fase e del guadagno della risposta di ciascun trasduttore ed essendo la detta media della funzione di costo definita dalla equazione: J e = ......JfA0(A0)......fA N-1(AN -1)dA N -1..... dA 0 A 0 A Nï€ 1
5. 5. Metodo secondo una o più delle precedenti rivendicazioni in cui sono previsti controlli del livello dei lobi secondari in relazione al livello del lobo principale, i quali controlli sono costituiti da una funzione H(u, v ) delle variabili di combinazione delle componenti del vettore della direzione di steering q e del vettore della direzione di provenienza p del fronte d’onda, il valore della quale funzione viene moltiplicato alla funzione dell’energia del diagramma di radiazione nella funzione di costo e presenta valori diversi almeno per regioni diverse contenute nel dominio delle variabili u, v.
6. 6. Metodo secondo la rivendicazione 5, in cui il dominio delle variabili u, v, viene suddiviso in una pluralità di regioni Φ, preferibilmente due sole regioni Φ, per le quali la funzione di controllo dei lobi secondari presenta diversi valori costanti nell’ambito della stessa regione, venendo la funzione di costo calcolata come somma delle funzioni di costo nelle diverse regioni Φ con diversi valori della funzione H(u, v ).
7. 7. Metodo secondo una o più delle precedenti rivendicazioni, in cui l’algoritmo di calcolo stocastico della posizione dei trasduttori per la quale la funzione di costo à ̈ minimizzata à ̈ un algoritmo di Simulated Annealing, che ottimizza iterativamente la posizione dei trasduttori mediante applicazione iterativa di perturbazioni di ampiezza casuale.
8. 8. Sistema di beamforming tridimensionale per il trattamento di segnali a banda larga provenienti dal campo lontano e comprendente una schiera planare di trasduttori che à ̈ configurata relativamente alla posizione dei trasduttori sull’apertura della schiera planare e relativamente ai coefficienti dei filtri FIR con il metodo secondo una o più delle precedenti rivendicazioni.
9. 9. Schiera planare di trasduttori per la ricezione e/o la trasmissione di fasci di onde a banda larga come un sistema di imaging od un sistema di comunicazione oppure un sistema di determinazione della direzione di arrivo di segnali od un sistema di imaging acustico passivo (cosiddetto acoustic camera) per la mappatura di sorgenti acustiche attive in una prestabilita regione di spazio la quale schiera planare di trasduttori à ̈ configurata con il metodo secondo una o più delle precedenti rivendicazioni.
10. 10. Schiera planare di trasduttori secondo la rivendicazione 9, caratterizzato dal fatto che presenta una schiera planare di trasduttori con lati di lunghezza di 1 metro su cui sono distribuiti in modo sparso ed aperiodico 32 trasduttori, la cui posizione à ̈ determinata mediante il metodo secondo una o più delle precedenti rivendicazioni e la quale schiera di trasduttori à ̈ atta a trattare segnali acustici nel campo di frequenze da 300Hz a 5kHz essendo a ciascun trasduttore collegato un filtro FIR del 70-esimo ordine ed una frequenza di campionamento di 11khz facente parte di un beamformer del tipo filter and sum.