EP2013727A1 - Verfahren zur fehlerbaumanalyse - Google Patents

Verfahren zur fehlerbaumanalyse

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Publication number
EP2013727A1
EP2013727A1 EP07703936A EP07703936A EP2013727A1 EP 2013727 A1 EP2013727 A1 EP 2013727A1 EP 07703936 A EP07703936 A EP 07703936A EP 07703936 A EP07703936 A EP 07703936A EP 2013727 A1 EP2013727 A1 EP 2013727A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
probability
failure
maximum
mission
time
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
EP07703936A
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Wolfram Klein
Ariane Sutor
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Siemens AG
Original Assignee
Siemens AG
Siemens Corp
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Siemens AG, Siemens Corp filed Critical Siemens AG
Publication of EP2013727A1 publication Critical patent/EP2013727A1/de
Withdrawn legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F11/00—Error detection; Error correction; Monitoring
    • G06F11/008—Reliability or availability analysis
    • G—PHYSICS
    • G05—CONTROLLING; REGULATING
    • G05B—CONTROL OR REGULATING SYSTEMS IN GENERAL; FUNCTIONAL ELEMENTS OF SUCH SYSTEMS; MONITORING OR TESTING ARRANGEMENTS FOR SUCH SYSTEMS OR ELEMENTS
    • G05B23/00—Testing or monitoring of control systems or parts thereof
    • G05B23/02—Electric testing or monitoring
    • G05B23/0205—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults
    • G05B23/0259—Electric testing or monitoring by means of a monitoring system capable of detecting and responding to faults characterized by the response to fault detection
    • G05B23/0283—Predictive maintenance, e.g. involving the monitoring of a system and, based on the monitoring results, taking decisions on the maintenance schedule of the monitored system; Estimating remaining useful life [RUL]

Definitions

  • the invention relates to a method for fault tree analysis, wherein a technical system is decomposed into several subsystems, each of which is assigned a time-dependent distribution function, which describes the probability of failure of the respective subsystem.
  • Availability / reliability has priority.
  • the aim now is to vary the maintenance times of individual components so that the maximum failure probability of the overall system calculated with these maintenance times falls below a predetermined critical failure probability. So far, the problem is solved by estimated maintenance strategies based on operating experience. This process can be subjective and not very transparent.
  • the object of the invention is to find as objective as possible criteria by means of which maintenance strategies can be developed.
  • Patent claim 1 solved.
  • Advantageous developments of the invention are the subject of the subordinate claims.
  • a technical system is divided into several subsystems, each of which is assigned a time-dependent distribution function, which describes the probability of failure of each subsystem, the distribution functions with each other to a probability of failure of the technical system descriptive and of the time dependent system distribution function.
  • the inventors have realized that by forming a system distribution function which describes the probability of failure of the technical system and which depends on time, it is possible to arrive at criteria by mathematical or numerical evaluation of this distribution function, from which a maintenance strategy can be derived. Since these criteria are calculated and not estimated on the basis of operating experience, there is a comparatively high degree of objectivity in determining these criteria.
  • the links between the distribution functions of the subsystems may have OR links. Alternatively or additionally, AND operations are possible.
  • the system distribution function can be dependent on mission times, the parameters of the
  • Mission times represent maintenance times or maintenance intervals for the subsystems.
  • a maximum of the failure probability of the technical system is determined.
  • the mission time is determined which has the greatest influence on this maximum of the probability of default.
  • the mission time determined in the second step is varied.
  • the maximum of the failure probability of the technical system can again be determined, but this time taking into account the varied mission time.
  • the maximum of the failure probability determined in the fourth step can be compared with a predetermined default probability.
  • the second step may be returned if the comparison has shown that the maximum of the failure probability determined in the fourth step is greater than the predetermined default probability. If, on the other hand, the maximum of the failure probability of the technical system is smaller or smaller than the predetermined one
  • the variation of the mission time is effected in particular by the fact that the mission time is reduced. Furthermore, the or each maximum of the failure probability of the technical system is preferably determined within a predetermined time interval.
  • the evaluation can numerically, z. B. using a digital computer.
  • the maximum of the failure probability of the technical system is determined in particular as follows: determining a constant,
  • the mission time which has the greatest impact on the maximum probability of failure of the technical system, is determined in particular as follows:
  • the variation of the mission time which has the greatest influence on the maximum of the failure probability of the technical system, is carried out in particular as follows:
  • the value of the mission time is multiplied by a factor that is less than 1 (in particular: 0 ⁇ factor ⁇ 1).
  • the failure probability can be determined for each point in time during the operating time of the technical system (system mission time). As a function of time, the probability of failure is referred to as the system distribution function.
  • the system distribution function is calculated using the distribution functions of the base events or subsystems in the fault tree "bottom-up" by evaluating AND and OR operations according to the laws of probability calculation.
  • the aim now is to vary (in particular to reduce) the maximum probability of failure of the overall system so that it is equal to or below a predetermined critical failure probability.
  • the maximum probability of failure or the associated time is first determined (step 1).
  • the mission time is determined which has the greatest influence on the maximum probability of default.
  • this mission time is deliberately varied (reduced), so that the maximum probability of default also decreases.
  • the new maximum probability of failure is compared with the predetermined critical probability of failure (termination criterion) and, depending on this, the most sensitive mission time (see step 2) is varied, etc.
  • the mission parameters can now be varied so that the maximum failure probability of the entire system falls below a predetermined critical failure probability.
  • maintenance strategies can be specified a priori mathematically secured.
  • static fault tree models for a technical system are already available, which can be used directly for the method according to the invention.
  • mission time can be understood as a deployment time or a deployment period in which maintenance or repair work is not possible or only possible to a limited extent.
  • Mission times can be assigned to the technical system as an overall system, but also to the components or subsystems.
  • subsystem is not to be construed restrictively, so that basically any logical and / or physical subunit or subunit of the technical Systems can form a subsystem.
  • events such as base events, may also preferably form subsystems of the technical system.
  • MZ 1 "3 Variation of the mission times or the mission time parameter MZ 1 1 " 3 "; 4: Check if Max ⁇ TE (t) ⁇ is less than or equal to the specified value TE Old target: course of TE before the optimization; TE after optimization.
  • FIG. 1 shows a flowchart according to an embodiment of the invention
  • FIG. 5 shows an addition of the functions according to FIG. 4;
  • FIG. 6 shows a multiplication of the functions according to FIG. 4;
  • FIG. 10 shows an AND operation of the functions according to FIG. 9;
  • FIG. 11 shows two derivatives of the functions according to FIG. 9;
  • FIG. 12 shows a derivation of a composite function after t2, in particular the function according to FIG. 10;
  • FIG. 13 Derivation of the composite function after t2; FIG.
  • FIG. 14 Derivation of the composite function after t ⁇ ; FIG. Deriving the composite function after t ⁇ ; Deriving the composite function after t2; OR function with derivative, same
  • FIG. 1 shows a flowchart according to an embodiment of the invention.
  • the goal is the minimization of a function “TopEreignis” (TE) depending on the time t and parameters “mission times” (MZ 1 )
  • TE Probability of default for the top event.
  • TE (t, MZi, MZ 2 7) is in particular the time-dependent system distribution function.
  • the maximum of the function TE (t) is determined in the given interval.
  • the maximum of the function in the vicinity of the mission times MZ 1 or shortly before the mission times, more specifically at the point t MZ 1 - ⁇ , be assumed.
  • the value k is preferably an integer, in particular a natural number.
  • the maximum of the derivative is determined at the location of the argument t max .
  • the derivatives of the function TE (t) are evaluated according to the mission parameters at the just determined location t max and the Maximum value of these derivative values or the associated mission parameters MZ 1 1 ⁇ * determined.
  • a variation of the mission times takes place.
  • a step 4 an abort of the method is checked.
  • the steps 1, 2 and 3 are repeated until the calculated maximum value TE (t max ) is less than or less than the predetermined value TE So11 .
  • the goal of the dynamic fault tree analysis is to calculate the point in time at which the investigated system will exceed a given critical failure probability.
  • a secondary condition is a calculated or planned failure probability p P i an (t) over time t
  • the total failure probability of the system should therefore always be less than a critical value.
  • the actual optimization goal (or the definition of several targets to be achieved) is yet to be analyzed; his - as long as possible maintenance intervals,
  • the o.g. Basic functions for the approximation of a functional behavior with maintenance strategies can be adapted according to a "sawtooth" exponential distribution.
  • the o.g. Optimization may also lead to a sensitivity analysis of the overall probability of failure with respect to the default probabilities of the base events:
  • the goal is to develop an optimal maintenance strategy of an overall system, so that, while maintaining a critical failure probability of the entire system in the given life cycle, the individual components according to certain criteria to be defined
  • FIG. 1 A representation of the total error tree (Bl or B2) and B3 can be seen from FIG.
  • Org function: 1-exp (-lamdaO * (t-trunc (t / t ⁇ ) * t ⁇ ))
  • diffOrgFunction lamdaO * (-trunc (1, t / t ⁇ ) * t ⁇ - trunc (t / t ⁇ )) * exp (-lamdaO * (t-trunc (t / t ⁇ ) * t ⁇ ))
  • FIG. 8 schematically shows the basic function with its derivative after t ⁇ .
  • FIG. 11 shows the functions
  • FIGS. 12 and 13 show the derivative after t2 of the product of the two functions (Bl or B2) * B3 in different time axis representations.
  • FIG. 14 shows the Derivation after t ⁇ of the product of the two functions (Bl or B2) * B3.
  • Figure 17 shows the OR function with equal maintenance time intervals as well as the derivative of this function after t ⁇ .
  • the function (Bl or B2) was scaled by the factor 1/100, but not the derivative.
  • the function (B1 or B2) was scaled by the factor 1/100, but not the derivative.
  • FIG. 19 shows the AND function with equal maintenance time intervals and their derivation after t ⁇ .
  • the function (Bl and B2) was scaled by the factor 1/100, but not the derivative.
  • Figure 20 shows the And function with unequal
  • the derivative is constant within a mission time: the default rate of the exponentially distributed base event is constant;
  • a change in mission time only changes the conditional probability of default if the time comes thereby into another number of maintenance intervals.
  • the derivative within a maintenance interval is 0 first and then decreases; as the number of maintenance intervals increases, it becomes more severe: at the beginning of a maintenance interval, the component failure rate is 0; thus it does not cause an increase in system failure probability. With increasing time in the maintenance interval the failure rate increases, thus also the
  • F (t): Bl_or_B2 (t, lamdaO, t ⁇ , lamdal, tl) * ExpModulo (t, Iamda2, t2); the parameters t ⁇ are varied.
  • the value for t2 is 25.
  • the value for t ⁇ is 600.
  • TopEvent (635): .4999987500 10 "10 Factor 0.5
  • the variation of t ⁇ or tl causes larger changes in the value of the top event than that of t2 (in test 2), corresponding eg to the minimum value of the derivative after t ⁇ or t2 at the next smaller maintenance interval time.
  • FIGS. 33 to 35 The effect of the variations is also shown in FIGS. 33 to 35, wherein FIG. 33 represents a variation of t.sub. ⁇ and FIG. 34 represents a variation of t.sub.2, which can be seen in more detail from FIG.
  • Figs. 38-40 The effect of the variations is also shown in Figs. 38-40, where Fig. 38 represents a variation of t ⁇ , Fig. 39 represents a variation of tl, and Fig. 40 represents a variation of t2. A variation of tl or t2 does not bring new maxima.
  • FIGS. 45 to 47 show
  • the goal is to minimize the function "top event” (TE) as a function of time t and parameters "mission times".
  • TE top event
  • MAX BCL ⁇ t ⁇ BCR ⁇ TE (t, MZ 1 , MZ 2 , MZ 3 , MZ 4 ,..) ⁇ - TE So11 ' ' 0
  • multidimensional, stable standard methods such as For example, the multidimensional Newton method, gradient-based, can be used.
  • FIG. 48 shows a result of the optimization, old function values "old” and optimized function values "opt” with TE opt (t) ⁇ 3e-7 being shown.

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
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Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Fehlerbaumanalyse, wobei ein technisches System in mehrere Subsysteme zerlegt wird, denen jeweils eine von der Zeit abhängige Verteilungsfunktion zugeordnet wird, welche die Ausfallwahrscheinlichkeit des jeweiligen Subsystems beschreibt, wobei die Verteilungsfunktionen miteinander zu einer die Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems beschreibenden und von der Zeit abhängigen Systemverteilungsfunktion verknüpft werden.

Description

Beschreibung
Verfahren zur Fehlerbaumanalyse
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Fehlerbaumanalyse, wobei ein technisches System in mehrere Subsysteme zerlegt wird, denen jeweils eine von der Zeit abhängige Verteilungsfunktion zugeordnet wird, welche die Ausfallwahrscheinlichkeit des jeweiligen Subsystems beschreibt.
Bei komplexen technischen Systemen ist es oft wichtig, geeignete Wartungsstrategien für einzelne Komponenten des Systems zu finden. Hierbei stellt sich die Frage, welche Komponente wann und wie oft ausgetauscht bzw. gewartet werden muss, um ein optimales Ergebnis für das technische System hinsichtlich des Ziels "hohe Verfügbarkeit/Zuverlässigkeit" zu erzielen. Außerdem gilt es, die Wartung von Komponenten geeignet zu priorisieren, das heißt, diejenigen Komponenten, deren Wartung die größte Auswirkung auf die
Verfügbarkeit/Zuverlässigkeit hat, werden vorrangig gewartet. Ziel ist es nun, die Wartungszeiten einzelner Komponenten so zu variieren, dass die mit diesen Wartungszeiten berechnete maximale Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems eine vorgegebene kritische Ausfallwahrscheinlichkeit unterschreitet. Bisher wird das Problem dadurch gelöst, indem aufgrund von Betriebserfahrung Wartungsstrategien abgeschätzt werden. Dieser Vorgang kann subjektiv und wenig transparent sein .
Aufgabe der Erfindung ist es, möglichst objektivere Kriterien zu finden, anhand derer Wartungsstrategien entwickelt werden können .
Diese Aufgabe wird durch die Merkmale des unabhängigen
Patentanspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung sind Gegenstand untergeordneter Ansprüche. Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren zur Fehlerbaumanalyse wird ein technisches System in mehrere Subsysteme zerlegt, denen jeweils eine von der Zeit abhängige Verteilungsfunktion zugeordnet wird, welche die Ausfallwahrscheinlichkeit des jeweiligen Subsystems beschreibt, wobei die Verteilungsfunktionen miteinander zu einer die Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems beschreibenden und von der Zeit abhängigen Systemverteilungsfunktion verknüpft werden.
Die Erfinder haben erkannt, dass durch das Bilden einer die Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems beschreibenden Systemverteilungsfunktion, die von der Zeit abhängig ist, die Möglichkeit geschaffen wird, durch mathematische bzw. numerische Auswertung dieser Verteilungsfunktion zu Kriterien zu gelangen, aus denen eine Wartungsstrategie ableitbar ist. Da diese Kriterien berechnet und nicht aufgrund von Betriebserfahrung abgeschätzt werden, liegt ein vergleichsweise hohes Maß an Objektivität bei der Bestimmung dieser Kriterien vor.
Die Verknüpfungen zwischen den Verteilungsfunktionen der Subsysteme können ODER-Verknüpfungen aufweisen. Alternativ oder ergänzend sind UND-Verknüpfungen möglich.
Die Systemverteilungsfunktion kann abhängig von Missionszeiten sein, die Parameter der
Systemverteilungsfunktion bilden. Diese Missionszeiten sind insbesondere den Subsystemen zugeordnet. Ferner können die
Missionszeiten Wartungszeiten bzw. Wartungsintervalle für die Subsysteme repräsentieren.
Zur Reduzierung der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems bzw. zur Entwicklung einer Wartungsstrategie können folgende Schritte durchgeführt werden: - In einem ersten Schritt wird ein Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems bestimmt.
- In einem zweiten Schritt wird diejenige Missionszeit bestimmt, die den größten Einfluss auf dieses Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit hat.
- In einem dritten Schritt wird die im zweiten Schritt bestimmte Missionszeit variiert.
Nun kann in einem vierten Schritt erneut das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems bestimmt werden, diesmal jedoch unter Berücksichtigung der variierten Missionszeit. In einem fünften Schritt kann das im vierten Schritt ermittelte Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit mit einer vorgegebenen Ausfallwahrscheinlichkeit verglichen werde. Danach kann in einem sechsten Schritt zu dem zweiten Schritt zurückgekehrt werden, falls der Vergleich ergeben hat, dass das im vierten Schritt bestimmte Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit größer als die vorgegebene Ausfallwahrscheinlichkeit ist. Ist hingegen das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems kleiner oder kleiner gleich der vorgegebenen
Ausfallwahrscheinlichkeit, so kann diese Optimierung der Wartungsstrategie abgebrochen werden, da die gewünschten Anforderungen bereits erfüllt sind.
Das Variieren der Missionszeit erfolgt insbesondere dadurch, dass die Missionszeit verkleinert wird. Ferner wird das bzw. jedes Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems bevorzugt innerhalb eines vorgegebenen zeitlichen Intervalls bestimmt. Die Auswertung kann numerisch, z. B. unter Verwendung eines Digitalrechners erfolgen.
Das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems wird insbesondere folgendermaßen ermittelt: - Bestimmen einer Konstanten,
- Bestimmen von Differenzen aus Vielfachen aller Missionszeiten innerhalb des Intervalls und der Konstanten, - Ermitteln der Funktionswerte der Systemverteilungsfunktion für die Differenzen als Argumente,
- Bestimmen des Maximums der so ermittelten Funktionswerte mit dem entsprechenden Argument.
Die Missionszeit, die den größten Einfluss auf das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems hat, wird insbesondere folgendermaßen bestimmt:
- Bestimme die Ableitungen der Systemverteilungsfunktion nach den Missionszeiten an der Stelle, an der das Maximum der
Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems liegt,
- Bestimme den Maximalwert dieser Ableitungen und die dazugehörige Missionszeit.
Das Variieren der Missionszeit, die den größten Einfluss auf das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems hat, wird insbesondere folgendermaßen durchgeführt:
- Der Wert der Missionszeit wird mit einem Faktor multipliziert, der kleiner als 1 ist (insbesondere gilt: 0 < Faktor < 1) .
Für jeden Zeitpunkt innerhalb der Betriebszeit des technischen Systems (System-Missionszeit) lässt sich die Ausfallwahrscheinlichkeit ermitteln. Als Funktion über der Zeit wird die Ausfallwahrscheinlichkeit als Systemverteilungsfunktion bezeichnet. Die
Systemverteilungsfunktion wird über die Verteilungsfunktionen der Basisereignisse bzw. Subsysteme im Fehlerbaum "bottom-up" berechnet, indem UND- und ODER-Verknüpfungen gemäß den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ausgewertet werden.
Ziel ist es nun, die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems so zu variieren (insbesondere zu verkleinern), dass sie gleich ist einer vorgegebenen kritischen Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. sie unterschreitet. Hierfür wird die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. der hierzu gehörige Zeitpunkt zunächst ermittelt (Schritt 1). An dieser Stelle wird diejenige Missionszeit bestimmt, die den größten Einfluss auf die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit hat. In einem dritten Schritt wird diese Missionszeit gezielt variiert (verkleinert) , so dass sich auch die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit verringert. Nach einer Neuberechnung der maximalen Ausfallwahrscheinlichkeit (wieder Schritt 1) für die modifizierte Missionszeit wird die neue maximale Ausfallwahrscheinlichkeit mit der vorgegebenen kritischen Ausfallwahrscheinlichkeit verglichen (Abbruchkriterium) und je nachdem erneut die sensitivste Missionszeit (siehe Schritt 2) variiert, usw.
Vorteil des erfindungsgemäßen technischen Vorgehens ist es, dass die Missionsparameter nun so variiert werden können, dass die maximale Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems eine vorgegebene kritische Ausfallwahrscheinlichkeit unterschreitet. Damit können Wartungsstrategien a priori mathematisch abgesichert angegeben werden. Ferner ergeben sich damit Möglichkeiten, gezielt Komponenten zu warten und somit ein Optimum zwischen Kosten versus Verfügbarkeit/Zuverlässigkeit zu erzielen. Oft liegen statische Fehlerbaummodelle für ein technisches System bereits vor, die für das erfindungsgemäße Verfahren direkt weiter verwendet werden können.
Unter dem Begriff Missionszeit kann eine Einsatzzeit bzw. ein Einsatzzeitraum verstanden werden, in dem Wartungs- oder Reparaturarbeiten gar nicht oder lediglich eingeschränkt möglich sind. Missionszeiten können dabei dem technischen System als Gesamtsystem, aber auch den Komponenten bzw. Subsystemen zugeordnet werden.
Insbesondere ist der Begriff Subsystem nicht einschränkend auszulegen, so dass grundsätzlich jede logische und/oder physikalische Untereinheit oder Teileinheit des technischen Systems ein Subsystem bilden kann. Bevorzugt können somit auch Ereignisse, wie z.B. Basisereignisse, Subsysteme des technischen Systems bilden.
Im Folgenden wird die Erfindung anhand bevorzugter Ausführungsbeispiele mit Hilfe der Figuren näher beschrieben, wobei nur die zum Verständnis der Erfindung notwendigen Merkmale dargestellt sind und folgende Bezugszeichen verwendet werden: 1: Bestimmung des Maximums Max{TE(t) } der Funktion TE (t, MZi, MZ2...) sowie des zugehörigen Arguments tmax; 2: Bestimmung des Maximums der partiellen Ableitungen von TE (t, MZi, MZ2...) nach den Parametern MZi, MZ2... an der Stelle t = tmax und des zugehörigen Missionszeitparameters
MZ1" 3: Variation der Missionszeiten bzw. des Missionszeitparameters MZ1 1"3"; 4: Prüfung ob Max{TE(t)} kleiner oder gleich dem vorgegebenen Wert TE Soll alt : Verlauf von TE vor der Optimierung; opt : Verlauf von TE nach der Optimierung.
Es zeigen im Einzelnen:
FIG 1: ein Flussdiagramm gemäß einer Ausführungsform der Erfindung;
FIG 2: eine Approximation einer Verteilungsfunktion; FIG 3: eine Approximation einer Verteilungsfunktion;
FIG 4: zwei Funktionen;
FIG 5: eine Addition der Funktionen nach Fig. 4;
FIG 6: eine Multiplikation der Funktionen nach Fig. 4;
FIG 7 : einen Fehlerbaum; FIG 8: eine Basisfunktion mit Ableitung;
FIG 9: zwei Funktionen;
FIG 10: eine UND-Verknüpfung der Funktionen nach Fig. 9;
FIG 11: zwei Ableitungen der Funktionen nach Fig. 9;
FIG 12: eine Ableitung einer zusammengesetzten Funktion nach t2, insbesondere der Funktion nach Fig. 10;
FIG 13: Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach t2;
FIG 14: Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach tθ; Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach tθ; Ableitung der zusammengesetzten Funktion nach t2; ODER-Funktion mit Ableitung, gleiche
Wartungsintervalle,• ODER-Funktion mit Ableitung, ungleiche Wartungsintervalle,• UND-Funktion mit Ableitung, gleiche Wartungsintervalle,• UND-Funktion mit Ableitung, ungleiche Wartungsintervalle; Funktionen TE für unterschiedliche Parameter; Ableitung von TE nach tθ; Ableitung von TE nach t2; Funktion TE über t2; Funktion TE über tθ; TE über t für t0=600 und t2=25; TE über t für t0=630 und t2=25; TE über t für t0=660 und t2=25; TE über t für t0=600 und t2=20; TE über t für t0=600 und t2=25; TE über t für t0=600 und t2=30; TE über t für t0=tl=600 und t2=25; Funktionen TE für unterschiedliche tθ; Funktionen TE für unterschiedliche t2; Funktionen TE für unterschiedliche t2; TE über t für t0=550, tl=600 und t2=650; TE über t für t0=550, tl=600 und t2=650; Funktionen TE für unterschiedliche tθ; Funktionen TE für unterschiedliche tl; Funktionen TE für unterschiedliche t2; TE über t für t0=550, tl=600 und t2=650; Funktionen TE für unterschiedliche tθ; Funktionen TE für unterschiedliche tl; Funktionen TE für unterschiedliche t2; Ableitung nach tθ für t0=550, tl=600 und t2=650; Ableitung nach tl für t0=550, tl=600 und t2=650; Ableitung nach t2 für t0=550, tl=600 und t2=650; FIG 48: TE mit optimierten Werten.
Die Figur 1 zeigt ein Flussdiagramm gemäß einer Ausführungsform der Erfindung. Hier ist das Ziel die Minimierung einer Funktion "TopEreignis" (TE) abhängig von der Zeit t und Parametern "Missionszeiten" (MZ1)
TE (t, MZi, MZ2, MZ3, MZ4,...)
über einem gegebenem Intervall [BCL, BCR] (Boundery Condition Left/Right bzw. Randbedingungen links/rechts) so, dass gilt:
MAXBCL ≤ t ≤ BCR { TE ( t , MZ 1 , MZ 2 , MZ 3 , MZ 4 , . . . ) } < TESo11
IJgSoIi ^s^_ ς^kg-L eine vorgegebene maximale, kritische
Ausfallwahrscheinlichkeit für das TopEreignis. TE (t, MZi, MZ2...) ist insbesondere die zeitabhängige Systemverteilungsfunktion .
In einem Schritt 1 wird das Maximum der Funktion TE (t) in dem gegebenen Intervall bestimmt. Dabei kann das Maximum der Funktion in der Nähe der Missionszeiten MZ1 bzw. kurz vor den Missionszeiten, konkreter an der Stelle t = MZ1 - ε, angenommen werden.
Es werden die Vielfachen aller Missionszeiten k * MZ1 innerhalb des gegebenen Intervalls bestimmt, die Funktion an der Stelle tlk = k * MZ1 - ε (mit z. B. ε = 0,0001 * k * MZ1) ausgewertet und das Maximum der so ermittelten Funktionswerte mit dem entsprechenden Argument tmax bestimmt. Der Wert k ist bevorzugt eine ganze, insbesondere eine natürliche Zahl.
In einem Schritt 2 wird das Maximum der Ableitung an der Stelle des Arguments tmax bestimmt. Dabei werden die Ableitungen der Funktion TE (t) nach den Missionsparametern an der eben ermittelten Stelle tmax ausgewertet und der Maximalwert dieser Ableitungswerte bzw. der dazugehörige Missionsparameter MZ1 1^* bestimmt.
In einem Schritt 3 erfolgt eine Variation der Missionszeiten. Dabei wird der gefundenen Missionsparameter MZ1 maκ verkleinert, z. B. durch MZ1""' neu = 0,99 * MZ1"", wonach mit der modifizierten Missionszeit zu Schritt 1 zurückgekehrt wird.
In einem Schritt 4 wird ein Abbruch des Verfahrens geprüft. Insbesondere werden die Schritt 1, 2 und 3 solange wiederholt, bis der berechnete Maximalwert TE (tmax) kleiner oder kleiner gleich als der vorgegeben Wert TESo11 ist.
Das Vorgehen bei der Analyse kann in mehrere Schritte gegliedert werden:
Wie bei der klassischen, statischen Fault Tree Analysis (FTA) wird das gegebene System in mehrere Subsysteme zerlegt mit einem TopEreignis als Wurzel, die Blätter der Subsysteme entsprechen den Basisereignissen.
Diese Blätter besitzen für ein definiertes Ausfallereignis Ausfallwahrscheinlichkeiten, aus der z. B. bei einer Exponentialverteilung die konstante Ausfallrate bestimmt wird. Die Ausfallwahrscheinlichkeiten der einzelnen Komponenten, werden - wie bisher - als Funktion über der Zeit angegeben, z. B. als Exponentialverteilung über der Zeit.
Im Gegensatz zur statischen FTA wird nun die Auswertung dieser Ausfallwahrscheinlichkeiten für Subsysteme in Richtung TopEreignis nicht statisch sondern dynamisch durchgeführt. D.h. evtl. "UND" und "ODER" Verknüpfungen für Subsysteme werden ebenfalls funktional über der Zeit dargestellt, z.B. mit Hilfe von approximierenden Funktionen oder mittels symbolischer Funktionsdarstellung. Das TopEreignis liegt dann ebenfalls als Funktion über der Zeit vor. - Für approximierende Funktionen können entsprechende Basisfunktionen gewählt werden, deren Koeffizienten entsprechend der Vorgaben mittels der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems angepasst werden können. - Bei der Lösung mittels symbolischer Formelberechnung können die Grenzen dieser Berechnung z.B. in Bezug auf die Anzahl der möglichen Basisereignisse bestimmt werden.
Wird nun für das TopEreignis eine gerade noch zulässige Höchstausfallswahrscheinlichkeit pkrit vorgegeben, also eine kritische Größe für die berechnete
Ausfallwahrscheinlichkeiten des Gesamtsystems, so kann hierfür das zugehörige tkπt berechnet werden, also der dazu gehörige (kritische) Zeitpunkt, ab dem das Gesamtsystem diese vorgegebene Ausfallswahrscheinlichkeit überschreiten wird.
Das Ziel der dynamischen Fehlerbaumanalyse ist die Berechnung desjenigen Zeitpunktes, ab dem das untersuchte System eine vorgegebene kritische Ausfallwahrscheinlichkeit überschreiten wird.
In einem weiteren Schritt kann, basierend auf der o.g. dynamischen Fehlerbaumanalyse, eine Optimierung der Wartungsstrategien durchgeführt werden.
Eine Nebenbedingung ist dabei eine berechnete bzw. geplante Ausfallwahrscheinlichkeit pPian(t) über der Zeit t mit
Ppian ( t ) < Pkπt ( t ) , für tStart < t < tEnd •
Die Gesamtausfallwahrscheinlichkeit des Systems soll also immer kleiner als ein kritischer Wert sein. Das eigentliche Optimierungsziel (bzw. die Definition von mehreren zu erreichenden Zielen) ist noch zu analysieren, Optimierungsziele können z.B. sein - möglichst lange Wartungsintervalle,
- bevorzugte Auswechslung von "einfach zugänglichen" Komponenten (unter Erfüllung der Optimierungsnebenbedingung) , - bevorzugte Auswechslung von "finanziell billigen" Komponenten (unter Erfüllung der Optimierungsnebenbedingung) ,
- bevorzugte Auswechslung nur derjenigen Komponenten, deren dann verbesserte Ausfallwahrscheinlichkeit einen deutlichen Einfluss / Verbesserung auf die
Gesamtausfallwahrscheinlichkeit hat .
Die o.g. Basisfunktionen zur Approximation eines funktionalen Verhaltens mit Wartungsstrategien können dabei entsprechend einer "sägezahnförmigen" Exponentialverteilung angepasst werden .
Die o.g. Optimierung kann auch zu einer Sensitivitätsanalyse der Gesamtausfallwahrscheinlichkeit bzgl. der Ausfallwahrscheinlichkeiten der Basisereignisse führen:
Welchen Einfluss hat die Wartung von Basisereignis "i" auf die Gesamtausfallwahrscheinlichkeit, hat eine Wartung für dieses Basisereignis "i" überhaupt eine entsprechende (deutliche) Auswirkung?
Das Ziel ist die Erarbeitung einer optimalen Wartungsstrategie eines Gesamtsystems, so dass unter Einhaltung einer kritischen Ausfallwahrscheinlichkeit des Gesamtsystems im gegebenen Lebenszyklus die einzelnen Komponenten nach gewissen zu definierenden Kriterien
(kostengünstig, einfacher Zugriff, ...) ausgewechselt werden.
In einem ersten Schritt können die
Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Basisereignisse jeweils explizit gegeben werden. Hierbei sollte für diese Verteilungen die allgemeine Form
p(t) = a - b * exp(c*t)
bzw. die spezielle Form für eine Verteilungsfunktion
p(t) = 1 - exp(-λ*t) angesetzt werden. Diese allgemeine Form resultiert aus der Erfahrung, dass zwei Stutzstellen zur Approximation zu wenig sind. Wie aus den Figuren 2 und 3 ersichtlich, kann neben zwei normalen Stutzstellen für die Funktion als drittes Kriterium auch die Ableitung an einer Zwischenstelle approximiert werden.
Für evtl. Reparaturstrategien können zusammengesetzte Funktionen
falls (t < ti ) dann sonst p(t) = a2 - b2 * exp(c2 *t)
angesetzt werden. Allerdings können hier Probleme wegen der fehlenden Stetigkeit / Differenzierbarkeit an der Bruchstelle hinsichtlich des geplanten Optimierungsvorganges entstehen.
In einem zweiten Schritt sind die Verknupfungsoperatoren "und" und "oder" für Basisereignisse bzw. auch für Subsysteme zu definieren. Hierbei entspricht
P1 (t) v P2 (t) = P1 (t) + P2 (t) - P1 (t) * P2 (t) bzw. P1 (t) A P2 (t) = P1 (t) * P2 (t) .
Für die beiden aus Figur 4 ersichtlichen Funktionen ist die Addition der Funktionswerte aus Figur 5 und die Multiplikation der Funktionswerte aus Figur 6 ersichtlich. Auch hier ist wieder Stetigkeit / Differenzierbarkeit mit Hinblick auf die Optimierung zu beachten.
Um festzustellen, welche Änderungen von Missionszeiten sich am stärksten auf die Systemzuverlassigkeit auswirken
(Sensitivitatsanalyse) , wird die "Systemverteilungsfunktion" abgeleitet . Seien a,bGR mit b>0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen qGZ, rGR mit a=bq+r, 0<r<b.
Es wird definiert: r =: a mod b.
Ableitung der Systemfunktion: q: = '-t/ to-' (Gaußklammer) , to teilt nicht t d/dto [exp(-λ (t mod t0) ) ] = d/dt0 [exp(-λ (t-q t0) ) ] = exp( - λt) [λ ( dq/dto * to +q) exp (λ q t0) ] = λ q exp(-λ (t mod to) )
Nachfolgend wird ein Beispiel für eine Analyse mit Hilfe einer Software gegeben (die Funktion "trunc" trennt die Nachkommastellen von einer Zahl ab) :
# erste neue Prozedur: RealModulo (x,q) = x - trunc (x/q) *q;
# zweite neue Prozedur: ExpModulo (t, lamda, tθ) =
1 - exp (-lamda*RealModulo (t, tθ) ) ;
# dritte neue Prozedur: "und" von Basisfkt Bl_und_B2 (t, lamdal, tθ, Iamda2, tl) =
ExpModulo (t, lamdal, tθ) * ExpModulo (t, Iamda2, ti;
# vierte neue Prozedur: "oder" von Basisfkt Bl_oder_B2 (t, lamdaO, tθ, lamdal, tl) =
ExpModulo (t, lamdaO, tθ) + ExpModulo (t, lamdal, ti; ExpModulo (t, lamdaO, tθ) * ExpModulo (t, lamdal, tr
# fünfte neue Prozedur: TopEreignis
TopEreignis (t, lamdaO, lamdal, Iamda2, tθ, tl, t2) =
Bl oder B2 ( t, lamdaO, tθ, lamdal, tl) * ExpModulo (t, I amda2 , t2 ) ;
Eine Darstellung des Gesamtfehlerbaums (Bl oder B2) und B3 ist aus Figur 7 ersichtlich.
Nachfolgend werden die Ableitungen berechnet, wobei folgende Funktion gegeben sei:
OrgFunktion := 1-exp (-lamdaO* (t-trunc (t/tθ) *tθ) )
Ihre Ableitung nach tθ berechnet sich zu
diffOrgFunction := lamdaO* (-trunc (1, t/tθ) *tθ- trunc (t/tθ) ) *exp (-lamdaO* (t-trunc (t/tθ) *tθ) )
Die Funktion trunc (1, t/tθ) entspricht dabei der ersten Ableitung von trunc und sollte deshalb immer 0 sein. In Figur 8 ist die Basisfunktion mit ihrer Ableitung nach tθ schematisch dargestellt.
Die Funktionen
Basisfunktion Bl: lambda := 0.000001, tθ:= 672;
Basisfunktion B2 : lambda := 0.000001, tl:= 672;
Basisfunktion B3 : lambda := 0.000001, t2:= 24; sind in unterschiedlichen Verknüpfungen aus Figur 9 und Figur 10 ersichtlich, wobei Figur 9 die Funktion (Bl oder B2) sowie die Funktion B3 und Figur 10 die Funktion (Bl oder B2) und B3 dargestellt .
Ferner zeigt Figur 11 für die Funktionen
Basisfunktion Bl: lambda := 0.000001, tθ:= 672; Basisfunktion B2 : lambda := 0.000001, tl:= 672; Basisfunktion B3 : lambda := 0.000001, t2:= 24; die Ableitung von (Bl oder B2) nach tθ sowie von B3 nach t2. Ferner zeigen die Figuren 12 und 13 die Ableitung nach t2 des Produkts der beiden Funktionen (Bl oder B2)* B3 in unterschiedlichen Zeitachsedarstellungen. Figur 14 zeigt die Ableitung nach tθ des Produkts der beiden Funktionen (Bl oder B2) * B3.
Aus Figur 15 ist die Ableitung der Funktion (Bl oder B2) * B3 nach tθ und aus Figur 16 die Ableitung der Funktion (Bl oder B2) * B3 nach t2 für einen Bereich bis t = 8760 h dargestellt, wobei die Ableitung nach tθ nicht mehr exakt von der verwendeten Software darstellbar ist. Es ist zu erkennen, dass die Ableitung nach t2 um Größenordnungen großer als die nach tθ bzw. tl ist.
Figur 17 zeigt die Oder-Funktion mit gleichen Wartungszeit- Intervallen sowie die Ableitung dieser Funktion nach tθ. Die Funktion (Bl oder B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht jedoch die Ableitung.
Figur 18 zeigt die Oder-Funktion mit ungleichen Wartungsintervallen sowie deren Ableitung nach tθ und tl, mit tθ = 670, tl = 600. Die Funktion (Bl oder B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht jedoch die Ableitung.
Figur 19 zeigt die Und-Funktion mit gleichen Wartungszeit- Intervallen sowie deren Ableitung nach tθ. Die Funktion (Bl und B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht jedoch die Ableitung.
Figur 20 zeigt die Und-Funktion mit ungleichen
Wartungsintervallen sowie deren Ableitung nach tθ und tl, mit tθ = 670, tl = 600. Die Funktion (Bl und B2) wurde mit dem Faktor 1/100 skaliert, nicht jedoch die Ableitung.
Zur Interpretation der Ableitungen ist folgendes anzumerken: - Vom Zeitpunkt "0" aus gesehen wirkt sich die Änderung einer Missionszeit für einen spateren Zeitpunkt um so sensibler aus, je weiter dieser spatere Zeitpunkt in der Zukunft liegt: Je weiter der Zeitpunkt in der Zukunft liegt, desto eher bewirken Änderungen der Missionszeit eine unterschiedliche Anzahl von Wartungen. Jede Wartung beeinflusst aber unmittelbar die Systemausfallwahrscheinlichkeit.
- Bei der "ODER" -Verknüpfung ist die Ableitung innerhalb einer Missionszeit konstant: Die Ausfallrate des exponential- verteilten Basisereignisses ist konstant; somit ändert eine Änderung der Missionszeit nur dann die bedingte Ausfallwahrscheinlichkeit, wenn der Zeitpunkt dadurch in eine andere Anzahl von Wartungsintervallen kommt.
- Bei der "UND" -Verknüpfung ist die Ableitung innerhalb eines Wartungsintervalls zuerst 0 und fallt dann ab; mit zunehmender Anzahl Wartungsintervalle fallt sie starker: Zu Beginn eines Wartungsintervalls ist die Ausfallrate der Komponente 0; somit bewirkt sie keinen Anstieg der Systemausfallwahrscheinlichkeit. Mit zunehmender Zeit im Wartungsintervall steigt die Ausfallrate, somit auch die
Auswirkung auf die Systemausfallwahrscheinlichkeit. Je mehr die Wartungsintervalle in der Zukunft liegen, desto gravierender wirkt sich die höhere Ausfallrate am Ende der Missionszeit aus, da eine Verkürzung gerade diese kritischen Enden immer öfter ausgeblendet hatte.
- Bei der "UND" -Verknüpfung mit zwei unterschiedlichen Missionszeiten bewirkt eine Wartung eines Basisereignisses einen Anstieg der Sensitivitat des zweiten Basisereignisses mit der längeren Missionszeit: Die höhere Ausfallrate des zweiten Basisereignisses hat nun allein Einfluss auf die
Systemausfallwahrscheinlichkeit und somit relativ ein höheres Gewicht .
Für die oben angegebene Funktion (Bl oder B2) und B3 bzw.
F(t) := Bl_oder_B2 (t, lamdaO, tθ, lamdal, tl) * ExpModulo(t, Iamda2, t2); werden die Parameter t± variiert.
Figur 21 zeigt das Topereignis von oben TE = (Bl oder B2) und B3 für (t0=600, t2=20), (t0=630, t2=25) und (t0=660, t2=30). Aus Figur 22 ist die Ableitung nach tθ für (t0=630, t2=25) ersichtlich. Figur 23 zeigt die Ableitung von TE nach t2 für (t0=630, t2=25) .
Figur 24 zeigt TE für (t0=tl=630, t2=var, t=590/635) . Ferner zeigt Figur 25 TE für (tθ=tl=var, t2=25, t=590/635) . Der
Ausdruck "var" bedeutet, dass TE über t2 bzw. tθ aufgetragen ist, wie aus den Fig. 24 und 25 ersichtlich. Ferner bedeutet das Zeichen "/", dass TE sowohl für t=590 als auch für t=635 dargestellt ist.
Die Figuren 26, 27 und 28 zeigen TE mit unterschiedlichen Werten für tθ, wobei in Figur 26 tθ = 600, in Figur 27 tθ = 630 und in Figur 28 tθ = 660 ist. Der Wert für t2 ist dabei 25.
Die Figuren 29, 30 und 31 zeigen TE mit unterschiedlichen Werten für t2, wobei in Figur 29 t2 = 20, in Figur 30 t2 = 25 und in Figur 31 t2 = 30 ist. Der Wert für tθ ist dabei 600.
Berechnung der Funktionswerte, Test 1 lamdaO : = .1 10"5 lamdal : = .1 10"5
Iamda2 : = .1 10"5 t := 590
tθ := 600, tl := 600, t2 := 25 TopEreignis (590) := .1768944364 10"7
tθ := 630, tl := 630, t2 := 25 TopEreignis (590) := .1768944364 10"7 Faktor 1.0
tθ := 660, tl := 660, t2 := 25, TopEreignis (590) := .1768944364 10"7 Faktor 1.0
tθ := 630, tl := 630, t2 := 20 TopEreignis (590) := .1179304105 10"7
tθ := 630, tl := 630, t2 := 25 TopEreignis (590) := .1768944364 10"7 Faktor 1.5
tθ := 630, tl := 630 , t2 := 30 TopEreignis (590) := .2358584624 10"7 Faktor 1.33
Berechnung der Funktionswerte, Test 2 lamdaO := .1 10"5 lamdal := .1 10"5 Iamda2 := .1 10"5 t := 635
tθ := 600, tl := 600, t2 := 25 TopEreignis (635) := .6999757504 10"9
tθ := 630, tl := 630, t2 := 25
TopEreignis (635) := .9999975000 10"10 Faktor 1.42
tθ := 660, tl := 660, t2 := 25, TopEreignis (635) := .1269193831 10"7 Faktor 126.9
tθ := 630, tl := 630, t2 := 20 TopEreignis (635) := .1499986250 10"9
tθ := 630, tl := 630, t2 := 25 TopEreignis (635) := .9999975000 10"10 Faktor 0.666
tθ := 630, tl := 630 , t2 := 30
TopEreignis (635) := .4999987500 10"10 Faktor 0.5 Die Variation von tθ bzw. tl bewirkt größere Änderungen des Werts des TopEreignisses als die von t2 (in Test 2), entsprechend z.B. dem minimalen Wert der Ableitung nach tθ bzw. t2 an dem nächst kleineren Wartungsintervallzeitpunkt.
Nun sollen die Auswirkungen der Variation der Missionszeiten auf das Maximum untersucht werden. Hierfür wird z.B. das Maximum der in Figur 32 dargestellten Funktion TE (TopEreignis) bestimmt: TE = (Bl oder B2) und B3 für t0=tl=600 und t2=25 im Intervall t = [0, 1300];
Die Ergebnisauswertung liefert: tθ=tl:= 598 und t2=25: TE ( 1195.99) = .2504644023 e-7
tθ=tl:= 599 und t2=25: TE ( 1197.99) = .2750175563 e-7 Faktor 1.09
tθ=tl:= 600 und t2=25: TE ( 1199.99) = .2996915332 e-7 Faktor 1.08
tθ=tl:= 601 und t2=25: TE ( 1199.99) = .2996915332 e-7 Faktor 1
tθ=tl:= 602 und t2=25:
TE ( 1199.99) = .2996915332 e-7
Faktor 1
tθ=tl:= 600 und t2 := 23:
TE ( 1195.99) = .2738692631 e-7 t θ=t l : = 600 und t2 : = 24 :
TE ( 1199.99) = .2876989309 e-7
Faktor 1.05
tθ=tl:= 600 und t2 := 25:
TE ( 1199.99) = .2996915332 e-7 Faktor 1.04
tθ=tl:= 600 und t2 := 26: TE ( 1195.99) = .3096073453 e-7 Faktor 1.03
tθ=tl:= 600 und t2 := 27: TE ( 1187.99) = .3172057111 e-7 Faktor 1.02
tθ=tl:= 600 und t2 := 30:
TE ( 1199.99) = .3596533453 e-7
Faktor 1.13 (max!)
Die Auswirkung der Variationen ist auch in den Figuren 33 bis 35 dargestellt, wobei Figur 33 eine Variation von tθ und Figur 34 eine Variation von t2 repräsentiert, die detaillierter auch aus Figur 35 ersichtlich ist.
Im Gegensatz zur vorherigen Analyse der Missionszeitenvariation werden nun drei ähnliche Missionszeiten genommen und variiert. Hierfür wird z.B. das Maximum der in Figur 36 dargestellten Funktion TE (TopEreignis) bestimmt: TE = (Bl oder B2) und B3 für tθ= 550, tl= 600 und t2=650 im Intervall t = [0, 1300] .
Ferner zeigt Figur 37 die Funktion TE im Intervall t = [0, 7000] . Die Ergebnisauswertung liefert: tθ := 530, tl := 600, t2 := 650, TE ( 529.99 ) = .5613326587 e-6
tθ := 540, tl := 600, t2 := 650, TE ( 539.99 ) = .5827060847 e-6
tθ := 550, tl := 600, t2 := 650, TE ( 549.99 ) = .6044792930 e-6
tθ := 560, tl := 600, t2 := 650, TE ( 559.99 ) = .6266508527 e-6
tθ := 570, tl := 600, t2 := 650, TE ( 569.99 ) = .6492221906 e-6 (max!)
Die Auswirkung der Variationen ist auch in den Figuren 38 bis 40 dargestellt, wobei Figur 38 eine Variation von tθ, Figur 39 eine Variation von tl und Figur 40 eine Variation von t2 repräsentiert. Eine Variation von tl bzw. t2 bringt keine neuen Maxima.
Ferner wird eine Zusatz-Analyse im Intervall [3000, 4000] durchgeführt. Die Funktion TE (tθ= 550, tl= 600 und t2=650) in diesem Intervall ist in Figur 41 dargestellt.
Folgende Werte ergeben sich für ausgesuchte Parameterkombinationen : tθ := 560, tl := 600, t2 := 650, TE ( 3899.99 ) = .5455718742 e-6
tθ := 570, tl := 600, t2 := 650, TE ( 3899.99 ) = .5066169773 e-6
tθ := 550, tl := 580, t2 := 650, TE ( 3249.99 ) = .5520643381 e-6 tθ := 550, tl := 590, t2 := 650, TE ( 3249.99 ) = .5196021594 e-6
tθ := 550, tl := 580, t2 := 650, TE ( 3899.99 ) = .3053114410 e-6
tθ := 550, tl := 590, t2 := 650, TE ( 3899.99 ) = .2663418660 e-6
tθ := 550, tl := 600, t2 := 650, TE ( 3899.99 ) = .2273699519 e-6
tθ := 550, tl := 600, t2 := 660,
TE ( 3299.99 ) = .5605551336 e-6 (max!)
tθ := 550, tl := 600, t2 := 670,
TE ( 3299.99 ) = .5265920358 e-6
Die Auswirkung der Variationen ist auch in den Figuren 42 bis 44 dargestellt, wobei Figur 42 eine Variation von tθ, Figur 43 eine Variation von tl und Figur 44 eine Variation von t2 repräsentiert. Ferner zeigen die Figuren 45 bis 47
Ableitungen nach tθ, tl bzw. t2 für (t0=550, tl=600, t2=650) .
Wie oben bereits beschrieben, ist das Ziel die Minimierung der Funktion "TopEreignis" (TE) abhangig von der Zeit t und Parametern "Missionszeiten". Dabei können zur Nullstellenbestimmung, insbesondere der Funktion MAX BCL < t < BCR { TE (t, MZ1, MZ2, MZ3, MZ4, ...) } - TESo11 '=' 0, mehrdimensionale, stabile Standardverfahren, wie z.B. das mehrdimensionale Newtonverfahren, gradientenbasiert, verwendet werden.
Aus Figur 48 ist ein Ergebnis der Optimierung ersichtlich, wobei alte Funktionswerte "alt" und optimierte Funktionswerte "opt" mit TEopt (t) < 3e-7 dargestellt sind. Fig. 48 zeigt dabei die alten Funktionswerte "alt" der Funktion TE (t) = (Bl oder B2) und B3 bzw. insbesondere ihre Maxima ausgewertet über dem Intervall [3000, 6000] mit den Missionszeiten MZ1:= 550, MZ2:= 600, MZ3:= 650. Ihr Maximum liegt an der Stelle f( 5849.99415 ) = 0.5196108310e-6.
Eine Optimierung führt zu den geänderten Missionszeiten MZ1:= 384.0855128, MZ2:= 398.0522588, MZ3:= 477.8097289 mit dem dargestellten geänderten Funktionsverlauf "opt" sowie dem Maximum f22 ( 3822.47401 ) = 0.2892541630 10 e-6, und dem hiermit erfüllten Abbruchkriterium gemäß der Forderung TESo11 = 0.3 e-7.
Es versteht sich, dass die vorstehend genannten Merkmale der Erfindung nicht nur in der jeweils angegebenen Kombination, sondern auch in anderen Kombinationen oder in Alleinstellung verwendbar sind, ohne den Rahmen der Erfindung zu verlassen.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Fehlerbaumanalyse, wobei ein technisches System in mehrere Subsysteme zerlegt wird, denen jeweils eine von der Zeit abhängige Verteilungsfunktion zugeordnet wird, welche die Ausfallwahrscheinlichkeit des jeweiligen Subsystems beschreibt, dadurch gekennzeichnet, dass die Verteilungsfunktionen miteinander zu einer die Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems beschreibenden und von der Zeit abhängigen Systemverteilungsfunktion verknüpft werden.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Verknüpfungen der Verteilungsfunktionen ODER-
Verknüpfungen und/oder UND-Verknüpfungen aufweisen.
3. Verfahren nach einem der vorangehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Systemverteilungsfunktion abhängig von Missionszeiten ist, die Parameter der Systemverteilungsfunktion bilden .
4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass die Missionszeiten den Subsystemen zugeordnet sind.
5. Verfahren nach Anspruch 3 oder 4, gekennzeichnet durch die Verfahrensschritte: a) Bestimmen eines Maximums der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems, b) Bestimmen einer der Missionszeiten, die den größten
Einfluss auf das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems hat, c) Variieren der in Schritt (b) bestimmten Missionszeit.
6. Verfahren nach Anspruch 5, gekennzeichnet durch die Verfahrensschritte: d) Bestimmen eines Maximums der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems unter Berücksichtigung der variierten Missionszeit, e) Vergleichen des Maximums der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems mit einer vorgegebenen
Ausfallwahrscheinlichkeit und f) Zurückkehren zu Schritt (b) , falls das Maximum der
Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems größer als die vorgegebene Ausfallwahrscheinlichkeit ist.
7. Verfahren nach Anspruch 5 oder 6, dadurch gekennzeichnet, dass das Variieren der Missionszeit ein Verkleinern der Missionszeit ist.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 5 bis 7, dadurch gekennzeichnet, dass jedes Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems innerhalb eines vorgegebenen zeitlichen Intervalls bestimmt wird.
9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, dass jedes Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems folgendermaßen bestimmt wird:
Bestimmen einer Konstanten,
Bestimmen von Differenzen aus Vielfachen aller
Missionszeiten innerhalb des Intervalls und der Konstanten,
Ermitteln der Funktionswerte der
Systemverteilungsfunktion für die Differenzen als
Argumente,
Bestimmen des Maximums der so ermittelten Funktionswerte mit dem entsprechenden Argument.
10. Verfahren nach einem der Ansprüche 5 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Missionszeit, die den größten Einfluss auf das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems hat, folgendermaßen bestimmt wird: - Bestimme die Ableitungen der Systemverteilungsfunktion nach den Missionszeiten an der Stelle, an der das Maximum der Ausfallwahrscheinlichkeit des technischen Systems liegt,
Bestimme den Maximalwert dieser Ableitungen und die dazugehörige Missionszeit.
11. Verfahren nach einem nach einem der Ansprüche 5 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass das Variieren der bestimmten Missionszeit folgendermaßen durchgeführt wird: der Wert der Missionszeit wird mit einem Faktor multipliziert, der kleiner als 1 ist.
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Families Citing this family (8)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
FR2947080A1 (fr) * 2009-06-22 2010-12-24 Peugeot Citroen Automobiles Sa Procede pour controler la surete de fonctionnement d'un systeme
CN101853320B (zh) * 2010-05-17 2011-10-26 北京航空航天大学 一种适用于飞机结构腐蚀损伤的模糊综合评判方法
CN103020436B (zh) * 2012-11-30 2015-08-12 工业和信息化部电子第五研究所 元器件失效归零分析方法与系统
US9852232B2 (en) 2013-11-08 2017-12-26 International Business Machines Corporation Automating event trees using analytics
US9348710B2 (en) 2014-07-29 2016-05-24 Saudi Arabian Oil Company Proactive failure recovery model for distributed computing using a checkpoint frequency determined by a MTBF threshold
CN105096037A (zh) * 2015-07-16 2015-11-25 广东产品质量监督检验研究院 一种光伏组件失效风险判别方法
DE102017215341A1 (de) * 2017-09-01 2019-03-07 Siemens Mobility GmbH Verfahren zur Untersuchung eines Funktionsverhaltens einer Komponente einer technischen Anlage, Computerprogramm und computerlesbares Speichermedium
US12589884B2 (en) * 2023-09-07 2026-03-31 The Boeing Company Aircraft control system failure event search

Family Cites Families (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
DE1035454B (de) 1952-03-19 1958-07-31 Reunis Broyeurs Forplex Atel Zerkleinerungsmaschine
DE4008560C2 (de) * 1989-03-17 1995-11-02 Hitachi Ltd Verfahren und Vorrichtung zum Bestimmen einer Restlebensdauer eines Aggregats
DE19910098A1 (de) * 1999-03-08 2000-09-14 Abb Research Ltd Verfahren zur Beurteilung der Zuverlässigkeit tehnischer Systeme
AU2002235516A1 (en) * 2001-01-08 2002-07-16 Vextec Corporation Method and apparatus for predicting failure in a system

Non-Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
See references of WO2007124961A1 *

Also Published As

Publication number Publication date
US20090300418A1 (en) 2009-12-03
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DE102006019896A1 (de) 2007-10-31
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WO2007124961A1 (de) 2007-11-08

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