EP0922264A1 - Verfahren und gerät zur erstellung und optimierung eines schneidplanes für einen rollenschneider - Google Patents

Verfahren und gerät zur erstellung und optimierung eines schneidplanes für einen rollenschneider

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EP0922264A1
EP0922264A1 EP97938771A EP97938771A EP0922264A1 EP 0922264 A1 EP0922264 A1 EP 0922264A1 EP 97938771 A EP97938771 A EP 97938771A EP 97938771 A EP97938771 A EP 97938771A EP 0922264 A1 EP0922264 A1 EP 0922264A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
variables
solution
litter
search tree
optimization problem
Prior art date
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Ceased
Application number
EP97938771A
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Rolf Ehrhardt
Rudolf Tracht
Jürgen ADAMY
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Siemens AG
Siemens Corp
Original Assignee
Siemens AG
Siemens Corp
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Siemens AG, Siemens Corp filed Critical Siemens AG
Publication of EP0922264A1 publication Critical patent/EP0922264A1/de
Ceased legal-status Critical Current

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06Q—INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY [ICT] SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES; SYSTEMS OR METHODS SPECIALLY ADAPTED FOR ADMINISTRATIVE, COMMERCIAL, FINANCIAL, MANAGERIAL OR SUPERVISORY PURPOSES, NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • G06Q10/00—Administration; Management
    • G06Q10/04—Forecasting or optimisation specially adapted for administrative or management purposes, e.g. linear programming or "cutting stock problem"
    • G06Q10/043—Optimisation of two dimensional placement, e.g. cutting of clothes or wood

Definitions

  • the invention relates to a method for creating and optimizing a cutting plan for a slitter from a continuously produced material web, in particular in the paper industry, using mathematical methods for the deterministic solution of at least one mixed-continuous-integer linear optimization problem, in the technical literature the term “mixed-number linear optimization problem” is also used for the latter designation.
  • the invention relates to a device programmed according to the specified method, comprising at least one programmable digital computer with a central unit, work, program and data memories and an input / output memory. Output interface for data exchange with the slitter.
  • a cutting plan for a slitter consists of the information in which pattern the predecessor "Tambour" is to be cut to produce the successor products "reels".
  • the so-called reel has a predetermined width.
  • the reels have different widths, whereby the weight of all reels of a customer order can fluctuate between a minimum and a maximum value.
  • the length of a single reel can also fluctuate between a minimum and a maximum value.
  • the object of the invention is to specify a method with which deterministically and automatically optimized cutting plans can be created.
  • a suitable device is to be created.
  • the task is carried out in a method of the type mentioned at the outset, in which a) the linear optimization problem is solved continuously using a predetermined solution method and b) integer variables are subsequently searched for, the variables being restricted, and a so-called search tree is set up, solved according to the invention with the following method steps: c) on individual branches of the search tree with the restricted variables, the optimization problem is solved with a predetermined solution method, d) the method steps according to b) and c) are repeated until all variables have become an integer.
  • method step c) is carried out in such a way that in a branch of the search tree with a predetermined one
  • Solution method a solution of the optimization problem is determined, whereby variables marked by the branch are limited specifically for this branch, that this solution is compared with the best integer solution calculated so far and, if it is worse, the entire branch is deleted from the search tree becomes.
  • the solution methods for features a) and c) are preferably multiplier methods, whereby the multiplier method according to method step c) can be changed compared to the multiplier method according to method step a).
  • multiplier methods are understood to be known computing methods, which will be discussed in more detail below. Particularly in automation technology at 38 (1990) 4, pp. 143-148, a method to be classified as a multiplier method for calculating optimal control sequences for linear scanning systems with convex restrictions is implemented.
  • the invention defines an algorithm that solves the scheduling problem in an astonishingly simple manner, particularly for the paper industry. Instead of long computing times, cutting plans can now be created immediately before the start of the shift in production. The latter is possible on site using a PC and / or laptop with a suitable user interface. In conjunction with the slitter rewinder, a device is thus created in which suitable means are defined by programming the digital computer in accordance with the specified method.
  • 5 shows a so-called search tree to simplify the optimization problem to be solved for calculating the cutting plan.
  • the production of paper takes place in several steps: First, the raw paper is produced in the actual paper machine and, if necessary, finished in so-called coating machines. In this state, the base paper is available in rolls with a width of approx. 5 to 10 m, which are referred to as so-called reels. The length of the paper web rolled up in a reel can fluctuate depending on the requirement and the weight (weight) of the paper and can be up to 100 km.
  • the reels are then cut into narrower strips in roll cutters, which are wound into individual rolls, the so-called hanging rolls.
  • roll cutters When the rollers have reached a given diameter, i.e.
  • the paper cutter is stopped and the paper is cut transversely to the direction of travel.
  • the entirety of the notice rolls thus created in one operation is referred to in the paper industry as a so-called litter.
  • FIG. 1 A drum 1 is shown, from which a paper web 2 is drawn off and is cut lengthwise by means of individual knives 3, which are adjustable in the lateral direction, into narrower paper webs, for example into the webs 11 to 15. With 21 to 25 the so-called. Notice rolls are referred to, on which the narrower paper webs 11 to 15 are wound. In the line of knives 3 there are knives 3 'on the side for edge straightening, by means of which a lateral waste is removed, means for edge suction being available. Overall, a winder 100 is thus realized.
  • the individual lengths of the rollers 21 to 25 can be determined by cuts in the transverse direction of the drum.
  • a complete cut across the entire width B of the drum 1 defines a so-called throw with a throw number.
  • the first drum contains three throws and has three throw numbers, while the second and third drum have only two throw numbers.
  • the areas of the waste are shown hatched on the side, with a minimum waste resulting from the edge straightening according to FIG. 1.
  • the actual waste is higher, which is indicated by hatching in the opposite direction.
  • An important role for the creation of the cutting plan is to combine the number of customer roles specified in the width of the respective order with storage roles that are possible in standard width for any subsequent orders in order to minimize the current waste.
  • the unit 30 contains the measures for optimizing the cutting plan, which essentially consists of a block 31 with for data preparation and a block 32 with for production optimization for the slitter 100.
  • a PC or laptop can do this can be used with a suitable user interface.
  • the PC 300 symbolically indicated in FIG. 4, as a programmable digital computer usually comprises a central unit (not shown in detail) as well as work, program and data memory. Via a suitable input / output interface, the determined cutting plans can be sent as a data record directly to the automation device 150 for the slitter rewinder 100.
  • the linear optimization problem can be described by M equations, namely M-1 restriction equations and a quality function with N unknowns, where N is greater than M. Specifically:
  • N- (M-2) variables N- (M-3) variables become their lower limit lbi (lower bound ) or upper Limit ubi (upper bound). Variables with a negative influence on the quality function are placed at the lower limit and variables with a positive influence on the quality function are placed at the upper limit. Variables that have no influence on the quality function can take any value between the limits.
  • variable values up to the top equation provides variables within their permissible limits, the system of equations is solved. Otherwise, other variables must be selected to hold onto a border. Variables that only cause an equation error in the uppermost equation, i.e. are outside the lower or upper limit, can finally be at the lower limit if they are smaller than the lower limit, or at the upper limit if they are larger than the upper limit are held.
  • the procedure is as follows: 1. First, the real-valued solution x of the continuous optimization problem is determined.
  • interval [lbi; ubi] is divided by x into a left and right subinterval, whereby the new interval limits are created by rounding up or down.
  • a branch of the search tree that has not yet been edited is then selected and examined. That is, for the optimization problem with those determined by the tree
  • Solution x 0 pt to calculate.
  • optimization can often be terminated after a predefinable time.
  • the best integer value x currently found is then a sufficient approximation for x opt and can be used as a result.
  • FIG. 5 shows a search or decision tree, in which the above scheme is used, in detail:
  • the starting point is the solution of the non-integer optimization problem.
  • the individual branching points are examined and individual branches are selected according to the filled circles, because the following applies to the optimal possible value in this branch:
  • the search solution t 0 pt- In practice, in order to set up the search tree according to FIG. 5, the variables are first classified and sorted in a classification list according to the following priorities: a) variables that determine the litter lengths are sorted in ascending order according to the litter length and litter number, b) variables that define , whether a litter should be made, are sorted in ascending order according to litter length and
  • Length may be manufactured, are sorted in ascending order by length of litter, d) variables, which contain the number of customer roles, are sorted in ascending order by roll width and litter number, e) variables, which contain the number of storage rolls, are sorted in ascending order by roll width and litter number.
  • the classification list therefore contains all variables that must become integers.
  • This classification and sorting means that the variables with the greatest influence on the quality function are processed at the beginning of the resulting search tree. An unfavorable or no classification would lead to impermissibly long computing times.
  • the classification list is used to check whether the first variable in the list is in the tree or not an integer. If the variable is present in the tree and is an integer, the second variable in the classification list is checked and continues to the end of the list. When the end of the list is reached, all variables are integers and the problem is solved.
  • the quality value of the left branch of the search tree is compared with the quality value of the right branch of the search tree. The above procedure is then carried out again with the better result. Corresponding data about which branch was used, which variable, which depth and which result the other branch has are saved.
  • Limits have become an integer.
  • the first integer result is now certain. After that, the tree turns backwards gone to a knot, the other branch has not yet been processed. For this node it is checked whether the quality value in the other branch of the node is better than the best integer solution so far. If the quality value is better, the branch is followed up, otherwise it is cut off. As soon as the procedure has reached and processed the node that was treated first, the optimal integer solution is found.
  • the cutting plan can thus be created in the production operation immediately before the start of the shift and the finished cutting plan can be sent to the slitter as a data record.

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Abstract

Für einen Rollenschneider, insbesondere in der Papierindustrie, sollen unter Anwendung von mathematischen Methoden optimale Schneidpläne ermittelt werden. Letzteres erfolgt durch Zerlegung in Einzelschritte, wobei zunächst eine kontinuierliche Lösung des linearen Optimierungsproblemes mit einer bekannten Multiplikatormethode erfolgt, anschliessend Variablen gesucht und bezüglich ihrer Grenzen eingeschränkt werden. Mit Definition eines sogenannten Suchbaumes wird sukzessive vorangeschritten und diese Verfahrensschritte solange wiederholt werden, bis die Variablen ganzzahlig geworden sind. Ein zugehöriges Gerät umfasst einen programmierbaren, aus üblichen Komponenten aufgebauten Digitalrechner, der entsprechend dem angegebenen Verfahren programmiert ist und so geeignete Mittel für den Betrieb des Rollenschneiders (100) definiert.

Description

Beschreibung
Verfahren und Gerät zur Erstellung und Optimierung eines Schneidplanes für einen Rollenεchneider
Die Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur Erstellung und Optimierung eines Schneidplanes für einen Rollenschneider von einer kontinuierlich erzeugten Materialbahn, insbesondere in der Papierindustrie, unter Anwendung von mathematischen Methoden zur deterministischen Lösung von wenigstens einem gemischt-kontinuierlich-ganzzahligen linearen Optimierungsproblem, wobei in der Fachliteratur für letztere Bezeichnung auch der Begriff „gemischtzahlig lineares Optimierungspro- ble " verwendet wird. Daneben bezieht sich die Erfindung auf ein entsprechend dem angegebenen Vefahren programmiertes Gerät, enthaltend wenigstens einen programmierbaren Digitalrechner mit Zentraleinheit, Arbeits-, Programm- und Datenspeichern sowie einer Ein-/Ausgabe-Schnittstelle zum Datenaustausch mit dem Rollenschneider.
Speziell in der Papierindustrie hat man es mit einer Auftragslage zu tun, die in kürzester Zeit stark schwanken kann. Eine flexible Produktionsoptimierung ist daher unverzichtbar. In diesem Zusammenhang kommt insbesondere der Maschinen- belegungsplanung für den sog. Rollenschneider , mit dem eine Papierbahn in die vom Kunden geforderte Geometrie, den sog. Kundenrollen, geschnitten wird, eine zentrale Bedeutung zu. Damit verbunden ist eine geeignete Schneidplanerstellung, woran sich üblicherweise eine Optimierung des Schneidplanes anschließt, um in der laufenden Produktion den Verschnitt an Papier zu minimieren. Außer in der Papierindustrie spielt auch bei anderen kontinuierlich erzeugten Materialbahnen, beispielsweise Folien od. dgl . , die Schneidplanerstellung eine wichtige Rolle.
Ein Schneidplan für einen Rollenschneider besteht aus den Angaben, in welchem Muster das Vorgängerprodukt „Tambour" zerschnitten werden soll, um die Nachfolgeprodukte „Rollen" herzustellen. Der sog. Tambour hat eine vorgegebene Breite. Die Rollen haben unterschiedliche Breiten, wobei üblicherweise das Gewicht aller Rollen eines Kundenauftrages zwischen einem minimalen und einem maximalen Wert schwanken kann. Die Länge einer einzelnen Rolle kann ebenfalls zwischen einem minimalen und einem maximalen Wert schwanken. Ein Wechsel eines Schneidmusters beinhaltet eine physikalische Verstellung der Schneidmesser des Rollenschneiders, womit erhebliche Rüstkosten verbunden sind. Insbesondere die Rüstkosten beeinträchtigen aber die in der Papierindustrie zu erzielenden Erlöse .
Man ist daher bemüht, den Schneidplan so zu konzipieren, daß die Summe aus den Erlösen der Rollen abzüglich den Kosten durch Schneidverluste abzüglich den Rüstkosten ein Maximum wird. Aus dieser Problemstellung ergibt sich mathematisch gesehen ein komplexes Lösungsproblem mit binärer Struktur, das z.B. bei sechs verschiedenen Breiten, sechs Würfen, zwei verschieden mögliche Wurflängen und maximal fünfzehn Auf- wickelstationen Lösungsmöglichkeiten von ca. 1,27*1030 hat. Berücksichtigt man weiterhin, daß eine Breite beispielsweise vierundzwanzig Variationen hat und sechs Breiten mal sechs Würfe vorhanden sind, ergeben sich 24*36 = 2*1043 Lösungsmög- lichkeiten. Durch gegenseitige Abhängigkeiten der Variablen reduziert sich das Problem in der Praxis auf ca. 2100 = 1,27*1030 Lösungsmöglichkeiten.
Eine Lösung des linearen Lösungsproblems mit einer vollstän- digen Permutation ist für eine praktische Anwendung zur Erstellung eines Schneidplanes für einen Rollenschneider wegen der dafür notwendigen langen Rechenzeit nicht möglich. Klassische mathematische Standardverfahren kommen nicht in Frage, da sie nur kontinuierliche und keine ganzzahligen Problem- Stellungen lösen können. Entsprechende Feststellungen werden im einzelnen in Fortschr . -Ber . VDI, Reihe 20, Nr. 24, Düsseldorf VDI-Verlag („Ein wissensbasiertes System zur Produk- tionsplanung und -Steuerung in der Papierindustrie", Dissertation U. Nickels), insbes . Seite 73,1. Absatz gemacht.
Bisherige Lösungsansätze arbeiten daher in der Praxis mit Heuristiken, d.h. nach bestimmten Regeln werden die Rollen in einem vorgegebenen Schneidplan verteilt. Diese Verfahren sind nichtdeterminis isch.
Aufgabe der Erfindung ist es demgegenüber, ein Verfahren an- zugeben, mit denen deterministisch und automatisiert optimierte Schneidpläne erstellt werden können. In Verbindung mit dem Rollenschneider soll ein dafür geeignetes Gerät geschaffen werden.
Die Aufgabe wird bei einem Verfahren der eingangs genannten Art, bei der a) eine kontinuierliche Lösung des linearen Optimierungsproblems mit einer vorgegebenen Lösungsmethode erfolgt und b) anschließend ganzzahlige Variable gesucht werden, wobei eine Beschränkung der Variablen erfolgt, und es wird ein sogenannter Suchbaum aufgebaut, erfindungsgemäß mit folgenden Verfahrensschritten gelöst: c) An einzelnen Ästen des Suchbaumes mit den beschränkten Variablen erfolgt eine Lösung des Optimierungsproblems mit einer vorgegebenen Lösungsmethode, d) die Verfahrensschritte gemäß b) und c) werden solange wiederholt, bis alle Variablen ganzzahlig geworden sind.
Insbesondere wird Verfahrensschritt c) derart durchgeführt, daß in einem Ast des Suchbaumes mit einer vorgegebenen
Lösungsmethode eine Lösung des Optimierungsproblems bestimmt wird, wobei jeweils durch den Ast gekennzeichnete Variable spezifisch für diesen Ast beschränkt sind, daß diese Lösung mit der besten bisher berechneten ganzzahligen Lösung ver- glichen wird und, sofern sie schlechter ist, der gesamte Ast aus dem Suchbaum gestrichen wird. Vorzugsweise sind die Lösungsmethoden bei den Merkmalen a) und c) Multiplikator- methoden, wobei die Multiplikatormethode gemäß Verfahrensschritt c) gegenüber der Multiplikatormethode gemäß Verfah- rensschritt a) abgeändert sein kann. Unter Multiplikatormethoden werden dabei an sich bekannte Rechenverfahren verstanden, auf die noch im einzelnen eingegangen wird. Insbesondere in Automatisierungstechnik at 38 (1990) 4, S. 143-148 wird ein als Multiplikatormethode zu klassifizierendes Verfahren zur Berechnung von optimalen Steuerfolgen für lineare Abtastsysteme mit konvexen Beschränkungen realisiert.
Mit der Erfindung ist ein Algorithmus definiert, der das Ablaufplanungsproblem insbesondere für die Papierindustrie in verblüffend einfacher Weise löst. Statt langer Rechenzeiten kann nunmehr eine Erstellung von Schneidplänen unmittelbar vor Schichtbeginn in der Produktion erfolgen. Letzteres ist vor Ort anhand eines PC und/oder Laptops mit geeigneter Bedienoberfläche möglich. In Verbindung mit dem Rollenschneider ist also ein Gerät geschaffen, bei dem durch die Programmierung des Digitalrechners entsprechend dem angegebenen Ver- fahren geeignete Mittel definiert sind.
Weitere Einzelheiten und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus der nachfolgenden Beschreibung von Beispielen, wozu auf die Figuren speziell zur Beschreibung einer mathematischen Modellbildung verwiesen wird. Es zeigen
FIG 1 die Prinzipskizze eines Rollenschneiders,
FIG 2 das Schema eines Schneidplanes,
FIG 3 die Darstellung der Einbettung der Optimierung in die Produk ionsplanung in der Papierindustrie,
FIG 4 die gerätetechnische Realisierung und
FIG 5 einen sog. Suchbaum zur Vereinfachung des zur Berechnung des Schneidplanes zu lösenden Optimierungsproblems .
Die Figuren werden nachfolgend teilweise gemeinsam beschrieben. Die Produktion von Papier läuft in mehreren Schritten ab: Zunächst wird in der eigentlichen Papiermaschine das Rohpapier hergestellt und gegebenenfalls in sogenannten Streich- maschinen veredelt. In diesem Zustand liegt das Rohpapier in Rollen mit ca. 5 bis 10 m Breite vor, die als sogenannte Tamboure bezeichnet werden. Die Länge der in einem Tambour aufgerollten Papierbahn kann je nach Anforderung und Flächengewicht (Schwere) des Papiers stark schwanken und bis zu 100 km betragen.
Die Tamboure werden anschließend in Rollenschneidern in schmalere Streifen geschnitten, die zu einzelnen Rollen, den sog. Aushangrollen, aufgewickelt werden. Wenn die Rollen einen vorgegebenen Durchmesser erreicht haben, d.h. eine bestimmte Länge der Papierbahn vorliegt, wird der Rollenschneider angehalten und das Papier quer zur Laufrichtung abgeschnitten. Die Gesamtheit der so in einem Arbeitsgang entstandenen Aushangrollen wird in der Papierindustrie als ein sogenannter Wurf bezeichnet.
Letzteres wird anhand FIG 1 veranschaulicht: Es ist ein Tambour 1 dargestellt, von dem eine Papierbahn 2 abgezogen wird und über einzelne Messer 3, die in lateraler Richtung verstellbar sind, in schmalere Papierbahnen, beispielsweise in die Bahnen 11 bis 15, längs geschnitten wird. Mit 21 bis 25 sind die sog. Aushangrollen bezeichnet, auf die die schmaleren Papierbahnen 11 bis 15 aufgewickelt werden. In der Linie der Messer 3 sind seitlich Messer 3' zur Randbegradi- gung vorhanden, mit dem ein seitlicher Verschnitt entfernt wird, wobei Mittel zur Randabsaugung zur Verfügung stehen. Insgesamt ist damit ein Rollenschneider 100 realisiert.
In FIG 2 ist die Papierbahn 10 in verkürzter Projektion dar- gestellt. Deutlich wird das Schema eines Schneidplanes, mit dem aus der Länge der Papierbahn 10 jeweils eines einzigen Tambours 1 einzelne Rollen unterschiedlicher Breite bε herge- stellt werden können. Durch Schnitte in Querrichtung des Tambours können jeweils die Einzellängen der Rollen 21 bis 25 bestimmt werden. Wie erwähnt, definiert ein kompletter Schnitt über die gesamte Breite B des Tambours 1 jeweils einen sog. Wurf mit einer Wurfnummer. Beispielsweise beinhaltet der erste Tambour drei Würfe und hat drei Wurfnummern, während der zweite und dritte Tambour nur jeweils zwei Wurf- nummern haben.
Im Tambour 1 sind seitlich schraffiert die Bereiche des Verschnittes dargestellt, wobei sich ein Mindestverschnitt durch die Randbegradigung gemäß FIG 1 ergibt. Im allgemeinen ist - durch den Schneidplan bedingt - der tatsächliche Verschnitt höher, was durch die Schraffur in entgegengesetzter Richtung angedeutet ist. Dabei spielt eine wesentliche Rolle für die Schneidplanerstellung, die Zahl der im jeweils vorliegenden Auftrag in der Breite vorgegebenen Kundenrollen mit in Standardbreite möglichen Lagerrollen für etwaige spätere Aufträge zu kombinieren, um den aktuellen Verschnitt zu minimieren.
Zur Produktionsoptimierung am Rollenschneider 100 gemäß FIG 1 dienen folgende Zielvorgaben, die sich durch eine Gütefunktion zusammenfassen lassen: - Minimierung des Verschnittes
- Minimierung der Rüstkosten
- Maximierung der Erlöse
- optimale Erfüllung der Auftragsvorgaben unter Ausnutzung der Toleranzen, z.B. der Längen- u/o Gewichtstoleranzen.
Im übrigen muß die Rollenschneiderbelegung in die gesamte Produktionsplanung eingebettet werden, was anhand der FIG 3 verdeutlicht wird. Dabei beinhalten die Einheit 30 die Maßnahmen zur Optimierung des Schneidplanes, welche im wesent- liehen aus einem Block 31 mit zur Datenaufbereitung und einem Block 32 mit zur Produktionsoptimierung für den Rollenschneider 100 besteht. In der Praxis kann dafür ein PC bzw. Laptop mit geeigneter Bedienoberfläche verwendet werden. Der in FIG 4 symbolisch angedeutete PC 300 umfaßt als programmierbarer Digitalrechner üblicherweise eine nicht im einzelnen dargestellte Zentraleinheit sowie Arbeits-, Programm- und Daten- Speicher. Ober eine geeignete Ein-/Ausgabeschnittstelle können die ermittelten Schneidpläne als Datensatz unmittelbar an das Automatisierungsgerät 150 für den Rollenschneider 100 gegeben werden .
Entscheidend ist beim Betrieb des Automatisierungsgerätes 150 für den Rollenschneider 100, daß nach einer Selektion der Kundenau träge und der Datenaufbereitung entsprechend Block 32 von FIG 3 für eine Produktionsoptimierung des Rollenschneiders als auch die Produktionskosten ermittelt werden können. Ziel der Optimierung des Schneidplanes ist es, den Gewinn, den die Realisation des ermittelten Schneidplanes ergibt, zu maximieren. Dabei müssen auch die Rüstkosten durch Messerwechsel od. dgl . berücksichtigt und können die genauen Rüstkosten erst dann ermittelt werden, wenn die Rollenanord- nung innerhalb des Wurfes bekannt ist.
Das lineare Optimierungsproblem kann beschrieben werden durch M Gleichungen, und zwar M-l Restriktionsgleichungen und einer Gütefunktion mit N Unbekannten, wobei N größer als M ist. Konkret gilt:
Ax = b, dτx -> min, lbi < Xj ≤ ubi, mit lbi = untere Grenze und ubi = obere Grenze.
Bildlich handelt es sich um eine rechteckige Matrix A mit M Zeilen und N Spalten mit N > M, und einen N-dimensionalen Vektor x und einen M-dimensionalen Vektor b. Die Gleichungen können durch Gauß'sche Transformationsschritte ineinander eingesetzt bzw. Variablen ersetzt werden bis zur Gleichung M- 2. Von den verbleibenden N-(M-2) Variablen werden N-(M-3) Variablen an ihre untere Grenze lbi (lower bound) oder obere Grenze ubi (upper bound) gelegt. Variable mit negativem Einfluß auf die Gütefunktion werden an die untere Grenze und Variable mit positivem Einfluß auf die Gütefunktion werden an die obere Grenze gelegt. Variable, die keinen Einfluß auf die Gütefunktion haben, können beliebige Werte zwischen den Grenzen annehmen .
Mit den so festgelegten Variablen wird die letzte noch unbestimmte Variable errechnet. Danach wird die Variable in das transformierte Gleichungssystem rückeingesetzt. Wenn das
Rückeinsetzen der Variablenwerte bis zur obersten Gleichung Variablen in ihren zulässigen Grenzen liefert, ist das Gleichungssystem gelöst. Andernfalls müssen andere Variablen für das Festhalten an einer Grenze ausgewählt werden. Variablen, die erst in der obersten Gleichung einen Gleichungsfehler verursachen, also außerhalb der unteren oder oberen Grenze liegen, können endgültig an der unteren Grenze, sofern sie kleiner als die untere Grenze sind, oder an der oberen Grenze, sofern sie größer als die obere Grenze sind, fest- gehalten werden.
Durch Iteration und Austausch der festgehaltenen Variablen ergibt sich deterministisch nach endlich vielen Rechenschritten eine kontinuierliche Lösung x+ .
Reim mathematisch gesehen ist beim vorstehend anschaulich dargestellten linearen gemischt kontinuierlich ganzzahligen Optimierungsproblem die ganzzahlige Lösung x opt
A x = b lbi ≤ χi» ≤ u*°i
n „ n . zu bestimmen, wobei x e R und χ opt € N± ist.
Hierbei wird folgendermaßen vorgegangen: 1. Zunächst wird die reellwertige Lösung x des kontinuierlichen Optimierungsproblems bestimmt.
2. Das Intervall [lbi; ubi] wird durch x in ein linkes und rechtes Teilintervall aufgeteilt, wobei die neuen Intervallgrenzen durch Ab- bzw. Aufrunden entstehen.
[lbi; bi]
[lbi; xβi ) [ x ui ; ubi]
xoi = int(xi ΛUi = 1+int (xi ),
wobei die Funktion int den ganzzahligen Teil einer Zahl berechnet. Beispielsweise sei [lbi, ubi] = [0; 15]. Mit xi+ = 4.23 folgt [0; 4] und [5; 15].
Mit dieser Vorgehensweise entsteht ein Suchbaum mit jeweils zwei Ästen pro Entscheidungsknoten, an dessen Ende - nach immer stärker erfolgender Einengung der Intervalle - nur ganzzahlige zulässige Werte x stehen. Einer dieser
Werte x ist die gesuchte Lösung 0pt.
3. Durch Abarbeitung eines Astes des vorstehend definierten
Such- bzw. Entscheidungsbaumes wird ein zulässiges ganzzahliges x ermittelt. Letzteres bildet die z. Zt. beste bekannte ganzzahlige Lösung x aktuell ^-es Problems.
4. Anschließend wird ein noch nicht bearbeiteter Ast des Suchbaumes ausgewählt und untersucht. D.h., für das Optimierungsproblem mit den durch den Baum festgelegten
Variablenschranken ein eingechränktes Optimierungsproblem, gelöst. Als Lösung dieses Teilproblems ergibt sich x*, d.h. die bestmögliche nicht ganzzahlige Lösung dieses Astes des Suchbaumes. T τ_
5. Wenn c_ x* ≥ C aktuell ist, d.h. wenn die bestmögliche nicht ganzzahlige Lösung x* des aktuellen Astes schlechter ist als der momentan beste ganzzahlige Wert je aktuell' so muß dieser Ast nicht mehr untersucht werden. Denn alle x dieses Astes sind schlechter als x* und damit schlechter als _x_aktue.il-
6. Es wird gemäß Punkt 4 fortgefahren, bis der Baum abgearbeitet und die Lösung 30ρt bestimmt ist. Der Aufbau des Baumes ist von zentraler Bedeutung für die Lösungszeit.
In der Praxis ist es nicht immer erforderlich, die optimale
Lösung x 0pt zu berechnen. Oft kann, wie die Erfahrung zeigt, nach einer vorgebbaren Zeit die Optimierung abgebrochen werden. Der beste bisher gefundene ganzzahlige Wert x aktuell ist dann eine hinreichende Nährung für xopt und kann als Ergebnis verwendet werden.
In FIG 5 ist ein Such- bzw. Entscheidungsbaum, bei dem gemäß vorstehendem Schema vorgegangen wird, im einzelnen dargestellt: Ausgegangen wird von der Lösung des nicht ganzzahligen Optimierungsproblems. Es werden die einzelnen Verzwei- gungεpunkte untersucht und entsprechend den ausgefüllten Kreisen einzelne Äste selektiert, weil für den optimal möglichen Wert in diesem Ast gilt:
T T_ c x* ≥ c ^aktuell ■
Aus dem Suchbaum ergeben sich bei zulässigem ganzzahligen Wert x die gesuchte Lösung t0pt- In der Praxis wird zum Aufbau des Suchbaumes gemäß FIG 5 zuerst eine Klassifizierung der Variablen und eine Sortierung in einer Klassifizierungsliste nach folgenden Prioritäten durchgeführt : a) Variablen, die die Wurflängen festlegen, werden aufsteigend sortiert nach Wurflänge und Wurfnummer, b) Variablen, die festlegen, ob ein Wurf gefertigt werden soll, werden aufsteigend sortiert nach Wurflänge und
Wurfnummer, c) Variablen, die festlegen, daß ein Auftrag nur mit einer
Länge gefertigt werden darf, werden aufsteigend sortiert nach Wurflänge, d) Variablen, die die Anzahl der Kundenrollen beinhalten, werden aufsteigend sortiert nach Rollenbreite und Wurfnummer, e) Variablen, die die Anzahl der Lagerrollen beinhalten, werden aufsteigend sortiert nach Rollenbreite und Wurfnummer .
Die Klassifizierungsliste enthält somit alle Variablen, die ganzzahlig werden müssen.
Diese Klassifizierung und Sortierung bewirkt, daß die Variablen mit dem größten Einfluß auf die Gütefunktion am Anfang des sich ergebenden Suchbaumes bearbeitet werden. Eine ungünstige oder gar keine Klassifizierung würde zu unzulässig großen Rechenzeiten führen.
Mit Hilfe der Klassifizierungsliste wird geprüft, ob die erste Variable in der Liste im Baum vorhanden ist oder nicht ganzzahlig ist. Falls die Variable im Baum vorhanden und ganzzahlig ist, wird die zweite Variable der Klassifizierungsliste geprüft und bis zum Ende der Liste fortgefahren. Wenn das Ende der Liste erreicht ist, sind alle Variablen ganzzahlig und das Problem ist gelöst.
Die Prüfung, ob und an welcher Stelle im bisher aufgebauten Entscheidungsbaum die Variable im Baum vorhanden ist oder nicht, hat einen entscheidenden Einfluß auf die Rechenzeit, wie folgende Überlegung zeigt: Es kommt sehr häufig vor, daß Variable bei den ersten noch nicht vollständig ganzzahligen Lösungen zwar ganzzahlig sind und erst später nichtganzzahlig werden. Wenn dies bei den Variablen für die Wurflängenent- scheidung passiert, würde zuerst der falsche Baumbereich bearbeitet und wertvolle Rechenzeit vergeudet. Um dies zu verhindern, müssen auch Variable, die ganzzahlig sind, im Suchbaum aufgenommen und an einer Grenze festgehalten werden. Wenn beispielsweise X67 als Binärvariable nur die Werte 0 oder 1 annehmen kann, werden für den linken Zweig des Binärbaumes die Grenzen mit lb67 = 0 und ub67 = 0 und den rechten Zweig auf lb67 = 1 und ub67 = 1 gewählt.
Für die oben geschaffenen Baumknoten wird sowohl für den linken als auch für den rechten Ast je ein Optimierungsergebnis berechnet. Dazu wird ein Multiplikatorverfahren eingesetzt, was sich vom oben beschriebenen dadurch unterscheidet, daß die Suche nach festzuhaltenden Variablen beschleunigt ist. Diese Beschleunigung wird erreicht durch
Abspeichern von Variablenlisten, die angeben, in welchem Transformationsschritt welche Variable eliminiert wurde. Bei einem neuen Programmdurchlauf wird auf die gespeicherten Listen zurückgegriffen. Dadurch ergibt sich eine Verringerung des Rechneraufwandes.
Der Gütewert des linken Astes des Suchbaumes wird mit dem Gütewert des rechten Astes des Suchbaumes verglichen. Mit dem besseren Ergebnis wird dann obiges Verfahren wieder ausge- führt. Entsprechende Daten darüber, welcher Zweig benutzt wurde, welche Variable, welche Tiefe und welches Ergebnis der andere Zweig hat, werden abgespeichert.
Mit dem vorstehend beschriebenen Verfahren wird solange gearbeitet, bis alle Variablen durch Zusammenschieben der
Grenzen ganzzahlig geworden sind. Damit steht das erste ganzzahlige Ergebnis fest. Danach wird im Baum rückwärts gegangen bis zu einem Knoten, wobei der andere Ast noch nicht bearbeitet wurde. Für diesen Knoten wird geprüft, ob der Gütewert im anderen Ast des Knotens besser als die bisher beste ganzzahlige Lösung ist. Ist der Gütewert besser, wird der Ast weiterverfolgt, ansonsten wird er abgeschnitten. Sobald das Verfahren den zuerst behandelten Knoten wieder erreicht und bearbeitet hat, ist die optimale ganzzahlige Lösung gefunden.
Letzteres Prüfen und Abschneiden der Äste führt zu einer
Verringerung der Baumknoten vonca . 1030 auf ca. 104. Damit ist eine entscheidende Verringerung in der Rechenzeit erreicht. Die Erstellung des Schneidplanes kann somit unmittelbar vor Schichtbeginn im Produktionsbetrieb erfolgen und der fertige Schneidplan als Datensatz dem Rollenschneider zugeführt werden .

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Erstellung und Optimierung eines Schneidplanes für einen Rollenschneider von kontinuierlich erzeugten Materialbahnen, insbesondere in der Papierindustrie, unter Anwendung von mathematischen Methoden zur deterministischen Lösung von wenigstens einem gemischt kontinuierlich ganzzahligen, linearen Optimierungsproblem, wobei a) eine kontinuierliche Lösung des linearen Optimierungs- problemes mit einer vorgegebenen Lösungsmethode erfolgt, und b) anschließend Variable gesucht werden, wobei eine Beschränkung der Variablen erfolgt, und ein sogenannter Suchbaum aufgebaut wird, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß c) an einzelnen Ästen des Suchbaumes mit den beschränkten Variablen eine Lösung des Optimierungsproblems mit einer vorgegebenen Lösungsmethode erfolgt, und daß d) die Verfahrensschritte gemäß b) und c) so lange wiederholt werden, bis alle Variablen ganzzahlig geworden sind.
2. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß der Suchbaum sukzessive aufgebaut wird.
3. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß bei Verfahrensschritt c) in einem Ast des Suchbaumes mit einer vorgegebenen Lösungsmethode eine Lösung des Optimierungsproblems bestimmt wird, wobei jeweils durch den Ast gekennzeichnete Variablen spezifisch für diesen Ast beschränkt sind, daß diese Lösung mit der besten bisher berechneten Lösung verglichen wird und, sofern sie schlechter ist, der gesamte Ast aus dem Suchbaum gestrichen wird.
4. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß die Lösungsmethoden bei Merkmal a) und c) Multiplikatormethoden sind.
5. Verfahren nach Anspruch 3, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß die Multiplikatormethode gemäß Verfahrensschritt c) von Anspruch 1 gegenüber der Multiplikatormethode gemäß Verfahrensschritt a) von Anspruch 1 abgeändert ist.
6. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß bei Verfahrensschritt a) das lineare Optimierungsproblem durch M Gleichungen mit N Un- bekannten, wobei N > M ist, beschrieben wird.
7. Verfahren nach Anspruch 6, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß die M-Gleichungen aus M-l Restriktionsgleichungen und einer Gütefunktion bestehen.
8. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß die Gleichungen durch Gauß'sche Transformationsschritte ineinander eingesetzt und daß die Variablen bis zur Gleichung (M-2) ersetzt werden.
9. Verfahren nach Anspruch 8, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß von den verbleibenden N-(M-2) Variablen genau N-(M-3) Variablen an eine untere Grenze (lbi) oder an eine obere Grenze (üb-.) gelegt werden.
10. Verfahren nach Anspruch 9, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß Variable, die die Gütefunktion verschlechtern, an die untere Grenze (ub±) und Variable, die die Gütefunktion verbessern, an die obere Grenze (ub gelegt werden.
11. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß bei Verfahrensschritt b) eine Klassifizierung der Variablen und eine Sortierung nach vor- gebbaren Prioritäten erfolgt.
12. Verfahren nach Anspruch 11, wobei Aufträge zur Fertigung von Kundenrollen durch sog. Würfe, Wurflängen, Wurfnummern als Variable und zusätzlich auch durch Lagerrollen zur Vorratshaltung definiert sind, d a d u r c h g e k e n n- z e i c h n e t , daß folgende Prioritäten festgelegt werden :
- Variablen, die die Wurflängen festlegen, werden aufsteigend nach Wurflänge und Wurfnummer sortiert,
- Variablen, die festlegen, ob ein Wurf gefertigt werden soll, werden aufsteigend nach Wurflänge und Wurfnummer sortiert,
- Variablen, die festlegen, daß ein Auftrag nur mit einer Länge gefertigt werden darf, werden aufsteigend nach Wurf- länge sortiert, - Variablen, die die Anzahl der Kundenrollen beinhalten, werden aufsteigend sortiert nach Rollenbreite und Wurfnummer,
- Variablen, die die Anzahl der Lagerrollen beinhalten, werden aufsteigend sortiert nach Rollenbreite und Wurf- nummer.
13. Verfahren nach Anspruch 12, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß mit Hilfe der Klassifizierungsliste nacheinander geprüft wird, ob die Variablen im Suchbaum vorhanden sind und ob die einzelne Variable nicht- ganzzahlig ist.
14. Verfahren nach Anspruch 1 und 2, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß für die im Verfahrensschritt b) definierten Baumknoten des Suchbaumes sowohl für den linken Ast als auch für den rechten Ast je Optimierungsergebnis berechnet wird.
15. Verfahren nach Anspruch 5 und 13, d a d u r c h g e - k e n n z e i c h n e t , daß die Multiplikatormethode so modifiziert ist, daß die Suche nach festzuhaltenden Variablen beschleunigt wird, wobei die Beschleunigung durch Abspeichern von Variablenlisten erfolgt.
16. Verfahren nach Anspruch 14 und 15, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß die Ergebnisse der beiden Äste des Suchbaumes miteinander verglichen werden und das bessere Ergebnis zur Berechnung gemäß Merkmal b) von Anspruch 1 verwendet wird.
17. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß im Verfahrensschritt d) mit den Verfahrensschritten aus b) und c) solange gearbeitet wird, bis durch Zusammenschieben der Grenzen alle Variablen ganzzahlig geworden sind und damit die Lösung bestimmt wird.
18. Verfahren nach Anspruch 1, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß nach einer vorgebbaren Zeit die Optimierung abgebrochen wird und die bisher berechnete beste Lösung als Ergebnis verwendet wird.
19. Nach dem Verfahren gemäß Anspruch 1 oder einem der Ansprüche 2 bis 18 programmiertes Gerät zur Erstellung und Optimierung eines Schneidplanes für einen Rollenschneider, enthaltend wenigstens einen εpeicherprogrammierbaren Digitalrechner mit Zentraleinheit, Arbeits-, Programm- und Datenspeichern sowie eine Ein-/Ausgabe-Schnittstelle zum Datenaustausch mit dem Rollenschneider g e k e n n z e i c h n e t durch a) Mittel zur Lösung eines linearen Optimierungsproblems, b) Mittel zum Auffinden von ganzzahligen Variablen und zum Aufbau eines Suchbaumes, c) Mittel zur Lösung des Optimierungsproblems an einzelnen Ästen des Suchbaumes, d) Mittel zum Abbruch des Verfahrens, wenn alle Variablen ganzzahlig geworden sind.
20. Gerät nach Anspruch 18, d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , daß zur Lösung des linearen Optimierungsproblems gemäß Merkmal a) unc ) Mittel zur Durchführung von Multiplikatormethoden vorhanden sind.
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