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Die Erfindung bezieht sich auf Satelliten-Kommunikation
und insbesondere auf ein Verfahren zum Abschätzen der präzisen Dreiachsen-Fluglage von
einer im Raum getragenen phasengesteuerten Antenne und der präzisen Winkellage
von einem Empfänger
in Bezug auf die Koordinaten von der im Raum getragenen phasengesteuerten
Antenne.
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Die präzise Fluglagen-Kenntnis von
der Orientierung von einer auf einem Satelliten getragenen phasengesteuerten
Antenne ist kritisch, insbesondee wenn das Antennendiagramm stark
gerichtet ist, wenn der Satellit vielen Boden-basierten Sender/Empfängerorten
mit einem hohen Grad an geographischer Selektivität dient.
Fluglagen-Regelsysteme, die auf gegenwärtigen bekannten kommerziellen
Kommunikations-Satelliten verwendet werden, sind in der Lage, die
Fluglage innerhalb von etwa 0,1° in
jeder der drei Drehkoordinaten abzutasten und beizubehalten. Für einen
Satelliten, der die Erde in einer geosynchronen bzw. geostationären Lage
umkreist, entspricht dies einer Ungewissheit von etwa 60 km auf
dem Boden. Jedoch muss die Orientierung von einer im Raum getragenen
phasengesteuerten Antenne für
die nächste
Generation von geostationären
Kommunikations-Satelliten mit einer signifikant größeren Präzision als
die eben angegebenen Werte gemessen werden.
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Zusätzlich erfordert die Kalibration
von einer Satellitengetragenen phasengesteuerten Antenne vom Boden
(oder von irgendeinem entfernten Ort) eine präzise Kenntnis von der Peilung
des Kalibrationsortes in Bezug auf das Strahlungsdiagramm der Antenne.
Der Grund hierfür
liegt darin, dass man die Wirkungen von Fluglagenstörungen von
Verschiebungen in den Phasensteuerschaltungen der Antennenelemente
unterscheiden muss, die beide als Phasenverschiebungen am Empfänger beobachtet
werden. Steuermanöver,
die bei gegenwärtigen,
bekannten kommerziellen Kommunikations-Satelliten verwendet werden,
halten eine Positionsstabilität
innerhalb etwa 75 km aufrecht. Für
geostationäre
Satelliten impliziert dies, dass feste Orte auf der Erdoberflä he eine
Richtungsungewissheit von etwa 0,1 bis 0,2° in Bezug auf einen Koordinatensystemort
für sowohl
den Satelliten als auch die Antenne haben. Dieser Grad an Ungewissheit
beschränkt
in signifikanter Weise die Präzision,
mit der die Antenne kalibriert werden kann. Als ein typischer Fall
können
die Phasenschieber, die an den Ecken von einer 16 × 16 Array
mit einem Elementabstand von drei Wellenlängen angeordnet sind, bis zu
etwa 0,04 Zyklen in der Phase driften, bevor der an einem Empfänger auf
dem Boden gesehene Effekt beginnt, denjenigen von der Fluglagen-
und Positionsungewissheit zu überschreiten.
Dies impliziert, dass die maximale Phasenauflösung, die durch Bodenbasierte
Kalibration erzielbar ist, zwischen vier und fünf Bits liegt.
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Nutzlasten phasengesteuerter Antennen,
die für
einen Einsatz in der nächsten
Generation von geostationären
Kommunikations-Satelliten ausgelegt sind, verwenden bis zu 256 Werte
(d. h. 8 Bits oder 28) an Phasenauflösung. Um
derartige Systeme vom Boden zu kalibrieren, ist eine Verbesserung
von wenigstens einer Größenordnung
entweder in dem Positions- oder Fluglagen-Abtastvermögen oder in anderen Mitteln
zum Bestimmen der präzisen
Winkelkoordinaten von dem Kalibrationsort erforderlich.
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Es ist deshalb eine Aufgabe der vorliegenden
Erfindung, ein Computer-implimentiertes Verfahren zum Abschätzen der
präzisen
Orientierung von einer Satelliten-getragenen phasengesteuerten Antenne
während der
Kalibration der Antenne von zwei entfernteren Orten zu schaffen.
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Es ist weiterhin Aufgabe der Erfindung,
ein Computer-implementiertes
Verfahren zum Abschätzen
der präzisen
Peilung von einem entfernten Empfänger in Bezug auf die Strahlungsüberdeckung
von einer Satelliten-getragenen phasengesteuerten Antenne zu schaffen.
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Gemäß einem Aspekt der Erfindung
wird eine Computer-implementierte
Technik bereitgestellt zum Abschätzen
der präzisen
Dreiachsen-Fluglage von einer im Raum getragenen phasengesteuerten
Antenne. Diese Technik nimmt an, dass die Array- Geometrie, die aus der Anzahl von Strahlungselementen
und ihrem relativen Abstand in drei Dimensionen besteht, bekannt
ist, und dass die Antennenposition und die grobe Kenntnis von der
Antennen-Fluglage a priori verfügbar
sind. Eine hypothetische "gerade-durch" Antennenkonfiguration
ist als der Zustand definiert, in der alle Elemente dazu gebracht
sind, mit der gleichen Amplitude und Phase zu strahlen. Die Technik
gemäß diesem
Aspekt der Erfindung besteht aus zwei Schritten. Als erstes wird eine
Abschätzung
von dem Satz von komplexe Werte aufweisenden Gewinnen gemacht, die
jeden gerade-durch Beitrag von jedem Element zu den Signalen definieren,
die an jedem von zwei oder mehr entfernten Kalibrationsorten empfangen
werden. Als zweites wird eine Ermittlung durch eine mathematische
Optimierungs-Strategie darüber
gemacht, welche Array-Fluglage, die in der Nachbarschaft der grob
bekannten Fluglage liegt, am besten mit dem Satz von gerade-durch
Gewinnwerten übereinstimmt,
die in dem ersten Schritt ermittelt worden sind.
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Gemäß einem weiteren Aspekt der
Erfindung wird eine Computer-implementierte Technik bereitgestellt
zum Abschätzen
des präzisen
Winkelortes von einem Empfänger
in Bezug auf die Koordinaten von einer im Raum getragenen phasengesteuerten
Antenne. Diese Technik basiert nicht auf irgendeiner Annahme, dass die
Antennenposition und -fluglage bekannt oder verfügbar sind, sondern stattdessen
auf den Annahmen, dass die Array-Geometrie
bekannt ist, wie in der ersten beschriebenen Technik, und dass die
Empfängerpeilung grob
bekannt oder verfügbar
ist. Diese Technik besteht, wie die zuerst beschriebene Technik,
aus zwei Schritten. Als erstes wird eine Abschätzung gemacht über den
Satz von komplexe Werte aufweisenden Gewinnen, die den gerade-durch
Beitrag von jedem Element zu einem zusammengesetzten Signal definieren,
das an dem Empfängerort
gemessen wird. Als zweites wird eine Ermittlung durch eine mathematische
Optimierungsstrategie darüber
gemacht, welche Empfängerrichtung
in der Nachbarschaft von der grob bekannten Richtung liegt am besten
mit den gerade-durch Gewinnwerten übereinstimmt, die in dem ersten
Schritt ermittelt sind.
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Merkmale der Erfindung, die für neu gehalten
werden, sind in den beigefügten
Ansprüchen
angegeben. Jedoch können
die Erfindung zusammen mit ihren weiteren Aufgaben und Vorteilen
am besten unter Bezugnahme auf die folgende Beschreibung in Verbindung
mit den beigefügten
Zeichnungen verstanden werden, in denen:
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1 ein
Bilddiagramm ist, das eine satellitengetragene phasengesteuerte
Antenne und eine Anzahl von entfernten Boden-basierten Empfängern darstellt;
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2 ein
Blockdiagramm ist, das den Ablauf von einer Satelliten-getragenen
phasengesteuerten Fluglagenschätztechnik
gemäß einem
Aspekt der Erfindung darstellt; und
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3 ein
Blockdiagramm ist, das den Ablauf der Empfängerpeilungs-Schätztechnik
gemäß einem zweiten
Aspekt der Erfindung darstellt.
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1 stellt
eine Satelliten-getragene phasengesteuerte Antenne 10 dar,
die aus einer Anzahl von Strahlerelementen und einer Anzahl von
entfernten Boden-basierten Empfängern 11 und 12 aufgebaut
ist, die hier als Empfänger
#1 bzw. Empfänger
#2 bezeichnet sind. Die Orientierung der im Raum getragenen phasengesteuerten
Antennen 10 gemäß einem
ersten Aspekt der Erfindung erfordert die Verwendung von zwei oder mehr
Erdbasierten Empfängern 11 und 12,
deren präzise
geographische Koordinaten bekannt sind. Die Technik selbst ist ein
Zwei-Schritt-Verfahren,
das schematisch in dem Blockdiagramm von 2 dargestellt
ist, auf die nun Bezug genommen wird.
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Der erste Schritt erfordert die Messung
an jedem Empfängerort
von dem sogenannten "gerade-durch" Signalpfadgewinnen,
wie es an den Funktionsblöcken
211 bis 21M angezeigt
ist. Diese gerade-durch Gewinne, die komplexe Werte haben, stellen
die Größe und Phase
dar, die ein Einheitssignal annimmt, wenn es durch die Verstärkerkette
und den Ausbreitungspfad fließt,
die mit jedem Element in einer ungesteuerten Array verbunden sind.
Eine ungesteuerte Array ist als eine solche definiert, deren Elemente
dazu gebracht sind, mit einer gleichförmigen Amplitude und Phase
zu strahlen, die durch einen einzelnen komplexen Gewinnwert k dargestellt
sind. In der Beschreibung, die folgt, ist angenommen, dass der Empfänger in
einem Bereich liegt, über dem
die Array-Elemente isotrop strahlen, und dass die Ausbreitungsbahn
frei von atmosphärischen
Störungen ist.
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Es soll G
n
m die Gewinne bezeichnen, die an einem Empfängerort
m gemessen sind, wobei m = 1, 2, ..., M und M die Anzahl von Empfängerorten
ist, die in dem Verfahren verwendet werden. Wie er von dem m-ten Empfängerort
gesehen wird, ist der gerade-durch Gewinn für das n-te Element gegeben
durch
wobei
R
m, die Empfänger-Position
ist,
r
n die
Elementenpositionen, ausgedrückt
in einem lokalen Koordinatenrahmen, sind und λ die Wellenlänge ist. In dem Fernfeld, d.
h. wo |
r
n|
2 << λ|
R
m| kann G
n
m umgeschrieben
werden als
wobei
, ein Einheitsvektor ist,
der von dem lokalen Ursprung auf den Empfänger gerichtet ist.
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In einer gesteuerten Array ist der
gesamte Gewinn, der von jedem Element erbracht wird, das Produkt von
Gn
m und einem wählbaren
Gewinn An, die in Kombination die Signalantwort
von der Array an dem gegebenen Empfängerort vollständig charakterisieren.
Das hier beschriebene Fluglagen-Abschätzverfahren wendet die gerade-durch
Gewinne Gn
m an,
die an zwei oder mehr Empfängerorten
gemessen sind, erfordert aber keine Kenntnis von den gewählten Gewinnen
An. Jedes Verfahren, das für das Messen
dieser gerade-durch Gewinne für
geeignet gehalten wird, kann in dem Fluglagen-Abschätzungsverfahren
erfolgreich verwendet werden. Ein derartiges Verfahren kodiert kohärente Signale
von den Elementen der phasengesteuerten Array unter Verwendung einer
gesteuerten Umschaltung der Gewinn- und Phasenschieber-Verzö gerungsschaltungen.
Ein derartiges Verfahren ist von Silverstein u. a. in dem US-Patent
5,572,219, erteilt am 5. November 1996, beschrieben. Für N Elemente
wird die Umschaltung der Steuerschaltung durch Matrixelemente einer
N × N
Hadamard-Matrix diktiert. Die kodierten Signalvektoren werden mit
dem Kehrwert von der gleichen Hadamard-Mastrix dekodiert, die bei
der Kodierung der Steuerschaltung verwendet ist. Es können auch
andere Verfahren in dem Fluglagen-Abschätzverfahren verwendet werden,
und die Erfindung ist nicht von dem besonderen verwendeten Verfahren
abhängig.
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Um den zweiten Schritt in dem Fluglagen-Abschätzverfahren
zu implementieren, wird ein Modell für den vollen Satz von gerade-durch
Gewinnen konstruiert:
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In diesem Ausdruck ist α
m eine
ortsabhängige,
unbekannte komplexe Amplitude, und θ stellt einen Satz von Winkeln
dar, die die Fluglage von der Array definieren. Da die Arrayposition
und alle Empfängerpositionen
als bekannt angenommen sind, bestimmt die Array-Fluglage alle Empfängerrichtungen û
m. Es ist zweckmäßig, von θ zu denken, dass es aus drei
orthogonalen Komponentenwinkeln besteht, die die Rotation spezifizieren,
die die nominale bekannte Fluglage durchlaufen muss, um die wahre
Array-Fluglage zu ergeben. Das Fluglagen-Abschätzproblem reduziert sich somit
auf das Finden von demjenigen Satz von Rotationswinkeln (d. h. Roll-,
Steigungs- und Gierwinkel) und der komplexen Amplituden α
m,
für die
G
n
m am besten an G
n
m "angepasst" ist. Zu diesem Zweck
werden die Messvektoren g
m =[G
1
m, ..., G
N
m]' und
Signalmodellvektoren e
m
= [ϕ
1m(Θ), ϕ
2m(Θ),
..., ϕ
Nm(Θ)]', zuerst definiert, wobei N die Gesamtzahl
von Elementen ist und (')
die Matrixvertauschungsoperation bezeichnet. Deshalb gilt
gm = αmem(Θ)
+ nm ,
wobei n
m ein
komplexer Zufallsvektor von Rauschwerten ist, die die Fehler in
den Messungen G
n
m darstellen. Als
näch stes
werden Vektoren g, α und
n und die Matrix E wie folgt konstruiert:
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Deshalb gilt g = E(θ)α + n. Es
sei angenommen, dass die Komponenten von n null-mittelwertige komplexe
Gauss'sche Variable
sind mit E{Re(n)Im(nH)} = 0 und E{Re(n)Re(nH) = E{Im(n)Im(nH)},
wobei H eine Hermetian-Transformation bezeichnet und E() die Erwartungsoperation
bezeichnet. Eine weitere Definition ist Σ = E{nnH).
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Mit diesen Definitionen ist es dann
möglich,
einen Ausdruck zu schreiben, der die Lösung maximaler Wahrscheinlichkeit
(ML von Maximum Likelihood) für
das Fluglagen-Abschätzproblem
ausdrückt.
Bezeichnet man mit (â,
) die entsprechenden
ML Schätzwerte
von (a, θ),
dann gilt
mit
F(θ) definiert
als
F(Θ)
= gHΣ–1E(EHΣ–1E)–1EHΣ–1g, wobei
die explizite Abhängigkeit
von E von θ für eine klare
Ausdrucksweise unterdrückt
ist. Der Amplituden-Schätzwert,
obwohl er für
die Fluglagen-Abschätzung
nicht explizit erforderlich ist, ist gegeben durch
â = (EHΣ–1E)–1EHΣ–1g. -
Die obigen Ausdrücke vereinfachen stark den
entarteten Fall, bei dem die Messfehler identisch verteilt sind;
d. h. wo Σ = σ
2I.
In diesem Fall ist der ML Schätzwert
für den
Winkelvektor, der die Array-Fluglage angibt, gegeben durch
wobei ||ν||
2 =
v
Hv. Der entsprechende Amplituden-Schätzwert ist
In dem Prozess, der in
2 dargestellt ist, sind die Gewinne G
n
m an das Modell
angepasst durch Evaluieren von F(θ) und Wählen von θ, das F maximiert, wie es im
Schritt 22 angegeben ist. Eine Maximierung der Funktion F(θ) kann in
der Praxis auf effiziente Weise ausgeführt werden, indem irgendeine übliche Gradienten-Suchmethode
23 angewendet
wird. Wie in Figur 2 gezeigt ist, beginnt die Suche bei
= (0,0,0), was überhaupt
keine Rotation impliziert, und somit stellt es die grobe Anfangskenntnis
von der Array-Fluglage dar. Die Lösung, die auf diese weise erhalten
wird, ist großartig,
wenn die anfängliche
Fluglagen-Ungewissheit gleich groß ist wie der früher bezeichnete
Wert.
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Simulationen auf der Basis einer
hypothetischen 16 × 16
Array in einer geostationären
Position über zwei
Empfängerorten,
die ±3° von der
Sichtachse der Array verschoben sind, zeigen, dass eine etwa 0,001
bis 0,01° Fluglagen-Präzision mit
der gerade beschriebenen Methode erhalten werden kann. Die Experimente nehmen
einen Betrieb bei 12 GHz mit einem Elementenabstand von drei Wellenlängen und
einem Signal/Rausch-Verhältnis
(SNR) von 20 dB des Empfängers
an. Dies stellt eine Verbesserung von ein bis zwei Größenordnungen
in Bezug auf die anfängliche
Dreiachsen-Fluglagenungewissheit von 0,1° dar.
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Das Verfahren zum Abschätzen der
präzisen
Peilung von einem entfernten Empfänger in Bezug auf die Strahlungsüberdeckung
von einer Satelliten-getragenen phasengesteuerten Antenne
10 (wie
in
1 gezeigt) ist ein ähnlicher
Zwei-Schritt-Prozess.
Wie in
3 gezeigt ist, erfordert der
erste Schritt 31 von diesem Prozess eine Messung der sogenannten "gerade-durch" Signalpfadgewinne,
wie es oben beschrieben ist. Der gerade-durch Gewinn für das n-te
Arrayelement, wie sie von dem Empfänger gesehen wird, ist gegeben
durch
wobei
R die Empfänger-Position ist,
r
n die Elementen-Positionen, ausgedrückt in einem
lokalen Koordinatenrahmen, sind und λ die Wellenlänge ist und k wiederum die
Größe und Phase
von der Strahlung aus der Array in ihrem "ungesteuerten" Zustand darstellt . In dem Fernfeld,
d. h. wo |
r
n|
2 << λ|
R|, kann G
n umgeschrieben
werden als
wobei
eine weitere komplexe Konstante
ist, R = |
R| und û ein Einheitsvektor
ist, der von dem lokalen Ursprung zum Empfänger gerichtet ist.
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In einer gesteuerten Array ist der
gesamte Gewinn, der von jedem Element geliefert wird, das Produkt von
Gn und einem wählbaren Gewinn An,
deren Werte gewählt
sind, um eine gewünschte
Antennenstrahlorientierung und -form zu erzielen. Die zwei Größen, Gn und An, charakterisieren
vollständig
die Signalantwort von der Array. Jedoch sind nur die gerade-durch
Gewinne Gn erforderlich zum Implementieren
des Verfahrens gemäß diesem
Aspekt der Erfindung, nämlich
der Abschätzung
der Empfängerpeilung û. Jedes
Verfahren, das zum Messen dieser gerade-durch Gewinne für geeignet gehalten wird, kann
in dem Peilungsabschätzverfahren
mit Erfolg verwendet werden.
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Der zweite Schritt in dem Peilungsabschätzverfahren
besteht darin, ein Modell für
die gerade-durch Gewinne wie folgt zu konstruieren:
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In diesem Ausdruck ist α eine unbekannte
komplexe Amplitude, und θ
1 und θ
2 sind Winkel, die die Empfängerrichtung û definieren.
Das Peilungsschätzproblem
reduziert sich dann darauf, denjenigen Satz von Winkeln (θ
1, θ
2) zusammen mit dem entsprechenden α zu finden,
für die
G
n am
besten an G
n "angepasst" ist. Dies wird dadurch getan, dass
ein Messvektor g = [G
1, G
2,
...; G
N]' und
ein Signalmodellvektor e(θ
1, θ
2) = [ϕ
1(θ
1, θ
2) ϕ
2(θ
1, θ
2), ..., ϕ
N(θ
1, θ
2)]' definiert
werden, wobei N die Gesamtzahl von Elementen ist und (') die Matrixtransformationsoperation
bezeichnet. Deshalb gilt
g = αe(θ1, θ2) + n,
wobei n ein komplexer Zufallsvektor
von Rauschwerten ist, die Fehler in den Messungen G
n darstellen.
Wenn angenommen wird, dass die Komponenten von n null-mittelwertige
komplexe Gauss'sche
Variable mit E{Re(n)Re(n
H)} = E{Im(n)Im(n
H) } sind, wobei H eine Hermitian-Transformation
bezeichnet und E() die Erwartungsoperation bezeichnet und durch
Definieren von Σ =
E{nn
H}, ist es dann möglich, einen Ausdruck zu schreiben,
der die Lösung
maximaler Wahrscheinlichkeit ML für das Peilungs-Schätzproblem
spezifiziert. Bezeichnet man mit (α,
) die entsprechenden
ML Schätzwerte
von (α, θ
1, θ
2), dann gilt
mit
F(θ
1, θ
2) definiert als
F(θ1, θ2) = g
HΣ1e(eHΣ1e)–1eHΣ–1g,
wobei
die explizite Abhängigkeit
von e von (θ
1, θ
2) für
eine klare Notation unterdrückt
worden ist. Die Amplituden-Abschätzung, obwohl
sie für
eine Peilungsschätzung
nicht explizit erforderlich ist, ist gegeben durch
â =
(eHΣ–1e)–1eHΣ–1g.
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Wie zuvor vereinfachen die obigen
Ausdrücke
stark den entarteten Fall, bei dem die Messfehler identisch verteilt
sind, d. h. wo Σ = σ
2I.
In diesem Fall sind die ML Schätzwerte
für die
Winkel, die die Empfängerrichtung
spezifizieren, gegeben durch
und
der entsprechende Amplituden-Schätzwert
ist
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Eine Maximierung der Funktion F(θ1, θ2) im Schritt 32 von 3 kann
in der Praxis effizient ausgeführt werden,
indem man irgendeine übliche
Gradienten-Suchmethode anwendet, wie es im Schritt 33 angegeben ist.
Wie in 3 gezeigt ist, beginnt die
Suche an Werten für
(θ1, θ2), die der groben Anfangskenntnis von der Empfängerrichtung
in Bezug auf die Array entsprechen. Die auf diese Weise erhaltene
Lösung
ist hervorragend, wenn die anfängliche
Richtungs-Ungewissheit die gleiche Größe hat wie der oben bezeichnete
Wert.
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Simulationen, die auf einer hypothetischen
16 × 16
Array in einer geostationären
Position über
einem Empfängerort,
der 5° von
der Sichtachse der Array verschoben ist, zeigen, dass mit der gerade
beschriebenen Methode eine Richtungspräzision von etwa 0,001 bis 0,004° erhalten
werden kann. Die Experimente nehmen einen Betrieb bei einer Frequenz
von 12 GHz mit einem Elementenabstand von drei Wellenlängen und
einem Signal/Rausch-Verhältnis (SNR)
von 20 dB an. Dies stellt eine Verbesserung von ein bis zwei Größenordnungen
in Bezug auf die anfängliche
Ungewissheit von 0,1 bis 0,2° dar.
, ein Einheitsvektor ist, der von dem lokalen Ursprung auf den Empfänger gerichtet ist.
mit F(θ) definiert als
In dem Prozess, der in
eine weitere komplexe Konstante ist, R = |
mit F(θ1, θ2) definiert als
ein Einheitsvektor ist, der von dem lokalen Ursprung auf den Empfänger-Kalibrationsort gerichtet ist, und wobei das Modell, das für den vollen Satz von gerade-durch Gewinnen konstruiert ist, ausgedrückt ist als
wobei αm eine ortsabhängige, unbekannte komplexe Amplitude ist und θ einen Satz von Winkeln darstellt, die die Fluglage der Array definieren, und wobei der Schritt des Verwendens einer Optimierungs-Strategie in dem Computer um zu ermitteln, welche Array-Fluglage, die in der Nachbarschaft der grob bekannten Fluglage liegt, am besten mit dem Satz von gerade-durch Gewinnwerten übereinstimmt, enthält, daß ein Satz von Drehwinkeln θ und komplexen Amplituden αm gefunden wird, für die
, und ûm ein Einheitsvektor ist, der von dem lokalen Ursprung auf den Empfänger gerichtet ist, und wobei das Modell, das für den Satz von gerade-durch Gewinnen konstruiert ist, ausgedrückt ist als
wobei α eine ortsabhängige, unbekannte komplexe Amplitude ist und θ1 und θ2 einen Satz von Winkeln darstellen, die die Empfänger-Richtung û definieren, und wobei die Schritte des Verwendens einer Optimierungs-Strategie in dem Computer um zu ermitteln, welche Empfänger-Richtung, die in der Nachbarschaft der grob bekannten Lage liegt, am besten mit dem Satz von gerade-durch Gewinnwerten, die in dem Schätzschritt ermittelt sind, übereinstimmt, enthält, daß ein Satz von Winkeln (θ1, θ2) zusammen mit einem entsprechenden α gefunden wird, für die