DE69421114T2

DE69421114T2 - Verfahren und Vorrichtung zur Umsetzung eines analogen Signal in einer Gleitkommazahl und einer Gleitkommazahl in einem analogen Signal

Info

Publication number: DE69421114T2
Application number: DE1994621114
Authority: DE
Inventors: Gabbouj Moncef Gabbouj Moncef; Kari Kalliojaervi; Jarmo Kontro; Yrjoe Neuvo; Olli Vainio
Original assignee: Nokia Oyj
Current assignee: Nokia Oyj
Priority date: 1993-05-26
Filing date: 1994-05-26
Publication date: 2000-01-20
Anticipated expiration: 2014-05-27
Also published as: EP0626763B1; EP0626763A2; EP0626763A3; FI932400A; FI96810C; FI932400A0; FI96810B; DE69421114D1

Description

Verfahren und Vorrichtung zum Umsetzen eines analogen Signals in eine digitale Gleitkommazahl und einer digitalen Gleitkommazahl in ein analoges Signal

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zum Umsetzen eines analogen Signals in eine digitale Gleitkommazahl und einer digitalen Gleitkommazahl in ein analoges Signal.
Die Verwendung der Gleitpunktarithmetik wird in der digitalen Signalverarbeitung schnell üblicher. Der Grund hierfür ist, daß die durch die Gleitpunktarithmetik gegenüber der herkömmlich verwendeten Festpunktarithmetik erzielten Vorteile nun erkannt wurden. Diese Vorteile sind u. a. ein großer Dynamikbereich in der Gleitkommadarstellung und die Tatsache, daß in der Gleitpunktarithmetik der Rauschabstand (SNR), der als eine Messung des Fehlers benutzt wird, eine Konstante ist, die unabhängig vom Pegel des verarbeiteten Signals ist. Die Benutzung der Gleitpunktarithmetik in der digitalen Signalverarbeitung wurde sehr durch die Tatsache verstärkt, daß effiziente und ausreichend billige Gleitpunkt-Signalprozessoren allgemein erhältlich sind. Fast alle derzeitigen Gleitpunktprozessoren erfüllen den durch das Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) festgelegten binären Gleitkommastandard, der die Verbindung der Prozessoren mit anderen Einheiten der digitalen Signalverarbeitungssysteme vereinfacht. Die Gleitpunktarithmetik oder ihre Ableger werden nun in verschiedenen Anwendungen, wie zum Beispiel in der Fernseh-Stereoton-Norm NICAM und den hochauflösenden Fernsehnormen MAC, DigiCipher und MUSE, benutzt, bei denen die Gleitkommadarstellung bei der Übertragung von Audio- Informationen verwendet wird.
Die Verbindung eines digitalen Signalverarbeitungssystems mit einer existierenden Umgebung wird durch Analog/Digital (A/D)- und Digital/Analog (D/A)-Umsetzer verwirklicht. Herkömmlicherweise werden A/D- und D/A-Umsetzer mittels Festpunktarithmetik ausgestattet, bei der die Quantisierungsschritte einen konstanten Betrag haben. Mit Festpunktarithmetik ausgestattete Umsetzer sind heutzutage relativ kostengünstig und allgemein erhältlich. Jedoch sind die Leistung und die Eigenschaften von Festpunkt-Umsetzern nicht für alle Anwendungen der Signalverarbeitung vollständig geeignet. Bei diesen Anwendungen können bessere Ergebnisse durch Benutzen einer Signalabtastung, bei der die Quantisierungsschritte nicht konstant sind, erzielt werden.
Durch Verwenden der Gleitpunktarithmetik, welche die beste der bekannten Zahlendarstellungen mit einem variablen Quantisierungsschritt ist, kann bei A/D- und D/A-Umsetzern die Leistungsfähigkeit der Umsetzer verbessert werden, insbesondere, wenn der Dynamikbereich des verarbeiteten Signals groß ist oder das Relativverhältnis der niedrigen Signalpegel groß ist. Dadurch können Umsetzungen mit großer Genauigkeit in einem Dynamikbereich durchgeführt werden, der in Bezug auf die vorhandene Wortlänge groß ist. Gleitkomma-Umsetzer ermöglichen die Realisierung einer kompletten Signalverarbeitungskette, in der die mit der Gleitpunktarithmetik erzielten Vorteile an keiner Stelle der Signalverarbeitungskette verloren gehen.
Herkömmlicherweise wird ein Gleitkomma-A/D-Umsetzer durch einen veränderbaren Verstärker und einen Festpunkt-A/D-Umsetzer verwirklicht, wie es z. B. in dem US- Patent 4,584,560 dargestellt ist. Der Nachteil dieses Aufbaus ist der, daß seine analoge Einheit kompliziert und der Umsetzer wegen des Zeit erfordernden Einstellens des veränderbaren Verstärkers langsam ist.
Demgemäß kann ein Gleitkomma-D/A-Umsetzer durch einen veränderbaren Verstärker und einen Festpunkt-D/A-Umsetzer verwirklicht werden. Ein D/A-Umsetzer mit diesem Aufbau hat die gleichen Nachteile, wie oben in Verbindung mit einem A/D- Umsetzer dargelegt. Weiter kann eine Unstetigkeit im Ausgang eines veränderbaren Verstärkers zum Beispiel in Audio-Anwendungen hörbare Fehler verursachen.
Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Gleitkomma-A/D- Umsetzung einerseits und ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Gleitkomma-D/A- Umsetzung andererseits, wobei als Aufgabe die obigen Nachteile beseitigt werden sollen.
Das Verfahren gemäß der Erfindung zum Umsetzen eines analogen Signals in eine digitale Gleitkommazahl (Gleitkomma-A/D-Umsetzung) ist gekennzeichnet durch das Bilden eines logarithmischen Signals aus einem analogen Signal mittels einer logarithmischen Funktion mit einer willkürlichen Basis und Multiplizieren des Signals mit einem konstanten Ausgleichsfaktor, wenn die Basis der logarithmischen Funktion eine andere als 2 ist; das Umsetzen des daraus resultierenden Signals in eine digitale Form durch eine Festpunkt-A/D-Umsetzung; das Trennen des Exponenten der Gleitkommazahl von dem digitalisierten Abtastwert und das Berechnen der Mantisse der Gleitkommazahl aus den Nachkommastellen durch eine Exponentialfunktion mit der Basis 2; und das Bilden einer digitalen Gleitkommazahl durch Addieren der Mantisse und des Exponenten.
Das Verfahren gemäß der Erfindung zum Umsetzen einer digitalen Gleitkommazahl in ein analoges Signal ist gekennzeichnet durch das Umsetzen der Mantisse der Gleitkommazahl mittels einer logarithmischen Funktion mit einer willkürlichen Basis zum Exponenten der Basis und das Multiplizieren des Exponenten mit einem konstanten Ausgleichsfaktor, wenn die Basis der logarithmischen Funktion eine andere als 2 ist; das Addieren der so umgesetzten Mantissen und des Exponenten; und das Umsetzen der erhaltenen digitalen Zahl in ein analoges Signal durch eine Festpunkt-D/A-Umsetzung und das Bilden eines Signals aus dem umgesetzten Signal, das seinen Exponenten zur Basis 2 darstellt.
Bei den Umsetzungsverfahren gemäß der Erfindung war die Aufgabe, die Komplexität des Umsetzeraufbaus durch digitale Technologie zu verwirklichen, wodurch er viel einfacher zu steuern und einfacher zu verwirklichen ist. Die analogen Einheiten des Aufbaus sind fest vorgepolt und somit zuverlässiger als die analogen Einheiten herkömmlicher Strukturen mit variablen Arbeitswerten. Durch die erfindungsgemäßen Umsetzungsverfahren können Gleitkomma-Umsetzungen zuverlässiger und durch Umsetzer, die einen weniger komplexen Aufbau haben (und deshalb billiger sind) als bei herkömmlichen Lösungen, durchgeführt werden. Die Umsetzungsverfahren können entsprechend den Anforderungen, die durch unterschiedliche Arten von Anwendungen gestellt werden, auch leicht abgewandelt werden, da dies durch Auswechseln nur der digitalen Einheit geschehen kann.
Logarithmische und exponentielle Nichtlinearitäten wurden früher in Verbindung mit A/D- und D/A-Umsetzern zum Einengen des Dynamikbereichs des umzusetzenden Signals benutzt. Die durch die vorliegende Erfindung eingeführte neue Idee ist, daß bei der Verwendung von logarithmischen und exponentiellen Funktionen mit der Basis 2 als Nichtlinearitäten ein Gleitkomma-Umsetzer durch Ausführen einfacher Funktionen auf digitale Abtastungen verwirklicht werden kann.
Vorteilhaften Ausführungsbeispiele der erfindungsgemäßen Verfahren und Vorrichtungen sind durch das gekennzeichnet, was unten in den anhängenden Ansprüchen angegeben ist.
Nachfolgend werden Ausführungsbeispiele bekannter Gleitkomma-Umsetzer unter Bezugnahme auf die Fig. 1 bis 3 vorgestellt. Darin zeigen:
Fig. 1 die relative Genauigkeit der Zahlendarstellung als Funktion des Absolutwerts der Zahl in signifikanten Bits;
Fig. 2 einen bekannten Gleitkomma-A/D-Umsetzer, der durch einen veränderbaren Verstärker und einen Festpunkt-A/D-Umsetzer realisiert ist;
Fig. 3 einen bekannten Gleitkomma-D/A-Umsetzer, der durch einen veränderbaren Verstärker und einen Festpunkt-D/A-Umsetzer realisiert ist.
In der Gleitpunktarithmetik kann eine Zahl als
x = sign(x)·m·2c (1)
geschrieben werden, wobei sign(x) das Vorzeichen der Zahl, m die Mantisse und c der Exponent ist. Die Definition des Exponenten lautet
c = log2 x + 1 (2)
wobei . eine Bodenfunktion ist, die das Ergebnis in eine ganze Zahl umsetzt, die kleiner oder gleich der Variablen der Funktion ist. Wenn der Exponent auf diese Weise definiert wird, hat die Mantisse einen Wertebereich von [0,5; 1].
Die Gleitkommazahl ist eine normierte Zahlendarstellung, in der der Exponententeil als Normierungsfaktor dient. Wegen der Normierung ist die Wortlänge der gesamten Mantisse bei der Gleitkommadarstellung immer in Gebrauch, was die Gleitkommadarstellung so effizient macht. Fig. 1 zeigt einen Vergleich zwischen der relativen Genauigkeit einer normierten Gleitkommadarstellung und einer Festpunktdarstellung (in signifikanten Bits) für den Fall, daß die Gleitkommazahl aus einer 12-Bit-Mantisse (einschließlich Vorzeichen) und einem 4-Bit-Exponenten besteht und die Wortlänge der Festpunktdarstellung 1 + 15 Bits beträgt (ein Bit für das Vorzeichen). Wie in Fig. 1 gezeigt, ist die Gleitkommadarstellung der Relativgenauigkeit der Zahlendarstellung eine Konstante, die unabhängig vom Zahlenwert innerhalb des Dynamikbereichs der Zahlendarstellung liegt. In der Festpunktdarstellung sinkt die Genauigkeit der Relativdarstellung mit kleinen Zahlen, die signifikantesten Bits werden in der Festpunktdarstellung niemals benutzt. Wenn das Relativverhältnis von Meinen Musterwerten zu allen Musterwerten groß ist, erzielt man in der Gleitkommadarstellung eine viel größere Genauigkeit in der Abtastwertdarstellung bei gleicher Gesamtwortlänge.
Die Leistungsfähigkeit von A/D- und D/A-Umsetzern kann durch Einsetzen der Gleitkommadarstellung verbessert werden. Herkömmlicherweise wird ein Gleitkomma- A/D-Umsetzer mittels eines Festpunkt-A/D-Umsetzers und eines veränderbaren bzw. einstellbaren Verstärkers verwirklicht. Ein Blockschaltbild des Aufbaus ist in Fig. 2 gezeigt. Die Amplitude des umzusetzenden analogen Signals wird durch eine Meßschaltung 1 gemessen, und die Verstärkung des veränderbaren Verstärkers wird mittels einer Steuerschaltung 2 auf der Basis der Messung verstärkt, so daß sie dem Exponentialterm entspricht. Der Signaleingang in den Festpunkt-A/D-Umsetzer entspricht der Mantisse des abzutastenden Signals. Der veränderbare Verstärker wird üblicherweise in Schritten von 6 dB eingestellt. Wie oben angegeben, bestehen die Nachteile des Aufbaus darin, daß die analoge Einheit kompliziert und der Umsetzer- Aubau langsam ist, da die Einstellung des veränderbaren Verstärkers Zeit erfordert.
Ein Blockschaltbild eines entsprechenden herkömmlichen Gleitkomma-D/A-Umsetzers ist in Fig. 3 gezeigt. Die Mantisse der Gleitkommazahl wird mittels eines Festpunkt- D/A-Umsetzers umgesetzt, und ein durch eine Steuerschaltung 6 einstellbarer Verstärker 7 wird durch den Exponententeil geregelt.
Nachfolgend wird die Erfindung anhand der beigefügten Fig. 4 bis 7 näher beschrieben. Darin zeigen:
Fig. 4 ein Blockschaltbild eines Gleitkomma-A/D-Umsetzers gemäß der Erfindung;
Fig. 5 ein Blockschaltbild eines Gleitkomma-D/A-Umsetzers gemäß der Erfindung;
Fig. 6 und 7 parallel die Ergebnisse eines Gleitkomma-A/D-Umsetzers gemäß Fig. 4 und eines Gleitkomma-D/A-Umsetzers gemäß Fig. 5 (in Form des Rauschabstandes als Funktion des Pegels des umzusetzenden Signals).
Der erfindungsgemäße Gleitkomma-A/D-Umsetzer wird durch Verwendung einer logarithmischen Nichtlinearität und eines Festpunkt-A/D-Umsetzers verwirklicht. Ein Blockschaltbild des Aufbaus ist in Fig. 4 gezeigt. Der Aufbau gemäß Blockschaltbild benutzt die Definition des Exponenten einer Gleitkommazahl, die in Gleichung (2) angegeben ist. Wenn das umzusetzende analoge Signal irgendeine Polarität (+ und -) aufweist, muß das Verzeichen (die Polarität) des Signals in der Blockschaltung 8 geprüft und getrennt werden. Wenn das analoge Signal nur eine Polarität haben kann, muß die Polarität nicht geprüft werden. Das gleiche erreicht man, wenn das umzusetzende Signal derart vorgepolt ist, daß das erzeugte Signal nur eine Polarität besitzen kann. Die hinzugefügte Vorspannung wird in der digitalen Einheit entfernt, wenn ein Gleitkommazahl-Ausgangssignal aus dem Umsetzer gebildet wird. Nach einer möglichen Trennung des Vorzeichens wird das analoge Signal in eine Blockschaltung 9 gegeben, die eine logarithmische Nichtlinearität mit der Basis 2 bewirkt. Die Basis der tatsächlichen logarithmischen Umsetzung kann beliebig sein, da der benötigte Logarithmus mit der Basis 2 einfach durch Multiplizieren mit einer Konstanten erhalten werden kann, wie durch die Gleichung unten gezeigt.
log&sub2;y = logβy/logβ2 (3)
wobei β eine willkürliche Basis und 1/logβ2 ein konstanter Faktor ist. Das logarithmische Signal wird einem Festpunkt-A/D-Umsetzer 10 eingegeben. Eine Gleitkommazahl erhält man leicht aus dem so erhaltenen Abtastsignal z&sub1;, da der Exponent c des Abtastwertes der ganzzahlige Anteil des Ausgangssignals des A/D-Umsetzers 10 ist, d. h.
c = z&sub1; + 1 = log&sub2; x + 1 (4)
Wenn der Exponent in einer Blockschaltung 11 getrennt worden ist, kann die quantisierte Mantisse mq des Abtastwertes aus dem verbleibenden Teil f der Nachkommastellen berechnet werden
f = z&sub1; - z&sub1; - 1 (5)
mq = (2f)q
Das Erheben in die Potenz von 2 wird mit Hilfe einer Tabelle in einem ROM- oder RAM-Speicher 12 durchgeführt. Das Wortlängen-Ausgangssignal aus dem Speicher entspricht dem Wortlängen-Ausgangssignal aus dem Gleitkomma-A/D-Umsetzer.
Die durch das Gleitkomma-A/D-Umsetzungsverfahren umgesetzten Abtastwerte können - zusätzlich zu der Gleitkommadarstellung (Vorzeichen, Mantisse und Exponent) - in Festpunktform gespeichert werden. Die Benutzung der Vorzeichen/Betrag-Darstellung in der Festpunktdarstellung gibt die Bitdarstellung einer Festpunktzahl einfach wieder. Die Bitdarstellung der Mantisse einer Gleitkommazahl wird zuerst in den signifikantesten Bits der Festpunktdarstellung angeordnet. Die Mantisse wird dann nach rechts um so viele Bits übertragen, wie der Exponent der Zahl kleiner als der maximale Exponent ist. Die Festpunktzahl erhält man schließlich durch Addieren des Vorzeichens zu der Zahl. Damit die mit der Gleitkomma-Umsetzung erzielte Genauigkeit bei der Umsetzung einer Gleitkommazahl in eine Festpunktzahl nicht verloren gehen kann, muß die Wortlänge der Festpunktdarstellung signifikant größer sein als die Wortlänge der Mantisse der Gleitkommadarstellung. Wenn die Wortlänge der Festpunktdarstellung größer als 2bc - 1 + bm ist, wobei bc die Wortlänge des Exponenten und bm diejenige der Mantisse ist, gehen bei der Umsetzung keine signifikanten Bits verloren. Unten folgt ein Beispiel für einen funktionierenden Gleitkomma-A/D-Umsetzer gemäß der Erfindung. Das umsetzbare Signal sei einpolig, wodurch das Vorzeichen weder berücksichtigt noch getrennt werden muß. Der einfachste Weg eine logarithmische Nichtlinearität zu realisieren ist die Verwendung eines logarithmischen Verstärkers, der in unterschiedlichen Versionen von verschiedenen Herstellern analoger Bauteile allgemein erhältlich ist. Diese Verstärker haben üblicherweise eine Basis 10. Einen Logarithmus der Basis 2 erhält man durch Anordnen einer analogen Konstante 1/log&sub1;&sub0;2 hinter dem logarithmischen Verstärker, d. h.
log&sub2;y = log&sub1;&sub0;y · (1/log&sub1;&sub0;2) (6)
Ein logarithmisches Signal wird dann in einen Festpunkt-A/D-Umsetzer eingegeben, dessen Auflösung beispielsweise 12 Bits beträgt. Wenn der Dynamikbereich des logarithmischen Verstärkers 96 dB ist, kann die Anzahl der Exponentenbits in der Gleitkommadarstellung auf 4 festgelegt werden. Der Exponent einer Gleitkommazahl wird nun direkt aus den vier signifikantesten Bits des A/D-Umsetzers, die hier dem ganzzahligen Anteil der Zahl in der logarithmischen Zahlendarstellung entsprechen, erhalten. Die Mantisse der Gleitkommazahl kann aus den acht verbleibenden weniger signifikanten Bits berechnet werden. Die Mantisse kann zum Beispiel mit Hilfe der Tabelle in dem RAM-Speicher berechnet werden. Wenn die gewünschte Wortlänge der Mantisse 12 Bits ist, dann sind 2&sup8; = 256 mögliche Werte für die Mantisse in der Tabelle mit der Genauigkeit von 12 Bits angegeben. Ein 12+4 - Bit-Gleitkomma-A/D- Umsetzer, der einen 12-Bit-A/D-Umsetzer benutzt, wird am Ende der vorliegenden Anmeldung simuliert.
Ein erfindungsgemäßer Gleitkomma-D/A-Umsetzer wird durch Verwendung eines Festpunkt-D/A-Umsetzers und einer exponentiellen Nichtlinearität realisiert. Fig. 5 zeigt ein Blockschaltbild des Aufbaus. Das Gleitkomma-D/A-Umsetzungsverfahren benutzt die Definition einer Gleitkommazahl in ähnlicher Weise wie das oben beschriebene Gleitkomma-A/D-Umsetzungsverfahren. Die D/A-umsetzbaren Gleitkommazahlen werden zunächst in Anteile aufgespalten, d. h. in das Vorzeichen sign(xq), die Mantisse mq und den Exponenten c. Auch bei der D/A-Umsetzung kann eine vorgepolte Darstellung verwendet werden, wodurch alle Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, welches somit bei der tatsächlichen Umsetzung nicht berücksichtigt werden muß. Die Mantisse wird durch Herausziehen deren Logarithmus mit Basis 2 mit Hilfe der Tabelle in dem ROM- oder RAM-Speicher einer Blockschaltung 13 in den Exponenten von 2 umgesetzt. Wenn die umgesetzte Mantisse f und der Exponent c mittels einer digitalen Addierschaltung 14 addiert werden, erhält man ein gewünschtes Abtastsignal 22. Durch Umsetzen des digitalen Abtastsignals in ein analoges Signal log&sub2; x durch einen Festpunkt-D/A-Umsetzer 15 erhält man den Logarithmus des gewünschten Ausgangssignals x. Wenn dieses Signal in eine Blockschaltung 16, die eine exponentielle Nichtlinearität (mit der Basis 2) bewirkt, eingegeben wird, ist das Ausgangssignal der Betrag des umgesetzten Signals. Die Basis der Blockschaltung, die die tatsächliche exponentielle Nichtlinearität bewirkt, kann ebenfalls beliebig sein, da ihre Wirkung durch Multiplizieren des Signals in der logarithmischen Basis vor der Ausführung der Nichtlinearität mit einer Konstanten logβ2 ausgeglichen werden kann, wie unten gezeigt:
y = 2log&sub2;y = βlogβy = βlog&sub2;ylogβ2 (7)
wobei β eine willkürliche Basis der Exponentialfunktion, und logβ2 ein konstanter Faktor ist. Wenn das Vorzeichen oder eine Polarität zu dem Signal in einer Blockschaltung 17 bei Bedarf hinzugefügt wird, ist das Ergebnis das gewünschte analoge Signal, welches das Ausgangssignal des Gleitkomma-D/A-Umsetzers ist.
Ein Beispiel für einen funktionierenden Gleitkomma-D/A-Umsetzer gemäß der Erfindung ist der Aufbau entsprechend dem oben beschriebenen Gleitkomma-A/D- Umsetzer. Die Zahlen sollen alle das gleiche Vorzeichen haben, wodurch das Vorzeichen nicht berücksichtigt werden muß. Zuerst werden die Mantissen der Gleitkommazahlen mit Hilfe der Tabelle in einem RAM-Speicher und mittels einer logarithmischen Funktion mit der Basis 2 von 12-Bit-Mantissen in 8-Bit-Exponenten von 2 umgesetzt. Die so erhaltenen acht weniger signifikanten Bits der logarithmischen Zahlendarstellung werden den vier signifikantesten Bits der logarithmischen Zahlendarstellung, d. h. den Exponenten-Bits der Gleitkommazahl, hinzuaddiert, um eine 12- Bit-Zahl der logarithmischen Zahlendarstellung zu erhalten. Die Zahl wird mittels eines 12-Bit-Festpunkt-D/A-Umsetzers in ein analoges Signal umgesetzt. Dieses analoge Signal wird dann einer Blockschaltung eingegeben, die eine exponentielle Nichtlinearität bewirkt. Der einfachste Weg, die Blockschaltung zu realisieren, ist das Einsetzen eines Exponentialverstärkers (auch bekannt als Antilogarithmusverstärker); solche Verstärker sind in Geschäften, die analoge Bauteile vertreiben, allgemein erhältlich. Exponentialverstärker besitzen häufig eine Basis 10. Ein Exponentialverstärker mit der Basis 10 kann durch Multiplizieren des analogen Ausgangssignals des D/A-Umsetzers mit einem konstanten Faktor log&sub1;&sub0;2, leicht in einen Verstärker mit der Basis 2 umgesetzt werden, d. h.
y βlogβy y =10log&sub1;&sub0;y log&sub1;&sub0;y = log&sub2;y · log&sub1;&sub0;2 (8)
Das Ausgangssignal des Exponentialverstärkers ist hier das Ausgangssignal des Gleitkomma-D/A-Umsetzers.
In den obigen praktischen Beispielen wurden die logarithmische und die exponentielle Nichtlinearität mit der Basis 2 durch einen logarithmischen und einen exponentiellen Verstärker mit der Basis 10 und einen konstanten Faktor bewirkt. Andere einfache Wege zur Realisierung dieser Nichtlinearitäten sind u. a. logarithmisch und exponentiell gewichtete Widerstandsnetze.

Fehleranalyse der erfindungsgemäßen Konstruktionen von Gleitkomma-Umsetzern

Da die digitale Signalverarbeitung nur möglich ist, wenn die Wortlänge endlich ist, beinhalten Anwendungen der Signalverarbeitung immer Rundungsfehler, die durch die endliche Wortlänge verursacht werden. Deshalb muß die in den Anwendungen zu benutzende Wortlänge derart gewählt werden, daß die Rundungsfehler nicht für die Funktion des Systems prägend sind.
Der Gleitkomma-A/D-Umsetzer gemäß Fig. 4 hat drei Fehlerquellen, nämlich die logarithmische Nichtlinearität, die Festpunkt-A/D-Umsetzung und die Berechnung der Mantisse mit Hilfe einer Tabelle (da eine Exponentialfunktion nur mit der aus der Tabelle ausgegeben Genauigkeit der Wortlänge angenähert werden kann). Von diesen Fehlerquellen kann die Abweichung des logarithmischen Nichtlinearitäts-Schaltungsblocks vom idealen Logarithmus durch Modifizieren der für die Berechnung der Mantisse benutzten Tabelle ausgeglichen werden. In der Fehleranalyse kann der Nichtlinearitäts-Schaltungsblock somit als ideal angenommen werden, wodurch es möglich ist, sich auf die Eigenschaften der durch die A/D-Umsetzung und die Mantissen-Tabelle verursachten endlichen Wortlänge zu konzentrieren.
Der Gleitkomma-D/A-Umsetzer gemäß Fig. 5 hat ebenfalls drei Fehlerquellen, nämlich die für die Umsetzung der Mantisse in einen Exponenten zur Basis 2 eingesetzte Tabelle, die Festpunkt-D/A-Umsetzung und die exponentielle Nichtlinearität. Die Abweichung des exponentiellen Nichtlinearitäts-Schaltungsblocks von der idealen Exponentialfunktion kann ebenfalls durch Modifizieren der logarithmischen Funktionstabelle, die bei der Umsetzung der Mantisse in einen Exponenten zur Basis 2 verwendet wird, ausgeglichen werden. Somit kann auch der exponentielle Nichtlinearitäts- Schaltungsblock als ideal angenommen werden. Wenn die Nichtlinearitäts-Schaltungsblöcke ideal sind, sind die Fehleranalysen des A/D- und des D/A-Umsetzers identisch. In Anbetracht dessen wird unten nur die Fehleranalyse des A/D-Umsetzers erläutert. Die erhaltenen Ergebnisse sind auch auf den D/A-Umsetzer anwendbar.
Bei der Analyse der Eigenschaften einer endlichen Wortlänge in der Gleitpunktarithmetik werden Rundungsfehler durch ein relatives Fehlermodell beschrieben. Dieses Fehlermodell wird verwendet, weil die auftretenden Rundungsfehler aufgrund der Größe der zu rundenden Zahl abhängig von dem Exponententerm sind. Die Zahl xq, die die endliche Wortlänge angibt, wird durch die Zahl x, die die endliche Genauigkeit angibt, und den relativen Rundungsfehler &epsi; angegeben:
xq = x·(1 + &epsi;) (9)
Die Rundungsfehler im Gleitkomma-A/D-Umsetzer können mittels des relativen Fehlermodells dargestellt werden. Wenn der Rundungsfehler bei der Festpunkt-A/D- Umsetzung mit e&sub1; bezeichnet wird, dann ist das Ausgangssignal des Festpunkt-A/D- Umsetzers
Z&sub1; = (log&sub2; x )q = log&sub2; 2 + e&sub1; (10)
Die Auswirkung dieser Fehlerquelle auf das Ausgangssignal des Gleitkomma-Umsetzers ist
xq = sign(x)2z1 = x · 2e1 (11)
Unter Verwendung einer Reihenentwicklung einer exponentiellen Funktion kann diese Gleichung als
geschrieben werden. Wenn ein Quantisierungsfehler in der zur Berechnung der Mantisse verwendeten Tabelle mit e&sub2; bezeichnet wird, dann ist die quantisierte Mantisse
mq = (2f)q = 2f + e&sub2; (13)
Im Ausgangssignal des Umsetzers sieht man diesen Quantisierungsfehler als einen normalen Relativquantisierungsfehler
In der Gleitpunktarithmetik kann die Varianz des Quantisierungsfehlers als
dargestellt werden, wobei die Varianz oder Leistung eines Signals und diejenige eines relativen Quantisierungsfehlers ist. Im Gleitkomma-A/D-Umsetzer beträgt der relative Quantisierungsfehler insgesamt &epsi; = α + β. Da die Variablen α und β unabhängig voneinander in stochastische Variablen umgesetzt werden können, beträgt die Varianz des relativen Quantisierungsfehlers hier
Wenn die Wortlänge eines Festpunkt-A/D-Umsetzers 1 + bi + bf beträgt (ein Bit für das Vorzeichen, bi Bits für den ganzzahligen Anteil und bf Bits für den Anteil der Nachkommastellen), dann ist die Varianz von α
wobei Δ&sub1; = 2-bf der Quantisierungsschritt des A/D-Umsetzers ist. Wenn die Wortlänge des Ausgangssignals der Mantissentabelle bm Bits beträgt, dann ist die Varianz von β
wobei Δ&sub1; = 2-bm der Quantisierungsschritt der Mantisse ist.
Der Rauschabstand (SNR) des erfindungsgemäßen Gleitkomma-A/D-Umsetzers beträgt unter der Annahme, daß der logarithmische Nichtlinearitäts-Schaltungsblock ideal ist,
Der Rauschabstand des erfindungsgemäßen Gleitkomma-D/A-Umsetzers ist der mit der obigen Gleichung (19) angegebene, unter der Annahme, daß die exponentielle Nichtlinearität ideal ist.
Die Funktionsweise der erfindungsgemäßen Umsetzer-Konstruktionen wurde durch Simulieren ihrer Funktion mit unterschiedlichen Parametern getestet. Die Funktion der Nichtlinearitäts-Schaltungsblocks wurde als ideal angenommen. Da unter dieser Annahme der A/D- und der D/A-Umsetzer in einer sehr ähnlichen Weise funktionieren, werden hier die Ergebnisse nur für Gleitkomma-A/D-Umsetzer dargestellt. Entsprechende Ergebnisse gelten für Gleitkomma-D/A-Umsetzer.
Zunächst wurden theoretische Rauschabstände für die Umsetzer-Konstruktion aus Gleichung (19) berechnet. Die Rauschabstände sind in Tabelle 1 gezeigt. Bei den Simulationen und den Rauschabstands-Berechnungen wurde ein Signal mit einer doppeltexponentiell geteilten Größe als Quantisierungssignal benutzt, da diese Wahrscheinlichkeitsverteilung sehr gut zum Beispiel der Amplitudenverteilung von Musiksignalen angenähert ist. Tabelle 1 Theoretisch berechnete Rauschabstände für unterschiedliche Wortlängen eines Festpunkt-A/D-Umsetzers und einer Tabelle (aus dem Speicher)
Die Fig. 6 und 7 zeigen die Simulationsergebnisse, die durch entsprechende Parameter, wie in Tabelle 1 für funktionierende Gleitkomma-A/D-Umsetzer gezeigt, erzielt wurden. Wie man sehen kann, stimmen die Simulationsergebnisse gut mit den berechneten theoretischen Rauschabständen überein, d. h. die theoretischen Ergebnisse geben die SNR-Werte der Umsetzer in ihrem Dynamikbereich vor. Die Figuren zeigen deutlich, wie die Ausführung eines Gleitkomma-A/D-Umsetzers von den Werten seiner Parameter, nämlich der Wortlänge des Festpunkt-A/D-Umsetzers und der Wortlänge der Mantissentabelle im Speicher, abhängt. Die Wortlänge bi des Exponenten wurde zu 4 Bits gewählt, da dies ein ausreichend gutes Ergebnis mit einem doppeltexponentiell geteilten Signal liefert. Zum Vergleich zeigen die Fig. 6 und 7 auch die Ausführung eines Festpunkt-A/D-Umsetzers, d. h. den Rauschabstand als Funktion des Signalpegels. Wie man aus den Figuren sieht, ist bei einer ausreichend großen Wortlänge der Mantissentabelle ein Gleitkomma-A/D-Umsetzer immer beträchtlich besser als ein Festpunkt-Umsetzer.
signifikante Bits
12 + 4 - Bit - Gleitkomma
15 + 1 - Bit - Festpunkt
absoluter Zahlenwert [dB]
Eingabe
Mantisse
Exponent
Mantisse
Exponent
Ausgang
SNR [dB]
A/D-Umsetzer mit 12-Bit-Wortlänge, Exponent mit 4-Bit-Wortlänge
Signalpegel [dB]
Festpunkt, 12 Bits
Gleitkomma, 6-Bit-ROM
Gleitkomma, 8-Bit-ROM
Gleitkomma, 10-Bit-ROM
Gleitkomma, 12-Bit-ROM
SNR [dB]
A/D-Umsetzer mit 16-Bit-Wortlänge, Exponent mit 4-Bit-Wortlänge
Signalpegel [dB]
Festpunkt, 16 Bits
Gleitkomma, 8-Bit-ROM
Gleitkomma, 10-Bit-ROM
Gleitkomma, 12-Bit-ROM
Gleitkomma, 16-Bit-ROM

Claims

1. Verfahren zum Umsetzen eines analogen Signals in eine digitale Gleitkommazahl, gekennzeichnet durch

- Bilden eines logarithmischen Signals (log x ) aus einem analogen Signal (x) durch eine logarithmische Funktion mit einer willkürlichen Basis und Multiplizieren des Signals mit einem konstanten Ausgleichsfaktor, wenn die Basis der logarithmischen Funktion eine andere als 2 ist;

- Umsetzen des Ergebnissignals in eine digitale Form (21) durch eine Festpunkt- A/D-Umsetzung;

- Trennen des Exponenten (c) der Gleitkommazahl von dem digitalisierten Abtastwert und Berechnen der Mantisse (mq) der Gleitkommazahl aus den Nachkommastellen (f) durch eine Exponentialfunktion mit der Basis 2;

- Bilden einer digitalen Gleitkommazahl durch Addieren der Mantisse und des Exponenten.

2. Verfahren nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch Trennen des Vorzeichens (sign(x)) von dem analogen Signal (x) und Bilden einer digitalen vorzeichenbehafteten Gleitkommazahl durch Addieren des Vorzeichens zu der Mantisse (m) und dem Exponenten (c) nach der A/D-Umsetzung.

3. Verfahren zum Umsetzen einer digitalen Gleitkommazahl in ein analoges Signal, gekennzeichnet durch

- Umsetzen der Mantisse (mq) der Gleitkommazahl durch eine logarithmische Funktion mit einer willkürlichen Basis zum Exponenten der Basis und Multiplizieren des Exponenten mit einem konstanten Ausgleichsfaktor, wenn die Basis der logarithmischen Funktion eine andere als 2 ist;

- Addieren der so umgesetzten Mantissen und des Exponenten;

- Umsetzen der erhaltenen digitalen Zahl (z&sub2;) in ein analoges Signal durch eine Festpunkt-D/A-Umsetzung und Bilden eines Signals aus dem umgesetzten Signal, das seinen Exponenten zur Basis 2 darstellt.

4. Verfahren nach Anspruch 3, gekennzeichnet durch Trennen des Vorzeichens (sign(xq)) von der Gleitkommazahl und Bilden eines vorzeichenbehafteten D/A-umgesetzten analogen Signals durch Addieren des Vorzeichens (sign(x)) zu dem umgesetzten analogen Signal (x).

5. Vorrichtung zum Umsetzen eines analogen Signals in eine digitale Gleitkommazahl, gekennzeichnet durch eine Logarithmier-Einrichtung (9) zum Berechnen einer logarithmischen Funktion für das analoge Signal (x), eine Einrichtung (10) zum Umsetzen des Signals in eine digitale Form, eine Einrichtung (11) zum Trennen des Exponenten der Gleitkommazahl, d. h. des ganzzahligen Teiles (c), und der Nachkommastellen (f) einer Zahl mit einer logarithmischen Basis, und eine Einrichtung (12) zum Berechnen der Mantisse (mq) der Gleitkommazahl aus den Nachkommastellen (f) der Zahl mit einer logarithmischen Basis.

6. Vorrichtung nach Anspruch 5, gekennzeichnet durch eine Einrichtung (8) zum Trennen des Vorzeichens (sign(x)) des analogen Signals und zum Addieren desselben zu der gebildeten digitalen Gleitkommazahl.

7. Vorrichtung zum Umsetzen einer Gleitkommazahl in ein analoges Signal, gekennzeichnet durch eine Einrichtung (13) zum Umsetzen der Mantisse (m) der Gleitkommazahl in die Nachkommastellen einer Zahl mit einer logarithmischen Basis, eine Einrichtung (14) zum Bilden einer Zahl mit einer logarithmischen Basis durch Addieren der Nachkommastellen (f) und des ganzzahligen Teiles (c), d. h. des Exponenten der Gleitkommazahl, eine Einrichtung zum Umsetzen einer digitalen Gleitkommazahl (z&sub2;) mit einer logarithmischen Basis in ein analoges Signal, und eine Einrichtung (16) zum Berechnen einer Exponentialfunktion mit der Basis 2 aus dem analogen Signal (log x ).

8. Vorrichtung nach Anspruch 7, gekennzeichnet durch eine Einrichtung (17) zum Addieren des von der Gleitkommazahl erhaltenen digitalen Vorzeichens (sign(x)) zu dem analogen Signal ( x ).