DE60304241T2

DE60304241T2 - Verfahren zur schnellen Simulation und Anpassung von Röntgenspektren von Supergittern

Info

Publication number: DE60304241T2
Application number: DE2003604241
Authority: DE
Inventors: Ilya Feranchuk; Alex Ulyanenkov
Original assignee: Bruker AXS GmbH
Current assignee: Bruker AXS GmbH
Priority date: 2003-04-16
Filing date: 2003-04-16
Publication date: 2006-12-28
Anticipated expiration: 2023-04-17
Also published as: EP1469302B1; DE60304241D1; EP1469302A1

Description

Hintergrund der Erfindung
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Simulieren und/oder Anpassen von Röntgen-Streumustern mit Röntgenreflektion und Röntgenbeugung von Mehrfachschichten mit N sich wiederholenden Grundperioden eines Übergitters mit einer Anzahl L von Einzelschichten in jeder Grundperiode, auf einem Substrat mit Röntgendetektion von experimentellen Röntgenmustern und einem Vergleich der detektierten Muster mit berechneten Mustern.
Ein Verfahren dieser Art ist in der US 5,442,676 offenbart.
Röntgenbeugung ist ein leistungsstarkes Instrument, um Informationen über die Struktur und die Materialeigenschaften von Proben zu erhalten, insbesondere Proben mit kristallinen Phasen. Die Wechselwirkung der auftreffenden Röntgenstrahlen mit der Probe steht in Wechselbeziehung mit der Struktur und den Materialeigenschaften, womit eine geeignete Analyse eines experimentell detektierten gestreuten Röntgenmusters Informationen über die Struktur und die Materialeigenschaften der Probe offenbart.
Nur bei einfachen Proben können die Struktur oder Materialeigenschaften einer Probe direkt aus dem Streumuster berechnet werden. Bei komplexeren Proben wird eine Versuch-und-Fehlschlag-Anpassmethode angewendet: die Wechselwirkung der auftreffenden Röntgenstrahlen mit der Probe wird für eine angenommene Struktur der Probe simuliert, was normalerweise einen Computer einbezieht, der ein berechnetes gestreutes Röntgenmuster bestimmt. Dann werden die experimentell detektierten und berechneten gestreuten Röntgenmuster verglichen. Wenn die Muster nicht übereinstimmen, wird eine neue angenommene Struktur der Probe gewählt und die Simulation wird mit dieser neu angenommenen Struktur wieder ausgeführt. Dieses Verfahren wird wiederholt bis eine gute Übereinstimmung der berechneten und experimentell detektierten Streumuster erhalten wird und die zugehörige angenommene Struktur der Probe wird als die wirkliche Struktur der Probe bestimmt.
Während des Simulationsprozesses muss das Streuverhalten alle struktureller Elemente der Probe berücksichtigt werden, um ein gutes Simulationsergebnis zu erhalten.
Eine bedeutende Gruppe von Proben, die für den oben beschriebenen Versuch-und-Fehlschlag-Lösungsweg geeignet ist, sind Mehrfachschichten auf Substraten, insbesondere Mehrfachschichten mit einem Übergitter, d.h. die Mehrfachschichten weisen eine sich wiederholende Unterstruktur auf, die Grundperiode genannt wird. Mehrfachschichten mit einem Übergitter, die manchmal als periodische Mehrfachschichten bezeichnet werden, werden z.B. für Röntgenspiegel, Festplatten und LEDs und Laserdioden verwendet.
Der Wachstumsprozess für periodische Mehrfachschichten ist relativ schwierig. Insbesondere können sich Legierungs-Grenzflächen von beachtlicher Dicke zwischen benachbarten Schichten bilden, Verunreinigungen können eingebracht werden, z.B. durch Diffusion zwischen den Schichten usw. Um den Wachstumsprozess zu steuern, werden die gewachsenen periodischen Mehrfachschichten unter Verwendung der obengenannten Versuch-und-Fehlschlag-Anpassmethode analysiert.
Die Anzahl der Schichten in solchen periodischen Mehrfachschichten ist ziemlich hoch, derzeit normalerweise 100 bis 200 (Einfach)-Schichten. Zum Berechnen des gestreuten Röntgenmusters beim Stand der Technik wird die Wechselwirkung der Röntgenstrahlen bei jeder Grenzfläche einer Einfachschicht berechnet, wobei jede Einfachschicht nacheinander zusammen mit der Ausbreitung der Röntgenstrahlen durch die Probe berücksichtigt wird. Dies bedeutet, dass für jede Einfachschicht ein Vorgang zum Berechnen der Durchquerung der Röntgenstrahlen durch die Schicht, wenn sie sich dem Substrat nähern und zur Probenoberfläche zurückkehren, erforderlich ist. Jeder Berechnungsvorgang beinhaltet eine Matrixmultiplikation. Somit ist die Gesamtzahl der Berechnungsvorgänge proportional zu der Gesamtanzahl von Schichten in der Probe.
Aus diesen Gründen ist die Berechnung eines gestreuten Röntgenmusters durch bekannte Verfahren sehr zeitaufwändig und erfordert eine leistungsstarke Computerausrüstung.
Aufgabe der Erfindung
Die Aufgabe der Erfindung besteht darin, ein Verfahren zum Berechnen eines Röntgen-Streumusters einer periodisch mehrschichtig angeordneten Film-Probe auf einem Substrat zu präsentieren, welches schnell und einfach auszuführen ist.
Kurze Beschreibung der Erfindung
Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß durch Ausführen des in Anspruch 1 definierten Verfahrens gelöst.
Durch das erfindungsgemäße Verfahren werden die Informationen über die Periodizität der Mehrfachschichtstruktur verwendet, um den Simulationsprozess zu vereinfachen und zu beschleunigen. Sobald eine Grundperiode des Übergitters, d.h. eine der Wiederholungsstrukturen, in Bezug auf ihr Streuverhalten berechnet ist, wird dieses Zwischenergebnis zu den verbleibenden Wiederholungsstrukturen übertragen, ohne das interne Streuverhalten für diese verbleibenden Streustrukturen erneut zu berechnen.
Dies bedeutet, dass die Anzahl an Berechnungsvorgängen bei dem erfindungsgemäßen Verfahren im Grunde durch L Berechungsvorgänge ausgeführt wird, um das Streuverhalten einer Grundperiode zu bestimmen, plus einer Übertragungsberechnung (mit 3 Matrix-Multiplikationsvorgängen) für die verbleibenden Widerholungen der Grundperiode. Bei dieser Übertragungsberechnung ist die Anzahl N an Grundperioden nur ein Faktor und kein Exponent, der eine Anzahl an zeitaufwändigen Matrix-Multiplikationen bestimmt. Somit hängt die Gesamtanzahl an Berechnungsvorgängen (d.h. Matrixmultiplikationen) bei dem erfindungsgemäßen Verfahren nicht von N ab. Im Gegensatz dazu wird bei bekannten Simulationen nicht die Periodizitätsinformation der Mehrfachschichtenstruktur während des Simulationsprozesses verwendet, wodurch N·L Berechnungsvorgänge (z.B. Matrixmultiplikationen) erforderlich werden. Insbesondere für Proben mit einer großen Anzahl N an Grundperioden in dem Übergitter oder einer großen Anzahl L an Schichten in einer Grundperiode beschleunigt das erfindungsgemäße Verfahren die Simulationszeit in beträchtlichem Maße.
Bei einer höchst bevorzugten Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens wird in Schritt c) die analytische Darstellung des Wellenfelds berechnet durch
wobei
wobei E 0 / i das Einfalls- und Streufeld im Vakuum ist, wobei Ŝ₀, Ŝ₁, die Streumatrizen sind, die die Transformation des die Grenzfläche passierenden Wellenfelds beschreiben, Ŝ₀ entspricht der Grenzfläche zwischen dem Vakuum und der ersten Schicht und Ŝ₁, entspricht der Grenzfläche zwischen der ersten und zweiten Schicht, wobei λ_s Eigenwerte der Transfermatrix M ^ sind, welche die Transformation des eine einzelne Grundperiode des Übergitters passierenden Wellenfelds beschreibt, und Ψ s / i sind Eigenwellen der Transfermatrix M ^, mit M ^Ψ s / i = λ_s Ψ s / i; mit s, i = 1...p, mit p = 2 für die Röntgenreflektion und p = 4 für Röntgenbeugung, und wobei E N / i Komponenten des Wellenfelds nach Passieren von N Perioden des Übergitters sind, wobei λ₁ der maximale Eigenwert von λ_s ist.
Die detaillierte Struktur der Streu- und Transfermatrizen hängt von der Struktur der Grundperiode des Übergitters ab und kann durch bekannte Verfahren bestimmt werden (z.B., High-Resolution X-Ray Scattering from Thin Films and Multilayers, Vaclav Holy, T. Baumbach, U. Pietsch, ISBN: 354062029X, 267pp, veröffentlicht im Januar 1999, Herausgeber: Springer-Verlag New York, Incorporated).
Diese analytischen Formeln für das Feld können wie folgt verstanden werden: Wir führen die Transfermatrix M ^ für eine Periode des Übergitters ein. Sie beschreibt das Passieren des Wellenfelds durch eine SL Periode und wird mittels sowohl in der Reflektometrie (Parratt's Formalismus) als auch in der Beugung (dynamische Beugung) wohlbekannten Methoden berechnet. Für die Wellenfelder mit gegebener Polarisation ist dies die Matrix mit einer Dimension von (pxp)(p = 2 für Röntgenreflektivität und p = 4 für Röntgenbeugung).
Die beanspruchte analytische Formel für das Wellenfeld nach Passieren durch N SL-Perioden basiert auf den Eigenwellen Ψ s / i und den Eigenwerten λ_s der Matrix M ^, die aus dem Algebrasystem der Gleichungen M ^Ψsi = λs Ψ si s, i = 1...pberechnet werden.
Bei dem Standard-Lösungsweg werden die Komponenten E N / i des Wellenfelds nach Passieren von N SL-Perioden mit dem Einfalls- und Streufeld im Vakuum E 0 / i durch Multiplizieren von (N + 2) Matrizen verbunden. Die Erfindung ermöglicht die analytische Berechnung dieses Feldes mittels Multiplikation von nur drei Matrizen für eine beliebige Anzahl von SL Perioden. Unsere Formel ist wie folgt:
mit λ_s als dem maximalen Eigenwert und den wohlbekannten Matrizen Ŝ₀, Ŝ₁ die die Beugung des Wellenfelds auf der ersten SL Grenzfläche definieren (siehe Zitat von Stepanov).
Alternativ oder zusätzlich ist eine Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens dadurch gekennzeichnet, dass in Schritt d) die Intensitätsverteilung für die Beugung berechnet wird durch
wobei I_diff die Intensität der gestreuten Strahlung im Vakuum für Röntgenbeugung ist und dass die Intensitätsverteilung für die Reflektion berechnet wird durch
wobei I_spec die Intensität der gestreuten Strahlung im Vakuum für Röntgenreflektion ist, wobei Z ^ = Ŝ –1 / 0Ŝ₁Q ^Ŝ –1 / 1Ŝ_sub, wobei Ŝ_sub die Streumatrix ist, die die Transformation des Wellenfelds beschreibt, das die Grenzfläche zwischen der untersten Schicht und dem Substrat passiert, wobei
wobei Ŝ₀, Ŝ₁ Streumatrizen sind, die die Transformation des Wellenfelds beschreiben, das die Grenzfläche passiert, Ŝ₀ entspricht der Grenzfläche zwischen dem Vakuum und der ersten Schicht und Ŝ₁ entspricht der Grenzfläche zwischen der ersten und zweiten Schicht, wobei λ_s Eigenwerte der Transfermatrix M ^ sind, welche die Transformation des Wellenfelds, das eine einzelne Grundperiode des Übergitters passiert, beschreibt, und Ψ s / i sind Eigenwellen der Transfermatrix M ^, wobei M ^Ψ s / i = λ_s Ψ s / i; mit s, i = 1...p, mit p = 2 für Röntgenreflektion und p = 4 für Röntgenbeugung, wobei λ₁ der maximale Eigenwert von λ_s ist.
Diese analytischen Ausdrücke für die Intensität können wie folgt aufgefasst werden: Analytische Formeln für das Wellenfeld nach Passieren von N SL Perioden ermöglichen, dass die Randbedingungen auf dem Substrat berücksichtigt werden und die analytische Formel für die Intensität der beobachteten Strahlung im Vakuum im Ergebnis der Streuung durch das Übergitter gefunden werden kann.
Wir berechnen die Matrix Z ^ = Ŝ–10 Ŝ1Q ^Ŝ–11 Ŝsub wobei die Matrix Ŝ_sub die Feldstreuung an der Substrat-Grenzfläche definiert.
Dann ist die Intensität des Streufelds im Vakuum durch die Formeln
für Röntgenbeugung und
für Röntgenreflektivität definiert.
Als Alternative oder zusätzlich ist eine Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens dadurch gekennzeichnet, dass es einen Massedichtegradienten über den Einzelschichten gibt, angenähert durch eine endliche Anzahl von einzelnen Unterschichten, die jeweils eine einheitliche Massedichte haben. In dieser Situation ist eine besonders große Anzahl an effektiven Schichten L' pro Grundperiode erforderlich. Als Konsequenz steigt die Anzahl an Berechnungsvorgängen (L')·N stark an, wenn das erfindungsgemäße Verfahren nicht verwendet wird. Deshalb ist bei dieser Anwendung das erfindungsgemäße Verfahren besonders schnell. Erfindungsgemäß kann die Grundperiode ausschließlich oder nur teilweise aus Einzelschichten mit einem Massedichtegradienten bestehen.
Bei einer weiteren bevorzugten Variante weist das Röntgen-Streumuster Röntgenbeugungsmuster von einem Kristallübergitter mit kristallographischen Gitterdehnungs-Gradienten oder Material-Verunreinigungsgradienten in den Einzelschichten auf, die von einer endlichen Anzahl an einzelnen Unterschichten angenähert werden, die jeweils eine einheitliche Gitterdehnung oder Materialverunreinigung haben. Wiederum ist bei dieser Anwendung die effektive Anzahl an Schichten L' groß und das erfindungsgemäße Verfahren beschleunigt den Simulationsprozess.
Bei einer weiteren Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens weist das Röntgen-Streumuster Röntgen-Beugungsmuster von einem Kristall-Übergitter bei stark asymmetrischer Beugungsgeometrie und einer Geometrie mit streifendem Einfall oder streifendem Austritt auf. Diese Röntgenmuster werden oft zur Qualitätsanalyse von Proben simuliert.
Eine höchst bevorzugte Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens ist gekennzeichnet durch Einbringen einer mittleren, quadratischen Schwankung der Übergitterperiode als zusätzlichen Parameter zum Anpassen an Übergitterspitzen in dem Röntgen-Streumuster. Dies kann zum Analysieren der Übergitterspitzen verwendet werden, insbesondere ihrer Dämpfungsfaktoren in dem gestreuten Röntgenmuster. Die Genauigkeit der Übereinstimmung der berechneten und experimentell detektierten Röntgen-Streumuster kann erhöht werden durch Optimieren des erfindungsgemäßen zusätzlichen Parameters, wodurch die Bestimmung der Struktur und der Materialeigenschaften der Probe genauer wird.
Eine weitere vorteilhafte Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens ist gekennzeichnet durch Einbringen der analytischen Darstellung des Röntgen-Wellenfelds in das Übergitter für schnelle Simulation und Anpassen jeglicher Eigenschaften, die integrierte elektromagnetische Felder wie diffuse Beugungsmuster in den Gefügen der Näherung mit verzerrten Wellen nach Born oder instrumentelle Funktion enthalten. Die Verfügbarkeit einer analytischen Darstellung des Röntgenwellenfelds mittels der Erfindung kann somit nicht nur zum Beschleunigen der Simulation des gestreuten Röntgenmusters, sondern auch zum Gewinnen weiterer Informationen über die Probe verwendet werden.
Bei einer weiteren Variante des Verfahrens beträgt die Anzahl L von einzelnen Schichten innerhalb einer Grundperiode des Übergitters zwischen 2 und 20. Diese Anzahlen von L stellen typische Anwendungen dar, für welche die Charakterisierung für Qualitätsprüfungen ausgeführt wird, und wobei eine Hochgeschwindigkeitsanalyse und somit Hochgeschwindigkeitssimulation und Anpassung erforderlich sind.
Bei einer anderen Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens beträgt die Anzahl N von sich wiederholenden Grundperioden des Übergitters zwischen 2 und 1000, vorzugsweise zwischen 5 und 200 und bevorzugt ca. 100. Diese Anzahlen von N stellen auch typische Anwendungen dar, für welche eine Hochgeschwindigkeitsanalyse erforderlich ist. Herkömmliche Verfahren sind auch normalerweise durch periodische Mehrfachschichtenstrukturen überlastet, die eine Anzahl N von sich wiederholenden Grundperioden von 100 oder mehr beinhalten.
Weiterhin ist eine Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens dadurch gekennzeichnet, dass die Dicken der Einzelschichten in einem Bereich zwischen 0.1 nm und 10 μm, vorzugsweise zwischen 0.5 nm und 10 nm liegen. Wenn die Schichtdicken im Nanometerbereich sind, ist die Gesamtanzahl N·L von Schichten insgesamt über alle Grundperioden hinweg normalerweise zu groß, so dass herkömmliche Verfahren nicht innerhalb akzeptabler Zeitspannen angewendet werden können. Somit ist das erfindungsgemäße Verfahren besonders nützlich für diese Anwendung.
Weitere Vorteile ergeben sich aus der Beschreibung und der beigefügten Zeichnung. Die oben und im Folgenden genannten Merkmale können erfindungsgemäß einzeln oder gemeinsam in beliebiger Kombination verwendet werden. Die erwähnten Ausführungsformen sind nicht als abschließende Aufzählung zu verstehen sondern haben beispielhaften Charakter zum Beschreiben der Erfindung.
Zeichnungen
Die Erfindung ist in den Zeichnungen gezeigt.
1a zeigt eine periodische Mehrfachschicht mit einer zweischichtigen Grundperiode, die Gegenstand des erfindungsgemäßen Verfahrens ist;
1b zeigt eine periodische Mehrfachschicht mit einer Grundperiode mit L Schichten, die Gegenstand des erfindungsgemäßen Verfahrens ist;
2 zeigt ein Röntgen-Reflektionsmuster für ein [Si/Ge]₆₀ Übergitter, berechnet durch das erfindungsgemäße Verfahren und durch wiederkehrende Parratt Gleichungen mit einer Einfügung, die die Berechnungszeit beider Verfahren vergleicht,
3 zeigt ein Röntgen-Reflektionsmuster für ein [AlAs/GaAs/InAs/GaSb]₄₀ Mehrkomponenten-Übergitter, berechnet durch das erfindungsgemäße Verfahren und eine Einfügung, die die Berechnungszeit des erfindungsgemäßen Verfahrens mit einem herkömmlichen Verfahren vergleicht;
4 zeigt ein experimentelles und ein berechnetes Röntgenmuster, wobei das berechnete Röntgenmuster angepasst wurde durch Anwenden eines Periodendicke-Schwankungsparameters;
5 zeigt eine periodische Mehrfachschicht, welche Gegenstand des erfindungsgemäßen Verfahrens ist und die Wellenfeldvektoren D zeigt;
6 zeigt ein Röntgen-Reflektivitätsmuster für ein [Ge/Si/Si_0,8Ge_0,2]₁₀₀ Übergitter, berechnet durch das erfindungsgemäße Verfahren und ein herkömmliches rekursives Verfahren mit einer Einfügung, die die Berechnungszeit beider Methoden vergleicht;
7 zeigt ein Röntgen-Reflektivitätsmuster für ein [Ge/Si/Si_0,8Ge_0,2]₁₀₀ Übergitter, berechnet durch das erfindungsgemäße Verfahren mit zwei unterschiedlichen Perioden-Schwankungsparametern.
Detaillierte Beschreibung der Erfindung
Die analytische Lösung von wiederkehrenden Gleichungen für die Amplituden eines elektromagnetischen Felds bietet sich an zur Beschreibung der Röntgenreflektion und -beugung an periodischen Mehrfachschichtmedien. Das vorgeschlagene Verfahren verwendet den Bloch-Eigenwellen-Ansatz für die periodische Struktur, was die Computerzeit, die zur Simulation von gebeugter/reflektierter Röntgenintensität erforderlich ist, beträchtlich reduziert und deshalb das Anpassverfahren mittels Versuch und Fehlschlag für Probenmodell-Parameter beschleunigt. Numerische Beispiele und Anpassergebnisse für experimentelle Röntgendaten werden bereitgestellt, um die Effektivität des Verfahrens zu zeigen. Ein neuer Parameter, der die Schwankung der Übergitterperiode beschreibt, wird eingeführt und sein Einfluss auf experimentelle Dateninterpretation wird diskutiert.
I. Einführung
In den letzten 10 Jahren wurden zahlreiche analytische Verfahren und Techniken zur Berechnung von Röntgenreflektivitäts-, Beugungs- und diffusen Streu-Spektren entwickelt und darüber berichtet (siehe z.B. [1]). Eine zunehmende Nachfrage nach Röntgenmethoden seitens der Industrie und Wissenschaft unterstreicht jedoch das Problem der Algorithmus-Verbesserungen, sowohl in Bezug auf Beschleunigung als auch Präzision. Diese Aufgabe ist besonders wichtig, wenn die experimentellen Daten von komplexen Proben schnell und genau durch theoretische Modelle angepasst werden müssen.
Die Mehrfachschichten und Übergitter, die aus einer großen Anzahl von sich wiederholenden Perioden von dünnen Grundschichten bestehen, bilden eine breite Klasse von Proben in den Halbleiter- und Nanotechnologie-Industrien. Röntgenmethoden sind bewiesenermaßen sehr vorteilhaft für die Untersuchung dieser Strukturen. Allgemein wird die Lösung der Maxwell-Gleichungen für das Röntgen-Wellenfeld in Mehrfachschichten auf das System von rekursiven Gleichungen reduziert, die skalaren für die Reflektivität [2] und die mit Matrix für die Beugung [3]. Die theoretische Interpretation von experimentellen Röntgendaten auf der Basis von Transfermatrizen [3] liefert bequeme Formalismen zum Lösen von allgemeinen rekursiven Gleichungen für Mehrfachschicht-Strukturen sowohl für Reflektivität [2] als auch Beugung [5]. Für periodische Strukturen kann bei Verwendung der Potenzen der Transfermatrix für das Grundelement des Übergitters (SL) die Berechnungszeit beträchtlich reduziert werden [4]. Bei dieser Technik müssen jedoch die hohen Potenzen der Matrizen berechnet werden, was auch ein zeitaufwändiges Verfahren ist, da die Anzahl der numerischen Operationen exponentiell mit der Anzahl von SL-Elementen steigt. Es gibt mehrere Näherungsmethoden für die Reduzierung der Berechnungszeit, z.B. ein kinematischer Ansatz und eine Einfach-Reflektion-Näherung [1]. Diese bieten jedoch keine ausreichende Genauigkeit für dicke SLs und Übergitter mit einer großen Anzahl an Schichten. Somit ist die Entwicklung von Verfahren zum Reduzieren der Berechnungszeit für die Röntgenreflektivität und -beugung von periodischen Mehrfachschichtstrukturen eine gegenwärtige Aufgabe der angewandten Röntgenphysik.
Ein in diesem Dokument vorgeschlagenes neues Verfahren nutzt die Möglichkeit, die Bloch-Eigenwellen eines eindimensional periodischen unendlichen Schichtstapels durch die Lösungen des Röntgen-Streuproblems innerhalb des einzelnen Grundelements, das die Übergitterperiode darstellt, auszudrücken [6]. Bei einem Übergitter mit beschränkter Anzahl von Perioden können diese Bloch Eigenwellen weiterhin zusammen mit den Randbedingungen für einen gesamten Schichtstapel verwendet werden, was einen analytischen Ausdruck für das elektromagnetische Feld und einen integralen Reflektionskoeffizienten an jedem Punkt der Probe zur Folge hat, ohne die rekursiven Gleichungen lösen zu müssen. Dieser Ansatz wird in diesem Dokument weiterhin ein „Verfahren von Eigenwellen" (method of eigenwaves MEW) genannt. In diesem Dokument wird die Effektivität des MEW analysiert für die Berechnung von Röntgenreflektivität-(XRR) und hochauflösende Röntgenbeugung-(HRXRD)-Intensitäten von Übergittern. Ein Vergleich des MEW mit anderen Lösungswegen zeigt die essentielle Zeiteinsparung für die Berechnung und das Anpassen von Röntgenintensitäten. Das Dokument ist wie folgt aufgebaut: In Abschnitt II findet sich die analytische Lösung für den Reflektionskoeffizienten von einem zweischichtigen periodischen Übergitter. Die Berechnungsergebnisse stimmen mit der numerischen Lösung desselben Problems durch die Parratt Gleichungen überein, der Vorteil von MEW besteht jedoch in der beträchtlichen Beschleunigung des Simulationsprozesses. In Abschnitt III wird das Übergitter mit beliebigem Grundperiodenelement in Betracht gezogen. Die Kombination von Parratt's rekursiver Gleichungen mit MEW wird verwendet, um die beste Leistung der Simulationstechnik zu erhalten. Ein Parameter für die Charakterisierung der Übergitterperiodenschwankung wird ebenfalls eingeführt, um eine größere Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment zu erhalten. In Abschnitt IV wird der MEW Lösungsweg ausgedehnt auf die Beschreibung der Röntgenbeugung an Übergittern. Der Beugungsprozess in dem Grundperiodenelement des Übergitters wird durch das Matrixverfahren [5] berechnet und die Entwicklung der Beugung in das gesamte Übergitter wird durch MEW beschrieben.
II. MEW für Röntgenreflektivität von einem Zwei-Komponenten-Übergitter
Wir betrachten nun die Reflektion eines monochromatischen Röntgenstrahls mit einer bestimmten Polarisierung und Wellenzahl k = 2π/λ von einer Mehrschichtstruktur, die aus N Schichten besteht, die auf einem Substrat gewachsen sind. Es wird angenommen, dass die Struktur ein Übergitter ist, das durch mehrfache Wiederholung der Grundschichtperiode zusammengesetzt ist, die aus zwei Schichten besteht (1a), und die Röntgenstrahlen treffen auf die Probe in einem Auftreffwinkel α auf. Bei der Röntgenreflektometrie wird die seitliche Dimension einer Schicht als unendlich angenommen, was (i) eine Erhaltung der seitlichen Komponente des Wellenvektors und (ii) eine Abhängigkeit des Wellenfelds nur von der z Komponente des Wellenvektors zur Folge hat. Für das in diesem Dokument betrachtete Problem sind die folgenden Größen, die durch die Dielektrizitätskonstante ε definiert sind, essentiell für die Beschreibung des Streuprozesses:
wobei die z-Achse eine senkrechte, nach innen gerichtete Normale zur Probenfläche ist; die Werte 1-δ_t und β_t sind die reellen und imaginären Komponenten [10] des Brechungsindexes n_t, t = 0, m, 1, 2 für Vakuum, Substrat bzw. Schichten. Die allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen für die Schicht mit der Nummer l(l = 0 entspricht Vakuum) ist
Die Bedingung der Wellenfeldkontinuität an der Grenze zwischen den Schichten 1 und 2 innerhalb der l-Periode von SL
wird verwendet, um die Reflektions- und Transmissionskoeffizienten in der zweiten Schicht über die entsprechenden Parameter der ersten Schicht auszudrücken:
Dieselben Bedingungen an der Grenze zwischen den Schichten l und l + 1 resultieren in
Um einen Ausdruck klarer zu machen, kann die (2x2) Transfermatrix M ^ eingeführt werden [3], welche die Transformation der Transmissions- und Reflektionskoeffizienten durch eine einzelne Schicht der Grundperiode des Übergitters definiert: T1(l+1) = M11T1l + M12R1l; R1(l+1) = M21M1l + M22R1l; M11 = β11γ11 + β21γ12; M12 = β12γ11 + β22γ12; M21 = β11γ21 + β21γ22; M22 = β12γ21 + β22γ22. (6)
Wenn die Phase des Wellenfelds gemäß Gleichung (2) definiert ist, hängt die Transfermatrix nicht von dem Index l ab, der die Übergitterschichten nummeriert. Diese Tatsache ermöglicht es, die Potenzen der Matrix M ^ zur Berechnung der kompletten Transfermatrix des Übergitters zu verwenden [4]. Ein solcher Lösungsweg reduziert die Berechnungszeit im Vergleich zu der direkten Lösung der rekursiven Gleichungen. MEW vereinfacht diese Lösung jedoch noch mehr, da es den totalen Reflektionskoeffizienten in analytischer Form ausdrückt. Um diese Form abzuleiten, müssen die Zwei-Komponenten-Eigenvektoren A^(s) = (T^(s), R^(s)); s = 1,2 der Matrix M ^ eingeführt werden:
Die von den Koeffizienten (7) bestimmten Wellenfelder erzeugen eine Basis von Eigenwellen (EW) im unendlichen periodischen Schichtenstapel. Wenn die Eigenwerte so indiziert sind, dass |λ₁| < |λ₂|, dann stellen die Werte T^(s) die Amplituden von EW dar, welche in dem endlichen Stapel durch die auftreffende ebene Welle angeregt werden. Um diese Amplituden T^(s) zu finden, müssen die Randbedingungen an den Grenzflächen Übergitter/Vakuum und Übergitter/Substrat verwendet werden. Das Wellenfeld an der ersten Grenzfläche ist als Überlagerung von Eigenwellen dargestellt:
Die Kontinuität dieses Wellenfelds an der Oberfläche z = 0 ergibt die Gleichungen 1 + R0(α) = T(1)(1 + ν1) + T(2)(1 + ν2); kz0[1 – R0(α)] = kz1[T(1)(1 – ν1) +(1 T(2) – ν2), (9)wobei R₀(α) der integrale Reflektionskoeffizient des gesamten Übergitters ist. Aufgrund der Gleichung (7) für EW, sind die Reflektions- und Transmissionskoeffizienten in der letzten Schicht mit Nummer N: T1N = λN1 T(1) + λN2 T(2); R1N = ν1λN1 T(1) + ν2λN2 T(2); T2N = β11T1N + β12R1N; R2N = β21T1N + β22R1N. (10)
Die Randbedingungen an der Grenzfläche z = Nd, wo das Wellenfeld nur durch den Transmissionskoeffizienten T_sub definiert ist, vervollständigen das Gleichungssystem für vier unbekannte Variablen R₀, T⁽¹⁾, T⁽²⁾ und T_sub:
Das System der Gleichungen (9–11) liefert den Ausdruck für R₀(α), welcher tatsächlich die analytische Lösung für die rekursiven Parratt-Gleichungen für den gesamten Stapel von Schichten ist:
2 zeigt die Röntgenreflektivität des [Si/Ge]₆₀ Übergitters mit der Schichtdicke d₁ = 10 nm, d₂ = 20 nm auf einem Si-Substrat, simuliert durch die Formel (12). Die Kurve ist identisch zu der von den rekursiven Parratt-Gleichungen [2] berechneten. Die Computerzeit, die für diese beiden Simulationen erforderlich ist, ist jedoch sehr unterschiedlich, insbesondere wenn die Anzahl der Übergitterperioden groß ist (siehe Einfügung in 2). Die numerische Lösung der Parratt Gleichungen [2] beinhaltet ≅4(4)^N Operationen, wodurch die Simulationszeit exponentiell steigt. Wenn die Potenzen der Matrizen zur Berechnung von R₀(α) verwendet werden, erhöht sich die Zeit gemäß einem Potenzgesetz mit steigendem N [4], wohingegen die Verwendung der Gleichung (12) zur Folge hat, dass die Anzahl von Operationen unabhängig von N ist. Dieser Vorteil von MEW ist noch stärker bei den experimentellen Daten-Anpassroutinen, welche die Röntgenreflektivität mehrfach während dieses Versuch-und-Fehlschlag-Verfahrens simulieren.
III. MEW für Röntgenreflektivität am Übergitter mit beliebiger Struktur der Grundperiode
Die in dem vorherigen Abschnitt vorgestellte Technik kann auch bei komplizierten Probenmodellen angewendet werden, z.B. bei dem Übergitter, dessen Grundperiode aus L Schichten von einer Dicke d_j, j = 1, ..., L; Σ_jd_j = d und Brechungsindices n_j (1b) besteht. Diese Art von Probenmodell beschreibt sowohl die Übergitter mit Grundperiode mit mehr als zwei Schichten als auch zweischichtige Übergitter mit gestuften Zwischen-Grenzflächen, die in diesem Fall parasitäre künstliche Zwischenschichten ergeben. Bei diesen Proben kann die kombinierte Technik verwendet werden: die numerische Lösung für rekursive Gleichungen mit einer (2x2) Transfermatrix M ^_L für die Grundperiode wird ergänzt mit dem MEW Ansatz für eine analytische Berechnung des gesamten Reflektionskoeffizienten R₀(α).
Das Wellenfeld innerhalb der j-Schicht der ersten Grundperiode ist durch Gleichung (2) definiert, wobei die Koeffizienten T_j, R_j sich aus den Gleichungen [2] ergeben (die Skizze der Wellenfelder in den Unterschichten der Grundperiode ist in 1b gezeigt):
Um die Eigenwellen des Systems zu finden, muss die Transfermatrix M ^_L für die Grundperiode berechnet werden. Definitionsgemäß gibt diese Matrix einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten T_1,(L+1) = T_2,1; R_1,(L+1) =T_2,1 und Parametern T₁, R₁ für die Wellenfelder Ψ_j in dem Übergitter. Die formelle Lösung dieses Problems kann durch sukzessive iterative Lösung der Gleichungen (13) gefunden werden und das Ergebnis wird in kompakter Matrixform präsentiert
Trotz der formellen Einfachheit dieser Lösung beinhaltet die reale Berechnung der Matrix M ^ die Berechnung der Produkte von 2L (2x2) Matrizen, d.h. ≅4(8)^L Operationen. Der effektivere Algorithmus basiert auf den skalaren Parratt-Gleichungen [2], wodurch sich die Anzahl der Operationen auf ≅4(4)^L reduziert:
Um diese Gleichungen für die Berechnung der Matrix M ^ verwenden zu können, müssen die Randbedingungen für X_j geändert werden. In der Reflektometrie werden die Randbedingungen X_L = 0; R_L = 0, T₀ = 1 normalerweise für die Struktur mit L Schichten verwendet. Bei dem hier betrachteten Fall jedoch stehen die anfänglichen Transmissions- und Reflektions-Koeffizienten nicht in direkten Bezug. Der bequemste Weg, um die Transmissionsmatrix M ^ zu berechnen, scheint das obengenannte Matrix-Verfahren zu sein. Wenn Phasen der Wellenfelder in der ersten Schicht der Grundperiode wie in Gleichung (2) definiert sind, dann hängt die Matrix M ^ nicht mehr von der Anzahl an Wiederholungen der Grundperioden ab, und Gleichung (14) ist modifiziert. Die rekursiven Gleichungen (13), die aus der Transformation der Vektoren (T_j; R_j) resultieren, sind dann durch Matrizen dargestellt
Die Matrizen B ^_j müssen bei beiden Grenzflächen der Grundperiode verwendet werden, um die Phase in der Matrix M ^ an der Grenzfläche zwischen den Grundperioden zu eliminieren. Die resultierende Übergangsmatrix ist schließlich: M ^ = B ^LA ^L–1A ^L–2...A ^2B ^1. (17)
Um die Kontinuitätsbedingungen (11) für Wellenfelder an der Grenzfläche zwischen der untersten Grundschicht und dem Substrat zu erfüllen, müssen die Amplituden T_N,L und R_N,L durch die Amplituden T_N,1 und R_N,1 ausgedrückt werden: M ^L–1 = A ^L–1A ^L–2...A ^2B ^1. (18)
Weitere Berechnungen sind analog zum Fall mit zwei Komponenten, der in dem vorherigen Abschnitt beschrieben wurde. Insbesondere die Eigenwerte λ_1,2 und deren Eigenvektoren ergeben sich aus Gleichungen (6, 7) unter Verwendungen der Elemente der Matrix M in Gleichung (18). Die Formel (12) für den Parameter P_N wird dann etwas transformiert:
3 zeigt die simulierten Röntgen-Reflektivitätskurven des Mehrkomponenten-Übergitters (AlAs/GaAs/InAs/GaSb)₄₀ auf dem GaAs-Substrat, wobei die Schichtdicken jeweils gleich (10/20/5/10)₄₀ nm sind. Der Vergleich der erforderlichen Computerzeit sowohl für den direkten Parratt-Ansatz (t_p) und die MEW Technik (t_M) als Funktion der Wiederholungsperiode ist an der Einfügung in 3 dargestellt. Die Berechnungszeit für die Einfachsimulation durch MEW ist wesentlich reduziert und für das Anpassverfahren, das die Anzahl an Einfach-Simulationen geometrisch mit der Anzahl der angepassten Parameter erhöht, wird die Zeitersparnis noch wesentlicher.
Die MEW Technik ermöglich es, den Parameter, der die Periodendicke-Schwankungen in echten Übergittern beschreibt, in natürlicher Weise einzuführen. Die Notwendigkeit dieses Parameters ergibt sich aus der systematischen Diskrepanz zwischen den theoretischen Simulationen und experimentellen Messungen, nämlich die Nichtübereinstimmung von Höhe und Breite der SL Spitzen (4). Theoretische SL-Spitzen werden normalerweise bezüglich ihrer Intensität überbewertet, und dieser Unterschied wächst progressiv mit der Ordnung der SL-Spitzen. Diese Diskrepanz kann durch Einführen von Zwischen-Grenzflächenschichten oder des Debye-Waller-Faktors oder des Nevot-Croce-Faktors, d.h. durch Wiedernormalisieren von einzelnen Reflektionskoeffizienten r_j+1,j, nicht eliminiert werden.
Um einen obengenannten Parameter einzubringen muss die Transfermatrix M ^ (l) / L auf der Basis der formellen Streuungstheorie [11] neu interpretiert werden. Unter diesem Gesichtspunkt können die Matrixelemente als Elemente des Streuoperators Ŝ^(l)(z) betrachtet werden, der mit den Funktionen von ersten i und letzten f Zuständen definiert ist:
Für die Matrixelemente (20) ist oben gezeigt, dass sie unabhängig von den Indices l für den Fall von idealen Übergittern sind. Bei echten Übergittern hat die Periodendicke statistische Schwankungen δ und somit ist z_l = ld + δ. Unter Vernachlässigung einer vertikalen Korrelation der Grenzflächenrauhigkeit, die für die Interpretation von diffuser Röntgenstreuung wesentlich sein kann [12], erhalten die Matrixelemente (20) einen zusätzlichen Phasenfaktor, welcher nicht von l abhängt. Unter Annahme der Gauss-Verteilung der Periodenschwankungen mit der Wurzel mit kleinstem Quadrat σ_d und bei Mittelung der Gleichung (20) über die Schwankungen ergibt sich:
Hier ist M (0) / if eine Transfermatrix für das ideale Übergitter, und der exponentielle Faktor reduziert die Amplitude der elastischen Streuung des Wellenfelds durch das Grundelement des realen SL. Tatsächlich ist dies analog zum Debye-Waller-Faktor für eine kristallographische Basiszelle, die zur Berechnung der Polarisierbarkeit des Kristalls verwendet wird [10]. Dieses Ergebnis bewirkt ein Wiedernormalisieren der Matrixelemente (18):
die weiter in den Gleichungen (6, 7) für die Eigenwellen der Periodenstruktur verwendet werden. 4 zeigt, wie der Parameter σ_d unter Berücksichtigung der Schwankung der SL-Periode die Bildung von kohärenten SL-Spitzen beeinflusst. Die simulierten Reflektivitätskurven sind viel besser an die experimentellen Messungen angepasst, was die Bedeutung des Parameters σ_d in Bezug auf eine Quantifizierung der Übergitterqualität beweist.
IV. MEW für hochauflösende Röntgenbeugung an Übergittern
Die aus kristallinen Schichten bestehenden Übergitter werden vielfältig in der modernen Halbleiterindustrie verwendet, und hochauflösende Röntgenbeugung ist eine der effektivsten Techniken für ihre Untersuchung. Die die Probe kennzeichnenden Parameter, z.B. Schichtdicke, Dotierkonzentrationen, Gitterverformung, Gitter-Fehlpassung und andere werden aus Röntgenmessungen in verschiedenen experimentellen Geometrien erhalten, einschließlich extrem asymmetrischer Beugung und Beugung unter streifendem Einfall. Eine theoretische Interpretation dieser Daten erfordert beträchtliche Computerressourcen, wodurch das Optimieren des Berechnungsalgorithmus für HRXRD ein sehr reales Problem ist. Wie bei der Röntgenreflektivität basiert die Anwendung von MEW für hochauflösende Röntgenbeugung auf der analytischen Berechnung der Interferenz zwischen den Wellen, die an äquivalenten Schichten der Übergitterperiode gestreut wurden. Röntgenstreuung an kristallinen Strukturen erfordert kompliziertere Transfermatrizen als in der Reflektometrie, welche in diesem Fall einen höheren Rang einnehmen.
Die im folgenden dargestellte Theorie geht davon aus, dass das Übergitter aus sich N-fach wiederholenden Grund-SL-Perioden besteht, die jeweils aus L Monokristallschichten bestehen. Der Unterschied der kristallographischen Strukturen dieser Schichten kann entweder durch unterschiedliche Elementzusammensetzung der Schichten oder gradientenartige Gitterverformung von Einzelschichten aufgrund von externen Kräften entstehen. Es gibt ein paar Möglichkeiten, die Transfermatrix M ^_L für Röntgenbeugung an den kristallinen Schichten zu berechnen. Der Takagi-Taupin [13] Formalismus, welcher relativ einfach zu realisieren ist, gibt eine Lösung zur Annäherung von langsamer Variation von kristallinen Strukturen von Schichtstapeln. Demgegenüber liefert der Matrix-Formalismus [8] der dynamischen Beugungstheorie eine exakte Lösung für die Transfermatrix M ^_L und hier verwenden wir diesen Ansatz zusammen mit den in Referenz [8] angenommenen Bezeichnungen. Das Wellenfeld mit bestimmter Polarisation (σ- oder π) in der Schicht n ist durch das Wellenfeld
beschrieben. Hier sind k_n und k_hn = k_n + h_n die Wellenvektoren der transmittierten und reziproken Gittervektor h_n gebeugten Wellen in der n-Schicht. Die Amplituden D_0n, D_hn werden als konstant in der Schicht angenommen und erfüllen die Gleichungen der dynamischen Beugungstheorie: (k2n – k2)D0n = k2n [Xn0 D0n + Xn–h Dhn]; (k2hn – k2)Dhn = k2n [Xn0 Dhn + Xnh D0n], (24)mit Fourier-Komponenten x n / 0, x n / h der Röntgenpolarisierbarkeit für die n-Schicht.
Bei Verwendung der Bezeichnungen von 6 für Vektorkomponenten
k_z = kγ₀; k_hz = kγ_h; h_zn = kψ_n; k_zn = ku_n,
ergibt sich der Parameter u_n, der den effektiven Brechungsindex für die Röntgenbeugung bestimmt, aus der Gleichung [8] (u2n – γ20 – Xn0 )[(un + ψn)2 – γ2h – Xn0 ] – Xn–h Xnh = 0; γ2h = (γ0 + ψ)2 + α. (25)
Die Variable α definiert eine Abweichung des Vektors k von der genauen Bragg-Bedingung bei der Grenzfläche der oberen Schicht der Übergitter-Grundperiode, und die Amplituden der transmittierten und gebeugten Wellen werden durch die Ausdrücke Djhn = νjn Dj0n ; νjn = [(ujn )2 – γ20 – –Xn0 ]/Xn–h . (26)verbunden.
Die Entwicklung des Wellenfelds in der Grundperiode des Übergitters wird bestimmt durch das System der Gleichungen für die Amplituden D j / 0n, was sich aus der Kontinuitätsbedingung für die Wellenfelder an den Rändern der Schichten Grenzflächen) ergibt. Die Lösung für dieses Gleichungssystem für eine beliebige experimentelle Geometrie wird dargestellt [5] durch das Produkt von 2L (4x4) Matrizen Ŝ_n und F ^_n.
Die numerischen Probleme ergeben sich jedoch für Übergitter mit einer großen Anzahl an Perioden N, wobei mehrere (4x4) Matrizen produziert werden müssen [8]. Diese Probleme ergeben sich durch Operationen mit Matrizen, deren Elemente exponentiell mit dem Anstieg von N steigen. Um diese Schwierigkeiten zu vermeiden, wurde ein neuer Algorithmus vorgeschlagen in [8], wenn die Matrizen in die Blöcke von (2x2) aufgeteilt werden. Die vierwelligen Amplituden D j / 0n, die zu zwei Zwei-Komponentenvektoren T _n = (D 1 / 0n; D 2 / 0n); R _n = (D 1 / 0n; D 2 / 0n) kombiniert werden, werden dann in Bezug gesetzt durch die Gleichungen analog zu den Parratt-Gleichungen [8]. Dieser Algorithmus liefert die erforderliche Genauigkeit für eine beliebige Anzahl an Übergitterperioden, verdoppelt jedoch die Berechnungszeit im Vergleich zum herkömmlichen Matrixverfahren. Es wird gezeigt, dass das MEW die Genauigkeit verbessert und die Berechnungszeit verkürzt.
Zum Bilden der Übergangsmatrix M ^_L für die Grundperiode werden vier Komponenten des Wellenfelds in der n-ten Schicht als 4-Vektor D _n bezeichnet. Die räumliche Phase der Wellenfeldamplituden in jeder Schicht muss an der Eingangs-Grenzfläche der Schicht gleich sein. Bei Verwendung der Matrizen (27) werden die Randbedingungen für die Amplituden in der Grundperiode als System von L Vektorgleichungen geschrieben: Ŝ1F ^1 D 1 = Ŝ2 D 2; ...; ŜLF ^L D 1 = Ŝ1 D L+1. (28)
Dann ergibt sich die Matrix M ^_L direkt aus den Gleichungen (28): M ^L = X ^LX ^L–1...X ^1; X ^k = Ŝ–1k+l ŜkF ^k.(29)
Wir führen nun die normalisierten Vier-Komponenten-Eigenvektoren ψ ^s und die Eigenwerte λ_s ein, die in natürlicher Reihenfolge der Lösungen für die Gleichung nummeriert sind:
Die Matrix M ^_L ist nicht selbst-konjugiert aufgrund der Absorption in den Kristallen, und deshalb erfüllen ihre Eigenvektoren nicht die Bedingungen von Vollständigkeit und Orthogonalität, wodurch die Eigenwerte komplexe Werte sind. Die MEW-Technik, bei der diese Eigenwellen verwendet werden, ist wie in Gleichung (25) realisiert. Zuerst muss das Wellenfeld in der obersten Schicht der Grundperiode als eine lineare Überlagerung der Eigenvektoren mit Koeffizienten, die durch die Kontinuität des Vakuum-Wellenfeldvektors E = (1, 0, E_r, E_h) an der Probenfläche definiert sind, dargestellt werden:
Die Entwicklung des Wellenfelds durch N Perioden des Übergitters wird algebraisch berechnet:
Das Wellenfeld des Röntgenstrahls im Substrat ist definiert durch einen 4-Vektor D = (D sub / 1, D sub / 2, 0,0). Die Amplituden der Wellen, die an der unteren Grenzfläche des Substrats reflektiert werden, werden als Null angenommen aufgrund des Abschwächens der Wellenfelder in der dicken Probe: E_r und E_h definieren die Amplituden der reflektierten und gebeugten Wellen im Vakuum [8].
Die Bedingungen der Kontinuität an der Grenzfläche zwischen Übergitter und Substrat müssen an dem 4-Vektor D (N) / L angewandt werden, wodurch die Wellenfeldamplitude in der untersten Schicht des Stapels bestimmt wird (5): D (N)L = F ^–1L Ŝ–1L Ŝ1 D (N+1)1 ; Ŝsub D = ŜLF ^L D (N)L . (33)
Als Ergebnis kann das Gleichungssystem für 8 unbekannte Werte (E_r, E_h, A_S, D sub / 1,2) geschrieben werden als:
Die Orthogonalitätsbedingung für Eigenvektoren (30) kann nicht für die Lösung dieser Gleichungen verwendet werden (siehe Diskussion nach Gleichung (30)). Dieses System kann jedoch in allgemeiner Form gelöst werden, wenn vier Komponenten von vier Eigenvektoren als (4x4) Matrix betrachtet werden: ψsi → (ψ ^)si .
Dann können die Werte A_S aus den Gleichungen (34) ausgeschlossen werden mittels der umgekehrten Matrix ψ ^^–1:
Um die exponentiell steigenden Terme zu vermeiden, kann die normalisierte Matrix definiert werden
und Gleichung (35) ist dann in folgender Form geschrieben:
und der exponentiell steigende Wert (λ₁)^–N ist in dem Ausdruck für die Amplitude E_h gelöscht:
Somit werden die folgenden Probleme der Röntgenbeugungssimulation auf der Basis von MEW gelöst: (i) die Berechnungszeit hängt nicht mehr von der Wiederholungsperiode N ab, (ii) der numerische Algorithmus funktioniert nur mit endlichen Werten. 6 zeigt das Spektrum für das Übergitter mit kristallinen Schichten (Ge/Si/Si_0,8Ge_0,2)₁₀₀ mit den jeweiligen Dicken (30/20/10) nm auf dem Si-Substrat. Die Kurve wurde sowohl durch das rekursive Verfahren [8] als auch durch MEW simuliert. Offensichtlich kann man die Ergebnisse nicht unterscheiden, da beide Verfahren exakt sind. MEW reduziert jedoch drastisch die Berechnungszeit t_M im Vergleich mit der Zeit t_R, die für das rekursive Verfahren erforderlich ist, insbesondere für mehrperiodische Übergitter (Einfügung in 6). Das Verfahren der Eigenwellen erlaubt das natürliche Einführen einer wichtigen, integralen Eigenschaft von Übergittern, nämlich die mittlere quadratische Schwankung σ_L der Grundperiode. Die Schwankungen entstehen normalerweise durch Störungen der Grenzflächen oder/und durch statistische Schwankungen der Probenwachstumsbedingungen (Temperatur etc.). Ähnlich zu dem Reflektionsfall (22) berücksichtigt MEW Periodenschwankungen durch den Debye-Waller-Faktor in nicht diagonalen Elementen der gemittelten Übergangsmatrix <M ^_L>:
mit den Lösungen u i / n der Gleichung (25).
Die Periodenschwankungen resultieren in dem Dämpfungseffekt für SL-Spitzen gleichermaßen wie in Abschnitt III für die Reflektometrie beschrieben wurde. Darüberhinaus hängt der Intensitäts-Dämpfungsfaktor von SL-Spitzen in beträchtlichem Maße von der harmonischen Ordnung der Spitzen ab. Das Einführen dieses Parameters verbessert die Anpassgenauigkeit der experimentellen Daten durch die Theorie. Die alternativen Verfahren zum Berechnen von Röntgenbeugung sind nicht angepasst für eine solche Parameterisierung [8]. 7 zeigt den Effekt der SL-Periodenschwankungen auf die simulierte theoretische Intensität für das in 6 verwendete Übergitter. Die durchgezogene Linie und Punkte entsprechen den Werten σ_L = 0 bzw. σ_L = 1 nm. Die Kurve in 7 ist das Ergebnis der Faltung von simulierter Intensität und instrumentellen Funktion des Detektors, welche die schnellen Schwingungen des ersteren glättet. Die Schwankungen der Übergitterperiode ergeben eine uneinheitliche Intensitätsunterdrückung für SL-Spitzen von unterschiedlicher Ordnung. Dieser Effekt zeigt die Analogie zwischen der Wieder-Normalisierung der nicht diagonalen Elemente der Transfermatrix bei MEW und dem Einführen des Debye-Waller-Faktors für kristallographische Einheitszellen für die Berechnung der Röntgen-Polarisierbarkeit.
V. Schlussfolgerungen
Das effektive Verfahren zum Simulieren der Röntgenintensität, die von den periodischen Übergittern gestreut wird, wird beschrieben. Der wesentliche Vorteil der vorgeschlagenen Technik ist die Unabhängigkeit der Berechnungszeit von der gesamten Anzahl an Wiederholungsperioden von SL. Dadurch kann das Verfahren zum Anpassen der Probenparameter (Versuch-und-Fehlschlag-Verfahren), das für experimentelle Datenbehandlung in moderner Nanotechnologie verwendet wird, beschleunigt werden. Das Verfahren liefert auch den analytischen Ausdruck für Wellenfelder in allen Schichten der Mehrschicht-Struktur ohne die rekursiven Gleichungen zu lösen. Dies ist dann wesentlich, wenn Wellenfelder zum Berechnen von Matrixelementen des Störoperators verwendet werden. Diese Wellenfelder können z.B. zum Simulieren von diffus gestreuter Röntgenintensität mittels Näherung mit verzerrten Wellen nach Born [1] verwendet werden oder zum Berechnen von Röntgenstrahlungsspektren von Elektronen [7].
VI. Danksagung
Diese Arbeit wurde von Bruker AXS GmbH und dem International Science and Technology Center unterstützt (Bewilligung B-626).

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Claims

Verfahren zum Simulieren und/oder Anpassen von Röntgen-Streumustern mit Röntgenreflektion und Röntgenbeugung von Mehrfachschichten mit N sich wiederholenden Grundperioden eines Übergitters mit einer Anzahl L von Einzelschichten in jeder Grundperiode, an ein Substrat mit Röntgendetektion von experimentellen Röntgenmustern und Vergleich der detektierten Muster mit berechneten Mustern, wobei das Verfahren die folgenden Schritte aufweist: a) Einführen der Streumatrix (SM) einer Grundperiode des Übergitters, wobei die Streumatrix aus dem Produkt der Streumatrizen der Einzelschichten innerhalb der Grundperiode besteht; b) Konstruktion von Übergitter-Eigenwellen mittels Diagonalisierung der Streumatrix; c) Verwenden der Übergitter-Eigenwellen, um eine analytische Darstellung des Wellenfelds und eine Lösung des Randwertproblems für die endliche Anzahl N von Grundperioden des Übergitters zu erhalten; d) Berechnen der Intensitätsverteilung der Streumuster durch eine analytische Formel auf der Basis von Schritt c).
Verfahren nach Anspruch 1, gekennzeichnet dadurch, dass in Schritt c) die analytische Darstellung des Wellenfelds berechnet wird durch
wobei
wobei E 0 / i die einfallenden und Streufelder im Vakuum sind, wobei Ŝ₀, Ŝ₁ Streumatrizen sind, die die Transformation des Wellenfelds, das die Grenzfläche durchläuft, beschreiben, Ŝ₀ entspricht der Grenzfläche zwischen dem Vakuum und der ersten Schicht und Ŝ₁ entspricht der Grenzfläche zwischen der ersten Schicht und der zweiten Schicht, wobei λ_s Eigenwerte der Transfermatrix M ^ sind, welche die Transformation des Wellenfelds beschreibt, welches eine einzelne Grundperiode des Übergitters durchläuft, und Ψ s / i sind Eigenwellen der Transfermatrix M ^, mit M ^Ψ s / i = λ_s Ψ s / i; mit s, i = 1...p, mit p = 2 für Röntgenreflektion und p = 4 für Röntgenbeugung, und wobei E N / i Komponenten des Wellenfelds nach Durchlaufen von N Perioden des Übergitters sind, wobei λ₁ der maximale Eigenwert von λ_s ist.
Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass in Schritt d) die Intensitätsverteilung für die Beugung berechnet wird durch
wobei I_diff die Intensität der gestreuten Strahlung im Vakuum für Röntgenbeugung ist, und die Intensitätsverteilung für die Reflektion berechnet wird durch
wobei I_spec die Intensität der gestreuten Strahlung im Vakuum für Röntgenreflektion ist, wobei Z ^ = Ŝ –1 / 0Ŝ₁Q ^Ŝ –1 / 1Ŝ_sub, wobei Ŝ_sub die Streumatrix ist, die die Transformation des Wellenfelds beschreibt, das die Grenzfläche zwischen der untersten Schicht und dem Substrat durchläuft, wobei
wobei Ŝ₀, Ŝ₁ Streumatrizen sind, die die Transformation des Wellenfelds beschreiben, das die Grenzfläche durchläuft, Ŝ₀ entspricht der Grenzfläche zwischen Vakuum und erster Schicht und Ŝ₁ entspricht der Grenzfläche zwischen der ersten Schicht und der zweiten Schicht, wobei λ_s Eigenwerte der Transfermatrix M ^ sind, welche die Transformation des Wellenfelds beschreibt, welches eine einzelne Grundperiode des Übergitters durchläuft, und Ψ s / i sind Eigenwellen der Transfermatrix M ^, mit M ^Ψ s / i = λ_s Ψ s / i; mit s, i = 1...p, mit p = 2 für Röntgenreflektion und mit p = 4 für Röntgenbeugung, wobei λ₁ der maximale Eigenwert von λ_s. ist.
Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass ein Massendichtegradient über den Einzelschichten vorhanden ist, der durch eine endliche Anzahl von getrennten Unterschichten, die jeweils eine einheitliche Massendichte haben, angenähert wird.
Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Röntgen-Streumuster Röntgen-Beugungsmuster von einem Kristall-Übergitter mit kristallographischen Gitterverzerrungsgradienten oder Material-Kontaminationsgradienten in den Einzelschichten aufweist, die durch eine endliche Anzahl von getrennten Unterschichten, die jeweils eine einheitliche Gitterverzerrung oder Materialkontamination haben, angenähert werden.
Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Röntgen-Streumuster Röntgen-Beugungsmuster von einem Kristall-Übergitter bei einer stark asymmetrischen Beugungsgeometrie mit streifendem Einfall oder streifendem Austritt aufweist.
Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Einführen einer mittleren quadratischen Fluktuation der Übergitterperiode als zusätzlichen Parameter zum Anpassen der Übergittermaxima in dem Röntgen-Streumuster.
Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Einführen der analytischen Darstellung des Röntgen-Wellenfelds im Übergitter zur schnellen Simulation und Anpassung jeglicher Eigenschaften, die integrierte elektromagnetische Felder enthalten, wie diffuse Streuung.