DE602004007069T2

DE602004007069T2 - Modellgestütze prädiktive Regelung

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Publication number: DE602004007069T2
Application number: DE602004007069T
Authority: DE
Inventors: James W. Amston Fuller
Original assignee: United Technologies Corp
Current assignee: Raytheon Technologies Corp
Priority date: 2003-07-16
Filing date: 2004-07-14
Publication date: 2008-01-24
Anticipated expiration: 2024-07-15
Also published as: US7197485B2; JP2005038397A; US20050015421A1; EP1498791B1; JP4425046B2; EP1498791A1; DE602004007069D1

Description

HINTERGRUND DER ERFINDUNG
Die Erfindung betrifft Steuerungssysteme im Allgemeinen und insbesondere modellprädikative Steuerungssysteme im Besonderen.
Die modellprädikative Steuerungslogik weist zahlreiche Vorzüge bei der Steuerung praktischer Mehrgrößensysteme auf. Ein Mehrgrößensystem weist mehrere Ziele (auch als Kommandos bekannt) auf und verfügt über mehrere Effektoren, die die Dynamik des Systems zum Erreichen dieser Ziele verändern. Mehrgrößensysteme können auch eine signifikante Querkopplung aufweisen, bei der Schlüsseleffektoren jeweils mehrere Ziele signifikant herbeiführen. Daher sollte eine Steuerung für dieses System ebenfalls auf mehrere Größen ausgelegt sein, um das Ansprechverhalten zu entkoppeln. In einem entkoppelten System antwortet das Steuerungssystem durch Einstellen mehrerer Effektoren in einer Weise, dass dieses eine Ziel sich verändert, ohne dass sich die anderen Ziele signifikant verändern, wenn ein Ziel sich ändert. Darüber hinaus ist die System-Querkopplung oft dynamisch-zeitveränderlich, wobei manche Kopplung beständig, manche transitorisch, manche schnell, manche langsam ist, oder es kann zuerst in einer Richtung koppeln, dann umkehren und in der anderen Richtung koppeln. Daher sollte das Entkoppeln des Steuerungsalgorithmus auch dynamisch sein, sich in der Zeit entwickeln, um gegen die sich verändernde Natur der Kopplung gegenzusteuern. Über die Entkopplung hinaus muss die Mehrgrößen-Steuerungslogik auch die herkömmlichen Rückkopplungseigenschaften des Reduzierens des Effektes von Änderungen in der Systemdynamik und der Wirkung von Störungen vorsehen, all dies, während sichergestellt wird, dass das System stabil, sicher und beständig bleibt.
Es gibt eine umfangreiche Steuerungstheorie, etwas davon hat man in die Praxis umgesetzt, was die Konstruktion von Rückkopplungs-Steuerungslogik für gekoppelte Mehrgrößensysteme unterstützt. Der größte Teil dieser Theorie setzt voraus, dass das zu steuernde System bezüglich irgendwelcher System variablen oder Effektoren keine Ungleichungs-Nebenbedingungen aufweist, hier als "Beschränkungen" bezeichnet. Dies ist eine sehr signifikante Fehlanpassung zwischen Theorie und Praxis. Reale und praktische Systeme weisen substantielle und signifikante Beschränkungen auf. Einige Beschränkungen sind physikalisch, so wie etwa Effektor-Bereiche, und manche sind betriebsbezogen, um Stabilität, Sicherheit und Beständigkeit sicherzustellen. In Wirklichkeit ist das System überdimensioniert worden, wenn keine Beschränkungen berührt werden. Diese Fehlanpassung hat zu großen Schwierigkeiten und ad-hoc-Verfahren bei der Konstruktion von Steuerungsgesetzen geführt, einschließlich des Aufspaltens der Logik in zahlreiche Betriebsarten, wobei es einen separaten Steuerungsmodus gibt, um jede Permutation von Beschränkungen oder Fehlerbedingungen abzudecken, und noch mehr ad-hoc-Logik, um das Umschalten zwischen separat konstruierten dynamischen Betribsarten dynamisch zu steuern. Das Koordinieren dieser Betriebsarten und das Sicherstellen, dass es keine nachteiligen dynamischen Interaktionen zwischen Betribsarten (z. B. wiederholtes Hin- und Herspringen zwischen zwei Betriebsarten, plötzliche Sprünge, etc.) gibt, erfordert ein signifikantes Maß zusätzlicher ad-hoc-Logik. Ad-hoc-Konstruktion bewirkt, daß die Steuerungssoftware schwierig zu konstruieren und schwierig zu warten ist und vermindert stark den Grad, in welchem die Software auf einem ähnlichen System wiederverwendet werden kann.
Die modellprädikative Steuerung (MPC) ist eine Mehrgrößen-Steuerungstheorie, die explizit Beschränkungen einschließt und daher eine gute Anpassung an praktische Systeme liefert. MPC kann auch konfiguriert werden, um in Echtzeit auf Änderungen, wie etwa Aktuatorenausfälle, in dem System zu reagieren. Daher stellt die MPC ein formales Verfahren zur Konstruktion von Steuerungsalgorithmen für Mehrgrößensysteme bereit, die auch Antworten soweit als physikalisch möglich entkoppeln, sogar wenn Beschränkungen erreicht werden und Fehler auftreten. Bei der MPC-Konstruktion gibt es keine Notwendigkeit für ad-hoc-Konstruktion zusätzlicher Steuerungsbetriebsarten, um mit Beschränkungsbedingungen und Fehlern umzugehen. Es wird erwartet, dass dies signifikante Verbesserungen bei der Produktivität der Konstruktion von Steuerungssoftware verfügbar macht, es erleichtert, Upgrades vorzunehmen und im Übrigen Steuerungssoftware zu warten, und es für das Steuerungssystem möglich macht, schwierigere Aufgaben zu bewältigen. Letzteres beinhaltet mehr auto nome Operationen, mehr vollständig integrierte Systemantworten, und einen Betrieb mit verminderten physikalischen Beanspruchungen.
Die signifikanteste Hürde beim Implementieren modellprädikativer Steuerungen ist das benötigte Maß an Rechenleistung. Dies ist der Grund dafür, warum die anfängliche Praxis der MPC, die 20 bis 30 Jahre zuvor in der chemischen Industrie begann, sich auf Systeme mit einer relativ langsamen Dynamik bezog. Eine Steuerung für eine chemische Fabrik aktualisiert Aktuatoreinstellungen in der Größenordnung von einmal pro 5 Minuten. Diese frühen Anwendungen beanspruchten die Computerleistung, die zu dieser Zeit verfügbar war. In einer Gasturbine muss die Aktualisierungsrate ungefähr 40 Mal pro Sekunde sein, ein ungefähr 12.000-facher Unterschied, und die Steuerungsfunktion kann komplizierter sein. Selbst dann kann MPC für Maschinen und andere Fahrzeuganwendungen praktikabel sein, da nunmehr Computer verfügbar sind, die 500 bis 1.000 Mal schneller sind. Dies lässt, abhängig von der Systemkomplexität, immer noch eine 10 bis 30-fache Lücke zwischen der Rechenleistung, die MPC zu erfordern scheint, und der verfügbaren Computerleistung übrig. Diese Erfindung ist kritisch, da sie die Lücke schließende numerische Techniken zum Vermindern der Rechenlast der modellprädikativen Steuerung um das 20 bis 100-fache bereitstellt.
Modellprädikative Steuerung
Die Theorie der modellprädikativen Steuerung ist vor allem in der chemischen Industrie in die Praxis umgesetzt worden. Um dies zu belegen, ist die Theorie der modellprädikativen Steuerung in zahlreichen technischen Papieren und Textbüchern beschrieben worden. Sie wird hier zusammengefasst. Das Hauptziel dieser Zusammenfassung besteht darin, zu zeigen, dass das Implementieren von MPC ein großes Maß an Hardware-Rechenleistung erfordert und dass ungefähr 90% dieser Rechenleistung die numerische Lösung einer großen Matrixgleichung in Echtzeit beinhaltet. Dieser Abschnitt zeigt, dass die Matrixgleichung eine besonders dünn besiedelte, bandförmige symmetrische Struktur aufweist, wenn die Optimalitätsgleichungen und Variablen in einer bestimmten Weise geordnet sind. Diese Eigenschaften implizieren, dass die Matrix zahlrei che Nullen umfasst; die von Null verschiedenen Einträge sind nahe der Diagonalen versammelt, und eine Matrix-"Quadratwurzel" existiert. Diese spezielle Form wird in diesem Abschnitt hergeleitet und als Glichung mit einer großen, dünn besiedelten Matrix (LSME) bezeichnet. Das Quadratwurzelverfahren nutzt diese Struktur in einer neuen Weise aus, um den Rechenaufwand ganz erheblich zu reduzieren.
Bei der modellprädikativen Steuerung werden Aktuatorenkommandos in Echtzeit u als das Resultat der Lösung eines Optimierungsproblems berechnet. Modellprädikative Steuerung ist ein Typ einer digitalen Steuerung. Digitale Steuerungen basieren auf einem Computer, der periodisch Operatorkommandos und gemessene Antworten abtastet. Als eine Folge jedes Abtastwertes spezifiziert die digitale Steuerung neue Aktuatoreinstellungen, was als eine Steuerungsaktualisierung bezeichnet wird. Diese Einstellungen werden meistens bis zur nächsten Aktualisierung aufrecht erhalten. Die MPC spezifiziert diese Einstellungen als den ersten Punkt einer Aktuatortrajektorie. Die Trajektorie spezifiziert u(n) für Steuerungsaktualisierungszeiten, die mit einer ganzen Zahl n numeriert sind, wobei n von L bis N + L – 1 läuft. Das heißt, für N Zeitpunkte. Die gegenwärtige Abtastzeit ist mit L numeriert. Diese Aktuatortrajektorie wird als diejenige eindeutige Trajektorie bestimmt, die den Regelgüte-Index PI minimiert, wobei gilt:
und wobei die Summation über die N zukünftigen Zeitpunkte stattfindet. x_n ist ein Vektor der Zustände eines Systemdynamik-Modells, und u_n sind die Aktuatorenkommandos bei jedem der N Zeitpunkte. Die Matrizen C und D sind Koeffizienten von linearisierten Ausgabegleichungen, die Systemausgänge, für die es Ziele gibt, mit dynamischen Modellzuständen und Aktuatoreinstellungen in Beziehung setzen. Q und R sind untere Dreiecks-Gewichtungsmatrizen, und die Vektoren f und g sind Treiberterme, die Funktionen einer gewünschten Trajektorie für den Systemausgang sind, gewünschte oder nominale Aktuatorenwerte, und Gewichtungsmatrizen Q und R. Die untere Dreiecksmatrix M ist eine Endpunkt-Gewichtungs-Matrix und kann aus einer Reihe von steuerungstheoretischen Gründen vorhanden sein.
Das nominale System und daher die Optimierung muss dem Zustandsdynamikmodell des Systems gehorchen: xn+1 = An·xn + Bn·un + bn deren Optimierungsprozeduren Gleichheitsbeschränkungen bezeichnen. Die Optimierung muss ebenso den mit den beschränkten Variablen yc(n) = Ccn·xn + Dcn·un + an ≤ Yn verknüpften Betriebsbeschränkungen für die N Zeitpunkte gehorchen. Die erste Gleichheit repräsentiert ein Modell davon, wie die beschränkten Variablen mit dem Zustandsdynamikmodell verknüpft sind. Die explizite Hereinnahme der Grenzgleichung in die Theorie und in die daraus resultierende Logik-Konstruktion ist ein Schlüsselvorteil der MPC.
Ein MPC-Konstrukteur spezifiziert den Steuerungsalgorithmus durch Bestimmen des Modells der Zustandsdynamik, des Schrankenmodells und des Regelgüte-Index. Die Konstruktion des Regelgüte-Index beinhaltet das Auswählen der Variablen, die in den Ausgabevektor y aufzunehmen sind, und das Auswählen der Gewichtungsmatrizen Q, R und M. Der Konstrukteur der Steuerungssoftware muss auch wiederverwendbare Software zum Lösen der Optimierungsprobleme in Echtzeit liefern.
Das obenstehende Optimierungsproblem ist ein Problem der quadratischen Programmierung: ein spezieller Typ von mit Randbedingungen versehener mathematischer Optimierung. Quadratische Programmierung ist sehr viel zuverlässiger als eine mit Schranken versehene Allzweckoptimierung, und die damit verknüpften Restriktionen sind mild. Die zwei Hauptverfahren zum Lösen von Problemen der quadratischen Programmierung (QP) auf einem Computer sind das Active Set-Verfahren (AS) und das Interior Point-Verfahren (IP). Die untenstehend beschriebene Erfindung wird das Maß der für beide Verfahren notwendigen Rechenleistung signifikant reduzieren.
Beim Betrieb der MPC ist der Zustandsvektor zu der gegenwärtigen Abtastzeit x_L gegeben. Er ist eine Funktion von Messungen der Systemantwort bis zu der Steuerungs-Aktualisierungszeit L. Daher ist die MPC-Steuerung eine Regelung. Der Nettoausgang der obigen Optimierung ist der Vektor u_L, der erste Zeitpunkt in der u-Trajektorie, der das Aktuatorkommando für die L-te Aktualisierung der MPC-Steuerung ist.
Dieselbe MPC-Optimierung muss mit in der Zeit verschobenen Variablen ausgeführt werden, um das nächste Aktuatorkommando u_L+1 zu bestimmen. Die MPC-Optimierung muss für jede Steuerungs-Aktualisierungsperiode neu gelöst werden. Die nächsten drei Abschnitte fassen zusammen, wie der vorstehende Typ von Optimierung üblicherweise analytisch gelöst wird.
Adjungierte Verfahren zum Absorbieren von Randbedingungen in J
Bei dem herkömmlichen Lösungsverfahren für die optimale Regelung werden die Gleichheitsbeschränkungen (das Zustandsdynamik-Modell) dem Regelgüte-Index mit Lagrange-Multiplikatoren pn hinzugefügt, und die Ungleichheitsbeschränkungen (das Modell der Systemvariablen im Hinblick auf ihre physikalischen Beschränkungen) werden mit Multiplikatoren mit hinzugefügt, um den erweiterten Regelgüteindex wie folgt zu erhalten:
und für die Endpunkt-Gewichtung gilt P_N = M^T _NM_N.
Bei dem Lagrange-Verfahren sind die hinzugefügten Randbedingungsterme so formuliert, dass die Randbedingungen erfüllt sind, wenn der angereicherte Regelgüteindex so optimiert ist, als ob es keine Randbedingungen gäbe. Die hinzugefügten Terme weisen auch Nullwerte beim Optimum auf. Daher ändert das Hinzufügen der Randbedingungen nicht den Wert des Optimums J. Hinsichtlich der Ungleichheitsbeschränkungen erfordert das Adjungierten-Verfahren auch, dass für jede Grenze zu jeder Zeit n entweder der entsprechende Wert m = 0 ist oder dass die Ungleichheits-Beschränkung an ihrer Grenze ist.
Karush-Kuhn-Tucker (KKT)-Bedingungen
Ein Satz von algebraischen Gleichungen, deren Gleichung die optimale Systemtrajektorie spezifiziert, ist als die (KKT)-Bedingungen bekannt. Für die vorstehende MPC-Optimierung ist es bekannt, dass die Lösung die folgenden KKT-Bedingungen für jede Regelungs-Aktualisierung zwischen der Zeit L und der Zeit N + L – 1 beinhaltet:
die geteilten Randbedingungen:
x_L = xfeedback und P_N+L = M^T _N+LM_N+LX_N+L
und die zusätzlichen Bedingungen, dass alle t-Werte und m-Werte größer als Null sein müssen. Wenn diese Gleichungen gelöst sind, werden die Aktuatorkommandos u(n), die Teil der Lösung sind, als Eingaben in das Zustandsgleichungsmodell der Systemdynamik verwendet, um den Regelungsgüte-Index zu minimieren, während die Grenzbedingungen erfüllt sind.
Allgemeine Gleichung für große, dünn besiedelte [Sparse]-Matrizen für die quadratische Programmierung
Die KKT-Bedingungen für die N Zeitpunkte können in die folgende Matrixgleichung für große Sparse-Matrizen (LSME) zusammengefasst werden. Diese muss wiederholt gelöst werden, wenn das Problem der quadratischen Programmierung der MPC unter Verwendung entweder des Interior Point (IP)- oder Active Set (AS)-Verfahrens gelöst wird. Die LSME weist folgende Form auf:
wobei z ein Vektor ist, der den Zustand x, die Regelung u, und die adjungierte Variable p der Zustandsgleichung für jeden Zeitpunkt, gruppiert nach der Zeit, enthält. m ist die adjungierte Variable für die Ungleichheitsbedingungen, gruppiert nach der Zeit. f und K sind Vektoren. H und J sind Bandmatrizen, wobei gilt
T ist eine Diagonalmatrix, und die Matrizen sind für die Steuerungsaktualisierung zum Zeitpunkt L = 0 dargestellt. Die Matrix H ist darüberhinaus symmetrisch, was impliziert, dass es eine Quadratwurzelmatrix H gibt, dergestalt, dass Hr'·Hr = H. Die LSME weist dieselbe Form zu anderen Zeitpunkten auf, aber mit unterschiedlichen Parameterwerten. Die LSME ist beiden der hauptsächlichen Lösungsprogramme für quadratische Programme gemeinsam, außer dass der Wert von T und der Vektor der rechten Seite (RHS) von dem verwendeten Lösungsprogramm für das quadratische Programm abhängen. Bei jedem Verfahren muss die LSME wiederholt gelöst werden (10 bis mehrere hundert Male, abhängig von der Komplexität des Systems) für jede Regler-Aktualisierung.
Diese Form der LSME ist neu und besonders. Sie wird erzielt durch Ordnen der Optimalitäts-Gleichungen (Zeilen der LSME) und der Variablen in z auf eine besondere Weise. Dann ist die resultierende LSME-Matrix dünn besiedelt, bandförmig und symmetrisch.
Das Interior Point-Verfahren
Bei dem Interior Point-Verfahren zum Lösen quadratischer Programme ist T diagonal. Jedes Element ist die Quadratwurzel des Produktes der entsprechenden Schlupfvariablen t und der adjungierten Variable m für jeden Zeitpunkt. J ist eine dünn besiedelte Bandmatrix und beinhaltet alle Begrenzungsgleichungen. Für die populärste Familie von Interior Point-Verfahren variieren T und der Vektor der rechten Seite zwei Mal bei jeder Iteration. Der Vektor der rechten Seite wird aus der Lösung der vorhergehenden Iteration bestimmt. H und J bleiben für die Iterationen bei derselben Regler-Aktualisierungsperiode konstant. Die Lösung für die optimalen Aktuator-Einstellungen wird 10 bis mehrere hundert Iterationen erfordern, abhängig von der Komplexität des Problemes. Für weitere Erläuterungen siehe Ref. 1, insbesondere deren Fall, bei dem die Schlupfvariable eliminiert worden ist.
Das Active Set-Verfahren
Das Active Set-Verfahren sucht nach Beschränkungen, die aktiv sind. Lediglich einige der Ungleichheits-Beschränkungen Jc·z <= Ymax werden aktiv sein. Jede Iteration eines Active Set qp Lösers „rät", welche der Beschränkungen aktiv sind. Nehmen wir an, dass der Vektor „aktiv" die Indizes der aktiven Beschränkungen enthält. Die Ungleichungen werden Gleichungen, wenn sie aktiv sind, und Jc(active,:)·z = Ymax(active) und das System läuft auf den aktiven Grenzen. Verglichen mit LSME, J = Jx(active,:), K = Ymax(active) und T = 0. In einer gegebenen Steuerungs-Aktualisierungsperiode werden eine Anzahl von Iterationen von „aktiv" in einer Suche für den korrekten Active Set evaluiert. Die Suchstrategie bestimmt eine neue Iteration von „aktiv" basierend auf den Resultaten der Lösung der vorhergehenden Iteration der LSME. H bleibt für die Iterationen bei einer gegebenen Regler-Aktualisierung konstant.
Die Schlüsselbeobachtung hier besteht darin, dass eine bestimmte Form der LSME mehrmals gelöst werden muss, um das quadratische Programm der MPC für jede Steuerungsaktualisierung zu lösen, ob Interior Point oder Active Set Löser verwendet wird. Bei Steuerungen in der Praxis wird die LSME 10 bis 100 Mal pro Steuerungsaktualisierung gelöst, abhängig von N und anderen Faktoren.
WO 01/79945 beschreibt ein auf einem rigorosen nichtlinearen Prozessmodell basierendes System und eine Methologie für eine adaptive Linearmodell-Vorhersagesteuerung.
US 5654907 beschreibt ein Verfahren für eine schnelle Kalman-Filterung in großen dynamischen Systemen.

Rothberg E., et al: „Techniques for improving the performance of sparse matrix factorisation an multiprocessor workstations". Proceedings of the supercomputing converence. New York, 12.-16. November 1990, Washington, IEEE comp. Soc. Press, US, Bd. Conf. 3, 12. November 1990 (1990-11-12), Seiten 232-241, XP010019944 ISBN: 0-8186-2056-0, beschreibt Techniken zum Verbessern der Durchführung der Faktorisierung dünn besiedelter Matrizen auf Multiprozessor-Workstations.
Driscoll T. A., et al: „Computational efficiency of a functional expansion algorithm for linear quadratic optimal control", Proceedings of the conference an decision and control. Tucson, 16. Dezember, Bd. 3, Conf. 31, 16. Dezember 1992 (1992-12-16), Seiten 143-144, XP010108119, ISBN: 0-7803-0872-7 beschreibt die Berechnungseffizienz eines funktionalen Expansions-Algorithmus für lineare quadratische Optimalregelung.

DIE ERFINDUNG IN KÜRZE
Gemäß einem ersten Aspekt der vorliegenden Erfindung wird ein Verfahren zum Steuern eines modellprädikativen Steuerungssystems vorgesehen, wie es in Anspruch 1 beansprucht ist.
Gemäß einem zweiten Aspekt der vorliegenden Erfindung wird ein System zur modellprädikativen Steuerung vorgesehen, wie es in Anspruch 17 beansprucht ist.
Der hier beschriebene neue Algorithmus ist gegenüber diesem Stand der Technik durch Vorsehen eines Quadratwurzelverfahrens zum Faktorisieren der Matrixgleichung mit einer großen dünn besiedelten Matrix verbessert. Das Lösen von Matrixgleichungen wie etwa der LSME beinhaltet zuerst das Faktorisieren der Matrix in das Produkt einer oberen Dreiecksmatrix oder mehrerer Diagonalmatrizen und einer unteren Dreiecksmatrix (oder umgekehrt), und danach das Lösen leichterer Matrixgleichungen, von denen zwei Dreiecksmatrizen und der Rest Diagonalmatrizen beinhalten.
Neben anderen, mit mehr Einzelheiten untenstehend beschriebenen neuen Merkmalen verwendet die Erfindung ein neues Verfahren zum direkten Bilden von LSMroot ohne die Notwendigkeit, jemals die große dünn besiedelte Matrix selbst zu bilden. Die vorliegende Erfindung verwendet ebenso ein neues Verfahren zum Bildenvon Hr direkt einmal pro Steuerungsaktualisierung ohne eine Notwendigkeit, zuerst H zu bilden, und verwendet Hr durch die Lösung des quadratischen Programms hindurch.
Diese und weitere neue Merkmale der vorliegenden Erfindung vermindern die Rechenlast der modellprädikativen Steuerung um den Faktor 10 bis 30. Diese Verminderung der Rechenlast macht den Gebrauch modellprädikativer Steuerungen für kompliziertere Systeme mit sehr viel schnellerer Dynamik praktikabel, wie etwa einer Gasturbine.
KURZE BESCHREIBUNG DER ZEICHNUNGEN
Weitere Vorzüge der vorliegenden Erfindung können durch Bezugnahme auf die folgende detaillierte Beschreibung verstanden werden, wenn diese im Zusammenhang mit den beigefügten Zeichnungen erörtert wird, wobei
1 eine schematische Darstellung eines modellprädikativen Steuerungssystems gemäß der vorliegenden Erfindung ist.
2 ein Flussdiagramm des durch das System aus 1 genutzten erfindungsgemäßen Verfahrens ist.
DETAILLIERTE BESCHREIBUNG EINER BEVORZUGTEN AUSFÜHRUNGSFORM
Der Algorithmus der vorliegenden Erfindung liefert ein Quadratwurzel-Verfahren zum Faktorisieren der großen Sparse-Matrixgleichung. Das Lösen von Matrixgleichungen wie der LSME beinhaltet zuerst das Faktorisieren der Matrix in das Produkt einer oberen Dreiecksmatrix, einer oder mehrerer Diagonalmatrizen und einer unteren Dreiecksmatrix (oder umgekehrt), und danach das Lösen einfacherer Matrixgleichungen, von denen zwei Dreiecksmatrizen beinhalten und der Rest Diagonalmatrizen. Für die erwarteten MPC-Problemgrößen ist die Faktorisierung um eine oder zwei Größenordnungen komplexer als die Lösung der Diagonal- und beider Dreiecksmatrizengleichungen zusammengenommen. Diese Erfindung ist ein Algorithmus zum wesentlichen schnelleren Ausführen dieser Faktorisierung.
Auf der höchsten Ebene der Beschreibung erzielt dieser Algorithmus eine große numerische Effizienz durch:

1. Ordnen der Gleichungen und Variablen, um eine symmetrische bandförmige LSME zu erhalten.
2. Erkennen, dass diese LSME für jede Steuerungs-Aktualisierung vielfach gelöst werden muss.
3. Erkennen, dass die LSME Matrix eine komplexe Quadratwurzelmatrix aufweist, LSMc dergestalt, dass LSM = LSMc'·LSMc und LSMc eine untere Dreiecksmatrix ist, weil diese symmetrisch ist.
4. Generalisieren dieses Konzeptes einer Quadratwurzelmatrix, um (aus Gründen der Berechnungseffektivität) ausschließlich reelle Zahlen zu verwenden, so dass LSM = LSMroot'·S·LSMroot, wobei S eine kon stante Diagonale mit ausschließlich 1 oder -1-Einträgen entlang der Diagonalen ist, und LSMroot eine untere Dreiecksmatrix ist.
5. Verwendung eines neuen Verfahrens, um LSMroot direkt zu bilden, ohne die Notwendigkeit, jemals LSM zu bilden.
6. Erkennen, dass die Matrix H während der Lösung des quadratischen Programmes konstant bleibt und dass sie eine Quadratwurzel Hr aufweist, während einer gegebenen Steuerungs-Aktualisierung.
7. Verwendung eines neuen Verfahrens zum direkten Bilden von Hr ohne die Notwendigkeit, H zu bilden. Dies beinhaltet eine Sequenz kleinerer wohlbekannter QR-Faktorisierungen.
8. Verwenden eines neuen Verfahrens zum Bilden von LSMroot für jede Iteration des Lösers des quadratischen Programmes durch Lösen einer von zwei generalisierten QR-Faktorisierungen, von denen jede Hr wiederverwendet.
9. Neue Algorithmen zum Ausführen der verallgemeinerten QR-Faktorisierung.
10. Verwenden von Standardverfahren zum Vollenden der Lösung der LSME, sobald die LSM in die Form von Schritt 4 faktorisiert worden ist.

Diese Schritte verkörpern zwei neue Schlüsseleinrichtungen für die effiziente Faktorisierung der LSME. Die erste ist die effiziente Faktorisierung der Untermatrix H, die lediglich einmal pro Steuerungsaktualisierung ausgeführt werden muss (Schritte 1, 6 und 7). Die zweite ist die Wiederverwendung der Faktorisierung von H, um schneller die gesamten LSME zu faktorisieren (Schritte 8 und 9), welches 10 bis 200 Mal pro Steuerungs-Aktualisierung erfolgen muss (einmal oder zweimal pro QP-Iteration), in Abhängigkeit von dem QP-Verfahren und der Größe des Problemes.
Einmal pro Steuerungs-Aktualisierung: H faktorisieren
Gebe die Submatrizen von H und J: A, B, C, D, Q^½, R^½ und Cc sowie Dc ein, welche das MPC Problem für diese Steuerungs-Aktualisierung beschreiben. Faktorisiere H wie folgt.
Schritt I: Berechne die N separaten und kleineren QR-Faktorisierungen unter Verwendung eines Standard-QR-Faktorisierungsalgorithmus
Beginne mit n = N und arbeite rückwärts in der Zeit auf N – 1, N – 2, ..., 1 zu. Die linke Matrix ist die Eingabe für die Faktorisierung, die rechte Seite ist das Resultat. Bei den Standardverfahren ist es optional, ob die orthogonale Matrix, Ortho, erzeugt wird. Sie wird hier nicht benötigt. Die Matrizen A, B, C, D, Q^½ und R^½ werden der Zeit voraus spezifiziert, wie es M_N ist. Die erste QR-Faktorisierung bestimmt dann M_N-1, welche eine Eingabe der zweiten Faktorisierung für die Zeit N – 1 ist, und so weiter. Daher können alle N zeitlich rückwärts rekursiv ausgeführt werden. Diese rekursive Sequenz von QR-Faktorisierungen und ihr Wert beim Lösen des von Beschränkungen freien MPC-Problems (wenn J und K gleich 0 sind), sind aus Lehrbüchern über Steuerungstheorie bekannt. Ihr Gebrauch beim Faktorisieren von H (Schritt 2) ist neu. So verhält es sich auch mit der Wiederverwendung der faktorisierten H in einer Art und Weise, die es erlaubt, dass H lediglich einmal pro Steuerungs-Aktualisierung faktorisiert wird (Schritte 3, 4 und 5).
Schritt 2: Bilde Matrizen L und W, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und W blockdiagonal ist, wie folgt. Ebenso bilde und speichere die Diagonalelemente der Matrix S, deren Einträge gleich 1 sind mit Ausnahme für Spalten entsprechend den adjungierten Variablen, p, im Vektor z, bei dem die Einträge –1 betragen.
Standardverfahren für eine effiziente Matrixberechnung würden die gleiche Information in L, S und W in einer kompakteren Art und Weise speichern. Die Form einer dünn besetzten Matrix wird hier verwendet, um das Verständnis zu erleichtern.
Es besteht in diesem Algorithmus keine Notwendigkeit, H zu bestimmen. Wenn jedoch H gewünscht ist, kann sie berechnet werden nach: H = Hr'·S·Hr, wobei Hr = LW-T. (4)
Um Rechenaufwand zu sparen, wird auch Hr nicht explizit gebildet. Stattdessen werden L, S und W separat verwendet.
Jede Iteration des quadratischen Programm-Lösers: faktoriere und löse eine LSME
Gebe die Parameter T, K und f aus dem QP-Löser-Suchverfahren ein, die die nächste LSME beschreiben, welche zu lösen ist. Im Allgemeinen beinhaltet das Lösen quadratischer Programme eine strukturierte iterative Suche nach der Lösung. Das Suchverfahren und die zur Spezifizierung der LSME verwendeten Pa rameter sind unterschiedlich für AS und IP. Demgemäß unterscheiden sich die verbleibenden Schritte des Quadratwurzelalgorithmus für das IP- bzw. AS-Verfahren.
Schritt 3 (IP): Führe die folgende verallgemeinerte QR-Faktorisierung unter Verwendung des in dem nächsten Abschnitt beschriebenen verallgemeinerten QR-Algorithmus aus.
Die Matrix in eckigen Klammern auf der linken Seite stellt die Eingabe dar; die anderen Matrizen sind die Ausgabe. U muss hierbei nicht berechnet werden. P ist eine untere Dreiecksmatrix. Da T diagonal ist und J und L Bandmatrizen sind, wird P ebenfalls eine Bandmatrix sein, und die spezielle QR-Faktorisierung kann verwendet werden, um die Bandstruktur auszunutzen, um den Rechenaufwand zu vermindern. Dies ist eine neue verallgemeinerte Faktorisierung, da U nicht orthonormal ist. Stattdessen weist U die allgemeinere Eigenschaft
auf. Die Marix (genannt LSM) in der LSME braucht hier nicht gebildet zu werden. Wenn gewünscht, kann sie jedoch wie folgt berechnet werden.
Schritt 4 (IP): Löse die Zwischengleichung
für w1 und w2 über eine Blockback-Substituierung mit den Unterschritten:

4.1 Löse T^TW2 = K für w2 unter Verwendung eines Standardverfahrens für diagonale Matrizen
4.2 Löse T·qI = w2 für q1 unter Verwendung eines Standardverfahrens für diagonale Matrizen
4.3 Löse q2 = W·f – J^Tq1 unter Verwendung eines Verfahrens, das die Struktur von W und J ausnutzt
4.3 P^Tw1 = q2 für w1 unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Rücksubstitution für Bandmatrizen

Schritt 5 (IP): Löse die Endgleichung für mz und m
über das Blockforward-Substitutionsverfahren unter Verwendung der Unterschritte:

5.1 Löse q3 = S·w1 unter Verwendung eines Verfahrens, das die Struktur von S ausnutzt
5.2 Löse P·mz = q3 für mz unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Vorwärtssubstitution von Bandmatrizen
5.3 Löse q4 = T^–TJ·mz für q4 unter Verwendung eines Verfahrens, das die Struktur von T und J ausnutzt
5.3 Löse T·m = w2 – q4 für m unter Verwendung eines Standardverfahrens für Diagonalmatrizen
5.4 Wenn die Variablen p benötigt werden: Löse z = W^Tmz unter Verwendung eines Standardverfahrens zur Rücksubstitution, modifiziert, um die Struktur von W auszunutzen (die p-Werte sind die einzigen Elemente von z, die von mz differieren).

Die LSME ist nunmehr gelöst. Die Variablen m und z (oder mz) werden an das Suchverfahren des IP-Verfahrens ausgegeben.
Schritt 3 (AS): Führe die folgende verallgemeinerte QR-Faktorisierung unter Verwendung des im nächsten Abschnitt beschriebenen verallgemeinerten QR-Algorithmus durch. S½R P = S½U·Pin, wobei Pin = [L–TJT] (9)
Die Matrix in eckigen Klammern auf der rechten Seite stellt die Eingabe dar; die anderen Matrizen sind die Ausgaben. U braucht hier nicht berechnet zu werden. P ist eine obere Dreiecksmatrix. Unglücklicherweise geht die Bandstruktur von L^T verloren, wenn sie invertiert wird; daher kann die QR-Faktorisierung die Bandstruktur nicht ausnutzen, um Rechenaufwand zu sparen, und P weist keine Bandstruktur auf. Dies ist eine neue, verallgemeinerte Faktorisierung, da U nicht orthonormal ist. Stattdessen weist U die allgemeinere Eigenschaft UTS·U = Sauf. L^–TJ^T stellt eine obere Dreiecksmatrix dar, mit Ausnahme eines Bandes von Einträgen ungleich Null unterhalb der Diagonalen. Die verallgemeinerte QR-Faktorisierung sollte die Tatsache ausnutzen, dass der untere Dreiecksteil unterhalb dieses Bandes bereits gleich Null ist.
Es ist nicht erforderlich, die Matrix LSM zu bestimmen. Sie kann jedoch wie folgt berechnet werden:
Matrix T ist gleich Null wie bei dem AS-Verfahren.
Schritt 4 (AS): Löse die Zwischengleichung
für w1 und w2 über die Blockback-Substitution unter Verwendung der Unterschritte:

4.1 Löse L^Tw2 = W·f für w2 unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Rücksubstitution
4.2 Löse q1 = S·w2 unter Verwendung eines Verfahrens, welches die Struktur von S ausnutzt
4.2 Löse L·q2 = q1 für q2 unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Vorwärtssubstitution
4.3 q3 = (K + J·q2) unter Verwendung eines Verfahrens, das die Bandstruktur von J ausnutzt
4.4 P^Tw1 = q3 für w1 unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Vorwärtssubstitution

Schritt 5 (AS): Löse die Endgleichung
für m und mz über das Blockforward-Substitutionsverfahren unter Verwendung der Unterschritte:

5.1 Löse p4 = –S_R·w1 unter Verwendung eines Verfahrens, das die Struktur von Sr ausnutzt
5.2 Löse P·m = q4 für m unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Rückwärtssubstitution
5.3 Löse q5 = J^Tm unter Verwendung eines Verfahrens, das die Struktur von J ausnutzt
5.4 Löse L^Tq6 = q5 für q6 unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Rückwärtssubstitution
6. Löse q7 = S(w2 – q6) unter Verwendung eines Verfahrens, welches die Struktur von S ausnutzt
6. Löse L·mz = q7 für mz unter Verwendung eines Standardverfahrens für die Vorwärtssubstitution
7. Wenn die Variablen p benötigt werden: löse z = W^Tmz unter Verwendung eines Standardverfahrens zur Rückwärtssubstitution, modifiziert, um die Struktur von W auszunutzen.

Verallgemeinerter QR-Faktorisierungsalgorithmus
In Schritt 3 (AS oder IP) wird eine neue verallgemeinerte QR-Faktorisierung benötigt. Wohlbekannte Algorithmen stehen zum Bestimmen einer traditionellen QR-Faktorisierung der Form P = U·Pin zur Verfügung, wobei Pin eine Eingangsmatrix ist, U die Eigenschaft aufweist, dass U^TU = 1 und P entweder eine obere Dreiecksmatrix oder eine untere Dreiecksmatrix ist. Die beschriebenen Verfahren sind eine neue Erweiterung einer Familie von bekannten QR-Verfahren, die eine Sequenz von Householder-Transformationen verwenden.
Die Faktorisierungen nach Schritt 3 in dem Quadratwurzelverfahren erfordern Sr^½P = S^½U·Pin, wobei Pin und S Eingaben sind und Sr und S Diagonalmatrizen sind, deren Diagonaleinträge entweder 1 oder –1 sind, P ist eine untere Dreiecksmatrix oder eine obere Dreiecksmatrix, Sr ist eine Ausgabe, und U weist die Eigenschaft auf, dass U^TS·U = S gilt. Bemerke, dass, wenn Pin reell ist, dann P ebenfalls reell ist. U kann komplexe Zahlenkomponenten enthalten. Diese Faktorisierung kann in der selben Art und Weise ausgeführt werden wie die wohlbekannten Verfahren der QR-Faktorisierung unter Verwendung einer Sequenz von Householder-Transformationen, wenn die folgenden Transformationen anstelle der Householder-Transformationen verwendet werden.
und e_i ist ein Spaltenvektor aus Nullen, ausgenommen eine 1 als Eintrag in der i-ten Stelle. x_i und e_i sind gemäß derselben Prozedur definiert wie in der traditionellen QR-Faktorisierung. Die obenstehende Beschreibung unter Verwendung von Matrizen und Vektoren ist ausschließlich für Erläuterungszwecke. Fachleute, die sich in Berechnungen der linearen Algebra auskennen, wissen, dass der Algorithmus, der dies implementiert, Berechnungen sparen könnte, durch nicht wirkliches Berechnen von U und v. Diese Fachleute wissen auch, wie die Sequenz von Transformationen anzuordnen ist, jedes x auf der Grundlage der Eingabematrix festzulegen, und die Transformationen anzuwenden, um entweder eine untere Dreiecksausgabematrix oder eine obere Dreiecksausgabematrix P zu erzeugen. Die Ausgangsmatrix Sr ist eine Diagonalmatrix, bei der jedes Element das Produkt der entsprechenden sw und S-Elemente ist. Als eine weitere Erläuterungshilfe werden alle sw-Werte gleich eins sein, wenn S gleich der Identitätsmatrix ist, und die neue Transformation wird auf die herkömmliche Householder-Transformation reduziert. Anders als die Substitution für die Householder-Transformation können traditionelle QR-Faktorisierungsalgorithmen verwendet werden, um die Faktorisierungen in Schritt 3 (AS oder IP) herzustellen, und diese können verwendet werden, um die Struktur in Schritt 3 IP auszunutzen, was optional ist. Zu bemerken ist, dass in Schritt 3 IP die Struktur von Pin dazu führen wird, dass Sr gleich der Identitätsmatrix ist, so dass Sr fortgelassen werden kann.
Theoretische Basis für die Quadratwurzelfaktorisierung
Theorie für die verallgemeinerte QR-Faktorisierung
Das in der verallgemeinerten QR-Faktorisierung definierte U weist die Eigenschaft auf, dass
U weist ebenfalls die Eigenschaft auf, dass
wobei xi beim Festlegen von v verwendet wurde.
Daher macht die Transformation alle die Elemente einer Spaltenmatrix bis auf eines gleich Null, welches auf σ gesetzt wird. Die Verwendung dieser zuletzt genannten Eigenschaft zum Transformieren einer Matrix in eine Dreiecksform ist wohl bekannt. Wenn dies ausgeführt wird, gibt es eine Sequenz von Transformationen, die Pin in P umwandelt:
Infolge der für U und e in der Sequenz festgelegten Struktur kann dies umgeformt werden in die Form
Sr und Sw sind entsprechend S_R ^–½S^½ = S_w ^½. Das Ersetzen von Sw durch Sr führt zu S½R P = S½·U·Pin PTSRP = PinTUTS·U·Pin = PinTS·Pinwobei die letzte Gleichung das Resultat des Multiplizierens jeder Seite der vorhergehenden Gleichung auf der linken Seite mit ihrer entsprechenden Transponierten ist. Die letzte Gleichung zeigt, dass dies die gewünschte Transformation ist.
Theorie zur Faktorisierung von H
Die Theorie der Faktorisierung von H basiert auf Multiplizieren jeder Seite von Gleichung 1 mit ihrer entsprechenden Transponierten für jeden Zeitpunkt gebildeten Identitäten zum Liefern von FT·F – BT·MT·M·B = DTQT/2Q½D + RT/2R½ MT·M + GT·G – AT·MT·M·A = CTQT/2Q½ FT·G – BT·MT·M·A = DTQT/2Q½C
Diese Identitäten sind aus Lehrbüchern der Steuerungstheorie bekannt. Ihr Gebrauch zur Faktorisierung von H und LSM ist neu. Die Faktorisierung von H kann durch symbolisches Expandieren des Ausdruckes W^–1L^TSL W^–T verifiziert werden unter Verwendung der Definition L, S und W in den Gleichungen 2 und 3 und danach Einsetzen dieser Identitäten.
Theorie zum Faktorisieren der LSME für das IP-Verfahren
Die Faktorisierung in Gleichung 5 impliziert
Wir ordnen dies um, um die benötigte Relation zu erhalten: W–1PTS·P·W–T – JTT–1T–TJ = W–1LTSL·W–T = H
Wenn wir Gleichung 8 in Gleichung 7 einsetzen und die Tatsache nutzen, dass S^–1 = S, erhalten wir
Skaliere den ersten Block von Zeilen mit W^–1 und setze ein für mz, um
zu erhalten. Symbolisches Ausführen der Matrixmultiplikationen:
Dies zeigt, dass der Quadratwurzelalgorithmus für IP die LSME löst, wobei angenommen wird, dass der Algorithmus zum Ausführen der verallgemeinerten QR-Faktorisierung aus Gleichung 5 funktioniert.
Theorie zum Faktorisierung der LSME für das AS-Verfahren Die Faktorisierung in Gleichung 9 impliziert PTS½R S–½S·S–½S½R P = J·L–1UTS·U·L–1JT ⇒ PTSRP = J·L–1S·L–1JT, wobei SR ≡ S½q S·S½q
Wenn wir Gleichung 12 in Gleichung 11 einsetzen und die Tatsache benutzen, dass S^–1 = S gilt, erhalten wir
Skaliere den zweiten Block von Zeilen mit W^–1 und setze für mz ein, um
zu erhalten. Symbolisches Ausführen der Matrixmultiplikationen:
Dies zeigt, dass der Quadratwurzelalgorithmus für AS die LSME löst, angenommen, dass der Algorithmus zum Ausführen der verallgemeinerten QR-Faktorisierung aus Gleichung 9 funktioniert.
Recheneffizienz des Quadratwurzelverfahrens
Die Vorteile dieser Faktorisierung sind, dass:
Die LSME-Matrix in das Produkt von oberen Dreiecksmatrizen, unteren Dreiecksmatrizen und Diagonalmatrizen faktorisiert wird.
Die LSME kann dann mit einem Blockback-Substitutionsdurchgang gelöst werden, wobei die obere Dreiecksblockmatrix durch einen Vorwärtssubstitutionsdurchgang mit der unteren Dreiecksblockmatrix gefolgt wird.
LSM und H brauchen nicht bestimmt zu werden.
Die für L, M und P benötigte Computer-Wortlänge beträgt lediglich die Hälfte derjenigen, die für H und LSM bei einem gegebenen Maß numerischer Genauigkeit erforderlich wäre. Die Fähigkeit, Computerarithmetik einfacher Präzision anstelle doppelter Präzision verwenden zu können, führt ungefähr zu einer Verdoppelung der Rechengeschwindigkeit.
Die Faktorisierung von H braucht nur einmal pro Steuerungsaktualisierung durchgeführt zu werden. Jede Iteration des QP-Lösers verwendet diese Faktorisierung wieder. Die Vervollständigung der Faktorisierung jeder QP-Iteration nutzt die Bandstruktur aus. Vollständig beim Gebrauch in IP-Verfahren; teilweise bei AS-Verfahren.
Eine weitere numerische Effizienz kann mit speziellen QR- und Dreiecksmatrixlösern, die die verbleibende Struktur von L und P ausnutzen, erzielt werden.
Dieser Algorithmus zum Faktorisieren von H weist die folgenden Rechenvorteile auf:
Die M- und F-Matrix ist eine untere Dreiecksmatrix, was in hohem Maße den Rechenaufwand bei Matrixoperationen mit ihnen vermindert, insbesondere wenn N groß wird.
Die L- und S-Matrizen sind dünn besiedelte Bandmatrizen, was ebenfalls den Rechenaufwand vermindert.
Zahlreiche der „Quadratwurzel"-Verfahren der Steuerungstheorie können angewandt werden. Einige dieser nutzen die Struktur innerhalb der Matrizen A, B, C, D, Q und R aus, um den Rechenaufwand weiter zu vermindern.
Das Maß an zum Faktorisieren von H benötigter Rechenleistung wächst lediglich linear mit N, und
Die wiederholenden Strukturen von H und J werden ausgenutzt.
1 ist eine Schemazeichnung eines modellprädikativen Steuerungssystems 10 gemäß der vorliegenden Erfindung zum Ausführen des oben stehenden Algorithmus. Das System 10 steuert einen Betrieb 12 mit Aktuatoren 14 auf der Grundlage von Sensoren 16 und auf der Grundlage von Kommandos. Das System 10 beinhaltet einen Generator 20 für eine gewünschte Trajektorie zum Erzeugen der gewünschten Trajektorie auf der Grundlage der Kommandos. Das System 10 beinhaltet ein Modul 21 zur quadratischen Programmierung einschließlich eines Modules 22 zum Bestimmen der verschiedenen Matrizen und Vektoren der KKT-Bedingungen auf die obenstehend beschriebene Art und Weise. Die KKT-Bedingungen sind auch Funktionen des gegenwärtigen Zustandes des Systems 10, basierend auf der Rückkopplung von Sensoren 16. Das Modul 21 zur quadratischen Programmierung enthält ferner ein Modul 24 zum Bestimmen von Hr wie vorstehend beschrieben. Ein modifizierter Löser 26 für quadratischer Programmierung folgt dem vorstehend beschriebenen Algorithmus, um Aktuatorkommandos an die Aktuatoren 14 zu generieren, um den erwünschten Zustand der Fabrik 12 und des Systems 10 herbeizuführen.
2 illustriert den Standardweg, auf dem Loser für quadratische Programmierung (QP) in eine modellprädikative Steuerung (MPC) eingebettet sind, und wie das neue Quadratwurzelverfahren in Standard-QP-Löser eingebettet ist. Der Algorithmus aus 2 wird bei jeder Aktualisierung der Steuerung ausgeführt. Die Schritte 50 und 52 der Figur übersetzen modellprädikative Steuerung in ein Problem der quadratisches Programmierung und extrahieren die optimalen Trajektorien für die nächsten L Steuerungs-Aktualisierungen, einschließlich des aktuellen Aktuatorkommandos aus der QP-Lösung. Alle anderen Schritte sind mit dem QP-Löser verknüpft. Allgemeine QP-Löser bestehen aus einer strukturierten iterativen Suche nach der Optimallösung, das Randbedingungen erfüllt. Dieses besteht aus Analysieren der Lösung aus der vorhergehenden Iteration und das Einrichten einer Version der LSME (obgleich nicht im Allgemeinen in der hier präsentierten strukturierten Form) in Schritt 56, Lösen der LSME und Analysieren des Ergebnisses um festzustellen, ob die Lösung mit der erforderlichen Genauigkeit in Schritt 62 erreicht ist. Wie in 2 gezeigt, fügt das Quadratwurzelverfahren eine neue Logik hinzu zum Vorabberechnen von Hr in Schritt 54, der Quadratwurzel von H, bevor die iterative Suche begonnen wird. Sie ersetzt auch die Lösung der LSME mit einem neuen, rechentechnisch effizienteren Algorithmus in Schritt 60, einschließlich des Bildens LSMroot in Schritt 58.
Das Quadratwurzelverfahren ändert auch das Interface zwischen dem obersten Block in 2 und dem QP-Löser. In Schritt 50 werden die Kommandos für das gesteuerte System entgegengenommen, eine gewünschte Antwort auf diese Kommandos wird formuliert, den gegenwärtigen Zustand des Systems anzeigende Sensorsignale werden entgegengenommen, und ein QP-Problem nach den KKT-Bedingungen wird formuliert. Die Gleichungen der KKT-Bedingung werden im Allgemeinen in drei Matrixgleichungen gesammelt: eine assoziiert mit dem Regelgüte-Index, eine assoziiert mit dem Modell der Systemdynamik, und eine assoziiert mit den Schrankenbedingungen. Die vorherige Lösung für die optimalen Trajektorien können beim Bilden der verschiedenen Ma trizen in den KKT-Bedingungen verwendet werden. Bei dem Standardverfahren bildet die QP dann eine Version der LSME mit unterschiedlicher Struktur bei jeder Iteration. Im Gegensatz dazu modifiziert das Quadratwurzelverfahren auch denjenigen Teil des QP-Lösers in Schritt 56, insoweit als dass die verschiedenen Variablen, Gleichungen und Matrizen der KKT-Bedingungen in die LSME in einer spezifischen Ordnung und Struktur gesammelt werden.
In Übereinstimmung mit den Vorgaben der Patentstatuten und der Rechtsprechung werden die oben beschriebenen exemplarischen Konfigurationen zur Repräsentation einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung verstanden. Es sollte jedoch festgehalten werden, dass die Erfindung anders als spezifisch veranschaulicht und beschrieben ausführt werden kann, ohne von ihrem Bereich abzuweichen.

Claims

Verfahren zum Steuern eines modellprädikativen Regelungs-Systems mit folgenden Schritten: a) Bilden einer Gleichung mit einer großen, dünn besetzten Matrix LSME, basierend auf dem modellprädikativen Regelungs-System; b) wiederholt, mindestens einmal pro Aktualisierung des Reglers, Abtasten von Kommando- und Rückkopplungs-Sensoren, um als Aktuator-Kommandos in Begriffen einer Lösung eines Problemes der quadratischen Programmierung zu fungieren, welches auf der modellprädikativen Regelung beruht; c) Bilden einer Quadratwurzel H, von H, wobei H eine Untermatrix der LSME ist, die nur einmal pro Regler-Aktualisierung variiert, und wobei Hr eine Block-Dreiecksmatrix ist, in welche jeder Block entlang einer Diagonale dreieckig ist; d) Bilden einer Quadratwurzel einer großen, dünn besetzten Matrix LSM_root der LSME, wobei Hr in jeder einzelnen Iteration aus einer Mehrzahl von Iterationen eines Lösers für eine quadratisches Programmierung innerhalb jeder Aktualisierung des Reglers verwendet wird, und wobei LSM_root eine Block-Dreiecksmatrix ist, in welcher jeder Block entlang der Diagonale dreieckig ist; e) Vervollständigen der Lösung der LSME basierend auf LSMroot in jeder Iteration; und f) Generieren von Aktuatoren-Kommandos basierend auf der Lösung der LSME.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei Hr in einer ersten Iteration aus der Vielzahl von Iterationen berechnet wird und nicht für nachfolgende Iterationen aus der Mehrzahl von Iterationen neu berechnet wird.
Verfahren nach Anspruch 2, wobei in dem Schritt c) Hr gebildet wird, ohne dass zuerst H gebildet wird.
Verfahren nach Anspruch 3, wobei der Schritt c) mit einer Sequenz von QR-Faktorisierungen ausgeführt wird.
Verfahren nach Anspruch 3, wobei H = Hr'·S·Hr und Hr = LW^–T, wobei gilt:
Verfahren nach Anspruch 5, wobei die Untermatrizen F, G und M durch die rekursive Sequenz von QR-Faktorisierungen
für verschiedene zukünftige Regler-Aktualisierungszeitpunkte innerhalb des Vorhersagehorizonts erzeugt werden.
Verfahren nach irgendeinem der vorstehenden Ansprüche, wobei LSMroot in dem Schritt d) gebildet wird, ohne zuvor LSM zu bilden.
Verfahren nach Anspruch 7, wobei der Schritt d) durch Lösen einer normalen oder generalisierten QR-Faktorisierung ausgeführt wird.
Verfahren nach Anspruch 7, wobei der Schritt d) durch Lösen einer verallgemeinerten QR-Faktorisierung ausgeführt wird, die an ein Innenpunkt-Verfahren angepasst ist.
Verfahren nach Anspruch 9, wobei die verallgemeinerte QR-Faktorisierung lautet:
wobei Pin und S Eingaben und dreieckiges P und möglicherweise U Ausgänge sind, und wobei
Verfahren nach Anspruch 7, wobei der Schritt d) durch Lösen einer verallgemeinerten QR-Faktorisierung durchgeführt wird, die an ein Active Set-Verfahren angepasst ist.
Verfahren nach Anspruch 11, wobei die verallgemeinerte QR-Faktorisierung lautet: S½ RP = S½U·Pin, wobei Pin = L–TJT, UTS·U = Swobei Pin und S Eingänge und P und Sr sowie möglicherweise U Ausgänge sind und wobei gilt:
Verfahren nach Anspruch 12, wobei die verallgemeinerte QR-Faktorisierung über einen auf einer Standard-Householder-Transformation basierenden QR-Algorithmus bewerkstelligt wird, der durch Ersetzen der Sequenz von Householder-Transformationen
modifiziert wird, welche normalerweise mit einer entsprechenden Sequenz verallgemeinerter Transformationen
verwendet werden. U ist nicht notwendig, aber, falls gewünscht, gleich dem kumulativen Produkt der Ui.
Verfahren nach Anspruch 13, wobei das Ergebnis der verallgemeinerten QR-Faktorisierung, das eine Dreiecksmatrix ist, die aus Zeilen besteht, die entweder reine reelle Zahlen oder reine imaginäre Zahlen enthält, weiter faktorisiert wird in das Produkt einer Diagonalmatrix S^½/ _R, welche auf der Diagonalen entweder 1 oder die Quadratwurzel von –1 hat, und einer rein reellen Dreiecksmatrix, und wobei das Quadrat dieser Diagonalmatrix, Sr, dann entweder 1 oder –1 auf der Diagonalen haben wird, und wobei Sr und P rein reelle Zahlen sind.
Verfahren nach Anspruch 11, ferner aufweisend den Schritt des Faktorisierens der LSM, um lediglich reelle Zahlen zu verwenden wie:
wobei S und SR konstante Diagonalmatrizen sind, mit lediglich 1 oder -1-Einträgen entlang der Diagonalen, und wobei LSMroot eine Block-Dreiecksmatrix ist, bei der jede diagonale Untermatrix ebenfalls dreieckig ist.
Verfahren nach einem beliebigen der vorstehenden Ansprüche, wobei die LSME folgende Form aufweist:
wobei z ein Vektor ist, welcher Zustands-, Regelungs- und Zustandsgleichungs-adjungierte Variablen für jeden Zeitpunkt, gruppiert nach der Zeit, beinhaltet; m beinhaltet adjungierte Variablen für Ungleichungs-Nebenbedingungen, gruppiert nach der Zeit; f und K sind Vektoren; H und J sind Bandmatrizen und T ist eine Diagonalmatrix oder Null, abhängig von dem selektierten quadratischen Programm-Algorithmus.
Modellprädikatives Regelungssystem zum Steuern einer Anlage (12), aufweisend: eine Mehrzahl von Sensoren (16), die einen gegenwärtigen Zustand des Systems anzeigen; einen Generator (20) für eine erwünschte Trajektorie zum Erzeugen einer auf Kommandos basierenden erwünschten dynamischen Antwort; ein Modul (21) für quadratische Programmierung, welches, beginnend mit einem gegenwärtigen Zustand des Systems, ein Problem des Erzielens der erwünschten dynamischen Antwort für ein Fenster formuliert, das mehrere Zeitschritte als Lösung eines Problemes der quadratischen Programmierung unter Verwendung modellprädikativer Regelung überspannt; einen Löser für quadratische Programmierung (26), der das Problem der quadratischen Programmierung für jeden Zeitschritt unter Verwendung eines iterativen Algorithmus löst, in welchem eine Gleichung mit einer großen dünn besetzten Matrix LSME auf der Grundlage des modellprädikativen Regelungsproblems und eines quadratischen Programmierungs-Algorithmus gebildet wird, wobei der Löser in einer ersten Iteration des iterativen Algorithmus eine Quadratwurzel Hr von H bildet, wobei der Löser eine Quadratwurzel LSMroot einer großen dünn besetzten Matrix der LSME bildet unter Verwendung von Hr in einem Löser für quadratisches Programmierung in Iterationen, einschließlich der ersten Iteration und einer Mehr zahl von der ersten Iteration nachfolgender Iterationen des iterativen Algorithmus, wobei der Löser die Lösung der LSME auf der Grundlage von LSMroot in Iterationen vervollständigt, die die erste Iteration und die Mehrzahl der der ersten Iteration folgenden weiteren Iterationen des iterativen Algorithmus beinhaltet.
Das System nach Anspruch 17, wobei der Löser Hr in der ersten Iteration bildet und Hr in der Mehrzahl der der ersten Iteration des iterativen Algorithmus nachfolgenden Iterationen nicht neu berechnet.
System nach Anspruch 18, wobei der Löser Hr bildet, ohne zuerst H zu bilden.
System nach Anspruch 19, wobei H = Hr'·S·Hr und Hr = LW^–T, wobei gilt:
System nach Anspruch 20, wobei die Untermatrizen F, G und M durch die rekursive Sequenz von QR-Faktorisierungen:
für verschiedene zukünftige Regler-Aktualisierungszeitpunkte innerhalb des Vorhersagehorizonts gebildet werden.
System nach irgendwelchen der Patentansprüche 17 bis 21, wobei der Löser LSMroot bildet, ohne zuerst LSM zu bilden.
System nach Anspruch 22, wobei der Löser LSMroot durch Lösen einer normalisierten oder verallgemeinerten QR-Faktorisierung bildet.
System nach Anspruch 22, wobei der Löser LSMroot durch Lösen einer verallgemeinerten QR-Faktorisierung bildet, die an ein Innenpunkt-Verfahren angepasst ist.
System nach Anspruch 24, wobei die verallgemeinerte AR-Faktorisierung lautet:
wobei Pin und S Eingänge sind und dreieckig P und möglicherweise U Ausgänge sind, und wobei gilt:
System nach Anspruch 22, wobei der Löser LSMroot bildet durch Lösen einer verallgemeinerten QR-Faktorisierung, die an ein Active Set-Verfahren angepasst ist.
System nach Anspruch 26, wobei die verallgemeinerte QR-Faktorisierung lautet: S½ RP = S½U·Pin, wobei Pin = L–TJT, UTS·U = Swobei Pin und S Eingänge und P und Sr und möglicherweise U Ausgänge sind, und wobei gilt:
System nach Anspruch 27, wobei die verallgemeinerte QR-Faktorisierung über einen auf einer Standard-Householder-Transformation basierenden QR-Algorithmus bewerkstelligt wird, der durch Ersetzen der Sequenz von Householder-Transformationen
modifiziert wird, welche normalerweise mit einer entsprechenden Sequenz verallgemeinerter Transformationen
verwendet werden. U ist nicht notwendig, aber, falls gewünscht, bildet das kumulative Produkt der Ui.
System nach Anspruch 28, wobei das Ergebnis der verallgemeinerten QR-Faktorisierung, das eine Dreiecksmatrix ist, die aus Zeilen besteht, die entweder reine reelle Zahlen oder reine imaginäre Zahlen enthält, weiter faktorisiert wird in das Produkt einer Diagonalmatrix S^½/ _R, welche auf der Diagonalen entweder 1 oder die Quadratwurzel von –1 hat, und einer rein reellen Dreiecksmatrix, und wobei das Quadrat dieser Diagonalmatrix, Sr, dann entweder 1 oder –1 auf der Diagonale haben wird, und wobei Sr und P rein reelle Zahlen sind.
System nach Anspruch 26, ferner aufweisend den Schritt des Faktorisierens der LSM, um lediglich reelle Zahlen zu verwenden wie:
wobei S und SR konstante Diagonalmatrizen sind, mit lediglich 1 oder –1-Einträgen entlang der Diagonalen, und wobei LSMroot eine Block-Dreiecksmatrix ist, bei der jede diagonale Untermatrix ebenfalls dreieckig ist.
System nach irgendeinem der Ansprüche 17 bis 30, wobei die LSME folgende Form aufweist:
wobei z ein Vektor ist, welcher Zustands-, Regelungs- und Zustandsgleichungs-adjungierte Variablen für jeden Zeitpunkt, gruppiert nach der Zeit, beinhaltet; m beinhaltet adjungierte Variablen für Ungleichungs-Nebenbedingungen, gruppiert nach der Zeit; f und K sind Vektoren; H und J sind Bandmatrizen; und T ist eine Diagonalmatrix oder Null, abhängig von dem selektierten quadratischen Programm-Algorithmus.