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Die
vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung
zur Steuerung der Aktuatorzuordnung in einem System. Die Erfindung
kann in unterschiedlichen Bereichen verwendet werden, insbesondere
in Fahrzeugen, welche mit einer Mehrzahl von Aktuatoren ausgestattet
sind und in denen das Problem der Aktuatorzuordnung auftritt.
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Heutzutage
werden Fahrzeuge mit einer Vielzahl semiaktiver oder aktiver Steuerkomponenten
ausgestattet, wie beispielsweise einem Anti-Blockier-System (ABS)
zur Steuerung des Bremsverhaltens, einem ESP-System zur Regelung
des Stabilitätsverhaltens oder einem AFS-System zur aktiven
Lenkung. Dabei überlappen sich zum Teil die unterschiedlichen
Komponenten des Steuersystems in ihrer Wirkungsweise, so dass der
Fall eintreten kann, dass unterschiedliche Komponenten des Steuersystems
den gleichen Freiheitsgrad des Fahrzeuges beeinflussen. Infolgedessen
besteht der Bedarf nach einer Kontroll- bzw. Steuerstrategie, mittels
derer entschieden wird, welcher Aktuator oder welche Aktuatoren
benutzt werden, um eine erwünschte Fahrzeugbewegung zu
bewirken. Das Problem der Verteilung der zu erzeugenden Fahrzeugkräfte auf
die vorhandenen Aktuatoren wird als dynamische Aktuatorzuordnung
(= ”dynamic actuator allocation”) bezeichnet.
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Aus
EP 1 447 262 A1 ist
ein Verfahren zur Fahrzeugbewegungssteuerung bekannt, bei dem eine
gewünschte Fahrzeugbewegung durch drei Fahrzeugkräfte
und drei Fahrzeugmomente beschrieben wird, die jeweils linear unabhängig
voneinander sind. Unter Berücksichtigung der angeforderten
Fahrzeugbewegung und der aktuellen Fahrzeugsituation werden die
erforderlichen Fahrzeugkräfte und/oder Fahrzeugmomente
ermittelt, die erforderlich sind, um das Fahrzeug in die gewünschte
Bewegung zu versetzen. Anschließend wird ein Satz von Aktuatorstellgrößen
berechnet, mittels dem die Differenz zwischen den angeforderten Fahrzeugkräften
und/oder -momenten und den mittels der Aktuatoren erzeugbaren Fahrzeugkräfte
und/oder -momente minimiert wird.
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Des
Weiteren sind aus der
DE
10 2005 015 241 A1 ein Verfahren zum Steuern eines Fahrzeuges
und eine Steuereinrichtung bekannt, wobei aus einer angeforderten
Fahrzeugbewegung die angeforderten Fahrzeugkräfte und/oder
Fahrzeugmomente abgeleitet und die angeforderten Fahrzeugkräfte
und/oder Fahrzeugmomente dynamisch gewichtet werden, um daraus die
zu erzeugenden Fahrzeugkräfte und/oder Fahrzeugmomente
abzuleiten.
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Es
ist eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein Verfahren und eine
Vorrichtung zur Steuerung der Aktuatorzuordnung in einem System
bereitzustellen, welche in Echtzeit eine effiziente Zuordnung der
zu erzeugenden Systemkräfte zu den Aktuatoren ermöglichen.
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Diese
Aufgabe wird durch das Verfahren gemäß den Merkmalen
des unabhängigen Anspruchs 1 bzw. die Vorrichtung gemäß den
Merkmalen des Anspruchs 13 gelöst.
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Ein
Verfahren zur Steuerung der Aktuatorzuordnung in einem System, insbesondere
einem Fahrzeug, wobei das System eine Mehrzahl von Aktuatoren aufweist,
wobei in dem Verfahren geeignete Steuervorgänge zur Erzielung
eines gewünschten Systemverhaltens berechnet werden und
in Abhängigkeit hiervon Aktuatorsollwerte zur Ansteuerung
der einzelnen Aktuatoren festgelegt werden, weist folgende Schritte
auf:
- – Formulieren eines Optimierungsproblems
für eine Transformation zwischen den Steuervorgängen
und den Aktuatorsollwerten;
- – Lösen dieses Optimierungsproblems mittels
einer Active-Set-Strategie; und
- – Ansteuern der Aktuatoren auf Basis der ermittelten
Lösung.
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Gemäß einer
Ausführungsform wird bei der Formulierung des Optimierungsproblems
eine Tikhonov-Regularisierung angewendet, wodurch die Zeitabhängigkeit
der Lösung geglättet wird.
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Gemäß einer
Ausführungsform ist das Optimierungsproblem beschreibbar
als
wobei M eine Matrix ist und
wobei u
b die zur Erzielung eines gewünschten
Systemverhaltens geeigneten Steuervorgänge, u
w die
Aktuatorsollwerte, u l / w, u u / w vorgegebene untere bzw. obere Grenzwerten
für u
w und ∥ die Euklidische
Norm bezeichnen.
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Gemäß einer
Ausführungsform ist das Optimierungsproblem beschreibbar
als
wobei H eine Matrix ist und
wobei x, d Vektoren und x
l, x
u vorgegebene
untere bzw. obere Grenzwerte für x bezeichnen.
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Gemäß einer
Ausführungsform ist die Matrix nicht quadratisch und/oder
rangdefizient.
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Gemäß einer
Ausführungsform wird für den Fall, dass die Matrix
einen vollen Rang aufweist, ein Newton-Schritt mit einer QR-Zerlegung
verwendet.
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Gemäß einer
Ausführungsform wird für den Fall, dass die Matrix
rangdefizitär ist, eine Methode des steilsten Abstieges
(”steepest descent”) angewendet.
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Gemäß einer
Ausführungsform werden bei der Formulierung des Optimierungsproblems
euklidische Normen verwendet. Die Erfindung ist jedoch nicht auf
die Verwendung euklidischer Normen beschränkt, sondern
kann auch unter Verwendung anderer Normen realisiert werden.
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Gemäß einer
Ausführungsform ist die Matrix H zeitlich variabel, wohingegen
die unteren und oberen Grenzwerte zeitlich konstant gehalten werden.
Gemäß einer anderen Ausführungsform der
Erfindung kann das Problem so formuliert werden, dass die Matrix
H zeitlich konstant ist. In diesem Falle hängen die Grenzwerte
vom Fahrzeugzustand ab und sind somit zeitlich variabel. Somit kann
das Optimierungsproblem erfindungsgemäß auf zwei
unterschiedliche Weisen formuliert werden: Bei der ersten Alternative
ist die Matrix H zeitlich variabel, wohingegen die unteren und oberen
Grenzwerte zeitlich konstant gehalten werden. Bei der zweiten Alternative
ist die Matrix H konstant, wohingegen die Grenzwerte bzw. Randbedingungen
zeitlich variabel sind.
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Gemäß einer
Ausführungsform des erfindungsgemäß angewandten
Algorithmus wird als Startpunkt für eine aktuelle Optimierung
die optimale Lösung der vorherigen Optimierung verwendet.
Diese Auswahl ist insofern geeignet, als die Optimierung mit einer
hohen Abtastrate durchgeführt wird, so dass davon ausgegangen
werden kann, dass sich die Daten für zwei aufeinanderfolgende
Optimierungen nicht wesentlich voneinander unterscheiden.
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Gemäß einem
Aspekt der Erfindung wird somit die insgesamt für die Durchführung
der Optimierung erforderliche Zeit reduziert, indem eine geeignete
Umformulierung des Aktuatorzuordnungsproblems gewählt wird,
bei welchem die Problemmatrix über die Zeit konstant gehalten
wird. Hierdurch werden die Anforderungen hinsichtlich einer QR-Zerlegung
reduziert. Infolgedessen wird nur eine einzige QR-Zerlegung für
die gesamte Zeitdauer der Berechnung bzw. Optimierung erforderlich.
Dem gemäß dieser Ausführungsform verfolgten
Ansatz liegt die Überlegung zugrunde, dass die Optimierung
bei einer relativ hohen Frequenz (ungefähr 100 Hz) wiederholt
werden muß, um den Sollwert für das dezentralisierte
Steue rungssystem bereitzustellen. Wenn sich die Matrix H mit der
Zeit ändert, muß die QR-Zerlegung aktualisiert
werden. Durch Umformulierung der Gleichungen des Optimierungsproblems
wird eine Beschreibung des Optimierungsproblems erhalten, bei dem
eine zeitlich konstante Matrix H mit zeitlich variierenden Grenzwerten
erhalten wird, so dass nur eine QR-Zerlegung für die gesamte
Prozeßdauer erforderlich wird.
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Die
Effizienz des erfindungsgemäßen Optimierungsverfahrens
kann weiter verbessert werden, indem die Struktur der Matrix H ausgenutzt
wird. In vielen Anwendungen hat die Matrix H den folgenden Aufbau:
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Der
unbekannte Vektor kann in zwei Teile x 1 / k und x 2 / k zerlegt werden, d.
h.
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Der
Teil x 2 / k kann unabhängig von dem ersten Teil x 1 / k berechnet
werden. Somit kann das Optimierungsproblem in zwei Optimierungsteilprobleme
zerlegt werden. Innerhalb der ersten Optimierung wird x 2 / k ermittelt. Bei
einer zweiten Optimierung wird x 1 / k ermittelt, indem das zuvor erwähnte
und im Weiteren detailliert beschriebene, modifizierte ”Active-Set”-Verfahren
für die Aktuatorzuordnung verwendet wird. Da die Optimierungsteilprobleme
von kleinerer Dimension als das ursprüngliche vollständige
Optimierungsproblem sind, wird die gesamte Berechnungszeit reduziert.
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Gemäß diesem
Aspekt der Erfindung wird somit die Effizienz des Algorithmus verbessert,
indem eine Zerlegung durchgeführt wird, bei der das Optimierungsproblem
in zwei vergleichsweise kleinere Teilprobleme zerlegt wird. Dem
gemäß dieser Ausführungsform verfolgten
Ansatz liegt die Überlegung zugrunde, dass in der Praxis
die Optimierung bei der Aktuatorzuordnung mit einer relativ hohen
Frequenz (ungefähr 100 Hz) wiederholt werden muß,
um den Sollwert für das dezentralisierte Steuerungssystem
bereitzustellen. Die Ausführungs- bzw. Berechnungszeit
hängt von der Problemgröße ab. Die Effizienz
des Optimierungsschemas kann verbessert werden, wenn die Struktur
der Matrix H ausgenutzt wird. In vielen Anwendungen weist die Matrix
H eine obere Dreiecksstruktur auf, welche gemäß der
Erfindung dazu verwendet werden kann, das ursprüngliche Problem
in zwei Teilprobleme von geringerer Größe zu zerlegen,
so dass die gesamte Rechenzeit reduziert wird.
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Die
Erfindung betrifft ferner eine Vorrichtung zur Steuerung der Aktuatorzuordnung
in einem System, insbesondere einem Fahrzeug, Flugzeug, Schiff oder
dergleichen, wobei das System eine Mehrzahl von Aktuatoren, ein
erstes Steuersystem zur Berechnung von zur Erzielung eines gewünschten
Systemverhaltens geeigneten Steuervorgänge und ein zweites
Steuersystem zur Ansteuerung der einzelnen Aktuatoren aufweist,
wobei die Vorrichtung dazu ausgelegt ist, zur Vermittlung zwischen
dem ersten Steuersystem und dem zweiten Steuersystem ein Verfahren
mit den oben beschriebenen Merkmalen auszuführen.
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Weitere
Ausgestaltungen sind der Beschreibung und den Unteransprüchen
zu entnehmen. Die Erfindung wird nachstehend anhand eines bevorzugten
Ausführungsbeispiels unter Bezugnahme auf die beigefügten
Abbildungen näher erläutert.
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Es
zeigen:
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1 ein
schematisches Blockdiagramm zur Erläuterung eines hierarchischen
Steuersystems, in welchem die Erfindung implementierbar ist;
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2 ein
Flußdiagramm zur Erläuterung eines bei dem erfindungsgemäßen
Verfahren angewandten Algorithmus; und
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3 ein
Blockdiagramm zur Erläuterung des Aufbaus eines dezentralisierten
Steuersystems.
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Gemäß 1 wird
ein Steuersystem in ein Karosseriesteuersystem 40 (BCS
= ”body control system”) und ein dezentralisiertes
Aktuatorsteuersystem 20 (ACS = ”actuator control
system”) aufgeteilt. Zu jedem Zeitpunkt berechnet das Karosseriesteuersystem 40 die
zum Erhalt einer gewünschten Karosserieansteuerung geeigneten
Steuervorgänge. Die hierbei berechneten Werte werden dann
als Sollwerte für das Aktuatorsteuersystem (ACS) 20 verwendet.
Da die beiden Steuerebenen über eine nicht quadratische,
statische, aber zeitvariable Transformation verknüpft sind
und die Sollwerte des Aktuatorsteuersystems (ACS) beschränkt
sind, ist ein Verfahren erforderlich, welches zwischen den beiden
Komponenten des Steuersystems vermittelt. Dies ist in 1 durch
den Block 30 symbolisiert, welcher ein System für
die Steuerung der Aktuatorzuordnung (”control allocation
system”) darstellt. Durch die vorliegende Erfindung wird
eine Echtzeit-Implementierung für die vorstehend beschriebene
Vermittlung bzw. die Steuerung der Aktuatorzuordnung 30 bereitgestellt.
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Das
zugrundeliegende Problem beinhaltet eine zu jedem Zeitpunkt durchgeführte,
nicht quadratische Inversion mit möglicher Rangdefizienz
im linearen Operator unter durch Ungleichungen bestimmten Randbedingungen.
Das Problem der Aktuatorzuordnung wird als Optimierungsproblem mit
einer Tikhonov-Regularisierung aufgefaßt, wodurch die Zeitabhängigkeit
der Lösung geglättet wird und der Nichteindeutigkeit
der Lösung und deren Empfindlichkeit gegenüber
Datenfehlern Rechnung getragen wird. Zur Realisierung in Echtzeit wird
die resultierende Optimierung hinreichend schnell gelöst,
indem eine modifizierte Active-Set-Strategie durchgeführt
wird.
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Die
statische, aber zeitvariable Beziehung zwischen dem Karosseriesteuersystem
(BCS) 40 und dem Aktuatorsteuersystem (ACS) 20 ist
gegeben durch: ub(t)
= M(t)uw(t), (1)wobei die
zeitvariable Matrix M(t) unter Umständen nicht quadratisch
sowie rangdefizient sein kann, und wobei ub(t)
gewünschte Aktionen bzw. Vorgänge gemäß Berechnung
durch das Karosseriesteuersystem (BCS) 40 zur Erzielung
eines gewünschten Fahrzeugverhaltens bezeichnet und wobei
uw(t) die Sollwerte des Aktuatorsteuersystems
(ACS) 20 bezeichnet.
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Darüber
hinaus müssen die Werte u
w(t) zwischen
unteren und oberen Grenzwerten liegen, d. h. es gilt:
ulw ≤ uw(t) ≤ uuw (2)wobei sich
diese Grenzwerte aus der Sättigung der Aktuatoren ergeben.
Der physikalische Hintergrund dieser Beziehungen ist z. B. in
EP 1 447 262 A1 detaillierter
beschrieben.
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Das
Problem wird nun wie folgt aufgefaßt: Bei vorgegebenen
Sollwerten ub(t), vorgegebener Matrix M(t)
und vorgegebenen unteren und oberen Grenzwerten u l / w, u u / w muß durch
das Verfahren zu jedem Zeitpunkt t der entsprechende Vektor uw(t) berechnet werden. Aus Gründen
der Vereinfachung wird im Folgenden die explizite Zeitabhängigkeit
sämtlicher Variablen außer Acht gelassen.
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Da
die Matrix M möglicherweise nicht quadratisch und/oder
rangdefizient ist und die Lösung die Ungleichungs-Randbedingungen
erfüllen muß, ist eine direkte Inversion nicht
möglich. Das Problem kann jedoch näherungsweise
dadurch gelöst werden, dass die verbleibende Norm ∥Mu
w – u
b∥ minimiert
wird, wobei die Ungleichungs-Randbedingungen (2) exakt erfüllt
werden. Dies führt zu folgendem Optimierungsproblem
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Vorliegend
wird die euklidische Norm verwendet, so dass das Problem (3) zu
einem Fehlerquadratproblem mit Randbedingungen führt.
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Um
der Mehrdeutigkeit der Lösung und deren Anfälligkeit
für Änderungen in den Daten gerecht zu werden,
d. h. um eine Lösung mit verhältnismäßig
sanftem zeitabhängigen Verlauf zu erhalten, kann ein Tikhonov-Regularisierungsterm
hinzuaddiert werden:
wobei α ein Regularisierungsparameter,
R die Einheitsmatrix und u 0 / w eine bekannte a-priori-Lösung
ist. Das Problem (4) wird als regularisiertes Fehlerquadratproblem
mit Randbedingungen (RBLS = ”regularized bounded least-squares”)
bezeichnet.
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Die
Auswahl der Normen ist von großer Bedeutung. Im Folgenden
werden die euklidischen Normen verwendet, so dass das RBLS-Problem
(4) auf das folgende BLS-Optimierungsproblem reduziert werden kann:
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Es
wird somit das allgemeine BLS-Optimierungsproblem gemäß folgender
Gleichung (5) betrachtet:
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Die
Matrix H und der Vektor d weisen in Abhängigkeit von der
gewählten Formulierung (BLS oder RBLS) unterschiedliche
Werte auf.
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Dieses
beschränkte Optimierungsproblem ist mittels herkömmlicher
Optimieriungsalgorithmen schwierig zu lösen, wenn eine
hohe Abtastrate in Echtzeitumgebung bei begrenzter Prozessorkapazität
und hoher Anforderung hinsichtlich der Softwarezuverlässigkeit
vorliegt.
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Während
herkömmliche Lösungen lediglich spezifischen Situationen
gerecht werden, wird durch die vorliegende Erfindung eine effiziente
und zuverlässige Lösung für sämtliche
Problemvariationen bereitgestellt.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren basiert auf der Active-Set-Strategie
bei Fehlerquadratproblemen mit Randbedingungen (vgl. "Efficient
active set algorithms for solving constrained least squares problems
in aircraft control allocation", O. Härkegard,
Proc. of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. 2002, pp.
1295–1300”), wobei einige Modifikationen
zur Erhöhung der Effizienz des Verfahrens und zur Berücksichtigung
der Rangdefizienz der bei der Formulierung des Problems verwendeten
Matrix vorgenommen werden.
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Bei
der Lösung von Problemen mit einer Matrix mit vollem Rang
wird ein Newton-Schritt mit nur einer QR-Zerlegung verwendet, wohingegen
bei rangdefizitären Problemen eine Methode des steilsten
Abstieges (”steepest descent”) verwendet wird.
Die Umschaltung von der einen Lösungsstrategie auf die
andere Lösungsstrategie basiert auf einer soliden Auswertung
des Ranges der Matrix unter Anwendung der QR-Zerlegung. Hierdurch
wird eine schnelle Änderung der Problemeinstellung zu jedem
Abtastzeitpunkt ermöglicht.
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Bezeichnet
man die Iterationsvariable mit xk und das
entsprechende Working-Index-Set mit Ik,
so kann überprüft werden, ob xk die
Funktion in dem durch den Working-Index-Set definierten Unterraum
minimiert. Falls dies nicht der Fall ist, wird ein Schritt p berechnet,
indem ein Unterproblem (ECBLS) mit durch Gleichheitsbeziehung bestimmten
Randbedingungen gelöst wird, wobei diejenigen Randbedingungen,
welche dem Set Ik entsprechen, als durch
Gleichheitsbeziehung bestimmte Randbedingungen angesehen und alle übrigen Randbedingungen
vorübergehend außer Acht gelassen werden, d. h.
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Mit
anderen Worten liegen die Variablen an ihren jeweiligen unteren
oder oberen Grenzwerten, da für eine spezifische Variable
nicht zugleich beides der Fall sein kann. Somit weist das Active-Set
höchstens n Randbedingungen auf. Mit p = x – xk läßt sich das ECBLS-Problem
beschreiben als min p∥Hp – rk∥mit der Randbedingung
pi = 0, i ∈ Ik
wobei
rk = Hxk – d
gilt.
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Im
Folgenden wird angenommen, dass die Lösung pk des
ECBLS-Teilproblems ungleich Null ist. Es ist zu entscheiden, wie
weit eine Bewegung in dieser Suchrichtung erfolgen soll. Wenn xk + pk für
sämtliche Randbedingungen durchführbar ist, wird
xk+1 = xk + pk gesetzt. Andererseits wird xk+1 =
xk + αkpk gesetzt, wo bei die Schrittlänge αk so gewählt wird, dass sie dem
größten Wert im Intervall 0 < αk < 1 entspricht, für
den sämtliche Randbedingungen erfüllt sind.
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α
k kann berechnet werden, indem berücksichtigt
wird, was mit der Randbedingung für i
I
k geschieht, da die Randbedingungen i ∈ I
k unabhängig von der Wahl von α
k erfüllt sind. In Abhängigkeit
von dem Vorzeichen der Abstiegsrichtung muß überprüft
werden, ob die untere oder die obere Randbedingung für
jede inaktive Randbedingung verletzt wird. Wann immer p
k,i > 0 und
xk,i + pk,i ≥ xui für
einige i
I
k gilt, gilt die Ungleichung
xk,i + αkpk,i ≤ xui nur, falls die Ungleichung
erfüllt ist.
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Wenn
p
k,i < 0
und
xk,i + pk,i ≤ xli für
einige i
I
k, gilt
xk,i + αkpk,i ≥ xli nur
wenn
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Da α
k ∈ [0, 1] so groß wie
möglich sein soll, wird, abhängig von der Haltemöglichkeit,
der kleinste Wert von α
k für
sämtliche i
I
k gewählt. Wenn α
k < 1
gilt, d. h. der Schritt entlang p
k durch
einige Randbedingungen außerhalb von I
k blockiert
wird, wird ein neuer Set I
k+1 erzeugt, indem
eine oder mehrere Blockierungsrandbedingungen zu I
k hinzugefügt
werden.
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Die
Iterationen werden unter Hinzufügung von Randbedingungen
zu dem Working-Index-Set fortgeführt, bis ein Punkt erreicht
wird, an welchem die Funktion über dem aktuellen Working-Index-Set
minimiert ist. Für einen solchen Punkt gilt p
k =
0, und für alle ∀i ∈ I
k erfüllen
die Lagrange-Multiplikatoren die Beziehungen:
wobei g
k =
H
Tr
k der Gradient
am aktuellen Punkt x
k ist. Nun werden die
Vorzeichen der Multiplikatoren λ
k untersucht.
Wenn keiner der Multiplikatoren negativ ist, werden alle Optimierungsbedingungen
erfüllt, so dass die Schlußfolgerung gezogen werden
kann, dass x
k optimal ist. Wenn jedoch einer
der Multiplikatoren negativ ist, kann die Funktion abnehmen, indem
die entsprechende Randbedingung aus dem Set entfernt wird und ein neues
Teilproblem für den neuen Schritt gelöst wird.
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Um
die Abstiegsrichtung p
k herauszufinden,
muß das ECBLS-Problem (6) gelöst werden. Es versteht sich,
dass die Variablen p
k,i, i ∈ I
k auf Null fixiert sind, wohingegen die Variablen
p
k,i, i
I
k frei wählbar sind. Dies führt
zu einer einfachen Partition bzw. Zerlegung des Vektors p
k. Im Folgenden bezeichnen E b / k und E f / k die Submatrizen
der Einheitsmatrix E, welche aus den Spalten e
i,
i ∈ I
k bzw. e
i,
i
I
k besteht. Folglich ist die Matrix
Pk = [Efk Ebk ] eine Permutationsmatrix von
E. Für
ist
[pfk pfk ]T =
PTk pk eine Partition von p
k in
freie und beschränkte Variablen p f / k und p b / k. Da p b / k = 0 ist,
reduziert sich das ECBLS-Problem (6) auf das randbedingungsfreie
Optimierungsproblem:
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Folglich
erfüllt die optimale Lösung p f / k das System der linearen
Gleichungen
Hfk pfk = rk (8)wobei H f / k =
HE f / k. Die Lösung dieser Gleichung wird im Folgenden als Newton-Schritt
bezeichnet. Zur Lösung dieses Problems wird eine QR-Zerlegung
(QRD) von H f / k durchgeführt, um
zu erhalten.
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Wir
erhalten schließlich
Rfk pfk =
bk (9)wobei
Da R f / k eine obere Dreiecksmatrix
ist, läßt sich Gleichung (9) einfach lösen.
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Wenn
die Matrix H rangdefizient ist, läßt sich lineare
System (9) für p f / k nicht lösen. In diesem Falle
wird statt dessen eine Methode des steilsten Abstieges verwendet.
Die Suchrichtung p f / k wird als der negative Gradient am aktuellen Iterationspunkt
berechnet, d. h. pfk = –gfk (10)
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Die
Schrittlänge αk, welche
die Zielfunktion in der Richtung p f / k minimiert, kann in diesem Falle
größer als 1 sein. Sie wird analytisch berechnet,
indem die Ableitung der Kostenfunktion nach α gleich Null
gesetzt wird. Wie im Falle des vollen Rangs müssen auch
diejenigen Fälle berücksichtigt werden, in denen
die Randbedingungen verletzt sein können. Der Active-Set-Algorithmus
wird somit nur im Schritt zur Berechnung der Suchrichtung modifiziert.
Wenn der Rang der Matrix H kleiner als die Anzahl der Variablen
ist, wird die Richtung des steilsten Abstieges verwendet, anderenfalls
wird die Newton-Richtung verwendet.
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Die
beschriebenen Schritte gemäß der Active-Set-Methode
für BLS-Probleme sind in dem in dem Flußdiagramm
von 2 dargestellten Algorithmus zusammengefaßt.
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Die
Anzahl von Iterationen für den rangdefizitären
Fall ist möglicherweise groß. Dies hängt
von der gewünschten Genauigkeit εg der
Lösung ab, mit der die optimalen Randbedingungen erfüllt
werden, d. h. ∥gfk ∥ ≤ εg.
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Der
Startpunkt des Active-Set-Algorithmus muß zugänglich
sein. Für Probleme mit einer Matrix mit vollem Rang hängt
die optimale Lösung nicht von der Auswahl des Startpunktes
ab. Im rangdefizitären Fall führt jedoch das Starten
von unterschiedlichen Startpunkten aus zu unterschiedlichen Lösungen.
Da die Optimierung mit hoher Abtastrate wiederholt wird, kann davon
ausgegangen werden, dass sich die Daten für zwei aufeinanderfolgende
Optimierungen nicht wesentlich unterscheiden. Demzufolge kann auch
davon ausgegangen werden, dass deren optimale Lösungen
nahe beieinander liegen. Daher wird als Startpunkt für
eine aktuelle Optimierung die optimale Lösung der vorherigen
Optimierung verwendet.
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Der
Start-Working-Index-Set kann willkürlich gewählt
werden. Es hat sich herausgestellt, dass die effizienteste Auswahl
dem leeren Set entspricht. Andere Auswahlmöglichkeiten
wie beispielsweise das Set aktiver Randbedingungen vom Startpunkt
(oder eines nicht leeren ”Subsets”) führen
zu einer größeren Anzahl von Iterationen und erwiesen
sich daher als weniger effizient.
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Da
die QR-Zerlegung der zeitaufwendigste Schritt darstellt, führt
eine Reduzierung der Anzahl von QR-Zerlegungen zu einer Steigerung
der Effizienz des Verfahrens. Dies kann dadurch erreicht werden,
dass der Schritt der QR-Zerlegung für die Matrix Hfk =
HEfk aus dem Algorithmus eliminiert wird. Dies beruht auf dem Konzept,
anstelle einer Berechnung der QR-Zerlegung der Matrix H f / k bei jeder Änderung
des Working-Index-Set die Zerlegung zu aktualisieren.
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Hierzu
wird die QR-Zerlegung der Matrix H berechnet, d. h.
Es ergibt sich somit für
H f / k
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Wenn
die Spalten von E f / k in aufsteigender Reihenfolge geordnet werden (was
leicht implementierbar ist), ergibt sich das Produkt
wobei R f / k eine obere Dreiecksmatrix
darstellt. Es ergibt sich somit direkt die QR-Zerlegung von H f / k. In
der Praxis besteht die Möglichkeit, lediglich diejenigen
Spalten von R zu verwenden, welche den Indizes der freien Variablen
(d. h. denjenigen, die nicht zu dem Working Set gehören)
entsprechen. Auf diese Weise wird nur eine QR-Zerlegung außerhalb
der Optimierungsroutine benötigt. Daher muß, wenn
die Matrix H über die Zeit konstant gehalten wird, nur
eine QR-Zerlegung für die gesamte Betriebszeit verwendet
werden. Wenn jedoch H geändert wird, muß die zugehörige
QR-Zerlegung aktualisiert werden.
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Der
für die Matrix H abgeleitete Ausdruck stellt die Beziehung
zwischen den Befehlseingaben und den Karosseriekräften
her. Daher ist die Matrix H abhängig vom Fahrzeugzustand,
so dass sich grundsätzlich eine zeitabhängige
Matrix H(t) ergibt. In diesem Falle sind die Grenzwerte festgelegt,
da es sich hierbei gerade um die unteren und oberen Grenzwerte für
die Eingabebefehle handelt.
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Durch
Umformulierung der Gleichungen des Optimierungsproblems kann eine
Beschreibung des Optimierungsproblems mit einer konstanten Matrix
H erhalten werden. Im Falle zeitlich variabler Grenzwerte kann jedoch
der Fall eintreten, dass die Auswahl eines solchen Startpunktes
nicht realisierbar ist, so dass die ”Active-Set”-Methode
nicht konvergiert. In diesem Falle wird der nicht realisierbare
Startpunkt in die Begrenzung des realisierbaren Bereichs überführt.
Die Auswahl des Start-Working-Sets bleibt durch diese Änderung
unbeeinflußt und kann willkürlich erfolgen.
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Zusammengefaßt
können durch die vorliegende Erfindung diverse Arten linearer
Aktuatorzuordnungsprobleme gelöst werden. Das erfindungsgemäße
Verfahren kann sowohl für Probleme mit vollem Rang als auch
für rangdefiziente Probleme verwendet werden. Die Effizienz
des erfindungsgemäßen Verfahrens kann dadurch
gesteigert werden, dass eine QR-Zerlegung in den Iterationen eliminiert
und eine Optimierung der algebraischen Operationen durchgeführt
wird. Die Glattheit der Kurve, welche aus sämtlichen optimalen
Lösungen gebildet wird, kann über einen Regularisierungsparameter
gesteuert werden.
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Die
Erfindung kann in unterschiedlichen Bereichen wie beispielsweise
im Flugzeug-, Schiffahrts- und Fahrzeugbereich und in allen Systemen
verwendet werden, welche mit einer Mehrzahl von Aktuatoren ausgestattet
sind und in denen das Problem der Aktuatorzuordnung auftritt.
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ZITATE ENTHALTEN IN DER BESCHREIBUNG
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Zitierte Patentliteratur
-
- - EP 1447262
A1 [0003, 0031]
- - DE 102005015241 A1 [0004]
-
Zitierte Nicht-Patentliteratur
-
- - ”Efficient
active set algorithms for solving constrained least squares problems
in aircraft control allocation”, O. Härkegard,
Proc. of the 41st IEEE Conference on Decision and Control. 2002,
pp. 1295–1300 [0041]
Ik gilt, gilt die Ungleichung
erfüllt ist.
Ik besteht. Folglich ist die Matrix
ist
