DE3927299C2 - - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bewegungsbahnplanung, insbesondere für Flugkörper, gemäß dem Oberbegriff des Anspruchs 1.

Bei Geräten, die zwischen verschiedenen Orten (hier Start- und Zielpunkt genannt) bewegt werden sollen, wobei eine Vielzahl möglicher Wege in Frage kommen, stellt sich das Problem, wie der bezüglich wenigstens eines Optimierungsparameters, wie z. B. minimale Bewegungszeit, optimale Weg zuverlässig und ohne allzu großen Aufwand ermittelt werden kann. Insbesondere bei autonomen Flug­ körpern (z. B. cruise missile), die bevorzugt in geringen Flughöhen fliegen sollen, stellt sich das Problem welche Flugbahn einzuprogrammieren ist, da der gerade Flugweg mit laufendem Ansteigen und Abfallen des Flugkörpers entspre­ chend dem Höhenprofil der Landschaft längs dieses Weges in bezug auf Flugdauer und Treibstoffverbrauch im allgemeinen ungünstig ist. Auch vom Gesichtspunkt der Sicherheit, d. h. möglichst guter Deckung des Flugkörpers während des Fluges, ist der gerade Flug in aller Regel ungünstig, da dieser Deckungsmöglichkeiten nicht berücksichtigt. So sollten größere Wasserflächen sowie Berggipfel wegen geringer Deckung möglichst gemieden werden. Unter Umstän­ den muß während des Fluges die vorprogrammierte Flugbahn geändert werden, weil plötzlich ein Hindernis oder ein Gefährdungsbereich auftaucht. Eine erneute Bewegungsbahn­ optimierung während des Flugs unter Berücksichtigung dieser neuen Umstände wäre dann sehr wünschenswert. Nicht nur bei unbemannten Flugkörpern, Roboterfahrzeugen oder dergl. kann sich das Problem der Bewegungsbahnoptimierung stellen; auch bei bemannten Geräten, wie z. B. Flugzeugen, wäre es denkbar, für eine Selbststeuerung des Flugzeugs (Auto-Pilot) eine optimale Flugbahn zu ermitteln.

Aus der gattungsbildenden US-A 48 12 990 ist ein Verfahren zur Bewegungsbahnplanung bekannt, bei welchem ein zwischen einem Startpunkt und einem Zielpunkt liegendes Gebiet durch Festlegen einer Reihe von Stützstellen diskretisiert wird. Bei dem bekannten Verfahren wird unter den möglichen, in Start- und Zielpunkt endenden und über die Stützstellen verlaufenden Polygon-Bahnen die hinsichtlich eines Opti­ mierungsparameters optimale Polygon-Bahn ermittelt. Als Optimierungsparameter wird in dem bekannten Verfahren die Minimalität einer in der US-A 48 12 990 nicht näher beschriebenen Kostenfunktion verwendet. Diese Kostenfunk­ tion berücksichtigt Kostenbeiträge aus dem zu überflie­ genden Gelände, aus den in dem Gelände vorhandenen Ge­ fahrenstellen, aus Abweichungen von der kürzesten Verbin­ dung von Start- und Zielpunkt sowie aus der gesamten Weglänge.

Auf welche Art und Weise diese einzelnen Kostenbeiträge berechnet werden, ist der US-A 48 12 990 nicht zu entnehmen. Üblicherweise werden jedoch als Kostenfunkti­ onen einfache analytische Funktionen verwendet. Bei dem bekannten Verfahren muß daher für jeden einzelnen Wegab­ schnitt der Kostenbeitrags-Funktionswert in Abhängigkeit von bspw. das Gelände und die ihm vorhandenen Gefahren­ stellen beschreibenden Parametern berechnet werden. Bei einer Überprüfung der optimalen Flugbahn müssen sämtliche Beiträge erneut berechnet werden.

Die Genauigkeit, mit welcher die optimale Polygon-Bahn bestimmt werden kann, hängt von der Auflösung des Stütz­ stellen-Gitters ab. Jedoch steigt die zur Berechnung der optimalen Polygon-Bahn erforderliche Zeit mit zunehmender Auflösung des Stützstellen-Gitters stark an, da das gesamte erreichbare Stützstellen-Gitter überprüft werden muß. Die Bewegungsbahnplanung eines Flugkörpers muß während des Flugs in Echtzeit erfolgen. Durch diese Echtzeit-Forderung ist die mögliche Auflösung des Stütz­ stellen-Gitters begrenzt. In komplexen Situationen kann es sogar vorkommen, daß die mit der Echtzeit-Forderung verträgliche Auflösung nicht mehr den fliegerischen Anforderungen des Geländes genügt.

Demgegenüber liegt die Aufgabe der Erfindung darin, ein Verfahren anzugeben, welches durch eine zeitsparende Vorgehensweise stets eine ausreichend genaue Bestimmung der optimalen Bewegungsbahn erlaubt.

Die Aufgabe wird durch die Merkmale des Anspruchs 1 gelöst. Entsprechend einem Optimierungsparameter wird das Gebiet zwischen Startpunkt und Zielpunkt durch Hinzufügen von Geländeüberhöhungen oder künstlichen Hindernissen künstlich modelliert. Soll der Flugkörper beispielsweise sicher das Ziel erreichen, so werden Bereiche, von denen eine besondere Gefahr ausgeht, im Verteidigungsfall beispielsweise gegnerische Flugabwehr-Stellungen, mit künstlichen Hindernissen versehen. Hierdurch wird der Flugkörper gezwungen, den Gefährdungsbereich entweder zu umfliegen oder mit ausreichendem Sicherheitsabstand zu überfliegen. Bei der Berechnung der Kostenfunktion für einen bestimmten Wegabschnitt muß lediglich auf die künstlich modellierte Topographie des entsprechenden Wegabschnitts zugegriffen werden, um Kostenbeiträge, welche aus Gelände und darin befindlichen Gefahrenstellen resultieren, zu berücksichtigen. Ein solcher einfacher Speicherzugriff benötigt wesentlich weniger Rechenzeit als die Berechnung einer analytischen, den Kostenbeitrag beschreibenden Funktion.

Durch die Kombination einer Polygon-Bahn-Optimierungs­ rechnung mit einer anschließend ausgeführten kontinuier­ lichen Optimierungsrechnung kann die Auflösung, mit der die optimale Bahn berechnet wird, ohne nachteilige Aus­ wirkungen auf die Rechenzeit erhöht werden. Die optimale Polygon-Bahn kann auf einem entsprechend groben Stütz­ stellen-Gitter berechnet werden. Dies bringt eine sehr hohe Zeitersparnis, da, wie bereits erwähnt, das gesamte erreichbare Stützstellen-Gitter überprüft werden muß. Die in der Polygon-Bahn-Optimierungsrechnung aufgefundene optimale Polygon-Bahn liegt sicher in unmittelbarer Nähe der tatsächlich optimalen Bahn. Der in der anschließenden kontinuierlichen Optimierungsrechnung zu untersuchende Bereich kann dementsprechend eng eingegrenzt werden, was Rechenzeit spart. Somit kann das erfindungsgemäße Verfah­ ren zur Bewegungsbahnplanung auch in komplexen Situationen eine Echtzeit-Berechnung einer optimalen Flugbahn ausrei­ chender Auflösung gewährleisten.

In Schritt a) des erfindungsgemäßen Verfahrens wird also das zuvor in Schritt c) entsprechend einem Optimierungsparameter künstlich modellierte Gebiet mit einem relativ groben Raster überzogen. Hierauf werden in Schritt b) die durch diese Rasterpunkte gehenden möglichen Wege auf wenigstens eine Optimierungsbedingung hin überprüft. Da also das gesamte 2- oder 3-dimensionale Raumgebiet zwischen Start­ punkt und Zielpunkt untersucht wird, kann davon ausgegan­ gen werden, daß die ermittelte optimale Polygon-Bahn (durch die diskreten Stützstellen) in der Nähe des bei kontinuierli­ cher Berechnung sich ergebenden globalen Optimums liegt. Letzteres wird dann in Schritt d) ermit­ telt, wobei von der in Schritt b) ermittelten optimalen Polygon-Bahn als Startwert ausgegangen wird. Aufgrund des erwartungsgemäß in der Nähe des globalen Optimums liegenden Startwerts ergibt sich eine rasche Konvergenz des kontinuierlichen Optimierungsverfahrens, auch bei Durchführung des Verfahrens auf einem weniger leistungsfähigen Rechner mit relativ geringer Rechengeschwindigkeit und relativ gerin­ gem Arbeitsspeicher. Es hat sich herausgestellt, daß in den meisten Anwendungsfällen bereits ein relativ grobes Raster ausreicht, um in Schritt b) brauch­ bare Startwerte zu erhalten. So reicht es häufig, 100 × 100 Gitterpunkte oder sogar 50 × 50 Gitterpunkte festzu­ legen. Dementsprechend gering sind die Anforderungen an den Speicherbedarf und die Rechengeschwindigkeit des Rechners. Als Bewegungsbahnrechner reicht daher in den meisten Fällen ein Rechner in Personal-Com­ putergröße aus. Ein derartiger Rechner benötigt zur Ermittlung der optimalen Bahn eine Rechenzeit im Minuten­ bereich, was einen "Echtzeit-Betrieb" ermöglicht, also eine laufende Bewegungsbahnoptimierungsrechnung auch während des Fluges zur Berücksichtigung sich ändernder Flugbedingungen.

Bevorzugt ist ein Schritt e) zwischen Schritt b) und d) vorgesehen, in welchem die gemäß Schritt b) ermittelte, optimale Polygon-Bahn geglättet wird, wobei die geglättete optimale Polygon-Bahn dann als Startwert für Schritt d) genommen wird. Aufgrund dieser Glättung des Startwertes ergibt sich eine noch raschere Konvergenz des kontinuierlichen Optimierungsverfahrens.

Durch Parallelisieren von Schritt b) kann mit Parallel-Rechnern gearbei­ tet werden mit entsprechender Reduzierung der Rechenzeit.

Ein einfaches attraktives Verfahren, um im diskreten Raum die globale Lösung aufzufinden und nicht in ein lokales Minimum zu landen, ist das BELLMAN′SCHE Verfahren, welches also bevorzugt im Schritt b) eingesetzt wird.

Zur Glättung im Schritt e) wird bevorzugt das Least- Square-Verfahren eingesetzt, wobei man beispielsweise für die gesuchte Bahn einen Fourier-Reihenansatz wählt.

Für den Schritt d) wird bevorzugt der NELDER-MEAD- oder der POWELL-Algorithmus eingesetzt. Diese Standardverfahren liefern rasch das nächstgelegene Minimum. Aufgrund des im Schritt b) ermittelten Startwertes in der Nähe des globa­ len Minimums (Optimum) ergibt sich als Ergebnis des Schritts d) das gesuchte Optimum.

Der Einfachheit halber kann die Bahn als Funktion darge­ stellt werden. In den Fällen, in denen kompliziertere Bahnen, wie z. B. Mäander-Bahnen in Frage kommen, wird die Bahn bevorzugt in Parameterform dargestellt.

Erfindungsgemäß ist ferner vorgesehen, daß man in den Schritten b) und/oder d) mehrere wahlweise gewichtete Optimierungsparameter, insbesondere minimale Gefährdung und Schnelligkeit oder minimale Gefährdung und Treib­ stoffverbrauch, berücksichtigt.

Auch können in den Schritten b) und/oder d) Nebenbedin­ gungen, insbesondere minimales Flughöhenprofil, oder Fliegbarkeitsbedingungen, insbesondere maximale Beschleu­ nigung oder minimaler Flugkurvenradius, berücksichtigt werden.

Die Erfindung wird im folgenden an Hand der Zeichnung an bevorzugten Ausführungsbeispielen erläutert. Es zeigt:

Fig. 1 in einer Geländedraufsicht eine nach diskreter Optimierungsrechnung ermittelte Flugbahn;

Fig. 2 eine Draufsicht entsprechend Fig. 1 mit der Flugbahn gemäß Fig. 1 als Startwert für eine kontinuierliche Optimierungsrechnung mit der sich dann ergebenden optimalen Flugbahn;

Fig. 3 eine Geländedraufsicht auf ein Ausführungsbeispiel mit Geländerasterung und Höhenangaben sowie mit drei erfindungsgemäß ermittelten Flugbahnen 1, 2, 3, die jeweils bezüglich unterschiedlicher Optimierungsparame­ ter (sicher oder schnell oder minimaler Treib­ stoffverbrauch) optimal sind;

Fig. 4 die Flugbahn 1 in Fig. 3 in Seitenansicht mit Landschafts-Höhenprofil;

Fig. 5 die Flugbahn 2 in Fig. 3 in Seitenansicht mit Landschafts-Höhenprofil;

Fig. 6 die Flugbahn 3 in Fig. 3 in Seitenansicht mit Landschafts-Höhenprofil;

Fig. 7 eine Draufsicht auf ein Labyrinth mit erfindungsgemäß ermittelter Bewegungsbahn;

Fig. 8 eine Draufsicht auf ein Labyrinth entsprechend Fig. 7 mit einer von einem anderen Ausgangspunkt ausgehenden optimalen Bahn und

Fig. 9 ein Ablaufdiagramm zur Erläuterung des erfindungsgemäßen Optimierungsverfahrens.

Bei der Bewegungsbahnoptimierung geht man prinzipiell so vor, daß über alle möglichen Bahnen oder Wege eine Kostenfunktion L, die von der jeweiligen Strategie ab­ hängt, aufsummiert und die sich hieraus ergebenden Ge­ samtkosten dieses Weges mit den Gesamtkosten anderer Wege vergleicht und denjenigen Weg heraussucht, der minimale Gesamtkosten hat. Man weist also jedem Weg eine Zahl, ein sog. Kostenfunktional J, zu:

mit

Hierbei stehen die Vektoren i, j, und k für die drei kartesischen Koordinatenrichtungen, die Zahlen x, y und z für die jeweiligen kartesischen Komponenten und t für die Zeit. L enthält sowohl die Flugdynamik als auch Eigen­ schaften des Raumes, wie z. B. Hindernisse oder tatsächli­ che oder angenommene Geländeformen. Die Ermittlung des optimalen Wegs ist somit ein Problem der Variationsrech­ nung bzw. Optimierungsrechnung. Durch Variation von J entstehen die EULER-LAGRANGE-Gleichungen. Deren zugehörige partielle Differentialgleichung ist die HAMILTON-JAKOBI- Gleichung, die numerisch gelöst werden kann.

In der Kostenfunktion L drückt sich aus, welche Strategie der Optimierung zugrundegelegt werden soll, d.h. also bezüglich welches Optimierungsparameters bzw. welcher Optimierungsparameter der zu wählende Weg optimal sein soll. Hierbei kommen reine Strategien, wie Schnelligkeit (minimale Flugzeit), ohne Rücksicht auf andere Gesichts­ punkte, wie z.B. Treibstoffverbrauch, in Frage oder auch Mischstrategien, bei denen mehrere Parameter mit vorgege­ bener Wichtung bei der Optimierung zu berücksichtigen sind, wie beispielsweise Sicherheit und Schnelligkeit oder Sicherheit und Treibstoffverbrauch.

Die Höhe z des Flugkörpers über der Erdoberfläche kann als Maß für die Sicherheit des Flugkörpers gegenüber Fremd­ einwirkung angenommen werden (z soll möglichst klein sein, da möglichst tiefer Flug angestrebt wird).

Eine Kostenfunktion, die sowohl die Flugdauer berücksich­ tigt als auch die so definierte Sicherheit, hat die folgende Form:

Die erste Klammer mit den quadrierten Geschwindigkeits­ komponenten ist ein Maß für die Flugzeit; die zweite Klammer ist ein Maß für die Sicherheit, wobei der Parame­ ter R das Verhältnis von Schnelligkeit zu Sicherheit bei der Optimierung regelt. Für R gegen unendlich ergibt sich beispielsweise der Grenzfall der Flugdauerminimierung.

Das Variationsproblem muß unter folgenden Nebenbedingungen gelöst werden:

z(t) V(x(t),y(t)). (4)

V (x(t),y(t)) ist die Höhe der effektiven Landschaft, die sich aus folgenden Anteilen zusammensetzen kann:

Gefährdungsgebiete werden also dadurch berücksichtigt, daß diese hohe effektive V-Werte erhalten, wie z.B. Wasserge­ biete und Berggipfel, wohingegen Gebiete mit guten Dec­ kungsmöglichkeiten niedrige V-Werte erhalten. Durch die Überlagerung der verschiedenen Landschaftsanteile Vi "sieht" der Flugkörper bzw. berücksichtigt die Optimie­ rungsrechnung ein Gelände, das stark vom natürlichen Terrain abweichen kann und deshalb als effektive Land­ schaft bezeichnet wird.

Gilt das Gleichheitszeichen in der Gleichung 4, dann ist z(t) vorgegeben (holonome Zwangsbedingung für das Varia­ tionsproblem) und kann daher aus L₁ eliminiert werden. Die 3-dimensionale Bewegung beschränkt sich also auf eine vorgegebene (im allgemeinen 3-dimensionale) Fläche mit den beiden Freiheitsgraden x und y. Dieser Fall trifft beispielsweise auf ein Roboter-Fahrzeug zu und näherungs­ weise auch für Flugkörper, soweit es seine Flugeigen­ schaften gestatten, dem Gelände bzw. der effektiven Landschaft exakt zu folgen. Im allgemeinen ist der Flug­ körper hierzu nicht in der Lage, so daß die holonome Zwangsbedingung gelockert werden muß und z(t) in Gleichung 4 auch größer als V sein kann. Um jedoch die Abweichung von der vorgegebenen effektiven Landschaft bei der Bahn­ optimierung möglichst gering halten zu können, wird eine zur Kostenfunktion L₁ hinzukommende, als Straffunktion bezeichnete Funktion L₂ der folgenden Form eingeführt:

L₂ = K₁ · [z(t) - V(x(t),y(t))]² · R(V(x(t),y(t)) - z(t)]. (6)

R ist die Stufenfunktion, die immer dann 1 ist, wenn z(t) unterhalb von V liegt (sonst 0); damit wird in Abhängig­ keit vom freiwählbaren Parameter K₁ (K₁ wesentlich größer als 0) ein Abweichen von der effektiven Landschaft "be­ straft".

Eine weitere Nebenbedingung kann darin bestehen, daß die maximale Beschleunigung in Z-Richtung auf einen vorgebba­ ren maximalen Wert a_z beschränkt wird:

| (t) | a_z. (7)

Desgleichen kann auch der Grad der Richtungsänderung (Krümmung) der Flugbahn in der Fläche V (x, y) auf einen Wert a_x,y beschränkt werden:

[((t))² + ((t))²]^1/2 a_xy. (8)

Diese Nebenbedingungen können durch Zuordnung von weiteren Straffunktionen (wie L₂) berücksichtigt werden und/oder bei der nachfolgenden kontinuierlichen Optimierungsrech­ nung als Nebenbedingung für die zu errechnende Bahnkurve eingeführt werden. Eine weitere derartige Nebenbedingung ist bspw. die Maximalgeschwindigkeit U_max:

² + ² + ² U²_max. (8a)

Sind die Abweichungen in z(t) von V klein, dann entkoppelt das Variationsproblem in erster Näherung in eine Wegsuche auf der Fläche V mit den Variablen x,y und unabhängig davon in eine Suche nach der Vertikalkomponente z(t) über dem Weg x(t), y(t), was als "Terrain following" bezeichnet werden kann.

In der Näherung z(t) = V(x(t),y(t)) und im Grenzfall R→∞ reduziert sich das Problem auf die Suche nach den geodä­ tischen Linien, also den kürzesten Verbindungslinien auf der (nichteuklidischen) Fläche V. Bei konstanter Ge­ schwindigkeit des Flugkörpers ergeben die Geodäten die optimalen Wege bezüglich der Flugdauer. Im Falle großer aber endlicher Werte von R kann von der allgemeinen Parameterdarstellung x(t), y(t) zu der einfacheren Funkti­ onsdarstellung y(x) übergegangen werden, die jedoch Eindeutigkeit fordert, so daß Mäanderschleifen ausge­ schlossen sind.

Zur Berücksichtigung des Treibstoffverbrauchs kann ein weiterer Kostenfunktionsbeitrag L_V eingeführt werden gemäß folgender Gleichung:

Hierbei ist mit dJ der infinitesimale Energieverbrauch entlang eines infinitesimalen Wegstücks ds bzw. dx be­ zeichnet, bestehend aus einem Reibungsterm und einem Term, der immer dann von Null verschieden ist, wenn der Flugkörper ansteigen muß:

Hierbei ist mit m die Masse, mit Q die Querschnittsfläche des Flugkörpers, mit u seine Geschwindigkeit, mit ρ die Luftdichte, mit g die Gravitationskonstante und mit c_w der Widerstandsbeiwert bezeichnet.

An Hand von Fig. 9 wird im folgenden die erfindungsgemäße Vorgehensweise bei der Bahnoptimierung erläutert.

Als erstes wird das zutreffende, den Start- und Zielpunkt aufweisende Gelände ausgewählt (Block 10 in Fig. 9).

Als nächstes werden in einem Block 12 Gefahrenzonen ermittelt, insbesondere Bereiche geringer Deckung wie Wasserflächen und Berggipfel, und dementsprechend künst­ liche Geländeerhöhungen oder Geländehindernisse einge­ speichert. Diese Hindernisse wirken sich über die Glei­ chung 4 auf die Kostenfunktion L₁ gemäß Gleichung 3 aus, so daß im Ergebnis die Gefahrenzonen in die Kostenfunkti­ onen eingehen und folglich in der Optimierungsrechnung entsprechend berücksichtigt werden. Es sind jedoch auch Fälle denkbar, in welchen Block 12 übersprungen werden kann, da mit dem natürlichen Gelände gerechnet werden kann (unterbrochene Verbindungslinie zwischen Block 10 und dem auf Block 12 folgenden Block 14).

Im Block 14 wird festgelegt, welche der möglichen Strate­ gien S1, S2 usw. der Optimierungsrechnung zugrunde gelegt werden soll, ob beispielsweise eine möglichst sichere Flugbahn (Fig. 4), eine möglichst schnelle Flugbahn (Fig. 5) oder eine Flugbahn mit minimalem Treibstoffverbrauch (Fig. 6) ermittelt werden soll. Es sind hierbei auch Mischstrategien möglich, wie beispielsweise "möglichst schnell und sicher" (Gleichung 3).

Es wird dann die der jeweiligen Strategie zugeordnete Kostenfunktion der Optimierungsrechnung zugrundegelegt.

Je nachdem, ob relativ einfache oder mäanderartige Bahnen zu erwarten sind, wird auf den Block 14 folgend entweder eine diskrete Wegsuche in Funktionsdarstellung (Block 16) (im Falle einfacher Bahnen) oder eine diskrete Wegsuche in Parameterdarstellung (Block 18) vorgenommen.

Die Kostenfunktion L₁ im Falle der Funktionsdarstellung y(x) hat die folgende Form:

mit

Bei der Optimierungsrechnung wird generell das eingangs definierte Kostenfunktional J minimiert, wobei der als existent vorausgesetzte Minimalwert im folgenden mit S bezeichnet wird. Im Fall der Funktionsdarstellung gilt

Für den Minimalfall J=S ist auch der 1. Summand auf der rechten Gleichungsseite wegen der Optimalität der Teilwege ein Minimum. Für kleine Δx kann man daher folgende Rekursionsformel ableiten:

Dies ist die diskrete Form der HAMILTON-JAKOBI-Gleichung. Sie wird iterativ gelöst (BELLMAN′SCHES Verfahren in Bellman, R.: Dynamic Programming, New York, Princeton University Press 1957), in dem man in einem Iterations­ schritt mehrere Steigungen y′(x₁) ausprobiert. Dabei ist sichergestellt, daß man innerhalb des diskreten Raums die globale Lösung erhält (wahres Minimum) und nicht in einem lokalen Minimum landet. Durch die Wahl der y′(x₁) wird ein diskretes 2-dimensionales Gitter aufgespannt. Die Rechen­ zeit ist proportional zur Anzahl der Gitterpunkte n.

Für die Parameterdarstellung (x(t), y(t)) ist der Suchraum ein 3-dimensionales Gitter mit Rechenzeit proportional n^3/2.

Das selbe Verfahren wird auch mit L₂ für die z-Komponente durchgeführt, wobei die Nebenbedingung (Gleichung 7) schon bei der Wahl der verschiedenen Richtungen y′(x₁) berück­ sichtigt wird.

In Fig. 1 ist für den Fall der Funktionsdarstellung die Verfahrensweise vereinfacht dargestellt. Geht man bei­ spielsweise vom Zielpunkt A aus, so werden beispielsweise fünf verschiedene Steigungen y′ (z. B. -60°, -30°, 0°, +30°, +60°) festgelegt sowie eine Itera­ tionsschrittweite Δx. Durch entsprechende orthogonale Transformation ist das x,y-Koordinatensystem des Geländes derart gedreht, daß Start und Ziel auf der X-Achse liegen. Ausgehend beispielsweise vom Zielpunkt A wird dann in das Gebiet zwischen Ziel und Start eine Reihe von zur Y-Rich­ tung parallelen Ebenen E1 gelegt, jeweils im Abstand Δx.

Vom Zielpunkt A werden den vorgebenen fünf Steigungen entsprechende Geraden in die Fläche gelegt und deren Schnittpunkte P11, P12, P13, P14 und P15 mit der nächst­ folgenden Ebene E1 ermittelt. Für jeden dieser Punkte wird das Funktional J bzw. dessen Minimum S ermittelt. Für die Punkte in der ersten Ebene E1 ist die Lösung trivial, da hier stets die unmittelbare Verbindung zwischen dem betreffenden Punkt und dem vorangegangenen Zielpunkt A der optimale Weg ist.

Anders ist dies in den Punkten der weiteren Ebenen, z. B. in den Punkten P21 bis P29 der nächstfolgenden Ebene E2. Diese Punkte ergeben sich wiederum dadurch, daß in jedem der Punkte P11 bis P15 der Ebene E1 die fünf Geraden mit den vorgegebenen Steigungen gelegt werden und die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene E2 festgestellt werden. Bei der Ermittlung des Minimalwerts S für jeden der Punkte P21 bis P29 der Ebene E2, beispielsweise für den Punkt P24 geht man gemäß Gleichung 14 so vor, daß man von diesem Punkt P24 zu den Punkten P11 bis P15 der Ebene E1 Verbindungsstrecken a1, a2, a3, a4 und a5 zieht und für jede dieser Strecken den Streckenanteil am Kostenfunktio­ nal J berechnet, also L(x, y, y′) · Δx. Addiert man zu diesem den Wert von S des entsprechenden Punktes in der Ebene E1, so ergibt sich hieraus das Kostenfunktional J für den Weg von P24 über den betreffenden Punkt der Ebene E1 zum Zielpunkt A. Es ist nun ein leichtes, durch Ver­ gleich der verschiedenen Kostenfunktionale J für die jeweils über einen der Punkte P11 bis P15 der Ebene E1 laufenden Bahnen zwischen dem Punkt P24 und dem Zielpunkt A das Minimum S zu ermitteln. In entsprechender Weise werden die Werte S für die anderen Punkte der Ebene E2 sowie für die restlichen Ebenen zwischen Ziel und Start ermittelt.

Im Ergebnis sind also für sämtliche Netz- oder Gitter­ punkte zwischen Ziel A und Start B die Minimalwerte S bekannt sowie der dem jeweiligen Minimalwert zugeordnete optimale Weg zwischen dem jeweiligen Punkt und dem Ziel A. Sobald dieses Verfahren zum Startpunkt B gelangt ist, liegt das gewünschte Ergebnis vor, nämlich der diesem Punkt zugeordnete Minimalwert S samt zugehöriger optimaler Bahn.

Je nach verwendeter Strategie erhält man unterschiedliche optimale Bahnen. In Fig. 1 ist mit einer Doppellinie eine Bahn 30 angedeutet, die sich dann ergibt, wenn Geländeer­ hebungen (Bereich D) gemieden werden sollen (Strategie: sicher). Wenn es dagegen auf minimalen Treibstoffverbrauch ankommt, so daß die Weglänge gering gehalten werden muß, so ergibt die Optimierungsrechnung beispielsweise eine Bahn 32, die teilweise in den erhöhten Bereich D ein­ dringt, der in Fig. 1 durch zwei Höhenschichtlinien 20 und 22 angedeutet ist.

Gemäß Fig. 9 wird in einem folgenden Block 40 eine Glät­ tung des ermittelten, einem Polygonzug entsprechenden Weges vorgenommen, wozu bevorzugt eine Ausgleichsrechnung mit Fourier-Reihenansatz durchgeführt wird. Für die geglättete Funktion (x) gilt folgende Bedingung:

(x) stellt ein vollständiges System dar, welches jede Funktion beliebig genau approximiert. a bezeichnet die Fourierkomponenten. x₀ und x₁ bezeichnen die x-Koordinaten von Start und Ziel. Der Summationsindex k läuft zwischen 1 und dem Grenzwert N. Dieser wird vorzugsweise gleich 7 gewählt, um zu starke Krümmungen der Bahnkurve auszu­ schließen und damit die entsprechende Nebenbedingung zu erfüllen. Durch Erweiterung dieses Ansatzes können auch vorgegebene Steigungen in Start und Ziel berücksichtigt werden.

In Fig. 2 ist mit unterbrochener Linie der Polygonzug der Bahn 30 gemäß Fig. 1 wiedergegeben und mit durchgezogener Linie diese Bahn 30′ nach entsprechender Glättung.

Unter Verwendung dieser Bahn wird dann in einem Block 42 das durch diese Bahn definierte Höhenprofil ermittelt und eine diskrete Flugwegberechnung längs dieses Profils zur Ermittlung der z-Komponente der Bewegungsbahn durchge­ führt.

Mit y(x), eingesetzt in die Kostenfunktion L, erhält man nach Ausintegration eine multidimensionale Funktion I mit N Variablen a_k, die als die RITZ'schen Parameter bezeich­ net werden:

I(a₁,a₂, . . .,a_N) = ∫ L((x),(x)′,x) dx. (16)

Die Aufgabe besteht nun in der Minimierung der Funktion I, wobei Standardverfahren angewandt werden, vorzugsweise der NELDER-MEAD-Algorithmus (Nelder, J.A. and Mead, R. in Computer Journal, Vol. 7, 308 (1965)) oder der POWELL-Al­ gorithmus (Brent, R.R.: "Algorithms for Minimization without derivations", Erylewood Cliffs, Prentice Hall). Dieser Rechnungsschritt ist in Fig. 9 durch den Block 44 versinnbildlicht.

Als Ergebnis erhält man den optimalen Weg entweder in Funktionsdarstellung (Block 46) oder in Funktionsdar­ stellung (Block 48).

Da die diskrete Wegsuche entsprechend Block 16 oder 18 eine Lösung im diskreten Suchraum liefert, die in aller Regel, so auch bei Flugwegproblemen, im Einzugsbereich des globalen Minimums im kontinuierlichen Raum liegt, erhält man nach Durchführung der kontinuierlichen Optimierungs­ rechnung eine im Globalminimum liegende Lösung. Eine direkte Anwendung der kontinuierlichen Optimierungs­ rechnung würde in aller Regel zu einem lokalen Minimum führen, welches mehr oder weniger weit vom Optimum ent­ fernt ist. Auch kann im Block 44 die z-Komponente unmittelbar miteinbezogen werden, unter Aufgabe der bisherigen Entkopplung.

In Fig. 2 ist als Ergebnis der kontinuierlichen Optimie­ rungsrechnung die erhaltene Bahn 30′′ mit einer Strich- Punkt-Punkt-Linie angedeutet.

In den Fig. 3 bis 6 ist ein weiteres Ausführungs­ beispiel dargestellt. Man erkennt in Fig. 3 ein mit Höhenrasterung versehenes Gebiet mit Startpunkt B und Ziel A am unteren bzw. oberen Bildrand. Einigen Rasterstufen sind in Fig. 3 Höhenangaben zugeordnet.

Mit der Strategie möglichst großer Sicherheit (d. h. Vermeiden von Erhebungen auch unter Inkaufnahme von Umwegen) wurde die Flugbahn 1 ermittelt.

Die Flugbahn 2 folgt im wesentlichen einer geodätischen, da es hier um möglichst kurze Flugdauer geht.

Die Flugbahn 3 minimiert den Treibstoffverbrauch, d. h. versucht möglichst wenig anzusteigen und dabei möglichst kurz zu sein.

Fig. 7 zeigt ein Labyrinth. Das erfindungsgemäße Verfahren liefert selbst bei derart komplizierter Situation einen brauchbaren Weg zwischen Zielpunkt A und Startpunkt B. Liegt der Startpunkt B an anderer Stelle, so ergibt sich unter Umständen ein anderer optimaler Weg, wie Fig. 8 zeigt. In beiden Fällen wird die Berechnung in Parameter­ darstellung des gesuchten Weges durchgeführt.

Die Blöcke 14, 16 und 18 können als abgeschlossene Rechen­ operationen einer ersten Recheneinheit 50 zugeordnet werden und dementsprechend der Block 44 einer zweiten Recheneinheit 52, der Block 40 einer dritten Recheneinheit 54 und der Block 42 einer vierten Recheneinheit 56 (in Fig. 9 mit unterbrochenen Umrißlinien angedeutet).

Die in Zusammenhang mit der Gleichung 14 angesprochene iterative Lösung der HAMILTON-JAKOBI-Gleichung ermöglicht erfindungsgemäß eine Parallelisierung bei der Rechnungs­ durchführung, d. h. mehrere Rechenschritte können, unab­ hängig voneinander, gleichzeitig durchgeführt werden. Dementsprechend reduziert sich der Rechenzeitbedarf. Es können Parallel-Rechner eingesetzt werden, die zumeist eine Vielzahl von Prozessoren aufweisen, zur gleichzei­ tigen Durchführung der Rechnungen.

Die Parallelisierung ist deshalb möglich, weil, im Falle der Funktionsdarstellung, bei der Berechnung des Minimal­ werts S in einem Punkt lediglich diejenigen Kostenfunk­ tionale bekannt sein müssen, die in der vorangegangenen Ebene E liegen und die von dem momentan zu berechnenden Punkt aus erreichbar sind (begrenzter Steigungsbereich).

Wählt man die Parameterdarstellung, so ergibt sich in entsprechender Weise, daß man für die Berechnung im Zeitschritt i in einem Gitterknoten (x (t = i), y (t = i)) nur die Informationen der in Frage kommenden Nachbarknoten zum vorangegangenen Zeitschritt t = i-1 benötigt.

Man kann mehrere Knoten zu einem Verband für einen Pro­ zessor zusammenfassen, um den Kommunikationsaufwand zwischen den Prozessoren zu beeinflussen. Auch kann jeder Prozessor mit einem lokalen Speicher versehen sein.

Insgesamt ergibt sich eine drastische Reduzierung der Rechenzeit, die im Falle der Parameterdarstellung bei sequenzieller Rechnung proportional zu n^3/2 ist und bei paralleler Verarbeitung auf die Größenordnung √ reduziert wird.

Claims (10)

1. Verfahren zur Bewegungsbahnplanung, insbesondere für Flugkörper, mit folgenden Schritten:

• a) Diskretisieren eines Gebiets zwischen einem Startpunkt und einem Zielpunkt durch Festlegen einer Reihe von Stützstellen,
• b) Ermitteln einer hinsichtlich eines vorgegebenen Opti­ mierungsparameters optimalen Polygon-Bahn unter den möglichen, in Start- und Zielpunkt endenden und über die Stützstellen verlaufenden Polygon-Bahnen,

dadurch gekennzeichnet,
daß das den Schritten a) und b) zugrundeliegende Gebiet zwischen Start und Ziel in einem vorangegangenen Schritt c) künstlich modelliert wird mit entsprechend einem Optimierungsparameter, insbesondere der minimalen Gefähr­ dung, festgelegten Geländeüberhöhungen oder künstlichen Hindernissen, ggf. in Gefahrenzonen, und
daß nach dem Schritt b) ein Schritt d) vorgesehen ist, in welchem die in Schritt b) ermittelte optimale Polygon-Bahn in einer kontinuierlichen Optimierungsrechnung weiter verfeinert wird.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß ein Schritt e) zwischen Schritt b) und d) vorgesehen ist, in welchem die gemäß Schritt b) ermittelte, optimale Polygon-Bahn geglättet wird, wobei die geglättete optimale Polygon-Bahn dann als Startwert für Schritt d) genommen wird.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß man den Schritt b) paralleli­ siert.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1-3, dadurch gekennzeichnet, daß man im Schritt b) das Bellman′sche Verfahren einsetzt.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1-4, dadurch gekennzeichnet, daß man im Schritt e) das Least-Square-Verfahren einsetzt.

6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1-5, dadurch gekennzeichnet, daß man im Schritt d) einen diskreten Minimumsuch-Algorithmus, vorzugsweise den Nelder-Mead-Algorithmus oder den Powell-Algorithmus, einsetzt.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1-6, dadurch gekennzeichnet, daß man im Schritt b) die Bahn als Funktion oder in Parameterform darstellt.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1-7, dadurch gekennzeichnet, daß man in den Schritten b) und/oder d) wenigstens einen wahlweise gewichteten Optimierungsparameter, insbesondere minimale Gefährdung und Schnelligkeit oder minimale Gefährdung und Treibstoffverbrauch, berücksichtigt.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1-8, dadurch gekennzeichnet, daß man in den Schritten b) und/oder d) Nebenbedingungen, insbesondere minimales Flughöhenprofil (z v) oder Fliegbarkeitsbedingun­ gen, insbesondere maximale Beschleunigung (| (t) | a_z) oder minimaler Flugkurvenradius, berücksichtigt.