DE3885650T2

DE3885650T2 - Verfahren und Einrichtung zur dreidimensionalen Darstellung von zweidimensionalen Messungen der Strahlungsschwächung.

Info

Publication number: DE3885650T2
Application number: DE3885650T
Authority: DE
Inventors: Pierre Grangeat
Original assignee: Commissariat a lEnergie Atomique CEA
Current assignee: Commissariat a lEnergie Atomique et aux Energies Alternatives CEA
Priority date: 1987-05-21
Filing date: 1988-05-20
Publication date: 1994-05-19
Anticipated expiration: 2008-05-21
Also published as: US5124914A; FR2615619A1; JPH01503490A; ES2047570T3; EP0292402B1; WO1988009148A1; DE3885650D1; EP0292402A1; CA1305566C; FR2615619B1

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung eines Objekts durch Bestrah-Iungen sowie eine zur Anwendung dieses Verfahrens untersuchte Vorrichtung. Eine dreidimensionale Rekonstruktion erfolgt durch die Verarbeitung einer Serie von zweidimensionalen Messungen der Abschwächung der Strahlung durch das Objekt, Messungen, zwischen welchen man den Einfall der Strahlung verändert.
Die zweidimensionale Bilderzeugung aus zweidimensionalen Messungen der Abschwächung einer Strahlung ist wohlbekannt. Die Apparatur umf aßt eine Quelle geeigneter Strahlungen, für medizinische Untersuchungen etwa Röntgenstrahlen. Das zu untersuchende Objekt wird zwischen die Strahlungsquelle und ein empfindliches Papier oder einen empfindlichen Film gebracht, deren Punkte in Abhängigkeit von der Intensität der Strahlen am Ausgang des Objekts belichtet werden. Die auf dem Bild beobachteten Kontraste zeigen die Lage der mehr oder weniger absorbierenden Bereiche des Objekts an.
Die so erhaltenen Informationen sind freilich für gewisse Anwendungen nicht ausreichend, und es wurden Methoden zur dreidimensionalen Rekonstruktion des Objekts vorgeschlagen.
Die Methoden der Tomographie durch magnetische Resonanz erfordern kostspielige Anlagen und eine sehr hohe Homogenität des magnetischen Feldes, in welches das zu untersuchende Objekt gebracht wird. Ferner sind die für eine dreidimensionale Rekonstruktion notwendigen Meßzeiten sehr hinderlich. Diese Einschränkungen begrenzen somit den Nutzen dieser Methoden.
Es wurde ferner vorgeschlagen, dreidimensionale Rekonstruktionen durch die Überlagerung von zweidimensionalen Rekonstruktionen oder Scheiben des Objekts zu erzeugen. Die Kollimation einer Röntgenstrahlungsquelle erlaubt, eine Strahlung in Fächerform zu erhalten, die eine Scheibe des Objekts durchguert und anschließend eine Zeile von Empf ängern belichtet. Die Quelle dreht sich um das Objekt, so daß ein und dieselbe Scheibe unter verschiedenen Winkeln bestrahlt wird. Die aufeinanderfolgenden Messungen werden gespeichert, und ein Rechner erlaubt, in jedem Gitterpunkt der Scheibe den lokalen Beitrag zur Abschwächung zu bestimmen. Die Quelle und die Empfänger werden anschließend verschoben und an eine andere Scheibe gebracht, um welche sie auf einer zur vorigen parallelen Bahn umlaufen.
Die Untersuchungszeit hängt damit von der angenommenen Zahl der Bahnen ab. Leider ist es in der Praxis nicht möglich, sich ein axial ebenso detailliertes Meßschema wie das Meßschema für das Innere einer Scheibe zu erlauben. Ebenso besteht die Gefahr, daß das Objekt sich zwischen der Untersuchung zweier Scheiben verschiebt, was die Unsicherheiten der Lokalisierung vermehrt.
Ein anderer Nachteil ist mit der Kollimation verbunden, welche die Energieausbeute der Quelle reduziert und Abschaltungen des Geräts im Lauf der Untersuchung nötig machen kann, um es abkühlen zu lassen.
Es wurden ebenfalls Verfahren vorgeschlagen, die ein kegelförmiges Bündel verwenden, das sich um das Objekt dreht und mit dessen Hilfe man mehrere Bestrahlungen durchführt, die ebenso viele zweidimensionale Bilder des Objekts liefern. Wenn genügend viele dieser Bilder vorliegen, so kann ein Rechner diese Bilder analysieren und kombinieren, um ein dreidimensionales Bild des Objekts zu rekonstruieren. Diese Verfahren benutzen das, was man die Radon-Transformierte der Abschwächung der Strahlung in jedem Gitterpunkt des Objekts nennt. Die Radon-Transformierte einer Funktion in einem Punkt ist gleich der Gesamtheit der Summen über die lokalen Werte dieser Funktion auf jeder Ebene, die durch mindestens einen Punkt des Gebiets geht, auf dem die Funktion erklärt ist. Man beschränkt sich natürlich in der Praxis auf eine diskrete Topologie mit einer endlichen Anzahl von Ebenen, um die Radon-Transformierte zu beschreiben, und mit einer endlichen Zahl von Punkten, um die Funktion zu beschreiben.
Die Messung der Abschwächung der Strahlung auf einer Zeile von Empfängern eines ebenen Detektors, der hinter das Objekt gestellt ist, gibt die einem Bündel von Strahlen, welche in einer Ebene des Radon-Raumes enthalten sind, entsprechende Abschwächung.
Die Summe der Abschwächung entlang dieser Zeile gibt den Wert der Radon-Transformierten der Abschwächung für diese Ebene. Die numerische Inversion der Radon-Transformierten gibt die Abschwächung in allen Punkten des Definitionsbereichs der Funktion. Man muß zugestehen, daß das Ganze kompliziert ist und daß gewisse der vorgeschlagenen Methoden zu fehlerhaften oder zumindest ungenauen Ergebnissen führen.
Unter der verfügbaren Literatur kann man zitieren den Artikel von Schlindwein: "Iterative three-dimensional reconstruction from twin-cone beam projection (IEEE Transactions on nuclear science, Bd. NS-25, Nr. 4, Oktober 1978, S. 1135- 1143), wo die Verfahren, die die Radon-Transformierte benutzen, wegen ihrer Komplexität verworfen werden, und den von Minerbo: "Convolutional reconstruction from cone-beam projection data" (IEEE Transactions on nuclear science, Bd. NS-26, Nr. 2, April 1979, S. 2682-2684), der ein Verfahren benutzt, das die Radon-Transformierte einsetzt.
Wie der Erfinder im weiteren zeigt, erfordert es jedoch der Gebrauch der Radon-Transformierten als solcher, Näherungen in den numerischen Berechnungen zu machen, und ferner liefern die Artikel der bisherigen Technik keine konkreten Vorrichtungen, welche Rekonstruktionen guter Qualität der dreidimensionalen Bilder erlauben.
Die Erfindung füllt diese Lücken. Sie betrifft zunächst Vorrichtungen zur dreidimensionalen Bilderzeugung, die alle eine einzige Quelle kegelförmiger Strahlung vor dem Objekt und eine zweidimensionale Detektormatrix hinter dem Objekt umfassen, wobei die Quelle und die Matrix entsprechend verschiedenen Einfällen gegenüber dem Objekts beweglich sind. Sie betrifft ebenso ein Verfahren, das die erste Ableitung der Radon-Transformierten der Abschwächung der Strahlung auf den Objektpunkten, ihre Berechnung und ihre Inversion verwendet.
Die zur Gewinnung von annehmbaren Resultaten notwendigen Meßschemata werden angegeben. Ein detailliertes Ablaufdiagrainm, das insbesondere die Interpolationen formuliert, wird vorgeschlagen.
Ein anderes Ziel der Erfindung ist es, Bahnen der Quelle und der Meßvorrichtung um das Objekt zu liefern, die mit dem Verfahren kompatibel sind.
Die Erfindung betrifft zunächst eine Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung durch Bestrahlungen eines Objekts, umfassend eine Strahlungsquelle, die einen kegelförmigen Raumbereich bestrahlt, in dem sich das Objekt bef indet, einen Detektor, der eine zweidimensionale Vorrichtung umfaßt, die die Abschwächung der Strahlung mißt, die das Objekt durchguert hat, eine Mechanik, die es erlaubt, eine Folge von Bestrahlungen des Objekts unter unterschiedlichem Einfall durchzuführen, sowie ein Meßsystem und einen Rechner, die bei den Bestrahlungen die Informationen der zweidimensionalen Vorrichtung analysieren und verarbeiten, um daraus den lokalen Beitrag zur Abschwächung der Strahlung an verschiedenen Punkten eines zur Darstellung des Objekts dienenden Gitternetzes abzuleiten, dadurch gekennzeichnet, daß eine einzige Quelle vorhanden ist und daß der Rechner Einheiten enthält, die programmiert sind, um die Berechnung und die Inversion der Ableitung der Radon-Transformierten der Abschwächung der Strahlung durchzuführen, wobei die Radon-Transformierte einer Funktion definiert ist als die Gesamtheit der lokalen Werte dieser Funktion auf jeder Ebene, die durch wenigstens einen Punkt des Bereichs geht, auf dem die Funktion erklärt ist, und die Ableitung der Radon-Transformierten definiert ist als die Summe der Änderungsraten auf jeder der genannten Ebenen, wenn man sich senkrecht zu genannter Ebene in Richtung des durch ein sphärisches Koordinatensystem definierten Normalenvektors bewegt.
Nach einer möglichen Ausführungsform umfaßt die Mechanik eine im Ursprung zentrierte kreisförmige Schiene, auf der die Quelle in einer Kreisbahn die Bestrahlungen ausführt, während sich der Detektor auf derselben Bahn verschiebt und gegenüber dem Ursprung entgegengesetzte Positionen einnimmt.
Nach einer komplizierteren Ausführungsform umf aSt die Mechanik zwei kreisförmige parallele Schienen sowie zwei Bögen, auf denen einerseits die Quelle, andererseits der Detektor gleiten, wobei diese Bögen beide in gegenüber dem Ursprung entgegengesetzter Position angeordnet sind. Die Bögen durchlaufen Kreisbahnen, wenn die Bestrahlungen durchgeführt werden. Sie sind ferner kreisbogenförmig gekrümmt sind, damit die Quelle und der Detektor in konstanter Entfernung vom Ursprung bleiben.
Die Erfindung betrifft ebenso ein Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung eines Objekts aus zweidimensionalen Messungen der Abschwächung einer Strahlung quer durch das Objekt unter Verwendung einer Vorrichtung, die gebildet wird von einer Quelle kegelförmiger Strahlung mit einem Fokus sowie von einem aus einer Matrix von Empfängern gebildeten zweidimensionalen Detektor, dadurch gekennzeichnet, daß man die Abschwächung der Strahlung in allen ersten Punkten eines zur Darstellung des Objekts dienenden Gitternetzes durch Berechnung von Größen, die die Ableitung der Radon-Transformierten der Ab-Schwächung des Strahlung in den Punkten eines zweiten, der Radon-Transformierten des Objekts zugeordneten Gitternetzes des Objekts darstellen, berechnet, wobei die Radon-Transformierte einer Funktion definiert ist als die Gesamtheit der lokalen Werte dieser Funktion auf jeder Ebene, die durch wenigstens einen Punkt des Bereichs geht, auf dem die Funktion erklärt ist, und die Ableitung der Radon-Transformierten definiert ist als die Summe der Änderungsraten auf jeder der genannten Ebenen, wenn man sich senkrecht zu genannter Ebene in Richtung des durch ein sphärisches Koordinatensystem def inierten Normalenvektors bewegt, wobei die Größen berechnet werden, indem man für alle zweiten Punkte entlang wenigstens einer Linie, die erhalten wird durch Schnitt des Detektors mit einer Ebene in der Nähe des zweiten Punktes, die durch den Fokus der kegelförmigen Strahlung geht, wobei die durch den Ursprung und den zweiten Punkt gehende Gerade im wesentlichen orthogonal zu der Ebene ist, die durch den Fokus geht, die Summen der Änderung der Abschwächung der Strahlung und dann Linearkombinationen dieser Summen bildet, und wobei die Abschwächung der Strahlung in allen ersten Punkten durch Berechnung der Ableitung dieser Größen nach der Entfernung zum Ursprung und durch anschließende Linearkombination der abgeleiteten Größen erhalten wird, wobei ferner Interpolationen durchgeführt werden, um von den zweiten Punkten zu den ersten Punkten zu gelangen.
Das Verfahren kann vorteilhaft ausgeführt werden für den Fall, daß in konstanter Entfernung vom Ursprung die Quelle und der Detektor auf zwei Bahnen im wesentlichen in Form einer Sinuskurve laufen, die mindestens zwei Perioden für einen vollständigen Umlauf um das Objekt umfaßt und deren Amplitude gleich oder größer als die Entfernung zwischen dem Ursprung und einem beliebigen Punkt des Objekts ist, wobei die Entfernung zwischen den Punkten der Bahnen und dem Ursprung ferner ausreichend dafür ist, daß jede durch das Objekt gehende Ebene die Bahn trifft. Für zwei Perioden ist dies sichergestellt, wenn diese Entfernung gleich oder größer ist als diese Amplitude, multipliziert mit 3.
Das Verfahren der Rekonstruktion von Bildern setzt eine besondere Art der Berechnung voraus. Sie besteht darin, zur Berechnung eines Parameters für erste Punkte eines ersten dreidimensionalen Gitternetzes von Punkten des Objekts, dessen cartesische Koordinaten im allgemeinen regelmäßig verteilt sind, zunächst zweite Punkte und dritte Punkte zu definieren, die ein zweites und ein drittes Gitternetz von charakteristischen Punkten bilden, wobei die sphärischen Koordinaten der zweiten Punkte regelmäßig verteilt sind und die zweiten Punkte insbesondere Meridianebenen angehören, die in einer Achse zusammenlaufen, während die dritten Punkte, deren Zylinderkoordinaten regelmäßig verteilt sind, zugleich den Meridianebenen und parallelen Ebenen, die die ersten Punkte enthalten und die zur Achse orthogonal sind, angehören, dann eine Information über die zweiten Punkte zu erhalten und daraus eine abgeleitete Information zu berechnen, dann diese Informationen über Gruppen von zweiten Punkten, die denselben Meridianebenen angehören, zu kombinieren, um daraus Zwischeninformationen über die dritten Punkte abzuleiten, und schließlich die Zwischeninformationen über Gruppen von dritten Punkten, die denselben parallelen Ebenen angehören, zu kombinieren, um daraus den Parameter für die ersten Punkte abzuleiten.
Die beigefügten Figuren, deren Aufführung folgt, erlauben es, die Erfindung besser zu beschreiben, doch sie werden nicht zum Zweck einer Einschränkung gegeben:
- Die Fig. 1 stellt die wichtigsten Teile einer erfindungsgemäßen Vorrichtung dar sowie die für die Erklärung des Verfahrens gebrauchten Bezeichnungen,
- die Fig. 2 stellt eine zweite mögliche erfindungsgemäße Vorrichtung dar,
- die Fig. 3 stellt eine dritte mögliche erfindungsgemäße Vorrichtung dar,
- die Fig. 4 stellt eine geometrische Konstruktion dar, die einen Schritt des erfindungsgemäßen Verfahrens erläutert,
- die Fig. 5 stellt eine geometrische Konstruktion dar, die einen zur Anwendung des Verfahrens nötigen Schritt der Interpolation erläutert,
- die Fig. 6 stellt im wesentlichen eine doppelte Bahn dar, die vorteilhaft ist, um Untersuchungen mit Hilfe der Vorrichtung der Fig. 3 auszuführen,
- die Fig. 7 stellt ein Überblicksschema der Anlage dar, die die Vorrichtungen nach der Erfindung steuert,
- die Fig. 8 und 9 stellen zwei weitere erfindungsgemäße Vorrichtungen dar, und
- die Fig. 10 stellt ein Ablaufdiagramm des benutzten Verfahrens dar.
Die den Gegenstand der Erfindung bildende Vorrichtung umfaßt (siehe Fig. 1) eine Quelle 10, die ein divergentes kegelförmiges Bündel aus sendet, dessen Fokus S ist und das unter Abschwächung ein zu untersuchendes Objekt 11 durchquert, für welches man die lokalen Beiträge zur Abschwächung rekonstruieren will. Die Strahlung kann von beliebiger Natur sein, z.B. Röntgenstrahlen, unter der Bedingung, daß man einen Bestandteil des Objekts 11 angeben kann, dessen Vorhandensein oder Konzentration man durch eine Abschwächung feststellen will, die verschieden ist von der durch seine anderen Bestandteile bewirkten Abschwächung.
Ein einzelner Strahl Ri durchquert zwischen dem Einrittspunkt Mei und dem Austrittspunkt Msi das Objekt 11. Er durchquert insbesondere einen beliebig angenommenen Zwischenpunkt M, der als Grundlage für die darzustellenden Überlegungen dienen wird. Er erreicht schließlich einen Detektor 12 und trifft auf einen bestimmten, in einem Punkt K gelegenen Empfänger 13 unter den Empfängern einer zweidimensionalen Matrix auf einem Schirm 14. Er ist festgelegt durch die Koordinaten (p ,q) seiner Spur A auf einer Detektionsebene, die durch einen Ursprung O geht, orthogonal zu OS ist und in Fig. 1 mit Pdet bezeichnet ist. Diese gedachte Ebene wird eingeführt, um eine einfachere Erklärung des Verfahrens der Rekonstruktion zu ermöglichen, ohne daß es notwendig ist, die Entfernung von dem Schirm 14 und dessen eventuellen Krümmungen zu berücksichtigen.
Wenn der lokale Beitrag im Punkt M zur Abschwächung der Strahlung mit f(M) bezeichnet wird, mißt der Empfänger 13 also eine Strahlungsintensität:
wobei außerhalb des Objekts 11 die Abschwächung als vernachlässigbar angenommen wird und I&sub0; die bekannte und feste Intensität der Strahlung Ri ist, die in Abwesenheit des Objekts 11 gemessen worden wäre.
I&sub0; kann auch durch ein Meßverfahren geliefert werden, das den direkten Fluß auf Empfängern 13 der zweidimensionalen Matrix oder den außerhalb von dem Meßfeld, das mit dem Objekt 11 verbunden ist, auftretenden Fluß am Ausgang der Quelle 10 auswertet.
Nach logarithmischer Umrechnung mißt man also in der Tat die Abschwächung der Strahlung durch das Objekt entlang dem Strahl Ri, der von S ausgeht und durch A tritt (Schritt 101 der Fig. 10):
Eichfaktoren, die in einem Anfangs schritt bei Messungen an Objekten, deren Abschwächung bekannt ist, berechnet werden, gestatten es, die durch die Empfänger gelieferten Daten zu korrigieren.
Man erhält ein zweidimensionales Bild 15 des Objekts 11 auf dem Schirm 14. Die klassische Röntgenaufnahme stellt ein derartiges Bild dar. Um eine dreidimensionale Rekonstruktion zu erhalten, genügt es, eine Drehbewegung des Fokus S der Quelle 10 um das Objekt 11 zu veranlassen, z.B. auf einem Kreis Ce um das Objekt 11, der im Ursprung O zentriert ist, um es unter unterschiedlichem Einfall zu bestrahlen, dann die erhaltenen Darstellungen miteinander zu kombinieren. Es ist offensichtlich notwendig, daß der Detektor 12 der Verschiebung des Bündels folgt. Hier nimmt man an, daß er sich ebenfalls auf diesem Kreis Ce bewegt. Er kann sich auch anders bewegen, z.B. auf einem anderen Kreis, der im Ursprung O zentriert ist, aber einen anderen Durchmesser hat. Allein die Vergrößerung des Bildes 15 ist verschieden. Die Bahn entlang dem Kreis Ce kann erzeugt werden, indem man die Quelle 10 und den Detektor 12 an einer kreisförmigen Schiene 20 aufhängt, deren Durchmesser je nach der angewandten Art der Aufhängung gleich oder verschieden von dem des Kreises Ce ist.
Es tritt jedoch ein wesentliches Problem auf: da das im Speicher zu haltende Informationsvolumen schnell sehr groß wird, benutzt die numerische Lösung des Problems der Rekonstruktion komplizierte Matrizenrechnungen. Die Erfindung ermöglicht jedoch, nicht auf diese Verfahrensart zurückzugreifen.
Man definiert zunächst die Radon-Transformierte der Abschwächung f(M) der Strahlung für die durch einen Punkt M gehenden Ebenen, (Rf(M)), die die Gesamtheit der Summen der Funktion darstellt, welche den lokalen Beitrag zur Abschwächung der Strahlung in ihren Punkten für jede dieser Ebenen beschreibt. Diese Ebenen sind gekennzeichnet durch ein Paar
wo ein zur betrachteten Ebene senkrechter Einheitsvektor ist und . das dem Abstand der Ebene vom Ursprung O zugeordnete algebraische Maß ist. Um diese Ebenen zu identifizieren, verwendet man einen charakteristischen Punkt C, die orthogonale Projektion des Ursprungs C auf die Ebene:
Man definiert dann die erste Ableitung der Radon-Transformierten der Abschwächung f(M) der Strahlung für die durch einen Punkt M gehenden Ebenen, (R'f(M)), die für jede Ebene
definitionsgemäß gleich ist der Summe über alle Punkte der Ebene der Ableitung der Funktion, die den lokalen Beitrag zur Abschwächung beschreibt, nach der Richtung des Vektors .
Unter allen diesen Ebenen unterscheidet man eine Radon- Ebene
die einem charakteristischen Punkt CM zugeordnet ist, und bezeichnet sie mit der Abkürzung PM. ist in einem mit dem Objekt 11 verbundenen Koordinatensystem definiert durch seine Länge φ, gemessen in der Ebene des Kreises Ce, und durch seinen Polarwinkel θ, gemessen gegenüber der Achse des Kreises Ce derart, daß θ =π/2, wenn der Ebene des Kreises Ce angehört, und θ =+0 oder +π, wenn er senkrecht zu dieser Ebene ist.
Um die Werte der Radon-Transformierten Rf(M) oder ihrer ersten Ableitung R'f(M) im Punkt M zu bestimmen, ist es insbesondere nötig, in allen Punkten der diesem Punkt M zugeordneten Radon-Ebene PM die Summe der Funktion, die den lokalen Beitrag zur Abschwächung f(M) beschreibt, oder ihrer Ableitung zu berechnen. Dies ist möglich, wenn der Fokus S der Quelle 10 selbst der Radon-Ebene PM angehört, denn ein Teil der Strahlung verläßt dann nicht diese Radon-Ebene PM oder deren nahe Umgebung und kann also durch Punkte des Objekts 11, die außerhalb der Ebene oder ihrer Nachbarschaft sind, nicht geschwächt werden. Es genügt, nur diesen Teil zu betrachten, um von der Funktion, die den lokalen Beitrag zur Abschwächung beschreibt, oder von ihrer Ableitung die Summe über alle Punkte des Objekts 11, die der Radon-Ebene PM angehören, zu berechnen. (Die umgebende Luft absorbiert in der Praxis nicht. Wenn das interessierende Objekt sich in einem absorbierenden Medium befindet, wird das äußere Medium als Störung aufgefaßt.)
Die Berechnung der Radon-Transformierten Rf(M) kann jedoch so nur näherungsweise durchgeführt werden. Der Erfinder hat gezeigt, daß die erste Ableitung der Radon-Transformierten, R'f(M), dagegen exakt berechenbar ist, was zu einer besseren Qualität der dreidimensionalen Bilder führt.
Für den Fall einer Quelle 10, deren Fokus S sich um das Objekt 11 auf einem Kreis Ce dreht, zeigt Fig. 4 einen Punkt M, dessen Radon-Ebene PM den Kreis Ce in zwei Punkten JG und JD schneidet. Der Fokus S der Quelle 10 muß also in einen dieser Punkte gebracht werden, um die Berechnung der Summe der Abschwächung oder ihrer Ableitung über die Radon-Ebene PM zu gestatten.
Die erste Ableitung der Radon-Transformierten R'f des Objekts selbst ist definiert als die Gesamtheit der Summierungen über die Radon-Ebenen PM, die durch wenigstens einen Punkt M des Objekts gehen, der Ableitung der Funktion, die den lokalen Beitrag zur Abschwächung beschreibt, nach dem Normalenvektor . Die Radon-Ebene PM ist allen Punkten des Objekts 11 gemeinsam, die sie enthält, insbesondere dem charakteristischen Punkt CM. Man ordnet nun diesem Punkt CM den Wert der Radon-Transformierten Rf(M) oder ihrer Ableitung R'f(M) auf der Ebene PM zu.
Man nennt charakteristisches Volumen des Objekts die Gesamtheit der charakteristischen Punkte CM, die allen Radon- Ebenen PM zugeordnet sind, die durch wenigstens einen Punkt M des Objekts gehen. Die Rekonstruktion des dreidimensionalen Bildes kann durchgeführt werden, wenn man über die Abschwächung auf der Gesamtheit dieser Ebenen verfügt.
Die Messungen gestatten jedoch nur, einen Wert von R'f für die Ebenen PM zu erhalten, die die vom Fokus S durchlaufene Bahn treffen. Man nennt charakteristisches Volumen der Messungen die Gesamtheit der den Radon-Ebenen, die durch wenigstens einen Punkt der Bahn gehen, zugeordneten charakteristischen Punkte CM. Das charakteristische Volumen des Objekts muß soweit wie möglich im charakteristischen Volumen der Messungen eingeschlossen sein.
Im Falle eines im Ursprung O zentrierten kugelförmigen Objekts mit dem Radius Rob und mit der Kreisbahn Ce ist das charakteristische Volumen des Objekts dieselbe im Ursprung O zentrierte Kugel mit dem Radius Rob. Das charakteristische Volumen der Messungen ist ein Torus To, dargestellt in Fig. 4, der gebildet wird durch Drehung eines Kreises, welcher in einer durch den Fokus S und die Achse des Kreises Ce gehenden Ebene enthalten ist, die Achse auf der Höhe des Ursprungs O berührt und den Durchmesser SO hat.
Man bemerkt so, daß das charakteristische Volumen der Messungen nicht erlaubt, das gesamte charakteristische Volumen des Objekts zu überdecken: es bleibt eine typische Schattenzone der Ebenen, die das Objekt treffen, aber nicht den Kreis Ce. Die Berechnung von R'f auf dieser Zone kann nur durch Interpolation geschehen.
Welche Position das Objekts auch einnimmt, immer wird es eine Schattenzone geben, die mit den Ebenen zusammenhängt, die durch das Objekt gehen, aber nicht den Kreis Ce treffen. Um diese Schattenzone auszufüllen, muß man auf die einf ache Kreisbahn verzichten und eine solche Bahn wählen, daß jede Ebene, die durch mindestens einen Objektpunkt geht, die Bahn trifft.
Diese Bedingung kann explizit erfüllt werden, wenn die Kreisbahn Ce durch die gleichzeitige Verschiebung der Quelle 10 und des Detektors 12 entlang einer kreisförmigen Schiene 20 erzeugt wird und wenn man (Fig. 2) mit dieser Schiene 20 eine Mechanik 21 zur Schwenkung um einen Winkel ξ um eine durch den Ursprung gehende Achse O verbindet, die ihr so erlaubt, zwei durch die Kreise Ce1 und Ce2 verwirklichte Positionen einzunehmen. Eine Verriegelung kann mit jedem geeigneten Mittel für diese beiden Positionen vorgesehen werden. Man kann sich leicht klarmachen, daß, je näher der Winkel ξ an π/2 liegt, desto mehr der maximale Radius Rob der in O zentrierten Objektkugel, deren charakteristisches Volumen keine Schattenzone besitzt, zunimmt. Wenn ξ den Wert π/2 hat, d.h. für zwei senkrechte Bahnen, ist für Rob der Maximalwert Rc/ 2, wenn Rc den Radius der Kreise Ce1 oder Ce2 bezeichnet.
In Fig. 3 ist eine andere Möglichkeit dargestellt, eine derartige Bahn zu realisieren: die Vorrichtung umfaßt hier zwei parallele kreisförmige Schienen 30 und 30' mit dem gleichen Radius R30, die beide von zwei diametral gegenüberliegenden Trägern 32 und 34 bzw. 32' und 34' durchlaufen werden. Die Träger 32 und 32' bilden das Ende eines Bogens 31, den entlang die Quelle 10 an Klammern 36 gleitet. Ebenso bilden die Stützen 34 und 34' die Enden eines Bogens 33, den entlang der Detektor 12 an Klammern 35 gleitet. Die Bahnen 31 und 33 haben die Form von im Ursprung O zentrierten Kreisbögen.
Man kann also für die Quelle 10 und den Detektor 12 zwei Rotationen kombinieren, um sie auf Bahnen zu verschieben, die zwei konzentrischen Kugeln angehören. In der Folge werden diese als identisch angenommen.
Ein mögliches Beispiel ist, wenn der Fokus S der Quelle 10 eine in Fig. 6 dargestellte Bahn Tc mit der Gleichung e = Int.cos2ψ durchläuft, wo ψ einen Drehwinkel entlang den Schienen 30 und 30', e eine Schwingung parallel zur Achse der Schienen 30 und 30', mit e=0, wenn der Fokus S der durch den Ursprung O gehenden und zu den Schienen 30 und 30' parallelen Ebene angehört, und Int eine Amplitude bezeichnet. Man kann dann zeigen, daß die Radon-Transformierte Rf(M) oder ihre Ableitung R'f(M) für alle charakteristischen Punkte CM des Objekts 11 erhalten werden können, wenn R1f > Int. 3 und Int ≥ Rob, wo R1f der Radius der Stützkugel der Bahn Tc und Rob der Radius der kleinsten Kugel ist, die im Ursprung O zentriert ist und das ganze Objekt 11 enthält.
Im Verlauf der Verschiebung der Quelle 10 verschiebt sich gleichzeitig mit ihr der Befestigungspunkt des Detektors 12 auf den Punkten einer zum Ursprung O symmetrischen Bahn Tc'.
Der Vorteil der Vorrichtung der Fig. 3 gegenüber der der Fig. 2 besteht darin, die Durchführung der Messungen in einer einzigen zusammenhängenden Drehung zu gestatten, während die doppelte Kreisbahn eine doppelte Drehung und eine Haltezeit zum Schwenken nötig macht und dadurch für eine vorgegebene Präzessionsgeschwindigkeit eine mindestens zweimal größere Meßzeit erfordert. Ferner führt die doppelte Kreisbahn zu einer beträchtlichen Redundanz in den Meßwerten, da es einen hohen Anteil von Ebenen gibt, die zugleich die beiden Bahnen treffen. Eine Alternative zur Vorrichtung der Fig. 3 besteht darin, die Punkte 21 der Fig. 2 mit einem Motor 22 zu versehen, der von einem Rechner 50 (Fig. 7) mittels einer Leitung 23 derart gesteuert wird, daß der Winkel ξ verändert wird, wenn der Fokus S sich auf dem Kreis Ce verschiebt. Eine beliebige Bahn kann im dreidimensionalen Raum erhalten werden. Angesichts der jeweiligen Massen der Strahlungsquellen und der zweidimensionalen Detektoren, etwa Strahlungsverstärker, scheint die Vorrichtung der Fig. 3 vorzuziehen sein.
In Fig. 3 ist ebenso die Vorrichtung dargestellt, die die Verschiebung des Detektors 12 auf dem Bogen 33 steuert. Sie umfaßt einen Elektromotor 40, der mit einem Rechner 50 (Fig. 7) durch eine Leitung 44 verbunden ist und dessen Welle in einem Zahnrad 42 endet, das in eine Fläche mit Verzahnung des Bogens 33 eingreift. Da die Bewegungen große Präzision verlangen, enthält eine andere Fläche des Bogens 33 Gradeinteilungen 43, die ein optischer Sensor ortet. Er schickt dann ein Signal zum Rechner 50 über eine Leitung 45, und das Anhalten des Motors 40 wird über die Leitung 44 angeordnet. Ebenso steuern ein gleicher Motor und ein gleicher optischer Sensor die Verschiebung der Quelle 10 auf dem Bogen 31. Andererseits bestehen analoge Vorrichtungen mit Elektromotor 140 und optischem Sensor 141, die mit dem Rechner 50 über Leitungen 144 bzw. 145 verbunden sind, um die Träger 32, 32' und 34, 34' entlang den Schienen 30, 30' zu verschieben, die also ebenfalls eine Verzahnung und Gradeinteilungen enthalten.
Die Vorrichtungen der Fig. 1 und 2 können ebensogut mit diesen Vorrichtungen gesteuert werden, obwohl sie dort nicht dargestellt wurden.
Die Verschiebungen der Quelle und des Schirms können im allgemeinen unabhängig und synchronisiert sein. Sie können auch mit Hilfe eines einzigen Motors und einer mechanischen Verbindung, wie sie etwa von einer Stange oder allgemeiner von einer starren mechanischen Struktur gebildet wird, erhalten werden.
Tatsächlich sind andere Vorrichtungen möglich, um das Objekt 11 zu untersuchen.
Zunächst kann man, wie es Fig. 8 darstellt, eine Vorrichtung in Betracht ziehen, die eine gekoppelte Verschiebung der Quelle 10 und des Detektors 12 bedingt, die durch eine starre mechanische Struktur 65 verbunden sind, welche sich, angetrieben von einem Motor 66, der von einem Rechner 50 gesteuert wird, um das Objekt 11 dreht. Diese Struktur umfaßt einen senkrechten Ständer 67, der zugleich die Ausgangswelle des Motors 66 ist und von dem zwei entgegengesetzte radiale Arne 68 und 69 ausgehen. Der erste Arm 68 endet in einer ersten Stange 70, an dem die Quelle 10 aufgehängt ist, der zweite Arm 69 in einer zweiten Stange 71, an dem der Detektor 12 aufgehängt ist. In dieser Ausführungsform ist wie in den vorherigen das Objekt 11 auf eine für die Strahlung transparente Stütze, hier mit 72 bezeichnet, gestellt.
Wie die Fig. 9 zeigt, kann man die Erfindung ferner auf eine Vorrichtung anwenden, in der die Quelle 10 und der Detektor 12 fest und an einem unbeweglichen Aufbau 75 aufgehängt sind und die in dieser Fig. oberhalb bzw. unterhalb des Objekts 11 dargestellt sind.
Das Objekt 11 wird mit Hilfe einer Gabel 76 in Drehung versetzt, deren Stiel 80 sich in einem Lager 77, das in dem Aufbau 75 eingebaut ist, dreht, und zwar um eine zur Strahlung, die von der Quelle 10 emittiert wird, im wesentlichen senkrechte Achse. Zwei Lager, mit 81 bzw. 82 bezeichnet, sind in den beiden Armen 78 und 79 der Gabel 76 eingebaut und nehmen zwei Zapfen auf, die auf beiden Seiten eines ebenen Rahmens 83 liegen, der sich also zwischen den beiden Armen 78 und 79 um eine zu der Rotationsachse der Gabel 76 senkrechte Achse dreht.
Das Objekt 11 ist, beispielsweise durch Zusammendrücken, starr zwischen zwei Druckplatten 84 an einem Ende von ausziehbaren Stäben 85 befestigt, deren anderes Ende mit dein Rahmen 83 fest verbunden ist. Die ausziehbaren Stäbe 85 fluchten und bewegen sich gegeneinander, angeschoben von Federn 86' die sich um die Stäbe oder in ihnen befinden und die zwischen dem Rahmen 83 und der zum Rahmen 83 gehörigen Druckplatte 84 zus ammengedrückt sind. Man kann das Objekt also einer beliebigen Drehung unterwerfen und die gleichen Untersuchungen wie mit den anderen bis hierher beschriebenen Vorrichtungen ausführen. Die Druckplatten und gegebenenfalls die Stäbe sind durchlässig für die Strahlung der Quelle 10 angenommen.
Die Rotationsbewegungen der Gabel 76 und des Rahmens 83 werden von dem Rechner 50 mit Hilfe nicht dargestellter Motoren gesteuert.
Diese Vorrichtung ist nicht für die Untersuchung eines Menschen geeignet, besitzt aber Interesse für kleine Objekte bei der zerstörungsfreien Kontrolle. Man muß freilich die Drehungen begrenzen, um zu verhindern, daß die Strahlung den Rahmen 83 und die Arme 78 und 79 durchquert, oder aber diese Stücke ebenfalls aus transparentem Material vorsehen.
Um das Verfahren der Rekonstruktion des Bildes mit Hilfe der Ableitung R?f der Radon-Transformierten zu beschreiben, ist es nötig, neue Bezeichnungen (Fig. 1) zu definieren. Man bezeichnet als zu der Lage des Fokus S der Quelle 10 gehörige Detektionsebene Pdet die zur Achse OS senkrechte Ebene, die durch den Ursprung O geht. Diese Ebene ist mit cartesischen Koordinaten ( , ) versehen derart, daß das Koordinatensystem
rechtssinnig ist. Der Vektor ist parallel zur Ebene des Kreises Ce gewählt. Diese Detektionsebene Pdet dient zur Definition der Koordinaten p und q der Empfänger 13 auf dem Detektionsschirm 14. Man nennt Summationsgerade
oder DM den Schnitt der dem Punkt M zugeordneten Radon-Ebene
oder PM mit der Detektionsebene, und O' den Punkt von DM der orthogonalen Projektion des Punktes O auf die Gerade DM. Die Gerade DM ist durch einen Einheitsvektor &sub1; derart orientiert, daß
ein rechtssinniges Koordinatensystem bildet. Man bezeichnet den Winkel zwischen den Vektoren und &sub1; mit α.
Es sind auch die zwei gewichteten Abschwächungsfunktionen
zu definieren, wo Rc der Radius der Bahn ist, auf der sich der Fokus S der Quelle 10 bewegt, d.h. die Entfernung OS. Diese Funktionen sind unabhängig von der betrachteten Radon-Ebene.
Man ordnet ihnen für jede Gerade DM die Funktionen SY(S,M) und SZ(S,M) zu, die das Integral der Funktionen Y bzw. Z über die Summationsgerade bedeuten.
Man zeigt, und das ist der Ausgangspunkt der numerischen Berechnungen, daß wo β den Winkel zwischen den Vektoren und bedeutet.
Die erste Formel (1) ist eine Näherungsbeziehung, die die Messungen mit der Radon-Transformierten Rf verbindet. Die zweite (2) ist eine exakte Beziehung, die die Messungen mit der ersten Ableitung der Radon-Transformierten R'f verbindet. Sie gestattet, genauere Ergebnisse zu erzielen und bleibt für beliebige Entfernung zwischen der Quelle 10 und dem Objekt 11 gültig. Sie erlaubt also, sich diesem maximal zu nähern, während die Näherungsformel (1) um so besser ist, je weiter die Quelle 10 vom Objekt 11 entfernt ist, was eine sperrigere Vorrichtung verlangt.
Die Formel (2) ist, wenn man
schreibt, mathematisch äquivalent zu den zwei Formeln:
wo A(p) bzw. A(q) den Punkt A der Summationsgerade DM der Abszisse p bzw. der Ordinate q darstellen.
Man wird vorzugsweise die Formel (5) für ein α nahe bei 0 modulo π wählen, die Formel (4) für ein α nahe bei π/2 modulo π.
Wie das Ablaufdiagramm der Fig. 10 zeigt, beginnt man also damit, für eine gegebene Lage der Quelle 10 die Größen X(S,A) und Y(S,A) für alle Punkte A der Detektionsebene Pdet zu berechnen (Schritte 101 und 102). Die Ableitungen von Y(S,A) nach den Koordinaten p und q der Detektionsebene Pdet werden durch Filterungsoperationen berechnet (Schritt 103), wobei man die Faltung der Funktion Y(S,A) mit zwei Differentiationsfiltern benutzt. Die Quelle 10 wird dann bis zu ihrer nächsten Position verschoben (Schritt 104), und der Vorgang fängt von vorn an, bis alle Meßwerterfassungen durchgeführt sind.
Die folgenden Schritte bestehen darin, für die charakteristischen Punkte U' des charakteristischen Volumens des Objekts Berechnungen auszuführen. Diese Berechnungen lassen die Radon-Ebene PM, die ihnen zugeordnet ist, und die Radon-Gerade DM, die der Schnitt der Radon-Ebene PM mit der Detektionsebenen Pdet ist, ins Spiel kommen. Man beginnt mit der Berechnung (Schritt 105) von
im Fall der Formel (4)
- im Fall der Formel (5)
durch Summation auf den Radon-Geraden DM, dann ermöglicht eine Linearkombination (Schritt 106) die Gewinnung von
- im Falle der Formel (4)
- im Falle der Formel (5)
wonach diese Größen normalisiert werden (Schritt 107), indem man sie mit
dann mit 1/ sinα bzw. 1/ cosα multipliziert. Das Ergebnis ist gleich R'f(U).
Wenn das Koordinatensystem (p,q) nicht dem durch die Verteilung der Empfänger auf dem Detektor 12 festgelegten Meßschema angepaßt ist, so kann man gegebenenfalls diese Formeln in das geeignete Koordinatensystem transformieren. Man kann auch umgekehrt durch Interpolation diese Abschwächungen in das System der Koordinaten (p,q) zurückrechnen, indem man so das ausführt, was man als Neuanordnung oder Umgruppieren der Messungen bezeichnen kann.
Im Fall, daß eine Radon-Ebene die Bahn in mehreren Punkten trifft, z.B. in zweien (JG und JD) im Fall der Fig. 4, hat man Interesse daran, eine Mittelung über alle oder zumindest über einen Teil der jedem dieser Punkte zugeordneten Werte von R?f durchzuführen, um die statistischen Fehler, die mit dem Rauschen auf den Meßwerten zusammenhängen, zu vermindern. Im allgemeinen wählt man jedoch einen Mittelwert über zwei ausgezeichnete Punkte.
Im Fall, daß eine einem charakteristischen Punkt CM zugeordnete Radon-Ebene die Bahn in keinem Punkt trifft, was vorkommt, wenn das charakteristische Volumen der Messungen eine Schattenzone im charakteristischen Volumen des Objekts läßt, ist es wünschenswert, ihr durch ein Interpolationsverfahren trotzdem einen Wert R'f zuzuordnen. Dazu kann man beispielsweise eine Interpolation nullter Ordnung ausführen: man ordnet dem charakteristischen Punkt CM außerhalb des charakteristischen Volumens der Messungen die Fläche zu, die dem Schnitt der in O zentrierten und durch CM gehenden Kugel mit dem charakteristischen Volumen der Messungen entspricht. Man wählt dann auf dieser Oberfläche einen Punkt C'M (nicht dargestellt) in minimaler Entfernung von CM. Nach der Definition des charakteristischen Volumens der Messungen wird die Ebene P'M (nicht dargestellt), die als charakteristischen Punkt C'M zuläßt, die Bahn in einem oder in mehreren Punkten treffen, während sie meistens zu ihr in Berührung bleibt. Die vorangegangene Methode gestattet, einen C'M zugeordneten Wert von R'f zu definieren. Die Interpolation von nullter Ordnung besteht darin, ebendiesen Wert dem Punkt CM zuzuordnen.
Man kommt nun dazu, allen Punkten des charakteristischen Volumens des Objekts einen Wert R'f zuzuordnen. Wie bereits gesagt, ist es natürlich besser, die Interpolation auf der Schattenzone zu vermeiden und damit eine Vorrichtung wie die in Fig. 3 dargestellte zu benutzen. Für größere mechanische Einfachheit der Vorrichtung kann man jedoch dazu veranlaßt sein, sich auf die einfache Kreisbahn Ce zu beschränken und die Interpolation hinzunehmen, um die Werte auf der zugehörigen Schattenzone festzulegen.
Es bleibt, f(M) aus der Kenntnis der ersten Ableitung R'f der Radon-Transformierten auf dem charakteristischen Volumen des Objekts abzuleiten. Diese Inversionsoperation ist einfach und kann mit leistungsfähigen Rechenverfahren durchgeführt werden.
Für einen gegebenen Einheitsvektor bezeichnet man mit das algebraische Maß (Radius) der Punkte U' auf der Achse mit dem Ursprung O und mit dem Richtungsvektor .
Die theoretische Formel zur Inversion der ersten Ableitung der Radon-Transformierten R'f lautet:
Es wird daran erinnert, daß φ und θ die Länge bzw. den Polarwinkel des betrachteten Punktes (hier U') bezeichnen und daß durch ' = definiert ist.
Es ist jedoch notwendig, sich den Problemen der Diskretisierung zu widmen, die bisher nicht angesprochen wurden.
Insbesondere ist klar, daß die Quelle 10 Bestrahlungen nur unter einer endlichen Anzahl von festgelegten Einfallsrichtungen ausführen kann, daß der Detektionsschirm 14 die Messungen mit Hilfe einer Matrix von Empfängern 13 ausführt, die auf der Detektionsebene ebenfalls in endlicher Zahl angebracht sind, und daß das Objekt 11 selbst ebenfalls diskretisiert oder gerastert werden muß.
Unvermeidlich stellen sich Interpolationsprobleme. Die empfohlenen Lösungen, die ebenfalls zur Erfindung gehören, sind weiter unten beschrieben. Man untersucht gleichzeitig die Bedingungen, denen die Diskretisierungen entsprechen müssen, um die Gewinnung von korrekten Rekonstruktionen zu erlauben.
Das Objekt 11, das ganz in einer im Ursprung O zentrierten Kugel des Radius Rob enthalten vorausgesetzt wird, kann mit Hilfe der Punkte M beschrieben werden, die aus einer Diskretisierung auf einem regelmäßigen rechteckigen Gitternetz, das zur Darstellung oder Anzeige dient, hervorgehen, dessen Koordinaten
x(i) = [(2i-1-Nx)/Nx].Rob für 1 ≤ i ≤ Nx,
y(j) = [(2j-1-Ny)/Ny].Rob für 1 ≤ j ≤ Ny,
z(k) = [(2k-1-Nz)/Nzj.Rob für 1 ≤ k ≤ Nz
erfüllen.
Wenn γ die geforderte Abschneidefreguenz für das System der dreidimensionalen Bilderzeugung ist, so nimmt man vorzugsweise Nx, Ny und Nz größer oder gleich 4.γ.Rob.
Der Detektionsschirm 14 ist vorteilhaft ebenfalls nach cartesischen Koordinaten unterteilt, die im übrigen bereits eingeführt wurden. Die Positionen der Empfänger 13, die durch ihre Koordinaten auf der Detektionsebene Pdet def iniert sind, erfüllen:
p(a) = [(2a-1-Np)/(Np-2)].Rob für 1 ≤ a ≤ Np,
g(b) = [(2b-1-Ng)/(Ng-2)].Rob für 1 ≤ b ≤ Ng
Np und Ng sind gleich oder größer als 4.γ.Rob.
Die Punkte U des Meßschemas für die erste Ableitung der Radon-Transformierten werden mit Hilfe eines im Ursprung O zentrierten sphärischen Gitternetzes definiert. Ihre sphärischen Koordinaten erfüllen
Radius: p(n) = [(2n-1-Nn)/(Nn-2)j.Rrad für 1 ≤ n ≤ Nn,
Polarwinkel: [(1) = [(2l-1)/2Nl].π/2π für 1 ≤ l ≤ Nl,
Länge: φ(m) = [(m-1)/Nm].2π für 1 ≤ m ≤ Nm,
wo Rrad der Radius der in O zentrierten Kugel ist, die das charakteristische Volumen des Objekts umschließt. Für ein kugelförmiges Objekt mit dem Radius Rob gilt: Rrad = Rob.
Man nimmt vorzugsweise für Nn eine gerade Zahl, um nicht den Ursprung O in das Gitternetz aufzunehmen, denn dieser charakterisiert unendlich viele Ebenen. Andererseits wählt man:
Nm = 2.Nn und Nl = Nn/2 für 2π.γ.Rob ≤ Nm ≤ 4π.γ.Rob .
Dies gestattet, die mit der Inversion der ersten Ableitung der Radon-Transformierten zusammenhängenden Artefakte auf ein erträgliches Maß zu reduzieren.
Die Positionen der Quelle 10, für die man die Messungen der Abschwächung ausführt, sind die Schnitte der zu den Meridianebenen der Länge φ(m) orthogonalen Meridianebenen mit der Bahn Ce oder Tc.
Das konkrete Problem besteht somit darin, ausgehend von den Nm Positionen, die die Quelle 10 einnehmen kann, die erste Ableitung der Radon-Transformierten R'f(U) für das ganze Gitter von Punkten U und anschließend die lokalen Beiträge zur Abschwächung f(M) für das ganze Gitter von Punkten M zu berechnen. Das gelingt mit Hilfe einer Folge von Interpolationsschritten. Ein mögliches Verfahren wird im folgenden ausgeführt.
Für die Punkte U, die Teil des charakteristischen Volumens der Messung sind, zeigt die Fig. 5, daß die Ableitung der Radon-Transformierten R'f(U) eines jeden Punktes U für mindestens zwei im allgemeinen verschiedene Positionen S1 und S2 bes Fokus S erhalten werden kann, für die die Kugeln, deren Durchmesser durch den Ursprung O und durch die Positionen 51 bzw. S2 begrenzt sind, sich im Punkt U treffen. In der Praxis entsprechen die Positionen S1 und S2 jedoch nicht Meßpositionen des Fokus S, sondern sie sind jeweils zwischen zweien dieser Positionen, S11 und S12 bzw. S21 und S22, gelegen. Für die Punkte U außerhalb des charakteristischen Volumens der Messung legt man die Positionen der Quelle S1 und S2 ausgehend von dem Punkt des charakteristischen Volumens der Messung fest, der dazu dient, die vorher dargestellte Interpolation der Ordnung Null zu definieren.
Tatsächlich berechnet man die erste Ableitung der Radon-Transformierten für die Punkte U11, U12, U21 und U22, die Teil der Gesamtheit der Punkte U' sind und die die U nächsten Schnittpunkte der Kugeln der Durchmesser OS11, OS12, OS21 bzw. OS22 mit dem Kreis sind, der dem Breitenkreis des Punktes U entspricht (Gesamtheit der Punkte mit gleichem Radius p(n) und gleichem Polarwinkel θ(1)). Wenn diese Schnittmenge leer ist, nimmt man die Punkte der Schnittkreise zwischen diesen Kugeln und der in O zentrierten und durch U gehenden Kugel, die am nächsten dem Kreis sind, der dem Breitenkreis des Punktes U entspricht. Ihre Entfernungen von dem Punkt U sind d11, d12, d21 bzw. d22.
Man berechnet die Radon-Transformierte des Punktes U oder ihre Ableitung durch die Interpolationsformel (7):
Diese Operation entspricht dem Schritt 108 des Ablaufdiagramms.
Es ist offensichtlich, daß der Rechner, der den Prozeß ausführt, im voraus die Position der Punkte S11, S12, S21, S22, U11, U12, U21, U22 für jeden Punkt U des Meßschemas sowie die Entfernungen d11, d12, d21 und 22, die gespeichert sind, kennt. Die Lage der den Punkten U11, U12, U21 und U22 zugeordneten Summationsgeraden ist ebenfalls im voraus bekannt und die Werte der Abschwächung X(S,A) entlang diesen Punkten werden durch Interpolation der Werte, die auf den von dieser Geraden durchguerten Empfängern 13 gemessenen werden, erhalten. Um die Summe über die betrachteten Punkte einer beliebigen Summationsgerade zu berechnen, besitzt der Rechner 50 also Gewichtungskoeffizienten, die jedem Empfänger 13 zugeordnet sind. Mit dem vorgeschlagenen Meßschema ist die Anzahl der Punkte U gleich NlXNmXNn = Nn³, und es gibt 2.Nn Positionen der Quelle 10. Für jede dieser Positionen berechnet man die Radon-Transformierte oder ihre Ableitung für Nn² Punkte U, d.h. man führt Summationen entlang Nn² Summationsgeraden DM durch. Dann berechnet man einen Mittelwert über die in Paare eingeteilten Werte.
Um die numerische Berechnung der Formel (6) auszuführen, ist die Trennung der Integrale möglich und vorteilhaft.
Um die Durchführung dieser Berechnung zu beschreiben, führt man die Bezeichnung der Ebene von umgeordneten Projektionen ein, die durch den Ursprung O geht und deren Punkte eine konstante Länge φ haben. Es handelt sich also um Meridianebenen.
Jedem Punkt B dieser Ebene und jedem Vektor der Länge φ ordnet man den Punkt CB zu, die orthogonale Projektion des Punktes B auf die durch den Ursprung O gehende Achse mit dem Richtungsvektor . Wenn B die Ebene von umgeordneten Projektionen beschreibt, beschreibt der Punkt CB eine Ebene von charakteristischen Punkten, die der zu der Länge φ gehörenden Meridianebene entsprechen. Geometrisch fallen diese beiden Ebenen zusammen.
Man kann feststellen, daß, wenn B die orthogonale Projektion des Punktes M auf die Ebene von umgeordneten Projektionen ist, der Punkt CB identisch mit dem charakteristischen Punkt CM ist, der der durch M und definierten Ebene PM zugeordnet ist.
Man kann also damit beginnen, auf jeder Ebene von umgeordneten Projektionen, ausgehend von den Werten R'f auf der zugeordneten Meridianebene, die Größe
zu berechnen, und das für alle Punkte B, die die orthogonalen Projektionen von mindestens einem Punkt M des Objekts sind.
Dann, im zweiten Schritt, berechnet man den lokalen Beitrag zur Abschwächung für jeden Punkt M des Objekts:
Diese Methode gestattet, eine strenge Rekonstruktion des Objekts 11 zu erhalten, wenn nur das charakteristische Volumen des Objekts ganz in dem charakteristischen Volumen der Messungen eingeschlossen ist.
Ferner gestattet die Verwendung der exakten Formel, die Quelle 10 dem Objekt 11 zu nähern. Man kann so die Sperrigkeit der Vorrichtung vermindern und den Vergrößerungsfaktor (Entfernung Fokus S - Detektor 12/Entfernung Fokus S - Objekt 11) erhöhen und so die räumliche Auflösung der Vorrichtung verbessern. Ferner trägt dies zu einer besseren Ausnutzung der Strahlung in der Messung bei, wo dies den Raumwinkel der Bestrahlung des Objekts vergrößert. Da die Strahlungsguellen in ihrem Photonenf luß pro Winkeleinheit begrenzt sind, gestattet dies, für eine gegebene Gesamtzahl von Photonen, die das Objekt während der Meßdauer durchgueren sollen, die Untersuchungszeit zu vermindern und also die zeitliche Auflösung zu erhöhen. Das gestattet auch, wenn man die Untersuchungszeit beibehält, die statistische Genauigkeit im rekonstruierten Objekt zu verbessern.
Das Schema der Rekonstruktion kann auf eine breite Klasse von Bahnen verallgemeinert werden, indem man beispielsweise zuläßt, daß die Entfernung des Fokus der Quelle 10 oder des Detektors 12 verschieden, ja sogar variabel ist. In den vorherigen Formeln werden dann die Gewichtungskoeffizienten, die mit der Vergrößerung zusammenhängen, von den Messungen abhängen.
Es ist festzustellen, daß die Quelle 10 und das Objekt 11 ebenfalls zusammengerückt werden können, wenn man eine Bahn entsprechend der Fig. 6 und in Übereinstimmung mit der Formel
e = Int.cos(nψ)
wählt, und das um so mehr, je größer n ist.
Die Inversion der Ableitung der Radon-Transformierten, definiert durch die weiter oben gesehenen Formeln, erfolgt konkret mit Hilfe von Punkten B eines Gitternetzes, das Gitternetz zur Umordnung genannt wird und das auf die Ebenen von umgeordneten Projektionen, die den Meridianen der Punkte U zugeordnet sind, gelegt ist durch das Meßschema
r(c) = [(2c-1-Nn)/(Nn-2)].Rrad für 1 ≤ c ≤ Nn,
z(d) = [(2d-1-Nz)/Nz].Rob für 1 ≤ d ≤ Nz,
φ(m) = [(m-1)/Nm].2π für 1 ≤ m ≤ Nm,
wo r(c) die Koordinate eines Punktes B einer Meridianebene - entsprechend der zur Ebene des Kreises Ce parallelen Achse bezeichnet, und z(d) die Koordinate eines Umordnungspunktes B entsprechend der Rotationsachse des Kreises Ce bezeichnet: auf jeder Meridianebene sind die Punkte B regelmäßig auf einem rechtwinkligen Gitter angeordnet.
Die Berechnung der Größe Q(φ,B), wie sie weiter oben definiert wurde, beschränkt sich also in der Tat auf die Berechnung der Größen Q(φ,B) für die Gitterpunkte der Umordnung, nachdem eine Interpolation es erlaubt hat, die Ableitungen ∂R'f(CB)/∂ aus den Ableitungen ∂R'f(U)/∂ für jede Richtung des Meridians (Schritt 111) zu berechnen.
Die Berechnung der Ableitungen ∂R'f/∂ wird man vorzugsweise mit numerischen Rechenverf ahren ausführen, z.B. mit der Konvolution durch die zugeordneten Filter. Die Daten werden dann zuvor mit dem Faktor sinθ gewichtet (Schritte 109 und 110 der Filterung und Gewichtung).
Nach bekannten Techniken können die Operationen, die - im uammenhang mit der Berechnung von ∂R'/∂ -als Filterungsoperationen und - im Zusammenhang mit der Summation über den Polarwinkel θ-als Rückprojektionsoperationen bezeichnet werden, durch eine Rückprojektionsoperation, gefolgt von einer Filterungsoperation, ersetzt werden, ohne daß man den Rahmen der vorliegenden Erfindung verläßt. Die Filterungsoperation wird gegebenenfalls auch für das Objekt 11 ins Spiel kommen, nachdem die Summation über die Winkel θ und φ durchgeführt wurde.
Die letzten auszuführenden Operationen geschehen im Innern jeder Ebene des Objekts senkrecht zu den Meridianebenen: Es war zu sehen, daß die Berechnung des lokalen Beitrags zur Abschwächung f(M) des Punktes M die orthogonalen Projektionen des Punktes M auf jede Ebene von umgeordneten Projektionen, die berücksichtigt wird, ins Spiel bringt. Diese Projektionen fallen zwischen die Punkte B, für die man also die Größen Q(φ,B) interpolieren muß, bevor man sie summiert, wobei man so Operationen der Rückprojektion ausführt (Schritt 112).
Für diese letzten Operationen kennt das System ebenfalls im voraus die Positionen der Punkte der verschiedenen Gitternetze und besitzt die zu berücksichtigenden Koeffizienten in Form von Tabellen oder Matrizen. Die Arbeit der vorherigen Programmierung ist also wichtig, und sie muß wiederholt werden, wenn man mehrere verschiedene Meßschemata anwenden will, aber die im Verlauf einer Untersuchung auszuführenden Berechnungen bleiben annehmbar und umfassen im wesentlichen Linearkombinationen und Filterungen.
Ein Rechner 50 führt den Prozeß der Rekonstruktion aus < Fig. 7). Er besteht aus einer Synchronisationseinheit 51, einer Speichereinheit 52, einer Recheneinheit 53 und Peripherieeinheiten 54. Zuerst stellt die Synchronisationseinheit 51 die Gewinnung der Meßwerte sicher: In Abhängigkeit von den Angaben der optischen Sensoren 41 oder 141 setzt sie die Elektromotoren 40 oder 140 in Bewegung und stoppt sie, wenn die Quelle 10 und der Detektor 12 in einer vorbestimmten Meßposition sind. Sie zeigt dann mittels einer Leitung 57 Anfang und Ende der Datengewinnung einem üblichen Meßsystem 55 an, das über eine Leitung 56 mit jedem der Empfänger 13 verbunden ist, von welchen die verarbeiteten Informationen durch eine Leitung 58 zu der Speichereinheit 52 geliefert werden.
Wenn die Meßwertgewinnung für eine gegebene Position der Quelle 10 beendet ist, setzt die Synchronisationseinheit 51 die Elektromotoren 40 oder 140 wieder in Bewegung, während die Empfänger 13 sich auf Null stellen. Der folgende Meßweit kann dann gewonnen und in den Speicher gebracht werden.
Es ist ferner möglich, die Quelle 10 und den Detektor 12 kontinuierlich zu bewegen. Die Gesamtzeit zur Ausführung der Messungen wird dann merklich verringert, denn die Motoren werden nicht mehr angehalten, aber eine Unschärfe des Bildes, verursacht durch die Rotation im Lauf jeder Bestrahlung muß hingenommen werden.
Es ist festzustellen, daß die Meßeinteilungen 43, die der Synchronisationseinheit 51 die Positionenen der Bestrahlungen anzeigen, nicht nötig sind. Sie können ebenso weggelassen werden, und die Synchronisationseinheit 51 bestimmt selbst den Zyklus der Bestrahlungen mit einer eingebauten Uhr.
Nach Gewinnung aller Meßwerte ist die eigentliche Untersuchung des Objekts 11 beendet. Die Gesamtheit der Informationen gelangt über eine Leitung 59 in die Recheneinheit 53. Die Berechnung der Radon-Transformierten oder ihrer ersten Ableitung sowie ihre Inversion werden ausgeführt.
Die Werte des lokalen Betrags zur Abschwächung f(M) werden abschließend über eine Leitung 60 zu den Peripherieeinheiten 54 befördert, die insbesondere graphische Ausgabemöglichkeiten und Bildschirme zur Anzeige besitzen.
Die hier beschriebenen Operationen der Interpolation und der Differentiation dürfen nur als Rechenhilfsmittel angesehen werden, die durch andere ersetzt werden können, ohne den Rahmen der Erfindung zu verlassen. Ebenso sind die vorgeschlagenen Meßschemata nur Beispiele und können in ziemlich weiten Grenzen variieren. Mehrere der Operationen des Ablaufdiagramms können auch vertauscht werden.
Es ist jedoch festzustellen, daß der Ausdruck für die Ableitung der Radon-Transformierten, die Kreisbahn und das kegelförmige Bündel es aus analytischen Gründen und aus Gründen der numerischen Genauigkeit in der Praxis nötig machen, mit einem sphärischen Gitter von Punkten U zu arbeiten, während es natürlich ist, ein Objekt, selbst eines von guasi-kugelförmiger Form, mit Hilfe eines rechteckigen Gitters von Punkten M darzustellen, in dem man ebene Schnitte definieren kann. Mehrere Interpolationsoperationen sind also unerläßlich, um von einem Gitter zum anderen zu gelangen. Als Ersatz hängt die Dichte des Gitternetzes der Punkte M des Objekts 11 nicht sehr ab von der Zahl der Messungen, definiert durch die Zahl Nm. Eine gewisse Elastizität ist also auf dieser Ebene möglich.
Es ist schließlich offensichtlich, daß Vorrichtungen, die Bewegungen der Quelle, des Objekts und des Detektors bedingen, die verschieden sind von denen hier zur Erläuterung beschriebenen, noch in den Rahmen der Erfindung fallen. Ebenso können die Messungen schneller durch mehrere Quellen ausgeführt werden, die gleichzeitig arbeiten und zwischen denen die Gesichtsfelder aufgeteilt werden.
Die Erfindung liefert folglich ein vorteilhaftes Mittel, um dreidimensionale Rekonstruktionen aus zweidimensionaien Messungen der Abschwächung einer Strahlung zu erhalten. Eine einleuchtende Anwendung ist offensichtlich die medizinische Bilderzeugung, eine zweite ist die zerstörungsfreie Prüfung, aber jedes Objekt ll, das mit den Dimensionen der Apparatur und den verfügbaren Strahlungen verträglich ist, kann untersucht werden. Die benutzten Algorithmen berechnen direkt die Lösung, was die Berechnungen insbesondere im Vergleich zu den Iterationsverfahren beschleunigt. Schließlich garantiert das Verfahren eine exakte Lokalisierung der gemessenen Informationen. Im Gegensatz zu dem, was bei der Benutzung anderer Verfahren der bisherigen Technik vorkommt, tritt keine Verzerrung des Bildes auf.
Je nach der Meßvorrichtung und nach den benutzten Konventionen können verschiedene Normalisierungsfaktoren oder Maßstabsänderungen auftreten (Schritt 113 des Ablaufdiagramms). Die im Text beschriebenen lokalen Beiträge zur Abschwächung entsprechen linearen Koeffizienten der Abschwächung. Man kann aber auch die Abschwächungsmeßwerte beispielsweise in äguivalenter Wasserlänge ausdrücken, dann nach Rekonstruktion das Resultat der Rechnungen unter Verwendung der Skala von Hounsfield gemäß den Konventionen für medizinische Scanner umrechnen.

Claims

1. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung aus zweidimensionalen Messungen der Schwächung einer Strahlung guer durch ein Objekt (11), umfassend eine Strahlungsquelle (10), die einen von einem Fokus (S) ausgehenden kegelförmigen Raumbereich bestrahlt, in dem sich das Objekt befindet, einen Detektor (12), der eine zweidimensionale Vorrichtung (13) umfaSt, die die Abschwächung der Strahlung guer durch das Objekt mißt, eine Mechanik (20, 30, 30'), die es erlaubt, eine Folge von Messungen (11) unter unterschiedlichem Einfall durchzuführen, sowie eine Meßkette (55) und einen Rechner (50), die bei den Messungen die Informationen der zweidimensionalen Vorrichtung (13) analysieren und verarbeiten, um daraus den lokalen Beitrag f(M) zur Abschwächung der Strahlung an verschiedenen Punkten (M) eines zur Darstellung des Objekts (11) dienenden Gitternetzes abzuleiten, dadurch gekennzeichnet, daß eine einzige Quelle (10) vorhanden ist und daß der Rechner (50) Einheiten (53) enthält, die programmiert sind, um die Berechnung und die Inversion der Ableitung der Radon-Transformierten der Abschwächung der Strahlung durchzuführen, wobei die Radon- Transformierte einer Funktion definiert ist als die Gesamtheit der lokalen Werte dieser Funktion auf jeder beliebigen Ebene, die durch wenigstens einen Punkt des Bereichs geht, auf dem die Funktion erklärt ist, und die Ableitung der Radon-Transformierten definiert ist als die Summe der Änderungsraten auf jeder der genannten Ebenen, wenn man sich senkrecht zu genannter Ebene in Richtung des durch ein sphärisches Koordinatensystem definierten Normalenvektors bewegt.

2. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß für unterschiedlichen Einfall die Quelle (10) und der Detektor (12) in konstanter Entfernung zu einem festen Ursprung (O) bleiben.

3. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Mechanik eine im Ursprung (O) zentrierte kreisförmige Schiene (20) umfaßt, die die Quelle (10) und den Detektor (12) während der Messungen derart führt, daß sie in konstanter Entfernung vom Ursprung (O) immer mit diesem fluchten, wobei die Quelle eine kreisförmige Bahn (Ce) beschreibt.

4. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die kreisförmige Schiene (20) mit einem Drehzapfen (21) versehen ist, d&r es erlaubt, die Quelle entsprechend zwei kreisförmigen Bahnen (Ce&sub1;, Ce&sub2;), die um einen konstanten Winkel (ξ) versetzt sind, zu bewegen.

5. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß die kreisförmige Schiene (20) mit einem Drehzapfen (21) versehen ist, die von einem Motor (22) gesteuert wird, der wiederum von dem Rechner (50) gesteuert wird, der es erlaubt, daß sie eine in Abhängigkeit von der Zeit veränderliche Rotation erfährt.

6. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Mechanik zwei kreisförmige parallele Schienen (30, 30') sowie zwei Bögen (31, 33) umfaßt, auf denen einerseits die Quelle (10), andererseits der Detektor (12) gleiten, wobei diese Bögen (31, 33) beide in in Bezug auf den Ursprung (O) entgegengesetzter Position angeordnet sind und auf den kreisförmigen Schienen (30, 30') laufen, wenn die Messungen durchgeführt werden, und ferner die Bögen (31, 33) kreisbogenförmig gekrümmt sind, damit ihre Punkte in konstanter Entfernung vom Ursprung (O) sind, während die Quelle und der Detektor andauernd fluchten und in konstanter Entfernung vom Ursprung (O) sind.

7. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach einem der Ansprüche 3 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Quelle (10) und der Detektor (12) auf den Schienen oder den Bögen (31, 33) mit Hilfe von Elektromotoren (40) umlaufen, die von dem Rechner (50) mit Hilfe von Vorrichtungen zur Ortsbestimmung (41 und 43) gesteuert werden.

8. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Bögen (31, 33) auf den kreisförmigen Schienen (30, 30') mit Hilfe von Elektromotoren umlaufen, die von dem Rechner (50) mit Hilfe von Vorrichtungen zur Ortsbestimmung (41, 43) gesteuert werden.

9. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Quelle (10) und der Detektor (12) durch eine starre mechanische Struktur (65, 75) verbunden sind.

10. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, daß die starre mechanische Struktur (65) sich um eine Achse (67) dreht, die durch den Ursprung (O) geht.

11. Vorrichtung zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, daß die starre mechanische Struktur (75) unbeweglich ist und daß die Vorrichtung eine weitere mechanische Struktur (76 bis 86) umfaßt, an der das Objekt (11) befestigt ist und die das Objekt Rotationen um wenigstens eine durch den Ursprung (O) gehende Achse ausführen lassen kann.

12. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung eines Objekts < 11) aus zweidimensionalen Messungen der Abschwächung einer Strahlung guer durch das Objekt unter Verwendung einer Vorrichtung, die gebildet wird von einer Quelle (10) kegelförmiger Strahlung, umfassend einen Fokus (S) und einen auf einer Matrix von Empfängern (13) gebildeten zweidimensionalen Detektor (12), dadurch gekennzeichnet, daß man die Abschwächung der Strahlung f(M) in allen ersten Punkten (M) eines zur Darstellung des Objekts (11) dienenden Gitternetzes durch Berechnung der Größen (R'f(U)), die die Ableitung der Radon-Transformierten der Abschwächung des Strahlung in den Punkten (U) eines zweiten Gitternetzes des Objekts darstellen, berechnet, wobei die Radon-Transformierte einer Funktion definiert ist als die Gesamtheit der lokalen Werte dieser Funktion auf jeder Ebene, die durch wenigstens einen Punkt des Bereichs geht, auf dem die Funktion erklärt ist, und die Ableitung der Radon-Transformierten definiert ist als die Summe der Änderungsraten auf jeder der genannten Ebenen, wenn man sich senkrecht zu genannter Ebene in Richtung des durch ein sphärisches Koordinatensystem definierten Normalenvektors bewegt, wobei die Größen (R'f(U)) berechnet werden, indem man für alle zweiten Punkte (U) entlang wenigstens einer Linie, die erhalten wird durch Schnitt des Detektors (12) mit einer Ebene in der Nähe des zweiten Punktes (U), die durch den Fokus (S) der kegelförmigen Strahlung geht, wobei die durch den Ursprung (O) und den zweiten Punkt (U) gehende Gerade im wesentlichen orthogonal zu der Ebene ist, die durch den Fokus (S) geht, die Summen der Änderung der Abschwächung der Strahlung und dann Linearkombinationen dieser Summen bildet, und wobei die Abschwächung der Strahlung in allen ersten Punkten (M) durch Berechnung der Ableitung dieser Größen nach der Entfernung zum Ursprung (O) und durch anschließende Linearkombination (Formel 6) der abgeleiteten Größen erhalten wird, wobei ferner Interpolationen durchgeführt werden, um von den zweiten Punkten (U) zu den ersten Punkten (M) zu gelangen.

13. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, daß die Größen (Rf(U)) alle bestimmt werden durch Summation der Änderung der Abschwächung entlang Linien, die erhalten werden durch den Schnitt des Detektors (12) mit Ebenen, die alle durch einen Interpolationspunkt (U11, U12, U21, U22) nahe dem entsprechenden zweiten Punkt (U) sowie durch unterschiedliche Positionen des Fokus (S) der kegelförmigen Strahlung gehen, wobei die Gerade, definiert durch den Ursprung (O) und jeden Interpolationspunkt (U11, U12, U21, U22), orthogonal zu der durch genannten Interpolationspunkt gehenden Ebene ist.

14. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach einem der Ansprüche 12 oder 13, dadurch gekennzeichnet, daß die Messungen ausgeführt werden, wenn der Fokus (S) der kegelförmigen Strahlung sich auf Meridianebenen befindet, die durch regelmäßige Winkel (2π/Nm) getrennt sind und die in einer Achse, die durch den Ursprung (O) geht, zusammenlaufen.

15. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 14, dadurch gekennzeichnet, daß in konstanter Entfernung vom Ursprung (O) die Quelle (10) und der Detektor (12) auf zwei Bahnen (Tc, Tc') im wesentlichen in Form einer Sinuskurve laufen, die wenigstens zwei Perioden für einen vollständigen Umlauf um das Objekt (11) umfaßt.

16. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 14, dadurch gekennzeichnet, daß in konstanter Entfernung vom Ursprung (O) die Quelle (10) und der Detektor (12) auf zwei Bahnen (Tc, Tc') im wesentlichen in Form einer Sinuskurve laufen, die zwei Perioden für einen vollständigen Umlauf um das Objekt (11) umfaßt und deren Amplitude (Int) gleich oder größer als die Entfernung zwischen dem Ursprung (O) und einem beliebigen Punkt des Objekts (11) ist, wobei die Entfernung zwischen den Punkten der Bahn (Tc) und dem Ursprung (O) ferner gleich oder größer ist als diese Amplitude, multipliziert mit 3.

17. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach einem der Ansprüche 14 bis 16, dadurch gekennzeichnet, daß die zweiten Punkte (U), für die man die Größen R'f(U) bestimmt, regelmäßig abgestufte sphärische Koordinaten ( (n), θ(l), φ(m)) haben und den zu den Meridianebenen senkrechten Ebenen angehören, in denen sich während der Bestrahlungen der Fokus (S) der kegelförmigen Strahlung befindet.

18. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 17, dadurch gekennzeichnet, daß die abgeleiteten Größen gewichtet, interpoliert und im Inneren jeder Meridianebene summiert werden, um Größen Q(φ, B) in dritten Punkten (B) zu erhalten, die einem dritten Gitternetz angehören, das rechtwinklige Koordinaten (r(a), z(b)) hat, die regelmäßig auf Ebenen umgeordneter Projektionen verteilt sind, die mit den Meridianebenen zusammenfallen und denselben zu den Meridianebenen orthogonalen Ebenen angehören wie die Punkte (M) des zur Darstellung des Objekts dienenden Gitternetzes, und ferner dadurch gekennzeichnet, daß für jeden Punkt (B) des dritten Gitternetzes die Berechnungen der Größe (Q(φ, B)), charakteristisch für genannten Punkt (B), mit denen der anderen Punkte des dritten Gitternetzes, die derselben Ebene umgeordneter Projektionen angehören, zusammengefaSt werden.

19. Verfahren zur dreidimensionalen Bilderzeugung nach Anspruch 18, dadurch gekennzeichnet, daß die Abschwächung f(M) in jedem Punkt (M) des zur Darstellung dienenden Gitternetzes durch Linearkombination der Größen (Q(φ, B)) erhalten wird, die dritten Punkten < B) orthogonaler Projektionen von Punkten (M) auf die Ebenen umgeordneter Projektionen zugeordnet sind.