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B E S C H R E I B U N G
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Vollständig-optimiertes Deltaflügel-Modell
Vollständig-optimiertes
Deltaflügel-Modell Das Problem der Optimierung der Tragflügelform in Bezug auf minimalen
Widerstand ist heute von großer Bedeutung, insbesondere für Überschallflugzeuge
wie Concorde, weil es mit der Wirtschaftlichkeit des Flug zeuges verbunden ist.
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Hat das Flugzeug einen geringeren Widerstand für einen vorgegebenen
Auftrieb, dann ist auch der entsprechende Brennstoffverbrauch gering.
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Im heutigen Stand der Forschung hat man in allen bekannten Arbeiten
wie von M. Fenain und D. Vallee (Frankreich), H. Yoshihara, J. Keiner, T.Strand
(USA) und auch in unseren früheren Arbeiten die Grundrißform des Flügels vorgegeben,und
man hat die Form der Oberfläche des Tragflügels in Bezug auf minimalen Widerstand
optimiert.
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Einige experimentelle Verfahren von R.T. Jones (USA) zeigen, daß der
Widerstand der Tragflügel sehr stark von der Grundrißform des Tragflügels abhängt.
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Die Erfindung betrifft den Entwurf eines vollständig optimierten (oder
Optimum-optimorum) Deltaflügel-Modells (Adela I-Aachen), das in (Abb. 1) dargestellt
ist.
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Abb. 1 Für dieses DeltaflUgel-Modell wurden sowohl die Oberfläche
als auch die Grundrißform in bezug auf minimalen Druckwiderstand für die Reisen
machzahl M# " 2 optimiert.
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Das hier entworfene Deltaflügel-Modell hat nur die Hälfte des Druckwiderstandsbeiwertes
eines vergleichbaren ebenen Deltaflügels (der bei gleicher Reisemachzahl denselben
Auftrieb erzeugt und dieselbe Grundrißform wie das Deltaflügel-Modell besitzt).
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Für dieses entworfene Deltaflügel-Modell sind vorgegeben: - der Auftriebsbeiwert
Ce - 0,20 - der Nickmomentenbeiwert C = 0,157 - die Grundrißfläche So# = 145 cm²
Vo - das Dickenverhältnis # = = 0,035 S 3/2 0 (wobei Vo dem Volumen des Flügels
entspricht) Zusätzlich wird ein Druckausgleich auf den Unterschallvorderkanten des
Deltaflügels verlangt, und entlang der Vorderkanten und Hinterkanten des Deltaflügels
soll die Dicke des Deltaflügels null gesetzt werden.
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Man macht die Annahme, daß der Deltaflügel schwach angestellt ist
und kleine Wölbung, Verwindung und Dicke hat. Ein solcher Deltaflügel kann als flach
bezeichnet werden.
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Für einen solchen flachen Deltaflügel ist die linearisierte Theorie
anwendbar.
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Im Rahmen dieser Theorie kann man das Studium von tragenden Deltaflügeln
mit Dicke aufteilen in: - Ein Auftriebsproblem, d.h. man betrachtet einen dünnen
Deltaflügel, dessen Fläche die Mittelfläche (oder Skelettfläche) des obigen Tragflügels
darstellt, - ein Dickenproblem, d.h. man betrachtet einen symmetrisch-dicken Deltaflügel,
der den GrundriR und die Dickenverteilung des obigen Flügels besitzt.
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Diese zwei Deltaflügel werden die Komponenten des tragenden Deltaflügels
mit Dicke genannt.
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Der Deltaflügel wird auf ein orthogonales Achsen system Oxl x2 X3
mit dem Nullpunkt an der Flügelspitze und der Achse Oxl parallel zur Ans strömgeschwindigkeit
U# bezogen.
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Der flach gedachte Deltaflügel liegt in der Ebene Ox1 x2 und hat die
Halbspannweite l1 und die Tiefe hl (Abb. 2a).
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Abb. 2a, b Man nennt weiter den Parameter k2= BC (wobei B =
und
der dimensionslosen Spannweite entspricht) den Ähnlichkeitsparameter des Grundrisses.
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Der Ähnlichkeitsparameter 2 bestimmt zusammen mit einer frei gewählten
Fläche SO die Grundrißform des Deltaflügels, d.h.
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Der Optimierungsprozeß wird dimensionslos durchgeführt mit Hilfe eines
transformierten Deltaflügels, der in der transformierten Ebene Ox1, x2 liegt (Abb.
2b) und die Halbspannweite 1 und die Tiefe 1 hat und aus folgender Transformation
aus dem obigen ursprünglichen Deltaflügel hervorgeht
Der transformierte Deltaflügel fliegt mit einer fiktiven Reisemachzahl
Zwischen den Oberflächen Z und Z, den Vertikalstörgeschwindigkeiten w und w, den
Axialstörgeschwindigkeiten u und u, den Druckwiderstandsbeiwerten Cd und Cd, den
Auftriebsbeiwerten Cl und Cl , den Nickmomentenbeiwerten Cm und Cm, den Dickenverhältnissen
# und # des urspründlichen und des transformierten Deltaflügels gibt es
nach
[23, F3 jund 147 die folgenden Beziehungen
In den weiteren Getrachtungen werden alle obigen Größen des ursprünglichen Deltaflü.gels
in Abhängigkeit von den entsprechenden Größen des transformierten Deltaflügels bestimmt.
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Macht man hier die Annahme, daß die Vertikalstörgeschwindigkeiten
w und w des ursprünglichen dünnen und symmetrisch dicken Deltaflügel komponenten
in Form einer Überlagerung von homogenen Polynomen: - zweiter und dritter Ordnung
im Fall des ursprünglichen dünnen Deltaflügelkomponente, d.h.
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- erster, zweiter und dritter Ordnung im Fall symmetrisch-dicker Deltaflügelkomponente,
d. h.
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erzeugt oder angenähert ist.
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Durch die Integration des Vertikalstörgeschwindigkeiten w und w* in
bezug auf t1 und unter der Berücksichtigung, daß die Mittelfläche vorn fast flach
sein soll und die Dicke des Deltaflügels auf der Hinterkante null gesetzt ist, erhAlt
man die Gleichungen Z und Z* der Mittelfläche bzw. der Dickenverteilung des Deltaflügels
in der Form
Die Gleichungen Zo und Zu der Oberseite und Unterseite des Deltaflügel-Modells
Adela I-Aachen sind die folgenden Zo = Z + Z* (10) Zu = Z - Z* (11) In den folgenden
Betrachtungen werden die Koeffizienten w10, w01, w20, w11, w02, und w*00, w*10,
w*01, w*20, w*11, w*02 sowie der Ähnlichkeitsparameter # so bestimmt, daß bei Reisemachzahl
M# = 2 der Druckwiderstandsbeiwert Cd des ursprünglichen Deltaflügels, d.h.
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Cd = Cd(s) + Cd(d) = min. (12) ein Minimum erreicht (wobei Cd(s)
und Cd(d) die Druckwiderstandsbeiwerte des dünnen und der symmetrisch-dicken Deltaflügelkomponenten
sind).
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Zusätzlich sollen auch die oben erwähnten Nebenbedingungen erfüllt
werden.
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Um diese Variationsaufgabe mit Nebenbedingungen zu lösen, wird hier
eine eigene Methode benutzt, die als graphisch-analytische Methode bezeichnet wurde
und in den Artikeln [1][2] und [3] ausführlich beschrieben ist.
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Diese Methode erlaubt die Bestimmung der Optimum-optimorum Deltaflügelform
aller Deltaflügel, die zu einer Klasse von Deltaflügeln gehören, die durch die folgenden
Eigenschaften definiert ist: - Die GrundriRformen sind gleichschenklige Dreiecke,
- die Polynomialentwicklungen der Gleichungen Z und Z der Mittelfläche und Dickenverteilung
enthalten Polynomen derselben Ordnung und - alle diese Deltaflügel erfüllen dieselben
Nebenbedingungen.
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Die graphisch-analytische Methode hat zwei wichtige Etappen wie folgt
- Für einen vorgegebenen Wert des Ähnlichkeitsparameters 2 ist die Grundrißform
des Deltaflügels bekannt, und durch Lösung von zwei klassischen Variationsaufgaben
für die Deltaflügelkomponente bekommt man den Extremalwert (Cd) opt des Druckwiderstandsbeiwertes
des Deltaflügel-Modells.
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- Variiert man jetzt systematisch den Ähnlichkeitsparameter # , so
kann man die Kurve (Cd)opt SITZ (13) analytisch bestimmen, die die untere Grenzkurve
des Druckwiderstandsbeiwertes aller Deltaflügel darstellt, die zu der entsprechenden
Deltaflügelklasse gehören Die Lage des Minimums dieser Grenzkurve bestimmt der optimale
Wert des Xhnlichkeitsparameters 2 und dieses Minimum bestimmt den Druckwiderstandsbeiwert
des Optimum-optimorum Deltaflügel-Modells.
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Im weiteren wird gezeigt, wie diese zwei Etappen der graphischanalytischen
Methode für das Deltaflügel-Modell Adela I-Aachen durch~ geführt sind.
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Die klassische Variationsaufgabe der dünnen Deltaflügelkomponente
fürht zur Bestimmung der optimalen Werte der Koeffizienten wij von w, so daB für
M# - 2 Cd(5) - min (14) mit den folgenden Nebenbedingungen: - der Auftriebsbeiwert
Cl und der Nickmomentenbeiwert Cm sind vorgegeben Cl = Clo = 0,20 Cm = Cmo = 0,157
(15)
- auf der Unterschailvorderkante (verkürzt UVK) des Deltaflügels
findet ein Druckausgleich statt.
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Ist die Vertikalstörgeschwindigkeit w in der Form (3) geschrieben,
kann durch Lösung der Randwertaufgabe des dünnen Deltaflügels mit UVK nach [2] die
Axialstörgeschwindigkeit u in der folgenden Form geschrieben werden: ~ ~ ~ ~
Die Konstanten Aij und Cij der Axialstörgeschwindigkeit u sind mit den Koeffizienten
wij der Vertikalstörgeschwindigkeit w des ursprünglichen dünnen Deltaflügels durch
folgende lineare und homogene Beziehung verbunden
Die Koeffizienten aij(n) und cij(n) in den obigen Ausdrücken der
Konstanten Aij und Cij sind nur vom Ähnlichkeitsparameter # = Bl abhängig und sind
im Anhang 1 wiedergegeben.
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Die Nebenbedingungen, die in die Variationsaufgabe des Dptimum-optimorum
dünnen Deltaflugels eintreten, lassen sich in der folgenden Form schreiben
| - der vorgegebene Auftriebsbeiwert N lv |
| C .-Ü 6cyK) 1t; |
| - i 2< (ia) |
| <v |
| 6v |
| 50k 34t44#O2O |
| - der vorgegebene Nickmomentenbeiwert |
| £c f |
| f g *Ä2f) |
| Ä1¼ 321Co |
| (19) |
Der Druckausgleich entlang der UVK des dünnen Deltaflügels
Die Koeffizienten
sind nur vom Ähnlichkeitsparameter 2 abhängig und sind in den Anhängen (3J und t5J
gegeben.
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Der Druckwiderstandsbeiwert Cd(s) der dünnen Deltaflügelkomponente
läßt sich in der folgenden Form schreiben:
Die Koeffizienten
sind nur vom Ähnlichkeitsparameter 2 abhängig und sind im Anhang (3) gegeben.
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Die Lösung der Extremalaufgabe (10) mit den folgenden Nebenbedingungen
Cl = Clo = 0,20 , Cm=Cmo = 0,157 , F2 = 0 , F3 = 0 (23) führt nach [2] zur Lösung
eines linearen algebraischen Gleichungssystems; die im Anhang (6) angegeben ist.
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Durch Lösung dieses Gleichungssystems bestimmt man die optimalen Werte
der Koeffizienten wij und der Multiplikatoren von Lagrange ( @(o), x1, 2 in Abhängigkeit
von dem vorgegebenen Ähnlichkeitsparameter 3 .
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Variiert man jetzt den Abhängigkeitsparameter p zwischen 0 und 1 (
06 # z 1), so bekommt man die Grenzkurve der dünnen Deltaflügelkomponente (Cd(s))opt
I f (2 ) (24) die in (Abb. 3) eingetragen ist.
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Abb. 3
Diese Kurve erreicht ihr Minimum fur #= 0,804.
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In ähnlicher Weise führt die klassische Variationsaufgabe der symmetrisch-dicken
Deltaflügelkomponente zur Bestimmung der optimalen Werte der Koeffizienten wij*
von so daß für M a 2 lJ Cd(d) = min (25) mit folgenden Nebenbedingungen # = #o =
0,036, Z(@)(x1,x2 = l x1) = 0 (26) Ist die Vertikalstörgeschwindigkeit w* in der
Form (4) geschrieben, so läßt sich durch die Lösung der Randwertaufgabe des symmetrisch-dicken
Deltaflügels mit UVK nach [3] die Axialstörgeschwindigkeit u * in der folgenden
Form schreiben:
In dieser Formel hat man mit M1 und M2 die folgenden Ausdrücke
bezeichnet
Die Konstanten Hij, Pij und C31, die in diese Formel von u eintreten, sind mit den
Koeffizienten wij von der Vertikalstörgeschwindigkeit w des ursprünglichen symmetrisch-dicken
Deltaflügels durch die folgenden linearen und homogenen Beziehungen verbunden
Die Koeffizienten pij(n), hij(n) und cij(n), die in diesen Formeln eintreten, sind
nur von Ähnlichkeitsparameter # abhängig und sind im Anhang (2) wiedergegeben.
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Die Nebenbedingungen, die in der Variationsaufgabe des symmetrischdicken
Deltaflügels auftreten, lassen sich in der folgenden Form schreiben: - das vorgegebene
Dickenverhältnis #
- die Nullstellung der Dicke entlang der Vorderkanten Z(x1,x2=x1) " O führt nach
[3] zu folgenden Gleichungen:
Der Druckwiderstandsbeiwert Cd( ) der symmetrisch-dicken Deltaflügel
komponente läßt sich in der folgenden Form schreiben:
wobei die Koeffizienten
nur vom Ähnlichkeitsparameter # abhängig sind und im Anhang (4) gegeben sind.
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Die Lösung der Extremalaufgabe (21) mit den Nebenbedingungen Eo =
0 E1 = 0 E2 = 0 E3 = 0 (33) führt nach [3] zur Lösung eines linearen Gleichungssystems,
die im Anhang (7) angegeben ist.
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Durch Lösung dieses Gleichungssystems bestimmt man die optimalen Werte
der Koeffizienten wij* und die Werte von Multiplikatoren von Lagrange #(o), M1,
M2 und M3 in Abhängigkeit vom Ähnlichkeitsparameter #.
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Variiert man jetzt den Ähnlichkeitsparameter 2 zwischen 0 und 1 (
O 6 # < 1), so bekommt man die Grenzkurve der symmetriscb-dicken Deltaflügelkomponente.
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(Cd(d)) opt = f (#) (34) die in Abb. 3 eingetragen ist.
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Diese Kurve präsentiert ein Maximum für # # = 0,747 Die Grenzkurve
des tragenden Deltaflügels mit Dicke ist durch Addierung der Ordinaten der Grenzkurven
( 24) und (34)(für einen entsprechenden Wert von ç ) zu bekommen.
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(Cd)opt = (Cd(s))opt + (Cd(d))opt (35) Diese Kurve präsentiert ein
Minimum, dessen Lage #opt = 0,833 dem optimalen Wert des Ähnlichkeitsparameter #
entspricht.
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Mit Hilfe der Formeln(1)erhält man die optimale Grundrißform des Delta~
flügels Modell Adela I-Aachen, (der die Grundrißfläche#o - 145 cm hat) , dessen
Spannweite und Maximaltiefe sind: b = 2 l 1 = 16,703 cm h1 = 17,362 cm (36) Mit
Hilfe der Systeme, die im Anhang (6) und (7) angegeben sind, bekommt man für # -
0,833 die folgenden Optimum-optimorum Werte der Koeffizienten wij und w*ij der Vertikalstörgeschwindigkeiten
w und w* w*00 = 0,2403447 w10 =-0,08592645 w*10 =-0,9722396 w01 = 0,09355509 w*10
= 0,7499401 w20 = - 0,1695960 w*01 = 0,7373252 w11 = 0,3926455 w*11 =-1,019191 w02
= - 0,2902628 w*20 = 0,2638203 Fuhrt man die Werte der Koeffizienten wij und *j
in die Gleichungen (6) und (7) ein, so erhält man die Gleichungen der Mittelflächs
und der Dickenverteilung des Deltaflügels Modell Adela I-Aachen, die in Abb. 1 angegeben
ist und dessen Oberseite und Unterseite der Oberfläche durch die Gleichungen (8)
und (9) beschrieben sind.
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Die Mittelfläche des Deltaflügel-Modells Adela I-Aachen (Abb. 1) ist
vorn fast flach und nimmt hinten eine wellige Fonn an.
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Die Oberfläche ist vorn konvex, am hinteren Teil präsentiert sie eine
Engung der Querschnitte längs der Ox1-Achse und hat an der Hinterkante eine Null-Dicke.
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Die maximale relative Dicke (im Mittelschnitt) ist d max # = = 0,0544
(38) h1 und seine relative Lage ist (ab der Flügelspitze gemessen): x1 x# = = 0,370
(39) h2 Der optimale Öffnungswinkel ist γ°= 27° (40) In Abb. 4a, b sind die
gerechneten Isobaren auf der Oberseite und Unterseite des Deltaflügel-Modells Adela-I-Aachen
für M# 1 2 und α P 0 dargestellt.
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Abb. 4a, b Man kann bemerken, daß auf der Unterseite (ii Mittelschnitt)
eine Expansions-Kompression stattfindet.
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Auf der Oberseite findet (im Mittelschnitt) eine continuierliche Expansion
statt.
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In Abb. 5 sind die gerechneten Abhängigkeiten des Auftriebs-, Nickmomenten-
und Druckwiderstandsbeiwertes Cl , Cm bzw. Cd (vom Anstellwinkel α bei der
Reisemachzahl M# a 2) dargestellt.
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Abb. 5 Der Auftriebs- und Nickmomentenbeiwert nehmen mit wachsendem
Anstellwinkel α linear zu. Der Druckwiderstandsbeiwert hat eine parabolische
Abhängigkeit vom Anstellwinkel α . Diese Parabel erreicht ihr Minimum für
den Anstellwinkel α - - 10.
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Man kann feststellen, daß die geometrischen Parameter, die großen
Einfluß auf den Druckwiderstand haben, der Ähnlichkeitsparameter p - 8t des Grundrisses
und der Öffnungswinkel r des Deltaflügel-Modells an der Tragflügelspitze sind.
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Hat man andere Anfangswerte für die Variationsaufgabe, d.h. andere
vorgegebene Reisemachzahl, Auftriebs- und Nickmomentenbeiwert oder Dickenverhältnis,
dann kann man den optimalen Wert des Ähnlichkeitsparameters P - Be in Abhängigkeit
von der Lage des Druckpunktes C 4 = Ce nach (Abb. 6) bestimmen.
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Abb. 6 Man kann sehen, daß der optimale Ähnlichkeitsparameter P mit
0K wachsendem Abstand des Druckpunktes von der Tragflügelspitze abnimmt.
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Die Abb. 7 und 8 zeigen die Abhängigkeit des optimalen Öffnungswinkels
von der Reisemachzahl und dem vorgegebenen Dickenverhältnis ? Abb. 7 + 8 Man sieht,
daß der optimale Öffnungswinkel / abnimmt mit wachsender Machzahl und zunimmt mit
wachsendem Dichenverhältnis.
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Die Abb. 9a, b zeigen zwei Aufnahmen des entworfenen Deltaflügel-Uodells
Adela I-Aachen.
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Abb. 9a, b Anwendung einer hier benannten graphisch-analytischen
Methode zum Entwurf vollständig-optimierter Tragflügelformen in bezug auf mininalen
Druckwiderstand für Überschallflugzeuge Man nennt vollständig-optimierte Tragflügel
solche Tragflügel, für welche sowohl die Oberfläche Z (x1, x2) als auch die Grund~
bißform S (xl, x2) des Tragflügels in bezug auf minimalen Druckwiderstand optimiert
sind.
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Zusätzlich soll der Tragflügel einige geometrische und aerodynamische
Nebenbedingungen erfüllen (wie im Fall der Deltaflügel klasse) z.B.
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- Der Auftriebs-, Nickmomentenbeiwert sowie das Dickenverhältnis sind
vorgegeben - der Flügel hat Null-Dicke entlang der Vorder und Hinterkanten - auf
der Lateral-Unterschallkante findet ein Druckausgleich statt usw.
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Die weiteren Betrachtungen beziehen sich auf eine Menge Von Trag flügeln,
die durch die folgenden Eigenschaften definiert sind: - Der Tragflügel ist flach,
d.h. er hat kleine Wölbung, kleine Verwindung, kleine Dicke und ist schwach angestellt,
- die Oberflächen der Tragflügel werden durch eine endliche Oberlagerung von homogenen
Polynomen erzeugt oder angenahert, - die Grundrißform sind Polygone - alle Tragflügel
der Menge erfüllen dieselben Nebenbedingungen.
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Diese Menge von Tragflügeln wird in Klassen eingeteilt.
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Zwei Flügel gehören zu derselben Klasse, wenn - ihre Grundrißformen
Polygone sind, welche durch eine affine Transformation verbunden werden können (d.h.
alle diese Polygone sind durch dieselbe Anzahl von Ähnlichkeitsparametern #1, #2,
....... #n definiert), - die Polynomialentwicklungen der Gleichungen ihrer Oberflächen
enthalten Polynome derselben Ordnung (d.h. alle diese Polynome sind durch dieselbe
Anzahl von Koeffizienten definiert), - die beiden Flügel erfullen dieselben Nebenbedingungen.
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Der Entwurf vollständig-optimierter Tragflügelformen führt zur Lösung
einer erweiterten Variationsaufgabe, in welcher man sowohl die Gleichung der unbekannten
Oberfläche Z(x1, x2) als auch die Gleichung der Grundrißform S(xl, x2) bestimmen
soll, so daß der Druckwiderstand Cd
ein Minimum erreicht5 Zusätzlich sollen auch die Nebenbedingungen erfüllt werden,
d.h.
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Die Lösung dieser erweiterten Variationsaufgabe wird wie folgt vorgenommen:
- Man bestimmt (wie im Fall der Deltaflügelklasse) das Optimumoptimorum Deltoflugelmodell
jeder Klasse von Tragflügeln, die der vorgeschriebenen Uenge gehören, - um den Optimus-uptimorum
Tragflügel der Menge zu bestimmen1 kann ein direkter Vergleich der Druckwiderstandsbeiwerte
der Optimum~ optimorum Tragflugel jeder Klasse der Menge erfolgen.
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Der Optimum-optimorum Tragflügel der Menge ist gleich den Optimumoptimorum
Tragflügeln derjonigen Klasse, die den maximalen Druck~ widerstand von allen Optimum-optimorum
Tragflügeln aller Klassen hat, die hier verglichen werden.
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Um die Optimum-optimorum Tragflügel einer Klasse zu bestimmen, wird
hier eine sogenannte graphisch-analytische Methode benutzt.
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Ähnlich wie im obigen Fall der Deltaflügelklasse wird hier erst einmal
eine Reihe von Ähnlichkeitsparameter (#1, #2.... #n) vorgeschrieben.
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Sie bestimmen zusammen mit einer freigewählten Grundrißfiäche So die
Grundrißform des Tragflügels.
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Dann kann die Variationsaufgabe (41) mit den Nebenbedingungen (42)
analytisch gelöst werden in klassischer Weise (weil die Berandung des Integral (41)
jetzt bekannt ist) und man bekommt den optimalen Wert (Cd) opt für den Druckwiderstand.
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Variiert man jetzt systematisch die Reihe der Ähnlichkeitsparameter
(#1, #2 ... #n),so erhält man eine Unterlimes-Grenzhyperfläche (Cd)opt = # ( #1,
#2, .... #n) (43) die analytisch bestimmt werden kann.
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Die "Lage" ihres Minimums bestimmt die optimalen Werte der Ähnlichkeitsparameter
(#1, #2, .... #n) und der minimale Wert der (Cd)opt ist der Druckwiderstandsbeiwert
(Cd) opt opt der vorgegebenen Tragflügelklasse (Abb. 10).
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Abb. 10 Der Entwurf des vollständig-optimieren Deltaflügel-Modells
Adela I-Aachen kann als ein Beispiel zur Benutzung der graphischanalytischen Methode
angesehen werden.
-
Literatur 1 Nastase, A. Die Theorie des Optimum-optimorun Tragflügels
im Überschall.
-
ZAMM 57 (1977) ( im Druck) 2 Nastase, A. Eine graphisch-analytische
Methode zur Bestimmung der Optimum-optimorum Form des dünnen Deltaflügels in Überschallströmung.
-
RRST-SMA 1,19 (1974) (Bukarest) 3 Nastase, A. Eine graphisch-analytische
Methode zur Bestimmung der Optimum-optimorum Form des symmetrisch-dicken Deltaflügels
in Überschallströmung.
-
RRST-SMA 2,19 (1974) (Bukarest) 4 Nastase, A. Utilizarea calculatoarelor
in optimizarea Formelor Aerodinamice.
-
(Use of Computers in the Optimization of Aerodynamic Shapes) Akademie
Verlag (1973) (Bukarest), Extensive English Summery, Page 275-282 RRST-SMA r Revue
Roumaine des Sciences, Techniques Serie de Mécanique Appliquée
Anhang
1 Die Werte der Koeffizienten
der Axialstörgeschwindigkeit ua des transformierten dünner. Deltaflügel 5 mit Unterschallvorderkanten.
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Es seien
die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung vom Modul
und N2 und N3 die folgenden Ausdrücke: N2 = (1-2 #²) E(k) + #²K(k) N3 = (4-19#²
+ 4#4) E²(k) + 8y²(1+#²) E(k) K(k) - 5v² K²(k) Damit lassen sich die Koeffizienten
aij(n) und cij(n) für die einzelnen kegelsymmetrischen Strömungen erster, zweiterund
dritter Ordnung (d. h.
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n s 1,2,3) in der folgenden Form schreiben: für n = 1
für n = 3
Man bemerkt, | daß alle diese Koeffizienten nur vom Ähnlichkeitsparameter # abhängig
sind.
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Anhang 2 Die Werte der Koeffizienten
der Axialstörgeschwindigkeit ua des transformierten, symmetrisch-dicken Deltaflügels
mit Unterschallvorderkanten.
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Es seien N0,N1,N2,N3 und N4 die folgenden Ausdrücke:
Dann lassen sich die Koeffizienten
für die einzelnen kegelsymmetrischen Strömungen erster, zweiter und dritter Ordnung
(d. h. n = 1,2, 3) in der folgenden Form schreiben: - für n = 1
- für n = 3
Anhang 3 Die Werte der Konstanten # nj und #nmkj der Auftriebs-
und Widerstandsbeiwerte des transformierten dünnen Deltaflügels mit Unterschallvorderkanten
Es sei Jk das vollständige Integral
welches die folgenden Werte annimmt:
für k = 2t und
für k = 2t + 1.
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Diese Formeln geben für k = 0 ~ 5 die folgenden Werte für die Integrale
Ik I0 = #/2 I1 = 1 I2 = #/4 I3 = 2/3 3# 8 I4 = I5 = 16 15 Der allgemeine Ausdruck
für die Konstanten n nj im Falle einer homogenen kegelsymmetrischen Strömung n-ter
Ordnung läßt sich in folgender Form schreiben:
wo E(t) der ganze Teil der rationellen zahl ist.
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Aus dieser Formel bekommt man für die kegelsymmetrischen Strömungen
erster, zweiter und dritten Ordnung (d.h. n = 1,2,3) die folgenden Werte für #nj
für n = 1
(j = o, 1) für n = 2 und
(j = 0, 1, 2) für n = 3 Der allgemeine Ausdruck für die Konstanten
zur Berechnung des Widerstandsbeiwertes läßt sich in folgender Form schreiben:
Für eine Überlagerung von kegelsymmetrischen Strömungen erster, zweiter und dritter
Ordnung (d. h. n = 1,2,3)erhält man hieraus die folgenden Werte für diese Koeffizienten:
(m = 1,2,3; k = 0,1 ...(m-1)) für n =
(m = 1,2,3; k = 0,1... (m-1); j = 0,1) für n = 2 und
(m = 1,2,3; k = 0,1... (m-1); j = 0,1,2) für n = 3.
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Bemerkungen: a) In die Formeln von
muß man
einsetzen.
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b) Alle Konstanten
aind nur von dem Ähnlichkeitsparameter # abhängig.
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Anhang 4 Die Werte der Konstanten # nmkj(d) der Widerstandsbeiwerte
des transformierten symmetrisch-dicken Deltaflügels mit Unterschallvorderkanten
Es sei jk das vollständige Integral
k # 0 #>1) welches die folgenden Werte annimmt
für k = 2t und
für k = 2t + 1.
-
Diese Formeln geben für k = 0i5 die folgenden Werte für die Integrale
Der allgemeine Ausdruck für die Konstanten
die in den Ausdruck des Widerstandsbeiwertes eintreten, lassen sich in folgender
Form schreiben:
Für eine Überlagerung von kegelsymmetrischen Strömungen erster zweiter und dritter
Ordnung (d. h. n = 1,2,3) erhält man daraus die folgenden Koeffizienten:
( m=1, 2, 3; k=0,1...(m-1) ) fur n:1;
m=1, 2, 3; k=0,1...(m-1); j=0,1) fÜr n=2
(m = 1,2,3; k = 0,1...(m-1); j = 0, 1,2) für n = 3 Bemerkungen a) Die Konstanten
sind nur von dem Ähnlichkeitsparameter # abhängig.
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b) in die Formel für
muß man C20(3) = C33(2) = 0 einsetzen.
-
c) Alle Konstanten hängig.
-
sind nur von dem Ähnlichkeitsparameter 2 ab-
Die
Werte des Koeffizienten Tnj des dünnen transformierten Deltaflügels Der allgemeine
Ausdruck des Koeffizienten Tnj für eine kegelsymmetrische Strömung n-ter Ordnung
läßt sich in der folgenden Form schreiben:
j = 0, 1 (n - 1) Aus dieser Formel bekommt man die folgenden Werte für Tnj für n
= 2, 3 T20 = a00(2) + a20(2) T21 = a01(2) + a21(2) T30 = a00(3) + a20(3) T31 = a01(3)
+ a11(3) T32 = a02(3) + a12(3)
Anhang 6 Das lineare algebraische
System, das die optimalen Werte der Koeffizienten w80 der Vertikalstörgeschwindigkeit
w des dünnen transformierten Deltaflügels bestimmt 2#2200 w10 + (#2201+#2210) w01
+ (#3200+#2300) w20 + (#3201+#2310) w11 + (#3202+#2320) w02 + #(1) #20 + #(2) #20
+ #2 T20 = 0 (#2230+#2201) w10 + 2#2211 w01 + (#3210+#2301) w20 + (#3211+#2311)
w11 + (#3212+#2321) w02 + #(1) #21 + #(2) #21 + #2 T21 = 0 #3200+#3200) w10 + (#2301+#3210)
w01 + 2#3300 w20 + (#3301+#3310) w11 + (#3302+#3320) w02 + #(1) #30 + #(2) #30 +
#3 T30 = 0 #2310+#3201) w10 + (#2311+#3211) w01 + (#3310+#3211) w20 + 2#3311 w11
+ (#3312+#3321) w02 + #(1) #31 + #(2) #31 + #3 T31 = 0 #2320+#3202) w10 + (#2321+#3212)
w01 + (#3320+#3302) w20 + (#3321+#3312) w11 + 2#3322 w02 + #(1) #32 + #(2) #32 +
#3 T32 = 0 Clo #20 w10 + #21 w01 + #30 w20 + #31 w11 + #32 w02 = l Cmo #20 w10 +
#21 w01 + #30 w20 + #31 w11 + #32 w02 = l T20 w10 + T21 w01 = 0 T30 w20 + T31 w11
+ T32 w02 = 0
Anhang 7 Das lineare algebraische System, das die
optimalen Werte der Koeffizienten w80 der Vertikalstörgeschwindigkeit w des symmetrisch-dicken
transformierten Deltaflügels mit optimierter Nase bestimmt 2#1100* w00 + (#2100*+#1200*)
w10 + (#2101*+#1210*) w01 + (#3100*+#1300*) w20 (#3100*+#1310*) w11 + (#3102*+#1320*)
w02 + 2/3#(0) + 6µ1=0 #1200*+#2100*) w00 + 2#2200* w10 + (#2201*+#2210*) w01 + (#3200*+#2300*)
w20 + (#3201*+#2310*) w11 + (#3202*+#2320*) w02 + 1/2#(0) + 3µ1 + + µ2=0 #1210+#2101*)
w00 + (#2210*+#2201*) w10 + 2#2211* w01 + (3210*+#2301*) w20 + (#3211*+#2311*) w11
+ (#3212*+#2321*) w02 + 1/5 #(0) + 2µ2=0 (#1300*+#3100*) w00 + (#2300*+#3200*) w10
+ (#2301*+#3210*) w01 + 2#3300* w20 + (#3301*+#3310*) w11 + (#3302*+#3320*) w02
+ 2/5 #(0) + 2µ1 + + 3µ3=0 2 (#1310*+#3101*) w00 + (#2310*+#3201*) w10 + (#2311*+#3211*)
w01 + (#3310*+#3301*) w20 + 2#3311* w11 + (#3312*+#3321*) w02 + #(0) + 3µ3=0 15
1 (#1320*+#3102*) w00 + (#2320*+#3202*) w10 + (+2321*+#3212*) w01 + (#3320*+#3302*)
w20 + (#3321*+#3312*) w11 + 2#3322* w02 + #(0) - 2µ2+ 15 +6µ3=0 2 1 2/3 w00 +1/2
w10 + 1/6 w01 + 2/5 w20 + w11 + w02= - #o #l 15 15 6w00 + 3w10 + 2w20 = 0 w10 +
2w01 - 2w02 = 0 2w20 + 3w11 + 6w02 = 0
L e e r s e i t e