DE2037877C3 - Verfahren zur Korrektur von Fehler bundein - Google Patents

Description

e = CTf ([£/-11/2),

wobei d = Hammingdistanz.

Aus dem Buch von W. W. P e t e r s ο η ist bekannt, daß Codes sowohl zur Korrektur statistisch verteilter Fehler, als auch zur Korrektur von Fehlerbündeln konstruiert werden können.

Die Korrekturkapazität eines Codes hinsichtlich beliebig statistisch verteilter Fehler richtet sich nach seiner Hammingdistanz d. Diese ist die kleinste unter allen Codeworten des Codes vorkommende Distanz. Ein Code, der die Hammingdistanz d besitzt, kann genau e beliebig statistisch verteilte Fehler korrigieren, wobei

e =

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf ein Verfahren zur sicheren Korrektur von einfachen oder gleichzeitig am Blockanfang und Blockende auf-

1

e =

für d ungeradzahlig,

für d geradzahlig.

Die Korrekturkapazität eines Codes hinsichtlich Die Korrekturfähigkeit eines zyklischen Codes ist

Fehlerbündel ist durch die Größe b_max gekennzeichnet. wesentlich höher als die für statistisch verteilte Fehler.

Die Größe b_max kann theoretisch maximal den Beispielsweise findet man für einen Bose-Chaudhuri-

Wert b'max = m/2 annehmen, richtet sich also bei Code
guten Codes nach der Redundanzlänge m. 's

Da allgemein gut d < _m, folgt hieraus, daß ^d^ ^LanS^e " = J»

e < b_max (W. W. P e t e r s ο n, Error Correcting ^mt _A ^k = ²^ Informationsbits

Codes, MIT-Press 1961, S 52 und 71) ⁶ und m = 48 Redundanzbits ·

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Ver- ^{und e} = ⁶ Korrdrturkapazitat fur statisch

fahren zur Fehlerbündelkorrektur anzugeben, mit dem io verteilte genier

sowohl einfache als auch gleichzeitig am Blockanfang auf Grund der linearen Unabhängigkeitsprüfung eine

und Blockende auftretende Fehlerbündel bis zur maximal korrigierbare Fehlerbündellänge b_max = 21.

Korrekturkapazität des zyklischen Codes bezüglich Hierbei ist offensichtlich

Fehlerbundel korrigiert werden können. _ ₀₁ _ ,

Die erfindungsgemäße Lösung der Aufgabe macht 15 ^bmax ~ ^ ^e ~

sich den Umstand zunutze, daß es gewisse zyklische Die Größe b_max läßt sich für diesen Code mit Hilfe

Codes gibt, die bei einer Störung durch ein Fehler- des in der Erfindung beschriebenen Verfahrens be-

bündel der Länge b S b_max und bei einer zyklischen stimmen.

Verschiebung dann und nur dann iii einem sogenann- Ein Ausführungsbeispiel der Erfindung wird nun

ten Syndromregister eine Folge von mindestens so unter Bezugnahme auf die Zeichnungen näher be-

(m—bmai) Nullen erzeugt, wenn das Empfangswort schrieben. Es zeigt

so oft zyklisch verschoben wird, daß der das Fehler- Fig. 1 Prüf matrix [H], Fehlerwort [Xf] und bündel enthaltende Teil im Redundanzteil des Emp- Syndrommatrix [S] mit Fehlermuster, fangswortes steht. F i g. 2 Prüfmatrix mit quadratischen Untermatri-Die Erfindung besteht darin, daß ein Code verwendet as zen, deren Determinanten zur Durchführung des Verwird, bei dem das Verhältnis b_max/m möglichst nahe fahrens verschieden von Null sein müssen, an den Wert 0,5 herankommt, wobei b_max in folgenden l· i g. 3 Prüfmatrix mit rechteckigen Untermatrizen, Iterationsschritten bestimmt wird: deren Spaltenvektoren zur Durchführung des Vera) es wird ein vorläufiges b_max =■ ent (mil) ange- fahrens linear unabhängig sein müssen,

nommen, 30 F i g. 4 das Blockschaltbild eines unter Verwendung b)die Prüfmatrix [H] wird linksbündig um die des Verfahrens arbeitenden Decoders, . Einheitsmatrix erweitert, und es wird^ine erste J, g 5 gleichzeitig am Blockanfang und^ Block-Untermatrix, bestehend aus b_max Spalten und ^endf ^a"^ftrfIf:^{nde Fehlerbu}"^{del m} «^nem Codewort. m-b_max Zeilen gebildet, wobefdie erste Spalte , _u ^{Um die} Wirkungsweise des erfindungsgemaßen VerderUntematrix mit der Position der(6_mex+l)-ten »» fahrens verständlich zu machen, wird fachst die Spalte und die erste Zeile der Untermatrix mit der Matrix-Darstellung eines Codes erläutert. Ausgehend

Position der (iwfl)-ten Zeile der Einheits- ™ⁿ. ^df^{r G} _c ^en.^e.^{ra ormatnx}..^{[ G}\ ^tmt*u °ΐ*' tVcc2

matrix übereinstimmt, duzierter Staffelform vorliegt, erhalt man ein Code-

xj-ci* λ J. j ,, - , wort, in dem k Informationszeichen zu einem Zeilen-

c) die Spalten der so gebildeten Untermatrix werden _{vektor zusamme}ngefaßt und mit [G] multipliziert werauf ihre lineare Unabhängigkeit geprüft, wobei _den.

im Fallederlinearen Unabhängigkeit aller Spalten " ,_χχ A^) · [Cl = (Codewort),

eine neue, um eine Stelle nach rechts verschobene _a · · ·

Untermatrix gleicher Größe gebildet und in Während der Übertragung der codierten Informa-

gleicher We₁Se geprüft wird und dies so lange _{45 tion treten nunmehr} Störungen auf, die einzelne

fortgesetzt wird, bis entweder eine lineare Ab- _Zej_chen eines Codewortes verfälschen. Am Empfangs-

hangigieit auftritt oder die verschobene Unter- _{ort werden so}dann die eintreffenden Worte daraufhin

matrix rechtsbündig an die Einheitsmatrix der _geprüft, ob sie zulässige Codeworte sind oder ob sie

Prüf matrix [H] anschließt, _{Fehler entha}i_{ten D}j_{es gesc}hieht mit einer sogenannten

d) bei Feststellung einer linearen Abhängigkeit der ₅₀ Prüf matrix [H], die den zur Matrix [G] orthogonalen Spalten einer Untermatrix wird das vorläufig an- Raum aufspannt.

genommene b_max um 1 erniedrigt und der oben- Wenn nun während der Übertragung Fehler aufgegenannte Prüfablauf so lange wiederholt, bis alle treten sind, so bedeutet dies, daß das Empfangswort Untermatrizen die Forderung nach linearer Un- [x_e] sich aus einem Codewort [^i] und einem Fehlerabhängigkeit der Spalten-Vektoren erfüllen; in _{S5 WO}rt [X_f] zusammensetzt, gemäß diesem Fall ist das angenommene b_max gleich dem ' gesuchten *„„; . l*e] = [Xi] ® [Xή \

für den Korrekturvorgang werden alle Stellen des © ist das Symbol für mod 2-Addition. empfangenen Wortes so lange zyklisch verschoben, bis Bei einer Prüfung des Empfangswortes [X_e] mit der eine ununterbrochene Folge von Nullen der Länge 60 Prüfmatrix [H] erhält man ein Fehlersyndrom [S], (m—b_max) im Syndromregister enthalten ist, und an- das Rückschlüsse auf das aufgetretene Fehlerbündel schließend werden alle Stellen des empfangenen erlaubt. Bei fehlerfreier Übertragung ist dieses Fehler-Wortes, die mit einer Syndromstelle der Wertigkeit 1 syndrom gleich Null.

korrespondieren, invertiert. . _ ,_. Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren lassen sich 6₅ [H] ■ [X_e]^T = [H] -[Xi]¹ ® [H] · [X/J - Ii J

einfache oder gleichzeitig am Blockanfang und Block- m] ende auftretende Fehlerbündel bis zur maximalen

Korrekturfähigkeit sicher korrigieren. der Term [H] ■ [X_t]^T ist definitionsgemäß gleich Null.

Somit gilt: gieren; dazu wird als Kriterium entsprechend dem

[H] · [Xf]^T = [S] (1) erfindungsgemäßen Verfahren eine um ein oder

mehrere Bit längere Nullfolge der Länge (m—b_max)

Das T im Exponent bedeutet, daß jeweils die trans- im Syndromregister gesucht. Dieses Kriterium ist dann

ponierte Matrix zu verwenden ist. 5 eindeutig, wenn bestimmte Folgen von b_max Spalten

Es ist üblich, die Prüfmatrix in einer Form zu mit (m—b_max) Bits in der Prüfmatrix [H] linear un-

schreiben, daß die letzten m Spalten die Einheits- abhängig sind. Das gilt auch für ungerade m. Dies ist

matrix [/] bilden (F i g. 1), so daß die.Prüfmatrix [H] in F i g. 3 an Hand eines Fire-Codes mit dem Genera-

die Form torpolynom

[H] = [A, I]

annimmt. g(X) = (X* f A' + I)-(X⁶ + 1)

Die Matrix [H] besitzt η Spalten (entsprechend den = X" + JÜT« \- X^s + X* + * +1 * 10 01 1 10 011 η Elementen des Codewortes) und nt Zeilen (entsprechend den m Prüfelementen im Codewort). erläutert. Nach dem Verfahren von Fire sind mit

Das Gleichungssystem (1) ist unterbestimmt und 15 diesem Code Bündel bis zur Länge b_m — 3 korrigier-

daher nicht eindeutig lösbar. Man stellt nun an Hand bar. Es zeigt sich jedoch, daß das erfindungsgemäße

der F ig. 1 fest, daß gemäß Gleichung (1) die eine »1« Verfahren die Möglichkeit bietet, mit diesem Code

aufweisenden Stellen des Fehlervektors [X/] zugehörige Bündel bis zur Länge b_max = 4 sicher zu korrigieren.

Spalten in [H] auswählen und die Summe dieser Notwendige und hinreichende Bedingung ist hierbei.

Spalten (mod 2) das Syndrom [S] bildet. Man stellt ao daß die Spaltenvektoren der in F i g. 3 angedeuteten

nun weiter fest, daß im Falle von Fehlerbündeln, die rechteckigen Untermatrizen [Mt] der Spaltenzahl

sich über eine Länge von b Elementen des Empfangs- bmax und der Zeilenzahl (m—bmax) linear unabhängig

Wortes erstrecken, das Syndrom sich aus einer ent- sind. Dies ist hier der Fall.

sprechenden Anzahl von Spalten zusammensetzt und Ganz allgemein läßt sich b_max dadurch bestimmen, daß das Syndrommuster mit dem Fehlerbündel dann »5 daß zunächst für einen Code b_m ~ ent (/n/2) angeidentisch ist, wenn das Fehlerbündel vollständig über nommen wird, daß mit dieser Annahme die Unterder Einheitsmatrix [/] steht. Für die Klasse der matrizen geprüft werden und daß, wenn die Unterzyklischen Codes hat schon Peterson gezeigt, matrizen die Bedingungen der linearen Unabhängigkeit daß somit jedes Fehlerbündel der Länge b < m auf nicht erfüllen, b_m um 1 erniedrigt wird und die gejeden Fall erkennbar ist. Man kann jedoch derart 30 nannte Prüfung so lange vorgenommen wird, bis sie lange Bündel ohne zusätzliche Information nicht mehr einmal für ein bestimmtes b_m, das gleich dem gesuchten korrigieren. b_max ist, Erfolg hat.

Es wird nun gezeigt, welche Eigenschaft der Code Die Prüfung der Spaltenvektoren auf ihre lineare haben muß, damit man Fehlerbündel der Länge Unabhängigkeit kann bei quadratischen sowie bei bmax < ent (m/2) sicher korrigieren kann. Dazu be- 35 rechteckigen Matrizen durch einen einfachen Triangutrachtet man die Prüf matrix [H] in Fig. 1, die im larisierungs-Algorithmus (W.W. Peterson, Ervorderen Teil aus der Codiermatrix [A] besteht, an ror Correcting Codes, MIT-Press 1961, S. 24) durchdie sich die Einheitsmatrix [/] anschließt. geführt werden.

Es sei m geradzahlig; damit wird b_max < m/2. Entsprechend einem weiteren Merkmal der Erfin-Steht das Fehlerbündel der Länge b genau über der 40 dung wird nun ein Empfangswort, das an beliebiger 1. Hälfte der Einheitsmatrix, so zeichnet sich sein Stelle ein Fehlerbündel der Länge b < ent (m/2) entMuster exakt in der oberen Hälfte des Syndroms [S] hält, so lange zyklisch verschoben, bis das Fehlerab, im unteren Teil des Syndroms stehen dann nur bündel, das bei dem erfindungsgemäßen Verfahren »0«-zeigende Elemente. Diese Eigenschaft, daß die eine auch ein gleichzeitig am Blockanfang und Blockende Hälfte des Syndroms nur »O«-Elemente besitzt, wird 45 auftretendes sein darf, in den Redundanzteil des al» Kriterium verwendet, daß im restlichen Syndrom Empfangswortes geschoben ist und dort z. B. linksdas Fehlerbündel enthalten ist. Dieses Kriterium ist bündig steht. Dabei wird der restliche Teil des Synaber nur dann eindeutig, wenn der Code die Eigen- droms geprüft, ob die charakteristische Nullfolge der schaft besitzt, daß ein beliebiges Fehlerbündel der Länge (m—b_max) aufgetreten ist. Ist diese gefunden, Länge b an beliebiger Stelle über [A] stehend nicht im 5° so wird der Inhalt des Syndromregisters durch eine Syndrom diese charakteristische Nullfolge vortäuschen mod-2-Addition zum phasenrichtig zyklisch verkann. Dazu genügt es, daß die «ir-(m/2)-spaltige schobenen Empfangswort Bit für Bit addiert, wodurch Untermatrix [M₁], gebildet aus den vorzugsweisen das Fehlerbündel im Empfangswort eliminiert wird, untersten (m—b_m) Zeilen der Matrix [H], und jede F i g. 4 zeigt als Ausführungsbeispiel einen Deweitere Untermatrix [Mi], die sich beim zyklischen 55 coder, der nach dem erfindungsgemäßen Verfahren Verschieben von [M₁] nach rechts ergibt, regulär ist. arbeitet und unter Verwendung des bereits erwähnten Dies ist an einem Beispiel in Fig. 2 erläutert; es ist BCH-Codes einfache Fehlerbündel korrigiert. Der dort die Prüfmatrix des « = 15, k — 7 BCH-Code Code läßt sich mit einem Schieberegister erzeugen, dargestellt. ■ das in bekannter Weise entsprechend einem Generator-Für diesen Code kann man zeigen, daß sämtliche 60 polynom rückgekoppelt ist Ein detaillierte Angabe Determinanten det [M₁] bis det [Af₈] einen von Null der Steuerung ist in dem Blockschaltbild zur besseren verschiedenen Wert besitzen. Damit ist z. B. der an- Obersicht weggelassen.

gegebene BCH-Code für die Durchführung des Ver- Zunächst werden der Schalter S, geschlossen und

fahrens geeignet Für diesen Code ist bmax = m/2 — 4. die Schalter S_t und S_z geöffnet Ein vom Kanal K

Ferner kann man mit einem Code, der nicht in der 65 kommendes Empfangswort [X_e] gelangt zu einem

Lage ist, Bündel bis zur halben Redundanzlänge zu Informationsregister 1 und gleichzeitig über

korrigieren, eventuell Bündel bis zur Länge b_maa, die eine Vormultiplikationsleitung (W. W. Peterson,

ein oder mehrere Bit kürzer als cnt(mß) sind, korn- S. 114), einem Modula-2-Addierer 4 und den Schalter

7 8

S₁ zu einem Redundanzregister 2; nachdem der registers 2 angeschlossen sein, die beim Ansprechen Informationsteil des Empfangswortes in beide Register den Schalter S₂ schließt und den Schalter S₁ öffnet, eingelaufen ist, wird der Schalter S₄ geöffnet und nur Bei gleichzeitig am Blockanfang und Blockende aufdas Redundanzregister weitergetaktet. Nach (k+b_max) ' tretenden Fehlerbündeln setzt sich das Bündel gemäß Takten T wird der Schalter S₃ geschlossen; es laufen 5 F i g. 5 aus zwei Teilbündel der Länge A₁ und b_t zudann noch (m—b_max) Redundanzzeichen vom Kanal K sammen, die bei zyklischen Codes durch einfache zykein; ein Zähler 3 zählt dabei aufeinanderfolgende lische Verschiebung zu einem Gesamtfehlerbündel Ketten von Nullen, bis er einen Zählwert von (m—b_max) vereinigt werden können. Derartige Fehlerbündel erreicht hat. Tritt vor dem Erreichen des Zählwertes können nach dem erfindungsgemäßen Verfahren exakt eine 1 auf, so wird der Zähler auf Null gesetzt und be- ίο korrigiert werden, wenn die Länge
ginnt erneut zu zählen. Nach η Takten wird der Schal- ,, , ,
ter Si geschlossen und Redundanz- und ^formations- Wi+o_s) S o_max S ent {m/Z)
register wieder gemeinsam getaktet. Dabei gelangen beträgt; denn erfüllt ein Code die geforderten Regudie Informationszeichen zur Ausgabe. Erreicht unter- laritätsbedingungen, so ist das genannte Kriterium dessen der Zähler 3 den Wert (m—b_max), so werden 15 —nämlich mindestens {m—bmax) aufeinanderfolgende die Schalter S₁ und S₃ geöffnet und S₂ geschlossen. Nullen im Syndromregister bzw. mindestens (m—bmax) Mit jedem weiteren Takt wird nun das im vorderen als Zählerstand des Zählers 3 — auch hierbei einTeil des Redundanzregisters 2 stehende Fehlermuster deutig. Erst wenn infolge einer zyklischen Verschieder auslaufenden Informationsfolge durch den Mo- bung des Empfangswortes das vereinigle Fehlerbündel dulo-2-Addierer 5 an der richtigen Stelle Bit für Bit ao in den ersten b_max Stellen des Redundanzteiles steht, überlagert, so daß die korrigierte Information zur ist die Nullkette der Länge (m—bmax) in der anderen Ausgabe A gelangt. Die Operation erfordert (n+k) Syndromhälfte festzustellen und das Empfangswort in Takte vom Beginn des Einlaufs der Information bis bereits beschriebener Weise zu korrigieren. Eine Schalzur vollständigen korrigierten Ausgabe. tung zur Korrektur von derart überlappenden Fehler-Statt des Zählers 3 kann auch eine Nulltestlogik 25 bündeln unterscheidet sich nur in einem geringen Aufdirekt an den ersten (m—bmax) Stellen des Redundanz- wand von der Schaltung nach" F i g. 4.

Hierzu 1 Blatt Zeichnungen

Claims (1)

1. Patentanspruch:

   Verfahren zur sicheren Korrektur von einfachen oder gleichzeitig am Blockanfang und Blockende auftretenden Fehlerbündeln, die zusammen die Länge b ^ b_max ύ ent (/h/2) aufweisen, bei der Übertragung binärcodierter Nachrichten unter Verwendung eines zyklischen Codes, der aus w-stelligen Wörtern mit k Informationszeichen und m Redundanzzeichen gebildet wird und bei dem sendeseitig die Redundanzzeichen durch Multiplikation des die Informationszeichen repräsentierenden Vektors [ATf] mit einer Codiermatrix [A] hervorgehen und empfangsseitig zur Fehlererkennung jedes n-stellig empfangene Wort mit einer Prüfmatrix [H] multipliziert wird, die die um die Einheitsmatrix [/] ergänzte Codiermatrix [A] ist, dadurch gekennzeichnet, daß ein Code verwendet wird, bei dem das Verhältnis bmax/m möglichst nahe an den Wert 0,5 herankommt, wobei bmax in folgenden Iterationsschritten bestimmt wird:

   a) es wird ein vorläufiges b_max = ent (m/2) angenommen,

   b) die Prüfmatrix (H, vgl. F i g. 2 und 3) wird linksbündig um die Einheitsmatrix erweitert, und es wird eine erste Untermatrix, bestehend aus bmax Spalten und m—b_max Zeilen, gebildet, wobei die erste Spalte der Untermatrix mit der Position der (b_ma.r f l)-ten Spalte und die erste Zeile der Untermatrix mit der Position der (bmax t l)-ten Zeile der Einheitsmatrix übereinstimmt,

   c) die Spalten der so gebildeten Untermatrix werden auf ihre lineare Unabhängigkeit geprüft, wobei im Falle der linearen Unabhängigkeit aller Spalten eine neue, um eine Stelle nach rechts verschobene Untermatrix gleicher Größe gebildet und in gleicher Weise geprüft wird und dies so lange fortgesetzt wird, bis entweder eine lineare Abhängigkeit auftritt oder die verschobene Untermatrix rechtsbündig an die Einheitsmatrix der Prüfmatrix [H] anschließt,

   d) bei Feststellung einer linearen Abhängigkeit der Spalten einer Untermatrix wird das vorläufig angenommene b_max um 1 erniedrigt und der obengenannte Prüf ablauf so lange wiederholt, bis alle Untermatrizen die Forderung nach linearer Unabhängigkeit der Spalten-Vektoren erfüllen; in diesem Fall ist das angenommene bmax gleich dem gesuchten b_max\

   für den Korrekturvorgang werden alle Stellen des empfangenen Wortes so lange zyklisch verschoben, bis eine ununterbrochene Folge von Nullen der Länge (m—b_max) im Syndromregister enthalten ist, und anschließend werden alle Stellen des empfangenen Wortes, die mit einer Syndromstelle der Wertigkeit 1 korrespondieren, invertiert.

   tretenden Fehlerbündeln, die zusammen die Länge b ^ bmax S ent (m/2) aufweisen, bei der Übertragung binärcodierter Nachrichten unter Verwendung eines zyklischen Codes, der aus /i-stelligen Wörtern mit k Informationszeichen und m Redundanzzeichen gebildet wird und bei dem sendeseitig die Redundanzzeichen durch Multiplikation des die Informationszeichen repräsentierenden Vektors [Xi] mit einer Codiermatrix [A] hervorgehen und empfangsseitig zur

   ίο Fehlererkennung jedes n-stellige empfangene Wort mit einer Prüfmatrix [H] multipliziert wird, die die um die Einheitsmatrix ergänzte Codiermatrix [A] ist.

   Bei gleichzeitig am Blockanfang und Blockende

   auftretenden Fehlerbündeln setzt sich das Bündel gemäß F i g. 5 aus zwei Teilbündeln der Länge b_t und b₂ zusammen.

   Für die Codierung der Nachrichten sind allgemein lineare Codes verwendbar, die zu Zwecken der Fehlerkorrektur konstruiert sind. Die oben angeführte mathematische Darstellung der Nachricht als Vektor [Xt], zu der mit HiWe einer Codiermatrix [A] Redundanzzeichen berechnet werden, die an die Informationszeichen angehängt übertragen werden, ist allgemein eingeführt. Derartige Codes erlauben es, am Empfangsort eine gestört eintreffende Nachricht zu rekonstruieren.

   Eine ausführliche Beschreibung von Verfahren zur Korrektur von Fehlerbündeln findet man bei W.W. Peterson, »Error Correcting Codes«, wobei das Verfahren von Fire genannt sei, dem als wesentlicher Nachteil anhaftet, daß die Fehlerbündel allgemein nur eilte maximale Länge von bmax = m/3 haben dürfen. Ein bekanntes Verfahren (G a 11 ager, »Information Theory and Reliable Communication«, Wiley 1968) hat die Nachteile, daß nur mit einer bestimmten Fehlerwahrscheinlichkeit korrigiert wird, daß eine erhebliche Anzahl von Korrekturschritten nötig ist, die ein vielfaches der Wortlänge « beträgt, und daß keine gleichzeitig am Blockanfang und Blockende auftretende Fehlerbündel korrigiert werden können.

   Ferner ist ein Decodierer bekannt, der sowohl zufällig verteilte als auch gehäufte Fehler korrigieren kann (deutsche Offenlegungsschrift 1 449 906).

   Dieser kann jedoch nur bis zur maximalen Korrekturfähigkeit eines zyklischen Codes bezüglich statistisch verteilter Fehler korrigieren, d. h. bis etwa zur halben Hammingdistanz, nämlich bis zur Anzahl