DE19500077C1

DE19500077C1 - Millimeterwellen-Meßverfahren

Info

Publication number: DE19500077C1
Application number: DE19500077A
Authority: DE
Inventors: Bernd Mayer
Original assignee: Deutsche Forschungs und Versuchsanstalt fuer Luft und Raumfahrt eV DFVLR
Current assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Priority date: 1995-01-04
Filing date: 1995-01-04
Publication date: 1996-04-11
Anticipated expiration: 2015-01-05
Also published as: US6255831B1

Description

Die Erfindung betrifft ein Millimeterwellen-Meßverfahren nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1.

Aus H.-G. Unger, Elektromagnetische Theorie für die Hochfrequenztechnik, Hüthig 1981, ist bekannt, daß mit Gütemessungen (Gl. 3.75 und Gl. 3.77, Bd. 1) und Resonanzfrequenzmessungen (Gl. 9.17 Bd. 2) an Hohlraumresonatoren die Oberflächenimpedanz Z_Ob=R_Ob+jX_Ob bestimmt werden kann. Weiterhin ist aus H.-G. Unger bekannt, daß in einem Hohlraumresonator, unabhängig von der speziellen Form, unendlich viele Schwingungsmoden möglich sind (Bd. 2, Seite 269).

Wie Th. Kuhlemann und J.H. Hinken in "Computer-Controlled System for Surface Resistance Measurements of HTc Superconducting Films, IEEE Transactions of Instrumentation and Measurement, Vol. 40, Nr. 3, Juni 1991, Stn. 539 bis 543" ausführen, ist dies auch bei hochtemperatur-supraleitenden Filmen möglich.

Des weiteren sind aus den Druckschriften DE 42 04 369 C2 und WO 94/04935 A1 Verfahren zur Qualitätsbestimmung von hochtemperatur- supraleitenden Filmen bekannt.

Bei den bekannten Meßverfahren werden allerdings nur die Mittelwerte _Ob und _Ob erfaßt, welche durch

gegeben sind. Diese Meßdaten sind nur dann brauchbar, wenn _Ob≈_Ob() und _Ob≈_Ob() an jeder Stelle ist.

Ist die Oberflächenimpedanz jedoch ortsabhängig, lassen sich durch Messungen an verschiedenen Stellen auf der Oberfläche allenfalls die Mittelwertfunktion _Ob() und _Ob(-) bestimmen. Dies ist in der Praxis sehr nachteilig, da flächenmäßig kleine, aber signifikante Oberflächenstörungen nicht detektiert werden. Bei sehr teuren Oberflächen, wie beispielsweise bei hochtemperatur-supraleitenden Filmen, kommt dieser Tatsache eine besondere Bedeutung zu. Da solche Filme aus mehreren Elementen bestehen, wie Yttrium, Barium, Kupfer und Sauerstoff, können innerhalb großflächiger Beschichtungen Bereiche mit erhöhten Verlusten auftreten. Werden nur die Mittelwertsfunktionen _Ob() und _Ob() für die Qualitätssicherung herangezogen, werden solche Bereiche nicht erkannt oder aber diese Stellen müssen großflächig ausgemustert werden. Bei einer Freigabe solcher fehlerhaften Halbzeuge zur Herstellung von Komponenten, beispielsweise Mikrowellenfiltern, verursachen diese nicht erkannten Beispiele erst später Komponenten-Fehlfunktionen, was erhebliche zusätzliche Kosten verursacht.

Werden andererseits mit nicht akzeptabler Qualität erkannt müssen Bereiche in deren Umgebung großflächig ausgemustert werden. Damit wird wertvolles taugliches Material verschwendet; es ergibt sich eine erhöhte Umweltbelastung und ein wesentlicher Mehrkostenaufwand.

Aufgabe der Erfindung ist es daher, ein Millimeterwellen-Meßverfahren zu schaffen, das es gestattet, die Oberflächenimpedanz für die Oberflächenwiderstandsverteilung R_Ob(ω) der zu vermessenden Oberfläche aufgestellt werden, wobei ) der Flächenteil der zu vermessenden Oberfläche ist, welcher beim Resonator m an der Position - dem elektromagnetischen Feld ausgesetzt ist, ) das tangentiale magnetische Feld, ω, die Resonanzkreisfrequenz, W die gesamte im Resonator m gespeicherte Energie der Mode n_m des Resonators m an der Position ist, ) der Oberflächenwiderstand der Resonatorresistfläche ) des Resonators m an der Position ist und P sonstige, nicht durch Oberflächenwiderstände verursachte Verluste, wie Abstrahlungs- oder dielektrische Verluste, der Mode n_m des Resonators m an der Position sind und mit den an jeder Position meßtechnisch bestimmten Resonanzkreisfrequenzen ω die

für die Oberflächenreaktanzverteilung X_Ob(ω) der zu vermessenden Oberfläche aufgestellt werden, wobei ω₀ die Resonanzkreisfrequenz der Mode n_m des Resonators m mit ideal leitender Berandung und ) die Oberflächenreaktanz der Resonatorrestfläche ist und die gesuchte Oberflächenwiderstandsverteilung R_Ob(ω) sowie die gesuchte Oberflächenreaktanzverteilung X_Ob(ω) durch Auflösung der Z_Ob()=R_Ob()+j(X)_Ob() räumlich exakt zu bestimmen.

Gemäß der Erfindung wird diese Aufgabe durch ein Millimeterwellen- Meßverfahren mit den Merkmalen des Anspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen sind Gegenstand der Unteransprüche.

Nachfolgend wird die Erfindung anhand von bevorzugten Ausführungsformen unter Bezugnahme auf die anliegenden Zeichnungen im einzelnen erläutert. Es zeigt

Fig. 1 einen Abschnitt einer zu vermessenden Oberfläche in einem x′, y′, z′-Koordinatensystem;

Fig. 2 perspektivisch eine schematische Oberflächen-Widerstandsverteilung in einem x, y, z-Koordinatensystem;

Fig. 3a eine Kurvendarstellung des reziproken Wertes einer mit 60π² multiplizierten Meßgröße Q₀ in Abhängigkeit von der Position eines Meßresonators;

Fig. 3b eine Kurvendarstellung eines normierten Oberflächenwiderstandsverlaufs (R_Ob(x′)) in Abhängigkeit von der Position x′ auf einer zu vermessenden Oberfläche;

Fig. 4 eine Funktion r(x), zusammen mit r_M1(x).

Zunächst werden unbelastete Gütefaktoren Q₀) an jedem Punkt der zu vermessenden Oberfläche meßtechnisch erfaßt (siehe Fig. 1). Hierbei sind mit dem Bezugszeichen m ein Resonator und mit n_m ein Schwingungsmode bezeichnet. Es kann eine der bekannten Methoden, etwa die 3-dB-Methode angewendet werden (siehe TH. Kuhlemann und J.H. Hinken an dem oben angegebenen Ort). Mit diesen Meßwerten werden dann Integralgleichungen für R_Ob() aufgestellt. Soll auch die Oberflächenreaktanz bestimmt werden, so werden zusätzlich die Integralgleichungen für X_Ob() aufgestellt. Und im allgemeinen müssen zur eindeutigen Bestimmung aller Einzelheiten in der R_Ob() bzw. der X_Ob() Funktionen mindestens zwei Resonatoren verwendet werden; dies wird später anhand eines Ausführungsbeispiels näher erläutert.

Die gesuchte Oberflächen-Widerstandsverteilung bzw. Oberflächen- Reaktanzverteilung wird durch Lösen der Integralgleichungen erhalten. Lösungen für Integralgleichungen zu finden, ist jedoch ein sehr großes Problem. Eine Übersicht ist beispielsweise in "Stefan Fenyö und Hans W. Stelle, Theorie und Praxis der linearen Integralgleichungen, Birkhäuser Verlag 1984, Bd. 1 bis 4" zu finden.

Im vorliegenden Fall werden für den Spezialfall, daß die Feldverteilung und damit auch die tangentiale magnetische Feldstärke der Resonatoren vom Beobachtungsort unabhängig ist, Integralgleichungen vom Faltungstyp erhalten. Diese Gleichungsart läßt sich vorteilhaft durch Fourier- oder Laplacetransformation lösen, aber nur dann, wenn die notwendigen Umkehrtransformationen existieren (siehe A.D. Myschkis, Angewandte Mathematik für Physiker und Ingenieure, Verlag Haare Deutsch, 1981, Seite 460). Dies ist jedoch normalerweise nicht der Fall. Diese Schwierigkeit wird erfindungsgemäß durch Verwenden von zwei oder mehreren verschiedenen Resonatoren behoben.

Nachfolgend wird die Erfindung anhand eines Ausführungsbeispiels näher erläutert. Die in Fig. 2 skizzierte Oberflächen- Widerstandsverteilung in der x′-y′-Ebene soll räumlich aufgelöst vermessen werden. Zur Beschreibung des Prinzips genügt es, ein nur von der x′-Koordinate abhängiges Oberflächen-Widerstandsprofil R_Ob(x′) anzunehmen, da die mathematischen Ausdrücke dann wesentlich vereinfacht und damit übersichtlicher sind. Gemessen wird mit zwei einmodigen H011-Rechteckresonatoren. In einem kartesischen x, y, z-Koordinatensystem hat der erste Resonator die Begrenzungen -A/2xA/2, 0yY und 0zZ und der zweite Resonator -B/2xA/2, 0yY und 0zZ. Zur Messung werden die beiden Resonatoren in x′-Richtung bewegt, wobei die Meßflächen -A/2xA/2, 0yY z=0 bzw. -B/2xA/2, 0yY und z=0 Teil der x′-y′-Fläche sind und die Resonatorflächen mit x=+/-A2 bzw. x=+/-B/2 parallel zur y′-Koordinate gehalten werden.

Fig. 3b zeigt den Verlauf von R_Ob(x′) mit x′ als abhängiger Koordinate. R_Ob(x′) läßt sich durch Verwendung der rect-Funktion, die durch

definiert ist, mathematisch darstellen als

oder normiert auf R₀ als

darstellen.

Die Feldkomponenten der Hüll-Rechteckresonatoren sind aus R.-F. Harrington, Time-Harmonic Elektromagnetic Fields, McGraw Hill Book Company, 1961, Seite 75 bekannt:

Die Resonatorkreisfrequenz ergibt sich zu

Die beiden Resonatoren haben also die gleiche Resonanzkreisfrequenz. Nachfolgend wird die Integralgleichung für R_Ob(x′) abgeleitet.

Es werden M=2 Resonatoren mit je einer Schwingungsmode verwendet, d. h. m=1, 2, N₁=1 und N₂=1. Somit ergeben sich genau zwei Integralgleichungen, von denen im folgenden eine abgeleitet wird. Die zweite ergibt sich durch Ersetzen von A durch B. Die beiden Resonatoren sollen aus demselben Material hergestellt sein. Dann ist R¹_Re=R²_Re (die Indices m und n sind im vorliegenden Fall nicht notwendig, und daher weggelassen). Außerdem sollen keine zusätzlichen Verluste P auftreten.

In der kartesischen x′-y′-Ebene ergibt sich das Flächenelement zu da′=dx′dy′ und die Integrationsfläche F_Ob(x) an der Stelle x ergibt sich zu

Das Betragsquadrat der tangentialen magnetischen Feldstärke in der Meßfläche ist

Die linke Seite der Integralgleichung ergibt sich zu

Die rechte Seite der Integralgleichung ergibt sich mit

wobei angenommen wurde, daß der Resonator aus homogenem Material mit dem Oberflächenwiderstand R_Re gefertigt ist. Die Integration über F_Re ergibt:

Damit sind die Integralgleichungen für den ersten Resonator

und für den zweiten Resonator

Mit den Resonatorabmessungen A=20 mm, B=20,75 mm, Y=32 mm und Z=40 mm ergeben sich Resonanzfrequenzen von 6 GHz. Für die Werte

a₁′ = 8 mm, a₂′ = 2 mm, a₃′ = 6 mm und a₄′ = 4 mm sowie
x₁′ = 24 mm, x₂′ = 40 mm, x₃′ = 51 mm und x₄′ = 82 mm

und R_Re=0,01 Ω (ein realistischer Wert für gut leitendes Material ergibt sich

Mit dem Oberflächen-Widerstandsverlauf R_Ob(x′) gemäß Fig. 3b wird dann die in Fig. 3a angegebene Kurve meßtechnisch ermittelt. Der einfacheren Darstellbarkeit halber wurde dabei nicht die Meßgröße Q₀(x), sondern der reziproke Wert multipliziert mit 60π² aufgetragen.

Aus dem in Fig. 3a wiedergegebenen, meßtechnisch bestimmten Verlauf ist nun der in Fig. 3b unten wiedergegebene, gesuchte Oberflächen-Widerstandsverlauf zu ermitteln.

Im vorliegenden Fall und in den meisten anderen, in der Praxis vorkommenden Fälle kann man die Integralgleichungen - unter Beachtung einiger Besonderheiten - durch Fouriertransformation lösen.

Um die Fouriertransformation anzuwenden, wird die Integralgleichung, wie folgt, umgeschrieben:

wobei

für den ersten bzw. zweiten Resonator gilt. Mit diesen Abkürzungen ergeben sich die beiden Integralgleichungen

oder h_A(x)_*r(x)=y_A(x) bzw. h_B(x)_*r(x)=y_B(x), wenn man mit _*, wie üblich, die Faltungsoperation bezeichnet. Die Anwendung der Fouriertransformation liefert

Die erste Gleichung läßt sich durch Division nach R(ju) auflösen, außer für die Nullstellen von H_A(ju). Entsprechendes gilt für die zweite Gleichung. Aus der Theorie der Fouriertransformation ergibt sich

Die Nullstellen sind also bei

für m, n = 1, 2, 3 . . ., d. h. R(ju) ergibt sich zu

für

Mit diesen beiden Beziehungen läßt sich die Fouriertransformierte R(ju) der gesuchten Funktion r(x) für die u-Werte bestimmen, für die gilt:

Durch die Wahl eines irrationalen Verhältnisses A/B ist es möglich, den u-Bereich bis in das Unendliche auszudehnen.

In der Praxis wird jedoch immer ein endlicher Bereich ausreichen. Im vorliegenden Fall (A=20,00 mm, B=20,75 mm) liegt die erste gemeinsame Nullstelle bei u=83 B=80A. Wird nun die Umkehrfunktion von R(ju) derart gebildet, daß für den Bereich 0u80A=!U die Funktionswerte verwendet werden, und werden die Funktionswerte für u<U gleich Null gesetzt, wird also die Umkehrfunktion gebildet von

dann wird als Ergebnis

erhalten. Durch dieses Nullsetzen der Funktionswerte für u<U wird ein Fehler verursacht. Jedoch kann, wie schon erwähnt, die obere Grenze U immer so gewählt werden, daß der Fehler für die Praxis keine Rolle spielt. Nachfolgend wird für das vorliegende Beispiel der Fehler berechnet.

Zunächst wird von

die Fouriertransformation gebildet:

wobei die Abkürzung si(x)=sin(x)/x verwendet wurde. Durch Multiplikation mit rect (u/U) ergibt sich:

Die Fouriertransformation liefert:

Die auftretende Integral-Sinusfunktion Si(x) ist von "Abramowitz und Stegun" im "Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York, 1979" tabelliert. Damit läßt sich die Meßfunktion r_M(x) angeben und der Fehler |r_M-r(x)| bestimmen. Sollte sich herausstellen, daß der Fehler für die praktischen Erfordernisse zu groß ist, müßte der u-Bereich erhöht werden. Die Funktion r_M(x) wird im folgenden für x<3,2 mm ausgewertet und der Fehler angegeben. Für diesen Bereich genügt es, die Funktion

r_M1(x) = 1 + [Si(x₁′+a₁′/2-x)U - Si(x₁′-a₁′/2-x)U]

auszuwerten, da die Termi höherer Ordnung für diesen Bereich keinen nennenswerten Beitrag liefern. Nachfolgende Tabelle zeigt das Ergebnis

In Fig. 4 ist die Funktion r(x) zusammen mit r_M1(x) dargestellt. Man erkennt, daß der gesamte Oberflächenwiderstandsverlauf mit den beiden verwendeten Resonatoren schon sehr genau gemessen werden kann, obwohl die Details sehr viel kleiner als die Resonatormeßflächen sind. Größere Fehler treten nur an den sprunghaften Änderungen der Meßfunktion auf. Solche unstetigen Funktionen werden jedoch in der Praxis kaum vorkommen und die angegebenen Dimensionierungen genügen damit den gestellten Anforderungen.

Claims

1. Millimeterwellen-Meßverfahren zur ortsaufgelösten Messung der Oberflächenimpedanz und zur Detektion von Inhomogenitäten in Oberflächen mit höchster räumlicher Auflösung, mit M Hohlraum-Resonatoren, wobei N_m Schwingungsmoden n_m im Resonator m mit der Auswertung verwendet sind, so daß 1mM und 1n_mN_m gilt, welche Hohlraumresonatoren so über die zu messende Fläche bewegt werden, daß ein Teil des elektromagnetischen Feldes der Schwingungsmoden mit der zu untersuchenden Oberfläche in Berührung kommt, dadurch gekennzeichnet, daß unbelastete Gütefaktoren Q₀ der Schwingungsmoden n_m an jeder Position der zu vermessenden Oberfläche meßtechnisch bestimmt werden und mit den Meßwerten Integralgleichungen bestimmt werden, wobei die Redundanz zur Genauigkeitsverbesserung oder zur Erlangung der Eindeutigkeit ausnutzbar ist.

2. Meßverfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die M Resonatoren eine starre Form aufweisen, so daß die Flächen ) und ) nicht von der Position auf der zu vermessenden Oberfläche abhängig sind und auch die Form des tangentialen magnetischen Feldes nicht von der Position abhängig ist und mit den meßtechnisch an jeder Position der zu vermessenden Oberfläche bestimmten unbelasteten Gütefaktoren Q₁) der Schwingungsmoden n_m des Resonators m die vereinfachten Integralgleichungen für die Oberflächenwiderstandsverteilung R_Ob(ω) der zu vermessenden Oberfläche aufgestellt werden und mit den an jeder Position meßtechnisch bestimmten Resonanzkreisfrequenzen vereinfachten Integralgleichungen für die Oberflächenreaktanzverteilung X_Ob(ω) der zu vermessenden Oberfläche aufgestellt werden und die gesuchte Oberflächenwiderstandsverteilung R_Ob(ω) sowie die gesuchte Oberflächenreaktanzverteilung X_Ob(ω) durch Auflösung der Integralgleichungen bestimmt werden, wobei die Redundanz zur Genauigkeitsverbesserung oder zur Erlangung der Eindeutigkeit nutzbar ist.

3. Meßverfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß bei einer Oberfläche, welcher nicht in physikalischer Weise eine Oberflächenimpedanz Z_Ob(ω) = R_Ob(ω) + jX_Ob(ω), wobei die imaginäre Einheit ist, zuordenbar ist, die Messung von Q₀ und ω an jeder Position durchgeführt wird, wozu Integralgleichungen für R_Ob(ω) und X_Ob(ω) aufgestellt und aufgelöst werden und so Inhomogenitäten in Oberflächen beliebigen Materials und Oberflächenbeschaffenheit räumlich exakt bestimmbar sind.

4. Meßverfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die zu vermessende Oberfläche ein supraleitender oder hochtemperatur- supraleitender Film ist.