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Die
Erfindung betrifft ein Verfahren zum automatischen Aufstellen eines
Gleichungssystems zur Beschreibung eines physikalischen Verhaltens
eines vorgegebenen Systems gemäß der Finite-Elemente-Methode.
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Die
Methode der Finiten Elemente ist aus „Dubbel – Taschenbuch für den Maschinenbau", 20. Auflage, Springer-Verlag,
2001, C 48 bis C 50, sowie aus T. R. Chandrupalta & A. D. Belegundu: „Introduction
to Finite Element in Engineering",
Prentice-Hall, 1991, bekannt. Durch Simulation mit Hilfe Finiter
Elemente werden Festigkeitsaufgaben aller Art, z. B. zur Spannungsverteilung
oder Stabilität,
numerisch gelöst.
Beispielsweise wird ermittelt, wie sich ein System aus starren Körpern unter äußeren Belastungen
verformt und verbiegt und wie sich die Körper relativ zueinander verschieben.
Gegeben ist eine rechnerverfügbare
Konstruktion eines zu untersuchenden Systems. In der Konstruktion
wird eine bestimmte Menge von Punkten festgelegt, die Knotenpunkte
(„nodes") heißen. Als
Finite Elemente werden die Flächen-
oder Volumenelemente bezeichnet, die mit Hilfe der Knotenpunkte
als deren Ecken gebildet werden. Gekrümmte Flächen oder Körper, die näherungsweise als Flächen behandelt
werden, z. B. Bleche einer Karosserie eines Kraftfahrzeugs, werden
hierbei oft in Schalenelemente („shell elements") zerlegt. Die Knotenpunkte
bil den ein Netz in der Konstruktion, weswegen der Vorgang, Knotenpunkte
festzulegen und Finite Elemente zu erzeugen, Vernetzung („meshing") der Konstruktion
genannt wird. Je nach Aufgabenstellung werden die Verschiebungen
dieser Knotenpunkte und/oder Rotationen der Finiten Elemente in
diesen Knotenpunkten oder die Spannungen in diesen Finiten Elementen als
Unbekannte eingeführt.
Gleichungen werden aufgestellt, welche die Verschiebungen, Rotationen
oder Spannungen innerhalb eines Finiten Elements näherungsweise
beschreiben. Weitere Gleichungen resultieren aus Abhängigkeiten
zwischen verschiedenen Finiten Elementen, z. B. daraus, daß das Prinzip
der virtuellen Arbeit in den Knotenpunkten erfüllt sein muß und die berechneten Verschiebungen
stetig sein müssen
und die Randbedingung erfüllen
müssen,
daß in
der Realität
Klaffungen oder Durchdringungen nicht auftreten.
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In
vielen Fällen
sind derartige Gleichungen linear in den Unbekannten. Die Methode
der Finiten Elemente läßt sich
aber ebenfalls im Falle nichtlinearer Gleichungen anwenden, z. B.
für Gleichungen
in Form von Polynomen. Insgesamt wird ein oft sehr umfangreiches
Gleichungssystem mit den Knotenpunkt-Verschiebungen, Knotenpunkt-Rotationen,
Element-Spannungen oder weitere Größen als Unbekannte aufgestellt
und numerisch gelöst.
Die Lösung
beschreibt beispielsweise den Verformungszustand des Systems unter
vorgegebenen Belastungen. Aus dieser Lösung lassen sich z. B. Spannungsverteilungen,
Schwingungsverhalten, Beulverhalten oder Vorhersage der Lebensdauer
ableiten. Sind z. B. die Verschiebungen und Rotationen aller Knotenpunkte
eines Finiten Elements bestimmt, so läßt sich die Spannung im Element
herleiten.
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Verschiedene
Körper
einer Konstruktion eines Systems werden oft unabhängig voneinander
vernetzt. Beispielsweise ist das System Teil der Karosserie eines
zu konstruierenden Kraftfahrzeuges, und die Körper sind Teilsysteme, die
von verschiedenen Lieferanten zeitlich parallel konstruiert werden,
ohne daß die
Vernetzungen aneinander angepaßt
werden. Weil die Körper
unabhängig
voneinander vernetzt sind, liegen die Knotenpunkte auf aneinander
angrenzenden Oberflächen
der Körper
oft nicht aufeinander, sondern sind z. B. gegeneinander verschoben
oder gehören
zu Finiten Elementen unterschiedlicher Größen und unterschiedlicher Orientierungen
im Raum. Derartige Vernetzungen von aneinander angrenzenden Körpern werden
als inkompatible Vernetzungen bezeichnet.
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Eine
realitätsnahe
Finite-Elemente-Simulation muß die
Wechselwirkungen und Abhängigkeiten
zwischen verschiedenen Körpern,
die aufgrund der aneinander angrenzenden Oberflächen hervorgerufen werden,
berücksichtigen.
Im Falle eines Systems mit einem Körper und einer Schicht sind
die Wechselwirkungen und Abhängigkeiten
zwischen Körper
und Schicht zu berücksichtigen.
Gewünscht
werden Finite-Elemente-Simulationen, die diese Wechselwirkungen
und Abhängigkeiten
auch bei unabhängigen
und daher in der Regel inkompatiblen Vernetzungen von Körper und
Schicht berücksichtigen.
Denn wenn eine kompatible Vernetzung für die Aufstellung des Gleichungssystems
und Durchführung
der Simulationen notwendig sein würde, könnten die Körper nicht unabhängig voneinander
vernetzt werden.
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Ein
Verfahren zur Finite-Elemente-Simulation einer Klebeverbindung ist
aus G. Tokar: „Punktschweißkleber – Eigenschaften
und Berechnungsmethode für
lineare Karosseriesteifigkeiten",
VDI-Berichte Nr. 1559, S. 549–575,
2000, bekannt. Das System umfaßt
zwei Körper
und eine Schicht, welche die beiden Körper verbindet. Die beiden
Körper
sind zwei Bleche, die durch eine Schicht in Form einer Klebenaht
verbunden werden. Aufgrund äußerer Belastungen
treten Verschiebungen zwischen den Blechen und Verformungen der
beiden Bleche auf.
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Ausgehend
von einer rechnerverfügbaren
Konstruktion des Systems werden die Bleche näherungsweise durch Flächen in
der Blechmitte repräsentiert.
Für jedes
Blech wird eine Menge von Schalenelementen in der Blechmittenebene
erzeugt. Die Verschiebungen der Knotenpunkte dieser Schalenelemente
fungieren als Unbekannte einer Finite-Elemente-Simulation. Die Vernetzungen
der beiden Bleche können
unabhängig voneinander
erzeugt worden sein, eine kompatible Vernetzung wird nicht vor ausgesetzt.
Eine sogenannte Interpolationsfläche
auf derjenigen Oberfläche
jedes Blechs, die der Klebenaht zugewandt ist, wird erzeugt. Die Klebenaht
wird in der Konstruktion durch diese Interpolationsflächen begrenzt
und ebenfalls in Finite Elemente mit Knotenpunkten zerlegt. Um Wechselwirkungen
zwischen einer Interpolationsfläche
als Begrenzungsfläche der
Klebenaht und dem angrenzenden Blech zu berücksichtigen, werden Knotenpunkte
der Schalenelemente auf die Interpolationsfläche abgebildet und Interpolationen
in der Interpolationsfläche
durchgeführt.
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Diese
in G. Tokar, a.a.O., beschriebene kontinuums-mechanisch korrekte
Abbildung der Vorgänge
erfordert die Einführung
vieler Knotenpunkte und führt
damit zu umfangreichen Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten.
Die Aufstellung und numerische Lösung
dieses Gleichungssystems ist zeitaufwendig, insbesondere dann, wenn
das Aufstellen und das Lösen
wiederholt durchzuführen
sind. Eine ebenfalls offenbarte Vereinfachung ist nicht kontinuums-mechanisch,
d. h. behandelt die Klebenaht nicht als Kontinuum, sondern approximiert
sie durch einzelne Klebepunkte. Diese Vereinfachung führt in vielen
Situationen, z. B. bei Spannungsberechnungen, zu Simulationsergebnissen,
die nicht realitätsnah
genug sind.
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Der
Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren bereitzustellen,
durch das automatisch ein Gleichungssystem für eine realitätsnahe Finite-Elemente-Simulation
dergestalt erzeugt wird, daß die
Aufstellung und das numerische Lösen
des Gleichungssystems mit einem geringeren Rechenaufwand als bei
Anwendung bekannter Verfahren verbunden sind. Die Simulation soll
sich auf ein System, das einen Körper
und eine angrenzende Schicht umfaßt, beziehen.
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Die
Aufgabe wird durch ein Verfahren nach Anspruch 1 gelöst. Vorteilhafte
Ausgestaltungen sind in den Unteransprüchen angegeben.
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Das
automatisch erzeugte Gleichungssystem bezieht sich auf Knotenpunkte
einer Konstruktion, die einen Körper
und eine angrenzende Schicht umfaßt. Finite Elemente für den Körper werden
erzeugt. Die Schicht wird automatisch in Volumenelemente zerlegt,
wobei geometrischen Informationen über die Schicht und Vorgaben
für die
Vernetzung der Schicht verwendet werden. Für mindestens einen Knotenpunkt,
der zu einem Volumenelement der Schicht gehört, werden ein dem Knotenpunkt
nächstliegendes
Finites Element des Körpers
und ein nächstliegender
Punkt auf diesem Finiten Element ermittelt. Eine Funktion für einen
physikalischen Zusammenhang zwischen dem Wert, den die physikalische
Größe im nächstliegenden
Punkt annimmt, und den Werten, den diese Größe in den Knotenpunkten des
nächstliegenden
Finiten Elements annimmt, wird erzeugt.
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Die
physikalische Größe ist beispielsweise
eine mechanische, kinematische, elektrische oder thermodynamische
Größe. Ihre
Werte können
Skalare oder Vektoren sein. Beispielsweise ist der Wert der physikalischen
Größe in einem
Punkt:
- – die
räumliche
Verschiebung des Punktes in einem dreidimensionalen Koordinatensystem,
- – die
Rotationswinkel im Punkt von demjenigen Finiten Element, zu dem
der Punkt gehört,
in einem dreidimensionalen Koordinatensystem und
- – die
Temperatur im Punkt.
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Das
physikalische Verhalten der Schicht läßt sich nur dann realitätsnah vorhersagen,
wenn die physikalischen Abhängigkeiten
und Wechselwirkungen zwischen dem Körper und der angrenzenden Schicht
berücksichtigt
werden. Bei der Aufstellung des Gleichungssystems werden daher nicht
nur die Knotenpunkte der Finiten Elemente des Körpers und der Schicht berücksichtigt,
sondern auch weitere Punkte des Körpers. Einige oder alle dieser
weiteren Punkte können
Knotenpunkte sein. Möglich
ist aber auch, daß kein
weiterer Punkt ein Knotenpunkt ist. Erfindungsgemäß werden
als weitere Punkte solche Punkte in Finiten Elementen des Körpers ermittelt,
die Knotenpunkten von Finiten Elementen der Schicht nächstliegend
sind. Zwischen Knotenpunkten der Schicht und nächstliegenden Punkten der Finiten
Elemente des Körpers
bestehen physikalische, z. B. mechanische, kinematische oder elektrische,
Abhängigkeiten.
Ein Beispiel für
eine solche Abhängigkeit ist
das Prinzip der virtuellen Arbeit, demzufolge die Kräfte und
Momente zwischen den Knotenpunkten auf einer Begrenzungsfläche der
Schicht und den nächstliegenden
Punkten des angrenzenden Körpers
im Gleichgewicht sind. Für
eine realitätsnahe
Simulation müssen
diese Abhängigkeiten
in das zu erzeugende Gleichungssystem einfließen.
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Der
Knotenpunkt, für
den das nächstliegende
Finite Element und der nächstliegende
Punkt ermittelt werden, kann sowohl auf einer Begrenzungsfläche als
auch im Inneren der Schicht liegen. Die Begrenzungsflächen können ebene
oder gekrümmte
Flächen
sein. Sie können
zueinander parallel sein oder relativ zueinander geneigt sein.
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Eine
Möglichkeit,
die Abhängigkeiten
zwischen Körper
und Schicht zu berücksichtigen,
ist die, die jeweils nächstliegenden
Punkte der Finiten Elemente des Körpers als zusätzliche
Knotenpunkte mit zusätzlichen Freiheitsgraden
zu verwenden und dadurch die Finiten Elemente zu unterteilen. Dies
hätte aber
den Nachteil, daß das
zu lösende
Gleichungssystem aufgrund der zusätzlichen Freiheitsgrade zusätzliche
Unbekannte hat, z. B. die Verschiebungen dieser zusätzlichen
Knotenpunkte und Rotationen des Finiten Elements in diesen zusätzlichen
Knotenpunkten.
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Die
Erfindung zeigt einen Weg auf, die Abhängigkeiten zwischen Körper und
Schicht adäquat
zu berücksichtigen,
ohne daß zusätzliche
Freiheitsgrade auftreten und dadurch das Gleichungssystem aufgrund
zusätzlicher
Unbekannter vergrößert wird.
Dank der Erfindung treten keine zusätzlichen Unbekannten auf. Durch die
Berücksichtigung
zusätzlicher
Unbekannte würde
das ohnehin meist sehr umfangreiche Gleichungssystem noch größer werden.
Erfindungsgemäß wird eine
Funktion für
einen physikalischen Zusammenhang zwischen dem Wert, den die physikalische
Größe im nächstliegenden
Punkt annimmt, und den Werten, den diese Größe in den Knotenpunkten des
nächstlie genden
Finiten Elements annimmt, erzeugt. Diese Funktion drückt den physikalischen
Zusammenhang mit zureichender Genauigkeit aus. In allen erzeugten
Gleichungen wird der Wert der physikalischen Größe im nächstliegenden Punkt durch die
Funktion ersetzt. Die Unbekannten, die aus den Freiheitsgraden des
nächstliegenden
Punktes resultieren, treten nicht im Gleichungssystem auf, sondern
werden nach dem Lösen
des Gleichungssystems mit Hilfe der Funktion für den physikalischen Zusammenhang
berechnet.
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Ein
Beispiel für
eine solche Gleichung, in welche die Funktion eingesetzt wird, ist
eine Gleichung, die aus einer oben beschriebenen Abhängigkeit
zwischen Knotenpunkten der Schicht und nächstliegenden Punkten der Körper resultiert
und die in der Simulation berücksichtigt
wird.
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Durch
das Einsetzen wird der Wert im nächstliegenden
Punkt eliminiert. Eine Unbekannte wird somit eingespart. Deshalb
tritt der Wert im ermittelten Punkt nicht mehr als Unbekannte im
Gleichungssystem auf, sondern hängt
von den Werten der physikalischen Größe in den Knotenpunkten ab,
die ohnehin als Unbekannte des Gleichungssystems auftreten.
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Der
Vorteil, daß im
Gleichungssystem Unbekannte eingespart werden, fällt insbesondere bei umfangreichen
Systemen, z. B. einem Teil einer Karosserie eines Kraftfahrzeugs,
ins Gewicht. Das Gleichungssystem umfaßt dann oft Hunderttausende
oder gar Millionen von Unbekannten. Seine Lösung erfordert erhebliche Rechenkapazität und Rechenzeit.
Der Vorteil fällt
dann noch stärker
ins Gewicht, wenn das Gleichungssystem während des Konstruierens des
Systems verändert
wird und daher mehrmals gelöst
und ausgewertet werden muß.
Dies ist z. B. dann erforderlich, wenn verschiedene mögliche Konstruktionen
eines technischen Systems verglichen werden sollen oder wenn verschiedene
Konstruktionsstände
durchlaufen werden und für
jede Variante oder jedem Konstruktionsstand eine Finite-Elemente-Simulation
durchgeführt
und das physikalische Verhalten der Variante oder des Konstruktionsstandes
vorhergesagt werden soll.
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Der
Vorteil der eingesparten Unbekannten fällt auch dann besonders stark
ins Gewicht, wenn Verformungen und/oder Spannungen des technischen
Systems unter einer zeitlich veränderlichen äußeren Belastung
vorhergesagt werden sollen. In diesem Fall werden durch Diskretisierung
der Zeitachse viele Zeitpunkte oder Zeitintervalle festgelegt. Für jeden
Knotenpunkt und jeden dieser Zeitpunkte wird eine Unbekannte erzeugt,
nämlich
der Wert der physikalischen Größe an diesem
Knotenpunkt und zu diesem Zeitpunkt. Falls beispielsweise die Diskretisierung
1000 Zeitpunkte liefert, so spart das erfindungsgemäße Verfahren
bereits bei einer einzigen Anwendung N·1000 Unbekannte ein, wobei
N die Anzahl der Freiheitsgrade des gesamten Systems ist.
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Der
Vorteil der eingesparten Knotenpunkte fällt dann besonders stark ins
Gewicht, wenn das Gleichungssystem nichtlineare Gleichungen umfaßt und daher
näherungsweise
gelöst
wird, nämlich
iterativ durch mehrfaches Lösen
je eines linearen Gleichungssystems. Oft sind mehrere Dutzend Iterationen,
in denen je ein lineares Gleichungssystem gelöst wird, erforderlich, um eine
zureichend genaue Näherungslösung für ein nichtlineares
Gleichungssystem zu ermitteln. Dank der Erfindung werden für jeden
Iterationsschritt Unbekannte eingespart.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren
läßt sich
auch dann anwenden, wenn der Körper
und die angrenzende Schicht unabhängig voneinander vernetzt werden
und daher inkompatible Vernetzungen aufweisen. Daher können der
Körper
und die Schicht parallel konstruiert werden, z. B. von unterschiedlichen
Bearbeitern, die sich nicht über
die Vernetzung abstimmen müssen.
Weil paralleles Konstruieren und paralleles Vernetzen ermöglicht wird
und keine Abstimmung über
die Vernetzungen erforderlich ist, wird Zeit eingespart und ein
simultaner Produktentwurf ermöglicht.
Das Verfahren läßt sich
für eine
Konstruktion mit einem Körper
und einer angrenzenden Schicht, z. B. einem Blech mit einer Lackschicht,
anwenden. Es läßt sich
auch auf eine Konstruktion mit zwei Körpern und einer die Körper ver bindenden
Schicht, z. B. eine Klebefläche
oder Klebenaht oder Isolierschicht, anwenden. Möglich ist, die Körper unabhängig voneinander
zu vernetzen und zunächst
Finite-Elemente-Simulationen
für jeden
Körper
unabhängig
von anderen Körpern
durchzuführen.
Für die
erfindungsgemäße Finite-Elemente-Simulation der gesamten
Konstruktion lassen sich die einmal erzeugten Vernetzungen der einzelnen
Körper
wiederverwenden.
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Das
erfindungsgemäße Verfahren
erfordert keine kompatible Vernetzung der Körper und angrenzender bzw.
verbindenden Schicht. Insbesondere hängt die Erzeugung der Knotenpunkte
für die
Schicht, also die Vernetzung der Schicht, nicht von der Vernetzung
der Körper
ab und läßt sich
daher gut an die jeweilige Aufgabenstellung, die mit Hilfe der Lösung des
erfindungsgemäß erzeugten
Gleichungssystems behandelt werden soll, anpassen. Beispielsweise
wird je nach Aufgabenstellung die angrenzende bzw. verbindende Schicht in
viele kleine oder wenige große
Finite Elemente zerlegt. Die Dicke der Schicht wird berücksichtigt – auch dann,
wenn die Schicht an verschiedenen Stellen unterschiedliche Dicken
aufweist. Die Schicht wird im Gleichungssystem kontinuums-mechanisch
behandelt. Weiterhin lassen sich mechanische Kenngrößen der Schicht
in Gleichungen des Gleichungssystems berücksichtigen. Ist die Schicht
z. B. eine Klebenaht, können mechanische
Kenngrößen des
verwendeten Klebstoffs berücksichtigt
werden. Das mechanische Verhalten der verbindenden Schicht bei Verschiebungen
des Körpers
relativ zur angrenzenden Schicht oder bei relativen Verschiebungen
von zwei Körpern,
die durch die Schicht verbunden werden, läßt sich vorhersagen.
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Ein
weiterer Vorteil des Verfahrens ist der, daß es nicht erforderlich ist,
ein Ersatzmodell aufzustellen. Das Aufstellen und Validieren eines
Ersatzmodells erfordert Arbeitszeit und ist fehlerträchtig. Der
Vorteil, ohne Ersatzmodell auszukommen, fällt insbesondere dann ins Gewicht,
wenn verschiedene Konstruktionen eines technischen Systems mittels
der Finite-Elemente-Methode
verglichen werden sollen.
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Erfindungsgemäß werden
Volumenelemente für
die Schicht automatisch erzeugt. Weil die Schicht in Volumenelemente
zerlegt wird, läßt sich
ein kontinuums-mechanisches Verhalten der Schicht vorhersagen, indem
das Gleichungssystem gelöst
und die Lösung
analysiert wird. Die komplette Schicht wird in das Gleichungssystem
einbezogen. Erst durch Einbeziehung der gesamten Schicht wird es
ermöglicht,
mindestens eine oder auch mehrere der folgenden Berechnungen für die Konstruktion
des Systems vorzunehmen:
- – geometrische Verschiebungen
aufgrund äußerer Belastungen,
- – Steifigkeit,
- – lokale
Spannungsverteilung in der verbindenden Schicht und Position der
Punkte mit maximaler Spannung,
- – momentane
Festigkeit und Dauerfestigkeit im laufenden Betrieb bei zeitlich
veränderlichen äußeren Belastungen,
- – Verhalten
und Ausmaß von
Verformungen des Systems bei einem Aufprall,
- – Schwingungsverhalten
und Eigenfrequenzen des Systems und
- – Beulverhalten,
- – Temperaturverteilung,
- – Verteilung
des akustischen Drucks,
- – elektrisches
Potential,
- – Richtung
und Geschwindigkeit einer dreidimensionalen Strömung, z. B. eine elektrische
Strömung,
die einer Flüssigkeit
oder eines Gases.
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Durch
numerisches Lösen
des Gleichungssystems werden die Werte der entsprechenden physikalischen
Größe in den
Knotenpunkten ermittelt. Der Wert der Größe in dem mindestens einen
Knotenpunkt wird ermittelt, indem die Werte in den Knotenpunkten
in die Funktion für
den Zusammenhang eingesetzt werden. Die Lösung wird mittels bekannter
Verfahren ausgewertet, um das gesuchte mechanische Verhalten vorherzusagen.
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Für praktische
Anwendungen, z. B. für
komplexere Teilsysteme eines Kraftfahrzeugs, ist es nicht in vertretbarer
Zeit möglich,
von Hand Volumenelemente derart zu erzeugen, daß Simulationen auf Basis dieser Volumenelemente
zu realitätsnahen
Ergebnissen führen.
Dies gilt insbesondere dann, wenn die Vernetzung mit Volumenelementen
mehrmals durchzuführen
ist, z. B. mit Volumenelementen unterschiedlicher Kantenlängen für verschiedene
physikalische Größen. Die
Erfindung zeigt einen Weg auf, wie die Vernetzung der Schicht mit
Volumenelementen automatisch, schnell, systematisch, nachvollziehbar
und in kurzer Zeit ausgeführt
wird.
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Möglich ist,
die Schicht senkrecht zur Schichtdicke in mehrere Volumenelemente
zu zerlegen. Falls z. B. die Schicht 0,8 mm dick ist und vorgegeben
ist, daß die
Schicht senkrecht zur Schichtdicke in zwei Volumenelemente zerlegt
werden soll, so werden Volumenelemente erzeugt, die senkrecht zur
Schichtdicke, also senkrecht zu den Begrenzungsflächen der
Schicht, eine Kantenlänge
von je 0,4 mm haben. Die Vernetzung der Schicht wird durch wenige
und anschauliche Parameter gesteuert. Diese Parameter lassen sich
so auswählen,
daß die
Vernetzung für
die jeweilige Aufgabenstellung die besten Ergebnisse liefert. Vorzugsweise sind
die Volumenelemente Quader, aber auch andere Formen von Volumenelementen
sind möglich.
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Vorzugsweise
wird das erfindungsgemäße Verfahren
für jeden
Knotenpunkt der Schicht durchgeführt, der
auf derjenigen Begrenzungsfläche
der Schicht liegt, die an den Körper
angrenzt (Anspruch 2). Damit lassen sich mechanische Abhängigkeiten
zwischen den Knotenpunkten auf der angrenzenden Begrenzungsfläche der
Schicht und den jeweils nächstliegenden
Punkten des Körpers
bei der Aufstellung des Gleichungssystems berücksichtigen, ohne hierfür zusätzliche
Unbekannte zu erzeugen. Für
eine realitätsnahe
Simulation ist gerade das mechanische Verhalten im Übergangsbereich
zwischen Schicht und Körper
zu berücksichtigen.
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Für jeden
Knotenpunkt auf der angrenzenden Begrenzungsfläche der Schicht werden die
erfindungsgemäßen Verfahrensschritte durchgeführt, insbesondere
Ermittlung von nächstliegendem
Finitem Element und nächstliegendem
Punkt auf diesem Finiten Element, die Erzeugung der Funktion und
die Ersetzung des Werts im ermittelten Punkt mittels der Funktion.
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Vorzugswerden
darüber
hinaus Gleichungen für
mechanische Zusammenhänge
zwischen Knotenpunkten der Schicht und ermittelten Punkten der Körper erzeugt
und dadurch mechanische Abhängigkeiten zwischen
Schicht und Körper
in vorteilhafter Weise berücksichtigt
(Anspruch 3). Für
diese Abhängigkeiten
werden beispielsweise Finite Elemente der Form „RBE2" verwendet. Diese Abhängigkeiten
resultieren oft aus kinematischen Wechselwirkungen, die sich durch
eine lineare Näherung
beschreiben lassen. Das erfindungsgemäße Verfahren liefert besonders
realitätsnahe
Ergebnisse, weil durch Ermittlung der Punkte in den Körper die
Einwirkungen, welche die Schicht auf die Körper ausübt, berücksichtigt werden, ohne daß zusätzliche
Unbekannte erzeugt und verwendet werden.
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In
der Ausgestaltung nach Anspruch 6 wird der Körper in der Simulation durch
eine Fläche
approximiert. Im Falle eines dünnen
Blechs als Körper
ist die approximierende Fläche
bevorzugt dessen Mittelfläche. Als
Finite Elemente der Flächen
werden Flächenelemente
erzeugt. Die Fläche
und die Flächenelemente
treten in der Vernetzung und Simulation an Stelle des Körpers und
der Finiten Elemente des Körpers.
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Weil
Finite Elemente in Flächen
in der Regel weniger Knotenpunkte besitzen als Finite Elemente in Körpern, spart
diese Ausgestaltung weitere Unbekannte ein. Damit werden Gleichungssysteme
mit weniger Unbekannten erzeugt, die sich schneller und mit weniger
erforderlicher Rechenkapazität
erzeugen und numerisch lösen
lassen.
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Für die automatische
Zerlegung der angrenzenden Schicht in Volumenelemente wird gemäß Anspruch
12 mindestens eine der folgenden Vorgabe verwendet – möglich ist,
daß mehrere
Vorgaben kombiniert werden:
- – Vorgabe
eines Vernetzungsverfahrens,
- – eine
untere und/oder obere Schranke für
das Verhältnis
von längster
zu kürzester
Kante eines Volumenelements,
- – Anzahl
der Volumenelemente, in welche die Schicht senkrecht zur Schichtdicke
zerlegt werden soll,
- – eine
untere und/oder obere Schranke für
die Kantenlänge
eines Volumenelements parallel zur Begrenzungsfläche der Schicht,
- – Vorgabe
durch Projektion,
- – die
geometrische Form der Volumenelemente, z. B. Quader, Hexaeder oder
Pentagone.
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Wird
die Projektion als Vorgabe festgelegt, so werden die Finiten Elemente
des Körpers
auf die an den Körper
angrenzende Begrenzungsfläche
der Schicht projiziert. Durch die Projektion werden die Begrenzungsflächen der
Volumenelemente vorgegeben.
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Falls
die Schicht sich zwischen zwei Körpern
befindet und die Finiten Elemente des einen Körpers auf die Begrenzungsfläche der
Schicht projiziert werden, so ist die Vernetzung der Schicht in
der Regel nicht kompatibel mit der Vernetzung des anderen Körpers.
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Die
angrenzende Sicht ist gemäß Anspruch
13
- – eine
Lackschicht,
- – eine
Schutzschicht oder
- – eine
isolierende Schicht.
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Beispielsweise
ist die Schicht eine Verzinkung, die auf einem Blech als dem Körper aufgetragen
ist, oder eine organische Beschichtung, z. B. mit Polymeren, die
den Körper
gegen Korrosion schützt,
oder eine Wärme-
oder Kälteisolierung
oder eine gegen Feuchtigkeit schützende
Schicht.
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Der
Begriff „angrenzende
Schicht" umfaßt eine
Schicht, die den Körper
von der Umgebung des Systems isoliert, z. B. eine Lackschicht auf
einem Blech oder eine isolierende Schicht auf einem Kabel. Unter
dem Begriff „angrenzende
Schicht" wird auch
eine Schicht verstanden, die sich zwischen zwei Körpern des
Systems befindet und an beide Körper
angrenzt. Die Schicht hat beispielsweise die Funktion, die beiden
Körper zu
verbinden oder einen Mindestabstand zwischen den Körpern sicherzustellen
oder Kollisionen zwischen den Körpern
zu dämpfen
Beispiele für
eine derartige Schicht sind eine Klebeverbindung zwischen einem
Blech und einem Kunststoffteil, eine isolierende Schicht zwischen
zwei Kabeln und eine Gummidichtung zwischen zwei Blechen.
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Im
Falle einer Konstruktion mit zwei Körpern und einer Schicht zwischen
den Körpern
wird das erfindungsgemäße Verfahren
für jeden
Knotenpunkt der Schicht durchgeführt,
der auf einer Begrenzungsfläche
der Schicht liegt (Anspruch 15). Hierbei wird die Schicht einmal
in Volumenelemente zerlegt. Für
jeden Knotenpunkt der Schicht, der auf einer der beiden Begrenzungsflächen der
Schicht liegt und an einen der beiden Körper angrenzt, werden folgende
Verfahrensschritte durchgeführt:
- – die
Ermittlung des jeweils nächstliegenden
Finiten Elements und des nächstliegenden
Punkts,
- – die
Erzeugung der Funktion für
den Zusammenhang und
- – die
Eliminierung des Werts im ermittelten Punkt.
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Für einen
Knotenpunkt auf einer Begrenzungsfläche wird als näherliegender
Körper
derjenige Körper ermittelt,
an den die Begrenzungsfläche
angrenzt. Für
jeden Knotenpunkt auf einer Begrenzungsfläche der Schicht werden die
erfindungsgemäßen Verfahrensschritte
durchgeführt,
insbesondere Ermittlung von nächstliegendem
Finitem Element und nächstliegendem
Punkt auf diesem Finiten Element, die Erzeugung der Funktion und
die Ersetzung des Werts im ermittelten Punkt mittels der Funktion.
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Die
Ausgestaltung nach Anspruch 15 zeigt einen Weg auf, ein Gleichungssystem
für eine
Konstruktion mit zwei Körpern
und einer Klebeverbindung zwischen diesen zu erzeugen, ohne zusätzliche
Unbekannte zu erzeugen und dadurch das Gleichungs system zu vergrößern. Die
Klebeverbindung wird dabei als Kontinuum behandelt und nicht näherungsweise
durch einzelne Klebepunkte ersetzt. Für die Aufstellung des Gleichungssystems
brauchen lediglich Konstruktionen der beiden verbundenen Körper, ihre
Anordnung zueinander in einem System, mechanische Kenngrößen der
Klebeverbindung und einwirkende Kräfte, z. B. durch Einspannung
in einer Aufspannvorrichtung während
der Fertigung, vorgegeben zu sein. Die Körper brauchen noch nicht physikalisch
produziert worden zu sein, weswegen die Vorhersage zu einem frühen Zeitpunkt
der Produktentwicklung vorgenommen werden kann.
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Die
Schicht, welche die beiden Körper
verbindet, ist gemäß Anspruch
16 z. B. eine Klebeverbindung. Klebeverbindungen werden z. B. im
Automobilbau zunehmend angewendet, weil eine Schweißverbindung technisch
nicht herstellbar ist, die zu verbindenden Flächen für Schweißer oder Schweißautomaten
schwer zugänglich
sind oder weil die Schweißverbindung
den auftretenden Belastungen und Kräften nicht standhalten kann.
Eine Schweißverbindung
ist insbesondere dann oft nicht möglich oder unwirtschaftlich,
wenn die beiden Körper
aus unterschiedlichen Werkstoffen gefertigt werden, z. B. Aluminium
und Stahl oder Aluminium und Magnesium, oder wenn mindestens einer
der Begrenzungsflächen
der Körper
aus Kunststoff besteht.
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Vorzugsweise
wird das erfindungsgemäß erzeugte
Gleichungssystem numerisch gelöst
(Anspruch 17). Dadurch werden wenigstens näherungsweise die Werte ermittelt,
welche die physikalische Größe in den Knotenpunkten
der Konstruktion annimmt. Bevorzugt werden anschließend weitere
Berechnungen vorgenommen, um das mechanische Verhalten des Systems
zu ermitteln. Falls beispielsweise der Wert der physikalischen Größe in einem
Punkt die Verschiebung des Punktes ist, so werden durch Lösen des
Gleichungssystems die Verschiebungen aller Knotenpunkte ermittelt.
Für jedes
Finite Element wird anschließend
in Abhängigkeit
von den Verschiebungen seiner Knotenpunkte die Spannung oder der
Spannungstensor ermittelt, denen das Finite Element aufgrund der
Verschiebungen ausgesetzt ist. Der Spannungstensor wird ermittelt
und mit einem vorgegebenen Kriterium bewertet. Beispielsweise wird
die maximale Spannung aller Finiten Elemente mit einer vorgegebenen
oberen Schranke verglichen.
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Im
folgenden wird ein Ausführungsbeispiel
der Erfindung anhand der beiliegenden Zeichnungen näher beschrieben.
Dabei zeigen:
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1. ein System mit einer
Klebeverbindung zwischen zwei Flächen;
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2. die Ermittlung eines
nächstliegenden
Finiten Elements und eines nächstliegenden
Punktes im Falle annähernd
paralleler Flächen;
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3. die Überprüfung auf Parallelität im Beispiel
der 2;
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4. die Ermittlung eines
nächstliegenden
Finiten Elements und eines nächstliegenden
Punktes im Falle nicht paralleler Flächen;
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5. bilineare Interpolation
in einem viereckigen Finiten Element mit vier Knotenpunkten in einer Ebene;
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6. die geometrische Bedeutung
der transformierten Koordinaten s und t;
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7. bilineare Interpolation
in einem dreieckigen Finiten Element.
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Die
Ausführungsform
bezieht sich auf eine Karosserie eines Kraftfahrzeugs als technischem
System. Die Karosserie umfaßt
verschiedene Bleche sowie andere Körper. Gegeben ist eine rechnerverfügbare Konstruktion
dieses Systems. Ermittelt werden soll, wie die Karosserie sich unter
einer vorgegebenen Belastung verformt. Um dies zu ermitteln, werden
Finite Elemente erzeugt. Die räumlichen
Verschiebungen aller Knotenpunkte aufgrund der Belastungen sind
gesucht. Diese Verschiebungen bilden die Unbekannten des zu erzeugenden
Gleichungssystems. Jeder Knotenpunkt hat sechs Freiheitsgrade. Pro
Knotenpunkt werden sechs Unbekannte erzeugt, nämlich eine Unbekannte pro Freiheitsgrad:
- – drei
Unbekannte für
die Verschiebung des Knotenpunkts in x-, y- und z-Richtung eines
dreidimensionalen Euklidischen Koordinatensystems
- – drei
weitere Unbekannte für
die Rotation, die das Finite Element im Knotenpunkt aufgrund der
Belastung ausführt,
wobei die Rotation durch die drei Rotationswinkel um die drei Koordinatenachsen
ausgedrückt wird.
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In 1 wird ein Ausschnitt aus
dieser Konstruktion gezeigt. Dieser Ausschnitt umfaßt ein Blech
und einen volumenhaften Körper
K.1. Das Blech wird in der Finite-Elemente-Simulation durch eine Fläche F.1
in der Mitte des Blechs, also durch eine Mittelfläche, approximiert.
Durch die Konstruktion ist die Dicke d_1 desjenigen Blechs gegeben,
das durch F.1 approximiert wird. Der Körper K.1 umfaßt eine
zum Blech zeigende Begrenzungsfläche
F.6. F.6 besteht aus den beiden Teilflächen F.6a und F.6b. Der Abstand
zwischen der Fläche
F.1 und dem Körper
K.1 sowie die unterschiedlichen Orientierungen des Blechs und des
Körpers
K.1 im Raum sind in 1 zur
Verdeutlichung stark übertrieben
dargestellt.
-
Das
Blech und der Körper
K.1 werden durch eine Klebeverbindung verbunden. Diese Klebeverbindung
Kl fungiert in diesem Beispiel als die „angrenzende Schicht". Die zu untersuchende
Konstruktion umfaßt den
Körper
K.1, die Fläche
F.1 und die Klebeverbindung Kl. Diese Klebeverbindung Kl überdeckt
nur einen Teil des Blechs sowie nur einen Teil des Körpers K.1
und daher nur die Teilfläche
F.6a der Begrenzungsfläche
F.6 des Körpers
K.1. Die Teilfläche
F.6b liegt auf der an die Klebeverbindung Kl angrenzenden Begrenzungsfläche F.6
des Körpers
K.1. Der überdeckte
Teil des Blechs wird durch eine Teilfläche F.1a der approximierenden
Fläche
F.1 repräsentiert.
Die Klebeverbindung Kl, die das Blech und den Körper K.1 verbindet, füllt den
Zwischenraum zwischen den Flächen
F.1b und F.6c vollständig
aus. Zur besseren Darstellung ist sind in 1 ein Abstand zwischen der Klebeverbindung
Kl und dem Körper
K.1 eingetragen. In der Konstruktion fallen die Flächen F.6a
und F.6c zusammen. Die Fläche
F.1b liegt auf der an die Klebeverbindung Kl angrenzenden und in 1 nicht gezeigten Oberfläche des
Blechs und damit auch auf einer Begrenzungsfläche der Klebeverbindung Kl.
F.1b ist parallel zu F.6c, weil eine Klebeverbindung mit zwei parallelen
Begrenzungsflächen
leichter zu konstruieren ist als eine mit nicht parallelen Begrenzungsflächen. Die
Flächen
F.1a und F.6a sind annähernd parallel.
Der Abstand zwischen F.1a und F.1b beträgt 0,5·d_1 (also die halbe Dicke
des Blechs).
-
Die
beiden Flächen
F.1b und F.6a sowie die Klebeverbindung Kl werden unabhängig voneinander
vernetzt und dabei in Finite Elemente zerlegt. Die Vernetzungen
können
inkompatibel zueinander sein. Durch die Vernetzung werden die beiden
Flächen
F.1b und F.6a in Flächenelemente
zerlegt, die Klebeverbindung Kl in Volumenelemente, z. B. Hexaeder.
-
Die
Vernetzung der Klebeverbindung Kl wird automatisch ausgeführt. Hierbei
werden folgende Informationen aus der rechnerverfügbaren Konstruktion
des Systems übernommen:
- – die
räumliche
Lage der beiden Flächen
F.1 und F.6 und
- – die
Dicke des Blechs, das durch die Fläche F.1 approximiert wird – in diesem
Beispiel hat das Blech eine über
die gesamte Ausdehnung gleichbleibende Dicke, möglich ist aber auch eine veränderliche
Dicke.
-
In
diesem Beispiel beträgt
die Dicke der Klebeverbindung Kl 0,8 mm. Die Dicke und die räumliche
Ausdehnung des Überlappungsbereichs
von F.1 und F.6 und damit der Klebeverbindung Kl werden automatisch aus
diesen geometrischen Informationen über die Flächen gewonnen. Möglich ist
auch, statt dessen direkt die beiden begrenzenden Teilflächen F.1b
und F.6b vorzugeben.
-
Für die Vernetzung
der Klebeverbindung Kl werden weiterhin folgende vorgegebene Parameter
verwendet:
- – eine untere und/oder obere
Schranke für
die Kantenlänge
eines Volumenelements der Klebeverbindung Kl parallel zur Begrenzungsfläche der
Klebeverbindung Kl,
- – die
geometrische Form der Volumenelemente, z. B. Quader, Hexaeder oder
Pentagone,
- – die
Anzahl von Finiten Elementen senkrecht zur Dicke der Klebeverbindung
Kl,
- – ein
Vernetzungsverfahren, z. B. „paving" oder „free meshing"
- – die
Finiten Elemente des Körpers
werden auf die an den Körper
angrenzende Begrenzungsfläche
der Schicht projiziert. Durch die Projektion werden die Begrenzungsflächen der
Volumenelemente vorgegeben und
- – die
geometrische Form der Volumenelemente, z. B. Quader, Hexaeder oder
Pentagone.
-
Möglich ist
auch, anstelle einer Kantenlänge
parallel zur Begrenzungsfläche
die Anzahl der Volumenelemente, in welche die Klebeverbindung Kl
parallel zu ihren Begrenzungsflächen
zerlegt werden soll, oder die Anzahl der Volumenelemente pro Längeneinheit
vorzugeben.
-
Weiterhin
ist es möglich,
die Finiten Elemente der Fläche
F.1 auf die an das Blech angrenzende Begrenzungsfläche F.1b
der Klebeverbindung Kl zu projizieren. Dadurch werden die Begrenzungsflächen der
Volumenelemente der Klebeverbindung Kl vorgegeben. Die Vernetzung
der Fläche
F.1 und damit die der Klebeverbindung Kl ist in der Regel nicht
kompatibel mit der Vernetzung der Fläche F.1. Umgekehrt ist es auch
möglich,
die Finiten Elemente der Begrenzungsfläche F.6a des Körpers K.1
auf die an den Körper
K.1 angrenzenden Begrenzungsfläche
F.6c der Klebeverbindung Kl zu projizieren.
-
Vorzugsweise
haben alle Volumenelemente die Form von Quadern oder wenigstens
von Hexaedern. Möglich
sind z. B. auch Finite Elemente in Form von Pentagonen. In diesem
Beispiel beträgt
die Anzahl der Volumenelemente senkrecht zur Dicke der Klebeverbindung
Kl 2. Senkrecht zur Dicke sollen also jeweils zwei nebeneinanderliegende
Volumenelemente erzeugt werden. Standardmäßig haben beide Volumenelemente dieselbe
Kantenlänge
senkrecht zur Dicke, so daß alle
Kanten senkrecht zur Dicke 0,8 mm : 2 = 0,4 mm lang sind. Weiterhin
wird in diesem Beispiel eine Kantenlänge parallel zur Begrenzungsfläche von
5 mm in ebenen Bereichen der Klebeverbindung Kl und 4 mm in gekrümmten Bereichen
vorgegeben.
-
Alternativ
hierzu wird nicht die Kantenlänge
parallel zur Begrenzungsfläche
vorgegeben, sondern eine untere und/oder obere Schranke für das Verhältnis von
längster
zu kürzester
Kante eines Volumenelements. Beispielsweise wird ein Verhältnis von
10 in gekrümmten
und 12,5 in ebenen Bereichen der Klebeverbindung Kl vorgegeben.
Wie gerade dargelegt, beträgt
die kürzeste
Kantenlänge
0,4 mm. Daraus wird automatisch als Länge der übrigen Kanten eines Volumenelements
0,4 mm·12,5
= 5 mm in gekrümmten
und 0,4 mm·10
= 4 mm in ebenen Bereichen der Klebeverbindung Kl hergeleitet.
-
2 zeigt einen Hexaeder 110.1,
der zur Klebeverbindung Kl gehört,
sowie vier Flächenelemente 100.1, 100.2, 100.3 und 100.4 der
Fläche
F.1a und damit der Fläche
F.1. Beschrieben wird im folgenden, wie das erfindungsgemäße Verfahren
für den
Knotenpunkt 201.1 dieses Hexaeders durchgeführt wird.
-
Nachdem
die Vernetzung der Konstruktion abgeschlossen ist, werden die physikalischen
Zusammenhänge
und Randbedingungen ergänzt.
Ein Beispiel für
einen solchen Zusammenhang beschreibt die Spannung in einem Finiten
Element abhängig
von der Verschiebung seiner Knotenpunkte. Abhängig von der Verschiebung der
Knotenpunkte wird ein Dehnungstensor ε des Finiten Elements bestimmt.
Vorgegeben ist eine Steifigkeits-Matrix
(„compliance
matrix") D. Zwischen
dem Spannungstensor σ des
Finiten Elements und dem Dehnungstensor ε besteht der Zusammenhang σ = D·ε.
-
Möglich ist,
daß die
Verformungen aus einer Temperaturveränderung ΔT resultieren. Sei α der Ausdehnungs-Koeffizient
des für
die Fertigung des jeweiligen Körpers
verwendeten Werkstoffs. Dann besteht der Zusammenhang σ = D·(ε – α·ΔT).
-
Weiterhin
wird der Zusammenhang zwischen einwirkender Kraft F und Verformung
U bestimmt. Aus Eigenschaften der Werkstoffe, die für die Herstellung
des jeweiligen Körpers
verwendet werden, z. B. Elastizitäts-Modul und Poisson-Zahl,
und aus der Geometrie des Körpers
wird eine Steifigkeits-Matrix K des Körpers hergeleitet. Zwischen
der Verformung und der einwirkenden Kraft besteht der Zusammenhang
U = K·F.
Möglich
ist, daß einige
Komponenten von U bekannt sind, z. B. gleich Null sein müssen, und
einige Komponenten von F bekannt und andere unbekannt sind.
-
Das
zum Knotenpunkt 201.1 nächstliegende
Flächenelement
wird ermittelt. Zunächst
werden die Begrenzungsflächen
des Hexaeders 110.1 ermittelt, die auf eine Fläche weisen,
die an die Klebeverbindung Kl angrenzt. Im Falle des Hexaeders 110.1 werden
die Begrenzungsflächen 111.1 und 111.2 ermittelt.
Gesucht sind das zum Knotenpunkt 201.1 nächstliegende
Finite Element, das die Form eines Flächenelements hat, und der nächstliegende
Punkt auf diesem Flächenelement.
-
Ein
schnell durchzuführendes
und durch 2 illustriertes
Verfahren sieht vor, eine Normale 210.1 auf die Begrenzungsfläche 111.1 zu
erzeugen, die durch den Knotenpunkt 201.1 verläuft. Diese
Normale 210.1 trifft die Fläche F.1a im Flächenelement 100.2 und
dort im Punkt 205.1. Dieser Schnittpunkt 205.1 wird
als nächstliegender
Punkt ermittelt. Das Flächenelement 100.2,
zu dem der Schnittpunkt gehört,
wird als nächstliegendes
Finites Element ermittelt.
-
Die
Normale auf die Begrenzungsfläche 111.1 wird
nacheinander in die Knotenpunkte des Hexaeders 110.1 verschoben.
In 2 ist zusätzlich die
Normale 210.3 durch den Knotenpunkt 201.2 gezeigt.
Diese schneidet die Fläche
F1.a im Punkt 205.2. Für
den Knotenpunkt 201.2 werden als nächstliegender Punkt der Punkt 205.2 und
als nächstliegendes
Finites Element das Flächenelement 100.1 ermittelt.
-
Falls
die Begrenzungsfläche 111.1 und
die Fläche
F.1a parallel zueinander liegen, so ist der Schnittpunkt 205.1 von 210.1 und 100.2 genau
der nächstliegende
Punkt. Falls der in 3 gezeigte
Winkel 230.1 zwischen der Begrenzungsfläche 111.1 und die
Fläche
F.1a klein ist, so liegt der Schnittpunkt 205.1 nahe dem nächstliegenden
Punkt. In einer Ausführungsform
wird daher zusätzlich
geprüft,
ob der Winkel 230.1 zureichend klein ist. Diese Prüfung illustriert 3. Zusätzlich zur Normalen 210.1 durch 201.1 wird
eine Normale 210.2 durch dasjenige Flächenelement 100.2 erzeugt,
die im Beispiel der 3 als
nächstliegendes
Finites Element ermittelt wurde. Der Winkel 230.1 zwischen
diesen beiden Normalen wird ermittelt. Im Falle paralleler Flächen beträgt der Winkel
0. Ist dieser Winkel kleiner oder gleich einer vorgegebenen oberen
Schranke, so werden der Schnittpunkt 205.1 und das Flächenelement 100.2,
die wie oben beschrieben ermittelt wurden, als nächstliegender Punkt bzw. nächstliegendes
Finites Element verwendet.
-
Ist
der Winkel 230.1 größer als
die obere Schranke, so wird bevorzugt das im folgenden beschriebene Verfahren
durchgeführt.
Zunächst
wird der zu 201.1 nächstliegende
Knotenpunkt in der Fläche
F.1a ermittelt. Im Beispiel der 4 ist
dies der Knotenpunkt 200.1. Um die Abstandsberechnungen
durchzuführen,
werden vorab alle Abstände
zwischen verschiedenen Knotenpunkten der Konstruktion ermittelt
und in einer Tabelle zwischengespeichert. Der Knotenpunkt gehört zu den
vier Flächenelementen 100.1, 100.2, 100.3 und 100.4. Liegen
diese vier Flächenelemente
in einer Ebene, so wird eine Normale 210.4 auf den vier
Flächenelementen durch 201.1 ermittelt.
Diese Normale schneidet die Fläche
F1.a im Punkt 205.3, der zum Flächenelement 100.4 gehört. Damit
sind 205.3 und 100.4 ermittelt. Falls die vier
Flächenelemente
nicht in einer Ebene liegen, werden vier Normalen und vier Schnittpunkte
ermittelt und der nächstliegende
Schnittpunkt als nächstliegender
Punkt verwendet.
-
5 veranschaulicht die bilineare
Interpolation für
ein beliebiges viereckiges Flächenelement.
Das Flächenelement
hat die vier Knotenpunkte 200.a, 200.b, 200.c und 200.d,
die in einer Ebene liegen, als Ecken. In dem Gleichungssystem, das
mit Hilfe der Finiten Elemente erzeugt wird, treten die Verschiebungen
P.a, P.b, P.c und P.d dieser vier Knotenpunkte als vier Unbekannte
auf. Als nächstliegender
Punkte wurde der Punkt 205.x des Flächenelements ermittelt. Die
Verschiebung P.x des Punktes 205.x wird näherungsweise
als lineare Funktion der Verschiebungen P.a, P.b, P.c und P.d ausgedrückt: P.x = g.a·P.a
+ g.b·P.b
+ g.c·P.c
+ g.d·P.d
-
In
Gleichungen des zu erzeugenden Gleichungssystems wird P.x durch
die Linearkombination auf der rechten Seite dieser linearen Funktion
ersetzt.
-
Die
Gewichtsfaktoren g.a, g.b, g.c und g.d werden so bestimmt, daß gilt:
g.a + g.b + g.c + g.d = 1. Weiterhin werden sie so bestimmt, daß sie sich
linear in den Koordinaten von 205.x verändern, wenn 205.x im Flächenelement
bewegt wird, und daß gilt:
- – Wenn 205.x = 200.a,
dann ist P.x = P.a und g.a = 1 und g.b = g.c = g.d = 0.
- – Wenn 205.x = 200.b,
dann ist P.x = P.b und g.b = 1 und g.a = g.c = g.d = 0.
- – Wenn 205.x = 200.c,
dann ist P.x = P.c und g.c = 1 und g.b = g.c = g.d = 0.
- – Wenn 205.x = 200.d,
dann ist P.x = P.d und g.d = 1 und g.b = g.c = g.d = 0.
-
In 5 sind die vier Mittelpunkte 200.ab, 200.bc, 200.cd und 200.ad der
vier Seiten des Flächenelements
eingetragen. Die Verbindungsstrecken 210.e von 200.ad nach 200.bc und 210.f von 200.ac nach 200.bd schneiden
sich in 200.m. 200.m liegt auf der Mitte zwischen 200.ad und 200.bc und
ebenfalls auf der Mitte zwischen 200.ab und 200.cd.
Die beiden Verbindungsstrecken 210.e und 210.f halbieren
sich also.
-
Die
Lage des Punktes 205.x im Flächenelement vor der Verschiebung
wird durch zwei Koordinaten s und t bezüglich eines Koordinatensystems,
dessen Achsen die beiden Verbindungsstrecken 210.e und 210.f sind,
beschrieben. Diese Koordinaten s und t werden so festgelegt, daß folgendes
erfüllt
ist:
- – Falls 205.x – wie in 5 – zwischen den Punkten 200.a, 200.ab, 200.ad und 200.m liegt,
ist –1 ≤ s ≤ 0 und –1 ≤ t ≤ 0.
- – Falls 205.x zwischen
den Punkten 200.ab, 200.b, 200.bc und 200.m liegt,
ist 0 ≤ s ≤ 1 und –1 ≤ t ≤ 0.
- – Falls 205.x zwischen
den Punkten 200.bc, 200.c, 200.cd und 200.m liegt,
ist 0 ≤ s ≤ 1 und 0 ≤ t ≤ 1.
- – Falls 205.x zwischen
den Punkten 200.cd, 200.d, 200.ad und 200.m liegt,
ist –1 ≤ s ≤ 0 und 0 ≤ t ≤ 1.
- – Für alle Punkte
auf der Strecke von 200.d nach 200.a gilt: s = –1 und –1 ≤ t ≤ +1.
- – Für alle Punkte
auf der Strecke von 200.a nach 200.b gilt: t = –1 und –1 ≤ s ≤ +1.
- – Für alle Punkte
auf der Strecke von 200.b nach 200.c gilt: s =
1 und –1 ≤ t ≤ +1.
- – Für alle Punkte
auf der Strecke von 200.c nach 200.d gilt: t =
1 und –1 ≤ s ≤ +1.
- – Für alle Punkte
auf der Strecke von 200.cd nach 200.ab gilt: s
= 0 und –1 ≤ t ≤ +1.
- – Für alle Punkte
auf der Strecke von 200.ad nach 200.bc gilt t
= 0 und –1 ≤ s ≤ +1.
- – Für den Knotenpunkt 200.a gilt:
s = –1
und t = –1.
- – Für den Knotenpunkt 200.b gilt:
s = +1 und t = –1.
- – Für den Knotenpunkt 200.c gilt:
s = +1 und t = +1.
- – Für den Knotenpunkt 200.d gilt:
s = –1
und t = +1.
-
Die
vier Gewichtsfaktoren werden durch folgende Rechenvorschrift bestimmt: g.a = ¼·(1 – s)·(1 – t) g.b = ¼·(1 + s)·(1 – t) g.c = ¼·(1 + s)·(1 + t) g.d = ¼·(1 – s)·(1 + t)
-
6 illustriert die geometrische
Bedeutung der beiden Koordinaten s und t. Die Lage jedes Punkts des
in 5 gezeigte Vierecks
wird nach einer Koordinatentransformation durch zwei Koordinaten
(x, y) beschrieben. In 6 im
linken Viereck ist der Punkt 205.x durch die Koordinaten
(x, y) beschrieben, der Schnittpunkt 200.m durch (x_m,
y_m), die Ecken 200.a, 200.b, 200.c und 200.d durch
die Koordinaten (x_a, y_a), (x_b, y_b), (x_c, y_c), (x_d, y_d).
Das Quadrat auf der rechten Hälfte
von 6 veranschaulicht
die Berechnung der Koordinaten s und t. Der Punkt (x, y) hat nach
der Transformation in das natürliche
Koordinatensystem im Quadrat die Koordinaten (s, t). Der Punkt (x_m,
y_m) hat die Koordinaten (0, 0) , der Punkt (x_a, y_a) (–1, –1) , der
Punkt (x_b, y_b) (1, –1),
der Punkt (x_c, y_c) (–1,
1) und der Punkt (x_d, y_d) (–1,
1).
-
Die
Koordinaten s und t werden bevorzugt gemäß der folgenden Berechnungsvorschrift
berechnet:
-
Falls
der Punkt (x, y) auf der Kante zwischen (x_a, y_a) und (x_b, y_b)
liegt, ist
-
Falls
der Punkt (x, y) auf der Kante zwischen (x_c, y_c) und (x_d, y_d)
liegt, so gilt
-
Falls
der Punkt (x, y) auf der Kante zwischen (x_a, y_a) und (x_d, y_d)
liegt, so gilt
-
Falls
der Punkt (x, y) auf der Kante zwischen (x_b, y_b) und (x_c, y_c)
liegt, so gilt
-
Falls
der Punkt (x, y) im Inneren des Vierecks von
6 links liegt, ist
je nachdem, welche Berechnungsvorschrift
zu einem Wert von t zwischen 0 und 1 führt, und
-
Hierbei
sind Δ =
B1 2 –4A1C1 A1 = ByDx – DyBx B1 = –4yDx + AyDx +
ByCx – CyBx + 4xDy – AxDy C1 = –4yCx + AyCx +
4xCy – CyAx Ax = x_a + x_b + x_c
+ x_d Bx = –x_a – x_b +
x_c + x_d Cx = –x_a + x_b
+ x_c – x_d Dx = x_a – x_b +
x_c – x_d Ay = y_a + y_b + y_c
+ y_d By = –y_a – y_b +
y_c + y_d Cy = –y_a + y_b
+ y_c – y_d Dy = y_a – y_b +
y_c – y_d
-
Sobald
also die Koordinaten s und t und die vier Verschiebungen P.a, P.b,
P.c und P.d bestimmt sind, wird die Verschiebung P.x durch Einsetzen
der dann bekannten Koordinaten und Verschiebungen bestimmt.
-
Analog
wird der Fall eines Flächenelements
mit drei Knotenpunkten 200.a, 200.b und 200.c behandelt.
Diesen Fall illustriert 7.
Die Verschiebung P.x des Punkts 205.x wird näherungsweise
durch die Funktion P.x = g.a·P.a + g.b·P.b + g.c·P.causgedrückt. Die
Gewichtsfaktoren g.a, g.b und g.c werden so bestimmt, daß gilt:
g.a + g.b + g.c = 1. Die Lage des Punktes 205.x im Flächenelemente
bezüglich
eines Koordinatensystems, dessen Achsen die Strecke von 200.a nach 200.b und
die Strecke von 200.a nach 200.c sind, wird durch
zwei Koordinaten s und t festgelegt. Die Koordinaten s und t werden
so festgelegt, daß folgendes
gilt: 0 ≤ s ≤ 1 und 0 ≤ t ≤ 1 und s +
t ≤ 1.
-
Diese
Koordinaten s und t werden so festgelegt, daß folgendes erfüllt ist:
- – Falls 205.x auf
der Strecke von 200.a nach 200.b liegt, ist s+t
= 1.
- – Falls 205.x auf
der Strecke von 200.a nach 200.c liegt, ist t
= 0.
- – Falls 205.x auf
der Strecke von 200.b nach 200.c liegt, ist s
= 0.
- – Falls 205.x = 200.a ist,
ist s = 1 und t = 0.
- – Falls 205.x = 200.b ist,
ist s = 0 und t = 1.
- – Falls 205.x = 200.c ist,
ist s = 0 und t = 0.
-
Die
Gewichtungen g.a, g.b und g.c werden abhängig von s und t wie folgt
festgelegt: g.a = s, g.b
= t und g.c = 1 – s – t.
-
Das
Dreieck wird wie oben beschrieben durch eine geeignete Koordinatentransformation
so transformiert, daß der
Punkt 205.x die Koordinaten (x, y) hat. Der Punkt 200.a hat
die Koordinaten (x_a, y_a), der Punkt 200.b die Koordinaten
(x_b, y_b) und 200.c die Koordinaten (x_c, y_c). Die Koordinaten
s und t werden wie folgt bestimmt:
-
Falls
(x, y) auf der Kante zwischen (x_a, y_a) und (x_c, y_c) liegt, ist
-
Falls
(x, y) auf der Kante zwischen (x_b, y_b) und (x_c, y_c) liegt, ist
s = 0 und
-
Falls
(x, y) auf der Kante zwischen (x_a, y_a) und (x_b, y_b) oder im
Inneren des Dreiecks liegt, ist
-
Falls
ein Flächenelement
vier Ecken hat, die nicht in einer Ebene liegen, so wird einer der
folgenden beiden Schritte ausgeführt:
Die
Koordinaten s und t werden nicht bezüglich des Flächenelements
mit den Ecken 200.a, 200.b, 200.c und 200.d bestimmt,
sondern bezüglich
eines approximierenden Flächenelements
mit den vier in einer Ebene liegenden Ecken 200.a', 200.b', 200.c' und 200.d'. Die Ecken
werden z. B. so bestimmt, daß 200.a' = 200.a, 200.b' = 200.b und 200.c' = 200.c gilt. 200.d' ist der Fußpunkt einer
Normalen durch 200.d auf der Ebene, die durch 200.a, 200.b und 200.c bestimmt
ist. Oder die vier Ecken werden so bestimmt, daß ||200.a' – 200.a|| + ||200.b' – 200.b|| + ||200.c' – 200.c|| + ||200.d' – 200.d||minimiert wird.
Hierbei ist 200.a' – 200.a
der Vektor von 200.a' nach 200.a und
||x|| die Euklidische Länge
eines Vektors x.
-
Der
zweite mögliche
Schritt sieht vor, daß automatisch
entschieden wird, ob 205.x im Dreieck mit den Ecken 200.a, 200.b und 200.c oder
im Dreieck mit den Ecken 200.a, 200.b und 200.d liegt.
Für das
Dreieck, in dem 205.x liegt, wird das oben beschriebene
Verfahren für
dreieckige Flächenelemente
durchgeführt.
-
Software-Programme
zur Vernetzung von Konstruktionen besitzen eine elektronische Bibliothek
mit Bausteinen. In dieser Bibliothek ist typischerweise ein Baustein
namens RBE3 (RBE = Rigid Body Element") enthalten, das die Anwendung der Gewichtsfaktoren
g.a, g.b, g.c und g.d ermöglicht.
-
Nachdem
die Vernetzung der Begrenzungsfläche
F.6 des Körpers
K.1, der Mittelfläche
F.1 des Blechs und der verbindenden der Klebeverbindung Kl abgeschlossen
sind und das Gleichungssystem erzeugt worden ist, wird das Gleichungssystem
mit einem kommerziellen Software-Werkzeug für die Finite-Elemente-Methode (FEM-Werkzeug)
gelöst.
-
Der
Fachmann kennt verschiedene FEM-Werkzeuge, z. B.
- – MSC.NASTRAN
und MSC.PATRAN, beide beschrieben unter http://www.mscsoftware.com/products/,
abgefragt am 5. 2. 2003,
- – ABAQUS,
beschrieben unter http://www.hks.com/products/products_overview.html,
abgefragt am 5. 2. 2003,
- – PAMCRASH
für Finite-Elemente-Simulationen
von Kollisionen, beschrieben unter http://www.esigroup.com/products/crash/index.php,
abgefragt am 5. 2. 2003.
-
Die
Lösung
liefert für
jeden Knotenpunkt der Konstruktion den Wert, den die physikalische
Größe in diesem
Knotenpunkt annimmt. Durch Einsetzen in die Funktion werden die
Werte der physikalischen Größe in den
ermittelten nächstliegenden
Punkten berechnet. Die Lösung
wird ausgewertet, um die Konstruktion des Systems zu analysieren.
-
-
