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Technisches Gebiet:
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Die Erfindung betrifft ein Verfahren
zum Bestimmen der Position eines Objektes im Raum mittels eines
vom Objekt ausgesendeten und von wenigstens vier beliebig positionierten
Empfängern
empfangenen Signals, wobei die Position der Empfänger in einem gegebenen Koordinatensystem
bekannt ist, gemäß dem Oberbegriff
des Patentanspruchs 1.
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Objekterkennungen einschließlich Objektidentifizierung
und -lageerkennung mittels Messung von Laufzeitunterschieden von
Ultraschallsignalen sind bekannt. Zum Beispiel beinhaltet die
WO9411753 A1 ein
Ultraschall-Inspektionsverfahren,
welches zur Objektidentifizierung und -lageerkennung, nämlich zur
Erkennung von dreidimensionalen Mustern, aus den Zeitsignalen des
Echos eines Referenzobjektes und eines Testobjektes sowohl die Kreuzkorrelationsfunktion
als auch die Autokorrelationsfunktion bildet und zur Auswertung
mehrere Merkmale der Korrelationsanalyse, wie Lage des Maximums
verwendet, welche mittels Fuzzy-Logik verknüpft werden, wobei Referenzobjekt
und Testobjekt miteinander korreliert werden. Die bekannten Ultraschall-Inspektionsverfahren
erfordern allerdings einen erheblichen Hardware- und Rechenaufwand.
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Des Weiteren sind Verfahren zur Bestimmung
der Position eines Werkstücks
und der Position von Merkmalen des Werkstücks im 3D-Raum auf optischer
Basis unter Verwendung von mindestens zwei elektronischen Kameras
und digitaler Bildverarbeitung bekannt, bei welchen die Kameras
auf ein gemeinsames gegebenen Koordinatensystem kalibriert werden
und anschließend
das Werkstück
in den Raum zwischen den Kameras verbracht wird, so zum Beispiel
durch die
DE 10016963
A1 oder die
EP 0763406A1 .
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Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein
Verfahren zum Bestimmen der Position eines Objektes S im Raum mittels
eines vom Objekt S ausgesendeten und von wenigstens vier beliebig
positionierten Empfängern
empfangenen Signals gemäß der eingangs
genannten Gattung anzugeben, mit welchem die Bestimmung der Position
eines Objekts im Raum ausschließlich
mittels eines einmalig vom Objekt ausgesendeten Signals endlicher
Signalgeschwindigkeit möglich
ist, ohne einen zeitlichen Bezug. zwischen Sendezeitpunkt und Empfangszeitpunkt
des Signals zu kennen.
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Offenbarung der Erfindung und deren
Vorteile:
Gelöst
wird die Aufgabe bei einem Verfahren zum Bestimmen der Position
eines Objektes S im Raum mittels eines vom Objekt S ausgesendeten
und von wenigstens vier beliebig positionierten Empfängern E1,
E2, E3, E4, Ej empfangenen Signals, wobei die Position der Empfänger in
einem gegebenen Koordinatensystem bekannt ist und die Empfänger zur
Bestimmung der Ankunftszeit des jeweils von ihnen empfangenen Signals
imstande sind, durch die folgenden Merkmale:
- – zur Bestimmung
der Koordinaten S(xs,ys,zs) des Objektes S im gegebenen Koordinatensystem
wird als erster Empfänger
E1 aus der Menge von Empfängern
E1-Ej derjenige Empfänger
definiert, welcher die kürzeste
Laufzeit des von vier ausgewählten
Empfängern
E1, E2, E3, E4 empfangenen Signals misst, welcher Empfänger E1 damit
dem Objekt S nächst
benachbart ist, wobei der Ursprung des gegebenen Koordinatensystems
in die Position dieses ersten Empfängers E1 gelegt wird, welcher
somit die Koordinaten E1(x1,y1,z1) = (0,0,0) aufweist
- – die
X-Achse des gegebenen Koordinatensystems wird durch die Position
des zweiten ausgewählten
Empfängers
E2 gelegt, der somit die Koordinaten E2(x2,y2,z2) = (x2,0,0) aufweist
- – die
X-Y-Ebene des gegebenen Koordinatensystems wird durch die Position
des dritten ausgewählten
Empfängers
E3 definiert, welcher nicht auf der Y-Achse liegen darf und welcher
somit die Koordinaten E3(x3,y3,z3) = (x3,y3,0) aufweist
- – der
vierte ausgewählte
Empfänger
E4 befindet sich im gegebenen Koordinatensystem an der Position
E4 = (x4,y4,z4)
- – es
werden die Laufzeitunterschiede (t'1,t'2,t'3,t'4) zwischen
den einzelnen vier ausgewählten
Empfängern
gemessen, wobei die Entfernungen des Objektes S von den einzelnen
Empfängern
E1, E2, E3, E4 durch die Raumdiagonalen beschrieben und die Koordinaten
S(xs,ys,zs) des Objektes S sodann aus der Formel errechnet werden: (xs – xi)2 +
(ys – yi)2 + (zs – zi)2 = (T'i + T0)2 mit
i = 1 – j Formel I aus
welcher Formel I vier Bestimmungsgleichungen abgeleitet werden und
in welcher die unbekannte Größe T0 den gesuchten Abstand des Objektes vom
nächst
benachbarten Empfänger
E1 zum Objekt S definiert und T0 aus dem
Produkt aus der zeitlich unbekannten Signallaufzeit t0 des vom
Objekt S ausgesandten und vom nächst
benachbarten Empfänger
E1 empfangenen Signals sowie aus der bekannten Ausbreitungsgeschwindigkeit
VS des Signals gebildet wird.
In einer Ausgestaltung des erfindungsgemäßen Verfahrens
wird der unbekannte Abstand T0 gemäß den folgenden
Formeln gewonnen: T0 = t0⋅VS Formel II und T'i = t'i⋅VS Formel III wobei
t'i mit
i = 0–4
die Laufzeitunterschiede zwischen den ausgewählten Empfängern E1, E2, E3, E4 bedeuten
und wobei die jeweilige Größe T'i, mit
i = 1–4,
gebildet gemäß Formel
III, die bekannten Abstandsdifferenzen vom Objekt S zu den einzelnen
ausgewählten
Empfängern
E1, E2, E3, E4 definieren, von denen ein Abstand Null ist, so dass
sich der jeweilige Abstand T1, T2, T3, T4 des Objektes
S zum jeweiligen Empfänger
E1, E2, E3, E4 gemäß der Formel Ti =
(t'0 +
t'i)⋅VS mit i
= 1–4 Formel IV ergibt,
wobei mit Auflösung
der vier so gewonnenen Gleichungen
xs2 + ys2 +
zs2 = (T'1 + T0)2 =
T0
2 (1) da T'1 = 0 (xs – x2)2 +
ys2 + zs2 = (T'2 +
T0)2 (2) (xs – x3)2 +
(ys – y3)2 + zs 2 = (T'3 +
T0)2 (3) (xs – x4)2 +
(ys – y4)2 + (zs – z4)2 = (T'4 + T0)2 (4) die Koordinaten
S(xs,ys,zs) sowie der unbekannte Abstand T0 gewonnen
werden.
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Der Vorteil des erfindungsgemäßen Verfahrens
besteht insbesondere darin, dass mit demselben die Bestimmung der
Position eines Objekts im Raum ausschließlich mittels eines einmalig
vom Objekt ausgesendeten Signals endlicher Signalgeschwindigkeit
möglich
ist, ohne dass hierzu ein zeitlicher Bezug zwischen dem Sendezeitpunkt
des Objekts und den Empfangszeitpunkten des Signals durch die Empfänger bekannt
sein muß.
Die Bestimmung der Koordinaten kann ausschließlich aufgrund der durch die
Empfänger
gemessenen Zeitpunkte des jeweiligen Empfangs des Signals sowie
der daraus zu errechnenden Laufzeitunterschiede zusammen mit den
bekannten Positionen der Empfänger erfolgen
bei erfindungsgemäßer Positionierung
des gegebenen Koordinatensystems bezüglich der Empfänger, deren
Koordinaten im gegebenen Koordinatensystem bekannt sind. Das Verfahren
besitzt dadurch den entscheidenden Vorteil, dass das zu vermessende
Objekt nicht zugänglich
zu sein braucht; es benötigt
nur Empfangskontakt mit den Empfängern.
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In weiterer Ausgestaltung der Erfindung
können
bei einer rechteckigen Anordnung der Empfänger E1, E2, E3, E4 sich die
Koordinaten vereinfachen zu E2(x2,y2,z2) = (Sx,0,0),
E3(x3,y3,z3) = (SX,SY,0), E4(x4,y4,z4)
= (0,SY,0) mit SX,SY als Seiten des Rechtecks, womit sich die
Bestimmungsgleichungen vereinfachen zu: xs2 + ys2 +
zs2 = T2 (1a) (xs – Sx)2 + ys2 + zs2 = (T'2 + T0)2 (2a) (xs – Sx)2 + (ys – SY)2 + zs2 =
(T'3 +
T0)2 (3a) xs2 +
(ys – SY)2 + zs2 =
(T'4 +
T0)2 (4a).
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Zum Ausschluss der Mehrdeutigkeit
der Z-Koordinate zs des Objektes S kannn nach einer anderen Ausgestaltung
eine weitere Signallaufzeitmessung mit einem weiteren Empfänger Ex
erfolgen, welcher nicht in der durch die Empfänger E1, E2, E3, E4 aufgespannten
Ebene liegt.
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In einer weiteren Ausgestaltung der
Erfindung unter Verwendung von drei in einer linearen Anordnung
befindlichen Empfängern
E1, E2, E3 mit bekannten Positionen, braucht zur Bestimmung der
Koordinaten des Objektes S nur einer Koordinate des Objektes S sowie
die unbekannte Signallaufzeit bzw. der unbekannte Abstand T0 bestimmt zu werden, womit nur drei Bestimmungsgleichungen
benötigt
werden, wobei sich das Objekt S an beliebiger Position im Raum befindet
und zu einem unbekannten Zeitpunkt t ein Signal auszusenden imstande
ist, wobei aus der Position des Objektes S bezüglich der Empfängerachse
(E1-E3,X,R) die Position des Objektes S im gegebenen Koordinatensystem
hergeleitet werden kann.
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Kurzbeschreibung der Zeichnung, in
welcher zeigen:
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1 eine
schematische Ansicht eines Objektes sowie von vier Empfängern in
einer Draufsicht auf die durch drei Empfänger E1, E2 und E3 aufgespannten
Ebene
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2 eine
Seitenansicht der 1
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3 eine
zeitliche Darstellung der Signallaufzeiten
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4 einen
speziellen Aufbau, bei welchem die vier Empfänger in den Ecken eines Rechtecks
positioniert sind und
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5 eine
Seitenansicht von 4 und
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6 eine
Anordnung mit einem vereinfachten Systemaufbau; wenn nur eine Koordinate
zu bestimmen ist.
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Wege zur Ausführung der
Erfindung:
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Die 1 und 2 zeigen eine schematische Ansicht
eines Objektes S, welches mobil sein kann, sowie von vier Empfängern E1,
E2, E3, E4 in einer Draufsicht auf die durch drei Empfänger E1,
E2 und E3 aufgespannte Ebene als allgemeinen Systemaufbau sowie
eine Seitenansicht dieser Ebene. Im allgemeinen Systemaufbau können weitere
Empfänger Ej,
mit j = 5 bis k, vorhanden sein. Mit dieser Anordnung von wenigstens
vier Empfängern
E1, E2, E3, E4 können
vier Bestimmungsgleichungen angegeben werden; daraus können die
Koordinaten S(xs,ys,zs) des Objektes S hergeleitet werden. Voraussetzung
hierfür
ist nur, dass die vier Empfänger E1,
E2, E3, E4 nicht auf einer Gerade liegen dürfen.
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Die Ortsbestimmung des Objektes S
erfolgt innerhalb eines Koordinatensystems, das gegebene Koordinatensystem,
welches von drei Geräten
E1, E2, E3 der Geräte
E1, E2, E3, E4 und gegebenenfalls Ej definiert wird:
- – E1
liegt im Ursprung dieses Koordinatensystems;
- – als
E1 wird der Empfänger,
der die kürzeste Laufzeit
misst, definiert
- – die
Koordinaten E1(x1,y1,z1) sind somit (0,0,0)
- – die
X-Achse des Koordinatensystems wird durch E2 definiert;
- – die
Koordinaten E2(x2,y2,z2) sind somit (x2,0,0)
- – die
XY-Ebene des Koordinatensystems wird durch E3 definiert; dabei darf
jedoch E3 nicht auf der Y-Achse liegen;
- – die
Koordinaten E3(x3,y3,z3) sind somit (x3,y3,0)
- – das
vierte Gerät
befindet sich an der Position E3(x4,y4,z4)
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In diesem dergestalt definierten
gegebenen Koordinatensystem befindet sich das Objekt S bzw. der
Sender S an der Position S(xs,ys,zs).
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Ausgehend von demjenigen Empfänger, welcher
das Signal des Objektes S zuerst empfing und damit dem Objekt S
nächst
benachbart ist – in 1 ist das der Empfänger E1 – können anhand
der 3 die Signallaufzeitdifferenzen
zwischen den Empfängern
E1, E2, E3, E4 ermittelt werden. Dabei sendet das Objekt zum unbekannten
Zeitpunkt t0 ein, zum Beispiel ein einziges,
Signal aus, welches vom nächst
benachbarten Empfänger
E1 zum Zeitpunkt t'1 empfangen wird; dieser Zeitpunkt wird als
zeitlicher Nullpunkt angenommen t'1 = 0.
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Damit hat das Signal vom Objekt S
zum Empfänger
E1 die unbekannte Laufzeit t1 benötigt. Zum
Empfänger
E2 benötigte
das Signal die Laufzeit t1 + t'2;
zum Empfänger
E3 benötigte
das Signal die Laufzeit t1 + t'3;
zum Empfänger
E4 benötigte
das Signal die Laufzeit t1 + t'4.
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Es werden somit die folgenden Variablen
und Größen definiert:
- t0 Signallaufzeit vom
Sender zu dem Empfänger, der
als erster ein Signal empfängt
(hier E1); t0 ist unbekannt
- t'1,
t'2,
t'3,
t'4 Signallaufzeitdifferenz
zu t0, eine dieser Zeitdifferenzen ist 0,
hier: t'1 = 0
t'1, t'2,
t'3,
t'4,
sind somit bekannt, nämlich
gemessen
Abstände
der Empfänger
untereinander, E1-E2, E2-E3, E2-E4, E3-E4, E1-E4, E1-E3 sind vom Systemaufbau
bekannt
- VS Signalausbreitungsgeschwindigkeit des vom Objekt ausgesendeten
Signals; VS ist eine bekannte physikalische Größe
- T0 = t0⋅VS [Formel
II], T0 ist unbekannt, wobei T0 den
Abstand vom Objekt S zu dem Empfänger
E1 definiert, der als erster ein Signal empfängt
- T'1,
T'2,
T'3 T'4 Ti = t'i⋅VS
[Formel III]
gibt die Abstands-Differenzen vom Objekt S zu den
einzelnen Empfängern
an, einer dieser Abstände
ist 0, was bedeutet, dass T'1, T'2, T'3, T'4 bekannt sind
- T1, T2, T3,T4,...Ti = (t0 + t'i)⋅VS [Formel
IV]
gibt den Abstand vom Sender zu den einzelnen Empfängern an,
einer dieser Abstände
ist T0, was bedeutet, dass T0 =
T1 ist.
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Die Entfernungen des Objektes S von
den Empfängern
E1, E2, E3, E4 werden durch die Raumdiagonalen beschrieben, mit
deren Hilfe vier Bestimmungsgleichungen beim allgemeinen Systemaufbau angegeben
werden können:
(xs – xi)2 + (ys – yi)2 + (zs – zi)2 = (T'i + T0)2 für I = 1...4
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Durch die Festlegung des gegebenen
Koordinatensystems derart, dass
x1 = 0; y1 = 0; z1 = 0
y2
= 0; z2 = 0
z3 = 0
sind, ergeben sich daraus die folgende
vier Gleichungen xs2 + ys2 + zs2 = (T'1 + T0)2 =
T0
2 (I) da T'1 =
0 (xs – x2)2 + ys2 + zs2 = (T'2 + T0)2 (2) (xs – x3)2 +
(ys – y3)2 + zs2 = (T'3 +
T0)2 (3) (xs – x4)2 +
(ys – y4)2 + (zs – z4)2 = (T'4 + T0)2 (4)
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Die Auflösung dieser vier Gleichungen
ergibt die gesuchten Koordinaten S(xs,ys,zs) des Objektes S im gegebenen
Koordinatensystem und die unbekannte Laufzeit T0,
nämlich
die Laufzeit des Signals vom Objekt S zum nächst benachbarten Empfänger, hier
E1, was gleichbedeutend mit dem unbekannten Abstand des Senders
zu demjenigen Empfänger
ist, welcher als erster das Signal von S empfängt, S-E 1.
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Die Auflösung nach den Unbekannten führt im allgemeinen
Fall zu Gleichungen vierten Grades, welche nicht geschlossen lösbar sind.
Eine rechnergestützte
Bestimmung der allgemeinen Lösung
ist jedoch in einfacher Weise möglich.
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Die Figuren 4 und 5 zeigen
einen speziellen Systemaufbau, bei welchem vier Empfänger E1,
E2, E3, E4 in den Ecken eines Rechtecks positioniert sind. Mit dieser
rechteckigen Anordnung der vier Empfänger E1, E2, E3, E4 können die
folgenden vier Bestimmungsgleichungen angegeben und daraus die Position
S(xs,ys,zs) des Objektes S im gegebenen Koordinatensystem hergeleitet
werden. Durch die Symmetrie dieser Anordnung kann jeder Empfänger EX als der erste Empfänger E1, welcher als erster das
Signal vom Sender S empfängt,
eingesetzt werden.
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Es werden des Weiteren die Variablen
und Größen eingeführt:
SX,SY Abstand der
Empfänger
E1-E2 resp. E2-E3 (Seiten) SX,SY sind
bekannt (Systemaufbau)
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Aus diesem Aufbau ergeben sich folgende vier
Gleichungen: xs2 + ys2 + zs2 = T0
2 (1) (xs – SX)2 + ys2 + zs2 = (T'2 + T0)2 (2) (xs – SX)2 + (ys – SY)2 + zs2 =
(T'3 +
T0)2 (3) xs2 +
(ys – SY)2 + zs2 =
(T'4 +
T0)2 (4).
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Diese vier Gleichungen werden nach
den Unbekannten aufgelöst
zu:
(2)–(4)
ausmultipliziert und mittels (1) vereinfacht ergibt sich: (xs – SX)2 + ys2 + zs2 = (T'2 + T0)2 ⇔ xs2 – 2xs
SX + SX
2 +
ys2 + zs2 = T'2
2 + 2 T'2 T0 + T0
2 ⇔ SX
2 – 2 SX xs = T'2
2 + 2 T'2 T0 (2a) (xs – SX)2 + (ys – SY)2 + zs2 =
(T'3 +
T0)2 ⇔ xs2 – 2xsSX + SX
2 +
ys2 – 2ysSY + ys2 + zs2 = T'3
2 + 2 T'3 T0 + T2 ⇔ SX2 2 – SXxs + SY
2 – 2 SYys = T'3
2 + 2 T'3 T0 (3a) xs2 +
(ys – SY)2 + zs2 =
(T'4 +
T0)2 ⇔ xs2 + ys2 – 2ysSY + ys2 + zs2 = T'4
2 + 2 T'4 T0 + T0
2 ⇔ SY
2 – 2 SYys = T'4
2 + 2 T'4
2 T0 (4a)
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Die Komponente SX
2 – 2
SX xs mt (2a) in (3a) ersetzen T'2
2 +
2 T'2 T0 + SY
2 – 2 SYys = T'3
2 + 2 T'3 T0 ⇔ SY
2 – 2 SY ys = T'3
2 + 2 T'3 T0 – T'2
2 – 2
T'2 T0 + ⇔ SY
2 – 2 SY ys = T'3
2 – T'2
2 + 2 T0 (T'3 – T'2) (3b)
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(3b) in (4a) einsetzen und nach T0 auflösen SY
2 – 2
SYys = T'4
2 + 2 T'4 T0 ⇔ T'3
2 – T'2
2 + 2 T0 (T'3 – T'2)
= T'4
2 + 2 T'4 T0 ⇔ T'3
2 – T'2
2 – T'4
2 = 2 T0 (T'4 – T'3 +
T'2) ⇔ T
0 = 1/2 (T'3
2 – T'2
2 – T'4
2)/(T'4 + T'2 – T'3) (LT)
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Aus (4a) folgt SY
2 – 2
SYys = T'4
2 + 2 T'4 T0 ⇔ SY
2 – T'4
2 – 2
T'4 T0 = 2 SYys ⇔ ys = 1/2
(SY
2 – T'4
2 – 2
T'4 T0/SY (LY)
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Aus (2a) folgt SX
2 – 2
SXxs = T'2
2 + 2 T'2 T0 ⇔ xs
= 1/2 (SX
2 – T'2
2 – 2 T'2 T0/SX (LX)
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Und schliesslich aus (1) xs2 + ys² + zs² =
T0
2 ⇔ zs = ± √T
0
2
– xs
2
– ys² (LZ)
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sFür die Z-Koordinate des Objektes
S ergeben sich im Allgemeinen zwei Lösungen, da die Anordnung der
Geräte
EX und des Objektes S spiegelsymmetrisch
zur Ebene der Anordnung der Empfänger
E1, E2, E3, E4 liegt.
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Um deshalb die eindeutige Position
der Z-Koordinate des Objektes S zu bestimmen, wird eine weitere
Information benötigt.
Diese Information kann im Systemaufbau liegen, welche zum Beispiel Positionen
oberhalb der durch die Empfänger
E1, E2, E3, E4 aufgespannten Ebene ausschließen, oder es kann eine weitere
Signallaufzeitmessung durchgeführt
mit einem weiteren Empfänger
EX, welcher nicht in der aufgespannten Ebene
liegt, durchgeführt
werden.
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Im Folgenden seien noch Sonderfälle betrachtet:
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S1: In der Lösung (LT) darf der Ausdruck
(T'4 – T'3 +
T'2)
nicht Null werden. Dieser Ausdruck kann Null werden, wenn
- 1) T'4 = T'3= T'2 = 0 = T'1.
Die X-Koordinate des Objekt S ist
dann gleich SX/2 ,
die Y-Koordinate
des Objekt S ist dann geich SY/2; das Objekt
liegt auf einer Achse senkrecht auf der Ebene durch den Mittelpunkt
des durch die Empfänger
Ej aufgespannten Rechtecks.
Die Gleichungen (1) bis (4) reduzieren
sich dann auf nur mehr eine Gleichungen, da alle vier Gleichgungen
ineinander übergehen _SX
2 + _SY
2 +
zs2 = T0
2 (1),(2),(3),(4)
- 2) T'4 = T'3 und T'2 = 0 = T'1.
Die X-Koordinate des Objekt S ist
dann gleich SX/2 . Die Gleichungen (1) bis
(4) reduzieren sich dann auf nur mehr zwei Gleichungen, da (1) und (2)
sowie (3) und (4) ineinander übergehen
gemäß _SX2 +
ys2 + zs2 = T0
2 (1)/(2) _SX
2 + (ys – SY)2 + zs2 =
(T'3/4 +
T0)2 (3)/(4) = (34) Mit
diesen zwei Gleichungen lassen sich die drei restlichen Unbekannten
ys,zs T0 nicht auflösen.
- 3) T'2 = T'3 und T'4 = 0 = T'1.
Die Y-Koordinate des Objekt S ist
dann geich SY/2 .
Die Gleichungen (1)
bis (4) reduzieren sich dann auf xs_ + _SY
2 +
zs2 = T0
2 (1)/(4) (xs – SX)2 + _SY
2 +
zs2 = (T'2/3 + T0)2 (2)/(3)
= (23) Mit diesen zwei Gleichungen
lassen sich die drei restlichen Unbekannten xs,zs T0 nicht
auflösen
- 4) sonst müßte T'2 +
T'4 =
T'3 sein;
in diesem Fall müßte T'3 > T'2 und T'3 > T'4 sein.
Aus
T'3 > T'2 folgt ys < SY/2,
Aus
T'3 > T'4 folgt xs < SX/2,
Es
sind allerdings nur die Fälle
1,2,3 sinnvoll.
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Falls der Ausdruck T'2 +
T'4 – T'3 Null
wird, ist das Gleichungssystem nicht mehr auflösbar, es wird ein weiterer
Empfänger
benötigt,
um zusätzliche Bestimmungsgleichungen
zu erhalten und daraus die Position zu bestimmen.
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S2: In der Lösung (LX) darf SX nicht
Null werden. In der Lösung
(LY) darf SX nicht Null werden, was durch
den Systemaufbau zu gewährleisten
ist.
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S3: In der Lösung (LZ) darf die Diskriminante nicht
negativ werden. Da (LZ) sich aus (Ia) herleitet, welche ein pythagoreisches
Dreieck im Raum beschreibt, nämlich: X2 +
Y2 + Z2 = T0
2 (Ia) ist zu
erkennen, dass diese Bedingung immer erfüllt ist.
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In der 6 ist
eine Anordnung mit einem vereinfachten Systemaufbau gezeigt, wenn
nur eine Koordinate des Objektes S zu bestimmen ist. Falls nur eine
Koordinate X, zum Beispiel entlang einer Achse, bestimmt werden
soll, genügt
ein verringerter Systemaufbau mit einer geringeren Anzahl Komponenten,
um diese Koordinate zu bestimmen. Wie bisher benötigt man zur Bestimmung der
Koordinate X der Position des Objektes S und der zusätzlichen
unbekannten Signallaufzeit T0 zwei voneinander
unabhängige
Bestimmungsgleichungen. In diesen Gleichungen taucht jedoch als
eine weitere Unbekannte der Abstand R des Objektes S von der Achse
auf, so dass eine weitere Bestimmungsgleichung notwendig wird. Für die Anordnung
ergibt sich somit die notwendige Anzahl von drei Empfängern, um
drei Gleichungen über
rechtwinklige Dreiecke erstellen zu können.
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Hierzu sei wie zuvor ein ein Signal
aussendendes Objekt S an einer beliebigen Position im Raum gegeben,
welches Objekt S zu einem unbekannten Zeitpunkt t ein Signal aussenden
kann; weiterhin ist eine lineare Anordnung von drei Empfängern E1,
E2, E3 gegeben, welche das Signal empfangen und die Ankunftszeit
bestimmen können.
Es soll die Position des Senders nur aus den Laufzeitdifferenzen
der empfangenen Signale bestimmt werden. Die Positionen der Empfänger seien
bekannt, so dass aus der Position des Objektes S bzüglich der Empfängerachse
(E1-E3,X,R) die Position in jedem beliebigen Koordinatensystem hergeleitet
werden kann.
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Durch die Anordnung der drei Empfänger E1, E2,
E3 ergeben sich prinzipiell drei rechtwinklige Dreiecke, welche
drei pythagoreische Gleichungen mit der unbekannten Signallaufzeit
T0 und den gesuchten Senderkoordinaten X,
nämlich
Position entlang der Empfängerachse,
und R, der Abstand von der Empfängerachse,
liefern. Aus diesen drei Gleichungen lassen sich die drei Unbekannte
bestimmen. Die ermittelten Koordinaten ergeben einen Kreis um die
Achse E1-E2-E3 herum, wobei die Position entlang der Achse eindeutig
ist.
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Es gelten die vorgenannten Definitionen.
Die Größen t'4,
T'4,
T4 werden nicht mehr benötigt, ebenso SX,
SY. Neu sind jedoch als weitere zu definierenden
Variablen und Größen:
D12,D23 Abstand der
Empfänger
E1-E2 beziehungsweise
E2-E3 D12,D23 sind vom Systemaufbau her bekannt.
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P bedeutet ein Punkt auf der Geraden E1-E2-E3
in senkrechter Projektion des Objekts S auf diese Gerade, wobei
R der Abstand des Objekt S zu P ist.
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Es liegen somit die folgenden rechtwinkligen Dreiecke
vor: E1 -P-S; E2-P-S; E3-P-S Aus diesen ergeben
sich folgende drei Gleichungen, mit y = D12 – X: (D12 – y)2 + R2 = (T'1 +
T0)2 (I) y2 +
R2 = (T'2 + T0)2 =
T0
2 (II) da T'2 =
0 (D23 +
Y)2 + R2 = (T'3 +
T0)2 (III) aus (II)
ergibt sich für
R2 R2 = T0
2 – y2 (IIa)
-
Setzt man (IIa) in (I) und (III)
ein, so erhält man: (D12 – y)2 + T0
2 – y2 = (T'1 + T0)2 ⇔ D12
2 – 2 D12y + y2+ T0
2 – y2 = T'1
2 + 2 T'1 T0 + T0
2 ⇔ D12
2 – 2 D12y + T0
2 = T'1
2 + 2 T'1 T0 + T0
2 ⇔ D12
2 – 2 D12y = T'1
2 + 2 T'1 T0 (Ia) (D23 +
y)2 + T0
2 – y2 = (T'3 + T0)2 ⇔ D23
2 + 2 D23y + y2 + T2 – y2 = T'3
2 + 2 T'3T0 + T0
2 ⇔ D23
2 + 2 D23y + T0
2 =
T'3
2 + 2 T'3 T0 + T0
2 ⇔ D2
3
2 +
2 D23y = T'3
2 +
2 T'3 T0 (IIIa)
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Löst
man (Ia) nach T0 auf gemäß (D12
2 – 2 D12y – T'1
2)/T1' = T0 (IV) und setzt
(IV) in (IIIa) ein D23
2 + 2 D23y = T'3
2 + 2 T'3_(D12
2 – 2 D12y – T'12)/T'1 ⇔ D23
2 + 2 D23y = T'3
2 + T'3/T'1 (D12
2 – 2 D12y – T'1
2 ) ⇔ D23
2 + 2 D23y = T'3
2 + T'3/T'1 D12
2 – 2 T'3/T'1D12y – T'3T'1 (V) so erhält man eine
Gleichung mit einer einzigen Unbekannten y 2 y(D23 – T'3/T'1D12 ) = T'3
2 + T'3/T'1 D12
2 – T'3T'1 – D23
2 (Vb) y = (T'3
2 + T'3/T'1 D12
2 – T'3T'1 – D23
2)/(D23 – T'3/T'1D12 ) (Ly) mit y = D12 – X ⇔ X = D12 – y
X = D12 – (T'3
2 +
T'3/T'1 D12
2 – T'3T'1 – D23
2)/(D23 – T'3/T'1D12) (LX)
-
Für
T0 und R ergibt sich durch Einsetzen und Auflösen in (IV)
bzw. (IIa)
T0 =
(D12
2 – 2 D12y – T'1
2)/T'1 = (D12
2 – 2 D12 ((T'3
2 + T'3/T'1 D12
2 – T'3T'1 – D23
2)/(D23 – T'3/T'1 D12 )) – T'1
2 )/ T'1 _ (D12
2 – (T'3
2 + T'3/T'1 D12
2 – T'3T'1 – D23
2)/(D23/D12 – T'3/T'1) – T'1
2)/ T'1
R = √(T0² – y²)
-
Betrachtung von Sonderfällen:
In
obiger Lösung
darf T'1 nicht
Null werden. In diesem Fall ist jedoch sowohl T'1 als auch T'2 Null,
so dass das Dreieck E1-E2-S gleichschenklig ist und aus Symmetriegründen sowohl
X als auch y den Wert D12 haben, nämlich X
= y = D12
Ebenso darf in obiger Lösung der
Term (D23 – T'3/T'1D12) nicht Null werden. Betrachtet man den
vereinfachten Fall D23 = D12,
so vereinfacht sich der obige Ausdruck zu (D – T'3/T'1D)
und somit muß das
Verhältnis
T'3/T'1 1
sein. Man sieht, dass in diesem Fall das Dreieck E1-E3-S gleichschenklig
ist und aus Symmetriegründen
X den Wert (D12 + D23)
= (D + D) = D hat.
-
Ohne hier den mathematischen Nachweis
zu führen,
bedeutet auch die nicht vereinfachte Form D23 !=
D12, dass das Dreieck E1-E3-S gleichschenklig
ist und somit aus Symmetriegründen
X den Wert (D12 + D23)
hat.
-
Der Wert D12 in
obiger Lösung
darf ebenfalls nicht Null werden, was durch den Systemaufbau zu gewährleisten
ist.