DE10222699A1

DE10222699A1 - Regelbasiertes Optimierungsverfahren

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Publication number: DE10222699A1
Application number: DE10222699A
Authority: DE
Inventors: Ralf Blumhardt
Original assignee: Bayerische Motoren Werke AG
Current assignee: Bayerische Motoren Werke AG
Priority date: 2002-05-22
Filing date: 2002-05-22
Publication date: 2003-12-11
Anticipated expiration: 2022-05-23
Also published as: DE10222699B4

Abstract

Zur Optimierung eines Systems werden zunächst ein oder mehrere Approximationsmodelle zur Approximation der (etwa durch Versuche und/oder Simulationen) generierten realen Parameter-Zielgrößen-Punkte erzeugt. DOLLAR A Anschließend wird die Prognosefähigkeit der einzelnen Approximationsmodelle bewertet und das Approximationsmodell mit der besten Prognosefähigkeit ausgewählt. Ist diese groß genug, wird das entsprechende Modell in einem Optimierer verwendet, andernfalls werden nur die realen Parameter-Zielgrößen-Punkte in einem Optimierer verwendet.

Description

Die vorliegende Erfindung betrifft ein computergestütztes Verfahren zur Optimierung von Parametern eines Systems, insbesondere zum Optimieren von Parametern eines technischen Systems.
Systeme sind stets durch einen oder mehrere Parameter p = (p₁, . . ., p_P) charakterisiert. Ziel von Entwicklungsprozessen ist es, einen Satz p* der Parameter zu finden, für den eine oder mehrere Zielgrößen g = (g₁, . . ., g_G) optimal, d. h. in der Regel extremal (minimal oder maximal) werden, wobei u. U. eine oder mehrere Nebenbedingungen h₁(p) ≤ 0; h₂(p) = 0 einzuhalten sind, also

g(p*) = Extr!|h₁(p*) ≤ 0; h₂(p*) = 0
Beispielsweise ist es ein Ziel bei der Fahrzeugentwicklung, als Parameter p die Blechdicken der Karosserie so zu wählen, daß als Zielfunktionen g Gewicht und/oder Kosten des Fahrzeugs minimal werden, wobei gleichzeitig bestimmte Crashtestwerte h₁ unterschritten und bestimmte Außenabmessungen h₂ eingehalten werden müssen. In einem anderen Fall ist es beispielsweise das Ziel, den Volumenstrom p so zu wählen, daß der Wirkungsgrad g einer Turbine maximal wird, wobei bestimmte Kavitationsdrücke -h₁ nicht unterschritten werden dürfen.
Ist dabei ein funktioneller Zusammenhang zwischen den Parametern und den Zielgrößen bekannt, etwa in Form einer (linearen oder nichtlinearen) Funktion g = Ψ(p), so existiert eine Reihe von Optimierungsverfahren, sogenannten Optimierern, zur Lösung dieses Problems. Hierbei ist in der Regel die Auswertung der Funktion für mehrere, oftmals sehr viele Parametersätze notwendig.
Häufig ist jedoch ein solcher funktioneller Zusammenhang nicht bekannt. Vielmehr hat der Entwickler nur eine (in der Regel begrenzte) Anzahl von Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ); i = 1,I zur Verfügung, beispielsweise aus Versuchen und/oder (oft sehr aufwendigen) Simulationen. In obigem ersten Beispiel sind aus Zeit- und Kostengründen etwa nur wenige reale Crashtests mit verschiedenen Blechdicke-Verteilungen möglich. Auch FEM-Simulationen sind zeitintensiv: so erfordert ein einzelner Simulationslauf für einen bestimmten Parametersatz pⁱ in obigem Beispiel heute z. T. noch mehrere Tage. Im zweiten Beispiel sind ebenfalls zur Berechnung des Wirkungsgrades gⁱ bei einem bestimmten Volumenstrom pⁱ aufwendige fluiddynamische Simulationen erforderlich.
Solche Parameter-Zielgrößen-Punkte werden nachfolgend als reale Parameter-Zielgrößen- Punkte Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) bezeichnet (wenngleich sie beispielsweise auch aus einer (komplexen) Simulation stammen können), um sie von approximierten Parameter-Zielgrößen-Punkten

zu unterscheiden, die, wie nachfolgend beschrieben, aus sogenannten Approximationsmodellen gewonnen werden.
Daher besteht also das Problem, daß einerseits Optimierer eine Vielzahl von Parameter- Zielgrößen-Punkten zur Ermittlung eines Optimums benötigen, andererseits die Bereitstellung solcher Parameter-Zielgrößen-Punkte oftmals sehr aufwendig und auch bei Einsatz von Simulationswerkzeugen zumindest zeitintensiv ist.
Zur Lösung dieses Problems ist es bekannt, den funktionellen Zusammenhang g = Ψ(p) anhand weniger realer Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) mittels eines Approximationsmodells g = ≙(p) zu approximieren, wobei der Optimierer dann dieses verhältnismäßig schnell und einfach auszuwertende Approximationsmodell zur Ermittlung weiterer, vom Optimierer benötigter Parameter-Zielgrößen-Punkte

und/oder von Gradienten

verwendet. Das Approximationsmodell wird dabei vom Entwickler a priori gewählt: beispielsweise wird ein lineares Regressionsmodell ≙(p) = k₁.p₁ + . . . + k_P.p_P angesetzt und dessen Parameter k_j so gewählt, daß alle realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) möglichst gut erfaßt werden, etwa im Sinne der geringsten Fehlerquadrate
Dabei geschieht die Wahl des Approximationsmodells in aller Regel von Hand durch den Entwickler und nach einfachen Gesichtspunkten, etwa der Eignung zur Verwendung im Optimierer (beispielsweise gestattet obiges lineares Regressionsmodell die Verwendung sehr effizienter linearer Optimierer) oder der Approximationsgüte, d. h., wie "gut" das Approximationsmodell die zur Verfügung stehenden realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) approximiert.
Ein solchermaßen gewähltes Approximationsmodell ist jedoch bei der Optimierung oftmals ungeeignet, da es beispielsweise den Zusammenhang zwischen Parametern und Zielgrößen im Bereich der optimalen Lösung falsch approximiert und damit den Optimierer nicht zur optimalen Lösung führt. Dies zeigt sich nachteilig meist erst nach einem abgeschlossenen, meist zeitintensiven Optimierungslauf, wenn für die mittels des Approximationsmodells ermittelten "optimalen" Parameter ≙* beispielsweise durch eine aufwendige Simulation oder einen Versuch die zugehörigen Zielgrößen g* bestimmt werden. Damit wird wertvolle Entwicklungszeit verschenkt.
Aufgabe der vorliegenden Erfindung ist es daher, ein effizienteres und computergestütztes Verfahren bzw. eine Vorrichtung zur Parameteroptimierung zur Verfügung zu stellen.
Die Aufgabe wird durch die Merkmale des Anspruchs 1, 16, 17 bzw. 18 gelöst.
Ein erfindungsgemäßes computergestütztes Verfahren umfaßt die Schritte:
S10: Erfassen von realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ);
S20: Generierung von wenigstens einem ersten Approximationsmodell ≙(p);
S30: Validierung dieses ersten Approximationsmodells;
S40: Entscheidung, ob das erste Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist;
S100: falls das Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist, Verwendung dieses Approximationsmodell ≙(p) in einem Optimierer; und
S200: falls das Approximationsmodell ≙(p) keine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist, statt dessen Verwendung von realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) in einem Optimierer.
Dadurch, daß bereits vorab die Prognosefähigkeit des Approximationsmodells validiert wird, kann bereist frühzeitig und automatisch entschieden werden, ob es sinnvoll ist, das Approximationsmodell oder nur reale Parameter-Zielgrößen-Punkte in einem Optimierer zu verwenden. Vorteilhafterweise kann dann in einem Schritt S90 bzw. S190, je nachdem, ob und wenn ja, was für ein Approximationsmodell verwendet wird, ein geeigneter Optimierer ausgewählt werden. Ist die Generierung zusätzlicher reale Parameter- Zielgrößen-Punkte zu aufwendig, kann in Schritt 40 auch entschieden werden, daß eine computergestützte Optimierung nicht durchführbar ist.
Hierdurch ist es möglich, Systeme, insbesondere technische Systeme, effizient zu optimieren.
In einer bevorzugten Ausführung werden in Schritt S20 computergestützt mehrere verschiedene Approximationsmodelle ≙_k generiert und in Schritt S30 jedes dieser Approximationsmodelle validiert. In einem Schritt S35 wird sodann das Approximationsmodell ≙ mit der besten Prognosefähigkeit ausgewählt und dieses in den weiteren Schritten S40 bzw. S50 verwendet, d. h., es wird in Schritt S40 entschieden, ob das ausgewählte Approximationsmodell ≙ eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist und dieses gegebenenfalls in Schritt S50 in einem Optimierer verwendet.
Wurde ein geeignetes Approximationsmodell mit einer als ausreichend bewerteten Prognosefähigkeit generiert bzw. ausgewählt, so kann hierfür in einer bevorzugten Ausführung in Schritt S90 ein geeigneter Optimierer ausgewählt werden, etwa für lineare Approximationsmodelle ein linearer Optimierer, für quadratische Approximationsmodelle ein quadratischer Optimierer und für andere, nichtlineare Approximationsmodelle beispielsweise ein SQP-Optimierer. Gleichermaßen kann für alle Approximationsmodelle ein einziger Optimierer, etwa ein SQP-Optimierer verwendet werden.
Weist hingegen das (beste) Approximationsmodell keine ausreichende Prognosefähigkeit auf, so werden nur reale Parameter-Zielgrößen-Punkte verwendet. Vorteilhafterweise wird dann in Schritt S190 ein evolutionsbasierter Algorithmus verwendet, der aus einer begrenzten Anzahl von vorhandenen Parameter-Zielgrößen-Punkten effizient einen optimalen Parametersatz auffinden kann. Gleichermaßen können hier beispielsweise stochastische Optimierer eingesetzt werden.
Dadurch ist es vorteilhaft möglich, die Entwicklungsaufgabe jeweils mit einen besonders effizienten, für dieses System geeigneten Optimierer zu bearbeiten. Hierfür können in einem erfindungsgemäßen Verfahren eine Reihe bekannter Optimierer nach dem Stand der Technik zur Auswahl bereitgestellt werden, beispielsweise Achsparallele Suche, (Konjugierte-)Gradientenverfahren, (Quasi-)Newton-Verfahren, Simplexverfahren, Straffunktionsverfahren, Verfahren der zulässigen Richtung, Muliplikatoren- Straffunktionsverfahren, Sequentielle Quadratische Programmierung (SQP), Complex- Methode, Simuliertes Ausglühen, Evolutionäre Algorithmen, Hierarische Optimierer, Dynamische Programmierung (Bellman), (Diskrete) stochastische Dynamische oder LQ- Optimierung, Lineare Quadratische Gauss-Optimierung und dergleichen, wobei obige Liste selbstverständlich nicht abschließend ist, sondern jeder der Fachwelt bekannte Optimierer eingesetzt werden kann. Beispielsweise kann dann automatisch für ein lineares Approximationsmodell ein Simplex-Verfahren, für ein durch eine Funktion (Polynom etc.) beschriebenes Approximationsverfahren ein SQP-Verfahren, für ein neuronales Netz ein Evolutionsansatz und für die realen Parameter-Zielgrößen-Punkte ein stochastischer Algorithmus ausgewählt werden. Insbesondere kann auch ein Optimierer verwendet werden, wie er in der deutschen Anmeldung "Optimierungsverfahren mit validierten Approximationsmodellen" des gleichen Anmelders mit dem gleichen Anmeldetag wie die vorliegende Anmeldung offenbart ist, bei der jeweils abwechselnd reale Parameter- Zielgrößen-Punkte und Approximationsmodelle verwendet werden. Insofern wird hier vollinhaltlich Bezug auf o. g. Anmeldung genommen und deren Inhalt in die vorliegende Anmeldung einbezogen.
In einer bevorzugten Ausführung werden in einem Schritt S5 die realen Parameter- Zielgrößen-Punkte systematisch erzeugt, indem zunächst eine Menge geeigneter Parametersätze erzeugt werden. Diese können beispielsweise stochastisch, i. e. gemäß einer vorgegebenen Verteilung (Gleichverteilung, Normalverteilung oder dergleichen), oder mittels Design-Of-Experiment-Verfahren erzeugt werden.
Weitere Vorteile, Merkmale und Ausführungsformen ergeben sich aus den Unteransprüchen und den nachfolgend beschriebenen Ausführungsbeispielen. Hierzu zeigt:
Fig. 1 ein Flußdiagramm eines erfindungsgemäßen Verfahrens;
Fig. 2 Parameter-Zielgrößen-Punkte und entsprechende Approximationsmodelle.
Nachfolgend wird ein erfindungsgemäßes Verfahren zum Optimieren von Parametern anhand zweier technischer Systeme exemplarisch erläutert.
Es sollen die Blechdicken p = (p₁, . . ., p_P) an P verschiedenen signifikanten Punkten einer Karosserie so ausgelegt werden, daß die Deformation g = (g₁) der Karosserie bei einem Frontalaufprall minimal wird. Dabei darf das Fahrzeuggewicht h₁ nicht mehr als 1.500 kg betragen (Beispiel 1).
Hier ist das maximal zulässige Fahrzeuggewicht als sogenannte Ungleichheits- Nebenbedingung formuliert. Gleichermaßen kann das Fahrzeuggewicht aber auch als zusätzliche Zielgröße g₂ berücksichtigt und eine Mehrkriterien- oder Vektoroptimierung durchgeführt werden, was zu einer pareto-optimalen Lösungsmannigfaltigkeit führt, aus der der Entwickler dann einen geeigneten Kompromiß auswählen kann. Der Einfachheit halber wird im folgenden das Fahrzeuggewicht als sogenannte Straf-("Penalty-")Funktion berücksichtigt, d. h., die Zielgröße g setzt sich aus der Summe von Deformation g₁ und Fahrzeuggewicht h₁ zusammen.
In einem zweiten Beispiel soll der Volumenstrom p = (p₁) für eine Francis-Turbine ermittelt werden, bei der sich ein maximaler Wirkungsgrad g = (g₁) ergibt (Beispiel 2).

Beispiel 1

Aus realen Crashversuchen mit Prototypen sind einige reale Parameter-Zielgrößen-Punkte Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) bekannt. Zusätzlich werden einige FEM-Crashsimulationen durchgeführt.
Hierzu werden zunächst in Schritt S5 mittels Computer zufällige Parametersätze pⁱ, also angenommene Blechdicken erzeugt, indem für jede Blechdicke p_i jeweils stochastisch ein Wert innerhalb eines zulässigen Bereichs generiert wird. Mit diesen Blechdicken wird dann jeweils eine FEM-Crashsimulation durchgeführt, die als Ergebnis eine Deformation gⁱ liefert. Gleichzeitig ergibt sich, beispielsweise aus einer CAD-Berechnung, das Fahrzeuggewicht für diesen Parametersatz. Somit wird jeweils durch eine FEM-Simulation ein weiterer realer Parameter-Zielgrößen-Punkt Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) erzeugt.
Sollen die Nebenbedingungen h₁ bzw. h₂ explizit berücksichtigt werden, so sind für diese völlig analog zu den Approximationsmodellen g = ≙(p) für den Zusammenhang zwischen Parametern und Zielgrößen Approximationsmodelle (h₁; h₂) = ≙(p) für den Zusammenhang zwischen Parametern und Nebenbedingungen zu erstellen, zu validieren etc. Eventuell liegen jedoch für den Zusammenhang zwischen Parametern und Nebenbedingungen auch bereits geeignete Approximationsmodelle vor: im hier erläuterten Beispiel ist die Berechnung des Fahrzeuggewichts bei gegebenen Blechdicken schnell und daher auch im Rahmen des Optimierers auszuwerten.

Beispiel 2

Im Beispiel 2 werden für verschiedene äquidistant verteilte Volumenströme pⁱ jeweils mittels fluiddynamischer Simulation die Wirkungsgrade gⁱ und die Kavitationsdrücke der zu entwerfenden Turbine numerisch berechnet.
Nun ist also eine Menge von I realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) vorhanden, die in Schritt S10 im Computer erfaßt werden. Schematisch sind in Fig. 2 vier solche realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ); i = 1, . . ., 4 eingetragen. Zur Erläuterung wird angenommen, daß physikalisch ein quadratischer Zusammenhang zwischen den Parametern und den Zielgrößen besteht: in Beispiel 1 ist bei geringen Blechdicken p die Zielgröße g aufgrund der hohen Deformation hoch, also "schlecht". Umgekehrt ist die Zielgröße g bei großen Blechdicken p aufgrund des hohen Fahrzeuggewichts hoch, also wiederum "schlecht". Der "optimale Kompromiß" g* liegt also bei einer mittleren Blechdicke p*. Auch im Beispiel 2 besteht näherungsweise ein parabolischer Zusammenhang zwischen Volumenstrom p und Wirkungsgrad g. Zur einheitlichen Darstellung ist der Zielgrößenverlauf des ersten Beispiels gespiegelt dargestellt.
In Schritt S20 wird ein Pool von Approximationsmodellen vom Computer generiert. Beispielsweise kann vom Entwickler voreingestellt sein, daß der Computer

- ein lineares Regressionsmodell; und/oder
- ein quadratisches Regressionsmodell; und/oder
- ein sonstiges Regressionsmodell, bei dem kubische und höhere Terme, e-Funktionen, logarithmische und/oder trigonometrische Funktionen etc. verwendet werden; und/oder
- ein neuronales Netz; und/oder
- kubische oder B-Splines

Zur Erläuterung wird im folgenden angenommen, der Computer generiert ein lineares und ein quadratisches Regressionsmodell nach den Gleichungen

≙₁(p) = k₁.p₁ + . . . + k_P.p_P bzw.

≙₂(p) = ≙₁(p) + k_(P+1).p₁ ² + . . . + k_2P.p_P ² + k_(2P+1).p₁.p₂ + . . . + k_P(P-1)/2.p_(P-1).p_P.
Um nun in Schritt S30 die Prognosefähigkeit dieser Modelle zu validieren, kann beispielsweise folgendermaßen vorgegangen werden:
Zu Bestimmung der Koeffizienten k_j wird jeweils nur eine Teilmenge der Menge von Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) verwendet, beispielsweise nur die Punkte i = 1, . . ., (I - 1). Für diese werden dann die Koeffizienten k_j mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least-Square-Method) berechnet, so daß die Summe der Quadrate der Abweichungen gⁱ - ≙^I(pⁱ); i = 1, . . ., (I - 1) minimal wird. Anschließend wird für dieses Approximationsmodell die Abweichung Δ^I = g^I - ≙^I(p^I) für den I. Punkt bestimmt. Danach werden als Teilmenge die Punkte i = 1, . . .(I - 2), I gewählt, für diese Teilmenge die Koeffizienten wie oben berechnet und die Abweichung Δ^(I-1) = g^(I-1) - ≙^(I-1)(p^(I-1)) für den (I - 1). Punkt berechnet. Dieses Verfahren wird entsprechend für alle I möglichen Teilmengen wiederholt und als Prognosefehler beispielsweise die mittlere oder eine gewichtete (quadratische) Abweichung bestimmt. Dabei kann die Gewichtung vorteilhaft so gewählt sein, daß Prognosefehler für kritischen Teilmengen der realen Parameter-Zielgrößen- Punkte, etwa diejenigen, die in der Nähe des vermuteten Optimums liegen, stärker gewichtet werden als Prognosefehler für Randpunkte.
In Fig. 2 ist hierzu der erste der oben erläuterten Schritte dargestellt: für die Punkte 1, . . ., 3 wird jeweils ein lineares Regressionsmodell ≙₁ ^I=4 bzw. ein quadratisches Regressionsmodell ≙₂ ^I=4 so erstellt, daß die Summe der Fehlerquadrate minimal wird.
Anschließend wird jeweils der Prognosefehler Δ₁ ⁴, Δ₂ ⁴ bezüglich des vierten Punktes bestimmt.
Dieser Schritt wird zyklisch für die Punkte 3, 2 bzw. 1 wiederholt und als Prognosefehler des linearen bzw. quadratischen Approximationsmodells ≙₁ bzw. ≙₂ der Mittelwert

der einzelnen Prognosefehler berechnet.
Da in den erläuternden Beispielen physikalisch ein quadratischer Zusammenhang besteht, sind die Prognosefehler bei dem quadratischen Regressionsmodell sehr gering, sie resultieren lediglich aus Streuungen der Simulationsergebnisse (aufgrund von chaotischen Zusammenhängen des physikalischen Systems, Rundungsfehlern in der Simulation etc.). Im Gegensatz hierzu sind die Prognosefehler des linearen Modells sehr hoch - es ist offensichtlich zur Approximation der realen Parameter-Zielgrößen-Punkte nicht geeignet.
Hier sei auf einen wesentlichen Unterschied zum Stand der Technik hingewiesen: bei bekannten Verfahren würden sofort alle vorhandenen realen Parameter-Zielgrößen-Punkte zur Anpassung der Approximationsmodelle verwendet. Eine Aussage über die Güte dieser Approximationsmodelle beschränkt sich dann beispielsweise auf die quadratische Summe aller Abweichungen. Dies läßt aber keine Aussagen über die Prognosefähigkeit der Approximationsmodelle zu, die bei der vorliegenden Erfindung ermittelt wird. So würde in dem vereinfacht dargestellten Beispiel das lineare Regressionsmodell ≙₁ ^SdT, das nach dem Stand der Technik unter gleichzeitiger Verwendung aller vorhandenen Punkte 1, . . ., 4 erstellt würde, zwar nahezu die gleiche quadratische Summe aller Abweichungen aufweisen wie das quadratische Regressionsmodell, gleichzeitig hat aber das quadratische Regressionsmodell die deutlich bessere Prognosefähigkeit. Dabei wird - nach der Bewertung der Prognosefähigkeit unter Verwendung jeweils einer Teilmenge der realen Parameter-Zielgrößen-Punkte - das Approximationsmodell mit der besten Prognosefähigkeit abschließend vorteilhafterweise unter Verwendung aller zur Verfügung stehender realer Parameter-Zielgrößen-Punkte erstellt. Im Beispiel werden etwa, nachdem festgestellt worden ist, daß das quadratische Approximationsmodell den geringeren Prognosefehler aufweist, die Koeffizienten k_j mittels der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (Least-Square-Method) so berechnet, daß die Summe der Quadrate der Abweichungen gⁱ - ≙^I(pⁱ); i = 1, . . ., I minimal wird.
Vorteilhafterweise können dabei "Ausreißer", i. e. reale Parameter-Zielgrößen-Punkte, die offensichtlich (aufgrund von Meß-, Rundungsfehlern etc.) fehlerhaft sind, vorher eliminiert werden. In einer bevorzugten Ausführung kann ein Ausreißer etwa anhand eines deutlich über dem Mittelwert liegenden Prognosefehlers erkannt werden.
Gleichermaßen können an Stelle der oben erläuterten Prognosefehler als Bewertungsgrößen für die Approximationsmodelle etwa das Bestimmtheitsmaß oder das adjustierte Residuum verwendet werden.
In der hier beschriebenen Ausführung wird nun in Schritt S35 vom Computer entschieden, welches der beiden Approximationsmodelle ≙₁, ≙₂ die bessere Prognosefähigkeit aufweist, d. h. welcher Prognosefehler Δ₁, Δ₂ geringer ist. Dieses Modell wird als Approximationsmodell ≙ mit der besten Prognosefähigkeit ausgewählt. In dargestellten Beispiel ist der Prognosefehler des quadratischen Regressionsmodells geringer als der des linearen Modells.
In Schritt S40 prüft der Computer, ob der Prognosefehler des ausgewählten Approximationsmodells unterhalb einer voreingestellten Schranke liegt, ob also das in Schritt S35 ermittelte "beste" Approximationsmodell eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist.
Ist dies der Fall, so verwendet der Computer in Schritt S100 dieses Approximationsmodell in einem Optimierer. Hierzu kann der Computer vorteilhafterweise in Schritt S90 einen für das gewählte Approximationsmodell besonders geeigneten Optimierer auswählen. Im dargestellten Beispiel wählt der Computer etwa einen Optimierer, der durch Lösen eines linearen Gleichungssystems, das sich durch analytisches Differenzieren des quadratischen Regressionsmodells ergibt, das Maximum des Approximationsmodells ermittelt, da dieser bei dem quadratischen Regressionsmodell am effizientesten arbeitet. Gleichermaßen kann auch stets der selbe Optimierer, etwa ein SQP-Optimierer verwendet werden, der im Mittel ein besonders effizientes Optimierungsverfahren darstellt.
Der Optimierer verwendet also das Approximationsmodell zur Berechnung weiterer benötigter Parameter-Zielgrößen-Punkte P^j = (p^j; g^j) und/oder von Gradienten

(und evtl.
Dadurch kann die Zeitintesive Beschaffung weiterer realer Parameter-Zielgrößen- Punkte, etwa durch zusätzliche Versuche und/oder Simulationen, vermieden werden, der Optimierungsprozeß wird deutlich schneller. Schließlich findet der Optimierer den gesuchten optimalen Parametersatz p*.
In einer besonders bevorzugten Ausführung wird für den so gefundenen optimalen Parametersatz p* der reale Parameter-Zielgrößen-Punkt P* = (p*; g*) bestimmt (beispielsweise durch eine Simulation). In einer bevorzugten Ausführung werden in der Nähe des gefundenen optimalen Parametersatz p* weitere reale Parameter-Zielgrößen- Punkte generiert (Schritte S5 bzw. S10) und das oben beschriebene Verfahren (Schritte S20 bis S100 bzw. S200) rekursiv so lange wiederholt, bis eine übliche Abbruchbedingung (Anzahl der maximalen Iterationen erreicht, geforderter Wert für Zielgröße erreicht oder dergleichen) erfüllt ist, d. h., es werden unter Verwendung der zusätzlichen realen Parameter-Zielgrößen-Punkte wiederum Approxiamtionsmodelle erzeugt, deren Prognosefähigkeit bewertet, das beste selektiert und geprüft, ob die Prognosefähigkeit dieses besten Modells einen vorgegebenen Grenzwert übersteigt.
Stellt der Computer in Schritt S40 fest, daß der Prognosefehler des ausgewählten Approximationsmodells oberhalb der voreingestellten Schranke liegt, so verwirft er das Approximationsmodell als ungeeignet. Er verwendet statt dessen nur reale Parameter- Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ), um damit einen Optimalwert zu finden. Hierzu sind besonders sogenannte stochastische Optimierer geeignet, die nicht auf "glatte" bzw. "stetige" Parameter-Zielgrößen-Zusammenhängen aufbauen. Beispielsweise zählen zu diesen stochastischen Optimierern sogenannte Pertubationsoptimierer, die zufällige Parametersätze erzeugen und ausgehend von dem dabei auftretenden besten Wert (Zwischenoptimum) wiederum zufällige Parametersätze generieren. Ein anderer Ansatz sind evolutionsbasierte Optimierer, die ebenfalls eine (stochastische) "Anfangspopulation" von Parametersätzen erzeugen, diese mittels "fittest-surfive"-Kriterien selektieren und anschließen mittels Rekombination (= Vererbung) und/oder Mutation neue "Kinderpopulationen" erzeugen.
Für solche Optimierer kann es notwendig sein, weitere Parameter-Zielgrößen-Punkte zeitintesiv zu beschaffen, indem weitere Versuche und/oder Simulationen durchgeführt werden. Dies ist hier notwendig, da in Schritt S10 kein geeignetes Approximationsmodell gefunden wurde. Steht fest, daß die Beschaffung weitere Parameter-Zielgrößen-Punkte nicht möglich (da sie beispielsweise nur aus empirischen Daten ermittelt wurden) oder zu aufwendig (da beispielsweise auch der stochastische Optimierer so viele zusätzliche reale Punkte benötigt, daß diese in der zur Verfügung stehenden Entwicklungszeit nicht simuliert werden können) ist, kann in Schritt S40 auch entschieden werden, daß das System mit den vorhandenen Verfahren nicht optimierbar ist und die Optimierung abgebrochen werden. Als "suboptimale" Lösung kann dann das bis dahin ermittelte Optimum gewählt werden.
In einer vorteilhaften Ausführung kann, falls in Schritt S40 festgestellt wird, daß die Prognosefähigkeit des (ausgewählten) Approximationsmodells zu gering ist, das Verfahren zu Schritt S20 zurückkehren und weitere Approximationsmodelle erzeugen, wobei die später erzeugten Approximationsmodelle sukzessive komplexer werden. Im erläuterten Beispiel könnte etwa in einem ersten Durchlauf ein lineares Regressionsmodell erstellt werden. Nachdem in Schritt S40 festgestellt wird, daß die Prognosefähigkeit dieses Modells zu gering ist, kehrt das Verfahren zu Schritt S20 zurück und erzeugt als nächstkomplexeres Approximationsmodell ein quadratisches Regressionsmodell, für das in Schritt S40 dann festgestellt wird, daß es eine ausreichende Prognosefähigkeit besitzt. Hierdurch kann die Generierung unnötig vieler und komplexer Approximationsmodelle verhindert werden, falls diese nicht erforderlich sind. Hier sei darauf hingewiesen, daß komplexere Modelle keinesfalls stets eine bessere Prognosefähigkeit aufweisen - beispielsweise verursachen Rundungsprobleme oder das bekannte "Aufschwingen" zwischen den Stützstellen bei Polynomansätzen bei zunehmender Komplexität u. U. eine verringerte Prognosefähigkeit.
Gleichermaßen kann, falls in Schritt S40 festgestellt wird, daß die Prognosefähigkeit des (ausgewählten) Approximationsmodells aufgrund einer zu kleinen Datenbasis (i. e. Menge der realen Parameter-Zielgrößen-Punkte) zu gering ist, das Verfahren zu Schritt S5 bzw. S10 zurückkehren und weitere reale Parameter-Zielgrößen-Punkten erzeugen bzw. erfassen, wobei anschließend wiederum Approximationsmodelle auf Grundlage der solchermaßen vergrößerten Datenbasis erstellt werden. Im erläuterten Beispiel könnte etwa in einem ersten Durchlauf festgestellt werden, daß nur drei reale Parameter-Zielgrößen- Punkte vorhanden sind. Daraufhin würde in Schritt S40 festgestellt, daß die Prognosefähigkeit des quadratischen Modells zu gering ist, da zur sinnvollen Bestimmung der Koeffizienten wenigstens drei Punkte und zur Bewertung des Prognosefehlers ein vierter Punkt notwendig sind. Daher kehrt das Verfahren zu Schritt S5 zurück und erzeugt einen weiteren reale Parameter-Zielgrößen-Punkt. Hierdurch kann die Generierung unnötig vieler realer Parameter-Zielgrößen-Punkte verhindert werden, falls diese nicht erforderlich sind.

Claims

1. Computergestütztes Verfahren zum Optimieren von Parametern eines Systems, das die Schritte umfaßt:
Erfassen (S10) von realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ);
Generierung (S20) von wenigstens einem erstem Approximationsmodell ≙(p);
Validierung (S30) dieses ersten Approximationsmodells;
Entscheidung (S40), ob das erste Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist;
Verwendung (S100) des ersten Approximationsmodell ≙(p) in einem Optimierer, falls das Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist; und
Verwendung (S200) von realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) in einem Optimierer, falls das Approximationsmodell ≙(p) keine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß es weiter umfaßt:
Generieren (S20) von wenigstens einem zweiten Approximationsmodell;
Validierung (S30) aller generierter Approximationsmodells;
Selektion (S35) des Approximationsmodells aus allen generierten Approximationsmodellen, das die beste Prognosefähigkeit aufweist, als das erste Approximationsmodell.

3. Verfahren nach wenigstens einem der vorhegehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß
falls das erste Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist und in einem Optimierer verwendet wird (S100),
ein für dieses Approximationsmodell geeigneter Optimierer aus einer Menge vorhandener Optimierer ausgewählt wird (S90).

4. Verfahren nach wenigstens einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß
falls das Approximationsmodell ≙(p) keine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist und reale Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) in einem Optimierer verwendet werden (S200),
ein für die Optimierung der realen Parameter-Zielgrößen-Punkte geeigneter Optimierer aus einer Menge vorhandener Optimierer ausgewählt wird (S190).

5. Verfahren nach Anspruch 3 oder 4, dadurch gekennzeichnet, daß die Menge vorhandener Optimierer umfaßt:
Achsparallele Suche, (Konjugierte-)Gradientenverfahren, (Quasi-)Newton- Verfahren, Simplexverfahren, Straffunktionsverfahren, Verfahren der zulässigen Richtung, Muliplikatoren-Straffunktionsverfahren, Sequentielle Quadratische Programmierung (SQP), Complex-Methode, Simuliertes Ausglühen, Evolutionäre Algorithmen, Hierarische Optimierer, Dynamische Programmierung (Bellman), (Diskrete) stochastische Dynamische oder LQ-Optimierung und/oder Lineare Quadratische Gauss-Optimierung.

6. Verfahren nach wenigstens einem der vorhegehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die realen Parameter-Zielgrößen-Punkte P = (pⁱ; gⁱ) systematisch erzeugt werden (S5), indem zunächst nach einem vorgegebenen Verfahren Parametersätze pⁱ generiert und für diese die jeweiligen Zielgrößen gⁱ ermittelt werden.

7. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Parametersätze pⁱ generiert werden, indem eine bestimmte Verteilung der einzelnen Parameter verwendet wird, insbesondere eine Normal- oder eine Gleichverteilung, und die einzelnen Parameter eines Parametersatzes entsprechend dieser Verteilung gewählt werden.

8. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Parametersätze pⁱ generiert werden, indem die einzelnen Parameter eines Parametersatzes stochastisch generiert werden.

9. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Parametersätze pⁱ mittels eines Design-Of-Experiment-Verfahrens generiert werden.

10. Verfahren nach Anspruch 6, dadurch gekennzeichnet, daß die jeweiligen Zielgrößen gⁱ durch Simulation und/oder Versuch ermittelt werden.

11. Verfahren nach wenigstens einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Validierung des bzw. der Approximationsmodelle die Ermittlung der Prognosefähigkeit des jeweiligen Approximationsmodells mittels Bestimmtheitsmaß, adjustiertem Residuum, Residuenplot, 1-Punkt-Validierung und/oder Kreuzvalidierung umfaßt.

12. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß,
falls festgestellt wird, daß die Prognosefähigkeit des ersten Approximationsmodells nicht ausreicht (S40 "NEIN"):
wenigstens ein zweites Approximationsmodell generiert wird (S20);
dieses zweite Approximationsmodell validiert wird (S30);
das zweite Approximationsmodell als das erste Approximationsmodell selektiert wird; und
obige Schritte solange wiederholt werden, bis die Prognosefähigkeit des ersten Approximationsmodells ausreicht oder eine Abbruchbedingung erfüllt, insbesondere eine vorgegebene Anzahl von Iterationsschritte erreicht ist.

13. Verfahren nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, daß das zweite Approximationsmodell komplexer ist als das erste Approximationsmodell.

14. Verfahren nach wenigsten einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß, falls festgestellt wird, daß die Menge der erfaßten realen Parameter-Zielgrößen-Punkte nicht ausreicht (S40 "NEIN"):
wenigstens ein weiterer realer Parameter-Zielgrößen-Punkt erfaßt wird (S10); und
die Schritte S10 bis S40 solange wiederholt werden, die Menge der erfaßten realen Parameter-Zielgrößen-Punkte ausreicht oder eine Abbruchbedingung erfüllt, insbesondere eine vorgegebene Anzahl von Iterationsschritte erreicht ist.

15. Verfahren nach wenigstens einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß ein Approximationsmodell
eine Regressionsfunktion, insbesondere Polynome, e-, logarithmische und/oder trigonometrische Funktionen, B-Splines oder dergleichen der Parameter;
ein Kriging-Modell und/oder
ein neuronales Netz
umfaßt, die bzw. das Parameter auf Zielgrößen abbildet.

16. Computerprogrammprodukt, das direkt oder nach Durchführen einer vorbestimmten Routine indirekt im Zusammenwirken mit einem Computer oder einem Computersystem ein Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 15 durchführt.

17. Computersystem, das eine Einrichtung zur Durchführung eines Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 15 umfaßt.

18. Vorrichtung zum Optimieren von Parametern eines Systems, das umfaßt:
Mittel zum Erfassen (S10) von realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ);
Mittel zur Generierung (S20) von wenigstens einem erstem Approximationsmodell ≙(p);
Mittel zur Validierung (S30) dieses ersten Approximationsmodells;
Mittel zur Entscheidung (S40), ob das erste Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist;
Mittel zur Verwendung (S100) des ersten Approximationsmodell ≙(p) in einem Optimierer, falls das Approximationsmodell ≙(p) eine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist,; und
Mittel zur Verwendung (S200) von realen Parameter-Zielgrößen-Punkten Pⁱ = (pⁱ; gⁱ) in einem Optimierer, falls das Approximationsmodell ≙(p) keine ausreichende Prognosefähigkeit aufweist.