DE102022209664A1 - Vorrichtung und Verfahren zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls mittels einer Multilateration - Google Patents

Abstract

Die vorliegende Erfindung betrifft eine Vorrichtung (10) zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls (11) mittels einer Multilateration und ein zugehöriges Verfahren. Die Vorrichtung (10) umfasst mehrere Funkknoten (1, 2, 3), welche in einer vordefinierten relativen Lage zueinander angeordnet sind, wobei jeder der Funkknoten (1, 2, 3) dazu eingerichtet ist, einen zugehörigen Abstand (4, 5, 6) zu dem Funkmodul (11) zu ermitteln, und eine Berechnungseinheit (7), welche dazu eingerichtet ist die Position des Funkmoduls (11) basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten (1, 2, 3) zu berechnen. Dabei werden linearisierte Gleichungen für das Berechnen der Position des Gleichungssystems basierend auf einem bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehler generiert.

Description

• Stand der Technik
• Die vorliegende Erfindung betrifft eine Vorrichtung und Verfahren zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls mittels einer Multilateration.
• In aktuellen Fahrzeugen werden unter anderem auch Systeme eingesetzt die eine Positionsbestimmung von mobilen Einheiten ermöglichen. So ist es beispielsweise möglich, dass eine Position eines mobilen Kommunikationsmoduls, beispielsweise eines Mobilfunktelefons oder eines sogenannten Key-Tags, ermittelt wird. Basierend auf der Erfassten Position werden bestimmte Funktionen bereitgestellt. So wird beispielsweise ein Entsperren oder Starten des Fahrzeugs ermöglicht.
• Für das Bestimmen der Position wird dabei oftmals eine sogenannte Multilateration genutzt. Die Position des mobilen Funkmoduls wird dabei über die Kommunikation mit sogenannten Ankern, im Folgenden auch als Funkknoten bezeichnet, berechnet. Durch diese Kommunikation wird die Entfernung (oft als Reichweite bezeichnet) vom mobilen Funkmodul zu jedem Funkknoten erhalten, zum Beispiel durch die Flugzeit der Kommunikation. Diese Daten werden aggregiert, um die Position des mobilen Funkmoduls zu berechnen.
• Da in der Realität jedoch nicht immer exakt korrekte Entfernungen gemessen werden, ist es notwendig ein Lösungsverfahren für die der Multilateration zugrundeliegenden Berechnungen zu nutzen, das eine Handhabung dieser Fehler ermöglicht und ein möglichst genaues präzises Ermitteln der Position ermöglicht.
• Offenbarung der Erfindung
• Die erfindungsgemäße Vorrichtung zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls mittels einer Multilateration umfasst mehrere Funkknoten, welche in einer vordefinierten relativen Lage zueinander angeordnet sind, wobei jeder der Funkknoten dazu eingerichtet ist, einen zugehörigen Abstand zu dem Funkmodul zu ermitteln, und eine Berechnungseinheit, welche dazu eingerichtet ist die Position des Funkmoduls basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten zu berechnen. Die Berechnungseinheit ist dazu eingerichtet die Position durch Lösen eines Gleichungssystems wiederholt zu berechnen, wobei das Gleichungssystem jeweils eine Abstandsgleichung für jeden der Funkknoten umfasst, wobei jede der Abstandsgleichungen in einem gemeinsamen Bezugssystem einen Zusammenhang zwischen dem Abstand zwischen dem Funkmodul und dem der Abstandsgleichung zugehörigen Funkknoten sowie einem zugehörigen Fehler beschreibt, das Gleichungssystem bei jedem Berechnen der Position basierend auf einer Linearisierung des Gleichungssystems gelöst wird, wobei die Linearisierung der Gleichungssystems mehrere linearisierte Gleichungen umfasst, und die linearisierten Gleichungen für das Berechnen der Position basierend auf einem bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehler generiert werden.
• Das erfindungsgemäße Verfahren zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls mittels einer Multilateration, umfasst ein Ermitteln eines jeweils zugehörigen Abstand zu dem Funkmodul durch mehrere Funkknoten, welche in einer vordefinierten relativen Lage zueinander angeordnet sind, und ein Berechnen der Position des Funkmoduls basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten, wobei das Gleichungssystem jeweils eine Abstandsgleichung für jeden der Funkknoten umfasst, wobei jede der Abstandsgleichungen in einem gemeinsamen Bezugssystem einen Zusammenhang zwischen dem Abstand zwischen dem Funkmodul und dem der Abstandsgleichung zugehörigen Funkknoten sowie einem zugehörigen Fehler beschreibt, das Gleichungssystem bei jedem Berechnen der Position basierend auf einer Linearisierung des Gleichungssystems gelöst wird, wobei die Linearisierung der Gleichungssystems mehrere linearisierte Gleichungen umfasst, und die linearisierten Gleichungen für das Berechnen der Position basierend auf einem bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehler generiert werden.
• Das mobile Funkmodul ist insbesondere ein Funkmodul, durch welches eine Datenkommunikation zu den Funkmodulen bereitgestellt wird. Die Funkknoten sind insbesondere UWB-Module oder BLE-Module. Der Abstand zu dem mobilen Funkmodul wird durch die Funkknoten beispielsweise durch eine Flugzeit der Funkkommunikation zwischen dem mobilen Funkmodul und dem jeweiligen Funkknoten ermittelt. Die Berechnungseinheit ist bevorzugt eine eigenständige Einheit, die mit den Funkknoten gekoppelt ist oder ist eine Komponente eines oder mehrerer der Funkknoten.
• Das Gleichungssystem umfasst für jeden der Funkknoten eine Abstandsgleichung, typischerweise eine quadratische Gleichung, welche die Position des mobilen Funkmoduls gegenüber dem jeweiligen Funkknoten in dem gemeinsamen Bezugssystem definiert.
• Die Berechnungseinheit ist dazu eingerichtet die Position durch Lösen des Gleichungssystems aus Abstandsgleichungen wiederholt zu berechnen. Dabei basiert das Gleichungssystem für jedes Lösen jeweils auf aktuellen von den Funkknoten erfassten Abständen. Bei dem widerholten berechnen der Position des mobilen Funkmoduls wird bei jedem Berechnungsdurchgang für jeden der Funkknoten ein zugehöriger Fehler berechnet, welcher beschreibt, wie weit der von dem jeweiligen Funkknoten messtechnisch erfasste Abstand von dem Abstand abweicht, der sich aus der berechneten Position des mobilen Funkmoduls gegenüber dem jeweiligen Funkknoten für diesen Berechnungsdurchgang ergibt.
• Das Berechnen der Position des Funkmoduls basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten erfolgt durch ein Lösen des Gleichungssystems. Dabei fließt der durch jeden der Funkknote ermittelte Abstand in die diesem Funkknoten zugehörige Gleichung ein. Da die Gleichung die Position des mobilen Funkmoduls in dem gemeinsamen Bezugssystem definiert fließen auch die relative Lage der Funkmodule zueinander in die den Funkknoten zugehörigen Abstandsgleichung und somit in das Gleichungssystem ein.
• Um das Gleichungssystem zum Berechnen der Lage des mobilen Funkmoduls zu lösen erfolgt eine Linearisierung des Gleichungssystems und im Weiteren ein minimieren des Fehlerquadrats. Die Linearisierung kann dabei in unterschiedlicher Weise erfolgen. Erfindungsgemäß ist diese abhängig von dem Fehler, der sich aus einer zuvor erfolgten Berechnung der Position des Funkmoduls für einen oder mehrere der Funkknoten ergeben hat. Der Fehler ist dabei insbesondere ein erfasster Abstand eines Funkknoten abzüglich eines rechnerischen Abstands des Funkknoten zu dem mobilen Funkmodul, der sich zu der berechneten Position des Funkmoduls ergibt.
• Gegenüber einer herkömmlichen Gradientenmethode weist diese Herangehensweise einige Vorteile auf. So kann die Gradientenmethode zwar auch potentiell alle Informationen aller Funkknoten nutzen, um zu einem präzisen Ergebnis zu gelangen, jedoch weist die Gradientenmethode in der Praxis einige Nachteile auf. So werden für diese beispielsweise eine initiale Werte für die Koordinaten der Position des mobilen Funkmoduls benötigt. Auch kann es dazu kommen, dass ein Lösungsansatz in einem lokalen Minimum endet. Zudem ist eine Abwägung zwischen Berechnungsaufwand und Genauigkeit abhängig von der Anzahl von Berechnungsschritten und einem Parameter α. Dabei ist es jedoch schwer abzuschätzen, wie viele Berechnungsschritte zum Erlangen einer hinreichenden Genauigkeit benötigt werden. Auch kann schwer ermittelt werden, welche Genauigkeit gefordert werden soll. Mehr Gleichungen führen zu einer höheren Komplexität, jedoch nicht zwingend zu einem genaueren Ergebnis.
• Es ist daher vorteilhaft ein Algebraisches Verfahren, wie dies mit der vorliegenden Erfindung gegeben ist, zu nutzen, um die gesuchte Position zu ermitteln. Dadurch wird keine Initialisierung benötigt und es ergibt sich keine Problematik durch lokale Minima. Zudem kann ein Berechnungsaufwand vorab ermittelt werden und eine notwendige Hardware entsprechend dimensioniert werden.
• Zusammenfassend sind die wünschenswerten Eigenschaften des Lokalisierungsverfahrens:
• - Vorhersagbarer, niedriger Rechenaufwand;
• - Konsistente Leistung in allen Fällen, einschließlich Eckfällen (wie Abdeckungen einer Signalübertragung) durch Auswahl, Entfernung oder Anpassung des sogenannten Rangings; und
• - Reaktivität auf Umgebungsänderungen, wie z. B. beim Bewegen der mobilen Einheit um das Fahrzeug herum.
• Die Unteransprüche zeigen bevorzugte Weiterbildungen der Erfindung.
• Bevorzugt wird jede der linearisierten Gleichungen der für das Berechnen der Position verwendeten Linearisierung basierend auf einer jeweiligen Subtraktion der Abstandsgleichung, die gemäß einem vorangegangenen Berechnen der Position den geringsten zugehörigen Fehler aufweist, und jeweils einer der übrigen Abstandsgleichungen generiert. Die Linearisierung der für das Berechnen verwendeten Abstandsgleichungen erfolgt somit basierend auf der Abstandsgleichung die in einem vorangegangenen Berechnungsdurchgang zu einem geringsten Fehler geführt hat, also dem Funkknoten zugehörig ist, der den Abstand zu dem Funkmodul gemäß der erfolgten Berechnung besonders genau erfasst hat. Die übrigen Abstandsgleichungen, oder zumindest einige der übrigen Gleichungen, werden durch eine Subtraktion mit dieser Abstandsgleichungen linearisiert. Die linearisierten Gleichungen, also die linearisierten Abstandsgleichungen, werden nach dem durch diese linearisierten Gleichungen beschrieben Gesamtfehler minimiert. Die sich daraus ergebende Position ist die Position des mobilen Funkmoduls.
• Bevorzugt ist jede der linearisierten Gleichungen einem der Funkknoten zugehörig und jede der linearisierten Gleichungen wird basierend auf dem zugehörigen Fehler des zugehörigen Funkknoten gewichtet, wobei die zugehörigen Fehler bei dem vorangegangenen Berechnen der Position berechnet werden, und wobei ein ansteigender Fehler zu einer absinkenden Gewichtung führt. Der Fehler wird dabei insbesondere als Gewichtungsfaktor verwendet. Weiter bevorzugt wird ausschließlich der zugehörige Fehler, der bei dem vorangegangenen Berechnen der Position berechnet wurde, und kein weiterer variabler Parameter zur Gewichtung verwendet. Es werden somit die linearisierten Gleichungen mit weniger Gewicht in die Lösung des linearen Gleichungssystems eingebracht, die vermeintlich mit einem höheren Fehler beaufschlagt sind. Da der Fehler sich aus den Berechnungen vorausgegangener Berechnungsdurchläufe ergibt, die wiederum auf realen Messungen der Funkknoten basieren, fließt somit eine Messgenauigkeit einzelner Funkknoten in das zu lösende Gleichungssystem ein. Es wird somit vermieden, dass ein einzelner Funkknoten, der lediglich sehr ungenau Messwerte liefert bei der Fehlerminimierung eine dominante Rolle einnimmt. Die Position des mobilen Funkmoduls kann somit präziser bestimmt werden. Eine linearisierte Gleichung ist dem Funkknoten zugehörig basierend auf dessen Abstandsgleichung sie in Kombination mit der Abstandgleichung des Knoten mit geringstem Fehler berechnet wurde.
• Bevorzugt ist jede der Abstandsgleichung einem der Funkknoten zugehörig und nur eine Auswahl der Abstandsgleichung wird für das Berechnen der Position verwendet. Das bedeutet mit anderen Worten, dass die Abstandsgleichungen bestimmter Funkknoten nicht in das Gleichungssystem Einzug nehmen. Dies ist möglich, da typischerweise mehr Funkknoten zur Verfügung stehen, als Abstandsgleichung für ein eindeutiges Definieren der Position des mobilen Funkmoduls benötigt werden. Das Gleichungssystem ist somit typischerweise überbestimmt, was dazu führen kann, dass schlechte Messergebnisse einzelner Funkknoten die ermittelte Position des mobilen Funkmoduls von der tatsächlichen Position abweichen lassen. Auch kann ein Berechnungsaufwand auf diese Weise minimiert werden.
• Bevorzugt umfasst die Auswahl der Abstandsgleichungen eine vordefinierte Anzahl von Gleichungen und die Abstandsgleichungen der Auswahl sind den Funkknoten zugehörig, welche die niedrigsten zugehörigen Fehler aufweisen. So ist beispielsweise eine Anzahl von Funkknoten vordefiniert, die zu einer hinreichenden Anzahl von Abstandsgleichungen führen, um das zu lösende Gleichungssystem eindeutig zu bestimmen. Die Informationen der entsprechenden Anzahl von Funkknoten, welche auch die sind, die in dem vorangegangenen Berechnungsdurchgang zu den geringsten Fehlern geführt haben, wird zum Berechnen der Position des mobilen Funkmoduls genutzt.
• Bevorzugt sind die Abstandsgleichungen der Auswahl zugehörig, deren zugehöriger Fehler unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt. Es werden somit die Abstandsgleichungen genutzt, die bei einem vorangegangenen Berechnen der Position zu einem geringsten Fehler geführt haben. Es werden somit umgekehrt die Informationen der Funkknoten mit geringer Genauigkeit nicht für das Berechnen der Position des mobilen Funkmoduls genutzt.
• Bevorzugt sind genau vier Abstandsgleichungen der Auswahl zugehörig, wenn die Position in einem zweidimensionalen Bezugssystem berechnet wird, und es sind genau fünf Abstandsgleichungen der Auswahl zugehörig, wenn die Position in einem dreidimensionalen Bezugssystem berechnet wird. Bei einer entsprechenden Auswahl der Anzahl von Abstandsgleichungen ist das zu lösende Gleichungssystem eindeutig bestimmt.
• Bevorzugt erfolgt das Lösen eines Gleichungssystems für das Berechnen der Position mittels eines Verfahrens zum Minimieren eines Fehlerquadrats. Es werden somit die Parameter für die zu berechnende Position in den Abstandsgleichungen so gewählt, dass diese zu einem minimalen resultierenden Gesamtfehler führen.
• Bevorzugt sind die Funkknoten in einem Fahrzeug angeordnet. Dadurch können beispielsweise funkgestützte Steuerelemente, wie z.B. Mobilfunktelefone, Schlüssel oder Wearables (z.B. Smartwatches), schnell lokalisiert werden. Auch ist bei einer solchen Anordnung eine relative Lage der Funkknoten zueinander bekannt.
• Ein System zur Positionsbestimmung, welches die erfindungsgemäße Vorrichtung zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls und das Funkmodul umfasst weist alle Vorteile der erfindungsgemäßen Vorrichtung auf.
• Kurze Beschreibung der Zeichnung(en)
• Nachfolgend werden Ausführungsbeispiele der Erfindung unter Bezugnahme auf die begleitende Zeichnung im Detail beschrieben. In der Zeichnung ist:
• 1 eine schematische Darstellung zur Illustration der Multilateration,
• 2 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß einer ersten Ausführungsform für eine Positionsbestimmung in der Ebene,
• 3 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der ersten Ausführungsform für eine Positionsbestimmung im 3D-Raum,
• 4 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß einer zweiten Ausführungsform für eine Positionsbestimmung in der Ebene,
• 5 weitere Details zu dem in 4 gezeigten Verfahren,
• 6 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der zweiten Ausführungsform für eine Positionsbestimmung im 3D-Raum,
• 7 weitere Details zu dem in 6 gezeigten Verfahren,
• 8 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß einer dritten Ausführungsform für eine Positionsbestimmung in der Ebene, und
• 9 ein Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der dritten Ausführungsform für eine Positionsbestimmung im 3D-Raum.
• Ausführungsformen der Erfindung
• 1 zeigt eine schematische Darstellung zur Illustration der Multilateration, wie diese auch durch eine beispielhafte erfindungsgemäße Vorrichtung 10 ausgeführt wird. Die Vorrichtung 10 ist dazu eingerichtet eine Position eines mobilen Funkmoduls 11 mittels der Multilateration, zu erfassen.
• Die Vorrichtung 10 umfasst mehrere Funkknoten 1, 2, 3, welche in einer vordefinierten relativen Lage zueinander angeordnet sind. So sind die Funkknoten 1, 2, 3 beispielsweise an jeweils einer vordefinierten Position in einem Fahrzeug angeordnet. Bei dem in 1 gezeigten Beispiel umfasst die Vorrichtung 10 einen ersten Funkknoten 1, einen zweiten Funkknoten 2 und einen dritten Funkknoten 3. Es wird jedoch darauf hingewiesen, dass die Vorrichtung bevorzugt mehr als drei Funkknoten aufweist, da die Anzahl von drei Funkknoten eine minimale Anzahl von Funkknoten ist, welche benötigt wird, um die Position des Funkmoduls 11 eindeutig in einer Ebene zu erfassen. So wird beispielsweise eine minimale Anzahl von vier Funkknoten benötigt, um die Position des Funkmoduls 11 eindeutig im dreidimensionalen Raum zu erfassen. Auch aus einer Verwendung von mehr als der zuvor genannten minimalen Anzahl der Funkknoten ergeben sich Vorteile, die im Folgenden noch erläutert werden.
• Jeder der Funkknoten 1, 2, 3 ist dazu eingerichtet, einen zugehörigen Abstand 4, 5, 6 zu dem mobilen Funkmodul 11 zu ermitteln. Dazu erfolgt beispielsweise eine Funk-Kommunikation zwischen dem jeweiligen Funkknoten 1, 2, 3 und dem mobilen Funkmodul 11 und der zugehörige Abstand 4, 5, 6 wird aus einer Signallaufzeit der Funk-Kommunikation ermittelt. So wird beispielsweise von dem ersten Funkknoten 1 ein erster Abstand 4 ermittelt, der auch als n bezeichnet wird. Von dem zweiten Funkknoten 2 wird ein zweiter Abstand 5 ermittelt, der auch als r₂ bezeichnet wird. Von dem dritten Funkknoten 3 wird ein dritter Abstand 6 ermittelt, der auch als r₃ bezeichnet wird.
• Allgemein wird durch den Index eines Parameters im Folgenden eine Zugehörigkeit zu einem Funkknoten beschrieben. Die Vorrichtung umfasst 1 bis n Funkknoten. Dabei beschreibt der Parameter r_i den Ermittelten Abstand eines i-ten Funkknoten aus den n Funkknoten. Jeder der Funkknoten ist in einem gemeinsamen Bezugssystem angeordnet, wobei ein i-ter Funkknoten an den Koordinaten x_i, y_i, z_i angeordnet ist.
• Die Vorrichtung umfasst eine Berechnungseinheit 7, welche dazu eingerichtet ist die Position des Funkmoduls 11 basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten 1, 2, 3 zu berechnen. Die Berechnungseinheit 7 ist entweder eine eigenständige Einheit oder wird durch einen oder mehrere der Funkknoten 1, 2, 3 gebildet. Durch die Berechnungseinheit 7 werden die notwendigen Berechnungen für die ausgeführte Multilateration ausgeführt, welche auf in den hier beschrieben Ausführungsformen durchgeführt werden.
• Hinsichtlich der Multilateration ist aus 1 ersichtlich, dass durch die drei Abstände 4, 5, 6 für jeden der Funkknoten, auch als Anker bezeichnet, ein Radius definiert wird, welche jeweils einen Kreis um den zugehörigen Funkknoten aufspannen. Das mobile Funkmodul muss sich auf dem Schnittpunkt dieser Kreise befinden.
• In der Praxis sind die gemessenen Abstände 4, 5, 6 jedoch potentiell fehlerbehaftet, da diese aus Abstandsmessungen hervorgehen, die beispielsweise durch ein Rauschen verfälscht sein können. So ist beispielsweise ein Rahmen des Fahrzeuges, in dem die Funkknoten 1, 2, 3 angeordnet sind, aus Metall gefertigt und es ergeben sich Abstandsmesswerte, bei denen die Funk-Kommunikation über Reflexionspfade ausgeführt wurde, da keine direkte Sichtlinie zwischen Funkknoten 1, 2, 3 und mobilem Funkmodul 11 gegeben war. Eine genaue Positionsbestimmung ist jedoch dann gegeben, wenn eine Messung des Abstandes bei bestehender Sichtverbindung ausgeführt wurde. Daher ist es notwendig, dass eine hinreichend hohe Anzahl von Funkknoten verbaut ist, damit unabhängig von der aktuellen Position des mobilen Funkmoduls eine hinreichende Anzahl von Sichtverbindungen zu unterschiedlichen Funkknoten 1, 2, 3 gegeben ist. Daraus ergibt sich jedoch auch der Bedarf ein Verfahren für die Multilateration zu schaffen, welches eine hohe Anzahl von Funkknoten 1, 2, 3 handhaben kann, ohne zu ungewollt hohen Rechenaufwand zu führen. Dies ist durch die erfindungsgemäße Vorrichtung 10 gegeben. Diese ermöglicht eine genaue Positionsbestimmung, wenn das mobile Funkmodul aus großer Entfernung durch eine Vielzahl von Funkknoten bestimmt werden soll, wobei die erfassten Abstände rauschbehaftet und einige der erfassten Abstände möglicherweise vollständig falsch sind.
• Das einer Multilateration zugrundeliegenden Gleichungssystem ist wie folgt gegeben und ist im Folgenden für eine Multilateration in der Ebene beispielhaft beschrieben, dieses können jedoch in entsprechender Weise für den dreidimensionalen Raum erweitert werden.
• Bei einer Anzahl von n Funkknoten sind diese an den Positionen (x₁, y₁), (x₂, y₂),. .., (x_n, y_n), angeordnet und die unbekannte Position des mobilen Funkmoduls ist (x, y). Die Funkknoten messen den zugehörigen Abstand als r₁, r₂, ..., r_n, wobei dieser Vorgang oftmals auch als „ranging“ bezeichnet wird. Das mobile Funkmodul wird somit auf einem Kreis mit dem Radius r_i um den Funkknoten i angeordnet, welcher an der Position x_i, y_i angeordnet ist. Der einem Funkknoten zugehörige Fehler e_i, welcher auch als „ranging error“ bezeichnet wird, kann durch Rauschen oder Reflexionen bei der Messung verursacht sein.
• Es ergibt sich somit für die Anzahl von n Funkknoten das folgende Gleichungssystem: $$\{\begin{array}{c}{\left(x-x_1\right)}^2+{\left(y-y_1\right)}^2=r_1^2+e_1\\ {\left(x-x_2\right)}^2+{\left(y-y_2\right)}^2=r_2^2+e_2\\ \cdots \\ {\left(x-x_i\right)}^2+{\left(y-y_i\right)}^2=r_1^2+e_i\\ \cdots \\ {\left(x-x_n\right)}^2+{\left(y-y_n\right)}^2=r_2^2+e_n\end{array}$$

  
• Zur Lösung dieses Gleichungssystem gemäß dem Verfahren der kleinsten Quadrate sollen die Quadrate der Fehler minimiert werden. Es soll also ein Minimum der Funktion E(x, y) = e₁ ² +e₂ ² +...+e,² +... e_n ² gefunden werden. Damit gilt mit anderen Worten: $$E\left(x,y\right)={{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n\left({\left(x-x_i\right)}^2+{\left(y-y_i\right)}^2-r_i^2\right)}}^2.$$

  
• Der Gradientenansatz ist ein bekannter Algorithmus zur Bestimmung einer abgeschätzten Lösung für (x, y), durch welchen die zuvor genannte Gleichung minimiert wird. Der Gradientenansatz wird Cauchy 1847 zugeschriben und wurde von Curry 1944 formalisiert. Durch den Gradientenansatz wird nach Werten für x und y gesucht, die zu einem jeweils kleineren Wert von E(x, y) führen. Dabei wird der Gradient der Funktion E verwendet: $${\left[\begin{array}{c}\widehat{x}\\ \widehat{y}\end{array}\right]}_{k+1}={\left[\begin{array}{c}\widehat{x}\\ \widehat{y}\end{array}\right]}_k-\alpha {\left[\begin{array}{c}\frac{\partial E}{\partial x}\\ \frac{\partial E}{\partial x}\end{array}\right]}_{x={\widehat{x}}_k,y={\widehat{y}}_k}$$

  
• Es ist bekannt, dass dieses Multilaterationsproblem linearisiert werden kann. Es ist jedoch nicht offensichtlich, in welcher Weise dies bevorzugt erfolgen kann.
• Die in Gleichungssystem (1) dargestellten Gleichungen werden im Rahmen der vorliegenden Erfindung auch als Abstandsgleichungen bezeichnet. Jede der Abstandsgleichungen ins einem der Funkknoten 1, 2, 3 zugehörig, wobei der zugehörige Funkknoten durch den jeweils verwendeten Index angezeigt wird. Durch jede der Abstandsgleichungen wird in einem gemeinsamen Bezugssystem ein Zusammenhang zwischen dem Abstand 4, 5, 6 zwischen dem Funkmodul 11 und dem der Abstandsgleichung zugehörigen Funkknoten 1, 2, 3 sowie einem zugehörigen Fehler beschrieben. Das gemeinsame Bezugssystem ist dadurch gegeben, dass die Koordinatenwerte x_i und y_i auf ein gemeinsames Koordinatensystem bezogen sind. Um das Gleichungssystem zu lösen, also um die Werte von x und y zu ermitteln, welche die Position dem mobilen Funkmodul 11 beschreiben, wird dieses Linearisiert. Dies kann in unterschiedlicher Weise gemäß einer von mehreren möglichen Linearisierung des Gleichungssystems erfolgen. Bei der Linearisierung des Gleichungssystems erfolgt eine Kombination der Abstandsgleichungen, um diese in lineare Gleichungen zu wandeln. Dabei erfolgt ein Wählen der Linearisierung und somit ein Generieren der linearisierten Gleichungen der Linearisierung basierend auf einem bei einem bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehler.
• In einer ersten Ausführungsform der Erfindung erfolgt das Generieren der linearisierten Gleichungen der Linearisierung dadurch, dass jede der linearisierten Gleichungen der für das Berechnen der Position verwendeten möglichen Linearisierung basierend auf einer jeweiligen Subtraktion der Abstandsgleichung, die gemäß einem vorangegangenen Berechnen der Position den geringsten zugehörigen Fehler aufweist, und jeweils einer der übrigen Abstandsgleichungen.
• Um die aus Gleichungssystem (1) bekannten Abstandsgleichungen zu linearisieren, werden diese voneinander Subtrahiert, um die quadratischen Terme x² und y² zu eliminieren. Dies kann jedoch in unterschiedlicher Weise erfolgen, da gewählt werden kann, welche der Abstandsgleichungen von den anderen Abstandsgleichungen subtrahiert wird. Der zu minimierende Term ist: $${{\displaystyle {\sum }_{i=2}^n\left(e_i-e_1\right)}}^2$$

  
• Es ist jedoch zunächst unbekannt, welches paar von x und y zu einen kleinen Wert für diesen Term auch zu einem angestrebten kleinen Wert für $${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}$$

  

  führt. Allgemein gesprochen ist das sogar nicht zwingend der Fall, da ein großer Fehler e_i potentiell zu einer kleinen Summe der Quadrate (e_i - e₁)² führen kann, was z.B. der Fall ist, wenn alle e_i ähnlich e_i sind.
• In dieser ersten Ausführungsform wird daher die Abstandsgleichung mit dem kleinsten Quadratischen Fehler gewählt, um diese von den anderen Abstandsgleichungen zu subtrahieren. Dies wird beispielsweise dadurch erreicht, dass aus einer vorangegangenen Berechnung, also einer abgeschlossenen vorangegangenen Multilateration, die Abstandsgleichung mit dem kleinsten Fehler, insbesondere dem kleinsten Quadratischen Fehler, ausgewählt wird. Dabei wird beispielsweise in der vorangegangenen Multilateration die Fehler posteriori als Abweichung von einer ermittelten Position berechnet werden.
• So sei im Folgenden angenommen, dass der Funkknoten mit dem Index 1, beispielsweise der erste Funkknoten 1, bei einem Berechnungsvorgang einer Multilateration den kleinsten Quadratischen Fehler von allen beteiligten Funkknoten aufweist. Falls die Fehler e_i der anderen Funkknoten nahe dem Fehler des ersten Funkknoten e₁ sind, dann ist auch die Summe der Quadrate der Fehler $${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}$$

  

  nahe zu n * e₁ ², und diese sind somit ebenfalls gering. Falls die Fehler e_i deutlich größer als der Fehler e₁ sind, dann ist (e_i - e₁)² nahe bei e_i ². Das bedeutet, ein kleiner Wert von $${{\displaystyle {\sum }_{i=2}^n\left(e_i-e_1\right)}}^2$$

  

  führt ebenfalls zu einem kleinen Wert von $${\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{e}_i^2}.$$

  
• In beiden Fällen wird das gewünschte Ziel erreicht, das heißt, es wird ein guter Startpunkt für ein Minimieren der beiden zuletzt genannten Terme generiert.
• Im Folgenden werden weitere Details der Berechnungen der Multilateration beschrieben. Es sei weiterhin angenommen, dass der erste Funkknoten 1 mit dem Index „1“ den geringsten zugehörigen Fehler aufweist und die Berechnungen der Multilateration erneut in einer folgenden Iteration ausgeführt werden sollen.
• Das aus den Abstandsgleichungen gebildete Gleichungssystem ergibt sich dann wie Folgt:
• Zunächst, um die Berechnungen zu vereinfachen, wird der Ursprung des Bezugssystems auf x₁ , y₁ gesetzt. Das Bedeutet, die Position des mobilen Funkmoduls wird mit Bezug auf den ersten Funkknoten berechnet.
$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=r_1^2+e_1\hfill \\ {\left(x-x_2\right)}^2+{\left(y-y_2\right)}^2=r_2^2+e_2\hfill \\ \cdots \hfill \\ {\left(x-x_i\right)}^2+{\left(y-y_i\right)}^2=r_1^2+e_i\hfill \\ \cdots \hfill \\ {\left(x-x_n\right)}^2+{\left(y-y_n\right)}^2=r_2^2+e_n\hfill \end{array}$$

• Um ausgehend von diesen Quadratischen Abstandsgleichungen zu linearen Gleichungen zu gelangen erfolgt eine Linearisierung. Dies ist möglich, da x und y jeweils die gleichen Koeffizienten aufweisen. So wird die erste Abstandsgleichung von den übrigen Abstandsgleichungen subtrahiert und es ergibt sich ein lineares System aus n-1 linearisierten Gleichungen: $$\{\begin{array}{l}2x_2*x+2y_2*y=r_2^2-r_1^2-x_2^2-y_2^2+e_2-e_1\hfill \\ \dots \hfill \\ 2x_i*x+2y_i*y=r_i^2-r_1^2-x_i^2-y_i^2+e_i-e_1\hfill \\ \dots \hfill \\ 2x_n*x+2y_n*y=r_n^2-r_1^2-x_n^2-y_2^2+e_n-e_1\hfill \end{array}$$

  
• Es ist ersichtlich, dass jede der linearisierten Gleichungen des linearisierten Gleichungssystems (4), welches für das Berechnen der Position des mobilen Funkmoduls verwendet wird, basierend auf einer jeweiligen Subtraktion der Abstandsgleichung, die gemäß einem vorangegangenen Berechnen der Position den geringsten zugehörigen Fehler aufweist, und jeweils einer der übrigen Abstandsgleichungen generiert wird.
• Damit ergibt sich ein typisches Szenario zur Anwendung eines linearen Verfahren der geringsten Fehlerquadrate, auch „linear least square scenario“ genannt. Es werden nun die Quadrate der Fehler minimiert. Es gilt somit: $$\begin{array}{c}LS\left(x,y\right)={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{\left(2x_i*x+2y_i*y-r_i^2+r_i^2+x_i^2+y_i^2\right)}^2}\\ ={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{\left(a_{i\mathrm{,1}}x+a_{i\mathrm{,2}}y-b_i\right)}^2}\end{array}$$

  
• Die Bezeichnung a_i,1 = 2x_i, a_i,2 = 2y_i and b_i = r_i ² - r₁ ² - x_i ² - y_i ² wird für eine Vereinfachung der folgenden Berechnungen verwendet. Das gesuchte Minimum wird durch ein Lösen der folgenden Gleichungen gefunden: $$\frac{\partial LS\left(x,y\right)}{\partial x}=\mathrm{0,}\frac{\partial LS\left(x,y\right)}{\partial y}=0$$

  
• Mit anderen Worten: $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}\left(a_{i\mathrm{,1}}*x+a_{i\mathrm{,2}}*y-b_i\right)=0\\ {\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,2}}}\left(a_{i\mathrm{,1}}*x+a_{i\mathrm{,2}}*y-b_i\right)=0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}x*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}\right)+y*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}*a_{i\mathrm{,2}}}\right)-\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}*b_i\right)=0\hfill \\ x*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}+a_{i\mathrm{,2}}\right)+y*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,2}}^2}\right)-\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,2}}}*b_i\right)=0\hfill \end{array}\end{array}$$

  
• Das Gleichungssystem hat sicher eine Lösung, solange kein C existiert, bei dem zugleich gilt: $${\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}=C*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}*a_{i\mathrm{,2}}\right),{\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}*a_{i\mathrm{,2}}}=C*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,2}}^2}\right)$$

  

  und $${\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}*b_1=C*\left({\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,2}}}*b_i\right).$$

  
• Eine dafür notwendige Bedingung ist es, dass die Funkknoten nicht auf einer gemeinsamen Line angeordnet sind.
• Damit ergibt sich die Position des mobilen Funkmoduls (x, y) mit Bezug auf (x₁, y₁) zu: $$\{\begin{array}{c}x=\frac{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast b_i\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\right)-\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast b_i\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\right)-{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}^2}\\ y=\frac{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast b_i\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)-\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast b_i\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\right)-{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}^2}\end{array}$$

  
• In Form einer Matrix kann dies wie folgt ausgedrückt werden: $$X={\left(A^{T}A\right)}^{-1}\ast A^T\ast B$$

  
• Dabei sind die Matrix A und die Vektoren X und B wie folgt definiert: $$A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{2,1}}& a_{\mathrm{2,2}}\\ \dots & \dots \\ a_{i\mathrm{,1}}& a_{i\mathrm{,2}}\\ \dots & \dots \\ a_{n\mathrm{,1}}& a_{n\mathrm{,2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x_2& 2y_2\\ \dots & \dots \\ 2x_i& 2y_i\\ \dots & \dots \\ 2x_n& 2y_n\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{b}_2\\ \dots \\ b_i\\ \dots \\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_2^2& -r_1^2& -x_2^2& -y_2^2\\ \dots & & & \\ r_i^2& -r_1^2& -x_i^2& -y_i^2\\ \dots & & & \\ r_n^2& -r_1^2& -x_n^2& -y_n^2\end{array}\right]$$

  
• Somit gilt: $$\begin{array}{l}{A}^T\ast A=\left[\begin{array}{cc}{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2& {\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\\ {\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}& {\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\end{array}\right]\\ {\left(A^T\ast A\right)}^{-1}=\frac{1}{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)-{\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}^2}\left[\begin{array}{ll}{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\hfill & -{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\hfill \\ -{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\hfill & {\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\hfill \end{array}\right]\\ A^T\ast B=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast b_i\\ {\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast b_i\end{array}\right]\end{array}$$

  
• Die Werte der Matrix A sind nur von den Positionen der Funkknoten abhängig und definiert somit die relative Lage der Funkknoten zueinander. Die Matrix A ist somit unabhängig von den Ergebnissen der durch die Funkknoten ausgeführten Abstandsmessungen zum Ermitteln der Abstände. Da die relativen Lage der Funkknoten zueinander durch deren mechanische Anordnung festgelegt ist kann ein Ergebnis für (A^T A)^-1 * A^T vorberechnet werden und muss nicht bei jedem ermitteln der Position des mobilen Funkmoduls erneut berechnet werden. Das Ergebnis ist eine Matrix, welche 2 Zeilen und n-1 Spalten aufweist. Diese Matrix kann für alle möglichen Linearisierungen vorberechnet werden und somit für jede mögliche Auswahl einer der Abstandsgleichungen zur Subtraktion von den übrigen Abstandsgleichungen bereits vorab hinterlegt sein. Dies ist also nicht nur für den hier gezeigten Fall möglich, bei dem der kleinste quadratische Fehler gleich e₁ ist und dieser dem ersten Funkknoten 1 zugehörig ist. In ähnlicher Weise kann auch der Anteil des Vektors B, welcher nicht abhängig von den auszuführenden Abstandsmessungen ist, vorberechnet werden.
• Immer wenn die Position (x, y) des mobilen Funkmoduls basierend auf neuen Satz von Abstandsmessungen B' neu berechnet wird, beschränkt sich der resultierende Rechenaufwand auf das Berechnen von B, gefolgt von einer einfachen Matrizenberechnung.
• Zuletzt werden noch die zugehörigen Fehler für alle Funkknoten basierend auf der jeweils ermittelten Position (x, y) des mobilen Funkmoduls berechnet.
• Es wird darauf hingewiesen, dass die voranstehenden Ausführungen unter der Annahme einer Positionsbestimmung in der Ebene ausgeführt sind. Diese können jedoch in einfacher Weise für eine Positionsbestimmung im 3D-Raum erweitert werden. In diesem Falle ergibt sich die Matrix A und der Vektor B wie folgt: $$A=\left[\begin{array}{ccc}2x_2& 2y_2& 2z_2\\ \dots & \dots & \dots \\ 2x_i& 2y_i& 2z_i\\ \dots & \dots & \dots \\ 2x_n& 2y_n& 2z_n\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{l}{r}_2^2-r_1^2-x_2^2-y_2^2-z_2^2\hfill \\ \dots \hfill \\ r_i^2-r_1^2-x_i^2-y_i^2-z_i^2\hfill \\ \dots \hfill \\ r_n^2-r_1^2-x_n^2-y_n^2-z_n^2\hfill \end{array}\right]$$

  
• 2 zeigt ein beispielhaftes Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der ersten Ausführungsform.
• Das Verfahren umfasst einen Vorausberechnungsschritt 100, welcher nur einmalig ausgeführt wird. In dem Vorausberechnungsschritt 100 wird (A^TA)^-1A^T für jede mögliche Auswahl einer Abstandsgleichung berechnet. Der initiale Fehler e_i wird zu Null gesetzt und j=1 als Index mit niedrigstem Fehler gewählt. Die verbleibenden Schritte 101 bis 109 werden widerholt in einer Schleife ausgeführt, wobei nach jedem Schleifendurchlauf eine Position des mobilen Funkmoduls in einem Ergebnisschritt 110 bereitgestellt wird.
• Die den Funkknoten zugehörigen Fehler werden in dem sechsten Schritt 106 berechnet und die Abstandsgleichung mit dem geringsten Fehler bzw. dem geringsten Fehlerquadrat e_j ² wird in dem sieben Schritt 107 selektiert. Dann wird das Verfahren iterativ ausgeführt.
• Da die Abstandsgleichung mit dem kleinsten Fehler ausgewählt wurde, werden vergleichsweise gute Abstandsmessungen nicht durch vergleichsweise schlechte Abstandsmessungen negativ beeinflusst und die lineare Berechnung führt zu keinem Nachteil. Zudem ist das Berechnen der Position sehr effektiv hinsichtlich der aufzuwendenden Rechenkapazität und Zeit, da die Matrix (A^T ∗ A)^-1 ∗ A^T vorausberechnet werden kann.
• Alternativ dazu kann anstelle der Matrix (A^T ∗ A)^-1 ∗ A^T auch (A^T ∗ A)^-1 vorausberechnet werden und es wird zunächst A^T ∗ B und dann (A^T ∗ A)^-1 ∗ A^T ∗ B berechnet, um die Position (x, y) zu berechnen. Es ist ein Vorteil dieses Ansatzes, dass weniger Speicher für das Speichern der vorab berechneten Werte benötigt wird. Alternativ kann das Verfahren auch ohne Vorausberechnung realisiert werden, was zu höheren Berechnungsaufwand führt.
• Alternativ zu dem dargestellten Verfahren wird die Abstandsgleichung mit dem kleinsten Fehlerbetrag |e_j| in dem sechsten Schritt 106 ausgewählt. Auch jeder andere Wert, der von dem Fehler e_j abgeleitet werden kann, kann in entsprechender Weise genutzt werden.
• 3 zeigt das aus 2 bekannte Verfahren für eine Positionsbestimmung im 3D-Raum. Dieses umfasst die Verfahrensschritte 201 bis 210.
• Das Verfahren umfasst einen Vorausberechnungsschritt 200, welcher nur einmalig ausgeführt wird. In dem Vorausberechnungsschritt 200 wird (A^TA)^-1A^T für jede mögliche Auswahl einer Abstandsgleichung berechnet. Der initiale Fehler e_i wird zu Null gesetzt und j=1 als Index mit niedrigstem Fehler gewählt. Die verbleibenden Schritte 201 bis 209 werden widerholt in einer Schleife ausgeführt, wobei nach jedem Schleifendurchlauf eine Position des mobilen Funkmoduls in einem Ergebnisschritt 210 bereitgestellt wird.
• Ähnlich der Positionsbestimmung in der Ebene ist das anpassen des Ursprungs des Bezugssystems in dem zweiten Schritt 202 optional und weitere alternative Gestaltungen umfassen ein Vorausberechnen von (A^T ∗ A)^-1 anstelle von (A^T ∗ A)^-1 ∗ A^T. Ebenso wird die Abstandsgleichung optional mit dem kleinsten Fehlerbetrag |e_j| in dem sechsten Schritt 106 ausgewählt. Auch jeder andere Wert, der von dem Fehler e_j abgeleitet werden kann, kann in entsprechender Weise genutzt werden.
• In einer zweiten Ausführungsform der Erfindung, welche ebenfalls auf den zuvor beschrieben Mathematischen Prinzipien basiert, wird jede der linearisierten Gleichungen basierend auf dem zugehörigen Fehler des zugehörigen Funkknoten 1, 2, 3 gewichtet wird, wobei die zugehörigen Fehler bei dem vorangegangenen Berechnen der Position berechnet werden, und wobei ein ansteigender Fehler zu einer absinkenden Gewichtung führt. Dieser Ansatz wird auch als Methode des gewichteten geringsten Quadrats, auch „Weighted Least Square Method“, bezeichnet.
• Die Methode des gewichteten geringsten Quadrats ist ein Lösungsansatz, bei der jeder Abstandsgleichung bzw. jeder linearisierten Gleichung eine Gewichtung zugeordnet wird.
• Dabei ist es grundsätzlich möglich, dass die linearisierten Gleichungen mit einer Inversen einer Varianz der Abstandsmessungen gewichtet werden. Somit haben Gleichungen mit einer hohen Varianz weniger Einfluss als solche mit niedriger Varianz. Intuitiv zeigt eine hohe Varianz an, dass eine Messung fehlerbehaftet sein könnte. Allerdings führt eine unkorrekte Abstandsmessung nicht zwingend zu einer hohen Varianz. Dabei wird in dieser Ausführungsform der jeweils zugehörige vorangegangene berechnete Fehler e_i jedes Funkknoten zur Gewichtung genutzt. Sobald die Position des mobilen Funkmoduls 11 ermittelt wurde, werden die Fehler ei aller Funkknoten erneut berechnet indem eine Differenz zwischen dem durch den jeweiligen Funkknoten gemessenen Abstand und einem errechneten Abstand zwischen diesem Funkknoten und der ermittelten Position des mobilen Funkmoduls 11 berechnet wird. Basierend auf den so ermittelten Fehlern e_i werden die Abstandsgleichungen für die Berechnungen der folgenden Multilateration mit dem Gewicht 1/e_i ² für die Berechnungen für die kommende Multilateration gewichtet.
• Da die linearisierten Gleichungen aus den Abstandsgleichungen generiert werden, werden damit auch die linearisierten Gleichungen basierend auf den bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehlern generiert.
• Gegenüber der ersten Ausführungsform kann dies zwar zu höherem Berechnungsaufwand führen, allerdings kann die Position des mobilen Funkmoduls genauer bestimmt werden, da ein Einfluss schlechter Abstandsmessungen einzelner Funkknoten gemindert wird. Dennoch wird ein reaktionsschnelles Verfahren geschaffen, bei dem schnell auf eine veränderte Qualität der Abstandsmessungen reagiert wird.
• Aus den gewichteten Quadraten ergibt sich: $$\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{\mathrm{2,1}}& a_{\mathrm{2,2}}\\ \dots & \dots \\ a_{i\mathrm{,1}}& a_{i\mathrm{,2}}\\ \dots & \dots \\ a_{n\mathrm{,1}}& a_{n\mathrm{,2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x_2/e_2^2& 2y_2/e_2^2\\ \dots & \dots \\ 2x_i/e_i^2& 2y_i/e_i^2\\ \dots & \dots \\ 2x_n/e_n^2& 2y_n/e_n^2\end{array}\right]\\ X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{b}_2\\ \dots \\ b_i\\ \dots \\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\left(r_2^2-r_1^2-x_2^2-y_2^2\right)/e_2^2\hfill \\ \dots \hfill \\ \left(r_i^2-r_1^2-x_i^2-y_i^2\right)/e_i^2\hfill \\ \dots \hfill \\ \left(r_n^2-r_1^2-x_n^2-y_n^2\right)/e_n^2\hfill \end{array}\right]\end{array}$$

  
• Es wird darauf hingewiesen, dass ein Vorausberechnen der Matrix A hier nicht möglich ist, da sich jeder Wert der Matrix für jeden Berechnungsdurchgang entsprechend dem Fehler des jeweils zugehörigen Funkknoten ändert.
• Die Position des mobilen Funkmoduls 11 kann wieder basierend auf der zuvor gegebenen Gleichung (12) berechnet werden. Dies erfolgt bevorzugt folgendermaßen und wird durch die Berechnungseinheit 7 ausgeführt:
1. 1. Berechne zuerst 1/e_i ² und 2/e_i ².
2. 2. Berechne a_i,1 = 2x_i/e_i ² und a_i,2= 2y_i/e_i ².
3. 3. Berechne r_i ², x_i ² und y_i ².
4. 4. Berechne b_i = (r_i ² - r₁ ² - x_i ² - y_i ²)/e_i ².
5. 5. Berechne:
$${\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2,{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2$$

und $${\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}$$

• 6. Berechne (A^T ∗ A)^-1 mittels Gleichung (12).
• 7. Berechne A^T ∗ B.
• 8. Erhalte die Lösung (x, y).
• Der gleiche Lösungsweg kann auch für eine Multilateration im 3D-Raum genutzt werden. Dabei wird die adjugante Matrix genutzt, um (A^T ∗ A)^-1 zu berechnen: $${\left(A^T\ast A\right)}^{-1}=\frac{1}{\text{det}\left(A^T\ast A\right)}\left[\begin{array}{ccc}{c}_{\mathrm{1,1}}& c_{\mathrm{1,2}}& c_{\mathrm{1,3}}\\ c_{\mathrm{2,1}}& c_{\mathrm{2,2}}& c_{\mathrm{2,3}}\\ c_{\mathrm{3,1}}& c_{\mathrm{3,2}}& c_{\mathrm{3,3}}\end{array}\right]$$

  
• Dabei gilt: $$\begin{array}{lllll}{c}_{\mathrm{1,1}}=\hfill & \hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,3}}^2\right)\hfill & -\hfill & {\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)}^2\hfill \\ c_{\mathrm{1,2}}=c_{\mathrm{2,1}}=\hfill & -\hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,3}}^2\right)\hfill & +\hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)\hfill \\ c_{\mathrm{1,3}}=c_{\mathrm{3,1}}=\hfill & \hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)\hfill & -\hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\right)\hfill \\ c_{\mathrm{2,2}}=\hfill & \hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,3}}^2\right)\hfill & -\hfill & {\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)}^2\hfill \\ c_{\mathrm{2,3}}=c_{\mathrm{3,2}}=\hfill & -\hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)\ast {\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\hfill & +\hfill & {\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}^2\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,3}}\right)\hfill \\ c_{\mathrm{3,3}}=\hfill & \hfill & \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2\right)\ast \left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2\right)\hfill & -\hfill & {\left({\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}\right)}^2\hfill \end{array}$$

  
• Und: $$\text{det}\left(A^T\ast A\right)=\left({\displaystyle \sum _{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}\right)\ast c_{\mathrm{1,1}}-\left({\displaystyle \sum _{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}}}\right)\ast c_{\mathrm{1,2}}+\left({\displaystyle \sum _{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,3}}}\right)\ast c_{\mathrm{1,3}}$$

  
• Die Position des mobilen Funkmoduls kann dann durch die Berechnungseinheit 7 wie folgt ermittelt werden:
1. 1. Berechne zuerst 1/e_i ² und 2/e_i ².
2. 2. Berechne a_i,1 = 2x_i/e_i ², a_i,2 = 2y_i/e_i ² und a_i,3 = 2z_i/e_i ²
3. 3. Berechne r_i ², x_i ², y_i ² und z_i ².
4. 4. Berechne b_i = (r_i ² - r₁ ² - x_i ² - y_i ² - z_i ²)/e_i ².
5. 5. Berechne:
$${\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}^2,{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}^2$$

und $${\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,3}}^2$$

6. Berechne: $${\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,2}},{\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,1}}\ast a_{i\mathrm{,3}}$$

und $${\displaystyle \sum {}_{i=2}^n}{a}_{i\mathrm{,2}}\ast a_{i\mathrm{,3}}$$

• 7. Berechne c_j,k mittels der Gleichungen (16)
• 8. Berechne 1/ det(A^T ∗ A) mittels Gleichung (17)
• 9. Berechne (A^T ∗ A)^-1 mittels Gleichung (15) - die Matrix ist symmetrisch.
• 10. Berechne A^T∗ B.
• 11. Erhalte die Lösung (x, y, z).
• 4 und 5 zeigen ein beispielhaftes Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der zweiten Ausführungsform.
• Das Verfahren umfasst einen Initialisierungsschritt 300, in welchem der initiale Fehler e_i wird zu Null gesetzt und j=1 als Index mit niedrigstem Fehler gewählt wird.
• Das Verfahren umfasst eine Vielzahl von Schritten 300 bis 350 und ist ähnlich dem Verfahren gemäß der ersten Ausführungsform, wobei die Matrix A jedoch in dem Berechnungsschritt 320 bei jedem Schleifendurchlauf neu berechnet wird. Zudem ist die Berechnung des Vektors B aufgrund der Gewichtung mit 1/e_i ² in dem Gewichtungsschritt 330 unterschiedlich. Das Berechnen der Position (x, y) erfolgt durch das Berechnen von (A^T∗ A)^-1 und A^T∗ B und das folgende Berechnen von ((A^T ∗ A)^-1) ∗ (A^T∗ B).
• Im Weiteren entspricht das Verfahren der zuvor beschriebenen Struktur, welche aus der ersten Ausführungsform bekannt ist, wobei insbesondere das Berechnen des Fehlers in einem Fehlerberechnungsschritt 306 erfolgt und ein kleinster Fehler in einem Auswahlschritt 307 selektiert wird. In dieser zweiten Ausführungsform wird der selektierte Fehler jedoch für ein Gewichten der Matrix A und des Vektors B und somit der durch diese definierten Abstandsgleichungen verwendet.
• In alternativen Ausführungsformen wird die Abstandsgleichung mit dem geringsten zugehörigen absoluten Fehler |e_j| ausgewählt und/oder es wird 1/|e_j| als Gewichtung ausgewählt. Auch jeder andere Wert, der von dem Fehler e_j abgeleitet werden kann, kann in entsprechender Weise zur Gewichtung genutzt werden.
• 5 zeigt zusätzlich Details für eine mögliche Implementierung des Verfahrensabschnittes 360 aus 4. Dabei wird ein Berechnungsaufwand minimiert. So sind insbesondere die Werte A11, A22 und A12 nützlich, um die Determinante und die inverse Matrix zu berechnen. Es sind jedoch auch andere Implementierungen möglich, beispielsweise durch Berechnen von (A^T∗ A)^-1) ∗ A^T, gefolgt von einem Berechnen von ((A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T) ∗ B.
• 6 und 7 zeigen ein beispielhaftes Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der zweiten Ausführungsform zur Positionsbestimmung im 3D-Raum.
• 6 zeigt ein dem in 4 dargestellten Ablaufdiagramm entsprechendes Verfahren für die Positionsbestimmung im 3D-Raum. Das Verfahren umfasst einen Initialisierungsschritt 400, in welchem der initiale Fehler e_i wird zu Null gesetzt und j=1 als Index mit niedrigstem Fehler gewählt wird.
• Ähnlich wie bei der Positionsbestimmung in der Ebene wird dabei die Abstandsgleichung mit dem Fehler selektiert, der den geringsten absoluten Wert |e_j| hat und/oder 1/|e_i| als Gewichtung verwendet. Auch jeder andere Wert, der von dem Fehler e_j abgeleitet werden kann, kann in entsprechender Weise zur Gewichtung genutzt werden.
• 7 zeigt zusätzlich Details für eine mögliche Implementierung des Verfahrensabschnittes 460 aus 6, der den anfallenden Berechnungsaufwand minimiert.
• So sind insbesondere die Werte A11, A22, A33, A12, A13 und A23 nützlich, um die Determinante und die inverse Matrix zu berechnen. Gegenüber der Positionsbestimmung in der Ebene werden neben den bekannten Unterschieden, nun auch A11, A22, A33, A12, A13 und A23 in dem Berechnungsschritt 441 berechnet. Der weitere Berechnungsschritt 442 hat kein Äquivalent in den zuvor beschriebenen Ablaufdiagrammen, da in diesem Schritt die Adjungante Matrix berechnet wird. Dazu wird in dem Determinantenberechnungsschritt 443 die Adjungante Matrix zur Berechnung der Determinanten verwendet.
• Es sind jedoch auch andere Implementierungen möglich, beispielsweise durch Berechnen von (A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T, gefolgt von einem Berechnen von ((A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T) ∗ B oder alternativen Methoden zum Berechnen der Determinante oder der inversen Matrix.
• In einer dritten Ausführungsform der Erfindung wird nur eine Auswahl der Abstandsgleichungen für das Berechnen der Position verwendet.
• Der mit der zweiten Ausführungsform beschriebene Ansatz ermöglicht es, den Einfluss ungenauer Abstandsmessungen zu reduzieren, führt jedoch zu zusätzlichen Berechnungsschritten. Mit der dritten Ausführungsform können potentiell falsche Abstandsmessungen gehandhabt werden, wobei zugleich der Berechnungsaufwand gering gehalten wird. Dies wird dadurch erreicht, dass solche Abstandsgleichungen, die einen hohen quadratischen Fehler aufweisen, eliminiert werden. So wird beispielsweise eine feste Anzahl von Abstandsgleichungen für das Berechnen der Position des mobilen Funkmoduls genutzt und die übrigen Abstandsgleichungen werden verworfen. Die übrigen Abstandsgleichungen sind dabei die Abstandsgleichungen, die den Funkknoten zugehörig sind, die bei dem vorangegangenen Berechnen der Position den höchsten zugehörigen (quadratischen) Fehler aufweisen.
• Aufgrund der so reduzierten Anzahl von Gleichungen und der Möglichkeit einzelne Berechnungsschritte vorab auszuführen, ist das Verfahren gemäß der dritten Ausführungsform, welche auch als „pruned least square method“ bezeichnet werden kann, besonders effizient und dennoch besonders präzise. Abstandsmessungen mit vermeintlich niedriger Genauigkeit werden dynamisch eliminiert.
• Wie auch bei der ersten Ausführungsform, jedoch abweichend von der zweiten Ausführungsform, kann eine Vorausberechnung der Koeffizienten a_i,1, a_i,2 und a_i,3 erfolgen und die vorausberechneten Koeffizienten können als feste Werte hinterlegt werden. So können insbesondere die folgenden Matrizenanteile bei der Positionsbestimmung in der Ebene vorausberechnet werden: $$A11={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}$$

  

  $$A22={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}$$

  

  $$A12={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}*a_{i\mathrm{,2}}$$

  
• Im Folgenden ist lediglich A_jk durch Subtrahieren der den zu entfernenden Abstandsgleichungen zugehörigen Terme anzupassen.
• Für die Positionsbestimmung in der Ebene kann das Verfahren wie folgt ausgeführt sein:
1. 1. Berechne r_i ², x_i ² und y_i ².
2. 2. Berechne b_i = r_i ² - r₁ ² - x_i ² - y_i ².
3. 3. Anpassen von A11, A22 und A12.
4. 4. Berechne (A^T ∗ A)^-1 mittels der Gleichung (12)
5. 5. Berechne A^T ∗ B.
6. 6. Beziehe (x, y).
• Für die Positionsbestimmung im 3D-Raum kann das Verfahren wie folgt ausgeführt sein. Die folgenden Werte werden vorab berechnet: $$A11={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}$$

  

  $$A22={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2}$$

  

  $$A33={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,3}}^2}$$

  

  $$A12={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}*a_{i\mathrm{,2}}$$

  

  $$A13={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,1}}}*a_{i\mathrm{,3}}$$

  

  $$A23={\displaystyle {\sum }_{i=2}^n{a}_{i\mathrm{,2}}}*a_{i\mathrm{,3}}$$

  
• Basierend auf diesen Werten wird das Verfahren mit den folgenden Schritten ausgeführt:
1. 1. Berechne r_i ², x_i ², y_i ² und z_i ².
2. 2. Berechne b_i = r_i ² - r₁ ² - x_i ² - y_i ² - z_i ².
3. 3. Anpassen von A11, A22, A33, A12, A13, A23.
4. 4. Berechne c_j,k mittels der Gleichung (16).
5. 5. Berechne 1/ det(A^T ∗ A) mittels der Gleichung (17).
6. 6. Berechne (A^T ∗ A)^-1 mittels der Gleichung (15) - die Matrix ist symmetrisch.
7. 7. Berechne A^T ∗ B.
8. 8. Beziehe (x, y, z).
• 8 und 9 zeigen ein beispielhaftes Ablaufdiagramm des erfindungsgemäßen Verfahren gemäß der dritten Ausführungsform.
• Das in 8 gezeigte Ablaufdiagram weist eine Vielzahl von Schritten 500 bis 551 auf und ist ähnlich zu dem mit der zweiten Ausführungsform beschriebenen Ablaufdiagramm, weist jedoch gegenüber der zweiten Ausführungsform folgende Unterschiede auf:
• - Die Werte $$A11={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_{i\mathrm{,1}}^2},A11={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_{\mathrm{1,2}}^2},A11={\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_{i\mathrm{,3}}^2}$$
  
  werden in einem Vorausberechnungsschritt 600 vorausberechnet.
• - Es ist nicht notwendig die Matrix A, wie in dem Berechnungsschritt 320, bei jedem Schleifendurchlauf neu zu berechnen, da es ausreichend ist einzelne Zeilen der Matrix zu entfernen.
• - Die Werte A11, A22 und A12 werden aktualisiert und nicht neu berechnet.
• - Ein großer Unterschied ist in dem Auswahlschritt 507 gegeben. Hier erfolgt anstelle einer lediglichen Auswahl von j gemäß dem kleinesten quadratischen Fehler auch eine Auswahl eine neues k mit dem höchsten quadratischen Fehler.
• Alternativ kann auch jeder andere Wert, der von dem Fehler e_j abgeleitet werden kann, in entsprechender Weise genutzt werden um eine Abstandsgleichung und/oder eine Gewichtung zu wählen.
• Es sind jedoch auch andere Implementierungen möglich, beispielsweise durch Berechnen von (A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T, gefolgt von einem Berechnen von ((A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T) ∗ B oder alternativen Methoden zum Berechnen der Determinante oder der inversen Matrix. Bei dem gezeigten Ablaufdiagramm wird von einer eliminierten Abstandsgleichung ausgegangen, wobei das Verfahren auf eine beliebige Anzahl von eliminierten Abstandsgleichung angepasst werden kann.
• 9 zeigt ein dem in 8 dargestellten Ablaufdiagramm entsprechendes Verfahren für die Positionsbestimmung im 3D-Raum, welches eine Vielzahl von Schritten 600 bis 651 aufweist. Ähnlich wie bei der Positionsbestimmung in der Ebene wird dabei die Abstandsgleichung mit dem Fehler selektiert, der den geringsten absoluten Wert |e_j| hat und/oder 1/|e_j| als Gewichtung verwendet. Auch jeder andere Wert, der von dem Fehler e_j abgeleitet werden kann, kann in entsprechender Weise zur Gewichtung genutzt werden.
• Es sind jedoch auch andere Implementierungen möglich, beispielsweise durch Berechnen von (A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T, gefolgt von einem Berechnen von ((A^T ∗ A)^-1) ∗ A^T) ∗ B oder alternativen Methoden zum Berechnen der Determinante oder der inversen Matrix. Bei dem gezeigten Ablaufdiagramm wird von einer eliminierten Abstandsgleichung ausgegangen, wobei das Verfahren auf eine beliebige Anzahl von eliminierten Abstandsgleichung angepasst werden kann.
• Es wird darauf hingewiesen, dass die beschriebenen Ausführungsformen miteinander kombinierbar sind. So können beispielsweise zunächst einige der Abstandsgleichungen eliminiert werden und die verbleibenden Abstandsgleichungen dann gemäß dem zugehörigen Fehler gewichtet werden. So kann z.B. die Anzahl der aktiv bei der Berechnung genutzten Funkknoten auf 4, bei einer Bestimmung der Postion des mobilen Funkmoduls 11 in der Ebene, oder auf 5, bei einer Bestimmung der Postion des mobilen Funkmoduls 11 im 3D-Raum, begrenzt werden und dann eine Gewichtung der verbleibenden Abstandsgleichungen erfolgen. Auf diese Weise kann der Berechnungsaufwand begrenzt werden und eine möglichst hohe Präzision erreicht werden.
• Auch ist es vorteilhaft eine Positionsbestimmung gemäß einer der beschriebenen Ausführungsformen einzuleiten und dann nach einigen Iterationen auf das Gradientenverfahren zu wechseln, um die Position möglichst genau zu bestimmen.

Claims (10)

1. Vorrichtung (10) zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls (11) mittels einer Multilateration, umfassend: mehrere Funkknoten (1, 2, 3), welche in einer vordefinierten relativen Lage zueinander angeordnet sind, wobei jeder der Funkknoten (1, 2, 3) dazu eingerichtet ist, einen zugehörigen Abstand (4, 5, 6) zu dem Funkmodul (11) zu ermitteln, und eine Berechnungseinheit (7), welche dazu eingerichtet ist die Position des Funkmoduls (11) basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten (1, 2, 3) zu berechnen, wobei die Berechnungseinheit dazu eingerichtet ist die Position durch Lösen eines Gleichungssystems wiederholt zu berechnen, wobei: • das Gleichungssystem jeweils eine Abstandsgleichung für jeden der Funkknoten (1, 2, 3) umfasst, wobei jede der Abstandsgleichungen in einem gemeinsamen Bezugssystem einen Zusammenhang zwischen dem Abstand (4, 5, 6) zwischen dem Funkmodul (11) und dem der Abstandsgleichung zugehörigen Funkknoten (1, 2, 3) sowie einem zugehörigen Fehler beschreibt, • das Gleichungssystem bei jedem Berechnen der Position basierend auf einer Linearisierung des Gleichungssystems gelöst wird, wobei die Linearisierung der Gleichungssystems mehrere linearisierte Gleichungen umfasst, und • die linearisierten Gleichungen für das Berechnen der Position basierend auf einem bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehler generiert werden.
2. Vorrichtung gemäß Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass jede der linearisierten Gleichungen der für das Berechnen der Position verwendeten Linearisierung basierend auf einer jeweiligen Subtraktion der Abstandsgleichung, die gemäß einem vorangegangenen Berechnen der Position den geringsten zugehörigen Fehler aufweist, und jeweils einer der übrigen Abstandsgleichungen generiert wird.
3. Vorrichtung gemäß einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass jede der linearisierten Gleichungen einem der Funkknoten (1, 2, 3) zugehörig ist und jede der linearisierten Gleichungen basierend auf dem zugehörigen Fehler des zugehörigen Funkknoten (1, 2, 3) gewichtet wird, wobei die zugehörigen Fehler bei dem vorangegangenen Berechnen der Position berechnet werden, und wobei ein ansteigender Fehler zu einer absinkenden Gewichtung führt.
4. Vorrichtung gemäß einem der Ansprüche 1 bis 3, wobei jede der Abstandsgleichung einem der Funkknoten (1, 2, 3) zugehörig ist und nur eine Auswahl der Abstandsgleichungen für das Berechnen der Position verwendet wird.
5. Vorrichtung gemäß Anspruch 4, wobei die Auswahl der Abstandsgleichungen eine vordefinierte Anzahl von Gleichungen umfasst und die Abstandsgleichung der Auswahl den Funkknoten (1, 2, 3) zugehörig sind, welche die niedrigsten zugehörigen Fehler aufweisen.
6. Vorrichtung gemäß Anspruch 4, wobei die Abstandsgleichung der Auswahl zugehörig sind, deren zugehöriger Fehler unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt.
7. Vorrichtung gemäß einem der Ansprüche 4 bis 6, wobei genau vier Abstandsgleichung der Auswahl zugehörig sind, wenn die Position in einem zweidimensionalen Bezugssystem berechnet wird, und wobei genau fünf Abstandsgleichung der Auswahl zugehörig sind, wenn die Position in einem dreidimensionalen Bezugssystem berechnet wird.
8. Vorrichtung gemäß einem der voranstehenden Ansprüche, wobei die Funkknoten (1, 2, 3) in einem Fahrzeug angeordnet sind.
9. System zur Positionsbestimmung, umfassend die Vorrichtung (10) zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls (11) gemäß einem der Ansprüche 1 bis 8 und das Funkmodul (11).
10. Verfahren (10) zum Ermitteln einer Position eines mobilen Funkmoduls (11) mittels einer Multilateration, umfassend: - Ermitteln eines jeweils zugehörigen Abstands (4, 5, 6) zu dem Funkmodul (11) durch mehrere Funkknoten (1, 2, 3), welche in einer vordefinierten relativen Lage zueinander angeordnet sind, - Berechnen der Position des Funkmoduls (11) basierend auf den durch die Funkknoten ermittelten Abständen und der relativen Lage der Funkknoten (1, 2, 3), wobei: • das Gleichungssystem jeweils eine Abstandsgleichung für jeden der Funkknoten (1, 2, 3) umfasst, wobei jede der Abstandsgleichungen in einem gemeinsamen Bezugssystem einen Zusammenhang zwischen dem Abstand (4, 5, 6) zwischen dem Funkmodul (11) und dem der Abstandsgleichung zugehörigen Funkknoten (1, 2, 3) sowie einem zugehörigen Fehler beschreibt, • das Gleichungssystem bei jedem Berechnen der Position basierend auf einer Linearisierung des Gleichungssystems gelöst wird, wobei die Linearisierung der Gleichungssystems mehrere linearisierte Gleichungen umfasst, und • die linearisierten Gleichungen für das Berechnen der Position basierend auf einem bei einem vorangegangenen Berechnen der Position ermittelten zugehörigen Fehler generiert werden.

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