DE102022126970A1 - Kalibrierung eines Beschleunigungssensors - Google Patents

Abstract

Die Erfindung betrifft folgendes Verfahren zum Kalibrieren eines Beschleunigungssensors (1): Ermitteln (S1) von Testdaten an unterschiedlichen Testpunkten mit insbesondere unterschiedlichen Umgebungsbedingungen; Ermitteln (S2) einer jeweiligen Orientierungskorrektur für einen jeweiligen Testpunkt und Anwenden der jeweiligen Orientierungskorrektur auf die Testdaten eines jeweiligen Testpunkts, sodass alle Testdaten auf das selbe Referenzkoordinatensystem bezogen sind; Zusammenfassen (S3) der Testdaten der unterschiedlichen Testpunkte in einen kombinierten Testdatensatz; Vorgeben (S4) einer mathematischen Modellstruktur eines parametrischen Modells des getesteten Beschleunigungssensors (1); Ausführen (S5) einer allumfassenden Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells, sodass sämtliche Parameter des parametrischen Modells auf Grundlage der Testdaten aller Testpunkte aufeinmal erhalten werden; und Kalibrieren (S6) des getesteten Beschleunigungssensors (1) auf Basis des parametrischen Modells;

Description

• Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Kalibrieren eines Beschleunigungssensors.
• Inertiale Messeinheiten (sogenannte IMUs, engl. für „inertial measurement units“) dienen dazu, aktuelle kinematische Größen in einem Referenzkoordinatensystem zu erfassen. Größtenteils mechanisch ausgeführt nutzen sie bekannte Effekte, wie den Zusammenhang zwischen Kraft und beschleunigter Masse, die Lagewinkelstabilität von rotierenden Massen (Kreiselstabilität) und Ähnliches, um weiterverarbeitbare Sensorsignale von vorherrschenden kinematischen Größen zu ermitteln. Auf optischen bzw. relativistischen Effekten basierende inertiale Messeinheiten, beispielsweise zur Bestimmung von Lagewinkeldrehraten mittels Laserkreisel, sind sehr teuer und werden entsprechend selten angewendet; diese sind nur in Nischenanwendungen wie militärischen Flugkörpern mit extrem hohen zu erwartenden Beschleunigungen zu finden. Der Fokus im Folgenden wird daher auf mechanische Messeinheiten gelegt, wenn auch nicht ausgeschlossen wird, dass die folgenden Ausführungen auch für optische Systeme gelten können.
• Die folgenden Informationen ergeben sich aus fachmännischen Überlegungen, anstatt sich notwendigerweise aus einem bestimmten Dokument aus dem Stand der Technik zu ergeben: Wie für andere Sensoren auch ist es Zweck von inertialen Messeinheiten, eine natürlich auftretende Größe zu erfassen und einen verarbeitbaren Signalwert daraus zu generieren. Naturgemäß weist jeder physische Sensor gewisse Ungenauigkeiten auf, die von Umgebungsbedingungen beeinflusst werden können und insbesondere über verschiedene Bereiche von Messgrößen und/oder Frequenzen der Messgrößen variieren. Ein Sensor weist damit eine gewisse Übertragungsfunktion (im algebraischen wie im dynamischen Sinne) auf, welche eine Abbildung der natürlich auftretenden Größe auf das verarbeitbare Sensorsignal darstellt.
• Eine solche Übertragungsfunktion kann mit mathematischen Modellen beschrieben werden. Eine Vielzahl von Modelltypen kommt hierfür prinzipiell in Frage, seien es Modelle in Form von algebraischen Gleichungen oder dynamische Modelle, welche eine frequenzabhängige Übertragungsfunktion beschreiben und damit bevorzugt als Differentialgleichungen oder als Gleichungen im Frequenzbereich (wie dem Laplace Bereich) formuliert werden. Es sind ferner lineare Modelle von nichtlinearen Modellen zu unterscheiden. Statistische Modelle erlauben es, viele einzelne empirische Daten in ein Modell zusammenzufassen. Je genauer ein Modell die Realität des Sensors abbildet, umso besser ist der vom jeweiligen Sensor eingebrachte Fehler in der Übertragung von der natürlich auftretenden Größe auf das verarbeitbare Sensorsignal korrigierbar.
• Ein häufig essenzieller Bestandteil einer inertialen Messeinheit sind Beschleunigungssensoren. Durch doppelte Integration über die Zeit der gemessenen Beschleunigungen ergibt sich eine Positionsdifferenz gegenüber der Position zu Beginn der Beschleunigungsmessungen. Dementsprechend führen auch kleine Fehler in der gemessenen Beschleunigung insbesondere über lange Zeiten wegen den Eigenschaften eines doppelten zeitlichen Integrals zu großen Positionsfehlern, zumindest wenn die Position lediglich auf Grundlage des zeitlichen Verlaufs der Beschleunigungen geschätzt wird. Typischerweise erfolgt im Stand der Technik eine Sensorfusion aus den gemessenen Beschleunigungen und den daraus ermittelten Relativpositionen für hochfrequente Anteile der Positionsschätzung mit insbesondere einer satellitengestützten Positionsbestimmung für niederfrequente Anteile, beispielsweise mit Hilfe eines Kalmanfilters. Aber auch bei einer solchen Sensorfusion gehen die Fehler in der Beschleunigungsmessung letztendlich als Abweichungen in die endgültige Positionsschätzung ein.
• Mit dem Ziel, Sensorfehler von Beschleunigungssensoren zu reduzieren, wurden und werden typischerweise solche Beschleunigungssensoren zur Charakterisierung im Sinne einer Systemidentifikation getestet, um mittels der Charakterisierung und dem damit erreichten Wissen über Übertragungsfehler der Beschleunigungen im späteren Betrieb zu eliminieren, d. h. um die Beschleunigungssensoren zu kalibrieren. Eine relativ einfache Modellbeschreibung der Übertragungsfehler eines Beschleunigungssensors besteht in der Aufteilung der Übertragungsfehler in die Anteile „Skalierungsfehler“, „Bias“, und „weißes Rauschen“ (sogenannter „white noise“). Zumindest der Skalierungsfehler sowie der Bias können herausgerechnet werden und somit das originale Sensorsignal korrigiert werden, insbesondere wenn Skalierungsfehler und Bias abhängig von der zu messenden Beschleunigung und bekannten Umweltbedingungen für jede aktuelle Situation bestimmt werden können.
• Im Stand der Technik sind hierzu verschiedenste Vorgehensweisen vorgeschlagen und erprobt worden, um eine entsprechende Charakterisierung eines Sensors vorzunehmen, häufig mit dem Ziel einer Kalibrierung eines Beschleunigungssensors zur Fehlerminimierung.
• Der Standard „IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Linear Single-Axis, Nongyroscopic Accelerometers. Standard IEEE 1293:2018. The Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), Oct. 23, 2018“ beschreibt ein komplexes nichtlineares Modell, welches von mehr als einer Eingangsgröße abhängt. Zusammen mit dem Modell werden verschiedene Methoden zur Identifikation der Modellparameter vorgestellt. Die Methoden korrelieren nicht notwendigerweise und können Parameterwerte erzeugen für verschiedene Bedingungen, die nach Einbringung in das Modell den Sensor nicht korrekt beschreiben. Auch bestehen Schwierigkeiten beim Einpflegen in ein Modell umfassend eine Frequenzantwort. Sollte darüber hinaus ein Modell höherer Ordnung angestrebt werden, werden die Anwendungen der Methoden aufwendig und können die Sensoren überbeanspruchen. In der Praxis werden aus diesen Gründen unter anderen daher häufig deutlich einfachere Modelle und Testmethoden angewendet und entsprechende verbleibende Fehler akzeptiert.
• Die Veröffentlichung „Robert D. Sill, Mark I. Schiefer, and Joshua B. Moses. Method for calibration of dynamic motion sensors. 2013“ betrifft eine Kalibrierungsmethode für dynamische Bewegungssensoren mithilfe eines Shakers. Die dort vorgeschlagene Methode ist jedoch nur geeignet für Frequenzen unterhalb von 10 Hz und vernachlässigt nichtlineare Terme sowie Terme höherer Ordnung. Dementsprechend wird auch strikt an der parallelen Ausrichtung der messenden Achse an der Achse des Shakers der erzwungenen Vibration festgehalten. Indem ferner in dieser Veröffentlichung das Verhältnis der Fouriertransformationen von Eingangsgröße am Shaker und Ausgangsgröße am Sensor für einzelne Frequenzen ermittelt wird, wird die Erzeugung eines einzigen, allumfassenden Sensormodells erschwert, und es werden mehrere Testschritte notwendig, um die einzelnen Frequenzen erfassen zu können. Orientierungskorrekturen des Sensors auf dem Shaker bleiben in dieser Veröffentlichung unberücksichtigt.
• Im Gegensatz hierzu werden von der Veröffentlichung „Peter Drücke and Thomas Hinsch. Method for improving the measurement values of an inertial measurement system. 2004“ solche Orientierungskorrektur berücksichtigt. Die dort gezeigte Methode schätzt jedoch ebenfalls keine nichtlinearen Dynamiken oder Dynamiken höherer Ordnung ab, und berücksichtigt nicht eventuell vorherrschende Vibrationen. Vielmehr ist das dort gezeigte Verfahren nur für einen Rotationstisch gedacht, an dem der Schwerkraftvektor die einzig vorherrschende Anregung bzgl. einer Beschleunigung ist. Dennoch werden hierin Betrachtungen über Temperatureinflüsse angestellt.
• Aufgabe der Erfindung ist es, die Kalibrierung eines Beschleunigungssensors durch eine möglichst genaue Charakterisierung des Beschleunigungssensors zu verbessern.
• Die Erfindung ergibt sich aus den Merkmalen der unabhängigen Ansprüche. Vorteilhafte Weiterbildungen und Ausgestaltungen sind Gegenstand der abhängigen Ansprüche.
• Ein erster Aspekt der Erfindung betrifft ein Verfahren zum Kalibrieren eines Beschleunigungssensors, aufweisend die Schritte:
• - Ermitteln von Testdaten an unterschiedlichen Testpunkten durch Aufbringen von über die Testpunkte unterschiedlichen Referenzbeschleunigungen und/oder von Referenzbeschleunigungen unter unterschiedlichen Umgebungsbedingungen auf den Beschleunigungssensor, wobei an einem jeweiligen der Testpunkte zum Ermitteln der Testdaten eine von der jeweiligen aufgeprägten Referenzbeschleunigung abhängige Eingangsgröße sowie eine von einem verarbeitbaren Sensorsignal abhängige Ausgangsgröße des Beschleunigungssensors ermittelt wird;
• - Ermitteln einer jeweiligen Orientierungskorrektur für einen jeweiligen Testpunkt und Anwenden der jeweiligen Orientierungskorrektur auf die Testdaten eines jeweiligen Testpunkts, sodass alle koordinatensystembezogenen Testdaten auf das selbe Referenzkoordinatensystem bezogen sind;
• - Zusammenfassen der Testdaten der unterschiedlichen Testpunkte in einen kombinierten Testdatensatz;
• - Vorgeben einer mathematischen Modellstruktur eines parametrischen Modells des getesteten Beschleunigungssensors;
• - Ausführen einer allumfassenden Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells, sodass mit der allumfassenden Regressionsanalyse sämtliche Parameter des parametrischen Modells auf Grundlage der Testdaten aller Testpunkte aufeinmal erhalten werden; und
• - Kalibrieren des getesteten Beschleunigungssensors auf Basis des parametrischen Modells mit den ermittelten Parameterwerten;
• Der Beschleunigungssensor ist so konfiguriert, dass durch eine auftretende Beschleunigung ein verarbeitbares Sensorsignal erzeugt wird. Das verarbeitbare Sensorsignal kann umfassen: Eine elektrische Spannung, bevorzugt in der Einheit Volt, oder eine elektrische Stromstärke, bevorzugt in der Einheit Milliampere. Das verarbeitbare Sensorsignal wird vom Beschleunigungssensor somit als Antwort auf die jeweilige Referenzbeschleunigung erzeugt. Im einfachsten Fall ist der Beschleunigungssensor nur dazu ausgeführt, eine translatorische Beschleunigung entlang einer einzelnen Achse oder eine rotatorische Beschleunigung um eine einzelne Achse zu erfassen. Ein solcher Beschleunigungssensor kann in einfachen Anwendungen ausreichend sein. Typischerweise werden jedoch Beschleunigungssensoren verwendet, die entlang drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen auftretende translatorische Beschleunigungen erfassen. Im einfachsten Fall ist das verarbeitbare Sensorsignal gleich der Ausgangsgröße, die Ausgangsgröße kann aber auch durch Filterung oder Ähnliches aus dem verarbeitbaren Sensorsignal gewonnen werden.
• Dementsprechend entspricht der Beschleunigungssensor einer Abbildung der Eingangsgröße auf die Ausgangsgröße. Die Eingangsgröße kann skalar sein, ist jedoch typischerweise vektoriell, d. h. dass sie mehrere Komponenten umfasst, beispielsweise die in drei kartesischen Achsen auftretenden Beschleunigungen. Auch wenn die Eingangsgröße vektoriell ist, kann durch den Beschleunigungssensor eine Abbildung auf eine skalare Ausgangsgröße für eine betrachtete Achse (in der insbesondere die translatorische Beschleunigung gemessen wird) erfolgen.
• Diese Abbildung wird durch das parametrische Modell mathematisch nachgebildet. Das parametrische Modell weist eine vorgegebene mathematische Struktur auf, beispielsweise ist es von vorgegebener Ordnung (die angibt, mit welchem höchsten Exponenten Variablen der Eingangsgröße in das Modell eingehen), weiterhin bevorzugt wird mit der vorgegebenen mathematischen Struktur festgelegt, ob Kreuzkopplungen zwischen den Achsen eines mehrachsigen Beschleunigungssensors bestehen sollen, und welche Variablen der Eingangsgröße überhaupt in das Modell eingehen.
• Das parametrische Modell kann prinzipiell ein statisches Modell sowie ein dynamisches Modell sein. Das statische Modell berücksichtigt keinen Einfluss der Frequenzen der Eingangsgröße und wird daher durch eine algebraische Gleichung beschrieben. Eine solche algebraische Gleichung weist jeder aktuellen Eingangsgröße eine zugehörige aktuelle Ausgangsgröße zu. Die Ausgangsgröße des dynamische Modells dagegen ist nicht nur von der aktuellen Eingangsgröße abhängig, sondern auch vom vergangenen Verlauf der Eingangsgrößen. Anstelle einer algebraischen Gleichung wird daher bevorzugt zur Beschreibung eines dynamischen Modells eine Differenzialgleichungen verwendet, welche auch in den Frequenz- bzw. Laplacebereich transformiert werden kann und als Übertragungsfunktion dargestellt werden kann. Des Weiteren ist es mit einem dynamischen Modell möglich, den sogenannten „colored noise“, ein frequenzabhängiges Rauschen, zu modellieren.
• Ob ein statisches Modell oder ein dynamisches Modell zur Beschreibung der Übertragung der Eingangsgröße auf die Ausgangsgröße durch den Beschleunigungssensor besser geeignet ist, hängt von den Eigenschaften des verwendeten Beschleunigungssensors ab, und in speziellen Fällen davon, welche Frequenzen in auftretenden Beschleunigungen erwartet werden, die es zu erfassen gilt. Ein piezoelektrischer Beschleunigungssensor beispielsweise weist naturgemäß eine vergleichsweise hohe Bandbreite auf, d. h. dass kaum Phasenverlust und Verlust der übertragenen Amplitude bisher in hohe Frequenzen in den Beschleunigungen hinzunehmen sind, sodass bei ausreichend tiefen Frequenzen der Beschleunigungen, welche ermittelt werden sollen, ein statisches Modell ausreichen kann. Im Gegensatz dazu bietet es sich für einen Pendel-Beschleunigungsmesser eher an, ein dynamisches Modell zu verwenden, da dessen Bandbreite im Vergleich zum piezoelektrischen typischerweise deutlich niedriger ist.
• Die allumfassende Regressionsanalyse dient dem Zweck, die Parameter des Modells in Werten zu identifizieren und ist daher im weiteren Sinne der Prozess einer ParameterIdentifikation. Allgemein ist die Regressionsanalyse eine auf statistischen Überlegungen basierende Methode, um statistische Prozesse zu modellieren, d. h. den Zusammenhang zwischen einer oder mehreren abhängigen Variablen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen zu ermitteln, sodass für einen hypothetischen Wert einer Eingangsgröße ein entsprechender Wert einer Ausgangsgröße des Modells berechnet werden kann. Welche konkrete Ausprägung der Regressionsanalysen verwendet wird, hängt insbesondere von der Struktur des parametrischen Modells ab. Bevorzugt wird eine Form der Regressionsanalyse verwendet, die mittels Konvergenz zwischen dem identifizierten Parameter und dem tatsächlichen Parameter den Bias aus dem Regressionsfehler entfernt.
• Unterschiedliche Referenzbeschleunigungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie sich in Frequenz, Amplitude, Muster oder anderen Eigenschaften in ihrem zeitlichen Verlauf unterscheiden. Um eine Parameteridentifikation in hoher Qualität zu erreichen, ist es wichtig, ausreichende Anregungen durch entsprechende Zeitverläufe auf den Beschleunigungssensor aufzubringen, um dessen Eigendynamik in ausreichendem Maß anzuregen. Während verschiedenartige Signale der Referenzbeschleunigungen hintereinander aufgebracht werden können, können die verschiedenartigen Signale auch gleichzeitig durch Überlagerung aufgebracht werden, sodass in jedem Fall ein reiches Spektrum in den Referenzbeschleunigungen vorliegt. Bevorzugt weisen die Referenzbeschleunigungen periodische Anteile auf, das heißt sie umfassen Vibrationen.
• Je nachdem, welcher Anwendungsfall und welche Eigenschaften der auftretenden Beschleunigungen im späteren Betrieb für den zu kalibrierenden Beschleunigungssensor erwartet werden, sind die Referenzbeschleunigungen so zu wählen, dass eine Kalibrierung für die Betriebsbereiche vorliegt, die im späteren Betrieb erwartet werden. Es lässt sich daher a priori nicht festlegen, welche Referenzbeschleunigungen und Umgebungsbedingungen in jedem Fall optimal sind, da dies vom späteren Einsatz des Beschleunigungssensors abhängt. Beispielsweise sind über die Zeit konstant bleibende Referenzbeschleunigungen interessanter als dynamische Referenzbeschleunigung (mit Frequenzen innerhalb einer gewissen Bandbreite), oder andersherum. Es bietet sich in jedem Fall an, dass Referenzbeschleunigungen statische und dynamische Anteile aufweisen. Vorteilhaft kann jedoch nach der vorgeschlagenen Methode zum Kalibrieren des Beschleunigungssensors eine beliebige Referenzbeschleunigung aufgebracht werden, die der gewünschten Anregung der Eigendynamik des Beschleunigungssensors am besten entspricht. Vorteilhaft weisen jedoch die Referenzbeschleunigungen über die verschiedenen Testpunkte zumindest unterschiedliche Frequenzen auf. Die Referenzbeschleunigungen sind ferner nicht auf sinusförmige Beschleunigungen begrenzt, trotzdem können diese verwendet werden.
• Das Ermitteln einer jeweiligen Orientierungskorrektur für einen jeweiligen Testpunkt erlaubt es, unabhängig von der individuellen Orientierung, beschreibbar durch Lagewinkel wie beispielsweise Eulerwinkel, sämtliche Daten aller Testpunkte auf ein gemeinsames Koordinatensystem zu beziehen. Diese Transformation wird durch die Orientierungskorrektur ausgedrückt und entspricht einer Koordinatensystemtransformation. Wird diese jeweilige Orientierungskorrektur auf die Testdaten eines jeweiligen zugehörigen Testpunkts angewendet, sind am Ende alle koordinatensystembezogenen Testdaten auf das selbe Referenzkoordinatensystem bezogen. Koordinatensystembezogene Testdaten sind dabei Daten, die in Bezug auf ein Koordinatensystem anzugeben sind (wie Beschleunigungen im Raum beschreibbar in Form von Vektoren), anders als vom Raum losgelöste Skalare (wie beispielsweise eine Temperatur).
• Dass die Regressionsanalyse „allumfassend“ ist, bedeutet, dass eine einzige Regressionsanalyse ausreicht, um sämtliche Parameter des parametrischen Modells auf einmal, d. h. in einem Zug, d. h. (quasi) gleichzeitig, zu ermitteln, und dies auf Grundlage des kombinierten Testdatensatzes, d. h. für Testdaten unterschiedlicher Testpunkte (die sich insbesondere durch unterschiedliche Umgebungsbedingungen) ergeben. Diese Ermittlung ist darüber hinaus sowohl für statische als auch dynamische Modelle möglich, sowie für lineare und nichtlineare, und außerdem für Terme höherer Ordnung in dem jeweiligen Modell. In anderen Worten wird jeweils eine einzige Regressionsanalyse auf den kombinierten Testdatensatz angewendet, um sämtliche Parameter des parametrischen Modells in einem Zug zu identifizieren.
• Weitere vorteilhafte Wirkungen der Erfindung sind, dass die Charakterisierung eines Beschleunigungssensors insbesondere zum Zwecke seiner Kalibrierung unter Berücksichtigung verschiedener Umgebungsbedingungen durchgeführt wird und dabei einfache und leicht erhältliche Testvorrichtungen wie ein Vibrationstisch oder ein Rotationstisch verwendet werden können. Es ist zudem vorteilhaft möglich, eine Vielzahl von variablen Umgebungsbedingungen zu berücksichtigen, beispielsweise Temperatur, Vibrationen, sehr hohe Beschleunigungen - anstelle beispielsweise lediglich des statischen Schwerkraftvektors - welche alle von einer einzigen Regression berücksichtigt werden. Der Sensorfehler, bzw. ein Sensorfehleranteil, kann als nicht weißer zufälliger Fehler modelliert werden, außerdem ist eine vorherrschende Vibration als Teil der Umgebungsbedingungen nicht auf sinusförmige Fälle beschränkt. Der Aufwand für die notwendigen Tests wird dadurch vorteilhaft gering gehalten, dass ein und dieselben Vibrationsprofile, welche für die Testung des Sensors gegenüber Umweltbedingungen verwendet wurden, auch für die Charakterisierung des Sensors verwendet werden können. Insgesamt müssen nicht mehr als drei Testdurchläufe bezüglich des äußeren Vibrationseinflusses durchlaufen werden. Dabei können die Sensorachsen mit einer Winkelabweichung zur Vibrationsachse des Vibrationstisches an Letzterem angeordnet werden, um die bilinearen Terme der Charakterisierung zu schätzen. Auch Temperatureffekte können in der Charakterisierung berücksichtigt werden, wobei die Bandbreite der vorherrschenden Vibrationen nur durch die Bandbreite der Testausrüstung begrenzt ist, sodass in der Regel ein sehr breiter Frequenzbereich berücksichtigt werden kann. Darüber hinausgehend kann die Ausrichtung geschätzt und berücksichtigt werden, sodass diese Sensorcharakterisierung unabhängig von der Testausrüstung erfolgen kann.
• Gemäß einer vorteilhaften Ausführungsform erfolgt das Ermitteln der jeweiligen Orientierungskorrektur durch Ausführung einer ersten Regressionsanalyse, wobei die abschließende Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells durch eine zweite, nämlich die allumfassende Regressionsanalyse erfolgt.
• Die erste Regressionsanalyse muss dabei speziell angepasst werden, und kann nicht unmodifiziert aus dem Stand der Technik übernommen werden. Im Allgemeinen ist jedoch die zweite, allumfassende Regressionsanalyse eine allgemeine Regressionsanalyse, wie sie im Stand der Technik bekannt ist. Bevorzugt wird mit der ersten Regressionsanalyse die Orientierungskorrektur zusammen mit einer individuellen Schätzung der Parameterwerte des parametrischen Modells erhalten. Diese Schätzungen der Parameter werden jedoch bevorzugt verworfen und erst die Parameterwerte der zweiten, allumfassenden Regressionsanalyse verwendet. Während im Stand der Technik, wie oben erläutert, grundsätzlich für einen Testpunkt und insbesondere eine Umgebungsbedingung eine Parameteridentifikation stattfindet, und somit eine Vielzahl von Wiederholungen von Identifikationen für verschiedene Testpunkte insbesondere Umgebungsbedingungen notwendig ist, dient die erste, spezielle Regressionsanalyse bevorzugt hierbei nur zur Ermittlung der Orientierungskorrektur und die zweite, allumfassende Regressionsanalyse ist dazu in der Lage, gleichzeitig sämtliche Parameterwerte des Modells zu identifizieren, und diese Identifikation auf Basis sämtlicher Testpunkte insbesondere Umgebungsbedingungen durchzuführen. Damit ergibt sich eine hohe Flexibilität bezüglich der Modellstruktur, insbesondere können damit viele verschiedenartige Referenzbeschleunigungen verwendet werden und auch Parameter für nichtlineare, dynamische Modellstrukturen identifiziert werden.
• Gemäß einer vorteilhaften Ausführungsform erfolgt das Ermitteln der jeweiligen Orientierungskorrektur zusammen mit einer jeweiligen für jeden der Testpunkte individuellen Schätzung der Parameterwerte des parametrischen Modells durch Ausführung einer ersten, speziellen Regressionsanalyse, wobei die jeweilige individuelle Schätzung der Parameterwerte des parametrischen Modells verworfen wird, wobei die abschließende Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells durch eine zweite, nämlich die allumfassende, Regressionsanalyse erfolgt.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform umfasst die allumfassende Regressionsanalyse eine erweiterte Methode der kleinsten Quadrate. Die „erweiterte Methode der kleinsten Quadrate“ wird auch „Extended Least Squares (ELS) Method“ genannt.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform ist das parametrische Modell ein dynamisches und nichtlineares Modell und/oder ein Modell mit Termen höherer Ordnung.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform umfasst das parametrische Modell ein ARMAX Modell. Hierbei steht „ARMAX“ für „Autoregressive Moving Average with Exogenous Input“.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform weisen die verschiedenen Referenzbeschleunigungen zumindest eine erste Referenzbeschleunigung mit einer hohen Amplitude und eine zweite Referenzbeschleunigung mit einer niedrigen Amplitude auf.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform weisen die verschiedenen Referenzbeschleunigungen zumindest eine erste Referenzbeschleunigung mit einer hohen Amplitude und eine zweite Referenzbeschleunigung mit einer niedrigen Amplitude und eine dritte Referenzbeschleunigung mit der natürlichen Beschleunigung der ErdGravitation alleine auf.
• Die Variation in den Referenzbeschleunigungen führt vorteilhaft zu einer bezüglich der Amplituden breiten Anregung der Eigendynamik des Beschleunigungssensors. Vorteilhaft wird im Zusammenhang mit der Referenzbeschleunigung als Erdgravitation (die sogenannte „low-g observation“) auch die sogenannte „noise observation“ ausgeführt.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform wird eine Vielzahl von möglichen parametrischen Modellen des getesteten Beschleunigungssensors mit unterschiedlichen mathematischen Modellstrukturen vorgegeben, wobei eine jeweilige allumfassende Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von allen Parameterwerten des jeweiligen parametrischen Modells ausgeführt wird, wobei gemäß einer vorgegebenen Metrik das passenste Modell ausgewählt wird und das Kalibrieren des getesteten Beschleunigungssensors auf Basis des ausgewählten parametrischen Modells mit den zugehörigen ermittelten Parameterwerten erfolgt.
• Es ist vorteilhaft, anstatt eines einzigen strukturellen parametrischen Modells eine Vielzahl von strukturellen unterschiedlichen parametrische Modellen mit ihren Strukturen vorzugeben, da häufig in der Parameteridentifikation durch die Regression nicht nur das Problem besteht, die richtigen Werte der Parameter zu finden, sondern auch häufig die Frage aufzuwerfen ist, ob die Struktur des vorgegebenen parametrischen Models das Systemverhalten des Beschleunigungssensors korrekt beschreiben kann. Dies betrifft unter anderem die Ordnung des Modells, welche mindestens notwendig ist zur korrekten Systembeschreibung. Ob eine Vielzahl von strukturell verschiedenen parametrischen Modellen vorgegeben und miteinander verglichen werden muss, um deutlich verbesserte Ergebnisse bei der Modellbildung zu erhalten hängt insbesondere von der Bauart des verwendeten Beschleunigungssensors ab. Während für eine große Zahl von bekannten Bauarten von Beschleunigungssensoren ein einziges parametrisches Modell mit vorgegebener Struktur (welche aus Erfahrung bekannt dafür ist, auf eine Vielzahl von Beschleunigungssensoren zu passen) typischerweise ausreichend ist, sind für spezielle Bauformen unter Umständen mehrere strukturell unterschiedliche parametrische Modelle zum Zwecke der Parameteridentifikation notwendig, um ausreichend gute Ergebnisse zu erhalten, beispielsweise für MEMS Beschleunigungssensoren. Es kann auch die Verwendung der Vielzahl von möglichen parametrischen Modellen mit eigenen Strukturen dadurch zustande kommen, dass von einem allgemeinen Ausgangsmodell ausgegangen wird, welches auf eine oder mehrere Arten iterativ vereinfacht wird.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform umfassen die unterschiedlichen Umgebungsbedingungen unterschiedliche Umgebungs-Temperaturen.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform werden zusätzliche Testdaten dadurch erzeugt, dass der Beschleunigungssensor in eine Vielzahl von Orientierungen geschwenkt wird, wobei an jeder der Orientierungen der Beschleunigungssensor ohne das Aufbringen von Referenzbeschleunigungen gehalten wird und das Messrauschen in jeder der Orientierungen ermittelt wird, wobei die zusätzlichen Testdaten zum kombinierten Testdatensatz hinzugefügt werden. Dieses Verfahren kann auch bezeichnet werden als „noise observation“.
• Gemäß einer weiteren vorteilhaften Ausführungsform wird zum Ändern der Orientierung des Beschleunigungssensors ein seismisch isolierter Rotationstisch verwendet.
• Ein weiterer Aspekt der Erfindung betrifft einen Beschleunigungssensor, der mit einem Verfahren wie oben und im Folgenden beschrieben kalibriert wurde.
• Vorteile und bevorzugte Weiterbildungen des vorgeschlagenen Beschleunigungssensors ergeben sich durch eine analoge und sinngemäße Übertragung der im Zusammenhang mit dem vorgeschlagenen Verfahren vorstehend gemachten Ausführungen.
• Weitere Vorteile, Merkmale und Einzelheiten ergeben sich aus der nachfolgenden Beschreibung, in der - gegebenenfalls unter Bezug auf die Zeichnung - zumindest ein Ausführungsbeispiel im Einzelnen beschrieben ist. Gleiche, ähnliche und/oder funktionsgleiche Teile sind mit gleichen Bezugszeichen versehen.
• Es zeigen:
• 1: Ein Verfahren zum Kalibrieren eines Beschleunigungssensors gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung.
• 2: Einen Beschleunigungssensor, der mit einem Verfahren der 1 kalibriert wird.
• 3: Ein Verfahren der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate zur Ausführung der allumfassenden Regressionsanalyse gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung.
• 4: Einen Teil-Algorithmus zur 5 zur Ermittlung der jeweiligen Orientierungskorrektur gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung.
• 5: Eine Ausführung der ersten Regressionsanalyse als modifizierte erweiterte Methode der kleinsten Quadrate gemäß einem Ausführungsbeispiel der Erfindung.
• Die Darstellungen in den Figuren sind schematisch und nicht maßstäblich.
• 1 zeigt ein Verfahren zum Kalibrieren eines Beschleunigungssensors 1, aufweisend die Schritte:
• - Ermitteln S1 von Testdaten an unterschiedlichen Testpunkten durch Aufbringen von über die Testpunkte unterschiedlichen Referenzbeschleunigungen und/oder von Referenzbeschleunigungen unter unterschiedlichen Umgebungsbedingungen auf den Beschleunigungssensor 1, wobei an einem jeweiligen der Testpunkte zum Ermitteln der Testdaten eine von der jeweiligen aufgeprägten Referenzbeschleunigung abhängige Eingangsgröße sowie eine von einem verarbeitbaren Sensorsignal abhängige Ausgangsgröße des Beschleunigungssensors 1 ermittelt wird;
• - Ermitteln S2 einer jeweiligen Orientierungskorrektur für einen jeweiligen Testpunkt und Anwenden der jeweiligen Orientierungskorrektur auf die Testdaten eines jeweiligen Testpunkts, sodass alle koordinatensystembezogenen Testdaten auf das selbe Referenzkoordinatensystem bezogen sind;
• - Zusammenfassen S3 der Testdaten der unterschiedlichen Testpunkte in einen kombinierten Testdatensatz;
• - Vorgeben S4 einer mathematischen Modellstruktur eines parametrischen Modells des getesteten Beschleunigungssensors 1;
• - Ausführen S5 einer allumfassenden Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells, sodass mit der allumfassenden Regressionsanalyse sämtliche Parameter des parametrischen Modells auf Grundlage der Testdaten aller Testpunkte aufeinmal erhalten werden; und - Kalibrieren S6 des getesteten Beschleunigungssensors 1 auf Basis des parametrischen Modells mit den ermittelten Parameterwerten;
• Diese Schritte werden im Folgenden mithilfe der 2 bis 5 an einem konkreten Beispiel erörtert.
• 2 zeigt einen beispielhaften Pendel- Beschleunigungssensor 1, der nach dem Verfahren nach 1 kalibriert wird. Hierin bezeichnen IA die Eingangsachse, IA' die Parallelverschiebung von IA auf die effektive Eingangsachse, PA die Pendelachse, OA die Ausgangsachse, und H ein Gelenk. Dieser Beschleunigungssensor kann für die statische Annahme durch die folgende Systemgleichung beschrieben werden: $$\begin{array}{l}E\left({\text{a}}_a\right)=K_b+K_i{a}_i+K_p{a}_p+K_o{a}_o+K_{ii}{a}_i^2+K_{pp}{a}_p^2+K_{oo}{a}_o^2+K_{ip}{a}_i{a}_p+\\ +K_{io}{a}_i{a}_o+K_{po}{a}_p{a}_o+K_s\text{sign}\left(a_i\right)+K_a\left|a_i\right|+K_{oq}{a}_i\left|a_i\right|+\epsilon \end{array}$$

  
• Hierin bezeichnen:
• - a_a = [a_i a_p a_o]^T: Den Spaltenvektor a_a mit den folgenden skalaren Beschleunigungen in den Komponenten des Vektors a_a: a_i eine tatsächlich auftretende Beschleunigung entlang der Achse IA, a_p eine tatsächlich auftretende Beschleunigung entlang der Achse PA, und a_o eine tatsächlich auftretende Beschleunigung entlang der Achse OA;
• - E: Die Ausgangsgröße des Beschleunigungssensors in der Einheit [Milliampere];
• - ε: Das Messerauschen und systemische Modellierungsfehler (sogenannter „measurement noise“ und „process noise“);
• - K_i: Den Skalierungsfehler in der Einheit [m/s²]
$$-\text{sign}\left(a_i\right):\text{ist definiert als}\{\begin{array}{c}+1{\text{ if a}}_i>0\\ -1\text{ if}<0\\ 0{\text{ if a}}_{\text{i}}=0\end{array}$$

• - K_b: Der Bias in der Einheit [m/s²];
• - K_s: Die Bias-Asymmetrie in der Einheit [m/s²];
• - K_a: Die Skalierungsfehler-Asymmetrie ohne Einheit;
• - K_oq: Der ungerade quadratische Koeffizient in der Einheit [(m/s²)/(m/s²)²];
• - K_ii: Der Koeffizient zweiter Ordnung in der Einheit [(m/s²)/(m/s²)²];
• - K_o, K_p: Maße für den Orientierungskorrektur der Achse IA bezüglich der Achse der Referenzbeschleunigung um OA bzw. PA in der Einheit [rad];
• -K_ip, K_io, K_po: Die Koeffizienten der Kreuzkopplung in der Einheit [(m/s²)/(m/s²)²];
• - K_pp, K_oo: Die Koeffizienten der gekoppelten Nichtlinearitäten in der Einheit [(m/s²)/(m/s²)²];
• Während die obige statische Systemgleichung (als potentielles parametrisches Modell) nur höchstens Terme zweiter Ordnung in der Eingangsgröße zeigt, wäre ein Term dritter Ordnung prinzipiell möglich, ist jedoch typischerweise vernachlässigbar in seinem Einfluss. Beschleunigungssensoren wie der beispielhafte in 2 weisen in der Regel deutliche Kreuzkopplungen auf sowie vibropendulöse Ausrichtungseffekte verursacht durch eine zugrunde liegende Rotation der Achse IA als eine Funktion der Referenzbeschleunigung. Dies wird in der obigen Modellgleichung ersichtlich durch die Terme K_ip, K_io, K_po, welche an Bedeutung zunehmen, wenn die Referenzbeschleunigungen in den Achsen IA und PA oszillierender Natur sind, d. h. Vibrationen aufweisen. Da die obige statische Systemgleichung input-affin ist, ist es möglich, sie mittels linearer dynamischer Modelle zu repräsentieren. Die Eingangsgröße aus der obigen statische Systemgleichung kann wie folgt formuliert werden: $$\text{u}\left(\text{k}\right)=\begin{array}{c}[a_i\left(k\right)a_p\left(k\right){\text{ a}}_o\left(k\right)a_i{}^2\left(k\right)a_p{}^2\left(k\right)a_o{}^2\left(k\right)a_i\left(k\right)a_p\left(k\right)\\ {a_i\left(k\right)a_o\left(k\right)a_p\left(k\right)a_o\left(k\right)\text{ sign}\left(a_i\left(k\right)\right)\left|a_i\left(k\right)\right|a_i\left(k\right)\left|a_i\left(k\right)\right|]}^T\end{array}$$

  
• Hierbei bezeichnen u(k) ∈ ℝ¹² die bekannte Eingangsgröße an einer jeweiligen Instanz k ∈ ℤ, transformiert aus a_a. Statt der obigen statischen Systemgleichung wird jedoch in vielen Fällen eine dynamische bevorzugt, um als parametrisches Modell verwendet zu werden. Hierbei umfasst das parametrische Modell ein ARMAX Modell. Wäre das Messerauschen v(k) bekannt, so wäre das optimale generalisierte implementierbare parametrische Modell in der Form „Autoregressive Moving Average with Exogenous Input“ (abgekürzt genannt ARMAX) mit der geschätzten Ausgangsgröße E für eine dynamische Repräsentation der obigen statischen Systemgleichung mit Ausgangsgröße E das folgende dynamische und nichtlineare Modell: $$\begin{array}{l}\widehat{E}\left(k|k\right)=K_b+{\text{b}}_0^T\text{u}\left(k\right)+\mathrm{...}+{\text{b}}_m^T\text{u}\left(k-m\right)+\\ +a_{1}E\left(k-1\right)+\mathrm{...}+a_{m}E\left(k-m\right)\\ +c_{1}v\left(k-1\right)+\mathrm{...}+c_{m}v\left(k-m\right)+v\left(k\right)\end{array}$$

  
• Hierbei bezeichnen m die Ordnung des Modells, und ${\text{b}}_0^T\mathrm{,...,}{\text{b}}_m^T,$

  

  a₁, ..., a_m and c₁, ..., c_m reale Koeffizienten.
• Während beispielhaft in den obigen Absätzen ein mögliches parametrisches Modell im Detail erläutert ist, können an dieser Stelle mehrere parametrische Modelle in ihrer mathematischen Struktur vorgegeben werden, um abschließend das am besten passende zu ermitteln. Verschiedene Verfahren zur Parameteridentifikation für statische und dynamische parametrische Modelle können angewendet werden. Im Folgenden wird ein spezielles Verfahren gezeigt: Da das oben gezeigte parametrische Modell input-affin ist, kann ein Schätzer nach der Methode der kleinsten Quadrate angewendet werden. Da a priori nicht bekannt ist, welche der Terme im parametrischen Modell die ausschlaggebenden sind und welche anderen vernachlässigt werden können, sowie, ob ein dynamisches Modell anstelle eines statischen Modells notwendig ist, sollte von allen infrage kommenden Modell-Formen des obigen parametrischen ARMAX Modells das komplexeste zuerst betrachtet werden.
• Im Falle des oben gezeigten parametrischen Modells in Form eines ARMAX Modells kommt die erweiterte Methode der kleinsten Quadrate („Extended Least Squares Method“, abgekürzt ELS) zur Anwendung, um die Parameterwerte zu ermitteln. Hieraus ergibt sich: $$\begin{array}{l}\text{Y}\leftarrow {\left[E\left(m+1\right)E\left(m+2\right)\mathrm{...}E\left(N\right)\right]}^T\hfill \\ {\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}\leftarrow \left[\begin{array}{ccccccc}1& u^T\left(m+1\right)& \dots & u^T\left(1\right)& E\left(m\right)& \dots & E\left(1\right)\\ 1& u^T\left(m+2\right)& \dots & u^T\left(2\right)& E\left(m+1\right)& \dots & E\left(2\right)\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& u^T\left(N\right)& \dots & u^T\left(N-m\right)& E\left(N-1\right)& \dots & E\left(N-m\right)\end{array}\right]\hfill \\ {\mathrm{\Theta }}_{\text{ARX}}=\left[{\theta }_1\mathrm{ }\dots {\theta }_{2m+2}\right]\equiv {\left[K_b{\text{ b}}_0^T\dots b_m^T{a}_1\dots a_m\right]}^T\hfill \\ {\mathrm{\Theta }}_{\text{ARMAX}}=\left[{\theta }_1\dots {\theta }_{3m+2}\right]\equiv {\left[K_b{b}_0^T\dots {\text{ b}}_m^T{a}_1\dots a_m{c}_1\dots c_m\right]}^T\hfill \end{array}$$

  

  wobei m ∈ ℕ für m ≤ N die Ordnung des Systems beschreibt. Hierbei kommt der in 3 gezeigte Algorithmus, eine erweiterte Methode der kleinsten Quadrate, zum Einsatz.
• Durch Verwendung von Φ_ARX kann die Kovarianz von Θ̂ nicht berechnet werden, da Φ_ARX nicht deterministisch ist. Deshalb gilt nicht $E\left[\widehat{\theta }\right]={\left({\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}^T{\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}\right)}^{-1}{\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}^{T}E\left[\text{Y}\right],$

  

  wobei E[•] der Operator zum Angeben des Erwartungswerts ist. Trotzdem wird in Φ_ARMAX der Fehler modelliert, der Φ_ARMAX wiederum eine deterministische Charakteristik gibt. Deshalb kann die Kovarianz von θ̂_ARMAX geschätzt werden durch: $$\begin{array}{l}{\sum }_{\widehat{\Theta }}=E_Y\left[\left({\widehat{\Theta }}_{\text{ARMAX}}-{\mathrm{\Theta }}_{\text{ARMAX}}\right){\left({\widehat{\Theta }}_{\text{ARMAX}}-{\mathrm{\Theta }}_{\text{ARMAX}}\right)}^T\right]\\ ={\left({\mathrm{\Phi }}_{ARMAX}^T{\mathrm{\Phi }}_{\text{ARMAX}}\right)}^{-1}{\sigma }^2\end{array}$$

  

  wobei σ² die Varianz des Sensorrauschen ist: ${\sigma }^2=\frac{e^{T}e}{\left(N-p\right)},$

  

  und p = length (Θ_ARMAX) die Zahl der Parameter angibt.
• Zur allumfassenden Regressionsanalyse: Mit der oben beschriebenen Methode zur Ausführung eines Verfahrens der kleinsten Quadrate kann zwar für einen Testpunkt ein Satz von Parametern des vorgegebenen parametrischen Modells ermittelt werden. Um die jeweiligen vorteilhaften Eigenheiten der verschiedenen Testpunkte zu kombinieren, werden jedoch die Testdaten der verschiedenen Testpunkte in einen kombinierten Testdatensatz zusammengefasst und auf Basis des kombinierten Testdatensatzes erst die Parameter des parametrischen Modells endgültig ermittelt. Denn beispielsweise weist ein Testpunkt eine höhere Genauigkeit wegen einer besser kontrollierten Umgebung auf, während an einem anderen Testpunkt verschiedene Beschleunigungen betrachtet werden und somit Beschleunigungen kleiner und großer Amplitude gemeinsam betrachtet werden, und somit wertvolle Informationen über den Einfluss der Amplitude erhalten werden. Zum Zweck der Kombination dieser vorteilhaften Eigenschaften werden die Testdaten der unterschiedlichen Testpunkte in einen kombinierten Testdatensatz zusammengefasst. Die Regressionsanalyse wird in einem Stück, d. h. es wird eine einzige Regressionsanalyse, für den kombinierten Testdatensatz durchgeführt. Zu diesem Zweck wird ausgeführt: $$\begin{array}{c}\text{Y}\leftarrow {\left[{\text{Y}}_0^T\dots {\text{ Y}}_M^T\right]}^T\\ \mathrm{\Phi }\leftarrow {\left[{\mathrm{\Phi }}_0^T\dots {\mathrm{\Phi }}_M^T\right]}^T\end{array}$$

  

  Wobei M die Anzahl verschiedener Testpunkte angibt, für Y und Φ siehe oben.
• Dabei kann es passieren, dass der Umfang des kombinierten Testdatensatzes sehr groß wird, d. h. der kombinierte Testdatensatz eine erhebliche Datei-Speichergröße benötigt und zu entsprechendem Rechenaufwand bei der Regression führt. Damit wird auch die Zahl der Regressoren sehr groß, was wiederum zu großen Matrizen führt. Auch wenn die Regressionsanalyse offline durchgeführt wird, kann Arbeitsspeicher volllaufen und die numerischen Grenzen des verwendeten Rechners erreicht werden. Zur Vermeidung dieser Probleme kann der kombinierte Testdatensatz durch Vorprozessierung aufbereitet werden, um die Datenmenge im kombinierten Testdatensatz zu reduzieren, während die Informationen der Datenpunkte von verschiedenen Tests und Experimenten grundsätzlichen im kombinierten Testdatensatz erhalten bleiben. Sollte diese Strategie nicht möglich sein, kann die folgende angewendet werden: Die letztendlich erhaltenen Parameter des parametrischen Modells können für jeden Testpunkt einzeln ermittelt werden und abschließend gemittelt werden. Die Mittelung erfolgt bevorzugt durch eine Gewichtung mit der Inversen der jeweils ermittelten Schätzung der Varianzen wie oben erläutert. In der folgenden Gleichung ist ein Beispiel der finalen Parameterschätzung par und ihre jeweiligen Varianzen σ² für alle Parameter par_s und Varianzen ${\sigma }_s^2$

  

  aus den Testpunkten s gezeigt: $$\text{par}=\frac{{\displaystyle \sum {}_{s=1}^M\frac{1}{{\sigma }_s^2}{\text{par}}_s}}{{\displaystyle \sum {}_{s=1}^M\frac{1}{{\sigma }_s^2}}},{\sigma }^2=M\frac{{\mathrm{\Pi }}_{s=1}^M{\sigma }_s^2}{{\displaystyle \sum {}_{s=1}^M{\sigma }_s^2}}$$

  

  Das parametrische Modell mit seinen Parametern, das diese geschätzten Parameter enthalten wird, kann dann mit anderen Modellen und dessen jeweiligen geschätzten Parametern verglichen werden, um die Güte des jeweiligen Modells zu bestimmen.
• Wird statt der Vorgabe eines einzigen parametrischen Modells mit seiner speziellen mathematischen Struktur eine Vielzahl von möglichen parametrischen Modellen des getesteten Beschleunigungssensors mit unterschiedlichen mathematischen Modellstrukturen vorgegeben, wird jeweils eine allumfassende Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von Parameterwerten für alle der strukturell vorgegebenen parametrischen Modelle ausgeführt.
• Im Falle einer MISO Systemstruktur des parametrischen Modells (MISO = Multiple Input Single Output) und unter der Annahme, dass a priori über das Übertragungsverhalten von der Eingangsgröße auf die Ausgangsgröße des Beschleunigungssensors nichts Näheres bekannt ist, werden parametrische Modelle vorgegeben, die eine Kombination der Komponenten der Eingangsgröße mit ihren Polynomen umfassen. Hierzu wird die oben genannte statische Systemgleichung verwendet und Erfahrungswerte, welche Komponenten der Eingangsgröße am wahrscheinlichsten die Ausgangsgröße beeinflussen. Es bietet sich daher an, mit der Struktur der oben genannten statischen Systemgleichung zu beginnen und irrelevante Terme nach und nach zu entfernen. Für ein dynamisches parametrisches Modell kann auch mit derselben Eingangsgröße wie für ein bereits analysiertes statisches parametrisches Modell begonnen werden, allerdings mit zusätzlichen Komponenten in der Eingangsgröße für vergangene Werte der ursprünglichen Eingangsgröße.
• Gemäß einer vorgegebenen Metrik wird das passenste Modell ausgewählt und das Kalibrieren des getesteten Beschleunigungssensors erfolgt auf Basis des ausgewählten parametrischen Modells mit den zugehörigen ermittelten Parameterwerten. Zu diesem Zweck wird eine Kombination aus den folgenden vier Metriken angewendet:
• - Error Reduction Ratio (ERR),
• - t-statistic,
• - Akaike Information Criterion (AIC), und
• - eine angepasste Schätzung der Kovarianz.
• Die ERR ist ein Maß für jeden Modellparameter, welches den Beitrag oder die Relevanz des jeweiligen Modellparameters für die Ausgangsgröße angibt. Dementsprechend wird ein Modellparameter mit einem höheren ERR wichtiger als ein Modellparameter mit einer geringeren ERR] gewertet. Der Erwartungswert [ERR] für einen Parameter j ist: $${\left[\text{ERR}\right]}_j={\widehat{g}}_j^2\frac{{\text{q}}_j^T{\text{q}}_j}{{\text{Y}}^T\text{Y}},\text{wobei gilt:}$$

  

  $$\begin{array}{l}\widehat{\text{g}}=\left[{\widehat{g}}_1\mathrm{,...,}{\widehat{g}}_p\right]={\left(Q^{T}Q\right)}^{-1}{Q}^T\text{Y}\hfill \\ Q=\left[{\text{q}}_1\mathrm{,...,}{\text{q}}_p\right]\hfill \\ \mathrm{\Phi }=QR\hfill \end{array}$$

  
• Ferner ist hierbei QR die QR-Zerlegung der Regressionsmatrix Φ, während R die obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen angibt, Q die orthogonale Spalten q_j aufweist und Q^TQ = D gilt, worin D diagonal ist.
• Das AIC auf der anderen Seite versucht das sogenannte „Bias-Variance Dilemma“ dadurch anzugehen, dass die Fehlervarianz mit einbezogen wird, das Einbinden von weiteren Parametern jedoch bestraft wird. Demnach ist ein Modell mit einem geringeren Wert des AIC statistisch besser als ein Modell mit einem höheren AIC Wert. Deshalb gilt: $$\text{AIC}\left(n_{\theta }\right)=N\text{ ln }\left[{\sigma }_e^2\left(p\right)\right]+2p$$

  
• Hierin geben an: N die Zahl der Daten, p die Zahl der Modellparameter, und ${\sigma }_e^2\left(p\right)$

  

  ist die Residuenvarianz der Identifikationsdaten für das parametrische Modell mit p Parametern.
• Die „t-statistic“ dient dem Zweck, irrelevante Parameter des parametrischen Modells identifizieren und entfernen zu können. Wenn ein Parameter einen Einfluss auf die Ausgangsgröße ausübt, muss sein Wert statistisch von Null abweichen. Trifft dies nicht zu, kann das parametrische Modell durch Entfernung dieses Parameters vereinfacht werden. Unter der Annahme, dass Θ̂ normalverteilt ist und eine wie oben berechnete Kovarianz von Σ_Θ̂ aufweist, kann der sogenannte Studentsche t-Test zum Testen der Nullhypothese durchgeführt werden, ob θ̂_j = 0 für j=1,...,p gilt. Die t-statistic für diese Hypothese ist: $$t_j=\frac{{\widehat{\theta }}_j}{\sqrt{{\displaystyle {\sum }_{\widehat{\Theta },j}}}}\sim t\left(N-p-1\right)$$

  
• Hierbei ist Σ_Θ̂,j das j-te Element auf der Diagonalen von Σ_Θ̂. Unter Verwendung von t_j in der zweiseitigen kumulativen Studentschen t-Verteilung mit N - p - 1 Freiheitsgraden, ist es möglich, das Konfidenzniveau zu ermitteln, welches notwendig ist, um die Nullhypothese (θ̂_j = 0) zu verwerfen.
• Werden schließlich verschiedene parametrische Modelle mit vorgegebener Struktur verglichen, wird hierbei ein Datensatz speziell zur Verifikation angewendet. Somit wird der kombinierte Testdatensatz zweiteilig verwendet, zum einen zur Parameteridentifikation mithilfe der Regressionsanalyse und zum anderen zur Verifikation des jeweiligen Kandidaten des parametrische Modells. Das Ziel besteht darin, dasjenige parametrische Modell mit identifizierten Parameter auszuwählen, das am besten auf den Datensatz zur Verifikation passt. Die Kovarianz σ_θ̂ ist der genaue erwartete Wert der Differenz zwischen den tatsächlichen Parametern und den geschätzten. Diese Metrik eignet sich daher insbesondere um die verschiedenen fertig identifizierten Modelle zu vergleichen. Zu diesem Zweck wird die folgende Metrik definiert, um die parametrischen Modelle mit identifizierten Parameter untereinander zu vergleichen: $${\mathrm{\Delta }}_i={\displaystyle \sum _{s=1}^M\Vert {}_i^s{\sum }_{\widehat{\Theta }}\Vert }\mathrm{1,1}$$

  
• Hierin ist Δ_i die Verifikationsmetrik für das Modell i, ferner bezeichnet s den jeweiligen Test, für den ${}_i^s{\sum }_{\widehat{\Theta }}$

  

  erhalten wurde, M beschreibt die Zahl der verschiedenen Testpunkte um die Testdaten zu erhalten, und || • ||_1,1 ist die 1-Norm für eine Matrix, welche durch Summenbildung der Komponenten der Matrix ermittelt wird. Mit diesen Grundlagen wird folgender erster Algorithmus der Modellauswahl angewendet, um eine Vielzahl von möglichen parametrischen Modellen des getesteten Beschleunigungssensors 1 mit unterschiedlichen mathematischen Modellstrukturen vorzugeben, wobei eine jeweilige allumfassende Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von allen Parameterwerten des jeweiligen parametrischen Modells ausgeführt wird, wobei gemäß einer vorgegebenen Metrik das passenste Modell ausgewählt wird und das Kalibrieren des getesteten Beschleunigungssensors 1 auf Basis des ausgewählten parametrischen Modells mit den zugehörigen ermittelten Parameterwerten erfolgt:
• Stelle bereit: ^sE(k), ^su(k);
• 1) Trenne ^sE(k) und ^su(k) in einen Identifikations-Datensatz und einen Verifikations-Datensatz;
• 2) Für den Identifikations-Datensatz: Fasse alle ${}_{\text{ID}}^{s}E\left(k\right)$
  
  in einen Term _IDE(k) und alle ${}_{\text{ID}}^s\text{u}\left(k\right)$
  
  in einen Term _IDu(k) zusammen, wenn möglich, vor der allumfassenden Regressionsanalyse;
• 3) wenn die allumfassende Regressionsanalyse möglich ist, dann:
• 4) Schätze die Parameter Θ̂ des parametrischen Modells mithilfe der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate nach 3 und dem Datensatz _IDE(k) und _IDu(k). Betrachte die volle Struktur von Θ bis hin zu einer höheren Modellordnung, zum Beispiel m = 5;
• 5) Sortiere die Parameter θ̂_j nach ${\left[\text{ERR}\right]}_j={\widehat{g}}_j^2\frac{{\text{q}}_j^T{\text{q}}_j}{{\text{Y}}^T\text{Y}};$
  
• 6) Beginne Schleife: Für alle j sortiert nach absteigender Reihenfolge in [ERR]_j tue bis zum Schleifenende:
• 7) Modifiziere Φ, sodass es nur Spalten mit Bezug zu den Parametern θ̂₁, ..., θ̂_j umfasst;
• 8) Schätze die reduzierte Menge der Modellparameter θ̂₁,...,_j durch die erweiterte Methode der kleinsten Quadrate nach 3 und den Datensatz _IDE(k) und _IDu(k);
• 9) Entferne alle störenden Parameter mittels des Studentschen t-Tests und aktualisiere Modell;
• 10) Berechne AIC_j mittels $\text{AIC}\left(n_{\theta }\right)=N\text{ ln }\left[{\sigma }_e^2\left(p\right)\right]+2p;$
  
• 11) Berechne Σ_Θ̂ mittels _VFE(k) und mittels _VFu(k), dem identifizierten θ̂₁,..._j und der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung des zufälligen Fehlers (random error);
• 12) Beende Schleife;
• 13) Wähle das beste Model abhängig von AIC_j und ||∑_Θ̂||_1,1
• 14) Andernfalls zu Schritt 3):
• 15) Beginne Schleife: Für alle Testpunkte s tue:
• 16) Schätze Modellparameter Θ̂^is mit den Schritten 4) und 13) und ${}_{\text{ID}}^{s}E\left(k\right){\text{ und }}_{\text{ID}}^s\text{u}\left(k\right);$
  
• 17) Beende Schleife;
• 18) Schätze Modellparameter ${\widehat{\Theta }}^{i_{M+1}}$
  
  durch $\text{par}=\frac{{\displaystyle {\sum }_{s=1}^M\frac{1}{{\sigma }_s^2}{\text{par}}_s}}{{\displaystyle {\sum }_{s=1}^M\frac{1}{{\sigma }_s^2}}},$
  
  und $${\sigma }^2=M\frac{{\prod }_{s=1}^M{\sigma }_s^2}{{\displaystyle {\sum }_{s=1}^M{\sigma }_s^2}};$$
  
• 19) Beginne Schleife: Für alle Modelle i_s für s = 1, ..., M + 1, tue bis zum Schleifenende:
• 20) Berechne ${}_{i_s}^s{\sum }_{\widehat{\Theta }}$
  
  mittels _VFE(k), _VFu(k), dem identifizierten Θ̂^is und der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate nach 3 zur Schätzung des zufälligen Fehlers (random error);
• 21) Berechne Δ_is;
• 22) Beende Schleife;
• 23) Wähle bestes Modell aus ← argmin_x∈{i,is}(Δ_x);
• Liegt keine Temperatur-Regelung am Beschleunigungssensor vor, um dessen Temperatur konstant zu halten, kann der Temperatureinfluss im parametrischen Modell berücksichtigt werden und dessen Effekte auf die Übertragung der Eingangsgröße auf die Ausgangsgröße modelliert werden. Um die dadurch entstehenden Einflüsse, insbesondere Nichtlinearitäten, zu identifizieren, werden unterschiedliche Temperaturen im Sinne von unterschiedlichen Umgebungsbedingungen an den verschiedenen Testpunkten verwendet. Bevorzugt wird hierbei eine Polynomfunktion für jeden Parameter als Funktion des Ausgangs eines Temperatursensors erzeugt.
• Nach der Berücksichtigung dieser Zusammenhänge kann das temperaturabhängige parametrische Modell erhalten werden, wobei eine Trennung der Test-Datensätze ^sE(k), ^su(k) und ^sT(k) in die Testpunkte s erfolgt, wobei ^sT(k) die Temperatur für den Test s ist. Für jeden dieser Testpunkte wird ein jeweiliger Satz von identifizierten Parametern mithilfe des oben dargestellten Algorithmus mit den Schritten 1) bis 23) erzeugt. Letztendlich werden die Parameter θ_j(T_j) = ƒ(θ̂_j, T_j) erhalten, wobei ƒ() eine Polynomfunktion sein kann.
• Zur Ermittlung der Orientierungskorrektur: Wird der Algorithmus der 3 ausgeführt, wird von einer impliziten Relation zwischen den gemessenen Beschleunigungen des Beschleunigungssensors 1 und der Projektion dieser auf die betrachtete Sensorachse ausgegangen. Im regulären Fall, wie oben beschrieben, kann diese Relation durch eine bekannte Koordinatensystem-Transformationsmatrix ermittelt werden, um die Differenzen der Orientierung zwischen Beschleunigungssensor 1 und Halterung herauszurechnen. In einem realen Testaufbau treten jedoch zusätzliche unbekannte Fehler in der Orientierung auf, die die Genauigkeit der verwendeten Transformationsmatrix einschränken. Diese Fehler können dann vernachlässigt werden, wenn sie entsprechend klein sind. Wird jedoch eine erhöhte Genauigkeit benötigt, sollten zwei Testpunkte angewendet werden, wobei in einem ersten der Testpunkte der Beschleunigungssensor 1 in der Halterung in einer ersten Orientierung verwendet wird und an dem zweiten der beiden Testpunkte in der entgegengesetzten Ausrichtung angeordnet wird, sodass die ermittelten Beschleunigungen mit entgegengesetzter Vorzeichen-Tendenz ermittelt werden.
• Dafür erhöht sich naturgemäß jedoch auch die Zahl der Testpunkte um das Doppelte, und abhängig von der Halterung kann es schwierig werden, den Beschleunigungssensor 1 in zwei zueinander entgegengesetzten Richtungen zu testen. Die Vorgehensweise wird daher wie folgt angewendet: Es sei F_A = {n_i, n_p, n_o} das Referenzkoordinatensystem, welches körperfest am Beschleunigungssensor 1 gedacht angeordnet ist. Ferner sei F_B = {n_x, n_y, n_z} das externe Referenzkoordinatensystem, in dem die Referenzbeschleunigungen aufgebracht werden, insbesondere ein Referenzkoordinatensystem, welches körperfest zur Halterung ist. Die unbekannte Koordinatensystem-Transformationsmatrix zwischen F_B und F_A, die den Orientierungskorrektur berücksichtigt, kann dargestellt werden wie folgt: $$\left[\begin{array}{l}{\text{n}}_i\\ {\text{n}}_p\\ {\text{n}}_o\end{array}\right]=\text{M }\left[\begin{array}{l}{\text{n}}_x\\ {\text{n}}_y\\ {\text{n}}_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_{ix}& {\alpha }_{iy}& {\alpha }_{iz}\\ {\alpha }_{px}& {\alpha }_{py}& {\alpha }_{pz}\\ {\alpha }_{ox}& {\alpha }_{oy}& {\alpha }_{oz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\text{n}}_x\\ {\text{n}}_y\\ {\text{n}}_z\end{array}\right]$$

  
• Die Beschleunigungen, die bei einem mehrachsigen translatorischen Beschleunigungssensor 1 von jeder der jeweiligen Achsen ermittelt werde, werden wiefolgt erhalten: $$\begin{array}{l}{a}_i\left(k\right)={\alpha }_{ix}{a}_x\left(k\right)+{\alpha }_{iy}{a}_y\left(k\right)+{\alpha }_{iz}{a}_z\left(k\right)\\ a_p\left(k\right)={\alpha }_{px}{a}_x\left(k\right)+{\alpha }_{py}{a}_y\left(k\right)+{\alpha }_{pz}{a}_z\left(k\right)\\ a_o\left(k\right)={\alpha }_{ox}{a}_x\left(k\right)+{\alpha }_{oy}{a}_y\left(k\right)+{\alpha }_{oz}{a}_z\left(k\right)\end{array}$$

  

  wobei a_x, a_y, a_z die Beschleunigungsmessungen im Sinne der Ausgangsgröße im Koordinatensystem F_B sind. Mit den obigen Gleichungen $$\text{u}\left(k\right)=\begin{array}{c}[\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_i\left(k\right)& a_p\left(k\right)\end{array}& a_o\left(k\right)\end{array}& a_i{}^2\left(k\right)\end{array}& a_p{}^2\left(k\right)& a_o{}^2\left(k\right)& a_i\left(k\right)a_p\left(k\right)\end{array}\\ {\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_i\left(k\right)a_o\left(k\right)& a_p\left(k\right)a_o\left(k\right)\end{array}& \text{sign}\left(a_i\left(k\right)\right)\end{array}& \left|a_i\left(k\right)\right|& a_i\left(k\right)\left|a_i\left(k\right)\right|\end{array}]}^T\end{array}$$

  

  und $$\begin{array}{c}\widehat{E}\left(k|k\right)=K_b+{\text{b}}_0^T\text{u}\left(k\right)+\dots +{\text{b}}_m^T\text{u}\left(k-m\right)+\\ +a_{1}E\left(k-1\right)+\dots +a_{m}E\left(k-m\right)\\ +c_{1}v\left(k-1\right)+\dots +c_{m}v\left(k-m\right)+v\left(k\right)\end{array}$$

  

  ergibt sich somit der Vektor: $${\widehat{\text{b}}}_l^T\equiv \left[\begin{array}{cccccccccc}{\widehat{K}}_i^l& {\widehat{K}}_p^l& {\widehat{K}}_o^l& {\widehat{K}}_{ii}^l& {\widehat{K}}_{pp}^l& {\widehat{K}}_{oo}^l& {\widehat{K}}_{ip}^l& {\widehat{K}}_{io}^l& {\widehat{K}}_{po}^l& {\widehat{K}}_s^l\dots \\ {\widehat{K}}_a^l& {\widehat{K}}_{oq}^l& & & & & & & & \end{array}\right]$$

  

  für l = 0, ..., m. Wird die Ausgangsgröße, d. h. die Messung des Beschleunigungsmessers im Koordinatensystem F_B anstatt des Koordinatensystems F_A verwendet, kann u(k) modifiziert werden zum Vektor: $${\text{u}}_B\left(k\right)=\begin{array}{c}[\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_x\left(k\right)& a_y\left(k\right)\end{array}& a_z\left(k\right)\end{array}& a_z{}^2\left(k\right)\end{array}& a_y{}^2\left(k\right)& a_z{}^2\left(k\right)& a_x\left(k\right)a_y\left(k\right)\end{array}\\ {\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_x\left(k\right)a_z\left(k\right)& a_y\left(k\right)a_z\left(k\right)\end{array}& \text{sign}\left(a_i\left(k\right)\right)\end{array}& \left|a_i\left(k\right)\right|& a_i\left(k\right)\left|a_i\left(k\right)\right|\end{array}]}^T\end{array}$$

  

  womit sich der Vektor ergibt: $${\widehat{\text{b}}}_{l|B}^T\equiv \left[\begin{array}{cccccccccc}{\widehat{K}}_x^l& {\widehat{K}}_y^l& {\widehat{K}}_z^l& {\widehat{K}}_{xx}^l& {\widehat{K}}_{yy}^l& {\widehat{K}}_{zz}^l& {\widehat{K}}_{xy}^l& {\widehat{K}}_{xz}^l& {\widehat{K}}_{yz}^l& {\widehat{K}}_s^l\dots \\ {\widehat{K}}_a^l& {\widehat{K}}_{oq}^l& & & & & & & & \end{array}\right]$$

  
• Durch obige Gleichung (B) wird das folgende nichtlineare Gleichungssystem (C) erhalten: $$\begin{array}{c}{\widehat{K}}_x^l={\widehat{K}}_i^l{\alpha }_{ix}+{\widehat{K}}_p^l{\alpha }_{px}+{\widehat{K}}_o^l{\alpha }_{ox}\\ {\widehat{K}}_y^l={\widehat{K}}_i^l{\alpha }_{iy}+{\widehat{K}}_p^l{\alpha }_{py}+{\widehat{K}}_o^l{\alpha }_{oy}\\ {\widehat{K}}_z^l={\widehat{K}}_i^l{\alpha }_{iz}+{\widehat{K}}_p^l{\alpha }_{pz}+{\widehat{K}}_o^l{\alpha }_{oz}\\ {\widehat{K}}_{xx}^l={\widehat{K}}_{ii}^l{\alpha }_{ix}^2+{\widehat{K}}_{pp}^l{\alpha }_{px}^2+{\widehat{K}}_{oo}^l{\alpha }_{ox}^2+{\widehat{K}}_{ip}^l{\alpha }_{ix}{\alpha }_{px}+{\widehat{K}}_{io}^l{\alpha }_{ix}{\alpha }_{ox}+{\widehat{K}}_{po}^l{\alpha }_{px}{\alpha }_{ox}\\ {\widehat{K}}_{yy}^l={\widehat{K}}_{ii}^l{\alpha }_{iy}^2+{\widehat{K}}_{pp}^l{\alpha }_{py}^2+{\widehat{K}}_{oo}^l{\alpha }_{oy}^2+{\widehat{K}}_{ip}^l{\alpha }_{iy}{\alpha }_{py}+{\widehat{K}}_{io}^l{\alpha }_{iy}{\alpha }_{oy}+{\widehat{K}}_{po}^l{\alpha }_{py}{\alpha }_{oy}\\ {\widehat{K}}_{zz}^l={\widehat{K}}_{ii}^l{\alpha }_{iz}^2+{\widehat{K}}_{pp}^l{\alpha }_{pz}^2+{\widehat{K}}_{oo}^l{\alpha }_{oz}^2+{\widehat{K}}_{ip}^l{\alpha }_{iz}{\alpha }_{pz}+{\widehat{K}}_{io}^l{\alpha }_{iz}{\alpha }_{oz}+{\widehat{K}}_{po}^l{\alpha }_{pz}{\alpha }_{oz}\\ {\widehat{K}}_{xy}^l={\widehat{K}}_{ii}^l\left(2{\alpha }_{ix}{\alpha }_{iy}\right)+{\widehat{K}}_{pp}^l\left(2{\alpha }_{px}{\alpha }_{py}\right)+{\widehat{K}}_{oo}^l\left(2{\alpha }_{ox}{\alpha }_{oy}\right)+{\widehat{K}}_{ip}^l\left({\alpha }_{ix}{\alpha }_{py}+{\alpha }_{iy}{\alpha }_{px}\right)+\\ +{\widehat{K}}_{io}^l\left({\alpha }_{ix}{\alpha }_{oy}+{\alpha }_{iy}{\alpha }_{ox}\right)+{\widehat{K}}_{po}^l\left({\alpha }_{px}{\alpha }_{oy}+{\alpha }_{py}{\alpha }_{ox}\right)\\ {\widehat{K}}_{xz}^l={\widehat{K}}_{ii}^l\left(2{\alpha }_{ix}{\alpha }_{iz}\right)+{\widehat{K}}_{pp}^l\left(2{\alpha }_{px}{\alpha }_{py}\right)+{\widehat{K}}_{oo}^l\left(2{\alpha }_{ox}{\alpha }_{oz}\right)+{\widehat{K}}_{ip}^l\left({\alpha }_{ix}{\alpha }_{pz}+{\alpha }_{iz}{\alpha }_{px}\right)+\\ +{\widehat{K}}_{io}^l\left({\alpha }_{ix}{\alpha }_{oz}+{\alpha }_{iz}{\alpha }_{ox}\right)+{\widehat{K}}_{po}^l\left({\alpha }_{px}{\alpha }_{oz}+{\alpha }_{pz}{\alpha }_{ox}\right)\\ {\widehat{K}}_{yz}^l={\widehat{K}}_{ii}^l\left(2{\alpha }_{iy}{\alpha }_{iz}\right)+{\widehat{K}}_{pp}^l\left(2{\alpha }_{py}{\alpha }_{pz}\right)+{\widehat{K}}_{oo}^l\left(2{\alpha }_{oy}{\alpha }_{oz}\right)+{\widehat{K}}_{ip}^l\left({\alpha }_{ix}{\alpha }_{pz}+{\alpha }_{iz}{\alpha }_{py}\right)+\\ +{\widehat{K}}_{io}^l\left({\alpha }_{iy}{\alpha }_{oz}+{\alpha }_{iz}{\alpha }_{oy}\right)+{\widehat{K}}_{po}^l\left({\alpha }_{py}{\alpha }_{oz}+{\alpha }_{pz}{\alpha }_{oy}\right)\end{array}$$

  

  für l = 0, ..., m. Auch wenn berücksichtigt wird, dass n_i, n_p, n_o und n_x, n_y, n_z orthonormale Rechtshand-Koordinatensysteme definieren, ist das oben dargestellte Gleichungssystem unterbestimmt, und es gibt einen Unterraum von möglichen Orientierungen, die den Gleichungen genügen. Deshalb wird der Orientierungsfehler der Halterung der interne Orientierungsfehler des Beschleunigungssensors 1 in eine einzelne Ausrichtungsabweichung zusammengefasst, in dem erzwungen wird $K_p^0=0$

  

  und $K_o^0=0.$

  

  Dadurch wird als Ergebnis des Verfahrens der Charakterisierung des Beschleunigungssensors 1 eine Orientierungskorrektur und ein charakterisiertes (=identifiziertes) Modell mit Bezug auf die tatsächliche betrachtete Achse des Beschleunigungssensors 1 erhalten, das unabhängig von der Ausrichtungsabweichung ist.
• Das obige nichtlineare Gleichungssystem (C), welches aus (B) erhalten wird, kann mit Hilfe des Algorithmus aus 4 gelöst werden, wobei R(δ_R(n̂_R)) die Transformationsmatrix der Rotation um den Winkel δ_R um die n̂_R Achse ist, und M₀ die nominale näherungsweise initiale Koordinatensystem-Transformationsmatrix von F_B zu F_A. Es wird (willkürlich) die x-Achse in F_B angenommen als diejenige Achse, die im Falle einer Nullmatrix für die Rotation zwischen F_A und F_B mit der i-Achse in F_A übereinstimmen würde.
• Zur modifizierten Parameteridentifikation unter Berücksichtigung von Orientierungskorrekturen: Das Ermitteln der jeweiligen Orientierungskorrektur erfolgt zusammen mit einer jeweiligen für jeden der Testpunkte individuellen Schätzung der Parameterwerte des parametrischen Modells durch Ausführung einer ersten, speziellen Regressionsanalyse, wobei die jeweilige individuelle Schätzung der Parameterwerte des parametrischen Modells verworfen wird, wobei die abschließende Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells durch eine zweite, nämlich die allumfassenden Regressionsanalyse erfolgt. Um ein parametrisches Modell der Gleichung (A) mit identifizierten Parametern zusammen mit der Orientierungskorrektur aus Gleichung (B) zu erhalten, wird berechnet: $$\text{Y}\leftarrow {\left[\begin{array}{ccc}E\left(m+1\right)& E\left(m+2\right)& \begin{array}{cc}\dots & E\left(N\right)\end{array}\end{array}\right]}^T$$

  

  $${\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}\leftarrow \left[\begin{array}{ccccccc}1& {\text{u}}^T\left(m+1\right)& \cdots & {\text{u}}^T\left(1\right)& E\left(m\right)& \cdots & E\left(1\right)\\ 1& {\text{u}}^T\left(m+2\right)& \cdots & {\text{u}}^T\left(2\right)& E\left(m+1\right)& \cdots & E\left(1\right)\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\text{u}}^T\left(N\right)& \cdots & {\text{u}}^T\left(N-m\right)& E\left(N-1\right)& \cdots & E\left(N-m\right)\end{array}\right]$$

  

  $${\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}^B\leftarrow \left[\begin{array}{ccccccc}1& {\text{u}}_B^T\left(m+1\right)& \cdots & {\text{u}}_B^T\left(1\right)& E\left(m\right)& \cdots & E\left(1\right)\\ 1& {\text{u}}_B^T\left(m+2\right)& \cdots & {\text{u}}_B^T\left(2\right)& E\left(m+1\right)& \cdots & E\left(1\right)\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\text{u}}_B^T\left(N\right)& \cdots & {\text{u}}_B^T\left(N-m\right)& E\left(N-1\right)& \cdots & E\left(N-m\right)\end{array}\right]$$

  

  $$\text{M}\leftarrow \left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_{ix}& {\alpha }_{iy}& {\alpha }_{iz}\\ {\alpha }_{px}& {\alpha }_{py}& {\alpha }_{pz}\\ {\alpha }_{ox}& {\alpha }_{oy}& {\alpha }_{oz}\end{array}\right]$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{\text{ARX}}=\left[\begin{array}{ccc}{\theta }_1& \dots & {\theta }_{2m+2}\end{array}\right]\equiv {\left[\begin{array}{ccccccc}{K}_b& {\text{b}}_0^T& \dots & {\text{b}}_m^T& a_1& \dots & a_m\end{array}\right]}^T$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{\text{ARMAX}}=\left[\begin{array}{ccc}{\theta }_1& \dots & {\theta }_{3m+2}\end{array}\right]\equiv {\left[\begin{array}{ccccccc}{K}_b& {\text{b}}_0^T& \dots & {\text{b}}_m^T& a_1& \dots & a_m\end{array}\begin{array}{ccc}{c}_1& \dots & c_m\end{array}\right]}^T$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{\text{ARX}}^B=\left[\begin{array}{ccc}{\theta }_1& \dots & {\theta }_{2m+2}\end{array}\right]\equiv {\left[\begin{array}{ccccccc}{K}_b& {\text{b}}_{0|B}^T& \dots & {\text{b}}_{m|B}^T& a_1& \dots & a_m\end{array}\right]}^T$$

  

  $${\mathrm{\Theta }}_{\text{ARMAX}}^{\text{B}}=\left[\begin{array}{ccc}{\theta }_1& \dots & {\theta }_{3m+2}\end{array}\right]\equiv {\left[\begin{array}{cccccccccc}{K}_b& {\text{b}}_{0|B}^T& \dots & {\text{b}}_{m|B}^T& a_1& \dots & a_m& c_1& \dots & c_m\end{array}\right]}^T$$

  

  wobei m ∈ ℕ für m ≤ N die Ordnung des Systems angibt. Die Werte der Parameter können mit dem Algorithmus aus der 5 erhalten werden, welche die erste Regressionsanalyse als modifizierte erweiterte Methode der kleinsten Quadrate umfasst und auf 4 zur Ermittlung der jeweiligen Orientierungskorrektur zurückgreift. Analog zu oben gilt ${\sum }_{\widehat{\Theta }}={\left({\mathrm{\Phi }}_{\text{ARMAX}}^T{\mathrm{\Phi }}_{\text{ARMAX}}\right)}^{-1}{\sigma }^2,$

  

  wobei σ² die Varianz des Messerauschens ist wobei ${\sigma }^2=\frac{e^{T}e}{\left(N-p\right)}$

  

  und p = length (Θ_ARMAX) die Zahl der Parameter angibt.
• Zu einer modifizierten Modellauswahl unter Berücksichtigung der Orientierungskorrekturen: Würden die Orientierungskorrektur und die Parameter des Modells an isolierten Testpunkten einzeln ermittelt, wären weiterhin die Schritte 4) des 13) des oben beschriebenen ersten Algorithmus der Modellauswahl anzuwenden. Zur Anwendung einer allumfassenden Regressionsanalyse auf den kombinierten Testdatensatz sind jedoch Modifikationen notwendig und der folgende zweite Algorithmus der Modellauswahl und zur Schätzung der Orientierungskorrektur für isolierte Testpunkte unter Berücksichtigung der Orientierungskorrektur ist anzuwenden:
• Stelle bereit: E(k), u(k);
  • 1) Trenne E(k) und u(k) in einen Identifikations-Datensatz und einen Verifikations-Datensatz;
  • 2) Schätze die Parameter Θ̂ des parametrischen Modells und den Orientierungskorrektur M mithilfe der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate aus 5 und dem Identifikations-Datensatz _IDE(k) und _IDu(k), berücksichtige die volle Struktur von Θ bis hin zu einer höheren Modellordnung, zum Beispiel m = 5;
  • 3) Sortiere die Parameter θ̂_j mit ${\left[\text{ERR}\right]}_j={\widehat{g}}_j^2\frac{{\text{q}}_j^T{\text{q}}_j}{{\text{Y}}^T\text{Y}}$
    
    und Φ_ARMAX aus 2);
  • 4) Beginne Schleife: Für alle j sortiert nach absteigender Reihenfolge in [ERR]_j tue bis zum Schleifenende:
  • 5) Modifiziere Φ_ARX und Φ_ARMAX, sodass es nur Spalten mit Bezug zu den Parametern θ̂₁, ..., θ̂_j umfasst; sind alle Parameter in einer der Gleichungen (C) gleich Null, dann entferne auch den äquivalenten Term dieses Parameters von ${\mathrm{\Phi }}_{\text{ARX}}^B$
    
    und ${\mathrm{\Phi }}_{\text{ARMAX}}^B$
    
    im folgenden Schritt;
  • 6) Schätze die Parameter Θ̂ des parametrischen Modells und den Orientierungskorrektur M mithilfe der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate aus 5 und dem Identifikations-Datensatz _IDE(k) und _IDu(k) mit den Modifikationen aus Schritt 5);
  • 7) Entferne alle störenden Parameter mittels des Studentschen t-Tests und Φ_ARMAX, ferner: aktualisiere Modell;
  • 8) Berechne AIC_j mittels $\text{AIC}\left(n_{\theta }\right)=N\text{ ln }\left[{\sigma }_e^2\left(p\right)\right]+2p;$
    
  • 9) Berechne Σ_Θ̂ mittels _VFE(k) und mittels _VFu(k), dem identifizierten θ̂_1,...j und den geschätzten Sensorachsen-Beschleunigungen â_a(k) mit der erweiterten Methode der kleinsten Quadrate nach 3 zur Schätzung des zufälligen Fehlers (random error);
  • 10) Beende Schleife;
  • 11) Wähle das beste Model abhängig von AIC_j und ||Σ_Θ̂||1,1;
• Obwohl die Erfindung im Detail durch bevorzugte Ausführungsbeispiele näher illustriert und erläutert wurde, so ist die Erfindung nicht durch die offenbarten Beispiele eingeschränkt und andere Variationen können vom Fachmann hieraus abgeleitet werden, ohne den Schutzumfang der Erfindung zu verlassen. Es ist daher klar, dass eine Vielzahl von Variationsmöglichkeiten existiert. Es ist ebenfalls klar, dass beispielhaft genannte Ausführungsformen wirklich nur Beispiele darstellen, die nicht in irgendeiner Weise als Begrenzung etwa des Schutzbereichs, der Anwendungsmöglichkeiten oder der Konfiguration der Erfindung aufzufassen sind.
• Bezugszeichenliste

1

Beschleunigungssensor

H

Gelenk

S1

Ermitteln

S2

Ermitteln

S3

Zusammenfassen

S4

Vorgeben

S5

Ausführen

S6

Kalibrieren

Claims (10)

1. Verfahren zum Kalibrieren eines Beschleunigungssensors (1), aufweisend die Schritte: - Ermitteln (S1) von Testdaten an unterschiedlichen Testpunkten durch Aufbringen von über die Testpunkte unterschiedlichen Referenzbeschleunigungen und/oder von Referenzbeschleunigungen unter unterschiedlichen Umgebungsbedingungen auf den Beschleunigungssensor (1), wobei an einem jeweiligen der Testpunkte zum Ermitteln der Testdaten eine von der jeweiligen aufgeprägten Referenzbeschleunigung abhängige Eingangsgröße sowie eine von einem verarbeitbaren Sensorsignal abhängige Ausgangsgröße des Beschleunigungssensors (1) ermittelt wird; - Ermitteln (S2) einer jeweiligen Orientierungskorrektur für einen jeweiligen Testpunkt und Anwenden der jeweiligen Orientierungskorrektur auf die Testdaten eines jeweiligen Testpunkts, mit der Wirkung, dass alle koordinatensystembezogenen Testdaten auf das selbe Referenzkoordinatensystem bezogen sind; - Zusammenfassen (S3) der Testdaten der unterschiedlichen Testpunkte in einen kombinierten Testdatensatz; - Vorgeben (S4) einer mathematischen Modellstruktur eines parametrischen Modells des getesteten Beschleunigungssensors (1); - Ausführen (S5) einer allumfassenden Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells, sodass mit der allumfassenden Regressionsanalyse sämtliche Parameter des parametrischen Modells auf Grundlage der Testdaten aller Testpunkte aufeinmal erhalten werden; und - Kalibrieren (S6) des getesteten Beschleunigungssensors (1) auf Basis des parametrischen Modells mit den ermittelten Parameterwerten;
2. Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Ermitteln der jeweiligen Orientierungskorrektur durch Ausführung einer ersten Regressionsanalyse erfolgt, wobei die abschließende Ermittlung von Parameterwerten des parametrischen Modells durch eine zweite, nämlich die allumfassende Regressionsanalyse erfolgt.
3. Verfahren nach Anspruch 2, wobei die allumfassende Regressionsanalyse eine erweiterte Methode der kleinsten Quadrate umfasst.
4. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei das parametrische Modell ein dynamisches und nichtlineares Modell ist und/oder ein Modell mit Termen höherer Ordnung.
5. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei das parametrische Modell ein ARMAX Model umfasst.
6. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei die verschiedenen Referenzbeschleunigungen zumindest eine erste Referenzbeschleunigung mit einer hohen Amplitude und eine zweite Referenzbeschleunigung mit einer niedrigen Amplitude aufweisen.
7. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei eine Vielzahl von möglichen parametrischen Modellen des getesteten Beschleunigungssensors (1) mit unterschiedlichen mathematischen Modellstrukturen vorgegeben wird, wobei eine jeweilige allumfassende Regressionsanalyse für den kombinierten Testdatensatz zur Ermittlung von allen Parameterwerten des jeweiligen parametrischen Modells ausgeführt wird, wobei gemäß einer vorgegebenen Metrik das passenste Modell ausgewählt wird und das Kalibrieren des getesteten Beschleunigungssensors (1) auf Basis des ausgewählten parametrischen Modells mit den zugehörigen ermittelten Parameterwerten erfolgt.
8. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei die unterschiedlichen Umgebungsbedingungen unterschiedliche Umgebungs-Temperaturen umfassen.
9. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, wobei zusätzliche Testdaten dadurch erzeugt werden, dass der Beschleunigungssensor (1) in eine Vielzahl von Orientierungen geschwenkt wird, wobei an jeder der Orientierungen der Beschleunigungssensor (1) ohne das Aufbringen von Referenzbeschleunigungen gehalten wird und das Messrauschen in jeder der Orientierungen ermittelt wird, wobei die zusätzlichen Testdaten zum kombinierten Testdatensatz hinzugefügt werden.
10. Verfahren nach Anspruch 9, wobei zum Ändern der Orientierung des Beschleunigungssensors (1) ein seismisch isolierter Rotationstisch verwendet wird.

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