DE102005002188A1

DE102005002188A1 - Breitbandsystemmodelle

Info

Publication number: DE102005002188A1
Application number: DE200510002188
Authority: DE
Inventors: Tom Dhaene; Luc Knockaert
Original assignee: Agilent Technologies Inc
Current assignee: Agilent Technologies Inc
Priority date: 2004-02-06
Filing date: 2005-01-17
Publication date: 2005-09-01
Anticipated expiration: 2025-01-18
Also published as: GB2410874B; DE102005002188B4; GB0402612D0; US20050175111A1; GB2410874A

Abstract

Ein Verfahren zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen eines linearen zeitinvarianten (LTI-) Systems, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen enthalten ist.

Description

Diese Erfindung bezieht sich auf Breitbandsystemmodelle und insbesondere, jedoch nicht ausschließlich, auf Verfahren und Vorrichtungen zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen eines linearen zeitinvarianten (LTI – linear time-invariant) Systems, um ein einzelnes Breitbandmodell abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, den die Schmalbandmodelle umfassen, beschreibt.
Die Verwendung von Systemsimulationstechniken, um komplexe dynamische Systeme zu entwerfen und zu analysieren, wobei mathematische Beschreibungen der Charakteristika von Komponenten des Systems integriert werden, verbreitet sich mehr und mehr. Beispiele umfassen Automobil- und Luftfahrtprodukte und elektronische Produkte wie z. B. Mobiltelefone und Heimempfänger für Satelliten-TV-Übertragungen. Dieser Trend wird von einer Zunahme des Dynamikbereichs begleitet, über den derartige Simulationstechniken das Verhalten der Systeme präzise nachahmen bzw. modellieren müssen. Beispielsweise müssen manche elektronische Schaltungen für einen voraussehbaren Betrieb über einen Frequenzbereich Gleichstrom bis 10 GHz oder sogar 100 GHz entworfen werden. Diese Systeme sind üblicherweise von einer Art, die als linear zeitinvariant (LTI) bekannt ist, was bedeutet, dass sie das Prinzip der Überlagerung erfüllen und dass Zeitverschiebungen bei dem Eingangssignal gleiche Zeitverschiebungen bei dem Ausgangssignal erzeugen.

Bekannte Simulationstechniken umfassen adaptive Frequenzabtastung (AFS – adaptive frequency sampling) („Adaptive frequency sampling algorithm for fast and accurate S-parameter modelling of general planar structures", T. Dhaene, J. Ureel, N. Fache & D. De Zutter, Proceedings of the IEEE In ternational Microwave Symposium, Mai 1995) und Schmalbandinformationsverfahren ("Accurate computation of wide-band response of electromagnetic systems using narrow-band information", K. Kottapali, T. K. Sarkar, Y. Hua, E. K. Miller & G. J. Burke, IEEE Trans. Microwave Theory Techn, April 1991; und „Efficient frequency-domain modelling and circuit simulation of transmission lines", L. M. Silveira, I. M. Elfadel, J. K. White, M. Chilukuri & K. S. Kundert, IEEE Trans. Components, Packaging and Manufacturing Technol., Part B: Advanced Packaging, Vol. 17, Nr. 4, S. 505–513, Nov. 1994). Die Verwendung dieser Techniken bei tatsächlichen Schaltungssimulationen erzeugt mehrere stückweise rationelle Modelle, die nur über relativ kleine Frequenzbereiche hinweg gelten. Jedoch erfordert eine weitere Verarbeitung, z. B. mittels SPICE-Netzlisten (SPICE = Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis, Simulationsprogramm für die Simulation von ICs elektrischer Bauelemente) ein einziges „globales" rationelles Modell, das über den gesamten Frequenzbereich hinweg gültig ist.

Frühere Vorschläge zum Lösen des Problems des Konstruierens von globalen Breitbandmodellen auf der Basis mehrerer rationeller Schmalbandannäherungen umfassen folgende:

1. Einen unkomplizierten Systemidentifizierungsansatz der „rohen Gewalt", wie er bei „Identifying S-parameter models in the Laplace domain for high frequency multiport linear networks", A. Verschueren, Y. Rolain, R. Vuerinckx & G. Vandersteen, Microwave Symposium Digest, 1998 IEEE MTT-S International, Vol. 1, Juni 1998, beschrieben ist. Eigentlich besteht dieser Ansatz aus einem bloßen erneuten Abtasten über den gesamten Frequenzbereich hinweg, ohne die bekannten Charakteristika (z. B. Pole, Nullen, Verstärkungen) der stückweisen rationellen Modelle zu nutzen, und verliert somit relevante Informationen aus den Augen. Diese Technik weist die folgenden praktischen Nachteile auf: Es ist ein rechentechnisch kostspieliges Rohe-Gewalt-Verfahren; es gibt keine Nutzung vorab bekannten Wissens (Pole/Nullen, Pole/Reste); es gibt zahlreiche Stabilitätsprobleme, wenn das modellierte System eine hohe Anzahl von Polen aufweist; es kann ein Überabtasten auftreten (zu viele Datenabtastwerte); ein Übermodellieren (zu viele Pole) ist wahrscheinlich.
2. Komplexes Frequenzsprungverfahren (CFH – Complex Frequency Hopping), das bei „Analysis of interconnect networks using complex frequency hopping (CFH)", E. Chiprout & M. S. Nakhla, IEEE Trans. Computer-Aided Design, Vol. 14, Nr. 2, S. 186–200, Februar 1995, beschrieben ist. Dies ist eine heuristische Technik, die einen relativ kleinen Satz von dominanten Polen mehrerer Schmalbandfrequenzbereiche zu einem Modell eines globalen Systems kombiniert. CFH verwendet das Konzept des „Momentabgleichens" („moment matching"), um eine Mehrpunkt-Pade-Annäherung einer niedrigeren Ordnung zu erhalten. Diese Technik weist ebenfalls praktische Nachteile auf: Sie basiert auf der Heuristik und es ist schwer, sie automatisch anzuwenden; es wird lediglich ein Teilsatz von Polen betrachtet; sie weist eine begrenzte Genauigkeit auf, und es ist nicht möglich, die Genauigkeit des erzeugten Annäherungsmodells abzuschätzen.

Die Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht darin, Verfahren und Vorrichtungen mit verbesserten Charakteristika zu schaffen.

Diese Aufgabe wird durch Verfahren gemäß den Ansprüchen 1, 10 oder 11 sowie durch Vorrichtungen gemäß Anspruch 9 oder 12 gelöst.

Gemäß einem Aspekt dieser Erfindung ist ein Verfahren zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems vorgesehen, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems ü ber den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen eingeschlossen ist, beschreibt, wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst:
Zusammenbauen stabiler Pole von Matrixdarstellungen der Schmalbandfrequenzbereichsmodelle zusammen mit zusätzlichen Polen, die ein vorbestimmtes Kriterium erfüllen, auf der Basis von Anforderungen bezüglich bandbegrenzter abgeschnittener vollständiger orthonormaler Kautz-Basen (COKB), um eine kanonische modale Systemmatrix abzuleiten;
Ableiten eines bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians als Funktion der kanonischen modalen Systemmatrix;
Ableiten eines Breitbandbeobachtbarkeitsvektors als Funktion des bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians und der kanonischen modalen Systemmatrix; und
Ableiten des einzigen Breitbandmodells als Funktion des Breitbandbeobachtbarkeitsvektors.

Gemäß einem weiteren Aspekt dieser Erfindung ist eine Vorrichtung zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems vorgesehen, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen eingeschlossen ist, beschreibt, wobei die Vorrichtung folgende Schritte umfasst:
einen Matrixgenerator zum Zusammenbauen stabiler Pole von Matrixdarstellungen der Schmalbandfrequenzbereichsmodelle zusammen mit zusätzlichen Polen, die ein vorbestimmtes Kriterium erfüllen, auf der Basis von Anforderungen bezüglich bandbegrenzter abgeschnittener vollständiger orthonormaler Kautz-Basen (COKB), um eine kanonische modale Systemmatrix abzuleiten;
einen Grammian-Generator zum Ableiten eines bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians als Funktion der kanonischen modalen Systemmatrix;
einen Vektorgenerator zum Ableiten eines Breitbandbeobachtbarkeitsvektors als Funktion des bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians und der kanonischen modalen Systemmatrix; und
einen Modellgenerator zum Ableiten des einzigen Breitbandmodells als Funktion des Breitbandbeobachtbarkeitsvektors.

Die Erfindung erfüllt ihren Zweck teilweise dadurch, dass sie eine neuartige, bandbegrenzte Variante von Complete Orthonormal Kautz Bases (COKB – vollständige orthonormale Kautz-Basen) verwendet. Diese Basen wurden zuvor bezüglich einer Verwendung bei einer Modellierung eines kontinuierlichen Systems („Orthonormal basis functions for modelling continuous-time systems", H. Akcay & B. Ninness, Signal Processing, Vol, 77, Nr. 3, S. 261–274, September 1999) und einer Systemidentifikation („System identification using Kautz models", B. Wahlberg, IEEE Trans. Aut. Control, Vol. 39, S. 1276–1281, 1994) beschrieben. Ein bedeutender Nachteil der COKB, wie sie zuvor beschrieben wurden, besteht jedoch darin, dass eine vollständige Kenntnis des Frequenzbereichs nötig ist, um die zugehörigen Hardy-Raumskalarprodukte zu berechnen, wohingegen man in der Praxis jedoch am häufigsten auf im Wesentlichen bandbegrenzte Funktionen und Systeme trifft. Den Erfindern der vorliegenden Erfindung gelang es, eine neuartige, gestutzte Implementierung von COKB zu entwickeln, die die Ableitung von orthonormalen bandbegrenzten Kautz-Sequenzen ermöglicht.

Gemäß einem weiteren Aspekt dieser Erfindung ist somit ein Verfahren zum Modellieren eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems vorgesehen, bei dem ein Modell des Systems konstruiert wird, das einen Satz stabiler Pole beinhaltet, der unter Verwendung einer α-bandbegrenzten abgeschnittenen Sequenz von vollständigen orthonormalen Kautz-Basen (COKB) erzeugt wird, die durch

definiert ist,
wobei R den realen Teil eines komplexen Ausdrucks angibt,
Π das Produkt der festgelegten Serie von Faktoren angibt,
α die gesamte Bandbreite angibt, s die komplexe Frequenz angibt und p_n die ursprünglichen Pole sind.

Ein Verfahren und eine Vorrichtung gemäß dieser Erfindung zum Simulieren eines Betriebs eines LTI-Systems wie z. B. einer elektronischen Schaltung werden nun unter Bezugnahme auf die beiliegenden Zeichnungen beispielhaft beschrieben. Es zeigen:
1 ein Blockdiagramm einer Vorrichtung zum Simulieren des Betriebs eines LTI-Systems unter Verwendung der vorliegenden Erfindung;
2 ein Flussdiagramm einer Vorgehensweise, die bei der Vorrichtung der 1 implementiert ist;
3 ein Bode-Diagramm des Frequenzgangs eines Satzes von Butterworth-Filtern, die unter Verwendung der Erfindung modelliert werden, das Simulationsergebnisse zeigt, die durch eine anfängliche Annäherung bereitgestellt werden;
4 ein Bode-Diagramm des Frequenzgangs des Satzes von Butterworth-Filtern der 3, das Simulati onsergebnisse zeigt, die nach einem Modellierungsschritt einer verringerten Ordnung bereitgestellt werden;
5 ein Bode-Diagramm des Frequenzgangs einer reinen Verzögerungstransferfunktion, die unter Verwendung der Erfindung modelliert wurde, das Simulationsergebnisse zeigt, die durch eine anfängliche Annäherung bereitgestellt werden; und
6 ein Bode-Diagramm des Frequenzgangs der reinen Verzögerungstransferfunktion der 5, das Simulationsergebnisse zeigt, die nach einem Modellierungsschritt einer verringerten Ordnung bereitgestellt werden.
Die Erfindung ermöglicht, dass Breitbandsystemmodelle aus zwei oder mehreren Schmaldbandfrequenzbereichsmodellen eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems zusammengebaut werden. Ein lineares System ist eines, bei dem das Prinzip der Überlagerung gilt, d. h. die Ausgabe des Systems ansprechend auf zwei gleichzeitig angelegte, unterschiedliche Stimuli ist gleich der Summe der Systemausgaben ansprechend auf die beiden einzeln angelegten beiden Stimuli. Wenn also gilt: x1 → y, und x2 → y2 wobei x₁ und x₂ Systemeingaben sind und y₁ und y₂ die Systemausgaben sind und → „Ergebnisse in der Antwort" angibt, so gilt bei einem linearen System: αx1 + bx2 → αy1 + by2 wobei a und b willkürliche Konstanten sind.
Ein System ist zeitinvariant, wenn zeitliche Verschiebungen des Eingangssignals gleiche Zeitverschiebungen des Ausgangssignals erzeugen. Wenn also gilt: x(t) → y(t)so gilt bei einem zeitinvarianten System für jegliche Zeitverschiebung t₀: x(t – t0) → y(t – t0)
Beispiele von LTI-Systemen finden sich in vielerlei Disziplinen: in elektronischen Schaltungen wie z. B. Satelliten-Mikrowellen-Empfängern, Funktfrequenz- und Mikrowellenschaltungen; mechanischen Systemen wie z. B. Oszillatoren (z. B. Fahrzeugaufhängungen und anderen gefederten Systemen) und Plattenlaufwerken; Stromversorgungssystemen, z. B. Transformatoren; Computersystemen; biologischen Systemen und wirtschaftlichen Systemen.
Der Zweckmäßigkeit halber wird unter Verwendung der in 1 gezeigten Vorrichtung zum Simulieren eines Betriebs einer elektronischen Schaltung eine beispielhafte Implementierung der Erfindung im Kontext des Entwurfs einer elektronischen Schaltung beschrieben. Die Erfindung ist jedoch gleichermaßen auf eine Simulation des Betriebs irgendeiner anderen Art von LTI-System, einschließlich der oben erwähnten, anwendbar.
Unter Bezugnahme auf 1 umfasst die Vorrichtung eine Verarbeitungseinheit 10 und eine Benutzereingabe-/ausgabeschnittstelleneinheit 12. Die Verarbeitungseinheit 10 umfasst eine Zentralverarbeitungseinheit (CPU), einen Direktzugriffsspeicher (RAM), einen Festplattenspeicher und eine zugeordnete Schaltungsanordnung, um die CPU zu befähigen, Prozeduren gemäß in dem RAM gespeicherten Softwareprogrammanweisungen zu implementieren und um mit der Schnittstelleneinheit 12 zu interagieren, um eine Eingabe von dem Benutzer zu empfangen und die Ergebnisse der Prozeduren anzuzeigen. Die Schnittstelleneinheit 12 umfasst üblicherweise eine Sichtanzeigeeinheit (VDU – visual-display unit), eine Tastatur, eine Maus und/oder ein Tablett oder eine ähnliche Zeigevorrichtung sowie einen Drucker oder eine andere Druckkopie-Ausgabevorrichtung.
Als Vorbereitung darauf, eine Systemsimulation durchzuführen, empfängt die Vorrichtung über die Schnittstelleneinheit 12 bei Schritt 20 eine physische Beschreibung des Systems, z. B. eine Liste von Komponenten einer elektronischen Schaltung, ihrer Betriebscharakteristika (z. B. Widerstandswert, Kapazität, Verstärkung als Funktion der Frequenz usw.), ihrer Verbindung untereinander und anderer Einzelheiten der Anordnung der Schaltung. Bei Schritt 22 leitet die Vorrichtung eine Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen des Betriebs des Systems ab. Die Anzahl von Modellen hängt insbesondere von dem Frequenzbereich ab, über den der Betrieb des Systems simuliert werden soll. Diese Modelle können vorzugsweise in einem Zustandsraumformat vorliegen, das (allgemein gesagt) Folgendes umfasst: eine Zustandsgleichung der Form x' = Ax + Buwobei x' (Fettdruck gibt eine Matrix oder einen Vektor an) die Ableitung des Zustandsvektors des Systems in Bezug auf die Zeit ist, A die Systemmatrix ist, B die Eingangsmatrix ist und u die Eingabe ist; und eine Ausgangsgleichung der Form y = Cx + Duwobei y die Ausgabe ist, C die Ausgangsmatrix ist und D der Vorwärtskopplungsterm ist.
Bei Schritt 24 wird die Mehrzahl von Schmalbandmodellen verwendet, um ein einziges Breitbandmodell des Systemver haltens über den gesamten interessierenden Frequenzbereich abzuleiten, wie hierin ausführlicher beschrieben ist. Bei Schritt 26 wird das Breitbandmodell verwendet, um einen Betrieb des Systems zu simulieren und Ausgangsdaten zu erzeugen, die diesen Betrieb beschreiben. Diese Ausgangsdaten können zum Beispiel graphische Anzeigen von Schaltungsbetriebscharakteristika umfassen, z. B. Bode-Diagramme, Smith-Graphiken und Pol-Nullstellen-Diagramme, sowie numerische Beschreibungen wie z. B. Parameterwerte für Formeln, die die Systemeigenschaften zusammenfassen. Die Ausgangsdaten werden dem Benutzer über die Schnittstelleneinheit 12 bereitgestellt und können verwendet werden, um die Betriebscharakteristika des simulierten Systems zu verstehen, sein Verhalten mit dem gewünschten Verhalten zu vergleichen, den Entwurf des Systems weiter zu verbessern und Daten zu liefern, um Herstellungsprozesse zu steuern, eine praktische Implementierung des Systems zusammenzubauen.
Die Funktionsweise der Vorrichtung in Bezug auf Schritte 20 und 22 ist herkömmlich und muss hier nicht näher beschrieben werden. Die Ableitung eines einzelnen Breitbandmodells erfolgt wie in 2 zusammengefasst. Bei einem Schritt 30 wird eine Mehrzahl M von stückweisen Schmalband-Zustandsraumbeschreibungen F_k(iω) unter Verwendung herkömmlicher Techniken, wie sie oben beschrieben wurden, gewonnen. Diese Beschreibungen können wie folgt zusammengefasst werden: F(iω) = Fk(iω) = CTk (iωI – Ak)–1Bk 0 ≤ γk ≤ |ω| ≤ βk k = 1, ..., M wobei 0 < βk ≤ γk+1 und βM = α (1)wobei α die gesamte Bandbreite des gewünschten einzelnen Breitbandmodells ist und ω die radiale Frequenz. Das Ziel besteht darin, eine einzelne rationale Annäherung zu erhalten, die gut zu allen stückweisen bandbegrenzten Funktionen F_k(iω) über den Frequenzbereich [–α, α] hinweg passt. Wie nachfolgend erläutert wird, nimmt diese rationale Annäherung folgende Form an:
Um diese rationale Gesamtannäherung F_2N,α(S) zu erhalten, wird bei Schritt 32 zunächst ein entsprechendes stabiles Polsegment ausgewählt, das bereits in den stückweisen Daten vorliegt. Eine Beschreibung dessen, wie dieser einzelne Schritt durchzuführen ist, wird in dem oben erwähnten Dokument von Dhaene, Ureel, Fache & De Zutter geliefert. Eine erste und unkomplizierte Bedingung, dies zu bewerkstelligen, besteht darin, den Satz aller stabilen Pole der Matrizes A_k in der {q_k}-Polsequenz der Breitbanddarstellung zu umfassen. Um den Dynamikbereich weiter zu vergrößern, wird dieses Polsegment bei Schritt 34 durch eine abgeschnittene Sequenz anderer stabiler Pole, die die Müntz-Szász-Bedingung erfüllen, erweitert (siehe „Equivalent formulations of the Muntz-Szasz completeness condition for systems of complex exponentials", L. Knockaert, Journal of The Franklin Institute, Vol. 339, Nr. 1, S. 103–109, Januar 2002). Eine Möglichkeit ist eine Sequenz gleicher Laguerre-Pole {–α; k = 1, ..., L}; eine weitere Möglichkeit, insbesondere wenn gewünscht wird, mit zusammenfallenden Polen verbundene Degenerierungssysteme zu vermeiden, ist eine Sequenz der Form {–kα/(k + 1); k = 1, ..., L}; weitere Einzelheiten derartiger Sequenzen finden sich bei „On orthonormal Muntz-Laguerre filters", L. Knockaert, IEEE Trans. on Signal Processing, Vol. 49, Nr. 4, S. 790–793, April 2001. Das vollständige Polsegment, das bei Schritt 34 zusammengebaut wird, wird erhalten, indem der reflektierte Polsatz {α²/q_k} angehängt wird. Die reflektierten Pole ermöglichen, dass die Anforderungen bezüglich der α-bandbegrenzten, abgeschnittenen Complete Orthonormal Kautz Bases (COKB), die durch die Erfinder der vorliegenden Erfindung zum ersten Mal abgeleitet wurden, erfüllt werden:
wobei R den echten Teil eines komplexen Ausdrucks angibt,
Π das Produkt der festgelegten Serie von Faktoren angibt,
α die gesamte Bandbreite ist, s die komplexe Frequenz ist und p_n die ursprünglichen Pole sind.
Bei Schritt 36 wird eine kanonische modale Zustandsraumsystem-Breitbandmatrix A ~ konstruiert, indem alle stabilen Pole {q_k} der Matrizes A_k (Systemmatrizes) der Zustandsraumdarstellungen F_k(iω) plus die stabilen Pole {–kα/(k + 1); k = 1, ..., L} plus die reflektierten Pole {α²/q_k}, die bei Schritt 34 angehängt wurden, die lediglich von den zuvor erzeugten vollständigen Polsequenzen (des Schritts 32) abhängen, kombiniert werden.
Bei Schritt 38 wird ein bandbegrenztes Steuerbarkeits-Grammian W_α mittels nachfolgend beschriebener Schmalbandskalarprodukte von den bei Schritt 30 gewonnenen stückweisen Schmalbandzustandsraumbeschreibungen F(iω) abgeleitet. Das Steuerbarkeits-Grammian ist ein bekanntes Konzept bei Zustandsraumbeschreibungen von Systemen, das Informationen darüber liefert, ob eine Systemeingabe für einen beliebigen anfänglichen Zustand des Systems existiert, die es in einem definierten Zeitintervall in einem bestimmten anderen definierten Zustand versetzt. Das bandbegrenzte Steuerbarkeits-Grammian W_α wird bei Schritt 38 gemäß dem Ausdruck Wα = ⟨(iωI – A ~)–1B ~|[(iωI – A ~)–1B ~]T⟩α (4)abgeleitet, wobei A ~ die 2N × 2N-Breitbandzustandsraumsystemmatrix ist, die bei Schritt 36 erhalten wurde, und B ~ ein Spaltenvektor einer Länge 2N ist, der lediglich aus Einsen besteht.
Ein Schmalband(α-bandbegrenztes)-Skalarprodukt von LTI-Zustandsraumtransferfunktionen, z. B. wie in dem obigen Aus druck (4), das durch die Notation „<.|.>_α" dargestellt ist, kann durch Verwendung der Beziehung
effektiv berechnet werden, wobei F₁ und F₂ die Zustandsraumtransferfunktionen sind, deren Skalarprodukt benötigt wird (z. B. der Form [C₁ ^T(iωI – A₁)^–1B₁] und [C₂ ^T(iωI – A₂)^–1 B₂]), C^T die Transposition der Matrix C angibt, arccot die Arkus-Kotangens-Funktion ist und A₁₂, B₁₂ und C₁₂ Matrizes sind, die von folgenden Funktionen abgeleitet sind:
Indem Ausdruck (5) auf die Auswertung spezifisch des Ausdrucks (4) angewendet wird, nehmen C₁ ^T und C₂ ^T jeweils den Wert der Diagonalidentitätsmatrix an. Die Berechnung des Ausdrucks arccot(A), wobei A jegliche reale Matrix ist, kann unter Verwendung eines Verfahrens bewerkstelligt werden, das von B. N. Parlett entworfen wurde und in „Matrix Computations" von G. H. Golub & C. F. Van Loan, The John Hopkins University Press, 1996, Absatz 11.1, S. 380–387, beschrieben ist.
Das bei Schritt 38 abgeleitete bandbegrenzte Steuerbarkeits-Grammian W_α wird anschließend bei Schritt 40 verwendet, um einen Breitbandbeobachtbarkeitsvektor C_F,2N gemäß der folgenden Beziehung
wobei R den realen Teil des komplexen Ausdrucks zwischen den Klammern {} angibt, auszuwerten. Das Skalarprodukt bei diesem komplexen Ausdruck kann unter Verwendung der oben beschriebenen Beziehung (5) ausgewertet werden.
Die benötigte rationale Annäherung eines einzelnen Breitbandzustandsraummodells des zu simulierenden Systems kann anschließend unter Verwendung des oben angegebenen Ausdrucks (2) abgeleitet werden.
Infolge der Art und Weise des Aufbaus der Systemmatrix A ~ bei Schritt 36 kann die Funktion für F_2N,α(s) auf der rechten Seite des Ausdrucks (2) eine übermäßig große Modellordnung (Anzahl der Pole) aufweisen. Somit kann die Zustandsraumdarstellung von F_2N,α(s) bei einem optionalen Schritt 42 in einen Verringerte-Ordnung-Modellierungsalgorithmus wie z. B. den Laguerre-SVD-Algorithmus, der bei „Laguerre-SVD reduced order modeling", L. Knockaert & D. De Zutter, IEEE Trans. Microwave Theory Techn., Vol. 48, Nr. 9, S. 1469–1475, September 2000, beschrieben ist, eingegeben werden, um bei Schritt 44 ein abschließendes Breitbandzustandsraummodell einer ausreichend niedrigen Ordnung zu erhalten.
Ein Beispiel der Erfindung, das auf das Modellieren eines Systems angewandt ist, das drei Butterworth-Filter aufweist, wird beschrieben: das erste Filter ist ein zweipoliges Tiefpassfilter mit einer Grenze ω_c = 2 × 10⁶ rad/s; das zweite ist ein vierpoliges Bandpassfilter über den Frequenzbereich 4 × 10⁶ rad/s ≤ ω ≤ 6 × 10⁶ rad/s; und das dritte ist ein vierpoliges Bandpassfilter über den höheren Bereich 8 × 10⁶ rad/s ≤ ω ≤ 10⁷ rad/s. Der Zweck besteht darin, ein einzelnes (globales) Zustandsraummodell zu finden, das nahe genug bei jedem der drei Filter liegt, die in ihrem jeweiligen Frequenzband einzeln betrachtet werden. Die globale Bandbreite lautet α = 10⁷ rad/s, und die Anzahl der stabilen Pole beträgt 10. Ein Hinzufügen von 10 angenäherten Laguerre-Polen {–α/2, –2α/3, ..., –10α/11} und ein Reflektieren der Pole mittels der Transformation α²/p (Schritt 34) führt zu insgesamt 40 Systempolen, die in dem globale Modell enthalten sein sollen. Wenn man die unter Bezugnahme auf Schritte 38 und 40 beschriebene Vorgehensweise anwendet, unter Verwendung der arccot-Beziehung (4), führt dies zu einem Wert für den Beobachtbarkeitsvektor C_F,2N, und ei ner Beschreibung eines anfänglichen globalen Zustandsraums. Ein Bode-Diagramm dieser Beschreibung ist in 3 gezeigt, wobei die durchgezogenen Linien 50, 52 und 54 die Charakteristika der einzelnen Butterworth-Filter angeben und die gestrichelte Linie 56 die Charakteristika des Globalzustandsraummodells angibt. Nach einem Laguerre-SVD-Reduzierte-Ordnung-Modellierungsschritt 42 (2) wird ein präzises Verringerte-Ordnung-Modell mit 26 Systempolen erhalten, mit Charakteristika, die in dem Bode-Diagramm der 4 (das einen stärker eingeschränkten Größen- und Phasenbereich als 3 abdeckt) gezeigt sind.
Manchmal kann eine rationale Interpolationsprozedur vom Neville-Typ, z. B. der Bulirsch-Stoer-Algorithmus (bei „Numerical Recipes in Fortran, The Art of Scientific Computing", W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling & B. P. Flannery, 2nd Ed., Cambridge University Press, 1992 beschrieben) verwendet werden, um eine rationale Funktion zu finden, die über einen bestimmten Frequenzbereich hinweg nahe bei einer tabellierten Funktion liegt. Eine zweckmäßige Version dieses Algorithmus, die demjenigen, der bei „An efficient adaptive frequency sampling algorithm for model-based parameter estimation as applied to aggressive space mapping", R. Lehmensiek & P. Meyer, Microwave Opt. Techn. Lett., Vol. 24, Nr. 1, S. 71–78, Januar 2000, beschrieben ist, ähnelt, jedoch nicht identisch mit demselben ist, lautet wie folgt:
Man betrachte eine Frequenzgangtabelle h = {H₁, H ₁, ..., H_N, H _N} bei den komplexen Frequenzen {s₁ = iω₁, s₂ = –iω₁, ..., s_2N–1 = iω_N, s_2N = –iω_N}, wobei 0 < ω₁ < ... < ω_N < ∞. Dann kann anhand des Algorithmus vom Neville-Typ eine real-rationale Funktion R_2N(s) = a_2N(s)/b_2N(s) mit N Polen und N–1 Nullen, so dass R_2N(s_k) = h_k, konstruiert werden αk(s) = σkαk–1(s) + (s – sk–1)αk-2(s) (8) bk(s) = σkbk–1(s) + (s – sk–1)bk–2(s) (9) mit anfänglichen Werten a₀ = 0, a₁ = h₁, b₁ = b₀ = 1. Der Wert für σ_k wird gefunden, indem es zur Bedingung gemacht wird, dass h_k = a_k(s_k)/b_k(s_k), d. h.
Es wäre zweckmäßig, wenn der obige Interpolationsalgorithmus auch eine gewisse Extrapolationsleistung aufweisen würde, in der Praxis ist dies jedoch leider nur selten der Fall. Um eine rationale Annäherung einer gegebenen analytischen Funktion über eine große Bandbreite zu erhalten, müssen wir also über verschiedene relativ schmale Bänder hinweg interpolieren und anschließend die Lösungsansätze in einem rationalen Gesamtmodell kombinieren.
Als Beispiel betrachte man die reine Verzögerungstransferfunktion e^–sτ, wobei τ = 1 μs. Wenn man den Algorithmus vom Neville-Typ auf gleichmäßig beabstandete Abtastwerte in den Bändern 0 < ω ≤ 2 × 10⁷ rad/s, 2 × 10⁷ rad/s ≤ ω ≤ 4 × 10⁷ rad/s und 4 × 10⁷ rad/s ≤ ω ≤ 6 × 10⁷ rad/s anwendet, werden rationale Interpolanten mit 10, 12 bzw. 12 Polen erhalten. Die globale Bandbreite lautet α = 6 × 10⁷ rad/s, und die Anzahl der stabilen Pole beträgt 34. Ein Hinzufügen von 34 angenäherten Laguerre-Polen {–α/2, –2α/3, ..., –34α/35} und ein Reflektieren der Pole mittels der Transformation α²/p (Schritt 34 bei 2) führt zu insgesamt 136 zu verarbeitenden Systempolen. Wenn man die unter Bezugnahme auf Schritte 38 und 40 beschriebene Prozedur unter Verwendung der arccot-Beziehung (4) verwendet, führt dies zu einem Wert für den Beobachtbarkeitsvektor C_F,2N und einer Beschreibung des anfänglichen globalen Zustandsraums. In 5 ist ein Bode-Diagramm gezeigt, wobei die gestrichelten Linien 60, 62 und 64 die Größe und Phasencharakteristika der drei Sätze von rationalen Interpolanten angeben und die durchgehende Linie 66 die Charakteristika des globalen Zustandsraummodells angibt. (Bei dem Größendiagramm wurde die Linie 66 von ihrer wahren Position zum Teil nach oben ver schoben, um die Interpolantenlinien, die sie überlappt, deutlicher sichtbar zu machen.) Nach einem Laguerre-SVD-Reduzierte-Ordnung-Modellierungsschritt 42 (2) wird ein präzises Modell einer verringerten Ordnung mit 72 Systempolen erhalten, das Charakteristika aufweist, wie sie in dem Bode-Diagramm der 6 gezeigt sind. Beim Vergleichen der 5 und 6 sollte man beachten, dass das Größendiagramm in 5 einen Bereich von +5 bis –25 dB umfasst, wohingegen der Größenbereich in 6 viel stärker eingeschränkt ist (+0,08 bis –0,02 dB), um feine Schwankungen der Größenantwort offensichtlicher zu machen.

Claims

Verfahren zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen (22) eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell (24) abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen eingeschlossen ist, beschreibt, wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst: Zusammenbauen stabiler Pole (32) von Matrixdarstellungen der Schmalbandfrequenzbereichsmodelle zusammen mit zusätzlichen Polen (34), die ein vorbestimmtes Kriterium erfüllen, auf der Basis von Anforderungen bezüglich bandbegrenzter abgeschnittener vollständiger orthonormaler Kautz-Basen (COKB), um eine kanonische modale Systemmatrix (36) abzuleiten; Ableiten eines bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians (38) als Funktion der kanonischen modalen Systemmatrix; Ableiten eines Breitbandbeobachtbarkeitsvektors (40) als Funktion des bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians und der kanonischen modalen Systemmatrix; und Ableiten des einzigen Breitbandmodells als Funktion des Breitbandbeobachtbarkeitsvektors.
Verfahren gemäß Anspruch 1, das den Schritt des Anwendens eines Verringerte-Ordnung-Algorithmus (42) auf das Breitbandmodell, um die Anzahl von Polen zu verringern, umfasst.
Verfahren gemäß Anspruch 2, bei dem der Verringerte-Ordnung-Algorithmus ein Laguerre-SVD-Algorithmus ist.
Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 3, bei dem die Schmalbandskalarprodukte von LTI-Zustandsraumtransferfunktionen gemäß dem Ausdruck
abgeleitet sind, wobei F₁ eine erste Zustandsraumtransferfunktion der Form [C₁ ^T(iωI – A₁)^–1B₁] darstellt; F₂ eine zweite Zustandsraumtransferfunktion der Form [C₂ ^T(iωI – A₂)^–1B₂] darstellt; α der Gesamtfrequenzbereich des einzigen Breitbandmodells ist; C^T die Transposition einer Matrix C darstellt; arccot die Arkus-Kotangens-Funktion ist; und A₁₂, B₁₂ und C₁₂ Matrizes sind, die von den folgenden Funktionen abgeleitet sind:
Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 4, bei dem das bandbegrenzte Steuerbarkeits-Grammian W_α gemäß dem Ausdruck Wα = ⟨(iωI – A ~)–1B ~|[(iωI – A ~)–1B ~]T⟩α abgeleitet ist, wobei A ~ eine 2N × 2N-Breitbandzustandsraumsystemmatrix ist und B ~ ein Spal tenvektor einer Länge 2N ist, die aus lediglich zwei Einsen besteht.
Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 5, bei dem der Breitbandbeobachtbarkeitsvektor gemäß dem Ausdruck
abgeleitet ist, wobei W_α das bandbegrenzte Steuerbarkeits-Grammian ist; R den realen Teil des komplexen Ausdrucks zwischen Klammern {} angibt; A ~ eine 2N × 2N-Breitbandzustandsraumsystemmatrix ist; B ~ ein Spaltenvektor der Länge 2N ist, die lediglich aus Einsen besteht; und <.|.>_α ein α-bandbegrenztes Skalarprodukt von Zustandsraumtransferfunktionen angibt.
Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 6, bei dem das Breitbandmodell gemäß dem Ausdruck
abgeleitet ist, wobei C^T _F,2N der Breitbandbeobachtbarkeitsvektor ist; A ~ eine 2N × 2N-Breitbandzustandsraumsystemmatrix ist; und B ~ ein Spaltenvektor der Länge 2N ist, die lediglich aus Einsen besteht.
Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 7, bei dem ein Satz stabiler Pole unter Verwendung einer α-bandbegrenzten abgeschnittenen Sequenz von vollständigen orthonormalen Kautz-Basen (COKB) erzeugt wird, die durch
definiert ist, wobei R den realen Teil eines komplexen Ausdrucks angibt, Π das Produkt der festgelegten Serie von Faktoren angibt, α die gesamte Bandbreite angibt, s die komplexe Frequenz angibt und p_n die ursprünglichen Pole sind.
Vorrichtung zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen (22) eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell (24) abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen eingeschlossen ist, beschreibt, wobei die Vorrichtung folgende Schritte umfasst: einen Matrixgenerator zum Zusammenbauen stabiler Pole (32) von Matrixdarstellungen der Schmalbandfrequenzbereichsmodelle zusammen mit zusätzlichen Polen (34), die ein vorbestimmtes Kriterium erfüllen, auf der Basis von Anforderungen bezüglich bandbegrenzter abgeschnittener vollständiger orthonormaler Kautz-Basen (COKB), um eine kanonische modale Systemmatrix (36) abzuleiten; einen Grammian-Generator zum Ableiten eines bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians (38) als Funktion der kanonischen modalen Systemmatrix; einen Vektorgenerator zum Ableiten eines Breitbandbeobachtbarkeitsvektors (40) als Funktion des bandbegrenzten Steuerbarkeits-Grammians und der kanonischen modalen Systemmatrix; und einen Modellgenerator zum Ableiten des einzigen Breitbandmodells als Funktion des Breitbandbeobachtbarkeitsvektors.
Verfahren zum Modellieren eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems, bei dem ein Modell des Systems konstruiert wird, das einen Satz stabiler Pole beinhaltet, der unter Verwendung einer α-bandbegrenzten abgeschnittenen Sequenz von vollständigen orthonormalen Kautz-Basen (COKB) erzeugt wird, die durch
definiert ist, wobei R den realen Teil eines komplexen Ausdrucks angibt, Π das Produkt der festgelegten Serie von Faktoren angibt, α die gesamte Bandbreite angibt, s die komplexe Frequenz angibt und p_n die ursprünglichen Pole sind.
Verfahren zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen (22) eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell (24) abzu leiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen enthalten ist, beschreibt, im Wesentlichen wie zuvor unter Bezugnahme auf die beigefügten Zeichnungen beschrieben wurde.
Vorrichtung zum Verketten einer Mehrzahl von Schmalbandfrequenzbereichsmodellen (22) eines linearen zeitinvarianten (LTI-)Systems, wobei jedes Modell die Betriebscharakteristika des Systems über einen unterschiedlichen jeweiligen Frequenzbereich hinweg beschreibt, um ein einziges Breitbandmodell (24) abzuleiten, das die Betriebscharakteristika des Systems über den gesamten Frequenzbereich, der in den Schmalbandmodellen eingeschlossen ist, beschreibt, im Wesentlichen wie zuvor unter Bezugnahme auf die beigefügten Zeichnungen beschrieben wurde.