CN1851689A - 基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法，它包括以下步骤：(1)在信号内部寻找与信号端点处波形最相似的波形，以该最相似波形作为端点处波形的估计；(2)以该最相似波形外侧的一段信号波形作为端点外信号数据的估计，并将此波形延拓至信号端点外。本发明的优点是：对循环平稳信号和周期信号，利用本发明提出的方法得到的延拓数据精度高，信号失真小，可以在很大程度上消除端点效应；对非循环平稳信号，由于本发明提出的方法充分利用了信号所包含的信息，不会引起端点处信号数据的跳跃和一阶导数的突变，也不会引入虚假的极值点，因此毫无疑问比现有方法具有更好的延拓效果，能够更好地消除信号处理中的端点效应。

Description

基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法

技术领域

本发明属于数字信号处理技术领域，具体涉及一种对一维数字信号端点数据进行延拓以消除端点效应的基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法。

背景技术

实际工程环境下采集的信号中除包含我们需要的有用成分外，通常还混杂有多种噪声成分。很多情况下，噪声可能很强烈，甚至于淹没有用信息。如果不经过处理，这些信号实际是没有什么利用价值的。信号处理技术的核心就在于将有用信息从实际采集的混有各种噪声干扰的信号中分离出来。由于工程环境中噪声是不可避免且普遍存在的，因此信号处理技术就显得尤为重要。当前，信号处理技术(包括数字信号处理技术)已经成为众多理论与实用技术领域研究的热点，并得到了广泛的应用。

由于信号采集时在端点处对信号进行了截断，所以许多信号处理方法中，如数字滤波、小波变换、经验模式分解(empirical mode decomposition，EMD)及相关的Hilbert-Huang变换(HHT)中，会产生端点效应。例如，用经验模式分解方法分析信号x(t)

x(t)＝0.5·cos(2π·20·t+150°)+cos(2π·100·t)       (1)结果如图1所示，其中x(t)为信号波形，c₁，c₂，r₂分别为经验模式分解后得到的第1、第2个本征模函数(intrinsic mode function，IMF)和余项。本征模函数c₁反映了信号中频率为100Hz的余弦信号成分，c₂反映了信号中频率20Hz，初相位150°的余弦成分。理想情况下，c₂应该是初相位为150°的余弦波形，但实际分解时，c₂左端点处出现了畸变。由于畸变的产生，余项r₂没有变成理想的零向量。这一现象就称为端点效应。图2为信号x(t)的Hilbert-Huang变换(HHT)结果。理想情况下，它是在100Hz与20Hz处与水平轴基本平行的两条直线，但由于本征模函数c₂端点效应的影响，c₂的Hilbert-Huang变换在端点处出现了剧烈振荡(如图2中A点局部细化所示)，这时信号瞬时频率信息被严重扭曲，端点处对信号的分析已经难以进行。可见，端点效应对信号处理效果的影响很大，由于出现端点效应，信号所包含信息在端点处会出现严重失真(即产生较大误差)，这将扭曲信号信息，从而影响我们对信号的分析。

信号采集中在端点处对信号进行截断，从而失去端点外信息及端点处数据的特征信息是造成端点效应的原因。在数字信号处理中，通常采用数据延拓的方法实现对信号端点处数据的处理。所谓数据延拓，是指运用某种规则，在信号的左右两端点之外补充一些数据，从而弥补由于信号截断引起的端点外信息丢失。典型的数据延拓方法包括：补零延拓、对称延拓和周期延拓等。(1)补零延拓法是将端点之外信号值全部置为零。(2)周期延拓方法假设是周期出现的，因此将信号右端点左边的若干点向左端点外延拓，而将左端点右边的若干点平移到右端点之外。(3)对称延拓法认为信号依据端点左右对称，因此将信号端点处数据以端点为对称点左右对称延拓。上述三种数据延拓方法存在很明显的缺点，它们无视信号本身各自的特异性，以纯主观的方法进行信号数据延拓必然会引入很大的误差，引起信号失真，从而产生端点效应。例如，补零延拓和周期延拓方法会引起端点处信号数据的跳跃以及信号一阶导数的突变，而对称延拓同样会引起信号一阶导数的突变，并会产生虚假的极值点，对以极值点信息为基础进行的算法(如经验模式分解方法)难以适用。目前有学者提出基于时间序列预测的数据延拓方法、基于神经网络预测和基于支持向量机预测的数据延拓方法。但时间序列预测方法对时间序列模型定阶有较高的要求，如果定阶不准会造成较大的预测误差，同样会产生端点效应。而利用神经网络预测方法延拓数据时，需要大量的时间对神经网络进行训练，因而算法效率很低。类似地，使用支持向量机预测的数据延拓方法中也需要进行支持向量机训练，使得算法速度明显降低。

发明内容

本发明的目的是为克服上述现有技术的不足，而提供一种在数字信号处理中用来提高端点处信号处理精度、减小处理误差、消除端点效应的基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

(1)在信号内部寻找与信号端点处波形最相似的波形，以该最相似波形作为端点处波形的估计；

(2)以该最相似波形外侧的一段信号波形作为端点外信号数据的估计，并将此波形延拓至信号端点外。

所述的与信号端点处波形最相似的波形，它们的相似程度由相关系数来描述和表征，相关系数定义为：

$a_j=\sqrt{2}\frac{<L_0,L_j>}{{\left|\right|L_0\left|\right|}_2\&CenterDot;{\left|\right|L}_j{\left|\right|}_2}$

其中

$<L_0,L_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{L}_0\left(t\right){L_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}$

表示信号L₀与L_j的内积，L_j ^*表示L_j的复共轭，‖L₀‖₂与‖L_j‖₂分别表示L₀与L_j的2-范数，a_j是L₀与L_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两者相似程度越高，a_j越小，两者相似程度越低。

1、本发明的基本构思

循环平稳信号是自然界和工程环境中普遍存在的一类信号。所谓循环平稳信号是一类特殊的非平稳信号，其统计特性呈周期或多周期平稳变化。例如，自然界中温度的变化由于地球的自转和公转出现周而复始的变化，雷达在匀速旋转时地廓回波每经过一周会变得很相似，这些信号都表现出很强的循环平稳特性。工程环境下，旋转机械和往复机械的工作状态会周而复始循环出现，其振动信号也因而表现出循环平稳特性。图3a和图3b是一组现场实测数据，是国内某炼油厂重油催化裂化装置风机轴瓦处的振动信号，传感器为涡流传感器，图3a为原始数据，图3b为信号局部细化。观察图3b可以发现，某些非常相似的成分在信号中会反复出现，这为本发明提出的数据延拓方法提供了依据，即可以选择信号中与端点处数据最相似的波形作为端点处的延拓数据。

2、发明的实施方法及步骤

根据上述思路，本发明延拓方法包括数字信号左端点延拓方法和数字信号右端点延拓方法，其中，数字信号左端点延拓方法包括以下步骤：

(1)设一维数字信号x(t)左端点为l₀，过l₀作与水平轴t平行的直线与信号波形交于l₀，l₁，……，l_n点；

(2)以l₀为起点，沿信号向右取曲线段L₀，其长度依据不同的信号处理方法决定，例如，经验模式分解中需要信号局部极大值点和局部极小值点信息，因此，曲线段L₀应该至少包含一个局部极大值点、一个局部极小值点和一个过零点。设曲线段L₀的数据长度为k₀；

(3)以l₁，l₂……，l_n为起点，向右取长度为k₀的曲线段L₁，L₂，……，L_n；

(4)作曲线段L₀与其余各曲线段L₁，L₂，……，L_n的内积运算，计算相关系数以检测其相似性，即

$a_j=\sqrt{2}\frac{<L_0,L_j>}{\left|\right|L_0{\left|\right|}_2\&CenterDot;\left|\right|L_j{\left|\right|}_2}$ j＝1，2，……，n                     (2)

其中

$<L_0,L_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{L}_0\left(t\right){L_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(3\right)$

表示L₀与L_j的内积，L_j ^*表示L_j的复共轭，‖L₀‖₂与‖L_j‖₂分别表示L₀与L_j的2-范数，a_j是L₀与L_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两者相似程度越高，a_j越小，两者相似程度越低；

(5)找出a_j中最大的相关系数a_i，使

           a_i＝max(a_j)      j＝1，2，……，n           (4)

(6)以l_i为起点，取其左边的曲线段L_e，L_e的长度与具体的信号处理方法有关，例如，在经验模式分解方法中，可以取L_e使之包含若干个局部极大值点和局部极小值点，L_e即为左端点处向外延拓的曲线段；

数字信号右端点延拓方法包括以下步骤：

(1)设信号x(t)右端点为p₀，过p₀作与水平轴t平行的直线与信号波形交于p₀，p₁，……，p_n点；

(2)以p₀为起点，沿信号向左取曲线段P₀，其长度依据不同的信号处理方法决定，例如，经验模式分解中需要信号局部极值大点和局部极小值点信息，因此，曲线段P₀应该至少包含一个局部极大值点、一个局部极小值点和一个过零点，设曲线段P₀的数据长度为k₀；

(3)以p₁，p₂……，p_n为起点，向左取长度为k₀的曲线段P₁，P₂，……，P_n；

(4)作曲线段P₀与其余各曲线段P₁，P₂，……，P_n的内积运算，计算相关系数以检测其相似性，即

$a_j=\sqrt{2}\frac{<P_0,P_j>}{\left|\right|P_0{\left|\right|}_2\&CenterDot;\left|\right|P_j{\left|\right|}_2}$ j＝1，2，……，n             (5)

其中

$<P_0,P_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{P}_0\left(t\right){P_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(6\right)$

表示P₁与P_j的内积，P_j ^*表示P_j的复共轭，‖P₀‖₂与‖P_j‖₂分别表示P₀与P_j的2-范数，a_j是P₀与P_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两曲线段相似程度越高，a_j越小，两曲线段相似程度越低；

(5)找出a_j中最大的相关系数a_i，使

       a_i＝max(a_j)       j＝1，2，……，n           (7)

(6)以p_i为起点，取其右边的曲线段P_e，P_e的长度与具体的信号处理方法有关，例如，在经验模式分解方法中，可以取P_e使之包含若干个局部极大值点和局部极小值点，P_e即为信号右端点处向外延拓的曲线段。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

(1)数据延拓是依据信号本身的特点自适应进行的，选择怎样的数据进行端点延拓完全由信号自身的特点决定，与其它因素无关，因此本发明提出的方法是一种自适应数据延拓方法。传统的补零延拓、对称延拓、周期延拓方法采用纯主观设定的延拓策略，必然会引起较大的误差，造成明显的端点效应。

(2)采用信号中与端点处波形最相似的一段波形作为端点数据的估计，以该最相似波形外侧的信号数据作为延拓数据，充分利用了信号内部所包含的信息，因而可以提高数据延拓的精度。而传统数据延拓方法完全无视信号自身的特征及所包含的信息，以刻板的方式进行延拓，所以会造成较大的误差。

(3)本发明所提出的数据延拓方法不会引起端点处信号数据的跳跃和一阶导数突变，也不会引入虚假极值点，可以克服常用数据延拓方法的主要缺点。

(4)计算量小。尽管本发明提出的方法引入了一定的附加计算量(主要用来计算内积)，但该附加计算量很小，发明人所作的测试表明，对数据长度小于10K的数字信号，在当前普通的个人电脑上(P4处理器)这些附加计算量可以在5毫秒内完成，完全可以忽略不计，不会影响信号处理算法的速度。

对循环平稳信号和周期信号，利用本发明提出的方法得到的延拓数据精度高，信号失真小，可以在很大程度上消除端点效应，这方面的内容将在下面的实施例中详述。对非循环平稳信号，由于本发明提出的方法充分利用了信号所包含的信息，不会引起端点处信号数据的跳跃和一阶导数的突变，也不会引入虚假的极值点，因此毫无疑问比现有方法具有更好的延拓效果，能够更好地消除信号处理中的端点效应。

附图说明

图1为一维数字信号x(t)及其经验模式分解结果波形图。

图2为一维数字信号x(t)的Hilbert-Huang变换(HHT)结果波形图。

图3a是国内某炼油厂重油催化裂化装置中风机轴瓦处的振动信号原始数据波形图。

图3b是国内某炼油厂重油催化裂化装置中风机轴瓦处的振动信号局部细化波形图。

图4为本发明中数字信号左端点数据的延拓方法示意图。

图5为国内某炼油厂重油催化裂化装置机组示意图，图3a所示信号是在该机组风机1号轴瓦X方向采集的原始振动信号。

图6a为将图3a所示信号左端截去50个数据点，采用本发明进行左端点数据延拓后所得结果与原始数据的对比波形图。

图6b为将图3a所示信号右端截去50个数据点，采用本发明进行右端点数据延拓后所得结果与原始数据的对比波形图。

图7为经过图6a和图6b所示的延拓后，信号原始数据与延拓数据的误差曲线图。

图8a为利用本发明延拓后一维数字信号x(t)的经验模式分解结果波形图。

图8b为利用本发明延拓后一维数字信号x(t)的Hilbert-Huang变换谱图。

具体实施方式

本发明已经多次采用工程现场数据和仿真数据进行了验证，结果均证明本发明提出的方法能够获得高精度的数据延拓结果，明显消除信号处理中端点效应的影响。

本发明延拓方法包括数字信号左端点延拓方法和数字信号右端点延拓方法，其中，数字信号左端点廷拓方法包括以下步骤：

(1)设一维数字信号x(t)左端点为l₀，过l₀作与水平轴t平行的直线与信号波形交于l₀，l₁，……，l_n点；

(2)以l₀为起点，沿信号向右取曲线段l₀，其长度依据不同的信号处理方法决定，例如，经验模式分解中需要信号局部极大值点和局部极小值点信息，因此，曲线段L₀应该至少包含一个局部极大值点、一个局部极小值点和一个过零点。设曲线段L₀的数据长度为k₀；

(3)以l₁，l₂……，l_n为起点，向右取长度为k₀的曲线段L₁，L₂，……，L_n；

(4)作曲线段L₀与其余各曲线段L₁，L₂，……，L_n的内积运算，计算相关系数以检测其相似性，即

$a_j=\sqrt{2}\frac{<L_0,L_j>}{\left|\right|L_0{\left|\right|}_2\&CenterDot;\left|\right|L_j{\left|\right|}_2}$ j＝1，2，……，n                   (2)

其中

$<L_0,L_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{L}_0\left(t\right){L_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(3\right)$

表示L₀与L_j的内积，L_j ^*表示L_j的复共轭，‖L₀‖₂与‖L_j‖₂分别表示L₀与L_j的2-范数，a_j是L₀与L_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两者相似程度越高，a_j越小，两者相似程度越低；

(5)找出a_j中最大的相关系数a_i，使

        a_i＝max(a_j)        j＝1，2，……，n            (4)

(6)以l_j为起点，取其左边的曲线段L_e，L_e的长度与具体的信号处理方法有关，例如，在经验模式分解方法中，可以取L_e使之包含若干个局部极大值点和局部极小值点，L_e即为左端点处向外延拓的曲线段；

数字信号右端点延拓方法包括以下步骤：

(1)设信号x(t)右端点为p₀，过p₀作与水平轴t平行的直线与信号波形交于p₀，p₁，.....，p_n点；

(2)以p₀为起点，沿信号向左取曲线段P₀，其长度依据不同的信号处理方法决定，例如，经验模式分解中需要信号局部极大值点和局部极小值点信息，因此，曲线段P₀应该至少包含一个局部极大值点、一个局部极小值点和一个过零点，设曲线段P₀的数据长度为k₀；

(3)以p₁，p₂……，p_n为起点，向左取长度为k₀的曲线段Px，P₂，……，P_n；

(4)作曲线段P₀与其余各曲线段P₁，P₂，……，P_n的内积运算，计算相关系数以检测其相似性，即

$a_j=\sqrt{2}\frac{<P_0,P_j>}{\left|\right|P_0{\left|\right|}_2\&CenterDot;\left|\right|P_j{\left|\right|}_2}$ j＝1，2，……，n                  (5)

其中

$<P_0,P_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{P}_0\left(t\right){P_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(6\right)$

表示P₀与P_j的内积，P_j ^*表示P_j的复共轭，‖P₀‖₂与‖P_j‖₂分别表示P₀与P_j的2-范数，a_j是P₀与P_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两曲线段相似程度越高，a_j越小，两曲线段相似程度越低；

(5)找出a_j中最大的相关系数a_i，使

      a_i＝max(a_j)        j＝1，2，……，n                  (7)

(6)以p_i为起点，取其右边的曲线段P_e，P_e的长度与具体的信号处理方法有关，例如，在经验模式分解方法中，可以取P_e使之包含若干个局部极大值点和局部极小值点，P_e即为信号右端点处向外延拓的曲线段。

下面将结合附图，以两个实施例详细说明本发明所提出的最相似波形延拓方法，验证其在数据延拓中的精度及在消除端点效应方面的作用。

实施例1

图3为一组工业现场实测数据，是国内某炼油厂重油催化裂化装置中风机一个轴瓦处的振动信号波形，信号采集所用的传感器为涡流(位移)传感器，数据长度1024。其中图3a为原始信号波形，图3b为原始信号的局部细化，观察可以发现，相似的成分在信号中会反复出现，说明信号具有循环平稳特性。图5为该重油催化裂化装置机组示意图，图3a所示信号是在风机1号轴瓦X方向采集的振动信号。为了检验本发明方法的精度，将该组信号两端各截去50个数据点组成延拓前信号，采用本发明提出的最相似波形延拓方法对延拓前信号进行数据延拓，所得结果与原始数据的对比如图6a和图6b所示，图中实线为原始信号，虚线为延拓后信号，“*”标记为延拓前端点，图6a为信号左端点数据延拓结果，图6b为右端点数据延拓结果。从图中可以很明显看出，利用本发明所提出的最相似波形延拓方法得到的延拓数据与信号原始数据有完全一致的变化趋势，细节上也比较吻合，图7为信号原始数据与延拓数据的误差曲线，结果表明两者误差非常小，证明应用本发明方法进行信号端点数据延拓可以得到很高的精度。

实施例2

图1为利用经验模式分解(EMD)方法分析信号x(t)

      x(t)＝0.5·cos(2π·20·t+150°)+cos(2π·100·t)         (1)的结果，图中x(t)为信号波形，c₁，c₂，r₂分别为利用经验模式分解后得到的第1、第2个本征模函数(intrinsic mode function，IMF)和余项。本征模函数c₁反映了信号x(t)中频率为100Hz的余弦信号成分，c₂反映了信号中频率20Hz，初相位150°的余弦成分。理想情况下，c₂应该是初相位为150°的余弦波形，但实际分解时，c₂左端点处出现了严重的畸变，即端点效应。余项r₂也出现了端点效应，没有变成理想的零向量。图2为信号x(t)的Hilbert-Huang变换(HHT)结果。理想情况下，它是在100Hz与20Hz处与水平轴基本平行的两条直线，但由于本征模函数c₂端点效应的影响，c₂的Hilbert-Huang变换在端点处出现了剧烈振荡(如图2中A点局部细化所示)，这时信号瞬时频率信息被严重扭曲，端点处出现了很大的误差。

利用本发明提出的最相似波形延拓方法对信号x(t)进行数据延拓，以检验其在消除端点效应方面的作用。具体方法是对信号x(t)进行端点数据延拓，以便在端点外产生新的局部极值点，从而提高经验模式分解在端点处的精度，从而消除端点效应，结果如图8a和图8b所示。

图8a为应用本发明所提出方法对图1所示信号x(t)进行数据延拓后，采用经验模式分解的结果，其中c₁，c₂，r₂分别为经验模式分解后得到的第1、第2个本征模函数IMF和余项。与图1相对比，本征模函数c₂没有出现端点效应，相应地，余项r₂也没有出现端点效应，且基本变成了理想的零向量，说明本方法很好地消除了经验模式分解中端点效应的发生，提高了信号处理的精度。图8b为x(t)经过经验模式分解后得到的Hilbert-Huang变换谱，其中本征模函数c₂的Hilbert谱基本变成了一条直线，与图2相比，c₂Hilbert谱的端点效应(即在端点处出现的剧烈振荡)基本消失了，说明本发明提出的方法能够很好地抑制Hilbert-Huang变换中端点效应的发生，大幅提高该分析方法的精度。

Claims (3)

1、一种基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

(1)在信号内部寻找与信号端点处波形最相似的波形，以该最相似波形作为端点处波形的估计；

(2)以该最相似波形外侧的一段信号波形作为端点外信号数据的估计，并将此波形延拓至信号端点外。

2、根据权利要求1所述的基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法，其特征在于所述的与信号端点处波形最相似的波形，它们的相似程度由相关系数来描述和表征，相关系数定义为：

$a_j=\sqrt{2}\frac{<L_0,L_j>}{{\left|\right|L_0\left|\right|}_2{\&CenterDot;\left|\right|L_j\left|\right|}_2}$

其中

$<L_0,L_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{L}_0\left(t\right){L_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}$

表示信号L₀与L_j的内积，L_j ^*表示L_j的复共轭，‖L₀‖₂与‖L_j‖₂分别表示L₀与L_j的2-范数，a_j是L₀与L_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两者相似程度越高，a_j越小，两者相似程度越低。

3、根据权利要求1所述的基于相似波形的数字信号端点数据延拓方法，其特征在于所述延拓方法包括数字信号左端点延拓方法和数字信号右端点延拓方法，其中，数字信号左端点延拓方法包括以下步骤：

(1)设一维数字信号x(t)左端点为l₀，过l₀作与水平轴t平行的直线与信号波形交于l₀，l₁，……，l_n点；

(2)以l₀为起点，沿信号向右取曲线段L₀，其长度依据不同的信号处理方法决定，例如，经验模式分解中需要信号局部极大值点和局部极小值点信息，因此，曲线段L₀应该至少包含一个局部极大值点、一个局部极小值点和一个过零点。设曲线段L₀的数据长度为k₀；

(3)以l₁，l₂……，l_n为起点，向右取长度为k₀的曲线段L₁，L₂，……，L_n；

(4)作曲线段L₀与其余各曲线段L₁，L₂，……，L_n的内积运算，计算相关系数以检测其相似性，即

$a_j=\sqrt{2}\frac{<L_0,L_j>}{{\left|\right|L_0\left|\right|}_2{\&CenterDot;\left|\right|L_j\left|\right|}_2}j=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(2\right)$

其中

$<L_0,L_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{L}_0\left(t\right){L_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(3\right)$

表示L₀与L_j的内积，L_j ^*表示L_j的复共轭，‖L₀‖₂与‖L_j‖₂分别表示L₀与L_j的2-范数，a_j是L₀与L_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两者相似程度越高，a_j越小，两者相似程度越低；

(5)找出a_j中最大的相关系数a_i，使

a_i＝max(a_j)    j＝1，2，……，n           (4)

(6)以l_i为起点，取其左边的曲线段L_e，L_e的长度与具体的信号处理方法有关，例如，在经验模式分解方法中，可以取L_e使之包含若干个局部极大值点和局部极小值点，L_e即为左端点处向外延拓的曲线段；

数字信号右端点延拓方法包括以下步骤：

(1)设信号x(t)右端点为p₀，过p₀作与水平轴t平行的直线与信号波形交于p₀，p₁，……，p_n点；

(2)以p₀为起点，沿信号向左取曲线段P₀，其长度依据不同的信号处理方法决定，例如，经验模式分解中需要信号局部极大值点和局部极小值点信息，因此，曲线段P₀应该至少包含一个局部极大值点、一个局部极小值点和一个过零点，设曲线段P₀的数据长度为k₀；

(3)以p₁，p₂……，p_n为起点，向左取长度为k₀的曲线段P₁，P₂，……，P_n；

(4)作曲线段P₀与其余各曲线段P₁，P₂，……，P_n的内积运算，计算相关系数以检测其相似性，即

$a_j=\sqrt{2}\frac{<P_0,P_j>}{{\left|\right|P_0\left|\right|}_2{\&CenterDot;\left|\right|P_j\left|\right|}_2}j=\mathrm{1,2},\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,n---\left(5\right)$

其中

$<P_0,P_j>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{P}_0\left(t\right){P_j}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(6\right)$

表示P₀与P_j的内积，P_j ^*表示P_j的复共轭，‖P₀‖₂与‖P_j‖₂分别表示P₀与P_j的2-范数，a_j是P₀与P_j的相关系数，表明两个曲线段的相似程度，a_j在0～1之间取值，a_j越大，两曲线段相似程度越高，a_j越小，两曲线段相似程度越低；

(5)找出a_j中最大的相关系数a_i，使

a_i＝max(a_j)       j＝1，2，……，n          (7)

(6)以p_i为起点，取其右边的曲线段P_e，P_e的长度与具体的信号处理方法有关，例如，在经验模式分解方法中，可以取P_e使之包含若干个局部极大值点和局部极小值点，P_e即为信号右端点处向外延拓的曲线段。

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