CN1820863A - 一种快速高精度板带轧制过程自动控制厚度的方法 - Google Patents

Abstract

本发明为一种快速高精度板带轧制监控AGC的方法，包括以下步骤：①输入轧制系统及带钢相关数据，这些数据包括：轧机的刚度系数M、带钢塑性系数Q、测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g；②确定厚控对象的比例系数K，K=M/M+Q；③设定样本跟踪长度L_s=L_s/n；④取积分调节器的消除率a；⑤计算机将测厚仪对每一个指定样本长度Ls(i)的厚差Δh实测值进行多点采集，并通过计算确定i时刻样本的平均厚差Δh(i)；⑥计算轧机的辊缝附加值，第i时刻的控制率ΔS(i)由如下的递推公式计算：Δs(i)＝(1－a)Δs(i－1)+aΔs(i－n－1)+a/KΔh(i)。本发明既有非常快的响应速度，又具有较高的静态控制精度，且在测厚仪的测量精度满足要求的前提下，其厚度控制精度高于1％。

Description

一种快速高精度板带轧制过程自动控制厚度的方法

技术领域

本发明属于轧钢自动控制技术领域，特别涉及一种快速高精度板带轧制监控AGC的方法。

背景技术

在板带轧制过程中，一种最常用的厚度控制方法是通过机架出口测厚仪对带钢的实际厚度进行测量，并进而通过调节轧机的液压辊缝来对板带厚度进行反馈控制。通常这种厚度控制方法称之为监控AGC(Automatic Gage Control)。由于轧机结构的限制，测厚仪的维护，以及为了防止带钢断带损坏测厚仪，测厚仪一般安装在离直接产生厚度变化的辊缝较远的地方，例如，热连轧机的出口测厚仪就安装在离工作辊中心线约750～1750mm之间，如图1所示。

即测厚仪检测出来的厚度变化量与产生厚度变化的辊缝控制量不是在同一个时间内发生的，所以实际轧出厚度的波动不能得到及时的反映，结果使自动厚度控制AGC系统有一个时间滞后τ，用(1)式来表示：

$\mathrm{\τ}=\frac{L_g}{v}---\left(1\right)$

式中τ-滞后时间；

     v-轧制速度；

     L_g-轧辊中心线到测厚仪的距离。

从控制理论可知，对象纯滞后时间τ的存在对控制系统是极为不利的。它使控制系统的稳定性降低，特别是衡量纯滞后对系统影响程度的特性参数 $\frac{\mathrm{\τ}}{T}\≥0.5$ 的对象(这里T为对象的时间常数)，若采用常规PID控制是很难获得良好控制质量的。

截止目前为止，关于大滞后控制系统方面，虽然有过不少研究，但在板带轧制中实际的控制效果却并不令人满意。关于监控AGC的控制策略有很多种，但是，这些控制策略难以兼顾系统的动态调节的快速性和静态的高精度，且调节器参数选择不当，系统容易产生振荡。例如，较常用的方法是采用定时采样的积分控制方式，为了减少系统调节过程中的振荡现象，往往将积分时间选择较长，从而大大地降低了系统的快速性。由式(1)可知，轧制速度的变化会使系统的滞后时间τ也将发生变化，尽管在积分器中考虑到了速度补偿，但速度变化对控制品质仍然会有相当的影响。

发明内容

针对现有带钢监控AGC技术存在的问题，本发明提供一种即具有动态调节快速性并兼有静态高精度的带钢监控AGC的方法，以替代目前板带轧制使用的传统控制方法，从而提高板带产品的厚度控制精度。

1.监控AGC系统传递函数的分析

监控AGC的控制框图如图2所示，图中G_c(s)表示调节器的传递函数，G_p(s)e^-τs表示厚度控制对象的传递函数，其中G_p(s)为对象不包含纯滞后部分的传递函数，e^-τs为对象纯滞后部分的传递函数。输入信号h^*(t)(拉氏变换为H^*(s))为设定厚度；Δs(t)(拉氏变换为ΔS(s))为轧机设定辊缝的附加值；h(t)(拉氏变换为H(s))为测厚仪测得的带钢实际厚度，其闭环传递函数为：

$G_s\left(s\right)=\frac{H\left(s\right)}{H^{*}\left(s\right)}=\frac{G_c\left(s\right)G_p\left(s\right)e^{-\mathrm{\τs}}}{1+G_c\left(s\right)G_p\left(s\right)e^{-\mathrm{\τs}}}---\left(2\right)$

系统传递函数分母中包含有纯滞后环节e^-τs，使系统的稳定性降低，如果τ足够大的话，系统是不稳定的。由于控制厚度的轧机液压辊缝响应时间非常短，即辊缝控制系统的频响相对较高(大约在10～30Hz左右)。因而我们完全可以把辊缝到测厚仪厚度测量这部分的传递函数简化为一个比例和纯滞后系统的串联。其中控制对象的滞后时间τ用(1)式来表示，其比例系数设为K，又称为轧机的压下效率，由(3)式来表示：

$K=\frac{M}{M+Q}---\left(3\right)$

式中M-轧机刚度系数，kN/mm；

Q-带钢的塑性系数，kN/mm。

即监控AGC系统控制对象的传递函数为：

G_p(s)＝Ke^-τs                             (4)

为了改善这类大纯滞后对象的控制质量，引入一个与对象并联的补偿器，即所谓Smith预估器，图3为针对控制对象G_p(s)＝Ke^-τs具有Smith预估器的监控AGC系统传递函数结构框图。图中h_τ(t)(拉氏变换为H_τ(s))为Smith超前补偿部分的输出；Δh(t)(拉氏变换为ΔH(s))为设定厚度h^*(t)(拉氏变换为H^*(s))和实测反馈厚度h(t)(拉氏变换为H(s))的差值；Δh_τ(t)(拉氏变换为ΔH_τ(s))为系统的理论偏差或控制器G_c(S)的输入值。

由图3可以得到大滞后补偿监控AGC系统的传递函数：

$G_{\mathrm{st}}\left(s\right)=\frac{H\left(s\right)}{H^{*}\left(s\right)}=\frac{\frac{G_c\left(s\right)}{1+G_c\left(s\right)K(1-e^{-\mathrm{\τs}})}}{1+\frac{G_c\left(s\right)}{1+G_c\left(s\right)K(1-e^{-\mathrm{\τs}})}}=\left[\frac{G_c\left(s\right)K}{1+G_c\left(s\right)K}\right]e^{-\mathrm{\τs}}---\left(5\right)$

由(5)式可知，经纯滞后补偿后，已消除了纯滞后部分对系统的影响，即式(5)的e^-τs在闭环控制回路之外，不影响系统的稳定性；由拉氏变换的位移定理可以证明，它仅仅将控制过程在时间坐标上推移了一个时间τ，其过渡过程的形状及其它所有质量指标均与对象特性为G_p(s)＝K(不存在纯滞后部分)时完全相同。所以，对任何大滞后时间τ，系统都是稳定的。

2.监控AGC系统控制方法的推导

由图3知，控制器G_c(S)的输入可表示为：

ΔH_τ(s)＝ΔH(s)-H_τ(s)＝ΔH(s)-KΔS(s)+(Ke^-τs)ΔS(s)             (6)

本发明的监控AGC控制策略中，采用样本跟踪方式，而不采用定时采样控制方式。设每段样本的长度为L_s＝L_g(即测厚仪到轧辊中心线的距离)，对一个样本厚度进行多次采样并平均后，再给出辊缝修正控制信号。如图4所示，图中样本L(1)对应的厚差为Δh(1)，L(2))对应的厚差Δh(2)，L(3)对应的厚差Δh(3)，L_g＝L(1)＝L(2)＝L(3)，这样定义后的系统延时为两个样本，即系统离散后，控制对象的延时间τ＝2。

取调节器的形式为积分调节器，即调节器的传递函数为：

$G_c\left(s\right)=\frac{P}{S}---\left(7\right)$

式中P-积分调节器的放大倍数；

-积分调节器的拉氏变换。

将式(7)代入式(5)，如果不考虑函数的滞后部分，则监控AGC系统的传递函数为：

$G_s\left(s\right)=\frac{H\left(s\right)}{H^{*}\left(s\right)}=\frac{G_c\left(s\right)K}{1+G_c\left(s\right)K}=\frac{\mathrm{KP}}{S+\mathrm{KP}}---\left(8\right)$

由图3可知，带Smith预估的监控AGC控制器的传递函数为：

$\mathrm{\ΔS}\left(S\right)=\frac{P}{S}{\mathrm{\ΔH}}_{\mathrm{\τ}}\left(s\right)---\left(9\right)$

将式(9)代入(6)式，有：

$\frac{S\·\mathrm{\ΔS}\left(s\right)}{P}=\mathrm{\ΔH}\left(S\right)-\mathrm{K\ΔS}\left(s\right)+\mathrm{K\ΔS}\left(s\right)e^{-\mathrm{\τs}}---\left(10\right)$

将(10)式离散化并进行整理后就得到了监控AGC积分调节器的控制率：

$\mathrm{\Δs}\left(i\right)=\frac{1}{1+\mathrm{PK}}\mathrm{\Δs}(i-1)+\frac{\mathrm{PK}}{1+\mathrm{PK}}\mathrm{\Δs}(i-\mathrm{\τ})+\frac{P}{1+\mathrm{PK}}\mathrm{\Δh}\left(i\right)---\left(11\right)$

由控制率(11)式可见，影响控制率的不仅仅是当前的反馈厚差信号Δh(i)，还与前一次的控制率Δs(i-1)和前τ次控制率Δs(i-τ)有关。

作为初始条件，Δs(-1)和Δs(-2)均为0，则控制的第一步控制率为：

$\mathrm{\Δs}\left(1\right)=\frac{P}{1+\mathrm{PK}}\mathrm{\Δh}\left(1\right)---\left(12\right)$

根据轧钢过程的工艺要求，如果希望控制的第一步就将系统的偏差全部消除，则应有下式成立：

$\frac{P}{1+\mathrm{PK}}=\frac{1}{K}---\left(13\right)$

而式(13)成立的前提就是积分调节器的放大倍数P＝∞，在此情况下式(11)的控制率简化为：

$\mathrm{\Δs}\left(i\right)=\mathrm{\Δs}(i-\mathrm{\τ})+\frac{1}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right)---\left(14\right)$

控制率式(14)可使调节的第一步就完全消除带钢的出口厚差，即确保系统有最快的响应速度。但是系统调节太快往往造成连轧系统的失张、活套反应跟不上等现象。同时考虑到K参数波动、厚度测量偏差、系统干扰等一些因素，系统的放大倍数P不要太大，下面我们给出一些放大倍数P的给定原则。

令系统的第一步消差率为a，取0＜a≤1，将式(13)改写为：

$\frac{P}{1+\mathrm{PK}}=a\·\frac{1}{K}---\left(15\right)$

这样我们就得到了积分调节器的放大倍数P的计算公式：

$P=\frac{a}{(1-a)K}---\left(16\right)$

通常我们取a＝0.8-1之间，例如，取a＝0.9时， $P=\frac{9}{K}.$ 将(16)式代入(11)式，就得到了a在不同取值情况下的积分控制率表达式：

$\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-\mathrm{\τ})+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right)---\left(17\right)$

与比例调节器相比积分调节器系统有更好的静态精度，且可以通过a参数的选择来调节系统的响应速度。

3.样本长度的确定与纯滞后时间的关系

一般监控AGC控制算法，往往以定时中断的方式进行控制采样，这样轧制速度的变化会使系统滞后时间τ也发生的变化。这里我们不再以时间作为采样周期，而是以带钢的样本长度跟踪作为事件触发中断进行厚度控制，从而避开了系统滞后时间变化这一问题，使控制问题得以简化。

由图(4)可知，如果采样样本的长度定义为L_g，则带钢厚度头部的控制死区长度L_d＝2L_g，如果想缩短控制死区，则必须将样本长度缩短。缩短的原则是将L_g进行n个等分，则每个样本长度将变为：

$L_s=\frac{L_g}{n}---\left(18\right)$

在这种样本长度情况下，系统的延时τ＝n+1，带钢的头部控制死区长度为：

$L_d=(1+\frac{1}{n})L_g---\left(19\right)$

系统积分调节器的控制率式(17)变为：

$\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-n-1)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right)---\left(20\right)$

但在实际控制系统中，监控AGC所消除的厚差是头部设定不准、轧辊磨损、轧辊热膨胀等低频波动，它更强调稳态控制精度，因而如果不是将测厚仪安装的离轧机特别远，则将样本长度分得太短并无实际意义。一般在实际系统中，n通常取1～3即可。图5给出了样本长度L_s＝Lg/n(即τ＝n+1)时监控AGC系统的控制框图，图中Z¹为延时因子，HGC为液压辊缝控制闭环，S(i)为i时刻的辊缝设定值。

4.监控AGC控制方法的推导步骤

1)在监控AGC系统中引入Simth预估器，Simth预估器的输入为控制器的输出，即为轧机辊缝附加给定值，如图3所示。

2)根据带钢跟踪的样本长度，确定监控AGC采样样本的纯滞后时间，如果将轧机与测厚仪的距离L_g分成n份，见式(17)，则滞后时间τ＝n+1，此时控制系统的头部控制死区长度为 $L_d=(1+\frac{1}{n})L_g.$

3)监控AGC调节器选为积分方式，即控制器的传递函数为 $G_c\left(s\right)=\frac{P}{S},$ 将控制器的传递函数代入监控AGC系统的输入偏差表达式(6)中，即得到连续时间系统控制率的表达式(10)：S·ΔS(s)＝PΔH(s)-PKΔS(s)+PKΔS(s)e^-τs。

4)将第3步中的控制率离散化并进行整理，就得到了监控AGC系统的最终控制率表达式(20)： $\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-n-1)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right).$

本发明方法对轧制系统没有特别要求，但仍然有如下的基本要求：

1)轧机的出口安装有测厚仪，测厚仪可以输出与厚度或厚差成比例的电压或电流模拟信号，也可以是数字信号，要求测厚仪的响应时间大大小于系统的纯滞后时间。

2)为了对带钢的样本进行跟踪，要求有对出口带钢进行长度测量的仪表，比如，通过冷轧机张力辊上的编码器来对带钢长度进行直接测量，或者在轧机的主传动电机上安装有编码器来间接对带钢长度进行测量。

3)有一台带有模拟输入输出接口板、可以进行数学运算的计算机系统或PLC，例如具有模拟输入和输出接口板的SIEMENS S7-400PLC，以读取测厚仪输出的厚度信号、进行带钢样本跟踪和进行控制率的存储、计算及输出。

如果一个现有的板带轧钢系统已兼备了以上基本条件，则只要加入相关的控制程序即可。

本发明的方法包括以下步骤：

1.输入轧制系统及带钢相关数据，这些数据包括：轧机的刚度系数M、带钢塑性系数Q、测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g；

2.确定厚控对象的比例系数K， $K=\frac{M}{M+Q},$ 式中K为比例系数；

3.设定样本跟踪长度 $L_s=\frac{L_g}{n},$ n为L_g等分段数，系统的纯滞后为τ＝n+1；

4.取积分调节器的消除率a，a一般取值为0.8-1；

5.计算机将测厚仪对每一个指定样本长度Ls(i)的厚差Δh实测值进行多点采集，并通过计算确定i时刻样本的平均厚差Δh(i)；

6.计算轧机的辊缝附加值，第i时刻的控制率ΔS(i)由如下的递推公式计算：

$\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-n-1)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right)$

其控制程序框图如图6所示。

本发明提出了带钢样本长度跟踪的概念，解决了传统算法中滞后时间随轧制速度变化这一问题。将Smith预估控制方法用于监控AGC系统，给出了调节器为积分形式下的控制率。控制算法表明，只要系统的放大倍数选择合适，控制器的第一步就可以将板带的厚度误差完全消除。与传统控制方法相比，该方法即有非常快的响应速度，又具有较高的静态控制精度。可以广泛推广到板带轧钢厂中，以提高板带产品的厚度精度。该方法在测厚仪的测量精度满足要求的前提下，其厚度控制精度高于1％。

附图说明

图1为本发明板带轧机带钢出口厚度测量原理图；

图2为本发明监控AGC系统的结构框图；

图3为本发明带SMITH预估器的监控AGC控制系统方框图；

图4为本发明以带钢长度L_g为控制样本的监控AGC采样原理图；

图5为本发明样本长度 $L_s=\frac{L_g}{n}$ 时监控AGC系统控制框图；

图6为本发明快速高精度板带轧制监控AGC方法流程图。

具体实施方式

例1：

采用单机架四辊可逆实验轧机，系统的相关参数如下：

轧制钢种：ST12

来料厚度宽度250mm，0.50mm，出口厚度0.40mm，轧制速度2.5m/s

轧机刚度M＝550kN/mm，带钢的塑性系数Q＝450kN/mm

测厚仪为VOLLMER接触式测厚仪，测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g＝765mm

基于以上条件的监控AGC控制参数和方法如下：

1)将四辊可逆轧机及带钢相关数据输入计算机，轧机的刚度系数M＝550kN/mm、带钢塑性系数Q＝450kN/mm、测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g＝765mm；

2)确定四辊可逆轧机厚控对象的比例系数 $K=\frac{M}{M+Q}=\frac{550}{550+450}=0.55;$

3)设定样本跟踪长度Ls＝Lg＝765mm，即n＝1，则系统的纯滞后延时τ＝2；

4)取积分调节器的厚差消除率a＝0.9；

5)计算机将测厚仪对每一个指定样本长度L_s(i)＝L_g＝765mm的厚差Δh进行多点采集，并通过计算确定i时刻样本的平均厚差Δh(i)；

6)计算轧机的辊缝附加值，分步计算如下：

第一步： $\mathrm{\Δs}\left(1\right)=\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(1\right)=1.636\mathrm{\Δh}\left(1\right);$

第二步： $\mathrm{\Δs}\left(2\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(1\right)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(2\right)=0.1\mathrm{\Δs}\left(1\right)+1.636\mathrm{\Δh}\left(2\right);$

第三步： $\mathrm{\Δs}\left(3\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(2\right)+\mathrm{a\Δs}\left(1\right)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(3\right);$

$=0.1\mathrm{\Δs}\left(2\right)+0.9\mathrm{\Δs}\left(1\right)+1.636\mathrm{\Δh}\left(3\right)$

……

第i步： $\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-2)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right).$

$=0.1\mathrm{\Δs}(i-1)+0.9\mathrm{\Δs}(i-2)+1.636\mathrm{\Δh}\left(i\right)$

例2：

采用冷轧带钢厂四辊可逆轧机，系统的相关参数如下：

轧制钢种：65Mn

来料宽度130mm，厚度1.0mm，出口厚度0.80mm，轧制速度3.0m/s

四辊可逆轧机参数如下：刚度M＝400kN/mm，带钢的塑性系数Q＝500kN/mm

测厚仪为国产接触式测厚仪，测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g＝500mm

基于以上条件的监控AGC控制参数和方法如下：

1)将四辊可逆轧机及带钢相关数据输入计算机，轧机的刚度系数M＝400kN/mm、带钢塑性系数Q＝500kN/mm、测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g＝500mm；

2)确定四辊可逆轧机厚控对象的比例系数 $K=\frac{M}{M+Q}=\frac{400}{400+500}=\frac{4}{9};$

3)设定样本跟踪长度L_s＝L_g/2＝250mm，即n＝2，则系统的纯滞后延时τ＝3；

4)取积分调节器的厚差消除率a＝0.8；

5)计算机将测厚仪对每一个指定样本长度L_s(i)＝L_g＝500mm的厚差Δh进行多点采集，并通过计算确定i时刻样本的平均厚差Δh(i)；

6)计算轧机的辊缝附加值，分步计算如下：

第一步： $\mathrm{\Δs}\left(1\right)=\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(1\right)=1.8\mathrm{\Δh}\left(1\right);$

第二步： $\mathrm{\Δs}\left(2\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(1\right)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(2\right)=0.2\mathrm{\Δs}\left(1\right)+1.8\mathrm{\Δh}\left(2\right);$

第三步： $\mathrm{\Δs}\left(3\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(2\right)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(3\right)=0.2\mathrm{\Δs}\left(2\right)+1.8\mathrm{\Δh}\left(3\right);$

第四步： $\mathrm{\Δs}\left(4\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(3\right)+\mathrm{a\Δs}\left(1\right)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(4\right);$

$=0.2\mathrm{\Δs}\left(3\right)+0.8\mathrm{\Δs}\left(1\right)+1.8\mathrm{\Δh}\left(3\right)$

……

第i步： $\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-3)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right).$

$=0.2\mathrm{\Δs}(i-1)+0.8\mathrm{\Δs}(i-3)+1.8\mathrm{\Δh}\left(i\right)$

Claims (2)

1.一种快速高精度板带轧制监控AGC的方法，在轧制系统上安装检测轧制带钢厚度和长度的仪表，通过计算机系统或PLC读取输出的厚度信号和长度信号，进行带钢样本跟踪、控制率的存储和计算，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、输入轧制系统及带钢相关数据，这些数据包括：轧机的刚度系数M、带钢塑性系数Q、测厚仪离轧机轧辊中心线的距离L_g；

步骤二、确定厚控对象的比例系数K， $K=\frac{M}{M+Q},$ 式中K为比例系数；

步骤三、设定样本跟踪长度 $L_S=\frac{L_g}{n},$ n为L_g等分段数，系统的纯滞后为τ＝n+1；

步骤四、取积分调节器的消除率a，a一般取值为0.8-1；

步骤五、计算机将测厚仪对每一个指定样本长度L_s(i)的厚差Δh实测值进行多点采集，并通过计算确定i时刻样本的平均厚差Δh(i)；

步骤六、计算轧机的辊缝附加值，第i时刻的控制率ΔS(i)由如下的递推公式计算：

$\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-n-1)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right).$

2.如权利要求1所述的快速高精度板带轧制监控AGC的方法，其特征在于步骤六中按递推公式 $\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-n-1)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right).$ 具体计算步骤如下：

第一步： $\mathrm{\Δs}\left(1\right)=\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(1\right);$

第二步： $\mathrm{\Δs}\left(2\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(1\right)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(2\right);$

第三步： $\mathrm{\Δs}\left(3\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}\left(2\right)+\mathrm{a\Δs}(2-n)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(3\right);$

……

第i步： $\mathrm{\Δs}\left(i\right)=(1-a)\mathrm{\Δs}(i-1)+\mathrm{a\Δs}(i-n-1)+\frac{a}{K}\mathrm{\Δh}\left(i\right).$

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