CN1793805A - 一种消除Shack－Hartmann波前传感器模型误差的方法 - Google Patents

Abstract

一种消除Shack－Hartmann波前传感器模型误差的方法，其特点在于由下列步骤实现：(1)根据Shack－Hartmann波前传感器使用的光束分割元件的类型及布局，计算误差修正矩阵；(2)计算误差修正矩阵的逆矩阵；(3)对Shack－Hartmann波前传感器实际测量的结果(Zernike系数)作用误差修正逆矩阵。本发明在不改变实验步骤的基础上，对波前测量结果作用离线计算的模型误差修正矩阵以消除模型误差，只需离线计算一次模型误差修正矩阵，就能有效地消除Shack－Hartmann波前传感器模型误差和提高Shack－Hartmann波前传感器的测量精度，且具有普适性，适用于各种波前分割元件(如：微透镜阵列、微棱镜阵列)，也适用于各种探测器件(如：CCD、CMOS)等。

Description

一种消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法

技术领域

本发明涉及一种消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法。

背景技术

目前使用比较广泛的波前传感器有剪切干涉仪和Shack-Hartmann波前传感器。剪切干涉仪在早期的自适应光学中有较多的应用，J.W.Hardy等人于1974年首先利用横向剪切干涉仪测定了受大气湍流影响的波前相位畸变；到了后期，Shack-Hartmann波前传感器逐渐成为自适应光学系统中最常用的波前传感器。如80年代后期美国林肯实验室建立的SWAT波前传感器。

Shack-Hartmann波前传感器的广泛使用是因为Shack-Hartmann波前传感器具有很多剪切干涉仪所不具备的优点。剪切干涉仪的光能利用率低、存在2π不确定性、结构复杂且需要实时提供与被探测光同能量级的参考光，这在很多场合、很多时候往往无法实现，这些缺点限制了剪切干涉仪的应用范围；而Shack-Hartmann波前传感器则结构简单、灵活性好，具有大动态范围、高光学效率、白光探测能力、不存在2π模糊性问题、对连续或脉冲光均可进行波前探测等优点，特别是它对环境条件要求低，工作时无须参考光，能动态记录光束变化过程，适应能力强。随着高灵敏度、高量子效率、低噪声的新型阵列式光电探测器件的不断问世，Shack-Hartmann波前传感器已经在光束质量诊断、生物医学、三维流场的层析技术以及自适应光学技术等领域得到广泛应用。

但是，由于Shack-Hartmann波前传感器主要采用微透镜阵列或者其它分割元件对被测光束进行离散分割采样，然后计算子孔径焦平面上用面阵探测器测量的平均斜率和参考斜率之差以重构波前。针对Shack-Hartmann波前传感器各个元器件在加工、装配过程和理论设计的偏差，可以通过标定的办法消除或减少这类误差；针对不同的面阵探测器件，可以通过设定适当的域值以减少或消除探测器件本身以及采集系统的噪声；针对在重构过程中由于只能选用有限阶次而引入的算法截断误差，可以通过分析和比较以找出最小的截断误差的阶次以减少阶段误差。但是这些方法，对Shack-Hartmann波前传感器在原理上由于离散采样而引入的模型误差无能为力。

发明内容

本发明的技术解决问题：克服现有技术的不足，提出一种消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法，以提高Shack-Hartmann波前传感器的测量精度。

本发明的技术解决方案：消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法，其特点在于通过下列步骤实现：

(1)根据具体使用的Shack-Hartmann波前传感器光束分割元件的类型及布局，计算误差修正矩阵；

(2)计算误差修正矩阵的逆矩阵；

(3)对Shack-Hartmann波前传感器实际测量的结果乘误差修正矩阵即可消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差。

所述的光束分割元件为各种阵列数。

所述的光束分割元件的形状为正方形、或正六边形、或三角形。

所述的光束分割元件的子孔径的布局为方形、圆形、环形。

本发明的原理为：模型误差的定义：在原理上Φ(x，y)经过Shack-Hartmann波前传感器测量结果为Φ′(x，y)，两者之间之差δ(x，y)即为模型误差；其实质包括离散采样误差、重构误差两大部分。Shack-Hartmann波前传感器对不同波前(Zernike多项式表示)的测量误差的大小与分割元件的形状和阵列数以及排布有关，因此，当分割元件的形状、数量以及排布确定以后，对不同波前(Zernike多项式表示)的测量误差也随之确定。因此，在本质上，这种误差属于系统误差，可以通过适当的方法来消除此类系统误差。本发明针对Shack-Hartmann波前传感器对不同波前(用Zernike多项式表示)的测量误差满足线性的特点，通过计算不同波前(依次去单位系数的Zernike多项式)的探测误差，构成误差修正矩阵，再计算该误差修正矩阵的逆矩阵后乘以实际测量结果后得到无模型误差的修正结果。

本发明与现有技术相比的优点：在不改变实验步骤的基础上，对波前测量结果作用离线计算的模型误差修正矩阵以消除模型误差，只需离线计算一次模型误差修正矩阵，有效地消除了Shack-Hartmann波前传感器模型误差和提高了Shack-Hartmann波前传感器的测量精度，且具有普适性，适用于各种波前分割元件，也适用于各种探测器件(如：CCD、CMOS)等。

附图说明

图1为本发明的测量原理示意图；被测光束经过分割元件阵列离散分割，每个单位阵列被近似为一平面波，用放在其焦面上的二维面阵探测器探测光强分布，计算相对于标定位置的质心偏移量后经过波前重构算法后得到被测波前的位相分布；

图2为本发明采用10×10个正方形自孔径排布为正方形布局。

具体实施方式

本发明的具体实施方式步骤如下：

(1)根据Shack-Hartmann波前传感器使用的光束分割元件的类型及布局，计算过程如下：

(a)、模型误差的定义：在原理上Φ(x，y)经过Shack-Hartmann波前传感器测量结果为Φ′(x，y)，两者之间的差δ(x，y)，即为模型误差；其实质包括离散采样误差、重构误差两大部分。

(b)、任意波前Φ(x，y)可以用正交的Zernike多项式作为基函数展开：

$\mathrm{\Φ}=(x,y)=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·z_k(x,y)+\mathrm{\ϵ}---\left(1\right)$

式中：a_k为第k项Zernike多项式系数，z_k为第k项Zernike多项式，l为Zernike多项式数量，ε为残差，常常忽略。

(c)、设待测波前为Φ(x，y)，测量结果为Φ′(x，y)，根据(1)式，有：待测波前 $\mathrm{\Φ}(x,y)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·z_k(x,y),$ 其Zernike系数用A＝(a₁、a₂......a_l)表示，测量结果 ${\mathrm{\Φ}}^{\′}(x,y)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k^{\′}\·z_k(x,y),$ 其Zernike系数用A′＝(a₁＇、a₂＇......a_l＇)表示。

即，Shack-Hartmann波前传感器将被测对象A解释成A′，模型误差为两者系数的差异，因此从原理上当把A′当作A就可以消除模型误差。但是，测量结果A′是a₁＇、a₂＇......a_l＇的任意组合；要消除模型误差，就必须针对每一种可能的组合事先计算误差传递矩阵。显然，由于组合数量太多，无法事先完成计算。但是：①选用的基函数(Zernike多项式)彼此正交，模式之间不会出现耦合；②对单阶的Zernike模式，Shack-Hartmann波前传感器的测量模型满足线性关系

具体证明如下：Shack-Hartmann波前传感器的测量模型满足线性关系

(a)测量过程描述

一个完整的波前Φ(x，y)可以用正交的Zernike多项式展开：

$\mathrm{\Φ}(x,y)=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·z_k(x,y)---\left(2\right)$

式中：1为模式数；a_k为第k项Zernike多项式系数；z_k为第k项Zernike多项式。

被测波前通过微阵列透镜聚焦后，其像点相对于参考波前成像点的偏移量代表着该子孔径的波前斜率，用Zernike多项式的偏导可表述为：

$G_x(x,y)=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·\frac{{\∂z}_k(x,y)}{\∂x}---\left(3\right)$

$G_y(x,y)=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·\frac{{\∂z}_k(x,y)}{\∂y}---\left(4\right)$

其中，G_x、G_y分别为x、y方向上的波前斜率。

在模型上Shack-Hartmann波前传感器探测到的只能是子孔径内的平均斜率，所以波前传感器测量的第i个子孔径内入射波前的波前相位平均斜率G_jx和G_jy应为：

$G_{\mathrm{ix}}(x,y)=\frac{1}{s_i}\underset{s_i}{\∫}\∫{\left(\frac{\∂\mathrm{\Φ}(x,y)}{\∂x}\right)}_i\mathrm{dxdy}$

$=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{a_k}{s_i}\right)\underset{s_i}{\∫}\∫{\left(\frac{{\∂z}_k(x,y)}{\∂x}\right)}_i\mathrm{dxdy}=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·z_{\mathrm{xk}\left(i\right)}---\left(5\right)$

$G_{\mathrm{iy}}(x,y)=\frac{1}{s_i}\underset{s_i}{\∫}\∫{\left(\frac{\∂\mathrm{\Φ}(x,y)}{\∂y}\right)}_i\mathrm{dxdy}$

$=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}\left(\frac{a_k}{s_i}\right)\underset{s_i}{\∫}\∫{\left(\frac{{\∂z}_k(x,y)}{\∂y}\right)}_i\mathrm{dxdy}=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{a}_k\·z_{\mathrm{yk}\left(i\right)}---\left(6\right)$

其中，s_i是第i个子孔径在归一化面积，并且有：

$z_{\mathrm{xk}\left(i\right)}=\frac{1}{s_i}\underset{s_i}{\∫}\∫{\left(\frac{{\∂z}_k(x,y)}{\∂x}\right)}_i\mathrm{dxdy}---\left(7\right)$

$z_{\mathrm{yk}\left(i\right)}=\frac{1}{s_i}\underset{s_i}{\∫}{\∫\left(\frac{{\∂z}_k(x,y)}{\∂y}\right)}_i\mathrm{dxdy}---\left(8\right)$

如2图为10×10个正方形自孔径排布为正方形布局，不同的子孔径阵列数、形状和排布决定了子孔经的面积和在坐标系中的位置，决定公式(7)和(8)中的归一化面积大小和积分区域的边界。因为，公式(7)和(8)的计算定义在单位圆内(最大半径为1，最小半径为0)或者环行口径(最大半径为1，最小半径为大于1)或方(边长为2)进行。

假设波前传感器共有N个子孔径，并取模式函数系列z_k(x，y)的前1项进行波前重构，则有：

$\left[\begin{array}{c}{G}_{x\left(1\right)}\\ G_{y\left(1\right)}\\ G_{x\left(2\right)}\\ G_{y\left(2\right)}\\ \·\·\·\·\·\·\\ G_{x\left(m\right)}\\ G_{y\left(m\right)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_{x1\left(1\right)}& Z_{x2\left(1\right)}& \·\·\·\·\·\·& Z_{\mathrm{xN}\left(1\right)}\\ Z_{y1\left(1\right)}& Z_{y2\left(1\right)}& \·\·\·\·\·\·& Z_{\mathrm{yN}\left(1\right)}\\ Z_{x1\left(2\right)}& Z_{x2\left(2\right)}& \·\·\·\·\·\·& Z_{\mathrm{xN}\left(2\right)}\\ Z_{y1\left(2\right)}& Z_{y2\left(2\right)}& \·\·\·\·\·\·& Z_{\mathrm{yN}\left(2\right)}\\ \·\·\·\·\·\·& \·\·\·\·\·\·& \·\·\·\·\·\·& \·\·\·\·\·\·\\ \·\·\·\·\·\·& \·\·\·\·\·\·& \·\·\·\·\·\·& \·\·\·\·\·\·\\ Z_{x1\left(m\right)}& Z_{x2\left(m\right)}& & Z_{\mathrm{xN}\left(m\right)}\\ Z_{y1\left(m\right)}& Z_{y2\left(m\right)}& & Z_{\mathrm{yN}\left(m\right)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ \·\·\·\\ a_N\end{array}\right]---\left(9\right)$

上式可以表示成矩阵形式：

                 G＝Z·A                          (10)

其中G为波前相位斜率向量，包含波前传感器测量的入射光束波前相位在所有子孔径内x和y方向的平均斜率；Z为重构矩阵，由Shack-Hartmann波前传感器中微阵列透镜子孔径的数量及布局决定；子孔径的数量决定了A为待定的模式函数系数向量。

利用Shack-Hartmann波前传感器测得波前相位斜率向量G，常用奇异值分解求出波前重构矩阵Z的广义逆Z⁺，就可以求出模式函数系数向量A的最小范数解：

                  A＝Z⁺·G                         (11)将计算得到的模式函数系数向量A代回到(2)式就可得到完整的测量波前。

(b)证明

若被测波前 ${\mathrm{\Φ}}^{\′}(x,y)=t\×\mathrm{\Φ}(x,y)=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(b_k\×z_k(x,y))$ 其中，b_k＝t×a_k

由(4)、(5)式得：对应的平均斜率为

$G_{\mathrm{ix}}^{\′}=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}{b}_k\·z_{\mathrm{xk}\left(i\right)}=\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(t\×a_k\×z_k(x,y))=t\underset{k=1}{\overset{l}{\mathrm{\Σ}}}(a_k\×z_k(x,y))=t{G}_{\mathrm{ix}}$

同理G_iy＇＝t×G_iy

即：G′＝t×G

Z由Shack-Hartmann波前传感器中微阵列透镜子孔径的大小及布局决定根据(11)式，所以有A′＝t×A，即：Shack-Hartmann波前传感器的测量模型满足线性关系。

因此，这种测量实际上是一个线性系统，即待测对象和实际测量结果之间存在一种线性的误差传递关系，两者的差异本质是系统误差，可以通过数值计算的办法标校这个过程从而达到消除这种系统误差。所以，将事先计算任意系数组合a₁＇、a₂＇.......a_l＇的传递矩阵简化为逐一计算单一系数在单位时传递矩阵。

(d)、建立子孔径形状为正方形，数量为N×N，布局为正方形布局，前m阶Zernike模式，每一阶模式用l项Zernike模式重构的误差传递矩阵。取第k阶Zernike模式的系数a_k＝α_k，模式的系数为0，经过Shack-Hartmann波前传感器探测结果的Zernike系数为A_kn(n＝1...l)，归一化为(A_kn/α_k)(n＝1...l)，这样就建立了第k阶Zernike模式的误差传递矩阵，重复这个过程就可以完成整个测传递矩阵的建立，结果为A＝((A_ij/α_i)(i＝1...m，j＝1...l)，具体参见上述叙述的“Shack-Hartmann波前传感器的测量模型满足线性关系”中“测量过程”描述，A为误差传递矩阵。

(2)计算误差传递矩阵A的逆矩阵；

步骤1计算矩阵A_m×n的满秩分解A＝FG；

步骤2A的广义逆矩阵A⁺＝G^T(F^TAG^T)^-1F^T；

(3)对Shack-Hartmann波前传感器实际测量的结果，如Zernike系数乘误差修正矩阵，对于任意实际测量结果，根据(1)式，可以将其展开成m项多项式，系数为K＝(a₁、a₂......a_l)，乘误差传递居正修正后的系数为K′＝KA⁺，(K′＝(β₁□/β₂.....β_m))，修正后的结果为消除了模型误差的实际测量结果。

Claims (4)

1、一种消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法，其特点在于由下列步骤实现：

(1)根据Shack-Hartmann波前传感器使用的光束分割元件的类型及布局，首先计算误差修正矩阵；

(2)计算误差修正矩阵的逆矩阵；

(3)对Shack-Hartmann波前传感器实际测量的结果作用误差修正矩阵。

2、根据权利要求1所述的消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法，其特征在于：所述的光束分割元件为各种阵列数。

3、根据权利要求1所述的消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法，其特征在于：所述的光束分割元件的形状为正方形、或正六边形、或三角形。

4、根据权利要求1所述的消除Shack-Hartmann波前传感器模型误差的方法，其特征在于：所述的光束分割元件的子孔径的布局为方形、圆形、环形。

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