CN109670146B - 基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法及系统 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法及系统，实施本发明的有益效果是，利用拟牛顿法进行二维水污染扩散源溯源定位能有效提高精度，准确识别污染源位置、释放强度及释放时间。首先，对待测水域建立参考坐标系，对各个节点的位置坐标进行标定。然后，使用电导率传感器对各监测点的电导率值进行测量，通过电导率和浓度的函数关系将其转化为浓度值，将各个节点处的浓度值以及位置坐标带入所建立的差值函数中。最后，利用拟牛顿法求得差值函数在无约束条件下的极值点，即求得污染物释放质量、释放时间以及污染源位置。
Description
技术领域
本发明涉及污染源定位领域，更具体地说，涉及一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法及系统。
背景技术
水体污染会严重破坏生态环境，直接影响社会的发展和经济水平的提高，污染源定位追踪成为了近些年的研究热点。文献基于相关系数优化法的河流突发污染源项识别中利用了相关系数优化法设计了单点源识别算法，但是当浓度噪声较大时，计算结果与真实值偏差较大；文献基于PSO-DE算法的突发水域污染溯源研究中采用了粒子群算法和微分进化算法实现点源污染的移动定位，但在定位过程中随着水流流速的增长，其定位精度越低；上述两种方法都存在不稳定的问题。在文献对流-扩散方程源项识别反问题的MCMC方法中采用贝叶斯-蒙特卡洛方法来识别对流扩散问题中的源项，文献突发性水污染事件溯源方法中基于贝叶斯-蒙特卡洛方法提出了微分进化蒙特卡洛方法，虽然这两种方法精度较高，但是对于多参数反演问题有一定局限性；文献基于遗传算法的水污染事故污染源识别模型中采用遗传算法与数学分析方法相结合的方法，虽然其误差较小，但该方法对于二维水域也具有局限性。
发明内容
本发明要解决的技术问题在于，针对现有技术的局限性和不稳定性缺陷，提供一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法及系统。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：构造一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法，所述方法具体包括以下步骤：
S1、选定n个节点监测待测水域，节点的位置坐标分别标注为(x1,y1)，(x2,y2)...(xn,yn)，其中n≥1；
S2、使用电导率传感器对各监测点的电导率值进行测量，通过电导率和浓度的函数关系将各监测点的电导率值转化为对应的浓度观测值Zi，所有浓度观测值Zi组成了浓度观测值向量Z＝[Z1,Z2...Zn]T，其中i＝1,2...n；
S3、在T0时刻向无限域水体空间内点(ε,η)投入质量为M的污染物，在t时刻计算监测点(xi,yi)处污染物的浓度理论值为：
其中，μx和μy分别为点x和点y方向的水流速度，D为扩散系数；在选定的n个节点处的浓度理论值向量即为C＝[C1,C2...Cn]T；
S4、将步骤S3得到的浓度理论值向量C和步骤S2得到的浓度观测值向量Z以及步骤S1标定的位置坐标带入差值函数；所述的差值函数为各个节点浓度观测值与理论浓度值的差值函数，定义为：
f(M,t,ε,η)＝[(Z-C)T(Z-C)]；
S5、利用拟牛顿法求得差值函数在无约束条件下的极值点，所求的极值点即为污染物释放质量、释放时间以及污染源位置。
进一步的，步骤S5中拟牛顿法求解差值函数的步骤为：
S51、用X表示步骤S3中定义的参数(M,t,ε,η)，将步骤S4所述的差值函数f(X)作为拟牛顿法的目标函数；将所述的差值函数f(X)在Xk+1处展成Taylor级数，取二阶近似，并对X关于梯度求导可得：
令X＝Xk，sk＝Xk+1-Xk，
jk＝gk+1-gk则有
其中
为Hessen矩阵；
S52、通过BFGS法构造Hessen矩阵的近似阵Bk+1，计算得到矩阵Bk+1的逆矩阵Hk+1为：
S53、初始化过程；令k＝0，H0为单位矩阵I，给定初始点X0＝(M0,t0,ε0,η0)，设定收敛阈值为τ，迭代次数为N；
S54、结合步骤S51所述的差值函数的梯度
和步骤S52所述的逆矩阵Hk+1，确定搜索方向dk＝-Hkgk；
S55、从Xk出发沿dk搜索，若有Xk使得f(Xk+λkdk)取得极小值，则令Xk+1＝Xk+λkdk；若有||f(Xk+1)||≤τ，则停止迭代，输出最优解X＝Xk+1和最优解处的f(X)；若||f(Xk+1)||＞τ且k＝N-1，则令X＝Xk+1，停止迭代，输出最优解X和f(X)；其他情况下把k更新为k+1返回到步骤S54，重新确定搜索方向，直到找到最优解X。
一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位系统，所述系统具体包括以下模块：
水域监测模块，用于选定若干个节点监测待测水域，并对选定的节点的位置坐标进行标注；
浓度理论值计算模块，用于在T0时刻向无限域水体空间内点(ε,η)投入质量为M的污染物，在t时刻计算监测点处污染物的浓度理论向量值Z；
浓度观测值计算模块，用于使用DFRobot电导率传感器对各监测点的电导率值进行测量，通过电导率和浓度的函数关系将各监测点的电导率值转化为对应的浓度观测向量值C；
差值函数构建模块，用于结合浓度理论值计算模块得到的浓度理论向量值Z和浓度观测值计算模块得到的浓度观测向量值C以及水域监测模块标定的位置坐标，构建差值函数；
污染源定位模块，用于利用拟牛顿法求得差值函数构建模块构建的差值函数在无约束条件下的极值点，所求的极值点即为污染物释放质量、释放时间以及污染源位置。
进一步的，所述的污染源定位模块还包括以下子模块：
目标函数构建子模块，用X表示浓度理论值计算模块中定义的参数(M,t,ε,η)，将差值函数构建模块所述的差值函数f(X)作为拟牛顿法的目标函数；计算目标函数的梯度gk和相关的逆矩阵；
初始化子模块，用于设定收敛阈值为τ，迭代次数为N；令k＝0，H0为单位矩阵I，给定初始点X0＝(M0,t0,ε0,η0)；
搜索方向构建子模块，用于结合目标函数构建子模块计算所得的梯度gk和逆矩阵Hk+1，确定搜索方向dk＝-Hkgk；
污染源分布子模块，用于从Xk出发沿dk搜索，若有Xk使得f(Xk+λkdk)取得极小值，则令Xk+1＝Xk+λkdk；若有||f(Xk+1)||≤τ，则停止迭代，输出最优解X＝Xk+1和最优解处的f(X)；若||f(Xk+1)||＞τ且k＝N-1，则令X＝Xk+1，停止迭代，输出最优解X和f(X)；其他情况下把k更新为k+1返回到构建搜索方向子模块，重新确定搜索方向，直到找到最优解X。
在本发明所述的一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法及系统中，一方面采用测量污染物电导率值代替测量浓度值，并拟合电导率和浓度得关系，以获得污染源参数,构造理论值和浓度值的差值函数；另一方面使用拟牛顿法求得差值函数极值点，以获得污染源关键参数；最后，通过不断实验获得最佳节点个数，以降低运算复杂度和系统能耗。
实施本发明的一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法及系统中，具有以下有益效果：利用拟牛顿法进行二维水污染扩散源溯源定位能有效提高精度，准确识别污染源位置、释放强度及释放时间。
附图说明
下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：
图1是污染源定位方法的流程图；
图2是污染源定位系统的原理图；
图3是拟牛顿法实现污染源定位的流程图。
具体实施方式
为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图详细说明本发明的具体实施方式。
参考图1，其为污染源定位方法的流程图，具体包括以下步骤：
L1、在6m×6m的水池中部署5个DFRobot电导率传感器节点，以水池中心点为原点对整个监测水域建立参考坐标系，得到各传感器节点的位置坐标。
L2、使用传感器对各监测点的电导率值进行测量，其中每个传感器节点由USB分线器连接至上位机通过，由上位机接收各节点采集的电导率值，并通过电导率和浓度的函数关系将各监测点的电导率值转化为对应的浓度观测值Zi，所有的浓度观测值Zi组成了浓度观测值向量Z＝[Z1,Z2...Z5]T，其中i＝1,2...5；
其中，在本实施例中，采用NaCl模拟污染物，步骤L2中电导率和浓度的函数关系拟合过程具体为：
A21、向1L纯水里面加入在100mg～5000mg区间内不同质量的NaCl颗粒，到得不同浓度的盐溶液；待盐溶液充分溶解后使用电导率传感器测量并记录溶液电导率，记录55组NaCl溶液浓度c和电导率对应的观测值k，定义55组观测值分别为(ki，ci)，i＝1，2，3...55，表1列出了部分数据；
A22、利用NaCl溶液的电导率和浓度成线性关系特性，定义电导率k和浓度c的线性关系模型为：
k＝a0+a1×c；
其中，a0和a1分别为待测系数；
A23、采用最小二乘法对步骤A22所述的线性关系模型进行数据拟合，得到待测系数a0和a1的最佳估计值为：
将各组观测值代入上述表达书，求得
和
分别为2049.9和1.5472。因此，电导率和浓度关系可具体表述为：
k＝2049.9+1.5472×c。
表1 NaCl溶液浓度和电导率数据L3、在T0时刻向无限域水体空间内点(ε,η)投入质量为M的污染物，在t时刻计算监测点(xi,yi)处污染物的浓度理论值为：
其中，μx和μy分别为点x和点y方向的水流速度，D为扩散系数；在选定的5个节点处的污染物的浓度理论值向量即为C＝[C1,C2...C5]T。
L4、将步骤L3所述的浓度理论值向量C和步骤L2所述的浓度观测值向量Z以及步骤L1标定的位置坐标带入所建立的差值函数；所述的差值函数为各个节点浓度观测值与浓度理论值的差值函数，定义为：
f(M,t,ε,η)＝[(Z-C)T(Z-C)]；
L5、利用拟牛顿法求得差值函数在无约束条件下的极值点，所求的极值点即为污染物释放质量、释放时间以及污染源位置；
其中，在本实施例中，步骤L3、L4、L5中相关参数的设置分别为：T0＝0，D＝1.5m2/s，ux＝0.2m/s，uy＝0.3m/s.设置拟牛顿法初始参数(M0，t0，ε0，η0)的初值为(1000，100，10，10)，收敛阈值τ＝1×10-6，迭代次数N＝400。
在本实施例中，通过改变污染源参数进行了5组测试，每组测试中又随机改变节点位置进行10次测量。为减小误差较大的浓度数据对污染源定位精度的影响，每个传感器节点在短时间内连续多次测量，采用3σ原则剔除异常值。
参考图2，其为污染源定位系统的原理图，所述系统具体包括有水域监测模块21、浓度理论值计算模块22、浓度观测值计算模块23、差值函数构建模块24、污染源定位模块25，所述模块具体为：
水域监测模块21用于选定若干个节点监测待测水域，并对选定的节点的位置坐标进行标注；
浓度理论值计算模22用于在T0时刻向无限域水体空间内点(ε,η)投入质量为M的污染物，在t时刻计算监测点处污染物的浓度向量值Z；
浓度观测值计算模块23用于使用DFRobot电导率传感器对各监测点的电导率值进行测量，通过电导率和浓度的函数关系将各监测点的电导率值转化为对应的浓度观测向量值C；
差值函数构建模块24用于结合浓度理论值计算模块得到的污染物的浓度向量值Z和浓度观测值计算模块得到的浓度观测向量值C以及水域监测模块标定的位置坐标，构建差值函数，具体为：
f(M,t,ε,η)＝[(Z-C)T(Z-C)]；
污染源定位模块25用于利用拟牛顿法求得差值函数构建模块构建的差值函数在无约束条件下的极值点，所求的极值点即为污染物释放质量、释放时间以及污染源位置。
其中所述的污染源定位模块25，还包括有目标函数构建子模块251、初始化子模块252、构建搜索方向子模块253和污染源分布子模块254，所述子模块具体为：
目标函数构建子模块251用X表示浓度理论值计算模块中定义的参数(M,t,ε,η)，将差值函数构建模块所述的差值函数f(X)作为拟牛顿法的目标函数；计算目标函数的梯度gk和相关的逆矩阵；
初始化子模块252用于设定收敛阈值为τ，迭代次数为N；令k＝0，H0为单位矩阵I，给定初始点X0＝(M0,t0,ε0,η0)；
搜索方向构建子模块253用于结合目标函数构建子模块计算所得的梯度gk和逆矩阵Hk+1，确定搜索方向dk＝-Hkgk；
污染源分布子模块254用于从Xk出发沿dk搜索，若有Xk使得f(Xk+λkdk)取得极小值，则令Xk+1＝Xk+λkdk；若有||f(Xk+1)||≤τ，则停止迭代，输出最优解X＝Xk+1和最优解处的f(X)；若||f(Xk+1)||＞τ且k＝N-1，则令X＝Xk+1，停止迭代，输出最优解X和f(X)；其他情况下把k更新为k+1返回到构建搜索方向子模块，重新确定搜索方向，直到找到最优解X。
参考图3，其为拟牛顿法实现污染源定位的流程图，该算法实现的具体步骤为：
L51、用X表示参数(M,t,ε,η)，步骤L4所述的差值函数f(X)为拟牛顿法的目标函数；将所述的差值函数f(X)在Xk+1处展成Taylor级数，取二阶近似，得到：
将上述公式两边关于X求梯度可得：
令X＝Xk，sk＝Xk+1-Xk，
jk＝gk+1-gk则有
其中
为Hessen矩阵；
L52、通过BFGS法构造Hessen矩阵的近似阵Bk+1，计算得到矩阵Bk+1的逆矩阵Hk+1为：
L53、初始化过程；令k＝0，H0为单位矩阵I，给定初始点X0＝(M0,t0,ε0,η0)＝(1000，100，10，10)，收敛阈值τ＝1×10-6，迭代次数N＝400；
L54、结合步骤L51所述的差值函数的梯度gk＝▽f(X)和步骤L52所述的逆矩阵Hk+1，确定搜索方向dk＝-Hkgk；
L55、从Xk出发沿dk搜索，若有Xk使得f(Xk+λkdk)取得极小值，则令Xk+1＝Xk+λkdk；其中λk为搜索步长；
L56、若||f(Xk+1)||≤τ，则停止迭代，输出最优解X＝Xk+1和最优解处的f(X)；其他情况下，若有k＝N-1，则令X＝Xk+1，停止迭代，输出最优解X和f(X)；否则将k更新为k＝k+1并返回步骤L54，重新确定搜索方向，直到找到最优解X；
上面结合附图对本发明的实施例进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨和权利要求所保护的范围情况下，还可做出很多形式，这些均属于本发明的保护之内。
Claims (6)
1.一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位方法，其特征在于，具体包括以下步骤：
S1、选定若干个节点监测待测水域，节点的位置坐标分别标注为(x1，y1)，(x2，y2)...(xn，yn)，其中n≥1为监测节点的个数；
S2、使用电导率传感器对各监测点的电导率值进行测量，通过电导率和浓度的函数关系将各监测点的电导率值转化为对应的浓度观测值Zi，这些浓度观测值Zi组成浓度观测值向量为Z＝[Z1，Z2...Zn]T，其中i＝1，2...n；
S3、在T0时刻向无限域水体空间内点(ε，η)投入质量为M的污染物，在t时刻计算监测点(xi，yi)处污染物的理论浓度值Ci，i＝1，2...n；这些理论浓度值Ci组成理论浓度值向量为C＝[C1，C2...Cn]T；其中，每项理论浓度值Ci的计算公式为：
μx和μy分别为点x和点y方向的水流速度，D为扩散系数；
S4、将步骤S3得到的理论浓度值向量C和步骤S2得到的浓度观测值向量Z以及步骤S1标定的位置坐标带入差值函数；所述的差值函数为各个节点浓度观测值与理论浓度值的差值函数，定义为：
f(M，t，ε，η)＝[(Z-C)T(Z-C)]；
S5、基于公式(1)获得理论浓度、污染物释放质量M、释放时间t、污染源位置(ε，η)之间的计算关系后，利用拟牛顿法求得差值函数在无约束条件下的极值点，所求的极值点即为污染物释放质量、释放时间以及污染源位置。
2.根据权利要求1所述的二维水污染扩散源溯源定位方法，其特征在于，步骤S2中所述的电导率传感器为DFRobot电导率传感器。
3.根据权利要求1所述的二维水污染扩散源溯源定位方法，其特征在于，步骤S5中拟牛顿法求解差值函数的步骤为：
S51、根据步骤S3中定义的污染源位置(ε，η)、污染物的质量M和计算时间t，用X表示参数(M，t，ε，η)，将步骤S4所述的差值函数f(X)作为拟牛顿法的目标函数；将所述的差值函数f(X)在Xk+1处展成Taylor级数，取二阶近似，并对X关于梯度求导可得：
令X＝Xk，sk＝Xk+1-Xk，
jk＝gk+1-gk则有
其中
为Hessen矩阵；
S52、通过BFGS法构造Hessen矩阵的近似矩阵Bk+1，计算得到矩阵Bk+1的逆矩阵Hk+1为：
S53、初始化过程；令k＝0，H0为单位矩阵I，给定初始点X0＝(M0，t0，ε0，η0)，设定收敛阈值为τ，迭代次数为N，其中，(ε0，η0)为k＝0时污染源位置的坐标位置；
S54、结合步骤S51所述的差值函数的梯度
和步骤S52所述的逆矩阵Hk+1，确定搜索方向dk＝-Hkgk；
S55、从Xk出发沿dk搜索，若有Xk使得f(Xk+λkdk)取得极小值，λk为搜索步长，则令Xk+1＝Xk+λkdk；若有||f(Xk+1)||≤τ，则停止迭代，输出最优解X＝Xk+1和最优解处的f(X)；若||f(Xk+1)||＞τ且k＝N-1，则令X＝Xk+1，停止迭代，输出最优解X和f(X)；其他情况下把k更新为k+1返回到步骤S54，重新确定搜索方向，直到找到最优解X。
4.一种基于拟牛顿法的二维水污染扩散源溯源定位系统，其特征在于，具有以下模块：
水域监测模块，用于选定若干个节点监测待测水域，节点的位置坐标分别标注为(x1，y1)，(x2，y2)...(xn，yn)，其中n≥1为监测节点的个数；
浓度观测值计算模块，用于使用电导率传感器对各监测点的电导率值进行测量，通过电导率和浓度的函数关系将各监测点的电导率值转化为对应的浓度观测值Zi，这些浓度观测值Zi组成浓度观测值向量为Z＝[Z1，Z2...Zn]T，其中i＝1，2...n；
浓度理论值计算模块，用于在T0时刻向无限域水体空间内点(ε，η)投入质量为M的污染物，在t时刻计算监测点(xi，yi)处污染物的理论浓度值Ci，i＝1，2...n；这些理论浓度值Ci组成理论浓度值向量为C＝[C1，C2...Cn]T；其中，每项理论浓度值Ci的计算公式为：
μx和μy分别为点x和点y方向的水流速度，D为扩散系数；
差值函数构建模块，用于结合浓度理论值计算模块得到的污染物理论浓度值向量值C和浓度观测值计算模块得到的浓度观测值向量Z以及水域监测模块标定的位置坐标，构建差值函数；定义为：
f(M，t，ε，η)＝[(Z-C)T(Z-C)]；
污染源定位模块，用于基于公式(2)获得理论浓度、污染物释放质量M、释放时间t、污染源位置(ε，η)之间的计算关系后，利用拟牛顿法求得差值函数构建模块构建的差值函数在无约束条件下的极值点，所求的极值点即为污染物释放质量、释放时间以及污染源位置。
5.根据权利要求4所述的二维水污染扩散源溯源定位系统，其特征在于，浓度观测值计算模块中所述的电导率传感器为DFRobot电导率传感器。
6.根据权利要求4所述的二维水污染扩散源溯源定位系统，其特征在于，污染源定位模块中包括以下子模块：
目标函数构建子模块，根据浓度理论值计算模块中定义的点(ε，η)、污染物的质量M和计算时间t，用X表示定义的参数(M，t，ε，η)，将差值函数构建模块所述的差值函数f(X)作为拟牛顿法的目标函数；基于所述目标函数f(X)，在Xk+1处展成Taylor级数且取二阶近似，计算目标函数的梯度gk，
通过BFGS法构造
矩阵的近似矩阵Bk+1，计算矩阵Bk+1的逆矩阵Hk+1；
初始化子模块，用于设定收敛阈值为τ，迭代次数为N；令k＝0，H0为单位矩阵I，给定初始点X0＝(M0，t0，ε0，η0)；
搜索方向构建子模块，用于结合目标函数构建子模块计算所得的梯度gk和逆矩阵Hk+1，确定搜索方向dk＝-Hkgk；
污染源分布子模块，用于从Xk出发沿dk搜索，若有Xk使得f(Xk+λkdk)取得极小值，则令Xk+1＝Xk+λkdk，λk为搜索步长；若有||f(Xk+1)||≤τ，则停止迭代，输出最优解X＝Xk+1和最优解处的f(X)；若||f(Xk+1)||＞τ且k＝N-1，则令X＝Xk+1，停止迭代，输出最优解X和f(X)；其他情况下把k更新为k+1返回到构建搜索方向子模块，重新确定搜索方向，直到找到最优解X。
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