CN1752923B - 混q进制、进位行数字工程方法和混q进制、进位行计算机 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字工程方法和计算机领域，提出一种新的数字工程方法，显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明采用“混Q进制、进位行方法”：将参与加减运算的K个普通Q进制数的正负符号，分配到相应各个数的每一位上去，然后对K个数一起进行混Q进制的求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，和数存入下一运算层；同时所得“混Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。经过如此反复运算，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止。则最后所得数，即为所求混Q进制加法和数。本发明同时提供了混Q进制、进位行计算机技术方案。

Description

混Q进制、进位行数字工程方法和混Q进制、进位行计算机

技术领域

本发明涉及数字工程方法和计算机领域，特别是计算机的运算器

背景技术

数字工程包括数控机床、大中型数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等

的数字工程实现技术方案。它与密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算等，包括相应的口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。人类历史上，“采用工具的数字计算”包括笔算、珠算、机械算、电算，以及筹算等。现代仅剩下三种，这就是数字电算、珠算、笔算。与此相应的“数字计算系统工程”也就仅有三种：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的“数字计算系统工程”，简称为“笔算工程”。

四则运算是数的最基本运算。正如恩格斯所说：“四则(一切数学的要素)。”加法又是四则运算的最基本的运算。因此，我们理所当然应当对四则运算，尤其是对加法运算给予特别的关注。当前数字工程方法中的四则运算，首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。

在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生“隐

式一             式二

患”。以“二数相加”为例，算式如式一。123456+345678＝469134[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下。其微程序操作是： 个位上来的进位(见标志)

十位上5、7二数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位。

上列(5+7+1)和的进位送到高位(见标示)。其余各位情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259＝634。如图可见，上述情况更为加重。显然，存在下列缺点：

a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”符写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。

b.一般二数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。

c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。

减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时另起炉灶。

另一方面，在电子计算机数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般均采用普通二进制数来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。在采用其他普通Q进制等普通数制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]

此外，在算盘数字工程中，同样有大量的数值运算。这些数一般采用普通二进制与普通五进制的“联合Q进制”数。因此，运算口诀繁杂，而且存在相应的一些复杂性。

发明内容

本发明提出一种新的数字工程方法，“混数进制、进位行数字工程方法”。当不致误解时，也简称为“混数进制、进位行方法”。进一步，简称为《混进方法HJF》。混数进制包括混Q进制、增Q进制、偏Q进制及称Q进制。Q为自然数。“混进方法HJF”显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，还大大降低笔算的出错率。

本发明同时提出了，采用上述“混数进制、进位行方法”的计算机技术方案。在现有研制技术的基础上，在设备量相近的情况下，显著提高计算机，特别是电子数字计算机的运算速度。

根据本发明的一个方面，提供一种混Q进制、进位行数字工程方法。采用“混Q进制”数，以“混数进制、进位行方法”运算；运算可为下列四种方案之一；方案一：(适于计算机、笔算工程中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；②混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案二：(适于计算机、算盘中；也可用于笔算工程，也可不用；)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码为“编码全一进制数”；②“编码全一进制”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码全一进制数”译码为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案三：(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数；②{0，±1}二进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③{0，±1}二进制数译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；方案四：(适于计算机中)①普通Q进制数编码或另行转换为混数进制数；混数进制数编码或另行转换为“编码{0，±1}二进制数”；②“编码{0，±1}二进制”运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；③“编码{0，±1}二进制数”译码或另行转换为混数进制数；混数进制数译码或另行转换为普通Q进制数；本发明中，采用方案一、方案二来展示。“混数进制、进位行数字工程方法”的每种方案，均包括以下三种步骤之一。第一种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；

第2步，对K个数中的二个数，进行混Q进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、“累加”，得到 这二个数该位“按位加”的和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；当采用串并行运算时，则类似处理；

第4步，取K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得数，即为所求K个数混Q进制加法运算和数；

或者，采用以下第二种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；

第2步，从最低位开始，即在某一位上，取二数或K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、“累加”；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位上，取K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混Q进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K个数最高位也已运算为止；

第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得数，即为所求K个数混Q进制加法运算和数；

或者，采用以下第三种步骤：

第1步，设K个普通Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；

第2步，采用所谓“二维运算”；即，在K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为0的数进行“对冲”；n为≥2的整数；

第3步，采用所谓“二维运算”；即，在K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混Q进位”， 则存放到下一运算层的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第4步，采用所谓“二维运算”；即，在K个数的各位上，同时进行运算；并且同时对每一位上，余下各数进行“累加”；或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；则最后所得数，即为所求K个数混Q进制加法运算和数。

混Q进制、进位行数字工程方法，其运算为“混Q进制”运算；对于含0的{0，±1，…，±(Q-1)}Q进制，Q为>1的整数，称为“含0混Q进制”。符号表示为{含0，Q^*}；对于不含0的{±1，±2，…，±Q}Q进制，Q为自然数，称为“不含0混Q进制”。符号表示为{不含0，Q^*}。含0和不含0的混Q进制，合起来统称为“混Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q^*}。当不致误解时，“含0混Q进制”亦可称为“混Q进制”，亦以符号{Q^*}来表示。

混Q进制、进位行数字工程方法，其运算采用“进位行方法”；在运算过程中，将产生的进位存放在相邻高位“进位行”中，即进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，与“按位和”一起进行运算。

混Q进制、进位行数字工程方法，对K个混Q进制数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的“按位和”为零，但产生进位m(与n个数该位上的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的该位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

混Q进制、进位行数字工程方法，所述运算数是混Q进制数，Q为自然数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0。总位数则为Q或(Q-1)位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符{参见第三部分增Q进制及全一码}。当采用全一码来编码混Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。

根据本发明的另一个方面，提供一种混Q进制、进位行计算机设计方案。包括输入逻辑，CPU中央处理器，外存，输出逻辑，控制台，输出转换逻辑组成。CPU中央处理器由内存、混Q运算控制逻辑组成。混数进制运算可为前述四种方案之一；本发明计算机中，采用方案二来展示；其中，K重运算器及控制器组成混Q运算控制逻辑。普通Q进制数经移位寄存器输入逻辑，获得的混Q进制数至K重运算器；K重运算器中，混Q进制数经K重运算获得混Q进制数的结果；经由编码器输出转换逻辑，以混Q进制数、或普通Q进制数、或普通十进制数通过输出逻辑输出；控制器协调控制整个运算控制的逻辑。

“K重运算器”由累加器∑i和寄存器网、对冲网、划Q网组成；i为序数。当用于计算机，特别是电子计算机运算器中时，数字工程方法可采用前述第一种或第二种或第三种步骤。这里，采用第三种步骤来展示。

在运算过程中，首先将普通Q进制数化为混Q进制数一般形式。将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。普通Q进制数输入移位寄存器输入逻辑， 获得的混Q进制数输入至K重运算器。K重运算器中，为每个寄存器及其相应的累加器∑i的每一位，分配一个符号位。该符号位为普通二态触发器。K个寄存器存放输入的K个混Q数。K重运算器中采用“二维运算”。即，在数的各位上进行运算；并且每一位上各数，亦同时进行先“对冲”、后“划Q”、再“累加”。当下一个运算层指令到达时，将进位数与“按位和”数再进行相加；如此重复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止。最后，再经累加器∑i输出所求和数。当K值较大时，上述“K重运算器”可以进行分级、分组放大。

对K个数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的“按位和”为零，但产生进位m(与n个数的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。

计算机中所述运算数是混Q进制数，Q为自然数。可用全一码编码；或以混数进制数编码；或不编码。以全一码来编码时，即将各个混Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0。总位数则为Q或(Q-1)位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。当采用全一码来编码混Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长；本发明计算机中，采用定码长来展示。

当采用全一码编码时，K重运算器中的累加器，可以省略为全一码移位寄存器。该寄存器专门存放结果和数，又称为“和数寄存器”。这时，如采用上述“二维运算”，则称为“三维运算”。相应的运算器，则称为“三维运算器”。

计算机中所采用的元器件为P值元器件，P是数元集的基数，P为>1的整数；或者常取二值元器件；或者取三值元器件。

附图说明

图1是混Q进制计算机总逻辑框图。

图2是混Q进制、进位行计算机(运算控制)逻辑框图；

图3是K重运算器第I位的逻辑框图；

图4是对冲逻辑(对冲器)的逻辑框图；

图5是划Q逻辑(划Q器)的逻辑框图；

具体实施方式

第一部分混Q进制、进位行数字工程方法；第二部分混Q进制、进位行计算机；第三部分增Q进制及全一码；第四部分混十进制{十^*}、全一码、进位行计算机。

第一部分混Q进制、进位行数字工程方法

(本部分为后面“第二部分混Q进制、进位行计算机”的预备知识。它包括：1.《进位行方法》；2.混数及混数进制；3.《混进方法HJF》及其混十进制{十^*}四则运算；4.《混十进制》{十^*}与《普通十进制》{十}的关系；5.结论)

1.《进位行方法》

1.1进位与《进位行方法》

在电子计算机等数值运算中，运算速度提高的关键之一，就在于“进退位”。简称“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。本部分以笔算工程为例。

所谓《进位行方法》就是，在运算过程中，将产生的进位存放在参予运算与“按位和”数同等的位置上，然后与“按位和”一起进行运算。通常同运算层中二数相加时，将各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节。)举例如下，设二普通十进制数求和，算式以竖式求和。如式三123456+345678＝469134个位运算(6+8)＝14，其进位1写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加”。其和称为“按位和”。按位和的数据行，称为“

行”。

行与进位行组成“运算层”。式中一些“+”号已省去。以后可以知道，在混Q进制、进位行数字工程方法《混进方法HJF》中，除第0运算层外，各个“运算层”只存在一种运算，这就是“+”。故可以不必在这些运算层中写出“+”号。

1.2《进位行方法》分析

         式三                  式四            式五

采用《进位行方法》的加法运算由上节可知：

①二数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；

②验算十分方便。

[引理一]二数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；

[引理二]二数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的和只能为0～8之一，而不能为9。

由[引理一]和[引理二]可得：

[定理一]二数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的和才可能出现9。

1.2.2层次概念及运算层

设二数求和。算式为式四、式五5843029+4746979＝10590008。由式四可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成子运算。每一运算层中，又将子运算解剖成微运算。微运算仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”，从总体上看并未增加运算的复杂性。反之，以往 的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。二者对比，就会一清二楚。

在《进位行方法》中，二数相加的各个运算层，除第0运算层外，可以合并为一个运算层。如式五。进一步分析如下。

1.2.3唯一的运算层

二数相加时，特别情况下会出现多次运算层。各层有如下关系成立。

[引理三]二数相加时，当某位前一运算层上有进位时，其后各运算层上均不可能出现进位。(由引理一、二得)

[引理四]二数相加时，当某位后一运算层上有进位时，其前各运算层上必无进位。(由引理一、二得)

[定理二]二数相加时，同一位各运算层上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)

[推论]二数相加时，可以将全部各层进位行合并为一个进位行；除第0运算层外，可以将各运算层合并为一个运算层。

1.2.4三数及三数以上求和分析

设三数求和，算式为231+786+989＝2006(式六)。又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝4046(式七)。操作要点：

①“划Q”的运用；所谓“划Q”，即Q进制的n个数在某位上相加时，其按位加和为零，但该位上产生进位m(与n个数的和数符号一致)。n为≥2的整数，m为整数。进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同时在某位上，该n个数均不再参加运算。即，同一位上n个数和为mQ时，可将n个数均划去，然后在相邻高位空位或0位处补m。在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”。

  式六         式七

②多个数相加，可出现二个及二个以上的运算层。为了减少运算层数，同一位上的同一运算层空位或0位中，进位及

和数可以任意占位；因此，上述“进位行”可以视为：一个运算层中某位上的进位，可以放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

③尽量减少运算层。a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数，尽量使第二及二以上运算层不出现。

④同一位上，各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数 累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；“相同数”、“连续数”等，可直接得“部分和”。

2.混数及混数进制

2.1《数制理论SZLL》

2.1.1按同一种规则记录数，便于用来在一个数系统中进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。一个数的质，首先就是由其所属的数制来决定的。恩格思指出：“单个的数在记数法中已经得到了某种质，而且质是依照这种记数法来决定的。”“一切数的定律都取决于所采用的记数法，而且被这个记数法所决定。”数制是数的属性。不存在没有所属数制的数，也不存在没有所属数的数制。

《数制理论SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论、群论、集合论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、Walsh函数、《狭义及广义模随论MSL》等邻近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本为“数制”。因此，《数制理论SZLL》是“数论”的基础，是“核心数学”的“核心”之一。

2.1.2位值制数制

设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。数字通常从右向左水平排列。对于每个数位上的全部数字均给定一个单位值(又称“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。在不致误解时，也直接简称为“数制”。

2.1.3数制的三大要素：数位I，数元集Zi和权Li。

a、数位I表示数制中数的各位数字的位置。I为序数，各位从右至左来表示。即，I＝1，2，3，…表示该数的第1，2，3，…位。

b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集Z”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一集数制”或“单一数制”；当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合集数制”或“联合数制”。

数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论》中，以a_j来表示数元(a₁，a₂，a₃，…)，j为自然数。以ia_j表示第i位上数元a_j。约定，a_j＝-A(A为复数)时，可表示为a_j＝A。数元集Zi以集合{a₁，…，a_j，…}来表示，即Zi＝{a₁，…，a_j，…}；或者，Zi以文字表明其特征。为便于计算，通常取数元a_j为整数，以阿拉伯数字来表示。

数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)，表示了集的元素总数。恩格思指出：它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。

在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的“空位”表示“无”，其位值为0，称为“空位0”。“空位0”是0的一种，是0的一种表达形式，是一种隐含的0。通常不加以标明；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。 “空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。通常不加以标明。“空元”是数元集中，唯一通常不计入数元a_j，也不计个数，即个数为0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为1。

c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。Li为实数。为便于计算，通常取权Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。

实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Qi(i-1)，Qi为实数。为便于计算，通常取Qi为自然数。Qi可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位Li均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。Qi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的数制幂权Qi，其底数均为相同的Q时，相应的数制称为“单一Q进制”。简称为“Q进制”或“进制”。当各位上的数制幂权Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为“联合Q进制”。另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。

根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。

2.2混数及混数进制

当数元集Zi中，含数元0时，该相应数制被称为“含0数制”。对于进制，则称为“含0进制”；当数元集Zi中，不含数元0时，该相应数制被称为“不含0数制”。对于进制，则称为“不含0进制”。

当数元集Zi中，有正数元，又有负数元时，相应数制被称为“混数数制”。对于进制，则称为“混数进制”；混数数制中的数，称为“混数”。“混数”中有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。当数元集Zi中，正负数元均为相反数时，相应数制称为“对称数制”。对于进制，则称为“对称进制”。

当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应数制被称为“整数段数制”。对于进制，则称为“整数段进制”。恩格斯指出：“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。

2.3混Q进制{Q^*}

在《数制理论》中建立了“代数数制系统”。一个数制的名称采用“Zi Li”。对Q进制，则为ZiQi；单一数制时，则为ZLi；单一数制中联合Q进制时，则为ZQi。单一数制中Q进制时，则为ZQ。其中，Q以中文小写数来表示。

对于含0的普通Q进制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为>1的整数，称为“含0普通Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普通Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。

含0和不含0的普通Q进制，合起来统称为“普通Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含0普通Q进制”亦可称为“普通Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。

在任一个具有整数段数元集的Q进制数制中，当P＝Q时，自然数在该数制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续数制”，又称“普通数制”；

当P>Q时，自然数在该数制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复数制”， 或“增强数制”。对于Q进制，又称为“增强Q进制”，简称为“增Q进制”；

当P<Q时，自然数在该数制中只能断续的形态表达，称为“断续数制”，或“减弱数制”。对于Q进制，又称为“减弱Q进制”，简称为“减Q进制”。

本文中的混数进制主要为以下几类。

对于含0的{0，±1，…，±(Q-1)}Q进制，Q为>1的整数，称为“含0混Q进制”。符号表示为{含0，Q^*}；对于不含0的{±1，±2，…，±Q}Q进制，Q为自然数，称为“不含0混Q进制”。符号表示为{不含0，Q^*}。含0和不含0的混Q进制，合起来统称为“混Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q^*}。当不致误解时，“含0混Q进制”亦可称为“混Q进制”，亦以符号{Q^*}来表示。故可以符号{十^*}及{二^*}来表示“混十进制”及“混二进制”。在《数制理论》中，{十^*}的名称是：“单一基数P＝19，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十九，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±9}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十^*}，称为“混十进制”；{二^*}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二^*}，称为“混二进制”。

2.4混数编码

当A进制数元以B进制数等来编码时，A进制数按位排列成相应的B进制数等。这称为“以B进制数等编码的A进制数”，简称为“B编码的A数”，或“编码B数”，或“编码数”。例，{十}328＝{二}101001000；其“编码{二}数”为0011，0010，1000。如上述“编码{0，±1}二进制数”，即指以{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数来编码的“编码数”。所谓“编码B数”的运算，即为“编码B进制”运算。这时，A进制数的位与位间为A进制运算，但每位中则为B进制运算。A进制数元以B进制数等来编码时，所需B进制数的最多位数，称为“码长”。固定的“码长”，称为“定码长”；如最高位0不加以标明，使之成为“空位0”时，相应“码长”是变化的，称为“变码长”。

混Q进制、进位行数字工程方法，所述运算数是混Q进制数，Q为自然数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0。总位数则为Q或(Q-1)位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。当采用全一码来编码混Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长。

3.《混进方法HJF》及其混十进制{十^*}四则运算。

采用混数进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数进制、进位行方法》，简称为《混进方法HJF》。采用混Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混Q进制、进位行方法》；当不致误解时，亦可简称为《混进方法HJF》。当用于算盘或笔算数字工程，采用的是{十^*}混十进制等的《混进方法HJF》。当用于计算机，特别是电子计算机中时，采用的是{二^*}混二进制及{十^*}混十进制等的《混进方法HJF》。混数进制运算可为前述四种方案之一；本发明中，《混进方法HJF》采用方案一，以笔算工程来展示；可采用前述第一种或第二种步骤。这里，采用第二种步骤。

3.1{十^*}的加法

例：123+456＝427(式八)

式中求得和为573。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和573不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法

式中求得和为573。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和573不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

3.2{十^*}的减法

例123-456＝123+456＝339或者

例112+56-32-85+67-46＝72(式九)

首先减法化为加法来运算。这一来实际计算中，加减就合并为加法了。这就消除了通常连加减的困难，这是由于混数的特性所决定。

   式八            式九           式十

同一位上的n个数求和时，若和数为零，则这n个数可以消去。这称为“约混”，或“对消”，或“对冲”。即，“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。在实际运算中，采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”，来获得混Q数的结果。

3.3{十^*}的乘法

例238×89＝12502(式十)

3.4{十^*}的除法例5728÷23＝249……1(式十一、式十二)

要点：①式十一采用原普通除法，现采用四则统一算式。如式十二。

②式十二中由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。

为了去掉“减”过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。以后，除法就以此来进行。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。

3.5四则运算的特点

①加减法合并为加法。

②乘除方法简单；除法中的“减”过程可变为“加”过程；除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。

③四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。

④加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。

3.5四则运算的特点

①加减法合并为加法。

②乘除方法简单；除法中的“减”过程可变为“加”过程；除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。

③四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。

④加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低笔算的出错率。

4.《混十进制》{十^*}与《普通十进制》{十}的关系。

4.1{十^*}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如{十^*}382296＝{十}221716(式十三)。{十}数本身即为{十^*}数的一种特况，故{十}数不经转换即为{十^*}数，只要将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。

{十^*}数转换成{十}数。方法有几种：一种是将{十^*}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十^*}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例{十^*}382296＝{十}302006-80290＝221716。再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加1)。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如3×2××6。但，当其不在{十^*}数末尾(个位)时，则最低位加1；连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×1×70×。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。当需转换的{十^*}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。

4.2{十^*}与{十}对照表及其说明(表一)

①表一中0+0-分别为从正负方向趋近于0所获得的0。

②表一中

表示形式为“连续非负整数个9”的全体的缩写。即，可为0个9，可为1个9，可为99，可为999，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则

为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。

③由数10的二种表达形式可知  $0=\stackrel{\&OverBar;}{0}=\stackrel{.}{0}=\stackrel{\stackrel{.}{\&OverBar;}}{0}$

④在{十^*}数系统中，“连集”形式有且仅有  $(\stackrel{.}{0},\stackrel{\stackrel{.}{\&OverBar;}}{0},\stackrel{\stackrel{.}{\&OverBar;}}{9},\stackrel{.}{9})$ 四种。由于  $\stackrel{.}{0}=\stackrel{\stackrel{.}{\&OverBar;}}{0},$ 故“连集”形式有且仅有  $(\stackrel{.}{0},\stackrel{.}{9},\stackrel{\stackrel{.}{\&OverBar;}}{9})$ 三种；亦可写为  $(\stackrel{.}{0},\&PlusMinus;\stackrel{.}{9})$ 三种。

4.3{十^*}与{十}关系分析

{十}数是{十^*}数的一部分，{十}数集是{十^*}数集的真子集；{十^*}数

{十}数，即{十^*}数对{十}数有真包含关系。

{十}数与{十^*}数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十^*}就获得了多样处理的灵活性。这是{十^*}运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十^*}具有较强的功能。{十}中P＝Q，因而在该数制中，自然数是连续

                  表一

唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。{十^*}中P>Q，因而在该数制中自然数会出现多种形态表达。这正是该数制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十^*}是以多样性来换取了灵活性。有了它，才有了《混进方法HJF》，才有了“笔算工程”的新技术方案。有了它，也才有了算盘、处理器及其相应的计算机新技术方案。

{十^*}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十^*}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十^*}“连集组数”。所以，这种{十}数的“一”与{十^*}“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十^*}数与{十}数的互为映射关系。由于变换是集到自身上的对应，所以{十}与{十^*}数是“一一变换”。对于运算系统来说，{十}与{十^*}数系统是“自同构”。相应{十}数的各种运算性质，亦在{十^*}数系统中成立。

应当指出，显然，上述对{十}与{十^*}的分析，完全相应于{Q}与{Q^*}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知：①{Q}数是{Q^*}数的一部份，{Q}数集是{Q^*}数集的真子集。{Q^*}数

{Q}数，即{Q^*}数对于{Q}数有真包含关系。②{Q}数与{Q^*}数的关系是“一多对应”，而不是“一一对应”。③同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Q^*}中的“一”组“连集组数”，二者之间是“一一对应”关系。④{Q}与{Q^*}数系统是“自同构”。相应{Q}数系统的各种运算性质，亦在{Q^*}数系统中成立。

5.结论

混Q进制{Q^*}及《混进方法HJF》在数字工程中，可显著提高运算速度，而且大大降低笔算的出错率。它正是钱学森指出的数学“直接应用的工程技术”。这种 与数字计算工程紧密结合的方法，称为“混Q进制、进位行数字工程方法”。

第二部分混Q进制、进位行计算机

图1为本发明计算机相应的混Q进制计算机总逻辑框图。由输入逻辑101、CPU中央处理器102、外存103、输出逻辑104、控制台105、输出转换逻辑108组成。CPU中央处理器102、内存106、混Q运算控制逻辑107组成。这些部件的连接关系是本领域公知的。普通Q进制数通过输入逻辑101，将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去；并通过混Q运算控制逻辑107进行混Q运算；运算结果连接输出转换逻辑108，以混Q进制数、或普通Q进制数、或普通十进制数通过输出逻辑104输出。内存106及外存103与运算控制逻辑107交换数据，执行原有普通Q进制的程序。总操作由控制台105按既定程序控制，以时钟脉冲来实现。

图2为混Q进制、进位行计算机(运算控制)逻辑框图，由输入逻辑101，K重运算器202，输出转换逻辑108及控制器201组成。其中，控制器201和K重运算器202组成混Q运算控制逻辑107。通过输入逻辑101，普通Q进制数每一位上被分配到相应数符。当采用全一码编码时，输入逻辑101为全一码移位寄存器。这时，只要将这些全一码编码{Q}数的正负符号，分配到相应这些数全一码的每一位上去。然后，混Q进制数送至K重运算器202；K重运算器202中，混Q进制数经K重运算获得混Q进制数的结果，经由译码器输出转换逻辑108以混Q进制数、或普通Q进制数、或普通十进制数通过输出逻辑104输出。控制器201协调控制整个运算控制逻辑。

图3为K重运算器第I位的逻辑框图，I为序数；混数进制运算可为前述四种方案之一；本发明计算机中，采用方案二来展示；“K重运算器”202由累加器∑i304和寄存器网311、对冲网312、划Q网313组成；i为序数；当用于计算机，特别是电子计算机运算器中时，数字工程方法可采用前述第一种或第二种或第三种步骤。这里，采用第三种步骤来展示。

其中寄存器网311由1寄存器1i301、2寄存器2i302、K寄存器Ki303等组成；各个寄存器二二相连；K个寄存器存放输入的K个混Q数；累加器∑i304为与Ki寄存器303相应的累加器，用来存放累加和数。每个寄存器及累加器∑i304每一位分配一个符号位，该符号位为普通二态触发器；符号位也可以放置在专用的符号位寄存器中，在运算时为存放混Q数的寄存器或累加器的每一位分配一个符号。

在运算指令的控制下，K重运算器202中采用所谓“二维运算”。即，在数的各位上进行运算；并且每一位上各数，亦进行运算。然后，“部份和”数送至寄存器网311中，替换原存数；进位送至寄存器网311中的相邻高位，替换原存数。当下一个运算层指令到达时，将进位数与“按位和”数再进行相加；如此重复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止。最后，再经累加器∑i304输出所求和数。

本发明计算机相应的计算机运算器中，除采用一般的累加器运算外，为了加速运算，可以采用“对冲”及“划Q”逻辑。对K个混Q进制数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的“按位和”为零，但产生进位m(与n个数该位上的和数符 号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。典型的“对冲”及“划Q”为，对冲采用n＝2，m＝0；划Q采用n＝Q，m＝±1。其逻辑线路，如图4、图5所示。计算机中元器件采用二值元器件。

“对冲”及“划Q”可采用对冲网312和划Q网313。对冲网312由一个对冲逻辑305巡检；或由K(K-1)/2个对冲逻辑305、对冲逻辑306、…、对冲逻辑307与寄存器网311中各个寄存器二二相连组成；或由分级、分组的对冲逻辑组成。划Q网313由一个划Q逻辑308巡检；或由K(K-1)/2个划Q逻辑308、划Q逻辑309、…、划Q逻辑310与寄存器网311中各个寄存器二二相连组成；或由分级、分组的划Q逻辑组成。

采用“对冲”及“划Q”时，由控制器或程序发出的指令，对各个运算数的每一位实施先“对冲”、后“划Q”运算。划Q产生的“进位”(与运算和数同符号)，送至下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。即，“进位”送至K重运算器202中任一寄存器的相邻高位的空位或0位处置“1”端。然后，进行累加运算。累加采用≥2的“多数累加器”；当采用普通二数“累加器”时，则顺序串行累加。当采用全一码编码时，K重运算器202中的累加器∑i304可省略为全一码移位寄存器。该寄存器专门存放结果和数，又称为“和数寄存器”。这时，如采用上述“二维运算”，则称为“三维运算”。相应的运算器，则称为“三维运算器”。

上述“K重运算器”当K值较大时，可加以分级、分组放大处理。

图4为对冲逻辑(对冲器)的逻辑框图。其中的对冲逻辑典型组合，由1寄存器的第1i位301，2寄存器的第2i位302，同逻辑403，异逻辑404及与门405组成；1寄存器的第1i位301及2寄存器的第2i位302，其前附有符号位，为普通二态触发器；当采用全一码来编码并采用二值元器件时，对冲采用n＝2，m＝0；1寄存器的第1i位301，全一编码为1i1位401、1i2、…；2寄存器的第2i位302，全一编码为2i1位402、2i2、…；K寄存器的第Ki位303，全一编码为Ki1、Ki2、…；从1i1、1i2、…及2i1、2i2、…，直至Ki1、Ki2、…，全一码编码的全体中，任取二个形成组合；例取此中一个典型组合如下述：1寄存器的第1i1位401，其“1”端连接同逻辑403的输入，1i1符的“1”端连接异逻辑404输入；2寄存器的第2i1位402，其“1”端连接同逻辑403的输入，2i1符的“1”端连接异逻辑404的输入；同逻辑403的输出连接与门405输入；异逻辑404的输出连接与门405输入；与门405的输出，连接1寄存器的第1i1位401及2寄存器第2i1位402的置“0”端；

图5为划Q逻辑(划Q器)的逻辑框图。其中的划Q逻辑典型组合，由1寄存器的第1i位301，2寄存器的第2i位302，Q值判定逻辑501，同逻辑502及与门503组成；1寄存器的第1i位301及2寄存器的第2i位302，其前附有符号位，为普通二态触发器；当采用全一码来编码并采用二值元器件时，划Q采用n＝Q，m＝±1；1寄存器的第1i位301，全一编码为1i1位401、1i2、…；2寄存器的第2i位302，全一编码为2i1位402、2i2、…；K寄存器的第Ki位303，全一编码为Ki1、Ki2、…；从1i1、1i2、…及2i1、2i2、…，直至Ki1、Ki2、…，全一码编码的全体中，任取Q个形成组合；例取此中一个典型组合如下述：1i1位401的“1”端连接Q值判定逻辑501的输入，1i符的“1”端连接同逻辑502的输入；2i1位402的“1”端连接Q值判定逻辑501的输入；2i符的“1” 端连接同逻辑502的输入；如此连接共Q个；Q值判定逻辑501接受共Q个输入；Q值判定逻辑501的输出连接与门503的输入；同逻辑502接受共Q个输入；同逻辑502的输出连接与门503输入；与门503输出进位(同符号)，送至K重运算器中任一进位行寄存器的相邻高位置“1”端，并置该高位数符与1i符相同；同时，与门503输出连接1寄存器的第1i1位401、2寄存器第2i1位402及组合内共Q个置“0”端。

混Q进制、进位行计算机，其中所述运算数是混Q进制数，Q为自然数。可用全一码编码来表示；或者，以混数进制数编码；或者，不编码；以全一码来编码时，即将各个混Q进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0。总位数则为Q或(Q-1)位；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。当采用全一码来编码混Q进制数时，n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列；其全一码编译可以定码长或变码长；本发明计算机中，采用定码长来展示。

计算机中所采用的元器件为P值元器件，P是数元集的基数，P为>1的整数；或者常取二值元器件；或者取三值元器件。当采用{Q^*}运算，并且以全一码编码时(其他混数进制类似)，在运算及其控制中采用{1，0，1}三态进行。故计算机中元器件，采用三值元器件。当采用二值元器件时，其中1、1的正负号以一位{二}数表示，其权为0。即，以二位{二}数编码{1，0，1}三态。这时，K重运算器202中的累加器∑i304，可以省略为全一码移位寄存器。

当采用{Q^*}运算时，运算器的输入将这些普通Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去即可；不需要将{Q}数另行转换为{Q^*}数，因为{Q}数本来就是{Q^*}数。即，{Q^*}数＝{Q}数+纯{Q^*}数。另一方面，运算器的输出在一般中间过程，也不必要将{Q^*}数一般形式化为{Q}数。只有在需要输出最终结果时，才将{Q^*}数一般形式化为{Q}数(实质是仅将纯{Q^*}数一般形式化为{Q}数)。这时，本发明计算机在“运算”数字的输出界面上，只需加上特别简单的{Q^*}一般形式化到{Q}的逻辑即可。原则上，本发明计算机其内外存及输入输出端与现有{Q}电子计算机完全一样(包括程序在内)。这其中的原因就在于，全部{Q}数本身均为{Q^*}数所真包含。在这种意义上，现代{Q}电子计算机本来就是{Q^*}电子计算机的特况。

本发明计算机采用“多重运算器”。例如，采用“八重运算器”。所谓“八重运算器”，即将8个数放入8个寄存器中，一次性完成加减运算。设多重数为K，则K＝2t较合适(t为自然数)。故K＝2、4、8、…。其中，较实用的可能是K＝8、16、256、1024、4096等。同时，乘法本质上原来就是连续加法，除法本质上原来就是连续减法。因此，本发明计算机在乘除中，亦可运用多重加减来处理。

特别是，当采用全一码编码时，在{Q^*}进位行计算机中，仅仅只需先“对冲”、后“划Q”，就能获得{Q^*}数运算结果。当最终结果需要输出时，才将{Q^*}数转换成{Q}数，或者转换成{十}数输出。

小结：

一、本发明计算机是混Q进制{Q^*}的计算机，是《混进方法HJF》计算机。二、本发明计算机相应的混Q进制{Q^*}的电子计算机使基于其他原理上的各种电子计算机，包括“超导计算机”、“量子计算机”等的运算速度大大提高。以 八重运算器为例，粗略地估算将使运算速度提高五倍。也就是说，原20万次/s的提高到100万次/s左右；原20亿次/s的提高到100亿次/s左右。当K增大时，则运算速度还将进一步提高。

第三部分增Q进制及全一码

(本部分为前面“第二部分混Q进制、进位行计算机”的附加预备知识。)

1.增Q进制

1.1定义及符号

在一个Q进制数制中，凡P>Q的进制，特别是P＝Q+1>Q的进制，称为“增强Q进制”。Q为自然数。简称为“增Q进制”。其中，含0整数段、不对称增Q进制称为“含0不对称增Q进制”。显然，{0，1，2}二进制，即为“含0不对称增二进制”；{1，0，1}二进制也就是混二进制{二^*}，即为“含0对称增二进制”。此外，还有其他增二进制。

1.2{0，1}一进制及其运算

增Q进制中，当Q＝1时，即为增一进制。增一进制中，主要有二种。其一是{0，

 表二                           表三

1}一进制，它可表示全部非负整数。其元器件为二态器件。其二是{1，1}一进制，它可表示全部整数。其元器件亦为二态器件。本文下面所称“增一进制”，除特别注明外，均指{0，1}一进制。

{0，1}一进制的运算。这里列出加法运算，例如{十}4+3+2＝9＝{0，1}一进制110101+1011+101＝11001100010101011＝…。

1.3{0，1}一进制与{Q}的关系。

1.3.1{0，1}一进制数与{Q}数的转换法。

{0，1}一进制数转换成{Q}数，可以将{0，1}一进制数中的各位数字1，以{Q}计数即可。所得{Q}计数和，即为相应的{Q}数。这就是说，{0，1}一进制数中有几个1，则相应的{Q}数即为几。显然，这是十分简单的法则。(表二)

{Q}数转换成{0，1}一进制数，可将{Q}数各位均乘以各位上的权，然后将这些积以同样个数的1，分别在所要表达的{0，1}一进制数位置上，以不重复的方式列出即 可。这就是说，{Q}数为几，则{0，1}一进制数中就有几个1。显然，这也是十分简单的法则。(表三)

1.3.2{0，1}一进制数与{Q}数对照表及其说明

①{0，1}一进制数可表示全部{Q}数

②有较多的重复数，以4位{0，1}一进制数为例，除0及4唯一外，其余均有重复数。其中，1有4个；2有6个；3有4个。于是，从0～4的重复数分别为1，4，6，4，1个。这与二项式展开系数CKn是一致的。位数n为自然数，K为0～n。(表四扬辉三角形。)

③表中表示形式为“连续非负整数个0”的全体的缩写。即

，可为0个0，可为

  表四

1个0，可为00，可为000，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。

1.3.3{0，1}一进制与{Q}关系分析。

(1)Q1，Q为自然数；1为最小的自然数，也是最基本的自然数单元。Q真包含1，这使得相应的{Q}与{0，1}一进制之间存在自然的联系。

(2){Q}数与{0，1}一进制数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。{0，1}一进制中P＝Q+1>Q，因而在该数制中，自然数有时会出现多种形态表达，这正是该数制灵活性所在。也可以说，{0，1}一进制是以多样性来换取了灵活性。{Q}中P＝Q，因而在该类数中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

(3){0，1}一进制数转换为{Q}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{0，1}一进制数可经{Q}数加减直接获得，而{Q}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{Q}数也只能化为相应唯一的一组{0，1}一进制“连集组数”。所以，这种{Q}数的“一”与{0，1}一进制“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{0，1}一进制数与{Q}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{Q}与{0，1}一进制数系统“同构”。相应{Q}数的各种基本运算性质，亦在{0，1}一进制数系统中成立。

1.4{0，1}一进制的应用

{0，1}一进制由于以么元1配以0构造数，而且权为1，故其“运算”常以“传送”来实现。这是{0，1}一进制数运算快速原因之一。{0，1}一进制数运算中的“进位”，也以二数当前位的按位加和为0，而进位为Q的“划Q”逻辑实现。这种“传送”及“划Q” 的逻辑实现，结构简单，速度却快。这是{0，1}一进制数运算快速原因之二。当{0，1}一进制数与各种混数进制数结合运算时(见后面2.2节)，又补充了“对冲”这一结构更为简单、速度更为快速的逻辑。这是{0，1}一进制数运算快速原因之三。

上述{0，1}一进制与各种混数进制相结合，使得功能更加增强。考虑到{0，1}一进制→{Q}→各种混数进制，这其中有着内在的联系。显然，这一切均在预料之中。

2.全一进制及全一编码

2.1全一进制和全一数

{0，1}一进制数的多样性就获得了多样处理的灵活性。但是，由于{0，1}一进制数“连集”形式有且仅有一种“”；而且具有极端的多样，在同一个数中可出现一次以上的“连集”形式。由此造成同一个数的形式过于多样，难以把握，不便于控制，势必增加设备并且影响运算速度。因此，在一般情况下，有必要对{0，1}一进制数加以某种约束条件。这就产生了“全一进制”。

在{0，1}一进制的正整数中，限定每一组“连集组数”只选取自个位开始，从右向左连续排列么元1的唯一的一种形态表达；高位上均为0，或以空位表示。例如：{十}数3＝{0，1}一进制数111/111/11

1/…(“/”表“或者”)，限定为{十}3＝{0，1}一进制111。这样，每一组“连集组数”中的重复数均被删除，只剩下一个全是1的唯一形态，我们称为“全一数”。表达“全一数”的进制称之为“全一进制”。表三中，{0，1}一进制数最左边的形态，即为“全一进制”数。因此，“全一进制”可以是加特定约束条件的{0，1}一进制。

在《数制理论》的“位值制数制”中，定义数中的空位表示具有隐含的“空位0”；在其数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。因此，“全一进制”可以从不含0普通Q进制{不含0，Q}中的{1}一进制获得；故可以定义“全一进制”为{1}一进制，以符号{一}来表示。当考虑到正负整数时，可以将该全一进制数的正负符号，分配到该数的各位上去，从而构造各位均带相同符号的全一进制数。本发明中除特别注明外，均指此种“全一进制”，亦以符号{一}来表示。

“全一进制”也可以从不含0混Q进制{不含0，Q^*}中的“{1，1}一进制”，加约束条件获得。约束条件为该进制数，必须各位上符号均相同；“全一进制”还可以从不含0增一进制中的“{1，1}一进制”，加上述同样约束条件获得；此外，还可以从其它混数进制获得。

2.2全一码

全一进制显然具有如下优缺点。优点：①运算速度快。“传送”代替了“翻转”。②

多重运算时，不需要二二求和，只需要先“对冲”后“划Q”即可得结果。这就大大加 快了总体运算速度。③与{Q}转换方便；缺点：①“字长”太长，位数多。(当取可变字长时，其平均字长仅为一半。)②荷载信息量较小。因此，根据全一进制的优缺点，扬长避短，以全一进制数来编码各种混数进制数是合适的。以“全一进制”数来编码，称为“全一编码”。“全一编码”中采用的“全一数”，称为“全一码”。表五，显示出全一码一位，编码{二}数元的情况。由表五可见，全一码一位编码的{二}数，即为{二}数本身。表六，显示出以全一码九位，编码{十}数元的情况。由表六可见，全一码九位编码的{十}数，码长增加至9倍。(当取可变码长时，其平均码长仅为5倍。)例如：{十}23＝全一码＝≡。对于各种混数进制数，均可以全一码来编码。

2.3全一码的计算。

全一码的计算非常简单。n个数加法仅为n个数中1或1的不重复排列，称为“排1”。以二数加法为例，如11+111＝11111。特别是，在各种混数进制的数字工程中，仅仅只需先“对冲”后“划Q”，就能获得各种混数进制数的运算结果。当最终结果需要输出时，才将以全一码编码的各种混数进制数，转换成{Q}或{十}数输出。

2.4全一码的应用。

全一码主要应用于对{Q}数及各种混数进制数进行编码。特别是，

①采用全一码九位编码{十}数，可以实现普通十进制{十}、全一码、进位行计算机和笔算工程及算盘。

②采用全一码九位编码{十^*}数，可以实现混十进制{十^*}、全一码、进位行计算机和笔算工程及算盘。

③采用全一码编码各种混数进制数，可以实现各种混数进制、全一码、进位行计算机和笔算工程及算盘。

④采用全一码来编码{十}或{十^*}数或各种混数进制数，再以“正负码”来二次编码，可以实现又一种算盘的新技术方案。

第四部分混十进制{十^*}、全一码、进位行计算机

(本部分为前面“第二部分混Q进制、进位行计算机”的主要典型情况。)

㈠人类历史中，{十}计算应用的广度和深度，均是其他数制所不能比拟的。人类长期历史文化的底蕴与沉积，使得{十}具有牢不可破的至尊地位。因此，混十进制{十^*}计算机具有特别重要的意义。为此，本部分将混十进制{十^*}、全一码、进位行计算机特别列出。

㈡该计算机运算采用《混进方法HJF》。即，混十进制{十^*}的《混进方法HJF》。混数进制运算可为前述方案之一；本发明计算机中，采用方案二来展示；当用于处理器，特别是计算机中时，数字工程方法可采用前述四种方案之一。这里，采用方案二来展示；该方案的步骤，则可采用前述第一种或第二种或第三种步骤。这里，采用第三种步骤来展示。

㈢混十进制{十^*}、全一码、进位行计算机，是全一码九位来编码的{十^*}计算机。这时，在运算及其控制中采用{1，0，1}三态进行。计算机中所采用的元器件为三值元器件；或者常取二值元器件。当采用二值元器件时，其中1、1的正负号以一位{二}数表示，其权为0。即，以二位{二}数编码{1，0，1}三态。当采用全一码编码时，K重运算器202中的累加器∑i304可省略为全一码移位寄存器。

㈣混十进制{十^*}、全一码、进位行电子计算机总逻辑框图，如图1所示。混十进 制{十^*}、全一码、进位行电子计算机中，{十}数以全一码九位来编码输入及最终输出转换为{十}数。其全一码编译可以定码长或变码长；本发明计算机中，采用定码长来展示。

当采用{十^*}运算时，运算器的输入只要将这些普通十进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去即，不需要另行转换。因为{十}数本来就是{十^*}数。即{十^*}数＝{十}数+纯{十^*}数。当采用全一码编码时，只要将这些全一码编码{十}数的正负符号，分配到相应这些数全一码的每一位上去。另一方面，在运算器的输出，一般中间过程也不必要将{十^*}数一般形式化为{十}数。只有在需要输出最终结果时，才将{十 ^*}数一般形式化为{十}数(实质是仅将纯{十^*}数一般形式化为{十}数)。这时，本发明计算机在“运算”的输出界面上，只需加上特别简单的全一码编码的{十^*}一般形式化到{十}的逻辑即可。原则上，本发明计算机其内外存及输入输出端，与现有{十}电子计算机完全一样(包括程序在内)。这其中的原因就在于，全部{十}数本身均为{十^*}数所真包含。在这种意义上，现代{十}电子计算

{十^*}电子计算机的特况。

(五)混十进制{十^*}、全一码、进位行电子计算机中，采用“多重运算器”。例如，采用“八重运算器”，即将8个数放入8个寄存器中，一次性完成加减运算。设多重数为K，则K＝2t较合适(t为正整数)。故K＝2、4、8、…。其中，较实用的可能是K＝8、16、256、1024、4096等。同时，乘法本质上原来就是连续加法，除法本质上原来就是连续减法。因此，在乘除中，本发明的计算机亦可运用多重加减来处理。

㈥混十进制{十^*}、全一码、进位行电子计算机中，采用“对冲”及“划十”逻辑。混Q进制、进位行数字工程方法，对K个混Q进制数中的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其中n个运算数的“按位和”为零，但产生进位m(与n个数该位上的和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；然后，将n个运算数的某位均以逻辑方式置“0”，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；或者，不采用“对冲”及“划Q”。典型的“对冲”及“划十”为，对冲采用n＝2，m＝0；划Q采用n＝Q，m＝±1。其逻辑线路，见图4和图5。

K重运算器中采用所谓“二维运算”。即，在数的各位上进行运算；并且每一位上各数，亦同时进行先“对冲”、后“划Q”、再“累加”。当下一个运算层指令到达时，将进位数与“按位和”数再进行相加；如此重复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止。最后，再经累加器∑i输出所求和数；

当采用全一码编码时，如采用上述“二维运算”，则称为“三维运算”。相应的运算器，则称为“三维运算器”。特别是，在{十^*}全一码、进位行计算机中，仅仅只需先“对冲”、后“划十”，就能获得运算结果。当最终结果需要输出时，才将全一码编码的{十^*}数转换成{十}数输出。

小结：

一、混十进制{十^*}全一码、进位行计算机，是混十进制{十^*}计算机，是《混进方法HJF》计算机。

二、本发明混十进制{十^*}全一码、进位行计算机，其相应的电子计算机， 

基于其他原理上的各种电子计算机，包括“超导计算机”、“量子计算机”等，运算速度大大提高。以八重运算器为例，粗略地估算将使运算速度提高五倍以上。也就是说，原20 万次/s的提高到100万次/s左右；原20亿次/s的提高到100亿次/s左右。当K增大时，则运算速度还将进一步提高。

Claims (6)

1.一种混Q进制、进位行计算机；由输入单元(101)、CPU中央处理器(102)、外存(103)、输出单元(104)、控制台(105)、输出转换单元(108)组成；其中，CPU中央处理器(102)由内存(106)、混Q运算控制单元(107)组成；混Q运算控制单元(107)由K重运算器(202)及控制器(201)组成；

设K个普通Q进制数参与加减运算，K为大于或等于2的整数，Q为自然数；普通Q进制数输入转换成K个混Q进制数；普通Q进制数通过输入单元(101)至K重运算器(202)；K重运算器(202)中，混Q进制数经K重运算获得混Q进制数的结果；然后，输出转换单元(108)以混Q进制数、或普通Q进制数、或普通十进制数，通过输出单元(104)输出；控制器(201)调控整个运算控制部分。

2.权利要求1的计算机，其中“K重运算器”(202)由累加器∑_i(304)和寄存器网(311)、对冲网(312)、划Q网(313)组成；i为序数；或者，不采用对冲网(312)和划Q网(313)；当用于计算机中时，其数字工程方法采用以下步骤来展示；

K重运算器(202)中采用“二维运算”；即，在数的各位上同时进行运算；并且每一位上各数，亦同时进行先“对冲”、后“划Q”、再“累加”；当下一个运算层指令到达时，将进位数与“按位和”数再进行相加；如此重复，直至运算层中，运算后仅获得一个数为止；最后，再经累加器∑_i(304)输出结果；当采用全一码编码时，上述“二维运算”则为“三维运算”；

当采用“对冲”及“划Q”时，由控制器发出的指令，在数的各位上同时进行运算；并且每一位上各数，亦同时进行先“对冲”、后“划Q”；然后再“累加”；累加采用大于或等于2的“多数累加器”；当采用普通二数“累加器”时，则顺序串行累加；其中累加器∑_i(304)为每一位带有一个符号位的，与Ki寄存器(303)相应的累加器；当采用全一码编码时，K重运算器(202)中的累加器∑_i(304)为全一码移位寄存器。

3.权利要求2的计算机，其中所述寄存器网(311)由K个寄存器组成；各个寄存器二二相连；K个寄存器存放输入的K个混Q进制数；累加器∑_i(304)为与K个寄存器之一Ki寄存器(303)相应的累加器，用来存放累加和数；每个寄存器及累加器∑_i(304)的每一位分配一个符号位，该符号位为普通二态触发器；或者符号位放置在专用的符号位寄存器中，在运算时为存放混Q进制数的寄存器或累加器的每一位分配一个符号。

4.权利要求2的计算机，其中所述对冲网(312)由一个对冲单元(305)巡检；也可由K(K-1)/2个对冲单元(305、306、307)与寄存器网(311)中各个寄存器二二相连组成；其中的划Q网(313)由一个划Q单元(308)巡检；或者由K(K-1)/2个划Q单元(308、309、310)与寄存器网(311)中各个寄存器二二相连组成。

5.权利要求4的计算机，进一步包括：其中的对冲逻辑电路组合，由1寄存器1i(301)，2寄存器2i(302)，同逻辑电路(403)，异逻辑电路(404)及与门(405)组成；1寄存器1i(301)及2寄存器2i(302)，其前附有符号位，为普通二态触发器；当采用全一码来编码并采用二值元器件时，对冲采用n＝2，m＝0；1寄存器1i(301)，全一编码为1i1位、1i2位(401)；2寄存器2i(302)，全一编码为2i1位、2i2位(402)；K个寄存器之一Ki寄存器(303)，全一编码为Ki1位、Ki2位；从1_i1、1_i2及2_i1、2_i2，直至Ki1、Ki2，全一码编码的全体中，任取二个形成组合； 

其中的划Q逻辑电路组合，由1寄存器1i(301)，2寄存器2i(302)，Q值判定单逻辑电路(501)，同逻辑电路(502)及与门(503)组成；1寄存器1i(301)及2寄存器2i(302)，其前附有符号位，为普通二态触发器；当采用全一码来编码并采用二值元器件时，划Q采用n＝Q，m＝±1；1寄存器1i(301)，全一编码为1i1位、1i2位(401)；2寄存器2i(302)，全一编码为2i1位、2i2位(402)；K寄存器Ki(303)，全一编码为Ki1位、Ki2位；从1_i1、1_i2及2_i1、2_i2，直至Ki1、Ki2，全一码编码的全体中，任取Q个形成组合。

6.权利要求1的计算机，其中混Q进制数不编码；或者混Q进制数编码；或者全一码来编码，其全一码编译定码长或变码长。 

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