CN101819514A - 混数进制、进位行笔算数字工程方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域，提出一种新的数字工程方法。依据该“混数进制、进位行笔算数字工程方法”进行总体设计的笔算工程，能够显著提高笔算工程的运算速度，而且大大降低笔算的出错率。本发明将输入的进行加减的K个普通Q进制数，转换成K或2K个混数进制数。然后，对K或2K个混数进制数进行混数进制求和。从最低位开始或各位同时“按位加”，“按位和”数存入下一运算层；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处。经过如此反复运算，直至运算层中运算后不产生进位为止。则最后输出数，即为所求混数进制加法和数。

Description

混数进制、进位行笔算数字工程方法

技术领域

本发明涉及数字工程方法和笔算工程领域

背景技术

数字工程包括数控机床、数字化设备和数字系统工程等等。本发明中“数字工程”是专指“数字计算系统工程”。它不是解决一个个具体的算题、或定理证明、或几何问题、或某种数学思想，而是解决四则运算法则等计算系统本身的数字工程实现技术方案。它与具体的计算工具密切相关。众所周知，“计算”有好多种，除“近似计算”、“模拟计算”及“无工具计算”(心算、指算、口算等，包括相应的口诀、速算、估算)外，则为“采用工具的数字计算”。人类历史上，“采用工具的数字计算”包括三类：笔算；筹算及珠算；机械算及电算。现代仅剩下数字电算、珠算、笔算。与此相应的“数字计算系统工程”也就仅有三类：数字计算机；算盘；采用笔和纸进行笔算的“数字计算系统工程”，简称为“笔算工程”。

“数字工程方法”就是指在上述“数字工程”中，如何处理“数字”的方法。它是一项新的数字工程进行总体设计时，所必须的总体设计方法。它规定相应数字工程中，“数字输入”、“数字输出”、“数字运载”、“数字存储”等，及“数字流程”、“数字转换”、“数字操作”、“数字控制”等。它规定相应的工程元器件、部件、装置等；以及相应的操作、控制、流程等的规则。如，“二进制数字工程方法”，就是指该“数字工程”中的元器件、部件、装置…等，均以二进制、二进制数及其相应法则为准。这样实施时的“

”与数字计算系统工程紧密结合的方法，称为“数字工程方法”。

应用“混数进制、进位行数学方法”在数字工程的总体设计中，就称为“混数进制、进位行数字工程方法”(本申请为其中之一)。简称为《混进方法HJF》。(参见附：混数进制、进位行数学方法)

当前数字工程方法中的四则运算，以“笔算工程”为例，就是“普通Q进制”(简称为“普Q进制”)的四则运算。当Q＝10时，即“普通十进制”(简称为“普十进制”)的四则运算。

首先是加法，有许多不尽如人意之处。主要表现为运算速度慢；在减法中，未能充分利用负数的作用，而且，不能“连减”。尤其在加减联合运算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺点更加扩大严重；在除法中，上述缺点依旧。总之，在最小的数体——有理数体中，四则运算情况并不满意。

在笔算数字工程中，对运算的解剖，表明存在一些隐含的操作程序，以至产生“隐患”。以“二数相加”为例，算式如式一123456+345678＝469134。[文中凡未标明数制的数，均指普通十进制数。下同。]其中，十位上的和数3，解剖一下。其微程序操作是：

个位上来的进位；

十位上5、7二数字与低位进位相加，即(5+7+1)。取其和的个位；

上列(5+7+1)和的进位送到高位。其余各位，情况类似。又如例二，设三数求和，算式如式二78+297+259＝634。上述情况更为加重。显然，存在下列缺点：a.进位标示困难。若用小数字表明，则易混淆且字面积受限。特别是表456789时就更烦人；若以“.”符写在数字间，则易与小数点混淆且表示456789也不便；若以手指数数，则速度慢且不方便；若心算，则费脑力且易错。总之，比较讨厌，易出错。b.一般二数相加时，每一位上要有三个数相加求和。于是，需三重运算。三及三以上个数相加求和时，则更不方便。c.验算困难。一般采用重做一遍，费时费力。

减法比加法麻烦。而且不能在同一竖式中“连减”，必须断开。特别在加减联合运算时，不能一步到位。乘除法中，这类情况更为严重。而且，加减乘除运算格式不统一，除法时还另起炉灶。

另一方面，在电子计算机数字工程中，这些数一般均采用普通二进制数来表示。其负数常以原码、反码、补码、移码之类来表示。在现有计算机中运算均以二个数运算，而无法实现“多重运算”及“多维运算””。所谓“多重运算”，是指多于二个数同时进行加减。所谓“多维运算”，是指多于二维同时进行加减。在采用其他普Q进制的电子计算机中，存在相应的许多复杂性。[Q为自然数。]

此外，在算盘数字工程中，这些数一般采用普通二进制与普通五进制的“联合Q进制”数。因此，运算口诀繁杂，而且存在相应的一些复杂性。

发明内容

本发明提出一种新的笔算数字工程方法，采用“混数进制”，以“混数进制、进位行方法”运算，称为“混数进制、进位行笔算数字工程方法”。简称为《混进方法HJF》。混数进制的典型为混Q进制、增Q进制、偏Q进制、称Q进制。简写为“混/增/偏/称Q进制”(“/”表“或者”，下同。)。Q为自然数。“混进方法HJF”能够显著提高运算速度；同时加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，还大大降低笔算的出错率。

“混数进制、进位行笔算数字工程方法”，总体设计该笔算工程逻辑框图。包括：输入寄存器网101；输入数码转换器网102；混数进制运算器103；输出数码转换器104；输出寄存器105。(附图1混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。)

“混数进制、进位行笔算数字工程方法”的“操作条件、步骤”及“数的流程”方案是：①输入K个普Q进制数到输入寄存器网101中；②在输入数码转换器网102中，将普Q进制数编码或另行转换为混数进制数；③在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；④在输出数码转换器104中，将运算结果混数进制数译码或另行转换为普Q进制数；⑤经输出寄存器105输出普Q进制数。

或者，①直接输入K或2K个混数进制数，到混数进制运算器103中；②在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；运算结果混数进制数直接输出。

“混数进制、进位行笔算数字工程方法”的方案中，进一步包括以下二种步骤之一；第一种步骤：

第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；

第2步，对第1步转换成的K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；

第4步，取上述K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至上述K或2K个数或该运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数；

或者，采用以下第二种步骤：

第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；

第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；

第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。

本发明混数进制、进位行笔算数字工程方法的技术方案采用第二种步骤来展示。

关于“进位行方法”。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，运算采用“进位行方法”：在二数加减运算过程中，进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；与一般运算数同等对待；然后，与“按位和”一起进行运算。

关于“网络化”结构和“多重运算”。“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，具备“寄存器网”，采用“网络化”结构。由此实现了“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。

关于“对冲”及“划Q”技术。“对冲”技术是指n个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上n个数可以消去。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。“划Q”技术是对Q进制的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与n个数的该位上和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该n个数的该位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。

在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。

关于编码。初始输入数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。

有益效果

混数进制、进位行的笔算工程技术方案，其中的混/增/偏十进制笔算工程技术方案，已经大大超越了现有的笔算工程，登上了笔算工程领域的顶峰。表现在以下五方面：

①笔算工程的性能显著提高——i.运算速度大大加快。原技术采用普通十进制，以“累加”来“一重运算”及“一维运算”；现技术采用混数进制，运用“混进方法”，以“对冲”、“划Q”及“累加”来运算。实现了“多重运算”。ii.原笔算工程技术不便于直接表示负数；现笔算工程技术可以直接表示负数。iii.原笔算工程技术不便于减法运算；现笔算工程技术减法消失了，运算十分方便。

据一般情况下粗略估计，新一代笔算工程的运算，速度比老式笔算工程提高五倍左右。

②笔算工程的结构特征及运算逻辑结构的显著简化——原笔算工程没有“进位行”及“多重运算”结构；现笔算工程具备“进位行”及“多重运算”结构。

③运算画面清晰，操作方便。

④笔算工程运算的出错率显著降低。

仅仅由此节省的人力、物力，就是十分可观的。(包括全世界每个人每年节省的纸张在内)

⑤易教易学。

据估计，现有小学六年的计算数学只要六分之一时间即可；即分期教学，累计仅仅一年。而且，在“计算”这个令人头疼的领域，学得轻松愉快，使以往的“苦恼数学”实质上变为“快乐数学”。

另一方面，我们进一步的研究还表明，在笔算工程领域，在数制层面的成果，已经被我们一网打尽。笔算工程领域今后也不可能再出现类似的飞跃。

混数进制、进位行笔算工程，属于总称为“三Q发明系列”之一。又称为“三Q笔算工程”。“三Q笔算工程”是从“数制”这一根本性能上加以“革命”，从而取得了全面凌驾于现代及未来笔算工程，特别是基础数学教科书之上的态势。理论和实践证明，混数进制、进位行数字工程方法的笔算工程，是一种优异的笔算工程技术方案。这是笔算工程中的一场革命。从根本上来讲，它使十-×÷四则运算，也就是有理数运算，全面、系统地改观。它方便易行，即使对于初学者，加减运算也可一下子扩大到任意多个数，并且每个数可扩大到任意多位，根本无需加以特别的限制。它的快速和低出错率，顺利地实现了数学计算及其教育的快乐原则。它的诞生有利于千秋万代的数学及教育基业，让全世界每一个人从小受益、终身受益。

这种笔算工程新技术方案在笔算中，特别是在教科书中具有科教上的重大意义。考虑到今天以及未来，基础数学及其教育在人类生活、生产、教学等等领域中的广泛应用及重大意义，那么，笔算工程新技术方案的用途和价值就是不言而喻的了。笔算工程最典型的应用是数学教科书。在这里，揭示了数学教科书在特殊情况下，有着“产品”的内涵。笔算工程由此可以获得专利的保护。笔算工程根本不属于版权的保护；或者说，特殊情况下，数学教科书并非只是单纯的出版物。

另一方面，由于笔算工程的衍生产品为算盘和计算机(电脑)。故笔算工程是相应算盘和计算机的基础。它就是初级的算盘和初级的计算机。于是，笔算工程的发展产生了算盘和计算机。因此，新一代混数进制、进位行笔算工程，就产生了相应的新一代算盘和新一代计算机(电脑)。

混数进制、进位行数字工程方法(本申请为其中之一)，简称为《混进方法 HJF》。在数制层面上，HJF已经登上了数字工程方法领域的顶峰。总称为“三Q发明系列”的数字工程方法，混数进制、进位行数字工程方法，其重大成就主要表现在以下二方面：(这里的“数字工程”，专指“数字计算系统工程”。当代有且仅有三种：计算机、笔算工程及算盘。这里的“混数进制”，指“混Q进制、增Q进制、偏Q进制及称Q进制”。)

①数字工程的性能显著提高——i.运算速度大大加快。原数字工程技术采用普Q进制，以“累加”来“一重运算”及“一维运算”；现数字工程技术采用混数进制，运用《混进方法HJF》，以“对冲”、“划Q”及“累加”来运算。实现了“多重运算”及“多维运算”。ii.原数字工程技术不便于直接表示负数；现数字工程技术可以直接表示负数。iii.原数字工程技术不便于减法运算；现数字工程技术减法消失了，运算十分方便。

②数字工程的结构显著特征——i.原数字工程技术，没有“多重运算”及“多维运算”结构；现计算机及笔算工程的数字工程技术，具备“多重运算”及“多维运算”结构。ii.原数字工程技术，没有“网络化运算”结构；现计算机及笔算工程的数字工程技术，具备“寄存器网”、“对冲网”及“划Q网”组成“网络结构”。iii.原算盘数字工程技术，采用“二五联合进制”结构；现数字工程技术，采用单一的混数进制结构。

所有这些，实质上都是结构显著简化。

另一方面，我们进一步的研究还表明，在数字工程方法领域，在数制层面的成果，已经被我们一网打尽。数字工程方法领域，今后不大可能再出现类似的飞跃。

由此，“三Q发明系列”已经全面地、系统地登上了“数字工程”领域的顶峰。

这是全人类二、三千年才出现的飞跃。

附图说明

图1混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。包括：输入寄存器网101；输入数码转换器网102；混数进制运算器103；输出数码转换器104；输出寄存器105。

具体实施方式

混数进制、进位行笔算数字工程方法，又称为“三Q笔算工程方法”。它属于总称为“三Q方法”之一。本发明属于“方法类”发明。为此，本部分以相应的“操作条件、步骤”及“数的流程”等技术特征来描述。

1.混数进制、进位行笔算数字工程方法，采用“混数进制”，以“混数进制、进位行方法”运算。图1为混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。包括：输入寄存器网101；输入数码转换器网102；混数进制运算器103；输出数码转换器104；输出寄存器105。(附图1混数进制、进位行笔算工程逻辑框图。)其中，输入K个普Q进制数连接到输入寄存器网101；输入寄存器网101与输入数码转换器网102一一对应相连；输入数码转换器网102与混数进制运算器103一一对应相连；混数进制运算器103与输出数码转换器104连接；输出数码转换器104与输出寄存器105连接；输出寄存器105输出普Q进制数。

或者，直接输入K或2K个混数进制数，连接到混数进制运算器103；混数进制运算器103输出混数进制数。

设定串行输入K个普Q进制数到输入寄存器网101中；输入寄存器网101共有K或2K个输入寄存器，前后串行连接或并行分配连接。输入寄存器网101中每一个输入寄存器，分别与相应的输入数码转换器网102中每一个输入数码转换器，一一对应相连。在输入数码转换器网102中，将普Q进制数编码或另行转换为混数进制数；然后，一一对应输入到混数进制运算器103；

在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；运算结果送至输出数码转换器104。在输出数码转换器104中，将混数进制数译码或另行转换为普Q进制数；然后，经输出寄存器105输出普Q进制数。

或者，设定直接串行输入K或2K个混数进制数，并行分配连接到混数进制运算器103；在混数进制运算器103中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；然后，运算结果混数进制数直接由混数进制运算器103输出。

需要指出的是，输入寄存器网101和输出寄存器网105，均由纸和笔组成。它们构成简单的、有效的寄存器，用来存放数字；输入数码转换器网102和输出数码转换器网104，均由纸和笔组成。它们构成简单的、有效的数码转换器，用来运载转换数码后的数字；混数进制运算器103分别由“对冲”、“划Q”、“累加”操作组成。“对冲”、“划Q”、“累加”以相应的“操作条件、步骤”来表述如下。

2.混数进制、进位行笔算数字工程方法，进一步包括以下步骤：

第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；

第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；

第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。

3.关于“数码转换”。

上述输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数。其中，混数进制包括混/增/偏/称Q进制(/表示或者)。对于混Q进制转换成K个；对于增Q进制转换成2K个；对于偏Q进制转换成2K个；对于称Q进制转换成2K个。

普Q进制数转换成混数进制数的方法，以及混数进制数转换成普Q进制数的方法，也就是说，普Q进制数与混/增/偏/称Q进制数之间互相转换的方法。优选其中Q＝10时的情况，即普十进制数与混/增/偏十进制数之间互相转换的情况。详见附：混数进制、进位行数学方法，第4节。

4.关于上述“对冲”及“划Q”技术。

“对冲”技术。这是指n个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上n个数可以消去。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。

“划Q”技术。对Q进制的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与n个数的该位上和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该n个数的该位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。

在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。

5.关于“进位行方法”。

“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，运算采用“进位行方法”：在二数加减运算过程中，进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；与一般运算数同等对待；然后，与“按位和”一起进行运算。

6.关于“网络化”结构和“多重运算”。

“混数进制、进位行笔算数字工程方法”中，具备“寄存器网”，采用“网络化”结构。由此实现了“多重运算”。即，多个数的加减在一次性运算中完成。这样，就彻底解决了“连减”及“连加减”的困难。同时，乘法本质上就是“连加”，除法本质上就是“连减”。因此，在乘除中，亦可运用“多重运算”来处理。

7.关于编码。初始输入K个普Q进制数或者初始输入K或2K个混数进制数时，相应的普Q进制数或者混数进制数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。现优选不编码。

举例说明

例一            混十笔算工程

典型的混数进制、进位行笔算工程，包括混/增/偏/称Q进制笔算工程。其中，混Q进制中Q＝10时，符号表示为{十^*}，相应混Q进制笔算工程即称为“混十笔算工程”。

以下为{十^*}四则运算中的{十^*}加法和乘法

例二                增十笔算工程

典型的混数进制、进位行笔算工程，包括混/增/偏/称Q进制笔算工程。其中，增Q进制中Q＝10时，符号表示为{十^Δ}，相应增Q进制笔算工程即称为“增十笔算工程”。

以下为{十^Δ}四则运算中的{十^Δ}加法和乘法

例三                  偏十笔算工程

典型的混数进制、进位行笔算工程，包括混/增/偏/称Q进制笔算工程。其中，偏Q进制中Q＝10时，符号表示为{十’}，相应偏Q进制笔算工程即称为“偏十笔算工程”。

以下为{十’}四则运算中的{十’}加法和乘法

附：        混数进制、进位行数学方法

(1.《进位行方法》；2.混数进制；3.《混进方法HJF》及其四则运算；4.混十进制{十^*}/增十进制{十^Δ}/偏十进制{十’}/称三进制{三”}与普通十进制{十}的关系；5.结论。)

1.《进位行方法》

1.1进位与“进位行”

在电子计算机等数字工程的数值运算中，运算速度提高的关键之一，就在于“进位”。进位的获得，进位的存贮以及进位的参予运算都是至关重要的。“进位”就是争“速度”。在笔算工程中，还直接影响到“出错率”。所谓“进位行”就是，在运算过程中，将产生的进位存放在与“按位和”数同等的参予运算位置上，然后与“按位和”一起进行运算。二数相加时，在同一运算层中，通常将各位上的进位排列成一行，称为“进位行”。(运算层的概念，见下节。)举例如下，设二普通十进制数求和，算式如式一123456+345678＝469134。个位运算(6+8)＝14，其进位1写于下一行的高一位上。依此类推。式中二数相加时，各位上不计进位的求和，称为“按位加

”。其和称为“按位和”。按位和的数据行，称为“

行”。

行与进位行组成“运算层”。

1.2《进位行方法》分析

1.2.1二数求和的分析

采用《进位行方法》的加法运算，由上节可知：

①二数相加时，每一位上只有二个数相加；在进位行中直接标示进位，不存在任何困难；②验算十分方便。

[引理一]二数相加时，任意位上要么有进位记为1，要么无进位记为0；[引理二]二数相加时，任意位上的和可为0～9之一。但是，当该位上有向高位进位时，该位上的

和只能为0～8之一，而不能为9。

由[引理一]和[引理二]可得：

[定理一]二数相加时，当且仅当某位上没有向高位进位时，该位上的

和才可能出现9。

1.2.2层次概念及运算层

设二数求和为式二5843029+4746979＝10590008。由式二的具体运算可见，运算是分层次进行的。运算层将一个运算解剖成一些子运算。每一运算层中，又将子运算解剖成微运算。微运算仅完成一项简单运算。这就是运算的“层次”概念。“层次”概念是数学中的基本概念，《进位行方法》正是建立在此基础上。以往的加法运算方法，本质上也隐含“层次”概念。因此，《进位行方法》中的“层次”，从总体上看并未增加运算的复杂性。反之，以往的方法由于隐含了“层次”，反而进一步增加了运算的复杂性。这一点，也进一步造成运算速度被降低。

1.2.3唯一的运算层

二数相加时，特别情况下会出现多层运算层。各层有如下关系成立。

[引理三]二数相加时，当前一运算层某位上有进位时，其后各运算层该位上均不可能出现进位。(由引理一、二得)

[引理四]二数相加时，当后一运算层某位上有进位时，其前各运算层该位上必无进位。(由引理一、二得)

[定理二]二数相加时，各运算层同一位上，要么都无进位，要么只能有一个进位。(由引理三、四得)

[推论]二数相加时，可将全部各运算层进位行合并为一个进位行；除第0运算层(初始运算式)外，可以将各运算层合并为一个运算层。

因此，以后为使用方便，二数相加时，除初始运算式外，视为仅有唯一运算层。该唯一运算层

和，即为所求该二数相加和数。

1.2.4“变形进位行”

为了减少运算层数，一个运算层中某位上的进位，可以放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一运算层空位或0位中，同一位上须处理的进位及

和数可以任意不重复地占位。这就是说，上述“进位行”这时已经变为相应的“变形进位行”。

1.3小结：所谓《进位行方法》就是，在二数加减运算过程中，进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；与一般运算数同等对待；然后，与“按位和”一起进行运算。

1.4三数及三数以上求和分析

设三数求和，算式为231+786+989＝2006(式三)。又，设六数求和。算式为786+666+575+321+699+999＝4046(式四)。操作要点：

①多个数相加，常出现二个及二个以上的运算层。为了尽量减少运算层常采用以下方式：a、较小的数，直接合并算；b、尽量在“配对”中进位；c、尽量减少在第一运算层上相加数的个数；d.尽量使第二及二以上运算层不出现。

②“相同数”、“连续数”等，可直接得“部分和”。

③同一位上各数也可进行“累加”。累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加。

④或者，直接移至下一运算层

2.混数进制

2.1《数制理论SZLL》

2.1.1按同一种规则记录数，用在一个数系统中，进行运算的数的制度，称为“记数系统的制度”。简称为“数制”。《数制理论SZLL》就是研究数制的生成、分类、分析、比较、变换、计算等的科学。它也是研究数制在数论中，及在集合论、群论、博弈论等数学其他分支；及其在多值逻辑、Wal sh函数、《狭义及广义模随论MSL》等各邻近学科；特别是在数字工程领域的计算机、笔算工程及算盘中应用的科学。它是数学的基础理论之一。数学科学，即“数”的科学。“数”的基本之一为“数制”。因此，《数制理论SZLL》是“核心数学”的“核心”之一。

2.1.2位值制数制

设，构造一个数系，其中的数以各不相同位置上的“数符”来表示。“数符”又称“数字”。对于每个数位上的全部数字，均给定一个单位值(又称“位值”)。数字通常从右向左水平排列，其值由低(小)到高(大)。以此规则来表示整个数系中每一个数的数制，称为“位值制数制”。我们以下讨论的数制，都是“位值制数制”。在不致误解时，也直接简称为“数制”。

2.1.3数制的三大要素：数位I(或i)，数元集Zi和权Li。

a、数位I(或i，下同)表示数制中数的各位数字的位置。I(或i)为序数，各位从右至左来表示。即，i＝1，2，3，…表示该数的第1，2，3，…位。

b、数元集Zi，表示第I位上的“数元”组成的集合。同一数制系统中，各个数同一位上不同符号的全体，组成一个该位上的数符集。该数符集中的元素，称为“数的元素”。简称为“数元”。因此，该数符集称为“数元集Z”。数元集Zi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的Zi均为相同的Z时，相应的数制称为“单一集数制”；当相应的数制为下述“进制”时，称为“单一集进制”。当各位上的Zi不全相同时，相应的数制称为“联合集数制”；当相应的数制为下述“进制”时，称为“联合集进制”。

数元集Zi中的数元可为复数或其他多种多样符号。在《数制理论SZLL》中，以a_j来表示数元(a₁，a₂，a₃，…)，j为自然数。以ia_j表示第i位上数元a_j。约定，a_j＝-A(A为复数)时，可表示为

为便于计算，通常取数元a_j为整数，以阿拉伯数字来表示。

数元集Zi以集合{a₁，…，a_j，…}来表示，即Zi＝{a₁，…，a_j，…}；或者，Zi以文字表明其特征。

数元集Zi的基数Pi(Pi为自然数)，表示了集的元素总数。恩格思指出：它“不但决定它自己的质，而且也决定其他一切数的质。”Pi的取值不同，标示了数元集Zi的变化。各位上的Pi为相同的P，则称为“单一基数”；否则，称为“联合基数”。

在《数制理论SZLL》的“位值制数制”中，定义数中的“空位”表示“无”，其位值为0，称为“空位0”。“空位0”是0的一种，是0的一种表达形式，是一种隐含的0。通常不加以标明；在数元集中，“空位”是一种特殊的数元，称为“空位元”。简称为“空元”。“空元”是每一个“位值制数制”数元集均有的数元，其在数元集中的表示即为“空位”。通常不加以标明。“空元”是数元集中，唯一通常不计入数元a_j，也不计个数，即个数为0的数元；另一方面，在特别情况下，为统一表述，则将其计入数元，其个数计为1。

c、权Li，表示第i位上的位值大小。特称此位值为“权Li”。Li为实数。为便于计算，通常取权Li为整数，特别是自然数，以阿拉伯数字来表示。不同的Li，就决定了不同的位值。在“编码理论”中，“编码”的主要特征就在于权Li。

实际中常见的权Li采用所谓“幂权”。即，令Li＝Q_i ^(i-1)，Q_i为实数。为便于计算，通常取Q_i为整数，特别是自然数。Q_i可以阿拉伯数字来表示，也可以中文小写数字来表示。常见各位L_i均为幂权，而且成等比Q的数制。Q称为数制幂权的“底数”或数制的“底数”。底数Q的不同，决定了不同的Li，从而决定了不同的位值。Qi可以随着i的取值不同而不同，也可以相同。当各位上的数制幂权Qi，其底数均为相同的Q时，相应的数制称为“单一Q进制”。简称为“Q进制”或“进制”。当各位上的数制幂权Qi，其底数不全相同时，相应的数制称为“联合Q进制”。另一种常用的权Li采用“等权”，即各位上的权L相同。

为了简明起见，对于一般计算而言，本文以下只讨论数制中的“进制”。“进制”中的底数Q称为“进制的位值”，简称为“进位值”或“位值”。

显然，根据上述数制的三大要素，数制可以有无穷无尽的种类。

2.2混数及对称

2.2.1混数及混数进制。

当数元集Zi中含数元0时，该相应进制被称为“含0进制”；当数元集Zi中不含数元0时，该相应进制被称为“不含0进制”。

当数元集Zi中，全部数元为连续整数成为“整数段”时，该相应进制被称为“整数段进制”。对于Q进制，则称为“整数段Q进制”。恩格斯指出：“零比其他一切数都有更丰富的内容。”鉴于“0”的这种特殊重要性，在《数制理论SZLL》中，含0整数段去掉0时，仍作为一种特殊的整数段。

当数元集Zi中可以为正数元、负数元或0时，相应进制被称为“混数进制”。(数元0为中性数元。)混数进制中的数，称为“混数”。“混数”中既有正数元又有负数元的数，称“纯混数”。

2.2.2对称

在《数制理论SZLL》中，当数元集Zi中的正负数元是相反数时，相应进制称为“对称进制”。对于Q进制，则称为“对称Q进制”。简称为“称Q进制”；当数元集的正负数元不是相反数时，相应进制称为“不对称进制”。对于Q进制，则称为“不对称Q进制”；当数元集的正负数元不全是相反数时，相应进制称为“偏对称进制”。对于Q进制，则称为“偏对称Q进制”。简称为“偏Q进制”。

2.3基数P与位值Q的关系

在任一个具有整数段数元集的Q进制中，当P＝Q时，自然数在该进制中可以连续唯一的形态表达，称为“连续进制”，又称“普通进制”；对于Q进制，则称为“普Q进制”。简称为“普Q进制”；当P＞Q时，自然数在该进制中可以连续，但有时以多种形态表达，称为“重复进制”，或“增强进制”。对于Q进制，又称为“增强Q进制”，简称为“增Q进制”；当P＜Q时，自然数在该进制中只能断续的形态表达，称为“断续进制”，或“减弱进制”。对于Q进制，又称为“减弱Q进制”，简称为“减Q进制”。

2.4进制的符号名称

在《数制理论SZLL》中建立了“代数数制系统”。一个进制的符号名称采用“Zi Li”；对联合集进制中联合Q进制时，则为ZiQi。单一集进制中联合Q进制时，则为ZQi。联合集进制中单一Q进制时，则为ZiQ。单一集进制中单一Q进制时，则为ZQ。这里Q的具体数值，以中文小写数来表示。本文以下只讨论单一集进制中，单一Q进制的情况。

在上述2.3节“普Q进制”中，本文只讨论如下这种类型：

对于含0的普Q进制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数，称为“含0普Q进制”。符号表示为{含0，Q}；对于不含0的ZQ＝{1，2，…，Q}Q，Q为自然数，称为“不含0普Q进制”。符号表示为{不含0，Q}。含0和不含0的普Q进制，合起来统称为“普Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q}。当不致误解时，“含0普Q进制”亦可称为“普Q进制”，亦以符号{Q}来表示。故可以符号{二}及{十}来表示普通二进制及普通十进制。

2.5本文中的几类混数进制

2.5.1混Q进制

ZQ＝{0，±1，…，±(Q-1)}Q进制，Q为＞1的整数，称为“含0混Q进制”。符号表示为{含0，Q^*}；对于不含0的ZQ＝{±1，±2，…，±Q}Q进制，Q为自然数，称为“不含0混Q进制”。符号表示为{不含0，Q^*}。含0和不含0的混Q进制，合起来统称为“混Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q^*}。当不致误解时，“含0混Q进制”亦可称为“混Q进制”，亦以符号{Q^*}来表示。

在《数制理论SZLL》中，{十^*}的名称是：“单一基数P＝19，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十九，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±9}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十^*}，称为“混十进制”。{二^*}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二^*}，称为“混二进制”。

2.5.2增Q进制

在上述2.3节“增Q进制”中，本文只讨论如下这种类型：

增Q进制中，特别重要的一种是P＝Q+1＞Q。Q为自然数。对于含0的ZQ＝{0，±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0增Q进制”。符号表示为{含0，Q^Δ}；对于不含0的ZQ＝{±1，±2，…，±(Q+1)/2}Q进制，Q为正奇数，称为“不含0增Q进制”。符号表示为{不含0，Q^Δ}。含0和不含0的增Q进制，合起来统称为“增Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q^Δ}。当不致误解时，“含0增Q进制”亦可称为“增Q进制”，亦以符号{Q^Δ}来表示。

在《数制理论SZLL》中，{十^Δ}的名称是：“单一基数P＝11，含0，整数段，对称的十进制”。可写为{十一，含0，整数段，对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十^Δ}，称为“增十进制”；{二^Δ}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的二进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}二进制，或者写为{0，±1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二^Δ}，称为“增二进制”。

2.5.3偏Q进制

在上述2.2.2节“偏Q进制”中，本文只讨论如下这种类型：

在“普Q进制”的偏Q进制中，特别重要的是在其“数元集”中，仅有一个绝对值最大的正数元没有相应的负数元，其余均为0或对称数元的一种。Q为自然数。本文中，偏Q进制仅指这一种。对于含0的ZQ＝{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“含0偏Q进制”。符号表示为{含0，Q’}；对于不含0的ZQ＝{±1，±2，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q，Q为正奇数，称为“不含0偏Q进制”。符号表示为{不含0，Q’}。含0和不含0的偏Q进制，合起来统称为“偏Q进制”，Q为自然数。符号表示为{Q’}。当不致误解时，“含0偏Q进制”亦可称为“偏Q进制”，亦以符号{Q’}来表示。

故可以符号{十’}及{二’}来表示“偏十进制”及“偏二进制”。在《数制理论SZLL》中，{十’}的名称是：“单一基数P＝10，含0，整数段，偏对称的十进制”。可写为{十，含0，整数段，偏对称}十进制，或者写为{0，±1，±2，…，±4，5}十进制。一般情况下，进一步符号表示为{十’}，称为《偏十进制》；{二’}的名称是：“单一基数P＝2，含0，整数段，偏对称的二进制”。可写为{二，含0，整数段，偏对称}二进制，或者写为{0，1}二进制。一般情况下，进一步符号表示为{二’}，称为《偏二进制》。

2.5.4称Q进制

在上述2.2.2节“称Q进制”中，本文只讨论如下这种类型：

在“普Q进制”的称Q进制中，对于普通对称含0的ZQ＝{0，±1，…，±(Q-1)/2}Q进制，Q为＞1的奇数，称为“含0普通对称Q进制”。符号表示为{含0，Q”}；对不含0的ZQ＝{±1，…，±Q/2}Q进制，Q为正偶数，称为“不含0普通对称Q进制”。符号表示为{不含0，Q”}。含0和不含0的普通对称Q进制，合起来统称为“普通对称Q进制”，当不致误解时，简称为“称Q进制”。Q为＞1的整数。符号表示为{Q”}。当不致误解时，“含0普通对称Q进制”，亦可称为“称Q进制”，亦以符号{Q”}来表示。

在《数制理论SZLL》中，{三”}的名称是：“单一基数P＝3，含0，整数段，对称的三进制”。可写为{三，含0，整数段，对称}三进制，或者写为{0，±1}三进制。一般情况下，进一步符号表示为{三”}，称为“称三进制”。

2.6混数编码

以混数来编码的方法，称为“混数编码”。

当A进制数元以B进制数来编码时，A进制数按位排列成相应的B进制数。这称为“以B进制数编码的A进制数”，简称为“B编码的A数”，或“编码B数”，或“编码数”。例，{十}328＝{二}101001000；其“编码{二}数”为0011，0010，1000。如上述“编码{0，±1}二进制数”，即指以{0，±1}二进制(其特况为普通二进制)数来编码的“编码数”。所谓“编码B数”的运算，即为“编码B进制”运算。这时，A进制数的位与位间为A进制运算，但每位中则为B进制运算。

A进制数元以B进制数来编码时，所需B进制数的最多位数，称为“码长”。固定的“码长”，称为“定码长”；如最高位0不加以标明，使之成为“空位0”时，相应“码长”是变化的，称为“变码长”。

混数进制、进位行数字工程方法，所述运算数是混数进制数。可以不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，总位数则为Q或(Q-1)或Q/2或(Q+1)/2位。其余高位均为0(或空位0)。同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符。

当采用全一码来编码混数进制数时，n个数加法仅为n个数中1或

的不重复排列，称为“排1”；其全一码编译可以定码长或变码长。

3.《混进方法HJF》及其四则运算。

采用混数进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混数进制、进位行方法》，简称为《混进方法HJF》。

1)采用混Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《混Q进制、进位行方法》；当不致误解时，亦可简称为《混进方法HJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；K称为多重系数。将这些普Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去，即成为混Q进制数。

2)采用增Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《增Q进制、进位行方法》；简称为《增进方法ZJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；K称为多重系数。将这些数转换成K或2K个增Q进制数。

(一)以含0的{Q}→{Q^Δ}数转换为例：

{Q}＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q为＞1的整数……①

{Q^Δ}＝{0，±1，…，±Q/2}Q。Q为正偶数……②

由①及②可知，Q为≥2的偶数。

∵Q≥2，2Q≥2+Q，Q≥Q/2+1，∴(Q-1)≥Q/2

当Q＝2时，(Q-1)＝Q/2。即以绝对值而言，{二}最大数元所表示的{二}数，等于{二^Δ}最大数元所表示的{二}数；当Q为＞2的偶数时，(Q-1)＞Q/2。即以绝对值而言，{Q}最大数元所表示的{Q}数，总是大于{Q^Δ}最大数元所表示的{Q}数。这时{Q}数元即，{Q}数元(Q-1)转换成相应的{Q^Δ}数，为两位数。其中，高位实质是“进位”。由此可知，一个{Q}数转换成相应的{Q^Δ}数，当Q＝2时，仍为一个{Q^Δ}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为二个{Q^Δ}数之和。其中一个{Q^Δ}数，即为“进位行”数。K个{Q}数转换成相应的{Q^Δ}数，当Q＝2时，仍为K个{Q^Δ}数；当Q为＞2的偶数时，可统一成为2K个{Q^Δ}数之和。

(二)对于不含0的情况，Q为正奇数。可以证明，有类似的结论。

(三)如已经将一个{Q}数，另行转换为一个{Q^Δ}数，则K个{Q}数转换为K个{Q^Δ}数。

本发明中，采用2K个增Q进制数来展示。

3)采用偏Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《偏Q进制、进位行方法》，简称为《偏进方法PJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数。可以证明，与增Q进制一样有类似的结论，将这些数转换成K或2K个偏Q进制数。本发明中，采用2K个偏Q进制数来展示。

4)采用称Q进制和《进位行方法》来进行有理数运算的方法，称为《称Q进制、进位行方法》；简称为《称进方法CJF》。当用于计算机，特别是电子计算机中时，可采用{三”}称三进制等的《称进方法CJF》。设K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，称Q进制中，Q为＞1的整数。可以证明，与增Q进制一样有类似的结论，将这些数转换成K或2K个称Q进制数。本发明中，采用2K个称Q进制数来展示。

3.1{十^*}的四则运算

①{十^*}的加法  例：

式中求得和为

。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和

不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

②{十^*}的减法   例

；例112+56-32-85+67-46＝72

③{十^*}的乘法   例

④{十^*}的除法   例5728÷23＝249……1

3.2{十^Δ}的四则运算

①{十^Δ}的加法例：

式中求得和为

。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和

不必转化(特别是作为计算过程中间结果时}。确需转化时，方法见4.1转换法则。

②{十^Δ}的减法  例

例

③{十^Δ}的乘法  例

④{十^Δ}的除法  例

3.3{十’}的四则运算

①{十’}的加法  例：

式中求得和为

。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为427。一般来说，所求和

不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

②{十’}的减法例例

③{十’}的乘法例

④{十’}的除法例

3.4{三”}的四则运算

①{三”}的加法例：

求得和为。当需要转化为普通十进制{十}数时，和为43。一般来说，所求和

不必转化(特别是作为计算过程中间结果时)。确需转化时，方法见4.1转换法则。

②{三”}的减法  例：

③{三”}的乘法  例：

④{三”}的除法  例：{十}25÷18＝1…7

3.5四则运算的特点

①加减法合并为加法，减法化为加法来运算。这一来实际计算中，就消除了通常连加减的困难。这是由于混数的特性所决定。

②“对冲”技术。这是指n个数的同一位上求和时，若和数为零，则这同一位上n个数可以消去。在算式中，该位上的这n个数，可以斜线划去，不再参加以后的运算。

“划Q”技术。对Q进制的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与n个数的某一位上和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该n个数的某位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”；

在实际运算中，常采用先“对冲”、后“划Q”、再“累加”来获得混数加减的结果。

③乘除方法简单。由于采用混数可使除法中的“减”过程变为“加”过程。为了去掉“减”过程的思路，进一步还可以令被除数变号。然后，整个“减”过程完全变成“加”过程。这可使整个运算的复杂性进一步降低。应该注意，此时若出现余数，则要将该余数变号后，才是最终运算结果的余数。

同时，除法中的试商过程，可变为予先设定的迭代过程。

④四则运算加减乘除，均可全面地显著提高运算速度。

⑤加强运算正确性的保障，在“笔算工程”中，大大降低了笔算的出错率。

4.混十进制{十^*}与普通十进制{十}的关系。

4.1{十^*}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如

{十}数本身即为{十^*}数的一种特况，故{十}数不经转换即为{十^*}数。因此，{十}数转换成{十^*}数只要将这些普Q进制数的正负符号，分配到相应这些数的每一位上去。

{十^*}数转换成{十}数。方法有几种：一种是将{十^*}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十^*}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例

再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加

)。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如3×2××6。但，当其不在{十^*}数末尾(个位)时，则最低位加

连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×1×70×。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。

当需转换的{十^*}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。

4.2{十^*}与{十}对照表及其说明(表一)

说明：①表一中0₊0_-分别为从正负方向趋近于0所获得的0。

②表一中表示形式为“连续非负整数个9”的全体的缩写。即，可为0个9，可为1个9，可为99，可为999，…等形式。这种形式表示的集合，称为“连集”。显然，“连集”为无限集。设E为整数，则

为E的“连集”，简称为“连E”。读作“E点”。以“连集”形式表示的一组无穷个数，称为“连集数组”或“连集组数”。

③由数10的二种表达形式可知

。

④在{十^*}数系统中，“连集”形式有且仅有(

)四种。由于

故“连集”形式有且仅有

三种，亦可写为

三种。

4.3{十^*}与{十}关系分析

{十}数是{十^*}数的一部分，{十}数集是{十^*}数集的真子集；

，即{十^*}数对{十}数有真包含关系。{十}数与{十^*}数的关系是“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十^*}就获得了多样处理的灵活性。这是{十^*}运算中多样性、快速性的原因。从这一点来说，{十^*}具有较强的功能。

表一

{十}中P＝Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。{十^*}中P＞Q，因而在该进制中自然数会出现多种形态表达。这正是该进制灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十^*}是以多样性来换取了灵活性。有了它，才有了《混进方法HJF》，才有了“笔算工程”的新技术方案。有了它，也才有了处理器及其相应电子计算机新技术方案。

{十^*}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十^*}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十^*}“连集组数”。所以，这种{十}数的“一”与{十^*}“连集组数”的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十^*}数与{十}数的互为映射关系。由于变换是集到自身上的对应，所以{十}与{十^*}数是“一一变换”。对于运算系统来说，{十}与{十^*}数系统是“自同构”。相应{十}数的各种运算性质，亦在{十^*}数系统中成立。

应当指出，显然，上述对{十}与{十^*}的分析，完全相应于{Q}与{Q^*}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知：①{Q}数是{Q^*}数的一部份，{Q}数集是{Q^*}数集的真子集。

，即{Q^*}数对于{Q}数有真包含关系。②{Q}数与{Q^*}数的关系是“一多对应”，而不是“一一对应”。③同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Q^*}中的“一”组“连集组数”，二者之间是“一一对应”关系。④{Q}与{Q^*}数系统是“自同构”。相应{Q}数系统的各种运算性质，亦在{Q^*}数系统中成立。

【以下4.至4.3节为增Q进制的情况】

4.增十进制{十^Δ}与普通十进制{十}的关系。

4.1{十^Δ}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如

{十}数需经表一转换成为{十^Δ}数。{十^Δ}数转换成{十}数。方法有几种：一种是将{十^Δ}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十^Δ}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例

再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加

)。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222×2×。但，当其不在{十^Δ}数末尾(个位)时，则最低位加

连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×××6×5。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。

当需转换的{十^Δ}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。

4.2{十^Δ}与{十}对照表及其说明(表一)

表一{十^Δ}与{十}数对照表

说明：①{十}数相应的{十^Δ}数可有重复数，也可没有；其中，凡{十^Δ}数中没有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数没有重复的{十^Δ}数。

②凡{十^Δ}数中有数字5(正或负)出现时，则相应{十}数有重复的{十^Δ}数。此时，该相应{十}数中可有数字5，也可没有。{十^Δ}数对{十}数的重复数，以

为“主重复”，其余重复数均可由此推出。

③实质上，由于{十^Δ}的数元集中既含有5，又含有

才产生相应的重复数。换句话说，只要{十^Δ}的数元集中去掉5或

则不会产生重复数。这时，相应这种无重复数的进制，称为Q＝10的偏Q进制{Q’}。

4.3{十^Δ}与{十}关系分析

{十}数与{十^Δ}数的关系是部分“一多对应”关系，而不是“一一对应”关系。正由于此，{十^Δ}部分多样性就获得了部分处理的灵活性。这是{十^Δ}运算中部分快速性的原因。从这一点来说，{十^Δ}具有较强的功能。{十^Δ}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十^Δ}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的一组{十^Δ}数。所以，这种{十}数的“一”与{十^Δ}数的“一”组，二者是“一一对应”关系。由此，可建立一种{十^Δ}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十^Δ}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十^Δ}数系统中成立。

{十^Δ}中P＞Q，因而在该进制中自然数有时会出现多种形态表达。这正是该进制部分灵活性所在，它使运算得以简便快捷。也可以说{十^Δ}是以部分多样性来换取了部分灵活性。{十}中P＝Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有这种多样性，也缺少了这种相应的灵活性。

应当指出，显然，上述对{十}与{十^Δ}的分析，完全相应于{Q}与{Q^Δ}的分析，因为{十}与{Q}是同构的。由此可知：①{Q}数与{Q^Δ}数的关系是部分“一多对应”，而不是“一一对应”。②同时，{Q}中的“一”个数与相应的{Q^Δ}中的“一”组数，二者之间是“一一对应”关系。③{Q}与{Q^Δ}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q^Δ}数系统中成立。

【以下4.至4.3节为偏Q进制的情况】

4.偏十进制{十’}与普通十进制{十}的关系。

4.1{十’}与{十}数的转换法

这里指整数的情况，例如

{十}数需经表一转换成为{十’}数。{十’}数转换成{十}数。方法有几种：一种是将{十’}数变为一正一负的二个{十}数求和。这有好多方式。其中，典型的是将该{十’}数中各正数字位及0位作为一正{十}数，而将各负数字位作为一负{十}数。例

再一种是在该数的各位上，使正数不变；负数变为其绝对值对10取“补”数，同时在相邻的高位减1(即加

)。另一种方法是：在该数的各位上，连续正数字(或0)的数字段照写不变。如222×2×。但，当其不在{十’}数末尾(个位)时，则最低位加

连续负数字的数字段，则使负数字变为其绝对值对9取“补”数，如×××6×5。然后，在其最低位加1。这样，求得结果为221716，即为相应{十}数。

当需转换的{十’}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。

4.2{十’}与{十}对照表及其说明(表一)

表一{十’}与{十}数对照表

说明：表一中这种无重复数的“普Q进制”进制，属于偏Q进制{Q’}中特别重要的一种。其中，Q＝10。

4.3{十’}与{十}关系分析

{十’}数与{十}数的关系是“一一对应”关系。{十’}数转换为{十}数，只能化为相应唯一的一个数。这是因为，{十’}数可经{十}数加减直接获得，而{十}数加减运算后的结果是唯一的。反之，{十}数也只能化为相应唯一的{十’}数。由此，可建立一种{十’}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{十’}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{十’}数系统中成立。{十’}中P＝Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。

应当指出，显然，上述对{十}与{十’}的分析，完全相应于{Q}与{Q’}的分析，因为{十}与{Q}同构。由此可知：①{Q}数与{Q’}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q’}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q’}数系统中成立。

【以下4.至4.2节为称Q进制的情况】

4.称三进制{三”}与普通十进制{十}的关系。

4.1{三”}与{十}数的转换法

这里指整数的情况。首先，{十}数转换成{Q}数。当Q＝3时，{十}数转换成{三}数。例{十}25＝{三}221。表一为{十}、{三}及{三”}数对照表。

表一{十}、{三}及{三”}数对照表

转换方法是：将{十}数连续除以Q，直至商为0时停止。这样，每次均出现一位余数。从最后一位余数起，依式中位置从低到高，列出各位余数。则所获数即为需转换结果{Q}数。然后，将{Q}数转换成{Q”}数。当Q＝3时，照表一将{三}数编码转换成{三”}数；再将{三”}数转换成{十}数。例如首先，将{Q”}数转换成{Q}数。当Q＝3时，{三”}数转换成{三}数。例如

这可以从表一获得。然后，再将{Q}数转换成{十}数。这可以将{Q}数各位乘以该位上的权值，再求和获得。当Q＝3时，{三”}数转换成{三}数，再转换成{十}数。例，

或者，直接将{Q”}数转换成{十}数，即将{Q”}数各位乘以该位上的权值，再求和获得。当Q＝3时，{三”}数直接转换成{十}数。

当需转换的{三”}数首位为负，即该数为负数时，则将该数的相反数转换成{十}数，然后取此{十}数的符号为负即可。

4.2{三”}与{十}关系分析。

{三”}中P＝Q，因而在该进制中，自然数是连续唯一形态表达。它没有多样性，也缺少了相应的灵活性。{三”}与{十}数的关系是“一一对应”关系。由此，可建立一种{三”}数与{十}数的互为映射关系。对于运算系统来说，{十}与{三”}数系统“同构”。相应{十}数的各种基本运算性质，亦在{三”}数系统中成立。又，由于{十}数系统与{Q}数系统同构，故{三}与{三”}数系统同构。

应当指出，显然，上述对{三}与{三”}的分析，完全相应于{Q}与{Q”}的分析。因为{三}与{Q}是同构的。由此可知：①{Q}数与{Q”}数的关系是“一一对应”。②{Q}与{Q”}数系统“同构”。相应{Q}数系统的各种基本运算性质，亦在{Q”}数系统中成立。

【以上各段4.至4.2/4.3节，分别为混/增/偏/称Q进制的情况】

结论：

当代中国最伟大的科学家之一钱学森导师，是一位伟大的科学家，思想家和马列主义者。混数进制、进位行数学方法，正是属于钱学森特别强调指出的，数学

“直接应用的工程技术”。

总称为“三Q发明系列”的数字工程方法，混数进制、进位行数字工程方法(本申请为其中之一)，其数学理论基础即为混数进制、进位行数学方法。

混数进制、进位行数学方法在数字工程的总体设计中，这样实施时的“

”与数字计算系统工程紧密结合的方法，称为“混数进制、进位行数字工程方法”。简称为《混进方法HJF》。《混进方法HJF》在各种数字工程的总体设计中，可明显简化各种数字工程的工程结构，可显著提高各种数字工程的运算速度，并且大大降低笔算工程的出错率。

Claims (5)

1.一种笔算数字工程方法，采用混数进制和进位行逻辑结构，其中运载着混数进制数，以“混数进制、进位行笔算笔算数字工程方法”来进行运算：①输入K个普Q进制数到输入寄存器网(101)中；②在输入数码转换器网(102)中，将普Q进制数编码或另行转换为混数进制数；③在混数进制运算器(103)中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；④在输出数码转换器(104)中，将运算结果混数进制数译码或另行转换为普Q进制数；⑤经输出寄存器(105)输出普Q进制数；

或者，①直接输入K或2K个混数进制数，到混数进制运算器(103)中；②在混数进制运算器(103)中，进行混数进制运算(“对冲”、“划Q”、“累加”)；运算结果混数进制数直接输出。

2.如权利要求1笔算数字工程方法，进一步包括以下二种步骤之一；第一种步骤：

第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；

第2步，对第1步转换成的K或2K个数中的二个数，进行混数进制的求和运算；从最低位开始或各位同时按位相加，即在某一位上，取这二个数按位相加；采用“对冲”、“划Q”、累加，得到这二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步的运算；如此反复，直至二数最高位也已运算为止；当采用并行运算时，二数各位同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；

第4步，取上述K或2K个数中的另二个数，进行第2步及第3步运算；如此反复，直至上述K或2K个数或该运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

第5步，在下一个运算层中，将上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数；

或者，采用以下第二种步骤：

第1步，输入K个普Q进制数参予加减运算，K为≥2的整数，Q为自然数；将这些数转换成K或2K个混数进制数；当直接输入K或2K个混数进制数时，则本步可跳越过去；

第2步，对第1步转换成的K或2K个数，从最低位开始，即在某一位上，分别取二数至K或2K个数同时相加；采用“对冲”、“划Q”、累加；即在二数时，得到二个数该位“按位加”和数；将此和数记入下一运算层，作为“部份和”数；同时所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；

第3步，在上述某位上，取上述K或2K个数中的另二个数，重复第2步的运算；如此反复，直至上述K或2K个数或运算层中全部数均取完为止；当仅剩下一个数时，则直接移至下一运算层作为“部份和”数；

当采用同一位上各数同时运算时，同时进行第2步及第3步运算，则本步可跳越过去；这时在同一位上，对n个和为0的数先进行“对冲”；然后，对n个和为mQ的数进行“划Q”；n为≥2的整数，m为整数；所得“混数进位”，则存放到下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位的空位或0位处；同一位上，余下各数进行“累加”，或者直接移至下一运算层；累加采用≥2的“多数累加”；当采用普通二数“累加”时，则顺序串行累加；

第4步，在上述某位的相邻高位上，重复第2步及第3步的运算；如此反复，直至K或2K个数最高位也已运算为止；

第5步，在下一个运算层中，对上述“按位和”数及“进位”数进行前述第2步、第3步、第4步求和运算；如此反复，直至运算层中，运算后未产生任何“进位”为止；则最后所得混数进制数，即为所求K个普Q进制数加减运算结果；当需要以普Q进制数来表示结果时，将此结果混数进制数转换成普Q进制数。

3.如权利要求1和2的笔算数字工程方法，其特征在于，采用“网络化”结构，具备“寄存器网”；实施“多重运算”：即，多个数的加减在同时运算中完成。

4.如权利要求1和2的笔算数字工程方法，其特征在于，采用“对冲”和“划Q”技术：对Q进制的n个数进行求和运算时，如果在某一位上，其“按位加”和为零，但该位上产生进位m(与n个数的该位上和数符号一致)；n为≥2的整数，m为整数；则进位放入下一运算层或本运算层尚未运算过的，任一数据行相邻高位上的空位或0位处；同时，将该n个数的该位均置“0”，可以斜线划去，不再参加以后的运算；这称为“划Q”；在十进制时Q＝10，划Q即为“划十”；“划Q”中m＝0时，称为“对冲”。

5.如权利要求1的笔算数字工程方法，其特征在于，初始输入K个普Q进制数或者初始输入K或2K个混数进制数时，相应的普Q进制数或者混数进制数可不编码；可以混数进制数编码；也可以全一码来编码，即将各个混数进制数的每一位数S，都以|S|个1从最低位顺序至高位排列来对应，其余高位均为0；同时，将S的数符，即表示该位的数为正或负，作为相应全一码中每一位上的数符；其全一码编译可定码长或变码长。

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