CN1563966A - 一种基于核估计的集成电路成品率测定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于核估计的集成电路成品率测定方法，利用基于非参数统计的成品率分析方法找出成品率对应的边界，将所有参数样本点划分成两部分，其中一部分为闭合区域内部的点，在基于非参数统计的成品率分析测定方法中假定这些点为全部为合格点，相应的，另一部分为闭合区域外部的点，我们假定这些点全部为不合格点。利用密度估计方法在所有合格点中寻找与所有不合格点的概率密度，即计算合格点中的某一点在不合格点中的密度，最小的点作为的优化参数点。本发明优点是：得出的设计参数值作为设计参数不仅可以使设计具有较高的成品率，而且它使得各个参数具有较大的容差，从而可使电路具有较好稳定性。

Description

一种基于核估计的集成电路成品率测定方法

技术领域

本发明涉及成品率测定方法，尤其是一种基于核估计的集成电路成品率测定方法。

背景技术

近年来，微波单片集成电路(MMIC)越来越广泛地应用于电子装备中。在MMIC批量制造过程中，如何保证较高的成品率，已成为降低生产成本，提高生产效益的关键因素之一。目前，集成电路设计中用于进行成品率分析的传统方法主要是蒙特卡罗(Monte Carlo)法。该方法简单且易实现，但需要进行电路仿真的次数较多(一般需要几百次)，制约了成品率分析的效率；而且，使用该方法需首先假定参数误差符合一定的分布，如高斯分布，由于MMIC制造过程中产生参数误差的因素很多，这种假设往往与实际的情况不符，在应用过程容易产生较大的误差，造成分析结果不准确。1999年，Dan Stoneking提出了基于非参数统计的成品率分析方法——NBA(Non_parametric Boundary Analysis)法。由于非参数统计方法具有对总体的假定条件比较松，适用于在大样本情况下对服从任何分布的数据进行统计分析的特点，利用NBA方法对于电路中服从任何分布的参数误差，仅用几十次全电路仿真便可得到电路的成品率及使成品率最大的一组最佳参数值。该方法较好地弥补了蒙特卡罗方法的不足，大大提高了成品率分析的速度及准确性。目前，该方法已获美国专利，并应用于MMIC的制造中。

在NBA测定方法中，以大量的实际测量数据作为测定方法的输入数据，不仅可以分析出电路实际成品率的下限，而且还可以获得一组最佳参数值。以该组参数值作为设计参数的中心值，可使电路在相同的环境和工艺条件下的成品率最高。这种成品率优化方法由于直接采用大量实际测量数据作为输入数据，因此得出的优化值可靠性较高，而且其输入数据是由各个参数样本值通过随机组合形成的，不是由数学测定方法推导出的，所以得出结果本身就是实际的样本点，从而避免了计算上的误差。重要的是，该方法仅通过一次全局搜索，便可直接得出最佳成品率参数值，不需再进行全电路仿真，与传统的方法相比，有效地缩短成品率优化的时间，进一步提高了成品率优化的效率。但是该方法在应用中也存在一定的困难，主要是由于大量的实际测量数据难以获取，需要耗费大量的人力和时间，而且受到技术和环境条件的限制。虽然，在测量数据较难获取的情况下可以根据参数误差的分布特点，假定参数服从某种分布(一般为正态分布)，利用计算机伪随机数产生测定方法产生一批具有该分布特点的数据作为参数样本值进行成品率分析，但是这样却不能求出一组最佳参数值。因为根据NBA测定方法的工作原理，求出的最佳参数值为参数空间中密度最大的点，而在假定参数分布的情况下，得出的密度最大点就是设计参数值(初始值)，因此该组值是无效的。由此可见，在参数样本值是由伪随机数测定方法产生的情况下，NBA方法是无法提供一组有效的成品率优化值。针对这种情况，我们提出一种基于非参数统计的微波集成电路成品率优化测定方法。该方法可以利用通过随机模拟产生的参数样本值数据及NBA测定方法的结果，快速地求出一组成品率优化参数值，从而有效地避免了原方法在测量数据获取方面的困难，使NBA测定方法更具实用性。另外，我们对NBA测定方法进行了改进，利用核估计法(KernelDensity Estimate)替代最近邻法(Nearest Neighbor)对所有样本点进行密度估计，有效地提高了原方法的准确性和效率。本发明中成品率分析结果及样本点密度值如无特别说明是由该方法获得的。

发明内容

本发明要解决上述所述的不足，提供一种基于核估计的集成电路成品率测定方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案。这种基于核估计的集成电路成品率测定方法，其主要步骤如下：

1)、数据整理：根据所需的数据来源，产生测量数据或参数模型数据；测量数据即从工艺线上或一些相关资料上获得的一组真实的测量值，在除去测量误差后，它反映的是在实际制造过程中真实的参数误差分布情况。同样，本测定方法在该模式下可得出的十分可靠的分析结果，而且并可直接得出一组保证成品率最高的最佳参数值。采用参数模型数据被称MP模式，这些数据是通过测量数据换算形成的，在其换算过程中容易扩大原数据的误差，因此其效果不如MD模式。特别是在测量数据较难获取的情况下，需要事先假设参数误差的分布，然后利用相应的计算机伪随机数测定方法产生一组参数样本值。在这种情况下得到的分析结果相对于MD模式误差较大，也不能直接得出一组最佳参数值，但是在测量数据无法或很难获取的情况下，这也是一种较实用方法。

2)、随机组合，形成若干参数向量：对各参数的样本值进行随机组合，在多维参数空间里形成若干参数向量(即在多维空间里的参数样本点)。如此处理，是在假定各个参数相互独立的前提下。因此，在应用该方法时需选择参数间相关性较小的参数，或进行一定的处理使参数间相互独立。参数样本点的多少与测定方法稳定性有很大的关系。如果样本点太少，则可能导致边界点分布范围过大，所以造成分析结果不准确。一般形成样本点个数为10⁴～10^5[4]。

3)、密度估计：利用核估计法对样本点进行密度估计，核估计法的核函数Φ及窗宽h有多种，我们采用的公式为：

$f\left(x\right)=1/2\mathrm{nh}*\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Φ}((x-x_i)/h)$

其中：n为样本点个数，h为窗宽，h＝0.9*min(δ，IRQ/1.34)*n^-1/5；

δ为均方差；IRQ为前四分位点与后四分位点之差；

x_i为样本点值；Φ(μ)为标准正态分布函数；

该公式为一维公式，可将该公式在多维空间内进行的拓展，假定各参数分布是独立的，推导出多维公式为：

$f\left(x_j\right)=1/2^{n}n\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}{h}_k*\underset{i=b}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}\mathrm{\φ}((x_{\mathrm{jk}}-x_{\mathrm{ik}})/h_k)$

b为分界点的位置，j＝1……b-1；i＝b……n；

m为参数个数；n为样本点个数；h_k为第k个参数的窗宽

4)、排序：按照密度值由大到小，我们对参数空间里所有样本点进行排序，目的是根据样本点在序列中的位置确定候选边界点。这样可以有效避免扩大前面步骤产生的噪声。

5)、找出侯选边界点：为了保证选取的边界点是沿着用户目标成品率在参数空间里对应的闭合区域的边界分布的，在选取边界点时我们采取了过取样，将过取样得到样本点作为候选边界点，过取样系数为(1.2～5)。根据用户指定的目标成品率，对样本点序列进行划分，分界位置CB＝n*U，U为用户指定成品率，n为样本点的个数。选取分界点左边相邻的若干点作为侯选边界点，侯选边界点的个数C≤nUR/100，其中R为经验值，取值范围在0.35左右。

6)、边界点筛选：在侯选边界点中寻找一组相互距离较远的样本点作为边界点；具体步骤是：首先，从聚集在一块的点中选取一个点作为边界点，如果选取的点的个数未达到要求的边界点的个数，则在剩余的点中选取在侯选边界点中核估计密度最小点作为边界点，直至达到要求的边界点个数。

7)、全电路仿真：将选出边界点进行全电路仿真，设一个阈值β，当进行全电路仿真的边界点的通过率达到β时，即可认定达到了指定成品率，β的取值应根据电路的实际情况及经验而定，一般为0.9至1.0。

上述测定方法可以通过以下步骤进一步优化：

1)、利用基于非参数统计的成品率分析测定方法通过搜索确定当前设计的实际成品率。因为基于非参数统计的成品率分析测定方法仅提供了一个粗略的成品率，所以在确定当前实际成品率的过程中，我们可以把搜索步长定得较大，例如：10％，这样可以减少仿真次数，缩短优化时间。另外，为了确保参数样本值的误差分布按照指定的目标成品率对应的等密度表面分布，需要产生大量的样本值，因此需将NBA测定方法中各参数样本值的个数设得较大。

2)、根据实际成品率确定的边界，在参数空间里对所有的参数样本点进行一次划分。在基于非参数统计的成品率分析测定方法中，首先利用概率密度估计方法(以下简称密度估计)，计算出所有样本点在参数空间里的分布密度，并且按照密度值由大到小对所有参数样本点进行排序。然后以实际成品率与参数样本点个数的乘积作为分界点在序列中位置，将所有参数划分为两部分。分界线左边的部分为假定的全部合格点(以下简称A部分)，右边为假定的全部不合格点(以下简称B部分)。

3)、利用密度估计，计算A部分中每一个样本点在B部分所有样本点中的密度。密度估计，是一种重要的非参数统计方法。其定义为：设X1，……，Xn是从具有未知的概率密度函数f的总体中抽出的样本，依据这些样本去估计f。确切地说，要对每个指定的x去估计f(x)的值。该方法在大样本情况下具有良好的概率性质，特别适用于多元且未知分布的大样本数据的统计分析。目前已广泛的应用于信息处理、生物、化工、电子、水利、考古学、天文等工农业生产和生活的各个领域中。密度估计主要有两种方法：(1)核估计，这是一种比较成熟的密度估计方法，在工业界已得到了广泛的应用。(2)最近邻估计，该方法较核估计法复杂，应用于一些特殊的统计分析问题。总的来讲，两种方法各有千秋，在不同的应用领域中具有不同的作用。本发明采用核估计法进行密度估计。核估计法的核函数Φ及窗宽h有多种，我们采用[2]公式为：

其中：n为样本点个数，h为窗宽，h＝0.9*min(δ，IRQ/1.34)*n^-1/5；

δ为均方差；IRQ为前四分位点与后四分位点之差；

x_i为样本点值；Φ(μ)为标准正态分布函数。

但是该公式为一维公式，为将其应用于本发明的成品率优化方法，我们对该公式在多维空间内进行的拓展，假定各参数分布是独立的。根据本发明的应用要求，推导出多维公式为：

$f\left(x_j\right)=1/2^{m}n\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}{h}_k*\underset{i=b}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}\mathrm{\φ}((x_{\mathrm{jk}}-x_{\mathrm{ik}})/h_k)$

b为分界点的位置，j＝1……b-1；i＝b……n；

m为参数个数；n为样本点个数；h_k为第k个参数的窗宽。

4)、对A部分的样本点按照步骤3得出的密度从小到大进行排序。选取密度最小点作为优化参数点(或者选取几个密度最小的点作为侯选优化参数点，然后从中先取一个比较合适点)。

本发明的主要思想是：利用基于非参数统计的成品率分析方法找出成品率对应的边界，将所有参数样本点划分成两部分，其中一部分为闭合区域内部的点，在基于非参数统计的成品率分析测定方法中假定这些点为全部为合格点，相应的，另一部分为闭合区域外部的点，我们假定这些点全部为不合格点。于是我们利用密度估计方法在所有合格点中寻找与所有不合格点的概率密度(即计算合格点中的某一点在不合格点中的密度)最小的点作为的优化参数点。

本发明有益的效果是：通过以上测定方法得出的设计参数值，是在A部分中与所有B部分中的点的距离之和最大的点。因此，以该点作为设计参数不仅可以使设计具有较高的成品率，而且它使得各个参数具有较大的容差，从而可使电路具有较好稳定性。而且，在整个测定方法中，充分利用基于非参数统计的成品率分析测定方法的分析结果，不需再进行全电路仿真，即使将前面的基于非参数统计的成品率分析过程算在内，整个优化过程也仅需几十次全电路仿真，对电路结构较复杂，一次仿真时间较长的电路，可有效地节约成品率优化的时间，提高电路设计的效率。同时，需要指出的是，由于该优化测定方法采用了非参数统计学的方法，而且仅从已知的合格点中挑选最优点，所以其产生的优化值不一定是最佳参数值。而且，在实际应用中我们发现当电路设计的成品率已经较高时，使用该方法进行优化效果并不理想。但是，该方法可以产生多组优化值。因此，该方法适用于对成品率较低的电路进行优化设计或利用该方法产生的多组优化值作为使用其它方法进行进一步优化的初始值。

附图说明：

图1是本发明的成品率分析流程图；

图2是本发明的成品率优化算法流程图；

图3是本发明的三级微波宽带分布放大器；

具体实施方式

下面结合实施例和附图对本发明作进一步描述。

实施例1：一种基于核估计的集成电路成品率测定方法，我们在PC机上实现了该测定方法，并将其应用于一个三级分布式放大器的设计中。为简单起见，在此我们仅考虑放大器的增益。根据设计指标要求，放大器在(2～18)的频带内增益稳定在5.5dB。

我们规定，增益在各频带内保持在(5.00～6.00dB)之间为合格品。该设计中共有11个参数，事先我们通过其它优化方法得到了一组最佳值作为设计参数值(见表1)，然后以这些值为中心，对每个参数在+/-％5的误差范围内产生服从正态分布的200个数据。(采用MP工作模式)。根据这些数据对电路设计进行成品率分析，以找出在该组参数值下电路的成品率。其结果见表2：

表1参数中心值

参数	ZG1(Ω)	ZG3(Ω)	ZD1(Ω)	ZD2(Ω)	θG1	θG3	θD1	θD3	RG(Ω)	RD(Ω)	LD(nH)
												中心值	132.5	150.0	116.8	144.8	20.0	11.3	40.0	10.0	38.5	325.0	5.8

ZG为栅线的特性阻抗              ZD为漏线的特性阻抗

θG，θD为传输线的电长度        LD为漏端电感

先后指定六个目标成品率以作比较(见表2)：设β＝0.93，样本点个数n＝20000，

表2核估计测定方法的的成品率分析结果

目标成品率	90％	80％	70％	60％	50％	40％
							边界点个数	45	35	27	24	22	22

仿真合格点个数

39

31

26

23

22

22

当指定成品率为70％时，通过率达到β值，所以可以认定成品率在70％以上。

在NBA方法中，必须所有边界点通过电路仿真才认定达到用户指定成品率，所以在NBA方法中，该算例的成品率下界为30％(见表3)。

表3NBA方法的的成品率分析结果

目标成品率	80％	70％	60％	50％	40％	30％
							边界点个数	22	22	22	22	22	22
仿真合格点个数	11	15	17	21	21	22

我们在其它EDA软件上对该设计用蒙特卡罗法进行成品率分析，其结果为：

表4通用EDA软件成品率分析结果

次数	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次	第六次
							成品率	87.40％	88.3％	84.7％	78.9％	86.5％	81.6％

其结果值均大于70％，可见通过基于核估计成品率分析测定方法方法我们获得了一个更为精确的成品率下界。

另外，如果在MD工作模式下，我们还可以通过找出密度最大的点，直接得到一组最佳参数值。由于本例采用了MP工作模式，并且用来进行计算的数据是通计算机伪随机数方法产生的，所以得到最佳参数值为原先设定的中心参数值。为了能够在这种情况下，获取一组成品率优化值，我们在基于核估计的成品率分析测定方法基础上提出了一种成品率优化测定方法，见实施例2。

实施例2：一种基于核估计的集成电路成品率测定优化方法，为了验证该测定方法的有效性，我们将该测定方法应用于一个三级微波宽带分布放大器的设计中，并编写一个程序来做测试。为简单起见，我们仅考虑放大器的增益。三级放大器的晶体管为MESFET，设计指标要求，放大器在尽量宽(2～18GHz)的频带内增益稳定在5.5dB。我们假定，增益在各频带内保持在(5.05～5.95dB)之间为合格品。该设计中共有11个参数，事先我们通过其它优化方法得到一组最佳值作为设计参数值(见表5)，然后以这些值为中心，对每个参数在+/-％5的误差范围内产生服从正态分布400个数据。首先根据这些数据对电路进行成品率分析，以找出在该组参数值下电路的成品率。其结果见表6。

表5设计参数值

参数	ZG1(Ω)	ZG3(Ω)	ZD1(Ω)	ZD2(Ω)	θG1	θG3	θD1	θD2	RG(Ω)	RD(Ω)	LD(nH)
												中心值	132.5	150.0	116.8	144.8	20.0	11.3	40.0	9.7	38.5	325.0	5.8

其中：Z_G为栅线的特性阻抗      Z_D为漏线的特性阻抗

θ_G，θ_D为传输线的电长度      L_D为栅端电感

先后指定六个目标成品率以作比较：设β＝0.9(β为阈值，由于电路的响应函数是大致单调的，可能存在一些小的波动，导致部分合格区域的点不能通过电路仿真，所以设定当边界点中有90％通过，即可认定该边界全部通过仿真。β的值可根据实际的电路特性而定。)

表6成品率分析结果

目标成品率	60％	50％	40％	30％	20％	10％
							边界点个数	33	28	25	22	22	22
仿真合格点个数	27	23	20	21	21	22

当指定成品率为40％时，通过率未达到β值。因此确定该电路实际成品率约为30％。

另外，我们在其它通用EDA(ADS)软件上对该设计用蒙特卡罗法进行成品率分析，其结果见表7。

表7蒙特卡罗分析结果

次数	第一次	第二次	第三次	第四次
					成品率	37.5％	40.6％	33.2％	38.3％

在此基础上，我们利用本测定方法对该放大器进行优化设计，得到一组最佳参数值(见表8)：

表8优化参数值

参数	ZG1(Ω)	ZG3(Ω)	ZD1(Ω)	ZD2(Ω)	θG1	θG3	θD1	θD2	RG(Ω)	RD(Ω)	LD(nH)
												中心值	131.9	154.7	118.0	148.0	19.8	11.3	39.7	10.0	39.6	326.6	5.77

对优化后的放大器利用通用EDA软件用蒙特卡罗法进行成品率分析，其结果见表9。

表9优化后的成品率

次数	第一次	第二次	第三次	第四次
					成品率	69.9％	72.7％	68.4％	72.3％

由上可见，本例中通过该测定方法进行优化后，使设计的成品率有了显著的提高。由于直接利用基于非参数统计的成品率分析测定方法的分析结果，在优化过程中不再需要电路仿真，节约了电路成品率优化的时间，即便是将前面的成品率分析过程计算在内，整个优化过程仅需91次电路仿真，大大少于传统的优化方法，因此应用该方法可有效的提高成品率优化的效率。

本发明给出了一种基于非参数统计的快速成品率优化测定方法，应用该方法，可充分利用基于非参数统计的成品率分析方法的分析结果，不需再进行电路仿真便可获得优化结果，从而有效地提高成品率优化的速度。并且，它可以提供多组优化结果，便于设计者从中挑选出较为合适的一组值作为最佳参数值。在实际应用过程中，将该测定方法与基于非参数统计的成品率分析测定方法结合使用，可以大大的缩短成品率优化的时间，并有助于产品稳定性的提高。虽然该方法不是一种精细的成品率优化测定方法，但是它可以在短时间内向设计者提供成品率优化结果，帮助设计者快速选择设计参数。另外，该方法可以一次提供许多组优化值，因此可以将该测定方法作为一种预处理优化测定方法，对其结果进行二次优化，得出最终优化值。随着MMIC技术的发展，电路结构越来越复杂，参与成品率分析的参数越来越多，当传统的成品率分析及优化方法难以应付的时候，非参数统计方法由于其对总体假定条件比较宽松的特点，在成品率分析及优化方面显露出独特的优势。通过本发明在非参数统计方法应用于成品率优化上的尝试及NBA测定方法，可以看到，非参数统计方法在集成电路CAD技术中具有较好应用前景。

Claims (5)

1、一种基于核估计的集成电路成品率测定方法，其特征在于：其主要步骤如下：

1)、数据整理：根据所需的数据来源，产生测量数据或参数模型数据；

2)、随机组合，形成若干参数向量：在假定各个参数相互独立的前提下，对各参数的样本值进行随机组合，在多维参数空间里形成若干参数向量，即在多维空间里的参数样本点；

3)、密度估计：利用核估计法对样本点进行密度估计，核估计法的核函数Φ及窗宽h有多种，采用的公式为：

$f\left(x\right)=1/2\mathrm{nh}*\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Φ}((x-x_i)/h)$

其中：n为样本点个数，h为窗宽，h＝0.9*min(δ，IRQ/1.34)*n^-1/5；

δ为均方差；IRQ为前四分位点与后四分位点之差；

x_i为样本点值；Φ(μ)为标准正态分布函数；

该公式为一维公式，可将该公式在多维空间内进行的拓展，假定各参数分布是独立的，推导出多维公式为：

$f\left(x_j\right)=1/2^{m}n\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}{h}_k*\underset{i=b}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}\mathrm{\φ}((x_{\mathrm{jk}}-x_{\mathrm{ik}})/h_k)$

b为分界点的位置，j＝1……b-1；i＝b……n；

m为参数个数；n为样本点个数；h_k为第k个参数的窗宽

4)、排序：按照密度值由大到小，对参数空间里所有样本点进行排序，根据样本点在序列中的位置确定候选边界点；

5)、找出侯选边界点：在选取边界点时我们采取了过取样，将过取样得到样本点作为候选边界点；根据用户指定的目标成品率，对样本点序列进行划分，分界位置CB＝n*U，U为用户指定成品率，n为样本点的个数；选取分界点左边相邻的若干点作为侯选边界点，侯选边界点的个数C≤nUR/100，其中R为经验值，取值范围在0.35左右；

6)、边界点筛选：在侯选边界点中寻找一组相互距离较远的样本点作为边界点；具体步骤是：首先，从聚集在一块的点中选取一个点作为边界点，如果选取的点的个数未达到要求的边界点的个数，则在剩余的点中选取在侯选边界点中核估计密度最小点作为边界点，直至达到要求的边界点个数；

7)、全电路仿真：将选出边界点进行全电路仿真，设一个阈值β，当进行全电路仿真的边界点的通过率达到β时，即可认定达到了指定成品率，β的取值应根据电路的实际情况及经验而定，一般为0.9至1.0。

2、根据权利要求1所述的基于核估计的集成电路成品率测定方法，其特征在于：上述测定方法可以通过以下步骤进一步优化：

1)、利用权项1的成品率分析算法通过搜索确定当前设计的实际成品率；

2)、根据实际成品率确定的边界，在参数空间里对所有的参数样本点进行一次划分，在基于非参数统计的成品率分析算法中，首先利用概率密度估计方法，即密度估计的简称，计算出所有样本点在参数空间里的分布密度，并且按照密度值由大到小对所有参数样本点进行排序；然后以实际成品率与参数样本点个数的乘积作为分界点在序列中位置，将所有参数划分为两部分，分界线左边的部分为假定的全部合格点，以下简称A部分，右边为假定的全部不合格点，以下简称B部分；

3)、利用密度估计，计算A部分中每一个样本点在B部分所有样本点中的密度；密度估计，是一种重要的非参数统计方法，其定义为：设X1，……，Xn是从具有未知的概率密度函数f的总体中抽出的样本，依据这些样本去估计f，确切地说，要对每个指定的x去估计f(x)的值；

4)、对A部分的样本点按照步骤3得出的密度从小到大进行排序，选取密度最小点作为优化参数点，或者选取几个密度最小的点作为侯选优化参数点，然后从中先取一个比较合适点。

3、根据权利要求2所述的基于核估计的集成电路成品率测定方法，其特征在于：采用核估计法进行密度估计，核估计法的核函数Φ及窗宽h有多种，我们采用的公式为：

$f\left(x\right)=1/2\mathrm{nh}*\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Φ}((x-x_i)/h)$

其中：n为样本点个数，h为窗宽，h＝0.9*min(δ，IRQ/1.34)*n^-1/5；

δ为均方差；IRQ为前四分位点与后四分位点之差；

x_i为样本点值；Φ(μ)为标准正态分布函数；

该公式为一维公式，可将该公式在多维空间内进行的拓展，假定各参数分布是独立的，推导出多维公式为：

$f\left(x_j\right)=1/2^{m}n\underset{k=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}{h}_k*\underset{i=b}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Π}}}\mathrm{\φ}((x_{\mathrm{jk}}-x_{\mathrm{ik}})/h_k)$

b为分界点的位置，j＝1……b-1；i＝b……n；

m为参数个数；n为样本点个数；h_k为第k个参数的窗宽。

4、根据权利要求1所述的基于核估计的集成电路成品率测定方法，其特征在于：所述的测量数据即从工艺线上或一些相关资料上获得的一组真实的测量值，在除去测量误差后，它反映的是在实际制造过程中真实的参数误差分布情况。

5、根据权利要求1所述的基于核估计的集成电路成品率测定方法，其特征在于：所述的采用参数模型数据，这些数据是通过测量数据换算形成的，在测量数据较难获取的情况下，需要事先根据具体参数误差的特点假设参数误差的统计分布，然后利用计算机伪随机数算法按照假设的统计分布产生的一组参数样本值。

Images