CN1447280A - 动态系统过失误差的侦破与识别方法 - Google Patents

Abstract

动态系统过失误差的侦破与识别方法属于系统的测量数据处理技术领域。其特征在于，它提出了一种动态系统的过失误差可识别性的判据，并在此基础上提出了一种基于参数估计的过失误差识别与估计方法，该方法首先判断所处理的系统是否具有过失误差可识别性，然后针对具有过失误差可识别性的系统，假设所有已测变量都含过失误差，然后求解过失误差的估计模型，得到过失误差的估计值，通过估计的过失误差值的大小再最终确定到底哪些变量含有过失误差。本方法能准确的识别出系统所含的多个过失误差。

Description

动态系统过失误差的侦破与识别方法

技术领域：

动态系统过失误差的侦破与识别方法属于系统的测量数据处理技术领域。

背景技术：

在化工工业中，测量数据的准确性对过程优化、控制、故障诊断是十分重要的，由于仪表零点漂移等原因导致测量数据有可能存在过失误差，测量数据的不准确会严重影响到对实际工业设备的操作，因此数据校正作为提高数据准确性的方法受到越来越多的重视。数据协调可以提供严格满足过程物理和化学规律的校正数据，但是，测量数据中过失误差的存在会极大的影响数据协调的准确性，会使协调后的数据严重偏离真实工况，因此需要在数据协调之前进行过失误差的侦破与识别。诸多研究工作表明，数据校正问题的瓶颈在于对测量数据含有的过失误差的处理。过失误差通常分为两类：outlier型过失误差和bias型过失误差。其中，outlier型过失误差指测量数据中的异常点，而bias型的过失误差指测量数据相对于真实数据存在一固定的系统偏差。对异常点类型的过失误差，目前已有比较有效的处理方法，这里主要处理bias型过失误差的识别问题。

针对bias型的过失误差，目前还未有较好的侦破和识别方法。Narasimhan等提出GLR(广义似然比)法来识别过失误差，Kao等在处理相关过程数据的过失误差时也采用了这种方法。Rollins and Davis提出了unbiased estimation technique(UBET)来识别过失误差，Devanathan等提出了一种基于侦破bias变化的过失误差侦破和识别方法，但这些都是针对操作近似稳态的线性系统。

Bagajewicz等针对bias型过失误差提出了一种DIMT(dynamic integral measurementtest)的方法，并深入探讨了线性动态系统下过失误差的侦破与识别，提出了过失误差等价性的概念，说明了过失误差并不是任何情况下都可以侦破和识别出来的，并在此基础上，提出了相应的过失误差逐次识别方法，Karjala等人采用反馈神经网络来对有过失误差的测量数据进行校正，Vachhani等人把过失误差当作一种故障，从而将故障诊断的方法引入到过失误差的侦破和识别中。

现有方法首先确定哪些变量含有过失误差，然后估计这些识别出的变量所含的过失误差，但没有考虑到对某些系统(指不具有过失误差可识别性的系统)可能得不出正确识别结果的情况。主要是因为实际系统中存在一组真实工况可能对应多种过失误差组合的情况，而目前的方法都没有考虑这一情况，因此它们都很难处理测量中存在多个过失误差的情况。

发明内容：

本发明的目的在于，提出了一种系统的过失误差可识别性的判据，并在此基础上提出了一种基于参数估计的过失误差识别与估计方法，该方法首先判断所处理的系统是否具有过失误差可识别性，然后针对具有过失误差可识别性的系统，假设所有已测变量都含过失误差，然后求解过失误差的估计模型，得到过失误差的估计值，通过估计的过失误差值的大小再最终确定到底哪些变量含有过失误差。

本发明首先从理论上推导出动态系统过失误差的可识别性的判据为：对于系统 $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x,u)---\left(1\right)$ 有 $\▿f=\left[\frac{\∂f}{\∂x}\frac{\∂f}{\∂u}\right]$ ，若f的列线性无关，则此系统是过失误差可识别的。若系统中含有代数方程，结论同样成立。证明过程见具体实施方式后面部分。

本发明提出的动态系统的过失误差的侦破与识别方法，其特征在于，它首先对动态系统的过失误差可识别性进行判断，然后假设所有变量均含有过失误差，并求解过失误差的估计模型，最后根据求解得到的过失误差值来最终判断哪些变量含有过失误差；该方法依次含有以下步骤：

1)动态系统过失误差可识别性的判断：

1.1)建立动态系统的数学模型： $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x,u)$

其中x为含微分的变量，u为不含微分的变量，x、u均为向量形式；

1.2)判断该系统过失误差的可识别性：

求各变量的偏导数，得到偏导数矩阵： $\▿f=\left[\frac{\∂f}{\∂x}\frac{\∂f}{\∂u}\right]$

判断偏导数矩阵的列的线性相关性，若线性相关，则该系统的过失误差是不可识别的；若线性无关，则该系统的过失误差是可识别的，并开始进行求解过失误差估计模型的以下步骤；

2)在计算机中进行过失误差的求解过程：

2.1)假设所有变量均含有过失误差，其相应的过失误差的估计模型为： $\underset{x,u}{\min }{(x-x_m)}^T{V}_x^{-1}(x-x_m)+{(u-u_m)}^T{V}_u^{-1}(u-u_m)$ $\mathrm{st}.f(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x-{\mathrm{\θ}}_x,u-{\mathrm{\θ}}_u)=0$

其中，V_x，V_u分别是x，u的方差矩阵，需要根据测量仪表的精度来给定，或通过测量数据估算；x_m和u_m分别是变量x、u的测量值，也是向量形式；θ_x，θ_u为待估计的过失误差；st.指约束方程，表示校正结果需满足的数学模型；

2.2)分别读入各变量测量值x_m和u_m，并将该测量值消噪；

2.3)将2.1)步中过失误差估计模型中的微分方程离散化；

2.4)求解离散化后的过失误差的估计模型，得到所有变量所含有的过失误差值θ_x，θ_u；

3)根据过失误差值判断哪些变量含有过失误差：

将过失误差的估计值除以相应的标准方差，得到过失误差的“真实值”，并根据该“真实值”的大小来判断哪些变量含有过失误差。

在上述第2.2)步中，对测量值消噪采用的是小波消噪。

上述第2.4)步中求解离散化后的过失误差的估计模型，采用的是序贯二次规划算法。

上述第3)步中，当所述“真实值”小于等于0.1倍的变量方差时，则相应的变量测量不含有过失误差；当所述“真实值”大于0.1倍的变量方差时，则相应的变量测量含有过失误差。

通过实验证明，利用本发明提出的动态系统过失误差的侦破与识别方法，能够有效识别动态系统中的过失误差，达到了预期的目的。

附图说明：

图1是本方法的流程图；

图2是实施例的物理模型示意图；

图3是实施例中读入变量的测量数据图；

图4是消噪后的测量数据图。

具体实施方式：结合附图和实施例说明本发明的具体实施方式。

实现本发明的具体步骤见图1。数学模型 $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x,u)$ 即： $f_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}},...,\frac{{\mathrm{dx}}_n}{\mathrm{dt}},x_1,x_2,...,x_n,u_1,u_2,...,u_m)=0$ $f_2(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}},...,\frac{{\mathrm{dx}}_n}{\mathrm{dt}},x_1,x_2,...,x_n,u_1,u_2,...,u_m)=0$ … $f_k(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}},...,\frac{{\mathrm{dx}}_n}{\mathrm{dt}},x_1,x_2,...,x_n,u_1,u_2,...,u_m)=0$ 过失误差的估计模型 $\underset{x,u}{\min }{(x-x_m)}^T{V}_x^{-1}(x-x_m)+{(u-u_m)}^T{V}_u^{-1}(u-u_m)$ 即： $\mathrm{st}.f(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x-{\mathrm{\θ}}_x,u-{\mathrm{\θ}}_u)=0$ $\underset{x,u}{\min }{(x-x_m)}^T{V}_x^{-1}(x-x_m)+{(u-u_m)}^T{V}_u^{-1}(u-u_m)$ $f_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}},...,\frac{{\mathrm{dx}}_n}{\mathrm{dt}},x_1-{\mathrm{\θ}}_{x1},x_2-{\mathrm{\θ}}_{x2},...,x_n-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xn}},u_1-{\mathrm{\θ}}_{u1},u_2-{\mathrm{\θ}}_{u2},...,u_m-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{um}})=0$ $\mathrm{st}.f_2(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}},...,\frac{{\mathrm{dx}}_n}{\mathrm{dt}},x_1-{\mathrm{\θ}}_{x1},x_2-{\mathrm{\θ}}_{x2},...,x_n-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xn}},u_1-{\mathrm{\θ}}_{u1},u_2-{\mathrm{\θ}}_{u2},...,u_m-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{um}})=0$ … $f_k(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},\frac{{\mathrm{dx}}_2}{\mathrm{dt}},...,\frac{{\mathrm{dx}}_n}{\mathrm{dt}},x_1-{\mathrm{\θ}}_{x1},x_2-{\mathrm{\θ}}_{x2},...,x_n-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{xn}},u_1-{\mathrm{\θ}}_{u1},u_2-{\mathrm{\θ}}_{u2},...,u_m-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{um}})=0$

本发明与现有技术的不同点在于，在进行过失误差的估计之前，首先判断系统过失误差的可识别性，在具有过失误差可识别性的情况下，假设所有变量均含有过失误差，再进一步

估计过失误差的值。过失误差值的估计通过求解下列过失误差估计模型来实现。 $\underset{x,u}{\min }{(x-x_m)}^T{V}_x^{-1}(x-x_m)+{(u-u_m)}^T{V}_u^{-1}(u-u_m)$ $\mathrm{st}.f(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x-{\mathrm{\θ}}_x,u-{\mathrm{\θ}}_u)=0$ 这是一个通用的过失误差估计模型，其中，V_x，V_u分别是x，u的方差矩阵，需要根据经验由测量仪表的精度来给定，也可以通过测量数据估算，。θ_x，θ_u为待估计的过失误差，约束方程st.表示校正结果需满足过程的物理模型。

上述模型的求解方法则完全与现有技术相同，主要是以下步骤(见图3)：

1、读入测量数据

2、对测量数据进行小波消噪，采用紧支撑的正交小波Daubechies Wavelets，选择其子波的消失距为2。消噪可以降低测量数据中的随机误差，提高对过失误差值的估计的准确性。

3、将过失误差估计模型中的微分方程的离散化，利用小波方法来实现。

4、求解离散后的校正模型，得到过失误差的值。

其中，由于过失误差估计模型中含有微分方程，因此在计算机中进行运算时，按照一般的含微分方程模型的求解方法，首先需要将微分方程离散，转化为代数方程(将微分算子展开)。本发明利用小波将微分算子展开，从而将微分方程转化为代数方程，小波方法在微分方程离散化中应用已较为成熟，将微分算子展开的方法见具体实施方式的最后部分。

另外，由于上述过程是在假设所有变量均含有过失误差的条件下进行的，因此，在求得过失误差的值后，需要对哪些变量确实含有过失误差进行判断，如果变量不含有过失误差，则其对应的过失误差的估计值应该为0。但实际上，尽管某些变量确实不含过失误差，由于系统中存在随机误差的影响，其相应的过失误差的估计值通常不会准确为0。通常来讲，计算得到的过失误差值先除以相应的标准方差，判断最终的值是否小于0.1σ，若小于0.1σ，则认为此变量不含过失误差；若大于等于0.1σ，则认为此变量含有过失误差，且该过失误差值就是求解得到的值。实施例

以两个连接的水槽(图2)为物理模型，计算过程如下：

1)建立系统的数学模型并进行系统的过失误差可识别性判断：

其相应的数学模型为： $A_1\frac{{\mathrm{dh}}_1}{\mathrm{dt}}=F_0-F_1$ $0=\frac{A_2}{A_1}{F}_0+\frac{A_2+A_1}{A_1}{F}_1+A_2\sqrt{2\·g\·h_1}$

其中，A₁和A₂为两水槽的截面积。F₀和F₁为体积流量，h₁为槽内液高(两水槽液面高度相同)；F₀、F₁和h₁都是时间的函数，其他变量为已知的模型参数，A₁＝A₂＝2m²，F₀和F₁以斜率0.05线性变化，其初值为9m³/s。h₁初值为1m。

对此系统，f为： $f=\left[\begin{array}{c}{F}_0-F_1\\ \frac{A_2}{A_1}{F}_0+\frac{A_2+A_1}{A_1}{F}_1+A_2\sqrt{2\·g\·h_1}\end{array}\right]$

所以f为： $\▿f=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 0\\ 1& 2& \frac{1}{\sqrt{2\·g\·h_1}}\end{array}\right]$ 很明显，f的列线性无关，所以此系统是过失误差可识别的，可以进行过失误差的估计。

2)读入测量数据：

在计算中采用了每个变量有400个测量数据，数据如图3所示。

3)对测量数据进行小波消噪：

采用的是软件Matlab6.1中的Wavelet ToolBox，采用Symlets子波，heursure阈值选择规则，软限幅，分解尺度为3，消噪结果如图4所示。

4)本系统相应的过失误差估计模型为： $\mathrm{st}.A_1{\left(\frac{{\mathrm{dh}}_1}{\mathrm{dt}}\right)}_j=F_{0,j}-{\mathrm{\θ}}_1-F_{1,j}+{\mathrm{\θ}}_2,j=\mathrm{2,3},...,400$ $0=\frac{A_2}{A_1}(F_{0,i}-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{A_2+A_1}{A_1}(F_{1,i}-{\mathrm{\θ}}_2)+A_2\sqrt{2\·g\·(h_{1,i}-{\mathrm{\θ}}_3)},i=\mathrm{1,2},...,400$

5)微分方程离散化：

通过小波将微分算子展开从而将估计模型中的微分方程转化为代数方程。本发明采用软件Matlab6.1的WaveletToolBox，选择紧支撑的正交小波Daubechies Wavelets，选择其子波的消失距为2。具体计算方法见前面的微分算子子波展开部分。展开后过失误差估计模型的约束方程变为： $\frac{A_1}{\mathrm{\Δt}}\·{(M\·H_1)}_j=F_{0,j}-{\mathrm{\θ}}_1-F_{1,j}+{\mathrm{\θ}}_2,j=\mathrm{2,3,4},...,400$ $0=\frac{A_2}{A_1}(F_{0,i}-{\mathrm{\θ}}_1)+\frac{A_2+A_1}{A_1}(F_{1,i}-{\mathrm{\θ}}_2)+A_2\sqrt{2\·g\·(h_{1,i}-{\mathrm{\θ}}_3)},i=\mathrm{1,2},3,...,400$

其中i，j指各个测量时刻，H₁指所有时刻的h₁组成的列向量，M为微分算子展开得到的系数矩阵，为400×400，其值为：

模型中θ₁，θ₂，θ₃为待估的过失误差值。

6)求解离散后的校正模型

对离散后的过失误差估计模型的求解采用贯二次规划算法(SQP)方法，本发明采用软件Matlab6.1中的Optimization ToolBox进行求解。即可得到校正结果和过失误差的估计值。SQP方法是一种使用较多的非线性优化算法，具有求解效率高的优点。在计算中，设定待估的过失误差初值为0，其他变量用其测量值作为迭代初值。

7)根据估计的参数值进行过失误差的侦破与识别(即判断哪些变量的测量含有过失误差)：在本例中，按以下两种方式引入过失误差(数据由模拟产生，并加入随机误差和过失误差)：

(1)F₀，F₁和h₁中的过失误差分别为5σ，0,6σ。过失误差识别结果见表1，其中过失误差的值皆除以了相应的标准方差。

测量数据数目		F0	F1	h1
					400	真实值	5	0	6
估计值	5.024772	0.022074	6.032830

                                  表1

从上表中可知，F₁的过失误差估计值小于0.1σ，因此此变量不含过失误差。其它两个变量都含有过失误差，其误差幅度也与实际情况相符。

(2)F₀，F₁和h₁中的过失误差分别为5σ，-4σ，6σ。过失误差识别结果见表2，其中过失误差的值皆除以了相应的标准方差。

测量数据目	过失误差
				F0	F1	h1
	真实值	5	-4				6
100				5.157576	-3.857795	6.073309
	200	5.047497	-3.956482				6.045655
300				4.960213	-4.041364	6.010101
	400	5.024772	-3.977926				6.032830
800				5.019018	-3.980709	6.029189

                                        表2

从表2可知，随着测量数据数目的增加，过失误差的估计结果也更加准确，这样可以减小随机误差的影响。

通过上述实施例证明，本文所提出的过失误差识别方法能准确的识别出系统所含的多个过失误差。动态系统的过失误差可识别判据的证明1.1概念

过失误差的识别就是已知测量数据和过程的数学模型，需确定测量数据是否含过失误差并估计过失误差的值。过程的测量模型为：

x_m＝x+θ+ε                                                             (2)

其中，x_m，x，θ，ε分别为测量值，真实值，bias，随机误差。在下文中，所有的符号皆可为矩阵。

对任何系统，假设测量中不含随机误差，此时如果能唯一确定过失误差的值，则此系统是过失误差可识别的，这一特性称为过失误差的可识别性。过失误差的可识别性只与系统的特性有关，而与变量的具体测量值无关。

给定系统： $P_1:f(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}},x,y,u,z)=0---\left(3\right)$

其中，x，y，u，z皆为时间的函数。与变量x，u相关的测量设备可能含有过失误差，与变量y，z相关的设备不含过失误差。在变量x，u中，不知道具体哪些变量含过失误差。

定理：对给定的符号方程(x，y，u，z为符号)，

其中，δ_x，δ_u都是不随时间变化的参数(不是指过失误差)。当且仅当系统P₁是过失误差可识别的时候，符号方程(4)存在唯一解δ_x＝0，δ_u＝0。

证明：

采用反证法。对此系统，假设有一组测量值(x_m，y_m，u_m，z_m)，其中含有过失误差，且其对应的真实操作条件为x₁，u₁，即：

x_m＝x₁+θ_x1，y_m＝y₁，u_m＝u₁+θ_u1，z_m＝z₁                                      (5)其中，θ_x1，θ_u1为过失误差。

令x₂＝x₁+δ_x，u₂＝u₁+δ_u。如果δ_x，δ_u的解不唯一，则存在x₂，y₁，u₂，z₁也满足方程(3)。因为δ_x≠0，δ_u≠0，所以x₂≠x₁，u₂≠u₁，θ_x1-δ_x≠θ_x1，θ_u1-δ_u≠θ_u1。所以如果仅有测量值是不可能确定那种是真实工况。即，系统P₁不是过失误差可识别的。存在多种可能的过失误差组合，不可能确定那组过失误差值是真实情况。由于目前多数方法没有考虑到这种情况，因此它们不能有效的处理多个过失误差的情况。对实际含随机误差的系统此结论也成立。

如果δ_x，δ_u唯一，则可估计出θ_x1，θ_u1的值。即系统P₁是过失误差可识别的。对实际系统，随机误差只会影响到过失误差的估计值的准确性。1.2过失误差的可识别条件

在下文中，假设所有变量都含有过失误差，则可从系统P₁中消除变量y，z。考虑如下系统： $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x,u)---\left(6\right)$ 令 $\▿f=\left[\frac{\∂f}{\∂x}\frac{\∂f}{\∂u}\right]$ 。若f的列线性相关(即存在α使a^Tf＝0对任何x，u都成立)，则此系统是过失误差可识别的。若系统中含有代数方程，结论同样成立。1.3证明

对系统(6)，公式(4)变为：

采用反证法。对实际系统(6)，假设决策变量为[x₁u₁]，其它变量为[x₂u₂]，则： $x_2=g_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1,u_1),u_2=g_2(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1,u_1)---\left(8\right)$ 由(7)和(8)可得，下式对任何[x₁u₁]都成立。 $g_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1,u_1)+{\mathrm{\δ}}_{x2}=g_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1+{\mathrm{\δ}}_{x1},u_1+{\mathrm{\δ}}_{u1})---\left(9\right)$ $g_2(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1,u_1)+{\mathrm{\δ}}_{u2}=g_2(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1+{\mathrm{\δ}}_{x1},u_1+{\mathrm{\δ}}_{u1})$

1)假设所有的δ_x，δ_u都非0。若[δ_x1δ_u1]可以为离散值，则系统具有周期性。对实际系统，这是不可能的。所以[δ_x1δ_u1]可连续变化。对公式(9)微分可得： $\frac{{\∂\mathrm{\δ}}_{x2}}{{\∂\mathrm{\δ}}_{x1}}=\frac{{\∂g}_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1+{\mathrm{\δ}}_{x1},u_1+{\mathrm{\δ}}_{u1})}{{\∂\mathrm{\δ}}_{x1}},\frac{{\∂\mathrm{\δ}}_{x2}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{u1}}=\frac{{\∂g}_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},x_1+{\mathrm{\δ}}_{x1},u_1+{\mathrm{\δ}}_{u1})}{{\∂\mathrm{\δ}}_{u1}}---\left(10\right)$ 令y₁＝x₁+δ_x1z₁＝u₁+δ_u1则上式变为： $\frac{{\∂\mathrm{\δ}}_{x2}}{{\∂\mathrm{\δ}}_{x1}}=\frac{{\∂g}_1(\frac{{\mathrm{dy}}_1}{\mathrm{dt}},y_1,z_1)}{{\∂\mathrm{\δ}}_{x1}},\frac{{\∂\mathrm{\δ}}_{x2}}{\∂{\mathrm{\δ}}_{u1}}=\frac{{\∂g}_1(\frac{{\mathrm{dx}}_1}{\mathrm{dt}},y_1,z_1)}{{\∂z}_1}---\left(11\right)$

由于上式对任何y₁，z₁都成立，所以式(11)的右端项一定为常数。所以δ_x2δ_x1δ_u1线性相关。同理，δ_u2δ_x1δ_u1也线性相关。

2)如果不是所有的δ_x，δ_u皆为非0，则通过选择合适的决策变量，方程(9)的两边都有非0的δ_x，δ_u。则可获得同样的结论，即δ_x，δ_u的所有非0项线性相关。在下文中，δ_x，δ_u对应着非0项。令 ${\mathrm{\δ}}_{x2}=\left[A_1{A}_2\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{x1}\\ {\mathrm{\δ}}_{u1}\end{array}\right],{\mathrm{\δ}}_{u2}=\left[B_1{B}_2\right]\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{x1}\\ {\mathrm{\δ}}_{u1}\end{array}\right]$ ，从式(7)得 $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f(x_1+{\mathrm{\δ}}_{x1},x_2+{\mathrm{\δ}}_{x2},u_1+{\mathrm{\δ}}_{u1},u_2+{\mathrm{\δ}}_{u2})---\left(12\right)$ $=f(x_1+{\mathrm{\δ}}_{x1},x_2+A_1{\mathrm{\δ}}_{x1}+A_2{\mathrm{\δ}}_{u1},u_1+{\mathrm{\δ}}_{u1},u_2+B_1{\mathrm{\δ}}_{x1}+B_2{\mathrm{\δ}}_{u1})$ 因为上式对任何[δ_x1δ_u1]都成立，则 $\left[\frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\δ}}_{x1}}\frac{\∂f}{\∂{\mathrm{\δ}}_{u1}}\right]=0$ ，即 $\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂f}{\∂x_1}& \frac{\∂f}{\∂x_2}& \frac{\∂f}{\∂u_1}& \frac{\∂f}{\∂u_2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ A_1^T& A_2^T\\ 0& I\\ B_1^T& B_2^T\end{array}\right]=0---\left(13\right)$ 令 $\▿f=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\∂f}{\∂x_1}& \frac{\∂}{\∂x_2}& \frac{\∂f}{\∂u_1}& \frac{\∂f}{{\∂u}_2}\end{array}\right]$ ，则由公式(13)可得f的列线性相关。

结论：若f的列线性独立，则式(7)中δ_x，δ_u有唯一解，则系统为过失误差可识别的。小波方法将微分方程离散化2.1概述

首先需利用子波的多分辨率特性对微分算子进行展开。采用由ψ_jk(x)＝2^-j/2ψ(2^-jx-k)，j，k ∈Z                                             (14)构成的紧支集正交小波基，其相应的双尺度方程为

且子波的消失距为M，即 ${\∫}_{-\∞}^{\∞}\mathrm{\ψ}\left(x\right)x^m\mathrm{dx}=0,m=\mathrm{0,1},...,M-1---\left(17\right)$ 记微分算子为T，假定分解尺度为m，则采用算子T_m来逼近算子T：T≈T_m＝P_mTP_m：L²(R)→V_m                                                     (18)

这里，P_m是L²(R)到v_m上的投影算子，采用的子波分解尺度不同，近似算子也不同。则：上式的加和中，第一部分<f，_k，i>可由f的子波变换求得，若知道尺度函数与其导数的内积，则可求得_k，j的系数，从而通过子波逆变换可求得相应的近似导数T_k(f)。具体计算如下。微分算子展开的计算主要是利用下式进行。

上式的加和中，第一部分<f，_k，i>可由f的子波变换求得，若知道尺度函数与其导数的内积，则可求得_k，j的系数，然后通过子波逆变换可求得相应的近似导数。在计算中，假设原信号及其导数信号皆属于v₀空间。在实际的计算中，因为f皆为离散信号，则计算出的T_k(f)也为离散信号，这样即可将动态数据校正模型离散化，将微分方程转化为代数方程。算子展开的计算主要包括以下几个步骤：

1.对原信号子波分解至尺度k，可得系数F_k，i＝<f，_k，i>。

2.计算内积

3.计算R＝[r_i]与F_k的卷积，可得

4.对信号G_k进行子波逆变换，可得近似结果。

在实际计算过程中，通常采用F_0，i＝f_j，所以 存在如下关系： ${\left(\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dt}}\right)}_j=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{M}_{j,i}\&CenterDot;f_i$ ，由

于系数矩阵M的计算与具体的物理模型无关，因此微分算子的子波展开的实际计算与具体的过程模型无关，只需计算出系数矩阵M即可。2.2内积的计算

很明显，近似算子的求解关键在于尺度函数与其导数内积的计算。令 通过变量替换，可把尺度函数与其导数内积的计算转化为计算r_i：

由双两尺度方程可得：

$=2\underset{m}{\mathrm{\&Sigma;}}\underset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}{h}_m{h}_j{r}_{2i-j+m}$

对一阶微分算子，有： $\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}i\&CenterDot;r_i=-1---\left(24\right)$

联立求解方程23和24即可求得r_i，求得r_i即可计算得到相应尺度下的近似导数-即可以确定相应的近似算子。

在实际的计算过程中采用紧支撑的正交小波(Daubechies Wavelets)，选择其子波的消失距为2。其对应的r_i结果为：DB2子波的r_i

i        -2          -1            0            1           2

r_i -0.08333333  0.66666667  -0.00000000  -0.66666667  0.083333332.3导数信号的子波变换系数的计算

计算出尺度函数与其导数的内积之后，即可计算导数信号的子波变换系数。

则： $=\underset{i}{\mathrm{\&Sigma;}}{F}_{k,j}\&CenterDot;2^{-k}\&CenterDot;r_{j-i}$ 则计算R＝[r_i]与F_k的卷积即可求得导数信号的变换系数G_k。然后通过子波逆变换即可求得导数信号。

Claims (4)

1、动态系统的过失误差的侦破与识别方法，  其特征在于，它首先对动态系统的过失误差可识别性进行判断，然后假设所有变量均含有过失误差，并求解过失误差的估计模型，最后根据求解得到的过失误差值来最终判断哪些变量含有过失误差；该方法依次含有以下步骤：

1)动态系统过失误差可识别性的判断：

1.1)建立动态系统的数学模型： $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{du}}=f(x,u)$

其中x为含微分的变量，u为不含微分的变量，x、u均为向量形式；

1.2)判断该系统过失误差的可识别性：

求各变量的偏导数，得到偏导数矩阵： $\&dtri;f=\left[\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;x}\frac{\&PartialD;f}{\&PartialD;u}\right]$ 判断偏导数矩阵的列的线性相关性，若线性相关，则该系统的过失误差是不可识别的；若线性无关，则该系统的过失误差是可识别的，并开始进行求解过失误差估计模型的以下步骤；

2)在计算机中进行过失误差的求解过程：

2.1)假设所有变量均含有过失误差，其相应的过失误差的估计模型为： $\underset{x,u}{\min }{(x-x_m)}^T{V}_x^{-1}(x-x_m)+{(u-u_m)}^T{V}_u^{-1}(u-u_m)$ $\mathrm{st}.f(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}},x-{\mathrm{\&theta;}}_x,u-{\mathrm{\&theta;}}_u)=0$ 其中，V_x，V_u分别是x，u的方差矩阵，需要根据测量仪表的精度来给定，或通过测量数据估算；x_m和u_m分别是变量x、u的测量值，也是向量形式；θ_x，θ_u为待估计的过失误差；st指约束方程，表示校正结果需满足的数学模型；

2.2)分别读入各变量测量值x_m和u_m，并将该测量值消噪；

2.3)将2.1)步中过失误差估计模型中的微分方程离散化；

2.4)求解离散化后的过失误差的估计模型，得到所有变量所含有的过失误差值θ_x，θ_u；

3)根据过失误差值判断哪些变量含有过失误差：

将过失误差的估计值除以相应的标准方差，得到过失误差的“真实值”，并根据该“真实值”的大小来判断哪些变量含有过失误差。

2、如权利要求1所述的动态系统的过失误差的侦破与识别方法，其特征在于，在上述第2.2)步中，对测量值消噪采用的是小波消噪。

3、如权利要求1所述的动态系统的过失误差的侦破与识别方法，其特征在于，上述第2.4)步中求解离散化后的过失误差的估计模型，采用的是序贯二次规划算法。

4、如权利要求1所述的动态系统的过失误差的侦破与识别方法，其特征在于，上述第3)步中，当所述“真实值”小于等于0.1倍的变量方差时，则相应的变量测量不含有过失误差；当所述“真实值”大于0.1倍的变量方差时，则相应的变量测量含有过失误差。

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