CN1360712A - 用于对随时间变化系统和非线性系统建模的方法和系统 - Google Patents

Abstract

提供了用于生成具有随时间变化的部件、非线性部件或这两者的系统的简化模型的方法和系统。用差分方程来描述要加以建模的系统(100)。然后使系统的差分方程线性化(110),并且,获得线性化了的差分方程的频率域表达式(120)。生成频率域表达式的有限维表达式(130)并且通过krylov子空间投射来简化该表达式(140)。对简化的有限维差分方程求解(150),以便获得系统的简化模型。

Description

用于对随时间变化系统和非线性系统建模的方法和系统

发明领域

本发明在总体上涉及到对具有随时间变化部件、非线性部件或这两种类型的部件的系统进行建模，此外，本发明还涉及用于生成简化阶模型的方法和系统，所述模型能在模拟具有时随时间变化部件、非线性部件或这两种类型的部件的系统时使用。

发明背景

无线通信电路的日益增加的规模、复杂性和集成度使得精确地模拟系统层的性能成为了问题。模拟电路领域中具有挑战性的问题是模拟像开关滤波器、开关电源和相位锁定环路之类的时钟控制的模拟电路。这些电路如果用传统的技术进行模拟的话，从计算的角度上说是昂贵的，因为，这些电路都是按照一种其周期比设计者感兴趣的时间间隔小多个数量级的频率来进行时钟控制的。此外，射频电路、混合信号电路以及类似的电路不仅需要对模拟电路建模，而且需要对作为系统的模拟和数字电路的交互、以及模拟与数字电路之间的交互建模。这些产品需要复杂的芯片上系统的结构和系统集成，并按消费者市场所固有的严格和毫无宽限的时间要求交货。受消费推动的芯片设计和部署对设计者而言是有推动力的主要考虑。这些考虑包括：(1)设计成本和时间可能支配系统设计者的决策过程；(2)必须在可能的最高层抽象下获得设计；(3)下一代系统会需要比高复杂部件类型更多的中等复杂系统；以及，(4)很可能为平台专门开发芯片，而不是用独立开发的硅功能块来组合成芯片。

模型简化是指根据电路或系统的详细说明自动生成系统宏模型。这种宏模型可用于对过于复杂而无法在详细的组件层进行分析的工程设计进行快速的系统层模拟。简化方法的优点在于，由于宏模型是根据系统组件的详细物理描述生成的，故可在系统层上包括详细物理效果的影响。因此，简化方法的本质特征是按简化算法的正式分析对近似误差的彻底控制和评估。从系统层的设计角度看，自动宏模型生成的问题是令人感兴趣的，因为，如果可以抽取出系统组件块的小型的精确的简化阶模型，则与必须在详细层次上进行分析相比，可以模拟或检验一种设计或更复杂系统的更大的部分。根据对组件块的详细说明生成简化的模型的前景是吸引人的，因为，可评估第二阶设备效果或寄生组件对整个系统性能的影响。通过这种方式，可避免过于保守的设计规范。

就对模拟电互连而言，目前对抽取时间不变的集总(通常是被动的)组件的低阶模型有显著的兴趣。但是，存在有多种这样的系统，它们是非线性时间不变(LTI)的，但可以如线性随时间变化(LTV)那样精确地建模。例如，如果围绕随时间变化的大信号使非线性电路模型线性化，则最终获得的模型是线性随时间变化的。具体地说，许多RF组件(例如混频器和滤波器)均设计成在信号通路中有准线性响应，但可以对诸如切换的电容器滤波器或混频器的本地振荡器的时钟之类的其它激励作强烈的非线性响应。具有基频周期的RF电路还可分类成周期性随时间变化的线性(PTVL)系统。这种组件是用于LTV模型简化的主要候选组件。从以上的说明中可以看出，在现实世界中，可精确地建模成LTV的电路集合要远大于可描述为LTI的电路集合。

当前大多数对LTI模型简化的工作都隐含或明显地基于以投射为基础的构想。可通过将线性系统投射进低维子空间内而从完整的模型中获得简化模型。所选定的子空间决定了简化模型的大致属性。

目前普遍可接受的是：在LTI系统中，将投射子空间选择成为Krylov子空间是有效且高效率的。由于很容易计算Kryloy子空间，故会提高效率。通过指明投射进Krylov子空间对应于匹配拉普拉斯域变换函数的导数(力矩)，所述方法的有效性是积极的。以多点有理逼近为基础的方法周知是特别有效的。但是，不幸的是，用于随时间变化系统的模型简化很少受到注意。业已提出了平衡的截断方法，但是，如何有效地实现这些技术并不明确。

电路设计中的另一个问题包括对互连和寄生效果进行建模，所述效果在包括数字、模拟和混合信号设计在内的所有类型设计中是普遍的。因这些电路模型的规模和复杂性而导致的计算成本是检验这些设计中的主要瓶颈。所以，提供电路中这些互连和寄生效应的精确和小型宏模型的技术会提高整个设计的周期。

目前集成电路设计中两个趋势必已显示出设计检证中互连和寄生效果的重要性：向亚微米结构演化和电信/RF电路结构的快速增长。这些设计中高频和高组装密度的组合已使得用于电路模拟和时序检验的电路模型的规模和复杂性快速增加。所以，需要一种通用的工具去对这些线性电路模型提供精确和小型的简化阶宏建模，以便显著地改善电路模拟和时间检验的吐吞量，这就进而又会改善整个设计的周期。

最近，用于简化大规模线性系统的算法是以投射为基础的方法。诸如PVL、Arnoldi法和PRIMA之类的箅法可通过将描述LTI模型系统的线性等式投射进低维子空间而获得简化模型。所选定的子空间决定了简化模型的近似性质。大多数流行的算法利用Krylov子空间与合理近似之间的联系去开发具有与系统的频率域特征有已知关系的算法，以便在复数平面的多个点处匹配传递函数与其某些导数。线性简化算法对多种问题例如模拟RF系统中的电互连和噪声分析是有用的，但在其它情况下是完全无用的。例如，相邻信道功率比“ACPR”是以数字方式调制的RF传输系统的失真性质的品质因数，从而从定义上说需要使用非线性模型。微机电系统(“MEMS”)和电源系统也需要非线性宏建模方法。但是，就简化非线性系统而言，有非常少的结果可用。

发明概要

在一个实施例中，本发明涉及用于系统模型简化的方法，所述系统具有随时间变化的部件，这些部件可用随时间变化的微分方程来描述。上述方法能对诸如混频器和滤波器之类具有准线性信号通路但可具有很强的非线性响应的非线性RF块进行自动的抽取简化建模。

在另一个实施例中，本发明涉及用于系统模型简化的方法，所述系统具有非线性且随时间变化的部件，这些部件可用随时间变化的微分方程来描述。

在又一个实施例中，本发明涉及用于系统模型简化的方法，所述系统具有非线性且随时间变化的部件，这些部件可用随时间变化的非线性微分方程来描述。

附图简述

图1是使用周知模型简化技术的切换的电容滤波器对1KHz正弦曲线的响应图；

图2是本发明的当前最佳实施例的随时间变化系统模型的模型简化的方法的流程图；

图3示出了本发明的当前最佳实施例的对时间取样的切换的电容的传递函数的振幅；

图4说明了利用本发明的当前最佳实施例的过程所获得的接收机的宏模型；

图5说明了本发明的当前最佳实施例的对建模成具有随时间变化的线性响应的混频器的传递函数的响应图；

图6是本发明的当前最佳实施例的当前非线性系统模型简化方法的流程图；

图7是本发明的RF混频器在使用非线性系统模型简化的优选方法情况下的实际的和建模后的响应；以及

图8是当前优选的计算系统的图，所述系统能按本发明的当前优选实施例的模型简化方法进行操作。

附图详细描述

基于Krylov-子空间的投射方法一般按以下方式工作。考虑按微分代数形式写出的线性不随时间变化的多输入多输出(MIMO)线性系统。 $G\stackrel{\·}{x}=-\mathrm{Gx}+\mathrm{Bu}\left(t\right)$ y(t)＝D^Tx其中，C，G∈R^nxn；x(t)∈Rⁿ， $B\∈R^{\mathrm{nx}{n}_i},D\∈R^{\mathrm{nx}{n}_0},u\left(t\right)R^{n_0},y\left(t\right)\∈R^{n_0}$ ，n是系统的阶，n_i和n₀分别是系统输入和输出数目。

为简化起见，令C＝I，其中，I是单位矩阵。在进行了拉普拉斯变换以后，系统输出是y(s)＝D^T(sI+G)^-1Bu(s)。传递函数D^T(sI+G)^-1B在s下是有理函数并且可用诸如pade逼近式之类的有理函数来逼近。pade逼近式与大多数其它用于模型简化的逼近式相类似地具有将传递函数与其某些就s而言的导数相匹配的性质。

在一般情况下，可用下式获得有理逼近式： $\hat{C}\stackrel{\·}{z}\left(t\right)=-\hat{G}z+\hat{B}u\left(t\right)$ $y\left(t\right)=\widehat{D^T}z$ 其中， $\hat{C},\hat{G}\∈R^{\mathrm{rxt}};z\left(t\right)\∈R^r,\hat{B}\∈R^{\mathrm{rx}{n}_{1,}}D\∈R^{\mathrm{rx}{n}_0}$ 并且，在简化是有用的情况下rv＜＜n。可通过下式从投射矩阵L和T中获得简化的矩阵： $\hat{G}=L^T\mathrm{GT},\hat{C}-L^T\mathrm{CT},\hat{B}-L^{T}B,\hat{D}=T^{T}D----\left(1\right)$

就C＝I(以下结果普遍化)而言，请注意，传递函数的第k个导数或矩由D^TG(k+1)B给出。很明显，要生成的逼近式与作用于B的矩阵G^-1或作用于D的G^-T的幂相关。将矩与投射矩阵L，T相关联对模型简化过程来说是关键。以下的定义和定理使这些思想形式化。

定义1(Krylov子空间)  矩阵A和矢量p生成的阶为m的Krylov子空间K_m(A，p)是矢量组(P，Ap，A²p，……Am^-1p}所跨越的空间。

定理1(Krylov子空间逼近)如果L构成的列跨越了阶m的Krylov子空间Km(G^-T，D)，且T构成的列跨越了阶n的Krylov子空间Km(G^-T，B)，那么，简化的阶变换函数

与未简化的函数D^T(sI+G)^-1B的第一个m+n矩相匹配。

例如，在构成了Pade逼近从而因Lanczos算法与Pade逼近式之间的关系而与AWE技术等价的PVL算法中，L和T的选择是L^T＝WTG-1，T＝V，其中，W和V包含有双正交Lanczos矢量，并且，在以Arnoldi方法为基础的模型简化的一种变化形式中，L^T＝W^TG-1，T＝V，其中，V是由Arnoldi法生成的规范正交矩阵。W构成的列跨越Km(G^-T，D)，V构成的列跨越Km(G^-1，B)。

已经周知：直接根据Krylov基础本身L＝T＝V来采取投射矩阵。由于是正交投射，故如果完全的模型具有预定的结构属性(诸如稳定性和被动性)，则简化的模型会继承它们。应该注意，尽管在L＝T时有正交投射，但是，这种结果表示：尽管从计算的观点看将L和/或T构造成有规范正交的列是有用，但是L或T是正交的。

上述方法可扩展至多点逼近式，其中，传递函数及其某些导数在复数平面内的多个点处是相匹配的。在这种情况下，L和T必须包含在不同展开点处构造的Krylov子空间的并集。当展开点是复数的时，可利用以下事实来有效地获得实际模型即：如果u＝(I-sA)^-1p在Krylov空间内，就实数矩阵A而言，则u*是有效的。1、对线性随时间变化系统的说明

线性随时间变化的系统出现在多种情况下。就电子电路中，为了获得线性随时间变化电路的描述，首先写出描述电路的微分方程。可用诸如改进的节点分析之类的周知技术来形成电路描述。这种类型的电路描述具有下列的一般形式： $f\left(v^{\left(T\right)}\right)+\frac{d}{\mathrm{dt}}q\left(v^{\left(T\right)}\right)=u^{\left(T\right)}\left(t\right)----\left(2\right)$

其中，u表示输入源，v^(T)描述了节点电压，f是电压与电流之间的关系，函数q使电压与电荷(或通量)相关。b是这样的矢量，它描述从输入函数u到系统内部的映射。

方程2说明了带有上标T的电压v和输入变量u，以表示它们是能被分成两部分即大信号部分和小信号部分的整个量，以便获得LTV模型，

u^(T)＝u^(L)+u，v^(T)＝v^(L)+v，      (3)

通过围绕着v^(L)的线性化，可以获得下列形式的线性随时间变化的系统： $G\left(t\right)v+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(C\left(t\right)v\right)=\mathrm{bu}\left(t\right)----\left(4\right)$ 其中，

是随时间变化的传导性，

是电容矩阵，可获得小信号响应v。1.1.对线性随时间变化的系统进行分析

在以下的说明中，用手写体字母(A)表示连续的操作符，用大写字母(A)表示nxn复数矩阵的空间的成员Mn。下标表示在特定时间点或谐波频率下的矢量或矩阵变量，无下标的小写字母变量表示在时间或频率下标上的变量。也就是说，对于用M(离散)时间自由度(时间点或傅立叶谐波)表示的有N种状态的系统而言，A∈M_NM，A_t∈M_N，x_t∈R^N，x∈R^MN。

被开发出用于描述随时间变化的系统的Zadeh变量传递函数的形式化方法目前优选地被用于改进模型简化过程。但是，尽管以下说明了Zadeh的变量传递函数，但可按任何频率域传递函数来执行上述过程。在这种形式化方法中，可将响应v(t)写成随时间变化的传递函数和u(t)、u(w)的傅立叶变换的积的逆傅立叶变换。也就是说 $v\left(t\right)={\∫}_{\∞}^{-\∞}h(i{\mathrm{\ω}}^{\′},t)u\left({\mathrm{\ω}}^{\′}\right)e^{i{\mathrm{\ω}}^{\′}t}d{\mathrm{\ω}}^{\′}----\left(5\right)$

为了获得逐频率的响应，将u设置成单一频率输入u_ω′＝u_ωδ(ω-ω′)，并由此可以看出：

v(t)＝h(iω，t)u(ω)e^iωt               (6)

令s＝iω且将其替换进方程4，可获得用于变换函数h(s，t)的方程： $G\left(t\right)h(s,t)+\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(C\left(t\right)h(s,t)\right)+\mathrm{sC}\left(t\right)h(s,t)=b----\left(7\right)$ 定义： $K=G\left(t\right)+\frac{d}{\mathrm{dt}}C\left(t\right)C=C\left(t\right)----\left(8\right)$

它可更紧凑地写成

[K+sC]h(s，t)＝b      (9)

还可在时间步长为零时在极限情况下从有限的差分方程中或者从多元部分差分方程形式获得上述表达式。

方程9具有与LTI传递函数的频率域表达式例如D^T(sI+G)^-1相类似的形式。但是，它涉及连续操作符而不是有限维的矩阵。一般地说，由于h(s，t)来自集总线性系统，故它是带无限数量极点的有理函数。例如，在带有基频ω₀的周期性随时间变化的系统中，如果η是系统的极点(具体地说是Floquet乘数)，则η+kω₀是h(s，t)的极点，k为整数。这是因为，在随时间变化的描述信号可由谐波k从频率η-kω₀转换至η处的极点。1.2系统概念

1和1.1节中说明的形式化方法完全描述了响应任意外部输入的内部系统。但是，所有的系统还均通过输入和寄生效应与外部环境相交互。所以，需要使内部系统响应的详细差分方程描述与外部系统相关联。在LTI的情况下，D和B矩阵起这种作用。

随时间变化的系统也不同于LTI系统，因为，就可能的输入-输出映射函数的选择以及传递函数本身的选择而言，存在有显著的灵活性。在LTI的情况下，通常事先固定模型端口，这就会导致固定的输入-输出映射函数。恒定的矩阵对(D，B)的规范足以说明输入-输出映射。在随时间变化的情况下，这一点不再是足够的了。所以，为了描述输入-输出映射，应指定D和B矩阵或类似功能的矩阵。

但是，由于系统是LIV系统，故允许这些矩阵随时间变化是有用的。为了能看到这一点，请考虑切换的电容滤波器。模拟一个包含有71MOSFET的五极低通切换的电容滤波器，并计算对1kHz正弦波的非时间变化的线性响应。图1中示出了结果。锯齿状波形是滤波器的强非线性相对于时钟的结果。包容这种效果是建立随时间变化的模型的目标。作为对输入的响应，LTI系统会产生有相移的且按比例缩放的平滑正弦波。但是，滤波器的输出通常后面是跟随某一类函数(例如A/D转换器的样本/延迟)，这种函数废弃了某些小样本时间窗口之外的滤波器输出。为了在较高层次上对这种系统建模，希望有这样的简化阶模型，该模型能使连续的正弦输入与输出窗口相关联，所述电路将该输出窗口与它的输出(例如样本)相连并加以保持。

一般地说，在PTVL的情况下，最好在基本周期上指定D(t)和B(t)函数。尽管这似乎允许在选择D(t)和B(t)函数时有大的自由，但是，并不象它开始时表现出来的那样自由。在电路问题中，由于输出端口是固定的，故对某些周期性标量函数di(t)、bi(t)来说，D(t)和B(t)可以写作D(t)＝D[d1(t)，…，dni(t)]＝B[b1(t)，…，bn0(t)]。对TVL系统的当前最佳选择，特别是对于大多数谐波平衡码，d(t)、b(t)是单音频正弦波。在某些情况下，例如在混频器的情况下，这是一种自然的选择，但是，在一般情况下，d(t)、b(t)的选择并不那么简单。如果在输入或输出映射中多种谐波是感兴趣的，则纯音频选择是一种不好的选择。就切换的电容滤波器而言，可通过选择按调整之后的狭窄间隔对输出取样的d(t)而获得的自然的传递函数。2.对LTV系统的模型简化2.1获得离散的有理函数

由于对集总的随时间变化的系统而言随时间变化的函数是有理函数，故认为可从同类业已用于简化LTI系统的有理近似路径中获得简化模型是合理的。所以，要寻找对于有限维矩阵而言的传递函数的表示法。

为了获得离散的有理矩阵函数，使操作数K和C离散化。尽管通常不是正交的，这一步骤也是一种通过投射操作的模型简化，因为，大多数代码均使用了某种配位形式(BDF或伪频谱离散化)。一般地说，如第3节中说明的模型简化可直接从操作数的任何有限维表达式着手进行。

在RF应用中出现的PTVL系统中，在将输入-输出如何映射的说明包括进模型简化过程时，可引入与系统的时间变化有关的若干明确的假设。为了进一步简化实例，将SISO用作一般的情况。

在后向的欧拉离散化的实例中：

(K+sC)h(s)＝b    (10)

其中

并且

h(s)＝[h₁(s)h₂(s)…b_M]^T                    (13)

b＝[b₁ b₂…b_M]^T                         (14)

其中，G_j＝G(t_j)，C_j＝(t_j)，b_j＝b(t_j)，h_j(s)-h(s，t_j)。从理论上说，在这一点上，如果能适当地解释结果，则为简化集总LTI系统所研发的任何算法均可应用于方程11-14中所限定的矩阵和矢量。请注意，由于输入函数或基本矢量v_k表示时间波形，则简化的输入和输出函数b和d表示随时间变化的输入和输出映射。2.2保持系统结构

最近，已对研发用于被动LTI系统的能保持系统被动性的模型简化方法方面有显著的兴趣。与集总RLC的情况不同，本发明所考虑的随时间变化的模型不一定是被动的或者甚至是稳定的，因为，这些模型可从非线性系统的线性化中获得。的确，小信号增益可以是模型的需要的性质。但是，即使在随时间变化的系统中因其被动性或缺乏被动性而不能建立先验条件，当前优选的是：在模型简化过程中不会破坏基础系统至少在特定稳定性或被动性方面恰巧具有能改进计算效率的结构性质。在利用如第3节所述的规范正交矩阵进行正交投射时，可根据简化模型中继承诸如被动性之类属性的操作数的值域用自变量来表示该正交投射。3.逼近Krylov空间

可通过对有限差分方程求解来获得从小信号正弦波输入到输出的谐波下的正弦波的传递函数

其中，α(s)≡e^sT且T是基本周期。传递函数h(s，t)由h(s，t)＝e^-sT v(t)给出。

将K分解成下三角形和上三角形是方便的。利用L和R的表达式，方程式(15)变为 $(L+\mathrm{\α}\left(s\right)R)\tilde{v}=\tilde{b}\left(s\right)----\left(16\right)$ 如果将小信号调制操作数定义为Ω(s)，其中，Ω(s)是

则可作出以下标识 $h\left(s\right)={\mathrm{\Ω}}^H\left(s\right)\tilde{v}\left(s\right)----\left(18\right)$ 还有K+sC≌Ω(s)[L+α(s)R]Ω^H(s)    (19)方程19的左边和右边在处理小信号方面是不同的。左边表示频谱离散化，右边表示有限差分离散化。

为了针对某些右边的

求解方程16，首先考虑用矩阵L进行预处理。由于L是下三角形的并有小的块带宽，故在计算对矢量的逆作用时块高斯消除是很有效的。在这一过程中，一旦M对角线块进行了分解(这是必须精确执行一次的操作)，则逆反的每一次应用均是M个步骤的过程，在每个步骤中，需要用分解的对角线矩阵和乘以偏离对角线的块的乘法来进行反求。对于简单的向后欧拉离散化，每行中都有一个偏离对角线的块。经预处理的系统可写作 $(I+\mathrm{\α}\left(s\right)L^{-1}R)\tilde{v}=L^{-1}\tilde{b}\left(s\right)----\left(20\right)$

假定用诸如GMRES之类的以krylov子空间为基础的迭代法来求解方程20。GMRES中使用的krylov子空间最好是与用于模型简化的子空间不相同的Krylov子空间。这是因为，矩阵A的当前优选的krylov子空间对形式A→βI的变换是不变的，同样的Krylov子空间可用于在多个频点求解方程20。通过利用L^-1R的特定结构性质可以使这种“再循环的Krylov子空间”算法更有效，因为L^-1R的频谱与LTV系统的Flquet乘数相关。Krylov空间的再循环也会加快用不同的右边矢量的求解。但是，对直接的模型简化来说，有限差分公式化并不是优选的。

相反，对模型简化来说经得起检验的频谱离散形式不太便于处理(对比方程10和方程16)。即使使用三对角线预处理器，必须在各个不同的频点处重新构造预处理器(即必须重新分解对角线块)，不利用频率s下的变换保持最终的Krylov子空间。

为了解决以上问题，考虑在作为(K+sC)^-1的Krylov子空间的基础的、不是用于投射的矩阵V而是邻近矩阵的情况下会出现发生什么样的事情。由于有形成简化模型的方法，仅会将小误差引入最终的模型。只要不在极点附近评价模型，引入模型的额外误差总是小的。

这就暗示可用有限差分方程来获得模型简化过程中投射器的基础。由于所述基础会非常好地逼近频谱操作数的Krylov子空间，故仍可以获得良好的简化模型。此外，由于有再循环的Krylov方案，故从关于多个频点的展开式中获得投射器基本上不比单频点展开式昂贵。这就会导致所提出的模型简化算法即算法1。可以考虑采用Arnoldi算法，其中，用近似的线性求解器代替精确的求解器。

如果右边的序列具有彼此“邻近”的Krylov空间，则再循环的Krylov子空间迭代求解器以及块求解器一般比非块求解器更有效。为了说明为什么再循环对模型简化问题是非常有效的，考虑这样的简单情况：其中，C＝I且展开点在原点。在这种精确的情况下，将第k个阶投射器V_k构造成：

V_kK_k(K^-1，b)≡{b，K^-1b，K^-2b，...，K^-(k-1)b}    (21)

使用上式的算法如下所示：

                          算法I

            (近似的多点Krylov子空间模型简化)

                   set k＝1

                     for i＝1，...，n_q{

                        if j＝1 then

                           w＝b

                        else

                           w＝Cv_k-1

                        u＝Ω^H(s_i)[L+α(s_i)R]^-1Ω(s_i)w

                        for l＝1，...，k-1{

                           u＝u-v_t ^Tu

                        }

                        v_k＝u/||u||

                        k＝k+1

                        }

                        } $\hat{K}=V^T\mathrm{KV}$ $\hat{C}=V^T\mathrm{CV}$ $\hat{D}=V^{T}D$ $\hat{B}=V^{T}B$

以上所使用的预处理过程的另一种形式允许通过用矩阵k的内部Krylov迭代来获得模型简化过程中的各个矢量。然后，由于从用于某个m的Krylov空间(K，p，m)中抽取模型简化过程中各个新的右边u_i，故K_i(K^-1，b)空间中的下一项与Km(K，b)相关，由此可获得某种效率。事实上，可根据用于构造K^-1b的几乎相同的Krylov序列{b，Kb，…Kmb}(m＞g)来获得矢量K^-qb。因此，可以合理地认为可根据空间{b，Kb，…Kmb}来构造整个V_k，其中，m仅略微超过k。

对于当前优选的模型简化实现形式，GMRES算法的再循环的版本用作“块箱”，以便求解方式L+α(s_i)v_i＝p_i。由此，可在不必执行预处理、变换等的情况下自动地利用Krylov空间的性质。

参照图2说明一般TLV模型简化过程。首先，用差分方程例如方程2中的形式来说明电路或系统的随时间变化的部件，步骤100。针对差分方程的大信号分量对差分方程线性化，步骤110。通过应用传递函数来确定线性化的差分方程的频率域表达式，步骤120。确定线性化的差分方程的频率域表达式的有限维表达式，步骤130。最好通过使矩阵的操作数离散化而获得有限维的表达式，上述矩阵的操作数表示差分方程的操作数。用krylov子空间投射来简化表示有限维表达式的矩阵，步骤140。当前优选的是，用于krylov子空间的投射用的基础不是用于表示有限维表达式的矩阵的矩阵的基础，而是一个邻近矩阵的基础，所述邻近矩阵是上述矩阵的一种预处理版本。对近似的矩阵求解，以获得简化的模型，步骤150。4、随时间变化的线性系统的模型简化的实例

为了检验上述模型简化过程，在时间域RF电路模似器中实现了所提出的算法。用打靶法计算大信号周期稳定性状态。用可变的时间步第二阶向后差分公式来使随时间变化的线性系统离散化。

所考虑的第一个实例是前述切换的电容滤波器，它按25kHz的时钟频率运行。该例在电路模拟器中产生58个方程，并且，需要453个时间步来描述稳定状态的波形。使用解决周期性稳定状态问题时产生的同样时间步去使随时间变化的线性操作数离散化。对于模型简化过程而言，输入函数b(t)(见方程10)是恒定的，对应于滤波器输入处出现的连续正弦波输入。为了规定输出函数，使用了样本函数，该函数在循环开始的时钟脉冲前沿之前1μs的一个200ns时间段上是恒定的。最终的模型基本上是实际的LTI系统，它表示连续的模拟输入与取样的数字输出之间的传递函数。图3示出了简化模型的传递函数的振幅，它是是输入频率的函数。

图3示出了两个九状态模型。通过匹配原点处的九个实数矩而生成用虚线示出的模型。根据匹配原点处的三个实数矩和虚轴上200kHz、400kHz和800kHz的一个矩而生成实际等同于实际传递函数的点划线。由于这些展开点偏离实轴，故Krylov空间中的各复数矩会产生最终实际模型中的两种状态，它们对应于krylov矢量及其复数共轭值。可以看出，多点逼近是一种较好的匹配。

第二个实例是复数镜像抑制接收器。这种接收器是一种复杂的电路，带有若干个功能组件块(低噪放大器、分相网络、两个双平衡混频器以及两个宽带Hilbert变换输出滤波器)。整个电路具有167个双极性晶体管并能在电路模拟器中产生986个方程。对于时间域分析而言，需要两百个时间步，因此，矩阵K具有约200000的秩。

生成第十五阶实数值随时间变化的模型，以便表示从RF到输出的接收器转换路径。由于希望有从多个边带到混频器输出的模型，故用相邻的矩阵K^T去进行模型简化。在这种情况下，随时间变化的部件在最终模型内出现在LTI滤波器之前，如图4概略所示。如果随时间变化的部件放置在LTI组件之后，则使模型简化以k为基础是较便利的。混频部件使输入相对RF频率频移780MHz即混频器的LO频率。在这些部件之后是多输入LTI滤波器，图5示出了该滤波器的响应曲线。上述混频器的低边带抑制特征在模型中是明显的。如果在抑制载波DSP模拟器中使用上述模型，可简单地略去混频部件。

表1示出了用于简化模型抽取和评价的计算成本的统计值。应该注意，在滤波器实例中考虑了两百个频点，在混频器实例中考虑了五十个频点。在两个实例中，简化模型比单个频率扫描花费更少的抽取时间，并且，该评估更有效(事实上，代码中的总开销是足够的，因为，难以精确地确定在实际模型评估时消耗多少时间)。请注意特别是切换的电容实例的简化效率。随时间变化的模型具有为26274的秩，而且，在仅为7个CPU秒中生成简化模型。

再循环的krylov算法的效率是显著的。在滤波器的情况下，就九阶实数模型而言，在获得矩的再循项环GMRES过程中仅需要L-1的18项应用。需要其余的矩阵矢量乘(或反求)来执行投射或用于初始的预处理步骤。在GMRES更难以收敛的混频器实例中，为简化而需要124次反求，每个模型阶约为8次，这样仍然是良好的。

电路		MOR/再循环	MOR/Std	逐点
					SCF	MVP	45	99	410
简化	7s	12s	-
				求解		1s	S	1.5m
接收器	MVP	166	1980						280
				简化	4m	48m	-
	求解	2s	2s					8.5m

表1提供了随时间变化模型简化过程与逐点频率扫描的比较。可通过再循环GMRES算法来加速频率扫描。MVP是指利用矩阵L的等价实数-实数矩阵矢量求解。“简化”是按秒或分的模型简化时间，“求解”是获得频率响应所需的CPU时间。

以上在1-3节中说明了根据非线性随时间变化的晶体管级电路描述来抽取简单和小型宏模型的方法和系统。由于切换的电容和接收器实例作了证明，故这些模型能表示非常复杂的基本动态特性。可表示为线性随时间变化的一类系统是非常广泛的，所以，这里所提出的方法是一种潜在的有力分析和抽象工具。使用以多点Krylov子空间为基础的有理逼近以及内部近似再循环GMRES求解器似乎是一种特别的有协同作用的组合并且主要是对所述方法的效率负责。

实事上，多点逼近的优点是：当与再循环的GMRES求解器相关联时，它们在能使用非常低精度的逼近式解方面看起来更强有力。在来自再循环GMRES求解器的所请求的求解容差设置得很松时，会很快停止，以生成供模型简化投射空间使用的新矢量。移至另一个频率展开点会将新信息引入再循环求解器，并为模型简化投射产生新方向。

在这里描述了若干种LTV模型简化方法和系统的中间展开式。所述形式化方法和算法可以被扩展到准周期的小信号分析的情况。类型地，这里描述的方法可以直接加以应用，从而得到循环固定噪声传输函数。

参照本发明最佳实施例的用于生成非线性系统的简化阶模型的方法。

5.非线性系统以下考虑具有非线性状态演化功能的系统 $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=f\left(x\right)+\mathrm{Bu};y=\mathrm{Cx}----\left(22\right)$

其中，描述了非线性f：Rⁿ→Rⁿ。正式的投射方案可应用于这种方程的系统，以获得“简化的”模型 $\hat{E}\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}=V^{T}f\left(V_z\right)+\hat{B}u;\hat{y}=\hat{C}\hat{x}----\left(23\right)$

其中，EA∈R^nxn；x(t)∈Rⁿ是内部状态，B∈R^nxq，u(t)∈R^q是输入，y(t)∈R^q是输出，N是系统的阶，p和q分别是系统输入和输出的数目。

这种方法的第一个问题是：如何选择空间V是不明显的。基于对线性化模型进行分析的方法不包括与非线性属性有关的信息，所以不能直接加以利用。可以使用以状态空间x(t)的统计代表性抽样的奇异值分解为基础的试探法，但试探计算是大规模的并且不能控制模型精度。在理论上存在有基于平衡的过程，但不清楚它们是如计算的。

更重要的是，通常不能从项V^Tf(Vz)中抽取出简化的宏模型。总是能通过明确地构造出

而评价V^Tf(Vz)，从而评价非线性并通过与V^T的相乘而最终明确地投射到简化空间上。但是，除在特殊环境(例如大型线性子网)以外，如果在详细电路描述中有N个自由度，则评价全部模型需要0(N)次操作，并且，由于f是非线性函数且V通常可能不经过括号，故对简化模型的评价也需要0(N)次操作。对简化模型而言，最佳的是，需要“0(q)”次操作(q是模型的阶)以获得模型。也就是说，模型评价的成本仅与系统输入-输出关系的复杂性相关而不与基本系统的大小相关。例如，如果可用第四阶有理函数逼近LTI系统传递函数，则PVL算法通常可在与基本详细描述的规模无关的情况下获得一个其状态数不会大大超过四的简化模型。

这样，为了获得非线性系统的简化描述，通常需要简化非线性函数的复杂性。这一点可通过用较简单形式的函数去逼近非线性函数f(x)来加以实现。6.非线性系统的简化6.1多项式逼近法

考虑方程(22)的系统，该系统对说明分析(电路方程可以总是在可能奇异的E的情况写成Edx/dt=f(x)+Bu，并且，可直接扩展至这种情况)的基本方面是足够概括的。在许多情况下，可以在多维多项式的级数(诸如但不一定是多维泰勒级数)中展开f(x) $f\left(x\right)=\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\φ}}_k(x,\…x)----\left(24\right)$

其中，φ_k是K-多线性形式。也就是说，φ₁(x)在参数x的情况下是线性的并且可以写作矩阵φ₁(x)=A_lx，φ₂(x，x)表示二次项，等等．可用投影形式来形成简化模型，以便构造简化的

，因此 $\widehat{\mathrm{\φ}}(z,\…z)=V^T\mathrm{\φ}(V_z,\…,V_z)----\left(25\right)$ 可用Kronocker形式来获得k的具体表达式。具体地说，限定：x⁽¹⁾≡x          (26)x⁽²⁾≡xx       (27)x⁽²⁾≡xxx    (28)等等，f(x)的展开式是f(x)=A₁x⁽¹⁾+A₂x⁽²⁾+A₃x⁽³⁾+…    (29)因此 $\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=A_1{x}^{\left(1\right)}+A_2{x}^{\left(2\right)}+A_3{x}^{\left(3\right)}+\…+\mathrm{Bu}----\left(30\right)$

其中， 矩阵A_k表示按多维级数展开f(x)所需的K维张量。这些张量通常是非常稀疏的，并且，在这种情况下，如果N是矢量x⁽¹⁾的维数，则在O(N)次操作中可计算出A_k之一与矢量x^(k)的积。

利用多线性形式的这种实现形式，简化的多线性形式

可氖示为矩阵： ${\hat{A}}_k=V^T{A}_k(V\⊗V\⊗\…V)----\left(31\right)$

由于有Kronecker积恒等式，故方程31可写为

A_k(V_zV_z…V_z)=A_k(VV…V)(zz…z)    (32)6.2  变分分析

为了了解上述模型简化过程是多么容易地应用于利用多项式展开式描述的非线性系统，采用通常用于计算Volterra核心的变分过程。假定α被引入为变分参数，且将系统的响应

计算为α的函数。用α按幂级数展开上述响应

x(t)＝αx1(t)+α²x₂(t)+…           (33)很清楚：x⁽²⁾(t)＝α²x₁ ⁽²⁾+α³[x₁x₂+x₂x₁]+…      (34)x⁽³⁾(t)＝α³x₁ ⁽³⁾+…          (35)因此， $\mathrm{\α}{\stackrel{\·}{x}}_1\left(t\right)+{\mathrm{\α}}^2{\stackrel{\·}{x}}_2\left(t\right)+\…=\mathrm{\α}{A}_1{x}_1+{\mathrm{\α}}^2[A_1{x}_2+A_2(x_1\⊗x_1)]+\…----\left(36\right)$

通过比较变分参数α的项，可以获得一组描述每一个x_k的时间演进的差分方程，每个方程都是N维的： ${\stackrel{\·}{x}}_1=A_1{x}_1+\mathrm{Bu}----\left(37\right)$ ${\stackrel{\·}{x}}_2=A_1{x}_2+A_2(x_1\⊗x_1)----\left(38\right)$ ${\stackrel{.}{x}}_3=A_1{x}_3+A_2[x_1\⊗x_2+x_2\⊗x_1]+A_3[x_1\⊗x_1\⊗x_1]----\left(39\right)$ 等等。6.3模型简化

回顾方程37-39，可以看出，描述第一阶响应的系统是标准的状态空间系统。为了获得该系统的模型，可计算出带有起始矢量的Krylov子空间，该空间是由B的列空间给出的。描述第二阶响应的系统也是一个带有同样的系统矩阵A的标准状态空间系统，该系统仅有不同的输入。为了获得与上述响应的第二阶分量的频率响应相匹配的简化模型，必须跨越向第二阶系统的输入的krylov空间。向第二阶系统的输入是“平方的”第一阶响应的A₂倍。目前的关键点是，如果用从投射器矩阵V₁获得的简化模型来适当地描述第一阶系统，则向第二阶系统的输入必须位于A₁(V₁V₁)的列空间内。从而，为了获得能提供第二阶响应的模型的空间V2，计算出其列是Kq((s0E-A)^-1E、(s₀E-A)^-1B)的基础的V₁。用于非线性展开式的较高阶的过程与其相类似。

上述描述还给出了某种理解，以严格线性信息为基础的简化模型是有用的。如果一个可能是根据krylov K(A₁ ^-1，B)而生成的空间V具有在多线性形式之一的范围上的小投影A_k(V_jV_j…V_j)，则最终的简化模型不可能是对第k阶响应的良好逼近。保证精确的非线性表示的唯一途径是在上述简化过程中明确包括与较高阶非线性项有关的信息。相反，如果A_k(V_jV_j…V_j)的跨距已包含在V的跨距内，则最好通过执行[V1V2…]的奇异值分解并用最终的单个V来“紧缩”在较高的阶获得的空间V_k，以便进行投射。在匹配较高阶非线性的频率域响应时，紧缩对获得合理大小的模型来说特别重要，因为，严格地说，所需项的数量会随多项式的展开式的阶而以指数方式增长(就如同Volterra核心的自由度的数量增长那样)。

最后，值得注意的是，上述分析可用于普通的操作点。具体说，通过采用根据获得随时间变化的系统的简化阶模型所描述的过程，可获得随时间变化的弱线性模型简化过程。这种方法基本上与随时间变化的Volterra核心的“矩”相匹配。因此，该模型可用于预测周期或半周期性操作的RF电路中的交叉调制变形和其它非线性效应。

参照图6，利用非线性差分方程描述了非线性系统或电路，步骤200。然后将差分方程展开成一系列多维差分方程，这每个方程均表示非线性系统或电路的独立谐波响应，步骤210。用Krylov子空间投射法对最低阶差分方程生成模型，步骤220。用Krylov子空间投射法把在步骤220生成的简化阶模型用作为下一个最低阶模型的模型简化的输入。对各阶差分方程组顺序地重复上述过程，步骤240。7.非线性系统的模型简化的实例

作为一个实例，在图7中使用了RF混频器的模型简化的演示。RF混频器的第一、第二和第三阶响应是信号输入频率的函数。完整系统的响应被显示为实(o)曲线，简化模型被显示为虚(+)曲线。计算出主要的上变换响应以及因失真所产生的头两项(上述形式中的第二和第三阶响应)。请注意，通过测定频率域中的失真(本质上是非线性现象)，可以分离出线性和非线性分量的贡献，以便提供电路响应。图7示出了原始系统与在频率域数列展开式中匹配第一和第二阶非线性直至第四和第二阶的频率响应所需的38维简化模型的比较。谐波平衡用于计算原始和简化系统的响应。生成简化模型需要约四倍于生成初始操作点的计算时间并且比在同一组频率点处对详细电路进行的线性随时间变化(即第一阶小信号)分析少的计算时间。对第一和第二阶的项观察到良好的一致性，令人感兴趣地是，还非常好地捕获到第三阶响应。即便对这种较小的电路而言，与诸如多频谐波平衡(或以包封为基础的模拟)之类的捕获在有周期性本地振荡器情况下由单频导致的畸变所需的详细模拟方法相比，上述模型简化过程在计算复杂性方面会导致更多阶数的简化。

上述带有随时间变化的操作点的非线性电路的模型简化的方法与计算操作点本身的成本相比具有适度的计算要求，并且是以基于熟悉的Krylov子空间的投射过程为基础的。

参照图8，计算机系统300包括系统总线310、处理器315、存储器设备320、固定盘接口330、固定盘340、显示器接口350、显示器360、总线接口370、输入380和390以及网络通信接口400。

存储器设备320存储数据和程序。在与固定盘接口330一道操作的情况下，固定盘340也存储数据和程序。但是，存储器设备340具有比固定盘330更快的存取速度，而固定盘340通常有比存储器设备320更高的容量。

在本发明中，用于执行图5和图7所示的步骤的指令以及上述方法及其变化形式可存储在存储器设备320或硬盘340内。通过处理器315可执行上述程序。通过这种方式，可将计算设备编程成能执行本申请中所述的模型简化的步骤和功能。

尽管业已说明了本发明的实施例、应用和优点，但是，在不偏离本文所述的发明概念的精神的情况下，可以有更多的实施例、应用和优点。应仅根据后附的权利要求的精神来限制本发明，而不是由最佳实施例、说明书或附图来限制本发明。

Claims (24)

1、一种生成具有随时间变化组件的系统的简化阶模型的方法，该方法包括：

生成多个差分方程，它们描述系统的随时间变化的组件；

通过执行上述多个差分方程的傅立叶变换而获得前述描述系统的随时间变化的组件的多个差分方程的频率域表达式；

使描述系统响应的前述多个差分方程的频率域表达式离散化；以及

确定前述多个差分方程的频率域表达式的离散化的近似值，其中，通过将从上述多个差分方程的频率域表达式中获得的矩阵投射到Krylov子空间上而生成上述近似值。

2、如权利要求1的方法，其特征在于，所述矩阵包括系统的随时间变化的方程的频谱离散化。

3、如权利要求1的方法，其特征在于，所述确定近似值的步骤包括下列步骤：生成与上述矩阵基本上相等价的矩阵，上述近似值是通过将上述基本上等价的矩阵投射到Krylov子空间上而生成的。

4.如权利要求3的方法，其特征在于，所述基本上等价的矩阵包括前述多个差分方程的频率域表达式的有限维离散化。

5、如权利要求3的方法，其特征在于，所述确定近似值的步骤包括下列步骤：

将前述多个差分方程的频率域表达式的离散化分解成分量矩阵；

用调制操作数矩阵来乘以分量矩阵，以便获得有限的差分离散矩阵；以及

投射上述有限的差分离散矩阵，以便获得上述近似值。

6、如权利要求1的方法，其特征在于，所述使前述多个差分方程的频率域表达式离散化的步骤包括形成上述多个差分方程的频率域表达式的有限差分离散化，并且，上述生成近似值的步骤包括通过将表示频率域表达式的有限差分离散化的矩阵投射到Krylov子空间上而确定该近似值。

7、如权利要求1的方法，其特征在于，所述通过将从上述多个差分方程的频率域表达式中获得的矩阵投射到Krylov子空间上而确定近似值表达式的步骤包括下列步骤：利用再循环的GMRES求解器去确定矩阵在Krylov子空间上的投影。

8、如权利要求1的方法，其特征在于，所述方法还包括下列步骤：在第一频率确定近似值的响应，并在第二频率确定近似值的响应。

9、如权利要求1的方法，其特征在于，所述多个差分方程包括大信号分量和小信号分量，所述方法包括在大信号分量周围使小信号分量线性化这样的步骤，所述生成上述多个差分方程的频率域表达式的步骤包括获得线性化了的小信号分量的频率域表达式，并且所述确定上述频率表达式的近似值的步骤包括确定线性化了的小信号分量的频率域表达式的近似值。

10、如权利要求1的方法，其特征在于，所述系统建模成具有非线性响应。

11、如权利要求10的方法，其特征在于，所述生成多个差分方程的步骤还包括确定上述多个差分方程的多项式展开式并确定多个与上述多个差分方程的多项式展开式相对应的带阶差分方程，

所述确定上述多个差分方程的频率域表达式的步骤包括确定多个传递函数表达式，其中每个表达式均对应于多个带阶差分方程，而这些方程则与上述多个差分方程的多项式展开式相对应，并且，确定上述近似值的步骤包括顺序地对于上述多个频率域表达式中的每一个确定简化阶模型，每个简化阶模型均是通过将下一个较高阶的差分方程的结果作为输入提供给差分方程的各个阶而确定的。

12、一种生成具有随时间变化组件的系统的简化阶模型的方法，该方法包括：

生成多个差分方程，它们描述具有随时间变化的输出的系统，所过所个差分方程包括大信号分量和小信号分量；

在大信号分量周围使差分方程的小信号分量线性化，以便获得线性化了的小信号差分方程；

通过对线性化了的小信号差分方程进行傅立叶变换而确定小响应方程的频率域表达式；以及

如线性化的小信号差分方程的频率域表达式所确定的那样，通过确定与电子电路的频率响应相对应的随时间变化的矩阵的近似值而确定线性化的小信号差分方程的频率域表达式的近似值。

13、如权利要求12的方法，其特征在于，所述确定近似值的步骤包括生成随时间变化的矩阵的Krylov子空间投影。

14、如权利要求12的方法，其特征在于，如线性化的小信号差分方程的频率域表达式所确定的那样，所述随时间变化的矩阵对应于一个近似的随时间变化的矩阵，该矩阵与系统的频率响应相对应，并且，所述确定近似值的步骤包括生成上述随时间变化的矩阵的的近似值的Krylov子空间投影。

15、如权利要求13的方法，其特征在于，所述基本上等价的矩阵包括前述多个差分方程的频率域表达式的有限维离散化。

16、如权利要求15的方法，其特征在于，所述确定近似值的步骤包括下列步骤：

将前述多个差分方程的频率域表达式的离散化分解成分量矩阵；

用调制操作数矩阵来乘以分量矩阵；以及

投射调制操作数矩阵乘以上述分量矩阵的结果，以便获得上述近似值。

17、如权利要求13的方法，其特征在于，所述使前述频率域表达式离散化的步骤包括形成上述频率域表达式的有限差分离散化，并且，上述生成近似值的步骤包括通过将表示频率域表达式的有限差分离散化的矩阵投射到Krylov子空间上而确定该近似值。

18、如权利要求12的方法，其特征在于，所述通过将从上述频率域表达式中获得的矩阵投射到Krylov子空间上而确定近似值表达式的步骤包括下列步骤：利用再循环的GMRES求解器去确定矩阵在Krylov子空间上的投影。

19、用于生成具有非线性组件的系统的简化阶模型的方法，该方法包括：

接收电路描述，该描述对应于具有非线性响应的电路的组件级净列表；

获得非线性稳定状态差分方程，它们对应于具有非线性响应的电路的响应；

获得上述非线性稳定状态差分方程的传递函数表达式；

生成上述传递函数表达式的多项式展开式，该多项式展开式包括多个带阶的差分方程；以及

通过确定用于上述多个带阶差分方程中的每一个方程的简化阶模型而确定多项式展开式的近似值，其中，用于上述多个带阶差分方程中的每一个带阶差分方程的简化阶模型是从下一个较低阶差分方程中获得的简化阶模型，并且，所述有限维表达式包括计算出的较低阶差分方程的简化阶模型。

20、如权利要求19的方法，其特征在于，所述确定近似值的步骤包括下列步骤：生成与从频率域表答式中获得的矩阵基本上相等价的矩阵，上述近似值是通过将上述基本上等价的矩阵投射到Krylov子空间上而生成的。

21、如权利要求20的方法，其特征在于，所述基本上等价的矩阵包括前述多个差分方程的频率域表达式的有限维离散化。

22、如权利要求20的方法，其特征在于，所述确定近似值的步骤包括下列步骤：

将前述多个差分方程的频率域表达式的离散化分解成分量矩阵；

用调制操作数矩阵来乘以分量矩阵；以及

投射调制操作数矩阵乘以上述分量矩阵的结果，以便获得上述近似值。

23、如权利要求19的方法，其特征在于，所述使前述多个差分方程的频率域表达式离散化的步骤包括形成上述多个差分方程的频率域表达式的向后欧拉离散化；并且，所述生成近似值的步骤包括将表示频率域表达式的向后欧拉离散化的矩阵投射到Krylov子空间而确定该近似值。

24、如权利要求19的方法，其特征在于，该方法还包括下列步骤：在第一频率确定近似值的响应，并在第二频率确定近似值的响应。

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