CN1258846A - 等效电路的测量方法 - Google Patents

Abstract

一种等效电路的测量方法,包括以下步骤:a.将输入电压输进待测系统且测出反射信号,并将该反射信号分段为相隔的至少一均匀传输线区段与至少一集总元件区段;b.将第一段的反射信号及输入电压转换为入射波、反射波;c.由传输线逐层萃取法得到均匀传输线区段的特征阻抗值,再得到其后相接的集总元件区段的入射波与反射波;d.将集总元件区段由入射波与反射波得到反射系数步阶响应;e.将步阶响应转换成电子电路;f.利用该集总元件区段的电子电路求进入下一区段的均匀传输线的入射波与反射波;g.重复c至f直到所有反射信号的区段得出特征阻抗值或电子电路。

Description

等效电路的测量方法

本发明是一种检测方法，尤其是指一种可检测出系统的电气特性的检测方法。

由于高速数位系统中时计频率(clock frequency)不断提高，相对地讯号上升时间(rise time)缩短；加上数位电路愈来愈普遍应用更小电压摆幅(low-swing)的元件诸如GaAs MESFET，因此，芯片以外的电路(off-chipcircuitry)对系统工作效率与准确性便显得愈来愈重要。过去元件与电路板的连结在低频率工作时，均被视为单纯短路；而现在，随着工作频率的提高，传输线所造成的讯号延迟(delay)、波形改变(waveform degradation)和讯号耦合(cross talk)等高频效应愈来愈显著，甚至可能使得电路误动作。所以，在系统电路设计之初，若能了解这些传输线的电路特性，将其纳入电路设计的条件，便能省却系统电路设计周期中许多查错与修改过程，进而降低生产成本。

现有对于不连续连接电路或接脚的测量固有数种方法进行，但皆仅可使用在简单的不连续电路或接脚的测量，对于高频效应的测量，则仍有欠缺，现析述如下：

请参阅S.Diamond and B.Janko所著《Extraction of Coupled SPICEModels for Packages and Interconnects》(International Test Conference，Paper20.1，pp.1-13，Oct.1993.)。Diamond利用TDR响应并对时间轴积分，求得IC构装接脚(pins)的SPICE等效模型，包括单根接脚自感(self inductance)、自容(capacitance to ground)，多根接脚互感(mutual inductance)、互容(mutualcapacitance)。由于在时间轴作了积分，这种方式可以得到总电感与电容，对低频讯号已相当足够，但是无法精确描述在高频时整个电路特性，如趋肤效应(skin effect)、波形失真(wave distortion)、时域延迟(time delay)等现象。

若是针对非耦合或耦合传输线模型，在时域上逐层拮取传输线特征阻抗的方法(Layer Peeling Transmission Line Synthesis)，请参阅S.C.Burkhart andR.B.Wilcox所著《Arbitrary Pulse Shape Synthesis Via Nonuniform Trans-mission Lines》(IEEE Trans.Microwave Theory Tech.，vol.38，pp.1514-1518，Oct.1990.)。对于那些串联阻抗随位置变化平缓的电路，这项技术可以准确的拮取。若未知电路的阻抗变化太大或有集总元件在其中，则通常要数十段等长的传输线串联，才能重建该电路的等效模型。由于所得出的等效电路会含有许多不同阻抗的短传输线段，用来描述原待测结构特性及进行电路模拟时均十分繁琐且效率甚差。

再请参阅J.M.Jong and V.L.Tripathi所著《Time-Domain Characterizationof Interconnect Discontinuities in High-Speed Circuits》(IEEE Trans.Comp.，Hybrid，and Manufact.Technol.，vol.15，pp.497-504，Aug.1992.)及J.M.Jong，L.A.Hayden and V.L.Tripathi所著《Time-Domain Characterization of CoupledInterconnects and Discontinuities》(IEEE MTT-S Digest，1994.)及J.M.Jong，B.Janko，and V.L.Tripathi所著《Time Domain Characterization and CircuitModeling of a Multilayer Ceramic Package》(IEEE Trans.Comp.，Packaging，and Manufact.Technol.-Part B，vol.19，pp.48-55，Feb.1996.)。现有技术文献指出，Jong针对特定的电路如九十度转折的微带线及T型接合点(Tjunction)、等宽平行传输线与渐近阻抗变化平行传输线，分别找出他们的传输线等效模型，并将明显不连续位置以该处附近传输线阻抗对时间积分得到电感，导纳(admittance)对时间积分得到电容。这种方法可以改善逐层拮取法的缺点，但仍无法精确描述不连续处的高频效应。

又，请参阅张以昀《从时域测量建立等效电路的研究》(台湾大学硕士论文)。其中，作者引申逐层拮取法，将每段等效电路分为一段均匀传输线与单一集总电路(电感或电容)组合。拮取方式为将TDR信号与步阶信号源利用FFT(Fast Fourier Transform)转换至频域(frequency domain)，并求取工作频率的集总元件和直流(f＝0)时传输线的特征阻抗，至于传输线的延迟时间则为每段时域反射响应的一半。由其提到对单转折与双转折微带拮取等效电路所模拟的TDR响应，有很好的相似性，仅最大最小响应在时间上与原先测量有一些差异。然而这种分析方法，还是无法拮取耦合等效电路。

对于一些无法以单纯传输线段描述的电路，请参阅「S.D.Corey and A.T.Yang，＂Interconnect Characterization Using Time-Domain Reflectometry＂，IEEETans.Microwave Theory Tech.，vol.43，pp.2151-2156，Sept.1995.」。Corey引用了对未知电路脉冲响应模态(mode)的拮取方式。这种处理方式是以所测得TDR/TDT响应转换为时域的S参数，再找出主要的电路等效模型。这个等效模型包含了阻抗与电流源。然而，拮取的结果，无法辨别或限制非物理极点的产生，即使偶尔得出实部为正的极点，这样的S参数会对暂态分析造成极大的困扰，因为随着时间增加，S参数会发散。

本发明的目的在于提供传输线系统等效电路的测量方法，其可用于了解这些传输线系统的电路特性，以供后续电路设计者模拟与预测电路效能，并在系统电路设计周期中实行侦错与修改，进而降低产品生产成本，而且，能对不连续连接电路找出在高频或低频时的电路特性，进而建构出适当的电路模组(model)，此外，其还可预测各种电性表现。

依据上述目的，本发明的主要特征在于：该方法结合了等效传输线萃取法与集总元件模态拮取法，以及利用矩阵束法来拮取有限模态并可降低计算误差的干扰，同时利用时域反射测量(time domain reflection measurement，TDR)和时域穿透测量(time domain transmission measurement，TDT)再加上适当的电路拮取方式，便可以把传输线的电路等效模型取出，并利用电路模拟程式(SPICE)中的元件显示，以供后续电路设计者模拟与预测电路效能；本方法应用实际连接器的测量，能得出该连接器的等效电路模式的，可代表连接器所造成不连续点或不均匀阻抗的电气特性。

依据上述特征，本发明等效电路的测量方法包括有以下步骤：

a.将输入电压输进待测系统，且测出反射信号，并将该反射信号分段为相隔的至少一均匀传输线区段与至少一集总元件区段；

b.将第一段的反射信号及输入电压转换为入射波、反射波；

c.均匀传输线区段的特征阻抗值可由传输线逐层萃取法得到，且得到其后相接的集总元件区段的入射波与反射波；

d.将集总元件区段由入射波与反射波得到反射系数步阶响应；

e.将该集总元件区段取得的步阶响应转换成电子电路；

f.利用该集总元件区段的电子电路，求得进入下一区段的均匀传输线的入射波与反射波；

g.重复c至f直到所有反射信号的区段拮取出特征阻抗值或电子电路。

本发明与现有技术相比，其优点在于：其可用于了解这些传输线系统的电路特性，以供后续电路设计者模拟与预测电路效能，并在系统电路设计周期中实行侦错与修改，进而降低产品生产成本，而且，能对不连续连接电路找出在高频或低频时的电路特性，进而建构出适当的电路模组(model)，此外，其是利用时域测量的方式，建立萃取传输线的等效电路的方法，进而预测各种电性表现。

下面结合附图和实施例对本发明作进一步的说明。

图1是本发明的模拟电路传输线系统。

图2是本发明的时域响应图，其中实线与虚线分别代表不同的输入信号V_s(t)，所造成的时域响应。

图3是本发明的传输线逐层萃取法均匀传输线分段示意图

图4A是本发明的类步阶信号的时域响应图，其中横轴为取样次数，纵轴为电压(V)。

图4B是本发明的类步阶信号的周期化信号。

图5是本发明的实际时域分析仪测量TDR响应的装置。

图6A是本发明的去除均匀传输线的测量等效电路图。

图6B是本发明的实数极点的电感性单元。

图6C是本发明的实数极点的电容性单元。

图6D图是本发明的复数极点的串联电路单元。

图6E是本发明的复数极点的并联电路单元。

图7A是本发明的实数极点的电感性单元串联等效电路。

图7B是本发明的实数极点的电容性单元并联等效电路。

图8是本发明的复合式等效模型。

图9是本发明的复合式等效模型拮取分段示意图。

请参阅图1，如图所示为本发明的模拟电路传输线系统，V_s与R_s分别为时域分析仪装置的输入电压及等效电阻，而0.4伏特的步阶函数为该时域分析仪装置的输入电压。将时域分析仪装置V_s信号送进待测系统---模拟电路传输线系统，可测得反射信号V_tdr，该反射信号为传输线系统与时域分析仪装置间的反射信号。请再参阅图2，其为图1的时域响应图，其输入电压为V_s(t)，时域分析仪测出的信号为V_tdr(t)，而这些响应图分成实线与虚线两组信号，其分别代表针对不同上升时间(rising time)的输入电压为V_s(t)，所产生的响应V_tdr(t)。然后，利用下列的步骤，便可求出该模拟电路的等效电路。

首先，第一步骤：将V_tdr(t)、V_s(t)利用(1)及(2)式转换为入射波a₁、反射波b₁(详后述)。然后，第二步骤：传输线区段的特征阻抗值Z_i可由传输线逐层萃取法得到区段内Z_i平均值，至于TD_j为前段传输线与其后集总元件段反应时间和的一半。并得到入射波a_j+1与反射波b_j+1，为其后集总元件区段的入射波与反射波(详后述)。

一非均匀特征阻抗传输线，分为N+1段相同电气长度(electrical length)的均匀阻抗传输线。每一段的特征阻抗(characterestic impedance)为Z(x)，其上的电流I(x，t)，电压V(x，t)。为了便于分析，将电流、电压信号转换为入射波(incident wave)与反射波(reflected wave)两个成分的总和，定义如下： $a(x,t)=\frac{1}{2}[\frac{V(x,t)}{\sqrt{Z\left(x\right)}}+I(x,t)\sqrt{Z\left(x\right)}]----\left(1\right)$ $b(x,t)=\frac{1}{2}[\frac{V(x,t)}{\sqrt{Z\left(x\right)}}-I(x,t)\sqrt{Z\left(x\right)}]----\left(2\right)$

请参阅图3，每段传输线相接处，a_i ⁺为位置x_i+ε的入射波大小；a_i ^-为位置x_i-ε的入射波大小，其中ε→0。至于反射波大小b_i ⁺与b_i ^-分别有如前所述位置定义。

考虑电压、电流在x＝x_i处连续， $\sqrt{Z_{i-1}}(a_i^{-}+b_i^{-})=\sqrt{Z_i}(a_i^{+}+b_i^{+})$ (3) $\sqrt{Z_i}(a_i^{-}-b_i^{-})=\sqrt{Z_{i-1}}(a_i^{+}-b_i^{+})$

其中i＝1，2，3，…，N。

定义反射系数(reflection coefficient) $S_i=\frac{Z_i-Z_{i-1}}{Z_i+Z_{i-1}}----\left(4\right)$

可以解得通过介面x＝x_i的入射波a_i ⁺与反射波b_i ⁺ $\left[\begin{array}{c}{a}_i^{+}\\ b_i^{+}\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-S_i^2}}\left[\begin{array}{cc}1& -S_i\\ -S_i& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_i^{-}\\ b_i^{-}\end{array}\right]----\left(5\right)$

假设，通过时域分析仪上的测量，可以得到的电压V(t)与电流I(t)，则此接面前的入射波与反射波可以定为部分定值(piecewise-constant)的函数表示为 $a_1^{-}=\frac{1}{2}[\frac{V\left(2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}\right)}{\sqrt{Z_0}}+I\left(2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}\right)\sqrt{Z_0}],\mathrm{for}2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}\&le;t<2\mathrm{j\&Delta;t}---\left(6\right)$ $b_1^{-}=\frac{1}{2}[\frac{V\left(2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}\right)}{\sqrt{Z_0}}-I\left(2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}\right)\sqrt{Z_0}],\mathrm{for}2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}\&le;t<2\mathrm{j\&Delta;t}----\left(7\right)$

其中j＝1，2，3，…，N，且Δt＝Δx/v，v为波传播速度(wave propagationvelocity)。

接着，将既是时间，又是位置函数的入射波与反射波简化为以下表示 $a_{i,j}^{-}=a(x=\mathrm{i\&Delta;x}-\mathrm{\&epsiv;},t=(i+2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}))$ $a_{i,j}^{+}=a(x=\mathrm{i\&Delta;x}+\mathrm{\&epsiv;},t=(i+2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}))$ $b_{i,j}^{-}=b(x=\mathrm{i\&Delta;x}-\mathrm{\&epsiv;},t=(i+2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}))$ $b_{i,j}^{+}=b(x=\mathrm{i\&Delta;x}+\mathrm{\&epsiv;},t=(i+2(j-1)\mathrm{\&Delta;t}))$ (8)

其中ε→0，这种表示方法，是将传输线分成电气长度Δt的段落，每段内特征阻抗一样，但将为时间函数的入射波与反射波分成电气长度的段落，每个段落内大小一致。这是因为在x＝x_i造成的反射波到达时域分析仪的时间2Δt之后，x＝x_i+1接面的反射波才会到达时域分析仪。

所以，改写(5)式 $\left[\begin{array}{c}{a}_{i,j}^{+}\\ b_{i,j}^{+}\end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{1-S_i^2}}\left[\begin{array}{cc}1& -S_i\\ -S_i& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_{i,j}^{-}\\ b_{i,j}^{-}\end{array}\right]---\left(9\right)$

假设没有初始直流电压在传输线的情况，b_i，1 ⁺＝0，代入上式， $S_i=\frac{b_{i,1}^{-}}{a_{i,1}^{-}}----\left(10\right)$

最后考虑x＝x_i与x＝x_i+1两个接面入射波与反射波的关系， $a_{i+1,j}^{-}=a_{i,j}^{+},\mathrm{forj}=\mathrm{1,2,3},...,N-i$ (11) $b_{i+1,j}^{-}=b_{i,j+1}^{+},\mathrm{forj}=\mathrm{1,2,3},...,N-i$

上式很清楚显示波在阻抗为Z_i的段落行进Δx距离只是时间±Δt的关系(入射波为-Δt，反射波为+Δt)。

总之，对一个没有初始直流电压的传输线的阻抗分布关系(impedanceprofile)的萃取，可分为以下步骤：

I.一开始为Z₀，i＝1以及(6)及(7)式部分定值分段的入射波与反射波。

II.由(10)解出S_i，并以此代入(4)解出Z_i。

III.由步骤(II)的S_i，利用(9)式解出第i段传输线上每一个时刻的入射波与反射波成分，即a_i，j ⁺与b_i，j ⁺，j＝1，2，3，…，N+1-i。

IV.利用(11)解出下一段的入射波a_i+1，j ^-与反射波b_i+1，j ^-。

V.i增加1(i＝i+1)，重复步骤(II)到(V)直到i＝N，则Z_i(i＝1，2，…，N)即为所欲拮取出的各段传输线特征阻抗。

现在，考虑将一步阶电源V_s输入系统，可测得V_tdr，并可以得出电流。利用上面的步骤，即可得到传输线系统的每一段的阻抗分布、入射波与反射波。

由上一、二步骤可得到均匀传输线系统的阻抗分布，其中阻抗变化较大的区段，可视为及集总元件区段，这些集总元件可进一步经第三步骤(详后述)：由入射波a_j与b_j利用(23)式而得到反射系数脉冲响应s_im，并由(24)及(25)式得到反射系数步阶响应s(t)。

在介绍此步骤前，先简介类步阶波形傅立叶转换：

为了得到不连续点的S参数模态，需将入射与反射波作快速傅立叶转换(fast Fourier transform，FFT)。然而，无法对V_s(t)与V_tdr(t)作快速傅立叶转换，因为将V_s(t)数位化(discretized)成N点并周期化后，若V_s((N-1)Δt)、VS(NΔt)有明显的不连续情形，对此周期信号作一般FFT势必引入高频成份。

因此利用下列的方法，求出类步阶信号V_tdr(nΔt)的频率响应。请参阅图4A，f(t)为一类步阶函数，时间轴为0到T，定义g(t)如图4B所示，则g(t＝2T)＝g(t＝0)为连续周期函数

其中u(.)为单位步阶函数(unit step function)，则g(t)的傅立叶转换(Fourier transform)表为

G(f)＝F(f)(1-exp(-j2πfT))                     (13)

其中F(f)为f(t)的傅立叶转换。将频率f数位化，其中Δf＝1/(2T)为基本频率(fundamental frequency)，则g(t)的频谱(spectrum)G(f)可数位化成

因为无穷延伸的步阶信号是没有平均值的，但是缺少此项，无法进行反快速傅立叶转换(inverse Fourier transform)。因此在不失一般性的情况，就考虑在TDR测量时，步阶电源为周期T波如g(t)，则令

F(0)＝G(0)

最后，重新整理此一改良FFT对(pair)：

其中FFT[]为一般快速傅立叶转换，N为信号取样点总数为2的幂次(powerof2)。

由电阻、电感与电容等集总元件所合成的电路，在数学上可以由线性常系数微分方程式(linear constant-coefficient differenfial equation)来描述。因此，这个电路的S参数的脉冲响应(impulse response)便可用下式表示 $s_{\mathrm{im}}\left(t\right)=b_0\mathrm{\&delta;}\left(t\right)+b_1{e}^{p_{L}t}+...+b_M{e}^{p_{M}t},\mathrm{real}\left(p_i\right)\&le;0---\left(17\right)$

其中b_i为电路余数(residues)，p_i为转移函数(transfer function)的极点(poles)，M为模态数(mode number)。

考虑分布电路(distributed circuit)，理论上，应该有无限多个模态数，但在有限频宽下，可以找出有限M个模态来等效该电路的S参数。又，由于δ(t)为一无限频宽的函数，在现实测量中并不存在，将分布电路的S参数化简为 $s_{\mathrm{im}}\left(t\right)=b_1{e}^{p_{L}t}+b_2{e}^{p_{2}t}+...+b_M{e}^{p_{M}t}---\left(20\right)$

由一、二步骤可得到 $a\left(t\right)=\frac{1}{2}(\frac{V_{\mathrm{tdr}}\left(t\right)}{\sqrt{Z_0}}+I\left(t\right)\sqrt{Z_0})---\left(19\right)$ $b\left(t\right)=\frac{1}{2}(\frac{V_{\mathrm{tdr}}\left(t\right)}{\sqrt{Z_0}}-I\left(t\right)\sqrt{Z_0})----\left(20\right)$

得到入射波a及反射波b，间隔Δt取样，数位化后 $a\left(n\right)=\frac{V_s\left(n\right)}{2\sqrt{Z_0}}---\left(21\right)$ $b\left(n\right)=\frac{1}{2\sqrt{Z_0}}[2V_{\mathrm{tdr}}\left(n\right)-V_s\left(n\right)]----\left(22\right)$

经前述的FFT得到S₁₁(kΔf) $S_{11}\left(k\right)=S_{11}\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)=\frac{B\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)}{A\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)}=\frac{\mathrm{FFT}\left[b\left(n\right)\right]}{\mathrm{FFT}\left[a\left(n\right)\right]}----\left(23\right)$

再转换为时域参数，即s参数脉冲响应(impulse response)s_im(t)＝s₁₁(nΔt)＝s₁₁(n)。然而，使用有限频宽的入射电源，在t＝0处依然有一个近似于δ(t)的结果，若以(18)来等效，M必定远超过一个模态。因此，外加一个截止频率(cutoff frequency)为V_s频宽的低通波器对s₁₁(n)进行滤波，这是考虑到A(kΔf)与B(kΔf)在高频的大小均趋于0，相除之后，使得S₁₁(kΔf)趋近于1或超过1。然而，经过滤波器后，s₁₁(s)即再增加q个极点(q为滤波器的阶数，order)。

由于减少模态数的前提，并且善加利用TDR测量特性，即TDR响应所得到反射波b(n)本为步阶响应(step response)，故考虑s参数的步阶响应s_s(t)定义为 $s_s\left(t\right)={\&Integral;}_0^t{s}_{\mathrm{im}}\left(\mathrm{\&tau;}\right)\mathrm{d\&tau;}----\left(24\right)$

并令待测物之后接匹配阻抗(50Ω)，步阶响应在时间无穷大时为0， $\underset{t\&RightArrow;\&infin;}{\lim }{s}_s\left(t\right)=0----\left(25\right)$

由第三步骤可求出反射系数脉冲响应s_im及反射系数步阶响应s(t)。再利用第四步骤：由矩阵束法得到模态数M，及对应余数b_i，极点p_i，i＝1，2，…，M(详后述)。

在数学定义中，若有两个函数在某区间通过一个参数结合在一起，如f(t)+zg(t)，则此结合函数称为以z为参数由函数f及g所形成的束形函数(pencilof function)，若将函数推广至矩阵，如Y₂-zY₁，则此结合矩阵为矩阵束(matrix pencil)。即是利用矩阵束法(Matrix-Pencil Approach)拮取集总元件的模态。

对于一个暂态响应的取样点信息，如得到集总元件的反射系数步阶响应 $s\left(k\right)=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{b}_i{z}_i^k,z_i^k=\exp \left(p_i\mathrm{k\&Delta;t}\right)----\left(26\right)$

其中k＝0，1，2，…，N-1，N为取样点数，M为模态总数(modenumber)，b_i为i模态复数的余数(residues)，或称该模态的复数系数，p_i为该模态极点(poles)，为取样间隔(sampling interval)，而z_i为Z平面(Z-plane)下的极点。若s(k)为实数(real value)函数，对于复数极点，则b_i和p_i个别都成复数共轭对(complex conjugate pairs)。

考虑以下信息向量(information vectors)

y₀，y₁，y₂，…，y_L                          (27)

y_i＝[s(i)，s(i+1)，s(i+2)，…，s(i+N-L-1)]^T

其中右上标T为矩阵转置(transpose)。以上向量，可以组合成二个矩阵Y₁和Y₂，分别为

Y₁＝[y₀，y₁，y₂，…，y_L-1]                  (28)

Y₂＝[y₁，y₂，y₃，…，y_L]

再将Y₁、Y₂重组可以得到

Y₁＝Z₁BZ₂                                   (29)

Y₂＝Z₁BZ₀Z₂

其中 $Z_1=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& ...& 1\\ z_1& z_2& ...& z_M\\ :& :& ...& :\\ z_1^{N-L-1}& z_2^{N-L-1}& ...& z_M^{N-L-1}\end{array}\right]---\left(29\right)$ $Z_2=\left[\begin{array}{cccc}1& z_1& ...& z_1^{L-1}\\ 1& z_2& ...& z_2^{L-1}\\ :& :& ...& :\\ 1& z_M& ...& z_M^{L-1}\end{array}\right]---\left(30\right)$

Z₀＝diag[z₁，z₂，z₃，...，z_M]                       (31)

B＝diag[b₁，b₂，b₃，...，b_M]                        (32)

依照以上对Y₁、Y₂的矩阵分解(decomposition)，可以知道若Z平面极点{zi；i＝1，2，3，…，M}为矩阵Y₂-zV₁的特征值(eigenvalue)，即Y₁、Y₂、Y₂-zY₁，实际上维度(rank)只有M，而当z是z_i其中之一时，Y₂-zY₁的维度会降了1阶。

通常，取样点N要大于2M，然而在未知模态数情形下，要有足够多的取样点，为了要求得特征值z，定义 $Y_1^{+}{Y}_2=Z_2^{+}{B}^{-1}{Z}_1^{+}{Z}_{1}B{Z}_0{Z}_3=Z_2^{+}{Z}_0{Z}_2----\left(33\right)$

其中上标+表广义逆矩阵(psudo-inverse)，-1为一般逆矩阵。

于是，存在n个向量{p_i；i＝1，2，3，…，M}，使得 $Y_1^{+}{Y}_1{p}_i=p_i----\left(34\right)$

且 $Y_1^{+}{Y}_2{p}_i=z_i{p}_i----\left(35\right)$

则p_i为相对于z_i的特征向量(eigenvector)。

利用奇异值分解法(singular value decomposition，SVD)分解，来找出广义逆矩阵Y₁ ⁺ $Y_1=\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\mathrm{\&sigma;}}_i{u}_i{v}_i^H=\mathrm{UD}{V}^H----\left(36\right)$ $Y_1^{+}=V{D}^{-1}{U}^H----\left(37\right)$

其中

 U＝[u₁，u₂，u₃，…，u_M]，  V＝[v₁，v₂，v₃，…，v_M]

且D＝diag[σ₁，σ₂，σ₃，…，σ_M]

上标H表示共轭转置(conjugate transponse)，U、V分别为使Y₁Y₁ ^H与Y₁ ^HY₁对角线化的单位矩阵(unitary matrix)，D为奇异值矩阵(matrix ofsingular value)，除对角线为奇异值外，其余元素均为0。

对于计算到的s(k)，由于数值运算的误差通常带有高频的干扰，这些高频模态必须要去除。除去的方法是决定Y₁的M个最大奇异值σ₁≥σ₂≥σ₃≥…≥σ_M，其余则视为受到杂讯干扰的信号，取为σ_M+1＝σ_M+2＝…＝σ_N＝0，M即为要求s(k)的模态数。将(37)代入(35)。

(D^-1U^HY₂V-z_iI)V^Hp_i＝0                        (38)

可以得到特征值z_i，余数p_i，并由所得到的特征值z_i解形成矩阵Z₁ ⁺，和信息向量y₀可得模态系数b_i

B＝Z₁y₀                                       (39)

本发明在拮取有限模态数的情形下，其判定标准为σ_M′+1＜σ₁/30，即初步决定模态数M′，当取出的模态系数

即以前M个最大系数绝对值|b_i|以及其相对应的极点p_i为所需要的模态的系数与极点。

由矩阵束法得到模态数M、对应余数b_i及极点p_i后，为了帮助电路的模拟，因此需将上述的参数转换成电子电路。于是，本发明的第五步骤是利用等效电路合成(Equivalent Circuit Synthesis)的方式得到电子电路的元件值。

时域测量可得知，电感性不连续效应，在不连续位置电压(反射波)提高；电容性不连续位置电压(反射波)下降。请参阅图5，如图所示为实际时域分析仪测量TDR响应的装置。由于待测物(DUT)前后连接的均匀传输线，对TDR响应只是时间轴上的延迟，因此，可以将传输线去除，等效为图6A，其中V_s为步阶电源，V_tdr为TDR响应。由于对连接器而言，DUT在直流稳态时全通，因此可以假设出一些合理的电子电路组合形态。当转移函数具有实数极点时，电路形态可设为图6B、图6C，若转移函数具有复数极点时，电路形态可设为图6D、图6E。这样的电路单元所组合的等效电路，在直流时，使得DUT没有损失。

设Z_in(s)为入射端看入的阻抗(s-domain impedance) $Z_{\mathrm{in}}\left(s\right)=\frac{V_{\mathrm{tdr}}\left(s\right)}{I\left(s\right)}=Z_1\frac{V_{\mathrm{tdr}}\left(s\right)}{V_s\left(s\right)-V_{\mathrm{tdr}}\left(s\right)}----\left(40\right)$

则 $\underset{s\&RightArrow;0}{\lim }{Z}_{\mathrm{in}}\left(s\right)=Z_2----\left(41\right)$

为DUT右端所接传输线的特征阻抗。

定义DUT的反射系数 $H\left(s\right)\&equiv;\frac{V_{\mathrm{tdr}}\left(s\right)-V_{\mathrm{tdr},0}\left(s\right)}{V_i\left(s\right)}----\left(42\right)$

其中V_tdr，0为除去DUT所得到的TDR响应，

为入射电压。因为

且 所以 $H\left(s\right)=2[\frac{Z_{\mathrm{in}}}{Z_{\mathrm{in}}+Z_1}-\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}]----\left(43\right)$

显示 ，也就是说，通过此种定义方式后，修正的DUT时域脉冲响应的直流稳态值会趋近于零。

由(24)，可定义DUT的步阶响应 $s_s\left(s\right)\&equiv;\frac{1}{s}H\left(s\right)----\left(44\right)$

将s_s(s)逆转换为时间的函数，利用前述的矩阵束法可以将时间函数变成如(18)式右边的形式，也就是原s_s(s)可以利用下列的部分分式和表示 $s_s\left(s\right)\&cong;\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{b_i}{s+p_i}----\left(45\right)$

因此由(40)、(41)及(42)可得 $Z_{\mathrm{in}}\left(s\right)=Z_1\frac{\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}+\frac{\mathrm{sS}\left(s\right)}{2}}{\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}-\frac{\mathrm{sS}\left(s\right)}{2}}----\left(46\right)$ 考虑(46)中实数极点与复数极点，可以分为A、B两部分来讨论：A、实数极点b_i、g_i均为实数，则由于(41)，把(46))式表示为 $Z_{\mathrm{in}}\left(s\right)=\frac{Z_2+\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{s}^i}{1+\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_i{s}^i}=Z_2+s\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{h_i}{s+g_i}----\left(47\right)$ 利用部分分式分解的方法，可以将Z_in(s)分解为

其中N+P＝M，第I部份所有因式中分子h_i＞0；第II部份所有因式中分子h_i＜0。

I.考虑第I部份(h_i＞0)，则等效电路可表示如图7A所示的N个电感性单元串联，且元件值为 $R_i=h_i,L_i=\frac{R_i}{g_i}----\left(49\right)$

II.考虑第II部份(h_i＜0)，显然无法以上述电路等效，改采并联的电容性单元，其等效电路如图7B所示，为了得到元件值，较方便的方式为定义输入导纳 $Y_{\mathrm{in}}^P\left(s\right)\&equiv;\frac{1}{Z_{\mathrm{in}}^P\left(s\right)}=\frac{1}{Z_2+s\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{h_i}{s+g_i}}=\frac{1+\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}{d}_i{s}^i}{Z_2+\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}{c}_i{s}^i}---\left(50\right)$ 分解(50)式 $Y_{\mathrm{in}}^p\left(s\right)=\frac{1}{Z_2}+s\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{k_i}{s+m_i}---\left(51\right)$

对上式所有k_i＞0的项，可作为图7B所示的等效电路，其元件值可表示 $R_i=\frac{1}{k_i},C_i=\frac{1}{m_i{R}_i}---\left(52\right)$

至于(51)式中其余k_i＜0项，则应再取倒数为等效阻抗，并重复(48)式及I、II步骤，直到M个电路单元得出。

B、复数极点b_i、g_i均成复数共轭对，则(5)式可表示为 $S\left(s\right)\&equiv;\underset{i=1}{\overset{M/2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{b_i}{s+p_i}+\frac{b_i^{*}}{s+p_i^{*}}=\underset{i=1}{\overset{M/2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{b_{\mathrm{li}}s+b_{0i}}{s^2+p_{1i}+p_{0i}}----\left(53\right)$

同时(46)式 $Z_{\mathrm{in}}\left(s\right)=Z_2+s\underset{i=1}{\overset{M/2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{q_{i}s+h_i}{s^2+k_{i}s+m_i}$

其中q_i、h_i、k_i、m_i均为实数，N+P＝M，第III部分所有因式的分子h_i＞0；第IV部分因式的分子h_i＜0。

III.考虑第III部份，则等效电路可以图6D复数极点串联电路单元取代图7A的电感性单元，元件值分别为 $L_i=\frac{h_i}{m_i},R_{L_i}=\frac{h_i}{k_i-\frac{q_i}{L_i}}$ (55) $R_{C_i}=\frac{1}{\frac{1}{q_i}-\frac{1}{R_{L_i}}},C_i=\frac{R_{L_i}}{h_i(R_{L_i}+R_{C_i})}$

IV.考虑第IV部份(h_i＜0)，改采图6E复数点并联电路单元并联等效，取代图7B中并联电容性单元，定义输入导纳 $Y_{\mathrm{in}}^P=\frac{1}{Z_{\mathrm{in}}^P\left(s\right)}=\frac{1}{Z_2+s\underset{i=1}{\overset{P/2}{\mathrm{\&Sigma;}}}}=s\underset{i=1}{\overset{P/2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\frac{v_{i}s+r_i}{s^2+u_{i}s+n_i}+\frac{1}{Z_2}---\left(56\right)$

其中v_i，y_i，u_i，n_i均为实数，则各个并联电路单元元件值分别为 $C_i=\frac{r_i}{n_i},R_{C_i}=\frac{1}{r_i}(u_i-\frac{v_i}{C_i})---\left(57\right)$ $R_{L_i}=\frac{1}{v_i}-R_{C_i},L_i=\frac{R_{L_i}\&CenterDot;v_i}{C_i\&CenterDot;n_i}$ 至于(56)中其于r_i＜0项，应再取倒数为等效阻抗，并重复(54)式与III、IV部份，直到 个电路单元求出。

上述第五步骤的主要目的在于将系统的特性参数转换成等效电路，而在求出系统的特性参数的过程中，并无其他影响。

为了求出传输线系统的下一区段的均匀传输线的入射波与反射波，再利用第六步骤：使用集总元件区段的转移矩阵(详后述)，求得下一区段均匀传输线的入射波与反射波。

如图8所示集总元件区段，j点已知入射波a_j(t)反射波b_j(t)，定义向量 $\left[\begin{array}{c}{a}_j\left(t\right)\\ b_j\left(t\right)\end{array}\right],0\&le;t<T_j$

其中T_i为集总元件区段TDR响应时间。

利用前述的FFT得到 $\left[\begin{array}{c}{a}_j\left(t\right)\\ b_j\left(t\right)\end{array}\right]\&RightArrow;\left[\begin{array}{c}{A}_j\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)\\ B_j\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)\end{array}\right]---\left(58\right)$

其中0≤t＜T_j，k＝0，1，2，3，…，

由(19)及(20)式知道入射波与反射波对于j点电压电流关系可以定义 $\left[\begin{array}{c}{A}_j\\ B_j\end{array}\right]=\frac{1}{2\sqrt{Z_{j-1}}}\left[\begin{array}{cc}1& Z_{j-1}\\ 1& -Z_{j-i}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_j\\ I_j\end{array}\right]=\left[M_j\right]\left[\begin{array}{c}{V}_j\\ I_j\end{array}\right]---\left(59\right)$

集总元件前端与下一段均匀传输线的电压电流关系 $\left[\begin{array}{c}{V}_{j+1}\\ I_{j+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_j\\ I_j\end{array}\right]=\left[W_j\right]\left[\begin{array}{c}{V}_j\\ I_j\end{array}\right]---\left(60\right)$

其中[w_j](ABCD矩阵)视第五步骤得到的集总元件模式决定。因此，j+1点的入射波可以决定 $\left[\begin{array}{c}{A}_{j+1}\\ B_{j+1}\end{array}\right]=\left[M_{j+1}\right]{\left[W_j\right]}^{-1}{\left[M_j\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{A}_j\\ B_j\end{array}\right]=\left[T_j\right]\left[\begin{array}{c}{A}_j\\ B_j\end{array}\right]---\left(61\right)$

其中[T_j]＝[M_j+1][W_j]^-1[M_j]^-1即为集总元件区段的转移矩阵。再利用前述的IFFT可以得到下一区段传输线的入射波a_j+1及反射波b_j+1 $\left[\begin{array}{c}{A}_{j+1}\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)\\ B_{j+1}\left(\mathrm{k\&Delta;f}\right)\end{array}\right]\&RightArrow;\left[\begin{array}{c}{a}_{j+1}\left(t\right)\\ b_{j+1}\left(t\right)\end{array}\right],0\&le;t<T----\left(62\right)$

可重复上述的第二步骤、第三步骤、第四步骤、第五步骤及第六步骤，而将个传输线系统的等效电路拮取出来。

本发明是一复合逐层等效模型拮取法，其结合两种方法，包括：传输线逐层萃取法和模态拮取法，前者对于平稳变化传输线有良好的拮取准确性；后者对可能是集总或复杂的电路可得到其等效电路模型。

由TDR响应V_tdr可分段为相隔的传输线区段与集总元件区段，共计k段，分别对应于图9的复合电路等效模型各个区块。令第1段为传输线区段，则本发明的拮取步骤如下：

I.将V_tdr(t)、V_s(t)利用(1)及(2)式转换为入射波a₁、反射波b₁。

II.传输线区段的特征阻抗值Z_i可由传输线逐层萃取法得到，为区段内Z_i平均值，至于TD_j为前段传输线与其后集总元件段反应时间和的一半。并得到入射波a_j+1、反射波b_j+1为其后集总元件区段的入射波与反射波。

III.集总元件区段，由入射波a_j与b_j利用(23)式而得到反射系数脉冲响应s_im，并由(24)及(25)式得到反射系数步阶响应s(t)。

IV.由矩阵束法得到模态数M，及对应余数b_i，极点p_i，i＝1，2，…，M。

V.利用等效电路合成得到集总元件值。

VI.并以集总元件区段的转移矩阵求得下一区段均匀传输线的入射波与反射波。

重复II、III、IV、V、VI直到k段等效电路均拮取出来。

Claims (15)

1.一种等效电路的测量方法，其特征在于该等方法包括以下步骤：

步骤一：将输入电压输进待测系统，且测出反射信号，并将该反射信号分段为相隔的至少一均匀传输线区段与至少一集总元件区段；

步骤二：将第一段的反射信号及输入电压转换为入射波、反射波；

步骤三：均匀传输线区段的特征阻抗值可由传输线逐层萃取法得到，且得到其后相接的集总元件区段的入射波与反射波；

步骤四：将集总元件区段由入射波与反射波得到反射系数步阶响应；

步骤五：将该集总元件区段取得的步阶响应转换成电子电路；

步骤六：利用该集总元件区段的电子电路，求得进入下一区段的均匀传输线的入射波与反射波；

步骤七：重复步骤三至步骤六直到所有反射信号的区段拮取出特征阻抗值或电子电路。

2.如权利要求1所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤一所测出的反射信号需要经过校准的步骤。

3.如权利要求2所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述反射信号变化较小的区域可分割成均匀传输线的区域。

4.如权利要求3所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤五是先将取得的步阶响应，利用矩阵束法求出模态数，及对应余数及极点，再转换成电子电路。

5.如权利要求4所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤五是利用集总元件区段的转移矩阵，求得下一区段均匀传输线的入射波与反射波。

6.如权利要求5所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步阶响应是运用等效电路合成方法转换成电子电路。

7.如权利要求6所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤一的反射信号是由时域反射测量测出。

8.如权利要求7所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述模态数M及其余数的绝对值|b_i|，具有一适当的系数a，使得有下列的关系 $\left|b_{M+1}\right|\underset{i=1}{\overset{M}{<\mathrm{\&alpha;}\&CenterDot;}}\mathrm{Max}\left[\right|b_i\left|\right].$

9.如权利要求8项所述的等效电路的测量方法，其中该系数a为0.1。

10.一种等效电路的测量方法，包括以下的步骤：

步骤一：将输入电压输进待测系统，且测出反射信号；

步骤二：将反射信号及输入电压转换为入射波、反射波；

步骤三：由入射波与反射波得到反射系数步阶响应，且利用矩阵束法求出模态数，及对应余数及极点；

步骤四：将求出的模态数，及对应余数及极点转换成电子电路。

11.如权利要求10所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤一所测出的反射信号需要经过校准的步骤。

12.如权利要求11所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤四是利用将模态数，及对应余数及极点转换成电子电路。

13.如权利要求12所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述步骤一的反射信号是由时域反射测量测出。

14.如权利要求13所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述模态数M及其余数的绝对值|b_i|，具有一适当的系数a，使得有下列的关系 $\left|b_{M+1}\right|<\underset{i=1}{\overset{M}{\mathrm{\&alpha;}\&CenterDot;}}\mathrm{Max}\left[\right|b_i\left|\right].$

15.如权利要求14所述的等效电路的测量方法，其特征在于：所述系数a为0.1。

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