CN1244634A - 一种在摩擦减少的轮船中分析气泡的摩擦减少效应的方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种在巡航的舰船中的气泡流域中,气泡在表面摩擦减少中的作用的分析方法。基于从沿轮船表面的液流方向和与船壁表面方向成直角的方向的气泡运动求出的作用在气泡上的阻力ΔR_v,在流域中由气泡产生的剪切力减少量τ_t在高频带区获得。根据可操作壁常数k₁和和气泡流中局部摩擦因子C_f的关系表达式和无气泡流中标准壁常数k和无气泡流中局部摩擦因子C_fo之间的关系表达式,可得到表面摩擦系数比C_f/C_fo的解析解。

Description

一种在摩擦减少的轮船中分析 气泡的摩擦减少效应的方法

本发明涉及一种用于分析存在于轮船-水交界面的气泡对减少巡航舰船表面摩擦的效应的方法。

在减少巡航舰船的表面摩擦的方法中，有一种在轮船外表面区域引入气泡的方法。许多用于分析气泡在减少表面摩擦的效应的理论模型假定，在计算轮船周围的流域中的各种流动参数之前空隙度分布(气泡在边界层的分布)是已知的，于是，有必要澄清产生空隙度的机理，以对摩擦减少作用进行精确估计。为应用这种摩擦减少方法分析在实际轮船中的气泡流效应，很有必要在计算流域中各种参数的过程中，估计存在的给定体积气泡的空隙度。这样，根据减少表面摩擦的气泡流的实际应用的观点，研究空隙度分布也非常关键。

本发明人在第一次公开号Hei 8-144646的日本专利申请公开了一种基于混合长度理论获得船体表面气泡动态特性的方法。接着，第一次公开号为Hei 9-29899的日本专利申请中公开了一种技术，其中模拟船体表面上的气泡分布图象。还在第一次公开号Hei 9-142818和Hei 10-55453的日本专利申请(美国专利申请号为No.078,950)中公开了在靠近船体表面的边界层涡流中的涡流模型可通过把混合长度理论扩展为涡流模型中的气泡流域来构造，它还提供一种分析方法，从逻辑上解释以前的实验结果，并证明了通过调整气泡流的壁面法则中有效的壁常数κ₁，指出气泡混合长度，根据流域的范围，即产生的涡流边界层的厚度，可分析再现不同流域中的摩擦减少的效应。

然而，在所述第一次公开号Hei 9-142818和Hei 10-55453的日本专利申请中公开的技术中强调简化分析过程。于是所提出的模型在发展理论框架方面没有进行充分研究。例如我们认为下面几点迫切需在近期内研究。

(1)虽然在y-向的气泡运动(重力方向)的气泡运动定量地讨论了，但没有说清楚气泡假定在气泡流的x-向(液体流动方向)保持静止的原因。而且，如滑移的常量值的假定问题没有解决。

(2)当引入一个表观混合长度变化l_mb时，为了数学上的简化，有必要设两个涡流速度其中之一u’_L、v’_L完全为零，另一个受阻尼影响。换句话说，遗留的问题是，假定由气泡产生的液体剪切力减少量τ_t由涡流应力(雷诺应力)变化给出。

(3)从经验上看，用于气泡流的壁常数κ₁(当小气泡存在于涡流层中时，在壁面法则中的常数)假定与(λ_m/d_b)α^2/3成比例减少，其中λ_m是表观涡流规模，d_b为气泡直径，α为局部空隙度。但是，还不清楚有效的壁常数κ₁在d_b非常小时是否为负值，κ₁在λ_m低时是否为负值。

(4)很合理地想到假定λ_m∝ν_L/U_τ(＝y/y⁺)，(与底面的长度成正比)，其中ν_L液体的动态粘度，U_τ为摩擦流速，但是遗留了一个问题，假定y/y⁺∝δ是否合理，其中δ为涡流边界层的厚度。

(5)假定气泡的混合减少了摩擦，但没有确定这是充分的。是否需要认为动态质量交换而产生的剪切力中的增量来源于气泡运动。

本发明的目的是提供一种数学模型，获得用于减少巡航舰船表面摩擦的气泡流效应的高层次分析。

本发明的目的是通过下列方法达到的，该方法用于分析在巡航舰船中靠近船表面流域中产生的气泡喷射而对减少表面摩擦产生的效应，该方法包括的步骤为：获得剪切力减少量τ_t，该剪切力减少量由于在所述流域中的气泡根据作用在所述气泡上的阻力ΔR_ν产生的，根据高频带区的定义从沿所述巡航舰船的x-向的流域方向以及与轮船壁表面成直角的y-向的所述气泡的运动导出，其中在所述流域中的气泡时间常数T与涡流频率ω_L乘积大于1；通过假定所述剪切力减少量是由混合长度的减少量产生的，在有参数气泡直径为d_b的气泡存在时，在壁面规则中获得有效的壁常数κ₁；以及在所述高频带区，根据所述有效壁常数κ₁和气泡流局部摩擦系数C_f之间关系的表达式，以及无气泡流中壁面法则中的标准壁面常数κ和无气泡流中局部摩擦因子C_f0之间关系的表达式，获得表面摩擦比C_f/C_f0的解。

本发明的目的还通过下列方法达到的，该方法用于分析在巡航舰船中靠近船表面流域中产生的气泡喷射对减少表面摩擦产生的效应，该方法包括的步骤为：根据气泡增加的质量m_A、气泡直径d_b、动态液体粘度系数ν_L，对用于气泡在x-向和y-向移动的动力学方程(1)和(2)进行傅立叶变换，x-向和y-向分别代表液流方向和与所述舰船表面成直角的方向，以及分别根据方程(3)和(4)获得包含气泡时间常数T和涡流频率ω_L在x-向增益的表达式G_x和在y-向增益的表达式G_y；通过假定在所述流域中涡流周期2π/ω_L与所述积分时间标度T_*L相等，根据无气泡流中的壁面法则中标准壁常数κ、流体密度ρ_L、动态液体粘度系数ν_L和在x-向的时间平均速度u_L，从方程(16)可获得在高频带区的作用在气泡上的阻力ΔR_ν，在高频带区气泡时间常数T和涡流频率ω_L的积大于1；从方程(17)中获得由所述阻力ΔR_ν产生的剪切力减少量τ_t；根据经验常数a、所述气泡直径d_b、所述动态粘度系数ν_L、摩擦流速U_t和近壁局部空隙度α_W，通过把所述方程(17)和表达剪切力减少量τ_t的方程(22)比较，从方程(27)中获得混合长度减少量l_mb，其中τ_t假定为是由混合长度减少量l_mb产生的；通过利用方程(27)，获得如在方程(33)中壁面法则中的修正壁常数κ₂，根据作为参数的所述经验常数a和所述气泡直径d_b，通过把所述壁常数κ₂从所述标准壁常数κ中减去，从而获得如方程(34)的用于气泡流的有效的壁常数κ₁；导出用于无气泡流的方程(36)和有气泡流的方程(40)，假定液体速度分布遵守对数法则，并假定位置参数y可由涡流边界层厚度δ来表示；获得相应的正常壁常数κ和气泡流中的局部摩擦因子C_f关系的方程(44)，以及获得有效壁常数κ₁和无气泡流中的局部摩擦因子C_f0的关系的方程(45)；把所述方程(44)从所述方程(45)中减去，从而获得方程(48)，在方程(48)中把(C_f/C_f0)^1/2进行级数表达展开，大约为1，于是导出方程(49)，方程(49)包括第一级展开式，还对含有气泡流有效的壁常数κ₁的所述方程(48)中底层项v_t/U_T展开，于是导出方程(50)；以及在所述高频带区，通过把所述方程(50)替换到所述方程(33)中，得到第一解，把所述第一解替换到所述方程(34)得到第二解，把所述第二解替换到所述方程(49)中，解之得所述表面摩擦系数比C_f/C_f0的解析表达式(55)。

其中上述涉及到的方程在下面列出： $\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}\stackrel{\·\·}{X}+\stackrel{\·}{X}=u_L^{\′}---\left(1\right)$ $\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}\stackrel{\·\·}{Y}+\stackrel{\·}{Y}=v_L^{\′}---\left(2\right)$ $\frac{\stackrel{\widehat{\·}}{X}}{{\hat{u}}_L^{\′}}=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}=G_X---\left(3\right)$ $\frac{\hat{Y}}{{\hat{v}}_L^{\′}}=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_L}=G_Y---\left(4\right)$ $\mathrm{\Δ}{\hat{R}}_v=\frac{27}{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\κ\ρ}}_L{\left({\mathrm{\ϵ}}_L{T}_{*L}\right)}^2{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(16\right)$ ${\mathrm{\τ}}_t=\frac{81}{{\mathrm{\π}}^2}{\mathrm{\κ\ρ}}_L{\left(\frac{v_L{T}_{*L}}{d_b}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(17\right)$ ${{\mathrm{\τ}}_t=2{\mathrm{\ρ}}_L{l}_{m0}{l}_{\mathrm{mb}}\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(22\right)$ $l_{\mathrm{mb}}={\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_{w}y---\left(27\right)$ ${\mathrm{\κ}}_2={\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(33\right)$                 κ₁ ＝κ-κ₂ $=\mathrm{\κ}-{\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(34\right)$ $u_0^{+}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\log y_0^{+}+B$ 其中B为常数                        (36) $u^{+}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log y^{+}+B---\left(40\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}+B---\left(44\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_f}}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log \sqrt{\frac{C_f}{C_{f0}}}{\mathrm{\δ}}_0^{+}+B---\left(45\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}-\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log \sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}+(\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}-\frac{1}{\mathrm{\κ}})\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}---\left(48\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}-\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}(1-\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}})+(\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}-\frac{1}{\mathrm{\κ}})\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}---\left(49\right)$ $\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}=\frac{v_L}{U}\sqrt{\frac{2}{C_f}}=\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}\frac{v_L}{U}\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}---\left(50\right)$ $\frac{C_f}{C_{f0}}=\left\{\frac{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-2\left(\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-\left(\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}\right\}(1-{\mathrm{\α}}_w)---\left(55\right)$

通过采用上述方法，就可以提高在巡航舰船中气泡对减少表面摩擦相应的分析精度。

图1为在第一实施例中的涡流模型的概念图。

图2为在第一实施例中的流域内靠近壁的气泡的示意图。

图3为示出了在第一实施例中的每个频率带的表面摩擦系数比C_f/C_f0随平均空隙度α_m变化的趋势图表。

图4为示出了在第一实施例中在表面摩擦系数比C_f/C_f0中的调整经验常数a的效果的图表。

图5为示出了第一实施例的检验结果的第一图表。

图6为示出了第一实施例的检验结果的第二图表。

图7为示出了第一实施例的检验结果的第三图表。

图8为示出了第一实施例的检验结果的第四图表。

图9为在第二实施例中的涡流模型的概念图。

图10为示出了在第二实施例中的空隙度分布的状态的变化示意图。

图11为示出了用于计算在第二实施例中表面摩擦系数比C_f/C_f0的步骤的流程图。

图12为示出了在第二实施例中空隙度分布的检验结果的图表。

图13为示出了在第二实施例中的两维管道中空隙度分布的检验结果图表。

图14为示出了第二实施例的检验结果的第一图表。

图15为示出了第二实施例的检验结果的第二图表。

图16为示出了第二实施例的检验结果的第三图表。

图17为示出了第二实施例的检验结果的第四图表。

下面参照上述附图对最佳实施例进行详细描述。第一实施例

首先描述在第一实施例中的涡流模型。涡流模型

参见图1，该实施例对在边界层的气泡流进行了分析，该边界层位于根据包括y-向和垂直于y-向的x-向的涡流模型确定的两维板的下面(例如，在轮船的底面)。换句话说，从船体表面(下壁表面)弹起的气泡的运动可在垂直于壁表面的方向(y-方向)和沿船体表面的液体流动方向(x-方向)进行分析。

弹到涡流层的气泡可根据液相的涡流速度而运动。空气的密度大约为水的1/10³，其动量与增加的惯性力比较小到可以忽略。然而，因为有增加的惯性力存在，弹起的气泡不会立即与液体速度回应，于是在空气和液相之间产生了速度差。速度差可在气泡上产生阻力，以及在液相上产生反作用力。为了计算空气/液相中的速度差，很有必要理解气泡运动的动态性能，该性能可根据运动的动力学方程进行分析。

在推导动力学方程的过程中可进行某种假设。假定气泡是球形的，增加的气泡的质量为相同质量的水的1/2，阻力可从斯托克方程中导出。在这些前提下，气泡的运动可相对于液体微粒的单纯的时间平均的位置(simple time-averaged)的原点进行分析，该液体微粒沿图1中示出的路径A-A流动，该运动产生位移X、Y。气泡运动的动力学方程如下： $\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}\stackrel{\·\·}{X}+\stackrel{\·}{X}={u^{\′}}_L---\left(1\right)$ 及 $\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}\stackrel{\·\·}{Y}+\stackrel{\·}{Y}={v^{\′}}_L--\left(2\right)$

其中m_A为一个气泡增加的质量，μ_L为液相的粘度系数，d_b为气泡的直径，u’_L为在x-方向的液体的涡流速度，v’_L为在y-方向上的液体的涡流速度，上标“’”表示瞬时平均速度(涡流速度)的变化，下标“L”表示与液相有关的性能。

通过把方程(1)和方程(2)进行傅立叶变换，可利用如下的方程(3)和(4)获得相应于在x-方向和y-方向的均方(squaredaverage)涡流速度的在x-方向和y-方向上的相对位移速度的均方增益。在这些方程中，上面的横杠“-”表示时间平均，以及上面的弯杠“^”表示均方值。 $\frac{\widehat{\stackrel{\·}{X}}}{{\hat{u}}_L^{\′}}=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}=G_X---\left(3\right)$ $\frac{\hat{Y}}{{\hat{v}}_L^{\′}}=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_L}=G_Y---\left(4\right)$

其中ω_L是指在流域中的涡流角频率，T是由下面方程(5)给出的用于气泡的时间常数。 $T=\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}=\frac{{d_b}^2}{36v_L}---\left(5\right)$

其中v_L是液相的动态粘度。

当考虑以时间为基础的变量的均方值时，均方值假定为代表值。例如，当气泡存在于路径A-A的上半区域时，对于气泡阻力的ΔR_V均方值可由下面的方程(6)来表示。 $\mathrm{\Δ}{\hat{R}}_v=3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b(\mathrm{\Δ}{\stackrel{-}{u}}_L-\stackrel{\widehat{\·}}{X})$ $=3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b(\frac{\hat{Y}}{2}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}-G_X{\hat{u}}_L^{\′})$ $=\frac{3}{2}{\mathrm{\π\μ}}_L{d}_b(\hat{Y}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}-G_X\hat{Y}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y})---\left(6\right)$ $=\frac{3}{2}\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b{\hat{v}}_L^{\′}(1-G_X)G_Y\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}$

从方程(3)和(4)中可知，方程(6)中的式子G_Y可如下面的方程(7)来表达： $(1-G_X)G_Y=(1-\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}})\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_L}---\left(7\right)$

这里，根据时间常数T的量级和涡流周期2π/ω_L的大小，可确定三个频率带的范围。如上面指出的，在本实施例中的气泡假定为足够小，以保持球形形状，但是其运动可在下面的条件下进一步考虑：

低频带区：

                Tω_L＜＜1                   (8)

中频带区：

               Tω_L＝0(1)            (9)

高频带区：

               Tω_L≥1                (10)

由这些条件关系(8)-(10)给出的区域分别限定为低频带区、中频带区和高频带区。在中频带区的运动的求解非常复杂，需要根据实际工作状态进行精密分析。如果已知主要的频率，则可通过级数展开和其它技术进行解决，但是这个区域与本实施例无关。另一方面，在低频或高频带区的结构方程的处理较为简单。于是在许多情况下，可较好地预期到参数关系。于是，下面描述仅涉及低频和高频带区。

1.1高频带区：

在该区，Tω_L比1大得多，这样情况下，根据方程(10)的限定下，(1-G_X)G_Y可由方程(11)近似地表示： $(1-G_X)G_Y=\frac{1}{T{{\mathrm{\ω}}_L}^2}=\frac{36v_L}{{d_b}^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}---\left(11\right)$

把方程(11)替换到方程(6)中，把液体密度表示为ρ_L，并利用已知的粘度系数ν_L和ρ_L之间的关系式μ_L＝ρ_Lν_L，那么，阻力ΔR_V的均方值由方程(12)给出： $\mathrm{\Δ}{\hat{R}}_v=54\mathrm{\π}{\mathrm{\ρ}}_L{v_L}^2{d_b}^{-1}{{\mathrm{\ω}}_L}^{-2}{\hat{v}}_L^{\′}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}$ $=54\mathrm{\π}{\mathrm{\ρ}}_L{v_L}^2{d_b}^{-1}{{\mathrm{\ω}}_L}^{-2}{l}_{\mathrm{mo}}{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(12\right)$ 其中l_mo为相应于近壁气泡的平均自由路径的混合长度。然而严格地说，l_mo与气泡平均路径不精确地相对应，因为表观混合长度由气泡阻力产生的剪切力减少量所影响。

图2示出了近壁距离范围，其中气泡d_b的直径限定了与壁的距离范围，典型的距离取为y＝d_b/2。

在近壁区的气体混合长度l_mo的量级由方程(13)给出。l_mo≈ky                  (13)其中k为当气泡不存在时的正常壁常数(冯卡曼常数)，其值取0.41。

把y＝d_b/2替换到方程(13)中，得到方程(14)。 $l_{\mathrm{mo}}\≈\mathrm{\κ}\left(\frac{d_b}{2}\right)=\frac{1}{2}\mathrm{\κ}{d}_b---\left(14\right)$

同时，涡流周期2π/ω_L假设与涡流穿过给定点的所需时间间隔T_*L(积分时间标度)相等，于是得到方程(15)。 ${{\mathrm{\ω}}_L}^{-2}=\frac{{T_{*L}}^2}{4{\mathrm{\π}}^2}---\left(15\right)$

这样，通过在方程(12)替换方程(14)和(15)得到阻力ΔR_V的均方值，从而导出方程(16)。 $\mathrm{\Δ}{\hat{R}}_v=\frac{27}{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\κ\ρ}}_L{\left(v_L{T}_{*L}\right)}^2{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(16\right)$

一个气泡在其空间单元的平均长度(即，一个气泡在壁表面自由运动的平均长度)可由给定的空隙度α_W表示为(π/6α_W)^1/2d_b，于是由气泡阻力产生的剪切力减少量τ_T可用方程(17)来表达。 ${\mathrm{\τ}}_t=\frac{81}{{\mathrm{\π}}^2}{\mathrm{\κ\ρ}}_L{\left(\frac{v_L{T}_{*L}}{d_b}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(17\right)$

在这里，剪切力除包括减少因素外，还包括由于在水和气泡之间发生的动力学质量交换引起的增量因素。可以认为当气泡在液体中运动时，等体积水流入到气泡占据的空间。于是，气泡在涡流边界层的运动可以认为与增加的同体积的水的运动等同。增加的应力生成的机理和由液体微粒的运动产生的雷诺应力的机理是相同的，这样，剪切力增加量τ_m可表示成方程(18)。 ${\mathrm{\τ}}_m={\mathrm{\ρ}}_L\stackrel{\widehat{\·}}{X}\stackrel{\widehat{\·}}{Y}{a}_w$ $={\mathrm{\ρ}}_L\frac{1}{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_L}{a}_w{\hat{v}}_L^{\′2}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}---\left(18\right)$

在由方程(10)限定的高频带区，增加量τ_m由方程(19)给出。 ${\mathrm{\τ}}_m=\frac{{\mathrm{\ρ}}_L}{T^3{{\mathrm{\ω}}_L}^4}{\mathrm{\α}}_w{\hat{v}}_L^{\′2}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}---\left(19\right)$

把由方程(19)给出的剪切力增加量τ_m和方程(17)给出的剪切力减少量τ_t相比较，在方程(10)确定的高频带区，可以看出增加量τ_m中的项1/Tω_L比和减少量τ_T相比的第三阶影响要高。当比第一阶高的项可忽略后，增加量τ_m可不计。于是，考虑到在高频带区的剪切力的影响，可以理解减量影响比增量影响更占优势。

在这里，如果在气泡流域的剪切力τ_W中的变化认为是由于气泡存在而产生的气体混合长度l_m中混合长度减少量l_mb产生的，那么壁表面上的剪切力τ_W可由方程(20)来表达。 ${\mathrm{\τ}}_w=({\mathrm{\μ}}_m+{\mathrm{\ρ}}_L{l_m}^2\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y})\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}---\left(20\right)$

其中μ_m为表观粘度系数(在分子粘度项的系数)。

在涡流区，因为在第二项中涡流粘度因素(雷诺应力)比第一项中的分子粘度因素大得多，于是在壁表面的剪切力τ_W表示成方程(21)。 ${{\mathrm{\τ}}_w={\mathrm{\ρ}}_L{l_m}^2\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2$ ${={\mathrm{\ρ}}_L(l_{m0}-l_{\mathrm{mb}}{)}^2\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(21\right)$ $\≈{{\mathrm{\ρ}}_L{({l_{m0}}^2-2l}_{m0}{l}_{\mathrm{mb}})\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2$

                      ≈τ_W0-τ_t

其中τ_W0为液相的特征雷诺应力。由于在气/液相之间的速度差产生的剪切力减少量τ_t由下面方程(22)给出。 ${{\mathrm{\τ}}_1=2{\mathrm{\ρ}}_L{l}_{m0}{l}_{\mathrm{mb}}\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(22\right)$

把方程(22)和方程(17)进行比较，可以看出混合长度变化l_mb由方程(23)给出。 $l_{\mathrm{mb}}=\frac{81\mathrm{\κ}}{2{\mathrm{\π}}^2}{\left(\frac{v_L{T}_{*L}}{d_b}\right)}^2\frac{{\mathrm{\α}}_w}{l_{m0}}---\left(23\right)$ $=\frac{81\mathrm{\κ}}{2{\mathrm{\π}}^2}{\left(\frac{v_L{T}_{*L}}{d_b}\right)}^2\frac{{\mathrm{\α}}_w}{y}$

从量纲上说(dimensionlly)，积分时间标度T_*L(时间)和涡流速度(长度/时间)的均方的乘积表示气泡平均自由路径的1/2(长度)，于是，该值可认为与气体混合长度l_m成正比。特别地，在遵守对数法则的区域，得出方程(24)，从而导出方程(25)。 $T_{*L}=\left(T_{*L}{\hat{v}}_L^{\′}\right){\left({\hat{v}}_L^{\′}\right)}^{-1}\∝l_m({{\hat{v}}_L^{\′})}^{-1}={\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^{-1}=\frac{y}{U_{\mathrm{\τ}}}---\left(24\right)$ 及 $v_L{T}_{*L}=b\left(\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}\right)y---\left(25\right)$ 其中b是比例系数，括号内的ν_L/U_τ的式子为粘性底层的厚度(壁变量)。

把方程(25)替换到方程(23)中，混合长度l_mb可用方程(26)来表达。 $l_{\mathrm{mb}}=\frac{81}{2{\mathrm{\π}}^2}{(b\×\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b})}^2{\mathrm{\α}}_{w}y---\left(26\right)$

把方程(26)中的所有比例系数归纳为方程(28)给出的经验常数a，那么方程(26)可用方程(27)重新表达。 $l_{\mathrm{mb}}={\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_{w}y---\left(27\right)$ 其中 $a^2=\frac{81}{2{\mathrm{\π}}^2}{b}^2---\left(28\right)$

从方程(27)中可以理解，气泡的影响可通过对无气泡流的标准壁常数κ调整而表达。参数变量可在下面方程(29)-(32)中归纳出。

l_m0＝κy                    (29)

l_mb ＝κ₂y                  (30)

l_m＝l_m0-l_mb＝(κ-κ₂)y＝κ₁y         (31)

κ₁＝κ-κ₂                        (32)

仍然利用对数法则，这些表达式是与前面方程(25)是一致的。换句话说，气泡流的修正的壁常数κ₂可用方程(33)来表达。 ${\mathrm{\κ}}_2={\left(\frac{v_L{/U}_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w----\left(33\right)$

于是，根据方程(34)，有效的气泡流的壁常数κ₁可表达成从无气泡流(例如，单相)的正常壁常数κ中减去修正的壁常数κ₂。

                 κ₁＝κ-κ₂ $=\mathrm{\κ}-{\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(34\right)$

方程(34)具有特别有趣的结构。气泡流的控制参数包含在括号内，可用粘性底层的尺寸和气泡的尺寸之比来表达(分母d_b/α与气泡直径成正比)。从方程(25)可以看出，涡流范围与粘性底层有很大关系，于是，在本实施例中的分析模式建议可根据气泡尺寸和涡流域的范围之比进行数字模拟。只看本结果，本模型与过去经验观察不一致，在过去经验观察中，当气泡尺寸相对于涡流域范围小时得到涡流控制。

1.2.低频带区

在低频带区，由方程(17)给出气泡产生的剪切力减少量τ_t为(Tω_L)²量级，非常小。于是，剪切力τ_W可通过把增加量τ_m加到无气泡流的剪切力τ_W0上而给出，导出方程(35)。

                    τ_W＝τ_W0+τ_m $={\mathrm{\τ}}_{W0}+{\mathrm{\ρ}}_L\frac{d_b{\mathrm{\α}}_w{\hat{v}}_L^{\′}}{2{\mathrm{\ω}}_L}{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(35\right)$

2.摩擦阻力

当剪切力减少量如上所述起主导作用时，在高频带区的近似解可由表面摩擦系数比C_f/C_f0来表示，在下面描述计算该系数的方法。虽然解是近似的，但有一个优点，即对数解可避免需要使用复杂的函数表达。下标“0”指的是无气泡流域，即单相流域。

在速度分布是对数的无气泡流域，可建立下面方程(36)-(39)。

其中B为常数 $u_0^{+}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\log y_0^{+}+B$ 其中B为常数                         (36) ${u_0}^{+}=\frac{u}{U_{\mathrm{\τ}0}}---\left(37\right)$ ${y_0}^{+}=\frac{y}{\left(\frac{v}{U_{\mathrm{\τ}0}}\right)}---\left(38\right)$ $U_{\mathrm{\τ}0}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\τ}}_{W0}}{\mathrm{\ρ}}}---\left(39\right)$

当气泡存在时，在使用可操作壁常数κ₁时，可相应于方程(36)-(39)建立下面方程(40)-(43)。 $u^{+}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log y^{+}+B---\left(40\right)$ $u^{+}=\frac{u}{U_f}---\left(41\right)$ $y^{+}=\frac{y}{\left(\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}\right)}---\left(42\right)$ $U_{\mathrm{\τ}}=\sqrt{\frac{{\mathrm{\τ}}_w}{{\mathrm{\ρ}}_L}}---\left(43\right)$

在有或没有气泡在壁上的两个流域中，均假定B为常数的原因是，根据报告的经验观察(东京大学工学院海洋工程系的Iwashina.Chiaki的毕业论文“利用微气泡进行涡流摩擦减少的机理”，1998)，在该观察中，在近壁涡流的图案中没有变化(log y⁺→0)，该论文中解释为这个现象说明B是常数。

如果位置变量y假定为与涡流边界层的厚度δ相等(涡流边界层厚度δ是相同的，无论气泡存在还是不存在)，上面的方程(36)和(40)可再写成(44)、(45)。 $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}+B---\left(44\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_f}}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log \sqrt{\frac{C_f}{C_{f0}}}{\mathrm{\δ}}_0^{+}+B---\left(45\right)$

同时，在无气泡流中的局部摩擦因子C_f0以及有气泡流中的局部摩擦因子C_f分别用方程(46)和(47)来表达。 $C_{f0}=\frac{{\mathrm{\τ}}_{W0}}{\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{U}^2}---\left(46\right)$ $C_f=\frac{{\mathrm{\τ}}_w}{\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_L{U}^2}=\frac{{\mathrm{\τ}}_w}{\frac{1}{2}(1-{\mathrm{\α}}_w)\mathrm{\ρ}{U}^2}---\left(47\right)$

此时，把方程(44)从方程(45)中减去，得到方程(48)。 $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}-\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log \sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}+(\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}-\frac{1}{\mathrm{\κ}})\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}---\left(48\right)$

方程(48)中的式子(C_f/C_f0)^1/2展开大约1，并取第一阶项，得到下面方程(49) $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}-\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}(1-\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}})+(\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}-\frac{1}{\mathrm{\κ}})\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}---\left(49\right)$

另外，把在用于气泡流的可操作壁常数κ₁中的粘性底层式子ν_L/U_τ展开，得到下面方程(50)。 $\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}=\frac{v_L}{U}\sqrt{\frac{2}{C_f}}=\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}\frac{v_L}{U}\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}---\left(50\right)$

方程(50)替换到方程(33)中得到κ₂，替换到方程(34)中得到κ₁，这样得到的κ₁替换到方程(49)，得到表面摩擦系数比C_f/C_f0，导出下面方程(51) $\frac{C_f}{C_{f0}}=\left\{\frac{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-2\left(\log {{\mathrm{\δ}}_0}^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-\left(\log {{\mathrm{\δ}}_0}^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}\right\}---\left(51\right)$

在方程(51)中，κ₁₀、κ₂₀、δ⁺分别由如下的方程(52)-(54)给出。需要注意的是，在与气泡直径有关的条件项中，微气泡的气泡流与散布的细粒的悬浮物不同。于是，作为第一零阶近似，可以假定ν_L＝ν，其中ν_L与单液相有关，ν与液体和气泡的两相混合物有关。κ₁₀＝κ-κ₂₀                         (52) ${\mathrm{\κ}}_{20}={\left(\frac{v/U_{\mathrm{\τ}0}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(53\right)$ ${{\mathrm{\δ}}_0}^{+}=\frac{{\mathrm{\δ}}_0}{\left(\frac{v}{U_{\mathrm{\τ}0}}\right)}---\left(54\right)$

另外，在壁表面上的剪切力归一化成带普通(common)的ρU²/2的无量纲量后，方程(51)中给出的表面摩擦系数比C_f/C_f0可用方程(55)来表达。 $\frac{C_f}{C_{f0}}=\left\{\frac{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-2\left(\log {{\mathrm{\δ}}_0}^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-\left(\log {{\mathrm{\δ}}_0}^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}\right\}(1-{\mathrm{\α}}_w)---\left(55\right)$

3.检验

接下来，可使用四十米模型船(40-米模型船)来计算方程(55)，而产生下面将详细研究的数据。可利用Guin等人(1996)获得的实验数据，确定在方程(27)中使用的经验常数a。

在40-米模型船的尾部的涡流边界层具有几百毫米的厚度，比大约2mm的气泡的直径大得多，并且气泡的漂浮效应比由涡流产生的散布效应大得多。于是，聚集在壁表面的气泡数量可根据主要液体流速和空气流速粗略地估计到。

40-米模型船的近壁空隙度可作为如下分析。由气泡弹射而产生的小规模涡流的中心速度假定为是主液流速度的一半，即0.5U(参见Kobayashi1983)，并且使用1/7的乘法法则，小规模涡流的中心位置距壁表面大约0.1δ。涡流的端部是该值的两倍，即0.2δ，于是，可以认为与产生涡流应力最相关的区域位于距壁表面0.1δ-0.2δ之间的位置。

根据上述考虑，在分析中使用了存在于壁表面和0.2δ深度之间的范围的空隙度α_W平均值。使用1/7乘数规则可获得无气泡流的参数值，经验常数a选择为20，于是与图3所示的Guin(1996)的经验数据一致。

图4-7示出了检验结果。把模型船速度作为参数，在图4中对表面摩擦系数比C_f/C_f0的经验结果和从方程(55)中得到的C_f/C_f0的理论结果进行比较，此时气泡从模型船的船舷喷出。同样，图5是在气泡从底部中心喷出时对上述两个值进行的比较。同样，图6是在气泡既从底面中心也从船舷喷出时对上述两个值进行比较。图7是在气泡从船舷喷射出时，把喷射入水中的空气流速作为参数，对例子进行比较。

4.结论

在本实施例中，用于评估表面摩擦减少的方程(55)可通过对一些变量进行精密的再研究而得到发展，这些变量在我们从前工作中使用的方法中没有充分研究。

在通过对气泡的时间常数的值和在涡流边界层涡流周期进行比较获得的方程(55)中，可发现三个区：低频带区，其中Tω_L＜＜1；中频带区，其中Tω_L＝0(1)；高频带区，其中Tω_L＞＞1。在这次研究中，可得到高频带区的近似解，在高频带区，可以看出对于给定值[底层尺寸/气泡尺寸]，表面摩擦系数比C_f/C_f0产生单调减少，表明气泡产生很大影响。

而且，在高频带区，剪切力增加量τ_m相对于剪切力减少量τ_t要小。然而，在中间频率带区，增加量τ_m不能忽略，相反，在低频带区，剪切力增加量的影响成为主导。换句话说，在高频带区，气泡运动的反应很差，其运动很小，以至于几乎没有动力学质量交换，并且在剪切力减小方面气泡阻力的影响变大。相反，在低频带区，在动力学质量交换方面有高的活性，剪切力的效应增加明显。图8示出了在三个频率区域表面摩擦系数比C_f/C_f0的趋势的概念略图。

在图4-7中表明，本实施例进行的C_f/C_f0分析结果与实验数据在实质上是一致的。特别地，在气泡流保持距离方面的预测能力大大提高了。而且，当模型轮船的速度增加时，这种吻合程度提高了。可以认为是由于假设反映了高频带区的状态。未来的课题包括对所有频带区的解析解的研究和数字计算。第二实施例

下面描述本发明的第二实施例。

在第一实施例中，通过假定如方程(34)中气泡流的可操作壁常数κ₁是把修正壁常数κ₂从无气泡流的正常壁常数κ中减去而获得，从而得到了如方程(55)的表面摩擦系数比C_f/C_f0的解。

然而，其它如近壁空隙度α_W和气泡直径d_b的参数输入项，没有充分地研究。在气泡直径上有许多测量数据，一个方面的困难是单向地确定用于分析中的气泡尺寸。

在第二实施例中，建立了包括方程(34)和关于空隙度的控制方程的联立方程，于是气泡直径d_b的项和经验常数a可消掉，于是在新的用于表面摩擦减少的推导方程中，气泡尺寸由空隙度作为输入参数而替代。

在下面的解释中，可以认为空隙度的分布的线性图形是最稳定的，以满足下面用于解联立方程的稳定条件：

A.用于空隙分布的控制方程不发散；及

B.气泡流的动能(考虑抑制气泡流)和气泡流的漂浮势能总和应最小化。

在上述框架内，我们认为有两种形式的液体流影响气泡流：考虑液流影响气泡运动的单向耦合近似(one-way coupling approach)；考虑液流作用在气泡运动上，同时气泡运动作用在液流上的双向耦合近似(two-way coupling approach)。

1.用于空隙度分布的控制方程

根据JSPC(联合轮船推进委员会，1997)第43期公报，采用了基本的假设和方法，简单地说，用于气泡的分布的指导因素归于涡流和漂浮力。可以认为在所有情况下气泡流速由阻力所确定。在斯托克方程中，力与速度成正比，于是不必要建立动力学方程，因为在作用力的基础上描述气泡的运动，并且总速度可由用于各种驱动因素的速度表达的叠加来表达。气泡看作是形成连续颗粒串的分散颗粒，即表现为汽相。

图9示出了分析气泡运动的模型。由点A、B、C和D限定的研究区表示在涡流边界层内，并由四个分散颗粒(1)-(4)所包围。每个气泡的中心表示每个气泡的运动中心，虚线表示每个气泡自由运动的圆形边界，每个直径表示各自平均自由路径。在中心之间的距离假定为与平均自由路径相等。

在这里，在涡流边界层的二维理论中的相当于平均自由路径的项为混合长度，即作为一阶近似值，在中心之间的距离可根据汽相的混合长度l_b和经验常数C来表达为Cl_b。实际上，常数C与分布系数有关。而且中心之间的距离与邻近涡流之间的距离有关，并可解释为对涡流长度的测量。

把从边界AB到边界CD的x-向的流量看成j_x，从边界AD到边界BC的y-向作为j_y，根据质量守恒定律导出下面关系。 $\frac{\∂j_x}{\∂x}+\frac{{\∂j}_y}{\∂y}=0---\left(56\right)$

当具有空隙度α的汽相在液相分布时，并当在由平均液体流速和漂浮力产生的阻力影响下运动时，流量j_x、j_y可分别由下面式子来近似表达。 $j_x=\mathrm{\α}{\stackrel{-}{u}}_L-\left[\right\{\mathrm{\α}{\hat{v}}_b+\frac{{\mathrm{cl}}_b}{2}\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)\}-\{\∂{\stackrel{-}{v}}_b-\frac{{\mathrm{cl}}_b}{2}\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)\left\}\right]---\left(57\right)$ $=\mathrm{\α}{\stackrel{-}{u}}_L-{\mathrm{cl}}_b\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\stackrel{-}{v}}_b\right)$ 和 $j_y=\mathrm{\α}{\hat{v}}_L-\mathrm{\α}{q}_g-{\mathrm{cl}}_b\frac{\∂}{\∂y}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)--\left(58\right)$

其中q_g为由于漂浮力而导致气泡上升的速度，v_b为在y-向上的气泡速度。

方程(57)中的第二项式子与由图9所示的气泡(2)和气泡(4)的涡流速度导出的流量有关。而且方程(58)中第三项式子与由气泡(1)和气泡(3)的涡流速度导出的流量有关。

此时，选择了方程(59)-(61)中的前提条件。这些条件设为零，意思是在方程(56)中代入方程(57)、(58)，产生与其它项比较可忽略的结果。可根据1/7乘数法则来判断其数量级。在这些方程中，Re代表雷诺数。 ${\hat{v}}_L\≈0---\left(59\right)$ $\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\stackrel{-}{u}}_L\right)=O\left(\frac{1}{{\mathrm{Re}}^{11/10}}\right)\≈0--\left(60\right)$ $\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)=O\left(\frac{1}{{\mathrm{Re}}^{11/10}}\right)\≈0--\left(61\right)$

在这些条件下，方程(57)、(58)可代入到方程(56)中得到方程(62)。 $\frac{\∂}{\∂y}\left\{\mathrm{\α}{q}_g+{\mathrm{cl}}_b\frac{\∂}{\∂y}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)\right\}=0---\left(62\right)$

考虑到y-向的流量在壁面上为零，可建立下面方程(63)。 $\mathrm{\α}{q}_g+{\mathrm{cl}}_b\frac{\∂}{\∂y}\left(\mathrm{\α}{\stackrel{-}{v}}_b\right)=0---\left(63\right)$

把方程(63)展开得到方程(64)，在该实施例中，方程(64)指定作为空隙度分布的控制方程。 ${{\mathrm{cl}}_b}^2(\mathrm{\α}\frac{{\∂}^2{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y^2}+\frac{\∂\mathrm{\α}}{\∂y}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y})+{\mathrm{\αq}}_g=0---\left(64\right)$

在方程(64)中，第一和第二项涉及表示由涡流产生的分散的流量。在这两项中，第一项被认为与由液体涡流产生的液体控制的分散有关，而第二项被认为与空隙度控制的分散有关。

2.汽相的混合长度

为了获得汽相混合长度l_b，有必要根据气泡的运动再次研究动力学方程。在其中流域中的速度分布遵守对数法则的近壁区，在汽相混合长度l_b和实际(不是表观的)液相混合长度l_mo之间关系可由方程(65)和(66)所示导出。 $l_b=\hat{Y}=\frac{1}{{{\mathrm{T\ω}}_L}^2}{\hat{v}}_L^{\′}$ $=\frac{36v_L}{{d_b}^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}{l}_{m0}\frac{U_{\mathrm{\τ}}}{{\mathrm{\κ}}_1{d}_b/2}$ $=\frac{18}{{\mathrm{\π}}^2}\frac{v_L{T_{*L}}^2}{{d_b}^3}\frac{U_{\mathrm{\τ}}}{{\mathrm{\κ}}_1}{l}_{m0}---\left(65\right)$ $=\frac{18}{{\mathrm{\π}}^2}\frac{b^2}{v_L{d_b}^3}{\left(\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}y\right)}^2\frac{U_{\mathrm{\τ}}}{{\mathrm{\κ}}_1}{l}_{m0}$ $=\frac{{9b}^2}{2{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\κ}}_1}\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}{d}_b}{l}_{m0}$ 及 $\frac{l_b}{l_{m0}}=\frac{{9b}^2}{2{\mathrm{\π}}^2{\mathrm{\κ}}_1}\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}{d}_b}---\left(66\right)$

其中U_τ为摩擦流速(剪切流速)。另外，常数b满足下面的方程(67)，并与下面方程(68)中的经验常数a有关。 $v_L{T}_{*L}=b\left(\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}\right)y---\left(67\right)$ 及 $\frac{9\sqrt{\mathrm{\κ}}}{\mathrm{\π}}b=a---\left(68\right)$

3.解析解

在获得空隙度分布的表达式之前，为方便起见，液相混合长度l_m0确定如下： $l_{m0}=\mathrm{\κy}\sqrt{1-\frac{y}{\mathrm{\δ}}}---\left(69\right)$

在其中流域中速度分布遵守对数法则的区域，可得到方程(70)和(71)。 $\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\frac{U_{\mathrm{\τ}}}{y}---\left(70\right)$ $\frac{{\∂}^2{\stackrel{-}{u}}_L}{{\∂y}^2}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\frac{U_{\mathrm{\τ}}}{y^2}---\left(71\right)$

根据方程(66)和(69)，得到汽相混合长度l_b，把结果l_b和方程(70)、(71)一起替换到空隙度的控制方程(64)中，得到方程(72)。 $y(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})\frac{\∂\mathrm{\α}}{\∂y}=\{(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})-K_0\}\mathrm{\α}---\left(72\right)$

其中κ₀是常数。

此时，如果假定局部空隙度α仅是位置参数y的函数，那么方程(72)可重新写为如下的表示。 $y(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})\frac{\mathrm{d\α}}{\mathrm{dy}}=\{(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})-K_0\}\mathrm{\α}---\left(73\right)$

方程(73)为可分离变量微分方程，很容易求出如下解。 $\mathrm{\α}=K_1{y}^{-K_0+1}{(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})}^{K_0}---\left(74\right)$

其中常数κ₀和κ₁，由下面分别给出的方程(75)和(76)给出，其中在方程(76)中的α_αν为涡流边界层的平均空隙度。 $K_0=\frac{{9{\mathrm{\κ}}_1}^3{U}_{\mathrm{\τ}}g}{2c{v_L}^3}{\left(\frac{d_b}{a}\right)}^4---\left(75\right)$ 及 $K_1=\frac{{\mathrm{\α}}_{\mathrm{av}}(\mathrm{\δ}-d_b/2)}{{\∫}_{d_{b/2}}^{\mathrm{\δ}}\left\{y^{-K_0+1}{(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})}^{K_0}\right\}\mathrm{\δy}}---\left(76\right)$

这些常数κ₀和κ₁为用于确定空隙度分布的参数，其中κ₀指尖峰位置，κ₁指空隙度的总尺寸。

图10为示出了当常数κ₀改变时，局部空隙度α在y-向上是如何改变的。实例1示出了当κ₀＜1时局部空隙的分布；实例2为当κ₀＝1时局部空隙的分布；及实例3为当κ₀＞1时局部空隙的分布。

在实例1中，局部空隙度α在壁表面(y＝0)发散。在实例2中，没有发散，局部空隙度α为在船体表面的最大值。在实例2中，由于可操作壁常数κ₁的变化，涡流得到最大抑制，动能减小到最小，与实例3相比，漂浮的势能减小到最小。于是，可以认为实例2表现出最稳定的空隙度分布。

如方程(75)所示，参数κ₀以气泡直径的4次方改变，于是局部空隙度α对气泡尺寸上的变化非常敏感。考虑到经验常数a也对参数κ₀产生大的影响，单向选择气泡尺寸非常困难，该尺寸在实际上变化范围很宽，并且输入一些气泡直径d_b作为变量来评估空隙度分布也很困难。

由于这些原因，在本实施例中采用的方法是，在空隙度分布方程(74)中调整参数κ₀、κ₁，直到计算出的α值与实际空隙度分布相匹配，这样获得的值κ₀用在方程(75)中，以导出(d_b/a)值。于是和方程(34)建立了联立方程，通过双向耦合近似对表面摩擦系数C_f/C_f0进行了进一步的表达。

而且，在方程(75)中，通过把气泡流摩擦流速U_τ和无气泡流速U_τ0进行替换以及把用于气泡流的常数κ₁和无气泡流的κ进行替换，很方便地进一步建立了对用于单向耦合的表达。

图11为单向耦合和双向耦合近似的计算步骤的方框图。这些单向和双向耦合的表达在描述拉哥朗日模型时使用，但是还在描述目前的计算模型中使用。单向耦合近似为根据与气泡有关的计算结果而进行与气泡液流有关的计算方法，而双向耦合近似为根据与气泡有关的计算结果而进行与气泡液流有关的计算、并把与气泡液流有关的结果反馈到与气泡有关的计算的方法。

4.检验

4.1两维通道

在这部分，研究的模型的一个方面是经验常数C的确定和对近似方法和模型的定性表达能力的评估。

对于两维通道(顶部平板)的实验结果的研究(Guin等人，1996)表明当液流速度接近实际轮船速度，即U＝5-8米/秒，在通道的中间，空隙度接近为零，并朝壁方向呈线性增加(参见图12)，并且空隙度小于7％。这种空隙分布模式与上述的实例2中类似。如果通过把分布模式限制成实例2那样来维持保证估计的精确性，那么甚至在适用范围窄的情况下，在实际环境可应用。

于是，研究方法不仅可以用于双向耦合近似和利用近壁空隙度数据的计算，而且也可用于根据单向耦合近似和空隙度线性分布的假设(实例2：κ₀＝1)的方便近似。如后面所述的，使用Guin等人在40-米模型船上的两维实验数据，进行近似计算。而且，与第一实施例近似，近壁空隙度α_W假定为存在于距壁表面0.2δ距离内的平均空隙度。

图13示出了在通道内的液体流中的平均空隙度α_W基于通道的整个宽度影响表面摩擦系数比C_f/C_f0的效果。

方程(75)、(76)可用于得到空隙度，该空隙度复现了由Guin等人测量的近壁空隙度。图13中还示出了使用双向耦合近似(三角形的)的计算结果及使用单向耦合近似(方形的)获得的结果。为参考的目的，在图13中还用虚线画出了由Madavan(1984)获得的结果。

在双向耦合近似中，为检验剪切力模型特有的性能，输入空隙度测量值。一般地在定性上趋势看起来是吻合的。然而，当平均空隙度α_W超过0.05，可观察到明显的定量上的差别。可认为其原因主要是，Guin等人得到的表面摩擦系数比C_f/C_f0被无气泡流U_m0中的主液流速度归一化了，同时，为方便起见，目前C_f值被气泡流中的主液流速度归一化，以及C_f0值被无气泡流中的主流速归一化，于是，结果定量上不吻合，特别当流径很窄时。

对于窄流径的情况，保留作为将来研究的课题，以通过计算精确估计气泡流的主液流速度。需要注意的是，Madavan使用的横截面为508×714的水缸，相对较大，于是使用不同归一化标准的影响相对较小。而且，壁表面空隙度是以测到的绝对值为基础，于是在空隙度的绝对值中出现误差，计算结果直接受到误差的量级的影响。

在单向耦合近似中，目的是研究简便方法的适用范围。在平均空隙度α_W上观察到的吻合为超过大约0.05，在后面描述的使用40-米的模型船的实验中，当液体速度为7米/秒时，空气喷嘴速度为300升/分，在X＝3米距离时喷出，可获得平均空隙度的最大值α_m，该距离是最靠近船舷的传感器的位置。在这些条件下观察的平均空隙度为0.06(相对于边界层的厚度)。

总的来说，平均空隙度非常低，可以认为甚至利用简单的单向耦合近似时可保证精确的评估。在这种情况下，可根据方程(77)利用涡流层平均空隙度α_αν来获得近壁空隙度α_W。

α_W＝2α_αv                     (77)

经验常数C假定为0.01。可根据该值进行所有的相应的计算。

4.2利用40-米模型船的实验

可根据实例2利用单向耦合近似进行对于40-米模型船的计算，其中空隙度分布假定为是线性变化的。

图14-17为示出了计算及测量结果的图表。图14示出了当气泡从轮船船舷底部喷嘴喷出时，对于几种不同船速值的到气泡喷出原点的距离对表面摩擦系数比C_f/C_f0的影响效果图。图15示出了当气泡从船中部喷嘴喷出时，几种不同船速值的到气泡喷出原点的距离对表面摩擦系数比C_f/C_f0的影响效果图。图16示出了当气泡从船的船舷和中部的喷嘴喷出时，几种不同船速值的到气泡喷出原点的距离对表面摩擦系数比C_f/C_f0的影响效果图。图17示出了对于从船舷中的喷嘴中喷射气体的不同速率，到气泡喷出原点的距离对表面摩擦系数比C_f/C_f0的影响效果图。

从图14中可以看出，计算和观察值之间的定量吻合程度在流速为5米/秒处要比7米/秒好。这是因为高频带的假设不适合于范围在5-6米/秒的流域。频率效果的分析留作以后的课题。

当气泡从船中部喷出时吻合的原因可能是，在喷出后，由于气泡的最初动力学影响，近壁空隙度立即临时性地增加。因为当气泡在涡流层移动时，动力学的影响变小，所以吻合程度在下游增加。图17示出了喷气流速的效果由分析模型很好地表达出来。

5.结论

(1)通过解涡流模型和空隙度分布的控制方程的联立方程，通过输入空隙度分布图象而不是气泡直径d_b，改进了计算表面摩擦系数比C_f/C_f0的方法，而且经验常数a在解联立方程时可消除。

(2)我们发现，考虑到空隙度分布，在高频带区(涡流模型)的近似解的定量表达可得到满意的结果。

(3)虽然适用范围有限，但是评估是可能的，即使空隙度分布采用了线性图案。当主液体流速范围在5-8米/秒并且涡流层α_αν中平均空隙度小于0.05时，即使空隙度分布接近直线，也可进行表面摩擦减少趋势的评估。在这种情况下，可保证评估精度，甚至采用单向耦合近似时。

在实验观察的基础上可进行低流速和低喷出体积的空隙度分布图象的线性度假设，理论上，通过提供不发散和能量最小化的稳定条件可达到上述条件。然而，详细的机理解释留作以后的课题。

还存在其他不吻合的原因，例如，存在的可能是，当由于涡流而产生的外部干扰很小，并且容积力朝轮船的内部作用时，稳定条件意味着越靠近壁的气泡，气泡体积越大。由于和气泡混合，液体的表观粘度发生了变化，于是气泡流的现象就好象附着的高粘度液体质量在轮船壁表面扩散一样。或者，气泡流的动态包括通过破裂和聚结而寻求瞬时稳定的各种尺寸气泡混合的不断变化过程，引起在气泡尺寸上的宏观调控，以在空隙分散力和漂浮力之间达到最终动态平衡。

然而，理论上，空隙度分布图象取决于气泡直径的4次方，于是气泡尺寸的宏观调整在很小规模上发生了。在模型改进的阶段，包括各种尺寸气泡的气泡场的宏观分析的进一步讨论可能是无效的，而留作将来的大课题。

本发明的方法的显著特点归纳如下：

(1)在高频率带区，本方法对减少表面摩擦的气泡效果能进一步精确分析。

(2)本方法可通过使用实际空隙度分布推导出空隙度分布的控制方程，可在气泡流中壁面法则(wall law)的现行壁常数κ₁中消除气泡尺寸d_b。因为d_b从各种经验结果中很难单向确定，而d_b对表面摩擦系数比C_f/C_f0的任何分析结果产生很大影响，消除作为输入参数的气泡尺寸会对模型的性能产生重大影响，从而可精确地估计表面摩擦系数比C_f/C_f0。

(3)根据传统的理论方法，只对于平板形状(船底部)分析摩擦减少效应，而在与船表面成直角方向(垂直方向)的方程的改进可分析作用在倾斜船体表面上气泡的效应。

Claims (6)

1.一种用于分析在巡航舰船中靠近船表面的流域中产生的气泡喷射对减少表面摩擦产生的效应的方法，该方法包括的步骤为：

获得剪切力减少量τ_t，该剪切力减少量由于在所述流域中的气泡根据作用在所述气泡上的阻力ΔR_ν产生的，从沿所述巡航舰船的x-向的流域方向以及与轮船壁表面成直角的y-向的所述气泡的运动，根据高频带区的定义导出，其中在所述流域中的气泡时间常数T和与涡流频率ω_L的乘积大于1；

通过假定所述剪切力减少量是由混合长度的减少量产生，在有参数气泡直径为d_b的气泡存在时，在壁面规则中获得有效的壁常数κ₁；

以及在所述高频带区，根据所述有效壁常数κ₁和气泡流局部摩擦因子C_f关系的表达式，以及无气泡流中壁面法则中的标准壁面常数κ和无气泡流中局部摩擦因子C_f0关系的表达式，获得表面摩擦系数比C_f/C_f0的解。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于：通过建立一个利用气泡分布的实际图案的空隙度分布的控制方程，所述气泡直径d_b作为参数可从所述气泡流的所述壁面法则中的所述有效壁常数κ₁中消掉。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于：所述用于空隙度分布的控制方程在下列稳定条件下建立：在所述控制方程中不发散；考虑抑制涡流，使气泡流的动能和气泡流的漂浮势能总和达到最小。

4.一种用于分析在巡航舰船中靠近船表面的流域中产生的气泡喷射对减少表面摩擦产生的效应的方法，该方法包括的步骤为：

根据气泡增加的质量m_A、气泡直径d_b、动态液体粘度系数ν_L，对用于气泡在x-向和y-向移动的动力方程(1)和(2)进行傅立叶变换，x-向和y-向分别代表液流方向和与所述舰船表面成直角的方向，以及分别根据方程(3)和(4)获得包含气泡时间常数T和涡流频率ω_L的在x-向增益的表达式G_x和在y-向增益的表达式G_y；

通过假定在所述流域中涡流周期2π/ω_L与所述积分时间标度T_*L相等，根据无气泡流中的壁面法则中标准常数κ、液体密度ρ_L、动态液体粘度系数ν_L和在x-向的时间平均速度u_L，可获得在高频带区的作用在气泡上的阻力ΔR_ν；

从方程(17)中获得由所述阻力ΔR_ν产生的剪切力减少量τ_t；

根据经验常数a、所述气泡直径d_b、所述动态粘度系数ν_L、摩擦流速U_t和近壁局部空隙度α_W，通过把所述方程(17)和表达剪切力减少量τ_t的方程(22)比较，从方程(27)中获得混合长度减少量l_mb，其中τ_t假定为是由混合长度减少量l_mb产生的；

通过利用方程(27)，获得如在方程(33)中壁面法则中的修正壁常数κ₂，根据作为参数的所述经验常数a和所述气泡直径d_b，通过把所述壁常数κ₂从所述标准壁常数κ中减去，从而获得如方程(34)的用于气泡流的有效的壁常数κ₁；

根据无气泡流速方程(36)和有气泡流速的方程(40)，假定液体速度分布遵守对数法则，并假定位置参数y可由涡流边界层厚度δ来表示，推导表示所述标准壁常数κ和无气泡流中的局部摩擦系数C_f0之间关系的方程(44)和表示所述有效的壁常数κ₁和有气泡流中的摩擦系数C_f之间关系的方程(45)；

把所述方程(44)从所述方程(45)中减去，从而获得方程(48)，在方程(48)中把(C_f/C_f0)^1/2进行级数表达展开，大约为1，于是导出方程(49)，方程(49)包括第一阶展开式，还展开有气泡流的有效的壁常数κ₁的所述方程(48)中底层项v_t/U_T，于是导出方程(50)；以及

在所述高频带区，通过把所述方程(50)替换到所述方程(33)中，得到第一解，把所述第一解替换到所述方程(34)得到第二解，把所述第二解替换到所述方程(49)中，解之得所述表面摩擦系数C_f/C_f0的解析解的表达式(55)；

其中上述涉及到的方程在下面列出： $\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}\stackrel{\·\·}{X}+\stackrel{\·}{X}=u_L^{\′}---\left(1\right)$ $\frac{m_A}{3\mathrm{\π}{\mathrm{\μ}}_L{d}_b}\stackrel{\·\·}{Y}+\stackrel{\·}{Y}=v_L^{\′}---\left(2\right)$ $\frac{\hat{Y}}{{\hat{v}}_L^{\′}}=\frac{1}{\sqrt{1+T^2{{\mathrm{\ω}}_L}^2}}\frac{1}{{\mathrm{\ω}}_L}=G_Y---\left(4\right)$ $\mathrm{\Δ}{\hat{R}}_v=\frac{27}{4\mathrm{\π}}{\mathrm{\κ\ρ}}_L{\left(v_L{T}_{*L}\right)}^2{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(16\right)$ ${\mathrm{\τ}}_t=\frac{81}{{\mathrm{\π}}^2}{\mathrm{\κ\ρ}}_L{\left(\frac{v_L{T}_{*L}}{d_b}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w{\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(17\right)$ ${{\mathrm{\τ}}_t=2{\mathrm{\ρ}}_L{l}_{m0}{l}_{\mathrm{mb}}\left(\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y}\right)}^2---\left(22\right)$ $l_{\mathrm{mb}}={\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_{w}y---\left(27\right)$ ${\mathrm{\κ}}_2={\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(33\right)$                  κ₁＝κ-κ₂ $=\mathrm{\κ}-{\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(34\right)$ $u_0^{+}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\log y_0^{+}+B$ 其中B为常数                   (36) $u^{+}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log y^{+}+B---\left(40\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=\frac{1}{\mathrm{\κ}}\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}+B---\left(44\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_f}}=\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log \sqrt{\frac{C_f}{C_{f0}}}{\mathrm{\δ}}_0^{+}+B---\left(45\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}-\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}\log \sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}+(\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}-\frac{1}{\mathrm{\κ}})\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}---\left(48\right)$ $\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}-\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}=-\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}(1-\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}})+(\frac{1}{{\mathrm{\κ}}_1}-\frac{1}{\mathrm{\κ}})\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}---\left(49\right)$ $\frac{v_L}{U_{\mathrm{\τ}}}=\frac{v_L}{U}\sqrt{\frac{2}{C_f}}=\sqrt{\frac{C_{f0}}{C_f}}\frac{v_L}{U}\sqrt{\frac{2}{C_{f0}}}---\left(50\right)$ $\frac{C_f}{C_{f0}}=\left\{\frac{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-2\left(\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}{1+\sqrt{2/C_{f0}}{\mathrm{\κ}}_{10}-\left(\log {\mathrm{\δ}}_0^{+}\right){\mathrm{\κ}}_{20}/\mathrm{\κ}}\right\}(1-{\mathrm{\α}}_w)---\left(55\right)$

5.根据权利要求4所述的方法，其特征在于：可认为所述气泡是遵守方程(56)中表达的质量守恒定律，此时在所述船表面附近的流域中的运动包括在液流方向，即x-向的液体流量j_x，和垂直于所述船表面的y-向液体流量j_y，结果在由平均液体流速和所述气泡的漂浮力产生的作用在所述气泡上的阻力影响下，导致具有局部空隙度α的汽相的分散；

根据局部空隙度α，在x-向上的平均流速u_L，在y-向汽相速度的均方值v_b、经验常数C、如方程(57)中的汽相混合长度l_b，求出所述j_x的近似值；以及根据所述局部空隙度α，在y-向的平均液流速v_L、气泡上升速度q_g、所述经验常数C、方程(58)中的所述汽相混合长度l_b，求出所述j_y的近似值，于是获得如方程(64)的空隙度分布的控制方程的表达；

对所述控制方程(64)求解，得到关于参数常数κ₀和κ₁及涡流层厚度δ的所述局部空隙度α的表达式(74)；

从实验获得的空隙度分布图象中确定κ₀值，并把所述κ₀值代入到κ₀表达的方程(75)中，得到和所述方程(34)的联立方程，于是替换带气泡直径d_b的气泡流的有效壁常数κ₁和经验常数a，导出基于空隙度分布为参数的表面摩擦系数比C_f/C_f0的解析表达式，上面引入的方程在下面列出： $\frac{{\∂j}_x}{\∂x}+\frac{{\∂j}_y}{\∂y}=0---\left(56\right)$ $j_x=\mathrm{\α}{\stackrel{-}{u}}_L-\left[\right\{\mathrm{\α}{\hat{v}}_b+\frac{{\mathrm{cl}}_b}{2}\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)\}-\{\∂{\hat{v}}_b-\frac{{\mathrm{cl}}_b}{2}\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)\left\}\right]---\left(57\right)$ $=\mathrm{\α}{\stackrel{-}{u}}_L-{\mathrm{cl}}_b\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)$ $j_y=\mathrm{\α}{\hat{v}}_L-\mathrm{\α}{q}_g-{\mathrm{cl}}_b\frac{\∂}{\∂y}\left(\mathrm{\α}{\hat{v}}_b\right)---\left(58\right)$ ${{\mathrm{cl}}_b}^2(\mathrm{\α}\frac{{\∂}^2{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y^2}+\frac{\∂\mathrm{\α}}{\∂y}\frac{\∂{\stackrel{-}{u}}_L}{\∂y})+\mathrm{\α}{q}_g=0---\left(64\right)$ $\mathrm{\α}=K_1{y}^{-K_0+1}{(1-\frac{y}{\mathrm{\δ}})}^{K_0}---\left(74\right)$ $K_0=\frac{9{{\mathrm{\κ}}_1}^3{U}_{\mathrm{\τ}}g}{2c{v_L}^3}{\left(\frac{d_b}{a}\right)}^4---\left(75\right)$ κ₁＝κ-κ₂ $=\mathrm{\κ}-{\left(\frac{v_L/U_{\mathrm{\τ}}}{d_b/a}\right)}^2{\mathrm{\α}}_w---\left(34\right)$

6.根据权利要求5所述的方法，其特征在于：所述常数κ₀从所述经验获得的空隙度分布图案在如下的稳定条件下确定：在所述控制方程中不产生发散；考虑到抑制涡流，气泡流的动能和气泡流的漂浮势能之和最小化。

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