CN117219213B - 相场法定量预测含铌奥氏体不锈钢铌化物析出规律的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种相场法定量预测含铌奥氏体不锈钢铌化物析出规律的方法，属于含铌奥氏体不锈钢材料数值模拟技术领域；解决了传统热加工及热处理工艺设计中因大批量试错实验研究而产生的高成本、低效率等问题；包括如下步骤：基于差示扫描量热法和热力学计算软件得到含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围；将温度范围梯度划分为多个热处理实验需要的保温温度和保温时间，采用相场法进行不同工艺下的含铌奥氏体不锈钢中铌化物的组织形貌演化计算，获得析出相尺寸及体积分数演变规律；将相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间进行对应转换；本发明应用于含铌奥氏体不锈钢铌化物析出数值模拟。
Description
技术领域
本发明提供了一种相场法定量预测含铌奥氏体不锈钢铌化物析出规律的方法，属于含铌奥氏体不锈钢材料数值模拟技术领域。
背景技术
奥氏体耐热不锈钢以其廉价成本及优异高温性能成为超临界、超超临界电站锅炉用无缝钢管的重要选择材料。为进一步提高奥氏体耐热不锈钢的高温性能，在新一代超超临界过热器用不锈钢的研发过程中，通过添加较高含量的铌、氮元素进行析出强化来提高钢的服役性能。该钢种服役温度通常是在650℃左右的高温蒸汽氧化环境中，服役时间可达100000h以上，在此过程中，合金中大量纳米铌化物以及富铜相的析出使得含铌奥氏体不锈钢具有蠕变断裂强度高、组织稳定性好、抗蒸汽氧化性好及高温耐蚀性优良等特点，但随着服役时间增加，在高温高压条件作用下，铌化物会产生明显粗化行为，极大降低高温服役性能。因此，为了更好地并有针对性的设计超超临界电站锅炉用含铌奥氏体不锈钢，亟需明确含铌奥氏体不锈钢中析出相在长时间服役环境作用下的演变行为。
通常，针对热处理过程组织演变规律或者材料服役性能影响规律的研究往往集中于大批量的反复试验摸索，其中保温温度和保温时间两个参数是影响组织析出相演变的两个关键参数，而其影响规律通常需要大量的梯度实验研究，另外，对于上万小时的服役过程试验研究，不仅需要大量时间，同时因能耗增加而带来的生产试验成本也会急剧提高。为了尽量提高热处理工艺制定效率，研究人员采用差示扫描量热法（DSC）来进行合金相变温度点检测，可以极大程度缩短相变温度区间实验范围，但由于检测设备局限性，无法进行长时间高温条件下的析出相演变行为表征，因此，对于不同热处理条件下铌化物的演变规律以及长时间高温条件下的组织形貌演变仍无法进行高效率的直接观测，这使得实际生产中最佳热处理工艺制定仍较为繁琐，无法有效预测判断材料的长时间服役性能。
发明内容
本发明为了解决传统热加工及热处理工艺设计中因大批量试错实验研究而产生的高成本、低效率等问题，提出了一种相场法定量预测含铌奥氏体不锈钢铌化物析出规律的方法。
为了解决上述技术问题，本发明采用的技术方案为：一种相场法定量预测含铌奥氏体不锈钢铌化物析出规律的方法，包括如下步骤：
S1：基于差示扫描量热法和热力学计算软件得到含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围；
S2：将步骤S1中得到的含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围梯度划分为多个热处理实验需要的保温温度和保温时间，采用相场法进行不同工艺下的含铌奥氏体不锈钢中铌化物的组织形貌演化计算，获得析出相尺寸及体积分数演变规律；
S3：将相场法中采用的相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间进行对应转换，构建出可准确描述时间转换关系的方程，实现含铌奥氏体不锈钢中铌化物演变规律的定量预测，并辅助预测判断含铌奥氏体不锈钢的服役性能。
所述步骤S2具体包括：
S2.1：确定热处理实验需要的温度梯度间隔和时间梯度间隔；
S2.2：建立含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型；
S2.3：计算析出相尺寸及体积分数。
所述步骤S2.2具体包括：
S2.2.1：将含铌奥氏体不锈钢简化为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系，确定Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的热力学参数与动力学参数；
S2.2.2：建立Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的扩散动力学方程；
S2.2.3：建立Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的弹性应变能方程。
所述步骤S2.2.1中Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的热力学参数与动力学参数具体包括：Fe-Cr-Nb-C四元合金体系元素对应析出相的吉布斯自由能、元素间的相互作用参数、元素扩散系数以及基体和析出相的弹性常数。
所述步骤S2.2.1中Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的热力学参数与动力学参数具体包括：Fe-Cr-Nb-C四元合金体系元素对应析出相的吉布斯自由能、元素间的相互作用参数、元素扩散系数以及基体和析出相的弹性常数。
所述步骤S2.2.2中Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的扩散动力学方程的表达式如下：
；
上式中：用表示浓度，i=1,2,3,4分别代表Fe，Cr，Nb，C元素，/>表示空间中的某一位置，t表示某一时刻的时间，其中Fe的浓度c 1 =1-c 2 -c 3 -c 4 ，c 2 、c 3 、c 4 分别表示Cr、Nb、C的浓度，/>为满足涨落耗散理论的热噪声项；F为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系总自由能；δ为变分法上的变分过程，/>表示自由能F对浓度c的变分求导；/>表示哈密顿算子；表示化学迁移率，表示为：
；
上式中：δ ik 和δ jk 为Kronecker-Delta函数，c i 为元素i的浓度，c j 为元素j的浓度，c k 为元素k的浓度，M k 为元素k的迁移率；其中i=j=2,3,4，i=j=2表示Cr元素，i=j=3表示Nb元素，i=j=4表示C元素；k=1,2,3,4，k=1表示Fe元素，k=2表示Cr元素，k=3表示Nb元素，k=4表示C元素；如果i=k，j=k，则δ ik =δ jk =1，否则δ ik =δ jk =0；元素k的迁移率M k 和元素k的扩散系数D k 有关：
；
其中R为气体常数，T为绝对温度，元素k的扩散系数D k 为：
；
其中Q k 为元素k的扩散激活能，为频率因子。
Fe-Cr-Nb-C四元合金体系总自由能F的表达式如下：
；
F CH 和F EL 分别为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的化学自由能和弹性应变能；
其中：；
；
上式中：f ch 为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系局域化学自由能项；为成分梯度能系数；c为元素浓度；V为系统体积，即含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型模拟区域的体积；C ijkl 为弹性模量张量，i、j、k、l是张量下标，表示四阶张量，/>、/>为外加应变，上标a表示施加的含义，/>、/>为非均匀应变，/>为不同元素的晶格错配度，/>、/>为Kronecker-Delta函数，/>，其中/>为元素初始浓度，c表示元素某一时刻的浓度，/>表示的是浓度c的变化。
所述步骤S3中相场法中采用的相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间的参数转换关系的表达式如下：
；
其中t为模拟步长所对应的真实时间，b是模拟区域的网格尺寸，，其中N是沿x方向或y方向的网格数N=64，L是模拟区域的宽度，/>为模拟步长时间间隔，元素扩散系数/>，其中D Nb 的单位为m 2 /s，τ为与温度相关的耦合函数，/>，R为气体常数，T为绝对温度，T0为初始温度。
本发明相对于现有技术具备的有益效果为：本发明基于差示扫描量热法以及热力学计算软件得到合金相转变信息，缩短热处理温度梯度范围区间，根据热力学数据库得到合金体系的热力学参数，建立热处理过程含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型，然后通过计算模拟有限温度区间及时间内组织形貌演化过程，并通过模拟实验跨尺度参数转换，直接得到定量预测的热处理过程析出相尺寸、体积分数以及分布形貌等组织演变规律，不需要进行复杂的大批量实验测试，具有低成本、高效率的优点，极大程度上提高了含铌奥氏体不锈钢热加工、热处理工艺设计的效率，同时通过析出形貌演化过程以及析出相尺寸及体积分数可以辅助判断含铌奥氏体不锈钢长时间的服役性能。
附图说明
下面结合附图对本发明做进一步说明：
图1为本发明方法的流程图；
图2含铌奥氏体不锈钢在650℃高温高压条件下，时效时间分别为1000h，3000h，5000h，8000h析出相模拟演化结果与实验结果对比图，图中（2a1）~（2d1）为相场计算模拟结果图，（2a2）~（2d2）为实验透射电镜表征结果图，其中（2a2）~（2d2）为参考文献Jin X, XiaX, Li Y, et al. Quantitative study of microstructure evolution and the effectonmechanical properties of Super304H during aging[J]. Materials atHighTemperatures, 2019, 36(5): 459-470中公开的透射电镜表征结果图；
图3为相场模拟的含铌奥氏体不锈钢在650℃高温高压长时间服役环境下析出相形貌及浓度曲线图，图中（3a）为析出相形貌，（3b）为图（3a）中箭头方向Nb、C、Fe和Cr元素的浓度曲线图；
图4为含铌奥氏体不锈钢在650℃高温高压长时间服役环境下析出相尺寸分布图，图中（4a）为计算模拟结果图，（4b）为实验表征结果图，其中（4b）为参考文献Jin X, Xia X,Li Y, et al. Quantitative study of microstructure evolution and the effectonmechanical properties of Super304H during aging[J]. Materials atHighTemperatures, 2019, 36(5): 459-470中公开的实验表征结果图；
图5为相场模拟的含铌奥氏体不锈钢在650℃高温高压长时间服役环境下析出相体积分数及不同时效时间（2500h、5000h、10000h、30000h）下相应的组织形貌图；
图6为相场模拟的含铌奥氏体不锈钢组织中铌化物析出体积分数为1.5%时，不同保温温度（550℃、600℃、650℃、700℃、750℃）下所需要的保温时间及相应组织形貌图。
具体实施方式
本发明针对长时间服役环境下含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相析出演变规律的定量预测进行研究，通过快速的相变行为实验表征以及热力学计算来首先确定含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度区间，然后根据获得的相关热力学参数建立含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型，通过已设定的温度梯度及时间梯度进行多个梯度热处理实验模拟，在模拟演化过程中依据析出相尺寸、体积分数以及分布形貌可以定量预测一定温度及时间条件下的析出相析出规律。整体方法流程如图1所示。具体包括以下步骤：
S1：基于差示扫描量热法和热力学计算软件得到含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围Ts~Tf。
S2：在该析出温度范围Ts~Tf内，梯度设计多个热处理实验需要的保温温度Ti（i=1~n）和保温时间tj（j=1~m），采用相场法进行不同工艺下的含铌奥氏体不锈钢中铌化物的组织形貌演化计算，获得析出相尺寸及体积分数Fp演变规律。
S3：将相场法中采用的相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间进行对应转换，构建出可准确描述上述时间转换关系的方程，真正实现含铌奥氏体不锈钢中铌化物演变规律的定量预测，并辅助预测判断含铌奥氏体不锈钢的服役性能。
其中步骤S1中差示扫描量热法的测试温度范围为30℃~1400℃，热力学计算软件采用基于CALPHAD方法的商用热力学软件Pandat计算。根据实验测试、热力学计算结果，并考虑含铌奥氏体不锈钢的服役环境，因此，含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围Ts~Tf选择为550℃~750℃。
其中步骤S2包含以下步骤：
S2.1：确定热处理实验需要的温度梯度间隔和时间梯度间隔/>。
温度梯度间隔（Tn-Tn-1）的范围设置为10℃~50℃，时间梯度间隔/>（tm-tm-1）的范围设置为100h~1000h。
S2.2：建立含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型，具体步骤如下：
S2.2.1：将含铌奥氏体不锈钢简化为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系，确定Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的热力学参数与动力学参数。该热力学参数与动力学参数具体包括Fe-Cr-Nb-C四元合金体系元素对应析出相的吉布斯自由能、元素间的相互作用参数、元素扩散系数以及基体和析出相的弹性常数等。
Fe-Cr-Nb-C四元合金体系中相关热力学参数和动力学参数如下：
纯组元吉布斯自由能的表达式如下：
；
；
；
；
上式中：表示γ相中Fe元素的纯组元初始吉布斯自由能，/>表示γ相中Nb元素的纯组元初始吉布斯自由能，/>表示γ相中Cr元素的纯组元初始吉布斯自由能，表示气体中C元素的纯组元吉布斯自由能，T表示绝对温度。
元素间的相互作用参数的表达式如下：
；
；
；
；
；
；
上式中：表示γ相晶体结构中Fe、Nb元素间的相互作用参数，/>表示γ相晶体结构中Fe、Cr元素间的相互作用参数，/>表示γ相晶体结构中Fe、C元素间的相互作用参数，/>表示γ相晶体结构中Nb、C元素间的相互作用参数，c Nb 表示Nb元素的浓度，c C 表示C元素的浓度，/>表示γ相晶体结构中Nb、Cr元素间的相互作用参数，c Cr 表示Cr元素的浓度，/>表示γ相晶体结构中Cr、C元素间的相互作用参数。
元素扩散系数的表达式如下：
；
；
；
；
上式中：表示γ相晶体结构中Fe元素的频率因子，/>表示γ相晶体结构中Fe元素的激活扩散能，/>表示γ相晶体结构中Cr元素的频率因子，/>表示γ相晶体结构中Cr元素的激活扩散能，/>表示γ相晶体结构中Nb元素的频率因子，表示γ相晶体结构中Nb元素的激活扩散能，/>表示γ相晶体结构中C元素的频率因子，/>表示γ相晶体结构中C元素的激活扩散能。
基体和析出相的弹性常数的表达式如下：
基体的弹性常数为：，/>，/>；
析出相的弹性常数为：，/>，/>；
上式中：表示基体的弹性常数，m表示基体，/>表示析出相的弹性常数，p表示析出相，弹性常数最多有21个独立分量，晶系的对称性越高，独立的张量元数目越少，根据计算，立方晶系只有3个独立矩阵元：C11，C12，C44，本发明模拟的铌化物为面心立方结构FCC，所以采用三个弹性常数C11，C12，C44。
S2.2.2：建立Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的扩散动力学方程。该方程可表示为：
（1）；
上式中：用表示浓度，i=1,2,3,4分别代表Fe，Cr，Nb，C元素，/>表示空间中的某一位置，t表示某一时刻的时间，其中Fe的浓度c 1 =1-c 2 -c 3 -c 4 ，c 2 、c 3 、c 4 分别表示Cr、Nb、C的浓度，/>为满足涨落耗散理论的热噪声项；/>为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系总自由能；δ为变分法上的变分过程，/>表示自由能F对浓度c的变分求导；/>表示哈密顿算子；表示化学迁移率，表示为：
（2）；
上式中：δ ik 和δ jk 为Kronecker-Delta函数(克罗内克函数)，c i 为元素i的浓度，c j 为元素j的浓度，c k 为元素k的浓度，M k 为元素k的迁移率；其中i=j=2,3,4，i=j=2表示Cr元素，i=j=3表示Nb元素，i=j=4表示C元素；k=1,2,3,4，k=1表示Fe元素，k=2表示Cr元素，k=3表示Nb元素，k=4表示C元素；如果i=k，j=k，则δ ik =δ jk =1，否则δ ik =δ jk =0；元素k的迁移率M k 和元素k的扩散系数D k 有关：
（3）；
其中R为气体常数（R=8.314472J/mol∙K），T为绝对温度。元素k的扩散系数D k 可写为：
（4）；
其中Q k 为元素k的扩散激活能，为频率因子。
另外，所建Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的总自由能可表示为：
（5）；
F CH 和F EL 分别为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的化学自由能和弹性应变能。化学自由能可表示为：
（6）；
其中，f ch 为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系局域化学自由能项；为成分梯度能系数；V为系统体积，即含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型模拟区域的体积。Fe-Cr-Nb-C四元合金体系局域化学自由能可表示为：
（7）；
其中，表示简单机械混合自由能，/>为i元素的吉布斯自由能，c i 为i元素的浓度；/>表示理想混合熵自由能，其中R为气体常数，T为绝对温度；表示超额自由能，/>和/>分别表示析出相的二元和三元相互作用参数，i、j、k为不同元素，c j 为j元素的浓度，c k 为k元素的浓度。
S2.2.3：建立Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的弹性应变能方程。该方程可表示为：
（8）；
其中，为空间位置矢量；/>和/>分别表示弹性应力以及弹性应变，σ为应力，ε为应变，el为上标，表示弹性，/>为弹性模量张量，弹性模量张量可以表示为：
（9）；
式中，为基体与析出相间的平均弹性模量，即/>，为基体的弹性模量，m为基体，/>为析出相的弹性模量，p为析出相；而表示析出相与基体间的弹性模量差值；/>，其中/>为元素初始浓度，c表示元素某一时刻的浓度，/>表示的是浓度c的变化。当/>取值为0时，表示为均匀弹性系统。
局部无应力应变由下式给出：
（10）；
式中，为不同元素的晶格错配度，可以通过关系式/>近似得到；/>为Kronecker-Delta函数(克罗内克函数)。
弹性应变可以表示为：
（11）。
根据线弹性胡克定律，对应的弹性应力可以写为：
（12）；
最后得到弹性应变能的总表达式：
（13）；
上式中：C ijkl 为弹性模量张量，i、j、k、l是张量下标，表示四阶张量，、/>为外加应变，上标a表示施加的含义，/>、/>为非均匀应变，/>为不同元素的晶格错配度，、/>为Kronecker-Delta函数，/>，其中/>为元素初始浓度，c表示元素某一时刻的浓度，/>表示的是浓度c的变化。
S2.3：根据铌化物析出相演化相场模型计算析出相尺寸及体积分数。
相场组织模拟形貌演化过程的可视化是通过不同元素的浓度大小以及浓度分布来实现的，因此，通过统计NbC析出相所代表的浓度下限以及相应的模拟区域的网格大小尺寸来确定析出相在整个模拟区域中的尺寸分布以及体积分数大小。
其中步骤S3中相场法中采用的相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间的参数转换关系可以通过以下方程建立：
（14）；
其中t为模拟步长所对应的真实时间，b是模拟区域的网格尺寸，，其中N是沿x方向（或y方向）的网格数N=64，L是模拟区域的宽度，L=256nm，b=4nm，/>为模拟步长时间间隔，/>，元素扩散系数/>，其中D Nb 的单位为m 2 /s，τ为与温度相关的耦合函数，/>，T为绝对温度，T0为初始温度，这里取800K。
步骤S2中铌化物析出相演化相场模型的建立以及程序运行需要以Matlab2020a为基本平台，电脑处理器为i7-8700k，运内存为16G。
经上述多个梯度模拟过程以及不同尺度时间参数转换后可以获得含铌奥氏体不锈钢中铌化物的演变规律。
根据图2的模拟结果可以看出，在时效1000h时相场模拟结果中有很多小尺寸的析出相，原因是在模拟过程中由于设置初始成分起伏导致部分Nb元素优先聚集形成小尺寸的富Nb区，因此，在统计析出相时候，认为尺寸大于40nm的富Nb区为析出相。根据图2中（2b1）、（2b2）、（2c1）、（2c2）、（2d1）、（2d2）的结果，可以看出随着时效时间延长，析出相逐渐粗化，但整体尺寸变化差异较小，其中图（2a2）~（2d2）为参考文献Jin X, Xia X, Li Y, et al.Quantitative study of microstructure evolution and the effect on mechanicalproperties of Super304Hduring aging[J]. Materials at High Temperatures, 2019,36(5): 459-470中公开的透射电镜表征结果图。图3则表明了模拟结果中该析出相为铌化物。图4中体现了析出相尺寸随时效时间的演化结果，计算和实验结果都表明析出相在初始一定时间范围内会出现长大现象，而后续随着时间延长，析出相尺寸波动较小，与图（4b）的实际组织表征结果（即参考文献Jin X, Xia X, Li Y, et al. Quantitative study ofmicrostructure evolution and the effect on mechanical properties ofSuper304Hduring aging[J]. Materials at High Temperatures, 2019, 36(5): 459-470中公开的实验表征结果图）相比，整体析出相尺寸预测误差在5%以内。图5则实时体现出了图4中相应过程的相体积分数以及形貌演变过程，而图6表明了随着时效温度升高，要达到所需要的析出相体积分数时，需要的时效时间会快速减少。可以看出，整体计算模拟结果与实际实验结果可以很好的对应，因此，该方法能够作为含铌奥氏体不锈钢实际最佳热处理工艺设计以及长时间服役性能的判断依据。
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。
Claims (1)
1.一种相场法定量预测含铌奥氏体不锈钢铌化物析出规律的方法，其特征在于：包括如下步骤：
S1：基于差示扫描量热法和热力学计算软件得到含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围；
S2：将步骤S1中得到的含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出的温度范围梯度划分为多个热处理实验需要的保温温度和保温时间，采用相场法进行不同工艺下含铌奥氏体不锈钢中铌化物的组织形貌演化计算，获得析出相尺寸及体积分数演变规律；
所述步骤S2具体包括：
S2.1：确定热处理实验需要的温度梯度间隔和时间梯度间隔；
S2.2：建立含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型；
所述步骤S2.2具体包括：
S2.2.1：将含铌奥氏体不锈钢简化为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系，确定Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的热力学参数与动力学参数；所述步骤S2.2.1中Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的热力学参数与动力学参数具体包括：Fe-Cr-Nb-C四元合金体系元素对应析出相的吉布斯自由能、元素间的相互作用参数、元素扩散系数以及基体和析出相的弹性常数；
S2.2.2：建立Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的扩散动力学方程；所述步骤S2.2.2中Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的扩散动力学方程的表达式如下：
；
上式中：用表示浓度，i=1,2,3,4分别代表Fe，Cr，Nb，C元素，/>表示空间中的某一位置，t表示某一时刻的时间，其中Fe的浓度c 1 =1-c 2 -c 3 -c 4 ，c 2 、c 3 、c 4 分别表示Cr、Nb、C的浓度，/>为满足涨落耗散理论的热噪声项；F为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系总自由能；δ为变分法上的变分过程，/>表示自由能F对浓度c的变分求导；/>表示哈密顿算子；表示化学迁移率，表示为：
；
上式中：δ ik 和δ jk 为Kronecker-Delta函数，c i 为元素i的浓度，c j 为元素j的浓度，c k 为元素k的浓度，M k 为元素k的迁移率；其中i=j=2,3,4，i=j=2表示Cr元素，i=j=3表示Nb元素，i=j =4表示C元素；k=1,2,3,4，k=1表示Fe元素，k=2表示Cr元素，k=3表示Nb元素，k=4表示C元素；如果i=k，j=k，则δ ik =δ jk =1，否则δ ik =δ jk =0；元素的迁移率M k 和元素k的扩散系数D k 有关：
；
其中R为气体常数，T为绝对温度，元素k的扩散系数D k 为：
；
其中Q k 为元素k的扩散激活能，为频率因子；
S2.2.3：建立Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的弹性应变能方程；
Fe-Cr-Nb-C四元合金体系总自由能F的表达式如下：
；
F CH 和F EL 分别为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系的化学自由能和弹性应变能；
其中：；
；
上式中：f ch 为Fe-Cr-Nb-C四元合金体系局域化学自由能项；为成分梯度能系数；c为元素浓度；V为系统体积，即含铌奥氏体不锈钢中铌化物析出相演化相场模型模拟区域的体积；C ijkl 为弹性模量张量，i、j、k、l是张量下标，表示四阶张量，/>、/>为外加应变，上标a表示施加的含义，/>、/>为非均匀应变，/>为不同元素的晶格错配度，/>、/>为Kronecker-Delta函数，/>，其中/>为元素初始浓度，c表示元素某一时刻的浓度，/>表示的是浓度c的变化；
S2.3：计算析出相尺寸及体积分数；
S3：将相场法中采用的相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间进行对应转换，构建出可准确描述时间转换关系的方程，实现含铌奥氏体不锈钢中铌化物演变规律的定量预测，并辅助预测判断含铌奥氏体不锈钢的服役性能；
所述步骤S3中相场法中采用的相场模拟尺度时间参数与实际热处理实验的真实时间的参数转换关系的表达式如下：
；
其中t为模拟步长所对应的真实时间，b是模拟区域的网格尺寸，，其中N是沿x方向或y方向的网格数N=64，L是模拟区域的宽度，/>为模拟步长时间间隔，元素扩散系数，其中D Nb 的单位为m 2 /s，τ为与温度相关的耦合函数，/>，R为气体常数，T为绝对温度，T0为初始温度。
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