CN117195650B - 基于高阶矩阵指数完美匹配层的fdtd计算方法及系统 - Google Patents
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Abstract
本申请公开了基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算方法及系统，属于电磁仿真技术领域，方法包括：将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式；引入高阶PML拉伸坐标函数，并将所述坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式；基于所述拆分通式求解所述PML区域公式，得到更新公式。本申请用于射频与微波器件在仿真中模拟无限大的开放边界条件，通过引入高阶PML拉伸函数的频域响应通式，将ME算法引入到高阶PML算法中，去除了公式中的卷积项与对时间的微分近似，提高了对边界条件反射波的吸收，增大吸收效率，减少运行内存与计算时间。
Description
技术领域
本申请属于电磁仿真技术领域，具体涉及基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算方法及系统。
背景技术
近些年来，随着计算电磁学算法的发展，不断涌现出各种各样的电磁场数值方法，其中经典的时域有限差分法(FDTD)因为其实用性与简便性依然被广泛使用。但是在使用FDTD算法处理工程问题时，由于在仿真中无法模拟一个无限大的开放空间，于是Berenger首次提出了完美匹配层(PML)的概念，用于在算法仿真中截断FDTD域，模拟开放空间，并且PML可以做到无反射波，不会对FDTD域内部的仿真器件产生影响。但是Berenger最初所提出的PML是基于分裂场的更新公式，这种方法的PML更新公式较多，编程较为繁琐。于是在基于分裂场的PML之后，一些公式更为简洁的新型PML算法不断出现。这些方法虽然数学表达式有所不同，但是都会引起不同方面反射，于是对PML参数的选择显得尤为重要。
目前最广为使用的是复频移完美匹配层(CFS-PML),这种方法不需要分裂电场或磁场，并且参数的选择较为准确和稳定。CFS-PML在计算内存和时间消耗方面具有优势，而且吸收效果较好，所以PML边界可以放置据被测器件相当近的位置。但是在CFS-PML中引入坐标拉伸函数之后，由于傅里叶变换从频域转换到时域将会导致公式中引入卷积运算。而卷积运算一般使用离散卷积项来进行近似处理，这样将会导致更新公式的精度降低。
从许多FDTD仿真问题中可以发现，高阶PML拉伸坐标函数可以提高PML的吸收性能。这些高阶PML相对于一阶PML具有良好的吸收效果，但在其公式的推导中仍含有卷积。但是，卷积PML在一些例子中吸收效果并不好，主要是因为它与所用的FDTD方法的时间步长不同步。一些PML算法利用Z变换来避免卷积运算的出现。将更新公式从频域转换到时域再转换到Z域，频域相乘到时域卷积再到Z域相乘，由此去除卷积运算，接下来在Z域中对方程进行处理得到最终的更新公式。但是由于Z域是离散域，在离散域中对公式进行处理必然会带来误差。因此，为了去除卷积项又不提高数值误差，Jiang引入了矩阵指数(ME)算法，从公式的推导中去除卷积项。这种方法最初被应用于色散介质仿真，比Z变换和循环卷积方法的精度更高。Jiang将其应用于PML，作为CFS-PML的替代品，不仅在吸收效应方面表现良好，而且没有不当的时间步长。但是由于ME方法应用形式的特殊性，一般的高阶PML拉伸坐标函数不能作用其中，这使得ME方法对PML的研究始终停留在一阶的基础之上。使得ME方法的计算效果难以进一步提高，应用场景变得相当有限。
发明内容
本申请旨在解决现有技术的不足，提出基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算方法及系统，用于射频与微波器件在仿真中模拟无限大的开放边界条件，通过引入高阶PML拉伸函数的频域响应通式，将ME算法引入到高阶PML算法中。
为实现上述目的，本申请提供了如下方案：
基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算方法，包括以下步骤：
将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式；
引入高阶PML拉伸坐标函数，并将所述坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式；
基于所述拆分通式求解所述PML区域公式，得到更新公式。
优选的，所述PML区域公式为：
其中，Dx和Bx为x方向上的电位移矢量和磁通密度，sy和sz为拉伸坐标函数，Hz和Hy为z方向上和y方向上的磁场；
其中，η＝y，z，κmη、σmη和αmη为高阶PML拉伸坐标函数引入的参数，κmη大于等于1，σmη和αmη非负，M为高阶PML拉伸坐标函数的总阶数，m为阶数。
优选的，所述拆分通式为：
其中，l为与m不相等的阶数。
O(m，l)η＝σm η+αmηκmη-αlηκlη
P(m,l)η＝κlησmη+αmηκmηκlη-κmησlη-αlηκmηκlη
优选的，得到所述二阶拆分通式的方法包括：
令：
其中，ε0为空气中的介电常数；
令M＝2，则得到所述二阶拆分通式：
优选的，得到所述更新公式的方法包括：
将所述二阶拆分通式引入至所述PML区域公式中，并引入辅助变量，得到x方向上的电位移矢量Dx；
对所述电位移矢量Dx和所述辅助变量进行傅里叶变换得到第一公式，并将所述第一公式使用时间积分，得到解析解；
基于所述解析解得到所述更新公式。
优选的，所述电位移矢量Dx为：
其中，所述辅助变量为：
优选的，所述第一公式为：
其中，
优选的，所述解析解为：
其中，
r′mΞη＝rmΞη·umη·O(m，l)η/P(m，l)η，
优选的，所述更新公式为：
其中，
本申请还提供了基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算系统，包括：第一计算模块、第二计算模块和更新模块；
所述第一计算模块用于将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式；
所述第二计算模块用于引入高阶PML拉伸坐标函数，并将所述坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式；
所述更新模块用于基于所述拆分通式求解所述PML区域公式，得到更新公式。
与现有技术相比，本申请的有益效果为：
本申请用于射频与微波器件在仿真中模拟无限大的开放边界条件，通过引入高阶PML拉伸函数的频域响应通式，将ME算法引入到高阶PML算法中，去除了公式中的卷积项与对时间的微分近似，提高了对边界条件反射波的吸收，增大吸收效率，减少运行内存与计算时间。
附图说明
为了更清楚地说明本申请的技术方案，下面对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅是本申请的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动性的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本申请实施例的方法流程示意图；
图2为本申请实施例的系统结构示意图；
图3为本申请实施例的PEC板示意图；
图4为本申请实施例中PEC板的CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的相对反射误差；
图5为本申请实施例的倒F天线结构示意图；
图6为本申请实施例中倒F天线的CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的相对反射误差；
图7为本申请实施例中倒F天线的ME-PML和HO-ME-PML的累计误差；
图8为本申请实施例中倒F天线的CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的S11曲线；
图9为本申请实施例中倒F天线在2.4GHz频率下的方向图，(a)为E平面，(b)为H平面；
图10为本申请实施例的HO-ME-PML算法在倒F天线上的频率相对反射误差；
图11为本申请实施例的小型超材料天线的结构示意图；
图12为本申请实施例中小型超材料天线的CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的相对反射误差；
图13为本申请实施例的HO-ME-PML算法吸收效果的后期稳定性示意图；
图14为本申请实施例中小型超材料天线的CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的S11曲线；
图15为本申请实施例中小型超材料天线在3.2GHz下的辐射模式，(a)为E平面，(b)为H平面。
具体实施方式
下面将结合本申请实施例中的附图，对本申请实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。
为使本申请的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本申请作进一步详细的说明。
实施例一
在本实施例中，如图1所示，基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算方法，包括以下步骤：
在频域的麦克斯韦方程组为：
其中，D和B是电位移矢量和磁通密度，Ji和Mi是电流密度和磁流密度。
S1.将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式。
引入广义材料无关和拉伸坐标PML方法，麦克斯韦方程在无损和无源的PML区域中为：
其中，Dx和Bx为x方向上的电位移矢量和磁通密度，sy和sz为拉伸坐标函数，Hz和Hy为z方向上和y方向上的磁场；
其中，η＝y，z，κmη、σmη和αmη为高阶PML拉伸函数引入的参数，κmη大于等于1，σmη和αmη非负，M为高阶PML拉伸函数的总阶数，m为阶数。
S2.引入高阶PML拉伸坐标函数，并将坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式。
在本实施例中，由于ME算法推导形式具有特殊性，无法直接将高阶PML拉伸函数引入其中。所以必须引入一种适用于ME算法推导的形式，通过引入高阶PML拉伸坐标函数的频域响应拆分通式。拆分通式为：
其中，l为与m不相等的阶数。
P(m,l)η＝κlησmη+σmηκmηκlη-κmησlη-αlηκmηκlη (9)
这种特殊形式的高阶拆分通式可以直接用于ME算法推导过程之中，由于M＝2的情况在许多应用中更为实际，下面以2阶为例推导Sη。
令：
其中，ε0为空气中的介电常数；
令M＝2，则有：
展开(11)的最后一项可得：
将(12)带入到(11)中，可得：
其中，
将(14)和(15)带入到(13)中，得到二阶拆分通式：
S3.基于拆分通式求解所述PML区域公式，得到更新公式。
得到更新公式的方法包括：将二阶拆分通式引入至PML区域公式中，并引入辅助变量，得到x方向上的电位移矢量Dx；对电位移矢量Dx和辅助变量进行傅里叶变换得到第一公式，并将第一公式使用时间积分，得到解析解；基于解析解得到更新公式。
在本实施例中，以x方向上的电位移矢量Dx为例，推导更新公式：
其中，引入的辅助变量为：
为了获得与(17)相同的形式，将辅助变量变换为：
此时，在引入高阶PML拉伸函数的频域拆分通式后，电场和辅助变量已被转换为与ME算法的实现相一致的形式。通过对方程(17)、(22)-(25)进行傅里叶变换，可以得到第一公式，为：
其中，
与其他PML方法不同的是，这里并不使用差分格式来近似时间上的微分，而是使用时间积分来去除微分，从而得到一个精确的解决公式。(26)的解析解为：
在[nΔt，(n+1)Δt]内积分，可以获得解析解为：
因为电场只在nΔt和(n+1)Δt更新，磁场在nΔt和(n+1)Δt之间只有一个值，所以方程(32)中的Q是一个常数，可以表示为：
其中，
辅助变量被引入用来简化计算：
将(36)式中的Δt替换为τ并且进行积分，可以得到：
其中，
将(37)与Λ2相乘，可以获得：
其中，
r’mΞη＝rmΞη·umη·O(m,l)η/P(m，l)η (41)
将(36)与(40)带入(33)，可以获得更新公式为：
其中，
在这个更新公式中，所有空间上的微分都是通过中心差分格式来近似的。以上是二阶ME-PML电场Dx的完整推导过程。其他电场和磁场的更新公式也是类似的推导。
实施例二
在本实施例中，如图2所示，基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算系统，包括：第一计算模块、第二计算模块和更新模块。
第一计算模块用于将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式。
第二计算模块用于引入高阶PML拉伸坐标函数，并将所述坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式。
更新模块用于基于拆分通式求解PML区域公式，得到更新公式。
实施例三
为了证明本申请的准确性和效率，本实施例中以PEC板为例进行模拟。本实施例中用于算法模拟的计算机配置为Intel Core i5-8300H CPU(2.30GHz)和8GB RAM(DDR42667MHz)。
FDTD空间网格被分成51×126×26个网格，其中每个网格的大小为1mm×1mm×1mm。PEC板是一个没有厚度的理想板，被分成25×100个网格。PEC板和PML之间有3个网格的距离，PML的厚度为10个网格。PEC板显示在图3中。激励源为：
其中，tω＝25ps，t0＝4tω，时间步长为其中Δl为网格尺寸。
为了更直观地展示吸收性能，可以通过使用公式(51)计算得到相对反射误差。其中，通过将从PEC板到PML的距离从3个网格增加到78个网格，可以得到电场值的参考解。
在本实施例中，使用了CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML进行比较，并在图4中显示了它们的误差。CFS-PML中使用的参数为m＝3，κmax＝7，σopt＝1.5(m+1)/(150πΔl)，αmax＝0.05；ME-PML中使用的参数为m＝3，κmax＝12，σopt＝9，αmax＝0.2。具体形式如下：
其中，d表示PML的总长度，x表示位置到PML内部边界的距离。HO-ME-PML的参数为：
根据图4，CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的最大误差分别为-62.8dB、-68.3dB和-84.7dB。相比于CFS-PML和ME-PML，HO-ME-PML的吸收性能明显提升，分别降低了21.9dB和16.4dB。此外，可以清楚地看到，与其他两种方法相比，特别是在后期迭代中，HO-ME-PML在吸收性能上取得了显著的改进。
实施例四
在本实施例中，以倒F天线为例进行模拟。
图5展示了印刷的F天线，其中基底的介电常数为2.2，上表面的线宽为2.4mm。该天线的具体尺寸如表1所示(单位：毫米)。
表1
所使用的网格大小为0.262mm×0.4mm×0.4mm，FDTD域中的网格数为43×140×140，其中天线距离PML的距离为10个网格，PML在所有方向上都为10个网格。所使用的激励为高斯波形电压源，如下所示：
其中tω＝10ps，t0＝4tω，时间步长为Δt＝0.9Δtmax，Δtmax如下所示：
由于在PML区域和非PML区域的接口处反射波最大，所以采样点设置在(11,11,11)网格，并计算相对反射误差。参考解决方案是将FDTD域网格扩展到163×260×260，其中天线距离PML和PML在每个方向上的厚度从原来的10个网格扩展到40个网格，并且观测点在网格扩展之前保持在相同的位置。所使用的印刷F天线的CFS-PML参数为κmax＝10，αmax＝0.07，而ME-PML参数为κmax＝17，σopt＝42.12，αmax＝0.4。其余参数与PEC板示例中相同。HO-ME-PML参数为m1＝6，其余参数与(53)相同。从图6中可以看出，在相同的PML厚度下，CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML的最大误差分别为-42.8dB、-74.6dB和-78.6dB，ME-HO-PML的吸收性能在后期得到了改善，约比ME-PML低25dB。而通常的卷积PML在开始时的性能较差，误差随着连续迭代逐渐减小，而本申请提出的方法，在迭代开始时可以达到更低水平的相对反射误差，从而使较短运行时间的天线部分更准确。通过计算累积误差可以观察算法的准确性，如下所示。
在图7中，HO-ME-PML算法在迭代初期已经收敛，并且累积误差值较小。而ME-PML的累积误差不断增加，并且只在迭代结束时收敛，误差值较大，是HO-ME-PML的五倍。通过减少PML层数和从天线到边界的网格到5，观察这些算法对S11曲线的影响。参考曲线是在不改变条件的情况下获得的结果。从图8可以看出，几种算法在宽频带上的差异较小。为了突出频域中算法的差异，我们将天线和PML之间的间距减小到2个网格。然后，我们使用HFSS商业软件将天线在共振频率下的辐射图案与这些算法进行比较，以衡量它们之间的差异。图9清楚地显示了HO-ME-PML算法与HFSS更相似，并且在频域中比其他两种算法具有更高的准确性。此外，图10显示了HO-ME-PML算法在频域中的相对反射误差。
在相同的PML厚度下，ME-HO-PML算法的内存和计算时间比ME-PML和CFS-PML更多，但由于其吸收性能比其他两种算法更好，不需要设置与ME-PML和CFS-PML相同的厚度。从图6可以看出，使用8个单元的PML时，HO-ME-PML的吸收性能与使用10个单元的ME-PML类似。这些四种PML运行相同步骤所需的内存和时间记录在表2中。与ME-PML相比，使用8个单元的HO-ME-PML内存减少了8.9％，计算时间减少了11.2％。
表2
实施例五
在本实施例中，以小型超材料天线为例进行模拟。
图11显示了小型超材料天线，其中基板的介电常数为2.65。该小型超材料天线的具体尺寸如表3所示(单位：毫米)。
表3
天线的网格尺寸为0.5mm×0.5mm×0.5mm，FDTD域的网格划分为110×110×42，其中天线与PML相距10个网格，PML的厚度为10层。激励源波形、观测点位置和参考解与倒F天线相同。所使用的CFS-PML和ME-PML的参数与倒F天线相同。HO-ME-PML方法的参数与公式(53)中的参数相同。
从图12可以看出，与其他两种算法相比，HO-ME-PML的相对反射误差在早期迭代中已经处于较低水平。在迭代的中间阶段，ME-PML算法出现明显的反弹，导致误差更大。而HO-ME-PML没有反弹，相对反射误差继续减小，在迭代的后期，HO-ME-PML的吸收性能基本保持比ME-PML好10dB。
通过图13，可以看出HO-ME-PML算法在迭代的后期具有更稳定的吸收性能。它具有更好的后期稳定性，得到的仿真结果将更准确。为了进一步测试性能，分别测试了CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML对S11曲线的影响。将PML层数和天线到PML的距离缩短到之前的一半，并进行仿真，得到图14，其中参考曲线是在没有缩短距离的情况下获得的S11曲线，而HO-ME-PML算法更好地拟合了参考曲线。这表明当PML层数非常薄或者天线非常靠近边界时，HO-ME-PML的吸收效果仍然很好。
此外，从图15可以看出，与CFS-PML和ME-PML方法相比，所提出的HO-ME-PML方法在小型超材料天线的共振频率下的辐射方向图更准确。表4记录了运行相同时间步长时CFS-PML、ME-PML和HO-ME-PML所需的内存占用和时间消耗。从图12可以看出，9个单元的HO-ME-PML和10个单元的ME-PML的吸收性能相当。通过表4可以看出，尽管9层的HO-ME-PML和10层的ME-PML的时间消耗相似，但前者的内存占用比后者提高了9.1％。
表4
以上所述的实施例仅是对本申请优选方式进行的描述，并非对本申请的范围进行限定，在不脱离本申请设计精神的前提下，本领域普通技术人员对本申请的技术方案做出的各种变形和改进，均应落入本申请权利要求书确定的保护范围内。
Claims (2)
1.基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算方法，其特征在于，包括以下步骤：
将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式；
引入高阶PML拉伸坐标函数，并将所述坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式；
基于所述拆分通式求解所述PML区域公式，得到更新公式；
所述PML区域公式为：
其中，Dx和Bx为x方向上的电位移矢量和磁通密度，sy和sz为拉伸坐标函数，Hz和Hy为z方向上和y方向上的磁场；
其中，η＝y，z，κmη、σmη和αmη为高阶PML拉伸坐标函数引入的参数，κmη大于等于1，σmη和αmη非负，M为高阶PML拉伸坐标函数的总阶数，m为阶数；
所述拆分通式为：
其中，l为与m不相等的阶数，
P(m，l)η＝κlησmη+αmηκmηκlη-κmησlη-αlηκmηκlη；
得到二阶拆分通式的方法包括：
令：
其中，ε0为空气中的介电常数；
令M＝2，则得到所述二阶拆分通式：
得到所述更新公式的方法包括：
将所述二阶拆分通式引入至所述PML区域公式中，并引入辅助变量，得到x方向上的电位移矢量Dx；
对所述电位移矢量Dx和所述辅助变量进行傅里叶变换得到第一公式，并将所述第一公式使用时间积分，得到解析解；
基于所述解析解得到所述更新公式；
所述电位移矢量Dx为：
其中，所述辅助变量为：
所述第一公式为：
其中，
所述解析解为：
其中，
rmΞη＝(1-rmΞη)/vmη，
r′mΞη＝rmΞη·umη·O(m，l)η/P(m，l)η，
所述更新公式为：
其中，
2.基于高阶矩阵指数完美匹配层的FDTD计算系统，所述计算系统应用权利要求1所述的计算方法，其特征在于，包括：第一计算模块、第二计算模块和更新模块；
所述第一计算模块用于将麦克斯韦方程引入至无损无源的PML区域，得到PML区域公式；
所述第二计算模块用于引入高阶PML拉伸坐标函数，并将所述坐标函数在频域内拆分为任意阶通式，得到拆分通式；
所述更新模块用于基于所述拆分通式求解所述PML区域公式，得到更新公式。
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