CN114417667A - 基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法 - Google Patents

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CN114417667A CN202210050156.5A CN202210050156A CN114417667A CN 114417667 A CN114417667 A CN 114417667A CN 202210050156 A CN202210050156 A CN 202210050156A CN 114417667 A CN114417667 A CN 114417667A
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Abstract

基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法，属于计算电磁仿真领域。包括以下步骤：1)设置FDTD算法的仿真参数；2)确定仿真精度和离散网格数；3)在双曲介质中加入正弦波源；4)更新电场和磁场分量；5)绘制磁场分布，并分析稳定性；6)数据后处理，若步骤5)中得到的磁场场量的结果不收敛，或误差较大，则说明PML不稳定，需要对PML进行修正。在双曲材料中传播的电磁波在传统PML和COMSOL频域PML仿真中存在数值发散的问题，本发明解决时域传统PML和COMSOL中频域PML不能吸收双曲材料中的电磁波的问题，并表现出很强的稳定性，数值结果进一步验证了PML改进技术的有效性。

Description

基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法
技术领域
本发明属于计算电磁仿真领域，尤其是涉及一种基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法。
背景技术
近年来，随着微纳加工技术的不断进步，在亚波长尺度下物质与电磁波的相互作用引起了人们的广泛关注。电磁超构材料是一种由特征尺寸远小于工作波长的结构单元所构成，具有自然界材料不存在的电磁特性的人工材料。作为电磁超构材料的一个重要分支，双曲超材料由于其独特的近场电磁波操控特性成为人们研究的焦点。通过改变组成双曲超材料内部的表面等离子体激元激发强度和方向的调控，从而使双曲超材料呈现出独特的色散特性。双曲超材料已经在很多领域得到应用，包括亚波长成像，广场局域和增强自发辐射等。另一方面，双曲超表面作为一种特殊新型的平面超材料，具有双曲色散特性，在理论和应用上也与双曲超材料有着诸多共性。与块体结构的双曲超材料相比，由于其纵向维度尺寸的大幅度减小，双曲超表面可以将电磁波限制在二维平面上，易于片上器件的集成，因而在近些年受到研究人员的极大关注。
在电磁波传播的无界空间中，完美匹配层(PML)被开发为一种有效的技术来截断计算域，PML可以吸收传入的电磁波，PML在计算区域边界引入了虚拟各向异性有损介质，在一定条件下，计算区域空间与虚拟有损介质完全匹配，而不会在吸收边界和常规材料的交界处引起反射，计算空间中的外部电磁波可以进入PML层而无需反射，介质中的电磁波逐渐衰减，从而有效地吸收向外传播的电磁波。经典PML在不同类型的介质中表现出了超高的吸收效率，适用于线性色散材料，理论上也适用于负折射率材料的模拟，但是通过分析，PML在很多具有负折射率的材料中是不稳定的。比如在双曲超材料中，由于波的群速和相速的矢量积在PML的方向为负，所以在双曲超材料中传播的电磁波进入完美匹配层时会表现出不稳定性。
发明内容
本发明的目的在于针对现有技术存在的上述问题，提供基于Drude模型的双曲材料PML吸收算法，可提高双曲材料中电磁波吸收的稳定和效率的基于时域有限差分(Finitedifference time domain，FDTD)的双曲超材料的完美匹配层方法。
本发明包括以下步骤：
1)设置FDTD算法的仿真参数；
2)确定仿真精度和离散网格数；
3)在双曲介质中加入正弦波源；
4)更新电场和磁场分量；
5)绘制磁场分布，并分析稳定性；
6)数据后处理，若步骤5)中得到的磁场场量的结果不收敛，或误差较大，则说明PML不稳定，需要对PML进行修正。
在步骤1)中，所述设置FDTD算法的仿真参数，设置仿真时间步数为1500，PML层厚度为9网格数，仿真频率为1.5×1014Hz。
在步骤2)中，所述确定仿真精度和离散网格数的具体步骤可为：每最小波长采样点数为N_lambda为10，x和y方向上的离散网格数分别为：3λ×6λ。
在步骤3)中，所述在双曲介质中加入正弦波源，并更新磁场的具体步骤和原理为：
波源设置为单一频率正弦波sin(ωt)，其中
Figure BDA0003473859060000021
则等效后的双曲介质材料参数为εx(ω)＝1εy(ω)＝-1。
在步骤4)中，所述更新电场和磁场分量，具体改进方式和实施步骤为：
双曲材料的相对磁导率μr＝1，相对介电常数εr有以下矩阵张量形式：
Figure BDA0003473859060000022
其中，εx(ω)＝1εy(ω)＝-1，为改进双曲介质中PML不稳定现象，引入辅助变量
Figure BDA0003473859060000023
修正后向波，使后向波的电磁波修正为前向波；
Figure BDA0003473859060000024
其中，i可取x或y，进而基于PML的坐标变换改进为：
Figure BDA0003473859060000031
Figure BDA0003473859060000032
Figure BDA0003473859060000033
Figure BDA0003473859060000034
不同的
Figure BDA0003473859060000035
被用于修正不同方向上的后向波，对于上述双曲介质中传播的电磁波来说，在x方向上为后向波，为了使其满足稳定条件，采取
Figure BDA0003473859060000036
在y方向上为前向波，选取
Figure BDA0003473859060000037
对于另一种在y方向带有后向波模式的双曲介质，可以取
Figure BDA0003473859060000038
而在x方向为前向波模式，选取
Figure BDA0003473859060000039
为了简化从频域到时域的坐标变换，
Figure BDA00034738590600000310
的选择应该尽可能地简单；对于双曲介质来说，在x方向上为后向波，取
Figure BDA00034738590600000311
使PML在x方向上稳定，同时，y方向上为前向波选取
Figure BDA00034738590600000312
使用改进后的PML的坐标变换及进行频域到时域的变换，引入辅助变量My和Ky，则改进后TE波在PML中的迭代方程为：
Figure BDA00034738590600000313
Figure BDA00034738590600000314
Figure BDA00034738590600000315
Figure BDA00034738590600000316
Figure BDA00034738590600000317
Figure BDA00034738590600000318
Figure BDA00034738590600000319
在步骤5)中，所述绘制磁场分布，并分析稳定性，当双曲材料中的电磁波进入PML后，表现出稳定的趋势，被完美吸收，在PML内部，电磁波场量表现出稳定的趋势，电磁波被完美吸收。
与现有技术相比，本发明的优点在于：
由于在双曲材料中传播的电磁波在传统PML和COMSOL频域PML仿真中存在数值发散的问题，本发明提出基于Drude模型的双曲材料PML吸收算法，提出的数值算法解决了时域传统PML和COMSOL中频域PML不能吸收双曲材料中的电磁波的问题，并表现出了很强的稳定性，数值结果进一步验证PML改进技术的有效性。
附图说明
图1为本发明实施例的流程示意图。
图2为磁场Hz在时间步400，600，800，1200的分布情况。其中，(a)为本发明，(b)为传统PML。
图3为在PML内部网格点(175,30)处的磁场随着时间的变化。其中，(a)为本发明，(b)为传统PML。
图4为在前向模式和双曲后向模式中的相速和群速。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下实施例将结合附图对本发明进行作进一步的说明。
如图1所示，本发明实施例包括以下步骤：
1)定义仿真模型参数，定义电场磁场分量，磁导率等；设置仿真时间步数为1500，PML层厚度为9网格数，仿真频率为1.5×1014Hz。
2)确定离散网格数；每最小波长采样点数为N_lambda为10，x和y方向上的离散网格数分别为：3λ×6λ。
3)在双曲介质中加入正弦波源，并更新磁场；具体步骤和原理为：波源设置为单一频率正弦波sin(ωt)，其中
Figure BDA0003473859060000041
则等效后的Drude mode材料参数为εx(ω)＝1εy(ω)＝-1。
4)更新电场分量；
5)绘制磁场分布，并分析稳定性；
6)数据后处理，上述步骤5)中得到的磁场场量的结果若不收敛，或者误差较大，则说明PML不稳定，需要对PML进行修正。
在步骤4)中，更新电场分量具体改进方式和实施步骤为：
双曲材料的相对磁导率μr＝1，相对介电常数εr有以下矩阵张量形式：
Figure BDA0003473859060000051
其中εx(ω)＝1εy(ω)＝-1，为改进双曲介质中PML不稳定现象，引入辅助变量
Figure BDA00034738590600000514
修正后向波，使后向波的电磁波修正为前向波。
Figure BDA0003473859060000052
其中，i可以取x或者y，进而基于PML的坐标变换改进为：
Figure BDA0003473859060000053
Figure BDA0003473859060000054
Figure BDA0003473859060000055
Figure BDA0003473859060000056
不同的
Figure BDA0003473859060000057
被用于修正不同方向上的后向波，对于上述双曲介质中传播的电磁波来说，在x方向上为后向波，为了使其满足稳定条件，采取
Figure BDA0003473859060000058
在y方向上为前向波，选取
Figure BDA0003473859060000059
对于另一种在y方向带有后向波模式的双曲介质，可以取
Figure BDA00034738590600000510
而在x方向为前向波模式，选取
Figure BDA00034738590600000511
为了简化从频域到时域的坐标变换，
Figure BDA00034738590600000512
的选择应该尽可能地简单；对于双曲介质来说，在x方向上为后向波，取
Figure BDA00034738590600000513
使PML在x方向上稳定，同时，y方向上为前向波选取
Figure BDA0003473859060000061
使用改进后的PML的坐标变换及进行频域到时域的变换，引入辅助变量My和Ky，则改进后TE波在PML中的迭代方程为：
Figure BDA0003473859060000062
Figure BDA0003473859060000063
Figure BDA0003473859060000064
Figure BDA0003473859060000065
Figure BDA0003473859060000066
Figure BDA0003473859060000067
Figure BDA0003473859060000068
从图2的(a)可以看出，当双曲材料中的电磁波进入PML后，表现出了稳定的趋势，被完美吸收，同时，从图3的(a)图也可以看出，在PML内部，电磁波场量表现出稳定的趋势，电磁波被完美吸收。
以下给出本发明的原理及与传统PML的对比说明：
众所周知，各向异性材料的介电常数εr为一张量(这里不考虑磁性材料)，通过对角化，其在笛卡尔坐标系可以表示为：
Figure BDA0003473859060000069
其中：当εxx≠εyy≠εzz时，称为双轴材料；当εxx＝εyy≠εzz时，称为单轴材料；当εxx＝εyy＝εzz时，材料退化为各向同性材料。双曲超材料属于第一种情况的单轴材料。
电通密度
Figure BDA00034738590600000610
和电场强度
Figure BDA00034738590600000611
的本构关系、磁流密度
Figure BDA00034738590600000612
和磁场强度
Figure BDA00034738590600000613
的本构关系可表示为：
Figure BDA00034738590600000614
Figure BDA00034738590600000615
其中，ε0和μ0分别是真空中的介电常数和磁导率，εr和μr分别是相对介电常数和相对磁导率(可以为张量)。在本发明实施例中，考虑非磁性的二维材料，μr＝1，εr有以下矩阵张量形式：
Figure BDA0003473859060000071
在笛卡尔坐标系统中，针对二维常规晶体介质中，相对介电常数有沿着主对角线的两个分量都是为正的且通常都是依赖于频率ω，对于二维TE波来说，频域的麦克斯韦方程可表示为：
Figure BDA0003473859060000072
Figure BDA0003473859060000073
其中，
Figure BDA0003473859060000074
为电场分量，Hz为磁场分量，若存在一个频率ω可以使得εx(ω)·εy(ω)＜0，则具有这种参数性质的材料被称为双曲材料，为了仿真这种双曲材料，采用各项异性Drude介质在特定得频率下进行等效仿真，假设εy(ω)＜0其各项异性Drude介质材料参数表示为：
Figure BDA0003473859060000075
其中，ωp是等离子体的频率，从上面的公式可以看出，该材料在不同的方向和频率下有不同的特点：
1、在x方向，当εx(ω)＝const,const＞0时，为常规材料的介电常数。
2、在y方向，当ω＞ωp，则εy(ω)＞0为常规材料介电常数。当ω＜ωp，则εy(ω)＜0，此时材料为双曲材料。
将Drude介质模拟的双曲材料带入上述的麦克斯韦方程中，并引入辅助变量Jy，得到：
Figure BDA0003473859060000076
Figure BDA0003473859060000077
jωJy＝Ey
Figure BDA0003473859060000078
对于传统PML来说，运用如下频域坐标转换关系：
Figure BDA0003473859060000081
Figure BDA0003473859060000082
Figure BDA0003473859060000083
Figure BDA0003473859060000084
其中，σex和σey分别为x和y方向上的电导率，σmx和σmy分别是x和y方向上的磁衰减率；
为了仿真方便，将磁场分裂为两个分量
Figure BDA0003473859060000085
之和，同时引入辅助变量Py方便方程离散。采用ejωt为时谐因子及频域和时域的转换关系：
Figure BDA0003473859060000086
则带有PML的时域电场磁场迭代方程为：
Figure BDA0003473859060000087
Figure BDA0003473859060000088
Figure BDA0003473859060000089
Figure BDA00034738590600000810
Figure BDA00034738590600000811
Figure BDA00034738590600000812
为了验证传统PML对双曲介质中的电磁波的吸收情况，采用FDTD算法离散迭代式方程。其离散网格数为180×360，其中PML层设置20个网格，整个仿真区域的大小为3λ×6λ，其中，λ为双曲波的波长。在材料为μr＝1,
Figure BDA00034738590600000813
的计算区域中心添加一个正弦源sin(ωt)，其中ω＝1×1016rad/s，其等效的双曲介质材料为εy(ω)＝-1,εx(ω)＝1。
图2给出磁场Hz分量在时间步为400，600，800，1200时的分布情况，从图2可以看出，Hz在刚开始还没进入PML区域的时是稳定的，当波进入PML区域时，引起了x方向的PML出现不稳定的现象。
图3给出在PML内部网格点(175，30)处的磁场随着时间的变化，从图3可以看出，600时间步后，在PML内部出现不稳定现象，随着仿真的继续，传统PML内部出现明显的数值发散现象。
为了研究双曲介质中传统PML会失效的情况，首先分析双曲介质中电磁波的相速vp和群速vg的关系。给定一个方向n，模式为前向模式(后向模式)，若满足以下条件：
Figure BDA0003473859060000091
Figure BDA0003473859060000092
则成为前向波(后向波)。
实验表明，在各向同性无色散介质中，相速和群速是相等的，但是在双曲介质中，相速vp和群速vg在同一方向的朝向不相同，相速和群速的内积小于0。因此，电磁波在离开计算区域的时候，其相速度是指向内部的非PML计算区域；一般情况下，在PML区域传播的电磁波的应该是衰减的。但是，在双曲介质中，电磁波的磁场场值却不断增大，这违背PML的吸收电磁波的目的，可见，在双曲介质中传统PML会失效。
实际上，传统PML只能吸收前向模式的电磁波，却不能吸收后向模式的电磁波。图4为在前向模式和双曲后向模式中的相速和群速，所以根据以上结论，传统PML对Drude模型和各向异性等离子模型中的前向波吸收表现稳定而对后向波的吸收表现不稳定。
本发明为了改进双曲介质中不稳定的PML，引入辅助变量
Figure BDA0003473859060000093
修正后向波，使后向电磁波修正为前向波。
Figure BDA0003473859060000094
其中，i可取x或y。
改进后PML的坐标变换改进为：
Figure BDA0003473859060000095
Figure BDA0003473859060000096
Figure BDA0003473859060000101
Figure BDA0003473859060000102
不同的
Figure BDA0003473859060000103
被用于修正不同方向上的后向波，对于双曲介质中传播的电磁波来说，在x方向上为后向波，为使其满足稳定条件，可以采取
Figure BDA0003473859060000104
在y方向上，为前向波，因此可以采取
Figure BDA0003473859060000105
对于在y方向带有后向波模式的双曲介质，可以取
Figure BDA0003473859060000106
在x方向为前向波模式，可以取
Figure BDA0003473859060000107
为了设计一种稳定的双曲介质的PML，
Figure BDA0003473859060000108
的选择可以是不唯一的，为简化从频域到时域的坐标变换，
Figure BDA0003473859060000109
的选择应该尽可能地简单。对于双曲介质来说，在x方向上为后向波，可以取
Figure BDA00034738590600001010
使PML在x方向上稳定，同时，在y方向上为前向波，取
Figure BDA00034738590600001011
将改进后的PML的坐标变换加入双曲介质中电磁波的迭代方程中，同时为简化频域到时域的变换，引入辅助变量My和Ky，则改进后的PML的迭代方程为：
Figure BDA00034738590600001012
Figure BDA00034738590600001013
Figure BDA00034738590600001014
Figure BDA00034738590600001015
Figure BDA00034738590600001016
Figure BDA00034738590600001017
Figure BDA00034738590600001018
同样采取与前面传统PML仿真相同的参数设置，磁场Hz分别p在400，600，800，1200时间步取值，如图2中的图(b)为本发明的仿真结果。可以观察到，磁场在x方向上的后向波始终保持稳定，进入PML后被完全无反射吸收，并没有出现传统PML中的数值发散问题，从而验证修正后PML技术的有效性。

Claims (5)

1.基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法，其特征在于包括以下步骤：
1)设置FDTD算法的仿真参数；
2)确定仿真精度和离散网格数；
3)在双曲介质中加入正弦波源，并更新磁场；
4)更新电场和磁场分量；
5)绘制磁场分布，并分析稳定性；
6)数据后处理，若步骤5)中得到的磁场场量的结果不收敛，或误差较大，则说明PML不稳定，需要对PML进行修正。
2.如权利要求1所述基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法，其特征在于在步骤1)中，所述设置FDTD算法的仿真参数的具体方法为，设置仿真时间步数为1500，PML层厚度为9网格数，仿真频率为1.5×1014Hz。
3.如权利要求1所述基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法，其特征在于在步骤2)中，所述确定仿真精度和离散网格数的具体步骤为：每最小波长采样点数为N_lambda为10，x和y方向上的离散网格数分别为：3λ×6λ。
4.如权利要求1所述基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法，其特征在于在步骤3)中，所述在双曲介质中加入正弦波源，并更新磁场的具体步骤和原理为：正弦波源设置为单一频率正弦波sin(ωt)，其中
Figure FDA0003473859050000011
则等效后的双曲介质材料参数为εx(ω)＝1εy(ω)＝-1。
5.如权利要求1所述基于时域有限差分的双曲超材料的完美匹配层方法，其特征在于在步骤4)中，所述更新电场和磁场分量，具体步骤为：双曲材料的相对磁导率μr＝1，相对介电常数εr有以下矩阵张量形式：
Figure FDA0003473859050000012
其中εx(ω)＝1εy(ω)＝-1，为改进双曲介质中PML不稳定现象，引入辅助变量
Figure FDA0003473859050000013
修正后向波，使后向波的电磁波修正为前向波；
Figure FDA0003473859050000021
其中，i取x或y，进而基于PML的坐标变换改进为：
Figure FDA0003473859050000022
Figure FDA0003473859050000023
Figure FDA0003473859050000024
Figure FDA0003473859050000025
不同的
Figure FDA0003473859050000026
被用于修正不同方向上的后向波，对于上述双曲介质中传播的电磁波来说，在x方向上为后向波，为使其满足稳定条件，采取
Figure FDA0003473859050000027
在y方向上为前向波，选取
Figure FDA0003473859050000028
对于另一种在y方向带有后向波模式的双曲介质，取
Figure FDA0003473859050000029
而在x方向为前向波模式，选取
Figure FDA00034738590500000210
为简化从频域到时域的坐标变换，
Figure FDA00034738590500000211
的选择相应简单；对于双曲介质来说，在x方向上为后向波，取
Figure FDA00034738590500000212
使PML在x方向上稳定，同时，y方向上为前向波选取
Figure FDA00034738590500000213
使用改进后的PML的坐标变换及进行频域到时域的变换，引入辅助变量My和Ky，则改进后TE波在PML中的迭代方程为：
Figure FDA00034738590500000214
Figure FDA00034738590500000215
Figure FDA00034738590500000216
Figure FDA00034738590500000217
Figure FDA00034738590500000218
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