CN116931283A - 一种具有激光防护功能的光电成像系统 - Google Patents
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Abstract
本发明提出了一种具有激光防护功能的光电成像系统，是一种基于立方涡旋相位调控元件的波前编码成像系统，包括立方涡旋相位调控元件、成像镜头、图像传感器和图像处理系统。当无干扰激光时，物像经过成像镜头聚焦和立方涡旋相位调控元件调制后，被图像传感器接收，图像传感器将接收到的模糊编码图像送到图像处理系统中进行解码处理，获得清晰的解码图像，再输出显示。当存在干扰激光时，立方涡旋相位调控元件的相位调控作用能够重新分布到达图像传感器的能量，降低图像传感器上的最大单像素接收功率来达到抗激光损伤的目的。本发明能够在保证成像质量的同时具有激光防护功能，提升成像系统复杂环境适应性。
Description
技术领域
本发明涉及光电成像系统，具体涉及一种具有激光防护功能的光电成像系统。
背景技术
光电成像系统的构成主要包括光学系统、图像传感器和图像处理系统，其中图像传感器一般放置于光学系统的焦平面附近并垂直光学系统的光轴，工作时通过调焦使目标景物成像于探测器平面，以获得清晰的图像输出。干扰激光照射该类光电成像系统时，光学系统的高光学增益导致图像传感器处聚焦光斑面积极小且功率密度极高，造成光电探测器极易被损伤。因此光电成像系统追求优良的成像能力的同时，还需要增强抗激光损伤的能力。为保证光电成像系统能够正常发挥作用，需要采用合理可行的技术手段减弱到达成像探测器的峰值光强，减少其被激光损伤的概率，从而提高光电成像设备在复杂环境适应性。
光电成像系统抗激光损伤的典型技术方案包括利用线性材料、非线性材料和相变材料来阻断或者衰减激光。基于线性材料的抗激光损伤技术优点是技术成熟，缺点只能对特定波长进行窄带滤光，形成对特定已知威胁激光的“有限谱段”点防护，防护波长范围有限。基于非线性材料的抗激光损伤技术优点是防护谱段宽，在可见光－近红外谱段都可起到光限幅作用，但是非线性材料的固态化实用化制备还在探索中。相变材料具有防护谱宽和光学密度大的优点，但是皮秒和飞秒量级脉宽激光技术的发展，使得响应时间成为限制相变材料应用的关键因素，且相变材料无法同时具备高线性透过率、大动态范围和高损伤阈值等特性。
研究人员利用波前编码技术中相位掩模板的相位调控作用，提升光电成像系统激光防护能力。相位掩模板的相位调控作用能够重新分布图像传感器处的光斑能量从而大幅降低最大单像素接收功率。立方相位掩模板的相位调制作用使得干扰激光在图像传感器处形成无衍射艾里光束。实验研究表明立方相位掩模板能够切实将成像系统的激光损伤阈值提高2倍，仿真结果表明传输距离为2500m时有望提高30倍。但是光场中心的主瓣能量仍然较为集中，限制着成像系统的抗激光损伤性能。涡旋相位掩模板的相位调制作用使得干扰激光在图像传感器处形成空心环状光束。实验研究证明基于涡旋相位掩模板的波前编码成像可以有效降低成像平面处的峰值光强两个数量级，同时可以恢复出非相干场景实现高质量成像。进一步的研究利用空间光调制器实验验证涡旋、轴锥和立方相位掩模的抗激光损伤性能和成像效果。
基于波前编码技术的激光防护系统具有宽防护谱段，瞬时响应，系统结构紧凑，光学技术成熟，并且不需要预先获取激光的位置、亮度、波长或偏振的优点，是较为理想的激光防护方法。波前编码光电成像系统典型的结构如图1所示，其在成像物镜的孔径光阑位置插入一块相位掩模板使其成为波前编码成像镜头，图像传感器位于镜头的像平面处。目标景物经过成像物镜聚焦和相位掩模板相位调制作用，在图像传感器上形成模糊的编码图像，图像传感器将光学图像信息转换为电信号并通过图像处理系统对编码图像进行解码处理，恢复成清晰的解码图像。
发明内容
本发明的目的在于提供一种保证成像质量的同时具有激光防护功能的光电成像系统。
实现本发明目的的技术解决方案为：一种具有激光防护功能的光电成像系统，为一种波前编码成像系统，该系统包括：成像镜头、图像传感器和图像处理系统和立方涡旋相位调控元件；所述立方涡旋相位调控元件位于激光源与成像镜头位置之间，紧贴成像镜头，与成像镜头形成一个等效相位平面；当无干扰激光时，物像经成像镜头聚焦和相位调控元件调制后，被图像传感器接收，图像传感器将接收到的模糊编码图像送到图像处理系统中进行解码处理，获得清晰的解码图像，再输出显示；当存在干扰激光时，立方涡旋相位调控元件的相位调控作用能够重新分布到达图像传感器的能量，图像传感器处光斑为类似等腰三角形光斑，主瓣能量削弱，光强极大位置转移，从而降低了图像传感器上的最大单像素接收功率以达到抗激光损伤的目的。
进一步地，所述立方涡旋相位调控元件为立方涡旋相位掩模板。
进一步地，最大单像素接收功率为以峰值光强位置坐标为中心、单元像素等效面积内的激光功率。
进一步地，在归一化坐标下，所述立方涡旋相位掩模板的相位调制函数ph(xn,yn)定义为：
其中，(xn,yn)为归一化的空域坐标，取值范围为[-1,1]；α为调制系数，l为拓扑荷数；
所述立方涡旋相位掩模板的加工面型函数vh(xn,yn)为：
其中，λ为波长，n为材料折射率。
进一步地，所述立方涡旋相位掩模板的调制系数和拓扑荷数参数可以根据应用需求进行优化。
进一步地，采用无加工深度限制的单点金刚刀机床对所述立方涡旋相位掩模板的连续自由曲面进行加工。
本发明与现有技术相比，其显著优点在于：立方涡旋相位调控元件的相位调制作用能够重新分布聚焦光斑的能量，使得图像传感器处最大单像素接收功率大幅降低，实现激光防护功能。
附图说明
图1是现有的波前编码成像系统的结构示意图；
图2是本发明的光电成像系统的结构示意图；
图3是本发明的归一化坐标下立方涡旋相位掩模板的相位轮廓示意图；
图4是本发明的立方涡旋相位掩模板的加工面型，其中，图4(a)为立方涡旋相位掩模板的XZ侧视图，图4(b)为立方涡旋相位掩模板的XY俯视图；
图5是常规成像系统的点扩散函数和成像结果；
图6是不同掩模板波前编码成像系统的点扩散函数、编码图像和解码图像；
图7是本发明的光电成像系统的等效激光传输模型；
图8是成像平面处最大单像素接收功率Ppixel随传输距离的变化曲线图；
图9是不同传输距离时成像平面处光斑轮廓和光强分布及对应的最大单像素接收功率。
具体实施方式
为了使本申请的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施示例，对本申请进行进一步详细说明。应当理解，此处描述的具体实施示例仅仅用以解释本申请，并不用于限定本申请。
图2示出了本发明光电成像系统的结构。如图2所示，本发明的具有激光防护功能的光电成像系统，是一种波前编码成像系统，包括：立方涡旋相位调控元件、成像镜头、图像传感器和图像处理系统。
该光电成像系统在成像物镜前放置立方涡旋相位调控元件使其成为波前编码成像镜头，图像传感器位于镜头的像平面处。目标景物经过成像物镜聚焦和立方涡旋相位调控元件相位调制作用，在图像传感器上形成模糊的编码图像，图像传感器将光学图像信息转换为电信号并通过图像处理系统对编码图像进行解码处理，恢复成清晰的解码图像。
当无干扰激光时，物像经立方涡旋相位调控元件和成像镜头聚焦调制后，被图像传感器接收，图像传感器将接收到的模糊编码图像送到图像处理系统中进行解码处理，获得清晰的解码图像，再输出显示。
当存在干扰激光时，立方涡旋相位调控元件的相位调控作用能够重新分布到达图像传感器的能量，图像传感器处光斑为类似等腰三角形光斑，主瓣能量削弱，光强极大位置转移，降低图像传感器上的最大单像素接收功率来达到抗激光损伤的目的。本发明能够在保证成像质量的同时具有激光防护功能，提升成像系统复杂环境适应性。
立方涡旋相位调控元件是该光电成像系统的核心功能元件，立方涡旋相位调控元件具体可以为立方涡旋相位掩模板。作为一个示例，可以将立方涡旋相位掩模板的相位调制函数ph(xn,yn)定义为：
其中，(xn,yn)为归一化的空域坐标，取值范围为[-1,1]，α为调制系数，l为拓扑荷数。
由公式(1)计算得到如图3所示的归一化坐标下立方涡旋相位掩模板的相位轮廓图，计算得到立方涡旋相位掩模板的加工面型函数vh(xn,yn)为：
其中，(xn,yn)为归一化的空域坐标，取值范围为[-1,1]，λ为波长，n为材料折射率，α为调制系数，l为拓扑荷数。
公式中的立方涡旋相位掩模板具体可采用表1所列的参数，当然，可以根据应用需求优化立方涡旋相位掩模板的调制系数和拓扑荷数等参数。
表1立方涡旋相位掩模板加工参数
| 参数 | 数值 |
| 波长 | 532nm |
| 材料折射率 | 1.49 |
| 调制系数 | 74.73 |
| 拓扑荷数 | 10 |
| 相位调制区域半径 | 25mm |
立方涡旋相位掩模板利用无加工深度限制的单点金刚刀机床加工，该技术能够实现对立方涡旋相位掩模板的连续自由曲面的加工，通过对面型的实时测量校准，加工精度可达<1μm。图4示出了采用表1加工参数的立方涡旋相位掩模板的加工面型，图4(a)为立方涡旋相位掩模板的XZ侧视图，图4(b)为立方涡旋相位掩模板的XY俯视图，其中，颜色图表示加工表面的矢高。作为一个示例，可将加工好的立方涡旋相位掩模板放置在成像镜头前，并紧贴成像镜头，实现本发明提出的光电成像系统结构。
当然，本发明的立方涡旋相位掩模板可以由液晶空间光调制器替代，其原理与所述示例相同。
建立本发明光电成像系统的成像模型，计算成像系统的成像结果。假设目标物体的光照是非相干的，则成像系统的线性、空间不变模型的物像关系可以表示为：
Ii(x,y)＝|h(x,y)|2*Ig(x,y) (3)
其中，Ii(x,y)为成像强度图像，下标i表示非相干，(x,y)为空域坐标，h是相干脉冲响应，Ig(x,y)是几何光学理想强度图像，|h(x,y)|2为强度点扩散函数(point spreadfunction,PSF)，公式表明非相干成像与辐照强度呈线性关系，傅里叶变换后得到公式(3)中函数对应的频域形式为：
其中，为Ii(x,y)的归一化频谱，(fx,fy)为频域坐标，/>为光学传递函数(optical transfer function,OTF)，/>为Ig(x,y)的归一化频谱。
基于公式(3)和公式的非相干成像系统仿真可以表示为：
其中，符号表示傅里叶变换，/>表示傅里叶逆变换。
需要注意的是，仿真中抽样间隔Δx需要满足奈奎斯特抽样定理，推导可得：
Δx≤λ(F/#)/2 (6)
其中，λ为波长，F/#为成像系统F数，F数是表示成像系统通光能力的参数，定义为成像系统焦距与入瞳直径的比值。光学传递函数计算成为成像仿真的核心问题。光学传递函数和相干传递函数Hc(fx,fy)分别描述同一成像系统采用非相干和相干光照明时的传递函数，决定于成像系统本身的物理性质，且同一成像系统的光学传递函数等于相干传递函数的自相关归一化函数，可以表示为：
其中，表示光学传递函数，Hc(fx,fy)表示相干传递函数，☆表示相关性，下标norm表示归一化。归一化相当于将光学传递函数按比例缩放，使其直流频率的值为1，即(fx,fy)＝(0,0)。
公式(7)中相干传递函数的定义为：
Hc(fx,fy)＝P(-λdifx,-λdify) (8)
其中，P为成像系统的光瞳函数，di为像距。常规成像系统的圆形光瞳函数为：
其中，D为成像镜头直径。
波前编码成像系统的圆形光瞳函数为：
其中，ph(x,y)定义为立方涡旋相位掩模板的相位调制函数，circ()为圆域函数。
立方涡旋相位掩模板波前编码成像系统的圆形光瞳函数为：
波前编码成像系统获取的编码图像需要进行解码操作来恢复出解码图像。作为一个示例，可以采用较为常用的维纳滤波作为解码算法。当然，本发明所述的波前编码的解码算法不限于实施示例所述的维纳滤波，包括用于解码目的的所有解码算法。维纳滤波解码算法可以表示为：
其中，为解码图像的归一化频谱，/>表示光学传递函数的共轭，K为选定的试探性参数，/>为成像强度图像Ii(x,y)的归一化频谱。
经过维纳滤波后得到的解码图像为：
其中，Id(x,y)表示解码图像。
图5示出了常规成像系统的点扩散函数和成像结果。如图5所示，其点扩散函数为圆形光斑，尺寸较小，能量分布集中，成像结果清晰。
图6示出了波前编码成像系统的点扩散函数、编码图像和解码图像。如图6所示，立方相位掩模板波前编码成像系统的点扩散函数为等腰三角形光斑，主瓣空间分布呈等腰三角形对称结构，顶角为90度，其它级次的光斑依次分布于主瓣包络内。涡旋相位掩模板波前编码编码成像系统的点扩散函数为环形光斑，空间光场结构呈环状分布。本发明的立方涡旋相位掩模板波前编码编码成像系统的点扩散函数为类似等腰三角形光斑，主瓣能量削弱，光强极大位置转移，能够很好的解决等腰三角形光斑主瓣能量较为集中的问题，同时兼具利用旁瓣分散能量的特点。编码图像由于立方涡旋相位掩模板的调制作用，变得模糊，通过选择合理的试探性参数K，获取的解码图像效果接近常规成像系统的成像效果。因此，立方涡旋相位掩模板能够在保证成像质量的同时，提升成像系统的抗激光损伤能力。
图7示出了本发明光电成像系统的等效激光传输模型，用以计算成像系统的激光防护性能。
探究波前编码成像系统的激光防护性能，需要定义合理的评价准则和指标，便于直接对比不同成像系统的性能。过高的光强会导致图像传感器出现损伤现象，考虑到图像传感器是以像素为单位来进行电荷的产生和转移，因此，使用单个像素接收到的最大功率表征成像系统的抗激光损伤性能较为科学。对比抗激光损伤性能时，采用最大单像素接收功率为评价指标。最大单像素接收功率Ppixel的定义为：以峰值光强位置坐标为中心，单元像素等效面积内的激光功率。评价准则如下：相同干扰激光和光学系统条件下，最大单像素接收功率越小，相位掩模板的抗激光损伤性能越好。
波前编码成像系统的等效激光传输模型如图7所示，模型认为立方涡旋相位掩模板和成像镜头紧密结合在一起，将二者视为一个等效相位平面，该模型包括三个主要平面，分别是高斯光束束腰平面、立方涡旋相位掩模板与成像镜头的等效相位平面和成像平面，三个平面依次定义为平面0、平面1和平面2，平面处的复振幅分别使用下标0、1和2标注。束腰与立方涡旋相位掩模板距离为zgauss的高斯光束入射至光学系统表面，分别经立方涡旋相位掩模板CVPM调制和成像镜头L聚焦后，衍射至其后距离di处的图像传感器处。像距di取决于高斯成像公式1/do+1/di＝1/f，其中do为物距，di为像距，f为成像镜头焦距。
规定相位滞后为正。如图7所示，束腰为ω0且距离等效相位平面zgauss的高斯型激光束传输至等效相位平面的前表面，其复振幅分布满足高斯光束传播方程：
其中，(x1,y1)为等效相位平面的位置坐标，z＝zgauss，A0为与功率相关的常数，ω0为束腰尺寸，k为波数，λ为波长，为径向距离，ω(z)为等效相位平面前表面处高斯光束等相位面上的光斑半径，R(z)为等效相位平面前表面处高斯光束等相位面的曲率半径：
立方涡旋相位掩模板与成像镜头的等效相位平面的复振幅透过率函数为：
其中，D为成像镜头直径，f为成像镜头焦距。相位调制函数ph(x1,y1)定义为：
ph(x1,y1)＝α[(2x1/D)3+(2y1/D)3]+il arctan(y1/x1) (x1≠0) (17)
其中，α为调制系数，l为拓扑荷数。
计算得到等效相位平面的后表面复振幅分布为：
其中，为等效相位平面的后表面复振幅分布，/>为等效相位平面的前表面复振幅分布，T(x1,y1)为等效相位平面的复振幅透过率函数。
菲涅尔近似下，其成像平面处的复振幅分布为：
其中，(x2,y2)为成像平面的位置坐标，di为像距。
最后，通过复振幅乘以复振幅的共轭，计算得到成像平面处的光斑轮廓和强度分布：
其中，U2(x2,y2)为成像平面的复振幅分布，为成像平面复振幅分布的共轭。
作为一个实施方式，表2示出了本发明的成像系统的光学系统参数。其中，成像镜头焦距为100mm，尺寸为50mm，立方涡旋相位掩模板的调制系数和拓扑荷数分别为α＝74.73和l＝10。干扰激光功率为10W，波长为532nm，高斯光束束腰尺寸为0.5mm，传输距离为10m～100km。当然，本发明的成像系统方案中的器件参数可以改变，例如成像镜头结构、焦距、尺寸，相位掩模板调制系数和拓扑荷数，以及图像传感器的像元数目和尺寸等。
表2仿真参数
基于表2的光学系统参数，图8示出了成像平面处最大单像素接收功率随传输距离的变化曲线图。由图8可见，常规成像系统的最大单像素接收功率在约10～50m范围迅速上升，约50～300m范围迅速下降，约300m～100km逐渐趋于稳定，1000m时的最大单像素接收功率为6617.15mW。立方相位掩模板波前编码编码成像系统的最大单像素接收功率在约10～20m范围迅速上升，约20～100m范围迅速下降，约100m～100km逐渐趋于稳定，1000m时的最大单像素接收功率为242.02mW。涡旋相位掩模板波前编码编码成像系统的最大单像素接收功率在约10～100m范围迅速上升，约100m～100km逐渐趋于稳定，1000m时的最大单像素接收功率为424.12mW。本发明的立方涡旋相位掩模板波前编码编码成像系统的最大单像素接收功率变化趋势相位平稳，在约10～40m范围轻微上升，约40～100m范围轻微下降，约100m～100km趋于稳定，1000m时的最大单像素接收功率为122.23mW。图9示出了不同传输距离时成像平面处光斑轮廓和光强分布及对应的最大单像素接收功率。由图9可见，常规成像系统在成像平面处的光斑为圆形且尺寸极小，功率密度极高。立方相位掩模板波前编码编码成像系统在成像平面处的光斑为等腰三角形光斑且尺寸较大，旁瓣的出现使得能量分布相对分散，但是主瓣的能量密度仍然很高。涡旋相位掩模板波前编码编码成像系统在成像平面处的光斑为环形且尺寸较大，能量分布相对分散；本发明的立方涡旋相位掩模板波前编码编码成像系统在成像平面处的光斑为类似等腰三角形光斑，主瓣能量削弱，光强极大位置转移，能够很好的解决主瓣能量较为集中的问题，同时兼具利用旁瓣分散能量的特点。抑制比定义为常规成像系统的最大单像素接收功率与波前编码成像系统的最大单像素接收功率之比，传输距离为1000m时，计算得到立方相位掩模板、涡旋相位掩模板和立方涡旋相位掩模板的抑制比分别为27.34、15.60和54.14，因此立方涡旋相位掩模板的防护性能明显优于常规成像系统、立方相位掩模板和涡旋相位掩模板，且优于立方相位掩模板和涡旋相位掩模板之和。
综上所述，本发明光电成像系统具有远优于常规光电成像系统的激光防护性能，且优于立方相位掩模板和涡旋相位掩模板之和，能够很好地提升成像系统复杂环境适应性。
以上所述实施示例仅表达本申请的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本申请构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本申请的保护范围。
Claims (10)
1.一种具有激光防护功能的光电成像系统，为一种波前编码成像系统，该系统包括：成像镜头、图像传感器和图像处理系统；其特征在于，该系统还包括立方涡旋相位调控元件；
所述立方涡旋相位调控元件位于激光源与成像镜头位置之间，紧贴成像镜头，与成像镜头形成一个等效相位平面；
当无干扰激光时，物像经成像镜头聚焦和相位调控元件调制后，被图像传感器接收，图像传感器将接收到的模糊编码图像送到图像处理系统中进行解码处理，获得清晰的解码图像，再输出显示；
当存在干扰激光时，立方涡旋相位调控元件的相位调控作用能够重新分布到达图像传感器的能量，图像传感器处光斑为类似等腰三角形光斑，主瓣能量削弱，光强极大位置转移，从而降低了图像传感器上的最大单像素接收功率以达到抗激光损伤的目的。
2.根据权利要求1所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，所述立方涡旋相位调控元件为立方涡旋相位掩模板。
3.根据权利要求1所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，最大单像素接收功率为以峰值光强位置坐标为中心、单元像素等效面积内的激光功率。
4.根据权利要求2所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，在归一化坐标下，所述立方涡旋相位掩模板的相位调制函数ph(xn,yn)定义为：
其中，(xn,yn)为归一化的空域坐标，取值范围为[-1,1]；α为调制系数，l为拓扑荷数；
所述立方涡旋相位掩模板的加工面型函数vh(xn,yn)为：
其中，λ为波长，n为材料折射率。
5.根据权利要求4所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，所述立方涡旋相位掩模板的调制系数和拓扑荷数参数可以根据应用需求进行优化。
6.根据权利要求4所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，采用无加工深度限制的单点金刚刀机床对所述立方涡旋相位掩模板的连续自由曲面进行加工。
7.根据权利要求4所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，所述立方涡旋相位掩模板波前编码成像系统的圆形光瞳函数为：
其中，circ()为圆域函数，D为成像镜头直径，(x,y)为空域坐标，α为调制系数，l为拓扑荷数。
8.根据权利要求1所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，波前解码算法采用维纳滤波：
其中，为解码图像的归一化频谱，/>表示光学传递函数/>的共轭，K为选定的试探性参数，/>为成像强度图像Ii(x,y)的归一化频谱。
9.根据权利要求8所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，经维纳滤波后得到的解码图像Id(x,y)为：
10.根据权利要求1所述的具有激光防护功能的光电成像系统，其特征在于，用以计算成像系统的激光防护性能的等效激光传输模型为：
所述等效激光传输模型包括高斯光束束腰平面0、立方涡旋相位掩模板与成像镜头的等效相位平面1和成像平面2，束腰与立方涡旋相位掩模板距离为zgauss的高斯光束入射至光学系统表面，分别经立方涡旋相位掩模板调制和成像镜头聚焦后，衍射至其后距离di处的图像传感器处，像距di取决于高斯成像公式1/do+1/di＝1/f，其中do为物距，di为像距，f为成像镜头焦距；
规定相位滞后为正；束腰为ω0且距离等效相位平面zgauss的高斯型激光束传输至等效相位平面的前表面，其复振幅分布满足高斯光束传播方程：
其中，(x1,y1)为等效相位平面的位置坐标，z＝zgauss，A0为与功率相关的常数，ω0为束腰尺寸，k为波数，λ为波长，为径向距离，ω(z)为等效相位平面前表面处高斯光束等相位面上的光斑半径，R(z)为等效相位平面前表面处高斯光束等相位面的曲率半径：
立方涡旋相位掩模板与成像镜头的等效相位平面的复振幅透过率函数为：
其中，circ()为圆域函数，相位调制函数ph(x1,y1)定义为：
ph(x1,y1)＝α[(2x1/D)3+(2y1/D)3]+ilarctan(y1/x1) (x1≠0)
其中，α为调制系数，l为拓扑荷数；
得到等效相位平面的后表面复振幅分布为：
其中，为等效相位平面的后表面复振幅分布，/>为等效相位平面的前表面复振幅分布，T(x1,y1)为等效相位平面的复振幅透过率函数；
菲涅尔近似下，其成像平面处的复振幅分布为：
其中，(x2,y2)为成像平面的位置坐标；
通过复振幅乘以复振幅的共轭，可以得到成像平面处的光斑轮廓和强度分布：
其中，U2(x2,y2)为成像平面的复振幅分布，为成像平面复振幅分布的共轭。
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